matemáticas financieras. vencimiento común y medio

VENCIMIENTO COMUN Y VENCIMIENTO MEDIO

www.jagonzalez.blogsgo.com

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio

Tratamos de sustituir “n” capitales financieros (C1, t1), (C2, t2), ...... (Cn, tn) por un único capital financiero (C,t) de tal manera que este último sea equivalente a todos los “n” capitales financieros iniciales.

Al nuevo Capital obtenido, C, se le denomina “Capital Único Equivalente”, y al momento de vencimiento “p” se le llama “Vencimiento Común”.

t1 t2 t3 tn

C1 C2 C3 Cn

C

Situación Inicial A

Situación Alternativa B t




Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo capital, cuando ambas opciones sean equivalentesEs decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes

La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir,

A (0) = B (0)

t1 t2 t3 tn-1 tn

C1 C2 C3 Cn-1 Cn

0

. . . .


Situación Alternativa B

t

C




Para llevar ambas situaciones al momento 0, debemos utilizar una ley de descuento simple. Hemos visto dos leyes distintas, la Ley Financiera de Descuento Comercial y la Ley Financiera de Descuento Racional, ¿cómo sabremos cuál utilizar?Si el enunciado nos facilita una tasa de descuento, usaremos la LFDC: C0 =Cn (1- n d)Entonces la equivalencia sería la siguiente:

Si el enunciado nos facilita un tipo de interés, usaremos la LFDR:Entonces la equivalencia sería la siguiente:

C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]

Pudiendo ser la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o cuantía de cualquiera de los capitales individuales.

in

CC n

10

it

C

it

C

it

C

it

C

n

n

1111 2

2

1

1

Pudiendo ser también la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o cuantía de cualquiera de los capitales individuales.




Si el Capital Único Equivalente (C) fuera la suma del resto de los capitales,

C = C1 + C2 + ... + Cn

Entonces, al vencimiento “t” lo denominamos Vencimiento Medio, y se expresaríacomo sigue:

nn tCtCtCtC 2211

Como podemos comprobar con el siguiente desarrollo: C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ] C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d

Reordenando, C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d

C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d

C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t



Despejando el valor de t,

C

tCtCtCt nn

2211

Que supone que el vencimiento del capital único se corresponde con la media aritmética ponderada de los vencimientos de los capitales individuales. De ahí el nombre de VENCIMIENTO MEDIO

Una característica importante es que en el caso de vencimiento medio, éste no se ve modificado por el tipo de interés o tipo de descuento de la operación, por lo que se trata de un dato irrelevante a efectos de calcular el vencimiento medio




PROBLEMA 1:

Considere tres capitales de cuantías C1, C2 y C3 con vencimientos respectivos de t1, t2 y t3 trimestres. Se desean sustituir estos capitales por una única entrega de cuantía C y vencimiento t meses.

a) Determine el vencimiento t, considerando que se opera a un tipo de descuento mensual d12

b) Determine la cuantía del segundo capital, C2, considerando que se opera a un tipo de interés anual i

c) Si suponemos que C1 + C2 + C3 = C, obtenga el vencimiento t3 del tercer capital



SOLUCION AL PROBLEMA 1:

a)

t1 t2 t3 trimestres

C1 C2 C3

0

. . . .



t meses

C

12

123312221211 3131311

dC

dtCdtCdtC

t



A (0) = B (0)

12123312221211 1313131 dtCdtCdtCdtC




b)

t1 t2 t3 trimestres

C1 C2 C3

0

. . . .



t meses

C



A (0) = B (0)

i

t

itC

itC

itC

C4

1

41

41

121

2

3

3

1

12

itC

itC

itC

itC

12

14

14

14

1 3

3

2

2

1

1




c)

t1 t2 t3 trimestres

C1 C2 C3

0

. . . .



t meses

C

Si C1 + C2 + C3 = C

Estamos ante Vencimiento Medio

3

2211

33

C

tCtCt

Ct

C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t



PROBLEMA 2:

Debo pagar un capital de cuantía 23.000 euros dentro de 15 meses. Deseo sustituir ese pago por tres capitales. Dos de 8.000 euros con vencimientos dentro de 4 meses y 10 meses respectivamente. Calcule.

a) La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de descuento trimestral simple del 2%

b) La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de interés anual simple del 6%

c) Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.500 euros. Para un tipo de descuento bimensual del 1%

d) Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.000 euros. ¿Qué tipo de interés se ha utilizado?




a)

4 10 18 meses

8.000 8.000 C3

0

. .

. .





A (0) = B (0)

15 meses

23,000

23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)]

20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88]

C3 = 6.189,39 Euros




b)

4 10 18 meses

8.000 8.000 C3

0

. .

. .





A (0) = B (0)

15 meses

23,000

23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)]

21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09

C3 = 6.467,15 Euros




c)

4 10 t3 meses

8.000 8.000 7.500

0

. .

. .





A (0) = B (0)

15 meses

23,000

21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01)

t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días)

23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01)




d)

4 10 t3 meses

8.000 8.000 7.000

0

. .

. .



15 meses

23,000

t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días)

23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3

Si C1 + C2 + C3 = C

Es decir, 8.000 + 8.000 + 7.000 = 23.000

Estamos ante Vencimiento Medio

C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t


matemáticas financieras. vencimiento común y medio

Education