matematika 1 mostar usmeni

Fakultet prirodoslovno matematikih i odgojnih znanosti, Mostar

Matematika 1 SKRIPTA ZA USMENI DIO ISPITA

(STUDIJ INFORMATIKE)

Osnove matematike logike

OSNOVE MATEMATIKE LOGIKE 1. to je sud? to su istinosne vrijednosti? Navedite primjer.

2. Nabrojite logike veznike i navedite neko od njihovih svojstava.

3. Kako glasi tablica istinitosti negacije /konjunkcije /disjunkcije /kondicionala /bikondicionala?

4. Kad kaemo da je sloeni sud ispunjiv/oboriv?

5. Kad kaemo da je sloeni sud tautalogija a kad antitautologija?

6. Kako glasi princip iskljuenja treeg?

7. Kako glasi princip neproturjenosti?

8. Kako glasi princip dvostruke negacije?

9. Kako glasi princip kontrapozicije?

10. Kako glasi princip silogizma?

11. Kako glase principi apsorpcije?

12. Kad kaemo da sud A logiki implicira sud B? Kako to oznaavamo i kako to ispitujemo?

13. Kad kaemo da su sudovi A i B logiki ekvivalentni? Kako to oznaavamo i kako to ispitujemo?

14. Kad je logiko zakljuivanje korektno? Navedite primjer.

15. to je predikat? to mu je domena? Navedite primjer.

16. Objasnite univerzalni kvantifikator i egzistencijalni kvantifikator.

17. Kad je varijabla u predikatu vezana, a kad slobodna?

18. to su osnovni pojmovi i osnovne tvrdnje u matematici?

19. to su teoremi i kojeg su najee oblika?

20. Objasnite direktni dokaz teorema.

21. Objasnite dokaz po kontrapoziciji.

22. Objasnite dokaz kontradikcijom.

23. Objasnite dokaz kontraprimjerom.

Osnove matematike logike __________________________________________________________________________________

1. to je sud? to su istinosne vrijednosti? Navedite primjer.

__________________________________________________________________________________

2. Nabrojite logike veznike i navedite neko od njihovih svojstava.

__________________________________________________________________________________

3. Kako glasi tablica istinitosti negacije /konjunkcije /disjunkcije /kondicionala /bikondicionala?

Osnove matematike logike

__________________________________________________________________________________

4. Kad kaemo da je sloeni sud ispunjiv/oboriv? 5. Kad kaemo da je sloeni sud tautalogija a kad antitautologija? 6. Kako glasi princip iskljuenja treeg? 7. Kako glasi princip neproturjenosti? 8. Kako glasi princip dvostruke negacije? 9. Kako glasi princip kontrapozicije? 10. Kako glasi princip silogizma? 11. Kako glase principi apsorpcije?


12. Kad kaemo da sud A logiki implicira sud B? Kako to oznaavamo i kako to ispitujemo? 13. Kad kaemo da su sudovi A i B logiki ekvivalentni? Kako to oznaavamo i kako to ispitujemo?

__________________________________________________________________________________

14. Kad je logiko zakljuivanje korektno? Navedite primjer.

__________________________________________________________________________________

15. to je predikat? to mu je domena? Navedite primjer.

__________________________________________________________________________________

16. Objasnite univerzalni kvantifikator i egzistencijalni kvantifikator.


17. Kad je varijabla u predikatu vezana, a kad slobodna?

__________________________________________________________________________________

18. to su osnovni pojmovi i osnovne tvrdnje u matematici?

__________________________________________________________________________________

19. to su teoremi i kojeg su najee oblika?

__________________________________________________________________________________

20. Objasnite direktni dokaz teorema.


21. Objasnite dokaz po kontrapoziciji.

__________________________________________________________________________________

22. Objasnite dokaz kontradikcijom.

__________________________________________________________________________________

23. Objasnite dokaz kontraprimjerom.

Skupovi. Relacije. Funkcije.

