matematici speciale - umc

5/22/2018 Matematici Speciale - Umc

1/210

IOAN-MIRCEA POPOVICI DORINA POPOVICI

MARIANA DUMITRU ALINA COSTEA

Capitole de matematici:Speciale, probabiliti

i statistic

E d i t u r a

N A U T I C A


2/210

2


3/210

IOAN-MIRCEA POPOVICI DORINA POPOVICI

MARIANA DUMITRU ALINA COSTEA

Capitole de matematici:Speciale, probabiliti

i statistic

3

u r a

N A U T I C A


4/210

Editura NAUTICA, 2007

Editur recunoscut de CNCSIS

Str. ircea cel !tr"n nr.#0$

%00&&' Constana, (o)"nia

tel.* +$02$#&&.$7.$0

-a* +$02$#.72.&0

4


5/210

Cuvnt introductiv

Sub /enericul Capitole de )ate)atici1 eni) 3n

3nt")pinarea unor necesiti practice aprute 3n 3n)"ntul

superior* introducerea rapid a unor cunotine le/ate detehnici de calcul ba4ate pe noiuni ele)entare de anali4

)ate)atic, introductie 3n capitole noi. 5niruirea acestora

3ntro ordine /enerati* ecuaii cu deriate partiale, coe-icieni

i serii 6ourier din anali4a 6ourier, anali4a co)ple, calculul

operaional i anali4a stocastic, contribuie la dob"ndirea

unui li)ba8 tiini-ic utili4at in atin/erea co)petenelor

necesare stp"nirii ter)enilor, a -or)ulelor i a teore)elor de

ba4 9re4iduuri, trans-or)ate, ariabile aleatoare, alori )edii,

caracteristici ale ariabilelor:. ;orina i I.

trepte 3ntre )ate)atica -unda)ental si cea aplicati.

Autorii

Constanta, #2 )artie 2007

5


6/210

6


7/210


8/210

ttp*@@.)ats.u.edu.au@F7Ein-initB@In-initB

F20#[email protected])l 9un 8oc:

ttp*@@.)ats.u.edu.au@[email protected])l 9un lin?

Club In-initB, cu arborescenta in #7 directii :

Cuintele ceie ale acestei cri sunt ecuaii,trans-or)ate, -or)ule inte/rale, re4iduuri si probabiliti. ;e

-iecare din ele se lea/ un nu)e, ori o u in spatele creia

se descide peisa8ul unui spaiu al crui cunoatere

presupune lu)in pentru -iecare obiect 3n parte. Cine sunt

aceste obiecteJ 6or)ulele si teore)ele adunate 3n conul

po4iti al erbelor* a ti, a -ace, a aea, a -i, a aplica...

8


9/210

I. ECUAII CU DERIVATE PARIALE

Motto: Unde formele canonice

sunt inta si cheia

. ECUAII CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL a! II-!"a

. Ecua#ii cva$i!iniar". %or&" canonic".

Pro'!"&a !ui Cauc()

0u,...,u,u,...,u,u,t,z,y,xFttxxtx

=

este *or&a +"n"ra!, a un"i "cua#ii cu d"rivat" ar#ia!" d"

ordinu! a! doi!"a, pentru o -uncie u de patru ariabile reale

,B,4,t cu se)ni-icaii posibile , B,4 coordonatele unui punct,RDM 3 t, ti)pul, u o )ri)e -i4ic ale crei alori

depind de i t.

Iniial studie) ecuaii de -or)a 9#:.

D"*ini#i".K -uncie RRD:f 2 9; descis: se nu)ete

soluiea ecuaiei 9#: pe )uli)ea ; dac*9 1s : - ad)ite deriate pariale de ordinul al doilea pe ;

9 2s :( )

( , , ( , ), ( , ),..., ( , )) ,

( , )

x yyx y f x y f x y f x y E

x y D

9


10/210

9 3s :( )

( , , ( , ), ( , ),..., ( , ) 0,

( , )

x yyF x y f x y f x y f x y

x y D

=

;ac - este soluie pe ; a ecuaiei 9#:, supra-aa S de ecuaieD)y,x(),y,x(fz = se nu)ete $ura*a#, int"+ra!,

a ecuaiei 9#:.

D"*ini#i".K ecuaie de -or)a*2 2

2

2

2

( , ) 2 ( , )

( , ) , , , , 0 (2)

u ua x y b x y

x yx

u u uc x y d x y u

x yy

+ +

+ + =

se nu)ete "cua#i" cva$i!iniar,.RRD:c,b,a 2

9; do)eniu:,

.RRD:d

3

;ac

)y,x(u)y,x(y

u)y,x(

x

u)y,x(

y

u,

x

u,u,y,xd ++

+

=

cu ,RD:,,, ecuaia se nu)ete !iniar,.;ac ( ) D)y,x(0)y,x( = ecuaia se nu)ete!iniar, i o&o+"n,.

10


11/210

./. Caract"ri$tici

Ecuaia di-erenial

0)y,x(cy)y,x(b2y)y,x(a 2 =+ 9':

cu o sin/ur -uncie necunoscut. ;ac lu) B ca para)etru

r)"ne de deter)inat -uncia din ecuaia di-erenial*0x)y,x(cx)y,x(b2)y,x(a

2 =+ 9$:


12/210

Consider) ecuaia 92: pe un do)eniu DD0 i o

sci)bare de ariabil arbitrar .D!"D:! 000 =

)y,x(),y,x(

)y,x(),y,x(21

==

== 9L:

cu i -uncii de clas 2# pe 0D .

6ie inersa sa*== ,yy,xx 9%:

Cu aceast sci)bare de ariabil, o) obine din 92: o nou

ecuaie cu deriate pariale pentru -uncia U*( ) ( )

0"$%,),(y),,(xu,& = .

Min"nd sea)a c*( ),)y,x(),y,x(&)y,x(u =

ae) deriatele -unciilor co)puse

y

&

y

&

y

u

x

&

x

&

x

u

+

=

+

=

2 22 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2u U U U

x x x xx

U U

x x

= + + +

+ +

12


13/210

2 2 2

2

2 2 2

2

u U U

x y x y x y y x

U U U

x y x y x y

= + + +

+ + +

2 22 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2u U U U

y y y yy

U U

y y

= + + +

+ +

9:

.0. Ecua#ii !iniar" i o&o+"n" 1n raort cu d"rivat"!" d"

ordinu! a! doi!"a2 cu co"*ici"n#i con$tan#i

Un ca4 -recent 3nt"lnit 3n aplicaii, este cel al ecuaiei*

0y

uc

yx

ub2

x

ua

2

22

2

2

=

+

+

9#0:

cu a,b,c constani. Ecuaia di-erenial a caracteristicilor este*

( ) 0cyb2ya 2 =+a: Cu sci)barea de ariabile din teore),

xy,xy 21 == se obine -or)a canonic*

0&2

=

9##:

13


14/210

Ecuaia 9##: se scrie 0&

=

;eci ( )=

f

&9nu depinde de : unde - este o

-uncie arbitrar care ad)ite pri)itie cel puin local.6ie una din pri)itie. ;in ulti)a e/alitate re4ult c*

( ) ( ) ( )+=,&

b: Ca4ul c"nd .0acb2 = ;ac a O 0 sau c O 0 atunci b O

0 i sunte) 3n -or)a canonic.;ac 0a , ecuaia di-erenial a caracteristicilor se reducela .0bya =

Soluia /eneral a acestei ecuaii -iind aB P b O ?, sci)barea

de ariabilex,bxay

== trans-or) ecuaia dat 3n *,0

&2

2

=

de unde ( ) ( ) ( )+=,&

cu i arbitrare. (eenind la ecile ariabile).bxay()bxay(x)y,x(u +=

c: ;ac 0acb2


15/210

pentru care nu )ai pute) scrie )uli)ea soluiilor -olosind

-uncii reale arbitrare.

.3. A!ica#ii

. a.S se deter)ine tipul ecuaiei*( ) 0y

u

y

u3yx2

yx

ux2

x

u2

222

=

++

.'.Duai un punct 3n -iecare do)eniu.

So!u#i": .3yx3yx2xacb 2222 +=+==

;up cu) 0,0,0 ecuaia este de tipiperbolic, parabolic sau eliptic. Se a lua un punct deasupraparabolei ,3xy 2 += unul pe ea respecti un punct sub

parabol.

/.Aducei la -or)a canonic*

.0y

u

x

u2

y

u

yx

u

x

u2

2

22

2

2

=

+

+

So!u#i": Aplic) sci)barea de ariabile potriit

Ecuaia caracteristicelor este*

15


16/210

2

2

12

1,2

2

2 1 0

11 1 8

2 1 0 14

2

d y dy

dx dx

=

= + = =

=

adic .2

1

dx

dy

,1dx

dy

== Soluiile /enerale ale acestorecuaii di-ereniale sunt* .cxy2,cyx 21 =+=

6c"nd sci)barea de ariabiley2x,yx +== cu -or)ulele 9a: de deriare obine)*

.0uu

32

=

0.;eter)inai soluiile ecuaiilor cu condiiile iniialespeci-icate.

0y

u3

yx

u7

x

u2

2

22

2

2

=

+

cu ( ) .y0xx

u,y

0x0,xu

3 ==

=

=

So!u#i": Cu yx3 += i xy2 += a8un/e) la -or)a

canonic*

16


17/210

,0u

0u2

=

=

i)plic

( ) ( ) )(')('d)(fu,fu +=+==

;eci ( ) ).xy2('yx3)y,x(u +++=

Cu condiiile iniiale* ( ) yy,0x

u,y)y,0(u 3 =

=

obine)*3(0, ) ( ) (2 ) (1)

(0, ) 3 ( ) (2 ) (2)

u y g y h y y

uy g y h y y

x

= + = = + =

Inte/r"nd 92: 3n raport cu B ae)*2

3

13 ( ) (2 )2 2

( ) (2 )

yg y h y c

g y h y y

+ = +

+ =

i de aici

2 3

3 2

1 1( )

5 5

6 1

(2 ) 5 5

g y y y k

h y y y k

= +

=

i

17


18/210

( ) ( )2 3

3 2

1 1(3 ) 3 3

5 5

3 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

20 20

g x y x y x y k

h x y x y x y k

+ = + + + + = + +

9':

18


19/210

II. ANALI4A %OURIER Motto: Nu se putea ca armonia s nu aib

loc in idealul matematic.

/. SERII %OURIER

/.. Introduc"r"

0 3ntre Euler i dQAle)bert, se a8un/e la ideea lui ;.

!ernoulli de a repre4enta o curb de-init pe interalul R2,0 printro serie de sinusuri i cosinusuri.

6ourier propune -or)ulele pentru coe-icienii acestei serii.

;escoperirea lui 6ourier produce un e-ect etraordinar i dea

lun/ul secolului al Ilea, este considerat ca una din cele)ai i)portante teore)e ale anali4ei. Coner/ena seriei

6ourier nu a putut -i de)onstrat dec"t prin #L2% de ctre

;iriclet, utili4"nd -uncia )onoton pe poriuni introdus 3n

#L2# de ctre CaucB.

pentru re4olarea ecuaiei lui Daplace 3n coordonate

s-erice.


20/210

/./. S"rii tri+ono&"tric" %ouri"r

S"ria cor"$un5,toar" !ui * d" "rioad, T

D"*ini#i". Coe-icienii a i b de-inii 3n -or)ulele care

ur)ea4 se nu)esc coe-icienii 6ourier reali ai -unciei -, iar

seria corespun4toare, seria tri/ono)etric 6ourier. Analo/,coe-icienii c se nu)esc coe-icienii 6ourier co)pleci, iar

seria corespun4toare, seria 6ourier co)ple a -unciei -.;ac - este o -uncie de perioad 2 3n -or)ulele de

de-inire ale lui a i b , respecti c , pute) 3nlocui

interalul de inte/rare ),( cu )2,( + , -iindnu)r real oarecare.

