matematicas estas ahi

Siglo Veintiuno Editores

MATEMTICA ESTS AH?Episodio 2

por

ADRIN PAENZAFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Coleccin Ciencia que ladraDirigida por DIEGO GOLOMBEK

sigloveintiunoeditores


Portada de Claudio Puglia y Mariana Nemitz

2006, Siglo XXI Editores Argentina S. A.

ISBN-10: 987-1220-64-2ISBN-13: 978-987-1220-64-9

Impreso en Artes Grficas DelsurAlmirante Solier 2450, Buenos Aires,en el mes de noviembre de 2006

Hecho el depsito que marca la ley 11.723Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, AdrinMatemtica... ests ah? : sobre nmeros, personajes, problemas y curiosi-

dades : episodio 2 - 1a ed. - Buenos Aires : Siglo XXI Editores Argentina, 2006.240 p. : il. ; 19x14 cm. (Ciencia que ladra... dirigida por Diego Golombek)

ISBN 987-1220-64-2

1. Matemtica-Enseanza. I. TtuloCDD 510.7

ESTE LIBRO (y esta coleccin)

Existe un pas en el que un gato se va y nos deja su sonrisa derecuerdo, y en donde hay reinas de corazones que ordenan cor-tar cabezas sin parar y porque s. Es el pas en que los nmerosjuegan a las escondidas, y los ngulos internos de los tringulossuman bueno, lo que tengan que sumar dependiendo de lageometra que estemos considerando. Desde hace un tiempo ygracias al primer libro de esta miniserie no necesitamos pasa-porte para entrar a ese pas y, como en el caso de la tierra delas maravillas, aqu tambin nos gua un matemtico.

En el camino, un milagro inesperado: un libro de divulgacincientfica se convierte en un xito editorial sin precedentesCmo explicarlo? Ser que de pronto al mundo comenzarona interesarle estos temas? Ser porque el autor es un conoci-do profesor y periodista? O ser, simplemente, que es un buenlibro? Por todo eso, Adrin Paenza nos ha acostumbrado consu primer Matemtica Ests ah? a discutir enigmas, a hacer-nos preguntas, a sorprender a otros lectores en el colectivohaciendo cuentas, uniendo puntos o sumergindose en los infi-nitos infinitos.

Para tranquilidad de los fanticos del primer libro, todavaquedan muchas historias por contar, muchos nmeros, perso-najes, problemas y curiosidades para sorprendernos, y tambin


paradojas como para pasarse una tarde dando vueltas a las ideas(y aqu es imprescindible recordar una maravillosa paradoja dealmacn: Hoy no se fa, maana s). El resultado es que lamatemtica sigue ah, en un encuentro cercano en el que nue-vamente nos gua Adrin Paenza (aunque, como bien dice elautor, si nos perdemos no es nada grave: la cuestin es ir encon-trando el camino solos). Un gua de lujo que nos invita a supe-rarnos, a jugar, a pensar y a deleitarnos con un conocimiento que,en el fondo, es de todos. Sigamos viajando, entonces. La mate-mtica ataca de nuevo!

Esta coleccin de divulgacin cientfica est escrita por cien-tficos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fueradel laboratorio y contar las maravillas, grandezas y miserias de laprofesin. Porque de eso se trata: de contar, de compartir unsaber que, si sigue encerrado, puede volverse intil.

Ciencia que ladra no muerde, slo da seales de quecabalga.

DIEGO GOLOMBEK

6 A D R I N P A E N Z A


Este libro es para mis padres, Ernesto y Fruma. Una vez ms. Todo lo que haga en la vida estar siempre

dedicado a ellos primero.A mi hermana Laura y a todos mis sobrinos.

A mis amigos Miguel Davidson, Leonardo Peskin, Miguelngel Fernndez, Cristian Czubara, Eric Perle,

Lawrence Kreiter, Kevin Bryson, Vctor Marchesini, LuisBonini, Carlos Aimar, Marcelo Araujo, Antonio Laregina,

Marcos Salt, Diego Goldberg, Julio Bruetman, Claudio Pustelnik y Hctor Maguregui.

A mis amigas Ana Mara Dalessio, Nilda Rozenfeld,Teresa Reins, Alicia Dickenstein, Beatriz de Nava,

Beatriz Surez, Nora Bernrdes, Karina Marchesini, LauraBracalenti, Etel Novacovsky, Marisa Gimnez, Mnica Muller,

Erica Kreiter, Susy Goldberg, Holly Perle y Carmen Sessa.A Carlos Griguol, mi amigo del alma.

A la memoria de los seres queridos que perd en el camino:Guido Peskin, mis tas Delia, Elena, Miriam y Elenita, mi

primo Ricardo y a la de mis entraables compaeros de vida,Len Najnudel y Manny Kreiter.


Acerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas por la Uni-versidad de Buenos Aires, en la que se desempea actualmente comoprofesor asociado del Departamento de Matemtica de la Facultad deCiencias Exactas y Naturales. Es, adems, periodista. En la actualidadconduce el ciclo Cientficos Industria Argentina. Trabaj en las radiosms importantes del pas y en los cinco canales de aire de la Argenti-na. Fue redactor especial de varias revistas y colaborador en tres dia-rios nacionales: Clarn, Pgina/12 y La Nacin. Public en esta mismacoleccin Matemtica Ests ah?, que ya lleva ms de diez ediciones.


Agradecimientos

A Diego Golombek, director de la coleccin Ciencia que ladra. Por-que es mi amigo y por la pasin que pone en cada intercambio que tene-mos. Nadie que yo conozca tiene ms entusiasmo que l, que hace en unda lo que a todo el mundo le lleva un mes.

A Carlos Daz, el director de Siglo XXI Editores, por la increblegenerosidad que exhibi siempre conmigo y por su incansable e insa-ciable curiosidad.

A Claudio Martnez, quien fue el primero en creer que estas histo-rias deban ser divulgadas y comprometi su esfuerzo y talento en crearun programa televisivo como Cientficos Industria Argentina para queyo pudiera hacerlo. Este libro es tambin para todos mis compaeros delprograma.

A Ernesto Tenembaum, Marcelo Zlotogwiazda y Guillermo Alfie-ri por el estmulo constante y el respeto con el que me tratan.

A quienes revisaron el libro, lo criticaron, lo discutieron y me ayu-daron a mejorarlo, y en particular, mi infinita gratitud a dos personas:Carlos DAndrea y Gerardo Garbulsky.

A todos los comunicadores, a los periodistas de radio, televisin,diarios y revistas, quienes tomaron el primer libro como propio, lo defen-dieron, lo promovieron y fueron felices en cada una de sus audicioneshablando de l. Todos descubrimos algo con el primer episodio deMatemtica Ests ah?, pero ellos fueron, sin ninguna duda, los queimpulsaron a la gente a que lo compre o lo baje por Internet. En todocaso, eso nos mostr a todos el poder del periodismo, el poder de los


medios de comunicacin. Ellos transformaron un libro de matemtica(nada menos) en un best seller y generaron una campaa gigantesca,impredecible e impagable, que rompi con todos los moldes y tir abajocualquier precedente: construyeron un xito que entiendo es de ellos.A todos mis colegas, gracias!

A la comunidad matemtica, que tambin entendi esto como unacruzada, y me apabull con ideas, sugerencias, artculos, notas y de esaforma me ilumin el camino. Nada de lo que estuvo escrito en el pri-mer libro ni en lo que aparecer en ste (salvo mis opiniones persona-les) es una novedad para ellos: nada. Sin embargo, la monumental can-tidad de correos electrnicos, papeles, cartas y conversaciones personalescon los que me ayudaron para la seleccin del material y la forma de pre-sentarlo escapa a mi posibilidad de agradecerles.

A Ernesto Tiffenberg, el director de Pgina/12, quien con osada meinvit a que escribiera la contratapa del diario una vez por semanasobre lo que vos quieras. Muchas de las pginas de este libro, apare-cieron antes en mi querido diario.

A Pablo Coll, Pablo Milrud, Juan Sabia, Teresita Krick, Pablo Mislej,Ricardo Durn, Ariel Arbiser, Oscar Bruno, Fernando Cukierman, JorgeFiora, Roberto Miatello, Eduardo Cattani, Rodrigo Laje, Matas Graa,Leandro Caniglia, Marcos Dajczer, Ricardo Fraimann, Lucas Monzn,Gustavo Stolovitzky, Pablo Amster, Gabriela Jernimo y Eduardo Dubuc:todos matemticos (menos Gustavo y Rodrigo), todos imprescindiblespara que este libro exista.

A todos mis alumnos, presentes y pasados, por lo que me ensearona lo largo del camino.

A Santiago Segurola, Alejandro Fabbri, Nelson Castro y FernandoPacini.

A todos quienes trabajan en Siglo XXI Editores, en particular a Vio-leta Collado y Hctor Benedetti, por el cuidado extremo que ponen paraprotegerme de mis propios errores.

Y por ltimo, a las mismas cuatro personas a quienes les dediquel libro anterior por su conducta tica irreprochable: Marcelo Bielsa,Alberto Kornblihtt, Vctor Hugo Morales y Horacio Verbitsky. Ellosdemuestran diariamente, que se puede!



Los agujeros negros son los lugares del universo

en donde Dios dividi por cero.

STEVEN WRIGHT


ndice

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ensear a pensar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Los nmeros de la matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Algunas curiosidades matemticas y cmo explicarlas (cuando se puede), 25.Cmo multiplicar si uno no sabe las tablas?, 29. Cmo dividir sin saberlas tablas de multiplicar?, 35. Monedas en carretilla, 43. La historia de Goo-gle, 48. Los tests de inteligencia, 52. Sudoku, 57. Criba de Eratstenes, 64.Nmeros perfectos, 70. La vida en el infinito. Serie geomtrica y armnica,77. Primos en progresin aritmtica, 84. Luces encendidas, luces apagadas y modelos, 89. Cmo cuenta una computadora? (Nmeros binarios), 94.

Probabilidades, estimaciones, combinaciones y contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

La prueba que no se puede tomar, 105. Probabilidad de ganar el campeonatomundial para un equipo considerado favorito, 107. Herencia con infinitasmonedas, 109. Desfile y probabilidad, 113. Genoma y ancestros comunes,118. Matrices de Kirkman, 122.

Los problemas de la matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Hay ms agua en el vino o vino en el agua?, 127. La historia de los cuatro


sospechosos, 132. Problema de los recipientes de 3 y 5 litros respectivamente,135. Problema de pensamiento lateral (Eminencia), 137. Diez bolsas con diezmonedas, 139. Otro problema de sombreros, 141. Ruleta rusa, 142. Proble-ma de las doce monedas, 144. Problema del viajante de comercio, 152.

