m 15. 1953. r m
. manae
"- 1{ ~L, ~ '-) )
/ m (Iugujem nakon boravka njihovoj zemlji.
PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU
Prvo izdanje ove knjige, stampano prije 8 godina, vec dugo vremena rasprodano. Povodom sve veceg interesa i za matematickom logikom kako u matematici tako i u primjenama u drugim znanostima i u tehnici, os­ i1 se za novim izdanjem knjige.
1{az1oga da ovo drugo izdanje izlazi nepromijenjeno (osim 8to izostavljen rezime eng1eskom) vise. Od vi8e "tehnickih" moguCnost njenog skorijcg iz1azenja manji tr08kovi izrade i niZa cijena, dak1e veca pristupacnost krugu potencijalnih citalaca. Vrlo briiljivom radu slagara koji su radi1i pr\'om izdanju valja zahvaliti da u njemu praktiCki stam­ parskih pogresaka, 8to omoguCilo da se drugo izdanje izvede fotokopiranjem sloga pr\'og izdanja. Od vise "materija1nih" razloga Cinjenica da se odgo­ \'ara;u~c du matematicke logike posljednjih godina nije bitnije obogatilo, har u pogledu fundamentalnih rezultata koji treba da· udu u jedan uvodni ud7.l,enik, nada1;e to. sto prema tekstu prvog izdanja s uspjehom odrZano nekoliko poslijedip1omskih ko1egija, takoder i opseian prikaz prvog izdanja knjigc u \·,.decem 1"II lrn/ Symbo/ic Logic, USA, Vol. 35 (1970), Nr 2, . 326-329 (referent prof. 1. oh sa The Ohio State University, USA).
Zhog \' \'clike zauzetosti nizom drugih obaveza nije dosad naialost hilo nlOp:u~c doHsiti rukopis i za drugi dio knjige, kako kao veca cjelina bila z<l111i?iljcna .. \icdutim, citalac zainteresiran za sirepodrucje matematicke logike l onog l'uh\'~l)g \'m knjigom, moZe posegnuti za u meduvremenu ­ liLiranim 1 djelom dr S. Pres;ca: Elementi matematicke logike, Beograd 11)6X. (Matcmaticka blhlioteka, s\'ezak 34.).
u Zgl, 6. VIII 1912. V. D.
PREDGOVOR
IstraZivanja iz podrucja osnova matematike posJjednjih su se decenija . toJiko razgranala i produbiJa da potpuniji pregled dobivenih rezultata zahti­ vise opseznih svezaka. Danas postoji nekoliko Casopisa koji ­ ciraju iskJjucivo radnje iz podrueja matematicke logike i osnova matematike mnogi drugi ukJjucuju takve radove. Jzlazi i nekoJiko serjja monografija osno­ m matematike. Na svim svjetskim jezicima raspoloziva su djela karaktera udzbenika matematicke logike. (narocito mnogo njemackom i engleskom jeziku). Karakteristicno da u posljednjih desetak godina takvih djeJa pubJicirano vise nego Ii u Citavom periodu 10ga . Mnoge katedre odrzavaju koJegije i seminare iz raznihgrana matematicke logike i srodnih obJasti. U USA, PoJjskoj, SSSR-u, Njemackoj, , Izraelu i nekim drugim zemljama postoje razvijene skole kojih rad orijentiran daljtl izgradnjll podrutja matematike. Nabrajanje pojedinih matematicara-Jogicara, cak se ogranicili koji su daJi znacajne priloge koji ostati trajna svojina ma1ematike, ispuniIo Jistu od nekoliko stotina - takvu listu trebalo staJno i brzo prosirivati.
Unutar ovog djela moguce , dakako, iznije1i samo l dio ovako goleme materije.
, dio Matematicke Jogike klasicnu (dvovaJjanu) Jogiku sudova. : Uvodna Glava 1 obraduje l probJematiku oko zasnivanja matematike sa stajalista matematicara ( filozofsku probJematikLI oko to[!a t nisam ulazio), u Glavi JI izlozena aJgebra sudova, u Glavi detaJjnije razradeno kako se algebre sudova uklapaju u teoriju l struktura, u GJavi - koja gJavni sadrfaj knjige - razvijena klasicna logika sudova kao formaJizirana deduktivna {; konacno, u GJavi V provedena su neka aksiomaticka ispitivanja u vezi s nekontradiktornoscu, nezavisnoscu, potpunoscu i nekategoricl1oscu sistema aksi­ logike sudova.
1 materijal i izlaganja u knjizi odabran tako da u jednu ruku dao dovolj/lo znanje tom podrucju matematike citaocu se u zeJi uputiti, u drugu ruku da pruii l1=1I0 predznanje CitaocLI koji nakon knjige posegnuti za opsezl1ijom l specijaliziranijom lite- raturom. .
Pored standardnog materijaJa djelo sadrzr pojedinosti koje SLl. misJil11. : Definicija demonstracije i ded11kcije nesto nlOdificirana Ll­ ; grupc aksioll1a negacije i kOl1stanata Jlcsto se razlikuju od i /-
6 Predgovor
matranih; dio rezultata 8. poglavlja G1ave 11 - s1iCno vrijedi za neke m pri10ge u Glavi ; k od razmatranja u glavi V takoder djelomicno sadrze prosirenja prema standardnom izlaganju. Manjih promjena u definici­ , teoremima i njihovim dokazima naei se na mnogim mjestima (usp. npr. definiciju jednakosti funkcija algebre sudova u Glavi 11).
Buduci da prvi sistematski prikaz logike sudova na hrvatsko­ srpskom jeziku trebalo u njemu stvoriti i nasu terminologiju .z . to pod­ rucje. Nastojao sam da - u skladu s internacionalnom - odabetem tako, da mogla biti prihvacena kao jedinstvena jugosJavenska terminologija. Praksa pokazati u kojoj mjeri ovdje pred!ozeni izbor sretan.
Principijelno za razumijevanje teksta koji dolazi treba veceg mate­ matickog predznanja. Medutim, mjestimicno . trebati izvje~na zlt u mate­ matickom rasudivanju.
Numeracija definicija (D), teorema () i jednad!bi te~ Glavama, korolara () i lema (L) poglavljima.
Ideja i sugestija za pisanje monografije potekla od profesora D. S. Mitrinoviea; prije blizu 4 godine predlo!io da napisem ruko­ pis za takvo djelo koje se 5tampalo edicija "atematicke Biblioteke". Tokom citavog tog perioda narocito za vrijeme mojeg gotovo dvogodisnjeg boravka Univerzitetima u Tokiju, prof. Mitrinovie stalno bodrio na poslu pisanja tog rukopisa i sa svoje strane ucinio sve da se knjiga sto prije i 5to l stampala. (asnye , iz tehnickih razloga u vezi sa subvencioniranjem. odluceno da se rukopis stampa k monografija medu edicijama Matematickog Instituta, umjesto k edicija "Matematicke Biblioteke" 5to bila prvobitna zamisao.)
Na m mjestu volio bih se zahvaliti i svima koji su indirektno pomogli u pisanju rukopisa za ovu knjigu. Zahtijevalo previ5e imena da se zahvalim svima s kojima sam kod nas, u Variavj, Jeruza­ lemu i Tokiju prilike· voditi razgovore koji su ili nae utjecali na koncipiranje nekog poglavlja knjige.
Takoder. svaki autor nekog matematickog teksta treba da obavezan i prima koji su svojim rukama izveli sve 5to treba uciniti da se rukopis pretvorio u knjigu: tkogod ikada prilike vidjeti kako se rada matematicki slog. znat ocijeniti koliko samo strucnog znanja nego i ljubavi za svoj posao treba da tu ulo!e slagari.
Svakom citaocu bit cu obavezan na i sugestijama u vezi s tekstom knjige; molim da se posalju moju adresu: Zagreb, Vinogradska 10.
u Zagrcbu, 19. ~ 1963. V. Devide
POPIS LERAURE
za dalji studij odru mtmtik logike obuhvaeenog u kiizi (djela 5U poredana kronololki, prema posljednjem izdanju)
ILBERT D. - ACERMANN W. Grundziige der theoretischen Logik, li 1938.
ILERT D. - BERNAYS . Grund/agen der Malhe11llJtik 1, 11, erlin 1934/9.
MOSTOWSI .
. W. Les londements logiquu du math/maIiques, Paris 1950.
QNE W. . . Methotb 01 Logic, New York 1950.
QN W. . . M(lthe11llJli('al Logic, Cambridgj: 1951.
LEENE S. . lnlrorlction 10 Metamathe11llJlics, New York 1952.
RR . Lefons de logique algibrique, Paris 1952.
ROSSER . .. Logic lor Malhe11llJticians, New York 1953.
BOURAI N. hiorie des Ensebles, Livre 1. SI 1212, Paris 1954.
LORENZEN . EjnfiJrung die operalive Logik nd Malhe11llJtik, li 1955.
EYING .
HEYING .
CURC .
LUASIEWICZ 1. ment logiki malematyczney, Panst. Wyd. Naukowe, Warszawa 1958.
8 Popis r
FRAENKEL . . - BAR-HILLEL . Foundations 01 Set ory. Amsterdam 1958.
. W. Foundotions 01 Mathemotkl. Amsterdam 1959.
NOVIKOV . S. Elementl matematileskol logikl. Moskva 1959.
ASSER .. Einftlhrung 111 dle matheatische Loglk I, Leipzig 1959.
SCMID . .
1 . Beweistheorle. erlio 1960.
. - ASENJAGER . GrudziJge der mathematischell Logik. erlio 1961.
SADR2.AJ Strana
GLAVA 1 - UVOD
:1. riza savremene motematike. Rigoroznost u matematici u raznim . Ranije krize u matematici i danasnja kriza ................................ .. . . . . 17
:z. Antinomije ili paradoksi. Cantorova teorija skupova. Antinomije. Intuicionisti. FOI­
malisti. Russellov paradoks. Pitanje egzistencije skcpa upotrebljenog u Russel­ low paradoksu. Pitanje definiranosti skupa upotrebljenog u Russellovl.1 para­ doksu. Gentzenovo preciziranje paradoksa. Nedostatnost klasicnog rasudivanja za zadovoljavajucu eliminaciju paradoksa ... ~ .........•.........•... , .. . . . . 18
. Potencijo/na i aktualna beskonalnost. Odsutnost beskonanosti u prirodi oko nas. VaZnost matematicke beskonanosti. PotencijaIna i aktuaJna beskonaCnost. ­ tematicka indukcija. Neka klasina i intuicionistiCka rasudivanja u vezi s Fer- matovim problemom. Bourbakijeva prognoza .••..................... . . . . . . 21
4. Intuicionizom. Logicisticka nj u matematici; Principia Mathematica i aksiom reducibiliteta. Intuicionisticka koncepcija matematici i logici. Nzivi "intuicionizam" i .. intuicionisticki". Zahtjev konstniktibjJjlOsti: egzistencija matematickog objekta kao moguCnost njegove konstrukcije. Kritika indirektnog dokaza pozitivne tvrdje. Odbacivanje zakljucivanja principu tertium datur. Principijelne i prakticke zamjerke intuicionizmu. Konsekvencije konse- kventnog intuicionizma. Koi:lstruktivne teorije i teorije konstruktibilnom ., 24
5. m/m. Formalna matematika i sadr&jna metainatematika. Formalizacija de- dukcije unutar formalne teorije. GOdelovi rezultati ........................ 26
. Zakljulak ••••....•.••..••.••••...•.•.••.•••.••••....•..•...•.••..•.•.••..•. 27
:1. Predmet algebre sudova. Uvod i program. Deskriptivna definicija suda. Primjeri. Sud objekt algebre sudova. Operacije algebre sudova: konjunkcija. disjunk­ . implikacija. ekvivalencija. negacija. vrijednosti za operacije algebre sudova. Alternativne oznake za operacije a1gebre sudova •. .... .. .... .. .. .. .. 31
2. Algebra sudova kao aJgebarska Slruktura.· Konstante. bl i formule algebre sudova. Zagrade i konvencije jacini razdvajanja operacija. Semanticka jed­ nakost (istovrijedn05t) formula algebre sudova. Analiza toka vrijednosti isti­ nit05ti. rii. Idtiki istinite i identicki neistinite formule. Primjeri: Pierceova tautologija. [o/so quodlibet. um quolibet. apsurdnost kontra­ dikcije. zakljucci contrario i n contrarium. Indirektna metoda ispitivanja identicke istinitosti. Teoremi identicki istinitim i parovima istovrijednih formula. Jntuitivna interpretacija. Neka algebarska svojstva logike sudova............................................................ .... .. 37
10 Sadrlaj
Slrana 3. Neke melode zakljuclvanja / sudova. us ponens. Lan~no zakljucivanje.