SKUPOVI. RELACIJE. FUNKCIJE.

1. to je skup i kako ga moemo zadati? Navedite primjer.

2. Kad kaemo da je skup A podskup skupa B? Kako to oznaavamo?

3. Kad kaemo da su skupovi A i B jednaki?

4. to je prazan, a to univerzalan skup?

5. to je partitivni skup? Navedite primjer.

6. Navedite Booleove operacije na skupovima i neko od njihovih svojstava

7. to je unija /presjek /skupova?

8. Kad kaemo da su skupovi A i B disjunktni?

9. to je komplement skupa?

10. to je Kartezijev produkt skupova? Navedite primjer.

11. to je binarna relacija? Navedite primjer.

12. Kada kaemo da je binarna relacija refleksivna /irefleksivna /simetrina / antisimetrina /tranzitivna?

13. to je relacija ekvivalencije? to su klase ekvivalencije? Navedite primjer.

14. to je relacija parcijalnog ureaja? Navedite primjer.

15. to je relacija potpunog ureaja? Navedite primjer.

16. to su najmanji i najvei element u skupu, a to minimum i maksimum?

17. to je funkcija? to je domena, a to kodomena? Navedite primjer.

18. Kada su dvije funkcije jednake?

19. to je restrikcija, a to ekstenzija funkcije?

20. to je kompozicija funkcija?

21. Kad kaemo da je funkcija surjekcija /injekcija /bijekcija?

22. to je inverzna funkcija?

23. to je binarna operacija?

Skupovi. Relacije. Funkcije. _____________________________________________________________________________________

1. to je skup i kako ga moemo zadati? Navedite primjer.

____________________________________________________________________________________

2. Kad kaemo da je skup A podskup skupa B? Kako to oznaavamo?

____________________________________________________________________________________

3. Kad kaemo da su skupovi A i B jednaki?

____________________________________________________________________________________

4. to je prazan, a to univerzalan skup?

____________________________________________________________________________________

5. to je partitivni skup? Navedite primjer.

Skupovi. Relacije. Funkcije. ____________________________________________________________________________________

6. Navedite Booleove operacije na skupovima i neko od njihovih svojstava 7. to je unija /presjek /skupova? 8. Kad kaemo da su skupovi A i B disjunktni?

____________________________________________________________________________________

9. to je komplement skupa?

____________________________________________________________________________________

10. to je Kartezijev produkt skupova? Navedite primjer.

Skupovi. Relacije. Funkcije. ____________________________________________________________________________________

11. to je binarna relacija? Navedite primjer.

____________________________________________________________________________________

12. Kada kaemo da je binarna relacija refleksivna /irefleksivna /simetrina / antisimetrina /tranzitivna?

____________________________________________________________________________________

13. to je relacija ekvivalencije? to su klase ekvivalencije? Navedite primjer.

____________________________________________________________________________________

14. to je relacija parcijalnog ureaja? Navedite primjer. 15. to je relacija potpunog ureaja? Navedite primjer.


16. to su najmanji i najvei element u skupu, a to minimum i maksimum?

____________________________________________________________________________________

17. to je funkcija? to je domena, a to kodomena? Navedite primjer.

____________________________________________________________________________________

18. Kada su dvije funkcije jednake? 19. to je restrikcija, a to ekstenzija funkcije?

____________________________________________________________________________________

20. to je kompozicija funkcija?


21. Kad kaemo da je funkcija surjekcija /injekcija /bijekcija?

____________________________________________________________________________________

22. to je inverzna funkcija?

_____________________________________________________________________________________

23. to je binarna operacija? 24. Definirajte grupoid, polugrupu, monoid i grupu.


25. Definirajte Booleovu algebru. Navedite primjer.

____________________________________________________________________________________

26. Kada su skupovi ekvipotentni?

____________________________________________________________________________________

27. Kada kaemo da je skup beskonaan, a kada da je konaan?

Skupovi brojeva

SKUPOVI BROJEVA 1. Opiite skup prirodnih brojeva.

