Matematiikkalehti3/2010

http://solmu.math.helsinki.fi/

2 Solmu 3/2010

Solmu 3/2010

ISSN-L 1458-8048ISSN 1459-0395 (Painettu)ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)

Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hallstromin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi/

Paatoimittaja:Matti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopisto

Toimitussihteeri:Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Sahkoposti: toimitus@solmu.math.helsinki.fi

Toimituskunta:Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluHeikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluAapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoMarkku Halmetoja, lehtori, Mantan lukioAri Koistinen, FM, Metropolia AmmattikorkeakouluMika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoMarjatta Naatanen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluHilkka Taavitsainen, lehtori, Ressun lukio

Graafinen avustaja: Marjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilot:Virpi Kauko, FT, matemaatikko, virpi@kauko.org, JyvaskylaJorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, dosentti, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Tampereen yliopistoPetri Rosendahl, assistentti, petri.rosendahl@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopistoMatti Nuortio, jatko-opiskelija, mnuortio@paju.oulu.fi

Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopistoTimo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Numeroon 1/2011 tarkoitetut kirjoitukset pyydamme lahettamaan 9.1.2011 mennessa.

Kiitamme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sita erikseen pyytaneet. Toivomme,etta lehtea kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Kansi: Doorilainen, joonialainen ja korinttilainen pylvas kreikkalaisessa arkkitehtuurissa.

Solmu 3/2010 3

Sisallys

Paakirjoitus: Luovuudesta ja matematiikasta (Matti Lehtinen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Mita ovat laskennalliset tieteet? (Symbolinen laskenta) (Jukka Tuomela) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Milla todennakoisyydella satunnainen luku on neljalla jaollinen? (Juho Niemela) . . . . . . . . . . . .11

Mongoliassa on matematiikkakilpailu alakoulunopettajillekin (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . 13

Solmun matematiikkadiplomit (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Apollonioksen unohtunut ympyra (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Epayhtaloista, osa 2 (Markku Halmetoja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Pietarin paradoksi ja tietokonesimulaatio (Jani Isohanni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tutkijavaihdossa Berkeleyssa (Vesa Julin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Matemaattisista aineista potkua ymparistouralle (Kaisa-Reeta Koskinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Matematiikan asemasta perusopetuksen uudessa tuntijaossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Solmu 3/2010

Luovuudesta ja matematiikasta

Amerikkalaisen Newsweek-lehden 19. heinakuuta pai-vatyn numeron kansikuvajuttu kasitteli luovuuttaAmerikassa. ”Luovuutta” voidaan mitata psykologisintestein siina kuin ”alykkyyttakin”, ja nyt on saavuttutilanteeseen, jossa tahan asti aina noussut lasten luo-vuuspisteiden keskiarvo onkin kaantynyt laskuun. Ta-man lehti koki vakavaksi huolenaiheeksi.

Newsweekin toimittajat eivat tietenkaan ole aivotutki-muksen asiantuntijoita, mutta ei ole syyta epailla, ettei-vatko he nojautuisi patevien eksperttien tietamykseen.Luovuudessa on heidan mukaansa kyse kahden erilai-sen aivotoiminnan yhteensovittautumisesta. Ongelmanilmaantuessa aivot, ”vasen aivopuolisko”, etsii ensin il-meisia ja helppoja ratkaisuja. Ellei niita loydy, alka-vat ”vasen aivopuolisko” ja ”oikea aivopuolisko” yhteis-toiminnan. Aivot etsivat hamaria ja epamaaraisiakinmuistikuvia asioista, jotka saattaisivat olla hyodyllisia.Kun taman sekavan informaatiovyyhdin seasta vilah-taa jotain merkityksellista, ”vasen aivopuolisko” kiin-nittyy tahan ja alkaa keskittyneesti prosessoida. Syn-tyy ahaa-elamys. Taman jalkeen aivot lakkaavat setvi-masta muistiaineistoa ja alkavat keskittyneesti arvioidaoivalluksen laatua. Ne voivat hyvaksya tai hylata sen.Onnellisessa tapauksessa on syntynyt ongelman luovaratkaisu.

Tuntuu kovin tutulta. Juuri noin ratkaistaan mate-maattista ongelmaa. Silla saattaa olla helppo ja tutturatkaisu: harjoitustehtavassa testataan juuri opittua jariittaa tunnistaa tehtavan parametrit. Mutta ellei rat-

kaisua heti nay, ratkaisijan on kaytava lapi monenlai-sia ajatuskokeita ja yrityksia. Joskus tulee tunne, jon-ka mukaan on loytynyt idea, joka toimii. Toimimisenvarmistaminen on kuitenkin olennainen osa prosessia.

Newsweekin artikkeli kuvasi keinoja, joilla luovaa on-gelmanratkaisua opiskellaan. Lehti vertasi tilannettakoripalloon. Jotta voisi olla loistava koripalloilija, onoltava pitka. Mutta keskimittainenkin voi tulla hy-vaksi pelaajaksi harjoittelemalla. Matemaattinen on-gelmanratkaisu on ongelmanratkaisua pelkistetyimmil-laan. On helppo ajatella, etta ongelmanratkaisijan ai-vot harjaantuvat yleisemminkin luovaan toimintaan jaetta aivojen luovaa ongelmanratkaisumoodia voi har-joitella matemaattisen ongelmanratkaisun avulla.

Mutta. Ongelmanratkaisun etsimis- ja kokeiluvaihe on-nistuu vain, jos aivoissa on tietoa, jota yhdistella, jonkakanssa kokeilla. Jos tieto on vain MAOL-taulukossa taiGooglen takana, siita ei ole ollenkaan hyotya. Asioitaon tiedettava. Ei riita, etta tietaa tarvittaessa saavansatietoa.

Keskustelu luovuudesta kaantyy niin meilla kuinAtlantin takanakin helposti puheeksi taideaineista.Newsweekin artikkeli ei pida taiteen ja luovuuden yh-teen kytkemista perusteltuna. Luovuustesteissa teknii-kan ja taiteen opiskelijat saavat samannakoisen piste-jakauman. Luovan ratkaisun loytaminen on epailemat-ta niin insinoorille, matemaatikolle kuin taiteilijallekinsyvasti palkitsevaa.

Matti Lehtinen

Paakirjoitus

Solmu 3/2010 5

Mita ovat laskennalliset tieteet?

(Symbolinen laskenta)

Jukka Tuomela

Fysiikan ja matematiikan laitos, Ita-Suomen yliopistojukka.tuomela@uef.fi

Aluksi

Maaritelman mukaan π on ympyran kehan suhde hal-kaisijaan. Miten sille voitaisiin laskea hyva likiarvo?Mi-ten polynomin nollakohdat voisi laskea? Miten Googlejarjestaa haun tulokset paremmuusjarjestykseen? Mitareittia pitkin raketti saadaan Marsiin mahdollisimmanvahalla polttoaineella? Monet ongelmat seka puhtaassamatematiikassa etta reaalimaailmassa johtavat mielen-kiintoisiin laskennallisiin tehtaviin. Lisaksi tietoteknii-kan leviaminen lahes kaikille elaman alueille takaa sen,etta uusia laskennallisia tehtavia tulee koko ajan lisaa.

Tarkastelen seuraavassa laskennallisuutta lahinna ma-tematiikan kannalta: mita uusia haasteita tai nako-kulmia laskennalliset tehtavat antavat matematiikalleja matemaatikoille. Heikkola ja Tarvainen [4] puoles-taan askettain kasittelivat laskennallisuutta sovellustenja mallinnuksen lahtokohdista kasin, joten kirjoituksettaydentavat sopivasti toisiaan.

Laskenta ja (tiede)politiikka

Laskennallisista tieteista on puhuttu ja kirjoitettu vii-me aikoina varsin paljon. Opetusministerio julkaisi jo-

kin aika sitten paksun raportin laskennallisista tieteis-ta, perustettiin laskennallisten tieteiden seura (SULA-TIS) ja Suomen Akatemian rahoilla on kaynnistetty se-ka laskennallisten tieteiden tutkimusohjelma etta las-kennallisten tieteiden tohtoriohjelma (FICS).1 On an-nettu ymmartaa, etta laskennallisilla tieteilla olisi laa-jempaakin yhteiskunnallista merkitysta. Erityisesti onkorostettu laskennallisten tieteitten merkitysta korkeanteknologian tuotekehityksen kannalta. Jatan kuitenkinnaitten laajempien kuvioitten pohtimisen lukijalle po-liittiseksi harjoitustehtavaksi ja keskityn vain lasken-nallisten tieteitten matemaattisempaan puoleen.

Mita laskennallisilla tieteilla oikeastaan tarkoitetaan?Ehkapa seuraava maaritelma antaa jonkinlaisen kuvanasiasta:

laskennallisissa tieteissa tutkitaan jonkin sovellusalu-

een ilmiota kayttaen matemaattisia malleja, joitten ka-

sittely ja ratkaisu edellyttaa mittavia tietokoneresurs-

seja.

Tarvitaan siis kolmenlaista tietamysta: itse sovellusalu-een, matematiikan ja tietojenkasittelyn. Tuskinpa ku-kaan yksittainen tutkija hallitsee kaikkia kolmea osa-aluetta, joten luontevinta on harjoittaa tutkimusta ryh-

1 http://www.minedu.fi/OPM/Julkaisut/2007/Laskennallisen tieteen kehittaminen Suomessa.htmlhttp://www.sulatis.fi/http://www.aka.fi/fi/A/Tiedeyhteiskunnassa/Tutkimusohjelmat/kaynnissa/Laskennalliset-tieteet/http://fics.hiit.fi/

6 Solmu 3/2010

missa, joihin kuuluu eri alojen asiantuntijoita.

Esimerkiksi saan ennustaminen tayttaa nama tunnus-merkit: meteorologian ja fysiikan perusteella paady-taan tiettyyn malliin (osittaisdifferentiaaliyhtalosystee-miin), jonka numeerinen ratkaiseminen vie varsin isonsiivun kaikesta Suomessa kaytossa olevasta superko-nekapasiteetista. Tamantyyppista lahestymistapaa voi-daan soveltaa moniin muihinkin ongelmiin, ja edel-la mainitusta opetusministerion raportista loytyy run-saasti esimerkkeja.

Laskennallisten menetelmien tutkimus on aktiivista se-ka Suomessa etta muualla. Sen sijaan laskennallistentieteitten vaikutus matematiikan opetukseen on tois-taiseksi ollut varsin vaatimatonta. Ehkapa eras syy onlaskennallisten tieteitten monitieteisyys: tutkimuksessatieteitten raja-aitoja on helpompi ylittaa kuin opetuk-sessa. Miten sitten laskennallinen nakokulma pitaisi ot-taa huomioon vaikkapa kouluopetuksessa onkin sittenjo vaikea koulutuspoliittinen kysymys, eika siihen tassavoi puuttua.

Katsotaan seuraavassa muutamien esimerkkien avul-la, minkalaisiin kysymyksiin laskennallinen nakokulmajohtaa. Numeeriseen laskentaan liittyvat asiat jatetaankirjoituksen seuraavaan osaan.

Algoritmi

Keskeinen kasite kaikessa laskennassa on algoritmi. Ly-hyesti algoritmi voitaisiin maaritella seuraavasti:

alg algoritmi on aarellinen joukko ohjeita, joiden pe-

rusteella tehdaan aarellinen maara toimenpiteita,

jotka tuottavat halutun lopputuloksen

Kun on annettu jokin algoritmi, pitaa siis osoittaa, etta

kr1 algoritmi paattyy ja

kr2 algoritmi antaa oikean tuloksen.

Tyypillisesti algoritmit toteutetaan tietokoneen avul-la. Talloin ohjelmalle annetaan alussa joitain syotteita(input). Sitten ohjelmaa ajetaan aarellinen aika (kr1),minka jalkeen saadaan oikea vastaus (kr2). Vaikka yl-la olevat kriteerit vaikuttavat itsestaan selvilta, niin jo-kainen joka on ohjelmoinut, on tehnyt ohjelmia, joillekr1 ja/tai kr2 EI pade!

Geometria

Vaikka algoritmi tuntuukin ehka varsin modernilta ka-sitteelta, niin silla on hyvin pitka historia. Itse asias-sa jo Eukleideen geometria oli algoritmista.2 Euklei-deen kirjassa on kahdenlaisia tuloksia: lauseita jakonstruktio-ongelmia. Jalkimmaisissa kasitellaan ni-menomaan algoritmeja. Muistetaan, etta Eukleideengeometriassa voidaan tehda kahdenlaisia toimenpitei-ta:

op1 kahden pisteen kautta voidaan piirtaa suora (vii-voitin kaytossa)

op2 kun keskipiste on annettu, voidaan piirtaa ympyra

(harppi kaytossa)

Kaikki konstruktiot voidaan siten palauttaa aarellisek-si maaraksi operaatioita op1 ja op2. Tarkastellaan esi-merkiksi Eukleideen IV kirjan ongelmaa 11.

Ongelma: Piirra annetun ympyran sisalle tasasivui-nen viisikulmio.

Eukleides antaa seuraavan algoritmin, kuva 1.

Algoritmi IV 11

1. piirra tasakylkinen kolmio, jolle karkikulma on puo-let kahdesta muusta kulmasta (algoritmi IV 10)3

2. piirra samanmuotoinen kolmio annettuun ympyraan(algoritmi IV 2)

3. puolita kolmion isommat kulmat (algoritmi I 9)

4. yhdista pisteet (op1)

Kuva 1: Algoritmin IV 11 toteutus.

Kuva on piirretty vain suurin piirtein oikeaksi, jotenlopputulos ei ole tasmalleen saannollinen viisikulmio.