Demonstratio , numnm. Deductio abJuram. Pravi1a kontrapozicije 43 4. Funkcije algebre sudova. Definicija funkcije algebre sudova. Tablica toka vrijedno­
sti istinitosti. Jednakost i identicka jednakost funkcija algebre sudova. Teorem reprczcntaciji funkcije formulom sagradenom pomo~u konjunkcija, disjun­ kcija i negacija. Kanonska disjunktivna normalna forma. Kanonska konjun- ktivna normalna forma. Leksikografski uredene kanon~ke normalne forme " 44
S. Trans!ormacija i supstitucija algebri slIdo\·a. Teorem transformacije. Teorcm sup- stitucije. Simultana supstitucija •.....••..••••...•• , . • • . . • . • •. . . . • . . . . . . . . . . 49
6. Semalltic.ki (/lIalitet algebrl sudova. Dualna funkcija; involutivnost dualiziranja i simetrija dualnosti. Autodualne funkcijc. Funkcija dualna funkciji zadanoj formulom algcbre sudova .........••......•.•.•...•...•...........•.....• SI
7. Relacija < /111'du fimkcijllllla algebre sll(/ol'a. Relacija <: kao parcijalno uredenje skupa funkcija aJgcb~e sudova. Primjeri. lntuitivna interpretacija ; •...•..• , . • S3
8. : algebre slIdm'a. Shefferova i I.ukasiewiczeva •. Sistem izvodnica (ge­ nerirajuci sistem) algebre sudova. l sistem izvodnica ( algebre sudova). Oznake unitarnih i nam operacija. Hcrcditarna i neuniverzalna svojstva operacija algebre sudova. Ternami produkt binarnih operacija. Trans­ poniranje binarnih operacija; involutivnost transponiranja i simetrija trans­ poniranosti. T-postupak za konstrukciju . D-postupak za konstrukciju novih b01za. Enumeracija dvoelanih . Geometrijska i!ustracija medusobne povcl<lnosti dvoclanih za. Troclane . Baze uz alternativnu konvenciju sast<lvJjanju sloleni.h funkcija .•....•..•.•.•.•.•...•...•••...• , •••.•.•• , • • S4
9. I'(/'('lI op('acija &, V, :::>, <=>, <;>, t, ~, -', .,. ,. nek;m bazama. Predoeenja uz Shefferovu i Lukasiewiczevu bazu. Predocenja uz dvoclanc : (konjunkcija, negacija). (disjunkcija, negacija), (implikacija, g), (implikacija, univer­ zalna ncgacija), (implikacija, negacija implikacijc), (implikacija, ekskluzivna disjunkcija). Predoeenja uz trocJane : (univerzalna neg, konjunkcija, ekvivalencija). (disjunkcija. ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija) .. .••••.•.•• 71
10. Simaktit'ka definil jedllukosti algebr; sll(/o\·a. poklapanju ekstenziteta scm:lnlicke i sintakticke jednakosti. Efektivni izvod sintaktickc jednakosti seman­ ticki jedll'J.kih formula. N.:kontradiktornost, potpunost i nezavisnost sistema k~ii 2'. sintakticku jednakost ... : •....•••.•.•.•.. " .•.. .•..•• .•.•••.•.• 7S
11. Alg('bra slIJova I eleklril'ki sklopovi s prekidacima. Serijski i paralelni spoj. Inter­ pretacija operacija, formula i funkcija algebre sudova elektri~kim sklopovima s kidim. Ilustracija semanti~ke jednakosti sklopovima koji jednako rade 81
GLAVA - ALGEBRE SUDOVA BOOLEOVE STRUKTURE
. ( k(/o pareijalllo IIrl'dl!lIi skup. il uredeni skup. S-mrelasta struktura i1i S-mrcza. Primjeri ".................................................. 89
2. .'I-1rl'1a kao algebarska strllktura. Operacije kep i kap. A-mrelasta struktura ili A-mrcla. Primjeri ..........••.....•.•...•...•.. : ..•.•.•.•.•...•.•.•. ;.... 90
3. E!.1·ivalefllntl.fl S-mreza i A-mrefa. Konstrukcija A-mrclc nad S-mrelom i obrnuto. Pridrulene S-mrele i A-mrele. Mrele. Primjcri ...........•.•.....•...•...• 91
4. Nl'ka (/alja svoj.m·a operacija , V i rel(/cije < 11 m",. Idempotcnlnost. asoci- j;ttivnost, komutalivnosl. monolonija .....•...•.......•.....•..••••••.•.•.• 92
S. Distri!mlivne ",. Dcfinicija i svojstva distribulivnih mrela. Primjeri ....•....• 94
6. Kompf<>/IIefl/irane """!". Dcfinicija i svojstva komplcmcntiranih mrela. Primjeri . . . . 9S
7. B""le(J\'" ulgrhe. Boolcove algcbrc kao komplementirane distributivne mrele. Teorcm () jedinosli komplcmentiranja u Booleovoj algcbri. Involutivnost kompJcmen­ tiranja u l algcbri. De Morganovc relacije. 1)u;llneoolcovc ·;llgebre. Izmfi;m dualnih l algcbra. Primjeri. Reprezentacije l algcbra ...... ,." .... , ........ , .... ,................................... 97
Sadrfaj 11
Strana 8. lll dllillitetll 11 Booleovim algebrama. DU<1li izrazi u l illgebruma.
Involutivnost duuliziranja i simetrija dualnosti. semantickom dualitetu u Boolcovim algebrama ., .. , , .. , ....... , , , , , , , . , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9. Sillfakticki dllalitet 11 strukturatlla (S; , V, -,). Dualni izrazi. Metateorem v sin- tktik dualitctu. ................ " ...... " , ........... " . . . . . . 101
10. (&, V, -,)-afgebra slIdova kao Boo/eol'a algebra. Restringirana algebra sudova kao l algebra. Skup formula algebre sudova kao l lgI. Skup funkeija algebre sudova kao l algebra. Sintakticka jednakosl algebri sudo~'a i l algcbri ...... ,.oo •••• ,.: ••.••• ,................. .•••• 103
11. Booleovi prstelli S jedil/irom. Definieija Booleovog prslena s jedinieom. i1i. Neka svojstva zbroja i produkta u l prstenu s jedinieom. D11i l prsteni s jedinieom. Izomorfizam dulih l prstena s jedi- ... , ................................ , .... ,................... ..... 105
12. Veza izmedu Booleovih prstena jedinicalt/ i Booteovih algebra. l algebra konstruirana nad danim l prstenom s jedinicom i obrnuto. Pridruzo:,ne l algebre i l prsteni s jedinieom. (; izomorfizma kod peidrufenih 1 struktura. (;uvanje dualnosti kod pridrufenih Booleovih struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13. (~, v • .l..)- i (, &, t)-/ !Sudova kao / prsteni s jedi1licom. Skup l algebre sudova kao l prsten s jedinieom. Skup {unk algebre sudova kao l prsten s jedinicom.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14. Booleove 3-strukture i (&,V. ~, ~)-/ s/ldova·. Definicija / 3-struk­ tuee. Pridrufenost l al.gebre i Booleovog pestena s jedinicom u l­ 3-strukturi. Odeedenost Booleovog prstena s jedinicom njgvm multi­ lk. OdreJenost l algebre jednom od . Algebre sudova Booleove 3-strukture.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 112
GLAYA IY - LOGIKA SUDOYA
1. Logika slldova vers/I!S algebra sudova. Formalizaeija dedukeije unutar [. Simboli kao objekli leoe ...................................................... 117
2. Simbo/i logike !S/ldova. Slova (konslanle i ), operatori i z;. gnde " .. . . .. . . 118
. RijeCi logike sudova. Rijeci kao ·s1cgovi simbola. Oznake za ·. Oznake za oznake itd: I!,d~ktivna definicija . Jukstapozicija u notiranju . Duljina . m ............................... ,................................ 119
4. Formllle logike slIdova. Induktivna definicija ( [l. Induktivna defini­ ranga formule. Egzistencija formula odeedene duljine. Shematski prikaz fo formule. Rekonstrukcija fo fol. Uloga zagrnda u fo­ miranju slofenih izraza. Regularna razdioba zagrada. Leme regularnoj raz­ diobi. Odlucivo~t probIema da Ii dana [ormula i jedinost rekonstruk-' formiranja dane formule. Jedinost ranga dane formule. . - nente formule. Zamjena kcmponenala u formuli........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
S. Neki alternativn; sistemi za simOO/e i izgradnjll i /orn/llla logike s/ldova. Poljski sistem notacije. Tezina rijeci u poljskom sistemu. Leme vezi duljine i tezine formula u poljskom sistcmu. Prednosli i nedoslaci ovog sistema naSem. Odlueivost problema da li dana rijee (6l i jedinost rekonstrukcije ­ formule u poJjskom sistemu. . Sistem notacije s vanjskim zagradama ............... , ................ " .... . . .. ........ .. .... .. .... 132
6. Skraceno ll /ormula. pokratama kao oznakama za formule. Izo- stavljanje ne-neophodnih zlgrada. Hijerarhija operalora. Alternativne konveneije. 142
7. Aksiomi /ogike s/ldova. Sistem () aksicma za logiku sudnva. Aksiomi implika- ~, ~~njunk~ije, .disj~nke!je~ ~l, ncgaeije i konstanata. Sheme aksiomn IdVdul akslOml. m .......................................... 145
12 Sadrfaj
Strana 8. m; logike sudova. SimboliJca notacije supstitucije u formula. Induktivne
definicije teorema ! shema teorema logike sudova. Sheme formula koje su teo­ remi k sheme teorema. Metamatemati~ki simbol 1-. t kriterija odluke da Ii dana formula teorem. Pr!mjeri izvoda teorema. Shematsko predo~vaje izvoda teorema •.•.........•••..•.......••••••••• " " .•••.••...•••.• , •• •• 147
9. Neki valniji teoremi imp/ikacije ..................... :........................... 152 10. Demons/racije teorema. Demonstracije (dokazi) teorema kaokona~i izo -
mula. Komentar demonstracije. Prijeri demonstracija .. .................... 155 11. Dedukcije formula. Dedukcija formule iz danog (kona~og) skupa formula k niz
formula. Komentar dedukcije. t egzistenciji dedukcije d formule iz danog skupa formula. Supstitucija u dedukciji. Primjeri deduiccija ••••••••.• 158
12. Neka svojs/va dedkcije. Dedukcija (konacnog) sk1lpa formula iz. danog (kona~og) skupa formula. Tranzitivnost deducibilnosti ., ..•....•...... " .•. , ••.•.... .• 162
13. Te~rem. de~kcije. Induktivni dokaz teorema dedukcije iz samih sheli1a kma lmpllkaclJe uz d ponens .•...•.•. ;.................................... 163
14. Pravila dedukcije. Direktna i Cna pravila dedukcije. Pravila introdukcije i pravila li. Introdukcija i eliminacija imlik, konjunkcije, disjunk- , ekvivalencije. Slaba i k introduk:cija i eliminacija g.. ..•••. .•.• 166
15. Neki vallliji (m ~ogike slldova. Lista teorema i dedukcija logike sudova, klasificirana eksplicitnim operatorima •.•••..•.••.•• " •.•• " " • • •• •• • . . • 170
16. m /rans[ormacije logike sudova. Induktivni dokaz teorema transformacije i simuItane transformacije. Korolari teorema transformacije ....•••.••...•..•. 177
17. Dualitet logici sudova. (:uvanje ekvivalencije koddualiziranja.................. 178 18. Teoremi /ogike slldova i identicki istinite [mul l sudova. Teoremi logike
sudova, interpretirani kao formulc algebre sudova, k identicki istinitc formule. ldtiki istinite formule, interpretirane k formule logike sudova, kao teoremi .................. ·...••••••.•.••................••.•..••••.• 180
19. Neke altemativne aksioma/izacije /iJgike sudova. Aksiomatizacije u~ modus ponens ili uz modus ponens i supstituciju k pravi1a izvo<1enja. Hilbert-emaysov si­ stem za :::> & V <~ .-logiku sudova bez konstanata. Ekvivalcntnost ! si­ stema s nasim. Asserov sistem. za :::> & v.:::> .-logiku sudova bez konstanata. Novikovljev sistem za :::. & V .-logiku sudova bez konstanata. v si­ stem za =:- & V .-Iogiku sudova bez konstanata. Rosserov sistem za :::. & .-10- giku sudova bez konstanata. Frege-Lukasiewiczev sistem za :::> .-Iogiku sudova bcz konstanata. Whitehead-Russellov sistem za -'.-logiku sudova bez konsta­ nata. Waysbergov sistem za :::.-logiku sudova s konstantom ..L. Nicodov sistem za t -logiku sudova bez konstanata.... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 181