6aptul c ata) -unciei - seria sa tri/ono)etric6ourier 3l o) nota

)xs*bxc+sa(2

a)x(f

1

0 ++

=

sau pe scurt )b,a(f 3n ca4ul real i siste)ul 9T:,

respecti x

%c)x(f

= sau -9 c : 3n ca4ul

co)ple cu siste)ul 9E:.ai /eneral, dac - este de perioad T , atunci -unciei

- i se poate asocia seria tri/ono)etric 6ourier

20


21/210

)xs*bxc+sa(2

a)x(f

1

0 ++

=,

unde +

=

-

xdxc+s)x(f

-

2a ,

+

=

-

xdxs*)x(f

-

2b .


22/210

/.0. A!ica#ii

. 6ie ,RR:f periodic de perioad2x)x(f,2- == pentru .x Scriei seria

6ourier corespun4toare.

So!u#i". 6 -iind par, ae)*

( ) 2

2

0

22

0 0

0 0

2 2

4( ) c+s 2 1

2 2 2c+s s* s*

0

4 4 1s* c+s c+s

0

4 4c+s ( 1) , b 0.

T

k

k

a F x k xdx T T

xx kxdx kx x kxdx

k

xx kxdx kx kxdx

k k k k

kk k

= = = = =

= = =

= = + =

= = =

3

2dxx

2)f(a

2

0

2

0

=

=

.

;eci

( )2

1

2

xc+s14

3)x(f

=+

.

22


23/210

/. 6ie x.f(x),R,0/:f = S se prelun/easc -p"n la o -uncie periodic, par, de perioad = 2- iapoi s se de4olte 3n serie 6ourier tri/ono)etric.

So!u#i":


24/210

b: S se deter)ine seria 6ourier nu)ai de cosinusuri asociat-unciei pe [ ],0 .So!u#i". 6uncia - este continu pe ( , este inte/rabil pe

orice interal co)pact , deci proble)a deter)inrii seriei

6ourier asociate ei pe un anu)it interal are sens.a: Dun/i)ea interalului este =2 .

5n acest ca4 -or)ulele /enerale care ne dau coe-icieniisunt*

,4

a,)1*4(

)1*4(4dx*x2c+sxc+sx

2a

022

2

0*

=+

=

=

*,14*

8*dx*x2s*xc+sx

2b

0 2*

=

=

.

(e4ult c seria 6ourier asociat -unciei - pe interalul[ ],0 este*

=

+

++

1*222

2

*x2s*1*4

*2*x2c+s

)1*4(

1*44

2

b:


25/210

0

0

2

12 2

2c+s c+s dx

1/c+s( 1) c+s( 1)

0 2 1

4 12 ,

2( 1)

na x x nx

x n x n x dx

dac n m

ndac n m a

n

= =

= + + =

= += + = =

deci , seria cerut este*

( )*x2c+s

1*4

1*44xc+s

2

2

1*22

2

=

+

+

.

Aplicaii online*

a. Identi-icai pe /oo/le docu)ente pd- din acestcapitol.b. ;escideti docu)entul corespun4tor din

)atorld.ol-ra).co)c. Tri)itei tutorelui lucrarea cu atin/erea solicitrilor din

a. si b..

25


26/210

0. TRANS%ORMATA %OURIER

0.. D"*ini#ia tran$*or&at"i %ouri"r

Apel"nd la seria 6ourier 9-or)a co)ple:

( ) in xnx c e

= 9#:

cu 2 2 2T l = = reali4) de -apt repre4entareaunei -uncii periodice )x( de perioad 2 . Seria 6ouriercorespun4toare unei -uncii de perioad 12 este

1

x*

*%c)x(

= 92:

Cu -or)ulele u4uale obine) coe-icienii 6ourier

( )

=

d%121

c 1*1

*

9':

;in 92: i 9': obine)*

( )( )

=

d%121

)x(x

1

*1

6 9$:

( ) $%!+ada--,2cu,d%-

1c *

-

* ===

+

26


27/210

S obser) c 9#: construiete o -uncie periodicde perioad 2 , ca suprapunere de oscilaii ar)onice pure. 5ncerc"nd o trecere la li)it dup # cu 1 3n 9$:,/si) o repre4entare a unei -uncii de-init pe toat aa


28/210

( )1

( )2

i xx e d

= 97:

0./. Tran$*or&ata %ouri"r inv"r$,6uncia ( ) dat de 9&: se nu)ete tran$*or&ata %ouri"ra -unciei )x( , iar 97: se nu)ete tran$*or&ata %ouri"r

inv"r$,. 6or)ulele 9&: i 97: au a)bele -actorul2

1 i se

)ai nu)esc -or)e si)etrice. Uneori se optea4 pentru

-or)ele nesi)etrice.

( ) ( )

( ) ( )

1

2

sau

12

i

i x

e d

x e dx

=

=

9 6 :

respecti

( ) ( )

sau

1( ) ( )

2

i x

i x

x e d

x e d

=

=

9 7 :

pentru trans-or)ata 6ourier 9 6 : i inersa sa 9 7 :.;up -actorul din -a este eident cu care din -or)ule se a

lucra.

28


29/210

0.0. Tran$*or&ata %ouri"r i di*"rit" o"ra#ii

5n cele ce ur)ea4 o) nota operatorul detrans-or)are 6ourier cu 6 i cu 1F inersul su. ;eci

( ) ( ) ( ) dx%x)x(F x

== 9:

i ( ) ( )( ) ( )

==

d%921

9Fx x1

9:

0.3. Tran$*or&ata %ouri"r i o"ra#ia d" d"rivar"

D"*ini#i".K -uncie [ ] Rb,a:f se nu)ete absolutcontinu dac ( ) ( )> ,0 ast-el 3nc"t oricare ar -i

siste)ul -init de interale dis8uncte **11 b,a,...,b,a cu*

( )


30/210

dx%)x(%)x(dx%)x())x((F xxx

+

== Cu)

0)()( == con-or) celor relatate anterior,

obine) *)(F)(F = 9L:

Cu alte cuinte, deririi -unciei )x( 3i corespunde3n)ulirea -unciei ( ) ( )= F cu . ;ac arederiate inte/rabile p"n la ordinul ), atunci repet"nd 9L:

obine)*( ) ( )( ) ( ) ( ) 0,,FxF == 9%:

A!ica#ii

. (epre4entai printro inte/ral 6ourier -uncia

( )

1 ,

1,

2

0 ,

pentru a

pentru a

pentru a

Cu a V 0, -uncie nu)it i -actorul discontinuu al lui ;iriclet.

So!u#i":

6olosind

30


31/210

( ) ( ) ( )

=

d%d2

1x

x ,

)ai 3nt"i calcul)

( ) ( ) ( )

( )

a

1%

2s* .

ai x i x

a

a

i i x i

a

i x i a i x

e d e d

ae e d e ai

ie e e e a

= =

= =

= =

5nlocuind 3n 9: se obine

( )

( )

1 2s*

2

1 1 c+s s* s*

1 c+s s* s* s* d

2 c+s s*d

i xx e a d

x i x a d

x a i x ad

x a

= =

= + =

= + =

=

/.(epre4entai printro inte/ral 6ourier -uncia

( )

>

=3,0

3,s*

31


32/210

So!u#i":con-or) e/alitii 9: i a -unciei date o) scrie

( ) [ ]3

3

1s* c+s ( ) s* ( )

2x d x i x d

= + =

( )3

3

1s* c+s

2d x d

= +

( )

3

3

0

s* s*2

i

d x d

=

+ 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43;eoarece ( ) xs* este i)par 3n raport cu , ulti)ulter)en din e/alitile anterioare este nul. (e4ult

( )3

3

3

3

3

3

3

3

0 0

0 0

1( ) s* c+s c+s s* s*

2

1s* c+s c+s

2

1s* s* s*

2

s* s* s*2

.2s* s* s*

x d x x d

d x d

d x d

x d

dxd d

= + =

= +

+ =

=

==

Diniari4"nd ulti)ul -actor o) obine

32


33/210

[ ]

15

s*3

0

3

1

)1s*(

1

)1s*(

2

1

)1c+s()1c+s(2

1ds*s*

2

3

0

3

0

=

++

=

+=

;eci

( )

=

d1

3s*xs*2x

02

Aplicaii online*b. Identi-icai pe /oo/le docu)ente pd- din acest

capitol.b. ;escideti docu)entul corespun4tor din


a. si b..

33


34/210

III. ANALI4A COMPLE6A

Motto: Cnd unitatea imaginar se rostogoletepn-n calculul integral.

3. NUMERE SI %UNCTII COMPLE6E

, x,y R z x iy= + este nu)r co)ple al/ebric.yxz = se nu)ete con8u/atul lui 4 .

4 poate -i scris sub -or)a tri/ono)etric *( ),s*c+sz +=

i sub -or)a eponenial * ,z% =

3n care )odulul i ar/u)entul sunt date de relaiile

,yx)zz(z

222

1

+===

=

xa!cc+s i

.y

a!cs*

=

( ( s*c+sz;s*c+sz22221111

+=+=

sunt e/ale dac 21 = i

).(


35/210

3.. O"ra#ii cu nu&"r" co&!"7"

( )

( )

( )

( )

( )

.1*0,,%*

1z


36/210

repre4int ecuaia 3n co)ple a curbei. Ecuaia 9#: poate -i

3nlocuit de ecuatiile* )t(yy),t(xx ==

92:

nu)ite "cua#ii!" ara&"tric" a!" cur'"i 9t se nu)ete

para)etru:.

;ia/ra)a unei -uncii co)plee de ariabil real4O49t: este curba plan repre4entat /ra-ic, 3nsoit de un

procedeu /ra-ic de coresponden 3ntre alorile para)etrului t

i punctele de pe curb.

Curba se nu)ete $uortu! dia+ra&"i .

;ia/ra)ele re4ol dou proble)e*

#.


37/210

).z(f>)y,x(?),z(fR%)y,x(&

),y,x(?)y,x(&)yx(f)z(F

==+=+=

;ac 21 zz i)plic )z(f)z(f 21 i reciproc, pentru

orice ,Dz;z 21 atunci -94: este univa!"nt,pe ;.

6uncia -94: este uni*or&,pe ; dac 3i conseraloarea )z(f 0 din punctul 0z i la reenirea ariabilei 4

3n 0z dup ce 3n prealabil a descris un contur ( ) din ;pentru orice .Dz0 ;ac nu este uni-or), atunci -94: este

&u!ti*or&,. =e4i -unciile radical i lo/arit).6uncia -94: deriabil 3n 0z se nu)ete )ono/en 3n 0z .

6uncia -94: )ono/en 3n orice punct din ; se nu)ete

olo)or- pe ;.

T"or"&,.6uncia -94: OU9,B: + i=9,B: este )ono/en3n 000 yxz += din ; dac i nu)ai dac sunt 3ndeplinite

condiiile*

( )R# ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,

, ,

U Vx y x y

x y

U Vx y x y

y x

= =

nu)ite condiiile CaucB P (ie)ann

x

@

x

u)z(f

+

= .

'7


38/210

3.3. Tiuri d" unct" $in+u!ar"

D"*ini#i".

a:


39/210

1*,0,%z *

2

*

==+

. 9>:

Ar/u)entele lui z se scriu 9pentru*0

= :

*

)1*(2,...,

*

4,

*

2,

0000

+

+

+

9&:Atunci, planul 94: a -i 3)prit 3n sectoare prin se)idreptele

de ecuaie

1*,0,*

2za!