La matemtica es un juego (o no?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Teora de Juegos. Estrategia (una definicin), 161. 600 soldados, el gene-ral y la Teora de Juegos, 163. Dilema del prisionero, 165. La banda de Moe-bius. Un desafo a la intuicin, 168. Problema del tablero de ajedrez, 173.Truelo, 176. El juego del numerito, 178. Nmeros naturales consecutivos,181. Problema de los siete puentes de Knigsberg, 184. Polo Norte, 191. Fix-ture (a la Dubuc), 194. Palndromos, 206. Juego del 15, 213. Tringulo de Pas-cal, 218.

Eplogo. Las reglas del juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235



Prlogo

La inequitativa distribucin de la riqueza marca una desi-gualdad ciertamente criminal. Unos (pocos) tienen (tenemos)mucho; otros (muchos) tienen poco. Muchos ms tienen casinada. La sociedad ha sido, hasta aqu, ms bien indiferente a lasdesigualdades de todo tipo. Se las describe, s, pero en generalel dolor termina en hacer una suerte de catarsis que pareceexculpadora. Bueno, no es as. O no debera serlo. Hasta aqu,ninguna novedad.

La riqueza no slo se mide en dinero o en poder adquisiti-vo, tambin se mide en conocimiento, o mejor dicho, deberaempezar por ah. El acceso a la riqueza intelectual es un dere-cho humano, slo que casi siempre est supeditado al frragode lo urgente (nadie puede pretender acceder al conocimientosi antes no tiene salud, ni trabajo, ni techo, ni comida en suplato). As, todos tenemos un compromiso moral: pelear para quela educacin sea pblica, gratuita y obligatoria en los nivelesprimario y secundario. Los nios y jvenes tienen que ir a estu-diar, y no a trabajar.

Con la matemtica sucede algo parecido. Es una herramientapoderosa que ensea a pensar. Cuando est bien contada esseductora, atractiva, dinmica. Ayuda a tomar decisiones edu-cadas o, al menos, ms educadas. Presenta facetas fascinantes que


aparecen escondidas y reducidas a un grupo muy pequeo quelas disfruta. Y es hora de hacer algo, de pelear contra el pre-concepto de que la matemtica es aburrida, o de que es slo paraelegidos.

Por eso escrib Matemtica Ests ah? Porque quiero quele demos una segunda chance. Porque quiero que la sociedadadvierta que le estamos escamoteando algo y que no hay dere-cho a que eso suceda. Hasta aqu, quienes comunicamos lamatemtica hemos fracasado, no slo en la Argentina sino en casitodo el mundo.

Ha llegado la hora de modificar el mensaje. Obviamente, nosoy el primero ni ser el ltimo, pero quisiera ayudar a abrir eljuego, como lo hice durante ms de cuarenta aos con alumnosde todas las edades. La matemtica presenta problemas y ense-a a disfrutar de cmo resolverlos, as como tambin ensea adisfrutar de no poder resolverlos, pero de haberlos pensado,porque entrena para el futuro, para tener ms y mejores herra-mientas, porque ayuda a recorrer caminos impensados y a hacer-nos inexorablemente mejores.

Necesitamos, entonces, brindar a todos esa oportunidad.Cranme que se la merecen.



Ensear a pensar

El mundo acadmico se nutre de la circulacin libre deinformacin. Cada uno aporta (literalmente) un granito de

arena, y as se hace cada ladrillo. A veces viene unNewton, un Einstein, un Bohr, un Mendel, y trae l solo

treinta ladrillos, pero en general es as: granito a granito.ANNIMO

Miguel Herrera fue un gran matemtico argentino, directorde muchas tesis doctorales, en la Argentina y tambin en el exte-rior. Lamentablemente, falleci muy joven. Herrera se gradu enBuenos Aires y vivi muchos aos en Francia y los Estados Uni-dos, para luego retornar al pas, donde permaneci hasta sumuerte. Quiero aprovechar para contar una ancdota que vivcon l y que me sirvi para toda la vida.

Luego de graduarme como licenciado (a fines de 1969), estu-ve por unos aos fuera de la facultad trabajando exclusivamentecomo periodista. Una noche, en Alemania, ms precisamente enSindelfingen, donde estaba concentrado el seleccionado argen-tino de ftbol, coment con algunos amigos que al regresar al pasintentara volver a la facultad para saldar una deuda que tena(conmigo): quera doctorarme. Quera volver a estudiar paracompletar una tarea que, sin la tesis, quedara inconclusa. Era ungran desafo, pero vala la pena intentarlo.

Dej por un tiempo mi carrera como periodista y me dedi-qu de lleno a la investigacin y a la docencia en matemtica.Luego de un concurso, obtuve un cargo como ayudante de pri-mera con dedicacin exclusiva, y eleg como tutor de tesis doc-


toral a ngel Larotonda, quien haba sido mi director de tesisde licenciatura. Pucho (as le decamos a Larotonda) tenamuchsimos alumnos que buscaban doctorarse. Entre tantos,recuerdo los nombres de Miguel ngel Lpez, Ricardo Norie-ga, Patricia Fauring, Flora Gutirrez, Nstor Bcari, EduardoAntn, Gustavo Corach y Bibiana Russo.

Doctorarse no era fcil. Requera (y requiere) no slo apro-bar un grupo de materias sino, adems, escribir un trabajo ori-ginal y someterlo al referato de un grupo de matemticos para suevaluacin. La tarea del tutor es esencial en ese proyecto, no slopor la gua que representa, sino porque lo habitual es que sea l(o ella) quien sugiera al aspirante el problema a investigar y, even-tualmente, resolver.

La situacin que se gener con Pucho es que ramos muchos,y era muy difcil que tuviera tantos problemas para resolver, y quepudiera compartirlos con tantos aspirantes. Recuerdo ahora quecada uno necesitaba un problema para s. Es decir que cadauno deba trabajar con su problema. La especialidad era Topo-loga Diferencial. Cursbamos materias juntos, estudibamos jun-tos, pero los problemas no aparecan.

Algo nos motiv a tres de los estudiantes (Bcari, Antn y yo)a querer cambiar de tutor. No se trataba de ofender a Laroton-da, sino de buscar un camino por otro lado. Noriega ya habaoptado por trabajar con el increble Luis Santal y nosotros,empujados y estimulados por lo que haba hecho Ricardo, deci-dimos cambiar tambin. Pero a quin recurrir? Quin tendraproblemas para compartir? Y en qu reas? Porque, ms allde que alguien quiera y posea problemas para sus estudiantes,tambin importa el tema: no todos son igualmente atractivos, ycada uno tena sus inclinaciones particulares, sus propios gustos.Sin embargo, estbamos dispuestos a empezar de cero, si logr-bamos que alguien nos sedujera.



As fue como apareci en nuestras vidas Miguel Herrera,quien recin haba vuelto al pas despus de pasar algunos aoscomo investigador en Francia. Reconocido internacionalmentepor su trabajo en Anlisis Complejo, sus contribuciones habansido altamente festejadas en su rea. Miguel haba formado partedel grupo de matemticos argentinos que emigraron luego delgolpe militar que encabez Juan Carlos Ongana en 1966, y sefue inmediatamente despus de la noche infame de los bastoneslargos. Sin embargo, volvi al pas en otro momento terrible, por-que coincida con otro golpe militar, esta vez el ms feroz denuestra historia, que someti a la Argentina al peor holocaustodel que se tenga memoria.

Pero vuelvo a Herrera: su retorno era una oportunidad paranosotros. Recin haba llegado y todava no tena alumnos. Lofuimos a ver a su flamante oficina y le explicamos nuestra situa-cin. Miguel nos escuch con atencin y, tpico en l, dijo: Ypor qu no se van al exterior? Por qu se quieren quedar accon todo lo que est pasando? Yo puedo recomendarlos a dis-tintas universidades, tanto en Francia como en los Estados Uni-dos. Creo que les conviene irse.

Me parece que fui yo el que le dijo: Miguel, nosotros esta-mos ac y no nos vamos a ir del pas en este momento. Que-remos preguntarte si tens problemas que quieras compartir connosotros, para poder doctorarnos en el futuro. Sabemos muypoco del tema en el que sos especialista, pero estamos dis-puestos a estudiar. Y en cuanto a tu asesoramiento y tutora,hac de cuenta que somos tres alumnos franceses, que llegamosa tu oficina en la Universidad de Pars y te ofrecemos que seasnuestro director de tesis. Qu nos vas a contestar? Vyansede Pars?.

Herrera era el profesor titular de Anlisis Complejo. Al pocotiempo, Antn, en su afn de convertirse en crtico de cine y rbi-

M A T E M T I C A E S T S A H ? E P I S O D I O 2 19


tro de ftbol (entre otras cosas), decidi bajarse del proyecto,pero Nstor Bcari (a partir de aqu Quiqun, su sobrenom-bre) y yo fuimos nombrados asistentes de Herrera y jefes de tra-bajos prcticos en la materia que dictaba. Si uno quiere aprenderalgo, tiene que comprometerse a ensearlo se fue nuestro pri-mer contacto con nuestro director de tesis. Empezamos por elprincipio. La mejor manera de recordar lo que habamos hechocuando tuvimos que cursar Anlisis Complejo (y aprobarla, claro)era tener que ensearla. Y as lo hicimos.

Pero Quiqun y yo queramos saber cul sera el trabajo dela tesis, el problema que deberamos resolver, Herrera, pacien-te, nos deca que no estbamos an en condiciones de entenderel enunciado, y ni hablar de tratar de resolverlo. Pero nosotros,que venamos de la experiencia con Pucho, y nunca logrba-mos que nos diera el problema, queramos saber.

Un da, mientras tombamos un caf, Herrera abri un libroescrito por l, nos mostr una frmula y nos dijo: ste es el pri-mer problema para resolver. Hay que generalizar esta frmula.se es el primer trabajo de tesis para alguno de ustedes dos.

Eso sirvi para callarnos por un buen tiempo. En realidad,nos tuvo callados por mucho tiempo. Es que salimos de la ofi-cina donde habamos compartido el caf y nos miramos con Qui-qun, porque no entendamos nada. Despus de haber esperadotanto, de haber cambiado de director, deespecialidad, de todo, tenamos el problemdamos ni siquiera el enunciado. No sablo que tenamos que hacer.

sa fue una leccin. El objetivo entonble, estudiar todo lo posible para entendHerrera no nos dejara solos. No slo rala materia para la licenciatura que dictanos provea de material constantemente.