GLAVA V - NEA ISPITIVANJA ASIOI LOGIE SUDOVA
1. Neka svojstva sistema aksioa l sudova uz mods ponens kao pravilo izvo­ denja. lzvcdivost iz danog skupa ma. Svojstva izvedivosti: atomamost, por~st, monotonij<l. Rcducibilnost izvedivosti izvedivost iz konacnog skupa <lkSlOma ........................•••.•..•..••.•...........••••......•...• 191
2. Nekontradiktornost sistema aksioma logike sudova. Nekontradiktomost (konsistentnost) u smislu cgzistcncijc modela; u,_ klasiCnom smislu; 'u scmanti~om smislU; u sintuktickom smislu. Uvjctovanost scmantifke kOlUistcncije klasi~om, sintak­ tikm i konsistencijom u smislu modela. Uvjetovanost k1asifne konsistencije sintaktickom; obrnuto uz shcmu aksioma :::> (. :::> ).................... 192
3. PlIfpllnost sistema uksionla l sudova. Potpunost u smislu deduktivne karakteri­ Z<lcijc modcla; u klasifnom smislu; u scmanti~kom smislU; u sintaktifkom smi- slu. U,jcto\'anost scmanti~ke potpunosti klasienom i sintaktitom potpuno§Cu 194
4. Nc'kategoric'lIost s;.rtema aksioma /ogike slldova. Neizomorfni modeli sistema ma logikc sudovu.. . . . . • . . . . . . • . . • . • . • • . . . • • . . . . . • . • • • • • . • • . . . • • . . . . • . • . . . • . • 19S
Sadrfaj
5. Nezavisnost medu !ormulama /ogike sudova. Nezavisnost individuaJne fo.rmule od sistema aksioma smislu modela; u klasiCnom smislu; u sintaktickom smislu. Nezavisnost shema forl. Nezavisnost sistema aksioma danog shm k­ bez eksplicitnih varijabIa. Uvjetovanost k1asicne neLavisnosti i zavis-
13
Straoa
sti u smislu modela sintaktickom...... .......... .......... .. ......• . .... .. 197 . Neke nezavisnosti l; sut!ova. Nezavisnost odredenih shema formu1a od nekjh
podskupova sistema shema aksioma logike sudova .. . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 198 7. Sintakl;cka nezavisnost Hi/berl-Bernaysova sistema aksioma logike sudova. Nezavisnost
pojedinih aksioma od preostalih. Neizvedivost Pierceove tautologije iz Hilbert-Bernaysova sistema aksioma iz kojeg uklonjena shema ..., -, => . 200
8. Pseudomode/;. lstaknutost [l u strukturama cJ1l-"{, N; &, V, =>, ~, ...,}. Pseudomodeli. Nezavisnost u smislu pseudomodela. Uvjetovanost nezavisnosti u smislu pseudomodela sintaktickom ........................................ 205
9. Sinlaklicka nezavisnosl Asserova siSlema aksioma logike sudova.... . . . . . . . . • . . . . . . . 206 10. Nadomjeslavanje nekih shema aksioma shemama demonstracije. Zamjenjivost aksioma"
disjunkcije ( => ) => « => ) ::;. ( V => ) pravilom demonstracije "Ako su => , => teoremi, onda V => teorem". Nczamjenjivost aksioma konjunkcije ( => ) => « => ) :::> ( :::> & ) pravilom demonstracije ,,Ako su :::> , :::> teoremi, onda :::> & teorem" i zamjenjivost istog aksioma pravilom demonstracije ,,Ako su :::> ( => ), => ( => ) teoremi, onda => ( :::> & ) teorem" u sistemu odredenom Hilbert-Bernaysovim shemama aksioma implikacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
REGISTAR SIMBOLA ........................................................ 214 REGISTAR DEFINICIJA, TEOREMA, KOROLARA 1 LEMA............ ........ 215 AECEDNI REGISTAR .......... .................................. 217
GLAVA]
UVOD
1. KRIZA SAVREMENE ATEMAIKE
Kroz historiju matematike mogu se pratiti vece rigoroznosti.
Formule za povrsinu cetverokuta starih Egipcana bile su samo pribliil1e; nekom dokazu ili· izvodu takve formule dakako l govora.
U doba starih Grka matematika - se prvi put - postala egzaktna deduktivna nauka u smislu kako to danas shvacamo. Jedan od najvecih spomenika toga vremena, Euklidovi Elementi, bili su kroz dva tisucljeca uzor savrsenstva matematicke sinteze. .
U novovjeke takozvane vise matematike mnogo toga 8to priznala strogim izvodom. Eulerovo tretiranje mnogih problema infinitezimalnog racuna strogosti daleko od Arhimedove metode ekshaustije, suptilnosti metode Eudoksova teorija daleko nad­ visuje mnoga ostvarenja novog vijeka.
Kasnije radovima , Weierstrassa i drugih teorija realnih ­ jeva i matematicka analiza u glavnim konturama dobila oblik za koji se tada uglavnom mislilo da definitivno zadovoljavajuCi i bilo malo , koji su sa Kroneckerom tome izraZavali sumnje.
U stoljecu u kojem zivimo dozivljavamo dosad daleko najozbiljnijll, ­ dublju, najtezu ali najvelicanstveniju krizu matematike. Zeljeli bismo, da iz matematika "uskrsne" pomladena, kao 8to se to de8avalo i kriza: Sjetimo se samo da otkrice nesumjerljiv di dovelo do Eudoksove teorije omjera i da kritika i analiza Euklidova aksioma paralelama dovela do neeuklidskih geometrija!
No prizati da sadanja kriza karakteru bitno razliCita od ranijih. (Doduse, i svaka karakteru bitno razlicita od pret­ hodnih!) s~ postavljalo pitanje matematicke istine .kao takve niti bilo skepse osnovnim logickim koji se primjenjuju u matematici, vec bl u iznalazenju putova i metoda koji nas dovesti do te istine. Danas medutim - i to iz jakih razloga - postoji jedinstvenost u l stavu biti matematicke egzistencije i matematicke istine niti lgitisti sredstava kojima se moze traziti.
Kad nakon mnogih kritika, pojava antinomija diskusija oko matcmaticke beskonacnosti postalo 06to da se neke fundamentalne koncepcije klasicne matematike revidirati, razvilo se 8 struja koje su tu ­ ziju pokusale provesti m razliCitim sredstvima.
2 Mat.rnati~ka logika
2. ANINOIJE ILI PARADOSI
2.1. Paradoksi i1i antinomije koje su se u matematici javi1e prelazu iz devetnaestog u dvadeseto stoljece bile su - iako ne jedini - svakako jedan od glavnih razloga, da se matematika i matematicko misljenje u cjelini pod- vrgne kritici i reviziji. .
Tek sto Cantorova teorija skupova l pobjedonosno rusiti bari­ jere nezainteresiranosti i cak nepovjerenja prema novoj nauci, javili su se rezultati, koji su stavili u pitanje nju samu preko nje i dotadasnji nacin ttikg rasudivanja uopce. naravno nije l za posljedicu neki defetizam matematicara. Doduse, mnogi su nacelno priznavali dubinu i ostrinu krize. li od njih ipak za "vlastitepotrebe" i dalje radila ,,1)0 starom". l cinjenica da svi ti paradoksi nisu direktno zahvacali ncko od klasicnih razradenih podrucja matematike veC samo izvjesne "peri­ Jerne"' ogranke teorije skupova, ipak, ostao stalni signal da nesto nije u redu s klasicnom materoatikom.
Razna duboko razlicita shvacanja 'Osnova i biti matematike dovela su do razvoja velikih teorija, koje su, pored ostalog, l i zadatak da likvi­ diraju antinomije.
Tako zvanim "intuicionistima" ( kojima uskoro govoriti nesto opsirnije) doduse antinomije klasicne matematike ne cine briga, jer njihovom shvacanju ionako neleg.itimna, unutar okvira matematike koja intuicionistickim shvacanjima legitimna, uvjerenju intuicionista neke antinomije se principij~lno ne mogu javiti. No sigurnost oni su platili skupom cijenom odricanja citavih podrucja. matemat~ke i znatnim kompli­ ciranjem preostalih.
Tako zvani "formalisti" ( kojima takoder uskoro govoriti opsir­ nije) pak dosad nisu uspjeli da garantiraju ods\ltnost antinomija u svojim teorijama, sVemu se cini, da tako nesto unutar njihova sistema. princi­ l nije moguce - bar ne u onom smislu kako se to htjelo postici i vjeroval0 da se postiCi.
U drugu ruku, matematicara i danas uvjerea da se uz potre­ ban oprez antinomije u matemat;ckoj praksi mogu izbjeci.
2.2. Osvrnut c~o se nesto poblize jednu od najpoznatijih antinomija: ,'Zusse/lov paradoks. Rasudivanja , razumije se, biti nivou tzv. "klasicne" ili "naivne" teorije skupova.
Za svaki skup S mozemo postaviti alternativu: i1i S element od ,S', l S llije element od S. Skupove prvt" vrste, dakle one koji sadrie same __ kao element, zvat e-skupovima, one druge vrste, koji n sadrze same sebe kao element, zvat . n-skupovima.
Npr. skup svih prirodnih brojeva 06to n-skup, jer se 6tav taj skup poklapa ni sa. kojim posebnim prirodnim brojem, dakle ni sa kojim svojim elementom. Prazni skup takoder n-skup. jer ne sadrzi nijedan element, dakle ni samog sebe kao element (svaki skup, koji kao svoj element - n kao svoj pod~kup! - sadrzi prazni skup, sadrzi time bar jedan element, nije prazan).
2. Antinomije iIi paradoksi 19
U drugu ruku, dozvoIimo ] egzistenciju .,skupa svih skupova", (. skupa koji kao elemente sadrzi sve skupove, bit tim lmtim i sam - i skup - to e-skup.
Medutim, ako i ulazimo u pitanje egzistencije "skupa svih skupova", dovoljno da dopustimo da za l koji dani skup S uvijek vrijedi jedna i samo jedna od mogucnosti da to l e-skup, l n-skup (sto dakako samo sebi !; iskljucuje mogucnost da . e-skupova ).
Defiriirajmo sada - ovo .kljucna tacka Russellove antinomije - skup kao , koji kao elemente sadrzi sve n-skupove, dakle sve n skupove S, koji n sadrze same sebe kao element. (Zbog navedenih n-skupova - kojih egzistencija l u pitanju - skup sigurnd prazan, sto medutim bitno za razmatranja koje slijede.)
Postavlja se pitanje, da l e-skup l n-skup? Ako e-skup, dakle sadrzavao samog sebe kao element,
- definiciji od - jedan od n-skupova, tj. sadrzavao samog sebe kao element. - Dovle !; niceg paradoksalnog, ovo mogli shvatili indirektnim dokazom da u stvari n-skup.
Medutim sada dolazi poteskoca: Ako n-skup, tj. sadrzavao sebe samog kao element,
- definiciji od - jedan od elemenata od , tj. sadrzavao sebe kao element i tome e-skup.
Jzlazi dakle, da sadrzi sam sebe kao element onda i samo onda, ako sadrzi sal11 sebe kao element! U ovome i jest paradoks RusseIJove anti­ .
(Do na\ledene antinomije dosao engleski filozof i matematicar Bertrand Russell 1902. iste godine pisao tome njemackom matematicaru G. Fregeu, koji dovrsio svoje veliko djelo Grundgesetze del' AI'itlJmetik, begrifjsschrijilicll a').~t"eitet - Osnovi aritmetike. izvedeni simbolickim pismom - , l. I 93. \'01. ] ]903. U dodatku tome djeJu Frege priznaje da Russellovim rezllllatOll', uzdrman jedan od temelja njegova djeJa. U poku­ saju da ukloni teskol·C'. }-'rege uspio. 1903. RusseJJ svoj rezultat i . U isto \' ova antinomija i u Gttigu; su raspravljali . Zermelo i njegovi , ; nisu .)
