matematicas iv

COLEGIO DE BACHILLERES DE CHIAPAS

SECUENCIA DIDÁCTICA

A) DATOS DE IDENTIFICACIÓN

ASIGNATURA:

Matemáticas IV.

SEMESTRE O SUBMÓDULO:

Cuarto.

CICLO ESCOLAR

PLANTEL Y COORDINACIÓN DE ZONA

DOCENTE O ASESOR

CORREO

ELECTRÓNICO

PERIODO DE

APLICACIÓN

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS

8

GRUPOS

ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUE I:

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de

funciones.

OBJETOS DE APRENDIZAJE

Funciones.

Relaciones.

Dominio.

Contra dominio.

Imagen.

Regla de correspondencia.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO): En nuestra vida diaria están inmersas las relaciones

y funciones en muchas de las actividades que hacemos, analizar el juego del amigo secreto para establecer la diferencia entre

relación y función.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE BASADAS EN COMPETENCIAS

C) COMPETENCIAS A DESARROLLAR CON

LAS ACTIVIDADES

D)ACTIVIDADES DE APERTURA G) EVIDENCIAS DE

APRENDIZAJE

Expresa ideas y conceptos mediante

representaciones lingüísticas, matemáticas o

gráficas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera

reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus

pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Utiliza las tecnologías de la información y

comunicación para procesar e interpretar

información.

Elige las fuentes de información más relevantes

para un propósito específico y discrimina entre

ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.

Propone la manera de solucionar un problema y

desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un

curso de acción con pasos específicos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera

los de otras personas de manera reflexiva.

El docente realiza el encuadre de la

asignatura, considerando:

Objetivos de la materia (proporcionar al

alumno mapa conceptual de la

materia). Anexo 1

Metodología de trabajo.

Criterios de evaluación.

Fuentes de información.

Normas de convivencia.

Mediante una dinámica el docente integra

equipos de cinco alumnos, los cuales

funcionarán durante las actividades de los

bloques.

El docente pide a los alumnos analicen la

siguiente situación:

“Mónica organizó en su salón la actividad del

amigo secreto, que consiste en seleccionar

aleatoriamente una persona para enviarle



Asume una actitud constructiva, congruente con

los conocimientos y habilidades con los que

cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

diariamente un presente; el último día de

clases, cada participante descubre quién era

su amigo secreto.

Cuando se hizo el sorteo, Juan se quedó con

dos papelitos y no aguantó la tentación de

abrirlos, por supuesto, sin que nadie se diera

cuenta. Al leer los nombres se sorprendió,

porque era Claudia y Esteban, sus dos

mejores amigos, por lo que decidió callar y

regarle a ambos, ya que no podía decidirse

por alguno”.

A continuación el docente pide a los alumnos

responder los siguientes cuestionamientos:

¿Qué podría pasar en la actividad que

organizó Mónica con el proceder de Juan?

¿Qué condición debe existir para que la

actividad resulte?

De acuerdo a lo anterior, ¿cómo definirías una

relación?

¿Cómo definirías una función?

Finalmente a través de una lluvia de ideas se

rescatan los conocimientos previos sobre

relaciones y funciones.

El docente solicita a los alumnos investiguen

utilizando las TIC´s en extra clase las distintas

Reporte de investigación.



formas de representar una relación, una

función y ejemplos de cada una, para su

análisis en la siguiente sesión de clases.

E) ACTIVIDADES DE DESARROLLO

Exposición por parte del docente del concepto

de relación y función, establecer la diferencia

entre ellas y aclarar las dudas generadas en la

etapa de apertura.

Exposición del docente de las distintas formas

de representar una relación y función;

proporcionar a los alumnos, ejercicios que

incluyan gráficas, diagramas de árbol, tablas,

parejas ordenadas, diagramas sagitales y

regla de asociación para que identifiquen

cuales relaciones son funciones, cuáles no y

justifiquen su respuesta.

Exposición del docente de los elementos de

las funciones: dominio, argumentos, contra

dominio, rango e imágenes; proporcionar a los

alumnos, ejercicios de funciones donde

tengan que identificar dominio, contra dominio

y rango.

De forma extra clase los alumnos en equipo

elaboran para su exposición un mapa

conceptual que comprenda los conceptos de

Ejercicios resueltos.


Mapa conceptual.



relación, formas de representación, función y

sus elementos.

F) ACTIVIDADES DE CIERRE

El docente solicita al grupo que por equipo

expongan un ejemplo de una situación real de

su entorno en la que se observe una función,

que comprenda sus elementos dominio, contra

dominio, rango; además deberán representar

dicha función en sus diversas formas: regla de

asociación, diagrama sagital, diagrama de

árbol, producto cartesiano, tabla, gráfica; en

caso de no ser posible hacer alguna

representación argumentar la razón.

Reporte escrito.

NOTA: El programa de estudios de la Dirección General de Bachillerato (DGB) tiene contemplado para el Bloque I 8 sesiones, las cuales son insuficientes para abarcar los temas: clasificación de funciones y operaciones con funciones, por lo que se sugiere a los docentes adecuar el número de sesiones para abordar dichos temas dentro del bloque I y de esta manera contemplarlos en su secuencia didáctica.

H) INSTRUMENTOS DE LA EVALUACIÓN I) PONDERACIÓN DE LA EVALUACIÓN

Lista de cotejo para el mapa conceptual.

Lista de cotejo para la investigación.

Rúbrica para ejercicios resueltos.

Lista de cotejo para el reporte escrito.

Examen escrito.

10%

10%

20%

30%

30%



J)RECURSOS DIDÁCTICOS K) FUENTES DE INFORMACIÓN

MATERIALES:

Plumones (marcadores).

Lápices.

Cuaderno cuadriculado.

Juego de geometría.