0 =

+= 97:

Toate se)idreptele acestea au ca i)a/ine 3n planul 9:se)idreapta 0*Aa! = .

6uncia este unialent 3n sectoarele

.1*,0,*

)1(2,

*

2>

00 =

++

+=

0A= i =A sunt puncte critice al/ebrice .

%unc#ia "7on"n#ia!,este -uncia *( )ys*yc+s%%%)z(f xyxz +=== + .

;eoarece 2xx %% += re4ult c este periodic deperioad 2 . Este de-init 3n tot planul 94: ecept"ndpunctul =z .Obseraie: xz %% = i y%a! z = .

'%


40/210

%unc#ii con$truit" cu *unc#ia "7on"n#ia!,

;in relaiile lui Euler

2%%s*u

D"&on$tra#i". =o) notac

z BzBsu$R = i nu)i) ra4a de

coner/en a seriei de puteri. Con-or) teore)ei lui Abel

seria de puteri este coner/ent 3n interiorul cercului de

coner/en 9cercul de ra4 (: i dier/en 3n eterior.


48/210

seriile de puteri reale c este *l

1R= , unde

*

1*

* c

c +

=l , .csu$sau0c * *

**

8./. S"ria Ta)!or

6ie - o -uncie olo)or- 3ntrun do)eniu ; iD)a,(# , cercul de centru a i de ra4 .

T"or"&,.Kricare ar -i 4 cu ,!az


49/210

( ) *

**

)az(c)z(f,"z =

=

serie care se

nu)ete $"ria Laur"nt a *unc#i"i * 5; r"!ativ, !a coroana" d" c"ntru 5 < a.


50/210

c: C"nd partea principal are o in-initate de ter)eni,punctul 0z se nu)ete punct sin/ular esenial.

8.8. S"rii i&ortant"

S"ria +"o&"tric,

z1

1...z...zz1 *2

=+++++ , cu ( O #.

6unciile z% , sin 4 , cos 4 , au ur)toarele serii *

=+++++= Rcu...C*

z...

C2

z

C1

z1%

*2z ,

( ) =

=++=+=

=

RcuC*2

z)1(

...C6

zC4

zC2

z12%%zc+s

*2

0*

*

642zz

( )

z 3 5

2 1

0

%s* z ...

2 1C 3C 5C

( 1) cu R 2 1 C

iz

nn

n

e z z z

i

z

n

+

=

= = + + =

= = +

>0


51/210

8.9. A!ica#ii:

.;eter)inai ra4a de coner/en a seriei

=12

z

i studiai co)portarea seriei pe cercul de coner/en.

So!u#i" :;ac 1 1,nn

n

al

a

+

= = atunci .11R ==

l

Seria este absolut coner/ent 3n do)eniul .1z ?

6or)ele in care intra obiectele )ate)aticii sunt

-or)ulele 9o -or)ula reali4ea4a scurtarea si si)pli-icarea

calculelor:.

9.. Int"+ra!a cur'i!ini" 1n !anu! co&!"7

>2


53/210

T"or"&"!" Cauc()

;ac A! este un arc de curb plan, dat prin ecuaiile

para)etrice *

[ ]

=

=

ba,t)'


54/210

Ast-el, dac ; este un do)eniu triplu cone 9-i/.#:atunci sunt necesare i su-iciente dou tieturi 1- i 2-

pentru a obine un do)eniu " si)plu cone,

21-...-D" = 9-i/.#:

6i/ura #

T"or"&, Cauc(); . ;ac #D:f este o -uncieolo)or- pe do)eniul si)plu cone ;, atunci

=

0dz)z(f

oricare ar -i curba 3ncis situat 3n 3ntre/i)e 3n ;.

Con$"cin#,.;ac A i ! sunt dou puncte situate 3n do)eniul

; 3n care

2-

1-

2

1

>$


55/210

-94: este olo)or-, iar A! i EM= dou arce de curburale cror puncte aparin lui ;, atunci

=EM==ME

dz)z(fdz)z(f .

T"or"&a Cauc() "ntru do&"nii &u!ti!u con"7";/.

;ac este o curb situat 3n do)eniul ; )ultiplu cone cetraersea4 cele n tieturi necesare pentru a obine do)eniul

*21-...--D" = , si)plu cone ,

iar *1,,D = o curb ce traersea4 nu)ai tietura -

o sin/ur dat 93n sens direct: atunci

=

=D

*

1D

dz)z(fdz)z(f .

L"&a !ui Cauc().;ac -94: este o -uncie olo)or- pedo)eniul ;, iar o curb si)pl 3ncis, recti-icabil

situat 3n do)eniul ;, iar 0z un punct din interiorul

do)eniului " )r/init de curba , atunci -94: ad)ite

deriate de orice ordin 3n 0z i deriata de ordinul n este

dz)zz(

)z(f

2

C*)z(f

1*

00

)*(

+= 9De)a C9n: :9- i c:

>>


56/210

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

Cele $ linii or -i utili4ate pentru a le co)pleta cu adresele

lin?urilor de )ate)atici care leai utili4at 3n co)pletareastudiului. Ur)torul spaiu este pentru a ilustra cu o sce)

etapele din calculul inte/ralelor co)plee pe un contur 3ncis.

9./. A!ica#ii

Cu CaucB calculai ur)toarele inte/rale *

. dz)1z)(3z(z

1#

2 +a:

2

1Bz:B# = W b: =Bz:B# .

>&


57/210

/. dzz

%

#3

12z

+

a: 12z:# = b: 12

B2zB:# +

=

0. Calculai a: =# .BaBRBz:B#


58/210

9. dzz

%>

!z 3

z

== .

So!u#i". Con-or) le)ei lui CaucB*

)0(fC2

2)0(f

)C1*(

2dz

z

%> )1*(

!z 3

z

===

= ,

unde .%)z(f z= ;eci, 2

2> == .

@. .22z:#,dz)z(

2

zc+s'

># 4

=++

=

So!u#i": .245)z

2

zc+s'

dz

d

C3

)2>

4

3

3 ==

=

. .04y4x:#,dz1z

%z> 22

# 2

z100

=++

=

>L


59/210

So!u#i":

.s*'2zz

%z2

zz

%z2>

z100z100

==

+=+

=

Con$"cin#,* K inte/ral co)ple pe un contur 3ncis estesau nul , sau se desco)pune 3ntro su) de n inte/rale,

4ute 3n -or)e CaucB1. Calculul se -ace uor i -r erori

dac 3n prealabil se repre4int /ra-ic curba inte/ral i

sin/ularitile -unciei de sub se)nul inte/ralei 9nu)it i

inte/rant:. K alt -or) a teore)ei CaucB este 3ntalnit 3n

li)ba8ul re4iduurilor1 3n capitolul ur)tor.

Aplicaii online*d. Identi-icai pe /oo/le docu)ente pd- din acest



a. si b..

>%


60/210

@. RE4IDUURI =I APLICAII

@.. %or&u!" "ntru r"5iduuri

D"*ini#i".6ie -94: o -uncie care are 3n #az = un pol sau

un punct sin/ular esenial i4olat. (e4ult c de4oltarea 3nserie Daurent 3n ecintatea punctului 4 O a, a -i*

( )*

**

azc)z(f =

= 9#:

Coe-icientul 1c al ter)enuluiaz

1

se nu)ete re4iduul

-unciei -94: relati la punctul sin/ular 4 O a i se notea4

re49-W a:.

Min"nd sea)a de -or)ula ce d coe-icienii seriei Daurent

+= a 1** dz)az()z(f

2

1c ae)

= 1 dz)z(f21

c 92:

unde este un cerc cu centrul 3n punctul 4 O a, situat 3ncoroana circular ,Raz!


61/210

%or&u!" "ntru ca!cu!u! r"5iduuri!or

5n ca4ul 3n care 4 O a este un pol )ultiplu de ordinul p,

calculul re4iduului se poate -ace cu -or)ula*

( )( )1$$

az)z(f)az/(

C1$

1)a,f(!%z

=

5n particular, pentru p O #, ae)*

)z(f)az/()a,f(!%z az = 9$:;ac si)pli-icarea cu 94a: 3n -or)ula 9$: nu este posibil i

,)z('

)z()z(f = unde /94: i 94: sunt olo)or-e 3n 4a i

0)a(',0)a(',0)a( = atunci calculul re4iduului se

poate -ace cu -or)ula*

)z('

)z(

)a,f(!%z az = 9>:

(e4iduul unei -uncii 3n punctul de la in-init 94O : este dat derelaia*

=

dz)z(f2

1),f(!%z 9&:

unde este un cerc cu centrul 3n ori/ine i de ra4 (

su-iciente )are, pentru ca 3n eteriorul lui -uncia s nu aib

alte sin/ulariti dec"t punctul de la .


62/210

T"or"&a r"5iduuri!or Cauc();

;ac este o curb si)pl 3ncis recti-icabil, 3n

interiorul creia -uncia uni-or) -94: are un nu)r in-init depuncte sin/ulare i4olate ,a,...,a,a *21 atunci*

)a,f(!%z2dz)z(f

*

1

== 97:

&2


63/210

@./. Int"+ra!" cu t"or"&a r"5iduuri!or

I. Int"+ra!"!" d" *or&a:

dx)x(

)x(G , unde

< i Y sunt dou polinoa)e care 3ndeplinesc condiiile*#. Rx0)x( 9nu are rdcini reale:

2. 2+ /rad


64/210

!! x

b

H

6i/ura 2

Atunci

dz1z

1zdx

1x

1xdz

1z

1z4

2R

R 4

2

4

2

++

++

+=

+

+

6uncia1z

1z)z(f

4

2

+

+= are poli si)pli*

3,2,1,0,4

2s*

4

2c+sz

=

++

+=

din care nu)ai

4s*

4c+sz

0

+

= i

4

3s*

4

3c+sz

1

+

=

se a-l 3n interiorul conturului )r/init de curba .

Aplic) teore)a re4iduurilor i ae)*

),(),(/2

1

1

1

1

1

1

10

4

2

4

2

4

2

zfrezzfrezi

dzz

zdx

x

xdz

z

z R

R

+=

=++

+++

=++

dac .zR >

&$


65/210

;ac trece) la li)it 3n e/alitatea precedent i ine) sea)a

c 0)z(zfzR=

= re4ult*

)z,f(!%z)z,f(!%z/2dx1x

1xdx

1x

1x

104

2R

R 4

2

R+=

+

++

+

+

.

Calcul)

4

2

z4

)1z(z

z4

1z)z,f(!%z

4

2

0zz3

2

0zz0

=+

=+

=

,

4

2

z4

)1z(z

z4

1z)z,f(!%z

4

2

1zz3

2

1zz1

=+

=+

=

.

5n consecin

24

2

4

22dx

1x

12x>

4 =

=

+

+=

.

II. Int"+ra!"!" d" *or&a: ( ) =

dc+s,s*R>2

0,

unde (9u,: este o -uncie raional , se pot calcula cu

teore)a re4iduurilor dac se -ace sci)barea de ariabil

.%z= Atunci

( ) == z1z21%%21s*

( )

+=+=

z

1z

2

1%%

2

1c+s

&>


66/210

iar .d%dz = C"nd parcur/e interalul[ ] z,2,0 parcur/e cercul 1z = o sin/ur dat.Ca ur)are

( )

).z,R(!%z2dz

z

1z

2

1,

z

1z

2

1R

dc+s,s*R>

1x

2

0

=

=

+

=

==

6uncia ( -iind raional nu are alte sin/ulariti dec"t poli.Ale/e) pe aceia care sunt 3n interiorul cercului .1z =

E7"&!u:

=2

0 2s*2

d> .