2Netista loytyy useitakin versioita Eukleideen geometriasta:http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/toc.htmlhttp://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/byrne.htmlhttp://farside.ph.utexas.edu/euclid/Ne, joille kelpaa vain alkukielinen teksti:http://www.physics.ntua.gr/∼mourmouras/euclid/

3Eukleides kutsuu aliohjelmaa, joka on annettu IV kirjan ongelmassa 10.

Solmu 3/2010 7

Tahan liittyen muistetaan Poincaren tunnettu kom-mentti: Geometria on taito tehda hyvia paatelmia huo-

nosti piirretyista kuvioista.4 Selvasti algoritmi paattyy,koska lopulta jokainen aliohjelma voidaan suorittaa te-kemalla aarellinen maara operaatioita op1 ja op2. An-nettuaan algoritminsa Eukleides kayttaa sivun osoit-taakseen, etta kr2 on voimassa.

Polynomit

Edella algoritmin paattyminen oli itsestaan selvaa.Nain ei kuitenkaan aina ole. Katsotaan seuraavassaerasta algoritmia, jossa algoritmin paattymisen osoit-tamisen idea on erittain tarkea monissa yhteyksissa.

Olkoon f = a0 + a1x+ · · ·+ aqxq jokin q-asteinen po-

lynomi ja merkitaan deg(f) = q. Olkoon edelleen gjokin toinen polynomi. Haluttaisiin laskea polynomienf ja g suurin yhteinen tekija. Maaritelman mukaanh = syt(f,g), jos

(S1) f = hf1 ja g = hg1, missa f1 ja g1 ovat joitainpolynomeja,

(S2) h on korkea-asteisin polynomi, jolla on tama omi-naisuus.

Tama maaritelma ei ole ollenkaan algoritminen siinamielessa, etta se ei suoraan anna mitaan ideaa siita, mi-ten h voitaisiin laskea. Eras mahdollisuus perustuu po-lynomin jakamiseen tekijoihin. Tunnetusti q-asteisellapolynomilla on q (mahdollisesti kompleksista) nolla-kohtaa, kun kertaluvut otetaan huomioon. Toisin sa-noen voidaan kirjoittaa

f = aq(x− c1)k1 . . . (x− cℓ)

kℓ ,

missa k1 + · · · + kℓ = q. Vastaavasti g voidaan jakaatekijoihin ja talloin suurin yhteinen tekija saadaan kat-somalla, kuinka paljon f :lla ja g:lla on yhteisia nolla-kohtia. Tassa on kuitenkin se huono puoli, etta pitaisierikseen laskea nollakohdat, ja heraakin kysymys, onkotama todella tarpeen. Itse asiassa on olemassa paljontehokkaampi menetelma. Olkoon annettu polynomit fja g. Talloin patee, etta on olemassa polynomit s (osa-maara) ja r (jakojaannos) siten, etta

f = s g + r, deg(r) < deg(g). (1)

Lukija voi helposti edelleen osoittaa, etta saadut s ja rovat yksikasitteisia.5 Oletetaan, etta on kaytossa alioh-jelma jakojaannos, joka laskee r:n, kun f ja g on annet-tu. Talloin seuraava algoritmi laskee f :n ja g:n suurim-man yhteisen tekijan.

Algoritmi SYT

h := f ; p := g

while p 6= 0 do

r:=jakojaannos(h,p);

h:=p;

p:=r;

endwhile

Algoritmin paattyessa p = 0 ja h = syt(f,g). Algorit-min oikeellisuuden todistaminen jatetaan harjoitusteh-tavaksi. Algoritmin paattyminen seuraa siita, etta setuottaa jonon jakojaannoksia rℓ siten, etta

deg(g) > deg(r1) > · · · > deg(rℓ) > · · ·

Koska deg(p) ≥ 0 kaikille polynomeille (p 6= 0), niin yl-la oleva jono ei voi jatkua mielivaltaisen pitkaan. Pitaasiis olla olemassa jokin k ≤ deg(g) siten, etta rk = 0.

Tama on hyvin tyypillista. Usein algoritmeissa on jo-kin silmukka, jota toistetaan, kunnes jokin ehto tuleevoimaan. Eras todistustekniikka on osoittaa, etta jo-ka kierroksella jokin positiivinen, kokonaislukuarvoinensuure pienenee. Koska tata ei voi tapahtua aarettomanmonta kertaa, silmukka voidaan suorittaa vain aarel-lisen monta kertaa. Huomattakoon, etta tassa saatiinlisaksi ylaraja kierrosten lukumaaralle: deg(g). Tastapuolestaan saadaan luonnollisesti arvio, kuinka kauanalgoritmin suoritus voi korkeintaan kestaa.

Katsotaan viela eras sovellus syt-algoritmista. Olkoonf annettu kuten yhtalossa (1). Yksinkertaisin polyno-mi, jolla on samat nollakohdat, on siis

fr = (x− c1) . . . (x− cℓ).

Nyt fr saadaan kaavasta

fr =f

syt(f, f ′),

missa f ′ on f :n derivaatta. Tassakaan ei siis tarvin-nut laskea nollakohtia, mika kenties tuntuu yllattaval-ta. Erinomainen johdatus laskennalliseen polynomial-gebraan on [3].

Lajittelu ja laskennan vaativuus

Kaikessa kaytannon laskennassa oleellista on myos kol-mas kriteeri:

kr3 algoritmi on riittavan nopea.

4Geometrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites.5Vihje: kayta funktion deg ominaisuuksia.

8 Solmu 3/2010

Tietenkin tata voidaan pitaa myos kriteerin kr1 tar-kennuksena: ei vaadita pelkastaan, etta algoritmi paat-tyy, vaan halutaan arvioida mahdollisimman tarkas-ti, kuinka kauan algoritmin suoritus kestaa. Tallaistaalgoritmien tehokkuuden tutkimista kutsutaan lasken-

nan vaativuusanalyysiksi. Hyodylliseksi on osoittautu-nut ajatella, etta algoritmilla on kaytossa tiettyja al-keisoperaatioita, ja vaativuusanalyysissa pyritaan ar-vioimaan, kuinka monta operaatiota algoritmin suo-rittaminen vaatii. Eukleideen geometrian tapauksessavoitaisiin laskea, kuinka monta alkeisoperaatiota op1

ja op2 tarvitaan tietyn algoritmin suorittamiseksi. Nu-meerisessa laskennassa taas lasketaan liukulukuoperaa-tioiden maara.6

Algoritmin tehokkuuden analyysissa on katevaa ottaakayttoon eras hyodyllinen merkinta. Olkoot f ja g joi-tain funktioita. Merkinta f(n) = O(g(n)) tarkoittaa,etta on olemassa jotkin vakiot a ja c siten, etta

|f(n)| ≤ c g(n) kun n > a.

Jatkossa ajatellaan, etta n on kokonaisluku, muttamaaritelmaa kaytetaan myos, kun n on reaaliluku.Edelleen sanotaan, etta f kasvaa polynomiaalisesti, josf(n) = O(nk) jollekin k.

Laskennan vaativuusanalyysissa tyypillisesti tarkastel-laan tilannetta, kun tehtavan koko kasvaa. Useinhansamalle algoritmille voidaan antaa erikokoisia syottei-ta. Jos siis ajatellaan, etta n kuvaa tehtavan kokoa jaf(n) tyomaaraa, kun ratkaistaan kokoa n oleva teh-tava, niin haluttaisiin saada selville, miten nopeasti fkasvaa, kun n → ∞.

Toisaalta saannollisen viisikulmion tapauksessa algorit-milla ei oikeastaan ole syotteita, mutta voidaan siltikysya, olisiko olemassa jokin algoritmi, joka vaatisi va-hemman operaatioita op1 ja op2 kuin Eukleideen an-tama algoritmi. Taman pohtimisen jatan harjoitusteh-tavaksi.

Tarkastellaan seuraavassa lajittelun vaativuusanalyy-sia: olkoon annettu n kappaletta kokonaislukuja; kuin-ka nopeasti ne voidaan laittaa suuruusjarjestykseen?Luonnollisesti yhta hyvin voitaisiin lajitella vaikka-pa nimia aakkosjarjestykseen, mutta tarkastellaan nyt(yleisyytta rajoittamatta) kokonaislukuja. Lajittelussaon luonnollista ottaa alkeisoperaatioksi kahden luvunvertailu. Ongelma on siis laskea, kuinka monta vertai-lua tarvitaan, kun n lukua laitetaan suuruusjarjestyk-seen.

Lajittelussa jonkin algoritmin loytaminen on varsinhelppoa, kukapa ei olisi joskus laittanut lukuja suu-ruusjarjestykseen, nimia aakkosjarjestykseen tai vaik-

kapa ihmisia pituusjarjestykseen. Koko ongelman mie-lenkiinto onkin nimenomaan vaativuusanalyysissa: mi-ten lajittelun voisi tehda mahdollisimman tehokkaasti.

Olkoon annettu

9 7 5 11 8 20 3 17.

Eras algoritmi tunnetaan nimella kuplalajittelu

(bubble sort)7. Lahdetaan liikkeelle vasemmalta ja et-sitaan suurinta arvoa. Ensin todetaan, etta 9 > 7, jotenvaihdetaan niitten paikkaa. Sitten 9 > 5, joten naitten-kin paikkaa vaihdetaan. Nain jatketaan, ja 7 vertailunja muutaman paikanvaihdon jalkeen saadaan

7 5 9 8 11 3 17 20.

Nyt tiedetaan, etta 20 on suurin, joten seuraavalla kier-roksella pitaa tehda vain 6 vertailua. Lopulta 7 kierrok-sen jalkeen saadaan

3 5 7 8 9 11 17 20.

Yleisessa tapauksessa joudutaan siis tekemaan

1 + 2 + · · ·+ n− 1 = 1

2n(n− 1)

vertailua, joten tyomaara onO(n2). Huomattakoon, et-ta paikanvaihtojen lukumaara riippuu annetusta datas-ta, mutta vertailujen maara on aina sama.

Tama on varsin hidasta, jos n on hyvin iso. Tassa muu-ten lukijalle kenties tulee mieleen, etta koska tietoko-neet tulevat koko ajan yha nopeammiksi, niin tallainenvaativuusanalyysi ei ehka ole niin kovin tarkeaa. Ehka-pa hieman paradoksaalisesti asia on painvastoin: kuntietokoneet tulevat tehokkaammiksi, niin samalla he-ti halutaan kasitella yha suurempia datamaaria ja yhamonimutkaisempia malleja. Tama on mahdollista vain,jos algoritmit ovat tarpeeksi tehokkaita.

Voitaisiinko siis lajitella nopeammin? Tarkastellaanerasta kekolajittelun muunnelmaa (heap sort). Kayte-taan samaa dataa kuin ylla ja tehdaan siita ”tenniskaa-vio”:

9��99 7

����5

��== 11

~~||8

��== 20

~~||3

��== 17

~~||9

&&MMM

M 11wwppp

p 20((PP

PPP17

wwpppp

11

++WWWWWWW

WWWW 20

ssgggggggg

ggg

20

20 on ”voittaja”. Poistetaan se ja jarjestetaan jaljellejaavat luvut samalla tavalla kaavioon. Huomaa, ettalaheskaan kaikkia ”otteluja” ei tarvitse pelata uudel-leen: nyt 8 siirtyy suoraan toiselle kierrokselle, ja sitten

6Liukulukuoperaatio (flop, floating point operation) on tietokoneella liukuluvuilla suoritettu yhteen-, vahennys-, kerto- tai jako-lasku.

7Nimitys tulee kuulemma siita, etta jos luvut jarjestettaisiin pystysuoraan, niin suuremmat luvut nousevat alhaalta ylos kutenilmakuplat vedessa.

Solmu 3/2010 9

suoritetaan vertailut 8 < 17 ja 11 < 17. Saadaan siis

9��;;

7����

5��@@

11}}{{

3��@@

17}}{{

9''N

NNNN 11

wwooooo

8%%K

KKK17

wwooooo

11

++XXXXXXX

XXXXX 17

ttiiiiii

ii

17

Uudelleenjarjestelyssa tarvittiin vain 3 operaatiota,koska kaavion ”syvyys” on 3 = log2 8.

Samaan tapaan jatkamalla ja poistamalla aina kaavionvoittaja saadaan vastaus. Mutta onko tama todella no-peampi yleisessa tapauksessa kuin kuplalajittelu? Ole-tetaan yksinkertaisuuden vuoksi, etta n = 2k. Alkupe-raisen kaavion tekemiseen tarvitaan

1 + 2 + · · ·+ 2k−1 = 2k − 1 = n− 1

vertailua. Koska kaavion syvyys on log2 n = k, niin kaa-vion uudelleenjarjestelyssa joudutaan tekemaan kor-keintaan k operaatiota. Jarjestely joudutaan tekemaann kertaa, joten kokonaistyomaara on O(n log n). Isoillan:n arvoilla kekolajittelu on siis huomattavasti nopeam-pi kuin kuplalajittelu. Voidaan lisaksi osoittaa, etta it-se asiassa vaativuus O(n log n) on optimaalinen: minkatahansa lajittelumenetelman tyomaara kasvaa vahin-taan tata vauhtia [7].

Lopuksi

Edelliset esimerkit toivottavasti valaisivat hiukan erai-ta puolia laskennallisista kysymyksista matematiikankannalta. Seuraavassa muutamia muita ideoita ja viit-teita.

Mika on alkeisoperaatio?

