Rubro 1.3.1.10

Fecha de aplicación:

Semestre 2007-B

MATEMATICAS IMATEMATICAS I

UBICACIÓN ESQUEMATICA DE LA ASIGNATURA

CONTENIDOCONTENIDO

• Unidad I. Introducción al Álgebra.• Unidad II. Polinomios de una variable.• Unidad III. Ecuaciones de primer grado.• Unidad IV. Ecuaciones de segundo

grado.

REPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURAREPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURA

OBJETIVO DE LA ASIGNATURAOBJETIVO DE LA ASIGNATURA

EL ESTUDIANTE:

Resolverá problemas o situaciones algebraicas mediante el uso de métodos o modelos matemáticos como operaciones con polinomios, ecuaciones lineales, simultáneas de dos y tres variables y ecuaciones cuadráticas que le permitan su aplicación en la vida cotidiana, en un ambiente de responsabilidad, tolerancia y respeto.

UNIDAD I. UNIDAD I. Introducción al álgebraIntroducción al álgebra

OBJETIVO:

El estudiante construirá el lenguaje algebraico generalizando modelos aritméticos, de razones, proporciones, series y sucesiones, mediante la resolución de problemas o situaciones en un ambiente cooperativo, de respeto y de tolerancia.

1.1. PROBLEMAS 1.1. PROBLEMAS ARITMÉTICOS.ARITMÉTICOS.

1.1.1. NÚMEROS REALES.

NUMEROS REALES ( R)

RACIONALES ( Q ) IRRACIONALES ( I )

ENTEROS ( Z) FRACCIONARIOS

NATURALES ( N )

NEGATIVOS

POSITIVOS

NEGATIVOS

CERO

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES• Las operaciones fundamentales con los

números reales son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación.

Propiedades de la Suma:

NombreNombre Representación Representación Enunciado Enunciado

ConmutativaConmutativa a+b=b+aa+b=b+a El orden de los sumandos no altera El orden de los sumandos no altera la suma.la suma.

AsociativaAsociativa a+b+c = (a+b)a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)+c = a+(b+c)

Pueden sumarse los dos primero y Pueden sumarse los dos primero y al resultado sumarle el tercer al resultado sumarle el tercer número o al primer número sumarle número o al primer número sumarle el resultado de la suma de los dos el resultado de la suma de los dos últimos.últimos.

Elemento Elemento neutroneutro

(Cero)(Cero)

a+0=aa+0=a Todo número sumado con cero es Todo número sumado con cero es igual al mismo número. igual al mismo número.

Inverso Inverso aditivoaditivo

a+(-a)=0a+(-a)=0 Para todo número real a existe un Para todo número real a existe un número (-a), llamado inverso aditivo número (-a), llamado inverso aditivo tal que suma de éstos es igual a tal que suma de éstos es igual a cero.cero.

Regla de los signos para la suma:

• Al sumar dos o más números de igual signo, se suman los valores absolutos de los números y al resultado se la antepone el mismo signo.

• Al sumar dos números de signo diferente, se restan lo valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo del mayor.

• En álgebra, cuando se utilizan la ley de los signos antes mencionados se dice que la operación es suma, lo que implícitamente incluye a a la resta o sustracción.

Propiedades de la Multiplicación:Propiedades de la Multiplicación:

NombreNombre Representación Representación Enunciado Enunciado

ConmutativaConmutativa aa∙∙b=b b=b ∙a∙a El orden de los factores no altera El orden de los factores no altera la suma.la suma.

AsociativaAsociativa a a ∙∙ b b ∙∙ c = (a c = (a∙∙b) b) ∙∙ c = c = a a ∙∙(b (b ∙∙c)c)

Pueden multiplicarse los dos Pueden multiplicarse los dos primero y el resultado primero y el resultado multiplicarlo por el tercer multiplicarlo por el tercer número o multiplicar el primer número o multiplicar el primer número por el producto del los número por el producto del los dos últimos.dos últimos.

