matemáticas iii profesor: sr. sergio calvo u alumno:sr. hernán rojas r
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Matemáticas IIIMatemáticas III
Profesor: Sr. Sergio Calvo U
Alumno:Sr. Hernán Rojas R.
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El proceso para determinar una función cuando se conoce su derivada se llama INTEGRACION, y la función a determinar se denomina ANTIDERIVADA o INTEGRAL de la función dada.
cxy
xdxdy
dxxdy
xdx
dy
2
2
/2
2
De aquí se desprende que siempre se agrega una CONSTANTE “C”
Fórmula de la Potencia
Nos indica como integrar cualquier potencia de X con excepción de la recíproca de X
)1(1
1
ncn
xdxx
nn
Encontrar:
dxx4 cx 5
51
dxx 2
1cx 2
12
dxx
1cxLn
dtt34 dtt 31
)(4 ct 34
)(3
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Teorema 1
La integral del producto de una constante de una función de x es igual a la constante por la integral de la función. Esto es, si c es una constante
dxxfcdxxfc )()(
Encontrar:
dxx23 dxx23 cxcx 3
3
3*3
dxex2 cedxe xx 22
dx5 cxdx 515
dxx 32 )3(
dxxxx )27279( 246
dxdxxdxxdxx 27279 246
dxdxxdxxdxx 27279 246
cxxxx 27
327
59
7
357
dxxx 32 )3(
xdu
dxxdxdu
xu
22
32
Siempre que se efectúe un cambio de variable, la nueva
Integral debe depender sólo de la variable auxiliar.
cu
duux
duux
4*
2
1
2
1
2)(
433
cx
8)3( 42
dxxx 52 2
x
dudxxdxdu
xu
44
52 2
duux
duxu 2
12
1
4
1
4 c
uc
u
623
*4
1 2/323
cx
6
)52( 2/32
dx
xxx
52 )732(34
34)34(
732 2
xdu
dxdxxdu
xxu
c
uduu
udu
xdu
ux
434*
34 45
55
cxx
42 )732(41
dx
xxxxx
)823(263
23
2
263
)263(
823
2
2
23
xx
dudx
dxxxdu
xxxu
263
*263
2
2
xxdu
uxx
cxxxLncuLnu
du 823 23
dx
xxx
)1sen(12
2
12
12
12
x
dudx
dxxdu
xxu
duu
usen
du
x
du
usen
xcsc
12*
12
cxxctgxxcuctguduu )1()1(csclncsclncsc 22
dx
xx
23
dx
xx
xx
33
dx
xxx
xx
x 22 933
dx
xxx
x 22 96
dx
xx 2
2 96 dxxx 22 96
dxxdxdxx 22 916
1*96
3
13 xx
x
cx
xx
9
63
3
dxxa2 dxxaxa
dxxaxaxa 2/12/1 )()(
dxxaxa 2
1)(2
xdxdxxadxa 212/12
23
4 22/32/1 x
xaax
cxxa
ax 23
4 2232/1
cxax
ax 23
4 23
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cn
xdxx
nn
1
1
ckxdxk
Fórmulas de Integrales.
cx
dxx2
2
cxx
dxln
cxdxxsen cos
cxsendxxcos
cxdxtgx secln
csenxdxctgx ln
cxxtgdxx seclnsec
cxctgxdxx csclncsc
cxx
dxarctg
12
cedxe xx
ca
edxedxa
axaxx ln
lnln
c
axax
aaxdx
ln21
22
caau
duau
arctg1
22
cauuau
du 22
22ln
¡Noooooo!
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Ejercicios 1
2- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Descomposición en fracciones parciales y completación del
cuadrado del Binomio.
3- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Utilizar Método de sustitución trigonométrica.