E-ectu"nd sci)barea de ariabil ==

d%dz,%z

inte/rala dat deine*

( )

( ) ( )

22

4 20 1

4 21

4

2 s* 6 1

4 42 ,

6 1

8 , 8 ,

z

kz

k

k k

k k

d z dz I

izz z

zdzi rez f z

i iz z

rez f z rez f z

=

=

= = = + +

= = =+ +

= =

6uncia1z6z

z24 ++

are patru poli, iar 3n cercul 1z = se

a-l polii .83z,83z21

+=+=

&&


67/210

( )

24

2

24

2

1zz3

1zz1

8312834

83

z12z4

z

z12z4

zz,f!%z

++

+

+

=

=+

=+

=

( )

24

2

24

2

2

zz3

2

zz2

8312834

83

z12z4

z

z12z4

zz,f!%z

++

+

+

=

=

+

=

+

=

Ae) ( ) ( )8

2z,f!%zz,f!%z

21 =+

i deci .2

8

28

s*2

d>

2

0

2 ==

=

III. Int"+ra!"!" d" *or&a:

== xdxs*)x(FI,xdxc+s)x(F>

presupuse coner/ente se calculea4 cu a8utorul teore)eire4iduurilor, lu"nd drept contur de inte/rare = =E unde )0,R(E),0,R(= i se)icercul

0y,Ryx

222

>=+ i inte/rala*

=+=+= dx%)x(Fdx)xs*x)(c+sx(FI>J x

.

&7


68/210


69/210

6uncia5z2z

z%)z(f

2

z2

+= are polii 21z1 += i

,21z2

= din care nu)ai 1z este 3n interioruldo)eniului )r/init de . 5n consecin

( ) ( )

( )

1

2

1

1

1 2

4 22 (1 2 )

( )( , )

1 2(1 2 )

4 4

iz

z z

ii i

z z zerez f z

z z z z

i e ei e

i i

+

= =

+ += =

Ca ur)are

)2s*2c+s2(2s*22/c+s2

4

)21(2

52

4

24

2

2

++=

=+

=+

e

i

eeiidz

zz

ze iiz

Trec"nd la li)it pentru R obine)*

( )

2

2

4

2 5

/c+s 2 2s* 2 2c+s2 s* 2 2

ixxeK dx

x x

ie

= =

+

= + +

respecti

( ) ( )2s*2c+s2%2

I44

+

=

=

&%


70/210

@.0. A!ica#ii !a r"5iduuri cu int"+ra!" i *or&u!" "ntru

r"5iduuri

S se arate c*

. =++

3

4dx

1x

1x6

4

/. ( ) a2dxaxx

222

2 =+

0. ( ) a4dxaxx

0 222

2 =

+

3. ( )( ) ( )

( ) bbaa2ba2

bxax

dx232222 +

+=

++

8. ( ) += # 222

dz3z4zz

zs*>

a: 3z:# = W b: 1z:# = W c:2

11z:# =+

So!u#i":4 O 0 pol dublu, 4 Oi, 4 O'i poli si)pli.).3,f(!%z),f(!%z2)0,f(!%z2>

a ++=

)0,f(!%z>b =.0>

c =

70


71/210

9. = +az 23 )z1(zdz

pentru a \ #, a V #.

@.

=

dc+sab

*c+s>

0

So!u#i": 1 s* d2 c+s

i nb ia

= creia 3i ata) inte/rala nul

=+

d

c+sab

%

2

1I>

*

.

Not"nd2z

1zc+s,

z

dzd,z%

2 +=== .

1x

2

*

=

++=+ .

5n interiorul cercului -uncia de inte/rat are doar polul

a

bbaz

22

1

+=

cu re4iduul*

7#


72/210

( )

1

1

2 22 2

( < )2

2

n

n n

n

zrez f z

z zaz izb

i a

i a b a b b

= ==+

= + + +

(e4ult*

( ) *22*

22

*

1

bba

aba

z

++

+

== .

. dxxc+s45

*xs*xs*>

=

So!u#i":Ata) cu inte/rala nul

dxxc+s45*xc+sxs*I

= .

Calcul"nd dx.xc+s45

xs*%>>I

*x

==+


73/210

IV. ANALI4A DE CALCUL OPERATIONAL

. CALCULUL OPERAIONAL

Tran$*or&at"!" La!ac" i %ouri"r;

.. Tran$*or&ata La!ac"

6ie RR:)x(f + ast-el 3nc"t are sens inte/rala

i)proprie cu para)etru

dx%)x(f)$(F0

$x+ = 9#:

D"*ini#i". ;ac are sens e/alitatea 9#:, 6 se nu)etetran$*or&ata La!ac"a lui - i se notea4 i ))x(f(L .

6unciile - pentru care eist trans-or)ata Daplace senu)esc *unc#ii ori+ina!9sau si)plu, ori/inal:, iar trans-or)ata

Daplace 6 se )ai nu)ete *unc#ia i&a+in" 9sau scurt

i)a/ine:.D"*ini#i".6uncia -9:* RR> 9sau C:, I interal )r/initsau ne)r/init, este d"riva'i!, "or#iunidac pentru oriceinteral co)pact >b,a eist o dii4iune

,bx,...,x,x,xad*210

=== cu,bxx...xx...xxxa

*1*K1K210 =


74/210

ast-el 3nc"t -9t: s -ie deriabil pe -iecare interal K1K x,x

i s eiste li)itele laterale*,1K),0x(f),0x(f),0x(f),0x(f

K1K =++ .

D"*ini#i". Se nu)ete ori+ina! o -uncie -9:, real sau

co)ple, de-init pe )uli)ea nu)erelor reale i care

satis-ace ur)toarele condiii*

#. -9: O 0 dac \0,

2. -9: este deriabil pe poriuni,'. eist nu)erele V 0, 0s0 ast-el 3nc"t

x0s%M)x(f 92:

Nu)rul 0s se nu)ete indic" d" cr"t"r" a! *unc#i"i-9:.

uli)ea -unciilor ori/inal se notea4 cu .O

Ca5uri concr"t".9d#: 6uncia bx%)x(f = , cu b real sau co)ple a aea

cretere eponenial put"nd lua a O (eb, V # i Rx0

5ntrader,M1%%%)x(f axx)b(R%ax == 91 :

b$

1dx%dx%%)$))(x(f(L

0

x)b$(

0

$xbx

===

9 2 :

7$


75/210

;ecib$

1)bx%x$(

= i )bx%x$(

b$

1=

,

coner/ena inte/ralei a"nd loc pentru p V (eb dac R$

i (ep V (eb dac .#$

O'$"rva#i".Nu este /reu s ede) c L este liniar. Utili4"nd

liniaritatea, re4ultatul din d# i relaiile lui Euler*( )tt %%

2

1tc+s += ,

( )tt %%2

1ts* =

obine)*

22$

$

$

1

$

1

2

1tc+s

+=

+

+

= 91 :

22$$

1

$

1

2

1ts*

+

=

+

= 9 2 :

pentru > >$R% .

Prori"t,#i!" tran$*or&at"i La!ac"

Este liniarW pentru constantele 1 i 2 i ori/inalele

)x(f1 i )x(f2 are loc e/alitatea

)).x(f())x(f()x(f)x(f2112211

+=+ LL

7>


76/210


77/210

dx%)x(f)$(F0

$x =

3n raport cu p1, obine) -or)ulele( ) ( )

+ ==0

$x** 0,1,2,...*,dx%)x(f)x($F

97:

T"or"&a int"+r,rii ori+ina!u!ui.;ac - este ori/inal atunci

)$(F$

1dt)t(f

x

0=

L 9L:

T"or"&"!" d" int"+rar" a i&a+inii.

;acx

)x(feste ori/inal atunci

=

$ x

)x(fd)(F L 9%:

Utili4"nd teore)a inte/rrii i)a/inii re4ult

dx%x

)x(f

x

)x(fd)(F $x

$0

=

=

L 9#0:

i pentru p O 0 obine)

=00

d)(Fdxx

)x(f 9##:

( ) dx%)x(fx1d)(F $x

0 $

*1*)1*(

++ = 9#2:

77


78/210

care pentru p O 0 deine

( ) dx)x(fx1d)(F0 $

*1*)1*( =

++

9#':


79/210

( ) ( )

( )

2

2

2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0

s* 1( ) s*

1 1 1 1 11 c+s2

2 2 4

2 1 2a!c .

04 2

xu! I x ! du ! xu du

u u

p! xu du du

u u p p u

du utg

p u p p p p

= = =

= = = +

= = =+

;eci

( )2

$2)x(>

=L

i

du

u

xus*x

2

)x(>

02

2

=

=

Trec"nd la li)it pentru 1x obine)

2du

u

xus*

02

2 =

.

/. Inte/rai ecuaia di-erenial, liniar, cu coe-icieni constani

i neo)o/en

x2s*5)x(y2)x(y)x(y2)x9y =+cu condiiile iniiale

.1)0(y,1)0(y,1)0(y ===

7%


80/210

So!u#i":Teore)a deririi ori/inalului conduce la( )

( )

( )( ) )()(

1)()0()()(1)(

)0()0()()(

1)(

)0()0()0()()(

2

2

23

23

p"xy

pp"ypp"xypp"p

ypyp"pxy

ppp"p

yypypp"pxy

=== =

==+==

==

D

D

D

D

i ( )4

102s*5

2 +=

pxD

Se obine ecuaia operaional

( ) ,4$

102$$)$(N2$$2$

2

223

+

=+++

din care

++

++

+

+=

4$

2

4$

$

4

1

2$

1

12

5

1$

1

3

1)$(N

22

6uncia ori/inal corespun4toare, soluie a ecuaiei, are -or)a

xxeexy xx 2c+s4

12s*

4

1

12

5

3

1)( 2 +++=

0.Inte/rai ecuaia di-erenial, liniar, cu coe-icieni constani

i neo)o/en

L0


81/210

2

xs*

2

x3s*)x(y4)x(y =+

i 0)0(y,1)0(y ==

So!u#i":Ecuaia se )ai poate scrie

( ).xc+sx2c+s21)x(y4)x(y =+

Ecuaia operaional are -or)a

+

+=+

1$

$

4$

$

2

1$)$(N)4$(

22

2 ,

din care

( )2

222

4$

$

2

1

4$

$

6

5

1$

$

6

1)$(N

+

+

+

+

=

Utili4"nd teore)a deririi i)a/inii se obine

( )( )222 4

4

4

22s*

+=

+

=p

p

pxxD

iar

.x2s*x8

1x2c+s

6

5xc+s

6

1)x(y ++=

L#


82/210

0

0 0

( ( ) ( ))( ) ( ( ) ( )

( ) ( )

( ( ))( ) ( ( ))( ).

px

px px

! af x bg x p af x bg x e dx

a f x e dx b g x e dx

a! F x p b! g x p

+ = + =

= + =

= +

.0. Prori"t,#i!" d" o&ot"ti"

=

a

$))ax(f(L

a

1)$))(ax(f(L

0a),$(a

xfL

a

1)a$))(x(f(L >

=

9#: i 92: pot -i epri)ate )ai si)plu ast-el*

= a$

Fa

1

)ax(f

0a,a

xf

a

1)a$(F >

=

D"&on$tra#i":

( )

.))((1)(1

t)ax()()()(

0

0

==

====

apxf!

adtetf

a

cudxeaxfpaxf!

