MATEMTICA PARA INGENIERIA I

Moreno Mestanza, Jos Antonio

Caso N 1

Identifique la cnica que representa cada una de las siguientes ecuaciones, represente su

grafica en el plano cartesiano y muestre los vrtices y focos.

a) =

2 4 + 4 4( 2 + 2 + 1) = 4

( 2)2 4( + 1)2 = 4

( )

( + )

=

Ecuacin que representa a una hiprbola con centro en el punto:

C (2, -1)

Resumen

El presente trabajo es la resolucin de tres casos sobre las curvas cnicas y aplicaciones de

las derivadas.

El Caso N 1, requiere identificar y graficar, indicando sus principales elementos, de las

curvas cnicas representadas por tres ecuaciones.

El Caso N 2 trata sobre una micro empresa textil, que requiere encontrar la produccin mxima de telares y el nmero de trabajadores necesarios para lograrlo, as como la grfica correspondiente de la funcin.

El Caso N 3 requiere encontrar los valores extremos, punto de inflexin y la grfica

correspondiente de una funcin determinada.

La resolucin de esta tarea virtual me ha permitido ahondar los conocimientos sobre las

curvas cnicas y las aplicaciones de las derivadas a casos concretos.

Las grficas se trazaron con ayuda del software Graph.

Con el eje focal paralelo al eje :

2 = 4 =

2 = 1 =

2 = 2 + 2 = = .

Vrtices: 1 (2 , 1) ; 2 (2 + , 1)

1 (2 2, 1) ; 2 (2 + 2, 1)

(, ) ; (, )

Focos: 1 (2 , 1) ; 2 (2 + , 1)

1 (2 2.24, 1) ; 2 (2 + 2.24, 1)

(. , ) ; (. , )

Asntotas:

( 2)2 4( + 1)2 = 0

( 2 2 2)( 2 + 2 + 2) = 0

2 2 2 = 0 ; 2 + 2 + 2 = 0

=

+ =

Grfica:

Adems de los valores anteriores, calcularemos los puntos en que la hiprbola intersecta a los ejes coordenados y la bosquejaremos y graficaremos con las asntotas como gua. Los valores que as lo requieran se muestran con dos cifras decimales.

Puntos x y

P1 -0.83 0

P2 -0.83 -2

V1 0 -1

V2 4 -1

P3 4.83 0

P4 4.83 -2

b) + + + =

3(2 6 + 9) + 2(2 + 2 + 1) = 23 + 27 + 2

3( 3)2 2( + 1)2 = 6

( )

+

( + )

=

Ecuacin que representa a una elipse con centro en el punto:

C (3, -1)

Con el eje mayor paralelo al eje :

2 = 3 = .

2 = 2 = .

2 = 2 + 2 = .

Vrtices: 1 (3, 1 + ) ; 2 (3, 1 )

1 (3, 1 + 1.73) ; 2 (3, 1 1.73)

(, . ) ; (, . )

Focos: 1 (3, 1 + ) ; 2 (3, 1 )

1 (3, 1 + 1) ; 2 (3, 1 1)

(, ) ; (, )

Grfica:

Adems de los valores anteriores, calcularemos los puntos en que la elipse intersecta a los ejes coordenados y algunos puntos ms para bosquejarla y graficarla. Los valores que as lo requieran se muestran con dos cifras decimales.

Puntos x y

P1 1.85 0

V1 3 0.73

P2 4.15 0

P3 4.41 -1

P4 4.15 -2

V2 3 -2.73

P5 1.85 -2

P6 1.59 -1

c) + =

3(2 2 + 1) = 12 + 12 + 3

3( 1)2 = 12 + 15

( 1)2 = 4 + 5

( 1)2 = 4 ( +5

4)

( ) = ( + . )

Ecuacin que representa a una parbola con vrtice en el punto:

(. , )

Con el eje paralelo al eje , con abertura hacia la izquierda ( < 0):

4 = 4

=

Como el eje de la parbola pasa por el vrtice y es paralelo al eje , la ecuacin del eje de la parbola es:

=

Foco:

El foco se encuentra sobre el eje de la parbola y a una distancia || a la izquierda

del vrtice.