Teorian ”voima” kasvaa, jos voidaan ottaa lisaa alkeis-operaatioita kayttoon. Esimerkiksi Eukleideen geomet-riaa voidaan laajentaa ottamalla kayttoon eraita li-saoperaatioita. Voidaan vaikkapa olettaa, etta viivoi-tin on merkitty, jolloin pituuksia voi mitata. Tamanavulla voidaan ratkaista kaksi klassista ongelmaa, jotkaovat mahdottomia ”puhtaassa”euklidisessa geometrias-sa: kuution kahdentaminen ja kulman jakaminen kol-meen osaan [2, 8]. Samalla tavalla kvanttitietokone tar-joaa periaatteessa uusia mahdollisuuksia, koska se voisuorittaa alkeisoperaatioita, jotka tavalliselle tietoko-neelle ovat mahdottomia [1]. Tosin kvanttitietokoneenkaytannon toteutus tuntuu olevan viela pitkan tyon ta-kana.

Vaativuus

Algoritmien vaativuuden tarkastelussa pitaa ottaamyos huomioon muistitilan tarve. Esimerkiksi polyno-milaskennassa tama on varsin vakava ongelma. Tyypil-lisessa tilanteessa polynomin kertoimet ovat joko ra-tionaalilukuja tai ”parametreja”, siis oikeastaan myosmuuttujia, mutta koska niiden luonne tehtavassa onerilainen, niin niita myos sitten kasitellaan eri tavalla.Joka tapauksessa eraissa tarkeissa algoritmeissa, jois-ta puhutaan tarkemmin kirjassa [3], ongelmana on, et-ta polynomien kertoimien lausekkeet saattavat kasvaahyvinkin suuriksi. Samoin polynomien asteluku saat-taa kasvaa voimakkaasti. Edelleen ongelma pahenee,kun polynomeissa esiintyvien muuttujien maara kas-vaa. Jonkinlaisen kasityksen asiasta saa, jos tarkastel-laan m:n muuttujan polynomien termien lukumaaraa.Olkoot x = (x1, . . . ,xm), α = (α1, . . . ,αm), ja merki-taan

xα = xα1

1 · · ·xαm

m .

Edelleen sanotaan, etta monomin xα aste on deg(xα) =α1+ · · ·+αm ja polynomin aste on luonnollisesti suurinsen monomien asteista. Jos sitten tarkastellaan yleistaq-asteistam:n muuttujan polynomia p, niin taman esit-tamiseen tarvitaan

(m+ q)!

m!q!

monomia. Esimerkiksi 10-asteisen 7 muuttujan polyno-missa on lahes 20000 monomia. Kahden tallaisen poly-nomin kertolasku vaatii jo huomattavan monta operaa-tiota.8

Edella on vaativuusanalyysissa tarkasteltu pahimman

tapauksen analyysia (worst case). On siis pyritty loyta-maan vaativuuden ylaraja, joka patee kaikille syotteil-le. Usein kuitenkin algoritmeilla on se hyva tai kiusal-linen ominaisuus, etta ”tyypillisesti” algoritmin vaati-ma tyomaara on huomattavasti pienempi kuin pahim-man tapauksen tyomaara. Talloin puhutaan keskimaa-

raisen tapauksen (average case) analyysista. Valitet-tavasti usein on kuitenkin hankalaa maaritella, mitatarkoitetaan tyypillisella syotteella. Kuuluisa esimerk-ki tasta on lineaarisen optimoinnin simplex-algoritmi.9

On osoitettu, etta pahimmassa tapauksessa vaativuusei ole polynomiaalinen. Kuitenkin kaytannossa algorit-mi on osoittautunut erittain nopeaksi ja kayttokelpoi-seksi.

Turingin kone

Teoreettinen malli kaikelle laskennalle on Turingin ko-

ne. Turing oli 40-luvulla von Neumannin ohella yksitietokoneen teoreettisten perusteiden tutkimuksen pio-neereista, ja naissa pohdinnoissaan han paatyi Turingin

8Kuinka monta operaatiota tarvitaan? Kuinka monta monomia on tulopolynomissa?9http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex algorithm

10 Solmu 3/2010

koneen kasitteeseen [5]. Voisi sanoa, etta Turingin ko-ne on eraanlainen tarkka maaritelma algoritmille. Onmyos esitetty muita ideoita siita, miten laskenta ja al-goritmi voitaisiin maaritella, mutta kaikki nama ovatosoittautuneet ekvivalenteiksi Turingin koneen kanssa.On myos pohdittu, mika merkitys Turingin koneen ka-sitteella on ihmisen ajatteluprosessien kannalta. Voi-daanko aivoja pitaa Turingin koneena? Tata, ja paljonmuuta, on mielenkiintoisesti analysoitu kirjassa [6].

Numeerinen laskenta

Numeerinen laskenta poikkeaa monella tavalla ylla ku-vatusta ”puhtaasta” tai symbolisesta laskennasta. Pa-lataan tahan kirjoituksen seuraavassa osassa.

Viitteet

[1] J. Brown, Kvanttitietokone, Terra Cognita, 2001.

[2] J. Conway and R. Guy, The book of numbers, Co-pernicus, New York, 1996.

[3] D. Cox, J. Little, and D. O’Shea, Ideals, varieties,and algorithms, 3rd ed., Undergraduate Texts inMathematics, Springer, New York, 2007, An intro-duction to computational algebraic geometry andcommutative algebra.

[4] E. Heikkola ja P. Tarvainen, Kokemuksia ma-

tematiikan hyodyntamisesta teollisuudessa, Solmu(2010), no. 1, 14–17.

[5] A. Hodges, Alan Turing, arvoitus, Terra Cognita,2000.

[6] D. Hofstadter, Godel, Escher, Bach: an eternal gol-

den braid, Basic Books Inc. Publishers, New York,1979.

[7] T. W. Korner, The pleasures of counting , Cambrid-ge University Press, 1996.

[8] Henri Lebesgue, Lecons sur les Constructions

Geometriques, Les Grands Classiques Gauthier-Villars, Editions Jacques Gabay, Sceaux, 2003.

Solmu 3/2010 11

Milla todennakoisyydella satunnainen luku on neljalla

jaollinen?

Juho Niemela

KustannustoimittajaTammi Oppimateriaalit

Tama pohdiskelu juontaa juurensa syksyn 2009 pitkanmatematiikan ylioppilastehtavaan numero 7, jota tar-kasteltiin lukion Pitka Sigma -kirjasarjan osaa Toden-

nakoisyys ja tilastot (MAA6) tehtaessa:

A, B, C ja D aikovat jakaa keskenaan korillisen ome-

noita siten, etta kukin vuorollaan ottaa aina yhden

omenan. Korissa olevien omenoiden lukumaaraa ei tie-

deta. A ehdottaa vedonlyontia: jos jokaiselle tulee yh-

ta monta omenaa, A maksaa kolmelle muulle kullekin

50 euroa. Muussa tapauksessa kukin kolmesta maksaa

A:lle 25 euroa. Laske A:n saaman rahamaaran odo-

tusarvo.

Jotta odotusarvon saa laskettua, on ensin ratkaistava,milla todennakoisyydella omenoiden maara on neljal-la jaollinen. Omenoiden lukumaaraa ”ei tiedeta”, jotenoletus lienee, etta omenoita voi olla mika tahansa maa-ra, vahintaan nolla tietysti.

Jos mahdollinen omenoiden maara olisi rajattu esimer-kiksi valille 1–100 ja lisaksi tiedettaisiin, etta jokainenmaara on yhta todennakoinen, neljalla jaollisen maarantodennakoisyys voitaisiin laskea ongelmitta. Suotuisiatapauksia ovat maarat 4, 8, . . . , 100 (= 4 · 25), joita on25, joten todennakoisyys on 25

100= 1

4.

Enta jos omenoita voikin olla mika tahansa maara?Mahdollisuuksia on aarettoman monta, joista suotui-sia tapauksia ovat kaikki neljalla jaolliset luvut, joita

on myos aarettoman paljon. Aarellisen tilanteen tapaanyrittamalla todennakoisyydeksi tulisi ∞

∞eli ei mitaan

jarkevaa.

Yritetaan kiertaa ongelmaa. Ajatellaan, etta olipa ome-noiden lukumaara mika tahansa, niin neljalla jaettaessajakojaannokseksi tulee varmasti 0, 1, 2 tai 3. Ovatko na-ma jakojaannokset yhta todennakoisia? Jos ovat, niinneljalla jaollisen luvun (eli jakojaannoksen 0) todenna-koisyys on selvasti 1

4. Voisi ajatella, etta kylla kai ja-

kojaannokset ovat yhta todennakoisia, koska luvut 0–3ovat keskenaan yhta todennakoisia ja loput perakkai-set nelikot (4–7, 8–11 jne.) ovat olennaisesti taysin sa-manlaisia kuin nelikko 0–3: jokaisessa nelikossa on yksikutakin jakojaannosta edustava luku. Toisaalta mate-matiikassa ei mielellaan haluta sanoa ”kai”. Taytyy siisyrittaa viela keksia jokin raudanluja perustelu.

Oletetaan aluksi, etta korissa voi olla omenia 0–n jaetta jokainen naista maarista on yhta todennakoinen.Luvun n jakojaannos neljalla jaettaessa on jalleen 0, 1,2 tai 3, joten voidaan kirjoittaa n = 4m+ k, jossa k =0, 1, 2 tai 3. Suotuisia tapauksia ovat 0, 4, 8, . . . , 4m, janiiden lukumaara on m + 1. Klassisen todennakoisyy-den mukaan neljalla jaollisen luvun todennakoisyys onnyt

m+ 1

n+ 1=

m+ 1

4m+ k + 1=

1 + 1

m

4 + k+1

m

.

12 Solmu 3/2010

Kun n kasvaa rajatta, niin myos m kasvaa rajatta. Lu-ku k vaihtelee mutta pysyy koko ajan rajoissa 0–3. Nainollen osoittaja lahestyy lukua 1 ja nimittaja lukua 4, jo-ten osamaara lahestyy lukua 1

4. Joko tama riittaa osoit-

tamaan, etta todennakoisyys on 1

4?

Joillekin riittaa, joillekin ei. Edella laskettiin, kuinkasuuri on neljalla jaollisten lukujen suhteellinen osuusluvuista 0–n, ja havaittiin suhteellisen osuuden lahesty-van neljasosaa. Enta jos neljalla jaollisten lukujen mu-kaan otetaan kaikki luvut yhdesta miljoonaan, mikaon nain saatavan ”paljon isomman” joukon todennakoi-syys? Itse asiassa se on jalleen neljasosa, jos kaytetaansamanlaista raja-arvoperustelua: lukujen 0–n joukossaon uuden, isomman joukon lukuja korkeintaan miljoo-na enemman kuin alkuperaisessa joukossa, ja kun mil-joona jaetaan luvulla n ja annetaan n:n kasvaa rajatta,osamaara lahestyy nollaa. Lisays ei muuta raja-arvoa,jos lisays on niin pieni, etta sen suhteellinen osuus la-hestyy nollaa. Olisi siis yhta todennakoista, etta poi-kien korissa on omenia mika tahansa maara yhdestamiljoonaan tai jokin neljalla jaollinen maara kuin ettakorissa on pelkastaan jokin neljalla jaollinen maara. Sa-ma todennakoisyys saataisiin myos silloin, kun neljallajaollisiin lisattaisiin vaikkapa kaikki luvun 3 potenssit,silla niidenkin suhteellinen osuus (noin log3 n/n) lahes-tyy nollaa. Ei kuulosta kovin hyvalta.

Tassa kierretaan kehaa ongelman ymparilla, kunnes lo-pulta huomataan, etta ongelmalla ei ole kunnollista rat-kaisua. Selitys on se, etta luonnollisten lukujen joukossaei yksinkertaisesti ole olemassa kaivatunlaista todenna-koisyyden mittaria. Haluaisimme, etta koko luonnollis-ten lukujen joukon todennakoisyys on 1. Lisaksi ha-luaisimme, etta jokainen luonnollinen luku on yhta to-dennakoinen. Ja viela haluaisimme, etta joukon toden-nakoisyys saadaan laskemalla yhteen osien todennakoi-syydet. Jos jokaisen luonnollisen luvun todennakoisyyson p, niin pitaisi siis olla

P (N) = P (0) + P (1) + P (2) + · · ·

= p+ p+ p+ · · · ={

0, jos p = 0∞, jos p > 0,

joten ehto P (N) = 1 ei talloin voi toteutua.

Miten tehtava pitaisi siis ymmartaa ja ratkaista? Rat-kaisussa taytyy olettaa, etta jakojaannokset 0, 1, 2 ja3 ovat yhta todennakoisia. Edella nahtiin, etta ei oleolemassa hyvaa mittaria sen toteamiseksi, etta luon-nollisten lukujen joukon osajoukot ovat yhta toden-nakoisia, joten oletuksen jarkevyys taytyy perustellajollakin muulla tavalla. Voitaneen vedota jonkinlaiseensymmetriaan, mutta loppujen lopuksi kysymys on vainsopimuksesta, joka joko hyvaksytaan lahtokohdaksi taisitten ei. Perimmaisia lahtokohtia ei toki yleensakaanmatematiikassa edes yriteta perustella (koska niidenperusteleminen on matematiikan keinoin mahdotonta),mutta ehdottomasti ne taytyy kertoa lukijalle, ellei lu-kijan voida olettaa niita ilman mainitsemistakin tieta-van.