2.3. Razmotrimo sada neke od putova kojima se - bez uspjeha - pokusalo u klasii'nim okvirima rastumaCiti Russellov paradoks.
Da bismo l razumjeli prvi od , opisimo nai7gled srodni "paradoks ".
U nekom selu , koji " sve n ( .flI/ olle) stano­ vnike sela, koji se nisu li sami. Da 11 sebe?
Ako bi se , jedL.1 "d stanovnika .. C'jl koji se sami, se smio brijati. Ako St: pak ., jedan od stanovnika sela koji se sami, se m brijati.
U prvi se da - u . logickoj strukturi opisane siluacije - ovdje pred soh(lm ()kalnj)~ti l sr(}dll'~ ~ tI Rt!s<;~!­ l paradoksu.
20 Uvod
Medutim "paradoks" brijaca lako zadovoljavajuci likvidirati: treba samo uoCiti, da iz zakljucivanja oko njega izlazi, da moglo posto­ jati selo, u kojem brijac djelovao opisani . Radi se dakle tome, korektna formulacija problema l ta, da se pita da li mogl0 ­ stojati seIo s brija~em koji radi navedeni - rjesenje , da nije moglo postojati. Na taj naCin "paradoks" brijaca neocekivaniji niti cudniji . moze postojati selo, u kojem brijac koji l nikad radi koji l kojiput radi.
Ako analognu argumentaciju primijenimo' Russellov paradoks, dobit da iz njega jedino proiz)-azi da n egzi.ftira (tamo definirani) skup svih skupova S, koji sa.dr!e same sebe kao, element. smo doduse uklonili apsurdni zakljucak da sadrzi sebe kao element samo onda ako n sadrzi sebe kao element - li smo umjesto toga d'oSIi u situaciju da moramo negirati egzistenciju' skupa , koji , klasicno rasudujuci, razumno definiran. onda mnogo apsurd od ranijeg i razja­ snjava antinomiju zadovolja.vajuci , ( cemu jos biti govora kasnije).
2.4. Jedan drugi put za' pokusaj bijega pred paradoksom \': ! se prigovoriti. dp. se u Russellovu paradoksu govori skupovima u presiro­ kom i nedovoljno odredenom smislu, tako da inacenje tog u do­ voljnoj mjeri matematicki precizirano.
Sto . znaci .,skup svih n-skupova"? Kakvi sve skupovi dolaze u obzir? Da l samo kojima su elementi malemalicki objekti iIi takoder , kojima su elementi ziva , iIi kakvi god apstraktni itd?
Medutim. ubrzo se uvida da prigovor vodi izlazu iz ­ sokaka. Naime. ako (neprazne) skupove ograniCimo , takve koji sadrze samo .. dopusiive" elemente, pri cemu definiramo da su .. dopustivi" elementi l
1 pri rodni ,
l 20 skupovi s dopustivim elementima
(. Gentzen 1936.), onda gornji prigovor nedefiniranosti od skupova s kojima radirno otpada. No l ranijeg rasudivanja uz ovdje dana ogranicenja "skupa" lako se vidi da sam paradoks ostaje snazi.
D". podrucje skupova, koje dopu5tamo. moguce jos v.ise ograni­ citi time, da se kao dopustivi l! pod 1 samoprazan skup (uz 2' kao ranije).
Analizirajmo nesto detaljnije 5to susada legitimni skupovi - pitanje, koje i samo sehi od interesa.
skup. 10 skup {}. tj. skup kojem prazni skup jedin elcmcnt. Dalje odatle uz 2" {{}}. uz 1" i 20 {, {}} skup. Odatle su dalje. opct uz I~ i 2", skupovi takoder i {{{}}}; {{. {}}}; {. {{}}}; {, {, {}}}; {{}. {{}}}; {{}. {, {}}}; {{{}}. {, {}}}; {. {0}. {{}}}; {. {}. {, {}}}; {, {{}}, {. {}}}; {{}. {{}}, {, {}}}; {, {}. {{}}, {, {}}}; itd. Nadaljc. kako su nallin npr. {}, {{}}, {{{}}}, {{{{}}}}, ...• {{{ '" {} ... }}} .... !ikupovi,. { · 2~ postoji i beskonacni skup koji sve Hpravo naznaccne ,sadrzi kao elcmente, itd. itd.
3. Potencijalna i aktualna beskJnacnost 21
(Spomenimo, potpunosti radi, i : Smatramo l, da prazni skup "auto­ matski" zadovoljava uvjet, da sadrzi samo dopustive elemente - jer sigurno sadrzi l1ijedan nedopuslivi - mozemo danoj definiciji podrucja legi- timnih skupova izostaviti 10.) ,
Iz zapocete konstrukcije legitimnih skupova izm zakljuciti : U jednu ruku dobiveno podrucje skupova znatno uze 'Od podrucja
"kakvih g'Od" skupova, cak i od podrucja ranije definiranih "tmtikih" skupova (gdje su pod 1 d'OPustivi elementi l prirodni br'Ojevi). Npr. {]} sada skup (iako, dakako. raspqlazem'O cak sa beskonacno mnog'O skupo;va k'Oji sadrze tacno element, npr. {0}, 0}}, {{{}}}, {{{{}}}} , ... ). Ipak, lako pr'Ovjeriti i za ovako ogranicen'O podrucje skuP'Ova Russell'Ov parad'Oks tvrdoglav'O ostaje snazi.
2.5. Vratim'O se prigovor analogan ranijem, da i za ovako 'Ograniceno P'Odrucje skllpova jedn'Ostavn'O n egzistira "skup svih n-skU'Ov".
Zast'O P'Ost'Oji takav skup? Ak'O mu negiram'O egzistenciju samo zal0 i nakon toga, 5t'O pretpostavka vodi d'Ok'Ontradikcije, kakav imati kriterij za egzistenciju matematickih 'Objekata? Nikada znati, l definicija nek'Og takv'Og 'Objekta tko zna gdje i kada dovesti pr'Otivrjecja.
Likvidacija R.usselIova parad'Oksa negiranjem egzistencije skupa svih n-skupova dakle 'reZalivna mjera, k'Ojom, zatvarajuci jedna vrata antin'Omi­ , ' nism'O sigurni, ' ' neka druga.
Sve u-svemu, se· da danas ''' razloga smatrati se RusseIlov i drugi paradoksi u okvirima klasicne logike i matematike mogu zadovoljavajuCi protumaCiti i time kao antinomije ukloniti.
. POTENCIJALNA 1 AKTUALNA BESKONACNOST
.I. Nakon pokusa sa iivom postalo jasno priroda dodU5e "horr'Or " (strah pred prazninom) l ' osta1o uvjerenje da "h'Orror infiniti" (strah pred beskonaCn'05cu).
Zaista, prema danasnjem nasem znanju nigdje prirodi nailazimo neku fakti(~ku, oSlvarenu, akfualnu skst. Ako . gov'Orimo "sk'm" molekula, at'Oma, elektrona - l kojih drugih l cestica k'Ojim su nas zasuli moderni. fizicari - postupam'O sli kao pripad· ii jednog l, koji se, ako zeJe izraziti neki 6 od 6 .. 11vataju za kosu nastojeCi time pokazati kako u pitanju iziv velik.
Cak i kozmickim razmjerima tesko pihvatiti ideju beskonacnom ( smislu beskonac'no velikom) svemiru i zasad se prirodnijom petpostavka doduse bez granico. l konac'an -- kao 510 10 ... l kuglina 'vsi za neka dv'Odimenzi'Onalna ss za i ki­ kacijLI s preostalim tr'Odimenzionalnim prostorom izvan i utlt te vSi.
.2. Matemalicaru naprotiv skst "kruh svgdi". . Weylu matematika i jest nauko beskonm'nol1l.
Historijski bilo pocetak matematike. kad sm'O se odlucili prelaz od 11 11 + 1, 5to nas u tom poccsu zausla­ viti? Ako u citav'Oj prirodi, u Citavom svemiru, N "ltih cestica"
22 Uvod·
koje se· " mogu dalje dijeliti", zar to razlog da N + 1 vise bude "prirodan" prirodni '1
Naro~ito intuicionisti inzistiraju to:ne, da se matem~tika sastoji od misaonih konstrukcija - , ii se, nemogu:e propisati da se zaustaviti kod nekog odredenog .
Ipak, l dobro uociti, da ovakva beskonaenost kakva se javlja kod neograni:ene kO!lstrukcije sve veeih i pl'irodnih bitn) drugaeijeg karaktera od , koju mislimo, kad gv"i') skupu svih ·i.dih , smatraju~i gotov;, svrsenim, {a~(o \·': pred \·aza .. t:·tim tttm. U :- slucaju radi se p:Jtencijallloj, u d ·ug)m uktua!lIoj beskonaenosti.
U p:>tencijalnu beskonaenost, u ~ navedenom smislu, mozda posumnjati sam') vrlo radikala'1 .. ultraintuicionistieki" matematiear. Sto se tiee aktualne sk:>sti stvari stoje drugacije.
Nemaju svi matematical'i jednake poglede to, u kojoj se , s kakvim opravdanj:m i da Ii se s aktualnom beskona;nosti moze i smije postupati sluzeei se klasicnom· logikom i matematikom. Ari .. totelova logika , . Wu intuicionisti, nastala ~pstrakcijom od rasudivanja kOlla(~ni skupovima, i opravdanja da scnjena pravi\a lIpot:'cb jav:lju izvt~:1. toga podru;ja.
3.3. Jednostavan da si uoCimo razliku izmedu potencijalne i aktualne beskonacnosti.
Uzmimo da smo neko svojstvo S prirodnih dokazali tzv, mateutifke i"dukcije, t;. da smo dokazali da 1 j 1 svojstvo S i 2- da, ako svajstvo S, i iduei + 1 t ... koder . svojstvo S.
Gledajuci prirodne kao potenc(jalllo sk skup, mozemo odatlc direktno zakljuciti da bilo koji otlah/'u"i k svojstvo S, do toga - l fakticki, l u principu -' dolazimo ponavljanjem k-l pUla zakljucka 20. Drugim jj~cja, kako postupno kOAstruiramo prirodne , tako - paralelno - zak:jucujemo, da sl'aki tako dostignuti brt'j !>vojstvo S.
priznati i intuicionisti, ukoliko su, dakako, tvrdnje 1 i 20 doka­ zane za prihvatljiv i.
Medutim, Ilije ;,rto ako kafemo da iz dokazanog izlazi da sti; prirodni ( samo bilo koji {l; pirodni ) svojstvo S i ako pod ti .. svi" zclimo azumjcti sama sil10nim za .. bilo koji", pomocu .. svi" zlil za svc prirodnc "odjcdl1om" izrcci da imaju svojstvo S. Direk- 1110 dakako tv .... dnju 11 mozemo dokazati, ..: z fckliv p/'m:j('/'it; za .' prirodnc l\'l' zakljucka 2', Uz klasicllO l'a5U­ l1 Zll1 tvrdl1)U sada opravdati samo illl!ireklll;m dokazom, i1\.: ovako:
Uzmimo da "! tako da svi p~il'odni iu svojstvo S, Tada rSl ncki odrcdCl1i idi k koji svoj'itvo S, (Nijc bit\10 da pO~lOjao. i /iajm!l/lji takav . l, treba m ll(Jl>m l/I'('ll('/~i(' skupa pllI(\dnih'brojcva!) No lklu;iV:Lll~ kao anjj~ "izlazi da k svojslVO S. O()."Y~110 6tiv hll prctp:>slavku da lI tako svi pl'irodlli
3. Potencijalna i aktualna sk.st 23
svojstvo S, to trebalo dokazati. - Ovdje smo, dakako, rasudi­ vali klasi('no~ za intuicioniste aktualno beskonacni skup idih matematicki objekt koji se smije primjenjivati zakljucke poput ovdje ucinjenog: m, ako n tako da svi prirodni mu svojstvo S, to jos n znaCi da mozemo efektivno naCi neki1:>roj koji to svojstvo i stoga intuicionisticki jos opravdano tvrdifi da tada takav postoji (usp. 4.).
.4. Promotrimo jos jedan . Uzmimo da' razmatrarno bl postoji l neki prirodni ro nekog danog svojstva - . postoji prirodni sa svojstvom da od 2 i da postoje prirodni , , = takvi da n + = Zn. "
Ako - za njega zadovoljavajuCi - efektivno odreden k sa svojstvom , i kJasicni maternatiear i intuicionist priznat problem rijesenirn i dokazanirn stavak, da postoji prirodni broj· sa svojst,vorn .
pretpostavka da postoji prirodni sa svojstvom - za njega legitirnnim putern - vodi do protivrjecja, i kJasicni i intuicionisticki rnatema­ l priznat bl rijesenim i dokazanirn stavak da n postoji prirodni svojstvorn . (Jedino za uItritlciist Grissovih shvacanja ovakav ~lcaj dolazi u obzir.)
Sada doJazimo do zilivig slucaja.
" ·Ako pretpostavka da n : prirodni svojstvorn - za njega dopusten - vodi do protivrjecja, klasicni rnaternaticar bez d:lljnjega zakljllciti da tada postoji sa svojstvorn . Intuicionist rnedutim, ako pretpostavke da postoji prirodni sa svojstvom l takvog karaktera, da jos - niti u - n omogucuje nala=enje sa svojstvom , odatIe zakljuCio da sa svojstvorn postoji, za njega "postojati" znaCi isl0 510 i "biti kOfi!>truiran".
Kad prirodnih l samo konacno mnogo, rnoglo se ­ kusati verificiranjern konstatirati 1 svojstvo , l ga 2, 3 itd. Takvu konstrukciju priznao i intuicionist, ukoliko , dakako. za pojedini broj provedeno priznaje.
No za aktuaJno be~Konacnj . .s) prirodnih mozemo kU5anjem provjeriti l rnedu trazen!" . potencijalno beskonacan SkllP rnozemo prirodne ispitivati sadrzavanje trazenog svojstva. l l odgovor postojanju trazenog cak i u" klasicnom' blnislu l] definitivan jedino ako ga naderno; ako ga , to putem nikad saznati.
Tako dugo dok rasudujemo samo potel1cijalnoj beskonacnosti l1 se da opa-;nosti da dosli do antinomija kojima l goyora: uvijek )( ukluvl ktulr beskonacnost.
U drugu ruku, uprilvo " ll beskonacnosti i rim "iljU klasicnog matematickog zakljucivanja doveli do Ilajbogatiji)) matematickih teorija, narocito otkako izgradena teorija skupova. HiJbertovim nitkD treba da nas protil'":J 7 raja kojeg stvorio 1110. Aktualllll
24 'Uvod
beskonacno!\t bitno upotrebljavaju m.noge na i najelegantnijih rnate­ rnatickih rnetoda. Zermelov akf>iom izbora samo je9an primjer.
Aktualna beskonaenost bila za rnaternatiku plOO "drveta spoznaje". Okusivsi od njega, postala "bolanskom" naukom, ali zato protjerana iz "raja" u kojem nije bilo sumnji.
Smije 1i se u rnateniatici zadrZati aktualna beskonaenost7 Irna li uopce' neko znacenje7 Mozemo li ocekivati da baratajuci s takvim barutom n~ce uvijek dolaziti do eksplozija novih paradoksa? vrijednost' teorerna dobivenih upotrebom aktualne beskonaenosti7
Na ova pitanja maternaticari razlicitih shvacanja nece dati iste odgovore. Drugacije odgovoriti klasicni maternatiear, drugacije logicist, drugacije formalist i drugacije intuicionist. Poneki od priznat da i drugi imaju "u izvjesnom srnislu"donekle pravo i poku~at njihove postupke "reinterpre­ tirati" vlastitom jeziku. svaki ostati vise ili manje uvjeren da u krajnjoj liniji taj koji imao pravo.
No cinjenica da su ispitivanja svih tih smjerova osnovama materna­ tike izvanredno obogatila nauku. Stvorene su nove teorije, nove metode, nove grane matematike. Dobiven niz izvanredno dubokih rezultata od trajne vrijednosti.
Uvod u Bourbakijevo 'djelo osnovama matematike i teoriji skupova zavrSava rijeeima:
" ... vjerujemo da rnatematici odredetro da prezivi i da nikad ne­ dozivjeti da se ~ dijelovi ove veHeanstvene zgrade sr zbog neke kontradikcije koja , se najednom javila; ali tvrdimo da misljenje necem drugom do li iskus~vu. l0, reCi neki. eto, dvadesetipet stoljeca matematicari imaju da ispravljaju svoje pogrjeske i nalaze time svoju nauku obogacenom ne osiromasenom; ovo im daje pravo da u buducnost gledaju s vedrinom."
4. INTUICIONIZA
4.1. Prema takozvanim logicistickim shvaeanjima matematika se osniva logici; sa tog stajalista gledano matematika , u krajnjoj liniji, grana logike. Ovu koncepciju zastupao narocito Frege i zatim Russell. Monumen­ talno djel0 "Principia Mathernatica" Russella i Whiteheada imalo za zadatak da toj osnovi konsolidira "napuklu" zgradu matematike. Medutim, jedna od kljucnih tacaka ove teorije, tzv. aksiom reducibiliteta, nije s uspjehom izdrzao kt"itike. (U ovoj knjizi logicizmu necemo govoriti detaljnije.)
4.2. Nasuprot logicistima, intuicionistima nije matematika grana logike, - obrnuto - za njih logika grana. matematike, nikako n njen osnov. Za intuicioniste su osnovne, primarne, matematicke konstrukcije, , logicke zakonitosti su sekundarne, one su izvedene apstrakcije odnosa koje nailazirno u matematici. Naprimjer,kad m6 "k povlaei , povlaCi , onda povlaCi " onda to - intuicionisticki - treba interpre­ tirati ovako: "Ako posjedujem metodu kojom osnovu konstrukcije od mogu, sagraditi konstrukciju od , i metodukojom osnovu konstrukcije
4. Intuicionizam 25
mogu sagraditi konstrukciju od , onda time posjedujem i metodu kojom osnovu konstrukcije mogu sagraditi konstrukciju . ". Radi se dakle izreci matematickog karaktera, iako velike opCenitosti. dakle konstatacija nekim okolnostima koje vladaju koo matematickog izvodenja neki primarni i apsolutni logicki princip koji "opCenito vrijedi" se stoga moze primjenjivati i kod matematickog izvodenja.
4.3. Sami z "intuicionizam" i "intuicionisticki" prouzroeili su mnoge nesporazume. istorijski su potekli OOatle, 5tO su neki intuicionisti inzistirali nekoj . "praintuiciji" prirodnog broja. Ovo se kad5to - narocito medu nematematicarima - tumacilo tako da se intuicionizam smatrao neke vrste "matematickom metafizikom". Medutim, u stvari tome moze biti govora. Uz precizniju formulaciju lz postavki i koncepcija intuicionizrna (to m:u nesretno ime, se, ostati) lako se mofemo osvjedociti da sadrfi niceg 5tO opravdavalo da ga se klasificira kao metafiziku.
za intuicionist~ egziste'ncija nekog matematickog objekta ekvivalentna s zvm metode kojom se taj objekt moze konstruirati. Matematicko rasudivanje sastoji se u misaonim konstrukcijama, tj. u kstruiru matema­ tickih objekata u nasem duhu, u mislima. Medutirn, n tvrdi se da neki primarni objekti nad kojima se te konstrukcije vrse l preegzistirati u 5 dhu prije svakog opafanja i m5l. Naprotiv, mogu i rezultat apstrakcije nad rezultatima opazanja objekata 'vanjskog, materljalnog svijeta oko nas. Pri percepciji nekog objekta stvaramo m OOredene jedinke proce­ som apstrahiranja sekundarnih, tn karakteristika tog konkretnog objekta. U tome 5tO prihvacamo mogucnost neogranicenog ponavljanja ovog dogadaja lefi - intuicionisticki - izvor prirodnog broja. Dalje ispitivanje pri­ rodnih brojeva onda posve odredeno, tj. svOOi se izvodenje posljedica iz nekog u izvjesnoj mjeri proizvoljnog sistema aksioma (npr. ) se sastoji u ispitivanju prirodnih brojeva, onakvih kakvi su dani gornjom deskripcijom.
Jnzistiranje konstruktibilnosti u matematickim rasudivanjima m za posljedicu da '!ntuicionisti priznaju legitimnim neke postupke uobicajene u klasicnoj matematici. od idirktg dokaza ostaje sacuvano da se mogu obarati pretpostavke time da se iz same pretpostavke (intuicionisticki prihvatljivo) izvede neki apsurd (npr. jednakost 0=1). Medutim, indirektni dokaz u m slucaju n moze garantirati. valjanost neke pretpostavke OOatle 5tO suprotna pretpostavka (makar i intuicionisticki prihvatljivo) vodi do apsurda. Ovakva okolnost jedino pokazuje da "apsurdnost od apsurdna" (tj. vodi kontradikciju), l to jos intuicionisticki opravdava tvrdnju da sama pretpostavk:l stoji. Iz istih razloga u m slucaju lgiti zakljucivanje principu (1'lm datur (treceg ); tj. principu koji izraiava tvrdnju da svaka tvrdnja / stoji iIi stoji ( neke daljnje trece mogucnosti).
Opeenito uzev5i, matcmaticara intuiciol1isticke koncepcijc su oporc; svakako, rcblivno l broj koji ih prihvac:lju i l i u "sva­ kodnevnom" matematickom radu. Jpak sve konccpcije trcba definitivno i kategoricki odbaciti samo zato sto nisu u skJadu s uobicajenim. tdiil­ i dominantllim shvacanjima. Sjetimo se sal110 kakva bila situacija kad
26 od
su stvarane neeukJidske geometrije! Sain Gauss se ustru~vao da tome objavljuje rezultate, se "vike Beoeana".
se da glavna· tefina argumenata protiv intuicionizma u ~ pijelnim zamjerkama, nego'u rezultatinv do kojih konsekventni intuicionizam vodi. Citava podrucja matematike intuicionisti moraju odbaciti kao bezsadr­ zajna ih posve iznova izgradivati s rezultatom koji cesto l naJikuje 5to trebalo rekonstruirati. Neki fundamentalni teoremi analize yj~e vrijede. { l u osnovi. se razlikuje od klasicne.
Od printipije/nih te5koca pridolazi da sami intuicionisti medusobno nisu uvijek potpuno saglasni u pogledu 5to u matema­ tici legitimno 5to .
Medutim, innogi rezultati intuicionistitke matematike sami su PQ sebi od intcresa i trajne vrijednosti. Pored toga intuicionisticka kritib bila sigurno jedan od odlucujucih motiva koji su doveli do izgradnje nekih velikih novih matematickih {, koje dodu5e same nisu konstruktivne teorije, su (klasicnc) teorije konstruktibl/nom (. rekurzivne nk).
( li izmedu konstruktivnih teorija i teorija konstruktibilnom citirajmo . Heytinga:
,.U nekoj { konstruktibilnom definira se odredena klasa matema­ tickih objekata kao klasa konstruktibi1nih objekata. Ovdje bitno troje: 1 pretpostavlja se jedna matematicka teorija u kojoj se klasa konstruktibilnih objekata moze definirati; 20 konstruktibiliteta dii PQjam, ; 30 postoji izvjesna sloboda u izboru definicije konstruk­ tibilnog. uz jedinu pretpostavku da u dovoJjnoj odgovara na5 intui­ tivnom pojmu matematicke konstrukcije ...
. . . Pod konstruktivriom { razumijevam tcoriju u kojoj smatramo dil I1cki objckt postoji jedino nakon toga 5to kons1ruiran. Drugim , u jcdnoj konslruktivnoj teoriji mogu se spominjati drugi objekti osim konstruktibilnih ...
. . . Iz da se samo za konstruktibilne objekte smatra da postoje. izlazi da 011; neku podklasu klase svih matematickih objekata. U konstruktivnoj teoriji moze biti referencije neki matematicki sistem koji prcthodio; , svojoj prirodi, biti samostalna.")
5. FORMALIZAM
David Hilbcrt i njegovi sljedbenici formaIistitkog smjera pristaju da zbog ;Jltuicionisticke kritike zrtvuju bogatu bastinu klasicne matematike.
Odreci matcmaticaru mogucnost iskljucenog (! Hilbertu ;5tO. kuo 'zabraniti boksacu da se sluzi pesnicama.
osigurali rezultate klasic:!ne matem~tike. form:tlisti su· odijelili /nlllll mulcmaliku koju ispituju i izgraduju od soclr;:(ljne .. mctamatcm:\tikc" /lIl(:U koje sc ta ispilivanja i izgradnja prvc vrSi. Konsekvcntno ­ (. ova konccpcija vodi do 10ga da se samo ohjekti formull1c tcorijc i rclacijc mcdu vec i sama dedukc(ia unutar / ( principu) Ii!ivu s:ldrzaja. · manipulacija sa znakovima }'nstajc nekc vrstc .. igra" s tacno
6. Zakljuc 27
propisanim , poput npr. Saha. (Dakako, 1 nisu odabrana proizvoljno, s tendencijom da formalna teorija "obuhvati" neku klasicnu). zada~ak metamatematike da ! nekon/radiktornost fol teorije, tj. da nas uvjeri da se unutar formalizirane teorije mogu deduk.cije dvaju teorema i ---, (koji , sadrzajno interpretirani, izrazavali suprotne tvrdnje).
U takvom svom programu fomzm ! da nije definitivno'uspio, nego cak - do . neke - definitivno osuden da n m; uspjeti. Pokazalo se, da uz odredeno preciziranje metamatematickih postupaka (specijalno uz inzistiranje striktnoj finitnosti, tj. izbjegavanju nefinitnih postupaka l koje vrste: egzistencijalnih, ne-konstruktivnih i indirektnih dokaza, aktualne ;kti, tran:;finitne indukcije i tome slicnog) unutar odredene l siroke kla'\e f..>rmalnih teorija (. svake sa svojstvom da se u moze izgraditi elementarna aritm-::tika) nm dokazati nekontradiktornost. Nadalje, u takvim teorijama - ukoliko nek6n­ tradiktorne - uvijek postoje formalizirane tvrdnje koje su neodluCive. tj. izrazi koji su dopusteni formirani u teoriji takvi, da sigurno n izraz n izraz -, n moze biti deduciran unutar teorije.
rezultati . GOdela nesumnjivo su vrlo duboki i dalekosezni. U neku ruku su "negativni" u smislu da dolaze do izrazaja izvjesne ln<: poteskoce i ograde koje su vezane uz v formalisticke koncepcije. (Spomenimo ipak da uz odredeno oslabljenje zahtjeva finitnosti metamatematike moze doci do okolnosti; G. Gentzen npr. dokazao nekontradiktornost elementarne teorije upotrebom transfinitne indukcije do odredenog " tako velikog" beskonacnog ordinalnog broja. Ii to odstupanje od striktnog Hilbertova programa.)
Bez obzira sve , zahvaljujuci radovima ilberta i drugih forma­ lista razvio se niz. metoda i skupljeno l vanredno interesantnih, daleko~eznih i rezultata koji sigurno takoder o<;tati ( svojina matem'1tike (medu njima npr. spomenuti GOdelovi rezultati).
1 ovdje treba spomenuti da su i nazivi "formalizam" i "formalisticki" odabrani dosta nesretno. Njima prvenstveno treba "zahvaliti" da dosta matematicara jos vise filozofa odbacilo diskusiju njihovim kon­ smatrajuCi ih fotmalistickim u tivm smislu, kao da forma­ li5ti matematici inzistiranjem m zele nadomjestiti sadrzaj. 5igurno nije tacno; treba samo uociti da su formalisti l ti koji su trazili skrupuloznu finitnost sadriajnoj metamatematici; skrupuloznu k jos mjeri nego l intuicionisti traie za svoju matematiku ..
6. ZALJUCAK
Uz formalisticke koncepcije prakticki citava kla5icna mate­ matika - dfiitiv sigurn05ti od kontradikcija !; m. Za intuicioniste sloboda od kontradikcije njihove matematike vidt, 05talo sacuvano relativno l klasicne matematike.
Postoji niz daljnjih vise iJi 5rodnih i od radikalno razlicitih ki matematikt:, matematicke egzistencije i matematicke
28 Uvod
istine. Vjerojatno oS l0 preuranjeno svima njima dati knt sud sve su one - ~eb u veCoj, neka u manjoj mjeri - obogatile matematiku.
Na jednom predavanju Hi1bert rekao: "Wir miissen wissen. Wir werden wissen." (rm znati. Znat .) uvjerenje .znaeenju matematike i entuzijasticko pouzdanje u njenu nije nigdje bilo izreeeno tako snaZno u ove dvije krajnje sdete reeenice. S druge strane duboka vjera u sigurnost matematickih metoda ali i ogromne teskoCe koje nailazimo u pokusajima njihova definitivnog fundiranja tesko da su igdje izrafene duho­ vitije nego 1i u izreci . Wei1a: "God exists since mathematics is consistent, and the devi1 ~ since we cannot prove it." (g postoji matematika neprotivrjeen.a, davo postoji jer to ne mofemo dokazati.)
Potencijalnu "detronizaciju" matematike sa pijedestala nepogrjeSive kraljice nauka n treba primiti degradacij njene vrijednosti. Ako smo uvidjeli da n djelo bogo'Va nego djelo Iji, ti sada samo oS viSe prava da se n ponosimo, vise dumosti i .poticaja da dalje izgradujemo i vise mogucnosti da se radujemo i ivm u njenoj ljepoti.
GLAVAII
1. PREDMET ALGERE SUDOVA
1.1. Uvod ; program. izgradnje algebre sudova bit kon­ strukcija jedne matematicke teorije koja treba da obuhvati izvjestan (l0 elementaran) dio ]ogike.
teorija, kao ~to vidjeti, !! biti u potpunosti formalizirana deduktivna teorija, u forma1izirati samo objekte { i relacije medu ·li i samu deduktiv1lu strukturu {:
Naime, kada budemo uveIi za "racunanje" s algebarskim sim-· koji reprezentiratj sudove vise biti potrebno ( dopusteno) da se pozivamo intendirani smisao, samo svojstva koja smo an eksplicitno iIi implicitno karakterjzirali aksiomima - slicno kao 8tO 'su npr. u Hilbertovim Osnovama geometrije tacka i pravac samo !! elementi nekih "sistema objekata" koji se podvr­ gavaju odredenim zahtjeviina, Euklidovo " 8tO dijelova" odnosno ."duzina bez sirine" koja " sve tacke podjednako Iezi". AIi zakljuCivanje i rasudivanje u vezi s izvodenjem daljnjih l medu objektima teorjjc iz ishodnih ovdje jos biti striktno eksplicitno fo­ malizirano, se vrsiti u okvirima uobicajenog "klasicnog" logickog izvodenja, onako kao 8tO se od u velikoj matematickih teorija.
Formalizirana Jogicka dedukcija bit uvedena u l knjige. Tek tamo citalac kojem knjiga prvi susret s metodama matematicke logike l osjetiti i ocijeniti fundamentaJnu i duboku razliku medu koricepcijama osnovu kojih su izgradene 11 ' l . Ovdje dane treba dakJe shvatiti kao samo privremenu, grubu i nepotpunu ­ dikaciju neceg 8tO prirodi stvari moze biti do kraja jasno odredcno tek kad se ocituje u provedbi konkretnom materijalu.
U izgradnji algebre sudova dakle za tim da stvorimo neku matematicku teoriju odredenog od na8eg misljenja. Kod toga se sukobiii s jednim koji se uvijek onda kad zeIimo preciznim matematickim definicijama obuhvatiti i tacno razgraniCiti koji u " govoru" samo nejasne konturc kojima pridjeljujemo izvjesni smisao koji daleko od toga da neposredno dopustao rigoroznu matematicku obradu. Razumije se da takav pothvat \1
stanovitom smislu nikad apsoJutno i idcalno ostvariv, upravo timc 510 za neprecizni supstituiramo jedan drugi prccizni, vrsimo odredcl1i zahvat. odredenu izmjenu okoll1osti, i treba da nas zacudi ako dovcdc posljedica koje se kojiput u 1 paradoksaJnim \lkoliko J1csvi-
32 Algebra sudova
jesno interpretiramo tako da ih "naivno" imputiramo ishodnim intuitivnim ( = atematicki jo~ nepreciziranim, nego shva.eenim u smislu "obicnog govora") objektia. Sjetimo se npr. Weierstrassove krivulje koja u svakoj taCki neprekinuta nigdje div:iu: egzistenciji takvog objekta ne treba se previSe' cuditi ako samo umu da neprekinutosti onako 5to ga precizno uvodimo u osnovama vise analize nije "ono isto" 8to bismo kao mateaticki ne~kolovani ljudi mogli razumijevati takvim nazivom.
se dakle sprijateljiti s time da "sud" u algebri sudova neee biti "ono i5to" 5to i u obicnom govoru. doduse neizbjefno izgu­ biti neke aspekte dijela "realnosti" kojem ! izgraditi matematicku tcoriju, za naknadu dobiti u ruke materijal koji dopu~tati egzaktnu atematicku obradu. Cini se da ovanv postupak neizbje!an ne samo u matematici nego i u prirodnim naukaa, u najmanju ruku ako "naukom" shvatimo ono 5to se pod tim imenom razvijalo pocevsi od stare Grcke. Ovdje ne bilo mjestu ulaziti u problematiku oko toga li 8 nacelno prihva­ tjti koncepcije nekom bitno drugacijem prildenju pitanju spoznavanja prjrode oko nas.
1.2. Deskr;ptivna, ;nluitivna definicija suda. Pod 8 u d m razumijevamo suvislu deklaratjvnu izreku, koja se podvrgava principima 1° i8kljueenog treeeg i 20 kontradjkcjje:
1 Svaki sud jedno od 8vojstava istinitosti iIi nei8tinitosti (tj. ncma suda koji ne nili istinit nili nei5tinit) i .
20 Svakj 5ud najvise jedno 5vojstava i8tinit08ti ili nei8tinito5ti (tj. suda koji i i5tinit i neistinit).
Sto 5 istinito:;ti tice dakle 5vaki 5ud jednu· i samo jednu v r i ~ d 5 t i s t i i t s t : bilo i 5 t i i t, bilo i 5 t i i t ili 1 f n.
5to i5taknuto u samom naslovu ovog paragrafa, ovo shvatiti samo kao opisnu definiciju suda niposto definiciju u matematiCkom smislu te . Njome na5tojimo - koliko jeto - opisati i razgra­ njciti objekte nascg 51 kojia f~limo izgraditi mateaticku teoriju.
Ako sud istinit, pi~at = (!>imbol citaj "te"), ako neistjnit pisat· =.L (simbol ..L citaj "ne - te"). (Znak treba da potsjeti pocctno !>Iovo engleske true=i5tinit.)
m.
1.2.1. ..21- 2 = 4" i5tinit ,,2 + 2 = 1" nei5tinit 5ud; dakako uz uobicajenu interpretaciju znakova 2, 4, 1, +, =. (Ako npr. + inter­ pretirali kao zbrajanje modulo 3, bila izren .. 2 + 2 = 1" i5tinita.)
1.2.2. "Svaki ist05tranicni trokut istokraean" i5tinit, "P05toji ravni pravokutni trokut koji istostrani~" neistinit sud.
1.2.3. " bez ostatka djeljiv sa 3" nije sud, dok nista pobIizc reeeno , za tu izreku jednoznacno odredeno da li ist1nita ili .
1.2.4. ., sada ldem" sud. , pretpostavimo li da ta izreka istinita onda sam za;sta lagao sto sam rekao neistina. Obrnuto,
1. predmet 1 sudova , 33
pretpostavimo li da izreka neistinita onda n Jagao ono §to sam rekao istma. Uz uobicajeni nacin zakljucivanja dobiJi bi dakle da ta izreka nije niti istinita niti neistinita. SliCno vrijedi . za izreku "Ova izreka neistinita" .
1.2.5. "Svaki kvadrat pravokutnik" sud, ko/iko smo ranije defini­ raH da li kvadrat smatrati pravokutnikom .
1.2.6. Izreka "Alg.;:)ca interesantnija grana matematike negoli analiza" mog1a se eventualno smatrati sudom samo onda, ukoJiko se raspravJja u krugu ljudi koji tome imaju svi jednako (l0 takvo, l0 suprotno) uvjerenje.
1.2.7. Izreka "Dodi ovamo" sud jer dek1arativna.
1.2.8. Izreka "Utorak u smjelom bubregu cita obrijanu uzbrdicu" sud jer . suvis1a (osim, mozda, u apstraktnoj poeziji).
1.2.9. Na nekom srednjevjekovnom sudenju optzenom reeeno: "Mora§ dati jednu suvislu iZjavu. Ako bude istinita ( samo onda) bit § 8, ako bude neistinita ( samo onda) odrubit ti glavu:'
Moze li se optu.zeni spasiti? oZ, (ako porota i drzi ) ako npr. : "Odrubit cete
glavu." Tada ga i smiju objesiti jer takav postupak predviden .samo za istin;tu izjavu, 8to "odrubit cete mi glavu" u tom slucaju l. No smiju mu odrublti glavu, se ovo predvida samo za laz, "odrubit cete mi glavu" onda istina. (Druga izjava koja spasi1a optuzenog l "necete objesiti".)