Siglo Veintiuno Ed cambiar de tema, dea, s pero no enten-

amos ni entendamos

ces fue hacer lo posi-

er el problema. Claro,mos sus asistentes enba sino que, adems,

Nos traa papers escri-

itores

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tos por l o por otros especialistas en el tema, y trataba de queempezramos a acostumbrarnos a la terminologa, al lengua-je, al tipo de soluciones que ya haba para otros problemas simi-lares. En definitiva, empezamos a meternos en el submundo delAnlisis Complejo. Por un lado, dbamos clases y aprenda-mos casi a la par de los alumnos. Resolvamos las prcticas yleamos tanto como podamos sobre el tema. Adems avanz-bamos por otro lado, e bamos acumulando informacin al pasoque l nos indicaba.

Quiqun fue un compaero fabuloso. Dotado de un talentonatural, vea todo mucho antes que yo, y fue una gua imposi-ble de reemplazar. Yo, menos preparado, con menos facilidad,necesitaba de la constancia y la regularidad. Y se era y fue miaporte a nuestro trabajo en conjunto: l pona el talento y la crea-tividad; yo, la constancia y la disciplina. Todos los das, nosencontrbamos a las ocho de la maana. No haba das de fro,ni de lluvia, ni de calor, ni de resaca de la noche anterior: tena-mos que estar a las ocho de la maana sentados en nuestra ofi-cina, listos para trabajar! Para m, que tena auto, era mucho msfcil. Quiqun vena de ms lejos y tomaba uno y, a veces, doscolectivos.

Lo que siempre nos motivaba y nos impulsaba era que a lasocho, cuando recin nos habamos acomodado, alguien golpea-ba sistemticamente a la puerta. Miguel vena todos los das ala facultad a ver qu habamos hecho el da anterior: qu difi-cultades habamos encontrado, qu necesitbamos. As cons-truimos una relacin cotidiana que nos sirvi para enfrentarmuchas situaciones complicadas y momentos de dificultad en losque no entendamos, no nos sala nada y no podamos avanzar.Encontrarnos todos los das, siempre, sin excepciones, nos per-miti construir una red entre los tres que nos sirvi de apoyoen todos esos momentos de frustracin y fastidio.



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El problema estaba ah. Ya no haba que preguntarle msnada a Herrera. Era nuestra responsabilidad estudiar, leer, inves-tigar, preocuparnos para tratar de entender. Con Quiqun siem-pre confiamos en Miguel, y l se gan nuestro reconocimiento nopor la prepotencia de su prestigio, sino por la prepotencia de sutrabajo y su constancia. Miguel estuvo ah todos los das.

Una maana, de las centenares que pasamos juntos, mientrastombamos un caf, nos miramos con Quiqun y recuerdo quenos quedamos callados por un instante. Uno de los dos dijo algoque nos hizo pensar en lo mismo: acabbamos de entender elenunciado! Por primera vez, y a ms de un ao de habrseloescuchado a Miguel, comprendamos lo que tenamos que hacer.De ah en adelante, algo cambi en nuestras vidas: habamosentendido! Lo destaco especialmente porque fue un da muy felizpara los dos.

Un par de meses ms tarde, un da cualquiera, sbitamentecremos haber encontrado la solucin a un problema que losmatemticos no podan resolver haca ya siglos. No era posi-ble! Tenamos que estar haciendo algo mal, porque era muy pocoprobable que hubiramos resuelto una situacin que los exper-tos de todo el mundo investigaban desde tanto tiempo atrs. Erams fcil creer (y lo bien que hicimos) que estbamos haciendoalgo mal o entendamos algo en forma equivocada, antes quepensar que pasaramos a la inmortalidad en el mundo de lamatemtica. Pero no podamos darnos cuenta del error!

Nos despedimos esa noche, casi sin poder aguantar hasta elda siguiente, cuando llegara Miguel. Lo necesitbamos paraque nos explicara dnde estaba nuestro error. Por la maana,Miguel golpe a la puerta como siempre, y nos atropellamospara abrirle. Le explicamos lo que pasaba y le pedimos que nosdijera dnde nos estbamos equivocando. Entrecerr los ojos ysonriente dijo: Muchachos, seguro que est mal. No fue una



novedad; nosotros sabamos que tena que estar mal. Y comen-z a explicarnos, pero nosotros le refutbamos todo lo quedeca. Escriba en el pizarrn con las tizas amarillas con las quesiempre nos ensucibamos las manos, pero no haba forma.Peor an: Miguel empez a quedarse callado, a pensar. Y sesent en el sof de una plaza que haba en la oficina. Tom sulibro, el libro que l haba escrito, ley una y otra vez lo quel haba inventado y nos dijo, lo que para m sera una de lasfrases ms iluminadoras de mi vida: No entiendo. Y se hizoun silencio muy particular.

Cmo? Miguel no entenda? Pero si lo haba escrito l!Cmo era posible que no fuera capaz de entender lo que lmismo haba pensado?

Esa fue una leccin que no olvid nunca. Miguel hizo gala deuna seguridad muy particular y muy profunda: poda dudar, aunde s mismo. Ninguno de nosotros iba a dudar de su capacidad.Ninguno iba a pensar que otro haba escrito lo que estaba en sulibro. No. Miguel se mostraba como cualquiera de nosotrosfalible. Y sa fue la leccin. Qu problema hay en no enten-der? Se haba transformado acaso en una peor persona o enun burro porque no entenda? No, y eso que se daba el lujo dedecir frente a sus dos alumnos y doctorandos que no entendalo que l mismo haba escrito.

Por supuesto, no hace falta decir que despus de llevrseloa su oficina, y de dedicarle un par de das, Miguel encontr elerror. Ni Quiqun ni yo pasamos a la fama, y l nos explic endnde estbamos equivocados.

Con el tiempo nos doctoramos, pero eso, en este caso, es loque menos importa.

Miguel nos haba dado una leccin de vida, y ni siquiera losupo ni se lo propuso. As son los grandes.



Los nmeros de la matemtica

Un matemtico, como un pintor o un poeta, es unhacedor de patrones. Si sus patrones son ms

permanentes que los de ellos, es porque estn hechoscon ideas. Un pintor crea patrones con sus formas y

colores, un poeta, con palabras Un matemtico, porotro lado (a diferencia del poeta), no tiene material para

trabajar salvo con sus ideas, y sus patrones suelendurar mucho ms, ya que las ideas se gastan menos

que las palabras.G. H. HARDY, A Mathematicians Apology (1940)

Algunas curiosidades matemticasy cmo explicarlas (cuando se puede)

Si uno multiplica 111.111.111 por s mismo, es decir, si loeleva al cuadrado, se obtiene el nmero:

12.345.678.987.654.321

En realidad, es esperable que esto pase porque si uno pien-sa cmo hace para multiplicar dos nmeros (y lo invito a quelo haga), advierte que multiplica cada dgito del segundo portodos los dgitos del primero, y los corre hacia la izquierda amedida que avanza.

Como los dgitos del segundo son todos nmeros 1, lo que hacees repetir el primer nmero una y otra vez, aunque corrindolo a


la izquierda en cada oportunidad. Por eso, al sumarlos, encolum-nados de esa forma, se obtiene el resultado de ms arriba:

12.345.678.987.654.321

Lo que sigue s es una curiosidad, y aunque no tengo unaexplicacin para dar, resulta simptico.

Tome el nmero

1.741.725

Eleve cada dgito a la sptima potencia y sume los resultados.Es decir:

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57

Cunto le dio? Bueno, si tuvo paciencia (o una calculadora) para hacer la

cuenta, el resultado es: 1.741.725.

Ahora, tome un nmero de tres dgitos cualquiera. Digamos el:

472

Construya el nmero que resulte de escribirlo dos vecesseguidas. En este caso:

472.472

Divida ahora por 7. Con lo que se obtiene:

67.496



Divida ese resultado por 11. Se tiene entonces:

6.136

y a ste divdalo por 13.El resultado final es

472!

Es decir, el nmero original, con el que empez. Por qu pas esto? Pasar lo mismo con cualquier nme-

ro que uno elija? Antes de dar las respuestas, observe que en el camino divi-

dimos el nmero por 7, y dio un resultado exacto. Despus lo divi-dimos por 11, y volvi a dar un nmero entero, y finalmente,encontramos un nmero que result ser un mltiplo de 13.

Ms all de correr a leer por qu pasa esto siempre con cual-quier nmero de tres dgitos que uno elija, le sugiero que pien-se un poco la solucin. Es mucho ms gratificante pensar unosolo, aunque no se llegue al resultado, que buscar cmo lo resol-v yo. Si no, qu gracia tiene?

SOLUCIN:

Lo primero que uno tiene es un nmero de tres dgitos; lla-mmoslo:

abc

Luego, haba que repetirlo:



abcabc

El trmite que sigui fue dividir ese nmero, primero por 7,luego por 11 y finalmente por 13. Y en todos los casos obtuvoun resultado exacto, sin que sobrara nada!

Eso significa que el nmero abcabc tiene que ser mltiplode 7, 11 y 13. Es decir que tiene que ser mltiplo del productode esos tres nmeros.1 Y justamente, el producto de esos nme-ros es:

7 . 11 . 13 = 1.001

Por qu pasa, entonces, que el nmero en cuestin es ml-tiplo de 1.001?

Si uno multiplica el nmero abc por 1.001, qu obtiene?(Realice la cuenta y despus contine leyendo.)

abc . (1.001) = abcabc

Acaba de descubrir por qu pas lo que pas. Si a cualquiernmero de tres dgitos (abc) se le agrega delante el mismo nme-ro, el resultado (abcabc) es un mltiplo de 1.001. Y cuando sedivide el nmero abcabc por 1.001, el resultado que se obtienees abc.2



1 Porque si un nmero es mltiplo de 3 y de 5, por ejemplo, tiene que ser ml-tiplo de 15, que es el producto entre 3 y 5. Esto sucede y le sugiero que lo pien-se solo tambin porque todos los nmeros aqu involucrados son primos. Porejemplo, el nmero 12 es mltiplo de 4 y de 6, pero no es mltiplo de 24 (productode 4 y de 6). En el caso en que los nmeros en cuestin sean primos, entoncess el resultado ser cierto.

2 Debemos advertir que si uno multiplica un nmero de tres dgitos por 1.001,obtendr el mismo nmero repetido dos veces consecutivas.

No deja de ser una curiosidad, aunque tiene un argumentoque lo sustenta. Y un poco de matemtica tambin.

Cmo multiplicar si uno no sabe las tablas?

Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resistena aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decirque los comprendo perfectamente porque, en principio, cuan-do a uno le ensean a repetirlas, no le queda ms remedio quesubordinarse a la autoridad del/la maestro/a, pero a esa altu-ra no est claro (para el nio) por qu tiene que hacerlo. Lo quesigue es, entonces, una forma alternativa de multiplicar, quepermite obtener el producto de dos nmeros cualesquiera sinsaber las tablas. Slo se requiere:

a) saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);b) saber dividir por 2, yc) saber sumar.

Este mtodo no es nuevo. En todo caso, lo que podra decires que est en desuso u olvidado, ya que era la forma en que mul-tiplicaban los egipcios y que an hoy se utiliza en muchas regio-nes de Rusia. Es conocido como la multiplicacin paisana. Enlugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que sersuficiente para entenderlo.

Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Enton-ces, preprese para escribir en dos columnas, una debajo del 19y otra, debajo del 136.

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, olvi-



dndose de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exac-tamente 9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por2. Es decir que debajo del 9 pone el nmero 4. Luego, vuelvea dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.Ah para.

Esta columna, entonces, qued as:

199421

Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136,en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resul-tados a la par de la primera columna. Es decir:

19 1369 2724 5442 1.0881 2.176

Cuando llega al nivel del nmero 1 de la columna de laizquierda detenga la duplicacin en la columna del 136. Con-vengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo quehizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multipli-car por 2 en la de la derecha. Ahora, sume slo los nmeros dela columna derecha que corresponden a nmeros impares de laizquierda. En este caso:



19 1369 2724 5442 1.0881 2.176

Al sumar slo los compaeros de los impares, se tiene:

136 + 272 + 2.176 = 2.584

que es (justamente!) el producto de 19 por 136.

Un ejemplo ms. Multipliquemos ahora 375 por 1.517. Me apuro a decir que

da lo mismo elegir cualquiera de los dos nmeros para multipli-carlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor can-tidad de cuentas, que tomemos el 375 como cabeza de lacolumna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:

375 1.517187 3.03493 6.06846 12.13623 24.27211 48.5445 97.0882 194.1761 388.352

Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos com-paeros de la primera columna sean impares:



375 1.517187 3.03493 6.06846 12.13623 24.27211 48.5445 97.0882 194.1761 388.352

568.875

Y, justamente, 568.875 es el producto que estbamos bus-cando.

Ahora, lo invito a que piense por qu funciona este mtodoque no requiere que uno sepa las tablas de multiplicar (salvo ladel 2, claro).

EXPLICACIN:

Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de unnmero, lo que debe hacer es dividir el nmero por 2 reiterada-mente, y anotar los restos que las cuentas arrojan. Por ejemplo:

173 = 86 . 2 + 186 = 43 . 2 + 043 = 21 . 2 + 121 = 10 . 2 + 110 = 5 . 2 + 05 = 2 . 2 + 12 = 1 . 2 + 01 = 0 . 2 + 1



De modo que el nmero 173 se escribir (recorriendo los res-tos de abajo hacia arriba):

10101101

Supongamos ahora que uno quiere multiplicar 19 por 136.Entonces, lo que hacamos era dividir sucesivamente por 2 elnmero 19:

19 = 9 . 2 + 19 = 4 . 2 + 14 = 2 . 2 + 02 = 1 . 2 + 01 = 0 . 2 + 1

Es decir que la escritura binaria del 19 se obtiene recorrien-do de abajo hacia arriba los restos; por lo tanto, se tiene el

10011

Por otro lado, esto nos dice que el nmero 19 se escribe as:

19 = 1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = (16 + 2 + 1)

Luego, cuando uno tiene que multiplicar 19 por 136, apro-vechamos la escritura en binario de 19, y anotamos:

19 . 136 = 136 . 19 = 136 . (16 + 2 + 1) =

(Y ahora, usando la propiedad distributiva de la multiplica-cin, se tiene:)



= (136 . 16) + (136 . 2) + (136 . 1) = 2.176 + 272 + 136 = 2.584

Esto explica por qu funciona este mtodo para multiplicar.Encubiertamente, uno est usando la escritura binaria de unode los nmeros.

Veamos el otro ejemplo (375 . 1.517):

375 = 187 . 2 + 1187 = 93 . 2 + 193 = 46 . 2 + 146 = 23 . 2 + 023 = 11 . 2 + 111 = 5 . 2 + 15 = 2 . 2 + 12 = 1 . 2 + 01 = 0 . 2 + 1

Luego, la escritura binaria del 375 es:

375 = 101110111

Es decir:

375 = 1 . 28 + 0 . 27 + 1 . 26 + 1 . 25 + 1 . 24

+ 0 . 23 + 1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 =

= 256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 (*)

Si uno quisiera multiplicar 1.517 por 375, lo que debe haceres descomponer el nmero 375, como est indicado en (*).



Luego:

1.517 . 375 = 1.517 . (256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1) =

(Usando la propiedad distributiva del producto otra vez:)

= (1.517 . 256) + (1.517 . 64) + (1.517 . 32) + (1.517 . 16) + (1.517 . 4) + (1.517 . 2) + (1.517 . 1)

= 388.352 + 97.088 + 48.544 + 24.272 + 6.068 + 3.034 + 1.517

que son justamente los sumandos que tenamos antes.

En definitiva, la escritura en binario permite encontrar la des-composicin de uno de los dos nmeros que queremos multi-plicar y, al hacerlo, explica cuntas veces hay que duplicar el otro.

Cmo dividir sin saber las tablas de multiplicar?

Aqu corresponde hacer una breve introduccin. Ni bien decid incluir el artculo anterior (sobre la multipli-

cacin sin saber las tablas), me propuse encontrar una maneraque permitiera hacer algo parecido con la divisin. Es decir:cmo dividir dos nmeros sin tener que aprender primero lastablas de multiplicar?

Les plante el problema a dos excelentes matemticos ami-gos, Pablo Coll y Pablo Milrud, dicindoles que me sentira frus-trado y con la sensacin de que la tarea quedara inconclusa sino encontraba cmo dividir con esa premisa. Ellos pensaron, dis-cutieron, me propusieron una forma que consideramos entre los



tres y que volvi a ser sometida a su anlisis. Quiero presentaraqu una versin muy buena, encontrada por los dos Pablosquienes se merecen todo el crdito, que estoy seguro servir deestmulo para los docentes, quienes podrn mejorarlo, o tener-lo como un recurso ms en sus manos.

Debo recalcar que no se trata de olvidarnos de las tablas, sinode discutir si vale la pena someter a los alumnos a la tortura vir-tual de tener que aprender de memoria una cantidad de nme-ros a una edad en la que podran dedicarle ese tiempo y esa ener-ga a otras cosas, mientras esperamos que la maduracin naturalles permita deducir a ellos solos qu son las tablas y para qu sir-ven. Eso s: como uno no puede (o no quiere) esperar tanto tiem-po para aprender a dividir y multiplicar, necesita encontrar mto-dos alternativos para hacerlo. Seguramente habr otros mejores,por lo que lo invito a pensarlos y proponerlos.

All voy.

Para poder dividir dos nmeros sin tener que saber las tablasde multiplicar hace falta saber sumar, restar y multiplicar por 2.Eso es todo.

Le pido que me tenga confianza porque, si bien al principiopuede parecer complicado, es en realidad muchsimo ms fcilque dividir en la forma convencional, y aunque sea slo por eso,porque ofrece una manera alternativa a lo que uno aprendi enla escuela y se corre de lo clsico, vale la pena prestarle atencin.

En lugar de detenerme en todos los tecnicismos que reque-rira un libro de texto o de matemtica, mostrar algunos ejem-plos con creciente grado de dificultad.

El mtodo consiste en fabricar cuatro columnas de nme-ros a partir de los dos nmeros que uno tiene como datos.



EJEMPLO 1

Para dividir 712 por 31, completo en primer lugar la prime-

ra columna y luego la cuarta:

31 1

62 2

124 4

248 8

496 16

712

Para obtener la primera columna, empiezo con el nmero por

el que queremos dividir; en este caso, el 31. A partir de l, en

forma descendente, multiplico por 2 en cada paso. Por qu par

en el 496? Porque si multiplico el 496 por 2, obtendra un nme-

ro (992) mayor que 712 (el nmero que originariamente quera

dividir). Por eso, en lugar de poner el 992, anoto el 712. Es decir

que para generar la primera columna, slo hace falta saber mul-

tiplicar por 2 y estar atento para terminar el proceso en el paso

anterior a superar nuestro segundo nmero.

La cuarta columna se obtiene igual que la primera, slo que

en lugar de empezar con el 31, empiezo con el nmero 1. Como

se advierte, irn apareciendo las distintas potencias del nmero

2. Detengo el proceso en el mismo lugar en que me detuve en

la primera columna. Hasta aqu, todo lo que uno necesita saber

es multiplicar por 2.

Cmo se completan las dos columnas del medio? As:



31 30 1

62 30 2

124 92 4

248 216 8

496 216 16

712

Para realizar este paso, lo que necesita saber es restar. Empie-zo de abajo hacia arriba, restando el nmero que tenemos paradividir (el 712) menos el anteltimo nmero de la columna uno(496). Al resultado, lo anoto en la columna dos, y as apareceel 216. Ahora comparo el 216 con el 248. Como no lo podemosrestar (porque 216 es menor que 248, y slo trabajamos connmeros positivos), guardamos el 216 en la columna tres.

Ahora sigo hacia arriba (comparando siempre con la prime-ra columna): como 216 es mayor que 124, entonces los resto.El resultado (92) va en la segunda columna. Un paso ms: como92 es mayor que 62, los resto nuevamente y obtengo el 30. Otravez lo pongo en la segunda columna. Y aqu, como 30 es menorque 31, no lo puedo restar y lo vuelvo a anotar en la terceracolumna.

Ya casi llegamos al final. Slo falta un paso, y convengamosque el proceso hasta ac fue muy sencillo. Cmo termina? Todolo que hay que hacer es sumar los nmeros de la cuarta colum-na que tengan un compaero en la segunda. Es decir:

2 + 4 + 16 = 22

Y obtenemos el nmero que estbamos buscando. El resultado de dividir 712 por 31 es 22, y sobra el nmero

30, que figura en la columna tres, donde par el proceso.



Verifquelo:

31 . 22 = 682

Como escrib ms arriba, el resto es 30. Luego:

682 + 30 = 712

Y se termin. Resumen: se arman cuatro columnas. En la pri-mera y la cuarta se trata de ir multiplicando por 2, empezandoen la columna de la izquierda por el nmero por el que quere-mos dividir, y en la de la derecha, por el nmero 1.

En las columnas del medio se anotan los resultados de lasrestas, y cuando se puede restar, el nmero se guarda en la colum-na dos. Cuando no se puede restar, se coloca en la columna tres.El cociente se obtiene sumando los nmeros de la cuarta colum-na que tienen un compaero en la segunda. Y el resto es el nme-ro que sobra en la columna dos o en la columna tres.

EJEMPLO 2

Para dividir 1.354 por 129, escribo la tabla directamente:

129 64 1

258 64 2

516 322 4

1.032 322 8

1.354

El nmero 322 que figura en la columna dos result de res-tar 1.354 1.032. Como 322 es menor que 516, lo tuve que poner



en la columna tres. Como 322 es mayor que 258, los rest y elresultado, 64, lo puse en la columna dos. Como 64 es menorque 129, lo puse en la columna tres. Y ah termin de construirla tabla.

Lo nico que falta, entonces, es calcular el cociente y el resto.El cociente lo obtiene sumando los nmeros de la cuarta colum-na que tienen un compaero en la segunda (es decir, cuando noha quedado un lugar vaco). El cociente en este caso es:

2 + 8 = 10

El resto es el primer nmero de la columna tres, es decir: 64. Hemos descubierto de esta manera que, si uno divide 1.354

por 129, el cociente es 10 y el resto, 64. Verifquelo.

EJEMPLO 3

Ahora dividamos 13.275 por 91. Construyo la tabla comoen los ejemplos anteriores:

91 80 1

182 171 2

364 171 4

728 171 8

1.456 171 16

2.912 1.627 32

5.824 1.627 64

11.648 1.627 128

13.275



Con la tabla conseguimos, entonces, el cociente y el resto.El cociente, de sumar los nmeros de la cuarta columna que ten-gan un compaero en la columna dos. Es decir:

1 + 16 + 128 = 145

Para determinar el resto miramos lo que sobr donde parel proceso. En este caso, el nmero 80.

Verificacin:

145 . 91 = 13.19513.195 + 80 = 13.275

LTIMO EJEMPLO

Quiero dividir 95.837 por 1.914. Construyo entonces lasiguiente tabla:

1.914 137 1

3.828 137 2

7.656 3.965 4

15.312 3.965 8

30.624 3.965 16

61.248 34.589 32

95.837

El nmero 34.589 result de restar 95.837 menos 61.248. El3.965 result de restar 34.589 menos 30.624. Como 3.965 esmenor que 15.312 y que 7.656, lo escrib dos veces en la terceracolumna. Ahora, como 3.965 es mayor que 3.828, los puedo res-



tar, y obtengo el 137. Como 137 es menor que 1.914, lo dejo enla tercera columna.

El cociente lo consigo sumando los nmeros de la cuartacolumna que tienen un compaero en la segunda. En este caso:

2 + 16 + 32 = 50

El resto es el ltimo nmero en donde termin el proceso(que puede figurar en la columna dos o en la tres). En este caso,es 137.

Verificacin:

1.914 . 50 = 95.700

A lo que agrego el resto:

95.700 + 137 = 95.837

Y llego a lo que quera comprobar.

Para terminar, un par de observaciones:

a) No explico aqu por qu funciona el mtodo porque notendra el espacio adecuado, pero a aquellos que estninteresados, todo lo que deben hacer es replicar lo queuno hace cuando efecta cualquier divisin comn. Estemtodo opera de la misma forma que el que uno cono-ce desde la escuela primaria, slo que se usan (encubier-tamente) los nmeros binarios.

b) Ms all de que alguien adopte estos mtodos para divi-dir y/o multiplicar sin tener que saber las tablas, lo que



intento proponer es que hay otras maneras de hacerlo.Creo que hay que explorarlas para que, en definitiva, ense-ar las operaciones elementales no sea una tortura paranadie.

Monedas en carretilla

Cuntas veces por da uno estima algo y no necesariamen-te se da cuenta de que lo hace?

En realidad, uno vive estimando todo el da, todo el tiem-po. Voy a demostrarlo.

Cuando alguien sale de su casa, estima cunto dinero tieneque llevar, pensando en el da que tendr por delante. (Claro,eso si tiene dinero para llevar, y si tiene algn lugar adonde ir.Pero supongamos que se cumplen ambos requisitos.) Adems,estima cunto tiempo antes debe salir de su casa para llegaradonde debe ir. Estima si le conviene esperar el ascensor queest tardando ms de la cuenta, o si le conviene bajar por laescalera. Y estima si le conviene ir en colectivo o en taxi, deacuerdo con el tiempo disponible. Y estima al cruzar la calle,si vienen autos, el tiempo que tardarn en llegar hasta l. Y deci-de entonces si cruza o no. Sin saberlo, estar estimando la velo-cidad del auto que viene a su izquierda, y la estar comparan-do con su propia velocidad para cruzar. Si va manejando unauto, estima cundo tiene que apretar el freno y cundo acele-rar. O estima si llegar a cruzar el semforo en verde o en ama-rillo, o si no cruzar. Tambin estima cuntos cigarrillos com-prar para el da, cuntos de ellos va a fumar, estima cunto vaa engordar con lo que comer, estima a qu funcin del cineva a llegar Estima, estima... y luego decide.



Creo que estar de acuerdo conmigo en que uno vive esti-mando, aunque no lo sepa. Estamos entrenados para hacer lascosas en piloto automtico, pero cuando a uno lo corren unpoquito de las estimaciones cotidianas, trastabilla. No siempre,claro, pero a nadie le gusta que lo muevan de la zona en la quese siente confortable.

Por ejemplo: supongamos que est parado en la vereda cercade un edificio muy alto, digamos de 100 pisos. Supongamos tam-bin que le digo que camiones blindados, de esos que transpor-tan caudales, depositaron en la vereda suficientes monedas de unpeso como para que las empiece a apilar en la base del edificiocon la idea de llegar con ellas hasta la terraza.

Ahora, la parte importante: en la vereda dejaron una carre-tilla que mide un metro de ancho, por un metro de largo, porun metro de alto. Es decir que tiene un volumen de un metrocbico.

Cuntos viajes tendr que hacer con la carretilla llena demonedas, para levantar una pila o columna de monedas de unpeso y llegar hasta la terraza del edificio?

Se trata de estimar cuntos viajes se necesitan. No hace faltahacer un clculo exacto, sino dar una respuesta estimativa.

Aqu es donde lo dejo pensar solo; eventualmente puede usarla respuesta que figura ms abajo, para confirmar lo que pens.Y si bien la tentacin es decir: Ahora no tengo tiempo, voy a leerla solucin, se perder la oportunidad de disfrutar de slo pensar.Nadie lo mira y, por otro lado, no es interesante poder haceralgo con lo que uno entrena el pensamiento, entrena la intuicin,sin que haya nada en juego ms que el placer de hacerlo?

Como incentivo, agrego una breve historia. Este problema me lo cont Gerardo Garbulsky, doctor en

Fsica del MIT y actual director de una consultora muy importanteradicada en la Argentina. En el proceso de buscar gente para con-



tratar, realiz esta pregunta a unos doscientos aspirantes. La dis-tribucin aproximada de las respuestas fue la siguiente:3

1 carretilla: 1 persona10 carretillas: 10 personas100 carretillas: 50 personas1.000 carretillas: 100 personas10.000 carretillas: 38 personasMs de 10.000 carretillas: 1 persona

SOLUCIN:

La moneda de un peso argentino tiene 23 milmetros de di-metro y un espesor de 2,2 milmetros. Estos datos, obviamente,son aproximados, pero a los efectos del problema planteado sonms que suficientes. Recuerde que no queremos una respuestaexacta sino una estimacin.

Entonces, para hacer las cuentas ms fciles, voy a suponerque cada moneda tiene 25 milmetros de dimetro y 2,5 milme-tros de espesor. Veamos cuntas monedas entran en la carreti-lla (de un metro cbico de volumen). Estimemos cuntas se pue-den poner en la base (que tiene un metro de largo por uno deancho).



3 Gerardo establece una diferencia entre la estimacin intuitiva y la estima-cin calculada. Cuando realizaba esta pregunta en las entrevistas, peda a los can-didatos que primero le dijeran cuntos viajes eran necesarios sin hacer ningnclculo. As se obtuvieron las primeras respuestas. Despus les pidi la estimacincuantitativa, y ah el 99 por ciento de las respuestas fueron correctas. Es muydistinto tener educada la intuicin o ser capaz de estimar cantidades. Lasegunda es una capacidad que, ejercida repetidamente, ayuda a generar la primera,pero son de naturaleza muy distinta.

1 moneda 25 mm4 monedas 100 mm

40 monedas 1.000 mm = 1 metro

Luego, como la base es cuadrada (de un metro por un metro),entran 40 . 40 = 1.600 monedas. Y como la carretilla tiene unmetro de altura, y de espesor cada moneda tiene 2,5 milmetros,veamos cuntas monedas entran a lo alto:

1 moneda 2,5 mm4 monedas 10 mm

400 monedas 1.000 mm = 1 metro

De modo que en la base entran 1.600 monedas, y eso hay quemultiplicarlo por 400 monedas de altura.

400 . 1.600 = 640.000 monedas

Hagamos una pausa por un instante. Acabamos de estimar que en cada carretilla de un metro

cbico entran casi 650.000 monedas. Guardemos este dato enla memoria. Falta ahora que estimemos cuntas monedas hacenfalta para levantar una columna que vaya desde la base del ras-cacielos de 100 pisos hasta la terraza.

Estamos parados frente a un edificio de 100 pisos. Podemosestimar que la altura de cada piso es de 3 metros. Es decir, queun rascacielos de 100 pisos tiene una altura de unos 300 metros.Tres cuadras!

Ahora, estimemos cuntas monedas hacen falta para llegarhasta la terraza:



1 moneda 2,5 mm4 monedas 10 mm

40 monedas 100 mm400 monedas 1.000 mm = 1 metro

Es decir que hacen falta 400 monedas para llegar a tener1 metro de altura, de modo que, para llegar a 300 metros, mul-tiplicamos por 400.

RESULTADO: 300 . 400 = 120.000 monedas

MORALEJA: Con una carretilla, alcanza y sobra.

Para concluir, veamos un par de reflexiones estimuladas porcomentarios del propio Garbulsky y por Eduardo Cattani, otroexcelente matemtico y amigo, que trabaja hace muchsimo tiem-po y con singular xito en Amherst, Massachusetts.

Eduardo sugiere que la altura de la moneda no es un datonecesario para hacer la estimacin cuantitativa. Parece raro,pero sgame en este razonamiento: si se sabe que en la base dela carretilla entran 1.600 monedas y vamos a apilar monedashasta que lleguen a un metro de altura, al finalizar el proceso ten-dremos 1.600 columnas de un metro.

