matematika 2. godina srednje skole
DESCRIPTION
Zbirka resenih zadataka iz matematike za 2.razred srednje skoleTRANSCRIPT
1
STEPENOVANJE Proizvod ... n
n putaa a a a
−⋅ ⋅ ⋅ = naziva se n -tim stepenom broja. Ako je Ra∈ , 0≠a i neka je Nn∈
Po definiciji je:
1) 10 =a → primer: ,150 = ,1)3( 0 =− 174 0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2) nn
aa 1
=− → primer: ,91
313 2
2 ==− 125
1515 3
3 ==−
______________________________________________________________________ Još važe sledeća pravila: 3) nmnm aaa +=⋅ → primer: 75252 3333 ==⋅ + 4) nmnm aaa −=: → primer: 4610610 777:7 == − 5) nmnm aa ⋅=)( → primer: 155353 22)2( == ⋅ 6) nn baba ⋅=⋅ )( → primer: 255 1112)1112( ⋅=⋅
7) n
nn
ba
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ → primer 2
22
47
47
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
8) nn
ab
ba
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
→ primer 49
23
23
32
2
222
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
O čemu treba voditi računa? Treba paziti na zapis: 25)5)(5()5( 2 =−−=− , dok 255552 −=⋅−=− . Uopšteno važi:
parana)(− = parana neparana)(− = neparana−
Dakle, paran izložilac ‘’uništi’’ minus.
www.matematiranje.com
2
ZADACI
1) Izračunati: 24
357
2:22)2:2( ⋅
7 5 3 7 5 3 2 3 2 3 5
5 2 34 2 4 2 2 2 2
(2 : 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 82 : 2 2 2 2 2
− +−
−
⋅ ⋅ ⋅= = = = = = =
_____________________________________________________________
2) Izračunati: 5 3
2
3 927 3⋅⋅
5 3 5 2 3 5 6
2 3 2 1
3 9 3 (3 ) 3 327 3 (3 ) 3⋅ ⋅ ⋅
= =⋅ ⋅ 63
55 1 4
11
3 3 3 3 3 3 3 8133
−= = = = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅
______________________________________________________________
3) Izračunati: 4 3 3 5
5 2 3
( ) :( : )
x x xx x⋅
=
xxxxx
xx
xxxx
xxxxx
=====⋅
=⋅ −
−+
−1910
9
10
33
5312
325
5312
325
5334
)()(:
):(:)(
_______________________________________________________________
4) Izračunati: 42
21
333+
++ ⋅n
nn
===⋅
+
+
+
+++
+
++
42
32
42
21
42
21
33
33
333
n
n
n
nn
n
nn
Pazi pa zagrade zbog minusa
31
31333 1
14232)42()32( ===== −−−++−+ nnnn
_______________________________________________________________
www.matematiranje.com
3
5) Izračunati 4321 0625,0125,025,05,0 −−−− +++ =+++ −−−− 4321 0625,0125,025,05,0
6606665536512162168421
1618
24
12
161
81
41
21
4321
4321
4321
=+++=+++
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−−−
_________________________________________________________________ 6) Izračunati 321321 )3()2()1(321 −−−−−− −+−+−+++ =−+−+−+++ −−−−−− 321321 )3()2()1(321
21
42
41
41
271
411
271
411
)3(1
)2(1
)1(1
31
21
11
32132
==+=−+−++
=−
+−
+−
+++
_________________________________________________________________
7) Ako je 24
3
23
415 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
−
a i 2
3
3510
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=b nadji 1−⋅ba
4 2 4 2 3 4 23 3
2 2
3 2 4 23 2 3 2 3 6 2
2
2 2 3 2 3 2 3 3 23 3 3 2
2 2 2
1 3 4 3 5 4 35 54 2 1 2 2
5 (2 ) 3 5 (2 ) 3 5 2 32
5 3 10 3 (5 2) 3 5 2 310 10 5 2 33 5 5 5 5
a
b
−
−
⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = = = = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Konačno: izračunati i 1−⋅ba
1 3 6 2 2 33 2
15 2 3 5 2 25 8 2005 2 3
a b−⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅
______________________________________________________________
www.matematiranje.com
4
8) Izračunati 323
1
12
2
5
10:52
5 −
−
−
−−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
xy
yx
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−
−
−−
−
−32
3
1
12
2
5
10:52
5 yxxy
yx
25315)3(127
32171
3224331032
3233
3
42
102
221020
10:)45(10:)25(
10:52
5
yxyxyx
yxyxyxyx
yxx
yyx
==
=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⋅⋅
+−−−−−
−−
−−−+−
−−−
−
__________________________________________________________
9) Ako je x10 = 7
43
1055
102110
21
−
−−
⋅
+ Odrediti x.
=+
=⋅
+−
−−
1000000055
200001
20001
1055
102110
21
7
43
Izvučemo gore zajednički
==⋅
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1000000055
2000011
1000000055
1011
20001
1000000055
1011
20001
211 10000000 11 10000000 10000000 100 1020000 55 11 100000 100000⋅ ⋅
= = = =⋅ ⋅
sada je x10 = 210 , dakle 2=x ________________________________________________________ 10) a) b)
160101610161016
101016
10161010810210
008,02,010
54
)5(4
5
4
45
315
5
=⋅=⋅=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
⋅⋅⋅=⋅
⋅=⋅
+−
−−−
−
−
−−
−−−
−
AAAA
A
AAA
24010241024
101024
10241010610410
006,004,010
65
6
5
56
326
6
=⋅=⋅=
⋅=
⋅=⋅
⋅⋅⋅=⋅
⋅=⋅
+−
−
−
−−
−−−
−
BBB
B
BBB
5
Ovde smo koristili zapisivanje realnog broja u sistemu sa osnovnim 10. Ovo je dobra opcija kada je broj ‘’glomazan’’. Primeri:
1) Brzina svetlosti je približno 300000000 /c m s≈ a mi je ‘’lakše’’ zapisujemo 83 10 /c m s≈ ⋅ , 810 -znači da ima 8 nula iza jedinice!!!
2) 651555 1021010210
10210
51
1051
5000001 −−−−− ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=
⋅=
3) 55 107109,6000069,0 −− ⋅≈⋅= 4) Površina zemlje je 2510083000km ali mi zapisujemo 28105 km⋅≈
11) Izračunati xx
x
x
x
x
x
x
x
aaa
aa
aa
aa
−
−
−
−
−
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
−−
:11
213
2
=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
−− −
−
−
−
−
−
xx
x
x
x
x
x
x
x
aaa
aa
aa
aa :
112
13
2
2
22
2
2
3 2 1
:1 1 111 1
3 2 1
:1 1 11
3 2 1:1 1 ( 1)( 1) 1
3( 1) 2( 1) 1( 1)( 1) 1
3 3 2 2( 1)( 1
xx x x
xx
x x x
xx x x
x x xx
x x x
x
x x x x x
x x x x
x x
x x x
x x
aa a aa a
a a a
aa a aa a aa
a a aa
a a a a a
a a a aa a
a a aa a
⎛ ⎞⎜ ⎟
− − =⎜ ⎟−⎜ ⎟− + −⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟
− − =⎜ ⎟− + −−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟− + − + −⎝ ⎠+ − − − −
⋅ =− +
+ − + −
− + )
( 1)( 1)x xa a− +⋅
1=
523 =+=
www.matematiranje.com
6
12) Izračunati 1
1
12
1
12
2
11:
211 −
−
−−
−
−−
−
+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅++
−−
++−
xx
xxxx
xxxx
2 1 1
2 1 2 1 1
2
2 2
3 2
2
2 2
2 2
2
1:1 1 2 1
1 1 11:1 1 1 2 11 1 1
1 1 1
: 11 1 2
( 1) ( 1)
x x x x xx x x x x
x xx x x
x x x x xx x x
x x xxx x x x
xx x
x x x
− − −
− − − − −
⎛ ⎞− − −− =⎜ ⎟+ + + + ⋅ +⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟− =⎜ ⎟
⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠⎛ ⎞− − −⎜ ⎟
− =⎜ ⎟ ++ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− + +2 1x x+ +
( 1) ( 1)x x x− +−
2( 1)x +1:1
xx
⎛ ⎞ −⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠
1 ( 1) 1:
1 1 1( 1)( 1) ( 1) 1
1 1( 1)
x x x xx x
x x x x xx x
x
− − −⎛ ⎞− =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠− + − − +
⋅ =+ −
− [ ]( 1)1
x xx
+ −
+1x +
⋅1x −
1 1x x= + − =
www.matematiranje.com
7
13) Izračunati ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−
= −
−
−−
−
− n
n
n
n
n
n
n
n
aa
aa
aa
aaA
1111
2 2
1 1 1 1
1 1
1 1 1 11 1 1 1
1 11
1 1 1 1
1 11 1 1
n n n n
n n n n
n nn n
n n n n
n
nn n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
a a a aAa a a a
a aa aA
a a a aa
aa aAa a a a
a a a aa aA
a a a a
− −
− − − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞
= + − +⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠2 2
3 2 3 2
3 2 3 2
2 2
1
( 1) 1( 1) ( 1) 1( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
1 ( 1)( 1)( 1)
1 1( 1)( 1)
2 2 2( 1) 2( 1)(( 1)( 1) ( 1)( 1)
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n
n n n n n n
n n
n n n n
n n n n
a a a a a aAa a a a
a a a a a aAa a
a a a a a aAa a
a a a aAa a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + − − + += −
− + + −
+ + − − − + +=
− +
+ + − − + − −=
− +
− − −= = =
− + − +1) 2
( 1)( 1)n na a+
=− +
www.matematiranje.com
1
KORENOVANJE Neka je a realan i n prirodan broj. Svako rešenje jednačine
axn = ‘’po x’’ (ako postoji) naziva se n -ti koren broja a u oznaci n ax = . Dakle: simbol n a označava:
1) −n ti koren realnog broja a u svim slučajevima kada je on jedinstven ,( Nn∈ ,12 −= kn ,Nk∈ )Ra∈
2) Pozitivan n -ti koren broja a u slučaju ,2kn = ,Nk∈ 0>a Ova definicija sigurno nije baš mnogo jasna!!! Ajde da vidimo par primera:
;3327 3 33 == 21
21
81
3
3
3 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
;2)2(32 5 55 −=−=− 007 = _______________________________________
;224 2 22 == 21
21
161
4
4
4 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Pazi: ;2216 4 44 == 2216 4 44 −=−=−
Pogrešno je pisati: 2164 ±= ZAPAMTI!!!
