M A T E M A T I K A 1

D o m a � i z a d a t a k br.1

Prof Milica Stojanovi� Prof Dragan �ori�

Prof Rade Lazovi� Prof Olivera Mihi�

F O N, 2013

1

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati Kramerovu teoremu.

2

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

3

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je |A| =∑τ∈Pn

(−1)Inv(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn.

4

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Dokazati da je |A| =∑τ∈Pn

(−1)Inv(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn.

5

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Formulisati teoremu o razvoju determinante.

3. Formulisati i dokazati teoremu o geometrijskoj interpretaciji mexovitog proizvoda.

6

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

7

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da je ~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2 ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

8

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Definisati ugao izme�u prave i ravni i objasniti kako se on mo�e odrediti.

3. Dokazati da je |A| =∑τ∈Pn

(−1)Inv(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn.

9

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

10

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Dokazati da u prstenu (S,+, ·) va�i x · 0 = 0 · x = 0 za svako x ∈ S.

11

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da je~a×~b = (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2, x1y2 − y1x2)

ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

12

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

13

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

14

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

15

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

16

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Definisati koordinate vektora u nekoj bazi i dokazati da su koordinate konaqnodimenzio-nalnog vektorskog prostora u datoj bazi jedinstvene.

17

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Opisati Gausov algoritam.

18

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

19

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Opisati Gausov algoritam.

20

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Dokazati da determinanta menja znak ako dve vrste zamene mesta.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

21

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju pravih.

3. Formulisati i dokazati teoremu o geometrijskoj interpretaciji mexovitog proizvoda.

22

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Dokazati da je |B| = λ|A| ako je B matrica dobijena mno�enjem jedne vrste matrice A sa λ.

23

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Navesti i dokazati neka svojstva inverzne matrice.

24

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

25

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Definisati ugao izme�u prave i ravni i objasniti kako se on mo�e odrediti.

3. Formulisati i dokazati teoremu o geometrijskoj interpretaciji mexovitog proizvoda.

26

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

27

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

28

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

29

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

30

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

31

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da je |A| =∑τ∈Pn

(−1)Inv(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn.

32

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da je (Mm×n,+, ·) vektorski prostor ako je + operacija sabiranje matrica, a ·operacija mno�enja matrice realnim brojem.

33

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: sistem od m linearnih jednaqina sa n nepoznatih, rexenje sistema,ekvivalentni sistemi. Navesti matriqni i vektorski zapis sistema.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

34

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, orijentacija vektora.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

35

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

36

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Dokazati da je (Mm×n,+, ·) vektorski prostor ako je + operacija sabiranje matrica, a ·operacija mno�enja matrice realnim brojem.

37

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je~a×~b = (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2, x1y2 − y1x2)

ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

38

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

39

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

40

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Navesti svojstva operacije transponovanja matrice.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

41

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Navesti svojstva operacije transponovanja matrice.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

42

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

43

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Dokazati da je~a×~b = (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2, x1y2 − y1x2)

ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

44

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Dokazati da je |B| = λ|A| ako je B matrica dobijena mno�enjem jedne vrste matrice A sa λ.

45

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Dokazati da je ~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2 ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

46

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

47

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

48

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Dokazati da determinanta menja znak ako dve vrste zamene mesta.

3. Dokazati da je |A| =∑τ∈Pn

(−1)Inv(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn.

49

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: sistem od m linearnih jednaqina sa n nepoznatih, rexenje sistema,ekvivalentni sistemi. Navesti matriqni i vektorski zapis sistema.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

50

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da u prstenu (S,+, ·) va�i x · 0 = 0 · x = 0 za svako x ∈ S.

51

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

52

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Opisati grupu permutacija za sluqaj n = 3.

53

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

54

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

55

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: sistem od m linearnih jednaqina sa n nepoznatih, rexenje sistema,ekvivalentni sistemi. Navesti matriqni i vektorski zapis sistema.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Opisati grupu permutacija za sluqaj n = 3.

56

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer baze u prostoru Rn.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

57

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Opisati Gausov algoritam.