ta

p

px

( )0

( ) ( ) ( ) ( ax t)apx! f x ap f x e dx cu

= = = =L2


83/210

).$(a

xfL

a

1dt%

a

tf

a

1 $t0

=

=

.3. Pri&a t"or"&, d" tran$!a#i"

Se -olosete -uncia unitate a lui eaiside 9:O0 pentru

\ 0 i 9: O # pentru .0xPri&a t"or"&, d" tran$!a#i"

0a),$(F%)ax(O)ax(f a$ >=

9#:

5ntrader,

0

( )

0

00

( ( ) ( ))( )

( ) ( )

( xa t) O(t) ( )

( ) ( )

( ), a 0

px

p t a

ap pt ap pt

ap

! f x a # x a p

f x a # x a e dx

cu f t e dt

e f t e dt e f t e dt

e F p

+

=

= =

= = = =

= = =

= >

;ac relaia 9': se -olosete de la dreapta la st"n/a,

trebuie inut cont c ori/inalul 9a: O 0 pentru \ a

i atunci, -r a )ai utili4a -uncia unitate ae)*

L'


84/210

).ax(f)$(F% a$ =

A doua t"or"&, d" tran$!a#i"

0a,dx%)x(f)$(F%)ax(fa

0

$xa$ >

=+

92:

5ntrader,

0( ( ))( ) ( )

px! f x a p f x a e dx

+ = + =

( )( )

p t a

af t e dt

= =

0 0

( ) ( ) .aap px ap pxe f x e dx e f x e dx

=

T"or"&a d" d"!a$ar"

#),$(F)x(f% x += 9':

( ) ( ) )$(Fdx%)x(f)$()x(f%L0

x$x +== +

;in proprietatea a doua de o)otetie i din teore)a dedeplasare, deci din 92: i 9':, obine)*

+

=$

F1

)x(f%x

9$:

L$


85/210

T"or"&a d" d"rivar" a ori+ina!u!ui( ) 1

2

( ) ( ) (0 ) ...

(0 ) ( 1)(0 )

n n n

n

f x p F p p f

pf pf n

= +

+ + 9>:

alabil dac *#f i are sens ).$))(x(f( )*(L

D"&on$tra#i": 0( ( ))( ) ( ) px

! f x p f x e dx

= =00

( ) ( )

( ) (0 )

px pxf x e p f x e dx

pF p f

= + =

= +

;eci -9: O p 69p: -90+: i pentru n O #, 9>: se eri-ic.


86/210

5n ipote4a c f(x)xf(x),...,x),x(xf *2 sunt

-uncii ori/inal se poate ar/u)enta posibilitatea deririi sub

inte/ral 3n raport cu p 3n relaia de de-iniie*

dx%)x(f)$(F0

$x =

Kbine) -or)ulele*

( )( ) ( ) ( ), * 0,1,...

nnx f x F p

==

9&:

;eci i acestei operaii de deriare 3i corespunde operaia de

3n)ulire cu 1.

T"or"&a int"+r,rii ori+ina!u!ui

0

0

1( ) ( ), f # ( )

x

f t dt F p Rp

+= 97:D"&on$tra#i":6ie =

x

0dt)t(f)x( .

Cu) )(R#),R(#f 10 + i /90+: O 0 9din )odul

de de-inire a lui /:. )$($P)0()$($P)x( =+=

;eci

( ) ( ) )$(dt)t(f$L)$($P)$()x(fL)$()x(Lx

0

=== de unde se obine 97:.

T"or"&a d" int"+rar" a i&a+inii

L&


87/210

este dat prin relaia*

( )( )

p

f xF $ d$

x

= 9L:

alabil c"ndx

)x(feste -uncie ori/inal.

D"&on$tra#i":

).$(x

)x(fLdx%

x

)x(f

dxs

$s%

x

)x(fdx%)x(f

dx%)x(fds)s(F

$x

0

0

sx

0

sx

$ $ 0

sx

==

=

===

=

=

=

;in -aptul c2 2

s* a

axp a

=

+, i

2 2

$c+s

$ aax

=

+cu p V 0

i din teore)a de deplasare* )$(F)x(f% x +=

obine)*

L7


88/210

2 2

2 2

s* ,( )

c+s ,( )

a 0, b R.

bx

bx

ae ax

p b a

p be ax

p b a

= +

=

+>

Se poate arta cu a8utorul teore)ei de conoluie c

0$,,)$(

)()$(),$(E >

+

= 9%:

Cu a8utorul teore)ei de inte/rare a i)a/inii*

=$

d)(Fx

)x(f

pute) calcula inte/rale de -or)a*

dxx

)x(f

0

cu -or)ula*

=00

d)(Fdxx

)x(f

5ntrader,

= $ d)(Fx)x(f

se )ai scrie

LL


89/210

=00

$x d)(Fdx%x

)x(f

6c"nd p O 0 obine) relaia cutat.

a:2

1s* ,

1x

p

=+

atunci cu d ae)*

20a!ct$

1$d$dx

xxs*

0 20==

+=

b: pentru a V 0, b V 0

a

b*dt

t

%%

0

btat

=

5ntrader, ae)*

.6*6*0

6*

11

00

a

b

b

a

p

p

bp

ap

dpbpap

dtt

ee btat

===

=

++

=

=

+

+=

Int"+ra!"!" !ui %rou!!ani

L%


90/210

#.

( )0

1s*

, , , 0

at bt e e mtdt t

b aarctg arctg a b m

m m

=

= >

2. 0b,a,a

b*dt

t

btc+satc+s

0>=

'.

0.b0,a,b

aa!ctbxdxs*%

x

1 ax

0>>=

Cu teore)a de deplasare i -aptul c

1

Cn

n

nx

p

+

= , obine) c*

( )1

Cn xn

nx e

p

+

=

.8. Tran$*or&ata La!ac" 1n ca!cu!u! o"ra#iona!

a. M"toda +"n"ra!, a ca!cu!u!ui o"ra#iona! const 3n

ur)toarele*

dat o proble) 3n spaiul original, o transpune) 3n spaiul

i)a/ine. Se -ac calculele al/ebrice din spaiul imagine.

Aplic"nd inersa trans-or)atei Daplace, sau )ai co)od,

%0


91/210

utili4"nd tabelul -9: O 69p: obine) soluia din spaiul

ori/inal . Calculul operaional este calculul care utili4ea4

trans-or)ata Daplace.

'.Pro'!"&a Cauc() "ntru "cua#ii di*"r"n#ia!" !iniar"2 cu

co"*ici"n#i con$tan#i2 r"5o!vat, o"ra#iona!.


92/210

. 6ie ecuaia * t%x6x5x =+ cu1.(0)x,1)0(x ==

Artai c t3t2t %2

7%5%

2

1)t(x +=

So!u#i":

2 2( ) (0) (0) ( ) 1x p % p px x p % p p = = + t 1%

1p=

Ecuaia operaional este*

( )1$

16$)$(Q6$5$2

++=+

;esco)pun"nd 3n -racii si)ple obine)*

)1$(2

1

)3$(2

7

2$

5)$(Q

+

+

=

;e unde*

.%5%2

7%

2

1)t(x

t2t3t +=

/. ts*x4x4x =+ cu 2.(0)x,1)0(x ==

So!u#i"* ( ) 22

$1

12$)$(Q4$4$+

+=+

%2


93/210

)1$(25

$4

)1$(25

3

)2$(5

1

)2$(25

21)$(Q

222 ++

++

+

=

tc+s25

4ts*

25

3t%

5

1%

25

21)t(x

t2t2 +++=

0. 0.(0)x2, x(0),tx2x2x ===+

So!u#i":

( ) ( ) 11$4

11$

1$

2

5

$2

1

$2

1)$(Q

222 +

+

+=

ts*%4tc+s%2

5

2

t

2

1)t(x tt +=

3. ( ) 0x(0),t2s*t2c+s2%x2xt

=+=+

So!u#i":4)1$(

2

4)1$(

)1$(2)$(Q)2$(

22 +++

++

+=+

( ) 11$2

)$(Q2 ++

= i t2s*%)t(x t=

8.0(0)xx(0)z,zt,xy,z3x3y3x ====+=

%'


94/210

0.(0)z1,z(0)1,(0)y,0)0(y ====

So!u#i":( ) $$1,NQN$,QN3Q$ 222 +==+= de

unde*

1$

$ ,

4)1)($($$

1)3($N,

$)4$(

)1$(3Q

222222 +=

++=

+=

-a4 3n care pute) considera proble)a re4olat aproape 3n

totalitate 9restul calculelor -iind de rutin i u4ur:.

.9. Prori"tat"a tran$*or&at"i La!ac"

a.;ac ine/alitatea care epri) proprietatea de cretere

eponenial este alabil pentru tripletul M,a,x0

pentru orice .aa > . Not"nd a*f= , a -iind 3n tripletulM,a,x

0 , se nu)ete a'$ci$a d" conv"r+"n#, a

*unc#i"i *.

;in cele -cute p"n acu) re4ult c pentru a eista

trans-or)ata Daplace )$)(f(L este su-icient ca - s aibabscis de coner/en R sau = itrans-or)ata are sens pentru >$ 3n ca4ul R$ i

%$


95/210

>$R% 3n ca4ul .#$ =o) nota cu f, abscisele

de coner/en pentru - i /.

'. are loc proprietatea de

liniaritate ( ) ( ).af bg aF p b& p

+ = +

Aplicaii online*a. Identi-icai pe /oo/le docu)ente pd- din acest



a. si b..

%>


96/210

V. ANALI4A STOC>ASTICA

B. STRUCTURI PROAILISTE

B.. C& d" "v"ni&"nt"

Cuintele ceie ale acestui para/ra- sunt* prob,eeni)ent 9si/ur, i)posibil:, eeni)ente 9contrare, co)patibile,

inco)patibile:, operaii cu eeni)entele, c")p de eeni)ente.

^, ]&^.

Alte re4ultate nu )ai sunt posibile i unul dintre ele se produce

neaprat. Acestea sunt ro'"!"eperienei. 5n /eneral, prob

%&
http://www.peterwebb.co.uk/probability/htmlhttp://www.maths.uq.edu.au/~infinity/index_news.htmlhttp://www.peterwebb.co.uk/probability/htmlhttp://www.maths.uq.edu.au/~infinity/index_news.html


97/210

se nu)ete re4ultatul unei eperiene aleatoare. 5n le/tur cu

aruncarea 4arului ne pute) pune o serie de 3ntrebri ale cror

rspunsuri nu le pute) cunoate dec"t dup apariia uneia din

probele 9I:. ;e pild, ne pute) 3ntreba dac o) obine o -a

cu $ puncte etc.

Toate aceste situaii le/ate de eperiena noastr i

despre care pute) spune cu certitudine c sau produs sau nu,dup e-ectuarea eperienei, poart nu)ele de "v"ni&"nt".


98/210

A!t" "7"&!"

. S consider) eperiena const"nd din aruncarea unui 4ar

de dou ori la r"nd. (e4ultatul eperienei nu a )ai putea -i

repre4entat printrun nu)r, ci printro perece de nu)ere.


99/210

S consider) ast-el, eeni)entul A, const"nd 3n

obinerea nu)rului L prin 3nsu)area nu)rului de puncte

reali4ate 3n dou aruncri ale unui 4ar. S presupune) c a)

e-ectuat eperiena i nea ieit proba 9',&:. Intruc"t '+&O%,

3nsea)n c eeni)entul A nu sa reali4at.


100/210

dac peste un an cel puin una din persoanele "!# i "%# este 3n

ia. Nu pute) cunoate cu certitudine la 3nceputul

eperienei, rspunsul. Este orba deci de un eeni)ent le/at

de eperiena noastr.


