matematicas-números naturales y cardinales-guía alumnos 2014

LICEOS BICENTENARIO SECRETARA TCNICA

2014

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Liceos Bicentenario Matemtica 2014

Nmeros Naturales y Cardinales

Material complementario para Sptimos Aos

Temas: - Caractersticas de los nmeros naturales

- Simbologa - Operatoria en N (+, -, , :) - Prioridad de las operaciones - Potencias de base y exponente natural - m.c.m y M.C.D. - par, impar, sucesor, antecesor - Ejercitacin

Versin: Estudiante


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Conjuntos numricos

La necesidad de contar, viene de tiempos inmemoriales. La humanidad cre entonces algunos sistemas que le permitieron

registrar la cantidad de objetos. Primeramente en forma muy rudimentaria, con los dedos, con piedritas, etc. Luego se volvi necesario

inventar un sistema ms estndar, ah nacen los sistemas numricos.

En nuestros das usamos el Sistema Numrico Decimal, cuyas caractersticas son:

1.- Este sistema o conjunto numrico conocido como el conjunto de los dgitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Como puedes ver, este conjunto tiene Cardinalidad= 10, pues son 10 elementos los que lo forman.

Las combinaciones que se pueden realizar con estos elementos dan origen a lo que conocemos como Sistema Numrico Decimal.

2.- Es posicional, es decir que cada cifra o dgito tiene un valor segn la posicin que ocupa.

Ejemplo: Los siguientes nmeros estn formados por tres Cifras o dgitos

Caso 1: 345

Caso 2: 534

Caso 3: 453

Miremos la cifra 4, en el primer Caso, corresponde a la posicin de las decenas, en el segundo caso corresponde a las unidades

y el tercer caso a las centenas. Es decir estos tres nmeros si los ordenamos de menor a mayor quedan de la siguiente forma:

345; 453; 543 Este es un ejemplo de cmo en nuestro Sistema Numrico Decimal es posicional.

Al cumplir la caracterstica de ser posicional, podemos establecer una Relacin de Orden entre los elementos que lo componen.


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Es decir, podemos usar los smbolos que conoces:

< : menor que

> : mayor que

A los nmeros formados por los dgitos se les llama Nmeros Naturales y son los que como su nombre indica, fueron usados por

nuestros antepasados humanos para contar los objetos que los rodeaban: vacas, piedras, rboles, etc.

Una forma de resumir la informacin en matemtica es escribindola con smbolos.

Sus caractersticas principales:

i) 1 , es el primero, no hay natural anterior al uno.

ii) Si a a 1 , esto presenta el concepto de Sucesor.

Observacin: El nmero 1 no tiene Antecesor en el conjunto de los Nmeros Naturales.

1, es el primer nmero de este conjunto, el sucesor de 1 es, 1 + 1 = 2, el sucesor de 2 es 2 + 1 = 3, y as sucesivamente,

por lo tanto:

1,2,3,4,5,6,... , los 3 puntos, , significan y as sucesivamente.

Simbologa

: nmeros naturales

: Pertenece a

=>: Implica o Entonces


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1 2 3 4 5 6 7 8

Los Naturales en la recta numrica

Operatoria en los naturales.

Lo ms probable es que en tiempos de la prehistoria humana, ya se conociera lo que hoy llamamos Adicin

(ms conocida como suma). Veamos algo de Teora de Conjuntos que nos puede explicar lo que es realmente lo que

llamamos suma:

A={ 8 vacas} y B={7 vacas} . Entonces si reunimos los elementos de los dos conjuntos tendremos la cantidad total:

A U B = {15 vacas} esta es una forma de expresar la suma, en forma de conjuntos.

Adicin (suma, su smbolo es el +)

La forma antes descrita de agregar elementos no es tan prctica por lo que se invent la Operacin Adicin (suma)

Ejemplo1: 2 + 5 = 7 2

+ 5

7

Ejemplo2: 279 + 68 = 347 279

+ 68

347

Observacin:

Los trminos de la adicin

son:

a

+ b C suma

sumandos


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Sustraccin (resta, su smbolo es el - ) La necesidad de quitar surge inmediatamente, es as como aparece la operacin sustraccin que es contraria a la operacin adicin.