Luego, cuando saquemos las monedas de la carretilla y pon-gamos cada pila de un metro encima de la otra, formaremos unacolumna de 1.600 metros! Y para esto, no hizo falta saber culera el espesor de cada moneda.

Ahora que el problema termin, le propongo pensar quaprende uno de l. La intuicin consiste en tratar de extrapolarlas experiencias acumuladas en la vida y usarlas en las nuevassituaciones que se presenten. Esto, obviamente, no est mal. Sloque cuando uno tiene que operar en diferentes escenarios, en



donde los volmenes son enormes, o las cantidades son msgrandes, empieza a deslizarse por caminos desconocidos. Pero,como en todo, uno se entrena y aprende.

Ah Creo que Gerardo sugiri que le dieran el puesto a lanica persona que dijo que haca falta un solo viaje.4

La historia de Google

Quiere entrar a trabajar en Google? Necesita estar prepa-rado, por ejemplo, para resolver problemas como los que siguen.

La historia, al menos para m, empez en agosto del 2004.Estaba en Boston y al pasar por una estacin de subte vi un car-tel de publicidad muy grande, de unos quince metros de largo,colgado del techo de la estacin correspondiente a la Universi-dad de Harvard. El cartel deca:

(primer primo de 10 dgitos consecutivos del desarrollo de e).com

Nada ms. Eso era todo lo que deca el enorme cartel. Obvia-mente, me llam muchsimo la atencin, y lo primero que pens



4 Gerardo Garbulsky tambin reflexiona acerca del hecho de que la alturade la moneda no es un dato necesario para realizar la estimacin cuantitati-va. Por ejemplo: a) lo nico necesario es saber el volumen de la torre de mone-das, que obviamente no depende de la altura de cada moneda, sino de su di-metro y la altura del edificio; b) si las monedas tuvieran cualquier otra altura,por ejemplo, 1 metro, 1 dm, 1 cm, la respuesta sera la misma. De hecho, cuan-do uno hace la cuenta, la altura de la moneda se cancela en el mismo clculo.Este aspecto del problema tambin es muy interesante, ya que ms de la mitadde los entrevistados trat de calcular la altura (espesor) de la moneda paradeterminar la estimacin cuantitativa. Dicho sea de paso, el espesor de la mone-da es muy importante si uno quiere saber cunto dinero hay en la torre demonedas.

era si se tratara efectivamente de un cartel de publicidad o sialguien estara haciendo una broma o algo por el estilo. Perono, el cartel tena todas las caractersticas de ser una propagan-da convencional.

Sin que nadie se sienta intimidado, podemos afirmar quecuando uno dice que algo crece exponencialmente, aunque no losepa, involucra al nmero e. Cuando uno habla de logaritmos,habla del nmero e. Cuando habla de inters compuesto, habladel nmero e. Cuando se refiere a la escala de Richter para medirterremotos, est involucrado el nmero e.

Del mismo modo que nos acostumbramos a or o a leer queel nmero pi se escribe:

pi = 3,14159

el nmero e tambin tiene infinitas cifras, y las primeras son:

e = 2,718281828

El nmero e es una suerte de pariente cercano de pi, en elsentido de que, como pi, es irracional y trascendente.

La historia sigue as: despus de ver el cartel (y descubrirloen otros lugares ms), le comuniqu mi hallazgo a mi amigo Car-los DAndrea, matemtico egresado de la Universidad de BuenosAires (UBA), ahora instalado en Barcelona luego de su exitosopaso por Berkeley.

Carlos le traslad la pregunta a Pablo Mislej, otro matem-tico argentino que en ese momento trabajaba en un banco enBuenos Aires (y acababa de tener su primer hijo). Unos das des-pus, Pablo me escribi un e-mail contndome lo que habaencontrado. Ni bien vio el problema, comprendi que necesita-ba encontrar la mayor cantidad de decimales que hubiera publi-



cados del nmero e. Y encontr el primer milln de dgitos dee en esta pgina:

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil

Esos datos se conocen hace ya muchos aos, ms precisa-mente desde 1994. Lo que tuvo que hacer Pablo fue separar lainformacin en segmentos de diez numeritos cada uno, y luegofijarse cul era el primero en formar un nmero primo. Como sedar cuenta, todo esto es imposible de realizar sin una compu-tadora, y siendo capaces de crear un programa que lo procese.

La primera tira de 10 dgitos que cumpla con lo pedido era:

7427466391

El nmero 7 que aparece en primer lugar en la tira corres-ponde al dgito 99 de la parte decimal del nmero e.

Con ese dato, a continuacin Pablo tuvo que ir a la pgi-na web http://www.7427466391.com y ver qu pasaba. Cuan-do lleg a ese punto, se encontr con otro problema (algo ascomo La bsqueda del tesoro). Claro que para llegar a l debiresolver el primero.

Y lo que Pablo vio fue lo siguiente:

f(1) = 7182818284f(2) = 8182845904f(3) = 8747135266f(4) = 7427466391f(5) = ___________

En este caso, se trataba de completar la secuencia. Es decir,a partir de los primeros cuatro nmeros de la columna de la



derecha, haba que descubrir qu nmero corresponda al quin-to lugar.

Pablo me escribi que, con un poco de suerte, advirti que lasuma de los diez dgitos de los primeros cuatro nmeros da siem-pre 49. No slo eso: como ya tena los datos sobre el nmero ey su desarrollo, dedujo que los primeros cuatro nmeros de esacolumna correspondan a cuatro de las tiras que l ya tena.Es ms: vio que el primer nmero,

7182818284

corresponda a los primeros diez dgitos del desarrollo decimaldel nmero e.

El segundo:

8182845904

son los dgitos que van del quinto hasta el decimocuarto lugar. El tercero:

8747135266

corresponde a los dgitos que van del lugar 23 al 32. Y por lti-mo, el cuarto:

7427466391

es la tira que involucra a los dgitos 99 al 108 del desarrollode e. Se dio cuenta, entonces, de que estaba cerca: necesitababuscar ahora la primera tira de todas las que no haba usado,que sumara 49 Y la encontr!



El candidato a ser el quinto nmero de la secuencia era el

5966290435

que corresponde a los dgitos 127 al 136 del desarrollo decimal. Cuando complet la secuencia, y puls enter en su compu-

tadora, apareci sbitamente en otra pgina web. sta deca:

http://www.google.com/labjobs/index.html

donde invitaban a enviar el currculum vitae, que sera tenidoen cuenta por la firma Google para un futuro contrato, porquequien hubiera ingresado en esa pgina habra superado los obs-tculos que ellos crean suficientes para poder pertenecer a laempresa.5

Los tests de inteligencia

Quiero retomar aqu el tema de la inteligencia. No slo por-que es un asunto apasionante, debatible y del que se sabe muy poco,sino porque sera interesante discutir sobre los mtodos que se uti-lizan comnmente para medirla. De hecho, es curioso que algu-nas personas de cuya buena fe no tengo por qu dudar (aunquede acuerdo de algunos desconfo) ofrezcan tests para mediralgo cuya definicin no se conoce. Qu se evala entonces?



5 Como dato ilustrativo, otro amigo mo y profesor de la Facultad de Cien-cias Exactas (UBA), Ricardo Durn, tambin resolvi el problema. Por ahora, Pablosigue trabajando en el banco, y Ricardo es uno de los mejores profesores que tieneel departamento de matemtica de la Facultad y uno de los mejores tipos queconozco.

Por ejemplo: le dan una tabla de nmeros en la que falta unoy le piden que diga qu nmero falta y que explique cmo llega ese resultado.

54 (117) 3672 (154) 2839 (513) 4218 (?) 71

El test, supuestamente, consiste no slo en que pueda deter-minar qu nmero debera ir en lugar de los signos de interro-gacin, sino tambin en medir su capacidad de anlisis paradeducir una ley de formacin. Es decir: alguien pens en unpatrn que subyace tras la gestacin de esos nmeros, y preten-de que usted lo descubra.

Si yo fuera usted, parara un rato y pensara en alguna solu-cin. Aqu voy a proponerle una alternativa, pero, en todo caso,uno puede entretenerse buscndola sola/o.

UNA POTENCIAL SOLUCIN

Uno podra decir que el nmero que falta es el 215. Mire losnmeros que integran la primera fila en la primera y terceracolumna: 54 y 36 . La suma de los dos exteriores (5 + 6) da 11,y la suma de los dos interiores (4 + 3) da 7.

De esa forma, se obtuvo el nmero 117: juntando la sumade los dos exteriores con la de los dos interiores.

Pasemos ahora a la siguiente fila y hagamos el mismo ejer-cicio. Los dos nmeros de la primera y la tercera columna son 72y 28. Sumando los dos exteriores (7 + 8) da 15 y sumando los dos



interiores (2 + 2) da 4. Entonces, el nmero que va en el cen-tro es 154.

Si uno sigue en la tercera fila, tiene 39 y 42. La suma de losdos exteriores (3 + 2) da 5 y la de los dos interiores (9 + 4) da 13.Por lo tanto, el nmero que va en el centro es el 513.

Por ltimo, con este patrn, dados los nmeros 18 y 71, losdos exteriores suman (1+ 1) 2, y los dos centrales (8 + 7), 15.Corolario: si quien dise pens igual que usted (o que yo) elnmero que falta es el 215.

Me apresuro a decir que ninguno de estos mtodos es fia-ble, ni mucho menos exacto. De hecho, habra y en general hayinfinitas maneras de encontrar un nmero que ocupe el lugar delsigno de interrogacin. Se trata, en todo caso, de ser capaz debuscar el que pensaron los que disearon el test.

OTRO EJEMPLO (MUY ILUSTRATIVO)

Alicia Dickenstein, la brillante matemtica argentina, meinvit a pensar un poco ms sobre las personas que producenestos tests. Creo que estos IQ [Intelligence Quotient] tests sonmuy peligrosos me dijo. No son ms que algo estndar quepuede aprenderse y slo miden el aprendizaje cuadrado en unadireccin. Es decir: no se sabe bien qu miden y algunas perso-nas, inescrupulosas y malintencionadas, se permiten sacar con-clusiones sobre la supuesta inteligencia o no de un sujeto. Dehecho, en los Estados Unidos hubo una gran controversia sobreeste tipo de tests, ya que se usaban para ubicar a los afroame-ricanos en clases ms retrasadas con una obvia intencin segre-gacionista. Lo nico que se puede comprobar es que hay genteque no est entrenada para este tipo de tests. Y nada ms.



