matematicka logika, funkcije - i deotesla.pmf.ni.ac.rs/people/mciric/logika/ml-p07-f-1.pdf ·...

KorespondencijeKorespondencijeKorespondencije

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi.

Korespondencija iz skupa A u skup B definise se kao proizvoljan pod-

skup f Dekartovog proizvoda A×B.

Pojmovi

prva projekcija od f : pr1f

druga projekcija od f : pr2f

definisu se na sledeci nacin:

A

BA × B

pr1f

pr2ff

x

y (x, y)

pr1fdef= {x ∈ A | (x, y) ∈ f za neki y ∈ B}

pr2fdef= {y ∈ B | (x, y) ∈ f za neki x ∈ A}

Matemati cka logika – 2 – Funkcije - I deoMatemati cka logika – 2 – Funkcije - I deoMatemati cka logika – 2 – Funkcije - I deo

Korespondencije i relacijeKorespondencije i relacijeKorespondencije i relacije

Primetimo da je korespondencija nije nista drugo do relacija izmedu

elemenata iz razlicitih skupova.

Relacija na skupu A se moze tretirati kao

korespondencija iz skupa A u sebe samog.

Obratno, i korespondencija se moze tre-

tirati kao relacija na skupu (A ∪ B), pa

se mnogi pojmovi koje smo definisali za

relacije mogu preneti i na koresponden-

cije.A B

A

B

A × A B × A

A × B B × B

(A ∪ B)2

f


Grafi cko predstavljanje korespondencijaGrafi cko predstavljanje korespondencijaGrafi cko predstavljanje korespondencija

Korespondencija je zapravo ono sto se u terminima teorije grafova

naziva bipartitan digraf.

Radi se o takvom grafu kod koga je skup cvorova podeljen u dve klase

A i B, pri cemu svaka grana pocinje u klasi A a zavrsava se u klasi B.

To je graficki prikazano na sledecoj slici:


Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencije

Primer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = {−1, 0, 1}.

Korespondencija iz A u B je, na primer,

f = {(a,−1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}.

Ona je graficki prikazana na sledecoj slici:

a

b

c

d

−1

0

1

A B

Ovde je

pr1f = {a, c, d}

pr2f = {−1, 0, 1}.


Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencije

b) Neka je g ⊆ A× P(A), gde je A = {a, b, c, d} i

g = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}.

Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridruzuje neki

podskup koji ga sadrzi.

Lako je odrediti projekcije.

c) Svaka relacija ρ ⊆ A2 je korespondencija iz A u A.


Kompozicija korespondencijaKompozicija korespondencijaKompozicija korespondencija

Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije

f ⊆ A×B i g ⊆ B × C.

Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencija

f ◦ g ⊆ A× C definisana sa

f ◦ g = {(x, z) ∈ A× C | (∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g)}.

f g

f ◦ g

x

y

z

A

B

C


Primer kompozicijePrimer kompozicijePrimer kompozicije

Primer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w},

i neka su korespondencije f ⊆ A×B i g ⊆ B × C date sa

f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}.

Tada je f ◦ g = {(a, u), (a, v), (a,w), (d, u), (d,w)}.

a

b

c

d

1

2

3

u

v

w

A

B

C

f g

313

3

3

a

b

c

d

u

v

w

AC

f ◦ g


Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)

Neka su A i B neprazni skupovi.

Za korespondenciju f ⊆ A×B kazemo da je preslikavanje ili funkcija

iz A u B ako uspunjava sledece uslove:

(i) pr1f = A;

(ii) ako je (x, y1) ∈ f i (x, y2) ∈ f , onda mora biti y1 = y2.

Uslov (i) cesto formulisemo i sa: f je definisana na celom skupu A,

ili oblast definisanosti za f je celi skup A.

Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznacnosti.

Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeci nacin:

(⋆) za svaki x ∈ A postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .


Jednozna cnostJednozna cnostJednozna cnost

Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na

sledecoj slici:

xy1

y2

AB

Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke

skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.


Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcije

Korespondencija prikazana na sledecoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne

zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznacnosti jer

je element a u korespondenciji sa dva razlicita elementa.


Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcije

Korespondencija prikazana na sledecoj slici nije definisana na celom

skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznacnosti:

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Prema tome, f nije funkcija iz A u B.

Medutim, kako zadovoljava uslov jednoznacnosti, f je funkcija iz skupa

{a, c, d} u skup B.


Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)

Korespondenciju f ⊆ A × B koja zadovoljava uslov jednoznacnosti

nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B.

Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija

iz skupa pr1f u skup B.

Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer

parcijalne funkcije:

a

b

c

d

−1

0

1

AB


Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)

Korespondencija prikazana na sledecoj slici zadovoljava oba uslova (i)

i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Prema uslovu (⋆) , da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x ∈ A

mora da postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .

Medutim, to ne znaci da za svaki y ∈ B mora da postoji tacno jedan

x ∈ A takav da je (x, y) ∈ f .



Na primer, za element −1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim

svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svoj-

stvom (a moguce je da ih bude i vise).

a

b

c

d

−1

0

1

AB



Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od

sledecih korespondencija u A×B je funkcija?

(a) f1 = {(p, r), (r, p), (s, t)}

(b) f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)}

(c) f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}

(d) f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

Resenje: (a) Kod f1 se element t ne javlja kao prva koordinata u

paru, tj. pr1f1 = {p, r, s} 6= A, pa f1 nije funkcija.

Moze se uociti da je f1 jednoznacna korespondencija, pa je parcijalna

funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B.



(b) Kod f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A

pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr1f2 = A.

Medutim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f2 nije jedno-

znacna korespondencija. Prema tome, ni f2 nije funkcija.

(c) Kod f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojav-

ljuje tacno jednom kao prva koordinata, sto znaci da je pr1f3 = A i

da je f3 jednoznacna korespondencija. Dakle, f3 je funkcija.

(d) Kod f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne po-

javljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljuje

dvaput.

To znaci da f4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije.

Dakle, ni f4 nije funkcija.


Funkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanje

Neka je f funkcija iz skupa A u skup B.

Ako je (x, y) ∈ f , onda se to belezi sa f(x) = y.

Kazemo da se x slika u y, i x se

naziva original, a y njegova slika.

Skup A se zove domen ili oblast defi-

nisanosti funkcije f , dok se B naziva

kodomen.

AB

f(A)

Skup

f(A)def= {y ∈ B | y = f(x), za neki x ∈ A}

je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A.


Funkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanje

U primeru na slici je

f(A) = {1, 0}.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Ako je f funkcija iz A u B, to belezimo sa f : A → B, a koristi se i

oznaka f : x 7→ f(x) (za elemente).


Zadavanje funkcijaZadavanje funkcijaZadavanje funkcija

Neka su A i B konacni skupovi, pri cemu je A = {a1, a2, . . . , an}, i

neka je f funkcija iz A u B.

Tada se funkcija f moze predstaviti na sledeci nacin:

f =

(

a1 a2 . . . an

f(a1) f(a2) . . . f(an)

)

Najcesce uzimamo da je A = {1, 2, . . . , n}, i u tom slucaju umesto

f =

(

1 2 . . . n

f(1) f(2) . . . f(n)

)

ponekad pisemo samo

f =(

f(1) f(2) . . . f(n))


Jednakost funkcijaJednakost funkcijaJednakost funkcija

Funkciju odreduju domen, kodomen i skup uredenih parova, pa se ona

moze smatrati uredenom trojkom (A,B, f) gde je f korespondencija

iz A u B za koju vaze uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije.

To znaci da su dve funkcije jednake ako imaju

(1) iste domene,

(2) iste kodomene, i

(3) iste parove koji su u korespondenciji.

Drugim recima, funkcije f ⊆ A × B i g ⊆ C × D su jednake ako je

A = C, B = D i f = g.


Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcija

Primer 1.4. a) Uredeni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obra-

zuju preslikavanje f : R → R+∪{0} iz skupa svih realnih brojeva u skup

svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x2

ili f : x 7→ x2.

Tako je

f(−√

2) = 2,

f(0) = 0,

f(−2) = 4,

f(2) = 4, itd.x−2 −

√2

0 2

y

0

2

4

f


Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcija

b) Neka je A = {−1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruzi

1, a iracionalnom −1, onda se dobija funkcija iz R u A.

c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H ⊆ A, onda se

karakteristicna funkcija podskupa H, u oznaci χH

, koja slika A u

B definise sa:

χH

(x)def=

{

1 ako x ∈ H

0 ako x 6∈ H.

Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristicna funk-

cija i obratno.


Restrikcija funkcijeRestrikcija funkcijeRestrikcija funkcije

Ako je f : A → B i X je neprazan podskup skupa A, onda definisemo

novo preslikavanje f |X : X → B na sledeci nacin: za svaki x ∈ X je

f |X(x)def= f(x).

Preslikavanje f |Xnazivamo restrikcija

preslikavanja f na X.

AB

f

f(A)

X f|X


Proširenje funkcijeProširenje funkcijeProširenje funkcije

Obratno, neka je f : A → B i neka je A ⊆ X.

Za preslikavanje F : X → B kazemo da je prosirenje ili ekstenzija

preslikavanja f na skup X ako za svaki x ∈ A vazi F (x) = f(x).

Drugim recima, F je prosirenje od f naX ako se vrednosti preslikavanja

F i f poklapaju na A.

Takode, F je prosirenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija od

F na A.


Kompozicija funkcijaKompozicija funkcijaKompozicija funkcija

Neka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A → B i g : B → C.

Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen presli-

kavanja f , to se preslikavanje g moze nadovezati na preslikavanje f .

Drugim recima, moze se definisa-

ti kompozicija ili proizvod presli-

kavanja f i g, u oznaci f ◦ g, kao

preslikavanje iz A u C, definisano

sa

f ◦ g(x) def= g(f(x)).

f g

f ◦ g

x

f(x)

g(f(x))

A

B

C

Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slucaj kompozicije

korespondencija, a time i kompozicije relacija.


Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija

Primer 1.5. Neka je f : Z → N funkcija definisana sa f(x) = x2, a

g : N → Q je funkcija definisana sa g(x) = x

2.

Tada je f ◦ g : Z → Q funkcija zadata sa

(f ◦ g)(x) =x2

2.

Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je

(f ◦ g)(x) = g(f(x)) = g(x2) =x2

2.



Primer 1.6. Neka su date funkcije

f(x) = 3x+ 4, g(x) = 3x2.

Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).

(a) 9x3 + 4x2

(b) 27x2 + 72x+ 48

(c) 9x2 + 4

(d) 3x2 + 3x+ 4

(e) nijednim od njih

Resenje:



Primer 1.6. Neka su date funkcije

f(x) = 3x+ 4, g(x) = 3x2.

Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).

(a) 9x3 + 4x2

(b) 27x2 + 72x+ 48

(c) 9x2 + 4

(d) 3x2 + 3x+ 4

(e) nijednim od njih

Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).



Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je

(f ◦ g)(x) = g(f(x))

= g(3x+ 4)

= 3 · (3x+ 4)2

= 3 · (9x2 + 24x+ 16)

= 27x2 + 72x+ 48

Dakle, (f ◦ g)(x) = 27x2 + 72x+ 48, tj. tacno je (b).



Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2



Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom

animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Biramo argument 1 u tabeli funkcije f ◦ g




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije f




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Nalazimo vrednost f(1) medu argumentima

u tabeli funkcije g




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije g




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3

Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovarajuce mesto

u tabeli funkcije f ◦ g




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3

Ponavljamo isti postupak za argument 2

u tabeli funkcije f ◦ g . . .




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1 2




animacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1 2 4


Komutativni dijagramKomutativni dijagramKomutativni dijagram

Ako je

f : A → B, g : B → C i h : A → C,

onda se to predstavlja dijagramom kao na slici.