Copias de ejercicios. EQUIPO:

Calculadora científica.

Equipo de cómputo.

Cañón.

SOFTWARE:

Programa Derive.

Programa Geogebra

Winplot

ELECTRÓNICA: http:/ /www.youtube.com/watch?v=l_a0KIrksh8 http:/ /www.youtube.com/watch?v=i5v1_CAoTUE http:/ /www.escolar.com/matem/ 02relac.htm http://www.docenteenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html BÁSICA: Basurto, E. (2011). Matemáticas 4 Competencias+Aprendizaje+Vida (1ª. Edición impresa 2011, 1ª. Edición E-Book, 2011). México: Pearson. García, M. ET. AL. (2010). Matemáticas 4 Para Preuniversitarios (2ª. Reimpresión 2010) México: Esfinge. Larson, R. Hostetler, R. (2004). Pre cálculo (7a. Reimpresión 2004). México: Reverte. Ruiz, J. (2011). Matemáticas 4 Pre cálculo: Funciones y aplicaciones (1ª. Edición). México: Patria. COMPLEMENTARIA:

Fuenlabarada S. (2004). Calculo diferencial (2ª edición 2004). México: McGraw Hill. Larson, R. Hostetler, R. (2006). Álgebra (8a. reimpresión 2006). México: Cultura. Leithlod L. (2008) El Cálculo solucionario (7ª. Edición 2008). México:

Harla.




ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR


DOCENTE O ASESOR

CORREO

ELECTRÓNICO

PERIODO DE

APLICACIÓN

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS

8

GRUPOS

ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUE II:

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas.


Función inversa.

Función escalonada.

Función valor absoluto.

Función identidad.

Función constante.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO):Analizar el comportamiento de un motor eléctrico de corriente continua (C.C.) para establecer el uso de la función, valor absoluto y función constante.


C) COMPETENCIAS A DESARROLLAR CON LAS ACTIVIDADES

D)ACTIVIDADES DE APERTURA G) EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE



gráficas.

Sigue instrucciones y procedimientos de

manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un

objetivo.



información.

Elige las fuentes de información más relevantes

para un propósito específico y discrimina entre

ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad

Propone maneras de solucionar un problema y

desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un

curso de acción con pasos específicos.


manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

A través de exposición de la situación

didáctica el docente presenta conceptos

generales sobre las funciones: escalonada,

valor absoluto, identidad y función inversa.

Los alumnos en forma extra clase buscan en

diversas fuentes de información gráficas de

funciones especiales para recortarlas y

pegarlas en hojas tamaño carta formando así

una colección de imágenes.

Presentación de gráficos.


El docente propone situaciones (una por cada

tipo de función) que impliquen el uso de las

funciones: escalonada, valor absoluto,

identidad, para que el alumno las grafique, las

interprete y proponga situaciones en las que

puede emplear cada función.

El docente presenta las características y

ejemplos de obtención de la inversa de una

función.





objetivo.

Los alumnos resuelven ejercicios de obtención

de la inversa de una función.

El docente expone como transformar

funciones (reflexión, traslación), para que el

alumno realice prácticas relacionadas al tema

en el laboratorio de cómputo usando un

software de graficación.


Práctica de laboratorio.


En base a los conocimientos adquiridos en la

fase de desarrollo, el docente solicita a los

alumnos resuelvan la siguiente situación:

Se sabe que un motor eléctrico de C.C. (motor

de un carro de control remoto) tiene dos

sentidos de giro, izquierda y derecha, con lo

que se logra el movimiento del carro hacia

adelante y hacia atrás respectivamente.



Durante cada prueba que se le realiza al motor

se invierten los polos eléctricos (N y S),

asignando un signo negativo si gira hacia la

izquierda, y un signo positivo, si gira hacia la

derecha.

Determinar el número total de revoluciones

que este realiza sin importar el sentido de

giro.

Graficar la función f(x)=3x-1 dada para

calcular el número de revoluciones.

Analizar la gráfica de la función cuando el

motor se detiene en determinada prueba.

Reporte escrito.




Lista de cotejo para presentación de gráficos.


Lista de cotejo para práctica de laboratorio.

Rúbrica para reporte escrito.

Examen escrito.

10 %

20 %

10 %

30 %

30 %


MATERIALES:

Plumones (marcadores).

Lápices.

Cuaderno cuadriculado.

Juego de geometría.

Copias de ejercicios.

EQUIPO:


Equipo de cómputo.

Cañón.

SOFTWARE:

Programa Derive.

Programa Geogebra.

Winplot.

ELECTRÓNICA:

http:/ / www.youtube.com/ watch?v=PPWldaOvdXM

http:/ / www.youtube.com/ watch?v=TQMMbIA8O2k

http:/ / aprendematematicas.org.mx/ obras/ Bach4.pdf

BÁSICA:

Basurto, E. (2011). Matemáticas 4

Competencias+Aprendizaje+Vida (1ª. Edición impresa 2011,

1ª. Edición E-Book, 2011). México: Pearson.

García, M. ET. AL. (2010). Matemáticas 4 Para

Preuniversitarios (2ª. Reimpresión 2010) México: Esfinge.

Larson, R. Hostetler, R. (2004). Precálculo (7ª. Reimpresión

2004). México: Reverte.

Ruiz, J. (2011). Matemáticas 4 Precálculo: funciones y

aplicaciones (1ª. Edición). México: Patria.




ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR:

PLANTEL Y COORDINACIÓN DE ZONA:

DOCENTE O ASESOR:

CORREO

ELECTRÓNICO:

PERIODO DE

APLICACIÓN:

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS

10

GRUPOS

ATENDIDOS:

NOMBRE DEL BLOQUE III:

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

Modelo general de las funciones Polinomiales.

Forma polinomiales de funciones de grados: cero, uno

y dos.