Važi:
⎩⎨⎧
=,,
aa
an n −−
nn
paranneparan
Primeri: (pazi, dogovor je da je 2 AA = , to jest, jedino se ovde ne piše broj 2) 239 = ; 223 3 =
33)3( 2 =−=− ; 2)2(3 3 −=− www.matematiranje.com
2
ZAPAMTI: Kad vidiš 2, 4, 6,… (parni koren) iz nekog konkretnog broja, rešenje je uvek pozitivan broj. Kad vadiš 3, 5, 7… (neparan koren) iz nekog broja, rešenje može biti i negativan broj, u zavisnosti kakva je potkorena veličina. 55)5( 2 =−=− 553 3 =
77)7(4 4 =−=− 5)5(3 3 −=−
1212)12(6 6 =−=− 101
101
5
5 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
31
31
31
8
8
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
53
53
7
7
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Primer: Za koje realne brojeve x je tačna vrednost: a) xx =2
b) xx −=3 3
v) xx −=2
g) ( )44 xx = ____________________________________ Rešenje: a) xx =2 je tačna samo za vrednosti x koje su veće ili jednake nuli, jer Dakle 0≥x , b) xx −=3 3 je tačka samo za 0=x !!! Zašto? Ako uzmemo da je x negativan broj, na
primer 5−=x ⇒ 5)5(3 3 −=− ≠ 5)5( +=−− , a ako uzmemo 0>x , recimo 10=x
1010103 3 −≠= v) xx −=2 , x mora biti manje od nule, ili nula jer kao malopre važi:
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=,0
,,
2 xx
x000
=<>
xxx
, Dakle 0≤x
www.matematiranje.com
zaxx
00
<>
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=,0
,,
2 xx
x0=x
3
g) ( ) ,44 xx = Ovde mora biti 0≥x . Zašto? Zbog ( )4x koji ne može biti negativan
odnosno mora biti 0>x Pravila:
1) nm
n m aa = 2) nnn baba ⋅=⋅ 3) nnn baba :: =
4) ( ) n mmn aa =
5) mnn m aa ⋅=
6) n mnp mp aa = p( se skrati) Moramo naglasiti da pravila važe pod uslovima da je: →ba, pozitivni realni brojevi
→pnm ,, prirodni brojevi. Zadaci:
1) a) Izračunaj 54 321625236 −+− =−+− 54 321625236
42210622526 5 54 4
−=−+−==−+⋅−=
b) Izračunaj 43 1681
49
++
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 4 43
32
221
23
4221
23
=++
c) Izračunaj 42794 3
2
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 427
94 3
2
=−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2)3(
32 3 3
2
2 3 23− − =
2 15 43 3− = −
www.matematiranje.com
4
d) Izračunaj 53 32)8(9 −⋅−⋅
=−⋅−⋅ 53 32)8(9
=−⋅−⋅= 5 53 32 )2()2(3 12)2()2(3 =−⋅−⋅= 2) Izračunaj 22 )5()5( ++− xx 55)5()5( 22 ++−=++− xxxx Kako je:
⎩⎨⎧
−−−
=−),5(
,55
xx
xzaza
0505
<−≥−
xx
= ⎩⎨⎧
−−−
),5(,5
xx
zaza
55
<≥
xx
i
⎩⎨⎧
+−+
=+),5(
,55
xx
xzaza
0505
<+≥+
xx
= ⎩⎨⎧
+−+
),5(,5
xx
zaza
55−<−≥
xx
moramo najpre videti ‘’ gde ima’’ rešenja
I za 5≥x i 5−≥x
xxxxx 25555 =++−=−+−
[ )∞∈ ,5x __________________________________________________________________ II za 5≥x i 5−<x
Nema rešenja __________________________________________________________________
www.matematiranje.com
5
III za 5<x i 5−≥x
105555 +=+++−=−+− xxxx [ )5,5−∈x ________________________________________________________________ IV za 5<x i 5−<x
xxxxx 25555 −=−−+−=++−
Konačno: ⎪⎩
⎪⎨
⎧−=++−
,2,10
,255
x
xxx
555
5
≥<≤−
−<
xx
x
Racionalisanje Koristeći se osobinama korena, možemo, u cilju uprošćavanja nekog izraza, odstraniti korene ili ih premestiti na željeno mesto.
Primeri:
1) 55
55
55
51
51
2==⋅=
2) 2
334
3234
3434123
12129
1212
129
129
=⋅
=⋅
===⋅=
3) 2
3532315
33
3215
3215
=⋅
=⋅=
Ovo je bio najprostiji tip zadataka. Gde racionalisanjem prebacujemo koren iz imenioca u brojilac.
U sledecoj grupi zadataka ćemo koristiti da je aann = , 0>a
www.matematiranje.com
6
4) =3 26 da bi ‘’uništili ’’ koren u imeniocu moramo napraviti 3 32 , a pošto imamo
3 126 treba racionalisati sa 3 22 . Dakle:
33
3 3
3 2
3 2
3 2
3343
246
226
22
26
26
=⋅
=⋅
=⋅=
5) 34 4 4
4 4 3 44 4
10 10 3 10 27 10 2733 3 3 3
= ⋅ = = =
6) 3 3 31 2 2 2
3 2
3 3 3 32 2 1 1 2 3 3
ab ab a b ab ab ab ab ababa b a b a b a b
= ⋅ = = =
Kad u imeniocu imamo zbir ili razliku dva kvadratna korena, upotrebljavamo razliku kvadrata: 22)()( BABABA −=+⋅−
7) 323432
32
323232
321
321
22−=
−−
=−
−=
−−
⋅+
=+
8) ( ) ( ) ( )4
261126
2611
26
26112626
2611
2611
22+
=−+
=−
+=
++
⋅−
=−
9) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
623325
181223325
293423325
2332
2332523322332
23325
23325
22 −+
=−+
=⋅−⋅
+=
−
+=
++
⋅−
=−
U zadacima u kojima se u imeniocu javlja zbir ili razlika ‘’trećih’’ korena moramo koristiti:
))(( 2233 BABABABA ++−=− → Razlika kubova ))(( 2233 BABABABA +−+=+ → Zbir kubova
10)
5469
23469
23
46922332233
231
231 333333
3333
333
3 2333 2
3 2333 2
3333
+−=
++−
=+
+−=
+−
+−⋅
+=
+
________________________________________________________________________ 11)
( ) ( )3333333
333
3 2333 2
3 2333 2
33331620255
45
162025544554455
455
455
++=−
++=
++
++⋅
−=
−
________________________________________________________________________ www.matematiranje.com
7
12) =− 25
34
ovde ćemo uraditi dupli racionalizaciju da bi ''uništili'' četvrti koren.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )4 4 4 44
4 4 4 2 2 2 24
3 5 2 3 5 2 3 5 2 5 4 3 5 2 5 43 3 5 2 5 4115 2 5 2 5 2 5 4 5 45 2 5 4
+ + + + + ++ += ⋅ = = ⋅ = =
−− − + − +− − Vratimo se na zadatke sa korenima: 3) Izračunati:
a) 3 13 12 xxxx −− ⋅
b) ( )313 23 2 : −⋅ xxxx Rešenje:
a) 2 1 2 1 1 1
3 3 53 5 6 102 1 1 2 1 1 1 1 15 3 5 3 6 5 10x x x x x x x x x x x x x x x x− − −− − − − − − −⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
5 252
3012
3036520
101
51
61
32
xxxxx =====+−−
+−−
b) ( )
3618
69423
23
32
62
21
23
32
62
21
332
3 23
13 23 2
:
::
xxxxxxxx
xxxxxxxx
====⋅⋅
=⋅=⋅+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−++−
−−
ZAPAMTI: 12x x=
4) Izračunaj: a) 98508325 −−+ b) 4822733 −+ Ovde je ideja da upotrebom pravila za korenovanje baba ⋅=⋅ , svaki sabirak svedemo na čist koren.