Ejemplo1: 7 3 = 4 7

- 3

4

Ejemplo2: 683 58 = 625 683

- 58

625

Para Analizar:

Qu sucede si el Minuendo es menor que el Sustraendo?.

Respuesta: _____________________________________________________________

(Ms sobre este tipo de nmeros lo veremos en una prxima unidad: Nmeros Enteros)

Simbologa

: no pertenece a

Observacin:

Los trminos de la sustraccin son:

a minuendo

- b sustraendo C resta o diferencia


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Multiplicacin ( ) : si se quiere sumar ms de una vez, un mismo nmero, a lo que llamaremos suma iterada, estaremos en

presencia de la operacin Multiplicacin.

Ejemplo1: 7 + 7 + 7 + 7 = 7 4 = 28

Ejemplo2: 43 + 43 + 43 + 43 + 43 + 43 = 43 6 = 258

Divisin ( : ) Si se quiere repartir en partes iguales una cantidad, deberemos usar la operacin Divisin

Ejemplo1: 56 : 4 = 14

16

0

Ejemplo2: 128 : 37= 3

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Observacin:

1) Slo usaremos el

smbolo para referirnos a la multiplicacin.

2)

factores producto

Observacin:

Los trminos de una divisin son:

a : b = d

c

a: dividendo b: divisor c: resto o residuo d: couciente o cociente

El smbolo indica que se ha terminado la divisin.


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Comprobacin de una divisin (Algoritmo de la divisin)

Para comprobar una divisin se debe multiplicar el Cuociente por el Divisor y a este producto se le suma el Resto. Si est correcto el

clculo, debera dar como resultado el dividendo.

Ejemplo1: Si comprobamos el Ejemplo anterior:

(3 37) + 17 = 128

111 + 17 = 128

128 = 128

Potencia: La potenciacin es una multiplicacin iterada, es decir un mismo nmero (base) se multiplica por s mismo,

un nmero de veces. Este nmero de veces se le llama exponente de la potencia.

Ejemplo: 75 = 7 7 7 7 7 = 16.807

Algoritmo de la divisin

a : b = d (d b) + c = a c

Smbolo: significa si y slo si

Observacin:

Los trminos de la Potenciacin son: exponente

an = b

base potencia(resultado)


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Prioridad de las operaciones

Al resolver expresiones aritmticas donde se empleen operaciones diferentes, deberemos tener presente la Prioridad de las operaciones.

1 Parntesis

2 Potencias

3 Multiplicacin o Divisin

4 Adicin o Sustraccin

Observaciones:

i) Si un ejercicio contempla parntesis anidados (uno dentro de otro), debers siempre realizar las operaciones desde el parntesis interior hacia el exterior.

ii) Si un ejercicio presenta dos operaciones del mismo nivel de prioridad, debers operar de izquierda a derecha segn aparezcan.

Ejemplo1: 45 : 9 3 = Ejemplo2: 8 + 2 - 7 =

5 3 = 10 -7 =

15 3

Ejemplo3: (5 + [8 4 17]) = (5 + [32 -17])

= (5 + 15)

= 20

Observacin:

Este orden debe respetado,

pues si cambias el orden

obtendrs un resultado errneo


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Notacin decimal de un nmero natural.

Veamos el siguiente nmero y su descomposicin aditiva:

72.456 = 7 10.000 + 2 1.000 + 4 100 + 5 10 + 6 1

Si te fijas hemos descompuesto este nmero mediante el uso de potencias de 10.

Veamos cmo queda si usamos la nomenclatura de potencias:

72.456 = 7 104 + 2 10

3 + 4 10

2 + 5 10

1 + 6 10

0

.

Algunas Potencias de 10

100 = 1

101

= 10

102 = 100

103 = 1.000

.

.

.

10n = 1000..........000

tantos ceros segn sea el exponente


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Ms sobre los Naturales

Sucesor: Si n , entonces n + 1, es el sucesor de n.

Antecesor: Si n , entonces n 1, es el antecesor de n, con n >1

Par: Si n , entonces 2n, es par

Nmeros pares = {2,4,6,8,10,}

Sucesor par: p pares p 2 , es sucesor par de p.