Representación gráfica de funciones de grados: cero,

uno y dos.

Características de las funciones polinomiales de

grados: cero, uno y dos

Parámetros de las funciones de grados: cero, uno y

dos.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO): Construir un corral para animales con cierta

cantidad de alambre y determinar las medidas para que éste tenga un área máxima.


C) COMPETENCIAS A DESARROLLAR CON

LAS ACTIVIDADES

D)ACTIVIDADES DE APERTURA G) EVIDENCIAS DE

APRENDIZAJE

Se conoce y valora a sí mismo y aborda

problemas y retos teniendo en cuenta los

objetivos que persigue.

Escucha, interpreta y emite mensajes

pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas

apropiados.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones

a problemas a partir de métodos establecidos.

Formula y resuelve problemas matemáticos

aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos

mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y

textos con símbolos matemáticos y científicos.

Participa y colabora de manera efectiva en

equipos diversos

El docente aplica una evaluación diagnóstica a

los alumnos rescatando los conceptos de

Matemáticas III tales como: polinomio, grado

de polinomio, ecuación, pendiente de la recta,

vértice, ecuación cuadrática.

Mediante una dinámica se lleva a cabo la

coevaluación con la finalidad de retroalimentar

los conocimientos del alumno.

El docente divide al grupo en equipos de

trabajo, les facilita libros (copias) a cada

equipo para que lean. Al final cada equipo

elabora un cuadro sinóptico rescatando las

características de las funciones de grado cero,

uno y dos.

Evaluación diagnóstica.

Cuadro sinóptico.


El docente proporciona una lista de funciones

polinomiales de grados cero, uno y dos para

que los alumnos señalen sus características

esenciales, identifiquen su modelo general y

su gráfica.

Listado de funciones



El docente efectúa una resolución

demostrativa ante el grupo de un problema del

entorno que implique una función lineal y otro

con una función cuadrática.

El docente formula una serie de problemas

que involucren funciones de grados cero, uno

y dos para que los alumnos los resuelvan.

Problemario.


En equipos (de cinco integrantes), los alumnos

establecen una función polinomial que permita

obtener el área máxima para la construcción

de un corral, con la cantidad de alambre

determinada por el docente. Los equipos

deberán justificar el grado de dicha función y

presentar el corral construido.

En plenaria cada equipo expone la solución

encontrada, comparando sus procedimientos e

intercambiando puntos de vista con los demás

equipos, esto con la finalidad de retroalimentar

el tema y encontrar el procedimiento óptimo a

cada caso.

Reporte escrito.




Rúbrica para evaluar cuadro sinóptico.

Lista de cotejo para evaluar listado de funciones.

Rúbrica para evaluar problemario.

Rúbrica para evaluar reporte escrito.

Examen escrito.

10 %

10 %

20 %

30 %

30 %


Material impreso para realizar actividades.

Libros.

Pizarrón

Calculadora científica y sencilla.

Juego geométrico

Plumones, lapiceros.

Hojas blancas.

Basurto, E. (2011). Matemáticas 4

Competencias+Aprendizaje+Vida(1ª. Edición impresa 2011,

1ª. Edición E-Book, 2011). México: Pearson.


Preuniversitarios (2ª. Reimpresión 2010). México: Esfinge.

Larson, R. Hostetler, R. (2004). Precálculo (7a. Reimpresión







ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR


DOCENTE O ASESOR

CORREO

ELECTRÓNICO

PERIODO DE

APLICACIÓN

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS

10

GRUPOS ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUE IV:

Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro.


Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados:

tres y cuatro.

Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de

grados: tres y cuatro.

Métodos de solución de las ecuaciones factorizables

asociadas a una función polinomialde grados: tres y cuatro.

Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en

función de los valores que toman sus parámetros.

Representación gráfica de funciones polinomiales de grados:

tres y cuatro.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO):Calcular el volumen de un tanque determinado. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE BASADAS EN COMPETENCIAS





gráficas.


manera reflexiva, comprendiendo como cada


objetivo.

Elige las fuentes de información más

relevantes para un propósito específico y

discrimina entre ellas de acuerdo a su

relevancia y confiablidad.

Construye hipótesis; diseña y aplica modelos

para probar su validez.

Propone la manera de solucionar un problema

y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo

un curso de acción con pasos específicos.

Aporta puntos de vista con apertura y

considera los de otras personas de manera

reflexiva.

Asume una actitud constructiva, congruente

Aplica evaluación diagnóstica de los

conocimientos del bloque anterior.

Mediante una dinámica se lleva a cabo la

coevaluación con la finalidad de retroalimentar

los conocimientos del alumno.

El docente solicita a los alumnos investiguen el

modelo matemático de las funciones

polinomiales de grado 3 y 4. Con dicha

información elaborar un cuadro clasificatorio-

descriptivo (de múltiples entradas) que incluya

el nombre, modelo o ecuación que la

representa, ejemplo y su grafica

correspondiente.

Evaluación diagnóstica.

Cuadro clasificatorio-

descriptivo.


El docente expone mediante el uso de rotafolio

la solución de las funciones básicas 1)

f(x)=x3y 2) f(x)=x4, con la finalidad de que los

alumnos observen las características

principales y comportamiento de las gráficas,

así como también retroalimentar el cuadro

clasificatorio-descriptivo solicitado en la fase

de apertura.



con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de

trabajo.

El docente solicita a los alumnos grafiquen

diversas funciones de grado 3 y 4 en su libreta

de apuntes usando tabla de valores (el

dominio será indicado por el docente).

Gráficas.


El docente expone el siguiente problema de

distribución de agua que existe en la localidad:

se cuenta con siete tanques de abastecimiento

de agua, pero se desconoce el volumen de

cada uno de ellos, por lo que se necesita

encontrar el volumen de los tanques y el total

del conjunto para saber la cantidad de agua

disponible y de esta manera realizar una

distribución equitativa.