58

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

59

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer baze u prostoru Rn.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

60

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Formulisati i dokazati teoremu o geometrijskoj interpretaciji mexovitog proizvoda.

61

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

62

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Opisati Gausov algoritam.

63

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

64

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Dokazati da je ~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2 ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

65

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Opisati Gausov algoritam.

66

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

67

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Formulisati i dokazati Kroneker-Kapelijevu teoremu.

68

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Opisati grupu permutacija za sluqaj n = 3.

69

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

70

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: sistem od m linearnih jednaqina sa n nepoznatih, rexenje sistema,ekvivalentni sistemi. Navesti matriqni i vektorski zapis sistema.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

71

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

72

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Navesti i dokazati neka svojstva inverzne matrice.

73

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

74

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti svojstva operacije transponovanja matrice.

3. Dokazati da u prstenu (S,+, ·) va�i x · 0 = 0 · x = 0 za svako x ∈ S.

75

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

76

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Definisati ugao izme�u prave i ravni i objasniti kako se on mo�e odrediti.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

77

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Formulisati teoremu o razvoju determinante.

3. Definisati koordinate vektora u nekoj bazi i dokazati da su koordinate konaqnodimenzio-nalnog vektorskog prostora u datoj bazi jedinstvene.

78

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer vektorskog prostorapolinoma i jednu bazu tog prostora.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

79

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

80

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

81

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Formulisati teoremu o razvoju determinante.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

82

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

83

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da je (Mm×n,+, ·) vektorski prostor ako je + operacija sabiranje matrica, a ·operacija mno�enja matrice realnim brojem.

84

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Dokazati da je |B| = λ|A| ako je B matrica dobijena mno�enjem jedne vrste matrice A sa λ.

85

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

86

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

87

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da je (Mm×n,+, ·) vektorski prostor ako je + operacija sabiranje matrica, a ·operacija mno�enja matrice realnim brojem.

88

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je |AT | = |A|.

89

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Formulisati teoremu o razvoju determinante.

3. Opisati Gausov algoritam.

90

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

91

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Definisati koordinate vektora u nekoj bazi i dokazati da su koordinate konaqnodimenzio-nalnog vektorskog prostora u datoj bazi jedinstvene.

92

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

93

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Dokazati da determinanta menja znak ako dve vrste zamene mesta.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

94

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: permutacija skupa {1, 2, . . . , n}, iverzija permutacije iz skupa Pn, parnapermuatcija iz skupa Pn, neparna permutacija iz skupa Pn, inverzna permutacija.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

95

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

96

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Opisati Gausov algoritam.

97

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

98

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

99

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

100

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da je ~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2 ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

101

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da je |AT | = |A|.

102

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

103

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Navesti bar tri svojstva determinanti.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

104

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

105

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Dokazati Kramerovu teoremu.

106

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Dokazati da je |B| = λ|A| ako je B matrica dobijena mno�enjem jedne vrste matrice A sa λ.

107

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Dokazati da je (Mm×n,+, ·) vektorski prostor ako je + operacija sabiranje matrica, a ·operacija mno�enja matrice realnim brojem.

108

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: permutacija skupa {1, 2, . . . , n}, iverzija permutacije iz skupa Pn, parnapermuatcija iz skupa Pn, neparna permutacija iz skupa Pn, inverzna permutacija.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

109

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da je |AT | = |A|.

110

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju pravih.

3. Dokazati da svaki skup od n linearno nezavisnih vektora qini bazu n-dimenzionalnog vek-torskog prostora.

111

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

112

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Opisati Gausov algoritam.

113

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Formulisati teoremu o razvoju determinante.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

114

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer baze u prostoru Rn.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

115

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

116

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

117

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Formulisati i dokazati teoremu o geometrijskoj interpretaciji mexovitog proizvoda.

118

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

119

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

120

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti bar tri svojstva determinanti.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

121

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Formulisati i dokazati Kroneker-Kapelijevu teoremu.