www.matematiranje.com
8
a) 5 2 3 8 50 98
5 2 3 4 2 25 2 49 2
5 2 3 2 2 5 2 7 2
5 2
+ − − =
+ ⋅ − ⋅ − ⋅ =
+ ⋅ − − =
6 2 5 2+ − 7 2 2− = −
b)
32383933423333
31623933
4822733
=−+=⋅−⋅+
=⋅−⋅+
=−+
5) Izračunaj: 20241512 81516827443 ⋅+⋅+⋅−⋅ Rešenje:
56
5656
20 424 415 312 2
20241512
3211
35283423
35283423
81516827443
+=
=+⋅+−⋅
=⋅+⋅+⋅−⋅
=⋅+⋅+⋅−⋅
−−−−−−−−−−
LAGRANŽOV INDENTITET:
2 2
2 2a a b a a ba b + − − −
± = ±
Gde je ,0>a ,0>b 2ab <
Primenimo ga na 2 primera: a) 32+
b) 246−
a) 2
3222
3223222 −−
+−+
=+
213
21
23
212
212
+=+=
−+
+=
www.matematiranje.com
9
b) 246− = pazi, prvo moramo 4 da ubacimo pod koren!!!
22242
262
262
323662
32366
23266
232663262166
22
−=−=−
++
=
−−+
−+=
−−+
−+=−=⋅−
7) Dokazati da je vrednost izraza 2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+ −+
+ + − − iracionalan broj.
Najpre ćemo upotrebom Lagranžovog indetiteta ‘’ srediti’’ 2 3+ i 2 3−
2 3+ =(prethodni zadatak) 2
13 += , slično je i 2 3−
213 −
= , Dakle:
2 3 2 3 2 3 2 3
3 1 3 12 2 3 2 2 3 2 22 2
+ − + −+ = + =
+ −+ + − − + −
=+−
−+
+++
=
2132
32
2132
32 Pazi na znak!!!
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )3333
336223362233
32233
322
−++−+−+
=
−−
+++
=
6 2 2 6−=
3 6+ 18 6 2 2 6− + + 3 6−22
18
3 3
−
−
26
266
262126
29221239
182212==
−=
⋅−=
−−
=
www.matematiranje.com
10
8) Dokazati da je: 3
4 2 3 3 110 6 3
+= +
+.
Poći ćemo od leve strane da dobijemo desnu.
( ) ( )2213132313233213324 +=++=++=++=+
=+ 3610 razmislimo da li ovo nije ( ) ?3610 3BA+=+
( )
( )
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3
3 1 3 3 3 1 3 3 1 1
A B A A B AB B+ = + + +
+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
3610103333133939
13313327
+=++=+++⋅=
++⋅⋅+=
Dakle:
( )( )
( ) 131313
13
13
3610
3242
3 3
2
3+=
++
=+
+=
+
+
Ovim je dokaz završen!!!
9) Racionalisati: 232721
6+++
( ) ( ) ( )1321376
1327376
2327216
+++=
+++⋅=
+++
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )2713
3227136
2713
27136
2727
1313
27136
2222−−=
⋅−−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
−−=
=−−
⋅−−
⋅++
=
www.matematiranje.com
11
10) Racionalisati: 333 469
1++
333 33 3
3 33 3 33 33 32 2 3 333
1 1 3 2 3 2 3 23 29 6 4 3 23 3 2 2 3 2
− − −= ⋅ = = =
−+ + −+ ⋅ + −
33333 2 3 2
1−
= = −
Ovde smo imali 22 BABA ++ , pa smo dodali A-B, da bi dobili 33 BA − .
www.matematiranje.com
1
Kompleksni brojevi (C)
Kompleksni brojevi su izrazi oblika: biaz += gde su a i b realni brojevi a i → simbol
koji ima vrednost 1−=i .
Za kompleksan broj biaz += , a je njegov realni deo i obeležava se az =)Re( , b je
njegov imaginarni deo i obeležava se bz =)Im( , a 1−=i je imaginarna jedinica.
Primeri:
0)Im(,2)Re(28)Im(,0)Re(8
7)Im(,43)Re(7
43
2)Im(,5)Re(254)Im(,5)Re(45
555
444
333
222
111
==→===→=
−=−=→−−=
−==→−===→+=
zzzzziz
zziz
zzizzziz
Dva kompleksna broja bia + i dic + su jednaka ako i samo ako je ca = i db = ,tj imaju iste realne i imaginarne delove.
Pošto smo rekli da je 1−=i ,zanimljivo je videti kako se ponašaju stepeni broja i .
11
11
1)1)(1(1
11
448
3347
2246
45
_________________________________
224
23
2
=⋅=
−=⋅=⋅=
−==⋅=
=⋅=⋅=
=−−=⋅=
−=⋅−=⋅=
−=
−=
iiiiiiii
iiiiiiiii
iiiiiiii
ii
itd.
www.matematiranje.com
2
Šta zaključujemo? i stepenovano bilo kojim brojem može imati samo jednu od ove 4 vrednosti: ii −− ,1, ili 1.
Uopšteno, tu činjenicu bi mogli zapisati:
iii
iii
k
k
k
k
−=
−=
=
=
+
+
+
34
24
14
4
1
1
za .Nk∈
Kako ovo primeniti u zadacima?
Primeri:
Izračunati:
23
102
25
2006
100
)))))
idigivibia
100)ia
Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je 14 =i i naravno pravila za stepen : nmnm aa ⋅=)( i nmnm aaa ⋅=+
Dakle: 1)1()( 50502100 =−== ii ili druga ideja da je 4 1ki =
11)( 50504100 === ii
Odlučite sami šta vam je lakše!
?) 2006 =ib
1)1()( 1003100322006 −=−== ii
www.matematiranje.com
3
iiiiiiiiv =⋅=⋅−=⋅=⋅= 1)1()() 1212212425
↓
Kad je stepen neparan, napišemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest 12425 += .
1)1()() 51512102 −=−== iig
iiiiiiiid −=⋅−=⋅−=⋅=⋅= 1)1()() 1111212223
Pazi: )1(− paran broj 1=
)1(− neparan broj 1−=
Kako se sabiraju, oduzimaju I množe kompleksni brojevi?
1) Zbir dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj )()( dbica +++ , a njihova razlika je )()( dbica −+− . To znači da se sabiraju I oduzimaju ‘’normalno’’, kao u R.
Primer: iz
iz10435
2
1
−=+=
iiiiizz 79103451043521 −=−++=−++=+
iiiiizz 13110435)104(3521 +=+−+=−−+=−
2) Proizvod dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj
→++− )()( bcadibdac množi se ‘’svaki sa svakim’’ I vodimo računa da je 2 1i = − 2)()(
−+++=+⋅+ ibdbciadiacdicbia
)( bcadibdac
bdbciadiac++−=−++=
www.matematiranje.com
4
Primer: iziz
2453
2
1
−=+−=
=−++−=−⋅+−=⋅ 2
21 1020612)24()53( iiiiizz [sad zameni da je 12 −=i , pa
10)1(1010 2 =−⋅−=− i ] iii 2621020612 +−=+++−=
Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj.
Za z a bi z a bi−
= + ⇒ = − je konjugovan broj.
Primeri: za iz 1210+= je iz 1210−=−
za iz 34−= je iz 34+=−
za iz 54+−= je iz 54−−=−
Dva kompleksna broja se dele tako što izvršimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.
=−−
⋅++
=++
dicdic
dicbia
dicbia
gore množimo ‘’svaki sa svakim’’ a dole je razlika kvadrata.