En equipo los alumnos encuentran el volumen

de uno de los tanques asignado por el

docente; presentando sus resultados en un

reporte escrito (función, volumen, gráfica).

Al término de la actividad se reúnen todos los

equipos para encontrar el volumen total de

agua que se distribuye en la localidad, con la

finalidad de que el alumno tenga un panorama

de aplicación de las funciones polinomiales.

Reporte escrito.




Lista de cotejo para cuadro clasificatorio-descriptivo.

Lista de cotejo para gráficas.

Rúbrica para reporte escrito.

Examen escrito.

20 %

20 %

30 %

30 %


Pizarrón.

Borrador.

Lápices.

Lapiceros.

Colores.

Papel bond.

Papel milimétrico.

Hojas blancas y de colores.

Libretas.

Plumo gis.


BIBLIOGRAFIA

Juan A.(2011). Matemáticas IV, México, Mc Graw Hill.

Arriaga, A. y otros(2009) Matemáticas 4, México.Editorial

progreso.

Ibáñez. P. y otros Geometría y trigonometrías, México.

Editorial Thomson.

Ruiz, J. (2007). Matemáticas IV. México. Editorial Patria.

Sánchez, S. y otros (2009). Matemáticas 4. México. Editorial

Nueva Imagen.

Ortiz, F. (2006). Matemáticas IV. México. Editorial

Publicaciones Cultural.




ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR:


DOCENTE O ASESOR

CORREO

ELECTRÓNICO

PERIODO DE

APLICACIÓN

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS

12

GRUPOS ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUE V:

Utilizas funciones factorizables en la resolución de

problemas.


Ceros y raíces de la función.

Teoremas del factor y del residuo.

División sintética.

Teorema fundamental del álgebra.

Teorema de factorización lineal.

Gráficas de funciones polinomiales factorizables.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO):Encontrar las dimensiones de un terreno a

partir de su función.





representaciones lingüísticas, matemáticas

o gráficas.


manera reflexiva, comprendiendo cómo

cada uno de sus pasos contribuye al

alcance de un objetivo.

Propone maneras de solucionar un

problema y desarrolla un proyecto en

equipo, definiendo un curso de acción con

pasos específicos.


considera los de otras personas de

manera reflexiva.

Asume una actitud constructiva,

congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de

distintos equipos de trabajo.



El docente expone la siguiente situación con la finalidad de

retomar los temas anteriores e introducir el nuevo tema:

La polución del aire se compone de muchos tipos de gases,

gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire

puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el

campo.

1. Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad

durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas.

Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por

millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas.

Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50

partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón

de 15 partes por millón por hora.

Ejercicio



información.

Construye hipótesis; diseña y aplica

modelos para probar su validez

a) Identificar la pendiente y un punto de la función.

b) Escribir la función que modela la polución en función del

tiempo transcurrido.

c) Graficar la polución como función del tiempo

transcurrido.


El docente muestra diferentes métodos de factorización

(raíces o ceros, factor común, división sintética) de las

funciones polinomiales.

De forma individual los alumnos resuelven ejercicios

propuestos por el docente de funciones factorizables.

El alumno realiza gráficas de las diferentes funciones

polinomiales propuestas por el docente (grado 3 y 4)

utilizando un software informático, para encontrar las raíces

o ceros de forma visual. Las gráficas deberán importarse a

Word (paquetería office) y enviarlas por correo electrónico

al docente.

En extra clase y en equipos de trabajo realiza las siguientes

actividades :

a) Para las siguientes funciones:

Determina el punto máximo o mínimo.

Encuentra las raíces

Dibuja la gráfica correspondiente.

1) g(x) = 2(x+1)2

2) f(x)=3x2 + 9x

3) h(x)=x2 + 6x + 6

Ejercicios

Archivo electrónico.

Ejercicios.



b) Utilizando división sintética determina el cociente y el

residuo de las divisiones.

1) f(x)=2x3 + 3x2 + 5x - 7 entre x -2

c) Encuentra todas las raíces reales y escribe la forma factorizada de las siguientes funciones polinomiales.

1) f(x) =x4 -12x2 -64 2) f(x) =x3 -x2 -10x -8

3) f(x) =x4-5x2 -36


Los alumnos en equipo resuelven la siguiente situación:

El área de un terreno está determinada por la función

f(x)=x2+6x+8, se desean conocer sus dimensiones (largo y

ancho) empleando algún método de factorización, además

se graficará la función con la finalidad de identificar las

raíces o ceros y justifican su propuesta.

Reporte de práctica.




Lista de cotejo para evaluar ejercicios.

Rúbrica para evaluar archivo electrónico.

Rúbrica para reporte de práctica.

Examen escrito.

20 %

20 %

30 %

30 %

J) RECURSOS DIDÁCTICOS K) FUENTES DE INFORMACIÓN

Pizarrón.

Borrador.

Lápices.

Lapiceros.

Colores.

Papel bond.

Papel milimétrico.


Libretas.

Plumo gis.


Computadoras.

Programas de cómputo.

Basurto, E. (2011). Matemáticas 4 Competencias+Aprendizaje+Vida (1ª. Edición impresa 2011, 1ª. Edición E-Book, 2011). México: Pearson. García, M. ET. AL. (2010). Matemáticas 4 Para Preuniversitarios (2ª. Reimpresión 2010). México: Esfinge. Larson, R. Hostetler, R. (2004). Precálculo (7a. Reimpresión 2004). México: Reverte. Ruiz, J. (2011). Matemáticas 4 Precálculo: funciones y aplicaciones (1ª. Edición). México: Patria.

Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2001). Precálculo. (3a.

Edición 2001). México: Thomson.




ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR


DOCENTE O ASESOR

CORREO

ELECTRÓNICO

PERIODO DE

APLICACIÓN

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS

12

GRUPOS

ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUE VI:

Aplicas funciones racionales.


Función racional.

Dominio de definición de una función racional.

Asíntotas horizontales.

Asíntotas verticales.

Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y

oblicuas.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO): Cómo representar mediante una función podar el pasto de una hectárea del campo de futbol del plantel. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE BASADAS EN COMPETENCIAS

C) COMPETENCIAS A DESARROLLAR CON LAS ACTIVIDADES.

D) ACTIVIDADES DE APERTURA. G) EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE.



gráficas.



información.




relevancia y confiablidad.

Propone la manera de solucionar un problema

y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo

un curso de acción con pasos específicos.



reflexiva.

Asume una actitud constructiva, congruente

con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de

trabajo.

En equipos de tres integrantes realizar el

siguiente ejercicio:

Carlos tiene un tanque de 3600 lts, el tiempo t

que demora en llenarlo depende de la cantidad

C de litros de agua por segundo que salen de

la bomba que se use. Ambas cantidades se

relacionan con la siguiente ecuación t =

3600/C, donde C está medido en

litros/segundo y en cuánto al tiempo t, se mide

en segundos.

a) Elaborar la gráfica correspondiente.

b) ¿Qué sucede con el tiempo de llenado

cuando C se hace muy pequeño; es

decir, cuando se aproxima a 0?

c) ¿Qué sucede con el tiempo de llenado

cuando C se hace muy grande?

Gráfica y su análisis.

E) ACTIVIDADES DE DESARROLLO.

El alumno investiga temas: Función racional,

dominio de definición de una función racional,

asíntotas horizontales, asíntotas verticales,

criterios de existencias de las asíntotas

horizontales y oblicuas. Con dicha información

el alumno elabora un mapa conceptual del

Mapa conceptual.



tema.

El docente explica mediante ejemplos los

temas antes investigados.

El alumno resuelve ejercicios de funciones

racionales. Anexo 1.



El alumno da solución a la situación didáctica planteada partiendo de que una hectárea equivale a 10 000 m2 y que un jardinero poda aproximadamente 1 000 m2 en una hora. Y estructura un reporte que contenga:

a) La función que determina tal acción.

b) Un esbozo de la gráfica de tiempo

función.

c) ¿Qué sucede si aumenta el número de

jardineros?

Reporte escrito.


Lista de cotejo para glosario y análisis.

Lista de cotejo para mapa conceptual

Rúbrica para ejercicios resueltos

Rúbrica para el reporte de la situación poda del campo

de futbol.

Examen escrito.

10%

10%

20%

30%

30%




Bibliografía.

Pizarrón.

Borrador.

Lápices.

Lapiceros.

Colores.

Papel bond.

Papel milimétrico.


Libretas,

Plumo gis

Banco de ejercicios y problemas, modelos de gráficas de funciones más comunes.

Videos que contengan ejemplos de las gráficas más representativas de las funciones racionales.

Material impreso y electrónico que ejemplifiquen las funciones racionales: periódicos, carteles, gráficas, mapas, problemarios, esquemas y estadísticas de empresas o instituciones.

BÁSICA: Basurto, E. (2011). Matemáticas 4 Competencias+Aprendizaje+Vida (1ª. Edición impresa 2011, 1ª. Edición E-Book, 2011). México: Pearson. García, M. ET. AL. (2010). Matemáticas 4 Para Preuniversitarios (2ª. Reimpresión 2010). México: Esfinge. Larson, R. Hostetler, R. (2004). Pre cálculo (7a. Reimpresión 2004). México: Reverte. Ruiz Basto, J. (2011). Matemáticas 4 Pre cálculo: funciones y aplicaciones (1ª. Edición). México: Patria. COMPLEMENTARIA: Larson, R. Hostetler, R. (2006). Álgebra (8a. reimpresión 2006). México: Cultural. Stewart J. (2005). Cálculo de una variable. (Cuarta Edición 2005). México: Thompson editores. Galdós, L. (2005). Matemáticas Galdós (2ª Edición 2005). México: Cultural. ELECTRÓNICA: http:/ /www.acienciasgalilei.com/mat/ problemas-mat0.htm www.matematicas-eso.com http:/ /www.ematematicas.net/ http:/ / pronafcap2008matematica.blogspot.com/ 2008/

08/mdulo-ii-funciones-exponenciales-y.html



A) DATOS DE IDENTIFICACIÓN.

ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR


DOCENTE O ASESOR:

CORREO ELECTRÓNICO:

PERIODO DE APLICACIÓN:

TOTAL DE SESIONES PROGRAMADAS:

10

GRUPOS ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUEVII:

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas.


Función exponencial.

Función logarítmica.

Gráfica de la función exponencial y logarítmica,

Propiedades de los exponentes.

Propiedades de los logaritmos.

Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y

viceversa.

Ecuaciones exponenciales.

Ecuaciones logarítmicas.



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO): Enfermedades virales. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE BASADAS EN COMPETENCIAS



Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

El docente plantea la siguiente situación a los

alumnos como pretexto metodológico para la

introducción al tema:

“En un salón de clases, un alumno se enferma

de gripe y contagia a cuatro de sus compañeros

en una semana. A la siguiente semana hay 16

contagiados en cinco salones. A las tres

semanas, el virus lo tienen 64 personas de la

escuela.

En cuatro semanas ¿Cuántas personas se

habrán contagiado de gripe?

¿A qué modelo matemático atribuyes el

incremento?

En plenaria se discuten las respuestas de los

equipos para establecer los resultados

correctos.

Conclusión de plenaria.


El docente expone mediante ejemplos los

conceptos de función exponencial y función

logarítmica.