2. Navedite svojstva zbrajanja i mnoenja u skupu prirodnih brojeva.

3. Koju strukturu imaju (N, +) i (N, )

4. Kako je ureen skup prirodnih brojeva?

5. Pokaite da je skup N beskonaan.

6. Kako glase Peanovi aksiomi?

7. Kako koristimo princip matematike indukcije?

8. to su binomni koeficijenti? to nam o njima kae Pascalov trokut?

9. Kako glasi binomni pouak?

10. Opiite skup cijelih brojeva ..

11. Koju strukturu imaju (Z, +) i (Z, )

12. Kako je ureen skup cijelih brojeva?

13. Pokaite da je skup Z prebrojivo beskonaan.

14. Kako se definira oduzimanje u skupu cijelih brojeva?

15. Opiite skup racionalnih brojeva.

16. Kakvu strukturu imaju (Q, +) i (Q, )? Zato kaemo da je skup racionalnih brojeva polje?

17. Kako je ureen skup racionalnih brojeva?

18. Pokaite da je skup racionalnih brojeva gusto ureen.

19. Kako se definira dijeljenje u skupu racionalnih brojeva?

20. Kakvi decimalni brojevi su racionalni, a kakvi iracionalni?

21. Opiite skup realnih brojeva.

22. Koju strukturu imaju (R, +) i (R, )? Zato kaemo da je skup realnih brojeva polje?

23. Definirajte apsolutnu vrijednost realnog broja.

24. to su intervali?

25. to su donja i gornja mea nepraznog podskupa skupa R?

26. to je infimum, a to minimum nepraznog podskupa skupa R?

27. to je supremum, a to maksimum nepraznog podskupa skupa R?

Skupovi brojeva _________________________________________________________________________________

1. Opiite skup prirodnih brojeva.

_________________________________________________________________________________

2. Navedite svojstva zbrajanja i mnoenja u skupu prirodnih brojeva.

_________________________________________________________________________________

3. Koju strukturu imaju (N, +) i (N, )

_________________________________________________________________________________

4. Kako je ureen skup prirodnih brojeva?

5. Pokaite da je skup N beskonaan.

Skupovi brojeva _________________________________________________________________________________

6. Kako glase Peanovi aksiomi?

7. Kako koristimo princip matematike indukcije?

_________________________________________________________________________________

8. to su binomni koeficijenti? to nam o njima kae Pascalov trokut?

Skupovi brojeva

_________________________________________________________________________________

9. Kako glasi binomni pouak?

_________________________________________________________________________________

10. Opiite skup cijelih brojeva ..

11. Koju strukturu imaju (Z, +) i (Z, )

Skupovi brojeva _________________________________________________________________________________

12. Kako je ureen skup cijelih brojeva?

13. Pokaite da je skup Z prebrojivo beskonaan.

14. Kako se definira oduzimanje u skupu cijelih brojeva?

_________________________________________________________________________________

15. Opiite skup racionalnih brojeva.

16. Kakvu strukturu imaju (Q, +) i (Q, )? Zato kaemo da je skup racionalnih brojeva polje?

Skupovi brojeva _________________________________________________________________________________

17. Kako je ureen skup racionalnih brojeva?

18. Pokaite da je skup racionalnih brojeva gusto ureen.

_________________________________________________________________________________

19. Kako se definira dijeljenje u skupu racionalnih brojeva?

_________________________________________________________________________________

20. Kakvi decimalni brojevi su racionalni, a kakvi iracionalni?

Skupovi brojeva _________________________________________________________________________________

21. Opiite skup realnih brojeva.

_________________________________________________________________________________

22. Koju strukturu imaju (R, +) i (R, )? Zato kaemo da je skup realnih brojeva polje?

23. Definirajte apsolutnu vrijednost realnog broja.

24. to su intervali?

