matematicko modeliranje u biologijiˇ - naslovnica | pmf · modeli rasta tumora podaci i logisticki...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematicko modeliranje u biologiji
2. MODELI RASTA TUMORA
1 / 36
![Page 2: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/2.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
2.1. Podaci i logisticki model
Tumorski sferoidiBiološki model tumoraNakupina stanica koje rastu u laboratorijskim uvjetima (In vitro)
2 / 36
![Page 3: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/3.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida)
Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen(dani) (mm3) (dani) (mm3) (dani) (mm3)
4.6 0.002 3.2 2.130 45.4 10.7495.7 0.003 24.0 2.030 46.3 13.3426.7 0.006 25.2 2.448 47.4 15.6467.9 0.012 27.5 2.756 48.7 17.1268.8 0.020 28.3 2.714 51.1 13.2479.8 0.028 29.3 2.906 52.2 14.938
11.0 0.035 30.3 3.405 53.1 17.66012.0 0.066 31.4 3.900 55.1 19.03012.9 0.079 32.4 4.914 56.4 20.27215.2 0.155 33.4 5.669 57.5 17.34616.2 0.231 34.3 5.827 59.6 17.51017.4 0.334 36.2 6.149 61.8 18.79018.3 0.565 38.2 7.119 63.8 18.51819.4 0.721 40.0 9.025 67.0 19.18620.4 0.709 42.1 10.854 68.0 21.64022.2 1.085 44.4 12.050 70.2 18.446
3 / 36
![Page 4: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/4.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida)
0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
0 10 20 30 40 50 60 70
0.01
0.1
1
10
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
4 / 36
![Page 5: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/5.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Logisticki model
y ′(t) = α
(1− y(t)
C
)y(t), y(0) = y0
y ′ = α(
1− yC
)y , y(0) = y0
y(t) =C eαt y0
C − y0 + y0 eαt
5 / 36
![Page 6: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/6.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Logisticki model
α = 0.2, C = 20, y0 = 0.005
α = 0.4, C = 20, y0 = 0.0005
0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
0 10 20 30 40 50 60 70
0.01
0.1
1
10
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
6 / 36
![Page 7: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/7.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Logisticki model - Metoda najmanjih kvadrata
FindFit[data, y[x, a, c, y0],{{a, 0.2}, {c, 20}, {y0, 0.1}}, x]
α = 0.140315, C = 20.044, y0 = 0.0607316
0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
0 10 20 30 40 50 60 70
0.01
0.1
1
10
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
7 / 36
![Page 8: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/8.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Loše opisan pocetni dio rastaRješenje: koristiti logaritmirane podatke -
Model: ln y(x ;α,C, y0)Podaci: (ti , ln yi), i = 1, . . . ,n
Veliki raspon u vrijednostima: od 2 · 10−3 do 18.446 - povecanjeza faktor ≈ 104
Pogreške mjerenja su proporcionalne velicini
8 / 36
![Page 9: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/9.jpg)
Modeli rasta tumora Podaci i logisticki model
Logisticki model - Metoda najmanjih kvadrata -logaritmirani podaci
α = 0.303882, C = 13.4899, y0 = 0.00117449
0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
0 10 20 30 40 50 60 70
0.01
0.1
1
10
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
Srednje kvadratno odstupanje = 0.168612
9 / 36
![Page 10: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/10.jpg)
Modeli rasta tumora Logisticki model
Reziduali
Rezidual (ri ):ri = y(ti ;α∗,C∗, y∗0 )− yi .
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.5
0.0
0.5
1.0
Vrijeme HdaniL
Rezid
ual
10 / 36
![Page 11: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/11.jpg)
Modeli rasta tumora Logisticki model
Može li bolje?