(Si a un nmero par le agregas 2, obtendrs su sucesor par.)

Antecesor par: p pares p 2 , es antecesor par de p; p > 2

(Si a un nmero par le quitas 2, obtendrs su antecesor par.)

Para Analizar:

1) El 2 tiene antecesor par?.

Respuesta: __________________________________________________________

Simbologa

: Para todo


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Impar: Si n , entonces 2n 1, es impar.

Nmero impares = {1,3,5,7,9,}

Sucesor impar: q impares q 2 , es impar sucesor de q.

(Si a un nmero natural impar le agregas 2 , obtendrs siempre su sucesor impar.)

Antecesor impar : q impares q 2 , es impar antecesor de q. q > 2

(Si a un nmero natural impar le quitas 2, obtendrs siempre su antecesor impar.)

Primos: Son aquellos nmeros que son distinto de 1 y se pueden dividir en forma exacta slo por s mismo.

Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..

Compuestos: Son aquellos que adems de dividirse por s mismo, tiene uno o ms divisores primos.

Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, .


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Mltiplo: a,b,c a b c c es mltiplo de a y de b.

Ejemplo: 4 3 = 12 => diremos que 12 es mltiplo de 4 y tambin es mltiplo de 3.

M(4) = {4,8,12,14,.} y M(3)= {3,6,9,12,15,.}

Divisores: a,b,c a b c a y b son divisores de c

Ejemplo: 12 : 1 = 12

12 : 2 = 6

12 : 3 = 4 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

12 : 4 = 3

12 : 6 = 2

12 : 12 = 1

Reglas de Divisibilidad

i) Todo nmero es divisible por 2, si su ltima cifra es cero par.

ii) Todo nmero es divisible por 3, si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.

iii) Todo nmero es divisible por 4, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 4.

iv) Todo nmero es divisible por 5, si su ltima cifra es 0 5.

v) Todo nmero es divisible por 6, si lo es por 2 y 3 a la vez.

vi) Todo nmero es divisible por 8, si sus 3 ltimas cifras son ceros o la suma de las tres ltimas

cifras son mltiplos de 8.

vii) Todo nmero es divisible por 9, si la suma de sus cifras es mltiplo de 9.

Observacin:

Todas estas divisiones son

exactas, es decir el resto es

Cero.


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Observacin: Una de las reglas ms entretenidas es la divisibilidad por 7:

Un nmero es divis ible por 7 cuando la di ferencia entre el nmero s in la ci fra de las unidades y e l doble de la ci fra de las unidades es 0 un mlt iplo de 7.

Verifica usando la regla de divisibilidad del 7, si los siguientes nmeros son divisibles por 7:

i) 294 Respuesta: _____________________

ii) 423 Respuesta: _____________________

iii) 3.192 Respuesta: _____________________


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Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.)

Como el nombre lo indica, corresponde al menor mltiplo comn.

Ejemplo: Encontrar el m.c.m. entre 4, 6 y 8.

Usaremos una tabla

4 6 8 2

2 3 4 2

1 3 2 2

1 3 1 3

1 1 1

Otra forma de verlo es obtener la descomposicin prima de cada nmero

4 2 6 2 8 2 Entonces el m.c.m. corresponder al producto

2 2 3 3 4 2 de los factores comunes y no comunes de

1 1 2 2 mayor exponente. 23 3 = 24

1

2 2 2 3 = 24

Factores primos

22 23 23


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Mximo Comn Divisor (M.C.D.)

Como el nombre lo indica corresponde al mayor de los divisores comunes. Veamos un ejemplo:

18 2 24 2 30 2

9 3 12 2 15 3

3 3 6 2 5 5

1 3 3 1

1

El M.C.D. es el producto de las potencias comunes de menor exponente.

Entonces M.C.D. = 23 = 6

Cmo saber rpidamente la cantidad de divisores que tiene un nmero?

Respuesta:

Vemoslo con un ejemplo:

24 = 23 3 = 2

3 3

1, si tomamos los exponentes y cada uno le sumamos 1 y luego multiplicamos

los resultados, tendremos el nmero de divisores.

3 + 1 = 4

1 + 1 = 2

Entonces 4 2 = 8. Por lo tanto el 24 tiene 8 divisores.

2 32 23 3

235


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Nmeros Cardinales

Los mayas mucho antes que los rabes ya conocan el 0 (ao 36 a. C.), es el nmero que indica ausencia de objetos. El cero aparece en

nuestro sistema decimal y nos permite formar nmeros como: 1.000; 3.201; 500.006 etc.

Si vemos la representacin grfica de los conjuntos numricos hasta ahora estudiados, mediante un diagrama de Venn, tendremos:

El conjunto de los Cardinales, es decir, la unin entre Los Naturales y el conjunto que contiene al Cero nos permitir establecer nuevas

relaciones numricas.

Visto como recta numrica nos queda:

Observacin: El cero se considera nmero par ( Se encuentra entre dos impares y adems es un entero mltiplo de 2)

1, 5, 89, 2.000

34, 70

480.000

0 N U {0} = N0 = N*

N


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Notas para el Alumno:

- El espacio que queda en el costado derecho de este cuadernillo, le permitir a usted realizar sus clculos o tomar apuntes, si lo consideran necesario.

Ejercicios

I. Completa los cuadritos con el Sucesor y el Antecesor en cada caso:

(considera que los nmeros pedidos deben ser Nmeros Naturales)

i) 82 ii) 99

iii) 1.000 iv) 55

v) 349 vi) 9.999

vii) _________1 viii) 10

Notas del estudiante


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II. Resuelve los siguientes ejercicios:

1) 77 + 33 = 2) 1.001 2 =

3) 90 + 101 = 4) 789 + 324 =

5) 99 + 11 = 6) 25 + 52 =

7) 333 111 = 8) 789 324 =

9) 111 91 = 10) 10.999 1.111 =

11) 888 666 = 12) 10.423 554 =

13) 15 + 13 27 = 14) 56 46 + 10 =

15) 11 + 22 19 = 16) 37 (12 + 18) =



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17) (65 + 35) 1 = 18) (23 + 42) 35 =

19) 12 13 + 4 = 20) 18 + 32 24 =

21) 44 + 55 77 = 22) 56 34 + 90 =

23) (23 + 32) 13 = 24) (47 23) + 16 =

25) (24 12 + 32) 11 = 26) 101 99 + 2 1 + 345 =

27) 278 178 + 100 199 =



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28) 10.900 900 1.000 1 =

29) 1.999.999 + 1 555.555 =

30) 999 + 1.000 + 10 =

III.- Resuelve los siguientes ejercicios:

1) 11 23 = 2) 32 7 =

3) 18 19 = 4) 27 12 =

5) 101 44 = 6) 54 8 =

7) 110 13 = 8) 700 800 =

9) 8 88 = 10) 66 78 =



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11) 1.001 24 = 12) 790 11 =

IV.- Divide y anota en cada recuadro el cuociente y el resto:

13) 126 : 6 = cuociente resto







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18) 1.000 : 333 = cuociente resto









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V.- Calcula el valor de cada expresin:

25) 25 = 26) 3

4 =

27) 132 = 28) 20

3 =

29) 35 = 30) 2

6 =

31) 1002 = 32) 5

4 =

33) 1.0002 = 34) 7

4 =

35) 64 = 36) 8

4 =



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24

37) 2 42 = 38) 3

3 9 =

39) 83 : 16 = 40) 7

3 : 7 =

41) 4 9 : 12 = 42) 24 : 4

2 =

43) 23 3

3 = 44) 24 4 3 =

45) 13 + 5 2 = 46) 3 15 : 9 =

47) 13 + 23 12 = 48) 23 + 33 =

49) 52 32 = 50) 132 3 20 =

51) 175 : 5 : 5 = 52) 5 4 4 =



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25

53) 64 : 4 : 4 : 4 = 54) 2 4 8 =

55) 16 + 16 + 16 = 56) 1.011 : 3 2 =

57) 2 + {2 + [2 + (2 + 2)]} =

58) 3 {3 + [32 (6 3)] 1} -1 =

59) {2 [24 8] 4 12} : 7 =

60) [3 42 : 8 -4] + {1000 : 4 5} =

61) 100 {33 2.000 : 1.000} =



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62) (128 : 4) (32 : 4) + (63 : 23) =

VI.- Encuentre todos los divisores de:

63) 48 es divisible por los siguientes nmeros

{ }


{ }

Qu tipo de nmero es ste?