Sigo yo: el peligro latente (o no tanto) es que cuando a unchico o a un joven se lo somete a este tipo de problemas, con-testa como puede, en general, con bastante miedo a equivocarse.La sensacin que prima en el que rinde el test (y en sus padres),es que lo estn juzgando para siempre. Es que, de hecho, comosupuestamente mide la inteligencia, y salvo que uno la puedamejorar con el paso del tiempo (lo que natura non da, Sala-manca non presta), la idea de que es algo definitivo est siem-pre presente. Una sensacin de alivio recorre a todos, al que rin-di el test y a la familia, cuando el implicado contesta lo quepensaron los que lo prepararon. En todo caso, slo demuestraque es tan inteligente como para hacer lo que ellos esperaban.

Si, por el contrario, no encuentra la respuesta o se equivo-ca, se expone a enfrentar la cara circunspecta (y exagero, obvia-mente) de quien llega con una mala noticia: Lamento comu-nicarle que usted ser un estpido toda su vida. Dedquese aotra cosa.

Aunque ms no sea por eso, cualquier test que presuma demedir algo tan indefinible como la inteligencia, debera ser hechoen forma hipercuidadosa.

Lo que sigue es un ejemplo que me mand Alicia, que invi-ta a la reflexin. De hecho, le pido que lea el test (es una ver-dadera pavada) y piense qu respuesta dara. Ver que, aun enlos casos ms obvios, no hay una respuesta nica. Aqu va:

Si uno encuentra la siguiente serie de nmeros (agrupados dela forma que se indica):

1 2 34 5 67 8 ?



Qu nmero pondra en reemplazo de los signos de inte-rrogacin?

(Detngase un momento para pensar qu hara usted.)

No me diga que no pens o consider el nmero 9, porqueno le creo. Claro, se sera el pensamiento que Alicia Dickens-tein denomina rutinario, o bien: el que responde lo que el quepregunta quiere or. Y esta ltima afirmacin es muy importan-te. Porque, qu pasara si le dijera que la serie se completa as?:

1 2 34 5 67 8 27

Seguramente pensara que ley mal o que hay un error deimprenta. No, el ltimo nmero es el 27. Le muestro el patrnque podra haber buscado quien pens el problema.

Tome el primer nmero y elvelo al cuadrado (o sea, multi-plquelo por l mismo). Al resultado rstele cuatro veces elsegundo, y a lo que obtenga, smele 10. En la primera fila, enton-ces, al elevar 1 al cuadrado, obtendr otra vez 1. Ahora le restacuatro veces el segundo, es decir, cuatro veces el nmero 2, y lesuma 10. Resultado: 3.

1 8 + 10 = 3 (que es el tercer nmero de la primera fila)

En la segunda fila, eleve el primer nmero al cuadrado (42),o sea 4 . 4, con lo que obtiene 16. Le resta cuatro veces el segun-do nmero (4 . 5 = 20) y le suma 10. Resultado: 6.

16 20 + 10 = 6



En la tercera fila tendra 7 al cuadrado (49), menos cuatroveces el segundo (4 . 8 = 32), ms 10. Resultado: 27!

49 32 + 10 = 27

MORALEJA 1: Trate de entrenarse haciendo este tipo de testsy ver cmo al final le salen todos, o casi todos. se ser elmomento en que quiz crea que es ms inteligente. Lo curio-so es que tal vez haya aprendido a someterse mejor al pensa-miento oficial.

MORALEJA 2: Pretender usar la matemtica como un testea-dor de la inteligencia puede producir un efecto no slo negati-vo y frustrante, sino falso. Aunque ms no sea porque no se sabequ se mide.

Sudoku

Sudoku dijo? Qu es Sudoku? Posiblemente hoy hayamucha gente que puede contestar qu es el Sudoku, pero lo quees seguro es que hace dos aos nadie tena idea de que habrade transformarse en el furor en trminos de pasatiempo y jue-gos de lgica. De hecho, muchsimos diarios y revistas, no sloen la Argentina sino en todo el mundo, llenan sus pginas coneste juego originado en Japn, y que tiene atrapada a buenaparte de la poblacin que busca en crucigramas, rompecabezasy pasatiempos de diversa ndole una manera de darle chicleal cerebro para mascar.

Para aquellos que nunca escucharon hablar del Sudoku, lasreglas son bien simples y fcilmente comprensibles.



El Sudoku es como un crucigrama donde aparece un cua-drado grande de 9 filas por 9 columnas es decir, 81 casilleros,que est dividido a su vez en 9 subcuadrados de 3 . 3:

Hay que llenar cada subcuadrado con los nueve dgitos quevan del 1 hasta el 9, es decir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Eso s: nopuede aparecer ningn dgito repetido ni en la misma fila ni lamisma columna del cuadrado grande. sas son las reglas, fci-les y sencillas.

Como dato adicional, ya vienen de fbrica algunos nme-ros ubicados en sus posiciones. Todo lo que hay que hacer escompletar las casillas restantes.

Como suele suceder ahora, Internet est repleto de varia-ciones del juego. Su aparicin rompi con los moldes de los vie-jos crucigramas o juegos de palabras tradicionales, pero lo inte-resante es que, si bien hay nmeros involucrados (los dgitos del1 al 9 repartidos mltiples veces en las casillas), pocos debencreer que estn usando y haciendo matemtica cuando resuelvenuno de los problemas. Ms an: como hay muchsimos maes-tros y profesores de matemtica del pas que andan a la bsque-da de nuevos estmulos para sus estudiantes, creo que el Sudo-



ku permite formular ciertas preguntas no todas de fcil res-puesta que funcionen como disparadores de un trabajo inte-ractivo entre docentes y alumnos.

Las que siguen son slo algunas de esas preguntas. Eso s:uno puede jugar al Sudoku sin tener que contestar ninguna, yvivir feliz. Pero tambin es cierto que uno puede hacerse las pre-guntas y ser feliz aun sin encontrar las respuestas, y ni qu hablarsi las encuentra.

EL NOMBRE SUDOKU

De acuerdo con datos extrados de Wikipedia (la enciclo-pedia gratuita que figura en Internet), que fueron corroboradospor otras fuentes, Sudoku proviene del japons Suuji wa dokus-hin ni kagiru, que significa: los dgitos tienen que quedar sol-teros, o libres, y es una marca registrada de la editorial japo-nesa Nikoli Co. Ltd.

DESDE CUNDO EXISTE EL SUDOKU?

Hay distintas versiones, pero la ms aceptada es que apare-ci por primera vez en una revista en Japn, en 1984. El Sudo-ku debe toda su popularidad a Wayne Gould, un juez que se jubi-l en Hong Kong y que luego de conocer el juego en Tokio,escribi un programa de computadora que automticamentegeneraba distintos Sudokus con qu entretenerse. Luego se diocuenta de que, quizs, haba descubierto una mina de oro ycomenz a ofrecerlo a distintos diarios europeos. Lo curioso esque recin en 2004 (hace slo dos aos) uno de los peridicosms importantes de Inglaterra, el Times, que se publica en Lon-



dres, acept la propuesta de Gould, y su competidor, el no menosfamoso Daily Telegraph, lo sigui inmediatamente en enero del2005. A partir de ah, explot en el resto del mundo, incluso enla Argentina.

Hoy, el juego causa furor en mltiples diarios, revistas y librosespecialmente publicados con variantes sorprendentes, versionesms fciles, otras ms complicadas, con diferentes grados de difi-cultad. Es comn ver gente en los colectivos, trenes y estacio-nes de subte, ensimismada y pensativa, como ausente, jugan-do con algn ejemplar del Sudoku.

LA MATEMTICA

Como deca, uno puede sentarse y jugar al Sudoku, entre-tenerse con l y nada ms. Y de hecho eso es lo que hace la mayo-ra. Pero, al mismo tiempo, lo invito a pensar algunas posiblespreguntas alrededor del Sudoku:

a) Cuntos juegos de Sudoku posibles hay? b) Se terminarn en algn momento?c) Alcanzar para entretener a esta generacin? O, en todo

caso, cundo empezarn a repetirse?d) La solucin a la que uno llega (cuando llega a alguna), es

nica?e) Cuntos numeritos tienen que venir de fbrica para

que la respuesta sea nica? Es decir, cuntas casillas tie-nen que estar completas de entrada, para que uno puedaempezar a jugar con confianza de que el problema tendruna nica solucin?

f) Hay un nmero mnimo de datos que deben darnos? Yun nmero mximo?



g) Hay algn mtodo para resolverlos?h) Se pueden hacer Sudokus de otros tamaos? Cuntos

habr de 4 . 4? Y de 16 . 16? i) Se podr inventar Sudokus de 7 . 7? Y de 13 . 13? En

todo caso, cuadrados de cuntas filas y columnas se pue-den considerar?

En fin, hay muchsimas preguntas que uno puede formularse,y estoy seguro de que mientras usted lea stas, pens en otras quequiz le interesen ms. En realidad, eso es lo nico que importa.

Con todo, quisiera aportar algunas respuestas, a las que sepuede acceder en cualquier libro que se especialice en este pasa-tiempo japons, o bien en Internet, o incluso en la famosa revis-ta Scientific American, que le dedic una nota de varias pgi-nas en la edicin de junio de 2006.

ALGUNOS DATOS SOBRE EL SUDOKU

Antes que nada, voy a proponerle algunas reflexiones. Suponga que tiene resuelto uno de los Sudoku y decide cam-

biar dos nmeros de posicin. Por ejemplo: cada vez que apareceun nmero 1, lo cambia por un 8. Y al revs lo mismo, es decir,cada vez que aparece un 8 lo cambia por un 1. Obviamente, aun-que parezcan dos juegos distintos, sern el mismo. Es decir quecomo juegos son diferentes, pero en esencia sabremos que unoproviene de otro intercambiando un par de nmeros, por lo quecualquier dificultad que tuviera el primero, lo tendr el segun-do. Y viceversa.

Ahora bien: si vamos a calcular todos los Sudokus que hay,a estos dos ltimos los contamos dos veces o reconocemos quees el mismo juego con dos apariencias diferentes?



