matematik 1 ders notlari

8/8/2019 Matematik 1 Ders Notlari

1/38

1

MATEMATK Takn, etin, Abdullayeva


2/38

2


KMELER VE SAYILAR

11..11 KKMMEELLEERR

11..11..11.. TTEEMMEELL TTAANNIIMMLLAARR

Kesin bir tanm yaplmamakla beraber,sezgisel olarak,kmeye iyi tanmlanm biri

birinden farkl nesneler topluluudur diyebiliriz. Kmeyi meydana getiren nesnelere

kmenin elemanlar ad verilir. rnein haftann gnleri topluluu bir kme olup

elemanlar pazar, pazartesi, sal, aramba, perembe,cuma ve cumartesidir.

Kmeler , , ,A B C ... gibi byk harfler ile, elemanlar ise , ,a b c ... gibi kk harflerle

gsterilir. Bir a nesnesi birA kmesinin eleman ise yani A kmesinin iinde ise

a A ,deilse a A ile gsterilir. BirA kmesi ayrekilde ifade edilir.

rnein 5 den kk rakamlarn kmesi;

1) Liste yntemi ile : {0,1, 2,3,4 }A =

2) Genelleme (ortak zellik) yntemi ile : { | ,5 A x x= den kk rakam}

3) Venn emas ile:

BLM 1


3/38

3


eklinde gsterilir. Burada 2 , 4A A fakat 8 A dr.

Kmeyi oluturan varlklarn saysna kmenin eleman says denir.

A kmesinin eleman says ( )s A ile gsterilir.

Eleman saylar sonlu olan kmelere sonlu kme, eleman saylar sonsuz

olan kmelere sonsuz kmelerdenir.

{ | , H x x= haftann gnleri } kmesinin eleman says ( ) 7s H = dir.

Bu kme,

H ={ Pazar,Pazartesi,Sal,aramba,Perembe,Cuma,Cumartesi }

olup sonlu bir kmedir.

Hi eleman olmayan kmeye bo kme denir. veya { } sembollerinden biriylegsterilir. rnein boyu 4 metre olan insanlarn kmesi bo kme olup eleman says0 dr.

yle ise () 0s = dr.

Tanm :A ve B iki kme olmak zere A kmesinin her elemanB kmesinin de

eleman ise A kmesine B kmesinin alt kmesidir denir ve A B ile gsterilir.

kmesi B kmesinin alt kmesi deilse A B eklinde gsterilir.

rnek :

{1,2,3,4,5}, {1,2,4}, {4,5,6} A B C = = = kmeleri iin B A dr fakat B C dir.

Alt Kme zellikleri

1) A

2) A A

3) A B ve B A ise A B=


4/38

4


4) A B ve B C ise C

5) BirA kmesinin alt kmelerinin says ( )2S A ile hesaplanr.

rnek :

{ }, ,A a b c= kmesinin alt kmeleri , ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , }A a b c a b a c b c , olup

bunlarn says ( ) 3s A = olduundan ( )2S A = 32 8= dir.

Tanm : Bir kmenin kendisi dndaki btn alt kmelerine bu kmenin zaltkmeleri denir.O halde birA kmesinin zalt kmelerinin says ( )2 1s A ilehesaplanr.

Tanm : Bir kmesinin tm alt kmelerinin kmesine kuvvet kmesi denir ve( )P A ile gsterilir.

rnein, { , }A x y= kmesinin kuvvet kmesi, ( ) { , ,{ },{ }}P A A x y= eklindedir.

1.1.2. KMELERLE YAPILAN LEMLER

Tanm :zerinde ilem yaplan ve tm kmeleri kapsayan kmeye evrensel kme

denir ve E ile gsterilir.

Tanm :E evrensel kme, A evrensel kmenin alt kmesi olmak zere E kmesininA kmesinde olmayan elemanlarnn kmesine A kmesinin tmleyeni denir ve A ile gsterilir


5/38

5


A ve B kmeleri iin ;

Birleim kmesi , { }A B x x A veya x B =

Kesiim kmesi , { ve }A B x x A x B =

kmesiA B kmesiA B

eklinde ifade edilir. Eer A B = ise A ve B kmelerine ayrk kmeler denir.