101/210

Ev"ni&"nt $i+ur2 Ev"ni&"nt i&o$i'i!

6iecrei eperiene i se ataea4 dou eeni)ente cu

caracter special* "v"ni&"ntu! $i+ur i "v"ni&"ntu!

i&o$i'i!. Ev"ni&"ntu! $i+ur este un eeni)ent care se

reali4ea4 cu certitudine la -iecare e-ectuare a eperienei.

;e ee)plu, la aruncarea unui 4ar, apariia uneia din -eele

#,2,',$,>,&W este eeni)entul si/ur al eperienei.Scoaterea unei bile de culoare alb sau nea/r dintro

urn, conin"nd nu)ai bile albe i ne/re, este de ase)enea un

eeni)ent si/ur. Ev"ni&"ntu! i&o$i'i! nu se reali4ea4 la

nici o e-ectuare a eperienei, 3n ca4ul aruncrii unui 4ar,

apariia unei alte -ee dec3t #,2,',$,>,& este un eeni)ent

i)posibil. Etra/erea unei bile de alt culoare dec3t alb sau

ne/r dintro urn, conin"nd nu)ai bile albe i ne/re este de

ase)enea un eeni)ent i)posibil. Este clar c eeni)entul

i)posibil const 3n nereali4area eeni)entului si/ur, sau c

eeni)entul si/ur const 3n nereali4area eeni)entului

i)posibil. Eeni)entul si/ur 3l o) nota cu litera E, iareeni)entul i)posibil cu .

Ev"ni&"nt" contrar"

S not) cu A eeni)entul apariiei uneia din -eele#,2,' la aruncarea unui 4ar i cu ! apariia uneia din -eele

$,>,&. Se obser c atunci c"nd A nu se reali4ea4, adic nu

obine) ca re4ultat al aruncrii una din -eele #,2,', se

#0#


102/210

reali4ea4 !, adic obine) una din -eele $,>,& i iners, c"nd

nu se reali4ea4 !, se reali4ea4 A. 5n ca4ul unei etra/eri

dintro urn conin"nd bile nu)ai albe i bile ne/re s not) cu

A eeni)entul etra/erii unei bile albe i cu ! eeni)entul

etra/erii unei bile ne/re. _i acu) se obsera c nereali4area

lui A este ecialent cu reali4area lui !, iar nereali4area lui !

este ecialent cu reali4area lui A. 5n a)bele ca4uri o)spune c eeni)entele A i ! sunt "v"ni&"nt" contrar".

5ntotdeauna unui eeni)ent 3i corespunde un eeni)ent

contrar, a crui reali4are 3nsea)n prin de-iniie, nereali4area

pri)ului.

Se obser c dac un eeni)ent ! este contrariul

unui eeni)ent A, atunci i A este contrar al lui !. (e)arc)

c eeni)entul si/ur i eeni)entul i)posibil sunt contrare

unul altuia. Eeni)entul contrar unui eeni)ent A 3l o) nota

3n acest ca4 cu A sau CA. 5n acest ca4 sunt eidente relaiile*.


103/210

obine ca re4ultat al eperienei apariia -eei ', 3nsea)n c s

au reali4at a)bele eeni)ente. Acest lucru se 3nt")pl dac

obine) -aa 2. ;ac not) cu C eeni)entul apariiei uneia

din -eele $ sau >, obser) c eeni)entele ! i C sunt

inco)patibile, iar eeni)entele ! i C sunt co)patibile.

Ev"ni&"nt"!" contrar" $unt inco&ati'i!". 5n/eneral , un nu)r -init de eeni)ente !&$ !'$ ... $ !n sunt

co)patibile dac se pot reali4a si)ultan, adic dac eist cel

puin o prob care reali4ea4 pe -iecare din aceste eeni)ente.

5n ca4 contrar , o) spune c eeni)entele !&$!'... ,!nsunt

inco)patibile 3n totalitatea lor, sau )ai scurt inco)patibile.

;ac eeni)entele !&$!'$ ... , !n sunt co)patibile dou c"te

dou 3nsea)n c sunt co&ati'i!" 1n tota!itat"a !or.

Da aruncarea 4arului s consider) eeni)entele!&$!'$ !($ const"nd respecti 3n apariia uneia din -eele # sau 2W

apariia uneia din -eele 2 sau 'W apariia uneia din -eele ' sau

#.

Se obser i)ediat c eeni)entele sunt co)patibile

dou c"te dou, dar nu sunt co)patibile 3n totalitatea lor.

Ev"ni&"nt i&!icat d" a!t "v"ni&"nt


104/210

reali4ea4 A. S consider) o urn care conine #0 bile

nu)erotate cu nu)erele #,2,...,#0. S not) cu ! apariia

uneia din bilele #,$,7 i cu % apariiauneia din bilele #,$,7,#0,

atunci c"nd se -ace o etra/ere din urn. Este eident, c 3n

con-or)itate cu de-iniia de )ai sus, ! i)plic %. Oric"

"v"ni&"nt i&!ic, "v"ni&"ntu! $i+ur.


105/210

ur)ri) dac obine) sau nu una din probele ]2^, ]$^, ]&^.

Altcea nu ne interesea4.

Eeni)entul este per-ect deter)inat de )uli)ea

-or)at din aceste trei probe i deci 3l pute) identi-ica.

=o) scrie* AO]2, $$ &^.;ac ne interesea4 apariia unei -ee cu un nu)r $

puncte, ur)ri) dac apare una din probele ]#^, ]2^, ]'^, ]$^ iat"t. Eeni)entul respecti este deter)inat de )uli)ea de

probe care 3l reali4ea4* ]#,2,',$^.

Acu) este 8usti-icat i notarea eeni)entuluii)posibil prin deoarece )uli)ea probelor care 3l

reali4ea4 este id. Este 8usti-icat de ase)enea, notarea

eeni)entului contrar lui! prin C!.

A) 4ut )ai 3nainte c eeni)entul ele)entar este

reali4at de o sin/ur prob. El este per-ect deter)inat de

proba care 3l reali4ea4. A) 4ut c)! i)plic %*$3nsea)n

c reali4area eeni)entului ! atra/e dup sine reali4area

eeni)entului %$ adic printre probele, care reali4ea4 pe % se

/sesc toate probele care reali4ea4 pe! i deci pnte) scrie! %.

O"ra#ii cu "v"ni&"nt"

6iind date dou eeni)ente A i !, nu)i)r"uniun"alor inot) prin (' , eeni)entul a crui reali4are const

#0>


106/210

3n reali4area a cel puin unuia din cele dou eeni)ente.Uneori eeni)entul ! % se )ai citete)! sau %* .Da aruncarea 4arului s consider) eeni)entele*

A O ]#, 2, '^

! O ]2, ', >^.

Eeni)entul! se reali4ea4 dac obine) una din probele ]#^,

]2^,]'^, iar ! se reali4ea4 dac obine) ]2^, ]'^, sau ]>^. ;eci,pentru a se reali4a cel puin unul din eeni)entele!$ %$ trebuies obine) ]#^, ]2^, ]'^, ]>^ i deci ! % + ]#, 2, ', >^.

Int"r$"c#ia eeni)entelor A i ! este prin de-iniieeeni)entul (' a crui reali4are const 3n reali4areasi)ultan a eeni)entelor A,!. Uneori, o) citi)! i !*.

5n ca4ul de )ai sus (' O ]2,'^.

C& d" "v"ni&"nt"

uli)ea tuturor eeni)entelor le/ate de o eperien

9 inclusi eeni)entul si/ur i eeni)entul i)posibil : -or)ea4

un c")p de eeni)ente.

S consider) o urn conin"nd patru bile nu)erotate

#,2,',$. C")pul de eeni)ente al eperienei const"nd 3ntro

etra/ere din aceast urn este -or)at din* , ]#^, ]2^, ]'^,]$^, ]#,2^, ]#,'^, ]#,$^, ]2,'^, ]2,$^, ]',$^, ]#,2,'^, ]#,2,$^, ]#,',$^,

]2,',$^, ]#,2,',$^ O E.

#0&


107/210

B./. Pro'a'i!itat"2 C& *init d" ro'a'i!itat"

%r"cv"n#a

S consider) o eperien i un eeni)ent A

corespun4tor acestei eperiene. S repet) aceasteperien de n ori 3n condiii identice, s not) prin

nu)rul de reali4ri ale eeni)entului A i prin )( nnu)rul de nereali4ri ale lui A.

Nu)ruln

fn= poart nu)ele de *r"cv"n#,.

;e ee)plu s arunc) o )oned de o sut de ori i s

ad)ite) c -aa conin"nd ste)a a aprut de ># de ori.

Nu)rul100

51

100

f = repre4int -recena apariiei

ste)ei 3n aceste #00 de eperiene. 6recena aria4 de la

eperien la eperien. Ea are un caracter e)piriceperi)ental. Nu)rul poate aria de la 0 la n inclusi.

Ae) O0, c"nd din nrepetri consecutie ale eperienei,eeni)entul A nu sa reali4at niciodat. ;i)potri, dac din n

eperiene consecutie, eeni)entul ! sa reali4at 3n toateeperienele, re4ult n= .

5n toate celelalte ca4uri 0 \ \ n. ;e aici re4ult 10 nf, oricare ar -i n.

#07


108/210

Eperiena arat, c pentru )ulte -eno)ene de )as

-recena nf pentru n cresc"nd necontenit, se apropie din ce

3n ce )ai )ult de o anu)it aloare. Aceast proprietate poart

nu)ele de !"+" a nu&"r"!or &ari .

Ev"ni&"nt" "+a! o$i'i!"

6ie A i ! dou eeni)ente re-eritoare la aceeaieperien. ;ac din )otie de per-ect si)etrie, pute) a-ir)a

c a)bele eeni)ente au aceeai ans de a -i reali4ate,

spune) c eeni)entele sunt e/al posibile.

E7"&!":

. Eperiena const din aruncarea unei )onede.

6ie! i % eeni)entele de a iei respecti o -a saucealalt. ;ac )oneda este per-ect, nu ae) nici un )oti s

ad)ite) c una din -ee are o ans )ai )are de apariie dec3t

alta. Acest lucru se con-ir) eperi)ental, prin -aptul c

arunc"nd )oneda de un nu)r )are de ori cele dou -ee apar

aproi)ati la -el de des. Eeni)entele ! i % sunt e/al

posibile.

/.Eperiena const de data aceasta din aruncarea unui 4arper-ect cubic i construit dintrun )aterial o)o/en, ast-el ca

centrul de si)etrie s coincid cu centrul de /reutate. =o)

presupune de ase)enea c aruncarea se -ace pe o supra-a#0L


109/210

per-ect neted. 5n aceste condiii nu ae) nici un )oti s

presupune) c la un nu)r )are de aruncri a iei cu

precdere o anu)it -a a 4arului. Eeni)entele ele)entare

]#^,]2^,]'^,]$^,]>^,]&^ au aceeai ans de a se eri-ica. Spune)

cu sunt eeni)ente e/al posibile.

Eeni)entele ele)entare, 3n ca4ul c"nd toate sunt

e/alposibile, le o) nu)i de aici inainte ca5uri "+a! o$i'i!".

Pro'a'i!itat"

D"*ini#i".