2 2 2 2
( )( ) ( )( )( )
a bi c di a bi c dic di c d+ − + −
= =− +
Primer 1)
=−
++=
++
⋅−+
=−+
= 22 )3(4)34)(25(
3434
3425
3425
iii
ii
ii
ii
www.matematiranje.com
5
2
22 2
20 15 8 6 ( 1)16 3
20 15 8 6 14 23 14 2316 9 25 25 25
i i i ii
i i i i
+ + += = = −
− ⋅+ + − +
= = = ++
Savet: Uvek na kraju rastavi icb
ca
cbia
+=+
da bi mogao da pročitaš )Re(z i
)Im(z Primer 2)
ii
ii
ii
3535
3573
3573
−−−−
⋅+−+
=+−+
2 2
2
2 2
(3 7 )( 5 3 )( 5) (3 )15 9 35 21
25 315 9 35 21
25 96 44 6 44 3 22
34 34 34 17 17
i ii
i i ii
i i
i i i
+ − −=
− −
− − − −=
− ⋅− − − +
=+
−= = − = −
Modul kompleksnog broja biaz += je nenegativan broj 22 baz +=
Primeri: Za iz 43+= je 516943 22 =+=+=z
Za iz 129−−= je 1514481)12()9( 22 =+=−+−=z
Navešćemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje će nam dosta pomoći u rešavanju zadataka:
1) 1221 zzzz +=+ ( komutativnost)
2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + + ( asocijativnost)
3) zzz =+=+ 00 (0 je netral za +) 4) 0'' =+=+ zzzz ( 'z je suprotni broj) www.matematiranje.com
6
5) 1221 zzzz ⋅=⋅
6) )()( 321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅
7) zzz =⋅=⋅ 11 (1 je neutral za ) 8) 1'' =⋅=⋅ zzzz ( 'z je inverzni za ) 9) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z+ ⋅ = + ( distributivnost)
10) 2121 zzzz ⋅=⋅
11) 22 zz =
12) 2
1
2
1
zz
zz
=
Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: 5
12
)1()1(iiz
+−
=
Odredimo najpre ?)1( 12 =− i
Podjimo od 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 2i i i i i− = − + = − − = −
Kako je 642)1(22)2())1(()1( 666666212 −=−=−⋅=⋅=−=−=− iiii Nadjimo dalje ?)1( 5 =+ i
iiiii 212121)1( 22 =−+=++=+
)1(4)1(4)1()2()1())1(()1()1()1(
2
22245
iiiiiiiiii
+−=+⋅=
+=+⋅+=+⋅+=+
i
iiiii
ii
iiiiiz
88
)1(82
)1(1611
)1(161
)1(1611
116
116
)1(464
)1()1(
22
5
12
−=
=−=−
=+−
=−−
=
=−−
⋅+
=+
=+−
−=
+−
=
Dakle : Re 8)( =z 8)Im( −=z
www.matematiranje.com
7
Primer : Nadji x i y iz
{ { {
2
ReRe ImIm
1 ( 3) (1 )(5 3 )1 ( 3) 5 3 5 31 ( 3) 5 8 31 ( 3) 2 8
x y i i ix y i i i ix y i ix y i i
− + + = + +
− + + = + + +− + + = + −− + + = +
123
Dakle : 53883
31221=⇒−=⇒=+=⇒+=⇒=−
yyyxxx
Primer: Ako je 2
31 iw +−= dokazati da je 012 =++ ww
Rešenje:
2
2
2
1 3 1 3 12 2
1 2 3 ( 3) 1 3 14 2
1 2 3 3 1 3 14 2
1 2 3 3 2( 1 3) 44
1 2 3
i i
i i i
i i i
i i
i
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ++ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + − ++ + =
− + ⋅ − ++ + =
− − + − + +=
− 3 2 2 3i− − + 4 0 04 4
+= =
Primer: Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednačina:
1
2
−=−
=−
ziz
ziz
www.matematiranje.com
8
Rešenje: Neka je biaz +=
22
22
22
)1(1111
)1()1(
)2(2)2(22
bazbiabiaz
baizbiaibiaiz
baizbiaibiaiz
+−=−⇒+−=−+=−
−+=−⇒−+=−+=−
−+=−⇒−+=−+=−
Dakle:
2222
2222
)1()1(
)2(
baba
baba
+−=−+
+=−+ Kvadrirajmo obe jednačine!
___________________________________________
2 2 2 2
2 2 2 2
( 2)( 1) ( 1)
a b a ba b a b
+ − = +
+ − = − +
___________________________________________
1
4444 22
=−=−
=+−
bb
bbbzamenimo u drugu jednačinu
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( 1) ( 1)(1 1) ( 1) 10 2 1 1
2 21
a b a ba aa a aa
a
+ − = − +
+ − = − +
+ = − + +==
Traženi kompleksni broj je iz +=1 Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju:
02 =+−
zz
www.matematiranje.com
9
Rešenje: Neka je biaz += traženi kompleksni broj. Onda je 2 2, z a bi z a b− −
= − = +
{
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
ImRe
( ) 0
2 0
2 0
a bi a b
a abi b i a b
a b a b abi
+ + + =
+ + + + =
− + + + =144424443
Kako je ⇒−= 12i Ovde očigledno I Re I Im moraju biti nula.
2 2 2 2 0
2 0a b a bab− + + ==
______________________
Iz 002 =⇒= aab v 0=b 1) Ako je 0=a , zamenimo u prvu jednačinu:
22
2222 000
bb
bb
=
=++− ( 2b ≥0)
Ovde je očigledno 0=b ili 1−=b 2) Ako je 0=b , zamenimo u prvu jednačinu:
22
22
2222
0
000
aa
aa
aa
−=
=+
=++−
nema rešenja sem 0=a
Dakle: 0=z ; iz = I iz −= su traženi brojevi. Primer: Za koje vrednosti prirodnog broja n važi jednakost: nn ii )1()1( −=+ ? Rešenje:
1
111
)1()1(
)1()1(
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
⇒=−+
−=+n
n
n
nn
ii
ii
ii
www.matematiranje.com
10
Transformišemo izraz:
iiiii
iiii
ii
ii
ii
212121)1(2
)1(11)1(
1)1(
11
11
11
22
22
22
2
=−+=++=+
+=
++
=++
=++
⋅−+
=−+
Dakle:
iiiii
==+
=−+
22
2)1(
11 2
Vratimo se u 111
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+ n
ii
, dobijemo 1=ni
A ovo je ( vec smo videli ) moguće za n k4= , Nk∈ .
www.matematiranje.com
1
KVADRATNA JEDNAČINA 02 =++ cbxax Jednačina oblika 02 =++ cbxax , gde je −x nepoznata. ba, i c realni brojevi, ,0≠a je kvadratna jednačina po x sa koeficijentima ba, i c . Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti 0≠b i 0≠c . Ako je 0=b ili 0=c (ili oba) onda je kvadratna jednačina nepotpuna. Nepotpuna kvadratne jednačine se rešavaju relativno lako.
Nepotpune kvadratne jednačine
Primeri:
0)52(052 2
=+=+
xxxx
0=x ∨
Potpuna kvadratna jednačina: 02 =++ cbxax
Kvadratna jednačina ima dva rešenja: označavamo ih sa 1x i 2x i tradicionalno se piše
2
1,24
2b b acx
a− ± −
= www.matematiranje.com
0)(02
=+=+baxxbxax
0=+bax0=x ∨
abx −=
abx
acx
caxcax
−±=
−=
−=
=+
2
2
2 00
02
==
xax
2552
052
−=
−==+
x
xx
23
2323
49
4994
094
2
1
2
2
2
−=
=
±=
±=
=
=
=−
x
x
x
x
x
xx
00
5005
21
2
2
===
=
=
xxx
x
x
2
Primer 1) Reši jednačine: a) 026 2 =−− xx b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx a) 026 2 =−− xx Pazi, kad nema broj ispred nepoznate uzimaš 1.
22
1,2
1,2
1
2
( 1) ( 1) 4 6 ( 2)42 2 6
1 49 1 1712 12
1 7 8 212 12 3
1 7 6 112 12 2
b b acxa
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −− ± −= =
⋅± ±
= =
+= = =
− −= = = −
b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx Dakle: Pazi jer je:
www.matematiranje.com
21
6
−=−=
=
cba
12
1
=−=
=
cba
22
1,2
1,2
1
2
( 2) ( 2) 4 1 142 2 1
2 4 4 2 02 2
2 122 12
b b acxa
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅− ± −= =
⋅± − ±
= =
= =
= =
54
1
=−=
=
cba
2
1,2
1,2
4 ( 4) 16 202 2 1
4 4 4 2 22 2
b b acxa
ix
− ± − − − ± −= =
⋅± − ±
= = =(2 )
2i± 2 i= ±
1
2
22
x ix i= += −
i
i
=−
=−=−
1
2)1(44
3
Primer 2) Rešiti jednačinu:
xxxx 112)2)(1()32( 2 −=+−+− Rešenje: →=+ 012x Nepotpuna kvadratna jednačina
ixix
x
x
−=+=−±=
−=
2
1
2
1
1
Primer 3) Rešiti jednačinu:
→−
=+
−− 4
82
32 2xxxx najpre rastavimo na činioce imenilac
→+−
=+
−− )2)(2(
82
32 xxxxx Množimo sve sa NZS )2)(2( +−= xx uz uslov:
i →=−− 022 xx Sad radimo kao kvadratnu jednačinu
→==+
= 224
231
1x PAZI: nije rešenje jer 2≠x
→−=−
=−
= 122
231
2x Dakle 1x = −
Primer 4) Grupa dečaka treba da podeli 400 klikera na jednake delove. Pre deobe 4 dečaka se odreknu svog dela, zbog čega je svaki od ostalih dobio po 5 klikera više. Koliko je u toj grupi bilo dečaka? Obeležimo sa x-broj dečaka, y- broj klikera po dečaku
www.matematiranje.com
5:/0550112229124
112)2)(1()32(
2
22
2
=+
=+−−−+++−
−=+−+−
xxxxxxx
xxxx
2≠x 2−≠x08632
8)2(3)2(2 =−+−+
=−−+
xxxxxx
21
1
−=−=
=
cba
231
2)2(14)1()1(
24
2,1
22
2,1
±=
−⋅⋅−−±−−=
−±−=
x
aacbbx
4
→=+⋅−=⋅
____________________________400)5()4(
400yx
yx Sredimo ovu drugu jednačinu...