A B = ( A ile B ayrk)

rnek: E= { | 9, x x x< rakam } ve

{ | 9, A x x x= < tek saylar } ise

Tanm :ki yada daha fazla kmenin btn elemanlarndan oluan yeni kmeyebirleim kmesi,ortak elamanlarn oluturduu kmeye de kesiim kmesi denir.


6/38

6


Tanm :A ve B iki kme olsun. kmesinde olan fakat B kmesinde olmayan

elemanlarn kmesine A fark B kmesi denir ve \A B = { x | x A ve x B }eklinde ifade edilir.

\ BA Kmesi

rnek :

A ={1,2,3,4}

B ={3,4,5,6} kmeleri iin ;

{1, 2,3, 4,5,6}A B =

{3, 4}A B =

{ }\ 1, 2A B =

{ }\ 5,6B A = dr.

1.1.3. KMELER LE LGL TEMEL ZELLKLER

1)A B B A = (Deime zellii)

B A A B =

2) ( ) ( )A B C A B C = (Birleme zellii)

( ) ( )A B C A B C =

3) ( ) ( ) ( )A B C A B A C = (Dalma zellii)

( ) ( ) ( )A B C A B A C =

\A B \B AA B


7/38

7


4) A A A =

(Tekkuvvet zellii) A A A =

5)A A =

A =

6) A E E =

A E A =

7) ( )A B A B = (De Morgon Kurallar)

( )A B A B =

8) ( ) ( ) ( ) ( )s A B s A s B s A B = +

9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s A B C s A s B s C s A B s A C s B C s A B C = + + +

1.2. SAYILAR

1.2.1. SAYI KMELER

={0,1,2,3,...} kmesinin her bir elemanna birdoal say denir.

={-3,-2,-1,0,1,2,3,...} kmesinin her bir elemanna birtamsay denir. Bunlardan

+ ={1,2,3,...} kmesinin her bir elemanna pozitif tamsay,

={...,-3,-2,-1} kmesinin her bir elemanna negatif tamsay denir.

Sfr says bir tamsay olup ne pozitif ne de negatiftir. Yani iareti yoktur.

| , , 0a

a b bb

=

kmesinin her bir elemanna birrasyonel say denir.

5

2,

1

4 ,5,3,0,... birer rasyonel saydr.

= | , , , 0a

x x a b bb

kmesinin her bir elemanna birirrasyonel saydenir.

,....,e,10,3,2 33 saylar birer irrasyonel saydr.


8/38


9/38

9


6) a dr.

rnek :

0, 0 x y x y< > ve 0 x y z > ise , ,y z nin iaretleri nedir?

zm :

0x y < ise,herx iin 0x > olduundan 0y < ise 0y < dr.

0x y>

ise 0y dr.

Tanm : ,a b ve b 0 olmak zerea

bifadesine rasyonel (kesirli) ifade denir.

a

b

kesrinde a ya kesrin pay , b ye de kesrin paydas denir.a

b

kesrinin pay ve paydas

sfrdan farkl bir say ile arplr yada blnrse kesrin deeri deimez.

1.2.3. RASYONEL SAYILARDA DRT LEM

1)a c a d b c

b d b d

=

mm

2)db

ca

d

c

b

a

=

3)c

d

b

a

d

c

b

a=


10/38

10


ARTMETKSEL LEMLERDE LEM NCEL

1) leme,parantezler ve kesir izgileri yn verir.

2) Varsa sl ilemler yaplr.

3) arpma ve Blme (nce olan)

4) Toplama ve karma

rnek : Aadaki ilemleri yapnz.

1) ?5

4

5

7

5

2=+

zm : 15

5

5

49

5

472

5

4

5

7

5

2==

=

+=+

2)2 1 1

2 : ?3 2 4

+ =

zm :2 2 1 1 6 2 2 1 8 1 8 4 32

: : :1 3 2 4 3 3 4 4 3 4 3 1 3

(3) (1) (2) (1)

+ = + = = =

3) ?3

2

2

3

12

5:

6

1

6

5

5

13 =

zm :(5) (3) (5)

16 5 1 12 3 2 8 3 2 40 9 10 7

5 6 6 5 2 3 3 5 3 15 5

= = =

4)1 3 1

2 6 1 : ?2 2 2

+ =

zm:

(6) (2) (3)

1 2 1 1 1 1 6 2 3 52 6 1 2 6 2 6 2 6 2 5 3

2 3 2 1 3 2 6 6

+ + = + = = = =


11/38

11


5) ?