En equipo los alumnos resuelven los siguientes

ejercicios.



Escribe una función exponencial, cuyo

valor inicial es igual a 24 y el factor de

crecimiento es igual a 3.

Si la tasa de crecimiento de una función

exponencial es igual a 0.15, entonces el

factor de crecimiento es igual

a:____________

El precio de un automóvil nuevo se

incrementa cada año en 12.7%. Si

actualmente un automóvil cuesta $135

000:

a) Escribe una función mediante la cual

obtengas el precio del automóvil como

función del número “t” de años

transcurridos.

b) ¿Cuánto costará un auto último

modelo dentro de 6 años?

Una enfermedad contagiosa se propaga

en 2.5% mensual, si inicialmente hay 67

enfermos:

a) Escribe la función de la cantidad de

enfermos al transcurrir los meses.

b) ¿Cuántos enfermos habrá después

de un año?

Con el uso de la calculadora encuentra

los siguientes valores:

1) 510 =

2) 3e-5 =

3) 4.5

4) log 0.002 =

5) ln 15 =

Portafolio de evidencias para los ejercicios.




De forma individual el alumno:

a) Grafica la siguiente función y determina

su dominio y rango.

f(x)= In(x+1).

b) El número de miligramos en el flujo

sanguíneo de cierto medicamento

suministrado por vía intramuscular se

modela mediante la función N = 5e `.

Si se considera que al llegar a 2

miligramos se debe administrar

nuevamente el medicamento, ¿cuánto

tiempo transcurre entre la aplicación de

las inyecciones?

c) Grafica la función exponencial f

formando una breve tabla de valores.

Luego usa la curva para trazar la gráfica

de asíntota g. escribe la ecuación de la

asíntota horizontal de g.

1) f (x) = 2x ; g (x) = 2(x+3)

2) f (x) = 4 –x ; g (x) = -4-x





Lista de cotejo para conclusión.

Lista de cotejo para portafolio de evidencias de

ejercicios resueltos.

Rúbrica para los ejercicios resueltos.

Examen escrito.

15%

15%

20%

50%


Banco de ejercicios y problemas.

Modelos de gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas más comunes.

Videos que contengan ejemplos de las gráficas más representativas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Estadísticas de instituciones como INEGI,

SEMARNAT, entre otras.

BÁSICA:

Basurto, E. (2011). Matemáticas 4 Competencias+Aprendizaje+Vida (1ª.

Edición impresa 2011, 1ª. Edición E-Book, 2011). México: Pearson.

García, M. ET. AL. (2010). Matemáticas 4 Para Preuniversitarios (2ª.

Reimpresión 2010). México: Esfinge.

Larson, R. Hostetler, R. (2004). Pre cálculo (7a. Reimpresión 2004).

México: Reverte.

Ruiz, J. (2011). Matemáticas 4 Pre cálculo: funciones y aplicaciones (1ª.

Edición). México: Patria. A IV

COMPLEMENTARIA:

Larson, R. Hostetler, R. (2006). Álgebra (8a. reimpresión 2006). México:

Cultural.

ELECTRÓNICA:

http:/ /www.youtube.com/

results?search_query=funciones+exponenciales+y+logaritmicas&aq=1

http:/ / pronafcap2008matematica.blogspot.com/ 2008/ 08/mdulo-ii-

funciones-exponenciales-y.




ASIGNATURA:

Matemáticas IV.


Cuarto.

CICLO ESCOLAR


DOCENTE O ASESOR:

CORREO

ELECTRÓNICO:

PERIODO DE

APLICACIÓN:

TOTAL DE

SESIONES

PROGRAMADAS:

10

GRUPOS

ATENDIDOS

NOMBRE DEL BLOQUE VIII:

Aplica funciones periódicas.


Funciones trigonométricas:

o Seno.

o Coseno.

Funciones circulares:

o Seno.

o Coseno.

Formas senoidales.

Representación gráfica de funciones trigonométricas.

Características de las funciones periódicas:

o Amplitud.

o Frecuencia.

o Periodo



B) SITUACIÓN DIDÁCTICA (PROBLEMA SIGNIFICATIVO DEL CONTEXTO): Construye modelos gráficos y los identifica según el patrón. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE BASADAS EN COMPETENCIAS




representaciones lingüísticas, matemáticas

o gráficas.



información.




relevancia y confiabilidad.

Mediante una lluvia de ideas el docente rescata

los conocimientos previos de los alumnos acerca

de los conceptos: periodo, frecuencia, amplitud,

desplazamiento vertical, puntos máximos y

mínimos, desfasamiento, intersecciones.

De manera individual los alumnos investigan y

amplían los conceptos de periodo, frecuencia,

amplitud, desplazamiento vertical, puntos

máximos y mínimos, desfasamiento,

intersecciones, elaboran un mapa conceptual y

glosario de términos.

Mapa conceptual y glosario de

conceptos.






reflexiva.

Define metas y da seguimiento a sus

procesos de construcción de conocimientos



información.

Define metas y da seguimiento a sus

procesos de construcción de

conocimientos.

Propone maneras de solucionar un

problema y desarrolla un proyecto en

equipo, definiendo un curso de acción con

pasos específicos.

El docente explica la relación que existe

entre las funciones trigonométricas y las

funciones circulares seno y coseno, y aclara

dudas que surjan en clases.

Los alumnos de manera individual realizan

ejercicios sobre tabulación y gráfica de

funciones.

El docente proporciona a los alumnos el

programa geogebra y explica su uso y

aplicaciones.

Los alumnos utilizan el software geogebra para

representar gráficamente funciones.

El docente expone mediante ejemplos los

conceptos y características (amplitud, periodo,

frecuencia, línea base) de las funciones

senoidales.

Ejercicios resueltos. Resuelven ejercicios con geogebra.