Tama ylioppilastehtava ei ollut onnistunein mahdolli-nen. Ongelmat olisivat poistuneet, jos tehtavanannossaolisi mainittu, etta omenoita voi olla esimerkiksi 1–100ja etta jokainen maara on yhta todennakoinen. Eihannimittain siita, etta omenien maaraa ei tiedeta, suin-kaan seuraa, etta jokainen maara on yhta todennakoi-nen. Voisihan olla, etta omenakoreja tayttaa vaikkapakone, joka syottaa perajalkeen 100 omenaa, joista kukinosuu koriin 95 %:n todennakoisyydella. Talloin ome-noiden maara noudattaa binomijakaumaa eika tasaistajakaumaa. Jos omenien maaraa ei haluta rajata, mikatoisaalta vastaa hyvin huonosti todellisuutta (omena-koreihin tuskin mahtuu ainakaan kovin monta tuhattaomenaa), taytyisi kertoa jo tehtavanannossa, etta kaik-ki jakojaannokset oletetaan yhta todennakoisiksi. Tal-loin kuitenkin tehtavan luonne muuttuisi olennaisesti,joten omenien maaran rajaaminen on selvasti parempivaihtoehto. Sen sijaan on mieletonta sanoa, etta ome-noita voi olla mika tahansa maara, joista jokainen onyhta todennakoinen, koska luonnollisten lukujen jou-kossa ei ole todennakoisyyskasitetta tallaisen sanonnanperustaksi.

Solmu 3/2010 13

Mongoliassa on matematiikkakilpailu

alakoulunopettajillekin

Matti Lehtinen

Helsingin yliopisto

Solmun numerossa 3/2007 kerrottiin Mongolian opet-tajien matematiikkakilpailusta ja julkaistiin kilpailuntehtavat suomalaisten opettajien ja muiden Solmun lu-kijoiden ratkaistaviksi. Tehtavat olivat vaativia ja pa-laute niukkaa: ratkaisuja lahetti vain Uudenkaupunginlukion silloinen oppilas Janne Junnila.

Mongolian matematiikkaolympialaisten lajivalikoi-maan kuuluu myos alakoulunopettajien matematiik-kakilpailu. Se on jarjestetty jo 15 vuoden ajan. Kil-pailussa menestyminen tuottaa opettajille merkittavaataloudellista etua, ja siihen osallistutaan innokkaasti.Ystavani Ulan Batorin yliopiston matematiikan profes-sori Dashdorj Tsherendorj kertoo, etta kilpailu onmerkittavasti kohottanut Mongolian opettajien mate-maattista tasoa. Edella viitatussa kirjoituksessa kysai-sin, kuka jarjestaisi matematiikkakilpailun Suomenkinopettajille. Ehdokkaita ei ole kuulunut, kentta on siisyha avoin.

Mongolian vuoden 2010 alakoulunopettajien matema-tiikkakilpailu pidettiin Mongolian kansallisten matema-tiikkaolympialaisten yhteydessa toukokuussa Ulan Ba-torissa, ja tehtavat ovat ohessa. Julkaisemme lukijoidenratkaisuja, jos saamme niita. Lahettakaa ratkaisujannesuoraan toimittajalle osoitteeseen Matti Lehtinen, Tas-kilantie 30 A, 90580 Oulu tai sahkopostitse osoitteeseenmatti.lehtinen@helsinki.fi.

1. Matematiikkakilpailussa oli 25 osallistujaa ja kolme

tehtavaa A, B ja C. Jokainen osallistuja ratkaisi ai-nakin yhden tehtavan. Niissa osallistujissa, jotka eivatratkaisseet tehtavaa A, oli kaksi kertaa niin paljon sel-laisia, jotka ratkaisivat B:n kuin sellaisia, jotka ratkai-sivat C:n. Osallistujia, jotka ratkaisivat vain tehtavanA oli yksi enemman kuin muita tehtavan A ratkais-seita. Niista osallistujista, jotka ratkaisivat vain yhdentehtavan, puolet ei ratkaissut tehtavaa A. Kuinka moniosallistuja ratkaisi vain tehtavan B?

2. Olkoon m ∈ N, m2 < a, b < m2 +m ja a 6= b. Maa-rittakaa kaikki ne luonnolliset luvut c, joille c on luvunab tekija ja m2 < c < m2 +m.

3. Olkoot A ja C nelion XOBD sisapisteita niin, etta∠AXC = ∠ABC = 45◦. Merkitaan kolmion PQR alaasymbolilla SPQR. Osoittakaa, etta

SAXO + SABC + SCXD = SACX + SAOB + SCBD.

4. Maarittakaa kaikki positiiviset kokonaisluvut N ,joille on olemassa positiivinen kokonaisluku M seuraa-vin ominaisuuksin:

a) M :n ensimmaiset numerot muodostavat luvun N .

b) Jos S on se luku, joka saadaan, kun M :n ne ensim-maiset numerot, jotka muodostavat luvun N , siirre-taan M :n viimeisiksi numeroiksi, niin S ·N = M .

(Esimerkiksi kun N = 46, luku M =460100021743857360295716 toteuttaa ehdon.)

14 Solmu 3/2010

5. Todistakaa, etta jokainen parillinen kokonaisluku, jo-ka ei ole suurempi kuin 2n(4n+ 1), voidaan kirjoittaamuotoon

±1± 2± 3± · · · ± 4n,

missa kunkin ±-merkin kohdalle kirjoitetaan joko + tai−.

6. Merkinta (a, b) tarkoittaa lukujen a ja b suurintayhteista tekijaa. Olkoot m ja n sellaisia luonnollisia lu-kuja, etta (2m+ 1, 2n+ 1) = 1. Maarittakaa

(

22m+1 + 2m+1 + 1, 22n+1 + 2n+1 + 1)

.

Solmun matematiikkadiplomit

Marjatta Naatanen

Helsingin yliopisto

Lukudiplomin tavoin matematiikkadiplomi antaa mah-dollisuuden hauskalle ja hyodylliselle harrastukselle,tarjoaa haasteita ja hauskaa ja monipuolista toimin-taa lapsille. Diplomit eivat ole tiukasti sidottuja vuo-siluokkiin, vaikkakin diplomien numerointi kertoo ete-nemisesta suunnilleen vuosiluokkien mukaisesti. Diplo-mitehtavia voi tehda yksin, kaverien kanssa, perheenyhteisena harrastuksena, oppitunnilla. Diplomitehta-vat sopivat myos kerhotoimintaan, matematiikkakum-mitoimintaan ja yksityiseen kertaukseen. Diplomitoi-minta ei ole oppilaiden valista kilpailua, vaan oppilailletarjotaan hauskoja ja haastavia tehtavia jo ensi luo-kasta alkaen. Niilla oppilas voi ottaa mittaa itsestaan.Tehtavia ratkaistaessa on toivottavaa keskustella tois-ten kanssa, jotta myos matematiikan kielen kaytto ke-hittyy ja itse kukin joutuu pukemaan sanoiksi ajatte-lunsa. Oppilas voi kysya neuvoa ja tehda yhteistyota.

Tarkeinta on, etta innostus heraa ja oppilaat huomaa-vat oppivansa matematiikkaa. Diplomi palkitsee har-rastuksen ja antaa ponnistelun jalkeisen tuloksen ilon.Jotkut tehtavat ovat helppoja, jotta kaikki paasevatmukaan, toiset taas haastavat vaativampaan pohdin-taan. Ajatteluahan on kehitettava kuten kaikkia mui-takin taitoja ja toimintoja. Esimerkiksi ensimmaiselleluokalle on tehtavia luvuista ja laskutoimituksista, al-gebran alkeista, geometriasta ja mittaamisesta, tietojenkasittelysta ja tilastoista, eri vaihtoehtojen etsimisestaseka ongelmanratkaisusta.

Tehtavia ratkaistaan tulosteelle kirjoittaen, piirtaen jaaskarrellen, jotta erittain tarkea ja nykyisin liian vahal-le harjoitukselle jaava hienomotoriikka kehittyy. Teh-tavat ohjaavat koululaisia kayttamaan myos toiminta-valineita ongelmien ratkaisemiseksi. Nain oppilas saakonkreettisia kokemuksia ajattelunsa perustaksi.

Tehtavat ja diplomit I–V ovat tulostettavissa matema-tiikkalehti Solmun sivulta

http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html

Lukuvuoden alussa opettaja voi kaynnistaa diplomitoi-minnan. Alussa tehtaviin tutustutaan tunnilla tai pa-rilla koulussa. Kun oppilaat ovat ymmartaneet toimin-nan idean, tehtavat voidaan antaa vapaa-ajan harras-tukseksi. Jos opettaja on mukana toiminnassa, tehta-vat tuodaan kouluun diplomin saamiseksi lukuvuodenlopulla.

Vaikka opettaja ei heti ryhtyisikaan diplomitoimin-taan, han voi kertoa siita niille, jotka haluavat harras-taa tehtavien ratkaisua itsenaisesti, kotona tai kaverei-den kanssa. On toivottavaa, etta vanhemmat osallis-tuvat lastensa matematiikkaharrastukseen ainakin tu-kemalla sita. Opettaja voi esitella diplomitoimintaavanhempainillassa. Vanhemmat voivat omatoimisesti-kin tulostaa tehtavat ja toimintaa voidaan harrastaakotona perheen kesken.

Solmu 3/2010 15

Apollonioksen unohtunut ympyra

Matti Lehtinen

Helsingin yliopisto

Vuoden 2010 Kansainvaliset matematiikkaolympialai-set pidettiin Kazakstanissa. Kilpailun toisen paivan en-simmainen tehtava oli klassista geometriaa:

Olkoon P kolmion ABC sisaosan piste. Suorat AP ,

BP ja CP leikkaavat kolmion ABC ympari piirretyn

ympyran Γ myos pisteissa K, L ja M , tassa jarjestyk-

sessa. Pisteeseen C piirretty Γ:n tangentti leikkaa suo-

ran AB pisteessa S. Oletetaan, etta SC = SP . Todista,

etta MK = ML.

Kun keskustelin kilpailun jalkeen tehtavista Suomenjoukkueen jasenten kanssa, tulin maininneeksi, etta yk-si tehtavan monista ratkaisutavoista perustuu Apollo-

nioksen ympyran hyvaksikayttoon. Itselleni yllatyksek-si sain todeta, etta Apollonioksen ympyra oli kaikillelasnaolijoille tuntematon kasite. Lienee siis syyta saat-taa Solmun lukijoiden tiedot tassa suhteessa samalletasolle kuin aikanaan lukion oppimaaran opiskelleiden:vuosina 260–170 eKr. elaneen suuren kreikkalaisen geo-metrikon Apollonios Pergalaisen mukaan nimetty ym-pyra kuului nimittain geometrian oppikurssin perustie-toihin ennen matematiikanopetuksen mullistuksia.

Klassinen lahestymistapa

Apollonioksen ympyraan paastaan nykykoulunkin geo-metrian kursseissa mainitun kolmion kulman puolitta-jan ominaisuuden kautta. Olkoon ABC kolmio, jostaoletetaan AB > AC. Olkoon H jokin piste sivun BA

jatkeella. Kulman BAC puolittaja leikkaa sivun BCpisteessa D ja kulman CAH eli kulman BAC vierus-kulman puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen pisteessaE. Talloin patee

DB

DC=

EB

EC=

AB

AC.

Naiden verrantojen sisalto ilmaistaan usein niin, ettakolmion kulman puolittaja ja kolmion kulman vierus-kulman puolittaja jakavat kolmion sivun sisa- ja ulko-puolisesti kulman viereisten sivujen suhteessa.

Taman kulmanpuolittajalauseen todistus voidaan suo-rittaa monin tavoin, esimerkiksi sinilauseen avulla.Eras yksinkertaisimmista todistuksista perustuu apu-piirrokseen, jossa pisteen C kautta piirretaan AB:n

16 Solmu 3/2010

suuntainen suora. Se leikkaa kulman BAC puolitta-jan pisteessa F ja kulman CAH puolittajan pistees-sa G. Yhdensuuntaisuudesta seuraa ∠CFD = ∠BADja ∠ABD = ∠FCD. Kolmiot ABD ja FCD ovat siisyhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisuudesta seuraa vastino-sien verrannollisuus:

AB

FC=

DB

DC.

Koska AD on kulman BAC puolittaja, on ∠CAD =∠BAD = ∠AFC. Kolmiossa AFC on kaksi yhta suur-ta kulmaa, joten se on tasakylkinen: FC = AC. Muttatasta seuraa heti

DB

DC=

AB

AC.

Toinen kulmanpuolittajalauseen osa seuraa puolestaansita, etta kolmiot ABE ja GCE ovat yhdenmuotoisia.Siis

AB

CG=

EB

EC.

Mutta koska ∠CAG = ∠GAH = ∠CGA, kolmio GACon tasakylkinen ja CG = AC. Siis myos

EB

EC=

AB

AC.

Kuinka suuri on kulma DAE? Kolmion kulmien sum-ma on sama kuin kahden suoran kulman summa, jatasta seuraa, etta ∠CAH = ∠ABC +∠BCA: kolmionkulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulmansumma. Mutta tasta seuraa, etta kulma DAE on itseasiassa kolmion ABC kaikkien kulmien puolikkaidensumma ja niin ollen suora kulma. Ja Thaleen lause elikehakulmalause suoraan kulmaan sovellettuna kertoo,etta jos piirretaan ympyra, jonka halkaisija onDE, niinA on taman ympyran kehalla. Tuo DE-halkaisijainenympyra on juuri Apollonioksen ympyra.

Analysoidaan tilannetta hiukan tarkemmin. Pisteet Dja E maarittyivat kolmion ABC perusteella. Ne olisikuitenkin voitu maaritella vain tietyn ehdon toteutta-vina suoran BC pisteina, vetoamatta suoran ulkopuo-liseen pisteeseen A. Jos nimittain k > 1 on mielivaltai-nen luku, on janalla BC tasan yksi piste D, jolle patee

BD

DC= k

ja puolisuoralla BC janan BC ulkopuolella on tasanyksi piste E, jolle

EB

EC= k.