Elemento Elemento neutroneutro

(uno)(uno)

a a ∙∙ 1=a 1=a Todo número multiplicado por Todo número multiplicado por uno es igual al mismo número. uno es igual al mismo número.

Inverso Inverso multiplicativmultiplicativ

oo

a a ∙ ∙ (1/a)=1(1/a)=1 El inverso multiplicativo de todo El inverso multiplicativo de todo número es su recíproco, de tal número es su recíproco, de tal manera que el producto de manera que el producto de ambos es igual a la unidad.ambos es igual a la unidad.

Distributiva Distributiva a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac El producto de una suma por un El producto de una suma por un número es igual a suma del número es igual a suma del producto de ese númeropos cada producto de ese númeropos cada sumando.sumando.

Regla de lo signos de la multiplicación:

Al multiplicar dos números de igual signo, Al multiplicar dos números de igual signo, el resultado es positivo.el resultado es positivo.

Al multiplicar dos números de signos Al multiplicar dos números de signos diferentes, el resultado es negativo.diferentes, el resultado es negativo.

De las reglas anteriores se deduce que cuando se multiplican más de dos números, el producto es:

Positivo si existe un número par de factores negativos.

Negativo si existe un número impar de factores negativos.

DIVISIÓN..• Definición:Definición: Es la operación inversa de la multiplicación Es la operación inversa de la multiplicación

y permite dado el producto de dos factores (llamados y permite dado el producto de dos factores (llamados dividendo y divisor respectivamente) hallar el otro dividendo y divisor respectivamente) hallar el otro factor llamado cocientefactor llamado cociente

• Propiedades: o Distributiva:

o La división entre cero no existe.

c

b

b

a

c

ba

• regla de lo signos:

Si se dividen dos números de igual signo, el cociente será positivo; si son de signo contrario, el cociente será negativo.

• Suma:Suma:

1.1. Si los denominadores son iguales, el resultado será Si los denominadores son iguales, el resultado será una fracción cuyo numerador será la suma algebraica una fracción cuyo numerador será la suma algebraica de los numeradores con el mismo denominador.de los numeradores con el mismo denominador.

2.2. Si los denominadores son diferentes, el resultado es Si los denominadores son diferentes, el resultado es una fracción, cuyo denominador será el m.c.m* de los una fracción, cuyo denominador será el m.c.m* de los denominadores y el numerador será la suma denominadores y el numerador será la suma algebraica del producto de cada numerador por el algebraica del producto de cada numerador por el cociente de m.c.m entre el denominador de cada cociente de m.c.m entre el denominador de cada fracción correspondiente.fracción correspondiente.

OPERACIONES CON FRACCIONESOPERACIONES CON FRACCIONES

b

ca

b

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

*m.c.m. mínimo común múltiplo

bd

ac

d

c

b

a*

• Multiplicación:Multiplicación: El producto de dos o más fracciones es otra fracción El producto de dos o más fracciones es otra fracción

cuyo numerador es el producto de los numeradores cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.y el denominador el producto de los denominadores.

• División:División: El cociente o división de dos fracciones es otra El cociente o división de dos fracciones es otra

fracción cuyo numerador es el producto del fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y cuyo denominador denominador de la segunda, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.fracción por el numerador de la segunda.

bc

ad

d

c

b

a

OPERACIONES CON SIGNOS DE OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓNAGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupamiento comúnmente utilizados en operaciones algebraicas son:

( ) [ ] { }

Paréntesis Corchetes Llaves

Cuando aparecen dos o más símbolos de agrupamiento, el orden que se sigue para eliminar cada uno de ellos es:

1. Realizar las operaciones indicadas en los paréntesis.

2. Realizar las operaciones indicadas en los corchetes y

3. Efectuar las operaciones contenidas en las llaves.

1.1.2. RAZONES Y PROPORCIONES.1.1.2. RAZONES Y PROPORCIONES. Razón: Se define como la comparación de dos

magnitudes. Matemáticamente significa comparar las cantidades mediante una división.