40020454004002045=−−+=−−+
yxyxxy
→=−− 02045 yx Iz prve jednačine izrazimo x
y 400=
xx
x ⋅=−⋅− /02040045
→=−− 02016005 2 xx (poredjamo) →=−− 01600205 2 xx (podelimo sa 5)
→=−− 032042 xx sad radimo kvadratnu jednačinu
Nemogućex
x
x
aacbbx
→−=−
=
=+
=
±=
±=
+±=
−⋅⋅−−±−−=
−±−=
162364
202364
2364
212964
21280164
2)320(14)4()4(
24
2
1
2,1
22
2,1
Dakle bilo je 20 dečaka u grupi.
Priroda rešenja kvadratne jednačine Diskriminanta (D) kvadratne jednačine 02 =++ cbxax je izraz acb 42 − (ono pod korenom) Dakle: 2 4D b ac= −
Sada formulu za rešavanje možemo zapisati i kao: aDbx
22,1±−
=
Za kvadratnu jednačinu cbxax ++2 sa realnim koeficijentima važi: 1) Jednačina ima dva rezličita realna rešenja ako i smo ako je 0>D
21( xx = R∈ 21 xx ≠ akko )0>D 2) Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je 0=D
21( xx = R∈ akko )0=D www.matematiranje.com
3204
1
−=−=
=
cba
5
3) Jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja akko je 0<D biaxbiax −=+= 21 ,( akko )0<D
Primer 1) Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnost od parametara: a) 032 =++ mxx b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn a) 032 =++ mxx ⇒
mmacbD 491434 22 −=⋅⋅−=−= 1) 0>D ⇒ 049 >− m →−>− 94m PAZI: Okreće se znak
49
49
<
−−
<
m
m
2) 0=D ⇒ 049 =− m ⇒ 49
=m
3) 0<D ⇒ 049 <− m ⇒ 49
>m
Dakle: - za 49
<m rešenja su realna i različita
- za 49
=m rešenja su realna i jednaka
- za 49
>m rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi
b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn
5)1(2
3
−=+−=
+=
ncnb
na ⇒ PAZI: ovde je odmah 03 ≠+n da bi jednačina bila kvadratna
www.matematiranje.com
mcba
===
31
6
[ ]22
2 2
2
4 2( 1) 4( 3)( 5)
4( 2 1) 4( 5 3 15)
4
D b ac n n n
n n n n n
n
= − = − + − + −
= + + − − + −
= 28 4 4n n+ + − 20 12 6016 64
n nD n
+ − += +
1) 0>D 16 64 0 16 64 4, 4n n n n+ > ⇒ > − ⇒ > − > − Rxx ∈≠ 21 2) 0=D 16 64 0 4n n+ = ⇒ = − Rxx ∈= 21 3) 0<D 16 64 0 4n n+ < ⇒ < − 1x i 2x su konjugovano-kompleksni brojevi. Primer 2) Za koje vrednosti parametra Rk ∈ jednačina 02)1(2 =+++ xkkx ima dvostruko rešenje? Rešenje: Ovde nam treba da je 0=D i naravno 0≠a , jer ako je 0=a jednačina nije kvadratna. 02)1(2 =+++ xkkx ⇒ ⇒ 0≠k
0161681224)1(4
2
2222
=+−=
+−=−++=⋅⋅−+=−=
kkDkkkkkkkacbD
Sada rešavamo novu kvadratnu jednačinu ‘’po k’’ 0162 =+− kk ⇒
22
1,2( 6) ( 6) 4 1 14 6 32
2 2 2Malo sredimo : 32 16 2 4 2
b b acka
− − ± − − ⋅ ⋅− ± − ±= = =
= ⋅ =
Pa je:
www.matematiranje.com
21
=+=
=
ckbka
16
1
=−=
=
cba
7
( )
223
223
2232
22322
246
2
1
2,1
−=
+=
±=±
=±
=
k
k
k
Ovo su rešenja za koja jednačina ( početna ) ima dvostruko rešenje!!! Primer 3) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 142 +− xmx ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde dakle mora biti 0>D i naravno 0≠a
1
40
=−=
≠⇒=
cb
mma
nula ne sme! Dakle, rešenje je )4,0()0,( ∪−∞∈m Primer 4) Za koje vrednosti parametra m jednačina mxx +−82 ima konjugovano-kompleksno rešenja? Rešenje: Mora biti 0<D i 0≠a
mcba
=−=≠=8
01
Primer 5) Za koje vrednosti parametra Rk∈ jednačina 0362 =++ xkx nema realna rešenja? Rešenje: Kad nema realna rešenja, znači da su konjugovano kompleksna, odnosno 0<D i naravno 0≠a .
www.matematiranje.com
41640416
046414)4(
42
2
<−>−>−
>−=⋅⋅−−=
−=
mmm
mDmD
acbD⇒
⇒
),16(16644
046414)8(
42
2
∞∈⇒>−<−
<−=⋅⋅−−=
−=
mmm
mDmD
acbD
8
0362 =++ xkx ⇒ ⇒ 0≠k
),3(33612
012361236346
42
2
∞∈⇒>−<−<−
−=⋅⋅−=
−=
kkkk
kkDacbD
Primer 6) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 05,2)12()12( 2 =++−+ xmxm ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde je 0>D i 0≠a
0≠a ⇒ 012 ≠+m ⇒ 21
−≠m
[ ] [ ]
2
2
2
2
2
4
(2 1) 4 2 1 2,5
(2 1) 10(2 1)4 4 1 20 104 16 9 0
D b ac
D m m
D m mD m m mD m m
= −
= − + − ⋅ + ⋅
= + − +
= + + − −
= − − >
Rešimo najpre 09164 2 =−− mm
916
4
−=−=
=
cba
(Pogledaj kvadratne nejednačine):
www.matematiranje.com
36
===
cbka
5,2)12(
12
−=+−=
+=
cmb
ma
2
1,2
1,2
1
2
42
16 256 144 16 208 8
36 98 2
4 18 2
b b acma
m
m
m
− ± −=
± + ±= =
= =
= − = −
9
→> 0D biramo gde je +
www.matematiranje.com
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞−∈ ,
29
21,m
1
VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE
Brojevi 1x i 2x su rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax ako i samo ako je
abxx −=+ 21 i
acxx =⋅ 21
Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja 1x i 2x napravimo kvadratnu jednačinu: 0)( 2121
2 =⋅++− xxxxxx ili bi možda bilo preciznije
[ ] 0)( 2121
2 =⋅++− xxxxxxa najčešće se ovde uzima 1=a , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja: a) 2,3 21 −== xx b) Jedno rešenje je ix 211 += a) ,31 =x 22 −=x
6)2(31)2(3
21
21
−=−⋅=⋅+=−+=+
xxxx
Formula je 0)(6
21
1
212 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅++−−32143421xxxxxxa
Pa je [ ] 062 =−− xxa najčešće se uzima ______
1=a ⇒ 062 =−− xx
b) ix 211 += , Nemamo drugo rešenje? Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: ix 212 −=
www.matematiranje.com
2
=−=−=−⋅+=⋅
=−++=+222
21
21
41)2(1)21()21(22121
iiiixxiixx
(pošto je 12 −=i ) 541 =+= Zamenimo u formulu: 0)( 2121
2 =⋅++− xxxxxx 0522 =+− xx je tražena kvadratna jednačina Primer 2: U jednačini 0)13(2 =++− mxmmx odrediti vrednost realnog parametra m tako da važi: 521 =+ xx Rešenje: Kako je 521 =+ xx ⇒ Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za 1x i 2x jednačine: 0)1(342 =−+− kxx važi 03 21 =− xx
Rešenje: 414
21 =−
−=−=+abxx
_________________21
21
034
⎭⎬⎫
=−=+
xxxx
rešimo kao sistem
__________________
21
21
034=+−
=+xx
xx
3144 122 =⇒=⇒= xxx
Kako je 2111
)1(31321 =⇒=−⇒−
=⋅⇒=⋅ kkkacxx
www.matematiranje.com
mcmb
ma
=+−=
=)13(
mm
mmxx
abxx
13)13(21
21
+=
+−−=+
−=+
21
12153
513
513
=
−=−−=−
=+
=+
m
mmm
mmm
m
)1(34
1
−=−=
=
kcba
3
Primer 4: U jednačini 0)1(2 =++− mxmx odrediti realan broj m tako da njena rešenja zadovoljavaju jednakost 102
221 =+ xx
Rešenje: Ovaj izraz 2
221 xx + → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo
je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: 2
22121
221 2)( xxxxxx ++=+
Odavde je: 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + − ZAPAMTI!!! Vratimo se u zadatak: 102)(10 21
221
22
21 =−+⇒=+ xxxxxx
33
9
9110
10212102)1(
2
1
2
2
2
2
−==±=
=
−=
=−++
=−+
mmm
mm
mmmmm
Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine 02 =++ qpxx tako da
njena rešenja budu qxpx
==
2
1
Rešenja:
⇒ ⇒⎭⎬⎫
=⋅−=+
qqppqp
002
=−=+
qpqqp
www.matematiranje.com
mcmb
a
=+−=
=)1(
1⇒
1 2
1 2
( 1) 11
1
b mx x ma
c mx x ma
− ++ = − = − = +
+ = = =
qcpb
a
=⇒=
= 1
qacxx
ppabxx
==⋅
−=−=−=+
21
21 1
4
Iz druge jednačine sistema: 0)1(0 =−⇒=− pqqpq pa je q = 0 ili 1=p Za ⇒= 0q vratimo u prvu jednačinu: 000202 =⇒=+⇒=+ ppqp Za 202021 −=⇒=+⇒=+⇒= qqqpp Dakle ta kvadratna jednačina je:
02 =++ qpxx ⇒ 02 =x za 0=p i 0=q ⇒ 022 =−+ xx za 1=p ∧ 2−=q
Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika: cbxax ++2 gde su →cba ,, brojevi i 0≠a . Brojevi ba, i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su 1x i 2x rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax onda je:
))(( 212 xxxxacbxax −−=++
Primer1: Kvadratni trinom: a) 652 ++ xx b) 222 ++ xx rastaviti na činioce. a) 0652 =++ xx najpre rešimo kvadratnu jednačinu: Formula: )2)(3()2)(3(1))(( 21 −−=−−=−− xxxxxxxxa Dakle: )2)(3(652 −−=++ xxxx www.matematiranje.com
65
1
=−=
=
cba
1242542
=−=−=
DD
acbD
23
215
2
2
1
2,1
==
±=
±−=
xx
aDbx
5
b) 0222 =++ xx ⇒ 2,2,1 === cba 484 −=−=D
)1)(1(1))(( 21 ixixxxxxa ++−+=−− Dakle: )1)(1(222 ixixxx ++−+=++
Primer 2: Skratiti razlomak: 12712823
2
2
−−−+
xxxx
Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce.