Izreku "odrubit cete glavu" dakle u smislu definicije bi smjeJi smatrati sudom jer istinitost odnosno neistinitost samom izrekom odredena vec ovisi buducim dogadajima.
1.2.10. ako stoji stvar s izrekom: .. Postoje prirodni brojevi , , Z, ( > 2) tako da " + " = z""? Ako m klasicno stajaliSte, iIi istinita i/i neistinita in da do danas znamo .koja od tih alternativa vrijedi n spreava nas da smatramo sudom. No s intuicionistickog stajali8ta nedopu§teno ovako govoriti vrijednosti istinitosti neke tvrdnje prije nego li poznajemo konkretnu metodu kojom se (bar u principu) mogl0 konsta­ tirati koja alternativa nastupa.
1.3. Sud kao objekt algebre sudova. od primjera navedenih u proslom paragrafu pokazuju da sud 8to smo ga tamo definirali ne8to 8to bi neposredno dopu~talo striktno matematitko tretiranje u smislu uobiea­ u matematici. U algebri sudova apstrahirat stoga od toga 8to sud "jest" brinut se samo tome koja svojstva edu, tj. koje el zadovoljava. No razumijc se da kod toga imati za da postavljamo samo takve relacije koje bi 8to vi8e intuitivnih sudova stvarno zadovoljavalo i koje bi i za posljedice l opet samo takve relacije - u drugu ruku nastojat da takvih. rclacija dob.ijemo 110 vi/e. .dakle kvm matematitki obuhvatiti sudove .. 8to l" u smislu da nj izrecemo samo konstatacije koje zaista stoje, li da 8tovi8e ovakvih stvarno i navedemo.
3 Malematitka losika
34 Algebra sudova
Ovakav program izgradnje a1gebre sudova precizirat dalje (i 08tro ga suziti) 'time 8to se vi8e uopce neeemo brinuti sadrzaju pojedinog suda, vec samo njegovoj' vrijednosti ,istinitosti. Unutar algebre sudova bit nam dak1e npr. slvi " =1= 1" i "svak/l. zatvof~ Jordanova kriv'ulja dijeli ravninu dva dije1a" potpuno istovrijedni. Drugim' rijeeima, klasu "svih" sudova podijelit u dvije podk1ase, klasu istinitih i k1asu neistinitih ~sudova. l­ mente prve k1ase reprezentirat opet simbol , elemente oruge simbol 1-. Uz potreban oprez ne dovesti do konfuzije ako i m eletn!!.nte.. , _L takoder budemo zvali sudovima, jer ih npr. naprosto mofem.o--ivatiti zn nekih odabranih reprezentanata k1ase istinitih i k1ase neistinitih, sudova. Skup S objekata algebarske strukture koju zvati algebrom' sudova sadrfavat dak1e samo 2 elementa, i 1-: S = {, 1-}.
1.4. Operacije algebre sv. Preostaje 08 da odaberemo operacije koje treba da su def,.nirane medu elementima . 1-. Ovo se ! provesti na natina, tokom ~itave ove G1ave razmatrat nekoliko tih moguCnosti. U prvim poglavljia koja slijede uvest osnovne operacije &,V, ::;>, <=> i -, kao izvedenu i kasnije ::>.
1.4.1. Operacija & bit nrn (definirana S), zvat konjunkcija. Sam znak ,,&" ~itat "et" ( latinskom zn~ "i''). Intendirani smisao ove operacije bit zna~nje veznika "i". Odatle jasno kako pojedinim kombinacijama vrijednosti istinitosti komponenata konjunk­ (tj. parovima vrijednosti' varijabla sudova , nad S) treba da odgova­ r aju vrijednosti istinitosti ~itave konjunkcije: Konjunkcija & sudova , bit : istinita (= ) onda i samo onda, ako su suda , istinita. Dakle
& = , ina.Ce & 1- = 1- & = 1- & 1- = 1-.
Neka npr. sud ,,2 + 3 = 5" sud ,,2 + 3 = 4". ( i ) tada sud ,,2 + 3 = 5 i 2 + 3 = 4". Sud istinit sud neistinit. Sud ( i ) - cjelina - neistinit.
Napomene. 1 Vrijednost istinitosti konjunkcije intuitivnih sudova ovisi samo vri­
jednostima istinitosti njenih komponenata, 8to i omogucuje da se & na ptirodni na~n uvede operacija u skupu S={T, 1-}.Naime, ako ~=-r1 i -r B=-r 1 bit i -r ( i B)=-r (1 i . ,
Na jeziku apstraktne a1gebre mogli bismo reei da preslikavanje skupa objekata strukture .71= {klasa intuitivnih sudova; } skup objekata struk- ' ture 3 s={S; &} koje sudu pridru!uje ili 1- vec prema tome da 1i -r = iIi -r = 1- homom~rfizam od'.[/J 3' •. (Ukoliko , dopustili da .[/1 uopCe zovemo strukturom.)
Analogna nana vrijedi i za sve osta1e operacije koje uvodimo.
20 Intuitivntl z~nje veznika "" ! takoder "prevesti" u {S; &} sa &. k naime analiziramo 8to zn npr. ,,2 < 5 i - 2 > - 5" s jedne strane te ,,2 < 5. -.2 > - 5~' s druge uo(Sit da sadrfajno , bitne razUke jer slo!t-na suda tvrde konjunkciju sudova ,,2 < 5", ,,-2 >-5".
1. Predmet algebre sudova 35
Ipak,ti't,obicnom govoru k, postoji ans razlike izmedu zn<:! "" i "". Npr. cesto radije 'reci' ,,-3 < 3> " nego Ii ,,-3 < i 3> " upotrebom "" ujedno neki isticemo da u prvu kompo­ nentu tog slozenog suda ulazi dio ,,< " dok u drugu ulazi dio ,,> " "suprotnog" znaeenja.
U jezicima razlicite rijeci za 8 "" i "", i u se ta distinkcija u izraiavanju gubi - kao 8tO se gubi i u algebri sudova koju izgradujemo ako zeIimo da se i "" u nju prevodi sa &.
Slicno bi i "", "dok", "medutirn" i neke druge rije<:!i mogIi prevesti u {S; &} sa & - ako prihvatimo ili izobli(!enja njihovog intu­ itivnog zna<:!enja koja tirne nastaju.
1.4.2. Operacija V bit takoder binarna zvat d i sj u k i . Sam znak "V" citat "vel" ( latinskom zn ""). Intendirani srnisao bit znacenje veznika "ili" u njegovom slabijem, inkluzivnom smislu. Ako su i sudovi, razumijevat pod sudom ( ) tvrdnju da vrijedi bil sud , bilo sud uz mogucnost da vrijede i istodobno. ( razliku od toga, , eksklzivnom smislu od "" - 'koje odgovara latinskom "aut" - razumijevala se pod sudom ( ili ) tvrdnja da vrijedi jedan i samo jedan sudova , .) Disjunkcija dakIe istinita onda i sarno onda ako jedna komponenata istinita. vrijednosti istinitosti varija~la sudova , disjunkcije V odgova­ prerna torne vrijednosti istinitosti citave disjunkcije:
V = V ..i = ..i V = , dok ... V ..i = ..i.
U govoru "" kadSto m zn<:! inkluzivne (vel) kadsto ekskluzivne disjunkcije (aut). U re<:!enici "Od sluzenja vojnog roka oslobodene su osobe koje su strani drzavljani ili boluju neke teze bolesti" rijee "" rna ocito inkluzivni, slabi smisao, se sebi razurnije da biti oslobodeni sluZenja vojnog roka i strani drzavljani koji boluju od neke teze bolesti. Naprotiv, u <:! " se pridrzavati sao­ bracajnih propisa ili platiti kaznu" rijec "" oeito ekskluzivni, jaki smisao, se sarno sebi razurnije da se od onoga koji se pridrzava saobracajnih propisa traiiti da plati kaznu (te vrste). Jasno dakle da bi prevodenje i jake disjunkcije u algebru sudova sa V dovelo do grubih gresaka intendiranorn srnislu logi<:!nih . (ako se jaka di~junkcija moze izraziti "I)U drugih operacija koje uvodimo vidjet ~eo kasnije u 1.4.6.)
1.4.3. => bit zvat i li k i . Sarn znak ,,=> , ! "povla<:!i". Intendirani srnisao od ( => ) bit : "Ako , onda ", "Iz proiziIazi ", " dovoljan uvjet za ", ,. nu uvjet za ". Treba istaei da ovdje "povlaci" i analogni izrazi nisu rnisljeni u "kauzalnom" srnislu sarno tvrde da u slucaju istinitosti od i sud istinit. Prema torne bit => neistinito onda i ako istinito neistinito, tj.
=>..i =..i => = ..i => = ..i =>.1. = .
U irnpIikaciji => zvat t d t k ­ s k v t m implikacije.
36 Alaebra sudova
u govoru "ako ... onda" nije uvijek tako m. naloj definiciji sudovi "Ako 2 + 2 = 5 onda vrijedi Pitagorin pou~k" i "k 2 + 2 = 5 onda ne. vrijedi Pitagorin poucak" su istiniti, naprosto zato, 5to n istina da 2 + 2 = 5. ne-matemati~ri se kolebali da li da ih prihvatimo istinite. No za matemati~ra § interpretacija implikacije uobi~jena. Npr.- sud "k postoji najveCi primbroj , takav da i -2 primbroj, onda ima samo konaeno mnogo primbrojeva-ian!w" smatramo istinitim bez obzira to da 1i postoji najveei primbroj ; takav da i -2 primbroj ili ne. Formulu (Ixl > 1) -=> (r>l) smatramo istinitom za svaki realni , i za za koji '' < 1 jer u potonjem slueaju ni ne tvrdi da '> 1.
Dakako da i u obicnom govoru "ako ... onda" imati ovakvo zna­ cenje. Npr. ako ! "agarac , ako ti u ovome uspije§" (Ito, usput reeeno, prema na definiciji sud buduci da unaprijed znam da li ta tvrdnja istinita jer se mo!da ipak ! dogoditi da uspije da nisam magarac) !elim time Ito lutke pretpostavljam da sam rekao istinu istaci da vjerujem da kome to govorim mogao uspjeti jer smatram eviden1nim da nisam magarac. Natpis "lade!i ispod 16 godina pristup zabranjen" zn "Ako osoba I 16 godina, onda nije doz­ l da ude". No ta zabrana nije prekr!iena, tj. ostaje istinitom, ulaze osobe od 16 godina i starije (dapace, redovno se upravo i !c1i pri­ mamiti Ito vise ovakve "zrelije" publike).
1.4.4. <=> bit. , zvat k v i v 1 i . Sam znak ,,<=>" citat "ekvivalentno". Intendirani smisao od ( <=> ) bit : " onda i samo onda ako " , Ito isto, " nu!dan· i do­ voljan uvjet za ". ( <=> ) tvrdi dakle isto 5to i slo!eni sud ( :::> ) & (:::>). tom~ <=> bit istinito onda i samo onda ako su vrijednosti istini­ tosti od , inedusobno ednak tj.
T<=>T=..L<=>..L=T, T<=>..L=..L<=>T=..L.
razlici prema govoru moglo se reCi. slicno kao kod impli­ kacije. Npr. na50j definiciji izreka ,,2 >4 onda i samo onda ako postoji najveei primbroj" istinita, jer n postoji najveei primbroj 2 nije veCe od 4.
1.4.5. Operacija bit unitarna (definirana $), zvat g i . Sam znak "" citat "" ( latinskom znaei "ne"). Intendirani smisao bit "Nije ". Prema tome bit iS1inito ako neistinito i obrnuto, tj.
=..L, 0..L = .
1.4.6. Sada smo u mogucnosti da i ekskluzivni "" prevedemo u l­ gebru sudova. Naime ( ili ekskluzivno .) tvrdi isto 510 i [ & ( )] v . [ & ( )]. Dakle, 8tO se tice vrijednosti istinitosti, bit ekskluzivna disjun­ kcija izmedux , u algebri sudova dana sa [ & ( ») v [ & ( )].
Takoder bismo, 5to se tice vrijednosti istini10sti, ekskluzivnu disjunkciju izmedu i lgli izraziti. ~a ( <=> ). Zbog ovog posljednjeg upotrebit kadsto za ekskluzivnu disjunkciju i poseban znak (citaj: " ekvi­ valentno sa").