A B

C

f

h g

Ako je pri tome h = f ◦ g, kaze se da dijagram komutira.


Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcija

Kompozicija funkcija moze se tretirati kao poseban slucaj kompozicije

korespondencija, a ova se dalje moze posmatrati kao poseban slucaj

kompozicije relacija.

Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zakljucujemo da

su takve i kompozicije korespondencija i funkcija.

Medutim, dacemo i direktan dokaz za to.



Tvrdenje 1:

Neka je f : A → B, g : B → C i h : C → D. Tada je

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

Dokaz: Domen obe funkcije, f ◦ (g ◦ h) i (f ◦ g) ◦ h, je skup A, a

kodomen je D.

Dalje, za proizvoljan x ∈ A je

f ◦ (g ◦ h)(x) = g ◦ h(f(x)) = h(g(f(x))),

(f ◦ g) ◦ h(x) = h(f ◦ g(x)) = h(g(f(x))),

pa je jednakost dokazana.



Asocijativnost kompozicije funkcija moze se objasniti i sledecim dija-

gramom:

A B

CD

f

g

h

g◦ h

f ◦g

(f ◦ g) ◦ h=

f ◦ (g ◦ h)


Identi cka funkcijaIdenti cka funkcijaIdenti cka funkcija

Identicko preslikavanje ili identicka funkciju na skupu A je preslikavanje

IA : A → A definisano sa:

IA(x)def= x, za svaki x ∈ A.

Tvrdenje 2: Neka je f : A → B. Tada je

IA ◦ f = f ◦ IB = f.

Dokaz: Domen funkcije IA ◦ f je ocito A, a kodomen B.

Dalje je IA ◦ f(x) = f(IA(x)) = f(x), tj. IA ◦ f = f .

Dokaz druge jednakosti je slican.


Levo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanje

Funkcije se u praksi oznacavanju na dva nacina: postoji levo oznacavanje

i desno oznacavanje.

Kod levog oznacavanja, znak funkcije se pise levo od argumenta, na

primer f(x), kako smo to i do sada cinili.

Ukoliko funkcije oznacimo grckim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na

koje one deluju latinicnim slovima x, y, z, . . . , a, b, c, . . . , tada ne

moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) mozemo pisati samo ϕx.

Kod desnog oznacavanja, znak preslikavanja se pise desno od argu-

menta, na primer xϕ.

Takvo oznacavanje se ponegde zove jos i Poljska notacija, jer ju je uveo

Poljski matematicar - logicar Lukasijevic.


Levo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanje

U slucaju levog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja

ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ◦ψ : A → C definisano sa

(ϕ ◦ ψ)xdef= ψ(ϕx).

U slucaju desnog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja

ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ◦ψ : A → C definisano sa

x(ϕ ◦ ψ)def= (xϕ)ψ.

Dakle, ovde nema ”izvrtanja” simbola ϕ i ψ.

Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matema-

tickoj analizi.

Prednost je, inace, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na

primer, koristi vise nego leva notacija.


Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo

”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi

x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),

sto je ekvivalentno sa

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:

fx1

x2

y

A B


Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da

slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi

za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,

tj. ako je f(A) = B.







Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:

A B








A B

za svaki y ∈ B








A B

y za svaki y ∈ B








A B

y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A








A B

x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A








A B

x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A

tako da je f(x) = y








A B

fx y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A

tako da je f(x) = y



Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacija

prikazana na sledecoj slici:

A B

f(A)

f


Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija



A Bf



A Bf

Primer ”1-1” funkcije



A Bf


A Bf



A Bf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”1-1”



A Bf


A Bf


ABf



A Bf


A Bf


ABf

Primer ”na” funkcije



A Bf


A Bf


ABf


A Bf



A Bf


A Bf


ABf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”na”


Bijektivne funkcijeBijektivne funkcijeBijektivne funkcije

Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kazemo da

je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B.

Identicka funkcija IA na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A.

Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija

iz A u A.

Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa.

A Bf

Primer permutacije


Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije

Primer 4:

a) Funkcija f : R → R, definisana sa f(x) = 2x, je injektivna, jer iz

x1 6= x2 sledi 2x1 6= 2x2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi,

kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom.

Ako se kodomen R zameni sa R+, onda je ova funkcija takode i

sirjektivna, tj. bijekcija je.

b) Funkcija f : R → R+∪{0}, definisana sa f(x) = x2, je sirjektivna,

jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja√a.

Buduci da se u a preslikava i −√a, ova funkcija nije injektivna.



Primer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od

sledecih korespondencija u A× B je funkcija koja nije ni injektivna ni

sirjektivna?

(a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

(b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}

(c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

(d) nijedna od njih

Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).



(a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslova

iz definicije funkcije:

– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,

– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.

Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q.

Medutim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan element

ne javlja dvaput.

Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava trazene uslove.



(b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslova

iz definicije funkcije:

– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,

– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.

Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata.

Takode, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljaju

elementi q i r.

Dakle, ova funkcija ima trazena svojstva.

(c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer

– kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A,

– element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznacna.


PermutacijePermutacijePermutacije

Neka je funkcija f : A → B, gde je A = {1, 2, . . . , n}, zadata sa

f =

(

1 2 . . . n

f(1) f(2) . . . f(n)

)

Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan nacin moze uociti da li

je f injektivna ili sirjektivna funkcija.

Naime:

❏ f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj

vrsti ove matrice medusobno razlicite.

❏ f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje

matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B.


PermutacijePermutacijePermutacije

Zadatak 1.1. Neka je A konacan skup i f : A → A. Dokazati da su

sledeci uslovi ekvivalentni:

(i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija.

Resenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii).

Neka je A = {1, 2, . . . , n}. Posmatrajmo niz vrednosti

f(1), f(2), . . . , f(n)

Ako je f injekcija, tada su svi clanovi ovog niza medusobno razliciti,

pa kako niz ima n clanova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A,

sto znaci da je f sirjekcija.

Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi

elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko clanova koliko i skup A, to

znaci da su svi njegovi clanovi razliciti, odakle sledi da je f injekcija.


Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija

Tvrdenje 3: Neka je f : A → B i g : B → C.

(a) Ako su f i g injekcije, onda je i f ◦ g injekcija.

(b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f ◦ g sirjekcija.

Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x1, x2 ∈ A. Tada

f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2) ⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) (definicija kompozicije)

⇒ f(x1) = f(x2) (injektivnost za g)

⇒ x1 = x2 (injektivnost za f),

sto znaci da je i f ◦ g injekcija.



(b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z ∈ C.

Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y ∈ B tako da je z = g(y), a

zbog sirjektivnosti za f , postoji x ∈ A tako da je y = f(x).

Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f ◦ g(x), pa je i f ◦ gsirjekcija.

Posledica: Kompozicija bijekcija je takode bijekcija.



Tvrdenje 4: Neka je f : A → B i g : B → C.

(a) Ako je f ◦ g injekcija, onda je i f injekcija.

(b) Ako je f ◦ g sirjekcija, onda je i g sirjekcija.

Dokaz: (a) Neka je f ◦ g injekcija neka su x1, x2 ∈ A elementi takvi

da je f(x1) = f(x2).

Tada je g(f(x1)) = g(f(x2)), zbog jednoznacnosti za g, tj.

f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2),

odakle je x1 = x2, zbog injektivnosti za f ◦ g.Ovim smo dokazali injektivnost za f .



(b) Neka je f ◦ g sirjekcija i z ∈ C.

Tada postoji x ∈ A, tako da je f ◦ g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z.

S obzirom da je f(x) = y ∈ B, to sledi da za z ∈ C postoji y ∈ B,

tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija.


matematicka logika, funkcije - i deotesla.pmf.ni.ac.rs/people/mciric/logika/ml-p07-f-1.pdf ·...

Documents