(1.25 1, 1)

(. , )

Directriz:

La directriz de la parbola es perpendicular al eje de la parbola y se encuentra a una

distancia || a la derecha del vrtice, su ecuacin es:

= 1.25 + 1

= .

Grfica:

Adems de los valores anteriores, calcularemos los puntos en que la parbola intersecta al eje de la ordenadas y algunos puntos ms para bosquejarla y graficarla. Los valores que as lo requieran se muestran con dos cifras decimales.

Puntos x y

P1 -11 8

P2 -5 6

P3 0 3.24

V1 1.25 1

P4 0 -1.24

P5 -5 -4

P6 -11 -6

Caso N 2

Una microempresa textil La Llamita ha estimado que la funcin de produccin mensual de sus telares incaicos es dada por la funcin T= AL2+BL, donde L es el nmero de trabajadores especializados en la confeccin de los telares, mientras que A = - 24 y B = 233 .

a) Determine el nmero de trabajadores que maximizarn la produccin mensual y

la cantidad de produccin mxima.

De acuerdo con las condiciones planteadas, la funcin es:

() = +

() = +

() =

Las variables de la funcin (nmero de trabajadores y cantidad de telares producidos) son nmeros enteros no-negativos, por lo tanto, el entero ms prximo al nmero de trabajadores que alcanza el valor mximo en la funcin es 5. Aunque este valor se encuentra en la rama de la curva que muestra que la produccin empieza a disminuir despus de haber alcanzado su valor mximo, la diferencia es mnima (medio telar) frente a una diferencia de 17.51 telares menos si solo fueran cuatro trabajadores; o 31.51, si fueran 6, tal como se muestra en la tabla siguiente:

Por lo tanto,

L T(L ) T (L) T"(L ) Concavidad Punto crtico

. . 0 < 0 Hacia abajo Mximo relativo

L T(L ) Dif c/valor mximo (565.51)

4 548 -17.51

5 565 -0.51

6 534 -31.51

5 trabajadores

maximizarn la

produccin mensual

con 565 telares.

b) Grafique la funcin y seale sus intersecciones con los ejes L y T (anlogo a X,

Y respectivamente).

Adems de los valores anteriores, calcularemos los puntos en que la funcin intersecta a los ejes coordenados para esbozar la forma de la curva y graficarla. Los valores que as lo requieran se muestran con dos cifras decimales.

Se ha graficado la rama izquierda de la funcin con color azul y la rama derecha con

color rojo porque, conforme aumenta el nmero de trabajadores, la primera muestra

cmo se incrementa la produccin y la segunda cmo disminuye, lo que permitir

realizar comparaciones tiles, como la efectuada para determinar el nmero de

trabajadores que maximizarn la produccin mensual.

Puntos L T(L )

P1 0 0

P2 4 548

P3 4.85 565.51

P4 5 565

P5 6 534

P6 9.71 0

Caso N 3

En la siguiente funcin: Y(X)=3X3 -2Bx2+8X, cuando B toma el valor de 24, encontrar:

a) El o los puntos donde la funcin alcanza un valor extremo y sealarlo.

b) Esbozar la grfica de la funcin original incluyendo todas las coordenadas posibles, indicando si la misma corresponde a un valor mximo o mnimo.

De acuerdo con las condiciones planteadas, la funcin es:

() = +

a) Valores extremos, concavidad y puntos de inflexin

() = +

() =

b) Grfica de la funcin Y(x)

Adems a los valores extremos y de inflexin, calcularemos los puntos en que la funcin intersecta a los ejes coordenados, as como algunos puntos adicionales para esbozar la forma de la curva y graficarla. Los valores se muestran con dos cifras decimales.

x Y(x ) Y(x) Y"(x ) Concavidad Punto crtico

0.08 0.34 0 < 0 Hacia abajo Mximo relativo 5.33 867.56 - 0 Inflexin

10.58 1735.45 0 > 0 Hacia arriba Mnimo relativo

Puntos x Y(x )

P1 -5.17 -1738.91 -

P2 -3.76 -868.16 -

P3 0 0 Int. c/origen

P4 0.08 0.34 Mximo relativo

P5 0.17 0 Int. c/eje abscisas

P6 5.33 -867.56 Punto de inflexin

P7 10.58 -1735.45 Mnimo relativo

P8 15.83 0 Int. c/eje abscisas

P9 16 128 -