25. to su donja i gornja mea nepraznog podskupa skupa R?

Skupovi brojeva _________________________________________________________________________________

26. to je infimum, a to minimum nepraznog podskupa skupa R?

27. to je supremum, a to maksimum nepraznog podskupa skupa R?

Vektori

VEKTORI 1. to je usmjerena duina? Kada kaemo da su dvije usmjerene duine ekvivaletne?

2. to je vektor? ime je geometrijski odreen?

3. Kada kaemo da su vektori kolinearni/ komplanarni?

4. Kako zbrajamo i oduzimamo vektore?

5. Navedite svojstva zbrajanja vektora?

6. Kako mnoimo vektor sa skalarom?

7. Navedite svojstva mnoenja vektora sa skalarom.

8. to je linearna kombinacija vektora?

9. Kada kaemo da su vektori linearni nezavisni/ zavisni?

10. Navedite primjere linearno nezavisnih/ zavisnih vektora.

11. to je baza prostora vektora?

12. Kako se uvodi koordinatni sustav na pravcu?

13. Kako se uvodi koordinatni sustav u ravnini?

14. Kako se uvodi koordinatni sustav u prostoru?

15. Definirajte skalarni umnoak vektora.

16. Navedite svojstva skalarnog unmoka vektora.

17. Izvedite formulu za raunanje skalarnog umnoka vektora u koordinatnom sustavu.

18. Izvedite formulu za raunanje duljine vektora u koordinatnome sustavu.

19. Izvedite formulu za raunanje kuta izmeu dva vektora u koordinatnom sustavu.

Vektori __________________________________________________________________________________

1. to je usmjerena duina? Kada kaemo da su dvije usmjerene duine ekvivaletne?

2. to je vektor? ime je geometrijski odreen?

Vektori __________________________________________________________________________________

3. Kada kaemo da su vektori kolinearni/ komplanarni?

__________________________________________________________________________________

4. Kako zbrajamo i oduzimamo vektore?

Vektori __________________________________________________________________________________

5. Navedite svojstva zbrajanja vektora?

__________________________________________________________________________________

6. Kako mnoimo vektor sa skalarom?

__________________________________________________________________________________

7. Navedite svojstva mnoenja vektora sa skalarom.

Vektori __________________________________________________________________________________

8. to je linearna kombinacija vektora?

9. Kada kaemo da su vektori linearni nezavisni/ zavisni?

__________________________________________________________________________________

10. Navedite primjere linearno nezavisnih/ zavisnih vektora.

__________________________________________________________________________________

11. to je baza prostora vektora?

Vektori __________________________________________________________________________________

12. Kako se uvodi koordinatni sustav na pravcu?

__________________________________________________________________________________

13. Kako se uvodi koordinatni sustav u ravnini?

Vektori

__________________________________________________________________________________

14. Kako se uvodi koordinatni sustav u prostoru?

Vektori __________________________________________________________________________________

15. Definirajte skalarni umnoak vektora.

__________________________________________________________________________________

16. Navedite svojstva skalarnog unmoka vektora.

__________________________________________________________________________________

17. Izvedite formulu za raunanje skalarnog umnoka vektora u koordinatnom sustavu.

__________________________________________________________________________________

18. Izvedite formulu za raunanje duljine vektora u koordinatnome sustavu.

__________________________________________________________________________________

19. Izvedite formulu za raunanje kuta izmeu dva vektora u koordinatnom sustavu.

Analitika geometrija

ANALITIKA GEOMETRIJA

1. ime je ravnina jednoznano odreena? Kako glasi opa jednadba ravnine.

2. Izvedite vektorsku jednadbu ravnine.

3. Izvedite jednadbu ravnine kroz jednu toku uz zadani vektor normale.

4. Izvedite jednadbu ravnine kroz tri toke.

5. ime je pravac jednoznano odreen?