0823 2 =−+ xx
Dakle: )2)(34(3))((823 21
2 +−=−−=−+ xxxxxxaxx
012712 2 =−− xx
Dakle: 21 2
4 312 7 12 ( )( ) 12( )( )3 4
x x a x x x x x x− − = − − = − +
Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com
ixix
iix
−−=+−=
±−=
±−=
11
2)1(2
222
2
1
2,1
823
−===
cba 2 4
4 4 3 84 96100
D b acDDD
= −= + ⋅ ⋅= +=
26
10234
68
6102
6102
2
2
1
2,1
2,1
−=−−
=
==+−
=
±−=
±−=
x
x
x
aDbx
127
12
−=−=
=
cba 2 4
4 4 3 ( 12)49 576625
D b acDDD
= −= − ⋅ ⋅ −= +=
1,2
1,2
1
2
27 25
247 25 32 4
24 24 37 25 18 3
24 24 4
b Dxa
x
x
x
− ±=
±=
+= = =
−= = − = −
6
2
2
33 2 8
12 7 12x xx x+ −
=− −
4( )3
x − ( 2)
12
x +
4( )3
x −
233 4( )( ) 44
x
xx
+=
++
Naravno uz uslov
34
034
≠
≠−
x
x i
43
043
−≠
≠+
x
x
Primer 3: Skratiti razlomak: 32
12
3
−−+xx
x
Rešenje: 0322 =−− xx Dakle: )1)(3())1()(3(1())((32 21
2 +−=−−−=++=−− xxxxxxxxaxx
→+13x ćemo rastaviti po formuli: 3 3 2 2( )( )A B A B A AB B+ = + − + VIDI POLINOMI
pa je: )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx Vratimo se u razlomak:
3
2
( 1)12 3
xxx x
++=
− −
2( 1)( 3) ( 1)
x xx x
− +
− +
2 13
x xx− +
=−
naravno uz uslov 3
03≠
≠−xx
i 1
01−≠≠+
xx
U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su to uslovi: 1) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
realna i pozitivna ⇔ ,0≥D 0,0 ><ac
ab www.matematiranje.com
32
1
−=−=
=
cba
16124
42
=+=−=
DD
acbD
13
2422
2
1
2,1
2,1
−==
±=
±−=
xx
x
aDbx
7
2) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
realna i negativna ⇔ ,0≥D 0,0 >>ac
ab
Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: → Da bi rešenja bila realna je 0≥D
→ abxx −=+ 21 i
acxx =⋅ 21
1) 1x i 2x pozitivna ⇒ 2) 1x i 2x negativna ⇒ (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine 01232 =−+− mxx budu pozitivna. Rešenja: Iz 01232 =−+− mxx vidimo da je
0≥D , 0<ab , 0>
ac
mDmD
mDacbD
813489
)12(14)3(4
2
2
−=+−=
−⋅⋅−−=
−=
0≥D ⇒ ( Pazi: znak se okreće)
⇒<−
⇒< 0130
ab Zadovoljeno!!!
01
120 <−
⇒>m
ac
2112
012
<
<<−
m
mm
⎥⎦⎤
⎜⎝⎛∈
813,
21m
00
00
21
21
>⇒>⋅
<⇒>+
acxx
abxx
00
00
21
21
>⇒>⋅
>⇒<+
acxx
abxx
123
1
−=−=
=
mcba
813
1380813
≤
−≥−≥−
m
mm
1
NEKE JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE
1) Bikvadratna jednačina To je jednačina oblika: 024 =++ cbxax Uvodimo smenu tx =2 , dobijamo jednačinu
02 =++ cbtat , nadjemo a
acbbt2
42
2,1−±−
= i vratimo se u smenu:
1
2 tx = i 22 tx =
12,1 tx ±= i 24,3 tx ±= Primer1: 034 24 =+− xx ⇒=+− 034 24 xx smena tx =2 034 24 =+− tt
12
24
32
242
242
1216412
314)4()4(2
4
2
1
2,1
22
2,1
=−
=
=+
=
±=
−±=
⋅⋅⋅−−±−−
=−±−
=
t
t
t
aacbbt
Vratimo se u smenu: i
www.matematiranje.com
34
1
=−=
=
cba
3
3
3
3
2
1
2,1
21
2
−=
+=
±=
=
=
x
x
x
x
tx
11
1
1
4
3
4,3
22
2
−=+=
±=
=
=
xxx
x
tx
2
Primer 2: )838(2)5()54( 42222 −=++− xxx
01665030
166162510254016)838(2)5()54(
24
42424
42222
=++−
−=++++−
−=++−
xxxxxxx
xxx
021630 24 =+− xx → Bikvadratna, smena: tx =2 2 30 216 0t t− + =
12224
182
362
6302
864900302
4
2
1
2,1
2
2,1
==
==
±=
−±=
−±−=
t
t
t
aacbbt
Vratimo se u smenu:
22
22
22
12
12
4
3
4,3
4,3
2
−=
+=
±=
±=
=
x
x
x
x
x
Primer 3:
3)2(2)2( 222 =−−− xxxx Ovo liči na bikvadratnu jednačinu, ali je mnogo bolje uzeti smenu: txx =− 22
txx =− 22
→ 32
1
−=−=
=
cba
www.matematiranje.com
21630
1
=−=
=
cba
23
23
23
18
18
2
1
2,1
2,1
2
−=
+=
±=
±=
=
x
x
x
x
x
03232
2
2
=−−
=−
tttt
3
13
242
21242
24
2
1
2,1
2
2,1
−==
±=
+±=
−±−=
tt
t
aacbbt
Vratimo se sada u smenu:
012
12
2
2
22
2
=+−
−=−
=−
xxxx
txx
Sada rešavamo dve nove kvadratne jednačine po x.
11
2022
442
4
3
4,3
4,3
==
±=
−±=
xx
x
x
Dakle, rešenja su: { }1,1,1,3 − Primer 4: 5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx Ovo baš i ne liči na bikvadratnu jednačunu, a ne ‘’vidi se’’ da ima neka pametna smena. Ako sve pomnožimo tek tad smo u problemu!!! Probajmo da pomnožimo prva dva, i druga dva, da vidimo šta će da ispadne…
5625,0)623)(( 22 =++++ xxxxx →=+++ 5625,0)65)(( 22 xxxx Neće!!!
Probajmo onda prvi i četvrti, a drugi i treći!!!