Por otro lado, suponiendo que uno tiene resuelto un Sudoku,e intercambia (slo por poner un ejemplo) las filas uno y tres,cambia el resultado final? Agrega o quita alguna dificultad? Ysi uno intercambiara la cuarta y la quinta columnas? Vara en algoel planteo inicial? Se trata, acaso, de dos juegos diferentes? Unopuede decir que s, que son dos juegos diferentes porque las colum-nas estn cambiadas o los dgitos estn intercambiados. Acepte-mos esta respuesta. En ese caso, el nmero de Sudokus que se pue-den encontrar (con ayuda de algunas herramientas matemticasy de lgica y, por supuesto, computadoras rpidas) es:

6.670.903.752.021.072.936.960

Ms de 6.670 trillones de juegos posibles.En cambio, si uno restringe los casos como el planteado, y

no considera distintos a los que surgen por ejemplo de inter-cambiar dos dgitos, o dos columnas o dos filas, entonces elnmero de juegos posibles se reduce muchsimo:

5.472.730.538

Un poco menos de 5.500 millones. Con todo, lo interesantede este nmero es que, como dice Jean-Paul Delahaye en el ar-tculo publicado por Scientific American, es menor que el nme-ro de personas que habitamos la Tierra, calculado en ms de6.300 millones.

Con estos datos creo que est claro que es difcil que unopueda considerar que se van a acabar los juegos en esta gene-racin. De hecho, podemos jugar tranquilos sin que corramosel riesgo de descubrir alguna de las posibles repeticiones.

Otra de las preguntas pendientes se refiere a la unicidad enla respuesta. Qu quiere decir esto? Supongamos que nos dan



un juego de Sudoku, que tiene repartidos ciertos dgitos en algu-nas casillas. Por supuesto, no hay garanta de que esa configu-racin tenga solucin, es decir que podramos encontrarnos conalgunos datos contradictorios. Pero suponiendo que estn bien,y que no hay contradicciones, cmo sabemos que la solucinque encontramos es la nica posible?

En realidad, sa es una muy buena pregunta, porque al habertantos juegos de Sudoku habr que recurrir a una computado-ra para comprobar en general si en nuestro caso puede haberms de una solucin. Podra ser as. De hecho, usted mismopuede inventar un juego que tenga ms de una solucin. Sinembargo, la unicidad de la solucin debera ser un requerimientobsico. Porque se supone que si el juego est bien planteado,tiene que tener una solucin nica. sa es una parte del atrac-tivo del Sudoku; si no, sera como jugar al bingo, y cuandouno cree que gan y grita Bingo!, hay otro que gana juntocon usted.

Ahora bien: cuntos nmeros deben venir impresos antesde empezar el juego? Los cont alguna vez? Siempre es lamisma cantidad? Lo interesante en este aspecto es que el nme-ro de datos con el que ya viene cada Sudoku vara con cadajuego. No hay un nmero predeterminado que sea el correcto.No obstante, como podr intuir, algunos nmeros tienen queaparecer porque, en el caso extremo, si no hubiera ningunohabra muchsimos resultados posibles. Ni bien se coloca undgito, disminuye la cantidad de respuestas, y al agregar cadavez ms, se irn restringiendo las soluciones en forma propor-cional, hasta llegar a un nmero de datos que garantice unasolucin nica.

Otro problema es el de la minimalidad, es decir, cul es elnmero mnimo de datos que deben figurar para que haya unanica solucin? Hasta hoy el problema no tiene respuesta. La



conjetura ms aceptada es que hacen falta 17. Hay varios mate-mticos en el mundo pensando y discutiendo el caso, y uno deellos, el irlands Gary McGuire, de la Universidad Nacional deIrlanda (Maynooth), lidera un proyecto que trata de probar quehay ejemplos de Sudoku que con 16 datos garantizan una solu-cin nica. Hasta ac, segn l mismo reconoci, ha fallado enel intento, por lo que el 17 sigue siendo el nmero aceptado.

Existen muchas preguntas abiertas sin respuesta an hoy,y hay varios casos ms sencillos que se pueden atacar (con untablero de 4 . 4, por ejemplo). Lo que creo interesante es mos-trar cmo un juego inocente y que slo parece un pasatiempo,tiene mucha matemtica detrs.

ALGUNAS REFERENCIAS:http://en.wikipedia.org/wiki/Sudokuhttp://sudoku.com.au/http://www.dailysudoku.com/sudoku/index.shtmlhttp://www.daily-sudoku.com/http://www.sudoku.com/howtosolve.htm

Criba de Eratstenes

Eratstenes (257-195 a.C.) naci en Cyrene (ahora Libia), enel norte de frica. Fue el primero en calcular, con precisin sor-prendente para la poca, el dimetro de la Tierra (nunca voy aentender por qu se le atribuye a Coln el haber descubiertoque la Tierra era redonda o esfrica, cuando eso ya se sabadesde ms de quince siglos atrs).

Por varias dcadas, Eratstenes fue director de la famosaBiblioteca de Alejandra. Fue una de las personas ms recono-



cidas de su tiempo, y lamentablemente slo unos pocos frag-mentos de lo que escribi sobrevivieron hasta nuestros das. Era-tstenes muri en una huelga voluntaria de hambre, inducido porla ceguera, que lo desesperaba. Aqu deseo presentar uno de susfamosos desarrollos: la llamada Criba de Eratstenes.

Sabemos que un nmero primo (positivo) es aquel nmeroentero que slo es divisible por s mismo y por 1 (explcitamen-te se excluye al nmero 1 de la definicin). Lo que hizo Erats-tenes fue disear un algoritmo que le permitiera encontrar todoslos nmeros primos.Veamos qu es lo que hizo.

Escribamos los primeros 150 nmeros:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150



Eratstenes empez a recorrer la lista. El 1 no lo conside-r, porque saba que no era primo, de modo que el primer nme-ro con el que se encontr fue el 2. Lo que hizo entonces fue dejarel 2 y tachar todos sus mltiplos. Y le qued una lista como sta:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Una vez que tach todos los mltiplos de 2, sigui con lalista. Fue hasta el primer nmero sin tachar y se encontr conel 3. Lo dej as, sin tachar, y elimin todos sus mltiplos. Latabla qued de esta manera:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Despus, sigui. Como el 4 ya estaba tachado, avanz hastael primer nmero sin tachar y se encontr con el 5. Dej el 5 ycontinu con el proceso anterior, tachando todos sus mltiplos.De esa forma, quedaron eliminados todos los mltiplos de 5. Yla tabla qued as:




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Luego sigui con el 7, y tach todos sus mltiplos. Despusavanz hasta el primer nmero sin tachar, y encontr el 11.Lo dej, y tach todos sus mltiplos. Sigui hasta el siguientenmero no tachado, y se encontr con el 13. Luego, tach todossus mltiplos, y continu con el mismo ejercicio hasta com-pletar la tabla.

Finalmente, los nmeros que no estaban tachados no eranmltiplos de ningn nmero anterior. En realidad, lo que esta-ba haciendo era construir una suerte de filtro por el cual, alhacer pasar todos los nmeros, slo quedaban los primos.

Y la tabla quedaba (al menos, en los primeros 150 lugares) as:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Con este mtodo sencillo pero muy efectivo, Eratstenesconstruy su famosa criba. Los nmeros que lograban sortearel filtro eran los nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97,101, 103, 107, 109, 113, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149

Sabemos que los primos son infinitos, pero todava haymuchas preguntas respecto de ellos. Con todo, la criba de Era-tstenes fue el primer mtodo o algoritmo que se conoci paraidentificarlos.6 An hoy es la forma ms efectiva para detectar los


6 Obviamente no los encuentra a todos porque los primos son infinitos, pero

nmeros primos ms pequeos (digamos, los menores de 10millones).

Aunque sea nada ms que por este aporte a la Teora denmeros y por lo que hizo con un grado de eficiencia notablepara la poca al determinar que la Tierra era redonda, se mere-ce un lugar en la Historia.

Nmeros perfectos

Los nmeros enteros son una usina generadora de problemasinteresantes. Y muchos de ellos siguen abiertos, en el sentido deque an no se conoce su solucin. Aqu voy a exponer uno de esosproblemas.

Pitgoras y sus discpulos crean que los nmeros contenanla esencia de todo, y les ponan gnero tambin. Por ejemplo,decan que los nmeros pares eran femeninos. En esta oportu-nidad, me voy a ocupar de los que llamaron nmeros perfectos.

Antes que nada, los nmeros que voy a usar en este tramoson los que se denominan nmeros naturales, los que unoconoce porque los usamos todos los das: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ,etctera.

Tomemos ahora un nmero natural cualquiera, digamos el12. Cuntos nmeros lo dividen exactamente? Es decir, encuntas partes se puede dividir el 12 sin que sobre nada?

La respuesta es (espero que lo haya resuelto solo antes):

1, 2, 3, 4, 6 y 12



lo que asegura este proceso es que uno puede determinar todos los primos meno-res que un nmero dado, o bien decidir si un nmero cualquiera es primo o no.

Si divido 12 por el nmero 1, obtengo 12 y no sobra nada.Si divido 12 por 2, obtengo 6 y no sobra nada. Si divido 12 por3, obtengo 4 y no sobra nada. Si divido 12 por 4, obtengo 3 yno sobra nada

Pero si dividiera el nmero 12 por 5, el resultado no sera unnmero natural, sino 2,4. En este sentido, podemos decir que elnmero 12 no es divisible exactamente por 5, pero s por 1, 2, 3,4, 6 y 12. Justamente, estos nmeros son los divisores del 12.7

Ya sabemos entonces cules son los divisores de un nme-ro natural. Como se dar cuenta, el nmero 1 es siempre divi-sor de cualquier nmero. Y tambin es cierto que el propio nme-ro es siempre divisor de s mismo.

Ahora bien. Volvamos al nmero 6. Qu divisores tena?Como vimos:

1, 2, 3 y 6

Si excluimos al propio nmero, es decir, si excluimos al 6,entonces los divisores son: 1, 2 y 3. A stos se los llama diviso-res propios.

Si los sumamos obtenemos:

1 + 2 + 3 = 6

Es decir que si uno suma los divisores propios, en este casoobtiene el nmero de partida.

Tomemos otro ejemplo; el nmero 10. Los divisores propios del 10 (es decir, los que no lo incluyen)

son:



7 Una definicin ms precisa es la siguiente: El nmero natural d es un divi-sor del nmero natural n, si existe un nmero natural q tal que: n = d . q.

1, 2 y 5

Si uno los suma:

1 + 2 + 5 = 8

en este caso, la suma de los divisores no permite obtener el nme-ro original.

Tomemos otro nmero. Los divisores propios del 12:

1, 2, 3, 4 y 6

Si uno los suma, tiene:

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Otra vez se obtiene un nmero distinto del de partida. Lasuma de los divisores no reproduce el nmero original.

Cabe entonces preguntarse si es el 6 el nico ejemplo, o sihay otros. A los nmeros que, como el 6, cumplen con la pro-piedad de que la suma de sus divisores propios reproduce elnmero origin

matematicas estas ahi

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