2

11

1

4

32

17

=

+

+

zm :

17 17

2 23 1 3 2

34 4 3

2

= =+ +

1717 122 6

9 8 2 17

12

= =+

Tanm :Paydas 10nun pozitif tam kuvveti olan kesirlere ondalkl say denir.

2 3

1 413 430,1; 4,13; 0,043

10 10 10= = = saylar birer ondalkl saydr.

Eer bir kesir ondalkl yazldnda ondalkl ksmdaki saylar belli bir

rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayya devirli ondalkl say denir.

7 22032,333.... 2,3; 2,2252525.... 2,225

3 990= = = = Saylar birer devirli ondalkl saydr.

Her devirli ondalkl say rasyonel olarak yazlabilir.

rnek : 152,0 devirli ondalkl sayy rasyonel ekilde yazalm

zm: ....2151515,0152,0==

x olsun

Yukardaki eitliin her iki tarafn nce 1000 sonra 10 ile arpp taraf tarafa karalm.

1000x = 215,151515...

- 10 = 2,151515...

213 71990 213

990 330x x= = = olur.


12/38

12


1.3. SL FADELER

Tanm : a ve n + olmak zere n tane a nn arpm olan na ifadesine sl

ifade denir. na ifadesinde a ya taban , n ye de s (kuvvet) denir.

tane

...n

n a

a a a a a= 1 4 2 4 3 dir.

rnek :

25 5 5 25= =

4 4 4 4 64= =

4( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81 = =

5

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 32 = =

3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 8

= =

1.3.1. SL FADELERN ZELLKLER

1) na n a nk ...n a a a a a = + + + +

4

3 4 3

2) a 0 olmak zere 0 1a =

3) 00 belirsiz.

4) 1 = 1n dir.

5) ( )m n m na a = dir.

( ) ( ) ( )33 2 32 4 8 2416 2 2 2 = = =


13/38

13


6) a ve b sfrdan farkl olmak zere ;

a)n n

a b

b a

=

b)n

n

aa

1= dir.

7) n ma a= n m= dir.( 0, 1, -1a a a )

8) n na b= , tek ise

, ift ise

a b n

a b n

=

= m

9) 1na =

1,

0, 0

1 ve

a n

n a

a n

=

= =

ift ise

rnek :1 12 5

?5 2

+ =

zm :

(5)

5

13

10

26

10

125

10

1

2

5

2

5

1

2

5==

+=+=+

10)

a) 0 0nx x> >

b) 0x < n

0, tek

0, ift

nx n

x n

rnek :0 3 2

1 4 3

4 ( 2) 2?

2 ( 1) ( 1) +

=+ +


14/38

14


zm:

0 3 2

1 4 3

4 ( 2) 2 1 8 4 1122

1 12 ( 1) ( 1)1 1

2 2

+ = = =

+ + +

UYARI: n ift, a + olmak zere ( )n na a dir.

42 = (2 2 2 2) 16 =

4( 2) =( 2) ( 2) ( 2) ( 2)=16

11) Toplama ve karma:

Tabanlar ve sleri ayn olan sl ifadeler toplanp karlabilir.

( )n n n na x b x c x x a b c + = +

rnek:

2 2 2 2 2 22 3 3 3 4 3 3 (2 3 4) 1 3 3 9 + = + = = =

12) arpma:

a) Tabanlar eit olan sl ifadeler arplrken ;sler toplanr,ortak taban aynen

yazlr. 0a olmak zere ;

m n m na a a + =

b) sleri eit olan sl ifadeler arplrken;tabanlar arplr,ortak s aynen yazlr.

0 0a ve b olmak zere ;

( )m m ma b a b =

rnek :

5 3 ?3 5

x y x yx y

y x

=


15/38

15


zm:sler ayn olduu iin

5 3

1 13 5

x yx y

x y

y x

= =

rnek: 9 4 -2( ) ( ) ( )a a a ileminin sonucu nedir?

zm:

9 9( )a a =

4 4( )a a =

2 2( )a a = olduu iin

9 4 -2 11( ) ( ) ( )a a a a =

13) Blme:

a) Tabanlar eit olan stl ifadeler blnrken, stler kartlr,ortak taban aynenyazlr.