Suhdeluku k riittaa kiinnittamaan pisteet D ja E jamyos ympyran A, jonka halkaisija on DE, Apolloniok-sen ympyran.

Nyt patee seuraava tulos: Kaikki ne tason pisteet X ,joille

XB

XC= k (1)

ovat ympyralla A ja kaikille ympyran A pisteille X pa-tee (1).

Lauseen edellinen osa on jo todistettu. Muutetaan vainA X :ksi edella suoritetussa paattelyssa. Toinen puo-li vaatii vahan enemman. Viimeiset kunnolliset geo-metrian oppikirjat, 1950-luvulla kirjoitetut Niilo Kal-

lion, Bruno Malmion ja Samuli Apajalahden Geometria

ja Kalle Vaisalan Geometria sivuuttavat todistuksen,edellinen ehka tahattomasti, jalkimmainen asiasta ek-splisiittisesti mainiten. Puoli vuosisataa vanhempi kou-lukirja, L. Neovius-Nevanlinnan Alkeisgeometrian op-

pikirja, esittaa taydellisen todistuksen.

Todistetaan tuloksen jalkimmainen osa epasuorasti.Tehdaan vastaoletus, jonka mukaan ympyralla A onpiste X , jolle

XB

XC= k′ 6= k.

Oleteaan viela, etta k′ < k. Kolmion BCX kulmanBXC puolittaja leikkaa BC:n pisteessa D′ ja kyseisenkulman vieruskulman puolittaja leikkaa BC:n jatkeenpisteessa E′. Piste X on D′E′-halkaisijaisella ympyral-la A′. Tehdyn oletuksen nojalla

D′B

D′C=

E′B

E′C=

XB

XC= k′ <

DB

DC=

EB

EC.

Tasta seuraa, etta D′ on lahempana B:ta kuin D. Kos-ka

EB

EC=

BC

EC+ 1

jaE′B

E′C=

BC

E′C+ 1,

on oltava E′C > EC, eli E′ on kauempana C:sta kuinE. Mutta tama merkitsee, etta jana DE sisaltyy ko-konaan janaan D′E′, ja edelleen A on kokonaan A′:nsisapuolella. Piste X ei voi olla kahdella toisiaan kos-kettamattomalla ympyralla. Ristiriita osoittaa vastao-letuksen vaaraksi, ja Apollonioksen ympyraa koskevatuloksemme on kokonaan todistettu.

Analyyttisen geometrian avulla helpom-min

Edella klassisin, synteettisin menetelmin saatu tulos onjohdettavissa varsin helposti laskemalla. Olkoot edellakasitellyt pisteet B ja C x-akselin pisteet (−1, 0) ja(1, 0). Piste X = (x, y) toteuttaa ehdon

XB

XC= k > 1

jos ja vain jos

(x+ 1)2 + y2 = k2(

(x− 1)2 + y2)

.

Yhtalo on yhtapitava yhtaloiden

(k2 − 1)(x2 + y2)− 2(k2 + 1)x+ k2 − 1 = 0

Solmu 3/2010 17

ja

(

x− k2 + 1

k2 − 1

)2

+ y2 =4k

(k2 − 1)2

kanssa. Viimeinen yhtalo on sellaisen ympyran yhtalo,jonka keskipiste on x-akselin piste

(

k2 + 1

k2 − 1, 0

)

ja sade

2k

k2 − 1.

Ympyra leikkaa x-akselin pisteissa

(

k2 + 1

k2 − 1± 2k

k2 − 1, 0

)

,

jotka ovat

(

k − 1

k + 1, 0

)

ja

(

k + 1

k − 1, 0

)

.

Helppo lasku osoittaa, etta juuri nama pisteet jakavatjanan BC sisa- ja ulkopuolisesti suhteessa k.

Apollonioksen ympyran maarittavat jana BC ja suh-deluku k. Kun k:ta vaihdellaan, saadaan aareton jouk-ko ympyroita, ns. ensimmaisen lajin Steinerin ympyra-

parvi . Sen mielenkiintoiset ominaisuudet ovat jo toisenpakinan aihe. Mutta enta lahtokohta, olympiatehtavaja sen littyminen Apolloniokseen?

Tehtavan ratkaisu voisi menna suunnilleen nain: Voi-daan olettaa, etta AC > BC, jolloin S on puolisuo-ralla AB. Kehakulmia tarkastelemalla huomataan, et-ta kolmiot PKM ja PCA ovat yhdenmuotoiset. SiisPM

MK=

PA

AC. Samoin kolmiot PLM ja PCB ovat yh-

denmuotoiset, jotenPM

ML=

PB

BC. Vaitteen todistami-

seksi riittaa, etta osoitetaanPA

AC=

PB

BCeli

PA

PB=

CA

CB. (1)

Olkoon E kulman ACB puolittajan ja sivun AB leik-

kauspiste. Ne pisteet X , joilleXA

XB=

CA

CBovat Apol-

loniuksen ympyralla eli ympyralla, joka kulkee pistei-den C ja E kautta ja jonka keskipiste on suorallaAB. Osoitetaan, etta S on taman ympyran keskipis-te. Koska ∠CAB = ∠BCS (kehakulma ja janteen jatangentin valinen kulma) ja ∠ACE = ∠ECB, niin∠CES = ∠CAE+∠ACE = ∠BCS+∠ECB = ∠ECSeli kolmio SCE on tasakylkinen. Siis S on Apolloniuk-sen ympyran keskipiste. Koska SP = SC, P on Apol-loniuksen ympyralla ja (1) toteutuu.

18 Solmu 3/2010

Epayhtaloista, osa 2

Markku Halmetoja

Mantan lukio

Valilla I maariteltya funktiota sanotaan konveksiksi,jos sen kuvaaja on alaspain kupera, eli jos kuvaajanmitka tahansa kaksi pistetta yhdistava jana ei alitakuvaajaa. Esimerkiksi funktiolla f(x) = x2 on tamaominaisuus. Konveksit funktiot toteuttavat Jensenin1

epayhtalon. Se on eraanlainen yleisepayhtalo, jonkaavulla voidaan todistaa lukuisa joukko muita epayhta-loita. Jensenin epayhtalo on taman kirjoituksen paa-asia, mutta siihen paasemiseksi on ensin kasiteltavakonveksien funktioiden ominaisuuksia. Aivan ensim-maiseksi on ylla annettu konveksisuuden geometrinenmaaritelma muunnettava analyyttiseksi. Kirjoitukseensisaltyy muutama harjoitus, joiden pohtiminen syven-taa asian ymmartamista. Niiden ratkaisut julkaistaanmyohemmin Solmun nettisivulla.

Konveksisuuden maaritelma

Olkoon f valilla I maaritelty funktio ja [u,v] ⊆ I. Senkuvaajan pisteet (u,f(u)) ja (v,f(v)) yhdistavan jananyhtalo on

y = y(λ) = λf(u) + (1 − λ)f(v),

missa 0 ≤ λ ≤ 1. Nailla λ:n arvoilla myos

x = λu + (1− λ)v ∈ [u,v].

(x, y)

x = λu+ (1− λ)v ja

y = λf(u) + (1− λ)f(v),

missa 0 ≤ λ ≤ 1.

(u, f(u))

(v, f(v))

(x, f(x))

Jos kuvaaja on alaspain kupera, niin piste (x,f(x))ei ylita mainittua janaa millaan x ∈ [u,v]. Konveksi-suuden analyyttinen maaritelma saadaan kirjoittamal-la tama geometrinen ehto epayhtaloksi.

Maaritelma. Olkoon I reaalilukuvali ja f siina maa-ritelty funktio. Se on konveksi, jos epayhtalo

f(

λu+ (1− λ)v)

≤ λf(u) + (1 − λ)f(v) (2)

toteutuu kaikilla u,v ∈ I ja λ ∈ ]0,1[. Se on aidosti

konveksi, jos

f(

λu+ (1− λ)v)

< λf(u) + (1 − λ)f(v) (3)

kaikilla λ ∈ ]0,1[ ja kaikilla keskenaan erisuurilla u,v ∈I.

Huomautus. Parametri λ rajoitetaan maaritelmassaavoimelle valille ]0,1[, silla taman valin paatepisteissaepayhtalo (2) on joka tapauksessa voimassa.

1Johan Jensen (1859–1925), tanskalainen matemaatikko.

Solmu 3/2010 19

Jos erisuuruus epayhtaloissa (2) tai (3) on vastakkai-seen suuntaan, niin funktio f on konkaavi tai aidostikonkaavi valilla I. Selvasti funktio f on (aidosti) kon-kaavi, jos ja vain jos −f on (aidosti) konveksi, jotenjatkossa voidaan rajoittua pelkastaan konveksisuuteen.

Seuraavissa harjoituksissa ja esimerkissa sovelletaankonveksisuuden maaritelmaa.

Esim. Funktio f(x) = |x| on konveksi, silla kolmio-epayhtalosta seuraa

|λu+ (1− λ)v| ≤ λ|u|+ (1− λ)|v|

kaikilla u,v ∈ R ja λ ∈ ]0,1[.

Harjoituksia

1. Osoita, etta funktio f(x) = x2 on aidosti konveksi.

2. Osoita, etta funktio g(x) = x−1, x > 0, on aidostikonveksi.

3. Keksi esimerkki konveksista funktiosta f : [0,1] →R, joka on a) jatkuva, b) epajatkuva.

4. Osoita, etta jos f ja g ovat valilla I konvekseja funk-tioita ja jos a seka b ovat ei-negatiivisia, niin lineaa-rikombinaatio af + bg on konveksi.

Konveksisuuden luonnehdintaa

Funktion konveksisuus on alkeellisia tapauksia lukuun-ottamatta varsin hankalaa todistaa suoraan maaritel-man perusteella. Seuraavassa johdetaan eraita yhtapi-tavia ja riittavia ehtoja konveksisuudelle.

Jos f on valilla I maaritelty konveksi funktio ja x ∈]u,v[⊂ I, niin kuvioon

(u, f(u))

(v, f(v))

(x, f(x))

piirrettyjen sekanttien kulmakertoimet toteuttavatkaksoisepayhtalon

f(x)− f(u)

x− u≤ f(v)− f(u)

v − u≤ f(v)− f(x)

v − x, (4)

mika johtaa tarkeaan konveksisuuden luonnehdintaan.

Lause 1. Valilla I maaritelty funktio f on konveksi, josja vain jos kaikille ehdon u < x < v toteuttaville valin Iluvuille on voimassa mika tahansa kaksoisepayhtalosta(4) saatava erotusosamaaria koskeva epayhtalo.

Todistus. Kasitellaan tapaus

f(x)− f(u)

x− u≤ f(v)− f(x)

v − x,

ja muut jatetaan harjoitustehtaviksi.

Olkoot u,x,v ∈ I ja u < x < v. Talloin on olemassaλ ∈ ]0,1[ siten, etta x = λu+(1−λ)v. Koska x−u > 0,v − x > 0, v − u > 0,

λ =v − x

v − uja 1− λ =

x− u

v − u,

ovat epayhtalot

f(x) ≤ λf(u) + (1− λ)f(v)

λf(x) + (1− λ)f(x) ≤ λf(u) + (1− λ)f(v)

λ(

f(x)− f(u))

≤ (1 − λ)(

f(v)− f(x))

v − x

v − u

(

f(x)− f(u))

≤ x− u

v − u

(

f(v)− f(x))

f(x)− f(u)

x− u≤ f(v)− f(x)

v − x

keskenaan yhtapitavia, joten lause on todistettu.

Seuraus. Funktio f : I → R on aidosti konveksi, josja vain jos kaikille ehdon u < t < v toteuttaville valinI luvuille on voimassa

f(x)− f(u)

x− u<

f(v)− f(x)

v − x.

Derivoituvan funktion konveksisuudelle saadaan hel-pohko kriteeri.

Lause 2. Olkoon f : I → R derivoituva. Jos ja vainjos derivaatta on (aidosti) kasvava, niin f on (aidosti)konveksi.

Todistus. Olkoot x,t ja y ehdon x < t < y toteut-tavia I:n lukuja. Valiarvolauseen mukaan on olemassaξ1 ∈ ]x,t[ ja ξ2 ∈ ]t,y[ siten, etta

f(t)− f(x)

t− x= f ′(ξ1) ja

f(y)− f(t)

y − t= f ′(ξ2).

Koska ξ1 < ξ2 ja f ′ on kasvava, on f ′(ξ1) ≤ f ′(ξ2),joten

f(t)− f(x)

t− x= f ′(ξ1) ≤ f ′(ξ2) =

f(y)− f(t)

y − t,

eli vaite on tosi lauseen 1 perusteella. Jos f ′ on aidos-ti kasvava, niin epayhtalosta ξ1 < ξ2 seuraa f ′(ξ1) <f ′(ξ2), joten

f(t)− f(x)

t− x= f ′(ξ1) < f ′(ξ2) =

f(y)− f(t)

y − t,

20 Solmu 3/2010

eli vaite on tosi lauseen 1 seurauksen perusteella.

Seuraus. Jos f on kahdesti derivoituva ja jos f ′′

on ei-negatiivinen, niin f on konveksi. Jos f ′′ on ei-negatiivinen ja silla on enintaan erillisia nollakohtia,niin f on aidosti konveksi.

Esim. Funktiot f(x) = ex ja g(x) = − lnx ovat aidos-ti konvekseja, silla f ′′(x) = ex > 0 kaikilla x ∈ R jag′′(x) = x−2 > 0 kaikilla x ∈ R+.

Esim. Funktiot fn(x) = x2n, n ∈ Z+, ovat aidosti kon-vekseja. Funktiot gn(x) = x2n+1, n ∈ Z+, ovat aidostikonvekseja valilla [0,∞[.