NotaciónLa Razón entre dos cantidades a y b se puede representar como:

a:b ; a a b ; b

a

En cada caso se lee “a es a b”

Conclusiones sobre las razones:Conclusiones sobre las razones:

Las magnitudes o cantidades que se Las magnitudes o cantidades que se relacionan deben expresarse usando las relacionan deben expresarse usando las mismas unidades.mismas unidades.

La razón es un número; sin embargo requiere La razón es un número; sin embargo requiere una correcta interpretación.una correcta interpretación.

La razón debe escribirse como una expresión La razón debe escribirse como una expresión irreductible, es decir que ya no pueda irreductible, es decir que ya no pueda simplificarse.simplificarse.

Ejemplos:

Escalas: mapas, planos de construcción, etc.

Estadísticas deportivas.

5

3

10

6

20

12Razón reductible Razón irreductible

PROPORCIONES

La proporción es una igualdad entre dos razonesLa proporción es una igualdad entre dos razones

Notación: Notación:

d

c

b

adcba :: Se lee “ a es a b como

c es a d”

Se llaman Se llaman mediosmedios a los números que ocupan la a los números que ocupan la segunda y tercera posición en la proporción segunda y tercera posición en la proporción (b (b yy c) c)..

Los Los extremos extremos de una proporción son los de una proporción son los números que ocupan la primera y cuarta números que ocupan la primera y cuarta posición posición (a (a yy d) d)..

Propiedad FundamentalPropiedad Fundamental““Dos razones forman una Dos razones forman una proporción si y solo si el producto proporción si y solo si el producto de sus extremos es igual al de sus extremos es igual al producto de sus medios”producto de sus medios”

bcadd

c

b

a

Esta propiedad es de gran utilidad para calcular Esta propiedad es de gran utilidad para calcular un elemento desconocido de una proporción.un elemento desconocido de una proporción.

Para ello basta con aplicar la propiedad y Para ello basta con aplicar la propiedad y despejar el elemento desconocido.despejar el elemento desconocido.

Para fines de calculo al elemento desconocido se Para fines de calculo al elemento desconocido se le asigna una letra del alfabeto.le asigna una letra del alfabeto.

VARIACION PROPORCIONALVARIACION PROPORCIONAL PROPORCIONALIDAD DIRECTAPROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos cantidades son directamente proporcionales Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra también aumenta o al cuando al aumentar una, la otra también aumenta o al disminuir la primera, la segunda también disminuye, es disminuir la primera, la segunda también disminuye, es decir:decir:

x

C

B

A

A

BCx

EJEMPLOS:

•La distancia recorrida y el tiempo que se emplea en hacerlo, cuando la velocidad es constante.

•El lado de un polígono regular y el valor de su perímetro.

•El radio y el área de una circunferencia.

•El costo del consumo de la electricidad y el número de kilowatts hora consumidos.

PROPORCIONALIDAD INVERSAPROPORCIONALIDAD INVERSADos cantidades son inversamente proporcionales Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra disminuye o al cuando al aumentar una la otra disminuye o al disminuir la primera la segunda aumenta, es disminuir la primera la segunda aumenta, es decir:decir:

EJEMPLOS:EJEMPLOS:

o Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla.realizarla.

o Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recorrerla.Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recorrerla.o Para una cantidad de alimento, el número de personas y el tiempo que tarda Para una cantidad de alimento, el número de personas y el tiempo que tarda

en consumirlos.en consumirlos.

xCB

A 1

B

ACx

Proporcionalidad Compuesta:Proporcionalidad Compuesta:

Es la combinación de proporcionalidades Es la combinación de proporcionalidades directas e inversas o ambas.directas e inversas o ambas.

APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES:APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES:o Regla De TresRegla De Treso PorcentajesPorcentajes

I. REGLA DE TRESI. REGLA DE TRES

La regla de tres es una operación combinada La regla de tres es una operación combinada de multiplicación y división entre cuatro de multiplicación y división entre cuatro cantidades (una de ellas desconocida), cantidades (una de ellas desconocida), siempre y cuando dichas cantidades sean siempre y cuando dichas cantidades sean proporcionales.proporcionales.

La regla de tres puede ser:La regla de tres puede ser:o Simple: Cuando en ella intervienen dos magnitudes. Simple: Cuando en ella intervienen dos magnitudes. o Compuesta: cuando en ella intervienen tres o más Compuesta: cuando en ella intervienen tres o más

magnitudes.magnitudes.

Solución de una regla de tres simple:Solución de una regla de tres simple:

1.1. Si las magnitudes son directamente proporcionales, se Si las magnitudes son directamente proporcionales, se escribe el supuesto (datos conocidos) y la pregunta escribe el supuesto (datos conocidos) y la pregunta (dato desconocido), uno debajo del otro de manera (dato desconocido), uno debajo del otro de manera que las unidades de las magnitudes correspondan. El que las unidades de las magnitudes correspondan. El valor de la incógnita se calcula aplicando la Propiedad valor de la incógnita se calcula aplicando la Propiedad Fundamental de las Proporciones: Fundamental de las Proporciones:

S: A — B

P: C — x

A

BCx Por lo

tanto

Solución de una regla de tres simple:Solución de una regla de tres simple:

2.2. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se escribe el supuesto (datos conocidos) y la pregunta escribe el supuesto (datos conocidos) y la pregunta (dato desconocido), uno debajo del otro de manera que (dato desconocido), uno debajo del otro de manera que las unidades de las magnitudes correspondan. El valor las unidades de las magnitudes correspondan. El valor de la incógnita se calcula multiplicando los datos del de la incógnita se calcula multiplicando los datos del supuesto y dividirlo entre el valor conocido de la supuesto y dividirlo entre el valor conocido de la pregunta: pregunta:

S: A — B

P: C — x

Por lo tanto C

ABx

Solución de una regla de tres compuesta:Solución de una regla de tres compuesta:

1.1. Escribir el supuesto y la pregunta. Escribir el supuesto y la pregunta.

2.2. Comparar las magnitudes con la incógnita para Comparar las magnitudes con la incógnita para establecer si la relación es directa o inversamente establecer si la relación es directa o inversamente proporcional.proporcional.

3.3. A las magnitudes directamente proporcionales se A las magnitudes directamente proporcionales se les coloca un signo (+) debajo un signo (-) encima.les coloca un signo (+) debajo un signo (-) encima.

4.4. A las magnitudes inversamente proporcionales se A las magnitudes inversamente proporcionales se les coloca un signo (-) debajo un signo (+) encima.les coloca un signo (-) debajo un signo (+) encima.

5.5. El valor de la incógnita es igual al valor conocido de El valor de la incógnita es igual al valor conocido de su misma especie multiplicado por todas las su misma especie multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo (+), dividido entre el cantidades que llevan el signo (+), dividido entre el producto de todas las cantidades que llevan el producto de todas las cantidades que llevan el signo (-).signo (-).

Ejemplos:Ejemplos:

1. Un automóvil recorre 120 Km. con 15 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer con 20 litros?

S: 120 Km — 15 LP: x km — 20 L

16015

)20)(120(x

2. Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días?

S: 42 días — 23 obrerosP: 7 días — x obreros

1387

)23)(42(x

3. Si 80 empleados tienen sueldos iguales y gana $60,000 en 15 días. ¿Cuánto ganarán 100 empleados en 30 días?

(-) (-)

S: 80 emp. — $60,000 — 15 días

P: 100 emp. — x$ — 30 días

(+) (+)

000,150)15)(80(

)30)(100)(000,60(x

II. PORCENTAJESII. PORCENTAJES

• El porcentaje o tanto por ciento de una El porcentaje o tanto por ciento de una cantidad significa que dicho número cantidad significa que dicho número puede dividirse en cien partes iguales y puede dividirse en cien partes iguales y se representa con el símbolo %. se representa con el símbolo %.