0a olmak zere

mm n m n

n

aa a a

a

= =

b)sleri eit olan sl ifadeler blnrken; tabanlar blnr, ortak st aynen

yazlr. 0b olmak zere

mm

m

a a

b b

=

rnek : 3a+4 a-52 =4 ise a katr?

zm: 3a+4 2 a-52 = (2 )

3a+4 2a-102 =2 3 4 2 10a a + =

3 2 10 4a a =

14a =


16/38

16


rnek : -2 -3(0,2) 5 125n = ise n hangi saydr ?

zm:

2 3(0, 2) 5 125n =

-2

-3 31 5 55

n =

( )2

1 3 35 5 5n =

2 3 35 5 5n =

2 ( 3) 35 5n+ =

( )2 3 3n+ =

1 3n = 4n = bulunur.

rnek : 3 3(2 1) ( 7)x x = + ise x katr ?

zm: 3 tek say olduundan 2 1 7x x = + 8x = olur.

rnek : 4 4( 5) (2 7)x x+ = + olduuna gre x in alabilecei deerler toplam katr?

zm: 4 ift say olduundan ;

a) 5 2 7x x+ = + 1 2x =

b) 5 (2 7)x x+ = + 2 4x =

1 2 ( 2) ( 4) 6x x+ = + = bulunur.

rnek : 1)2( 822

= xx ifadesini salayan deerlerinin toplam katr?

zm:

2

2

2 8

2

2 8 0 ve 2 0...................1)

( 2) 1 2 1 ....................................2)2 1 ve 2 8 ift...............3)

x

x x

x xx x

=

= = =


17/38

17


1) durum: 22 8 0x = ve 2 0x ise 22 8x = 2 4x = 2x = veya 2x =

2 0x ise 2x olacandan 1 2x =

2) durum: 2 1x = 2 3x =

3) durum: 2 1x = ve22 8x ift ise

1= ve 22 8x ifttir. Buradan 3 1x =

1 2 32 3 1 2 x x x+ + = + + =

1.4. KKL FADELER

Tanm : n ,1 den byk bir doal say olmak zere, n a= ifadesini salayan

saysna a nn n.dereceden kk denir ve n ax = eklinde gsterilir.

aa=2

; karekk a ,

3

a ; kp kk a4

a ; drdnc dereceden kk a eklindeokunur.

UYARI: n ift say ve a


18/38

18


rnek : 23 536 27 (-4) -32 ?+ + + =

zm:3 5

3 53 52 3 2 56 3 (-4) (-2) 6 3 4 (-2)+ + + = + + +6 3 4-2 11= + + = bulunur.

1.4.1. KKL FADELERN ZELLKLER

1) 0t> olmak zeren nnt a t a =

2) n tek doal say ve t iin n nnt a t a = dr.

rnek:

25 2 5 2 50= =

3 33 43 33 3 3 3 3 81= = =

298 7 2 7 2= =

5 5 55 64 2 2 2 2= =

3)Kklerinin dereceleri ve ileri ayn olan ifadeler toplanr veya karlr.

( )

n n n n

a x b x c x a b c x+ = +

rnek : 8 2 18 200 + ileminin sonucu katr ?

zm: 4 2 2 9 2 100 2 + 2 2 2 3 2 10 2 6 2= + =

4) a) Kk dereceleri ayn olan kkl ifadelerde

) n n n y x y =

)n

n

n

x

yy=


19/38

19


b) Kk dereceleri eit olmayan kkl ifadelerde ise kk derecelerinin en kk ortak

katlar alnp kk dereceleri eitlenir ve ilemler yaplr.

rnek :

1) 3 6 50 3 6 50 900 30 = = =

2)3 32 2 3 33 3 312 18 12 18 2 3 3 2 2 3 2 3 6 = = = = =

3)150 150

25 566 = = =

4) 3 2 62 3 631 2 1 3 23 6 65 2 5 2 5 2 125.4 500 = = = =

(Burada 2 ile 3 n en kk ortak kat 6 dr)

5) 0, 0b c zere

a)a a b a b

bb b b= =

b)( )a b ca

b cb c=

m

rnek :( )10

9 9 3 3 100,9

10 1010 10= = = =

rnek :( 5 2)

1 5 2 5 2 5 2

5 25 4 15 2 ( 5 2) ( 5 2)+

+ + += = = = +

+

1.5. ORAN VE ORANTI

Tanm : a ve b reel saylarndan en az biri sfrdan farkl olmak zerea

bye a nn

b ye orandenir.


20/38

20


Oranlanan okluklarn birimleri ayn olup orann birimi yoktur.

2cm nin 5cm ye oran5

2

5

2=

cm

cmdir.

2cm nin 5kga oran sz konusu deildir.

rnek : Bir snftaki rencilerin %30 u ngilizce dierleri ise Almanca bilmektedir.

ngilizce bilenlerin saysnn Almanca bilenlerin saysna oran katr?

zm :ngilizce bilenlerin says %30 ise, Almanca bilenlerin says %70 olur. O

halde ngilizce bilenlerin saysnn Almanca bilenlerin saysna oran30 3

70 7= dir.

Tanm :a c

veb d

gibi iki orann eitliini ifade eden nermeye, yania c

b d=

eitliine orantdenir.

1.5.1. ORANTININ ZELLKLER

a cise

b d=

1) ad bc=

2)a b

c d=

3)d c

b a=

4)b d

a c=

5)2 2

2

2 2ve 0

a c a ck k ise k

b d b d= = = =

6) ve 0, 0 ise dr.a c ma nc

k m n k b d mb nd

+= = =

+


21/38

21


rnek :5

3

a b

b

+= olduuna gre,

a b

a

nn deeri katr?

zm3

5

3

5=+=

+

b

b

b

a

b

ba

13

5

3

51 ==+

b

a

b

a

2

3

3

2==

a

b

b

a

Buna gre2

1

2

31 ===

a

b

a

a

a

badir.

rnek :235

cba== ve 2 20a b c + = olduuna gre a katr?

zm : kcba

===235

olsun.

Buna gre 5 , 3 , 2a k b k c k = = = olur. 2 20a b c + = eitliinde,

,a b cve nin k cinsinden deeri yazlrsa;

5 2 3 2 20k k k + = 20k= 5 5 20 100a k= = = olur.

Tanm : 1 2 3, , , ... , n x x x x olmak zere n tane saynn ;

Aritmetik ortalamas

1 2 nx x

n

+ ++

Geometrik ortalamas 1 2n nx x dr.

rnek : 16 kz, 34 erkek rencinin katld bir snavda kz rencilerin puanlarnn

ortalamas 50 , erkek rencilerin puanlarnn ortalamas 40 olduuna gre,tm

rencilerin puanlarnn ortalamas katr?


22/38

22


zm : 16 kzn puan ortalamas 50 ise puanlarn toplam 5016 = 800

34 erkein puan ortalamas 40 ise puanlarn toplam 4034 = 1360

Tm rencilerin puan ortalamas, puanlarnn toplamnn renci saysnn

blmne eit olduundan :

Tm rencilerin puanlarnn ortalamas800 1360 2160

43,216 34 50

+= =

+bulunur.

rnek : a ile b nin aritmetik ortalamas 5 dir. a ile geometrik ortalamas 32 ,

b ile geometrik ortalamas 34 olan say katr?

zm : istenen say x olsun. Verilenlere gre ;

5 , 2 3 , 4 3 dir.2

a ba x b x

+= = =

10 , 12 , 48a b ax bx+ = = = olduundan,

60ax bx+ =

( ) 60x a b+ =

10 60x =

6x = dr.

Tanm : ki okluktan biri artarken(azalrken), dieri de ayn oranda artar(azalr) ise

bu iki okluk doru orantldryada orantldrdenir.

k bir sabit ve ile y aralarnda orantl ise y kx= e doru orant bants denir. Bu

bantnn grafii ;

y=kxy

x1 2 3

k

2k

3k

(k > 0 iin)


23/38

23


, ,x y z saylar srasyla , ,a b c saylar ile orantl ve x y z

ka b c

= = = orant sabiti

bants vardr.

rnek : 50 km. lik yol 1 saat te gidilirse 400 km. lik yol ka saatte gidilir?

zm :

artar 50 km. yol 1 saatte gidilirse artar400 km. yol saatte gidilir.

Doru orant 1400 = 50 x = 8 saat

rnek : Un, ya ve eker arlk bakmndan srasyla 8 : 2 : 3 saylar ile orantl

olarak kartrlarak 39 klik bir hamur yaplyor. Bu hamurda ka kg ya

kullanlmtr?

zm : , 398 2 3

u y k u y = = = + + =

8 8 2 3 39 3

2

3

u k k k k k

y k

k

= + + = =

=

=

Buradan ya 2 2 3 6y k= = = kg bulunur.


24/38

24


Tanm : ki okluktan biri artarken(azalrken) dieri ayn oranda azalyor(artyor)

ise bu iki okluk ters orantldrdenir. k sabit ve ile y aralarnda ters orantl ise

x

ky = bantsna ters orant bants denir. Bu bantnn grafii ;

y

x

y=k

x

k

2

1

k

2

1 k

(k>0 iin)

, , x y z saylar srasyla , ,a b c saylar ile ters orantl ve k orant sabiti olmak zere

ax by cz k = = = dr.

rnek : Kapasiteleri eit olan 11 ii bir ii 24 gnde yapabiliyor. Buna gre ayn ii

6 ii ka gnde yapar?

zm :11 iinin 24 gnde yapaca ii 6 ii daha fazla gnde yapar. Yani ii

says ile iin yaplma sresi arasnda ters orant vardr.

11 ii 24 gnde yapyorazalma 6 ii gnde yapar artma

Ters Orant ; 1124 = 6x x = 44 gnde yapar.

rnek : Ali, Blent ve Cem 58 tane bilyeyi srasyla 6,8 ve 9 saylar ile ters orantl

olarak paylayorlar. Alinin payna den bilye says katr?


25/38

25


zm : Ali, Blent ve Cemil srasyla , ,a b c tane bilyesi olsun . Bu durumda

6 8 9 , ,6 8 9

k k ka b c k a b c= = = = = =

58 1446 8 9

k k kk+ + = =

Buradan Aliye den bilye says ;144

246 6

ka = = = dir.

Tanm : k bileik orant sabiti olmak zere, y ; x ile doru ve z ile ters orantl isek x

yz

= ifadesine bileik orant bants denir.

rnek : ,6x ile ters orantl ve ,8y ile doru orantldr. 98x y+ = ise y x katr?

zm : 6 , 88 6

y kk x y k = = = =

98x y+ = ise 9886

=+ kk

49 588k= 12k=

26

12==x ve 8 12 96y = = 94y x = olur.

rnek : 12 ii 8m2 haly 24 gnde dokuyor. Buna gre, 9 ii 3m2 haly ka gnde

dokur?

zm : 12 ii 8m2 haly 24 gnde yaparsa

(-) (-) (+) (-)

9 ii 3m2 haly x gnde yapar

Ters Orant-Doru Orant

9 8 3 12 24x = 12x = gnde yapar.


26/38


27/38

27


zm: Bu toplamn reel say belirtmesi iin terimlerin nn de ayr ayr reel say

belirtmesi gerekir. Buna gre

2x reel ise 2 0x => 2x ......................1)

4 5 x reel ise 5 0x => 5 x => 5x ......2)

3 8x reel ise x ....................................3)

(1),(2) ve (3) den 2 x 5 veya [ ]2,5x olur.

1.7. MUTLAK DEER

Tanm : Say dorusu zerindeki birx saysnn sfra olan uzaklna bu saynn

mutlak deeri denir. Ve |x | ile gsterilir.

+ x ; > 0|x |= 0 ; x = 0 eklinde tanmlanr.

; < 0

rnek :

| 3 | = 3

| 5 | = ( 5) = 5

| 0 | = 0

5 5=

1 3 (1 3) 3 1 = =


28/38

28


1.7.1. MUTLAK DEGERE AT ZELLKLER

1) 0a > olmak zere

a) | | a= x a= veya a=

b) | |x a< a x a < <

c) | | a> x a> veya x a<

2) | | | | | | y x y =

3) , y 0

x x

yy =

4) | | | | ,n n x x n=

5) | | | |x x =

rnek :

1) | | 4x = 4x = veya 4x =

2) | | 4x < 4 4x < <

3) | | 4x > 4x > veya 4x <

4) | 8 | | 3 | | ( 8) ( 3) | | 24 | 24 = = =

5)8 8

4 422

= = =

6) | ( 2)3 | = | 2 |3 = 23 = 8

7) | 10 | = | 10 | = 10

rnek : | 2x +1 | = 5 eitliini salayan x deerlerinin arpm katr?

zm : 2x +1 = 5 ve 2 +1 = -52x = 4 2 = -6

x 1= 2 2= -3 x 1 2 = 2(-3) = -6


29/38

29


BLM ALITIRMALARI

1) { | 45, A x x x= < pozitif ve 3n kat} kmesinin alt kmelerinin says katr?

{1, 3} , {2, 3, 4}A B= = kmeleri iin A D ve B D olacak ekilde drt

2) elemanlD kmesini bulunuz.

3) { |1 20 , E x x x= < tamsay}

{2,3,4,7}, {9,12,16,20}, {2,3,5,7,9} A B C = = = kmeleri iin aadakileri bulunuz:

a) ( ) A B C

b) ( ) A C B

c) \ ( ) A B C

d) ( )A B

4) 16 kiilik bir snfta Franszca bilenlerin kmesi F,Almanca bilenlerin kmesi A

dr. ( ) 8 , ( ) 9 , ( ) 14s F s A s A F = = = olduuna gre bu snfta sadece Almanca

bilen ka kii vardr?

5) A ve B herhangi iki kmedir. \ , , \A B A B B A kmelerinin zalt kme

saylar sras ile 15,31,0 dr. A B kmesinin eleman says katr?

6) , ,K L M ayrk olmayan kmeler olsun .Aada belirtilen blgeleri Venn

emasnda gsteriniz.

a) ( ) \ MK L b) ( \ ) ( \ )K L M L c) ( ) \ L M K d) ( ) K L M


30/38

30


7) Aada taral blgeleri kme ilemleri ile ifade ediniz

8)Aa

daki ilemlerin sonucunu bulunuz:

a)

2 2

3 1

2 3

1 1:

2 2?

( 2 )

=

b) 54 22 15 36 ? + =

c) 3 3 30,27 0,27 0, 27 ? =K

d) ?)121,0(

)24,0(:

)1,12(

)4,2(6

4

6

4

=

e) 3 3 30,162 2 0,048 0,384 ? + =

f) 1 4 5 ?7 3 7 2 7 1

+ =

9) Aadaki ilemlerin sonucunu bulunuz:

a)2 1

0,15 210 10 10 ?

=

b)1 5 1

3 3 94 2 8 ?

=

c) 0,4 53 9 3 ? =

d)1 1

33 38 16 4 ? =


31/38

31


e) 1,3 0,7 1,42 2 2 ? =

f)4 1 3

3 12 47 7 7 ?

=

g) 0,7 0,44 2 ? =

h) 0,3 1,425 5 ? =

i)1

32 64 ?

=

j) 1,54 9 3 ? =

k) 364 27

?125

=

10)Aadaki problemleri znz:

a)20 Kz ve 8 Erkek rencinin bulunduu bir snfta matematik snav sonucu

kz rencilerin ortalamas 6,8 ve erkek rencilerin ortalamas 7,5 ise snf

ortalamas katr?

b)12 ii gnde 6 ar saat alarak bir ii 15 gnde bitiriyorlar. Ayn ii 9 ii

gnde 8er saat alarak ka gnde bitirir?

c) , ,y z maddelerini, srasyla 0,2 ; 0,8 ve 0,6 saylar ile orantl olacak ekilde

kartrarak 112 kg.lk bir karm yaplyor. Bu karmda z maddesi kagramdr?

d) 465 milyon karde arasnda 2 ile doru 3 ve 4 saylaryla ters orantl olarak

paylatrlrsa en az olan ka lira alr?

e) Bir iyerinde alan ii says 6 katna, gnlk alma sresi 2 katna ve i

miktar 18 katna karlrsa ii tamamlama sresi ka katna kar?


32/38

32


11)Aadakileri hesaplaynz:

a) 2 33( 5 2,5) (1,5 5) 1 ? =

b)(5 3 50) (5 24)

?75 5 2

+ =

c)2

( 225 3 121) : 0,09 0,78 100 ?3

+ + =

d) 1 324 0,166 : 25 ?4 2 0,2

+ =

12)Aadaki bantlardan i hesaplaynz:

a)2 6

2,5

x =

b)3 6,5

2 1,5

x

x

=

c)4,8

5 1,2

x

x=

+

d)4 5

1,2 3

x

x

=

+


33/38

33


BLM TEST

1) Aadaki ifadelerden hangisi bir kmeyi tam olarak belirlemez?

A) { | x birer doal say

B) {Sal, Cuma, Pazar}

C) 1 2 3 4 6 7, , , , ,2 3 4 5 7 8

D) { |x Trkiyenin u andaki bir il merkezi}

E) { |x uzun boylu bir insan}

2)" "KARAR kelimesindeki harflerin kmesi aadakilerden hangisidir?

A) { }, ,K A R B) { }, , ,A A R R

C) { },K R D) { }, , , ,A A K R R

E) { }, ,A A K

3) { | " " A x x ARKADA= szcndeki harflerden biri} kmesi veriliyor.Bu kmenineleman says ( )s A nedir?

A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7

4) Aadaki kmelerden hangisi {1,3, 5, 7, 9} kmesinin bir alt kmesi deildir?

A) {1, 5} B) {3, 9}

C) {0, 1, 3, 5} D) {1, 3, 5, 7} E)


34/38

34


5) Aadaki kmelerden hangisi { , , , , }S I N A V kmesinin bir alt kmesi deildir?

A) B) { , , }V I A

C) { , , }S A V D) { , , , }A N V R

E) { , , , ,}S I N A

6) { 2, 0, 2} kmesi aadakilerden hangisinin altkmesi deildir?

A) { 2, 1, 0, 1, 2}

B) { 3, 2, 0, 2}

C) {0, 1, 2, 3}

D) { 4, -2, 0, 2}

E) { 2, 0, 2}

7) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} ve {2,4,6,8}A B= = olduuna gre aadakilerden hangisiyanltr?

A) A B B =

B) A B A =

C) {1, 3, 5, 7, 9}A B =

D) B A =

E) ( ) ( ) {1, 4, 8}A B A B =


35/38

35


8) {0, 1, 2, 3}, {0, 3} ve {0, 2, 4} A B C = = = olduuna gre aadakilerden hangisi

yanltr?

A) {0, 1, 2, 3}A B =

B) {0, 2}A C =

C) {4}C A =

D) ( ) {0, 1} A B C =

E) ( ) {1, 3} A B C =

9) {5, 10, 15}, { , , }, {1, 2, 3, 4, 5} K L r s t M = = = olduuna gre, aadakilerdenhangisi yanltr?

A) {5}K M =

B) {10, 15}K L =

C) K L M =

D) K L K =

E) K

10) {3, 5, 7}, {2, 4, 6, 8}M K= = olduuna gre, aadakilerden hangisidorudur?

A) M K

B) K

C) M K =

D) {2, 4, 6, 8}K M =

E) {2, 3, 4, 5, 6}M K =


36/38

36


11) {1, 2, 3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7} {6, 7, 8} A B ve C = = =

olduuna gre aadakilerden hangisi dorudur?

A) {4, 5, 6}B = B) {4, 5}B A =

C) {6}A C = D) B C =

E) {4}B C=

12) A B C olduuna gre aadakilerden hangisi yanltr?

) )

) )

)

A A B B A C

C A B A D B C C

E A B C

= =

=

13) Aa

dakilerden hangisi bir rasyonel say

d

r?

2 2A) B) 3 C) 2 D) E)

3 3

14)Aadaki saylardan hangisi rasyonel say deildir?

3A) 25 B) 7 C) 2 D) 0 E)

4

15) [ ]0,3 aadaki kmelerden hangisi ile ifade edilir?

) { , 3 0}

) { 3, 0}

) { 3, 2, 1, 0}

) { , 3 0}

) { , 0 5}

A x x x

B

C

D x x x

E x x x

<

matematik 1 ders notlari

Documents