122

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

123

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

124

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

125

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Dokazati da je A−1 = adjA/|A|.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

126

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

127

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

128

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

129

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

130

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Definisati operacije + i · u skupovima Rn, P≤n i RR tako da se dobiju vektorski prostori.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

131

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer baze u prostoru Rn.

3. Opisati grupu permutacija za sluqaj n = 3.

132

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

133

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Formulisati i dokazati Kroneker-Kapelijevu teoremu.

134

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

135

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

136

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, orijentacija vektora.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

137

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

138

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, orijentacija vektora.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

139

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Opisati Gausov algoritam.

140

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

141

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Navesti svojstva operacije transponovanja matrice.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

142

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju pravih.

3. Formulisati i dokazati teoremu o geometrijskoj interpretaciji mexovitog proizvoda.

143

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

144

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

145

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Dokazati da je~a×~b = (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2, x1y2 − y1x2)

ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

146

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Navesti bar tri svojstva determinanti.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

147

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Dokazati da jen∑j=1

aijAkj = 0 za k 6= i.

148

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Formulisati i dokazati Kroneker-Kapelijevu teoremu.

149

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer vektorskog prostorapolinoma i jednu bazu tog prostora.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

150

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Dokazati da je (S,+) Abelova grupa ako je S skup svih matrica istog tipa..

3. Dokazati da u prstenu (S,+, ·) va�i x · 0 = 0 · x = 0 za svako x ∈ S.

151

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer vektorskog prostorapolinoma i jednu bazu tog prostora.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

152

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da je |A| =∑τ∈Pn

(−1)Inv(τ)aτ11aτ22 · · · aτnn.

153

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

154

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Definisati koordinate vektora u nekoj bazi i dokazati da su koordinate konaqnodimenzio-nalnog vektorskog prostora u datoj bazi jedinstvene.

155

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da je |B| = λ|A| ako je B matrica dobijena mno�enjem jedne vrste matrice A sa λ.

156

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

157

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Definisati ugao izme�u prave i ravni i objasniti kako se on mo�e odrediti.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

158

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

159

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Definisati bazu i dimenziju vektorskog prostora i navesti primer baze u prostoru Rn.

3. Opisati grupu permutacija za sluqaj n = 3.

160

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, minor reda r, rang matrice, elementarne transformacije.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

161

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: polje, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora x1, x2, . . . , xn,lineal.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

162

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: sistem od m linearnih jednaqina sa n nepoznatih, rexenje sistema,ekvivalentni sistemi. Navesti matriqni i vektorski zapis sistema.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Navesti i dokazati neka svojstva inverzne matrice.

163

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Definisati ugao izme�u prave i ravni i objasniti kako se on mo�e odrediti.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

164

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Dokazati Kramerovu teoremu.

165

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Dokazati da je~a×~b = (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2, x1y2 − y1x2)

ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

166

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

167

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Navesti bar tri svojstva determinanti.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

168

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, orijentacija vektora.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

169

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Navesti i dokazati neka svojstva inverzne matrice.

170

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

171

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju pravih.

3. Dokazati da je ~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2 ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

172

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Navesti i dokazati jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

173

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

174

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da je |AT | = |A|.

175

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

176

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Formulisati Aksiomu supremuma.

3. Definisati koordinate vektora u nekoj bazi i dokazati da su koordinate konaqnodimenzio-nalnog vektorskog prostora u datoj bazi jedinstvene.

177

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, opxti, segmentni i normalan oblike jednaqine ravni.

2. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja dveju ravni.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

178

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n.

2. Mexoviti proizvod izraziti pomo�u koordinata.

3. Dokazati da je (S,+, ·) prsten sa jedinicom ako je S skup svih kvadratnih matrica istog tipa.

179

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati vektorski, parametarski i kanonski oblik jednaqine prave.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.

180

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Navesti svojstva operacije transponovanja matrice.

3. Dokazati da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiva.

181

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Formulisati i dokazati Kroneker-Kapelijevu teoremu.

182

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati Kramerovu teoremu.

183

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, mno�enje matrica, kofaktor matrica, adjungovana matrica,inverzna matrica.

