Matemáticas para ingeniería I

Ingeniería en Mecatrónica Lilia Meza Montes – IFUAP

Otoño 2017

1.1 Funciones de varias variables

Espacio n-dimensional Operaciones con funciones

Espacio n-dimensional

•  Es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se denomina espacio númerico n-dimensional y se denota por Rn

•  Cada n-ada ordenada (x1, x2, …,xn) se llama punto del espacio

•  n es la dimensión del espacio

Espacio numérico

•  Los elementos de las n-adas pueden ser números o representar cantidades físicas.

•  Nosotros usaremos el espacio de números, es decir, el espacio númerico.

•  Usualmente trabajaremos en R2 (representación geométrica es un plano) y R3

(espacio tridimensional)

Función •  Una función de n variables es un conjunto de

pares ordenados de la forma (P,w) en el que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tienen el mismo primer elemento. P es un punto del espacio N-dimensional y w es un número real

RN

Dominio. Conjunto de puntos P admisibles

P=(x1, x2, …,xN) R (P,w)

Contradominio. Conjunto de valores resultantes

w

Dominio de la función •  Muchas funciones tienen como dominio

todo el espacio n-dimensional. •  Otras solo para algunas regiones pues no

están definidas para ciertos puntos Ejemplo: 2225

1yx

z−−

=

Interior del radical debe ser mayor o igual a cero. Función definida solo para puntos en la bola abierta de radio 5 y centrada en el origenàesta bola es el dominio x2+y2 < 25

Dominio: ejemplos •  El dominio puede ser una región de Rn

Ejemplos

•  En R2

•  En R3

)exp(),(),(

)cos(),(22

2

θθ Karrhxtbtaxtxgyaxxyxf

−=

++=

=

( )2222

2),,(

/)cosh(),,(),,(

zyzyx kkkm

kkkH

TPVaTVPgxyzzyxf

x++=

=

=

!

Operaciones con Funciones

a) Multiplicación por constante c= const à cf(x,y,z)=g(x,y,z) otra función b) Suma de funciones f(x,y,z)+g(x,y,z) otra función c) Producto de funciones fg=f(x,y,z)g(x,y,z)

d) División de funciones f/g=f(x,y,z)/g(x,y,z) e) Composición de funciones f[g(x,y,z)] Ejemplo: f(t) = ln t, g(x,y)=cos(xy) (f◦g)(x,y)=f[g(x,y)] = f[cos (xy)]= ln [cos(xy)]

Definición de una función

•  En forma analítica (con una fórmula) •  En forma númerica (sólo con valores

numéricos) Puede ser definida por regiones: Una sola expresión para todo el dominio Una expresión para cada subconjunto del

dominio

LMM 12

Funciones de dos variables

x

y

z=F(x,y) x1 y1 F(x1,y1) x1 y2 F(x1,y2) x1 ...

x2

... y1 F(x2,y1)

LMM 13

Ejemplo 1 Gaussiana

)exp( 22

)( 22

yxey yx

−−=

= +−

LMM 14

Contornos= “cortes” en z=constante

15

f(x,y)=cos x cos y f f2

16

f(x,y)=cos 2x cos y f(x,y)=cos x cos 2y

f2 f f f2

17

Funciones de tres variables

x

y

z x1 y1 z1

F(x1,y1, z1)

x1 y1 z2

F(x1,y1, z2)

x1 ...

x2

... y1 z1 F(x2,y1,

z1)

Color indica Valor de f(x,y,z)

18

Ejemplo