110/210

S not) cu A eeni)entul cruia re) si calcul)

probabilitatea. Nu)rul ca4urilor e/al posibile este 20. Nu)rul

ca4urilor -aorabile reali4rii eeni)entului! este '. Aceste trei

ca4uri sunt* etra/erea bilei $, a bilei % sau a bilei #&. Ae)

deci*


111/210

c;;ar probabilitatea ca nu)rul 3nscris pe bila etras din

pri)a urn s -ie )ai )ic dec"t cel de pe bila etras din a

doua urn J

a: Ca4urile -aorabile la pri)a din aceste proble)e le pute)

-i/ura prin 9#,2:, 9#,$:, 9#,&:, 9',2:, 9',$:, 9',&:, 9>,2:, 9>,$:,

9>,&:, 97,2:, 97,$:, 97,&:. Cu) nu)rul ca4urilor posibile estee/al cu >&, probabilitatea cutat este #2@>& O '@#$.

b: Da a doua proble) ae) )ai )ulte ca4uri -aorabile.


112/210

10 n

m


113/210

( ) m *

+ ' (n

+=U

i deci*),()()( (+'+('+ +=

dac ! I %O .

., obser) c

,' ' E ' '= =U I 5n ba4a e/alitii $., reiese

).()()( E+'+'+ =+

Min3nd sea)a de 2., obine) i)ediat e/alitatea >.

Aceast ulti) relaie pre4int deseori interes la

re4olarea proble)elor.

;ac re) s calcul) probabilitatea unui eeni)ent

' obser) c raiona)entul i calculele sunt )ai di-iciledec"t la calculul probabilitii eeni)entului contrar 'calcul) )ai 3nt"i probabilitatea )('+ a acestuia din ur)

i apoi calcul)*),()( '+'+ =

Ev"ni&"nt" ind""nd"nt"

6ie A i ! dou eeni)ente, ;ac


114/210

. Consider) eperiena const"nd din aruncarea a dou

4aruri, unul rou i cellalt erde. 6ie A eeni)entul ca 4arul

rou 3n eperien s apar cu -aa # i ! eeni)entul ca 4arul

erde s apar cu -aa >. Sunt eeni)entele A i !

independente J

, &:, unde - 3nsea)n nu)rul de puncte

de pe -aa 4arului rou i ? de pe -aa 4arului erde.

Toate aceste eeni)ente sunt e/al posibile. Ae) prin

ur)are '& de ca4uri e/al posibile.

Ae) un sin/ur ca4 -aorabil pentru A!, i anu)e 9#,>:.


115/210

(e4ult

.6

1

36

6)( ==(+

(elaia)()()( (x+'+('+ =

este 3ndeplinit i deci eeni)entele A i ! sunt independente.

/. 5ntro urn sunt $ bilete, nu)erotate de la l la $ inclusi.

Etra/e) succesi bilele din urn. 6ie A eeni)entul, ca dup

ce lea) etras pe toate din urn, biletul cu nu)rul $ s ias

pri)ul, iar ! eeni)entul ca biletul cu nu)rul # s apar 3n

etracia a doua. Sunt eeni)entele A i ! independente J

Ae) $f O 2$ ca4uri e/al posibile, date de nu)rul de

per)utri de $ obiecte, deoarece nu)erele #,2,',$ pot iei 3n

cele $ etracii 3n toate )odurile posibile.


116/210

92 # ' $:, 9' # $ 2:, 9$ # 2 ':, 92 # $ ':, 9' # 2 $:, 9$ # ' 2:

;eci

4

1

24

6)( ==(+


117/210

Ast-el eeni)entele A, !, C sunt independente dac ae)

toate e/alitile*

).()()()(

),()()(

),()()(

),()()(

,+(+'+,('+

,+(+,(+

,+'+,'+

(+'+('+

=

===

R"+u!a 1n&u!#irii ro'a'i!it,#i!or

5n ca4ul /eneral a dou eeni)ente A i !

corespun4toare la dou eperiene S# i S2 care nu au nici o

le/tur 3ntre ele, nu)rul ca4urilor e/al posibile i -aorabile

se -ace consider"nd eeni)entele A i ! independente. 5n

consecin dac 3nse)n) prin p probabilitatea reali4rii

eeni)entului A, i prin probabilitatea eeni)entului !, atunci

probabilitatea reali4rii eeni)entului A ! este p.

E7"&!":

.Urna U conine apte bile albe i trei roii, iar urna = conine

trei bile albe. Etra/e) c"te o bil din -iecare urn. Care este

probabilitatea ca a)bele bile etrase s -ie albe J##7


118/210

6ie A eeni)entul de a scoate o bil alb din urna U. Ae) #0

ca4uri e/al posibile dintre care 7 sunt -aorabile. ;eci*

.10

7=p

6ie eeni)entul de a scoate o bil alb din urna U. Ae) tot #0

ca4uri e/al posibile dintre care nu)ai ' sunt -aorabile.


119/210

urna = o bil. Care este probabilitatea s obine) dou bile

albe J

_i aici ae) de a -ace cu dou eperiene* etra/erea

unei bile din pri)a urn i etra/erea unei bile din a doua urn.

;ar aici cele dou eperiene sunt le/ate 3ntre ele. (e4ultatele

de la a doua eperien depind de re4ultatele de la pri)aeperien i nu ae) dreptul s -olosi) re/ula de 3n)ulire a

probabilitilor.


120/210


121/210

{ }.1'c.5n acest ca4, eeni)entul se scrie eident,

{ } { }.21 Totodat dac obser) c pentru a -i reali4at, trebuie s

nu obine) bila ', el )ai poate -i scris{ }.3

/.Este dat un pacet de #0 cri, cu nu)erele #, 2..., #0. Care

este probabilitatea ca pri)ele 2 crti s poarte nu)erele # i 2

3n aceast ordine J

So!u#i".Nu)rul ca4urilor e/al posibile este nu)rul de -eluri

3n care pot -i aran8ate cele #0 cri, adic


122/210

Pro'!"&"

.Un 4ar are -eele #, 2 opsite rou, -eele ', $ opsite /alben,

-eele >,& opsite albastru. Se arunc acest 4ar i se notea4*

A eeni)entul obinerii unei -ee roii W

! eeni)entul obinerii unei -ee /albene W

C eeni)entul obinerii unei -ee albastre W; eeni)entul obinerii unui nu)r par W

E eeni)entul obinerii unui nu)r i)par W

]?^ eeni)entul obinerii -eei cu ? puncte 9? O #, 2, ', $, >, &:.

S se arate c

a: ' ( ' ( , = =Ib: ED =

c:{ } { }{ } { }

{ } { }

2 < 4


126/210

i deci relaia

n

t

n

*

n

m

n

t*m+=

+

se poate scrie( ) ( ) ( ) ( )+ ' ( + ' + ( + ' (= + U I

/;(elaia precedent se etinde 3n ca4ul a trei eeni)enteast-el

)()()()(

)()()()(

,('+,(+,'+('+

,+(+'+,('+

+++=

5ntrader, con-or) relaiei precedente ae)( ) (( ) ) ( ) ( )

(( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

(( ) ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

+ ' ( , + ' ( , + ' ( + ,

+ ' ( , + ' + ( + ' ( + ,

+ ' , ( , + ' + ( + ,

+ ' ( + ' , + ( , + ' ( ,

= = + = + +

= + + +

U U U U U

U I I

I U I

I I I I I

Etins pentru n eeni)ente, relaia se scrie

1 2 1 2

1 2 1

1

1 2 3 1 2

( .... ( ) ( ) .... ( ) ...

( ) ( ) ... ( )

( ) .... ( 1) ( .... ).

n n

n n n

n

n

+ ' ' ' + ' + ' + '

+ ' + ' ' + ' '

+ ' ' ' + ' ' '

+

= + + + + ++ +

+ + +

U U U

I I

I I I I I

;e)onstrarea acestei relaii se -ace prin inducie.

#2&


127/210

A!ica#i".K urn conine ' bile albe i 7 bile ne/re, iar alta

conine 7 bile albe i ' ne/re. ;in -iecare urn se etra/e c"te

o bil.Care este probabilitatea s obine) cel putin o bil alb J

So!uti". 6ie A eeni)entul etra/erii unei bile albe din pri)a

urn i ! eeni)entul etra/erii unei bile albe din a doua urn.

Ae) de calculat probabilitatea eeni)entului ('

10

7)(,

10

3)(

).()()()(

==+=

(+'+

('+(+'+('+

;eoarece A i ! sunt independente

100

21

10

7

10

3)()()( === (+'+('+

i deci

=+= 10079

10021

107

103)( ('+

B.0./. Sc("&" c!a$ic" d" ro'a'i!itat"

Sc("&a !ui POISSON

Se dau n urne U#, U2, X, Uncare conin bile albesi ne/re in proporii date. Cunoate) deci probabilittile p i 9i O

#, 2,X, n: cu care este etrasa o bil alb din urn Ui. Se cere

probabilitatea de a etra/e ? bile albe si n? bile ne/re, atunci

#27


128/210

c"nd din -iecare urn se etra/e cate o bil. S not) cu iO #

P pi9i O #, 2, X, n: probabilitatea de a etra/e o bil nea/r din

urna Ui.

6ie Ai9i O #, 2, X,n: eeni)entul de a etra/e o

bil alb din urna Uisi

ii ,'' =

eeni)entul contrar al lui Ai.Eident, eeni)entele i' si i' sunt independente in

totalitatea lor.


129/210

eperien ce consta in e-ectuarea a n eperiente

independente, atunci c"nd cunoate) probabilitatea reali4rii

eeni)entului in -iecare din cele n eperiene.

A!ica#i".Intrun atelier sunt ' )aini.


130/210

(ecunoate) in aceast epresie ter)enul /eneral al ridicrii

la puterea na bino)ului p + .


131/210

4

1

2

1

2

131

1

41,4 =

=,+ .

A!ica#ia /. Se arunc un 4ar de > ori. Se cere probabilitatea

ca -aa cu un punct s apar de 2 ori si de ' ori sa nu apar.

Ae)

2


132/210

0. K urn conine #2 bile nu)erotate cu #, 2, X, #2. Se -ace o

etra/ere din aceasta urn. Care este probabilitatea obinerii

sau a unui nu)r par ,sau a unui nu)r )ai )ic ca >, sau a

unui ptrat per-ect J

3. ' tra/atori tra/ cate un -oc asupra unei inte, independent

unul de altul. bile albe si 2 ne/re, U$conine

$ bile albe si ' ne/re. ;in pri)a urn se -ac ' etra/eri

#'2


133/210

pun"nduse de -iecare data bila 3napoi in urn, iar din celelalte

' urne se -ace cate o etra/ere.

Care este probabilitatea obinerii sau a 2 bile albe si una

nea/r din pri)a urn ,sau a 2 bile albe si una nea/r din

ur)toarele ' urne J

. Sa consider) urnele U#, U2, U', U$, a"nd co)po4iiile U#O> bile albe, > ne/reW U2O $ bile albe ,& ne/reW U'O $ bile albe ,

> ne/reW U$O $ bile albe, $ ne/re. ;in -iecare urn se etra/

cate > bile, pun"nduse bila etrasa 3napoi in urn. Care este

probabilitatea ca din 2 urne sa obine) 2 bile albe si ' ne/re,

iar din a treia urna sa obine) alt co)binaie J

#''


134/210

B.3. Varia'i!" a!"atoar"

In iata de toate 4ilele intalni) la tot pasul )ri)i care

iau alori ce se sci)b sub in-luenta unor -actori int")pltori.

Asa sunt, de ee)plu, nu)rul de 4ile dintrun an in care cade

ploaie intro anu)ita re/iune, nu)arul bietilor din #00 de nou

nscuti, nu)rul de puncte care apar la aruncarea unui 4ar,nu)rul de bile albe care apar in n etra/eri dintro urn care

contine bile di-erite culori printre care si bile albe, etc. In

capitolul de -at ne interesea4 dintre aceste )ari)i nu)ai

acelea care iau un nu)r -init de alori. 6iecare dintre

)ri)ile de )ai sus poate lua di-erite alori in dierse e-ectuari

ale eperientei, ciar daca toate conditiile r)an aceleasi la

-iecare e-ectuare a eperientei. odi-icarea alorilor are la

ba4 -actorii int")pltori. ;e aceea o) nu)i aceste )ari)i

varia'i!" a!"atoar" inta&!atoar";.