11 / 36
![Page 12: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/12.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
2.2. Gompertzov model
y ′ = α
(1− ln y
ln C
)y , y(0) = y0
y ′ = a y − b y ln y , y(0) = y0
y(t) = Celn y0C e− α
ln C t
12 / 36
![Page 13: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/13.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
Benjamin Gompertz (London,Engleska, 1779–London, Engleska,1865)
matematicar i aktuar
demografski model
Gompertz, Benjamin (1825). "On the Nature of the FunctionExpressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode ofDetermining the Value of Life Contingencies". PhilosophicalTransactions of the Royal Society of London 115: 513–585
13 / 36
![Page 14: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/14.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
Gompertzov model. Metoda najmanjih kvadrata.
α = 0.206226, C = 24.1316, y0 = 0.0000619827
0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
0 10 20 30 40 50 60 70
0.01
0.1
1
10
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
Srednje kvadratno odstupanje = 0.0198408
14 / 36
![Page 15: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/15.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
Reziduali
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
15 / 36
![Page 16: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/16.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
y(t) = Celn y0C e− α
ln C t
ln y(t) = ln C + lny0
Ce−
αln C t
lny(t)C
= lny0
Ce−
αln C t
ln(− ln
y(t)C
)= ln
(− ln
y0
C
)− α
ln Ct
Linearna funkcija
16 / 36
![Page 17: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/17.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
Transformirana Gompertzova krivulja
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
Vrijeme HdaniL
lnH-
lny
L
17 / 36
![Page 18: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/18.jpg)
Modeli rasta tumora Gompertzov model
Transformirani podaci
0 10 20 30 40 50 60 70
-2
-1
0
1
2
Vrijeme HdaniL
-
2y
ln2
18 / 36
![Page 19: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/19.jpg)
Modeli rasta tumora von Bertalanffy-jev model
2.3. von Bertalanffy-jev model
Karl Ludwig von Bertalanffy (Atzgersdorf, Austrija, 1901– Buffalo,New York, SAD, 1972)
biolog (opca teorija sustava)
biološki model
originalni model je opisivao duljinu riba (L)
L′(t) = α(L∞ − L(t)), L(0) = L0.
L(t) = L∞ − (L∞ − L0)e−αt
19 / 36
![Page 20: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/20.jpg)
Modeli rasta tumora von Bertalanffy-jev model
Jednadžba rasta za volumen
L′ = α(L∞ − L), L(0) = L0.
Volumen - y : L = ky1/3
L′ =k3
y−2/3y ′
k3
y−2/3y ′ = α(L∞ − ky1/3)
y ′ = 3α(
L∞k
y2/3 − y)
y ′ = ay2/3 − by , y(0) = y0
Rast je vezan uz površinu (y2/3)
20 / 36
![Page 21: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/21.jpg)
Modeli rasta tumora von Bertalanffy-jev model
Metoda najmanjih kvadrata
0 10 20 30 40 50 60 70
0
5
10
15
20
25
30
35
Vrijeme HdaniL
Volu
men
Hmm
3L
0 10 20 30 40 50 60 70
0.01
0.1
1
10
Vrijeme HdaniLV
olu
men
Hmm
3L
Srednje kvadratno odstupanje = 0.136447
21 / 36
![Page 22: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/22.jpg)
Modeli rasta tumora von Bertalanffy-jev model
Reziduali
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.5
0.0
0.5
Vrijeme HdaniL
Rez
idua
l
22 / 36
![Page 23: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/23.jpg)
Modeli rasta tumora Jednostavni model rasta tumora
2.4. Jednostavni model rasta tumora
Gornja slika:Lijevo - distribucija (gustoca)hranjivih sastojakaDesno - proliferacija (ak-tivnost rasta)
23 / 36
![Page 24: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/24.jpg)
Modeli rasta tumora Jednostavni model rasta tumora
24 / 36
![Page 25: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/25.jpg)
Modeli rasta tumora Jednostavni model rasta tumora
Jednostavni model rasta tumora
r
R d
S
d - debljina sloja stanica kojese dijeleS - stanice koje se dijele(volumen)d je konstantan(eksperimentalni rezultat)
r = R − d
S =43π[R3 − r3
]=
=43π[R3 − (R − d)3
]=
=43π[3R2d − 3Rd2 + d3
]25 / 36
![Page 26: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/26.jpg)
Modeli rasta tumora Jednostavni model rasta tumora
von Bertalanffy: V ′ = aV 2/3 − bV
Modifikacija: S → V 2/3
Model: V ′ = aS − bV
V ′ = a43π[3R2d − 3Rd2 + d3
]− bV
V (0) = V0, R =
(3
4πV)1/3
Što ako je R < d? (sve stanice se dijele) ⇒ eksponencijalnirast
Modifikacija: V ′ = a V za R ≤ d .