Harjoituksia

5. Osoita, etta valilla I maaritelty funktio f on kon-veksi, jos ja vain jos

f(v)− f(u)

v − u≤ f(v)− f(x)

v − x

kaikille ehdon u < x < v toteuttaville valin I luvuil-le.

6. Osoita, etta valilla I maaritelty funktio f on kon-veksi, jos ja vain jos

f(x)− f(u)

x− u≤ f(v)− f(u)

v − u

kaikille ehdon u < x < v toteuttaville valin I luvuil-le.

7. Todista, etta avoimella valilla maaritelty konveksifunktio on jatkuva. Ohje: Jos I on avoin vali jax0 ∈ I, niin on olemassa luvut a,b,u,v ∈ I siten, ettaa < u < x0 < v < b. Valitse x ∈ ]u,x0[, ja osoitakaksoisepayhtaloa (4) soveltaen, etta f(x) → f(x0),kun x → x0 vasemmalta. Osoita sitten samalla ta-valla, etta f(x) → f(x0), kun x → x0 oikealta.

8. Osoita, etta funktio f : R+ → R, f(x) = x lnx, onaidosti konveksi.

Jensenin epayhtalo

Konveksisuuden maaritelma voidaan kirjoittaa seuraa-vasti:

Funktio f : I → R on konveksi, jos

f(λ1x1 + λ2x2) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2)

kaikilla x1, x2 ∈ I ja kaikilla λ1, λ2 ∈ ]0,1[, joilleλ1 + λ2 = 1.

Jensenin epayhtalo yleistaa maaritelman epayhtalonuseammalle λ:n ja x:n arvolle.

Lause 3. Olkoon f : I → R konveksi funktio jaλ1,λ2, . . . , λn positiivisia lukuja, joiden summa on 1.Talloin kaikilla x1, x2, . . . , xn ∈ I

f(λ1x1 + . . .+ λnxn) ≤ λ1f(x1) + . . .+ λnf(xn). (5)

Todistus. Vaite on siis tosi, kun n = 2. Jos se on tosi(n− 1):lle luvulle, niin, koska

λ1x1 + . . .+ λn−1xn−1 + λnxn

= (1− λn)

(

λ1

1− λn

x1 + . . .+λn−1

1− λn

xn−1

)

+ λnxn,

on

f(λ1x1 + . . .+ λn−1xn−1 + λnxn)

≤ (1− λn)f

(

λ1

1− λn

x1 + . . .+λn−1

1− λn

xn−1

)

+λnf(xn)

≤ (1− λn)

(

λ1

1− λn

f(x1) + . . .+λn−1

1− λn

f(xn−1)

)

+λnf(xn)

= λ1f(x1) + . . .+ λn−1f(xn−1) + λnf(xn),

joten vaite on induktioperiaatteen nojalla tosi kaikillan ∈ Z, n ≥ 2.

Valitsemalla kaikki λ:t yhta suuriksi saadaan monessayhteydessa kayttokelpoinen seurauslause.

Seuraus. Jos f : I → R on konveksi ja x1, x2, . . . , xn ∈I, niin

f

(

x1 + x2 + . . .+ xn

n

)

≤ f(x1) + f(x2) + . . .+ f(xn)

n. (6)

Milloin epayhtaloissa (5) ja (6) vallitsee yhtasuuruus?Jos esimerkiksi f on ensimmaisen asteen polynomifunk-tio (se on konveksi), niin yhtasuuruus on voimassa kai-killa x1, . . . , xn ∈ R. Kysymys yhtasuuruuden voimas-saolosta on siis kiinnostava vain, jos funktio on aidostikonveksi.

Lause 4. Olkoon f : I → R aidosti konveksi,x1, . . . , xn ∈ I ja λ1 . . . , λn positiivisia lukuja, joidensumma on 1. Talloin

f(λ1x1 + . . .+ λnxn) = λ1f(x1) + . . .+ λnf(xn) (7)

jos ja vain jos x1 = x2 = . . . = xn.

Todistus. Selvasti (7) on voimassa, jos x1 = x2 =. . . = xn. Oletetaan nyt, etta (7) on voimassa, ja teh-daan vastaoletus, etta luvut x1, . . . , xn eivat ole kaik-ki yhta suuria. Voidaan rajoituksetta olettaa, etta neovat pienimmasta alkaen suuruusjarjestyksessa. Talloinx1 on niista pienin. Olkoon xk ensimmainen siita poik-keava luku. Siis

x1 = . . . = xk−1 < xk ≤ . . . ≤ xn.

Solmu 3/2010 21

Merkitaan viela µ = λ1 + . . .+ λk−1, jolloin λk + . . .+λn = 1− µ. Koska f on aidosti konveksi ja

x1 <λk

1− µxk + . . .+

λn

1− µxn,

on

f(

λ1x1 + . . .+ λnxn

)

= f

(

µx1 + (1− µ)

(

λk

1− µxk + . . .+

λn

1− µxn

))

< µf(x1) + (1− µ)f

(

λk

1− µxk + . . .+

λn

1− µxn

)

≤ (λ1 + . . .+ λk−1)f(x1) + λkf(xk) + . . .+ λnf(xn)

= λ1f(x1) + λ2f(x2) + . . .+ λnf(xn),

mika on ristiriidassa oletuksen (7) kanssa. Siis ei ole en-simmaistakaan lukua xk, joka poikkeaisi pienimmastaluvusta x1, joten kaikki x:t ovat samoja.

Muodostamalla sopivia aidosti konvekseja funktiotavoit Jensenin epayhtalon avulla keksia aivan uusia, en-nennakemattomia epayhtaloita! Seuraava lienee kuiten-kin yleisesti tunnettu.

Lause 5. Olkoot u1, . . . , un positiivisia lukuja ja A nii-den aritmeettinen keskiarvo. Talloin

AA ≤ n

√

uu1

1 uu2

2 . . . uun

n ,

missa yhtasuuruus on voimassa, jos ja vain jos u1 =. . . = un.

Todistus. Positiivisille luvuille maaritelty funktiof(x) = x lnx on aidosti konveksi, joten Jensenin epayh-talon (6) mukaan

(

u1 + . . .+ un

n

)

ln

(

u1 + . . .+ un

n

)

≤ 1

nu1 lnu1 + . . .+

1

nun lnun,

mista vaite seuraa.

Harjoituksia

9. Osoita, etta jos positiivisten lukujen u1, . . . , un arit-meettinen keskiarvo on 1, niin

u1u2 . . . un ≤ 1 ≤ uu1

1 uu2

2 . . . uun

n ,

ja etta yhtasuuruudet ovat voimassa, jos ja vain josuk = 1 kaikilla k ∈ {1, . . . , n}.

10. Osoita a) edellisen tehtavan erikoistapauksena, b)pelkastaan lukion oppimaaraan tukeutuen, etta

(1− x)1−x(1 + x)1+x > 1

kaikilla x ∈ ]0,1[.

11. Osoita, etta jos a,b,c ovat positiivisia ja a+b+c = 1,niin

a2 + b2 + c2 ≥ 1

3.

Milloin yhtasuuruus on voimassa?

12. Osoita, etta jos luvut uk ovat positiivisia ja josu1 + u2 + . . .+ un = 1, niin

(

u21 + u2

2 + . . .+ u2n

)2 ≤ u31 + u3

2 + . . .+ u3n.

Milloin yhtasuuruus on voimassa?

Keskiarvoepayhtaloita

Kirjoituksen ykkososassa (Solmu 2/2010) tutkittiinkeskiarvojen H, G, A ja C suuruusjarjestysta. Jense-nin epayhtalon avulla voidaan todistaa sama jarjestysmyos vastaaville painotetuille keskiarvoille. Ne maari-tellaan yhtaloilla

Hλ =1

λ1

u1

+ . . .+ λn

un

Gλ = uλ1

1 . . . uλn

n

Aλ = λ1u1 + . . .+ λnun

Cλ =λ1u

21 + . . .+ λnu

2n

λ1u1 + . . .+ λnun

missa u- ja λ-luvut ovat positiivisia ja λ-lukujen sum-ma on 1. Jarjestys todistuu kolmessa vaiheessa.

Vaihe 1. Gλ ≤ Aλ. Olkoot u1, . . . , un positiivisia lukujaja λ1, . . . , λn positiivisia lukuja, joiden summa on 1. Onolemassa luvut x1, . . . , xn siten, etta uk = exk kaikillak ∈ {1, 2, . . . , n}. Koska funktio f(x) = ex on aidostikonveksi, on Jensenin epayhtalon mukaan

eλ1x1+...+λnxn ≤ λ1ex1 + . . .+ λne

xxn .

Yhtaloiden uk = exk avulla tama sievenee muotoon

Gλ = uλ1

1 uλ2

2 . . . uλn

n ≤ λ1u1 + λ2u2 + . . .+ λnun = Aλ.

Vaihe 2. Hλ ≤ Gλ. Olkoot u- ja λ-luvut kuten ylla.Soveltamalla edellista epayhtaloa u-lukujen kaanteislu-kuihin saadaan

1

uλ1

1

. . .1

uλn

n

≤ λ1

u1

+ . . .+λn

un

,

mista valittomasti seuraa

Hλ =1

λ1

u1

+ . . .+ λn

un

≤ uλ1

1 . . . uλn

n = Gλ.

Vaihe 3. Aλ ≤ Cλ. Olkoot u- ja λ-luvut edelleen ku-ten ylla. Funktio g(x) = x2 on aidosti konveksi, jotenJensenin epayhtaloa soveltaen saadaan

(λ1u1 + . . .+ λnun)2 ≤ λ1u

21 + . . .+ λnu

2n,

22 Solmu 3/2010

mista seuraa

Aλ = λ1u1 + . . .+ λnun ≤ λ1u21 + . . .+ λnu

2n

λ1u1 + . . .+ λnun

= Cλ.

SiisHλ ≤ Gλ ≤ Aλ ≤ Cλ.

Koska funktiot f(x) = ex ja g(x) = x2 ovat aidostikonvekseja, vallitsee tassa ketjussa yhtasuuruus, jos javain jos luvut uk ovat kaikki keskenaan yhtasuuria.

Lahdeluettelo

[1] J.Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master

Class, An Introduction to the Art of Mathematical

Inequatilies, Cambridge University Press, 2007.

[2] The MacTutor History of Mathematics archive,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/

Diplomitehtavien oheislukemistoa

Osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html on diplomitehtaville oheislukemistoa, joka var-maan kiinnostaa muitakin kuin diplomien tekijoita:

Desimaaliluvut, mita ne oikeastaan ovat?

Murtolukujen laskutoimituksia

Hiukan osittelulaista

Lausekkeet, kaavat ja yhtalot

Aarettomista joukoista

Erkki Luoma-aho: Matematiikan peruskasitteiden historia

Gaussin jalanjaljissa

K. Vaisala: Algebra

Solmu 3/2010 23

Pietarin paradoksi ja tietokonesimulaatio

Jani Isohanni

Ohjelmistotekniikan laitos, Tampereen teknillinen yliopistojani.isohanni@tut.fi

Pietarissa 1700-luvulla vaikuttanut sveitsilainen mate-maatikko Nicolaus Bernoulli esitti kuvitteellisen uhka-pelin, jossa kolikkoa heitetaan, kunnes saadaan kruuna,ja pelaaja voittaa rahaa sen mukaan, monennellako hei-tolla kruuna tulee. Jos kruuna tulee heti ensimmaisellaheitolla, voittaa pelaaja kaksi euroa. Jos toisella, niinhan voittaa nelja euroa jne. Yleisesti, jos kruuna tuleen:nnella heitolla, pelaaja voittaa 2n euroa, ja klaavallapeli jatkuu mahdollisesti rajattoman kauan.

Tama peliasetelma osoittautuu oivaksi esimerkiksi sii-ta, miten tietokonesimulaatioilla voidaan saada naen-naisesti ristiriitaisen oloisia tuloksia.

Voiton odotusarvo

Olemme kiinnostuneita, miten paljon pelaajan kannat-taa maksaa pelatakseen kuvattua pelia. Lahestytaanasiaa laskemalla ensin voiton odotusarvo. Jotta voisim-me puhua asioista tasmallisesti, niin sovitaan muuta-masta tarvittavasta kasitteesta.

Pelikierros tarkoittaa kolikon heittamista, kunnes saa-daan kruuna, peli on jokin valittu maara pelikierrok-sia, ja heitto on yksi kolikon heitto. Nyt peli koostuuvalitusta maarasta pelikierroksia, jotka puolestaan kes-tavat korkeintaan valitun maaran heittoja.

Panos on yhdella pelikierroksella asetettu panos, voit-to yhdelta kierrokselta voitettu rahamaara, ja voitto-

summa on yhden pelin kaikilta pelikierroksilta yhteensavoitettu summa.

Tarkastellaan ensin heittojen maksimimaaran suhteenrajoitettua tapausta.

Jos pelikierros paattyy ensimmaiseen heittoon, niinvain kruunalla voittaa ja voiton todennakoisyys on 0,5voiton ollessa 2 euroa. Tasta voidaan laskea, etta voi-ton odotusarvo yhdelle kierrokselle on 0,5 · 2 = 1, japaatellaan, etta yhdelta pelikierrokselta voittaa keski-maarin yhden euron eli pelaajan kannattaa osallistuapeliin kierrokseksi alle eurolla.

Jos pelikerros venytetaan maksimissaan kahteen perak-kaiseen heittoon, on voiton odotusarvo 0,5·2+0,25·4 =2 euroa eli pelaajan kannattaa ostaa yksi pelikierros allekahdella eurolla. Tama yleistyy suoraviivaisesti tapauk-seen, jossa sallitaan korkeintaan n perattaista heittoa,ja voiton odotusarvoksi saadaan

n∑

i=1

1

2n2n =

n∑

i=1

1 = n.