135/210

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L

,

In pri)ul rand al tabelului a) trecut alorile posibile ale

ariabilei si sub -iecare aloare , probabilitatea cu care ia

aceasta aloare. Aceasta se nu)este di$tri'uti" sau

r"artiti" varia'i!"i 6..

;e cele )ai )ulte ori in calcul este su-icient sa

cunoaste) alorile care le ia ariabila aleatoare si

probabilitatile respectie.

;ar, in /eneral, cunoasterea acestor date nu este

su-icienta pentru deter)inarea co)pleta a ariabilei aleatoare.

Sa arata) acest lucru pe ee)plu.

Sa considera) un 8oc cu 4aruri. Se acorda celui care

arunca 4arul *# punct daca apare una din -ete & sau '

2 puncte daca apare una din -ete ( sau $

' puncte daca apare una din -ete / sau 0

Kbtine) o ariabila aleatoare h cu distributia*

1 2 3

: 1 1 1

3 3 3

"

,

In ee)plul nostru , ariabilele si h nu sunt e/ale,

dar au aceeasi distributie. Intradear , poate sa ia aloarea

#'>


136/210

( in ti)p ce ia aloarea #, daca a iesit -ata &. ai )ult, atunci

c"nd una din cele doua ariabile ia aloarea 2, cealalta nu

poate lua aceeasi aloare.

Sti) ca aruncarea 4arului este o eperienta care da

nastere la un tip de probabilitate. A) notat )ulti)ea

eeni)entelor ele)entare prin E O]#,2,',$,>,&^. Se ede ca

ariabila este o -unctie de-inita pe E, care ia ur)atoarelealori*

9]#^:O# W 9]2^:O#W 9]'^:O2W

9]$^:O2W 9]>^:O'W 9]&^:O'

Da -el *

h9]#^:O h9]&^:O# W

h9]2^:Oh9]>^:O2W

h9]'^:Oh9]$^:O '.

In /eneral, la orice ariabila aleatoare ne interesea4a

probabilitatea ca ea sa ia o anu)ita aloare. ;ar pentru a

putea orbi de probabilitate, trebuie sa ae) in edere un

ca)p de probabilitati. =o) spune deci ca o ariabila aleatoare

este o -unctie de-inita pe )ulti)ea eeni)entelor ele)entare

ale unui ca)p de probabilitate. E/alitatea de -or)a

ix x=

este un "v"ni&"nt.In ee)plul de )ai sus , e/alitatea O#este ecialenta cu eeni)entul ]#,2^. Intradear aceasta

e/alitate se reali4ea4a, daca si nu)ai daca se reali4ea4a acest

#'&


137/210

eeni)ent, cu alte cuinte 8ucatorul respecti capata un punct

daca si nu)ai daca obtine una din -etele # sau 2.

;eoarece e/alitatile 1x x= , 2x x= , X. nx x= suntinco)patibile doua c"te doua dar si una din ele se reali4ea4a

neaparat, ae)W

( ) ( ) ( )1 2 ... 1n+ x x + x x + x x= + = + + = = ,

1 2 ... 1np p p+ + + =

B.8. O"ratii cu varia'i!" a!"atoar"

Produ$u! $i $u&a dintr" o con$tanta $i o varia'i!a

a!"atoar"

;aca este o ariabila aleatoare si a o constanta ,

a este o ariabila care ia aloarea a i, atunci cand ia

aloarea i, iar a+ este o ariabila care ia aloare a+i, cand

ia aloarea i. ;aca are distributia

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L

,

atunci*

1 2

1 2

: n

n

ax ax axa%p p p L

,

#'7


138/210

1 2

1 2

: n

n

a x a x a xa %

p p p

+ + + +

L.

Adunar"a varia'i!"!or a!"atoar"

6iind date doua ariabile aleatoare si h , o) nu)i

$u&alor O +h, care ia aloarea i+Bi, daca ia aloarea

isi h ia aloarea Bi.

;aca si h au respecti distributiile*

m

m

ppp

xxx%

...:

21

21,

1 2

1 2

: n

n

y y y"

$ $ $

L

,

+h are distributia

1 1 2 2

11 12

: m n

mn

x y x y x y% "

$ $ $

+ + + +

L

unde pi8 9iO#,2,...)W 8O#,2,...,n: este probabilitatea reali4arii

si)ultane a e/alitatilor Oi si hOBi.

6iind date )ai )ulte ariabile aleatoare , h.., =

su)a lor se de-ineste ase)anator* +h+...+= este ariabila

care ia aloarea i+Bi+...+?, daca ,h,...,= iau respecti

i,Bi,...?.;e ee)plu, -iind date ' ariabile aleatoare.

#'L


139/210

m

m

ppp

xxx%

...:

21

21,

1 2

1 2

: n

n

y y y"

$ $ $

L

,

*

*

rrr

zzz-

...:

21

21,

pute) scrie

++++++++

mn*

*nm

$$$zyxzyxzyx-"%

...:

112111

222111

Cand scrie) tabloul de distributie al unei ariabile aleatoare e

bine sa ae) in edere ca alorile din pri)ul r"nd sa -ie di-erite

de c"te doua.

Produ$u! varia'i!"!or a!"atoar"

6iind date doua ariabile aleatoare si h , o) nu)iprodusul ariabile h, care ia aloarea iBi, atunci cand ia

aloarea i si h ia aloarea Bi.

;aca si h au distributiile*

m

m

ppp

xxx%

...:

21

21,

1 2

1 2

: n

n

y y y"

$ $ $

L

,

h are distributia

1 1 2 2

11 22

: m n

mn

x y x y x y%"

p p p

L

,

#'%


140/210

unde i)p este probabilitatea reali4arii si)ultane a e/alitatilor

ix% = , )y"=

6iind date )ai )ulte ariabile aleatoare ,h, .., = , o) nu)i

produsul lor ariabila h...=, care ia aloarea iBi...?.

;e ee)plu, -iind date ' ariabile aleatoare

m

m

ppp

xxx

% ...: 21

21

,

1 2

1 2:

n

n

y y y

" $ $ $

L ,

*

*

rrr

zzz-

...:

21

21.

Atunci scrie)*

mn*

*nm

ppp

zyxzyxzyx%"-

...:

112111

222111$

unde i)kp este probabilitatea reali4arii si)ultane a relatiilor

Oi, hOB8, O4?.

Ridicar"a !a ut"r" a un"i varia'i!" a!"atoar"

6iind data o ariabila aleatoare , o) nu)i puterea r

a ariabilei aleatoare ariabila rcare ia aloarea ir, daca

ia aloarea i.

;aca distributia lui este

#$0


141/210

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L

$

;istributia ariabilei r este

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L$

A!t" o"ratii cu varia'i!a a!"atoar"

6iind data o ariabila aleatoare o) nu)i inersa ei

ariabila1

%, care ia aloarea

1

ix, cand1ia aloarea ix .

Acesta este un ca4 particular al puterii unei ariabile aleatoare,

ca4ul r O#.

6iind date doua ariabile aleatoare si h , ast-el ca hsa nu ia alori e/ale cu 4ero, o) nu)i raportul lor ariabila

%

", care ia aloarea

i

i

x

y, daca ia aloarea isi h ia aloarea

Bi.

Varia'i!" a!"atoar" ind""nd"nt"

A) a4ut ca de c"te ori ae) de e-ectuat o operatiecu doua ariabile aleatoare si h, ne interesea4a probabilitatea

reali4arii siste)atice a e/alitatilor de -or)a O isi hOBi . Noi

a) notat aceasta probabilitate cu pi8. ;aca eeni)e)tele#$#


142/210

9Oi:si 9hOBi: sunt identice pentru toate alorile indicilor i si 8,

o) spune ca ariabilele in acest ca4 se pot scrie*pi8O


143/210

B.9. Va!ori &"dii

D"*initi".6iind data o ariabila aleatoare

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L

$

o) nu)i va!oar" &"di"a acestei ariabile nu)arul

( ) 1 1 2 21

...n

n n i i

i

. x p x p x p x p x=

= + + + =

E7"&!u

;aca lua) ca ariabila nu)arul de puncte iesite la

aruncarea 4arului , distributia ariabilei este*

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1

6 6 6 6 6 6

%

,

=aloarea )edie a acestei ariabile este

( ) 1 1 1 1 1 1 71 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6 2. x = + + + + +

Sa scoate) in eidenta catea proprietati ale alorii )edii*

. Va!oar"a &"di" a un"i con$tant" "$t" "+a!a cu

con$tanta.

#$'


144/210

;istributia unei ariabile aleatoare care ia o sin/ura

aloare este de -or)a

1

a

si deci aloarea sa )edie a -i e/ala cu a # O a.

/. Daca 6 "$t" o varia'i!a a!"atoar" $i a o con$tanta 2

atunci $unt ad"varat" r"!atii!":

9a+: O a+9:,

9a: O a9:

Intradear , -ie

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L

,

distributia ariabilei .;istributia ariabilei a+ este

#$$


145/210

1 2

1 2

: n

n

a x a x a x' %

p p p

+ + + +

L,

=aloarea )edie

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

...

... ... .

n n

n n n

a x p a x p a x p

a p p p p x p x p x

+ + + + + + =

= + + + + + + +

;istributia ariabilei a este

1 2

1 2

: n

n

ax ax ax%

p p p

L

W

iar )edia

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

...

... .

n n

n n

p ax p ax p ax

a p x p x p x a. x

+ + + =

= + + + =

0. Va!oar"a &"di" a un"i varia'i!" a!"atoar"

1 2

1 2

: n

n

x x x%

p p p

L

,

"$t" curin$a intr" c"a &ai &ica $i c"a &ai &ar" din

va!ori!" o$i'i!" varia'i!".

Intradear, -ie a cea )ai )ica dintre alorile #2, ..., n , A,

cea )ai )are dintre aceste alori. In relatia*

#$>


146/210

9:Op# #+ p2 2+X+ pnn)e)bruldrept se )icsorea4a daca inlocui) toate alorile i, 9iO

#,2,..,n: cu a*

9:Vp#a+ p2 a+X+ pnaO 9p#+ p2+X+ pn:aOa

;aca inlocui) toate alorile i 9iO#,2,X,n: cu A )e)brul drept

se )areste

9:\p#A+ p2A+X+ pnAO 9p#+ p2+X+ pn:AOA.;eci a\9:\A.

3. Va!oar"a &"di" a un"i $u&" *init" d" varia'i!" a!"atoar"

"$t" "+a!a cu $u&a va!ori!or &"dii a!" varia'i!"!or

a!"atoar" r"$"ctiv".

6ie

m

m

ppp

xxx% ...: 21

21

,1 2

1 2:

n

n

y y y" $ $ $

L

,

su)a ariabilelor aleatoare. Ne propune) sa calcula)

aloarea )edie a ariabilei +hW

1 1 2 2

11 12

: m n

mn

x y x y x y% "

p p p

+ + + +

L

Con-or) de-initiei alorii )edii pute) scrie*

#$&


147/210

1+hO p##9#+B#: + p#2#+B2:+X+ 9#+B2:+X+p#n9#+Bn:+p2#92+B#: + p2292+B2: + X + p2n92+Bn: + .... +B#9p

matematici speciale - umc

Documents