El docente plantea y asigna un problema para

resolver en equipos de trabajo. Los alumnos

aplican los conceptos de periodo, frecuencia,

amplitud, desplazamiento vertical, puntos

máximos y mínimos, desfasamiento,

intersecciones, (ejercicio propuesto en el

programa de estudio).

Reporte escrito de problema sugerido.




Lista de cotejo para glosario.

Lista de cotejo para mapa conceptual.


Rúbrica para ejercicios resueltos con geogebra.

Rúbrica para evaluar reporte escrito del problema final

sugerido.

Examen escrito.

10%

10%

15%

15%

20%

30%


Pizarrón,

Borrador,

lápices,

lapiceros,

colores,

papel bond,

computadora, cañón proyector.

BIBLIOGRAFÍA:

Basurto, E. (2011). Matemáticas 4 Competencias + Aprendizaje

+ Vida (1ª. Edición impresa 2011, 1ª. Edición E-Book, 2011).

México: Pearson.


Preuniversitarios (2ª. Reimpresión 2010). México: Esfinge.

Larson, R. Hostetler, R. (2004). Precálculo (7a. Reimpresión




Larson, R. Hostetler, R. (2006). Álgebra (8a. reimpresión 2006).

México: Cultural.

EMISIONES DE LA PROGRAMACIÓN EDUSAT (EN EL CASO DE LOS CENTROS DE EMSaD):

EMISIONES DE LA VIDEOTECA (EN EL CASO DE LOS CENTROS DE EMSaD):



Nombre y firma del docente o asesor: _______________________________Fecha de entrega: _____________________

Firma del director o responsable del centro de servicio EMSaD: ______________________________________________

Vo. Bo. Responsable del área académica (se refiere a la persona en la Coordinación de Zona): ____________________



INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN BLOQUE I

ANEXO 1



LISTA DE COTEJO PARA EL MAPA CONCEPTUAL

INDICADORES SÍ NO OBSERVACIONES

1. Distingue los conceptos clave

2. Utiliza las palabras de enlace

3. Jerarquiza las palabras clave

4. Identifica la diferencia entre relación y función.

TOTAL: 10%

LISTA DE COTEJO PARA LA INVESTIGACIÓN

INDICADORES SÍ NO OBSERVACIONES

1. Incluye todas las formas de representar una relación y una función: graficas, diagramas de árbol, tablas, parejas ordenadas, diagramas sagitales y regla de asociación.

2. Entrega en tiempo y forma la actividad.

3. Cuida la ortografía en su trabajo.

4. incluye bibliografía consultada.

TOTAL: 10%



RÚBRICAPARA LOS EJERCICIOS

Indicadores

Nivel

Criterios de desempeño

20% 10% 5%

Actitudinal:

Participación y disposición al

trabajo.

Puntualidad y responsabilidad.

Conducta y respeto.

Satisface las siguientes

condiciones:

-Participa siempre.

-Apoya a sus compañeros.

-Llega a tiempo y cumple

sus tareas.

- En las actividades de

trabajo se porta bien y

respeta.

Satisface 3 de las

siguientes condiciones:

-Participa siempre.



sus tareas.



respeta.

Satisface 2 de las


-Participa siempre.



sus tareas.



respeta.

Cognitivo:

En la resolución de ejercicios el

alumno:


condiciones:

- Recuerda el concepto de

relación.


función.

- Manipula correctamente

las distintas formas de

representar una relación.

Satisface 5 de las

condiciones siguientes:


relación.


función.




Satisface 3 de las



relación.


función.








representar una función.

- Obtiene correctamente el

dominio de una función.


rango de una función.




- Obtiene correctamente

el dominio de una

función.

- Obtiene correctamente

el rango de una función.





dominio de una función.


rango de una función.



RÚBRICA PARA LA PRÁCTICA

Indicadores

Nivel

Criterios de desempeño

30% 20% 10%

Actitudinal:

Participación y disposición al

trabajo.

Puntualidad y

responsabilidad.

Cooperación y aportaciones.

Conducta y respeto.


condiciones:

-Participa siempre.



sus tareas.

- Llega, aporta su

cooperación.



respeta.

Satisface 4 de las


-Participa siempre.



sus tareas.

- Llega, aporta su

cooperación.



respeta.

Satisface 3 de las


-Participa siempre.



sus tareas.

- Llega, aporta su

cooperación.



respeta.

Cognitivo:

La práctica cumple con las

especificaciones:


condiciones:

- Reflexiona las teorías

utilizadas.

- Aplica las teorías

descritas.

- Tiene claridad en el

Satisface 5 de las



utilizadas.


descritas.


Satisface 3 de las



utilizadas.


descritas.




desarrollo de los ejercicios.

- Demuestra habilidad en el

manejo del software.

- Utiliza las herramientas

del software de manera

apropiada y correcta.

desarrollo de los

ejercicios.

- Demuestra habilidad en

el manejo del software.

- Utiliza las herramientas

del software de manera


desarrollo de los ejercicios.

- Demuestra habilidad en el

manejo del software.

- Utiliza las herramientas del

software de manera




LISTA DE COTEJO PARA EVALUAR REPORTE

Nombre de la asignatura: Matemáticas IV Bloque II: Aplicas funciones especiales y

transformaciones de gráficos.

Alumno: Parcial:

Grupo: Fecha de aplicación:

No Características del producto a evaluar

El reporte:

PONDERACIÓN

SI = 2.5

SÍ NO

1 Contiene modelo matemático que represente el resultado general.

2 Contiene desarrollo de operaciones y resultados.

3 Contiene la identificación de la función de valor absoluto

4 Contiene la identificación de la función constante

5 Incluye conclusiones apegadas al contenido del reporte

TOTAL



BLOQUE V

RÚBRICA PARA CALIFICAR EJERCICIOS.

MATEMÁTICAS IV

DOCENTE INSTITUCIÓN

ALUMNO SESIÓN

SEMESTRE Y GRUPO FECHA DE APLICACIÓN

NIVELES O INDICADORES DE LOGRO

INDICADORES DE

DESEMPEÑO

EXCELENTE

(10)

BIEN

(9-8)

REGULAR

(7-6)

NECESITO

MEJORAR (5)

CÓMO

MEJORAR

Identifica las diferentes

clases de funciones.

Resuelve

correctamente del

86 al 100% de los

problemas

Resuelve

correctamente del

71 al 85% de los

problemas

Resuelve

correctamente del

60 al 70% de los

problemas

Resuelve

correctamente

menos del 60% de

los problemas

Comunicación y

argumentación de ideas

matemáticas

Demuestra completo

entendimiento en la

resolución de

problemas y

desafíos

Demuestra

entendimiento

sustancial en la

resolución de

problemas y

desafíos

Demuestra regular

entendimiento en

la resolución de

problemas y

desafíos

Demuestra un

entendimiento muy

limitado en la

resolución de

problemas y

desafíos

Destrezas matemáticas Maneja

correctamente la

calculadora

científica

Maneja bien la

calculadora

científica

Tiene algunos

errores en el

manejo de la

calculadora

científica

Se equivoca

constantemente en

el manejo de la

calculadora

científica.



Elaboración de tareas y

trabajos para el portafolio de

evidencias

La tarea la presentó

en limpio y

ordenadamente

La tarea la presentó

en su mayor parte

limpia y

ordenadamente

La tarea la

presentó

parcialmente en

limpio y

ordenadamente

No presentó la tarea

o bien al presentarla

carece de limpieza y

orden.

Actitud Siempre tiene una

actitud positiva en el

desarrollo de la

sesión.

A menudo tiene una

actitud positiva en el

desarrollo de la

sesión.

Ocasionalmente

tiene una actitud

positiva en el

desarrollo de la

sesión.

Se da por vencido

fácilmente durante la

sesión.



LISTA DE COTEJO PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y/O EJERCICIOS EN CLASES.

Número de equipo: ___ Fecha: _______ Asignatura: _____________Número de sesión: ____

No de lista de los integrantes: _________________________________ Grupo: _____________

TOTAL =

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Ponderación(%) SI NO

Procedimiento 3

Metodología geométrica y analítica 2

Presentación y limpieza 2

Expresión gráfica-pictórica 2

Creatividad y originalidad 3

Exactitud de resultados 3



BLOQUE VI ANEXO 1. Ejercicios Propuestos. 1. Una bola rueda cuesta abajo por un plano inclinado. La distancia que recorre varía directamente en función del cuadrado

del tiempo. Si la bola rueda 12 pies en 2 segundos, ¿Qué distancia recorre entonces cuando rueda 3 segundos? 2. Si el volumen de una esfera varía directamente en función del cubo de su radio, y V = 288 ¶ pulgadas cúbicas cuando r = 6

pulgadas, calcula V cuando r = 2 pulgadas. 3. Se necesita una fuerza de 2.4 libras para mantener estirado un resorte de 1.8 pulgadas con respecto a su longitud natural.

Con la ley de Hooke, determina la fuerza necesaria para mantener el resorte estirado 3 pulgadas. Recuerda que la ley de Hooke establece que la deformación de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada (F = -k x).

4. Si un objeto cae 256 pies en 4 segundos, calcular cuántos pies caerá en 7 segundos, sin tener en cuenta la resistencia del

aire, y considerando que la distancia a la que un objeto cae (cuando la altitud es cercana a la superficie de la tierra) es directamente proporcional al cuadrado del tiempo de caída.



BLOQUE VII

LISTA DE COTEJO DE ACTIVIDADES DESARROLLADAS (DENTRO Y FUERA DE CLASE)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Ponderación(%) SI NO

Presenta el trabajo limpio, ordenado. 3

Plantea correctamente el problema. 5

Claridad y originalidad. 3

Expresa contenido, modelos matemáticos. 3

Puntualidad en la entrega. 3

Utiliza conceptos matemáticos relevantes. 3

Desarrollo. 5

TOTAL

NOTA: Queda a consideración de cada docente, elaborar y/o adecuar los instrumentos de evaluación de acuerdo a sus actividades.



CRÉDITOS

ELABORACIÓN DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS

DOCENTES PARTICIPANTES ZONA

Álvarez Galdámez Hugo Herminio. Centro Fraylesca

Calderón Hernández Luis Enrique. Centro Fraylesca

Cameras Cruz Maricela. Sierra Fronteriza

Constantino López Neyser Darío. Selva Norte

Fernández Náfate David Bernardo. Selva

Flores Molina Joaquín Alejandro. Altos

Guadarrama Gallardo Mario Selva Norte

Méndez Díaz Ángel Eduardo. Centro Norte

Morales Velázquez Ricardo. Istmo – Costa

Muñoz Hernández Miguel Ángel. Centro Norte

Murillo Reyes Eder Javier. Centro Norte

Ordoñez Campos Ventura. Costa

Silvan Magaña Richard. Centro Norte

Villatoro Meza Tania. Sierra Fronteriza

Herrera Anzueto Francisco. Costa

Banda Latournerie Sabino Norte

Gómez Pérez Aldo Norte

López Vera Omar Alejandro Selva



Madrid Marroquín Juan Luis Istmo Costa

Moguel Alcázar Luis Edmundo Altos

Pérez Gallardo Yebet Altos

OFICINA DE ACADEMIAS

María de los Ángeles Patricia Espinosa Tovilla

Flor Alicia Gómez González

Raúl Neftalí Vázquez Escobar

Julio Martín Díaz Sánchez

matematicas iv

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