{ }



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{ }


{ }

VII.- Calcula el Mmimo Comn Mltiplo (m.c.m.)

y Mximo Comn Divisor (M.C.D.)en los siguientes casos:

68)

Nmeros m.c.m. M.C.D.

8 y 12

3, 9 y 27

11 y 19

20, 30 y 40

39 y 65

24, 36, 18, 12 y 48



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VIII) Complete la tabla con los datos pedidos. (Recuerde que estamos en el conjunto de los nmeros Cardinales)

69)

Antecesor Par Antecesor

impar

Antecesor Nmero Sucesor Sucesor Par Sucesor Impar

7 8

14 16

18 20 21

99 101 102

1 3

0 1 2

999.998

999.999 1.000.000 1.000.001 1.000.001

Observacin:

Simbologa

: Existe



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IX) Escriba el resultado de los siguientes problemas en el recuadro:

70) El sucesor del sucesor de 14 es

71) El antecesor del antecesor de 27 es

72) El sucesor del antecesor de 100 es

73) El antecesor del sucesor de 78 es

74) El sucesor del antecesor par de 24 es

75) El sucesor impar del antecesor de 1.001 es

76) El sucesor del sucesor del sucesor de 0 es

77) El sucesor del antecesor del sucesor par de 8 es



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X) Resuelva los siguientes problemas. Anota tu resultado en el recuadro respectivo

1) La mam de Juan lo mand a comprar 1 kilo de pan que cuesta $1.150 y

un cuarto de jamn que cuesta $890. Cunto pag Juan por el total de la compra?

2) La edad de Anita en el ao 2.037 ser de 70 aos. Qu edad tiene actualmente

Anita?

3) Un agricultor produce 150 sacos de trigo. Si cada saco contiene 80 kilos de

trigo y cada kilo de trigo $640.

Cunto dinero obtendr si vende todos los sacos de trigo?

4) El sueldo de Jorge es de $1.790.000. Jorge paga el dividendo de su casa que

corresponden a $280.000, los gastos bsicos suman $145.000 y en alimentacin gasta

$200.000. Cunto dinero le quedar a Jorge para otros gastos?



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5) Una abuelita dej una herencia de $57.896.000. Si los herederos son 4 y

se reparte en partes iguales la herencia. Cunto dinero recibir cada uno?

6) Un automvil viaja a una rapidez de 80 kilmetros por hora, cuntos

Kilmetros recorrer en 6 horas?

7) La distancia entre Santiago y Concepcin es 512 km., si Pedro viaja desde

Santiago a la ciudad de Concepcin en su auto a una rapidez de 64 km/h.

Entonces, Cuntas horas demorar en llegar?

8) Una bacteria triplica su cantidad cada 3 minutos. Al cabo de 15 minutos,

Cuntas bacterias habr, si al inicio haba una?



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9) A los futbolistas les otorgan un premio por cada gol que anoten al equipo

contrario. Pepe fue contratado por $ 4.000.000 mensuales y por cada gol

le pagarn $ 60.000.Si en Marzo anot 12 goles, Cunto gan en ese mes?

10) Un profesor tiene 200 lpices para repartir en su curso de 45 alumnos.

Si los debe repartir de manera que a cada alumno le corresponda la misma

cantidad.

Cuntos lpices le sobrarn al repartirlo?

11) Un edificio tiene cuatro departamentos por piso. Cada departamento tiene

4 ventanales, a su vez los ventanales tienen 4 vidrios cada uno.

a) Cuntos vidrios hay en total, si el edificio consta de cuatro pisos?

b) Escriba su resultado en forma de potencia



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Observaciones importantes

Estas tablas pueden resultarte prcticas cuando ests realizando clculos.

Tablas de multiplicacin Tabla de cuadrados y cubos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

Cuadrado Cubo

1 1 1

2 4 8

3 9 27

4 16 64

5 25 125

6 36 216

7 49 343

8 64 512

9 81 729

10 100 1000

11 121 1331

12 144 1728

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