2. Algebra sIova algebanka struktura 37
1.4.7. Tok vrijednosti istinitosti uvedenih logickih operacija mo! pregledno predociti tabIicama vrijednosti ist.initosti:
:& :xvy :<::>
-,
I
!I 1. 1
1.4.8. Uvedene operacije dakako nisu koje se mogle uvesti (usp. 8.3.). Cesto se algebra sudova izgraduje s brojem operacija, npr. samo sa &, V, -,. Kasnije detaljnije ispitati kako se din "funk.cije" algebre sudova mogu izraziti nekih odredenih ishodnih operacija (4.3.1, 4.3.2, 9.).
1.4.9. Za operacije &, V, ~, :>, -, U literaturi postoje i druge, alter- vn oznake, npr.
Umjesto & neki pisu , neki " neki nista, neki . Umjesto V +, neki U. Umjesto ~ neki ::>, -., neki r+.
Umjesto :> neki pisu =, neki +-+, neki "", neki Umjesto -, - (potez gore), neki,..,. 1.5. ad smo li elemente S i medu
imajuci stalno intendirani smisao (tj. realnosti, naseg. misljenja zakonitosti nastojimo opisati matematickom teorijom koju izgradujemo) "zaboravit" intendirani smisao i izgradivati teoriju dalje deduktivno, pozivajuci se sudove u intuitivnom smislu intuitivno znacenje 1.ogiCkih operacija koje smo . No dakako se razmatrajuci tako izgradeni teorije "sjetiti'-' inten­ diranog smisla sudova i samo da bismo provjerili da Ii su rezul­ tati koje s~o d~bili u apstraktnoj teoriji u skladu s okolnostima za koje smatramo da vrijede u konkretnoj, :,realnosti". jedini in koji stoji raspo­ laganju da provjeravamo dopustivost, prikladnost i vrijednost teorije.
2. ALGERA SUDOV ALGEBARSKA STRUKTURA
Sada smo u mogucnosti da 1 g r u s u d v koju izgradivati uvedemo kao aJgebarsku matematicku strukturu.
2.1. n 1. Algebra sudova struktura {{, ..}; &, V, ~, :>, -1} gdje su &, V, ~, :>, -, dejinirane m 1.4.7.
za izgradnju simbola, formula i jednakost'i algebre sudova· postavljamo definicije:
38 AIgebra sudova
Defintcija 2. s t 11 t algebre sudova u elementi S, '. i 1... V r bl algebre sudova u znakovi (slova) , , z, '" (zamiSljamo tak)'ih " raspolaganju potencijalno prebrojivo beskonacno mnogo).
Definicija 3. F r 1 algebre sudova u (konacni) izrazi koji izgl'aauju iz konstanata i varijabla u &, V, =>, <=>, --, uz ­ trebu zagrada ( dopusteni nn, tj. tako &, V, =>, <=> djeluju kao nm - kao unitarna ).
Formule algebre sudova oznacavat redovno velikim latinskim' slo­ vima: , , , '"
Npr. , , x=>iT, --'( =>), [xV(--')]=> , <=> su formule algebre sudova.
zagrada u foli. ! cesto smanjiti ako prihvatimo neku konvenciju razdvajanja operacija 7 . tako da ova padajuci niz u poretku
<=>, =>, V, &, --'.
Najjace dakle razdvaja <=>, zatim => itd. najslabije --'. Prema tome . <-> & z isto sto i <=> ( & z), => V z & isto sto i => [ V (z & )]. Medutim, zbog lakseg uvijek izostavljati maksimalno moguCi zagrada.
2.2. Definicija 4. (De[inicija semanticke jednakosti) Dvije formule , algebresudovazvatcemo istovrijednim ili semantifki jednakim ako . za . mogu(e zamjene varijabla sudova iz , konstantama iz {, 1..} korespondelltne \'rijednosti istinitosti i un jednake. Ako su i istovrijedne j"ormule ' = .
( razliku od toga znacit == da su formule , identifki gra­ ll, tj. da - osim gore navedenim konvencijama ne-neophodnih zagrada - rcdom sadrze iste odgovarajuce znakove. Npr. == , V (--, z)== '--' ' =, & ( & z) == & ( & z). Simbol == trebat cesto kod dcfiniranja znacenjaJneke oznake za formulu.)
Relacija istovrijednosti ( smislu apstraktne algebre) relacija ekvivalen­ u skupu !' svih formula logike sudova. Naime, na 10 refleksivna, 20 ~imetricna i 3" trarizitivna, tj: 1° =, 20 ako = onda =, 30 ako ·, i onda = .
Za ref1eksivnost i simtst ,ovo neposredno ocito iz same defin­ i~tovrijedno~ti. Preostajc da \provjerimo tranzitivnost. Neka su dakle , , takve formulc da . = i = . Neka r skup varijabla koje ulaze u , ~ skup varijabIa koje ulaze u i skup varija~la koje ulaze u . Raz­ motrimo hilo koju danu kombinaciju vrijednosti istinitosti varijabla iz u i prosirlmo proizvoljni naCin varijable iz r U!::J.. U . Uz tu !n kombinaciju, restri1l1~irallu [' u!::J.. odnosno !::.. U bit vrijednost isti­ nito~t.i -; jcdnaka vrijednosti istinitosti 't' od ova opet jednaka
"vrijcdnosti i~tinitosti ';" od . tomeza prvotno danu kombinaciju vrijcdJ10sti istinitosti varijabIa o~ u vrijedi i 't' ,= 't' .
(Ova stanovita .. tehnicka" komplikacija u dokazu tranzitivnosti relacije istovrijcdnosti medu formulama algebre sudova moze se izbjeci ako se D 4 . . modificira tako da se usporeduju vrijednosti istinitosti od i za sve moguce kombinacije vrijednosti istinitosti prebrojivo beskonacnog niza svih varijabIa
2. Algebra sudova aliebarska struktura 39
sudova ( ne konacnog niza onih koje ulaze u OOr jednu od fonnula , 5to prihvaceno u D 4.). Tada nai i tranzitivnost istovrijednosti postaje neposredno oCita posljedica definicije istovrijednosti. No ovako modificirana definicija neke druge nedostatke: Prvo, njoj i prihvatiti egzi­ stenciju aktualno beskonacnog niza varijabia (5to uz D 4. nije potrebno); drugo, trebalo pokazati da ispitivanje da Ii su dvije dane formule , modificiranoj defjniciji istovrjjedne iJi ne uvijek moguce provesti u konacno mnogo ·koraka (dok ~e ovo uz :Q 4. trivijalno) - 8tO bez daljnjega moguce i cak lako ipak, .·rigorozno provedeno, zahtijeva izvjestan prostor ( ve~i od g 8tO· smo ga gore trebali za dokaz tranzitivnosti DJ.). Ipak, tesR:o se nloze zanijekati, da modificirana definicija, klasicnom shvacanju, bila elegantnija od D 4.)
Prema tome relacija semanticke jednakosti vr~i particiju od :t u dis- junktne podskupov.e m4usn istovrijednih formula. . I
Primjeri.
2~2.1. A-,(V ) i ==(,) & ('.) su istovrijedne formule. Da bismo to uvidjeli provedimo ovu li z u t k v r i d s t i i s t i i t s :
1234 S 6 7
1 11 v 1· ( v ) 11 · 1 • 1(. ) & (. )
.L .L .L .L . .L 1. .L ..
.L .L .L ..
.L .L .L I -
. Analiza provedena ovako: Parovi elemenata u prva dva stupca sadrze sve moguce kombinacije pridruZenja elemenata iz S = { ,..l} varijabJama i koje ulaze u , . . i 4. stupac sl za postupno iznaJaZenje odgovarajuce vrijednosti istinitosti od , stupci S. do 7. za izal odgovarajuCe vrijednosti istinitpsti od . Vidimo da se 4. i 7. stupac poklapaju & pokazali da = .
2.2.2. Ispitajmo da li su fol == => => z), == =:> ( ::::> z) istovrijedne.
AnaJiza toka vrijednosti istinitosti daje

11 x=>z 1 < => ( => z) '.'

.L .. .. .. ..
.L
.L .L .L
..
.L .L .L
.L .L
.L .L .L I
40 Algebra sudova
= jer se S. i 7. stupac poklapaju. 1.1.3. Ispitajmo da 1i su formule &(=>), istovrijedne. Ana1iza toka vrijednosti istinitosti daje .
I 1 1 I:> 11 &(:> 1)1 1

.L .L .L .L .L .L
.L .L .L .L
Buduci da se 4. i S. stupac razlikuju (u treeem retku ~etvrtog stupca ..L. u trecem retku petog ) i nisu istovrijedne formule.
1.1.4. Vjezba. Ispitaj ana1izom 1· vrijednosti istinitosti da li su isto­ vrijedni ovi parovi formula: 10 ( <=> ) <=> z, EI · ~ ( ~ z); 20 = ( =>) =>, => (=>); 30 Aax~y, B;;;;;,[(x&-;)V(,&)].
1.3. Dejinicija S. (Semantifka definicija identifke istinitostiJ Formu/a algebre sud(Jva i d t f k s t i i t ako za sve m zamjene sudova ;z konstanlama iz {T,.l..} korespodenlna vrijednost islini­ tosli od jednaka .
Identicki istinite formule logike sudova zovu se i t u t 1 g i logike sudova.
Npr. V -; (terl;um non dalur = treeeg) identi~ki istinita formula 5to vidimo iz
11. 1 xv·
: 11 ~ 1 ~ Definicija Sa. Formu/a algebre sudova i d I i f k i 11 i s I i i I
(1 z , ako za sve moguce zamjene sudova ;z konslantama· iz { , ..} vrijednost islinilosti jednaka .1..
Npr. formala & -, identicki neistinita, 110 vidimo iz
QCito. formula identicki istinita onda i samo onda ako formula -, identii:ki neistinita i obrnuto.
m.
1.3.1. Formula == ( => ) => {[( => ) => z] => ( => z)} identicki istinita 5to se vidi iz njene analize toka vrijednosti istinitosti
11
I
2. Algebra sudova algebarska struktura 41
I 1 z 11 x~y 1 (X~Y)~ZI X~Z 1 [(x~y)~z]~(x~z) 1
I I 1. 1. 1.
1. 1.
1. 1. 1. 1. 1.
1.
1. 1. 1.
1. 1. -
1. 1. 1. 1.
2.3.2. Formula . (~~ (. ~ » identi~ki neistinita prema
1
11 -'' 1. -, ~I~(-'~)1
1. 1. 1. 1. 1.
I 1. 1. 1. 1. 1. 1.
2.3.3. Formula (x~ ) "(y~x) nije niti indeti~ki istinita niti identicki la!na, jer u njenoj anali toka vrijednosti istinitosti
1 11 x~y I y~x 1 (x~y)&(y~x)
I
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
u posljednjem stupcu do1azi i znak i znak 1...
2.3.4. Vjeibe. da su identi~ki istinite ove formule: 1 « ~ ) ~ x)~x (Pierce-ova tautologija); 20 x~(,x~Y) (exfalso quodlibet=iz neisprav­ nog proizvoljno); 30 ~ ( ~ ) (verum quo/ibet = istinito iz makar cega); 40 • (" • ) . (apsurdnost kontradikcije); so (. ~. ) => (zakljucak contrario =;= iz suprotnog); 60 ( ~ • ) ~ • (zakIjuM n contrarium = suprotno).
2.3.5. Napomena. Identi~ka istinitost odnosno neistinitost dane formule o~e se u pojedinim konkretnim slu~jevima lakSe i provjeriti na dru­ gaciji nacin, bez ispisivanja ~itave analize toka vrijednosti istinitosti. Npr.:
42 Algebra sudova
Da formula iz 2.3.1. id~oticki istinita ! krace uvidjeti ovako: Ako uopce postojaJa kombloacija vrijedoo!.ti iS1initosti varijabla 8udova od za koju poprima vrijedoost istioit08ti 1-, ooda bi za nju koosekventa od (izraz u viticastoj zagradi u ~.3.1.) poprimala: vrijedoost istinitosti 1-, antecedeota => vrijednost istioitos1i . No tada i koosekveota koosekvente tj. => z poprimila vrijedoost istioi105ti 1- - dakle = , z = .1... - ante­ cedenta konsekveote tj. izraz ( => ) => z vrijedoost istioit05ti - dakle zbog = , z = 1- l0 = 1-. No ovo se protivi raoijem zahtjevu da :;.)' poprima vrijedo05t istinitosti . Trdeoe kombinacije dakle inde1icki ist