Siis mita enemman perattaisia heittoja kierroksella sal-litaan, sita enemman pelaaja voi odottaa voittavansayhdella pelikierroksella. Jos heittoja sallitaan rajatto-man paljon, niin periaatteessa pelaajan kannattaa pe-lata yksi kierros milla tahansa aarellisella summalla,koska voiton odotusarvo kasvaa aarettomaksi.

24 Solmu 3/2010

Simulaatio

Edellisen pohjalta tuntuu loogiselta odottaa, etta jos si-muloimme pelia tietokoneella, niin peli kaantyy pelaa-jalle voitolliseksi, kunhan sisallytamme simulaatioontarpeeksi monta pelikierrosta.

Luodaan ohjelma, joka simuloi halutun maaran peli-kierroksia, joissa kussakin voi olla rajaton maara heit-toja1. Ohjelma tulostaa pelatuista pelikierroksista kes-kimaaraisen voiton kierrokselta eli paljonko peli keski-maarin palauttaa pelatulta kierrokselta, seka pelatunpelin voittosumman. Yhden pelikierroksen osalta voi-ton odotusarvo on aareton, joten keskimaaraisen toteu-tuneen voiton voisi olettaa kipuavan kohti aaretonta,kunhan lisaamme pelikierroksia tarpeeksi. Koska nytkierroksia voi tulla rajattoman paljon, kannattaa as-keisten laskujen pohjalta pelaajan lahtea peliin mukaanmilla tahansa aarellisella panoksella kierrosta kohti.

Ohessa on taulukoituna lyhyella C-ohjelmalla tehdynsimulaation tuloksia. Viimeisessa sarakkeessa on pelaa-jan nettovoitto koko pelista, kun oletetaan, etta han onmaksanut yhdesta pelikierroksesta 20 euroa.

Kierroksia Keskim. voitto/kierros Nettovoitto10 2,8 −172102 4,62 n. −1540103 12,91 n. −7000104 8,73 n. −130000105 19,29 n. −71000106 12,83 n. −7,2M107 11,40 n. −86M108 18,97 n. −100M

Tulokset vaikuttavat hieman epaintuitiivisilta. Lasku-jen mukaan pelista kannattaa maksaa mika tahansa aa-rellinen summa rahaa per kierros, mutta jo kahdenkym-menen euron panoksella jaa tappiolle sita enemman mi-ta pidempaan pelia pelaa. Voisi odottaa, etta tallaisil-la pelimaarilla voittosumma kasvaisi nahtavasti, muttaesimerkiksi sadan miljoonan pelatun kierroksen osaltajaadaan tappiolle perati sata miljoonaa. Taman kaikenpaalle keskimaarainen voitto vaihtelee aika paljon. Peliei vaikuta oikein kannattavalta. Onko ohjelmassammevikaa? Tai alun laskuissa?

Lahdetaan oletuksesta, etta ohjelmassa tai sen ajossaei ole mitaan outoa eli simulaation tulokset sinallaanovat kirjautuneet oikein. Talloin voidaan paatella, et-ta viimeisessa pelissa ei ollut yhtaan yli kolmenkymme-nen kruunun sarjaa, koska jos olisi ollut, niin siita saatuvoitto yksinaan olisi isompi kuin nyt saatu koko voit-tosumma (koska 231 ≈ 2,15 · 109 > 100000000 · 18,97 ≈1,9 · 109).

Tama antaa syyta pohtia, kuinka todennakoista ylipaa-taan on saada tietyn pituisia heittosarjoja, kun pelissapelataan jokin maara kierroksia. Todennakoisyys saadayli k:n heiton kierros on

limN→∞

N∑

i=k+1

(1/2)i = ((1/2)k+1)/(1− 1/2) = (1/2)k.

Suoraan komplementin todennakoisyydesta seuraa, et-ta todennakoisyys, ettei pelikierroksella saada yli k:taheittoa, on 1− (1/2)k, joten jos pelataan n pelikierros-ta, niin todennakoisyys p, ettei yhdellakaan kierroksellatule yli k:ta heittoa, on

p = (1− (1/2)k)n. (8)

Lasketaan nyt, mika on pisin esiintyva heittosarja to-dennakoisyydella p, kun pelikierrosten lukumaara ntunnetaan. Tama edellyttaa, etta ratkaisemme edelli-sen yhtalon k:n suhteen, ja pienella algebrallisella pyo-rittelylla saammekin

k =ln(1− n

√p)

ln 0,5.

Asetetaan nyt p = 0,95 ja lasketaan k edellisessa simu-laatiossa ajetuille kierroslukumaarille, jolloin saadaanoheinen taulukko.

Pelikierroksia nPisin heittosarja ktn:lla p = 0,95

10 7,6102 10,9103 14,3104 17,6105 20,9106 24,2107 27,5108 30,9

Huomaamme, etta vaikka pelaisimme sata miljoonaakierrosta, niin todennakoisyydella 0,95 jokaisella kier-roksella jaadaan alle 31 perakkaisen heiton. Tasta seu-raa, etta todennakoisyydella 0,95 voittosumma sadanmiljoonan kierroksen pelissa on alle 231, joka tekee noin231/108 ≈ 21,5 euroa per kierros. Siis todennakoisyy-della 0,95 jaa pelissa tappiolle, jos sijoittaa yli 21,5 eu-roa kierrosta kohti. Tata vasten simulaation tulos ru-peaakin tuntumaan jarkevalta.

Simulaation aluksi paradoksaaliselta vaikuttaneet tu-lokset osoittautuvat nain lahemmassa tarkastelussaloogisiksi. Peli ei vaikutakaan enaa (ainakaan ajankay-tollisesti) kovinkaan houkuttelevalta. Vaikka siina on

1Periaatteessa rajaton maara. Kaytannossa tietokoneella laskettaessa on kaytossa aina rajallinen maara resursseja (esim. aika).Tassa tapauksessa nama rajat eivat kuitenkaan tule lahellekaan ja on mielekasta puhua rajattomasta maarasta kierroksia.

Solmu 3/2010 25

mahdollista voittaa huimia summia, niiden todenna-koisyys on hyvin pieni. Odotusarvoa laskettaessa tamajaa helposti huomaamatta, koska naille epatodennakoi-sille pelikierroksille kasattu voitto on vastaavasti hyvinsuuri, jolloin ne odotusarvoa laskiessa tietyssa mielessakumoavat toisensa.

Lopuksi

Alussa esitetyt laskut antoivat kuvan, etta Bernoullinesittamaa pelia kannattaa pelata milla tahansa aarelli-

sella panoksella. Kuitenkin tietokonesimulaatiossa kaviilmi, etta jo pienella kierroskohtaisella panoksella tap-piota kertyi huimasti. Tama on hyva esimerkki siita,miten simulointi ja puhtaasti teoreettinen tarkastelutukevat toisiaan; simulaatiossa saatu hieman yllattavatulos pakotti miettimaan tilannetta tarkemmin. Tamantarkastelun jalkeen kavikin ilmi, etta pelkan odotusar-von laskeminen antoi pelista ja sen luonteesta harhaan-johtavan kuvan.

Tulosta koulusi ilmoitustaululle Solmun etusivulta http://solmu.math.helsinki.fi

– Solmun juliste

– Monikielisen matematiikkaverkkosanakirjan juliste

26 Solmu 3/2010

Tutkijavaihdossa Berkeleyssa

Vesa Julin

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyvaskylan yliopisto

Olin jo jatko-opintojeni alkuaikoina keskustellut oh-jaajani Petri Juutisen kanssa opintomatkatkasta Yh-dysvaltoihin. Ohjaajani painotti, etta tama olisi erit-tain tarkeaa mahdollista tutkijanuraa ajatellen, erityi-sesti siita syysta, etta oman alani, epalineaaristen osit-taisdifferentiaaliyhtaloiden ja erityisesti aareton har-monisten funktioiden, tutkimuksen huippu oli jo pit-kaan tullut uudelta mantereelta. Vierailun ajankohdak-si suunnittelimme neljannen jatko-opintovuoteni alkuaeli syyslukukautta 2009.

Yhdysvalloista minulla oli mielessani vain yksi paik-ka: UC Berkeley, Kalifornia. Berkeleyn yliopisto onkansainvalisesti arvostettu, ja sen matematiikan laitoslegendaarinen. Haaveenani oli paasta kuuluisan Law-rence Craig Evansin oppeihin. Samalla voisin toteuttaapitkaaikaisen unelmani, eli surffauksen opettelun Kali-fornian aalloissa. Mika tahansa muu vaihtoehto olisisiis pettymys. Olinkin todella iloinen, kun Craig Evanssuostui ottamaan minut vastaan. Vahanpa osasin aa-vistaa, miten tuskallinen ja vaikea syksy minulla oliedessa.

Ensinnakin jo pelkan viisumin haku oli pitka ja vaival-loinen prosessi. Myos asunnon etsiminen tuntui valillatoivottomalta Suomesta kasin, silla minulla ei ollut mi-taan auttavia kontakteja Berkeleyhin. Lopulta pitkal-listen taistelujen jalkeen loysin itselleni asunnon, otinviisumiongelmista selkavoiton ja paasin matkustamaanSan Franciscoon heinakuun lopulla 2009.

Ensimmaiset viikot Berkeleyn huippuyliopistossa oli-

vatkin sitten nuorelle jyvaskylalaiselle matematiikanopiskelijalle totaalinen kulttuurishokki. Hyvin nopeas-ti minulle selvisi, etta amerikkalaisten menestyksen sa-laisuus on yksinkertaisesti ja ainostaan kova tyonteko.Matematiikkaa tehdaan intohimoisesti ja mika tarkein-ta, koko ajan. Joka paiva amerikkalaiset kollegani tapa-sivat toisensa puolelta paivin jossain kampuksen lahei-sessa kahvilassa ja aloittivat tyonteon, eivatka lopetta-neet ennen kuin ilta pimeni ja kahvilat sulkeutuivat. Sa-ma toistui joka paiva, lauantait ja sunnuntait mukaanluettuna. Tilanne naytti surffaamisen kannalta erittainpahalta.

Toinen amerikkalaisten jatko-opiskelijoiden erityispiir-re on heidan erittain laaja matemaattinen yleissivistyk-sensa. Sainkin useammin kuin kerran kuulla suoraa pa-lautetta siita, miten omat matemaattiset perustietoniolivat aivan liian puutteelliset, ja etta minun on mahdo-tonta saada selkeaa kokonaiskuvaa aareton harmonis-ten funktioiden teoriasta, jos en modernin osittaisdif-ferentiaaliyhtaloiden (ODY) teorian lisaksi vahintaantunne Fourier-analyysia, stokastiikkaa ja differentiaa-ligeometriaa. Naita vaikeuksia saesti viela paikallisten”hyvantahtoinen” vitsailu Suomen matematiikkakult-tuurin kustannuksella, kuten vihjaileva kysymys ”Tut-kitaanko Suomessa jo muutakin kuin kvasikonformiku-vauksia?”Erikoistuminen ei ilmeisesti ollut Amerikassamuotia, toisin kuin meilla Suomessa.

Myoskaan itse Berkeleyn kaupunki ei loistollaan va-kuuttanut. Berkeley on sadantuhannen asukkaan kau-punki aivan San Franciscon lahistolla. Sen kulta-aika si-

Solmu 3/2010 27

joittui 60-luvulle, jolloin hippiliike ja Jefferson Airpla-ne olivat viela kova juttu. Tasta ajasta muistona onenaa maan korkein maara asunnottomia ihmisia, joi-ta paikkakunnalle houkuttelee lammin ilmasto ja kau-pungin verrattaen korkea sosiaalituki. Taman kurjuu-den groteskina vastapainona ovat parin sadan metrinpaassa ylhaalla kukkuloilla sijaitsevat ylemman keski-luokan huvilat. On sanomattakin selvaa, ettei oma tu-hannen dollarin budjettini riittanyt asuntoon BerkeleyHillsin kukkuloilla, vaan sain kokea miten karvaalta ela-ma maistuu, kun amerikkalainen unelma jaa toteutu-matta.

Kaikesta tasta huolimatta alkoivat asiat pikkuhiljaasujua. Hautasin heti haaveet surffaamisesta ja aloinopiskella matematiikkaa kokopaivaisesti paikalliseentyyliin paivittain 10-12 tuntia. Kaksi ensimmaistakuukautta olivat varmasti jatko-opintoaikani rankim-mat. Yritin jotenkin pysya mukana yhteisissa jatko-opiskelijaseminaareissa, ja samaan aikaan paikkailinmatematiikan yleissivistyksessani olevia aukkoja opis-kelemalla intensiivisesti differentiaaligeometriaa. Sinni-kas tyonteko palkittiin, ja jo parin kuukauden jalkeensain juonen paasta kiinni. Jatko-opiskelijaseminaarit ei-

vat enaa tuntuneet taysin kasittamattomilta, ja mi-ka tarkeinta, oma tutkimukseni alkoi saada tuulta al-leen. Kiitokset tasta kuuluvat Craig Evansin loistavillejatko-opiskeljoille Scott Armstrongille ja Charles Smar-tille, jotka varauksetta ottivat minut mukaansa tutki-musprojekteihinsa, ja tartuttivat minuun oman innos-tuksensa matematiikan opiskeluun. Tajusin kuinka tar-keaa yhteistyo muiden jatko-opiskelijoiden ja kollegojenkanssa on. Nain jalkeenpain tuntuu itse asiassa usko-mattomalta, etten tata ennen ollut keskustellut ohjaa-jaani lukuun ottamatta kenenkaan kanssa omasta tut-kimusalastani tai edes sen mielekkyydesta. Mukavanabonuksena oli myos se, etta yhteistyo Armstrongin jaSmartin kanssa poiki yhden artikkelin, ja nain vaitos-kirjanikin tuli kuin sattumalta valmiiksi.

