matematicas financeiras. rentas variables en progresiÓn geomÉtrica. teorÍa
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Teoría acerca de las Rentas Variables en Progresión Geométrica. Matemáticas Financieras. Si quieres ver un vídeo explicativo de este tema, puedes hacerlo en www.jagonzalez.blogsgo.comTRANSCRIPT
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión
Geométrica (teoría)
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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
www.jagonzalez.blogsgo.com RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo,
nn
nn iaiaiaiaiaA
)1()1()1()1()1( )1(1
33
22
11
nnnn iqaiqaiqaiqaiaA )1()1()1()1()1( 1)1(23221
aa 1qaa 22
3 qaa 1 k
k qaa1 n
n qaa
nnnn vqavqavqavqavaA 112322
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v1)1( i 1)1( iv
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Sacando factor común…
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1122221 nnnn vqvqvqvqvaA
Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:Primer Término (PT)
Último Término (UT)Razón (R)
Ya que la suma de la progresión geométrica es:
1R
PTRUTPG
1PT11 nn vqUT
vqR
1
111
vq
vqvqPG
nn
1
1
vq
vqPG
nn
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Por lo tanto,
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
vq
vqvaA
nn
Siempre que 1vq
)1(1)1(
1)1(1 1 iqi
qiqvq
)1( iq
Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1vq
1122221 nnnn vqvqvqvqvaA
nvavaA nn 122 11111
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Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresión geométrica
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
vq
vqva
nn
Siempre que 1vq )1( iq
nva Siempre que 1vq )1( iq A
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables
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Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
1
)1()1(
1
1)1(
vq
iqvai
vq
vqvaiAS
nnn
nnn
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Siempre que )1( iq
nn invaiAS )1()1( Siempre que )1( iq
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2naq 1naqaqa
dnn
ivq
vqva
)1(1
1 Siempre que 1vq )1( iq
dinva )1(Siempre que 1vq )1( iq
A
niAS )1(
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.......
0 1 2 nn-1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2naq 1naqaqa
)1(1
1i
vq
vqva
nn
Siempre que 1vq )1( iq
)1( inva Siempre que 1vq )1( iq A
niAS )1(
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2naq 1naqaqa
)1()1(1
1
dnn
ivq
vqva Siempre que 1vq )1( iq
)1()1( dinvaSiempre que 1vq )1( iq
A
niAS )1(
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
0 1 2 3
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aqa 2aq
1
1
vq
vqvaLim
nn
nSiempre que 1vq )1( iq
nvaLimn Siempre que 1vq )1( iq
ALimA n
nvaLimn
1
1)1(
1
1
1
1
vq
i
qLim
vavq
vqLimva
vq
vqvaLim
n
n
nnnn
nn
n
n
n
ni
qLim
)1(
Si
n
n
ni
qLimiq
)1()1(
Si 0)1(
)1(
n
n
ni
qLimiq
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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
Siempre que )1( iq
Siempre que )1( iq ALimA n
Por tanto,
qi
a
iq
a
i
iqi
a
i
qi
a
vq
av
vqva
vq
i
qLim
vaLimn
n
n
n
1)1()1(
)1()1(
1)1(
)1(
11
10
1
1)1(
qi
a
1
Siempre que )1( iq
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
)1(1
iqi
aA
Si la renta perpetua es además diferida…..di
qi
aA
)1(1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
qi
aA
1
Si )1( iq