6. Izvedite vektorsku jednadbu pravca.

7. Izvedite parametarsku i kanonsku jednadbu pravca.

8. Izvedite jednadbu pravca kroz dvije toke.

9. Kako moemo odrediti kut izmeu dva pravca?

10. Kada su dva pravca paralelna/okomita?

11. Kako moemo odrediti kut izmeu dvije ravnine?

12. Kada su dvije ravnine paralelne/okomite?

13. Kako moemo odrediti kut izmeu pravca i ravnine?

14. Kada su pravac i ravnina paralelni/okomiti?

15. Kako odreujemo sjecite dvaju pravaca, dvije ravnine, pravca i ravnine? Dajte primjere.

16. Kako odreujemo udaljenost dvije toke, toke i pravca, toke i ravnine, dva pravca, dvije

ravnine, pravca i ravnine? Dajte primjere.

17. Kako odreujemo projekciju toke na ravninu, toke na pravac, pravca na ravninu? Dajte

primjere.

Analitika geometrija _________________________________________________________________________________

1. ime je ravnina jednoznano odreena? Kako glasi opa jednadba ravnine.

2. Izvedite vektorsku jednadbu ravnine.

3. Izvedite jednadbu ravnine kroz jednu toku uz zadani vektor normale.


4. Izvedite jednadbu ravnine kroz tri toke.


5. ime je pravac jednoznano odreen?

6. Izvedite vektorsku jednadbu pravca.

_________________________________________________________________________________

7. Izvedite parametarsku i kanonsku jednadbu pravca.


_________________________________________________________________________________

8. Izvedite jednadbu pravca kroz dvije toke.


9. Kako moemo odrediti kut izmeu dva pravca?

10. Kada su dva pravca paralelna/okomita?

_________________________________________________________________________________

11. Kako moemo odrediti kut izmeu dvije ravnine?

12. Kada su dvije ravnine paralelne/okomite?


_________________________________________________________________________________

13. Kako moemo odrediti kut izmeu pravca i ravnine?

14. Kada su pravac i ravnina paralelni/okomiti?


_________________________________________________________________________________

15. Kako odreujemo sjecite dvaju pravaca, dvije ravnine, pravca i ravnine? Dajte primjere.

_________________________________________________________________________________

16. Kako odreujemo udaljenost dvije toke, toke i pravca, toke i ravnine, dva pravca, dvije ravnine, pravca i ravnine? Dajte primjere.

_________________________________________________________________________________

17. Kako odreujemo projekciju toke na ravninu, toke na pravac, pravca na ravninu? Dajte primjere.

Matrice i determinante

MATRICE I DETERMINANTE 1. to je matrica? to joj je tip? to su joj elementi?

2. Kada su dvije matrice jednake?

3. to su nul-matrica i jedinina matrica?

4. Kada je matrica dijagonalna, gornje/ donje trokutasta?

5. Kako se matrice zbraja? Navedite svojstva zbrajanja matrica.

6. Kako se matricu mnoi sa skalarom? Navedite svojstva mnoenja matrice sa skalarom.

7. Kako se matrice mnoi? Navedite svojstva mnoenja matrica.

8. Kako se matricu transponira. Navedite svojstva transponiranja matrica.

9. Kada je matrica simetrina?

10. Kako se matricu potencira prirodnim brojem?

11. to je rang matrice? Kako se rauna?

12. Kada kaemo da su dvije matrice ekvivalentne i to vrijedi u tom sluaju?

13. Navedite elementarne transformacije nad retcima matrice.

14. Kojim je uvjetima opisan reducirani oblik matrice?

15. to je determinanta matrice?

16. to je minora, a to algebarski komplement nekog elementa u matrici?

17. Napiite Laplaceov razvoj determinante po nekom retku/ stupcu.

18. Navedite svojstva determinanti.

19. Kada kaemo da je matrica regularna/ singularna?

20. to je inverzna matrica? Kako ju se moe odrediti?