5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx
www.matematiranje.com
03232
2
2
21
2
=−−
=−
=−
xxxx
txx
32
1
−=−=
=
cba
13
242
21242
2
1
2,1
2,1
−==
±=
+±=
xx
x
x
12
1
=−=
=
cba
4
5625,0)23)(3(5625,0)212)(3(
22
22
=+++
=++++
xxxxxxxxx
E, ovo je već bolje ⇒ Smena: txx =+ 32
05625,025625,0)2(
2 =−+
=+⋅
tttt
25,225,0
25,22
225,242
2
1
2,1
−=+=
±−=
+±−=
tt
t
Vratimo se u smenu:
025,23
25,232
2
=−+
+=+
xxxx
23
203
2993
43
4,3
4,3
−==
±−=
−±−=
xx
x
x
5) Reši jednačinu 045
352
2
=+−+
+−+
xxx
xxx
04
535
045
35
2
2
2
2
=+−+
⋅+−+
=+−+
+−+
xxx
xxx
xxx
xxx
Ovde je zgodno uzeti smenu txxx
=−+ 52
, jer je onda txx
x 152 =
−+
034043
/0413
2
2
=++
=++
⋅=+⋅+
tttt
tt
t
www.matematiranje.com
025,0325,03
2
2
=−+
+=+
xxxx
2103
2103
2103
2193
2
1
2,1
2,1
−−=
+−=
±−=
+±−=
x
x
x
x
5
31
224
212164
2
1
2,1
−=−=
±−=
−±−=
tt
t
Vratimo se u smenu:
152
−=−+
xxx ili 352
−=−+
xxx
05205
5
2
2
2
=−+
=+−+
−=−+
xxxxx
xxx
054035
35
2
2
2
=−+
=+−+
−=−+
xxxxx
xxx
( )2
6122
6222
2422
2042
2,1
2,1
2,1
2,1
±−=
±−=
±−=
+±−=
x
x
x
x
5
1
4
3
−==
xx
61
61
2
1
−−=
+−=
x
x
{ }5,1,61,61 −−−+− su rešenja.
Binomne jednačine
To su jednačine oblika:
0=± BAxn gde su 0>A i 0>B Najpre pokušamo da datu jednačinu rastavimo na činioce upotrebom poznatih formula, pa koristimo 00 =⇔=⋅ MNM v 0=N
Uvek ovu jednačinu možemo rešiti smenom nBx yA
= , koja binomnu jednačinu svede
na oblik 01=±ny www.matematiranje.com
220164
2,1+±−
=x
264
2,1±−
=x
6
Primer 1 0278 3 =−x Pazi: Pogrešno je jer se ‘’gube’’ rešenja!!! Upotrebićemo formulu
0)332)2)((32())((
22
2233
=+⋅+−
++−=−
xxxBABABABA
⇒=++− 0)964)(32( 2 xxx odavde je:
2332
032
1 =
==−
x
xx
ili
4333
8)333(2
8366
4333
8)333(2
8366
3
2
iiix
iiix
−−=
−−=
−−=
+−=
+−=
+−=
PAZI: ii 363361108108 =⋅⋅=−⋅=− Primer 2 07296 =−x
03
072966
6
=−
=−
xx
→=− 0)3()( 2323x Razlika kvadrata www.matematiranje.com
03)2(0278
33
3
=−
=−
xx
23
827827278
3
3
3
=
=
=
=
x
x
x
x
2
2,3
2,3
2
3
4 6 9 0
6 36 1448
6 108 6 6 38 8
6 6 38
6 6 38
x x
x
ix
ix
ix
+ + =
− ± −=
− ± − − ±= =
− +=
− −=
7
3 3 3 3
2 2
( 3 )( 3 ) 0( 3)( 3 9)( 3)( 3 9) 0x xx x x x x x− + =
− + + + − + =
03 =−x ili 0932 =++ xx ili 03 =+x ili 0932 =+− xx
1 3x =
23 3 3
2ix − +
= 33 3 3
2ix − −
=
3 0x + = → 4 3x = − 2 3 9 0x x− + = → 2
36936,5
−±=x
53 3 3
2ix +
= 63 3 3
2ix −
=
PAZI: ii 333912727 =⋅⋅=−⋅=−
Primer 3.: Rešimo jednačinu: 025 3 =+x Rešenje: Sad se ne može upotrebiti formula, pa idemo na smenu:
nBx yA
= , kako je A=5, B=2, 3=n
smena je 32 5
x y=
022
02525
02525
3
3
3
3
=+⋅
=+⋅⋅
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
y
y
y
⇒=+⋅ 0)1(2 3y 013 =+y (zbir kubova) www.matematiranje.com
8333
2273
23693
3,2
3,2
ix
x
±−=
−±−=
−±−=
2
1
( 1)( 1) 01 0
1
y y yy
y
+ − − =+ =
= −
8
Vratimo se u smenu: i Primer 4 Rešiti jednačinu 01711 4 =−x Rešenje: I ovde ne možemo lako datu jednačinu rastaviti na činioce; zato upotrebljavamo
smenu: n
AByx =
Kako je 4=n , 17=B , 11=A ⇒ =x 41117y
4
4
4
4 4 4 2 2
2 2
2
1711 17 011
1711 17 011
17 17 0 17( 1) 0 1 0 ( ) 1 0( 1)( 1) 0( 1)( 1)( 1) 0
y
y
y y y yy yy y y
⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ − =
⋅ − = ⇒ − = ⇒ − = → − =
− + =
− + + =
231
231
231
2411
01
3
2
3,2
3,2
2
iy
iy
iy
y
yy
−=
+=
±=
−±=
=−−
32
331
3
52
231
52
521
52
⋅+
=
−=⋅−=
=
ix
x
yx
33 5
22
31⋅
−=
ix
9
01=−y ili 01=+y ili 012 =+y 11 =y 12 −=y 12 −=y
iy
iy+=
±=−±=
3
4,3 1
iy −=4
Vratimo se u smenu =x 41117y
;1117
11171 44
1 =⋅=x 442 11
1711171 −=−=x
;1117
43 ix = 4
4 1117ix −=
Trinomne jednačine
To su jednačine oblika
02 =++ cbxax nn
gde su ba, i c realni brojevi (različite od nule). Rešava se smenom 22 txtx nn =⇒= . Rešavamo kvadratnu po t , pa se vratimo u smenu. Primer 1: Reši jednačinu 087 36 =−+ xx Rešenje: 3 2 3( ) 7 8 0x x+ − = cmena tx =3 0872 =−+ tt
8
12
97
2
1
2,1
−==
±−=
tt
t
Vratimo se u smenu:
Ili ili www.matematiranje.com
0)1)(1(01
1
2
3
3
=++−
=−
=
xxxxx
01=−x 012 =++ xx
3
3
3 3
2
88 02 0
( 2)( 2 4) 0
xxxx x x
= −
+ =
+ =
+ − + =
10
02 =+x ili 422 +− xx 24 −=x
Primer 2: Rešiti jednačinu:
8 417 16 0x x− + =
Rešenje: 4 2 4
2
( ) 17 16 017 16 0
x xt t
− + =
− + = smena: tx =4
116
21517
2
1
2,1
==
±=
tt
t
Vratimo se u smenu:
ili 14 =x
0)1)(1)(1(
0)1)(1(01
2
22
4
=++−
=+−
=−
xxxxx
x
ili ili ili ili , , Dakle rešenja su: { }iiii −+−−− ,,1,1,2,2,2,2 www.matematiranje.com
2,31 3
2ix − ±
=11 =x
ix
ix
x
312
3222
122
6,5
6,5
6,5
±=
±=
−±=
ixix
x
x
22
4
4
4
3
4,3
2
−=+=
−±=
−=
164 =x
0)4)(2)(2(0)2)(2(
02016
2
2222
44
4
=++−
=+−
=−
=−
xxxxx
xx
02 =−x 02 =+x 042 =+x22 −=x21 =x
01=−x 012 =+x01=+x
15 =x 16 −=x
ixix
x
x
−=+=
−±=
−=
8
7
8,7
2
1
1
11
Simetrične (recipročne) jednačine To su jednačina oblika: 0... 221 =++++++ −− abxcxcxbxax nnn Gde su ...,, cba realni brojevi. Naziv simetrične potiče jer su koificijenti uz knx − i kx
)...2,1,0( nk = jednaki. Drugo ime recipročne su dobile zbog osobina: Ako je α=x jedno rešenje, onda je i
α1
=x takodje rešenje date jednačine i važi osobina: Ako je najveći stepen −n neparan
broj, tada je 11 −=x jedno rešenje simetrične jednačine!!!
Postupak rešavanja
- Ako je jednačina neparnog sistema podelimo je sa )1( +x i dobijemo jednačinu parnog sistema
- Celu jednačinu podelimo sa’’srednjim’’ članom i grupišemo odgovarajuće članove.
- Uzimamo smenu 1x tx
+ = , odavde je ako kvadriramo:
22
2
22
2
22
12
112
1
tx
x
txx
xx
tx
x
=++
=+⋅⋅+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→−=+ 21 22
2 tx
x ZAPAMTI
12
ili
33
3
33
3
332
23
33
113
1133
11312
1
txx
xx
txx
xx
txx
xx
xx
tx
x
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=+++
=+++⋅+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
3 33
1 3x t tx
+ = − → ZAPAMTI
itd… Primer1: Rešiti jednačinu: 0231632 234 =++−+ xxxx Rešenje: Celu jednačinu delimo sa 2x jer je on srednji član. Dakle
0231632222
2
2
3
2
4
=++−
−+xx
xx
xxx
xx
012131632 22 =⋅+⋅+−+
xxxx grupišemo članove!!!