1- Fórmulas para desarrollar INTEGRALES:Método directo y cambio de variables
Ejercicios3
Trigonometría
Ejercicios2
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42x
du
)2)(2(
1
xx
)2)(2(
22
22
xx
BBxAAx
x
B
x
A
BABAx 22)(1
122
2*0
BA
BA
122
022
BA
BA
41
4114 ABB
dx
xx)
)2(4
1
)2(4
1(
)2(4
1)2(4
1xdx
xdx
cxxLn 241
241
cxxLn 241
241
cx
xLn
2
2
4
1
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Encontrar:
dxxax2
xaxaxa 2/12)(2
dxxaxax ))(2( 21
dxxxxaxxa ))(2( 21
dxxxdxxxadxxa 21
21
2
dxxxdxxxadxxa 21
21
21
21
2
dxxdxxadxxa 2/32/12/1 2 cx
xaax
5
2
3
2 52
23
dxbxax nn 1
1
1
n
n
n
nbx
dudx
dxnbxdu
bxau
11
nn
nbx
duux duu
nb2/11
cnb
u
3
2 2/3c
nb
bxa n
3
)(2 3
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Fórmulas de
Integrales Parciales
)2()2()2)(2(1
)4(1
1 2
xB
xA
xxx
111
2 22
xBAx
x
323 )2()2()2()2(1
3
x
Cx
Bx
Ax
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dadx
senaxxa
cos
1 22
dadx
tgaxxa2
22
sec
2
dtgadx
axax
sec
sec3 22
Formulas de Sustitución Trigonométricas.
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2251
x
dxPor fórmula 1
dCosdx
SenxSenx
aa
5
255
52522
2
22525
5
Sen
dCos
)1(25
52
Sen
dCosPor igualdad Trigonométrica
221 CosSen
225
5
Cos
dCos
CosdCos
55
cd
?..¿
Senx
SenX 5
5 ArcSen/*
)()5
( senarcsenx
arcsen
)5
(x
arcsen
42
2x
dx
dtgSecdx
SecxSecx
aa
2
42
2422
2
Por fórmula 1
44
tg22
Sec
dSec
)1(4
22
Sec
dtgSec
14
22
Sec
dtgSec
22
1
tg
dtgSec
tg
dsec
d
sencos
cos1
2
1
dc sec
cctgc secln
Secx
Secx
2
2
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Hipotenusa
OpuestoSen
HipotenusaAdyacente
Cos
AdyacenteOpuesto
Tg
Opuesta
AdyacenteC tg
Adyacente
HipotenusaSec
Opuesta
HipotenusaCsc
90°
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b
C
Hipotenusa
OpuestoSen
ac
CSenY
ab
BSenX
c
Y
x
B A
a
Has Clic sobreel triángulo
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Hipotenusa
OpuestoSen
CscCscfSen
1)(
122 CosSen
21)( CosCosfSen
21)(
Tg
TgTgfSen
21
1)(
CotCotfSen
Sec
SecSecfSen
1)(
2
aCosbSenbCosaSenbaSen )(
CosXSenxx )(
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HipotenusaAdyacente
Cos
ab
CCosY
ac
BCosX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
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HipotenusaAdyacente
Cos
SecSecfCos
1)(
122 SenCos
21)( SenSenfCos
21
1(tg)
TgfCos
21)(
Cot
CotCotfCos
CscCsc
CscfCos1
)(2
bSenaSenbCosaCosbaCos )(
SenXCosxx )(
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AdyacenteOpuesto
Tg
bc
CTgY
cb
BTgX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
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AdyacenteOpuesto
Tg
CotCotfTg
1)(
CosSen
Tg
21)(
Sen
SenSenfTg
CosCos
CosfTg21
)(
1)( 2 SecSecfTg
1
1)(
2
CscCscfTg
bTgaTgbTgaTg
baTg*1
)(
XSecTgxx 2)(
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Opuesto
AdyacenteCot
cb
CCotY
bc
BCotX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
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Opuesto
AdyacenteCot
TgTgfCot
1)(
Sen
SenSenfCot
21)(
21)(
Cos
CosCosfCot
1
1)(
2
SecSecfCot
1)( 2 CscCscfCot
aCotbCotbCotaCot
baC
1*)tg(
XCscCotxx 2)(
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Adyacente
HipotenusaSec
ba
CSecY
ca
BSecX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
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Adyacente
HipotenusaSec
CosSec
1
21
1)(
SenSenfSec
CosCosfSec
1)(
21)( TgTgfSec
CotCot
CotfSec21
)(
1)(
2
Csc
CscCscfSec
)(1
)(baCos
baSec
TgxSecxSecxx *)(
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Opuesto
HipotenusaCsc
ca
CCscY
ba
BCscX
c
ab
Y
x
B
C
A
Has Clic sobreel triángulo
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Opuesto
HipotenusaCsc
Sen
SenfCsc1
)(
21
1)(
CosCosfCsc
Tg
TgTgfCsc
21)(
21)( CotCotfCsc
1)(
2
Sec
SecSecfCsc
)(1
)(baSen
baCsc
CotxCscxCscxx *)(
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