21. Kako se matricu potencira cijelim brojem?

22. Navedite vezu izmeu regularnosti i determinante matrice.

23. Navedite vezu izmeu regularnosti i ranga matrice.

Matrice i determinante _________________________________________________________________________________

1. to je matrica? to joj je tip? to su joj elementi?

_________________________________________________________________________________

2. Kada su dvije matrice jednake?

_________________________________________________________________________________

3. to su nul-matrica i jedinina matrica?

Matrice i determinante

_________________________________________________________________________________

4. Kada je matrica dijagonalna, gornje/ donje trokutasta?


5. Kako se matrice zbraja? Navedite svojstva zbrajanja matrica.

_________________________________________________________________________________

6. Kako se matricu mnoi sa skalarom? Navedite svojstva mnoenja matrice sa skalarom.


7. Kako se matrice mnoi? Navedite svojstva mnoenja matrica.

_________________________________________________________________________________

8. Kako se matricu transponira. Navedite svojstva transponiranja matrica.

9. Kada je matrica simetrina?


10. Kako se matricu potencira prirodnim brojem?

_________________________________________________________________________________

11. to je rang matrice? Kako se rauna?


12. Kada kaemo da su dvije matrice ekvivalentne i to vrijedi u tom sluaju?

13. Navedite elementarne transformacije nad retcima matrice.

_________________________________________________________________________________

14. Kojim je uvjetima opisan reducirani oblik matrice?


15. to je determinanta matrice?

_________________________________________________________________________________

16. to je minora, a to algebarski komplement nekog elementa u matrici?

_________________________________________________________________________________

17. Napiite Laplaceov razvoj determinante po nekom retku/ stupcu.


18. Navedite svojstva determinanti.

_________________________________________________________________________________

19. Kada kaemo da je matrica regularna/ singularna?

_________________________________________________________________________________

20. to je inverzna matrica? Kako ju se moe odrediti?

_________________________________________________________________________________

21. Kako se matricu potencira cijelim brojem?


22. Navedite vezu izmeu regularnosti i determinante matrice.


23. Navedite vezu izmeu regularnosti i ranga matrice.

Sustavi linearnih jednadbi

SUSTAV LINEARNIH JEDNADBI 1. Kada kaemo da su dva sustava ekvivalentna?

2. Koje radnje s jednadbama sustava ne mijenjaju njegovo rjeenje?

3. Kako sustav linearnih jednadbi zapisujemo pomou matrica?

4. Kada sustav ima rjeenje i kada je jedinstveno?

5. Kada homogeni sustav ima i netrivijalnih rjeenja?

6. Opiite postupak Gaussove eliminacije.

7. Opiite postupak Gauss -Jordanove eliminacije.

8. Kako rjeavamo Cramerov sustav?

9. Kako rjeavamo matrine jednadbe?

Sustavi linearnih jednadbi __________________________________________________________________________________

1. Kada kaemo da su dva sustava ekvivalentna? 2. Koje radnje s jednadbama sustava ne mijenjaju njegovo rjeenje?

__________________________________________________________________________________

3. Kako sustav linearnih jednadbi zapisujemo pomou matrica?


__________________________________________________________________________________

4. Kada sustav ima rjeenje i kada je jedinstveno?


5. Kada homogeni sustav ima i netrivijalnih rjeenja?

__________________________________________________________________________________

6. Opiite postupak Gaussove eliminacije.


7. Opiite postupak Gauss -Jordanove eliminacije.

__________________________________________________________________________________

8. Kako rjeavamo Cramerov sustav?


__________________________________________________________________________________

9. Kako rjeavamo matrine jednadbe?

skripta_naslovnicaskriptausmeniOsnove matematicke logikeSkupovi relacije funkcijeSkupovi brojevaVektoriAnaliticka geometrijaMatrice i determinanteSustavi linearnih jednadbi

matematika 1 mostar usmeni

Documents