DESARROLLOACTIVIDAD

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuaciones de Primer GradoMétodo de Igualación, sustitución y reducción

Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra

(Convirtiendo así un problema difícil en uno mas fácil).

A las ecuaciones con una sola incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método ( el de igualación, por ejemplo ).

Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación

No contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

Es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .

Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo por en

se tiene que

que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita

Cuya solución es .

Sistema de ecuaciones de Segundo grado

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que se resolverán simultáneamente. Hallar la solución de un sistema consiste en encontrar una solución común a todas las ecuaciones del sistema.Llamamos a un sistema de orden m x n si tienem ecuaciones y n variables.

Ejemplo 1 2 x - y = 3 ecuación (1) x + 3 y = 2 ecuación (2)

Sistema de orden 2 (ecuaciones 1 y 2 ) y 2 (variables, x y) o para decirlo en forma corta: 2 x 2 Ejemplo 25 x + 3 y = 10 (1) y = 2 x - 5 (2) x = y + 3 (3)¿Cuántas ecuaciones tiene este sistema? _____ ¿Cuántas variables? _____¿Cuál es el orden de este sistema? _______

Sistema 2 X 2

Un sistema 2 X 2 consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables. La solución de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto solución de ambas ecuaciones.

Ejemplo: La solución del sistema de ecuaciones es (x, y) = (2,4) esto es: x = 2, y = 4. ↓ ↓

Para la verificación utilizaremos uno de los siguientes métodos para resolver un sistema 2 X2

Método Gráfico, Sustitución, Eliminación o Reducción A. Gráfico La gráfica de cada ecuación de este sistema es una recta por lo tanto un sistema 2 x 2 consta de dos líneas en un mismo plano. Resolver este sistema por el método gráfico consiste en dibujar

ambas líneas en un Plano Cartesiano e identificar cualquier punto en común, es decir un punto de intersección, dado por un par ordenado de la forma (x, y). Posibles soluciones de un sistema 2x2

Sistema determinado La solución es única, el punto de intersección

Sistema inconsistente Ambas líneas tienen la misma inclinación por lo tanto no hay intersección entre ellas, decimos que son líneas paralelas.Este sistema no tiene solución.

Sistema dependienteEste sistema consta de dos ecuaciones equivalentes por lo que el conjunto solución es un conjunto infinito

B. Método de SustituciónEste método es recomendable cuando al menos una de las dos ecuaciones es fácil para despejar en una de las variables. Ejemplo 1

Sistema de Ecuaciones

Paso 1. Despeja para una ecuación para una de las dos variables la ecuación

Paso 2. Sustituye en la otra ecuación yresuelve la nueva ecuación para la variable que queda

Paso 3.Sustitución “hacia atrás”

y = 3 x – 2 (1) y = 5 + 2 x (2)

La ecuación (1) para y y = 3 x – 2 (1) ¡ya está despejada!

Sustituye en la ecuación (2) la variabley por su expresión 3 x – 2 3 x – 2 = 5 + 2 x (2)Resuelve para x 3 x – 2 x = 5 + 2      x = 7

Conozco x = 7, puedo sustituir en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2) para y. Sustituyo en (1)y = 3(7) – 2y = 21 – 2y = 19

Solución del sistema: (x,y) = (7,19)

Ejemplo 2 Paso [1] x ya está despejada en (1) à Paso [2] Sustituye y resuelve: 2 y - ( 3 y – 10 ) = 8 ecuación (2)

2 y - 3 y + 10 = 8 - y = 8 – 10

                            y = _____ ¿Ya terminé ? Sustituye el valor encontrado para y en la ecuación (1)

x = 3 y – 10.x = 3(2) – 10x = -4

Solución al sistema ( -4 , 2 ) C. Método de EliminaciónObjetivo

· eliminar una de las dos variables al sumar o restar dos de las ecuaciones del sistema.· los coeficientes de la variable que deseo eliminar deben ser valores opuestos (sumar

ecuaciones) o iguales (restar)Ejemplo 1

Sistema de Ecuaciones

Paso [1]: Coeficientes iguales u opuestos(multiplica por un # conveniente si es necesario)

Paso [2]: Sumar (o restar) ambas ecuaciones y resuelve

Paso [3]: Sustitución “hacia atrás”

No es necesario pues los coeficientes de yson opuestos

Al sumar (1) y (2) obtengo:8 x = 16   x =  16/8 x = 2 

Sustituyo x = 2 en cualquiera de las ecuaciones. En la (2)5(2) – 3 y = 10 Resuelvo:- 3 y = 10 - 10 - 3 y = 0 y = 0

La solución del sistema es (x, y) = (2,0)

Ejemplo 2

Los coeficientes no se eliminan al sumar o restar por lo tanto nuestro objetivo será utilizar una de las propiedades de equivalencia de ecuaciones para obtener en ambas ecuaciones el mismo coeficiente. Esto es, puedo multiplicar TODA la ecuación (1) por 3 para que los coeficientes de la x sean opuestos. Procedimiento Paso [1] Para eliminar la variable x multiplica la ecuación (1) por 3.

3[x - 2y = 7] à 3( x) - 3(2y) = 3(7) 3 x - 6 y = 21 (1 nueva) Paso [2] Sumar ambas: 3 x - 6 y = 21 (1 nueva)

-3 x + y = 4 (2)_________________ -5 y = 25

y = -5Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (1) (2) del sistema. Escojo (1)

x – 2(-5) = 7 x + 10 = 7          x = -3

La solución del sistema es (x, y) = ( -3, -5).

ACTIVIDAD 2 

ANEXO COPIA DE LA GUIA Y DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS