Matematik 223. (Kurver og flader irummet)Almen beskrivelse: 'Der tilstrrebes fortrolighedmeclgenerelle begreberogegenskaber vedrerende kurver og flader i rummetrsamt medfladers indregeometri. Kurset leegger veegt pa: det anskueligt geometriske, uden at giveafkald pa.matematisk korrekthed. DeI bygges iseer padifferentialregning for,funktioner af en eller to variable.' "Leeren om fladers indre geometri gay inspiration til" og er stadig naturligindgang til teorierrfor krumme rum {differentiablemangfoldigheder, Rie-mann geometri). 'Indhold: Tangent, krumning, oskulationsplan og torsion for ,en kurve irummet. Frenets formler. Parameterfremstilling for enflade .i rummet.Tangentplan. Kurver pa en flade. Hovedkrumninger. Gauss', krumningsmal,Bejning, En flades indre geometri. Theorerna.egregium, Geodietiskekurver,geodeetisk parallelforskydning og geodeetisk krumning.Skema: 2 timer foreleesning og 1 1/2 time evelser om ugen i forarssernestret.Eksamen: En skriftlig 2 timers prove uden hjselpemidler. Eksamen holdes kunom sommeren.

J'u'pI'Iehende nt>feh' oj 7tIJ~ Gu.tma.nn ma.~cn

.G. "",a.vt

1979

e. ~/f.l' t91j

1/()~e"AaU'n~ 2I""l1~J,-te..t

mede.n'1a,tt'sR 9n"n-tut

· (

Ga.u.s,s , hau.",.,,,,,,~n'C:' lMe.tI

·Cn/Ia.de.s ,:rzelA.e Je.f>""'~' b4ed'

nye bf.t~,l'!dst.ll. Clva.i.st~1 ~,"6t>l4li" ,1'.42

71nelA~ jet>wte.~· t" 1" 45

11naAf Je.t>"'e.~' e. ,P. -'1.6

7);U-1e~4 e.J4 eJ ''u"", ,P.49

'3evtt!je.tser el'1f1ru:6, ,P' ..II. f"I

J~tJ'"Jet>-dadt:rk 6U1VJf!jfl.tsfl~enj14.et., ,P. 4; fj

G~odtJdc'de gw..veAre....lla.~, ,P../t.f6

G~txlod,:S.l!e k~tJV&.S h'U",t,meJ,tYt.s..e4.6" ,P'-'/.I!

Gu;doe:fi.~k,PtMJ dr -IR1"1'V"nj1,P' 4(,2(

Geo-dqe;f,:Sk haf.lWtl'tI", ~.q.2t

¢v-e.I.seJIJ/tUf,

CK.,s A.h'fenJ '1'7A.e.o~

;7't>1"..,e./.s4.~ 'r.

Ck.s4".,en~e".tu.wr 1979

~~~ O-Lt?(un1"..,d. O,on Rwu",eJe.re.J,d;

~Wlwten~

C>.., jleule./Jeyte.Jd

Af6,'/dJ'l'-" i II~eleA

~",.,wrc"t4Jl .

/p,,(J,1Ja

iM.&eJ-

'.d~eq

~&U

at ~ '().qb

o.~ .. o.8f. f ~ 1.5

2.( -8.1

3, f

3,2 -- ~'.It

L;. l' - ~.a'I

lIo'6t ,,),AvI'tJ 2In.t·Ve!to.ll,'fet

ma-,te"",AZt'.sk 9~stl·t"t

n1a..teWlfhit-; 2.2.1. ~~M bf/IAdeA t' ,,'utwtn-tet.

Ck,u:t.m~~en.sum lJt>'Wlme;; (979.

I. k~t·te~ 19 (-~ , 14-11.

He/l4j ~"kuA.stM./sR: /'. "/8 «. f9'/l 1 .z:J~-241 J 235_.2lfO~ 776_77'~

lJAm.t ek.se.wr1fAnt ~ ~ ~ I~ f-S -'I~ 5~ 55.

~" jiYI.6t.j:..s: eklS~'ple.-1ne (~/~ 45;4~ 4~ 50.

3. kD.,Pite..~ f f .10-36 '1 ..I;()-./;3.

IIVt'Y ku." kuASfJJttJR: ,f/. 19()~- f90~ f95,.,-196~ 2295 -.2jO/~

.tjlf_.2jt I9 2$1, -239 '2~ 7 )

~tA.nd e/(lIenr'e.-1l'ft ~ ~ ~ s, I~ 2~ 2~ .£9.~"fM6~~.s: ,P. 19()s-19-9~ .2j7,0-2:17, J

ISAJrd e/(.se-;olfA1'?f I~ 2~ 2~ 27.

J'u"p'p/~e.J't~ ;t~~ at h1t Gut""4"11'V 17ltvLse"l 2. U~4v-eJ 1979:

~e~ ~ ~ e J OJ 4.

f/eAe( ku.#'f kuA,stnt',sR.. p. -'I.136 - .4(I~ ,

~o~e,., ~ 1Ik4("ej , VtMM 2 t,,'''''eIl. 2~ ..dtlle..s 4,., etieAjl~' S'M!,1e ';PjQd'eh,

e1lM du ..sn't'&.s ".Jtt'/e~rve4)", ~t}en d~ t);",ske.sjJ~t .he.dA.r ~ere6Vt, .stJd·

h;~~ ,/e4c.1l 6e.tk~f!/l ent4"r ,Pvr..sM.WI. Ct.Je,.,tue.tt Rf.t.M de.t~ We. 0"" en

"/4n.et~ e{~ neet1~ ~e."'~s~. 1-j'ee.y,e.h'!;dleJI Ra.#'f c:.th me~7uJ

me"rn-re.!.sevn/'''y&nr- n~te-\nl ~'I &/,'ve ..4~e.t ttl 'Y'jet~e.JfJe.ttet.

Ja.""Ah It} 79.1 ~e Gt.Co-tI7TQ#'f'" mAe:l.se""

ivte.v af

~t.<h'?md_

M triol lkke "rMe t:tj~tLtVLE' de;t 4Uh?/ (.)('0A..6/~m~ hie"

!>It>t "'a!~neI at d~ eA en W7ervyeie E ==~ 11'"~ ,en hta2~a't ..

V=~ atud~, n1Me,P"-ce.c,jt d ~fYVI.uwt v= ~ t>-UVl /RajdJ'­

mvrlStt,.n S, Ct-),l.HVt.t M.t:bze.t,l"Vl ,ifQ i ~u.nktM 6e.sten'twtVi en U'ek-

t~ ~= PO, , 4Jte~ ..-. -.. ---..

(i> Y/jQII( E E.. .PQ + (21( = P/?o--+

(il) 7lM!A.~t)'D-tdt (J"tSE eA p,..(lP en 6j~td- afb~1dn/"1E~.1-<o --P

~ (,.l:) an~~a'ul ~ h"l4n fVtne OJ) ISted'ue.k~ id ~ '/ 0'.k4.~J

un,Pun.!djfYi "te~ektM~ ~ b~)l'tddsf.JI'"~t.

cndeL; ~ d~ t' /IetIJk~r~ t1j ,wrevr k'.ur~~ ztA.lf! I>h1

lJted~jf A.dw~~ k~~d/n~ rczii~~) .66S~~rl~aftl.t

f'u,,/d a , ei.sod1. ~e jJQAv-is QI~eAe.t4 e"hcdsQektDieh.1~) , 5·ct tfotistd ~pz) (I;J,f3 ka.t~ k"fJ't.cI;~..t ttY/. ~fl" ..IL =)(,i. .,.Jj ,,~~~ed),vr.,,,," -6:/ ba..stJ ~:';~!1), '')eJ(JoWf dd Ata'u k~~;,JJtJethffU'!:.""­,n itf kwu"'na.ts7t~ (0;.Lj~!)r ,Pu.,.,ktd P NleelJhd~tcM (),tJ=.It =){! +,j ,. ~!f ·

~e \J~~A""1e 4e.tiJ'ln.e~~ k~n.d/IS~~1~t4 f.' to- k&:u­

.s~, kt:ddd A~~e.k~~;.r~/.s~me-\7 VflI't.tztc.ko-Me:t;"'J,..s~wt~.

~eI te~e..:~.ike u.no/eJ,~dsell ue~~e,,~ &eQU.I'e/i 7/tAclfIA I.'

/tMlnmd E =~ ~fA<r-: d 6~/",a'dJu'punkt a1191 a.tNunnf

.lvu7' iJe.ktDieli t' rlli i 1r1~t. R"'n~e.Z't ~jAVM VtJdp ~et k~di'­

nAi.s;dtf!.h1. "w QA~""~ h7e.d~t~tA "Jteddr k~~:..ra.t~.J/~

Jelt,!f e" bee6",je~",,~I:Sk jl9l.Jt4e.tse/ 'Y de./-~ «en ~ent~f rel~td d t:t"e6tc.t~ i b~nd~e.s"pu,.,kt Jto-l.6~~ add,~'trH a(enj'~t

iJektDot -ttl~ ..sted~Meh, -,,, ()tnelA(.,,~ c4.t CJ) ~a'c.".6~4~, .14

Jl1evd de,./, Gt;f~e~t£At.S. A~dell nta-" ""eolk~~na.t~1 A.. ~t::6Le..t

~ 'fK~eI,~:rtc.wrjC"la"t""'M' k~';c~e.'" r'eA.

dirt kuA (,}e.b~e.bd.

en kfr,.,.i;"na"",t '1~;ldn,'" /": t ~ It 1d ~nk~ I E IR~rr.d t' AUhfWfd ka..tdu oys; e",.e4.-tAwt~~e~.sz$~HJ'j.tY1 sa kD-~~­eJd kuAue.

men ),~d~ en k(}-,d;~"vdku/l,t.Ie ?

--r----J

La.eI()-J b~~~e r~ k~,d~u~ i')(/Id",~ "P. '/ v i ud~­I f II? , J'i e uul (.A.eu,.,,,,,e.t. rld-l.J d~-ndeJ ~h-n:it",uvd,

. .Jtee'/thft1'nerttl-nl~ttfJ." 1; d~ a(­b,"tde..t J;;: I, .s~6Lde..s a.t

).I :: /-0(,

d4 vka..l/'" , V 4~ne.slen~4-\4".,de4­

j!tewt.ste'Lt'"=,eIl j..tYt JA".,,,,,, kD'n.z$n«~

ktJA,fJe.

----+--+-- I

~~tte7 M he-'l t~ "'", en cekH' ­

~en.Mel~~;"" " W'/tJf!JfJde.n at~:"'UM­

te 16l'1dnl"-J fIA of~nte4~ ,tXt./R end

4- At.<.""mJ. en k~,d,~/,.{~ kuA~ d J;Sn ~~;ZJklt:U,",e. m~ ,6u;)e6 a£t­

\/;' v'Je, J ~ OJ v 4~«.sen.te.Uh JQ.wtlYlt ~n6n",e.d~ k«AtN. ~k.t;,.­

one" Y ktdeLe.$ d "e.a4evrtete/Wk~.

?'tVrAW'/~e,....,.s~tt~M"le/"'" v Jeje.J atr4!wt.s~~k~lNnmedvo.'1'1h1e ef4." ~td1-e~ewr.t/6.M.etn./C!:!, ~V1 Jt>-h'f Yr~tVi at~ u-ed e.t iH-k.senelt diCIt et a.jAje",de,Pa/ta.",dflA.skfl r. -Zbr.eI.t4JeL­.teJt~ .. n~ a& k~")P"""M..tr~ cJAhU,.,e"I.a"'l. n~/eltk~­

vtevr.t, ita." '1'1a.,., na.tw\.7w :s ei!A~ .ske.ln, 1'ne.1&", -t:,.jen,.,ewtb'6.s~etn;7""

Ck.1ewr/d. /!j/n'/=,nJen/: t .... f j/~e.t u-e~

(it; =~t, t~ [~ ~[J

~~ 0-SIt ~tIAoSt?unkt , ~ '*~ flnJ4.1t b'e.~t~ /A.",.",.,.,e.~ re",oSletl~

en JrQ,lutn,.,,~ Je"I'fe.wt./d~d jta ende;>unktd 0. me..eI 01 =gt.t"

if: [~oo[" , /',e.ltt..deJ hfed 01 =.Gt~ -t~ l-~J()J, f~ \J4W1"'" kWlI/e

~nJ t' \St'dst, z$1~ d7 h1~d'h'ZtN:J6sarjen"eHr-Io'6.she.tn t'njJ h'Ze.dt!I'f.S

0'1/ =E-t~ tGJ-~ oo~ j/t.!eJI e." 7 RWl-Vt. .. ),Q,Iv-/''",,.'tt,nJe.nnewdo'ks to-

~,e.

'1je..ht~ at /'ere.~eA \SINn tA/~ J,.Pids , k,."teR ~. d k~­

eH.'pu.nkt ~ ~e..oukt::t.b~ ,rea'ku.JuJen: ht4n ",to!d~ .s;nt>k ~1Qnj:JQA4­

m~~eh'Uz$tt" !tYt k",u~en ,;eell;.uijo~,.',.cJcn 1ei,:Uc J';re.JUI (67e.n

,/J. ~ - 9H )" n:f.n de.tu .ud~ ~~etv~ hwteen i ~den..s~e.&.t­t f.WfJ-6itX;M,. del! be7~' :2/~eJeJvtE' ~/1;'el-7 n~'v Aa.lv-ta.n­jed\S~~t~ntetd tevyedfh ~e.n.skQ.611Aved kuA.t/oen be.thytd

b'ledsab~t~jt.MnewrLo'6.vte:t"u'71-:

z/i.ei en n-J-evr.-J~ d#-~cn:t,aL,dkuAuer~yr· b'7t.n'p./~o

-107) ~ ko-n.t,'nu-vd" kwt.ue/ htJIM dell IJta.xdt/aAQ.",.,d+ewr.sn·//''':!etntft:~d~ en/: t-"'I, t~I.I h1edf'''e''''~'jen.sk4bM:

ZttktMjur.MO-'lert t,.,...:!}(t) =01" zeI J hiltn (J6d~d r.stpu-nllt (.'A"mm~ M "I k/t.W.t~ ~~ dtAS. n j4'/'- el,IVtext,~,jmeelkfH'rti-

"ueAt ".fi aft-aid Nt. 67""''p· 66--6~ .£7-VtE-I: A'(t):/: o.

~ 17= I \J'J~ 1J1e>t" "':j.Vluz.-6td,d lutAue.

lied ~~dtA.s'1e.isVi ~dttAexal, I eh. thllr7c dj'elledta.6hk~ueJz ~'/""; nlVl a.ndd~ .vje..st h~ o-s ~t,Pa-tAh'feAtjte.onJ'6'1t;...cJeIl

...

dell ~l5'Ule.t I>()el'fl'fted'n:tt~ h"led n =3. .& "t'tlQ."~l;9~ ,Pa.'l4h'rd~­

lSkejt IJt~ a'4j~t,f>.l'teAnt r: J ,. I t{ kk.s.se ~~. hVC1

tI"~J· 0'(")*0

e'te.t~ AtJotJjen,.,emlo'Js.hdni~1J'7 fJ'noSkeJ "e.lHVf,~

r"~J· r'ru) >o.

mo.t-22$ 1979I

(Jr. ~'7el'f1" f~ d.s. 5. zIe~. beth.'.slSe fe.k.s· A1ndeM~n/1j()oM/?lt~~ ..

ma.tewrrdt:sk A'M~.se s, 0~tlE'A"'p t9.1{~ I'-.2'5; ds. ,go,)

14tU!~e tt.'/en lIj2!UtAwtd~ew,~t,:'tnJ~ .. t - ItI tG.l, 1m .",

"!fUtJ! dfl-l/tex.-6'a.6el kaMH 1/~ k6v,.tua()/fJex./1e0(vaL;et at"~Q,nr ..1'4nJdOjD-'l IStedtHkto-tell. Vod;c-.s d k~et~..z&/~~ (q.J:,;~g)J /ce.t

fj(/~ j(t~ ),(-/)) kf>M.d,~t.sfJe:lAt r fJ -tG~ h>h'1W1eJ1 h,fAt,}~",~ eu:l"oaJ at

t J '1), eJI '1k/~e tin"VteI: rt'(-!)~J'(t~ hJ(tJ) =I: (~o,O).

/lei {-'I. ~uei~de. na.t~j fi~Ql7'tdvt~eJr1.t~ttn:;9-'

~em~~ at bue.tovr.,e6. l'e.i' .k~e,oN·7kke e;l en ~e.I'f.skQ,.6ve.d

kdAdeJ1~ ~.s_ ilde. 'fI'~eIt ~ IUh-ike.,r1'4It~~~wt.s~·~n, d~IJe.­

7 tte.s . a;f J.J, met.! IIJ~ 1996-9,? ,P- :16'.Of. )

en,PMAhtdVt.?ewt,Jft.'Itt'ny v: -s .rl/j) .Ji:~ kdde-s n.d~tj-J

Auc:S fiefr a& .$,/J , e~ Jo<.$o JeUdt/l1 at kuA~t;kRe.tvVtWenA'e. -&'1'pOAttmdeJu~.zc.llvtdld G()J\J,l 1r44 6udfJt.7de -1, - -so' '?4A4wrde.lJ kyfhte.tLewrn~t/~et~ewt.s~-tIt~M (fYl ..J4.hf",e. KuAtH "..,uI.sAhlwte

Qe'1l'few£tf6 hM. ~hfen J. J. t/ / - ....s .= U. .,. ~t>n.&l4.n. •

~ en,P4/Utlndelt?tvn-sIt-a." /-: t - f J t~Z, h~ ~tH.-~ ~f

r-",ld/o-nUf t...,. .d-(t) =. OftJ t~1; Me(kt4.SJt 'fb ~ A~ kuAtH.,s,/kKd.Iva.-

.-tt.l"ttte -t,.1 J,iHAL''peM.4Jr1~in..te/atNJ ~J t,J f I .e,p bu.dfJtAJdt jliJdtied(tt IJi. fA fiJIdt ~.,

~d (Join 4'(t):F~. (Se /;'7"',Po .2g-.2~ J,Pec. e£s./jJ etlu ma.t tO~ 19'76-

7?,P..!!.()5"-()~ -'la()!.) ~4,..,eic,l)f~.J~·~c.n e-\ j:t;d'jl'fdtat;... h~, kUl'f ),Q':S . tlt~I.'0:'(r)/=f.

(/lelllku" Irv/.J ':. Hold' ~ jfAASt 0; "enyt ¥"tlte..s"ht~e..J~7fUf.s 1,t'J"tH.d.sd&i-

~""'J md I()~ 197'-'~ /,.1.11.09. JjA. ",en,P...t~f-..t59·> .

c,.,),tWl d1lVten.it.if..6e.l kuAde) hte.eI~tje.nneln!P~dl"t'nyJ

ha.-t en. - , I'Jn«Vl adel,-t,;,.,., i fl." R(}?'1.sta.n.t ttl'~~eu"kun en ­

'ttduA.~j"pM4:tJn~ftEtln"n'~~' .s, kaJ,ue.n n J~fl. a'fMenLAb~

a'a: tJ1,'/ II den "l'f~jc."PM4Pt~rtt",,\S,,·tt(.~ 7.Jarewr.steile den e»",

en n r"t difM en.t..'a.6, t kuAlH. is, ~7tt",Po .25-26. )

~,.,.,mUl.taA.

Ad f f 14-17 4"e.n.tdt:$l~"~': ~uwrn,,~. aku.k.t~fi/41'1. MlSi~,.,.

2?eh'C~ at deh uuId'~·'Clte~e~,P.75"/J7en 1'eAJ',.,.'o/e.n&.. Irl. ~ / e.&,~e.lAAlSt;7he~~ ;: 1''''ve.kftnrniZ;",., t,.,. A (t)/

t~1; uav-e/ r.J~m vee!udtul...LJur l'!(;'th'C1endB 14(t)J<A'(fJ/eI.t = - /.IdI:JI~

k",,,, 6f.7tk/ at .Il SIl.1ldA.s.se tl f, a.6:IA'j ~/ hfUt i/(/(e/ a.t"",tt) 'J ~'(-t)

e4 f,'ru.eJd ""i),tJe"11" (lJd ell neM.7 "~,., be.'d,.,,,~ hell", ibn I?ft) *OJ

oSe ,P' as e.t!eA "7"",P'.G'~ eh.I:J,)

z4d df',z,.t~~nel'1fJ. J~-14 i "7el'1 e( rA;?-ud~~n,~_ e, ./o,.UWlI"tI't!j_)i( u4&I.I"e.I\Sf>oht vee!ud'ad'e.isUt ef'jt¥l.we.Ie,.,

»c = 1&'x. !!::."1/Jt,1/3

keln I'I'1.fVf a'Mr be.Z;u~jte en vt.'Ikt::",L~ t".J~e dt.~ud,Ai>eLkuAeJe c'

/uunwuZ, J~odt.H.d en;>a;~.,vneteArehf"~tte-", O'f =A(tJ" tiS~ h~

A Mo(kla.sse. 'It,:!!:" a./dA'j e.\ O. ~. b'rI'1'p. es" eks. Ltl.)

~ehf~ ltd .h.e.th7"/7~ »c (Ii'~ col,'d ~eH;D~t ~1e

..s,~ d0n"~D-'" ,s1J-""rtJe'lJ£P'tJeh.~·IfH. ~~ ell &1'1 .!:Je"'IJ~4.6 &'eel~/a"'-S. dd, aj)uJ!",eJI aJ A~,../~en 1'Q;l4h'1d~reh'r,,~tt~ a't-t Je.n.7ttLr.

;1nd'jootell ""41'1 ~h1nl"ru~ kan hUl.n1~h't"leIltjtYtd.stJd

n~"'tAn'.IJUIVr.~dse,., 7 /;e),4ne:"7en 1 O\S~tt:d;,.,.,¥,a.n , le.eI­

\J7~'"'-e.k~~na.t¥t£hr/jf5 \l4te.des: ~.lJu~t= t"'j4,.,t a,~~­"4"a6,,1 ~iHl j,,"vdvedenl'~~/fte~.t~·~7 01 =A(t~ t tG l ) h~A ~ i k/a.t\tf 't~ 7 .;:1' a.ltAej ~.o, , ~, At~"~,.,,~~ >( ~

!-fJJlJRfI,Uij~ 0 .l hi/ul"e.unJd.

/In-tztdstVI .. - ~/~ef~en~~ - enlS~~de;r.~ dru/,a:t.;:1-'rl) , 4

0721) M. t'nt.eeld uajAatn.J'Jer a& tiEI." ""eo" ""eu it.'I-

redJ,Jt,.'t/e.n.de etd~~ t."dd den ~~e-t ~"",U'eA " ~e ~ ""tAl­d,j~ ,.eMQ.hF~eH'7.t~ '1ft.,.,." .2e/lwruf,Jt~~,(,/-t.'~alM a.t~~e,ltM1 'jen.J~en6~ ~eI'p4N:vndutu~ijf.

'~e~ a:t- O\fku.~,,"nJ'pI4n~ ~' d kuh.ve;>~ r,c- \1""def'n.;Ii~n \S()oM,JttJen.,Je..tn'a." e.t. e,., ~e~~a.b ~akuA~, diN. d:Ke tfA~ r: ,t,~'/4"~Ah'f~ehf,s~'l4~ del 6~tte.s.

lhd ;"""I~e.ist.,., '1 to-t.stD-n tf1'7) K4", "'41'1 n~eJr2,ten~~e­

~/t~ en~~j tJte.J4"'"/' e4ifeun.n:4,6e1 ku.hel'e ,,'~;nd~ed ,

RAct",,,,,nJ ~:/: () 4'J,,~~,PunAd. (Jf" 0oye,-r!" 9~ eh.5-<f.)

;7~t df;"elte.s /'l"/61q 00/ (' eIkuA~",.up ..sf>!",rtJen,J~VfJIVt.

rIir: :1J ..se,P. 9OJ'+ - 9t'9 I 9°7 - 94 I 91 to. 9.3~ '7 h'rAn fndehI~"d~

.p. 9.2~ /[~~,:&'''1//7/= I I III

A X'LJ: I

9 t(,/!tJdeld IT/:I: 0 Kan kUote.o'en,s jtYt-ltI'6 t»rrh.,-" P u,zdeM"e..s v(;'h'I

,P. e116 - J~,1 I.'det--1."'~c./cr-IdVi i Ottku.~cft;""'~/4ne....,,1 7 rM.s"t,.,.,en '1:

fA) "'u Jt>wr 1:17~ h~ deh t«Je.s r ede-t - ~ ~e+ JfJon-( RWiuen ISR~eJl

;e.,zrt.e", \Ji,., ~.k",k~~".oIa.,.., I.' P (,'de;r 4e.tn:~~ b~~~",1J.n.j"'ve1IedfVt~J. . /

~lIi.,.,.ze..., 'Z'" ~ ;en f/" !!jen.l.ka.J vee!kuAuUt. ~ec,e.Lt~­

A.e~ At jf>Jl,tf.j,zd ell .uil'ee7 ,Jt at!t!.nI'1C-wt/o'6,vu':/""7en,

~e~e..6 !tJJth&le-t » 9-9" ';e.st>~ JfJLt",',-rje"j>' 9.2.nedtli.st" jtJeL­a'e-t jM enAtI~ ~eJ~t. d,feAe,,!~6d Rl./htJe t' ./ut.W1W7dhrul~'I't-

""'" x':/:O t' ),tJVt,t,P"~ - 7.J1J~ 7":= o.

I<!o-mWfel'tt4h .

/ld P. 90 o-wt.Jb./vnln.J 1~'XAfI)){(J,,'JC A"').

~. tXt IrA. fX'tR~tt}e vektO'iell E-l~Jf. e' /leunme.t Q-oI'Y1/t.~ne

~)C~),l((~){~>. .Srz-t a. =Af, hVin ~ eA en

12}(f enhed.JvekloJt. &. ru« ~, '1~' P;"O'-jt.Jt.teo.,,~ne a(A OJ s ;oao e.,.,~/Q.n

d-,;.,lte.bt.t.t~;1, 1I'il:21)(Ef fJ1.JeAe

?,oytUef>."err at b)(s ~ ~ ?J":"

(lAdr~e.k~o.nmd6i'tc~e..s.et121 tVtea.C ".,ed' Cer-.s':n.eM a( to;,okn,r/"It-

ten, dv.s.a.jek',,/t/en h1'e.~n'1 no-twra-

lelvtlJ 9det ~)C§. OJ~;( c feh'1j~ a(:PI'.2, fIoullla.h'1""t ~n.IYr.j

om e (1.sttWtt.l.s~ :), hM (/of.' kjVi(~~b»)f~)tf) ~.Pf)(.f, = (~'(~)(E))~ ## [~~.fJ~,

/ftt\JtA6

jaddeJl cgJC~) ,l( (~X.f) :;: [g.!!£J a ·

t?m flade.bt:jAebd.

zJed e: 'p'QAa.m~#e.W1oSte.·~n.! ft" d d#-e/u.n.~a.bdtfltuie--r~kie jiYloJteu el't aj.bf:td'l/'nj /"" {t..t,V-)"'-; ~(/' 0/' et IJ"hf/Ul(;(, (d4AS. e,.,dbe,." oJ41Y1Wfe",lrO!.nje.,.,cIt h'ftJe'Yde) .o ~ I!(~ end ('Au.h'fn-te{ h'Feel?'(1en-

~ e.Jt!.I"1,ska.be/i: -+

vdt~/unkno-nU7 fu/v) ~ :1(~"') = OJ:,v , ),vrn 0 bd~nq, etjAJt,Punld " ./u.tWlA'7~ h4A Ro-~~n"e4& ~ahne.t& ~~de~ ~~ =~~ =S~ OJ ~ A. =/b; = ~; • a, ffJ/tYa /'ve/t.t (et,v) G.f2 ~ ~~'pM­Aei ~A (u,v), ~4 (u,(/") (,'nueA.t eufJrcenjtj'

~Q.t &t ktaA-t, o.tdede RAAt/'e/de efAa!n.JeA of~d tV.a&. (~.L) e) eotUfJ!dVAn./ejt Aetv/n,etet RfHM.et"'ed~,Jt~

" AUIrf""et, , ~ (;e,y,z);: ~(u,v~ ,(u,,,,)/ ),(u,(/)) IttJ·fYu:/"na.ttee.tt'e.:t1<Yl{v, ("',v) ~ ..0, R()oI'HWfelt bavel 1,,(.(::/'pQ; rd de Aee~1~c."'eA t.9 D-j), hM R()onl$~ue,,\cfe.l'aA~e.~,r(ede~ c'..Q, ~J'IJ"h ~ «u»,OJ a:t ".,alil,cen

. 2ft ~~t fit t'. 2tJ~.9 = J~ j; ==

4 17 ~h Ir~ h~

hilA Aevr.ye.,., .2 t' }1()eJd1'u,,,,1d" fu,v) Go.f2 .

..... ----- ....... ----- .........

mIt Irvru/ell na d c:4~e.An~e.tt.ftA~J&~? at.sRai..stea-R.s tSeje.s, a.t,',eLI del 1J~t. 1$()oh7 /;t·tled»'1CVt.Jde ved~/a.Il~e-'t-

!,ewr.ttc.tlc~ M elJ tide.

~a' t>oJ Jw,4jte tD- afJeldn'''jeA .J()-'Y7~ IJe.-sbte.ve.l;

.,po' (~V')"'"'" fell (~(/")€fl, t>q .at: (u"v;)~1lil, ((,{hu;)~fll'I / / II f

fltJ-/J aMf~de.s en b;/dlter fb,lell'f.IYrj r at .a, /'; ./2, oJ()oWf t,·ttjf.h'1ed 0$;" (Joh1ve~ct6 Y-f

: J2 ~..f2f M l'k(ew.te tt: ,Jt/'Ied'e.s eLf

/f =/"- 0 rJ

ala skai /A OJ,/it ./tf!jne.s1M "eQAa.",de.lt;Aems~lt~eh l-fYt \Jet.h?""e. d{­~t.n.tta.~'e j!a-de4~kke.

tjel'f,tltj &\ ),eA ta.t'e "'wP en r.eRIN~nVte.(a.&;",.," I'Yftenyolen r16eleln""eA i den fJtIe"ft>-t 6e.uhtw;,ne tJAt ~eW4»'IdMjteWl'lSrltt~jfA.).Ct d~f.An'a.beLtIlade..s~kKe U .JQ en J(h~",u..e/4.sJe. 7l14A .6~~

aftsaG .Icjel

at/'l "'J /"f A~en~~ I$'vnwt~ a:f'ten.~Q.Ue~.I7RRe.

. .aen /;!jd6i/-e rb'/cll't,~ r: ..Q,.-t..n Ra.I~.s d (n·/ta.c:ld;'9!)fiIlAAWfdeltd{t. .#t reA 1.eIa.s.Je ~(kerwrh1eA/ h'1ed

(alv) = ((""t/t) = (o«((.(f'~)/ (J(U'IV,») I

ltld~ atf",ld/o-ne"tnt «.. .f)t ~ II( , /:.at rl IRhiW Rernt,n"~I'Q/I,rl'­

elfe rle.de.de t' .12" ~4 oy-sac r:' eIt 0(kta.sst ~~ haA Vt'

21-f (u,v ) · 2 ( (ut1rJ, ) = 2(,{-~'I)((.('JtJ,) = (~ ~)

y". 7I?a:t It! §Ltf ~») '-fpec,.ell be.h1rvtRe-s, a.tfnlt.li(N1af",u:~OIl'ceA

(.8 0( ~ D( ) (dt-4 au ). 2( = f Z = ;f,;, ~

= .2. P .a f drJ" dt!f ~ ~1 ~

.~ Aejutoell I.' ),~e/l.tpunk! k"v;) ~.f2( ·

'lje.I'Y7~rl/rtJ' LAdo-h1ven.df P;.f2f ....; 1(2 v(.Mf en t'J'~~"v

cd ~ afbdc!n;nJ i d ~a~ ..of ; IRt ind " ~~ h~S rnJd,'o-naL",~;~

»r e.-t AejtA.leeII " hveld~""Id fut,~) G £2"

~4 ell .&t.·/ledh7t%1'tj ele.n

.12 ::: (f..f2f) eI~n'tIlade, " (-f ~ 1 kk.!St ~ f (7l1a.t 11114, *~)

& n.t,( el d'l/eAe.n..t,a.6e..lt jla.c!e..stykRe .11'vet (/oeden~4h'reieJt­

fe.wr.stt,1it"nj,ft l'1'1u:!.f2 ISIJ'Wf/,aAa.",et~o-W7A(,tole, ~ M rd tiLta.de..t'}t

{J1VtOt.W1eie/t.ske/:

11e~,s. 2d,oe.IdeA fJ'm atJtxi(J~el td /'f =,fl." o/'b'd'~ ~4­

fhAe. fd en~fVtAmdtVlfeWf.ste,~"JI~d'/eAen.(,'a-beltItAete.s~.eRe.

- t{. v~~ et,Pu.",.ef () , .sc:elt'e-t O~,(/ = A(u...v), ),~ ~tI' ;:/l("$v).

Z,{-de.te -rt:ed'e.s d(e.t"V;)::: (O«(U"~)I (1(u",v,»). zfekto~fVt,Mo."en ISv4ll~dl

til j-l, ==/"- 0 r e.\ da (e.t"tJ;) ~ .Il.(Cl«(~'J~ )1 (J(ut,tJ;»· .ae.n M ttbenbaAJ i kleu­-se ~~ ,,(fYi I,PeAt (tl,...~) e-t ve/(, f,ne/lne

dA d.h du dA dfldUt =. d; OUt + (J~ s;dA ()Jt dU dJt dtfddt = ~ aUf + du ~

/'ntfpd f.L1),fh't}"el da d~eJ k~"'na2f'ah M.),. t. t~ "~ ell de.!.~/ .r- .J, (dU~) (()eA dtl) r, /./ <:« /

KO'O'tatl'!Ql;"PA.ot.hene s; I (Ju, , (Ju, ) ou, ~ neln"J -r'J{(!h .' ae» he..fuCce.-

4e metlJ,t'K .2Y.:=:

zkel fJ'veIlaLt " detl~eyQ°e.l'tde til~dlte Q-2dene HRo-~;..,uM.te

I'ev..~~ ~ede~" ttL "kD'h.~i7111(Cv~.te;OQA.t,e.~ rted~ l'nrt tntUn':

d~s. centUtt ~ f ttL ~~ ftlA wrevI bere.6~t "1-tVt~ d,#-M~te·4~e.Lt

j!eltif.SryJdte· . . . 0

!V8. .2e.tM .sta.etj ae ~d'ec:te ojI~IS~ ~,*n, d~ t.n~ t'

!b,ew ue~~el'tc:U ~ne.~ eU()f(:I!J,,,),e.d , l'n~eA=ha~.

ct J j4J'1jt. et;{e.Ile.l'l.teQ.bedjI4de.szy.eke Ra.,., n4.t~t1lN:r 6e.­

hAndles \ff)'wt .2jA,.,e d'fehen.~4be..tt; IJIe>-t e-t elM d'4f/eAt t'itlaa'e..I;e.

~4",~e.wtSt~~e.-t .

Cn. f/a.r.U "Auw"net I>e.std;". 1/(a.t:!eu'./RReA.. d~ ~~I'~M.U' ISRetI ,ldte RrNI'11'Y1e //'Cd A~I't:t: men aL~aIho-la'f os tn~n fen e.tenkeLt114"~IS~kk~. ":lto-t rtoe,N'les \.JCI"n'I d..se""!Pe-!, at en k~/yta.~

iId<~ RAn ~/a.~.s ,sOom d fla.de.s~.k~, »re» letdr.:eM~ at to-.~en7eJMR, td n7edVM clt0'nt~;"n kan d flacle.st"ld!e l ttje..sOon"l

en Rwul-t/ h4Q~ d~belz/Ju,,~teA , .seluye.nn£d1.s,RlY!/le'nytA. zl),aAJ?ewtltj e1dt.If>1Ia.,,~ t:lienl'~ah1~te-t.reh1.tt,,~nj '*a.I f/t:Je/te en-

.jelde'tl:

K~wrwrc1"& ttw,.

.//« j~. KU4tJe"eaOflQ.de~&-.Me,.Ga.d/: ~()o) -A~ttJ ~IJ'}tS.fl~ ~ en'p,"4h1'e.¥e"""lS~t­

It;" Iv. .t".!1.Vf.!e ei~Vlen.t;c.Jdt jIAa'eu7kRC!, ??~ ~ .fJ(.S IJoh'r

e'1 ~u4lH;xljltt.t:le.styMd ~ hfenes a.Ln~enR~~t>~ran.& ~ve i.f2 reWfAl'le'/1e..J t .... (f'(t~ "tt)/ it;.z: hfed

(f(/~ ydtJ) 6..f2 r: et-lie t~~ Athn ~ '7 'II/" t' tlJh't;,-rdJ-& eA .t.n.tt'~«-

......t~. ~~,.. ·t/tsVtVl.e~eh. ''kuAuerllAl:/e.s'.1/dd /' kan nar~I;;~:S

b~~teJ lflJoM e" k~(}e i 44ot"'W1e~ ",celrewt.s"l'tttn.Jt rl- f =¢:f~."tt) =/(tf(t~fdt), t~I,

en kw..e1e t' 4""""wr.d/ ),eNJ1't.L~~ jt7tLde/i.,oa·jla.dtJ'J'It­k~ ~ ~'ht;x/ l'k/(~ ~"~J'-ttes \St>"., eo" ~~~r /kd'e..s,J:­kd", ~e tfv-e/.s~~) ~jt4nd'~" i elt-s, ~ 4'td..t/,unltk.,...,~ ~kAjc:Jt"e.t-

(eM ltJe,Ju: 71:' e,., ~u.h~~Al lAdel"t " e-t.JI'vd tH.d

fu,v) =(f(t~ ~t)1 te-1',

me.eI.&.~n"~~ tt '1/1, "t -.l If = ~f) (I):::~(tf(t~ ljdt», t~ I,

" ,l(A~

ftfLWllSrlitVt kltlAe1e,., Jf>'W1 en n jCc.""JfL a,IIUfLn.t,A6~.l kuAl.H. l'AIUl'tWld;a'tt c.+ tf, Y ~ ~"(I) "7 (if~t~ ~rt)):/: (qO) r:~ t~I.

26,.2.tJ~ GM

F;.

---..... -...O~"tIf =fi("'f~V;) ) O.qu.t,~ =.1(~..~J )

)"JtYl 0 ~ d la-,s!I'un.kt I.' /l,~h1wte.t.

en ajIJe'ldrun.; !po' If - {" /ceV1 nt.l 1I"~Me..J / (~Uoln/'rlt~)

kD'Mc:4na.t~ ") ne~'1 ~CI ilnldn/n.ye.n r:.o, -...f2,2 ~ ~ f~V1 fu,,,t.f,)

tJ"f/eA (,' (~~~), n~ ~(e rI.) =~ v.' m~dfAl'fclAe~d..,~ , ",l, ~

O=/<~6AI ~=/6(O)..-~

/lj6tleln./'nj~n Y mt>-d-sdtVt&l jun.kt/o-"1eAnt 0(:./)1 -IR ~ 13: .J2,-.1/R.. hVlM

(~J~):: (("'f'U;);> ~(u,~"tJ~fJ(Uf'tJ:,))·

7J?a." l.ttye/l.; ed ~ ~ at k/41S,U ~~ ,Iuh'.s r et a'~ d~. ),e,J-tS

0( '7 f hM k()-n,t~'n"eli.;te,Pet4-1e'd/t i'e.c:4~ 0( 'tie M~n, -./tt dfnt'..teo-nen elL "U4.de../~, deAS. ed k4Q.cH.-t tk'kE' (Jt.n~e4 v-ecl tt.·tll:l.de..{:,?e j>1:l.­

.AA.1n~1S,e{! d', 7.1 .bUM ';:>4: cd r 7 7-~ r· r1 l.tQ.h't~'~ v-i./~E' .

i kla.,JJ(. <t". .

73evoe.}e,I.se ¥ ftunkt ~ biLte1eu.nJd..

mea' iJe.te;neLJehne ~en./~ a..n,t4jt.4J a.t ~··If ....~ ~. at~t4~.st t/~

7Je.tA'1t ~ ~e~dse o/e.t~u.nR.t P) ,P~t:I'Q.oIelStykketIfJ

J t"ve.t v-ect' (u (1:) =((1J (t) 7//'(tJ) t~ItJ 1 Tf / rr J)

~~ I Vl et e',de./tval 'p4 II( , 9',,1V; ~ ttf(I) h'/ed (1}(t? W(t)) ~.of (fM&Jte t€ I. ?Jev-oeyeLlSen lSV2MM 6:/ den U'Q.""'W1e;-r.JQ..~a.j'6t.·{dn':"

t .... (ut/v,) :::(<p/t~ ~(t)) ,..,. P '" ~('~ *(/) I t~II

1IQ.lSt'j),eelen ~ d.:tf.(t) = d'01' =~ dUt + ~ dV;-I eft a/,(t at d~ dt

::: 'p~/q',(t)/~(t)9'tYt) +p~~(t~ wtt;)-p;'(t).

1J1.'tt e1ou.nMd ,{J::: ~(,£» jJ; .{ ),M 'pQAQ.,."e~ene

~.z/~} = (~(t~ ~(t») == (oc:(~(tt W(t»" jJ(ff,(t~ 111(t» ) t~ I.

~

'lde.t OR ::: A(9'~lf~ ~(t»)" t~ T,

l>euoe.JM I? lS'1 aLl ,u: hUl.a' 1ta..sttj),e.oI

(t)::: d'ON =: a~ dU2 + ~ cI~~ dt" d~ dt d~ &it

= .Jl~/rpit)~ 'I/Ii(t»~Y') +h~(~(t~ ?ti(t)~ri»)

m~t 22~ ItJ79

(rfR..1(IJ)

1ft.'(t)

(

U (/-t.:I,4e-'te.s.sM.E' »s /tYi t!a.mmen./,O!I"t.Jen me.tleht kut1Aeclt./l.. ­

n.e 1 p 7 /(=~(P) tel d te'~'p"nkt to'

.2el/-eIt e I"tt(.IA,!.

.4o..d ~ ~e t4.~en.t,plane.1'1 I." ~,6, t;:1jl(ule..stykke..t J; ) ­.se 6Oju, fJ. f79- fJO. .a~1'1 ell bute~tue.eI ';;,6, , de t(; v-e..ktfYLeA

~ =,Q~ Ul"b,) f>4 ~:::: ft~ {Qflb,}. ~/.fu~en~ IJe.teqnfA ~ t4n.r;e.d-(J~1 ' / dtJ; 1 ./ /

r;J{Qne", fl.'/, ~ l- .6t.lle.dourrlde.l I? 1 = s« 6 ) I 6e4te~ u-ed ~ IJ oqI f Q.,tJD.2 11 , :z 1 ~ /

de.. tb" ~tfJJl,VI ~~ =::1-~ (a,zAe) fJq 4A =A~(4.tAl')) ),tN>II (Q.tlb.z) = ((Q,,6,) =oUZo ~ / C7U~ ;£

««a"b,), (J{aflb,»). U (/o(.'{ hVl h'1eM taen.Re ,Pao vekt~eAnE' end'"o';,Pu.nkteJt-

I'll " 71, i ~. OveltjA"lJen eA e' O-~'Jt "lntac=te.I.6QA" eCld ~toJt.Va.nE'

td.stZLte..s '44. ~ 6 ) he..nJrr;/d'.JV·t,',J ~ b ·-, - /- IJ , '.l' ~

1Jev,:S. 'I~ ?dd vt' be./a'~ 6deJrzetseA;ze A,,~e ~'pel M dei

k./~ ed ~ , ~ fndfl4.1 s; ~{~)=af.l ~(~)=bf ~ .

;;:, (a,/),) ~ fto) +)?~ (Q,16, )~r~) =g; ·

e: ~/C'! 9't , ?Ui ~ ~tiJ~m i f~ haA vi

~ = h~./el.tlb.t) ~/(to) + A~~/6) ~'(tO)'

Ja{f-Vienna-td d~ ¥ ~ 1. ~/6f ell en ~nectJt Pftddnt"n.j ¥ 7ifend.i 772 • ma.~e·een ""eelhe",.s.yn -t,1 bQ.,seAne ft~,)~;' i. "r E:J- A~.z) A~i ~ ell .!df(a"b,).

/ ../,1'1.'.$ d'/lVie.nt,a.id d¢" at ~ e' ~/6, h4ll ./tOt"jen ~ d'~, hviJ

2r(a" "t) e.l /t~"tQ!h1 ..teye.J aj6(lcln/nJe.1'1 ~ td~e A~(,(.ltVl ~' ~,6t '

~V1. 0"'1 a'Q: -",,-./ e.nhtHA t4~9enAe,.tn/~Q ~. i' I:>. \JVQA. e en 6e~~~t tt't.1"1-/ / tJ 1 '

,en.:At.Tn/nJ e' ,f~/6.t ~ d 6~te-d h'T(~'Ie,sto-/(.sf~),o-td >0.1 ..sd 67 e."p.f!7.

.91/-(U)'In~··.4AdjfJJdJtd A , ." daVte e'n;eldi.d-e/~4h'fet~ewt,,~l~:..r-

r" 1 if>- n ja'YE! ~J!v'edta..hte j1Q.~.t~MeA .f'7 {I n? i.

zJe.d en d~~7Mji'1Ifr G

{ (,s()-h? »rJAnyt d'ffV2e./'t"lea.lJ­

Ie jta.de,stykkeA) jtYwt4.S Iln ~t'tdn/I't.j ~. I{ ...... {" 1 ISI>M e.t bje.k.rl~

'7 tJ.itiyfl -'7ledII'',., O'h1'~nd6 ~-f i'k(Q.JJt' e-.~a.vene h>lnnfeA ud'pC!: a.t r =/"- to~ 0 A ~ fll'1by'eknf/aj­

',,:Idn/rtf 0( ./2, ,P;' ..f)~ '7 ~'~e mec!lS,'n tI-,.,..,ve,..zdzi.. (-I atR/4oSJE' e:

meal a.n~e Md: d e4 d tt.ita..de.ltjt;:>&VIA.n'2e.(eAvk~.Vee! \1tude'e,t aten d~o-"f(yfi @.. Ii .... {' &an H?An deJa-

/lM Gld..sk{!e /t.Vtt:vMd~f...-n\$rll~7en »" {fYl. i Nted/"f /U0 Y:U AM do tJ4h'twte ,..eaAA"...ze:t~o-hV)~~.J2t I~ bf.jJf.jlQ..eA-

\J7/dVt/ 7 ~=/.,- A-~ ~tt,Jr:

/'t-f(!J(P)) =~-f(p) jtYI p~ Ii)deN. flu-nAt 'l iJiLled,E.un./tt hiM JtVnwzeft~~e.

---... --..mea' O~v =j2(~U') OJ O.Ru~v = A.(u"v) eft d';feAen6.o.L~t dj

~~ " {" da ale.., ~:netVte ef6/lelnJ~ oj z'~nje~/Qnen -&1 ;; /~6

I'~ t",.,e~~n~ -6.1'; ~. ~J6) de.-tre-t J'~~6) "J ,I2~(a,.6) fJ'tX!Ai

&u(~6) / 4 v (Q,.6 ) .

7);,' j,eV()f!Je.&~ ofrd'pun.l<.t P ,P; I( , b(·!le~e,(n.kte.t

I< = ¢(P) flf/ {' hM .JQ.IY1W'tejte'Yt,sit-,try(a,") = (cp(tt ?P1't»)/ t~~

, hAdt1),ed M n e ~ d ;)f1;(t) =~ ri(t) +~ 2//(t) J

),en),tJ-ldtH'. d" dA.., ~(t) =~ et'(t) +' ot/" vrt) ·

73tJj.'n,'n., !!!- ~ftld~uo/_ ..4a.djf>Jt.t.sA.t f 0; .f~ to- ;'tJ4Jtjt ~if~e..-c.zita.6hjlade-

...rzjkkell dt" dO-bb~'tnAteJll n? I,

Cn d{feD-httnf' f): ;;.-... {" I d~ eA ttJe~de.~O'> d'~.$. .h~ tt'/~

oSvaJt.e.nde kU4~J~Meh ,PaG

~ to-114~ aLf,ct heM Vd",,,,,e. 1()e7~I

k4/de.J e,r ~iJ-nl'o/- e{ I{fJao {. - '? lM.e.v4 (/-(.'/ fXja°(ltje, aZ~

A«.kke eH.)ttjt J't~e.tJM "J 6e.re.be/l ue~~e~~;Z4d'~ " b~n.17.s­tnVl:VU~. ~J~jtens eftn btJ;'Url..J ¢ .. {" ...... { ~a!~ ..tattUi'e..s en

jQ.~,jke ve"'Qenc6 O'U'e,..t£,.z,ssteh-?",e.&e h"te.t4h-? de 'it>"11tt.a'eJ~~.

en 6f;'n.':J i e.t1~Q.deJtyJtk~ 'p4o~,?lct"P e.tlfA en ole.!efe~,P/4'" I<a.Id'u ,..sa c,., U.t?/..¥eI.n/~' cnjla.de/ jtJ-'& .h~{.ien d'~ ttk.s,·..s'~ ~

4~ en udjo-ld;u;"'JI ka.t~..s ~~cle.t~. - Ck.JeH7~dl.H:S tJka./bot ',st.­

he.te Je , /d et (n,>:k .:1e.i!1e) ...S'lJRke aten k/17/4~ i/d~ Rc:vr u~/c4s

(lMev -i'9),1 - e.tjeoy~af;SR kMt ell a/cbu; lae/d'~O".

S~tn"rL.y-f. La.t(~: f ~{~ sa ~,f1O'h7MP'- ;to/en.-

de "dJ~n e4 d~ enJ6e,&clena&.:

(t ) ¢ M 1~:7-a'eOto> dtAS. sabV-',u'n.j.'

(,4) Z e/),tJeAtfiun.k.t Pfiao;:; ohM !f ;na·&!.st~~ho-lcle.tI

i ~ ta.y~e.tn,',r-J-eA.

(.1) ? e.!),t.leA.tftunld Pft.:' 1"" ~ .dtJf-e.Jten.:lt.'aLd d~ 4 ~ sai.sfJ"lrtedu~ d~. en ajsta.nds6e.f/QAt....-u::6. e(btieln.;nJ/ '.laokaL-

de: Kc-nraen.s eL/u jlytne',rJ/ ¥ tQ.7¢n.~knV1 rl1 I{ i P

,£(J tev't~/Q.~en td f l.·btl(e~u.~td !P(P).

Joe.tn,~ 4. LQ.d~: Ii ..... {" ~e iJ~..st~ ad/1-4fiaAQ.n7et~­;3e."..,.st(.i~~e-t ;J Pj-/ fr jta..t:/¢",&kRehne {", {" Hied ..Jet""n?~ ).24hQ.-

md~~h'Vl~~ ./2 eJ.ed'I-M.s~ift"

~tf ....... .Ru;tf .J (~v) € .f2J

dv.s. ¢ ="uoA-~ ~~e."'ld'e ud.s~,., ~ ~ en.J'6~&knde:

(f) ~~ I~"ae~~ &/vJ, en 6&.....u'n.j.

(.I{) ~ = $0 ;:;:: ~} G) ~ ~ ·

Hell /;e,t~neh ~ I -S J G;l : .f2..-./I( 0/- $l' ~J ~: 12-II? ko-~clen­UAn.t lP~.st~~n.ck;nen.ta..¢~M'j..t>-1fttMQ..h"te.~UJ'l.sn·lti~€hne A~/' t'.se,P. ItL; (.' iJeyen).

z4d beveje.t jtYi ..s~n.lny f R4n~ 1ee...-ekeJ.fl've:!uO'ht (.' Jee..t­'l'~J -Z) '7 IJe..JJe lStR.Xn.;n.JMre~J~ da doed en c~ke/..sldnt~"

(4) :;. (f) ~ (2) ==> (3) =9 (4) ·

/It (4) * (t) fo1eA ~h?,'ddeL.6M,t ~ ed kUh.Qe '7 .6ll!edR«Af/oe AM

...st:tmme ren't.sn:a.~ (u v) :: ~ (t) (t)) te: It t]I f / SJIC I fJ '< I

;r~ ;rtfUf M,n~~(oJtlTf.le."!M 6~e,1ce.7de 0- 1<f-'lI.·I>~e,..,)

L~ VE(f')~.,..gFrpIYIf-G(?f//~ rif.t

(t) ~ (2). lives @~evaAVl aLIt. kUMJ.e..!()Z.'JdVl, ~'I i~,id,.'Un.;e.n .n4~­

tiJ(,/-tl hQ.~e mqO/e.sro-ky'tYe.),o-Ide..t t " a.t1e tel/e~t.-'ie.th'7~ i 4t/e/f,t

,Pun)d ~v' .

(.2) => (3). ~t' ¢"hQ/l lJ(t.w1wt€ ht;le.stcR.sj~ho-ld'/ enA,,~tA7f.n.Aet­

'ltn.! ,: ~v \Jt>m d¢. .

(3) => (4).~a'd ~~I~V')I..o;(~~) OJ fi;I~d")'-fi~l~v) ve.d dff'a/&e'&le,s i

&~(u..,,~ 4~fu.,v) 7:2;1u,f/) -.A~/'1f/)~ n1edf~M (:1)1 artU:S.s~ ."..~~ .

~tkJ hM ..sevl'i""e, 10000Jete. Me.,>? t.S4°eli

~ / / -L 1/ J II. _ J 1/ . ~ I ') _ .. /.1 . ')'flu -~U) ~V' - tAU) ~rpulfill' - ~ (~UI!.!:V J

Avelkd eli 42nJbe~~~ /P'ted (4)" -j~''p_/~5,·1>OY(n.

K~t>llaA. en 6qJ~t'n., M tnxi:d~ 0/- aAea~~2et RAn ve-s l' (3) 7 ~).

s; k~t teA(v.tI:i/'~ e{d1fe~~()4}' / b~n/~ fndu "/36 ,:b7en . H'e.t AAJ~n1e,.dv..e.s .~eh Jke~4d (()#~)#(:J)I

Av~ a'et1Sa~iH.rd(!,.s/ J tauMe.n vel" ,;'u:l.se/l (-I)~ ~)/ Jr·,Po ~O~ ­

..eo~ , 2..t jVttJ-ente.de. AAWt>nne,;yren.t Ka.n h't41'1F'n.cIe "~(!,V' ~ .s~

,P' k '7. .~ eA.se~~1ehr 6 ttj'n/7 , uof>'oInlry heneh'.sun:l/$6)d&se~e,llg/ t('l / 38 7 "'-' f.1~ eA'.sel1'1/,dll. .

~wr",~tVt •

:/Id ,Po .2319- 2~/9 ·

S~tteJ1 d'l' Ifs) =!8tS) =,c(Scou~ Sv''" rj), k.,..., ltA"wvr/~e.n K r'1 nM1'I'1ai.snt'ttd i /l,e,tnil'1.jen T bute,J- ~d (~TJ=& fonrA,s .sf>m

KT ",("((). (Se~.49 nedtA.Jt.) C1t''(O) s: ./l C/),j2{j +- .tJ CIJo5 () tS~ne +- t.s,·,,:2e .

-r~"'j~ eden d~dd; tXt! e1,f'v'-udt.4:A;'" at F(scfJ\Sf), s~,"n.f)) tt>­

jQ.l'1.j~ WI./r.t. 5, dIeA vee!beJ'&1tteLJe 0(Its> =F(sCPJ~ s.s,;...eJ:: J(ACoU~& + 2..s CAJ f) .s,"'&'" tU/nzeXs-'£ +~J.

(7114.'" kt~ 1St, ua°le.des let "den hentH".srun, til 119,)

Ad/'. 2$27/ Cul~ jrYll7'td }(r = >-<x c().S-l(j+ Ky..t,·n~e.

?f''Je Cu.Wr--«~ ),t>veolk4aWlYL'~Vl"e / d 'p1.I.~t P

1':' en it>-J4XJE' d1!Vlel'l.t/Q,kjtIde or'; k~teu~~es.sf>wr~ ..5t~­

ute, den /Yt/ndsfe nMwtedsn.e&RA.UWln./nj J.<r e'P.fle/ld'~tlWt.a >iT

A,ne.J wredft;1.,tt!jn. ~. hZe.dwzl'nAe no-turud.sn/l.si'AaWln ;"'jel'1 >lr M

den 1Sa."",me jt>i 4&'e t4njt.~dl'U"'CIL TiP' kA..., j,f>ve.d"M~aL.s"U"t­-te.ne ka.tAkte.t.l.s~ .,Ji>"~ ~ nlYUrr~lJn.t·t e' P, de-\ AM ~..., \Sn,it.sn ,

den m,:..e~te ha-e.unl"t,xl Hr' 2e oW lnd'~a'("s tk~e~, '1 "r ~e"~ nti>"ntX'c.~ ":.,, T dA/eJ r- e;, ),t>veelnMwu~.I\Sn.,'6./t~,..,.,'6.lE'rl

t:V7d'en. ' ~ etj'.'''''eZ ted )-( hfd4,.,., ),1>e!ed/u;."",n,~eIVt' r n rAJ "d~

-t~ "~MaLsn.it Med >(7 =)-{; ae.te"s t~e.o-c.te.t I.ejJe1i 1S~,""",e.t"..t:SR Med

Ae,-r'71't ~'I /,,~ved'n.IPt~,z~'~neJ t4';9~n.t~. .1

/ltle dt',s,st "oa°.st4,zde rentj~ uhr,'ddeLJde( Cu.lus/iHh't~

()-h'l..sRAet.J-d t,'/ ..~ - \J + /\.J \1).r· ~~"r - 'l.X thy - n.x v4rt. (7.

0t.tu.s.s I kAUWI""i-t~wrtU.

Vi 6,,;t,~ttA ei to-J4.nj~'felle.n.tea.belt jl~a'e.s~~l2 ~,;,d

Peel el'" 'pQAQ;.WldtA?-e.m\St,.:a'nj O~'" =A(U..V)~ (u.,V) ~ .f2 ,

Cnhed.Jel-elttfYtel"l n = (A~ J( .4;>/ //1,; It .It,~1 f/ea·flAde.nfYlntfJe"

htVe dQ~ .lInn ju"JdiOl"l oj ~e1"~~ntn~~,PaII.~~ ef/ea'e~ e· n.~nkte.t II= ~,,, ,,'vd ved OI1{"u = l:!(U,V).. I'$v) ~.D~ be.s~6~etf'et.ele..s'7/de fJa

C

enhec:iskuJl1kden ",,~d c~.n~""", o. ..Bet Ra..~.s det

~f.-Of'A,/.ske nfYth'taLl.ntlede efdelj'(/"n.e 1'4de,J~de... h'fede,-r.s ,atta",,;,..,-jerr ~v""" -t,II) fu,v)~J2 .. kAtdeJ den ¥-Cl!AI:s.te nfYll'l"ld..~ttdn/".#.

A'Aealfo-tht>ldei e' et~"nU p=,z:" veel~n '1~t~Re I'le>'tWlaL­

1Inidn.//"t' ttVtat~ d na:tw,.ltjt M:I11>'1 fla.aIe.-r.s RA~n'~fI ,.'pW't/de.t. .2et M./Oo et udo"k ftYl ~ed,.,,~en a(j/r:uA,"'M.WlaLf/&.ne

fJ'mltA,"n.j P.?;, et Q.Ileal"oaoflAelen OJ &let n1.t~en.~ Meed,Pa"elet -(C£ht'-

.lRe I'1MhtdIJ,-ttedf hAlt p.t" Aen,l,t>I~v-ej

~ 11}~lt1J,;/ dIu..v) I S,a 0~J(1J;1 dUt,v) I

tad tr(' v,t tf..tla.de (>oJ at be"1tte de" Je'dste jtYlh'Te.l.. UAnJe.t (J"/YP n~ '1~; eli /':,,~tX!At~i"(JexJtje. .#~ea.9"~hDl~ti et~ul"lld P=~v M ~

I" tI~tterr .a( &~;(1J;1 / &1-~;(A;1 e· fu,vJ.

2~!eAentetNtd oj dtoOl' {iJ!4t:SKe ''UYtrneJ~'u td"flry t' p:= ~(1

eA en ~neah ibeldn.;ny 1M fla.rLen.s ta"en.~lan t' ,1)-&'1 enJzeds~~

kftde.ns ta.I'77en.(p /4n t' bt·t!w»U.nkte.t IV'=~...v . tieddenne

jM ~" , 4; (J"tHA " n~ , t:1; I '1 evteai/Mh.,./de/ eh dell.!M ~)e.~ ..de.s 0~lCn;1 /1.!l,~;(A~/. 2.. t~ tet.n.je,'e;tI'IAnell e-\ /WCldludi,t:;{l'eMtJ..let/e. me.d",,"ndAfl~'" b;"'e~e ¥I>eldn,." eo\ eu:kvdt,t (d~. n~ OJ ",;t:"uxvd efJ,tJe"'jiJe)/ RAn httV7~~ he.t A7ne lVI.eaL/(4)uJlcId'p60Sf,-­

tlirt eUe.t n~Q,tl"vt, ~&t 1St»n ~een.teA/~e.1'1 ~e~e.s dle.t d'~d'e.s.

7i4den.s hu.un1'1I'".~h'T;L II e' d"oun/d P d0nM.e.s (~e.t

CaA{ ~,'edMech Ga.u.J.$/ (127) uo-'I'1 eMea.Lfo-tAo-Id'e.t " P vedale,., fee-.1",SRt nlYlhtaiaflu,/d'nl'nJ) ftYloSfnet h'1u/ftYI.te.Jnet T e.&"u - /. A~t:S

el'1 ~te,z.tMtn, 'f t4"je.n.Z'plevren e' P he",Jro-ldsv-/.s I>eeIrM-e.s etleA

Q~nde.s p.~d' tit", ~t.4tM£n.~ tne~ af6ile/,.,tn.J. .

UAmme ,ul~7k ~ f,' f"'l~ fenderI~ rQ'~te.t at Ao-ved'- G

. !o,UWt"inJMne. 1&"""",/~.rh1;';etRAn~~/ 1!Q'1?'1.:tJ~t " bo:1~""/ ~Q

de.p;"&te.J see: de,tte ft!1t>du.tt.~ec;elt re.""J~ en IJew,;od je.(,.,,,,eZh,'.sR bezJdn/~ afRAu.wt-

niYl7Jhf:Ld .s tfYl,t~,.,: II=k'(~(/') ell ,PNe"ttf0 0 ette-t nt.ja:lt'r/~ rtM

-s~", j/Aden eli ~'prl:t~ 'p4AeJJtJivk~ j,./'peM~k 1cA",,,,,,,,d t ·~~ ·

24.k7~ GM

?7e bd~neLstA. CM./-st1le.l 'lh'1bo-le/l) /" «e9n~C? J€.<J.n-teOu· ~ ,P. -'I. 59n~e Jt.f>Wle~· ~ p.4.6

7hu~.€.mQ ~4€jlU.n1, ,PO "I.81dt.iNeje.lSt/; en(ladl) ,P.-'l./~

Jeevn J€<J.doett:Sk bt.iI"ee.JeLse /,Qen//a.d'l /,.4 1.tGeo-doeit'.sRe kuAt.leIt 'pQoen/lAde, ,P' ~15

GuxleetejRe ku-tuehJ htl:..t/;,..,aI,Ursk46/ ,P- -r1'1

G~o-dedt'Jk 'pMQ..tleL/~~dnt'nj/ ,P' -'I.~OGt.c-doet;'.Jk k4uh'1n/njl.,o. 4.2~

7lJ! I>e.lo/-rzel.seh. ~'·l$to(ftl.JcJ.lnbo/~.

Stud/e.t1/ta.de/l f/e.d.,~ at;:;QAQ.wleI.eAf.ewt~t.~~Mj~·t,:t.!>,e it-I CaM ~/ea'lt,eh Ga.U.$,$ (li22). ? dd1t>1"e!ta~n.deIMh",,-

c:4e.de.s W1d~,$~eLlf~ taenkte hlQ.,1 .s; en jla.de ,,'ve.t vee! e.n 6j;z,nj' ­en /leeMe afUfYte h;dtec{,je -bd,ne1seA./ ,s(J-m E; I;G) elL leje.feR? Ae.nle.tfu:t G'tuJ-5 I 6fV1.e.kJcle.ncle cM.6,,'~: 9t'Jj"i.s,no.~ je.nelttdLs ~C4 .sa..-

pVlfCte.,s CuhtJa:.$ (Itf~7- 2J'sk t>i.Wts~tte/se: Ostwalds ..t'l4J"se~ 5).9 ddt! btev tXt ui ,:me'd(~a'anuendt et Andet oJtd hte..Jei"

bucytte.dt vJm.bt>WtI 6~t4Ut!/i "'e.e1 (;'u6ce,sI d~ ~j~ Ro-qrl'tce.4e.cU

ad6tyR h7e.\~ ~.sk"e.leje. ~P'lb~e.tnf' kAn e·/tPt.iJt l-Ll1'tldde.lbtVt.f ~"je.J

t' jlln.eAQ,llvelt;"'jeJI r114de.le.ePt t'ert tt.! luf'Me dtme.I't,sto.,.,.

Vi b~4Jt~ e.t n J~7fl d'f~el'tte~dt/14de.$'lde 7,f;d verie", o4/ta.wrdtA'he.mute.-tL,nQ .OP., ~ ::: A(" '"".2) rutu2J~ .f2 . Gel1~eLt TlYlua'-

I 1- / /J~" -.) ,I ,I /-

...JtRitf!.J n ~2. (Sa· teeny ~UH ~ ~de.~ h; '7 A.~ at~~.ste Mdtr? enddt4-

je5J ~~. n ~ f tdl1~JkeLtj~.)

1Je.Mr.e.ttk1 aZa", to-~M~e6te EA IJde..!Yld I7'1ed'.JevnWlf. 6l>j.stQ.r/

h'led indU I "j e, tVt~/t f~c-ue.,.,- (~~ I1't4G

a.dVaAe.,s Irl~t~e)dut."

at ina,ceJ , e&s'po-n&n~. IlQA "'An ~"J (tYl f ds. kveulh4.te.t'pet"~ .s!tAi-aes ("~;t.) "\ .....2

~ (J.Il. 0 /l. .s.. . '" ..J"t I I7'~ d,i I d,li)ui J ... \JK.AlfleJ .4, I A.iJ J <::» ~ d-t ...sOfULeIlYfj =-Ai .~ J

J';/"rlQJ at(911 9ft. ) (I F)~ZI '22 =- F G -

~flI1,.,e hlab,U ka.tde.s 'plVt4wrdeAfe.Wlstilt'njUt,s l-Bvrokwpe.n.IaLh'l~bt. .3fAJehwrente!#. 71f~ 712 =!J2f OJ 72~ M heel/e. junldeo.neA -t(.th~ute:tt ttn-rJ'.Vj

l 66-J.'" ~~tde.J " !<t>e.jfc/e.,deA i/~.ste?nd'Q""e,daif(Yvn y,. 115). ..at.t~-

Ir'v;'uvden !J =- l!ltt .912 / = EG -1'2 := Ib~ J(J1,~/2.921 ~22.

(..se. b'1t l'1 po (95) td),~fA ujele.de.J tti'l-Y.J2). ~Q. J(tA.~~ll/·):I: () " JttHAi

punld tU:U2) 6 QJ

h(;V&.lu,.,.da.l'Ylen,t~wt.edhec~1'1 otJeAedt i J2 err ,'nVM-S; ~"

J!<.A,iIt...s (g (f 9 fRo)

9~1 9U·

1'2.. Cl ff re ~( U ' /Ai'I-~ /'I) ff .92~'"',.sa J J J =J .7 j tdhoJ't.fA '(iI C.JL j ek.se.wrl'dtH-S fA)'o- :1 = 9 0

'1M h.d-ed t~:e.t<!) ~.f2 iA-d­

9~ veJltfYiehne A;re.t:u9 7 A~~~(l)

i jleu.t'e...s'1kkd.s tanjtn~1a1'1 i ~u~

\la.lYlme~ l'Yled enht..eiJd-t.!<,.tt;1e.n1/ ~ t) 1/'1.t)

nlu.(t,l-) = ~ft",f.,( )(:!!:t.ttkJ "

- J lA' (u t (,12.) J( A' (u1ul.) /-t 1 -:.2 ~

p~ fQ.den()1ht~"en b4Jht~ Aunt-

metJ veId-~~.

2k.t 1J~en~ ~ of'e/ aIdVif'yrd~ .sa°clCtnne t~wr./eh ~ h'?~ekrl.s ecc«e.­encld &'t UI't"M~clI"tJ.

9nd4e jeo-h't~l' f,

2e..tk afsnt't~ iMe wttdemet.n~ men Loe..s dd aLtljeud !

~e.5tit cLej en tode'l'rluz..slo.nal ..s/.ta..6n"Yt.j~ d~ leVIA ,PaD e..t n

r-r dlVt.~n.:I,a1>J.tfla.cle.J~kRe, rs.; ..stedexvdiJ ttenkell v-e' N det.J~'~

oe.t thd e", 1'tVlA.IYle.fvtjte.wr...s ft·tLe'nj/ .se ,p, 42,) HQn Kendell ~ hee.a'e tal,

~ ,,' .sta.xd ft.'! a.t mt:de. k~~e.&.e~d~ fXlGjl4.de..stykRe.t OJ htVt.t~ det·(eAentt'a./- , bderalh~n,'nj) me-rr hAn ell- bun.e4t tt..'!Ita.den " eVneA

el'td iMe a:t jene..stiLte. .s; dd tltedt'n-tel"t..stfJ.nafe ~/ f/IMle.n ttj.7e4 .. 7teL.dens ~Jen.t'p14'" e' e.td-IlkeiAttjt'peLnkt ktvr hAn noR (f>'Ite...std/e. "'1/ h'?en

I>e..tfCejt ...siJ eul e' den kan han e'kke,

VOJtt (IAdeVt/eJen iJenJ~ ~MQ.h'1etle;fe u:u.2 \.10'1'rl k~~:.ta.te..\;f)

- ttje..s~ (otnyde , ~edde lvt.~u'pQ. en k~/9'ta.~, ct~unJdj 6Ld-ee..

JdJe ,Pt!ftAde.n be.s~"~eA hAn sa°l'ede.s tree! a.t- ~/tI-~ 'punkte..ts ,PM.4PteZte

\J()oWl !t.U?!dif>.nv, at It'clen,/ u t =r'(I)/ "-I.: ?.2(i).i - IJCtJr".,.,enltjn /l>Jb~en

jrYi ei ..ske'6 'p0,6.ke;4t lhJeJI .&/a.xten, en rlJ"ldn"~ t ,... (r/('~ eptlt)2 t~I,),tl-fYi {e"(-t}; et~t) td),~e/I 'plVlQ.h?eieJtO'h'lha.°de..t ..f2 1M aLIe t~1; O'lntQ:I~

),e..; ~; tJO'''''',Pt1AQ.me:fe""remsttilt.'nj aterr Icwu/t {.Jet/la.den, & ~.. <;P~ €

~ (I») vii t' ..set) = ), Iz.. J··(u;trv) I17tv») ~l~ diJ

~ . l1 ':J T J 1 dv au

SIJ-h-1 6e.ke.ndt (6Ojen,P, 11-'1)~ bu.e.tce..>'tjde.n"Pet kWluen j aLt..s;

(;Y' =: L e'/ Jij((l(tJ, f(Yt))!!l/~· ,

77",t4 be.ne, 72Q.de.eHJe.se.net /.tan .bfl.oSte.m"", frnkfe~neAnt ..J!J i..jYxd~uYlentcJm~, Cfl.1"l (deN. klJ-e(f'(;(enleAne ljtYi.ste (undaWfentalrmJ.

7(4nktt~~~~;'fe. t' d ~Id fa:a.2) €..f) kAn AQ..1"t ne~lej

f'nde ..Ia"/e.de.J: ~.Jt m;/IA Act'" 6ud&e.n.Jdt ..sIt),.pa"/,tlAtV1'1d"eAkWlt.J.en

Jtixt (jed a':::t, u.t::a.~, han beAfljrtVl (1:)tr:a1' ~dn1tte/l

((~)t=41)2 :: j?1f(4~4t).

Ayu~.lcyt .be..steW'lwreJ Ju(a; Q.,z)) heHYie('eIi )7(~.n Retn f·rlt:l~jtt.(a:a.~) =::

J.tf(a.:a.~) u-t-a' aiM;}" bUf-/~"Jde jek.J. 'paG

k'uAtMn J,fH.iued at=- af+t~

u.z = Q,</- t .4et ell ..laOIe~..s e'rt'ncjJfJei enkeLt nt>R1M fla. de.vceuend at

6e.-stemmt ("",idio.nw-tt j(j' ";.,,. h4.n/~Jt Renele/l rH'ltn ateu:llhJkkdr bue.loe.n.yi:h J(I). - /Itf'n~ "fen? tit den,.,t hM noR ¢old!hQ_ it'di

~va.IVt.

StoMe.l..seA (t~\St~e.l.JeAl fnkftf>.neA) fJ l>erebeA~ d~ Ran

ta.stlctj~ i (Ia.de.voeuend; utje.s at t/oeJtt indhe jU>I'1't,;Ae".ske.

1ndAe JeJ>h't~i 2 ..2el1neJa."'J tJ-c{ (}-e' ,kke utd-tti Q-J it"! et!o.n"la..st'vfR.Jen (men tct.nR

aiL1e.vel (Jao hA_ nu , ala /).

zt 6e.~4.jteA et n r-r de'IIVlt.l'ttt'AbdffAde.s~Rh JI'u-ei ve.d

en 'pM41nf-tfAf ewz"nill'n.j, l.J()-m~;,P. -'I...z ·en "t~~t (ta..I.s~dse/ fnkteq.,-t) eLleA d 6':re./', dM ka.n

jMtttJejjeJ adfa bueltJe':jde/l i kult~ fJaofla.dutykkef; ka.ld'e.s t'nef4t

Jf..I)-hft."-bte'.JR.Ofe-st ~ de-t h'f~e 6~ltdewri orJrly Jt~eise,., /here.bet f-.st-

taJ! il'edy~ '1tunlde~nVlne iff ijul'tclQ:Men.talh'ta:t;.",cen (d~. Rr>{j'C(t:l'tteJvt~ t' jthste juyu:la.n'1en:teJjtYtW7 ). ~e.tjtA rr: 1tYt..sk~l/ ihift"ldt~neAnt! Je" ~ 14k:1e~1t t"ndhejf..O"W?e.~e:Ske (6U1-''.J ItA", hen~-S i '/~e ~

j;e~ afn t·t ))l) '1I'Qo den anett" iJe'olt eh bue.loe.nJde.n (eM en !cU/U.N;X:

jlade.Jtyltkd)0- 6e...ste"",t tl-ed/fYllnle,., 'po 4.61 n:.n ReV'll./-tn e/t j/eH.teH.d

(u:u~) ={f1{/}, fl(-t;) e f2) tt£~ ".,ed 'f:fz~ ~'(I).

So-".., ekJe.1r?/,/M ,PQ. /ne:At ,uJ-n'1et-,t'ISKIl ut~e.IsM R4n (uel (;eIe/'l

6uel«n.Jdeh OJ (u",kfeo.neAne il!) noelJ-n.eJ u/nldM n1elle".,~~~,;lieu/e."., OJ Ita.deaAe.a.leh (se b'7e l'1 fA 116 '1/" (95). ~t Cktl:st1f1

,sJlYlbo./eltl'le ell (nc6te Jt!.().me:5ti.sRe... eh )u>-uedt"ndho-!eftt atJeetn/nJ i

(p.44). z,{' ~ka.f ~~ Jde.tJtjelle en heekRe ek-sU"I'!e/I -Jenehe.

LQ.d'IN n.u teede 0-; to- n J4n.Je d~en.&A..6t'e ,ftQ.d'e-s~K.kVl ude.n

de-66e4'u~ehJI'v-ef~d"pa4Q.hle.t~eWl\fntt7e1l fu"tu~) ....~u..t ,

(U;"2) ..--:l I? t.t me.dt.J4;nWle/,ahQ.hreteho-~ao~J2 ~ IR~ f>t} lad ().J tstNrl e'l)(r-u~u /

je.n,P. .201) IJ~/te de..., IJjek~de ajIJ;td'V" It a(ddenej7Q.~,s~kRe~'deL c2nd~ A,,"M V/ of.t' /"). ~/f) ) _ o

Vtu ""I e .J~. '¥( rf.2 - rr f 2 .~ tl~t.J. ».«

»z: beM~k~ ~ec,~ J en.kf.lC4fH1'0° d'd ute114d'e.s~Mej~'vd

ue.d (u,f u Z) =(,rtJ... tp"{t»)... t~~ pea' ¢ jtAe.s ~e..t ~. en k~t.o&e'p,tdel Q.neld

me.dIl4mhtt.~eh'l.$nllt~-J_'

Sc-"" d~ ellJJ(yd huleI~ e' /'J'letJ"..t... <se/'. .2. -5 -/ ~ ~ en (,k~tMltj

d~o-ht~f'i et n jQ.n.!e d~Men.44.6eLt;r4c:4.t~kker"eta..-td~ ,deL

6t.eM"rlilei-tyen ~ ..... I? fc f ~)e.f2/- / ("I~u-l lA:u-t) UJU . }

t>;Pn.~.s v-ed bJt"j ~"oa.JJe.n.de I'QA,vndeh~ehtJrl i6~eh mead jce.tle.s,I'4h.4 ­

hre.te.tf>N1AaG

dt .a.0e-", .be.Ren.dt y" .£6/ "e:rn/,..<01) Ra./eleJ ¢ en b~'n/~.J AV'.f$

etlrtJ-e,1l,t ~t.o&elS'kkE' ,,0:del' enejl4a1e..s~.e.f"ued'~ItAe-s~ ('d rJt:lWfhre

IDe/de, d'~. )'fhJ ¢ et t'«7d'eOu~. en nc>~~en.d17' -t"u~~d7 6eA;" ~

jeLse eh Nce.tl't/..-tJ.z (' Me.v e, IJ/e.n'p' eoo, tdf';-z/d/c-nehne .11)' .f'june4­h'urn.WwrQ,.~~ce...-r ~ft'le.sr de to-It4~J~k.&ts ;:>M~e.t~~eh"l-s~1un­

jM. 2e.tte.f 'ty~ d~a.lde of ed 1~/:d'eII e(h'Pe-ds~en.de 6«eAIX/de.. rt>1((tdL.s~kReh be.steh'twte.sr"?" n-r:e& u:r7nK.t~"eAn~ ..99' ).7 a.t!"nkt,'o-"'teAn~ jj' betSte."..,nte.s~ J4n?wre nTO~ ,"01I'UI 1a!7d ell athf~iNl-4en~ t>«C/I y!A.,P. "'1.5'-6).

en D~·nin., /J et vcnkdAD- OJ Me4'~0-, d Q ,,(;..,A/ell .h?e..&WI ku-t­

eHVl, ),en),o.{dsd-,'.s ~et:::l/~ k4n ce.JtehrWle..J vee! ,~~:t,ee "~.Rr de to­/Ia.c:!e..t. GAn.skt tlioSPaAen.c!t ~ aLk indite.1et7-wte./iu'J-ke Ift,,~ets~ ,,~~­

n.,n.T~n~,~;t.z'e. (f'k.se",,Pe..I(Jo('.s.JoeLdeA de.t CAAc'.st~fjtj ,",wz6o-1e1lne.

m~t 223 19'75I

:'1"

zlo-'tt f1a.devceJen u-i! ,/dee VtVl.e t' ...sta.n.d til at iJ~e) (Nn hAn

b4,f'n.deA u'J fJe: d I1zJkke at en c;t/rtde/ljla.d€) e.n~letn eLlelt enk~~­(la.de} he.".,),r>!d..ux:S;x: d ..r,.kk, i e.n eJ-e'ndefla.de et/eA en ka.te.n()-e~

(se bf>je."., f1. 223).

(t)

7?u 1Je.p('.set. U- IJeihayteA d ~ .fa-n.Je di,(eAentt'a.be.lt jb.elt-~

~tykkt fl'vd t.l-ul'paAQ.JYtdeAjten-ztfttLleny O~:,,~ == .Ilfu:u!l). 7?de.t

K = Lff~.u -4.t.L~f ::: ~gffJ2.2 - g1~J2.2r .9

_1 .J. JA - -J." - .J. r ILit L,~ I - _/. ~ , I ..ell au no« tU iJ-iJel eu: ,;(J::: .G:uL.~~ eh l'laAe :;e.t1;nel/U .fK .

lh'J~ ud!'-a Ltjn""en" r: I rre I L tt:;"2 r'P / /-h .. = '. A f +-'.'_- -4" + /-n = L ~/_.· A +-Ghn-lJ ~ - 9 -~ ~ - p: J ~ -;0 ~ - )

Juw, qP en ik1euJi! ~t (,Je;:;. ~4)1 ME-den.s n::: (A:.1<h~)//A:;<A~1 en.~

e411da.Ut ~l. OJ ..G~i =n. 'A;- at k4tJJe ~~ zke/ d;/le.1Ien.ttaZt.on~

11/ ~< (d/ijP I ,.,p II ) / I -I- d.lijAiJk ::: L p a1 dl/~ A..p +'9 Apk f- ~~j nk duN n ·

7/del 11''&: = 0 OJ dehl?"1ed n.~ -Ai = -n 'A(~ = -Ltk ) ut'u.t&J v/oIe.M

III / 2 (dr;r/ r?Pr"') L LAfik -At ::: Lp=t ;):k jpl + Ii;' ~kl. - fj Ik '

Ckue1T1'pleA. ~ en?Ia.n eIt k' t'de.n.ti~k O. 2e..t ..rQ.1T1wte.J~eJl

riA d),ueAl udfide..4jt It(;tde",~kke. - ';7;, en kujlyla.d'e /nedha.a'tu-.s I(

elL K =;.. ct (n~ -lac title) uzjkke tfen kuJlflQ.~ Ran edI.ut t~e ucf-

tertd~J· _J.. I I • /~ j. ,. . 1'1 / · _4 • . ~, ue.d o~'mnJ IJ'Kf0 deli iY?:Jt.n ~naA.u.tJ t J t>m en; caae e U j't./"U

'punld UI etI~n~k, ,PtVta.bo-l.sk ~. ),,-,PeAbo-l.sk ~(,th'?n7et.

GtUl,JJ t-L,'.t~ i/dt. !>/o-t, ar k4.UIYtn./~ht:Je.t ell. e';.c.dujet>wt~~t~

h?en h4,-r;andt 0j'S4o en -Jth-r'pe.1 i"u;/;'leje.o-h1e17u:.sk kaA~tM/:r~t~. Han

iH.Jte n¢wt-le., f/'J€.rule ..roe.tn.,n.J/ dVi ~tHtrlJo-dh~eIl ~:I ~ ei:tan.tt..s~

ifla.de.leo-1.t'en ". ~I~ en ~e.ItQ.nL;;a.:ttadevtykkd; hVl:S J'dell eA yet>doe ­

'Z'e:S4 k~M (.se"o. ..!I. '/6(I), e-t /hnkd,suh01wten..s aj'f.Hje.l.u /ta 'IT I~ lUe-a./et a.( det 7cM./ ,sRt n~hlaL"tttedf (1!~'0 WMke IF; fl. ~46). :;j""eAa­

tt',seAd1~W1j~ 4e.sua'de.l und~ navnd Geut.s.s /'1Jt;-nne.'ts .s~nlnj'

(..Ie.f e.RJ. J J. Sto-ReIl: 2~entt'aLje()-me~y/ ldt:r 1969, /" It:fl- 19'7.)

llelke..J-dJe fl.:' el'tf!a.d~.

£a.d d if>-JClnyt-1.{je/le~'a-bJt fla.dfJJtyk,f~ ~ Jl"vd vu/ eJ'1

04ll.AJYld~-4~n-lJnUlnQ OPt .2 =Afu f ti 2) (u,.'"2)~f2.I /-. / U"u. - '" ) ~

zk b~/teA. en RfMV€r jla.d'e..stykkd--« ved

"f ::: ff(t)~ u/1::: <f~(t)~ t € ~

)'tMJI I ~ ei InteJlva.!,Pd IR , r:r2€ ~~(.l) httUl (9,1(,~ 9'~(t))G.n joJl aL­Le -tEI,

~. (/ott to-tke il>tldnl-",el'f t ~ ~m~,~(t) I, t€~ J,,"Jr1 bf,oJ~./"elu

1 d;>unId ~ dE4 .6e(J-~fIA I1ty'pdIkdtoJ~~d - , d~h'lf,d ,'./l,I,(h'1wtd.

fle4t' '11fIA /'I",~ at ire' (/-t'l .lYt.Ujf en k'''''~W1ait:Sk Ze/un;no-lo-jt'.--.. 0

Af OP =./d'ff(t)/~l(t») feu ued de~exteQ;teo.n

/ ) d:!! >l '/ f ~) tlfe' I. t. ~.t., dfi!!d: = dt = Li;,f Ai (f:f '(1:), f ttl dt) /<,01-:!! =: .L.i::f Ai d:t )

oa Vtde.-t, tV = d~ =X~ ( : d2<1i -u: ". ~')~).

/ cI:l~ l=i /tt, dt~ (4 )=1 A~ df dt

= L:. 2 I dlc,t L 2 1/ dJlif!!1/i=1 Ai dtt. + iJ=f A9' dt dt

JQ.n.JRe >Jo-wt / 6~en p. <26-.227. f!a...ft1),e~n 1! til i'deJ'1 t ttjje/i if/a.­de..s'ItRcis tAnJen~kJ'1 i ~tt)Jfl(t) i del't,s k".~"'i-t4teh A1U/hV1~n -tilA..;(f'(tJ,t,z(t»)... A~(<f'(t)lrf~(t») M 11:~. Acce/M4,~(,.ne,., tV h~n~

Ut' U-ieleAf I'a, id..t Ie,,,,,,,, (I) bt7tte.J f-sf'p' -'I. 3):

I ( et2t:f f ~ r» 1!f!t.l!.!f!·)W = A 1 dtt +.L.i,j '[1' tit df . . .

I (el~f-l. r.td!ll i!t.J) L / 5/seldfl!+ 4,2 dtl + ~i fj di cit + n ii ""'ij dt dt '

~ i~ j?Ji'JenfndeA tu/DtjkRe-t L,./~fJ'((l(t)1 rol(t));If.;If len de" wredftnteyrtAej,.,#.ele Ioenyde ofrtye.Rt'o-nen a( eu-(!)1'4 jta.durfYlWta.lt.n t' ;;W)Jtf~iJ

(ttjl'tl~ (1)1 b7:n » eer), me" (Jot'! AM ,'ute-a...t h~ e-s vee!r7'dtto-n fl.l1

"1(1) 1 wtf) 1'4 ta./'tje4"oknen, 2e.nne vudtn vd vi Ra./de de,., jEo-e!eeti­

.jill a.CCf,/Ma.:~~n, 2en.J Ro-oJ'la!,·I'tCl.ieh me.d ),e."."n tt'! ..It;(ff(t~ <f~t))/

zI~t jla.de.vaeJU l CJ~,P. 45) be.n/ttM '..Ja·lu.wtJtt.'/II~.t." ("/U.~)=1 ) (£!£' d(A~) •ref (t), 'ft(t) atpunldds beVf)t.j~el "J hAn o/rltVl dt ,dt lJ~wr ko-oJtdl-

nd,PM 'b;1 )uwttyAe.de.n v(t). 4ccdf}l.~;",-zel'7 ur(t) Ll.jJ#A "de.nI~ han.J

(fYtest,:Lt"nj5UVl.cIe",; me.n ko-Mtttna..te.'l.nt' tLl ~,.,je.od~i.JRe tlcce.Ie4A.Z'e"'''

'i ft ) e-t t~dAe jeo-wte:Ou:Ske y? I1tRIm'nj t; /,.44)/ de_ ka.n han beA'Jne.

~.~u'Z;t'1vt'.J o-;;ja,tteh htvl ~ uty(tJ Jo-W1 acceieMdei:>nen.

J02.vn J-eodcett'.sk /;e.~jdJt J2.; el'1 j/a..de.

v~vn be.VoeydJ~ ojd 'punkt '" AUh'1WZeI Ra.n kaA~e4t'-tf4e.s eleet;at a.ccelelt.a-teo.nen e4 ~on.sta.,J lij O. 'lJa.ne..kuA(ferl ~ (ei ...stykRe.. f) ~n

Altt Ltn~iL.

La.d 'r: e.t te-JW't.jL :'1IeAe..ntt'a-be.Lt jlQ..de.;tyRke Vf,Je/tt,,,'vet,,reden PaAa..h1e..tell!te,n-zlSitittn, O~4ul::: A (u/Ll), (U;'L/) «a.

7?a/e 1Ft' ta.l~ tNr1 err beeNJe.je.&e (ajd/,uni:tJ f.J4cfla.den." v-elef('tot.n-

I<e. eN dt.n ,,,'e;df.Ja6/~h'tel'1("~ u.~) ::: (fit!), 'f~(t)),. t~~ .

hVM I Vi. d t'""tt.lu,}{d/'; II( OJ t:f:<f2 € e'cI) med (r~(t~ rf~(t) ~.f2 I~ ai­

te t~I...#cce.leA~·eme.rr.s Rt>h'tf.Jt>nent 1teJI jltu:untJJlwzaAn IH.d,PA..$t$AJt. at

d I'un.lt.t ;:,1.(2 /'; jta.del'1 eh , ·, '> / t. ' ~ d~t(t) dtltt)

I'l(Ut,.~) '"'i.j.(J(j u/u) dt dt )

Jf>-W1 -e-:,Po -'I. II ua6vu u~""" e' bbje..,., po 2~7. -t8d eh be;rfoe/tRe.lsu(Melu:ltjl;

a:t d..,..,,,e !co-WfbfNte.rr.i ~ 6t..Jte"",t aLene (fed'dtn h~\deq),ed, h~n'I~dPi e,_ / U~1.t(

~Q..JJtAe.J. 2e.tA~ 1/'(' udwto'nte.ll.· me.u$n,,~.s l1oe:t'U'rtJ (bfrjen,P. ~9). ~

det 1Jkt1!M/i ~jv.! ed \!zitle KMw ttl Re-h'lI'e-nsnz'tI'l, t{. of?n~e4dt1.-

en bevfJeje.IJe /'d jttLden ka..tdc2.S jf;elJ'njt.~~:sR,. ),eh'.s denJUN:I(J(!.­

~:ske a.cceleAQ;tef;n 'i (t}jdu.s. a..ccele4a.t'tt>-nel'1s kc-mf'e-;,ent~ tevr.je.rr.t­

p((A.ne.n i ~rtJ, ~2[t)' en () to-'l. hcHAt t ~ 1. ..4U.saG

Itv/.; a.cceleAa£j,.,.,en

wIt) teJ7e/1 ;x1/(a.oIe.ntYtl'Ylde.n c' {?t(tJ, ~(t) flA ),~t t6 I.

(lil bdy...sn/J'lJ 1l.>ere.bd et e'rrd...skud,. d~ ),cMe.Il 7~;nh"Ce / .ltai,o-­

nellYteRAne'k: enl'M,.td~e.t, dell e/I bundd tt'! en jla.tIlt:~·de CJ eUe'p4°viA­

Re.J at an.dA.t hzcefle/l endjta.deA-s ./cea/Cho.n/ Ae-tid~eAfla.dt.n(YIl.",ale.rl~

/;1-1.1 nd~ Udj~f e".JCwn je(;deeie~R be.vee.;dst. l'a>'1a.del'1. (Let>/"I1r4/l.d s:leA 1736).)

Seetn/n.1~' CI't bep.ce-jdst j2.4·jlo.cIe..st.y.kke.t jCf/.e.t ved

ru:u t ) == (/(t)1 eto/t)1 ze Z,

JU.IIYI 1:f~ e ~.t(l) 0/ (r1(t~ tpt(t)) :...0 fr aLIt t6 II ~'J/cev""jtt>dr;e.tc~~

hvil$ !!J Atu" !tP.CJ

d~(j?k(t) + L..~ r'Yr:PytJ o}(t) dp'tiJdtpittJ == 0 t6 I k::I,2d.t2. 11=f!J T / T dt dt ) ) I I

dtJ-.J. ),v-es (t:(J~'tfl) eIt. to'.sn/I't.j til dt. t.JAmme.,,),~el't~ d,!,~en,tt'cdLiJnl'n.J.tA ¥anden endel'1

(t)

Seetn/njen j;'lyVi elwzlddeLbQAt a(de.t,Po -'I. 12/u n ell'1e t-tdbt/kr

!<(;tYt-c4'xtAXeAnt '4:1 ~ ,

Sa!ln/n..g ga.. z4d 6V-'n1',-r-J W7fXIJ~eJ el'1/-«.vl"t jeod'ce.tf.:Sk heUf-t,­

JdJe. fie: dd ene f/(u:le..s(ykke ¥ en/-«vnJ-eodade:Sk ¢e.eICe.-jdJe j!.(J·ddarrdd.

7;;" CNustcffl t$JWl601V1.ne ~ cden.tt:tKt' 0>,e u«.tn/" t ~,~.I{~

d'!!cAtnitAitiJn/nrne (:6) aLtJao

de iJQ.h7htE' jiYt de. to-!lo.de.szykktA. .~

",.,txlsVaAen.de 6ttlCejdJVI h4-"t o$Q.mwrt ren-tsttile'1 t.t,fU/ ·) ::: (r1(t~ r~t-»· ­lIellv-edItYI.",dJ~tte..s1 atjteu:leszjRRehne.s ,.oa.hQ.h'?d~re.htJt"t!It~~M 0(-j>tu,$e.t Jfh~,P; ,Po ~ 7 fI>Oj4n,P. .301).

IIMt.. e: CIvtI'.st~J uylnboleltne eJt ln~ejet"Hl~I:SRt'/ .JoeLcIVl

ddt,. r; 6e;r"Wj~(?doe.t~:SR bl-dctJdue.

0oelnl-", .2 \.S'd~ os e,-(dv'd~e I.' \Jto.nd id at ~tQ.JI.ere>-/;/e.wrd

0"1'1'7 e/ts,',snnS atjt.o-doef,~Re bt.V~e..&tA jXJi: d thejCtnJ~ d1'eA~,.,..tt'o.6tLt

ft<u'e.s~lde. H~ //'/1 C/vu:.stolfe.l "1'Yl~o-lt/lI',?t NVQ.JI.en~ rli en~a.u~rtoltr'"

Aetmde.ll?em,stl.tlt"'J) tIOeJtt oj/da.J.st e: uttlet:lts a.t eJ:-fI'.JtflI'1J- ~ ~n.~- .

dejAe.dJJcdn/n.ye.1'f tiM d'ffeAt.nte·cd/.'Jnl'nj-uJ.;te.n-leA (7l7ed I()~ 1977-7J)

p. 6-1. 04) Ket.n Qnvent:h.s ,Pao J1Jtt.h'fd (,2). .adjlf.IeA jo'~e.n.de trejt~t. Ae-

s~tttd:

uodn/l'1.-j- -'la. '1Ja0 en ~e. fa-X!! d~f/l.ent,:a.6df!dde flndt..J CI'l

~ Run tm/-Ce.v-n je..odce:te'dt 6e.~!-el.Jfl. wtedfrte,she.de-t~I'ti()-n f 0/ Ita.-

Jit!-hed ~ l tA;t-Jtt.~lAnt.n .i f til d jive! te'dJ,R-u,,/d ~ ·

Cn,iyd1h e. dtUt ell utite-deJ atj{Yt,Jta: edUtA~»-:Je.o-o&dt:Sk ~e.­

iJfJejdJtl

ae/l ~htd~ hu:uH.ne., eIt he..;~,,'ldco.n at fl.n h"ted n-tak.st'wtaLt ~d'Sll1-

telttraL I ~ IR.

GetrdfLtiske kuAV-e/l 12: (lTt /lade.

~al'teRWluenttYl en jfJeun Jerx!ce.It.:Sk /'~v«re (d~ ikke ~ Avi­

Ie) ,Pao en to- j4nJI d'/lel1.t.n!t(".,bd!4.de kQ./de..s en jet>dcdt:Sk RelAfh ,,04

flatien. - .at~ en to-JtlYljt d~e/tcn..t,a.bt.1kUhiH. (~ten,'e"'j~fH:IfAt,.:sk

l>euoe.!eLse eA/'(>' R~I't.Jtetnt ey c1vUY?f.d aLchij ~ riM !Je(/"«j~.lJ~'" l'kke CIl )1(re'­

u. )t!n if)-j4.l'1-J! t:4!1-~t.ntf.a.6d kuAlH j2.etf!~u:1e1'7UIjeod(Jeti.s~ hves

!!J kun )u/i.s df.nJ ()-.sku./~t,6-nJftl4.nf.~1tuAt>ld'~j!ae:le,.,~",a.len.i),~

f2.unfd, J,v~ RuAuen.J htul'l'tn'i-tj )0{ e..t~,Jkt.It'j j3et O.

ctJel'7;-rem./ob 1 en l1a"d,v1 kwu/oe hfe.eI ktrrrJt4."l.tjevd Vt nf.wr.ltj

en.r-:.Juxloe.tt.:slt ~e~d.s,: rI~ Q.cce/e,l)4z'c;"nen w(t) ilde eft ~) Le.JJtA

den j'et° kWleJen..s IlfnH.dntMnt~ J()-m hell. ja.lcltA JetlY1n7en ,wre.ell/adenMh'tQ­

Un. OWlI.Nln.ott: uea' ...-r./Cev",yeodeett:SR .6evfAfdse ja.tdeh «/'(t)I',://et.de-

Atr'llrtale.,,/ me"lo. ".lao i !:Ja."tku.lli.len..s e>-.sku.(a..ftD-",¥letn/ n~ xtt):I: O.

C&.seh'1),Ie4. Etrentf.le.~ hdie ~n,efJ-¥keJA ,PQ"en j'kele ell. ~a!

jeo-d~,:ske ~U~. St~cthkleh ~.Jeod~:skt ~Ueh )'4°e.n k~!r(tla'f! .

~ d to'J&lnye. d~elien"AlJdt jt4.a'e.styldl Jl'u-e.t~den.,oevuvrte.­

t~eWlst(.-a~ Je/I Wletn o-fe ~n,~~ne (,2) t' 15tdn,'nJ e ~~14) (Jolnt,d!

I.1(;WI dt!leAe.n:ltaLftjn./n.jfA joJ't.Jeododc~ke R@t!eh;PQ7/&lde.s~kR~Jk(};.,j

de.!./'o- fA d'feAen.te~tI~n"~e/I/tM/'ceun.e.J~e:Ske Je~eLsVlJ ~.r Je.t>dtJdt;Sk~ RuAUU.Jt.",neln!o'6ll..t .mulRo-nl1tf.t4!-tVl..t,

Sadnlnj_ 3iJ. ~d "fJ-'nln.j JM en.J-e.odeet/Jk RuAV-t~oc:&!,., e.ne

~ea fi'tJe/#.i sa,je.tXloe-ti.sk k~p, fie: alen tlnde.-f.

en u.wtiddJIJa/i ko-nJeRel-en..s at ..soe:tru'nj :3a. 73~eW.J~o-dt.e.­

~'.sR ku.tuH ~ iru'o'.1jf.()-Wle~u.';s.e.

Ck..sEJ1'?~~1 ..a~.J~odfJe.it'.sRe k~~ i e.nI'kn et ~ Ae~ /f.'n,'e­

Cs~kke..L~ . lJeJeodoe-t~ke kuAdeA~6en P-h'tah,,~,~c.Ytnc::le.ytadf.~

Sodn,'/'T.-j "I/;. Ge.nne.m ),V~ht.f~un.ld ;d~ ~eja.'1.!- difPten.ii4bel

jia.de J-~ dell en ey Run e.njt.ododesR RiUteH i. htHA ta.:7-enAdn/~:9'

Cnty,t:Jhe.d£" ~ .s';Ie.~J a.t104. oj ta: td~jeod~:JItek~jert­ncm d .f1.iJe.t,Pun.ldh'Pt.djttrerl Aeinl'nj M de./kuAQeh aten OJ <SQ.",,,,,e nta.k-

sima./e.

'Re.sedta.tetjo'tye.ll i Jodl'lIny 4~: ~en.Je.rxIee.1ejk£Uh~rr:ne.WI d j1iJd,Punld f "ledreJIote.()e.t tA"e""te.e.in./~ !.!A,., Vi' benytle ~,.,

nedu4.bje ,PMa.mdvtjAewzJtLlu'nj lYled f ,J(;h't u.~~/u.nkt. Mea'ke~­

ma:te:tk teA.wt/"q-{Oji tjO!a..lt~.~. ()-i da.. Ree/I,()e.n '!()-WI b4.l"tt.kwUNj~en jeo-doefeJR

lJeu~e1Jt.me.djevJ I) hV01 f e.'t 'p~i.ilp.nen t",i ~~n O. 9de.tA(Wt1h~n

tLL te'cI.." 0 ~ en)'eds~en ~ " den !o-te...rRAtfN" -k,.,e~et-vn:J' J/~

uc: td1>e.V«jeiJen ~ (en 4e.\S~e~ti.;"n eLI) de.n h'ta.R.st.'n-zaie /":" jet>dode'.ske

beu-",,~e med'pfNi.'tt'o-n f OJ hc:wttjAed~ til ttden O. ~~ den ev,a'f!n .licit

eJ't httne.RW'luen 11>'1 denne beuoeJe.Lse/: (.)-(~Re./tj e."je.t>dae:sR kuAeH ,ennewt

It htecldan ~'n.sRed(! ta."Jen:Ae.ln,'nJ'

Ck.leWll'el. .a~ ~ e:ek, a.n~e jtcdede'ul<ekuJteJUi /'; en R~/1(a.~

end ,.dMc~k!e-\m', Ge.nne", ),u-v,J,Punk!j~ d'eA nelnlej en .slnctAkelt'A~

ta.7e""t,.dJ"7/~.

Ge()-doe:l,slte RuAtHAJ h't"ntWzal~en.!ka..6.

~ vt.li11.dJk4cenke IJ-,J tiljo~¢ndtAeJ",.liQ..t..

S~..tnl'Y 5. lieNS tIJ-ftUn!dVl /l!!1 8 12'; ef I()-Ja.~ d~en.teQ.lJdt

j/a.deJt.y.ltlte kAn frln'nde.s meclen it;ja.~.! d~en.tea.6ejkWiUlfia°f!a.clen

E(InIi-tdJt {ce.'1Jdt/ del VI kuAveA jetXIJiJIt. (J()-httnn 'Jdv,nlJ-e.<tLt· 1697.)

llev,:S. M tcenkM OoJ \.ft>'71 -.sotdvt:lnltj jla.de.sljkketjl'vet uuI en~QAa.­

MetMf~h1.stitLt'ry c;u.:l) ...... ~Ul) fu"iu.2j6.12, 7 -.s~ A/: ~Q.2) 8;:: f:6:l ·

z,{: tcenReh ()J en koJt-te.Jt ntuLiJ to'ya"jt d~eltenfta.beikuAUl,Pac/leu/f.";4a

A -til 8 j,iJ.e.t tJ-ed.n~~ 'paAa..ht~ewtJtetl/ny) 'pa)~lYlwtt.1'1

(u:u.l) =(r'(t~ ?~t)~ t~ [0.. I],

fleA VI (fi(ot (lto)) :; (a:a..t)/ ((l(t~ f~(t)) ;:: (6:i>.2)j Ute/eM ~ I RuAVel'tJ la,,-

de ,,(*) tit: Lei J!/6Iftt~(l(t)) ~i1Ji =t.

nM jo'!yell et,J~R.k(' tJiVtiaIt'o-n-sA,ninj Csm/ md 102.. 1977-7~ p.55.02 -05). ~ d-/IkML'je ),;),:l e rlt£OJJ) h'?ed h roJ =1/tO) =,4rt) =~:l(,);:: 0

dil (u:t/) ;:: (ri(t) +- cl,'ttJ, 9'YtJ +cht't», t~ [~tl,

j'tv",,Jtt-{le In tt>J4~e d{fl.llt.nteaiJel /!WlIIt ,P4e

/ laden fAA /I td8 r ethlJ.eIit

ct'e:I tn.~vai {-Co, c} f>n'lhtt'n. O. L~l'tjde,,~

Lrc) = it 'L. Q"(d/tt)+-lhftJ (#~t)+ch~t»){df(/(t)j-e&/)/{f))(drlt)~~elJrj(I))cito ~1./~ T J , elt dt &if dt ·

.a en.le.JAanden G(s t) ~ en kIJ-n:!e'nttd~-neL ajluLd t: =G; (c, t) i

f-c,c]x. [~tl, ~ Ltc) difjelle./"tt/A6e.l i f-c.. c) me.d, (l /"

~ (l.) = Jo Ul£ (e, t) dtj

Sf'~C.tLtt ~ L'(oj :: ~: G: (~t) at.

2.1c1.h'jrtl"nJ J/~ . ..L'tO) = r; t:-r (L,;/k ~:t h

k(t/1!/ fl/ + 2 ~/ !Jij itt'::}) dt )

~~ ~:~. , Jij tAje.; i (9'~t~ 1~t)). - ~etell ),e/I, (*)jt~ en jfYle.nklt'n.J.

zkdl'a.4t~·e../ 1.n:te.redeO-~ !,-'ndeJ(l ( de i) dJ,k r Pi..i k ,7t ...' (t d ( tf!£)- It. JdiJO

jik d: d1 dt ::: Ljik di h <t)Jt=O -)0 dt Jik di h 'tt t ,

h,,~ t~,Jttt. Led~; J,,~e Jeae ~ 0-0 =O. UelthJkkdj~ 1'/(0) ka"dM-!lM tl"h1-

Aeqrre.s ttl ./ (L ,>2 ({!. ~ d(/dr/ .d ( ~i)} k I}

)0 Lkd 2 X,:; dull dt df - Li at jik tit · h rt)j dt.

'1(r;''Je tMudsJm'nj ell nu detk udbtyk uj O. 0 da de.l~ t/lfeelde.t

r ethuvd !fP1Idc'o-nJ/M J,;;,t€ rI~([O,tJ) h'led j.,f(O)=hZ(O>=hrt)::h~(t)=O,

.. fo''J~ (..s1Yt1. med rae. 1977-7!;p 55.0~ lehfWl")

1. ~.. d!Pj drp'dtpi _ ~ d I ~.) _ 0 1t..I ".z Loy du'+ dt dt .t:.j dt{Jik tit - ~ e « I~<J )

d. - 1. E.. diu d(f'i!f./ +.L:. ;;gik t!!t!~. .,.. L' Q. et2(:/ =0, k:= ~2 ·flU. .z V duk dt &Ii '1 duj dl tit I JI"k dit

'

~ ,J. i (. 't'" dgik ~t'd'fj ~ d'ik c!(pt'1!l!') J o •

-oe» 171/'c/teliJU IJ"I'Y'I .sht/tJ.e.s ~ ~i,j duJ dt at + ''1 duJ elf eLf ) n~1'" ()-I

.sOom/tIt 1.;,.,.,:. s. ~ ( d!}ik d!JjR _ d!Jij ) ~ie!!f! + ~ d{pl 0 s; f ~

.2 .t:.t:j (Ju/ + (Jut du.1l dt elf: Lj Jki dtl. :: ~ Fe:: ~-G •

1IV1 Je,.,ke-ndt..s ClrAt'.sio-lf' ..sJhtb~e.t ;gk (vain""'J ~ 1'- 44). s; to- 1;1'1;11­

jVl RA,., altIJaC

.shl.l~e.s

L:- _(!J1) t!ei~! + (if-f Jft)( C:;f)'1 C"J. dt df 01.1 022 a2

<p2 = (~ ) ·~ J' J' ~~2

7l'1u..tt'fJ/'"k4.tt f>.T1 Irted! tAnd4,.,.,u-ttallrtatiu·cen..J tnve/l.Jt J/d-e/l enoleLtj

d~(l~ + >:. r::k E!!P..i~ - 0 -dt2- '-i,j'ij dtdt - J k-~.2J

hUI'tkef de'.seh, aL (1: '12) ;,-...den7mVi e,,/Oe.vn J€fxlcdtJit /,l.Ilt:£.Jt.l.se~fJflAdf."

IJtdm'n7 .2, /" 4 (4). K~tlen M a1t,s;jecd«itj~ ~. e. d.

'7JewtteJJt"'/~e/l. ..0et f'rtde.s !'£/te ailed en k<YdeJ~ ~. h1d/ehf to­

~unldtA ,Pa" enjleuJe (1J~4jt t eh , ea~/a.,,~ h(/t)JI d ~u,,1d e'tJJ'ehndJ. 'liz"de.n a,,~n ..set/, Ra,., dM (}«he fle1.t Ua"le..des mel/Em ,.,fYlel- oy ..s.Jdl'H~a."l2.n k"}­

Ie/lath). - C"je.tdodt:Sk kuAeHr- ~ td .B be.h()~ ikke AiVoeItt kfYde..JthUL-

'1 (1J~a..yt eye" en k~/ejla.dtJ.

JfT)It::.An 'ldeAn~('~ denf~J~1 d~ .sa: at- en Ro-dNt~ vy.~Ut

(ko-n~)j/adt f4 /I til B l'A~pun/d h't~dlOlUP1rl;~ »c "" 0 hM ~kuLQ.­

-ftim-s~ lft'nkelAdp;' jla.clen...s t4".,en.i~ (169'1). IIVtMLede..s .kQ-h'l Jutn,;:;';de.n t<:Vtke.? ~An !<'A", ta.yfl .J()-I¥l d f"eA;Ot..JI at" httn \fQ-WI 'd~ \fll-n{'lel$te.)

leLte..s~ , wre.st aLh're.ne kQ-x..s~t.t.ktto.n /I n~neA 'd'tn .meRQ.YlI'..$Rel n.flnt.&j at d-

~~ ex th:'d'paG t:I~n ko-nfl-t.kfl j/a..de fa d f'ue!»-«ttl era.ndd ,

~tteunme Ale", fa.st td: delloed tXte::ten n~mlej ,ndt~fl den ktnt~~ 6eL,jje.#'I)'~d

Me.l/em ~ t~fJunldeA. II (t693. q,UQ t>wrXtQ ~,P. ~'-'I. ) J()-A4nl't 'lleAno-etlli

lean 'II< hQ~ /uJbJt>nnelLd o-wr.'tJE.d llaG/e-des: 7o-'t d Litle IJ5'Rkl!' i de.,., ~«nc:16

thad; ve.d.q ),~cItJ ~ce/t~ ta.7ente4ne t' endyu#'lHeltne l te)e.~t itleub.ns he.a.kt~n. <94 'ta."exte4ne (wr,dn~) ttjJell c·ouku.IQ.:It;M~lantn t.' pNe.boye.n ? to~ me~n$ /tea.ktOne.n (nt,dn~) itjJe-t,P41(a.dentYuneJEn ,,~

c c /jet) -sa wrallQ.ele#'1tnntQ.le~ 'tjje " Ru/lfl-e.nJ tNRu.la.f,;"nl1,Pla.n.

£etJ.n),Altei Cuten !Q;tdf t'7.8& en a,!e/len:feaLt;n,~ 'te~tds.r~tld1en ~te..ste t.IJ' , " 17.16 t.:kn oJa.'1'?hf(l !iYI bQ#'Iekwu/·en10-1 en in#A.it'IJt..VOejds~1';enJld-jta.dE yf'~ ..It. tS J. ~VtMe.d!tYielaf) de.tf~oS~ h?ede.hf~:ske 6e&1'l:Sr\SfJdninj S.

Get>dcett~k fiM4lte-,!~Jk~dru.n..J'

me-tieWl ve./drneAne l' tA.~e.~kneAnt t' ft>. ,PunktVl ./l"J B/;

eA jta.dt ell. d~ l'alwz./nddtjhed ~:Me ru,en~jrbe'ncldJe. ~e/uh-zt>d

RAn hfl:J."', v()-WI vi liked ue, ,Ptt nede.Vvlej q'Ui~ It>4.J~eU en uel&t~ t' t4~~n.t~

,P14ne.", t' ;II ~:l enj!~'" kt4ttH,P;/la.dt.",. (Leui - Clt,.ita: 1917.)

...tad e;-t luvt.vepao d to-jt:Vtje difMudt.a-6eLtjlade.sty/&e ~eyeu.efi,H.d (u. f u.l) = ((fI-1(t) aJ:<'(t)) t ~ I

~ . ( 11 I J

~

lcle:t O~u~ =A~:t./·)/ (u/~"t)€./2J ~ ur1'a/lAlTtdiAr~h1.stt:tLt.'1ftYl/1a.elelJ~2Ji!Madsoetfvt 1:r~~ tt'(I).

& del>!~ AtHAL bE I jl.'vd ~n vek~ j2(t) ijletdenJ tAnye~/Q.rrt'

,r;t(t),,~t») tate;, h"/4.", o-m d (t41'1.-je,d)ve/diM/-dt ,~.:!. kuA.l.fen. zJed"r":jur fi(t) = sri) 4:rr/(t~(l(t) 1- 52(t)A~(frt~?tt)

modJu-AAes ve.Jd~/e.lteL l' tf)-fnldti>-neA t rl srt), 52.(t>, t~I. meln ue41

cd triop{t> ~ '1/d t.WJ e 't: At.k:S .sf'1 52&t deL :ato-wrue.ru:l6 ell 7.sac4~-

t'JS th,: 0(- I 1=1 ~t

,I2'~f = Jlt5 +- jltS

I "1::1 ~2

J2'!Y~ = J2.15 +- J2t,~

?Jed en A,,,,,nJ \J(}Ir11';/'. 4 II jtnd..J eta

dp l(dS f'!> rrtE!!l..j~i)

eLt = At dt 1- Ll.i '~, dt ~

. / (dIt L r 2 !!!l.j~i) Z. ~ ~j~i+ A~ dt -I- i,j ij d.t ..} + n ~J ~j dt ~ ·

flvis ko-"",Po-ne~nat fJ e(leJI ta.rr.J~l"&t;oIAnerl I.' ~~t), rp~t) M Q fr;Jt hfFvd"

t E IJ

. "r' ve-Un/dEe.! t rl"ett) at- t.MeM et~e~jRfiaAaLlelj#~KuAfH". - 'l:5~.../;e.t ~ ;nVM.'An.t (}t/eJt.!fM e.t,PM.4wte:IuNki/" t = ~")/ htWJ

1J/€ er» ~ yYu) cddA'J e-\ 01 ,del t =::: ;: ·ctu-e.kto-\rtt t ~j2(t) ta.'1J /(WUre" ell .sacledej etJerxladi.:Sk,Pti.­

h-aJleLj.dtJ

hve:S ~ kt:<n lur(J (5; Sl) ~ IO~ntny ttL dd lu>;nf>j~;Te 6ne~e

(3)

d'1!eAenl"tA.Ltejnlrlj,s..s1,sten1 atF.ste. cnden

d~1 + L.~.. r.1~ Itf) ZttJ) dr.J(t) ~l = 0eli (1 :: t lj 'f I f dt ~

E!J..!l /- L~. _ C~t. fIt) ot't)) d9"J(t).t i =0 .dt ~d - f lj 1 I if dt t:>

~'1Jt.j JtJe.ldell (7l1rd IO~ 1977-7~ ,Po 5~.~" l.fotdnl"nJ I):

See:tn/rt-j 6. ctje~dce-tt.:SkfiAAa,Lle..(ftti tA/2(t)1 tE1; La.~2 £uA­

lien et ent,diJl be..stewtI ue.d/i/.tve.lt.teneyt~(~) i eZjlf.ret RU/tv~unld4;.2enne. k4n fre..sbu'u-e.,s vt.'Ik:Alijf .1.j!4den.s t4n;9-t~kn.!..' ~ ·

~ktli"teAnE' ,e.(I) (.' de.!jeodcdtJ/ce ,pt.Vta-ILeLf'I 1a"j.J R~ven be.­

-sted u-ee!fi(~) = flo -Stye.J a.ir t wt./: atvekto-te.n120 t" t'Anr~/Q.neyt l

4;; Qed 1-e.t>dtde'.sk j2.aAAL/eLJj.Vt~dn"r: Ia".s RMuen.

'l]em~ at I>~e/;deI> at I;"~e jer>wtdA,:sR ned~1 1'~a(Iruoetru'''j I ~. "I.4').

Sr£fn,'rt! 7: en tfJ" j-Q.rt-j.! dtl/-eAen.it.a.lJd kuAtHj2.f!&/lAde", e4 en

jeodce.it:.si! ItuAPeI hthJ ~ Run ),f/'t.'..speL¥'t~e,denhe.dJuekt~ ~ etJLt>dtde'.sRj2.aA.4-tldftlt.

'7.A,' tvtta.jt,s 4:u~J = (r'tt~ rt(t)) at"Vc:ete en n~&.9 ,PtVlQ..mdt'lfenr o

ute.Ue'nj1 e4 t4~eJ~),edsvektf>'2en

irt) = dt£.itf)A. Jrt 'ttJ 2(t l) + dtftJ4 ' ft. rt) tt)I\.- dt - f 1 I t:f I -"2 'f I 'f I

2d~ nu idad) a.f fu."tu t ) :: (r1(t~tf~t) te~e~J~tleIl ~~entta.llr/~eIln~

(2) I." .$rdn/~J .t If>. 4.14)1 I,,,.,~ , Run ),th~ (5:$.2) :: ( $0), ~t) tdjAuu-\Stt~tttll (j).'

Geo-dce:t,jlt RAumrunJ'

zJi /;~~tVl en tt>-JCt."1~ difYlenna..beL kuAeH ,Pa(; d tt>-jQ.7i dtl­jULen:fta.6dt ~de.s~Jda.

~ d (}<l/ttVd'jt RuAu-e;oun/d f eIt. htumnln..f(!.n K1 t' f ojk~­~n.j fJh'1'ddet>-n /)(:~ll&u:lVt,s tel.nje~/A'" i f ~(J-h'f (Ji tJ-h'I. t'dtukal-te) en 1;"'­

dA~ ,jeo-meih.t'.sR ISt~eLre. ~en RQ.tdes Rwwerr.sy.e.o-dte.tt:Skf. kAUW7n."~ t.';';.9dd kuAvurs 'tA7en.i IeJjeA tjfi'4~n.J ~e~lan.l ell

'1 = X C()-J VIAi/is kuAven " f h~ !olun1n/rr.J »c >O. Hell ell ~ u-t'nlde.n ;ne..~W1 tAnye.~la-

nUl OJ R&lAv~t>-Jkd~~¥/4n. (~. boyel'1~. 16.) 1I""s X = 0/ .e,It or:').(, =o. - ~e~(edno-t~eJ y~.J" "f.16):

k'~u-en eh. jeo-~cdt~ h""j 5!J Rem heNS alc!nj jeodadt:ske !<hu"""ln.j

e4 0 .llule,It,/fiunkt.

.4t RuAUUlJ Jf.tJ-dadt".Jke ~un-tnt'",.~ '" t" f e4 inelAe jeo-nf.~t".s~

p:'p.'jell (/-i' v-ed a.t uclOi:;RRe KJ u-et!~lto/rJ.t~e.ite41 ui a.tIMedf tH.d ~

ineAt je.o-J'#'tJu:.$ke 4e -;.oec/e.Lt Jad~'U.", ~~. -((.If) .

.4a.eIJt",m .Jr.eel~j14de.s~Rket~i.J,(;.du-et!en,.ptVta.m~-

. ~e",.st,"''nj) medtn.s Ruhuen zanku.Jitre.t"pa7~en (u;'t.l)::. ttl!f), f~(f)Jit: I. Mea' kt'neh'ta:6.:sk t~mlnol~t' o/'/ALlL kuAt/'e.na.lt.sQ~ I$()-", .6ane.kUAINr el'1 b~()()e.JeLs" .

IIQ.Jttj.JruXeI'f V = V ~A; + V.tA~

OJ fM,!jekft'o-l1erl '1 = fQ (/t.~ + eV.tA~

'1 (U.U/eAa.:tlc.ne'f fJO~IIAelt.n.s tanj~/An 'tL ttcun. ~) Avo-? f =.e'~t1)/<f~~»)

ka.,y '.$;~/ait~J .so-m h4Jt~hed 7 acee.l~o-n ~. 6~Vt:Jej,4e"'J ,P-"t."e.kno-n

pao t4nJu,,"!PIa.nel'1 i It (b~~ri/'. -/£). 7;'lye./, ~).{. - '~~E!;IJ - 1~/3

)

eIt it; )(J !tn,$Jn~t Inulei/C4te.Jn/ ~ e-tle/1. - ·

zJl not~e.Il:.2enJ(J.~oe"JJa K4f.,(.A'tl"ttYtj ~ bV-n/'?j-.J~nefa/UA..n.-t,

Zlden .6e.p-t~ ueIe/~, /I. Go-dz: ~nbto-d"cfto-n tf)- dtjfe/len.naljeo-­

""~j'J ;Ilddt~f)-n/M.sle..r197~ ,Po .2-'1"1) JkeJ ",,' tLluU nOl!.(N~~1 Av~d'es

den Je.t>dceL.~e h.UMmn.j ;(J f: f na.iWt.ujl Rt:V7 R4Ma-kteAt.se-le.J li-teIM.ft.O'me­

~t'.sk ~ oSt.M/e/),ee/s u~/a' .6e,,~.s den .>t~t1e/MAh1e.¥eW?.t2i~~ jV/RuAue.,-, lYle-d f ..s1J"W? /;f.1a.n.j'y:Jun.1d: W 6etEjne4 mea' B($) ~nkkn /'I'r,./!t.,.",

kuAtI-~I'fJ tc..7edenhed'Jve.kltYI 1rs) iii" veh'"fYl.eI'1/ de/l/~ atfro) u-edj'­ododc',sk{JlJAtdlJr.sRJdn,n.j /A~.s k~venrIA {/ til f, (~e z'c:> ()e~t~eIi

t(}jell J~J~ l'jl4den.s ttA.'1e.,J,;x'4n t' Ii.) 2J~jce.ld&t dQ

Bts) --... )(,l-s] ~-+O J ·

.,ad hAtl-de tMeJte.tn~ttjt 4i" In'1'~e bfj~e.&dJecd~:sk ht"W7J'f'~ adtUn­

ne~: ~cf (/-,U"e~ jletde.vce.,Jenj~e,

$aJ.7~ GM

:/I. CI'1 ciAkd ''iJt-rldt ~~LHku;&f't>.dtk4n .- M~d'p~V"t:A ua1. '1'jL~ei'isk~k~c::t,~d~ - 7'ritt.S <S6'"w1 &;, ~t.ddt..

t:~kd U lu.:lttHtAdt.H~~e.c:I4kH#cllJ

i b,ult/l knre,7 t 1I~"I'~Cl~1~tM.

~ I,~ehtt kd~ lJf'i~(f)? ~It>~l

enht,tisq.e,/et~tA lkJtj'tH.£t41~frI4¥f./ ctJ I'fl tlJ~Mt.H.~~un!ttlft'flt:,>,lt:t..l~, \Sl/cdu ~~(t) ~/t~ttd'H~#zl~ .

. N({) W1~n.~tl~(?h~hLl..tf!H;eJ1,·(..dJ&.k~~..-

Ae kt4e.6d~nl~knt d~£tnldr~~tladt.7~e¥14tY~~~~u/nkeJ"dr Mr;/,UJ/~11.Jd.'ltd~ th fke/v.>J n~n-td tt>~lt:Ie-t)··

. r1J dd. tiN ..•. ..1..... 11 ~ •.~z.,«: dii ·~i(/t'.J,. a.ta"~~ rIUG';'~ern4/)r~lez!ftule.H-J

ta.7~~"'ttAM l·'1 .V1 !Itt) 4in~i, -~(f) ~/nb .

(U'n.k. ~~tzts f~~J. II /: d/~t~&'(~fk.~ , io--Ikw t .s~., "74'*",,)eJt 11 e;fdV'u"tl<,td~ k~ ,Aea< )

(~r;"lJt C Mt.",,!(Ylt.j«.tIJ-u.)

8. Ge.~d~-f,Jk j2.tvu:Jie.-¢-J.uk-1dn/t!:j k~..'! ku4~. ftfJ'k~/~4~ •

..t4.d t rA t;) t6-Z tJce.~t e"'/a/lCtn't~­

!,~lMst,l/'~i je-1 ~ d,'VI(.H.-I,~1 ~I)t~

i AntrAlI a.t~. kW1P~un.etCA LijJUI/~I!n k"jkjkdt. z},::IfAt eh . [ftt)liM ),~ ten tH1d~ ~.. kI4f14du~~ -tA~~bt: ~.

?71rAH taL10 tn'M d Ta.7c~due.lt~dt~

~i'11a~rl 't~ ~tS~n. ~k¥~,R­i-to-,..u.'n B tVda.;u. d,jftA<.H-t,a-Jd.

!ltJ.t,J 1;!~ I,lJt4,t t~1 It)j~n jX1'~kulliIQd~t.J~hta.l ,,·If/ "Je.Jr/·6"t ed /HUt d -le~cdnJ/(~tvudk~~k71¢l4e1eH lay.:! kunfXl'1; 0;IJdttfYtVln.t 9 ft ) tJ7t4 drt7~ ~v~~t~tA ~(~: ,. ~Z/e,rQ"w~t47ent...~(4-H i ~ u-uI-lt-~«!,t,'.sRj2.aAa.tIdl-t>1\S~d'~u7 ft-t:I ~7 ~4d~ ~~ RWiUfrl,

10 U.s/ at d t,i1aold~tj?(vu!h1~Jhl'/tn kWltJe~ tI1 «d'VI ~dH'7/(Y)

"ere IJd?tdodJk'pa..~a.1Idf't.

-86

Mil d 1~/de.n i err vel~ 6e.v&Vte.~ v-dleud'~:sR;PeWQ.,l/dri$'1dn/~.

SO & ~ '1 .& / t:::'~e ~ jerJ-ddNk~/ahaLIdjdtVl~Q~k7/j la-cltA Ia~

~e,c1dtctAld~ ~U/ b4 ede4 I> ~

C. Gebdtet/Jk i:4uh'tn;n-j 4 chidf!.c.D

krl#~.

~tJcdt~~ a(~~e..tu .#.

,0 Ii 13e.; tewr ()-irddtn 'Y:: ?j/(t)" - !t:gwylWhdn,;/U't - )

g !J4c/ e..d, s 4tf t td 1 el1lttds~dtMtA 9= etC) 'cSt

d le~t/J/(?MA-tldjiltr kUJI1:.:tdtn 147@ hu:ldf..cUtN~n Ir/$d ~,a'~ ~, - 0eI')MAUt.

M'n./(Itn p .4in e..J h'lulf~t;?n.

?keddecbt~~ t4nj~nt AM 4dtl7U't ()~t-. z),-~k;IU'Ir: ~rl/~~tI+.

dM.dI J,d,.,/,-tj ~, -~. 0t~.IU.i5en A(-V) = f/"t,) -¥'(t+-~t) k4t'd'e.s ~/~

t4H.9u dtrlJ At.~d«:t;~~t.· &6,~,:,tlrl4. > -'ntt:4;t,,$ Ie'"., .0(-0 h~ L!.$ f.h ,6';1.--/' . -'/--/- , ,6$...,0 &11) '.

/l;ejt:4n) ~ .htda'tc,tA"lt,rt:JJe-(/I'a'tJt"t,J~ k.~UW'''''~i '7'2 0 zhJ; (J,{ d.~jf.~~:skt fanle.,!~~'nlrl.y tXt:! :.t/t.n;-tt.~'61ert c~­

.kd Mt.d{«!A./~k44~UJ Q( 'po. AI? k~J6. ~d4A~4.s I( e.4 .ar~,...s ee,./ . (

~atnJ >t, = I( cot0( •

3 6 ?7dd ~ fA d ,Pu.H.ldrellciAItIUt/ ",k4./ n-ttItrl vi.Jt/ 4i btuMHlhj'" i ?ietYtk1en.srrjdtdn po KaJlen" ~e+lo.n e'/i ~. 6j "r

G.

en kWi-V< tJiJI'NVtd;'411 &tMe"teAr t.,,1,$7, 'itH;(.Y/JC: t 2

-~ t~[o04',': t ) I.>

P'1. it.i. d .£ce.drJ. hdd~~kld kc.nd,naL'j,~tern X!I ~ jI4"'Zt:.rI.

IfJ Us/ e.t I:uAvtrl VI d!lfAfn:t:~J.

e: Zlnate/l.57/ ~"1 kuAlh.rl VI ttr-/t'./Y;JI. dfjV1t.-rr'"6liid.

J~ ~-so~ p-zha/dd t! IHd/~~ ttl~J,#."td4y',.,t~~ IUJ;dot~·,.

at k7 /(w'J~hindr: bl l ,?dtds~tt#'Jddlrt~t1) viet· .

rcen.!t,~Q.nJc.n Ll...$ .. 0,

~a..d t ~ f) t<Go Z, V«At1'4/'1~UH~ft.,.-t~-I.tt'nJrCon #q.J14nJ<d,tlVte.I,,.t;~e;/ 1c~tJ-e.. ~: 4~lIrld. MJ1 dk~~·vt.J ~n/"

(' It ell _. J' 4.· ...7; 7i .. J" . 4. r: 7i~ )( - tIm 2 =- "m ..:t. )

-i~t. I~I t~to IF:. ': I

J,~ r M RWtU</'l.S ~JVt-t i It i LlJ dt'lJ /,ue.1ce7der et- ~ •

LQ,~ t,..,~) t~I, ~t;>Mtvndvr.ru.1..$~'11/7 f~ (Ul ~£J~£

'd'f.c.JIt.l4.tla-be./ fuV€/ Ath:S hUJrtrU~ l' ~ i!de- ~ tJ. u~/a2' kwt­thnJ ;w.wU.h./ske. tM.J~·~ t' f e/l

o

1'-. / _ J'. 47itflt . J'. 41ii~l - lem 0 == "ryt -tt~t" iss! i:...,t, II? 1'./ )t. f:

AfI~ ~ Vt I!U/)*~~ ~Jkula.f,~r~ i f 0; AS t'ten~ 6iA.t.1oertrftl ~.

to ~f,flteJtnt / aLIt~ttn~ a(err d;fft/J~n ..:ta.td.eUhtJ-' e'hun-"­

~ a.n..tAjU d V~ ,PMa.-ttdlt. 1J~ve'-s~ at ~tH-rr e4 U1 dd

at~ hdb'rU4 ·

.26 En i~ jAJ<it d"lfeh~rll;cJJd &ve ~. h"'WlWld Cut.ta.1t.-J dAttuc~"H1I't':~tj'.n () I.~ IIIX ,A-t /,u,,/d: ~uH6/ at Ru.4Ue.H eh e-n de./

1~hdt~/e.

H."

I.

J.

(tl ~entt4nt. (,~ aill.l'unkteh 1'-rl d~'It'H';'~d Ruh-vC ,v~t/~

cd~t th'ntd1d£.~t enjew'he£t,';ctjrr"~~~~t~~ ~g.~t-tI'lj.l at ~uAik;1 '')/VI i eMr,;'f Q,~dAd~ ~.

3 0 en tt.e J4'/t. dl!.Jlf.H,"6~J ~uAQt/ h~/~ ~n-1n,n.l e1!t>1.s.id.te, ret, o i /1iltA.t,!>""id; evda.;e.$. erAaVt Ir:r'l,J:t»1#t 0,:/,Ui/t,t/tU'Jd. 2JlW"t'/ a-t kuA-ven bjju ~. fori1'1a.n,

~ en i4e.jti7 { d~~cn.:t,aiu.l RwuH.J htl',J htUwtnJ~t7 &It!tYI.skd- .

Ie} ra o//t,;-erJ~urld; ~ ~t4nit.nneh~Ic'6.J4d~/nj'

to IIwulJkdJ .IYleci ! ~ ~ Mol TJ

1'1;" kt:vuh..n 'Y'~teJ /ertl'ltt.rl ?

:l U'J.I d tM&,g..ne.n t/) () t'dlu)-(A.t t7?fiu;,~t1M kuA(/-t,;'t.; a't;IIS.

d k~vel'tu~ It~ ~m"1ol(tnen VI ;h-'th1e..A:p14nr RM·Vtrl,

(

"7;'xd k.1tMrll'1,'njf-'" i t~'pU""'~'(4ht

l'~~ Jlj»c P'lul ArA-/v-a.KJeJI Q.' IJI

a. '>6/ tJ-telk"J i .Joe'txixJcn Q'WI

ht~ i enfMtj, 'ct.s-\::t ItWltJ-t.

~, G/Ve,t d .JcedvtknljtAe.tV'Jf1/dd ki7c-Jf(:/.i-ta-tIIeJ~'1 x-fz /h';#1md'.

to tAJ1td 11J1icln''nje.n~ .. (u.v-) ~ {(/ j,(.cc:t f:Hd

Ix» ) (( 1 . .t..l 1)-') 1''''''1 -I<u.f~ -(<(v"ffX t.1. ~ ",) l i /- .J

"i' )(C~uIJ;nuIV) r O(u<1it/ -I#!v~(

eJt. fM(4#1diA~tH1.;,Ldb~tj r ..t al,frAt;11,·t'h..~ttIIQd~;j 7~/(~

i buloui/ c1efiij,-01H<.-4#JR (te.;'" 7!o-)kIM). .

,20 s;~ ti~ltt/tJ") dv-s. eAIlaelf,.j~Me,fudeu ~6'(I~.uoHk'~?

SO :.rt~d .Jt(./(/tf ~1t( def·KUA.d 15()?vl. t' I~ men kurtr -/~t.(.( ~11';

-I«if « I. ~~J.butJ- ttadt.\$~d jet>n.,dt.t,jk i jt;~ ht<:4r/ed»" Vt "7e,-tt;:v. ~/,,-1 lcqnf;';u.,t.e;-,.t ? .

KuntJl JlaelIe< de.J 'l/<..kl. ·

kdr": (~rJ)""; e;l!) (c.t,v)6-J2, ~t tn ~Al;A.h'lc.t~VHI!'/"l/.~·fJ?)d d,!fAtJ1-/;'46,JI j/adeJ('1kk" 7?~ efv, i~,-r hI ~I't nkW1l.!-tr'

t~dtl!t;M,"t'; I;1tnbJ A tAw e~. koi,'4Ul c?V~?4tfA ..f2,C;.f ki4.llV< e' ..f) !,t,..t..tte'tlt.£ t.--7 (:ra~ ?f'(fJ); t(f I) nut:! (?(It"'/F(t))~flr: Q.;tLe t€~ hl/M if 0; V ,.adtlwndlStt e.1. k&/n-'t~,Ui.t.4tt. .

»: -liLsvMut~ "RWl()(' j>at!flaa't.-..s,Me.1 Jt K4M .na-r"t0~v/-i ~e.z,/tt.j

utr1l-~ e",kWJIH l /H,tM;'_'U~ n-udjH#1..J1,.//,j./

t ~ If:: ~(I~ 't(t) ;:,/(rr(fj YIlt),)... t~ I,

(

M. ~t.Vt~it ~rl kU/'t1.Hr' d d,;feA~i't.:I,a.Jdt t/~&4;$;kkt. <0e"1 z'~;t.

~w i/~J JO"h-1 rld~ 6e.jhit~t) v-ed .

(~v) ;: (<'('(t)/ y(t»)j ee I;htXr'/ u~ (} ""I'(VHt'#1~t /,d."jlev:4,$';Mel I' t?f" (;.~ kqnft#'j.ie,,~it

jUJ.,4:.t,q; t~rl.I6M "tedef~) a en ev-tr,tu,,1 (/ualll')tculljuJ te:/ RWU/,e,;1 i

~t lca/>vt,PtJ,t/(t ~(t~7f/(t) LijjcA t' jICtd<.-.s?~A:'t.-6 iQ.~/o-r.f;;/4'f

"/I.tn~td,

t2e.tulta..td ~(7t1(.J t~ eJc.s. 9) !,nt'f., t; ~. ilfO i lUi-It,,,;).

JJlcd$&$ 19/0/

/II. 7Misdt...~t 0(C~~LH i. Je.

G,:., Ae.de.!tYl/ a.t;Ot-I."ltteht.€ 'plioRuAlkA j,tJ.d (/-u/

(~jlz) =(co.s~ .t,~ 0)/ -]< t< 11aile '1JeJt ,fJ,,6jkdeJiykke-tl meA a.t)'lVtQh1e.~?e.-s~·tt7~

,'kke ka." Ilht,fJ.e..s t ..;~(((!(tJ, rti »)" -I< t<*j

hte.d ko-n.~n"'e.-t.te· fu..#'I~ti>"eA Cf, y: <9e1t e-' .taO~~.s ~~ 14." fMf

~,., "kU,ltvt ,P:flo.de.Jt.7kkd '~

i7krl n,t~(' a..tiJ,," ~kr !fr'!".,,,,kJle II kU/ltN:r jladu';M" " m,t:!~Wl­

Of.; hV/J ,PunldtA aile It;l~ ,P~l/~Jty~/(d, ('f J>$,t:} ,~'z:II z,{- utI rza u>".st

Jat on,u/t:.ncLIen),~ •• , kuAtJ;c~'ftedVt "" )

J~ d7

()'u~lu (J, P.

0. '£a.c!/-l: (u,v).-j e: Ut/V)~.f2, ~e en/,"Qh'1et~r~..s-n~7/f>-1.

d dfv'4nt'a.6df;¥Ad'e.J~~ke ,OJ an.t~/ a.t~ VI eye.ktt/ med

en inutA..J1 a'M e.-lk~,d;"~~ "e-~'1te.t \.Jo-h'1·ajb,lcl'f'-" f44 en de/..

hf~"e i 4u.mh1d. .

U'J/ tde"f-e~.ste'lle~ re" ~~,d"nu~k-u-lQe t' AU.h'7nore.Zj A~

a.& k~]Ounk.&~ ''lye/! ,P"ojlQ..dut./kkd; k~ .s,hu~e.s ·

(f,(,v) :: (ce(tdrltJt t 6 I;cluJ. t -.l ;;tl? vl(-~) =/(tf(t~ ~(t)" tG~

me.d ko-nz$nUeh-te ,~ ~

K~~,., kA,., a.tI.s,," ~rzte.s"o-", en qk-tUi.tH.1'4-;t4den '~

I? LAc!/: (ulv) rl e,v ~ (u~q)~f? UQVle en"p~e.tMre~.s~·a7/~

et t:6i/elle I't.-t'a.6dffla.eluIy/d(e .WJ

IaX dAvut (u"v)G..f2 hAA e,.. t>.-ne.J" a.> ~..I21 .sa·~de.J a.t

.heu~~'k/;'e?nen of/"" 6:( co ~ '7~t/ h'ledUt ':,.,uu,s/ ~ tYI

kt>,d;.,.,"~ be;6,.,tdvt>w-r iZ,tdn/7/AQ e~ det,.,ee./al

i /ur.",~d.

M'nk: ..sf'p' IJ~ eI<:J.3.

Q. 9 Avvd'pUh~1 P 1"i n jt:<'iJ d'F'Jv1r-ta"~tt j6td~~M~ F#cknd(j-6~u~tktUt} n ~~ vae-~t..~ en t.ltA",IS~t(Y1 !! j/&jlaofrltYlh14­

Ie...n/ Jttle.d-f,4 at !J ~/~t0 k~t;n~vz.t (tYiI-".J. t/) t..~1 ~'6n"Qttju#1R-

fefn.-, r~(l"te:6,en~ (' e.n'pM"'"ft..~tn-,st(.:LI"7 ftYi F).

1'6"ldn'-7~n p,.; IV r- 11t:~d~J'lkR(,t F-f1 tn ufA~~kl.le.fl401t!. hte.d (!enAti;n ~ lu)"fY'/ IV VI r'" ~d ON =a, h ..le;4.s d;11 ¢~/lIA

...sRt n~",td.1i/ldn/~_ a/F.zhJ) of d"t ~ t;t <'4"-'- aj'6//dn"7 ?4 F 6.-1 S.

zI.·nk: .s.:f/aA4h"t"~( ~fAtS kA" ItttVt bko.it 6~n-£tk ~ f,tf>­tYi.d/n,.a,tchrt.t t' d <it:edtrt>.d,;t /i"tUl'nldd kg-(yu:l"rl4f,JI..r-~, ...rrz.

/( en. klle.l(~de f'~cn«/l 1/?(J-!e4rtt. 1/ 161Id<" t't?ntd1/·n;rtf.c/l/rtd'tA-

jttA-dvr) de;, ,};c~,,-) t!I~l~ II~: L5dlu;'ed a:t;>ty~1d Pl·· 6,·/le.d-·

,Pt.tA.Id I( 4jjVl /" "'t!tb'1n4l Aaltll~1-lIt U~eJlrta't ret ,t~1'Vt~"andtlt ~dV1nk,,1.

to GD1 A(.dtIn, a.t aj611c1rl1~t}'~1 t.I1 t.rt td-.. d~Ch-fMf' /ut"e n dd

~!C7/'';-edv(l4d,I't,

2t- ~t>JtUl1 1'.lJ1/d.m7.Ut.J ),nJt6~u';-t,9(¥~ -.!r.tP&-t '-tt6~Jn , In,'ndsft

;rtt:llt...ttC"~/(Y(.Adt:l e' AeHr...t~4.tn~t ~3° z4~, d 16//d;1h.:;tJ4 ~ C0e.al~(7. (~kllntdt-.s.)

Vt.dad/erldn'7 ajC11"rtdfA/~cltrtI~ -<1A#-t6v:'~,e!!.7-'d/,~ r(kilt/lAden (177.2), - ..9"17 IH.v:'~ 'UOLt /lJt.C.)lIh'?(de~ n~vht.

d

.- 1500 -- 120° - 90° - 60° - JOo 0° JOO 60° 90° 1200 150° 1800

60°

S en en),t,dJIL,&/Iadt/ ;;drt4tA II 'po-ItArl<.-: 'f&/I~J i hH~/'ru.,i,.s ..Cl"l-..dtAjlC<.de.n/ de/l A.~t.4 I"" U)-1 Ii~vdlM '~ ",~a'~ N'1'u.H1d 'I?7 6/tltalJtuut:.t.1? I'/lt-h '" :tn/~'( h4/?,1t\#'1 fr~~r 'r":dt4~:~ I uate.~' d e: h~'aIe ~ .t>fkA cek~MJ~lan~l/~t

tJ-t.d 'p,j b.lj!d~ b) ~ =/&),

Ie 1Je..Jt4-t?MJLI/Pn(..1'1~ sa".!ede,s d o(b/ldrz//C-n e.4 "rin~dPtI7.

tluludjt>ldn,;/. at :r/'ndch/ladf#-' I~ ,7I1tAca.-tvwft1j-~/;e-n 01k/lfla:alt.n (15~9))bUJttJ; ta.llt.) <Je~~t.

.20 G~ -'t~e& !~I r:d k~~(.h ;Of)' k-ujl"n'tldVtJ AWJ tAn;f;/"t AMft..stktnnj/t>4-'ldu';-1 J 1~~a:4<,-mt.1) 1,~"",ellrI~~(//.h.e-~ Lt'n./e"

tt,kkt}.4.

80

70 1,1+

60 1,52

5"0 '00/fO ~16r30 ~5j20 'J3G10 Q180 .: -0-

180 90 90 180

'?c.:jjWte.n to aj6ild'd ddJ '-n 1()-J(c>t:0z¢"#1j~MrtVH1 '/ .11; cld..s

\Sr~ctAlGle.n rr:: at to""f/uhktc/l., .

3 tJ '1:nd.J(!vrl,-n~n),ce;-/t..n. .-rtdhn-t (.61~"tcl) /) /'ut.lee7e& ~

~~ddt./~ en 1~~c-;nJ )';/,$ tN:ro~,,1mt"" nCr,Jtt:I-7d n..,~'tIC:(,a-

~rte ~. <X,

4 C Us; cd /I-'tt!!rl ved a.t!;;~(. VI t~(>d4.~t) h~ 0<0«1/ Vltn~~ .J1j t.n i ~~ehne , <J4httclj 'pa.,J..r~'i.t t."1A~ l'ttJ-'trl-.s.J"

.;rIt,4Ia!.AH UV" dJ :Jt ~. GG'~ 4e~ !()4, cd ,.-t~,.tJ.(dcdItj~~

'po-Iellnl -it"! lo-tCc-dnt>-",<¥t fM ~n 1cc>~Ztnu~t KWl(}-() d~ AM 4./'1

I>Ut-I«!J/~) Men //dc k:w {JraLv)tQ.7<nt / b'ld7l'U.HU~.nt'.

T· chkullikt4l';nt:tA;tl'unU 0 ~;'Ia't-J ;;~f tA.71.4.0lan~"

t' del d/Ah't..~Aith1~J~I'U#'f~t ~ I.t.a&ats 4'1'"i'tU,o '7iJ,·tlt#''pUI't~t I( ~JjeA/':1.14n-vn£ \f~akTtl 0. (StUt.ttp-a/!-itk

~ieR.ntrn. )

1° G~ Ald'~~I ~rZ/leln'J/~n t/l e.n tt0:d.7fto-~f:

(eJ;n.R. 'lJ~7tI eh. knjdt / ;pt>ldt~t4;tCt 'p6~ k7/i"4~rl .,

/Jl7kAe. ~ctlud~ 'jJIIV1t,rl)

.20 U:sj td IJt~t·,;;.i:Skr'fddiht ell tJrt'nReLtu7.

/If he-JJn "ill'kdJ~n II-'~VihMA~'1 .

ea; e/e,., n.~/'j' Aa./l/'R/h / Ifte/tw-

rrJkr7'J:z',m.

U. <t4.et,cV~t 1,'1 lu,."/i/ e.n/urdsK./ll"~,1 ij~4HJLt t(mC/u'~An-c~ktfA m~d tf1tl'1jde /:: f: I. . ..9eA .s0jLJ ~ dlfe-ennf' (fl i r -&."Il'knt."'/ ..ra%dtJai

Ii) ~f'tlui;n«7dtn ~(F) e.1- err ctAkd.s,e/d-e..

(ii) tf ~;1d~ Uft.· .4A.lv,J~e.d«'e.e.4k/~ t:~a./u:d'Jlt kM-dtA.

fli"i) 1 eJt ah.uJl.A(;~ .

d;J4Vt.rt j ..ft:Lld~~"ref-·s.sa-1..sch"..,,'dt i (i,CJJf.1"1 I!O:J/ !:>hi/Ie'st t'

(J~ ()I,!M~~n~h"'••,., 1<"41\1 mvUwuf.lt., '

?- o'v-e-I.se4nt 2L()-j zllJej,ttncllcA~e'

hLnlu>la'J""i.s e.n7«')At.d, £..ts;:ttcn.s.

x........--+--....-~

/-jCt,/'p. )/PA-!e!!ene..t7 u en evta.~.sf;: 7114.ff -/4frnkfA -11 en r(6Itd..;'U"'j ¢ IJfJm c'n,skdJ /UI~/.Ie.Jt eyenul?a,,&<A Uta'de.,.., , "~cIt d naG

f t.W'l itr t...., '~~41dttJU.JVa./i'l-J ·

;(e,k.s, l f~t..nd'", 'th4',,:

(Ov) C0.-.edJK/vcrl.S htt~u...s ~ ~,

(6) is: heJd-t-) ~ua.f~ a(6/lclt.-.S pa: ~rl t:f;'4h-tdtA 01/ den rlndtjt

~...srdtje dJ01 AeJv~/en ~ Avt;\ ,s/;1A~/vcM~ let.d t>-.J

t~ _~ ""r II tntfA. 7 I. ~n"U4 d ·

(c) ~ t&-d~/ hvo<'U' e~ (kdt/)~t."ckci>t.~J adell 1t4liJ"ku'jkn/ a'~n

n~t:lt')t 7 dt'" '1d ''jfI {6/1d'u henht>IdJP-I:S P'2f~ ~"undtA ~~t,i,P4ht.na{ kMdt. ?j~ttd....,..1&.", aii'utdin 7M~~Iaf

e tl.u;(dtJ ~4 o-n14Qdd htdlt.~ ditun~ 7 k04~.

Ud M~'J i d ko-c--'let~ttNt/.Jtt!m xy .$~1

tH~t- t.tel6"J~k~~ rj tree! .

Jt : I(~ 6)

J ::: j(6) ) .

hIM ~ I:, ell tce/del t>4e.dtlt 'pa~ A(J,lv/~//"A.

(e.) 711e.d J -: {j ,s.nf/ -1<(3<11 jce/de/} ~2f'........-~(* ) .2f"" .lln..$f =7i .s,',*,"6 ·

f(> """ltt,.".,,,;? X" t,-;.21- ~ .J~'n 2t~ tlf ]-!1J:e4 6f'~t~Jt. <t: h1ul 1"'1> >0 7 v~'­

~~cIe J-~ 'Ti!.~) lA" hM II: 1= Vi~nf Mt.d f~ x-y".,t;~6»)

r" = 'Il,s,'n i'(1Tu,:n.6). '

.L; C¢-./-ts ~ -- rr Ce-6 h .

fj> /lf6"1"~/nJ&r'P/ 1fMCurt,ttA~nVl~d~tJ2~ ]-1,1.[-iiu .pe: A~.ierlc~llr.lkdt.n h411 i (t,,~) tVita.'!tn),rrtd,t c.~ /).

(k) -4j/Jildn.,'njcn ~/' at/tVlfUHdvHJ?rt/t;a;..( ..12 f"J~ cJhk"/l$k,iJt.n

.kith i (t,~) ahealj~)'()-'oIc.l

I ~.~ - ~t· 0/ : Ire;. Q cHf z(l) ~:: I'(l.b) :: + .2fl cC'O l3 (J4h'1lnt- -/»tt-411 Q'lJr..4tLLt).

'dt !f:l . - 7i I /- /

(ht.) X, = f{~&) = ~t CtMf) efell evt.qm(n/(flteAt~ atX-aksGn.

(lIfhn/~ ikkt die.d ,,(6) ?)

';&-rulta.i: IIvtJ dVl- Indu en aj6/t£,,'nj f '.5fl?r1 ,,'nIJ.kdj kanc:lUf

ued k'j .1'e:t-lfJedtrA.nl')t ~dtA;.#i'te.t ~d,#~;J*h4 Kf a,/-

-lAjk/tf,.$ x > .::fi t c.~f'1: VI .s,-"tf )

AWl ~~ e4 '«I'tJdt/~~U~dt; i fe]-{,If M j,U<.tuul (*).

}jdle.. t/1'JVI e~~d'r(.a{n.

AI8. en lU't~.tt -),~ IHetrllb- Ifta.,~~ InulAi ~kt. If!j_ e.,.., Ic!sn,? ­.ko..YI "",lIt/; ","«4t d tk,'.4*I'f.J"tth~. - (lI1tn dLn &,.. evt. ~1P,t en

k~;1"''ddI;$~ den ext.Jtt htd')ltu:l)

tJ: 1T4-t/we/dt.4fi!t'!je.ktlrm. (tiM).

_2° zIc'J flJ t' ,,~e.t$t. U.

~e,,'¢t,"'c-I't'A (~) .t(J +.J/n..tf :: 71 ..s/".6

f~'I&eJltA clQ(J6 l-iIl -S~ t€o:.fYfk.t/~A/6tl-f,If}fJ =- X-'(1i.J,·n6).

_/0. .,. f... _,;./~ .tA fjf _ ~ 1VI.5

jA£ -, ct>-.5/~ db - 'II ,~ 0 \

7I?J 2tJ t91()I

~Vix = ---rr t ce-sf1 z: V2 ,$/'1(3 J

,1tJ-6-1 ~!J eA Idt/de; 6-leda'e jJQ4

k7 /ejt4dt.rt/ ,jJG 1-11[ ~ j,iH,t1$(Tm funJct;fn-, 1 6 ou:l /le.,~t,fn,tt#"t (*); lrtede.n.J ~'1 ~ ..s«.r:lPa:~1.lt

hdv/;,l<.lt tJlt k~~;tdVt ''pIAnert.

t fJ -;6wt,P? 6'I/e..dd~d ~'at

'Yte/l.td,i:t.n.f,n Wle.cIjl've.rt ~de.. tha.lerkuJ'ik clen Fl''ud ve.d -1< t <i.he-I, k,lylad'tn,l 'pc.~tX'A ff/e/tIC/;'i:Li4e.i'1 t =- :!: sr,

-Me.ddai-1.kle.n mt.?,(.J.tn ~fd'ah b.

- -"-- ---------- - - ----- -------~

e: Go~ /luiL!tYt/ cd ~ U eA dejfto-~tYtf'jJa~ 6e'lle.d~atr:Jt:6.n:

.3 ~ zt~,1 cd ~Ut evet.4-ttuJ".

(t/i,d. U:.s; ,a:t/ 7 @;p hM 1!Q.h't,.,~ Mt+Ao-IcI"r"(~!J)~f2; !.'~~ 'C/I 16/1dn'7 eA i/Meune:teAt»rVtaa~t..n=J-~1f! It' J-l~ i [ ,P; k'7/Y&itJkrl' h'V/. kA.'" _,4 hJ.H'~t -Itt7~')

.,,;0 Go~ he~ 1M, ed /ie..$v,t"k~~Ut ~/F e4 en lo'.Jrt;~~r1e.JJ~Sc/,,..,;cl.t,s ;M.tr61t.n1 ~. o've.Lu ZI. (~a.tisalJdtn t.H~.stt/ ~ 4e.,su./-

MddVt t/t-J t" b~t-,/t..u.,,)JC. UJ,aZ~n d~o-~fYl,li ¢ c( d jlo.clesZjKRl 1J1'()4 ttf&telt..J~ {)

S(Prl ~ !>c.ce6. v-e'nkt-Itto- / AAe.At~Q".J eJI en 6jt~/'nj'

(ct tAndKMt 14,-, ua~du t';fPt ~~ ~D~ ()-;',,,/(,If-1(r tJj Me(;\l~".)

tdt.f de:1 tJI:S!J i ~tfl~ ed ,,;.,.zd..s7kkl1"2n~J/~ac.h Ran tldjc/desJ

¥. ~umRuJ1~ ~nle.n~~·

Cn rr:r c/;(Vlu~-t'~d.eM-4tJ-t kl JUHJ blf.Urtn'7 x eA-jCri­-JR~tl;l rOt () t A~t»-« t~:RCJ i/~t tkd ;'udu'i.7 /,444/#'U-

. 'tc4ftt#I.s{'i/'~1 0/1::: E(u)... U G' .L · Cnh~d-f,&tM.en ;0'/&Un;Pc.J4";:'

v.t 1udv-te...n.9ud TI- b<.-iet)rltlJ i.(>./ /

7lQ./l ;//let?He."tfr/6<A £U/i()otn k be4huQVI tk.J./~1-te.n Ten flo-r::UkAldd ":": t:,,~~u~ch. u b~7tt.J; &n dd F r1'tUt't~aC4 "~hu~ i 7.J aId A I~e IrlI.A'Ji'UJ ·

t; . -or /) rJ e J;Ir Zldz7,

JIt \J~due~r.nf.n (JP=- ;/u,,~) il'll'ul'tldd r:» ~v /" ~M~'

ue':&:vrtG.r1 r of,. 4::~ J A~ ./IpAM 1~7dt;., v,

4 4 d:s,J cd r e/l d d;fe/l~~4J6dt jla.deuz>4:Rt.. ~~n#7 T4."7~'t,t­

pltVtt.n i A~;:;UMkt P;:>ot! F / ')t.J~/Lt- d'~1<$ .bd)j~/1(d "

!tJ1/,C/dIt! kWi4J.tJ't. ,

Lc<-d t;JuLt-S 073 -= g(U)" u~ 11 daVIe .na..~/j ~cvu::urldeAfeh-t.st,t­

tn;!~ t.H kwJ()-t e, ;nul t"IJVa,~u1dt !fM-",dJfJet'n./r,f/i ..tl?h 1 to/'1 &-'1/, ,~ !J 16/" ,r-: aen tt"~t;-t~ k~vZ:~viJ''".?:etd<.~ jatt- ,

i4J cd I:ullt.dt,t /( = @t"P) f d ;ouHh' P jJa dtn/tNl'6(/'tA41erli:Vl.

Jut-e -6.1 .e ~- :4::~ 7iCII,l': den ,Pt:7tJ16 t/t. )'a.lV't~:Ju"t 6-/ t "B::8«) 7 /lP= E/(. (VI' &.(cNlhv'te..~ 0-.$ ildt &!?It d~6d9'"J,t~t'M;;o'fl4-dUHt~) .

j' 21j~un~ ed tJ·~ Vtd,ifi~~0~ 0; ~J) a.t~M ~n 6r!/~dnl)

hviJ i Run)"rl-$ a{ t'o- Ru.~()tA ;' rl·t&PI:Mt;'t~l'un.4:td/.- hd!> iJd»1"

htt JiJ,Uh1;V~1'

4~ 0f7ff1 el05ury>d Ia-de4 vt' AlA k tk£lJt €rl ~htad,nl;r:" t vcedpan'-

t?t /t,dviHltltat R~~na,tt/> dtd "Itt u i-l, i JD .

-" :: ~s 'Ii l :J Z -sI/f. Vi; <:::vl ) a e sc.

7;'rtd tfl /,MAhtdf.A7lt:,m..!t;'ItI, r: ~Y7 ~t~6 kWU.H ,Pq<j!a.­

den. ;: bt.>5b,tJd l' ~n ,Pl>t51'lItx Aaitrta~rnL) de/lriune/VipW'tR.te/ln~ JVtV)exck rtf (~u)=(q.4) 0; ~tI'):=6~~).

(Unit. Zldfld r ; S'{ jP/~nt.n l 7 tu:l7k 16;lo/;"~74."" l R~­

c4nafiA (u)(/) 0; (..; 7)')

9 der'Lyc.nde D'v-dsV/ ben,tte.s bd~ndsellne fAa lYtetJ' -4: 20;1 kalde.5

plVtAW1.eilien.e "~V t' utedd jiYl "~t"~. - v-edkOo"~e.~ u.eA'fYII"njfIA k4.I'f

dv, ~.s tHJe)Ll en v-As /u'.se'kr;I~t~'I d-edIfYlve/&st;~ 1.:~",clt.s , cA:.J,PtJ--

ne.nt~.

z. ~od tt>J A " } ' :!:!,e/tVl-tt.a.6eLtfla~.J'Jldt jl"vd tH.dUt'p~a..,.,dfh­

"jAewr.st(,tien..j ~q = A (u~v) ISk~eII~a""uMkuh~ne A,ntv-tel~ Uft-

dVi .ltd ue;"~et. U-.s" J

IE. Ge.Ood-it:skt k~~ /2.;.!!! (;wr~~"",.,,¢aeh. CtQ~A"ts uDtdnin-j'

~dA'1t en tH1'1eb,JnlnJ.sfIA~ jlfth'Pko-hrWfet ue~ aZen to-JQ"'je d{/e­A~A6d AtuAII'e ,: )(Z -;:>'4'1."'.1 JI"ve.t vet:!;'I~t,'paAa""~fe",t -

JtdL4." ~ ~ f((,(.) >0/ z =h(u) ,

e1Ait..s ""'" Z-a-«se.,.,. SOon?,P4AQ.W1e:/i., bUl7tf4s ~ "J dJiy'n17 >S(h'"k lcn d;

cs, "r" 13'1j §4~ .src.t;· 19, f'j' I()£.)

to G~ r,,,,,,,~ tXdje.D-h'P«;t;u:ske 1J..br,in'''"JeJl) Aec::le.r~ ear /1,;; (t4"v)

tiJ~ ,Pao/IAeh"IYIh'fJCI'f i ~v J ed Lt-~ (u~v) ~ velil~enra ~(/"

1Jo'''keIM.! ,:",a iLl o-Wf04i "'y a.k.se"" , a.t. A " ~ ) _ elF") .6~(UI(1')-,to ~Q - . du . I(IA.) •

M'.l d-/cleMI at {; f =-t :5 , ;;;2 ={;~ =f1 ) h111t:!cn.s a, <>d­

,/U7e C/v,.,',stcf!eI .s1".,IJ~fIA 1 And..", aAt ell lde,.,;/,:s/( O.

t1o.st",/ endd'j di!,eJlf.nteidt;'"""JeA"'~jiYI e"/Oevn je.txlfJt.n:r.e"e.­

tMt.j,Ls~ I'etfladen,

.eo .Go'.s tJo,PjAtJe t7$ i 67'-" (/lla/oJ CI4"~ CIa.th4d t'73~). -

(Vc'"R. 1!>fl.7tte.s neduAtej 'ptVt(U~e:k.Ae.wodt(.it.'n.. ~J ell

• 1'1 I / I au I dv)\ .R. dv )..Il ISM C7 :: 4~' C:!J.f aJ + .4,2 d.S =:.4 tis ·

3 0 /);-0$ Dowu/'endt, at-£" tt>- J47e ett{fVlen.te46el kWUH fJ; DolYldA'J'­

"/n.r!'Ade,, ~ jetxl~:s~ hve~ ..4 \Sen& &\ Kin1,st44 Ia.;r k411.­

dt.nI uden a.i (/ot.'n/dcn & fVl ..ltd tAny n~fl.'" ~/~t.

~ dt"oStzJt.;",., et httR.h1/ne/l),u..s (,' h7(X1'dkM.~"'/ h'lu:l,,,jt.ud'odl:sk

RIVI.IJot (.;c~nd:

~ ..aen ('/d(e -eukle"':sRe. fila""/I,ditj iM ~e j4"'je dt~eIl,n.nQ.Jdjl4e1fr« veelenI'tMQh'letc.'ljtem ­lJtf.'tIe'nj meal ha.1v"o/4",n .f2 ={(u,v)~1R21 v>OJ utNTI"pQA41Y1dVl~"'-

Aade , Ant"1'l J !unot'a.W7Ulto..t"",a.lJllcen ~

(~~ !)

to lJiJ/J" 1;;'=0/ ;;;'1(&<,U-):J;f(~V-)::-~1 ~1=O

t,;~(UJV} :; ~, t;;,t.:: ;;/ = OJ c-.V) = -~ ,

.21) l!::~.1 rd den tJ-e,d(u/.J-) '= (~+.Jl, Gt>05t.l A .st'nt») t € ] ~?il}

Jl'une RwatH fJ; fla.den e4 jf.rxlcdt:.sRJ !fYt hINd a.~ ~ .II. e~ ,

(l/in/(, Je uolo"kkdjt>Jl. ~) ~e.v./l, .24,) .

3(1 ~ute.h'1 lSa.ndt'Je ~iI~ i hA.l~/Qnen ../2, ~ \/VMVl ft.tje.f>dDet~·~

ISlte. ku.ll.VtA ;>,,ojla.dfl.n,

-'to U:s/ at"jJaA(JvYle:ieAin.telu}a-tl~t IH.dn~j'pM.Al'ndM/u'"t$~t­

t,,,,! ten th'/k:."te., ('I'1a.R,slW,a.i)jud~'.sk /t«AUe/,a·l(a.aI~n eA

hde IR. (~n IS;M,I a.tItQ.den ~ju/dtft~;tc4j.)

.5~ Uis/ a.feltA :Jf.nnewr AiJeh,.t,Pe<nld,PQ~Q.clen, elM 4l:.k.Re It.JJVI ,PA"en

7,'ven jef>d(ltte:s~ kWUH.I j~ d bundf ije.tH:JIQ!."'~Re,e4l<A~1 dell

etde .skc.d~ ~n jl(,}ne.

'lJe".,fPt.kn/"j' en be.ll.,n,~ Yf. 64ev -9.9) enfv-t'.se; td/Ia.aen,j ~"",­

nJ'njlS'I'1:L M ko-n.st44 ~j -I.-1 cld ~e~me;r.req.na.te /UI.I'n fne;k,s de-) emla'/~t:llSlet IRKe ";lenju..td.stoen.etj f/a.eIe meal Rt?-n-sta.nI ~t.t.,Ir1nln..t -II et ~~f>'".,.tA,e.redtai

oj ~v'd M'/6e;,E. (llfOI). ?n.s('.ste.t~ h'14n ,Pa"~nride hA.l~kn

\St1''YI jJaA4h?e.itthfNn/la°elel ell o've.tsel'1 Ja~~,s e'PthRel';heete,., enclhDlc::l.t~

lo~. (cliflA.s I&tn j,..nv,,'.se..f td'p,se~u{t>-1~n,/?, b~fl.n,P. ~f.) - 2d

endAe je.t>".,~e:tRe lJ1~ecn/d " \lrueledatfla.de?t <' AU""'hfeZ"/~teewu:dlvdt,cI ~Mn),tVu:I ~e",an" zit et W"lelte aI",e,d6~eb/ '2eh'lAnnh't~t6ld14f.d~ eU~ ~e""Ann Ae<~ (115"4). 1 eU,., A4h1W1t k4"

hA.!v,.o/4ne" J2 h1ed c:;t'e,., y'vne !"nda,"en..t:Jh'I~i.t:. 6e.t>..a.yte.s .s~m et(v,nk~f>') 14nclktYt.t q-Ve/I ~n e~k~ - e,,/d,'eJI,:ske,l'Ia.n.

K¢benhavns universitet

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sornmeren 1974

MATEMATIK 223. Kurver og flader i rummet.

Opgaver til besvarelse i 2 timer.

Hjrelpemidler-kan ikke medbringes.

Opgave nr , 1

Betragt en tre gange differentiabel rurnkurve, hvis krumning

K er forskellig fra 0 i hvert punkt. Torsionen betegnes

~. Der vrelges en genneml¢bsretning, og enhedsvektorerne p~

tangent, hovednormal og binormal be tegnes .1, g og b.

o1 Det antages her, at kurvens tangenter aIle danner sam-

me vinkel cp., 0 < qJ < 1T, med en f'a s t re tning give t ved

enhedsvektoren .e •

Vis, at kurvens hovednormaler aIle star vinkelret p~

~, og g¢r rede for, at

e =! cos ~ ±Q sin qJ ,

hvor der enten lreses + for aIle kurvepunkter eller

for aIle kurvepunkter.

Vis videre, at~- = ± cot qJ •

K

o2 Her antages omvendt, at er konstant langs kurven.

Vis, at kurvens tangenter aIle danner sarnrne vinkel med

en fast retning.

(opgavesrettet fortsrettes)

K¢benhavns universitet

Matematik 223

Sommeren 1974

Opgave nr. 2

2

Med KT betegnes krumningen af normalsnittet med en given

tangentretning T i et punkt P pa en to gange differen-

tiabelflade. Det forudsrettes, at ~ er forskellig fra O.

Betragt en to gange differentiabel kurve pa fladen, der gar

ning i P betegnes K,.

gennern P, ligeledes med tangentretning T. Kurvens krum-

o1 G¢r rede for, at sidstnrevnte kurvehar en oskulations-

plan i. P, og at denne er forskellig fra :fladens tan-

gentplan i P.

Bevis, ato

2

hvor cp

IKTI.K= cos qJ ,

er vinklen rnellem kurvens oskulationsplan og

normalsnittets pian. (Meusnier 1776.)

(Vtnk ; til begge sp¢rgsmal: Idet man b.enyt.t.er- param·eterfrem-

stillinger :for flade og kurver, kan man med fordel forhver

kurve betragte projektionen af rtf- 2t

pa fladenormalen.)

Ved bed¢mmelsen tillregges de to opgaver samme vregt.

2 formelblade er vedhau't.e ti ,

K0BENHAVlJS UNIVERSITET

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sommeren 1975

MATEMATIK 223. Kurver og ~lader i rummet.

Opgaver til besvarelse i 2 timer.

Hjrelpemidler kan ikke medbringes.

Opgave nr . 1

Betragt en ·tre gange differentiabel kurve, hvis krumning

er forskellig fra 0 i hvert punkt.

1° Antag her, at kurvens tangenter aIle er vinkelrette

p~ en fast retning givet ved en vektor ~ ~ Q-. Bevis

da, at kurven ligger i en plan vinkelret p~ a,.

2° Antag her, at kurven har torsionen 0 i hvert punkt.

Bevis da, at kurven ligger i en plan.

3° Antag her, at kurvens oskula.tionsplaner a l Le g~r gennem

et fast punk t 0, som ikke ligger p~ nogen tangent.

Bevis da, at kurven ligger i en plan.

(Vink: Man kan benytte 2°.)

Opgave nr. 2

Udled Eulers formel for norrnalsnitkrumningens variation

med tangentretningen i et punkt pa en flade.

(Opgaven fortsrettes)

2 forrnelblade er vedhreftet.

(Forudsretninger og resultat b¢r formuleres prrecist. Der

b¢r gives en karakterisering af hovedkrumninger og af hoved-

normalsni t.)

K0BENHAVNS UNlVERSITETNaturvidenskabelig embedseksamen, sommeren 1975

Matematik 223.

----------------

Ved bed¢mmelsen tillregges"de to opgaver samme.vregt.

2.

Lad

K¢benhavns universitet

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sommeren 1976

MATEMATIK 223. Kurver og flader i rummet.

Opgave til besyarelse i 2 timer.

Hj~lpemidler kan ikke medbringes.

En besvarelse regnes for fuldst~ndig, hvis 7 af de~9 &~¢rgs-<it

mal er besvaret korrekt.

----+OA = a(u), u E I,u -

vrere naturlig parameterfremstilling for en 4 gange differen-

tiabel kurve og antag

Vu E I: 0 < K(U) < 1/p ,

hvor K = K(U) er krumningen, og p er et fast positivt tal.

Tangent-, hovednormal- og binormalvektor betegnes henholdsvis

t = !(u)~ g = g(u) og ~ = b(u).

10 Opskriv Frenets formler, uden begrundelse.

2° G¢r rede for, at~

OPu,v - £(u,v) = a(u) + ~(u)pcosv + ~(u}psinv

er parameterfremstiiling for et 2 gange differentiabelt

fladestykke, idet n ~ I x ]-n, n [ benyttes som parameter-

omrade.

3° Beskriv fladen geometrisk.

(Vink: Begynd med parameterkurven svarende til et fast­

holdt u . )

(Opgaven forts~ttes)

2 •

liggerAu

For hvert (u,v) E n ska1 man vise, at

pa fladenormalen i Pu,v

(Bemrerk til senere brug, at enhedsvektor pa fladenor­

malen er E(u,v) = -n(u)cosv - b(u)sinv.)

K¢benhavns universitet

Naturvidenskabe1ig embedseksamen, sommeren 1976

Matematik 223.

50 Find arealforholdet i (u,v) E n for afbildningen af

parameteromradet pa fladen.

Vis, at f1adens krumningsmal l P eru,v

p(1-pK(U)COSV)

I hvilke punkter P er fladen henho1dsvis parabo1sk,u,vhyperbolsk og elliptisk krummet ?

8° Vis, at hver parameterkurve svarende til fastho1dt u

er en krumningskurve pa fladen.

To formelblade er vedhreftet.

K¢benhavns Universitet

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sommeren 1977

MATEMATIK 223. "Kurver og flader i rummet.

Opgave til besvarelse i 2 timer.

Hj~lpemidler·kan ikke rnedbringes.

Lad (O,!,i,~) v~re et s~dvanligt retvinklet h¢jrekoor­

dinatsystem i rummet og s~t·

B (v) = i cos v + j sin v vElR.

Det kan maske lette besvarelsen tillige at s~tte

~ (v) = -i sin v + i cos v, v E lR •

1° G¢r rede for, at-+OP = r(u,v)' = U!!(v) + v~, (u,v) E lR+xm. ,u,v -

er parameterfremstilling for en vilkarlig ofte dif­

ferentiabel flade. Beskriv pararneterkurverne gennem

et vilkarligt punkt Pa,h pa fladen. Tegn pa en

skitse stykker af parameterkurverne gennem P TI

1'4tilligemed r' (1'-4TI

) og r' (1'-4n ) .-u -v

2° G¢r rede for, at parameterkurven gennem Pa,h sva­

rende til fast u har en oskulationsplan ~ Pa,h'

og vis, at den falder sammen med fladens tangentplan

i P b •a,

(Opgaven forts~ttes)

K¢benhavns Universitet

Matematik 223

Sommeren 1977

2 e.

3° Beskriv det sf~riske normalb~llede (dvs. billedet

ved den sf~riske normalafbildning) af fladestykket

svarende til omradet ]O,1[ x ]O;2n[ i UV-planen.

Der ¢nskes en p.resc Ls angivelse af a.rt, udstrteknf.nq

og beliggenhed pa kuglefladen.

(Vink: Opskriv f¢rst en parameterfremstilling for

normalbilledet. )

Vis~ at malestoksforholdet i P ved den sf~riskea,bnormalafbildning af fladen er det sanune i alletan....

gentretninger.

(Vink: Mankan f.eks. begynde med retningerne givet

ved r I (a, b) og r I (a, b) .)-u -v

Find fladens krumningsmal i P b •a,

6° Vis, at fladens normalsnit i P. b i parameterkur­a,vernes tangentretninger begge har krumningen 0 i

P b. Angiv tangentretningerne for fladens hoved­a,normalsnit i P b og find hovedkrumningerne i P b.a, a,

To formelblade er vedh~ftet.

2== K •

K¢benh~vns Universitet

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sonuneren 1978

MATEMATIK 223. Kurver og flader i rummet.

Opgaver til besvarelse i 2 timer.

Hj~lpemidler kan ~kke medbringes.

Opgave nr. 1

Lad K veer e krumningen og K den q eodeet.Lake krumninggi et punkt Po af en to gange differentiabel kurve pa

et to gange differentiabelt fladestykke, og lad Kn

vcere k rumni.nqen i Po af normalsnitteti fladen svaren­

de til kurvens tangent i PO.

Vis, at

'02 Find K , K og K·. for et punkt P o-. af en parallelcirkelg n

pa en omdrejningskegleflade, nar keglens halve abningsvin-

kel er 30°, og afs.tanden fra Po til toppunktet er 6 •

3° En ci~kelskive med radius 2 b¢jes pa ovenn~vnte keglefla­

de (om man. viI: klcebes pa som etiket), saledes at randkur­

ven r¢rer parallelcirkelen i det betragtede punkt Po og

.i ¢vr~gt ligger ~a den side af pa~arlelcirkelens plan,der

vender bort fra keglens toppunkt.

Bestem den omtalte randkurves krumning, oskulationsplan

og hovednormal i punktet PO.

Opgavescettet fortscettes

K¢benhavns Universitet

Matematik 223

Sonuneren 1978

Opgave nr. 2

2

1° Beskriv den sf~riske normalafbildning af et to gange dif­

ferentiabelt fladestykke og angiv Gauss' definition af

f Lades t.ykke t.s k.rumnf.nqsma L K i et punkt Pa .

2° Idet fladestykket t~nkes givet ved en parameterfremstil~

ling~

OP = E(u,v) ,u,v (u,v) En,

hvor P a svarer til (ua ' va)' skal man udlede en anden­

gradsligning med ko~fficienter udtrykt ved E, F, G, L, M

og N, taget i (lia,Va), til bestemmelse af hovedkrumnin-

gerne K,1 o g K 2 i Pa •

Som udgangspunkt kan man tage formlen for krumning af nor­

malsnit udtrykt ved f¢rste og anden fundamentalform.

3° Bevis, .a t;

K = K 1K 2 '

idet K tcenkes indf¢rt ved Gauss ' definition.

Ved bed¢mmelsen tillcegges de to opgaver samme vcegt.

To formelblade er vedhceftet

(

K¢benhavns UniversitetMatematik 223Somrneren 1979

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sonuneren 1979

MATEMATIK 223. Kurver og flader i. rurrunet.

Opgave til besvarelse i 2 timer.

Hj~1pemidler kan ikke rnedbringes.

En besvarels~ regnes forfu1dstcendig, hvis 8 af de9 sp¢rgsmaler besvaret korrekt.

--+Lad OA = ~ (u) , u E I" vesre naturlig "parameterfremstilling for" en

fire gange differentiabel kurve k, hvis krumning K er forske11ig

fra 0 i hvert punkt. Torsionen betegnes T, og enhedsvektorerne

pa tangent T, hovednormal N og binormal B betegnes 1, ~ og b •

1° Opskriv Frenets formler, uden begrundelse.

Nar A genneml¢ber kurven k, beskriver binormalen B en flade F1 ,

der kaldes kurvens binormalflade. Stedvektoren til et vilkarligt

punkt P pa fladen kan skrives--+OP =' !: (u,v) =' ~ (u) +. v b (u) .

--+G¢~ rede for, at OP = !:(u,v) ,(u,v) E I x JR, er parameter-

fremstilling for et to gange differentiabelt fladestykke.'

Beskriv parameterkurven svarende til et. vilkarligt fastholdt

u. Vis, at de to parameterkurver gennem et vi1karligt punkt

p = P , pa fladen skarre r hinandenunder ret vinkel.u,v ,

Bestem binormalfladens tangentplan i et vilkailigt punkt A

pa kurven k og vis,at k er engeodcetisk kurve pa binormal­

fladen.

Opgaven forts~ttes

K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sonuneren 1979

2

vEJR.

5° Beregn Gauss' krumningsma1 K i et vi1kar1igt punkt pa bi­

norma1fladen. (Vink: Find f¢rst koefficienten N i anden

fundamentalform.) - I hv.i Lke punkter er fladen hyperbolsk,

henholdsvis parabo1sk krummet ?

En kurve Z er i et s~dvanligt retvinklet koordinatsystem XYZ

givet ved

x = f (v ) = j 1 + v2,y = 0, z =h (v) = log (v + J1 + v2 ) I

6° Vis, at parameterfremstillingen er naturlig.

7° Bestem fundamenta1matricen (el1er f¢rste fundarnentalforrn)

for omdrejning~f1adenF 2 , der fremkommer ved, at kurven Zdrejes om Z-aksen.. Sam parametre benyttes drejningsvink­

len u· og kurveparameteren v.

Fra nu af foruds~ttes, at den tid1igere betragtede kurve k har

Iffingden 2n, og at dens torsion T er konstant.

8° Antag her ITI =1 og vis da, at binormalfladen F1 for k

kan b¢jes pa omdrejningsfladen F2, saledes at k gar over

i enhedscirk1en i XY-p1anen, og k's binorma1er gar over i

meridiankurverne.

gO Antag her I T I < 1 og vis da , at binormalfladen F 1 for k

kan b¢jes pa en omdrejningsflade.

To formelb1ade er vedh~ftet

Der vcelges et s~dvanligt retvinklet h¢jrekoordinatsystem XYZ

med begyn.delsespunkt 0 , saledes at XY-planen falder samrnen

med fladens tangentplan i 0 . Et stykke .F af fladen omkring 0

,(kan da fremstilles

Sonuneren 1980

Naturvidenskabe1ig embedseksamen

= L(X ,T) •og 8

Opgaven forts~ttes

= f"2(O,0)y

r =f"2(0,0), s = f~y(O,O), tx

Opgaver til besvarelse i 2 timer.

Hj~lpemidler kan ikke medbringes.

Matematik 223. Kurver og flader i rummet.

Lad 0 v~re et punkt pa en to ga~ge differentiabel flade.

K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sonuneren 1980

oF = r (x,y) = 'xi +'yj + f (x,y) k, (x,y) En,x,y - - - -

hvor f: n,.. JR .er en funktion af klasse ~2, defineret pa et om­

rade n i XY-planen, medens !,i,~ er koordinatsystemets grund­

vektorer.

£(0,0) = f' (0,0) = f' (0,0) = °x Y

2° Med KT betegnes krumningen i 0 af normalsnittet til F

i a med ta~gentretning T i XY-planen. Udled en formel

for KT

udtrykt ved

1° Opsti1 en l~gning for tangentplanen i et vilkArligt punkt

P pA £ladestykket F. G¢r rede for, atxo,yo

(

K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sommeren 1980

3° Bestern arealforholdet i (xO'YO) for pararneterfrernstil-

lingen (x,y) ~ P Vis, atx,y

a~(lr' ~r'l) og a~(lr' ~r'l)-x -y -x -y

begge er ° i (0,0). Beregn n' (0,0) og n' (0,0), hvor-x -yn er enhedsvektoren ensrettet med r' x r' .-x -y

4° Giv definitionen pa den sf~riske normalafbildning @ af F.

Opskriv koordinatfremstillingen for differentialet d~

af <I> i 0, idet (!.,1) benyttes som basis bade for vekto ....

rer og for billedvektorer. Find Gauss' krumningsmal K

for F i o.

Vink til 5°: Antag koordinatsystemet valgt, sa den i 2° ud­

ledte formel gar over i Eulers formel

= 2 8 + · 2 8KT KXCOS Kysln

2

og vis d a , at

5° Vis, at

n' (0,0) = -K i-x x- og n' (0, 0) = -K·y 2 .-y

K = K 1 K 2 '

hvor.K1

og K 2 er hovedkrumningerne for F i 0 ,medens

krumni~gsmalet K for F i 0 t~nkes indf¢rt ved Gauss'

definition.

Vis, at tangentretningerne for hovedriormalsnittene til F

i 0 samtidig er hovedretninger i 0 for den sf~riske nor­

malafbildning cI> af F .

Angiv st¢rste ~g mindste malestoksforhold for ID i 0 •

Bestem egenvrerdier og egenvektorer for differentialet d~

af <1> i o.

To formelblade er vedh~ftet

Tegn en skitse, der foruden et stykke af kurven k viser t, n

og b i .et punkt A0 k , kurvens krumningscentrum Ct i A ogpa

den rette linie Z gennem C parallel med b .

K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sommeren 1981

Naturvidenskabelig embedseksamen

Sornmeren 1981

Matematik 223. Kurver og flader i rurnmet.

Opgaver til besvarelse i 2 timer.

Hj~lpemidler kan ikke medbringes.

Opgave 1. (Omtrentlig v~gt 75%.)

---+Lad OA = ~ (u), u E I, vzere naturlig parameterfremstilling for en

fire gange differentiabel kurve k, hvis krumning K er forskellig

fra 0 i hvert punkt. Krumningsradius betegnes p, torsionen T, og

enhedsvektorerne p~ tangent T, hovednormal N og binormal B beteg­

nes t, n og £ .

1.° Opskriv Frenets formler, uden begrundelse.

2°

NAr A genneml¢ber k, beskriver Z en flade 'F~ ~ Stedvektoren til et

v i.Lker Li.qt; punkt P = Pu,v pa fladen F kan skrives---.OP = E(u,v) = a+pg+vb = a(u) +p(U)Il(U) +vb(u).

~

G¢r rede for, atOP = E (u, v) " (u, v) E I x JR., er pararneter-

fremstilling for en to gange differentiabel flade. (Her og

i det f¢lgende ses bart fra punkter Pu,v' hvar ~~ = TV .)

Karakteriser tangentplanen til fladen F iPsa simpelt samu,vmuligt ud fra kurven k •

Opgaven forts~ttes

K¢benhavnsUniversitetMatematik 223Sornmeren 1981

Binormaldrejningen for k, svarende til et udgangspunkt A pa k ,liO

betegnes med (3. Idet vi antager T > 0 og Lnds kr-enker os til etn ninterval J ~ I af u-rvarrdLe.r , hvor -'2 < s = s(u) < '2' betragtes kurven

h givet ved

U rill Q = Q , u E, J ,u

2

hvor Q ligger pa Z" og vinklenLBAQ mellem binormalen B til kn

og AQ er '2 + S

5° Vis, at kurven h i hvert punkt Q , sam ikke er et gndtagelses­u

punkt pa fladen F (se 3°), har en tangent, der gar gennem Auog er en normal til kurven k •

6° Vis, at h er en geodCEtisk kurve pa fladen F .

Vink. Ud fra tangentenhedsvektor, som if¢lge 5° er

± (!l cos S - £ sin S) ,

kan hovednormalen tilh findes.

Opgave 2. (Omtrentlig VCEgt 25%.)

TerrCEnet omkring H¢je Sandbjerg er afbildet pa et kort. Afbild­

ningen kan opfattes som en projektion pa en vandret plan*) fulgt

af en ligedannethed i forholdet 1/10000 .

1° G¢r rede for, at malestoksforholdet ved overgangen ~ fra

kortet til det bakkede terrCEn er ~t¢rre eller lig 10000 i en­

hver retning i ethvert punkt af kortet.

2° G¢r rede for, at tangenten i et punkt P af en niveaukurve pa

kortet angiver en hovedretning for ~ i P .

Vink. Undlad at indf¢re parameterfremstillinger, koordinatsyste­

mer eller lignende.

*) Nar der kun er tale om et beskedent omrade, kanman med

Per Degn betragte Jorden som flak, uden mCErkbar fejl.

To formelblade er vedhCEftet

A!~vtlt , (1a.c/fA / Aal71md.

7~Wle./lJetdc'nj'

SQ.WlL~·"-jan fJ"m.jeJteA ,Ide de hte.st !"n.eklnen.t~ f>j ce-"t~~ jO'\dVl

6Jt;W1 t elt.s. ~/I~ I~h!d I>J ~el'te.is fMmLeh) d~ I$Wej \fem'p&

t~JnleJt NO'"., Ids. f =IfT/ cos (J r?11euJrutAS \feetn,,,)),, »re» R""",

d ,",u~ ath1eM 'fJec"et!e~ n1e11.e. R()'wr,Pltc~e~ fMnde-t.

~t>-dukt1vdto1fVt~t~: ~)CB),«~;cf) == [g./J,]a.

lIa.stt.j,J,e.eI cy ~ccetVtQ..~~'" v-ed 6eV«.Je..Lse. pa"etAltd:!t:: /1,6)#/ td = -AQ)~R r ,AfAJ'N ·

StADe.ltn/~),tWttj).,e.d f~ ~'nie\S~.kRe, t =: !(t) '*0 ..dfdt =:: e.·tJ:. - e-v: ·-";..l --f

//ltd 22j 1975I

2c!tVt.e.n.tc~tL("ni"" 1iYl h"uWlnI;"'y-sRuAveA:

(EM-FL.)du,2 + (EN-Gl)d"dv + (FN-GM)dv2 =O.

("'If Jt~) = (E F)921 922 F G J

(