• Todo porcentaje puede representarse en Todo porcentaje puede representarse en forma de fracción con denominador 100 o forma de fracción con denominador 100 o como número decimal.como número decimal.

• El porcentaje relaciona dos cantidades El porcentaje relaciona dos cantidades directamente proporcionales.directamente proporcionales.

El calculo de tanto por ciento de una cantidad es un caso particular de la Regla de tres simple en el cual uno de los valores conocidos es siempre 100.

Los casos que pueden darse en el cálculo de Los casos que pueden darse en el cálculo de porcentajes son:porcentajes son:

1.1. Encontrar el porcentaje de una cantidad.Encontrar el porcentaje de una cantidad.

2.2. Encontrar la cantidad total cuando se conoce un Encontrar la cantidad total cuando se conoce un porcentaje de la misma y la cantidad que le corresponde.porcentaje de la misma y la cantidad que le corresponde.

3.3. Obtener el porcentaje que representa una cantidad de Obtener el porcentaje que representa una cantidad de otra.otra.

4.4. El porcentaje que es mayor una cantidad de otra.El porcentaje que es mayor una cantidad de otra.

5.5. El porcentaje que es menor una cantidad de otraEl porcentaje que es menor una cantidad de otra..

Tasa de interésTasa de interés

Se llama tasa de interés al porcentaje que una Se llama tasa de interés al porcentaje que una cantidad invertida (capital) o préstamo recibido cantidad invertida (capital) o préstamo recibido genera en un tiempo establecido. Este interés puede genera en un tiempo establecido. Este interés puede mensual o anual según lo establezca la institución mensual o anual según lo establezca la institución financiera.financiera.

Ejemplo:Ejemplo:

1.1. El señor garcía recibe $60,000 de aguinaldo y decide El señor garcía recibe $60,000 de aguinaldo y decide invertirlo a 30 días a una tasa de interés anual de 3.28%.invertirlo a 30 días a una tasa de interés anual de 3.28%.¿Cuánto recibe por concepto de intereses? ¿Cuánto recibe por concepto de intereses?

2.2. El señor Donato Hernández solicitó un préstamo de $45,000 El señor Donato Hernández solicitó un préstamo de $45,000 a un mes de plazo. Si la tasa anualizada por préstamo a un mes de plazo. Si la tasa anualizada por préstamo personal es de 25%. ¿Cuánto es la cantidad que deberá personal es de 25%. ¿Cuánto es la cantidad que deberá pagar al finalizar dicho plazo?pagar al finalizar dicho plazo?

1.2.LENGUAJE ALGEBRAICO.1.2.1. ALGORITMOS GEOMÉTRICOS Y ARITMÉTICOS

• Algoritmos Geométricos: Frecuentemente y con ayuda de figuras geométricas, se logra obtener la relación lógica de un conjunto de datos de un problema. Por lo tanto se busca generar una regla o un algoritmo geométrico.1. Calcular el perímetro de una cadena de 50 triángulos

equiláteros unidos por sus lados, donde cada lado mide 1 cm. Representar la regla como fórmula matemática.

2. Calcular el perímetro de una cadena de 8 rectángulos unidos, donde cada rectángulo mide 2cm de largo y 1 cm de ancho. Representar la regla como fórmula matemática.

3. Representar gráficamente los números impares y hallar la suma de los 9 primeros.

1.2.2. SUCESIONES Y SERIES LINEALES.

Una sucesión es un conjunto ordenado de números que se deducen unos de otros mediante una regla definida. Los números de la sucesión reciben el nombre de términos.