Loppujen lopulta syksyni Berkeleyssa onnistui yli odo-tusten. Tutkijana itsenaistymisen kannalta kokemus olierittain tarkea. En myoskaan voi lakata ihmettelemastaamerikkalaisten intohimoista asennetta tyontekoon, olisitten kyse matematiikasta tai muusta. Oma tyo koe-taan merkitykselliseksi, eika siihen ole tarvetta suhtau-tua eurooppalaisen sarkastisesti.

28 Solmu 3/2010

Matemaattisista aineista potkua ymparistouralle

Kaisa-Reeta Koskinen

Ymparistoasioiden opiskelun suosio on kasvanut vii-me vuosina. Yha useampi opiskelija hakeutuu opiskele-maan nimenomaan kestavaa kehitysta tai ympariston-suojelua. Myos matemaattisten aineiden opiskelu voiavata ovet ymparistoalalle. Lisaksi ne tarjoavat sellais-ta erikoisosaamista, jonka avulla unelmien tyopaikanloytyminen voi helpottua.

Luonnontieteiden opiskelu antaa vahvan pohjan suun-tautua ymparistoaloille. Useiden ymparistohankkeidentaustalla on hyvinkin yksityiskohtaisia teknisia stan-dardeja, joiden ymmartaminen edellyttaa kykya arvioi-da saadosten vaikutuksia pitkalle prosesseihin ja erisektoreille. Uskallan jopa vaittaa, etta ydinvoimakes-kustelun taso olisi ollut eduskunnassa korkeampi, taiainakin tieteellisesti argumentoidumpi, jos kansanedus-tajilla olisi ollut parempi luonnontieteellinen koulutus!

Ymparistoalan keskustelu on suurelta osin hyvin tek-nista ja asioiden ymmartaminen yksinkertaisesti vaatiivahvaa luonnontieteiden osaamista. Esimerkiksi haital-listen aineiden pitoisuuksien tarkkailu edellyttaa hyvaaymmarrysta aineiden mittaamisesta seka ymmarrystasiita, miten tiettyja aineita voidaan korvata. Kierratys-prosessien parantamiseen puolestaan tarvitaan kykyaymmartaa eri materiaalien ominaisuuksia, jotta voi-daan pohtia keinoja niiden tehokkaaseen hyodyntami-seen ja erotteluun prosessissa. Pelkastaan riskiarvioin-nit edellyttavat suurusluokkien arvioimista, joka yllat-taen nayttaa olevan vaikea laji maallikoille.

Luonnontieteet antavat niin kovan metodologisen kou-lutuksen, etta sen pohjalta on helppoa perehtya myosmuihin teknisiin, luonnontieteita soveltaviin aihealuei-siin. Vaikka tyossa ei ehka suoranaisesti vaadittaisi-kaan integroimista tai aaltoyhtaloiden ratkaisutaitoja,on luonnontieteellisen koulutuksen antamasta kyvystahahmottaa asioiden yhteyksia, tulkita tutkimusten tu-loksia seka suunnitella ja arvioida koeasetelmia varmas-ti hyotya alalla kuin alalla.

Luonnontieteellisella koulutuksella on hyva maine jamatemaattisista aineista valmistuneita pidetaan ylei-sesti kovina osaajina. Monen rekrytoijan suulla on to-distettu, etta luonnontieteellista osaamista on lahesmahdoton hankkia tyon ohessa. Muut tyon aspektitsen sijaan yleensa pystyy oppimaan. On siis helpom-paa palkata luonnontieteilija oppimaan EU:n toiminta-periaatetta kuin alkaa opettaa valtiotieteilijalle mate-maattista ajattelua.

Jos luonnontieteilija haluaa suuntautua ymparistoalal-le, hanen kannattaa jo opintojensa aikana valita ai-hetta tukevia kursseja ja opintokokonaisuuksia. Mit-taustekniikka, prosessien ymmartamista tukevat opin-not seka kaikki kemikaalivaikutusten arviointiin liit-tyvat opinnot ohjaavat tyollistymaan ymparistotehta-viin. Toisaalta ymparistokysymykset ovat niin laajo-ja ja kaikkialle levittaytyvia, etta lahes minka tahan-sa sivuaineen opiskelusta on hyotya. Viestintaa, ym-paristobiologiaa, kehitysmaatutkimusta, valtio-oppia –

Kirjoittaja on Oulun yliopistosta valmistunut fyysikko ja opettaja, joka on tyoskennellyt teollisuuden ymparistoasiantuntijana yli

10 vuotta. Han on ollut aina kiinnostunut seka materiaalifysiikasta etta maailman parantamisesta.

Solmu 3/2010 29

ihan kaikesta on etua tyollistymisessa. Sivuaineopin-toja kannattaakin miettia suhteessa siihen, millaisiintehtaviin haluaisi suuntautua. Jos tahtaimessa on esi-merkiksi ura lainsaadantotyossa tai EU-instituutioissa,kannattaa luonnontieteellista osaamista vahvistaa esi-merkiksi valtio-opin sivuaineella. Jos taas mieli palaaymparistoasioista tiedottamisen pariin, kannattaa har-kita viestintaaineiden opiskelua. Maailmalla on jatkuvatarve viestintaan koulutetuista luonnontieteen ammat-tilaisista, jotka pystyvat kertomaan tieteen saavutuk-sista suurelle yleisolle.

Varsinaisten opintosuoritusten lisaksi oma harrastu-neisuus ja halu ottaa asioista selvaa on myos tarkea.Ymparistotehtavissa ei tarvitse olla viherpipertaja taipuunhalaaja – toisaalta tehtavissa auttaa, jos asioihin

on aitoa kiinnostusta.

Matemaattisia aineita lukemalla voi siis suuntautuamonelle alalle. Suorinta tieta unelmien tyohon ei ehkatakaa kaikkein itsestaan selvin valinta ja joskus vaih-toehtoisia reitteja valinnut voi saada jopa etuja eri-koistumisestaan. Omaa osaamistaan kannattaa myosmainostaa tyonantajille. Matemaatikko voi tehda muu-takin kuin sijoittua matemaatikoksi. Ymparistoalantyopaikkoja siis kannattaa hakea, vaikkei ilmoitukses-sa suoraan etsittaisikaan matemaattista lahjakkuutta.Luonnontieteellisesta koulutuksesta voi olla ylpea jasen antamia taitoja rohkeasti hyodyntaa. Kuten van-ha professorini kerran totesi: ”Presidentiksi on paastypienemmillakin ansioilla kuin olemalla fyysikko tai ma-temaatikko”.

Matematiikan asemasta perusopetuksen uudessa

tuntijaossa

Hyvasta Pisa-menestyksesta huolimatta peruskoulun-sa paattavien matemaattiset tiedot ja taidot ovat var-sin vaatimattomia. Murtolukujen peruslaskutoimituk-sia ei osata, saatetaan sekoittaa yhteenlasku ja ker-tolasku keskenaan, laskutoimitusten suoritusjarjestyson tuntematon asia ja alkeellisimmatkin prosenttilas-kut ovat ylivoimaisia. Ylakoulun oppikirjoissa ei esite-ta juuri minkaan matemaattisen vaittaman perustelua,mika on johtanut katekismusmaiseen ulkolukuun. Opi-taan jaljittelemaan mekaanisia suorituksia, mitka ko-keen jalkeen unohtuvat, koska sisaltoa ei ole ymmar-retty.

Surkea tilanne on suora seuraus tunnetuista poliitti-sista paatoksista. Vuonna 1985 ylakoulun tasokurssit

poistettiin, mika antoi valittomasti aiheen opetussuun-nitelmien keventamiseen, silla kaikki eivat todellakaanopi kaikkea. Nain myos oppimaan halukkaat ja ky-kenevat oppilaat latistettiin samalle tasolle kaikkeinheikoimpien kanssa. Kaytannossa vahintaan neljasosaaikaluokasta kiellettiin oppimasta kykyjensa mukaan.Naiden paatosten seurauksena ylakoulun matematiik-ka on muuttunut lahes pelkaksi laskimen kanssa leikki-miseksi. Kaikki jatko-opinnoissa tarvittava oikea mate-matiikka on siirtynyt lukion pitkan matematiikan op-pimaaraan. Siis kaikki se matematiikka, jonka opiske-

luun esimerkiksi keskikoulun ja lukion kaynyt paasy-

kokein valikoitu osa ikaluokasta sai kayttaa 5,5 vuotta,

opiskellaan nyt kauhealla kiireella lukion pitkassa ma-

30 Solmu 3/2010

tematiikassa 2,5 vuodessa. On selvaa, etta oppiminenjaa suurelta osin pinnalliseksi. Ylioppilaskokeesta paas-taan suhteellisen arvostelun takia lapi osaamatta edesyhta tehtavaa kokonaan oikein. Korkeakoulujen opetta-jat joutuvatkin jatkuvasti ihmettelemaan uusien opis-kelijoiden heikkoja matematiikan taitoja. Ammattikor-keakoulun aloittava ei valttamatta osaa laskea yhteenkahta murtolukua ja teknilliset korkeakoulut joutuvatantamaan tukiopetusta matematiikan alkeissa. Nain eipitaisi olla sivistysvaltiossa.

Lukion pitkan matematiikan oppimaaran osaaminen jaymmartaminen on valttamaton edellytys monien alo-jen korkeakouluopiskelulle. Oppimaaraa ei voi supistaa,mutta sen opiskelu voidaan aloittaa aikaisemmin. Pe-rusopetuksen tuntijakoa nyt uudistettaessa tulee vara-ta mahdollisuus matematiikan valinnaisen syventavanoppimaaran opiskeluun peruskoulun 8. luokalta alkaen.Se sisaltaisi mm. peruslaskutoimitukset polynomeilla jayksinkertaisilla rationaalilausekkeilla seka deduktiivis-ta geometriaa, siis asioita, joita opiskeltiin keskikoulus-sa ja peruskoulussakin viela tasokurssien aikaan. Nai-den toimenpiteiden seurauksena oppilailla olisi enem-man aikaa tyostaa matematiikkaa mielessaan sen si-jaan etta nykyisin esimerkiksi koko geometrian oppi-maara opiskellaan lukiossa 5 viikossa. Jokainen ymmar-taa, mika laadullinen parannus oppimistuloksissa nainsaavutettaisiin.

Rationaalilausekkeiden kasittely edellyttaa murtoluku-jen ja niiden laskutoimitusten ymmartamista. Se onkintarkein yksittainen asiakokonaisuus, joka ratkaisee op-pilaan menestymisen lukion pitkan matematiikan opin-noissa. Siksi on outoa, etta taman avainkasitteen opet-taminen on jatetty vain vahan matematiikkaa tunte-ville luokanopettajille. Talla hetkella he vastaavat kah-desta kolmasosasta peruskoulun matematiikanopetuk-sesta. Lehtori Liisa Naverin vaitoskirjassaan esiintuo-man tutkimusmateriaalin mukaan ainoastaan alle 10% peruskoulun paattaneista lopulta ymmartaa, mistamurtoluvuissa on kysymys. Tama onneton tilanne joh-tuu paaosin siita, etta koko asia on alusta alkaen opit-

tu huonosti tai vaarin. Matematiikkaa ymmartamat-tomien opettajien kielteiset asenteet oppiainetta koh-taan heijastuvat oppimistuloksissa. Uusiin opetussuun-nitelmiin, lakiin ja asetukseen tulee kirjata, etta perus-koulussa matematiikan opetuksen hoitavat 5. luokal-ta alkaen aineenopettajat. Ainoastaan matemaattisenkoulutuksen saanut opettaja ymmartaa murtolukujen,rationaalilausekkeiden ja tiettyjen lukiossa opittavienkorkeamman matematiikan kasitteiden valisen yhtey-den, ja osaa siksi opettaa murtoluvut asian tarkeydenedellyttamalla huolellisuudella. Keskikoulun ykkos- jakakkosluokilla aineenopettajat vastasivat niiden opet-tamisesta.

Myos matematiikan oppituntien maara on nostettavakansainvaliselle tasolle. Suomen peruskoulussa mate-matiikan opiskeluun kaytetaan keskimaarin 2,6 viik-kotuntia, kun eurooppalainen keskiarvo on 4,3 viikko-tuntia. Kuvittelemmeko olevamme muita eurooppalai-sia etevampia matematiikassa?

Tallainen opetuksen uudistus vaatii paattajilta ennak-koluulotonta tosiasioiden tunnustamista. Sita helpot-taisi, jos tutkittaisiin, millaisten opetussuunnitelmienvallitessa maamme metsateollisuuden, laivanrakennus-ja muun metalliteollisuuden seka Nokian luoneet in-sinoorit matematiikkansa opiskelivat. Nokian kehityk-seen merkittavasti vaikuttanut Commodore-64-suku-polvi kasittaa viimeiset peruskoulussa kunnollista ma-tematiikan opetusta saaneet ikaluokat.

Mantassa, Espoossa, Kiimingissa ja Pirkkalassa 28.huhtikuuta 2010

Markku Halmetoja Heikki PokelaMantan lukio Tapiolan lukio

Saini Sorsa Maija-Liisa SpangarPirkkalan yhteislukio Kiimingin lukio

Marjukka Suihko Matti TuomiPirkkalan yhteislukio Pirkkalan yhteislukio