2. Navesti jedan potreban i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora x1, . . . , xn.

3. Dokazati da u prstenu (S,+, ·) va�i x · 0 = 0 · x = 0 za svako x ∈ S.

184

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: ograniqen skup (u R), supremum skupa, infimum skupa.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Navesti sve sluqajeve me�usobnog polo�aja prave i ravni i izvesti formulu za koordinateprodorne taqke prave kroz ravan.

185

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: sistem od m linearnih jednaqina sa n nepoznatih, rexenje sistema,ekvivalentni sistemi. Navesti matriqni i vektorski zapis sistema.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da svaki neprazan skup u R koji je ograniqen odozdo ima infimum.

186

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Dokazati da je |B| = λ|A| ako je B matrica dobijena mno�enjem jedne vrste matrice A sa λ.

187

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati determinantu kvadratne matrice reda n, kao i pojmove: minor, kofaktor.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

188

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Formulisati Kramerovu teoremu.

3. Dokazati Kramerovu teoremu.

189

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: skalarni proizvod vektora, vektorski proizvod vektora, mexovitiproizvod vektora.

2. Navesti bar tri svojstva determinanti.

3. Opisati Gausov algoritam.

190

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Navesti ekvivalentne transformacije sistema.

3. Dokazati da je ~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2 ako je ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2).

191

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: Abelova grupa, vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, li-neal nad skupom {x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Formulisati teoremu o bazisnom minoru.

3. Formulisati i dokazati Kroneker-Kapelijevu teoremu.

192

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Formulisati teoremu o razvoju determinante.

3. Izvesti opxti oblik prave iz kanonskog oblika i obratno.

193

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Definisati vektorski proizvod i navesti njegova osnovna svojstva.

3. Opisati Gausov algoritam.

194

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektor, zbir dva vektora, mno�enje vektora skalarom, koordinate vek-tora, skalarni proizvod vektora.

2. Formulisati teoremu o inverzijama me�usobno inverznih permutacija.

3. Dokazati da je |A| = |B|+ |C| ako su elementi i-te vrste matrice A dati u obliku zbira

aij = bij + cij , j = 1, 2, . . . , n

i ako su B i C matrice koje se dobijaju tako xto se u i-toj vrsti matrice A elementi aijzamene redom sa bij i cij.

195

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, polugrupa (semigrupa), Abelova grupa, distribu-tivnost jedne operacije u odnosu na drugu.

2. Navesti bar qetiri svojstva skalarnog proizvoda.

3. Dokazati da transponovanje matrice ne menja njen rang.

196

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: matrica, podmatrica, sabiranje matrica, mno�enje matrice skalarom,mno�enje matrica, transponovanje matrice.

2. Navesti teoremu o tome kako elementarne transformacije utiqu na rang matrice.

3. Opisati Gausov algoritam.

197

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, linearna kombinacija vektora, lineal nad skupom{x1, . . . , xn}, linearno zavisni vektori, linearno nezavisni vektori.

2. Definisati prsten, telo i polje.

3. Dokazati da je (Mm×n,+, ·) vektorski prostor ako je + operacija sabiranje matrica, a ·operacija mno�enja matrice realnim brojem.

198

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: vektorski prostor, lineana kombinacija vektora, linearni omotaq,linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora.

2. Dokazati teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa.

3. Izvesti formulu za odstojanje taqke od ravni.

199

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Definisati pojmove: binarna operacija, grupoid, polugrupa (semigrupa), neutralni elementgrupoida, inverzni element za neki element grupoida, grupa.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da permutacija menja parnost ako dva elementa zamene mesta.

200

Grupa Prezime i ime studenta Broj indeksa

Matematika 1 - doma�i zadatak br.1

1. Napisati bar tri oblika jednaqine ravni i bar tri oblika jednaqine prave.

2. Napisati prema definiciji determinante sve sabirke za sluqaj n = 3 i navesti Sarusovopravilo.

3. Dokazati da je skup svih realnih brojeva intervala (0, 1) neprebrojiv.