Cuando una sucesión tiene un número fijo de términos se dice que es finita; de lo contrario es llamada infinita:

Finita: 5,10,15,20,25 Infinita: 1,3,5,…

Notación:Si a1 representa el primer término de una sucesión, a2 el

segundo, a3,le tercero y así sucesivamente, entonces la sucesión puede denotarse como:

a1,a2, a3, a4,…an

El termino an se llama término general o n-eximo término.

Los términos de una sucesión pueden calcularse si Los términos de una sucesión pueden calcularse si se conoce la Regla especifica (término general), se conoce la Regla especifica (término general), sustituyendo el valor de sustituyendo el valor de nn en la fórmula. en la fórmula.

Ejemplo: hallar los primeros cinco términos de la Ejemplo: hallar los primeros cinco términos de la sucesión cuyo n-ésimo término es asucesión cuyo n-ésimo término es ann=5n-2=5n-2

Cuando se conocen alguno términos de la sucesión, se Cuando se conocen alguno términos de la sucesión, se puede determinar la expresión (fórmula) del término puede determinar la expresión (fórmula) del término general ageneral ann observando su configuración aparente. observando su configuración aparente.

Ejemplo: Determinar una expresión para el término Ejemplo: Determinar una expresión para el término general de la siguiente sucesión:general de la siguiente sucesión:

2, 6,10,14,…a2, 6,10,14,…an

SERIESSERIES

Se llama Serie a la suma de los términos de Se llama Serie a la suma de los términos de una sucesión, es decir:una sucesión, es decir:

Sn=aSn=a11+a+a22+a+a33+…+a+…+ann

NOTACIÓNNOTACIÓN

Para denotar una serie se utiliza la notación sigma: ∑Para denotar una serie se utiliza la notación sigma: ∑

el símbolo: el símbolo:

n

ina

1

Representa la suma de Representa la suma de aa11+a+a22+a+a33+…+a+…+ann

Donde:

an término general (regla o fórmula).

i término inicial de la sucesión

n término final de la sucesión

i y n se conocen también como limites inferior y superior respectivamente de la sucesión.

SUCESIÒN ARITMETICASUCESIÒN ARITMETICA Si la regla establecida para obtener los términos de una Si la regla establecida para obtener los términos de una

sucesión consiste en sumar al anterior un número constante sucesión consiste en sumar al anterior un número constante llamado llamado diferencia o razóndiferencia o razón, entonces la sucesión se llama , entonces la sucesión se llama Sucesión AritméticaSucesión Aritmética..

La diferencia o razón (d) se calcula restando dos términos de la La diferencia o razón (d) se calcula restando dos términos de la sucesión. P. ej.sucesión. P. ej.

aann=7,14,21,28,…=7,14,21,28,… d=14-7=7 ; d=21-14=7 ; d=28-21=7d=14-7=7 ; d=21-14=7 ; d=28-21=7

El término general de una El término general de una sucesión aritmética está dada por:sucesión aritmética está dada por:

dnaan )1(1 La suma o serie de una sucesión La suma o serie de una sucesión

aritmética está dada por:aritmética está dada por:

2

1

1

naaa n

n

in

Donde:

a1 primer término

an último término

n cantidad de términos

d diferencia

BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA

Cuellar José A. “Matemáticas I para bachillerato”. México, McGraw-Hill, 2003.

Pulido Chiunti Antonio, Vélez Castillejos Pulido Chiunti Antonio, Vélez Castillejos M.A. “Matemáticas I”. Segunda edición. M.A. “Matemáticas I”. Segunda edición. México, Nueva Imagen, 2007.México, Nueva Imagen, 2007.

Rodríguez López Manuel, García Licona Rodríguez López Manuel, García Licona M.A. “Matemáticas 1 para bachillerato”. M.A. “Matemáticas 1 para bachillerato”. México, Editorial ST Distribución S.A de México, Editorial ST Distribución S.A de C.V. 2005.C.V. 2005.