26 / 36
![Page 27: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/27.jpg)
Modeli rasta tumora Jednostavni model rasta tumora
Jednostavni model rasta tumora
V ′ =
{a V , za R ≤ d
a43π[3R2d − 3Rd2 + d3]− bV , za R > d
V (0) = V0, R =
(3
4πV)1/3
Srednje kvadratno odstupanje: 0.022419.
27 / 36
![Page 28: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/28.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
Deparametrizacija modela.Dedimenziolnizacija jednadžbe.
Eksponencijalni model:
y ′ = α y , y(0) = y0
Kakav je utjecaj na jednadžbu ako vrijeme mjerimo u razlicitim mjernimjedinicama (satima, danima, . . .)?Npr.
y ′(t) = 0.5y(t), y(0) = 0
t - vrijeme u satimaRješenje
y(t) = e0.5t
Nakon 1 dana, velicina populacije je
y(24) = e0.5·24 = e12
28 / 36
![Page 29: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/29.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
Kako jednadžba izgleda ako vrijeme mjerimo u danima?
τ = t/24, t = 24 τ
τ - vrijeme u danima
Y (τ) = y(t) = y (24 τ)
Y ′(τ) =ddτ
y (24 τ) =
= 24y ′ (24 τ) == 24 · 0.5 y (24 τ) == 12Y (τ)
JednadžbaY ′ = 12 Y
Promijenio se α!
29 / 36
![Page 30: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/30.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
Promatrajmo eksponencijalni model
y ′ = α y
Uvedimo supstituciju oblikaτ = a t
z(τ) = y(t) = y(τ
a
)z ′(τ) =
ddτ
y(τ
a
)=
=1a
y ′(τ
a
)=
=1aα y(τ
a
)=
=α
az (τ)
Jednadžbaz ′ =
α
az
30 / 36
![Page 31: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/31.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
z ′ =α
az
Ukoliko izaberemo a := α:z ′ = z
Pocetni uvjet:z(0) = y(0) = y0
31 / 36
![Page 32: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/32.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
Primjer
Deparametrizirajte logisticki model.
Rješenje. Model:
y ′ = αy(
1− yC
), y(0) = y0
1. C - razina zasicenosti (= horizontalna asimptota).Supstitucija
z :=yC
z ′ =1C
y ′ =
=1Cα y(
1− yC
)=
= α z (1− z)
32 / 36
![Page 33: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/33.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
2. Uvedimo supstituciju oblika
τ = a t
u(τ) = z(t) = z(τ
a
)
u′(τ) =ddτ
z(τ
a
)=
=1a
z ′(τ
a
)=
=1aα z(τ
a
)(1− z
(τa
))=
=α
au (τ)
(1− u
(τa
))Jednadžba
u′ =α
au(1− u)
33 / 36
![Page 34: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/34.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
u′ =α
au(1− u)
Ukoliko izaberemo a := α:
u′ = u(1− u)
Pocetni uvjet:
u(0) = z(0) =y(0)
C=
y0
C=: u0
Ovakvim transformacijama (skaliranjem) iz modela (jednadžbe)možemo izbaciti dva parametra.
34 / 36
![Page 35: Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · Modeli rasta tumora Podaci i logisticki modelˇ Podaci za rast tumora (tumorskih sferoida) Vrijeme Volumen Vrijeme Volumen](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022033118/5e031a31d9e2ea2f2041c4b0/html5/thumbnails/35.jpg)
Modeli rasta tumora Deparametrizacija modela
6. Domaca zadaca
Ispitajte stabilnost ekvilibrija Gompertzovog i von Bertalanffy-jevogmodela.Deparametrizirajte ova dva modela.
35 / 36