0161312 2 =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx
xx smena: t
xx =+
1
02032016342
0163)2(2
2
2
2
=−+
=−+−
=−+−
tttt
tt
4133
416093
2,1±−
=+±−
=t
41 −=t , 25
2 =t
www.matematiranje.com
13
Vratimo se u smenu:
i
212
416255
0252522
251
4
3
4,3
2
2
=
=
−±=
=+−
=+
=+
x
x
x
xxxx
xx
Dakle, rešenja su 2 i 21 i 32+− i 32 −− i recipročna su!!! Za 2 i
21 je to
očigledno, a šta je sa 32+− i 32 −− ?
32
1323)2(
3232
132
132 2
−−=
−−−−
=−−−−
⋅+−
=+−
Sad vidimo (posle racionalizacije) da su i ona takodje recipročna. Primer 2: Rešiti jednačinu:
0121637371612 2345 =++−−+ xxxxx Rešenje: Ovo je jednačina petog stepena, pa je jedno rešenje 1−=x , pa ćemo celu jednačinu podeliti sa )1( +x
12441412)1(:)121637371612( 2342345 ++−+=+++−−+ xxxxxxxxxx Pogledaj deljenje polinoma!!! Dalje radimo:
01121441412
:/012441412
22
2234
=⋅+⋅+−+
=++−+
xxxx
xxxxx
www.matematiranje.com
32
322
4164
01441
41
2
1
2,1
2
2
−−=
+−=
−±−=
=++
−=+
−=+
x
x
x
xxxx
xx
14
04114112 22 =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx
xx
Smena 211 22
2 −=+⇒=+ tx
xtx
x
065412
041424120414)2(12
2
2
2
=−+
=−+−
=−+−
tttttt
25
613
24564
2
1
2,1
−=
=
±−=
t
t
t
Vratimo se u smenu:
6
131=+
xx i
251
−=+x
x
06136 2 =+− xx 0252 2 =++ xx
221
435
4
3
4,3
−=
−=
±−=
x
x
x
Dakle: ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−− 1,2,
21,
32,
23 su rešenja
Veoma slične simetričnim su KOSOSIMETRIČNE jednačine, one su oblika
1 2 2... 0n n nax bx cx cx bx a− −+ + + − − − = tj. koeficijenti uz kx i knx − su suprotni koeficijenti Ako je kososimetrična jednačina neparnog sistema, jedno rešenje je uvek 11 =x Postupak rešavanja je sličan!!! www.matematiranje.com
32
128
23
1218
12513
2
1
2,1
==
==
±=
x
x
x
15
Primer 3:
01716167 2345 =−+−+− xxxxx kososimetrična
Pošto je njeno rešenje 11 =x , celu jednačinu delimo sa )1( −x
16106)1(:)1716167( 2342345 +−+−=−−+−+− xxxxxxxxxx Dobijena jednačina: 016106 234 =+−+− xxxx je simetrična 2:/ x
0116106
016106
22
234
=+⋅−+−
=+−+−
xxxx
xxxx
itd… Dobijena rešenja su 32,32,1,1 4321 −=+=== xxxx i 15 =x
www.matematiranje.com
1
SISTEMI KVADRATNIH JEDNAČINA SA DVE NEPOZNATE
Razlikovaćemo nekoliko tipa sistema: 1) Sistem od jedne kvadratne i jedne linearne jednačine sa dve nepoznate Postupak: Iz linearne jednačine izrazimo x ili y (šta nam je lakše). To zamenimo u kvadratnu jednačinu i nju posle sredjivanja rešimo. Ako ima rešenja, njih vraćamo u ''ono'' što smo izrazili. Primer 1) Reši sistem:
02322 22 =−++ xyx
________________2 2x y− = −
02322 22 =−++ xyx
→−=−________________
22yx odavde izrazimo x (lakše) x zamenimo u gornju jednačinu
22 −= yx 2 2
2 2
2 2
2
2
2(2 2) 2 6 6 2 02(4 8 4) 2 6 6 2 08 16 8 2 6 8 010 10 0/ :10
0( 1) 0
y y yy y y y
y y y yy y
y yy y
− + + − − =
− + + + − − =
− + + + − =
− =
− =− =
01 =y ∨ 01=−y 12 =y ⇒
Rešenj su: )0,2(),( 11 −=yx i )1,0(),( 22 =yx Primer 2) Rešiti sistem:
2 2
________________
3 2 2 3 4 02 5 0
x xy y x yx y+ + + − =− + =
www.matematiranje.com
02122202
2
1
=−⋅=−=−⋅=
xx
2
2 2
________________
2 2
2 2 2
2 2
2
2
3 2 2 3 4 02 5 0
2 53 2 (2 5) 2(2 5) 3 4(2 5) 03 4 10 2(4 20 25) 3 8 20 07 10 8 40 50 3 8 20 015 45 30 0/ :15
3 2 0
x xy y x yx y
y xx x x x x xx x x x x x xx x x x x xx x
x x
+ + + − =− + =
= +
+ + + + + − + =
+ + + + + + − − =
+ + + + + − − =
+ + =
+ + =
21
213
24
2
1
2
2,1
−=−=
±−=
−±−=
xx
aacbbx
Zamenom 1x i 2x u 52 += xy dobijamo:
1545)2(23525)1(2
2
1
=+−=+−==+−=+−=
yy
Dakle rešenja su: ),3,1(− )1,2(− 2)Sistem od dve kvadratne jednačine, koje sadrže samo 2ax i 2ay i slobodne članove Ovaj sistem je oblika: Najlakše ga rešiti metodom suprotnih koeficijenata. Primer 1) Rešiti sistem: 1165 22 =− yx 2 2
______________________7 3 714x y+ =
1165 22 =− yx →=+
______________________
22 71437 yx Drugu jednačinu množimo sa 2
153919
142861411165
2
_________________________
22
22
=
+⎪⎭
⎪⎬⎫
=+
=−
x
yxyx
www.matematiranje.com
231
===
cba
22
22
2
12
12
1
cybxa
cybxa
=+
=+
3
81
812
±=
=
x
x
7749
491473
567714371435677143817
71437
2
1
2
2
2
2
2
22
−=+=±=
=
=
−=
=+
=+⋅
=+
yyy
yyy
yy
yx
Pazi sad pravimo ‘’kombinacije’’: (9,7), (9,-7), (-9,7), (-9,-7) Dakle, ima 4 rešenja!!! Pre nego se upoznamo sa novim tipom sistema, naučimo šta su to HOMOGENE jednačine Njen opšti oblik je: 022 =++ CyBxyAx
Nju možemo rešiti najlakše smenom yzx = tj. yxz =
( )
2 2
2 22
2 2 2
22
2 2
0
0
0
0
Ax Bxy Cy
x xy yy A B Cy y y
x xy A B Cy y
y Az Bz C
+ + =
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
+ + =
0=y ∨ 2 0Az Bz C+ + = nama ovo treba!!!
www.matematiranje.com
999
2
1
−==±=
xxx
4
Vratimo se na stare nepoznate….
yzx 1= i yzx 2=
3) Sistem od dve kvadratne jednačine od kojih je jedna homogena
Taj system je oblika: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+++++
=++
00
22
22
frydxcybxyaxCyBxyAx
Iz prve jednačine (homogene) dodjemo do dve linearne jednačine, pa svaku od njih ukombinujemo sa drugom jednačinom sistema tako da dobijemo dva nova sistema jednačina. Primer 1: Rešiti sistem jednačina: →=+− 023 22 yxyx homogena, prvo nju rešimo
_________________________
2 033 =+−− yxx
023 22 =+− yxyx
0232
22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−44 344 21
zanimanasovosamo
yx
yxy z
yx= smena zyx =
2
1,2
1
2
3 2 03 1
221
z z
z
zz
− + =±
=
==
Vratimo se u smenu: Za 21 =z ⇒ yx 2= Za 2 1z = ⇒ x y=
2
1,2
1
2
42
......
B B ACzA
zz
− ± −=
==
5
Sad ovo zamenimo u drugu jednačinu _________________________
2 033 =+−− yxx
1 23 32 1 2, 24 2
x x= ⋅ = = ⋅ =
Dakle , rešenja su: (2,1), ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
43,
23 ,(3,3), (1,1)
Primer 2: Rešiti sistem:
2 2
2 2
___________________________
2 2
22
2
6 02 2 18
6 0
6 0
x xy yx xy y
x xy y
x xyy y
+ − =
− + =
+ − =
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
062 =−+ zz Smena zyx=
3
22
51
2
1
2,1
−==
±−=
zz
z
Dalje je : yxyzx 2=⇒= ili yx 3−= Sad pravimo nova dva sistema.
43
86
18
170374
03640323)2(
033
2
1
2,1
2
2
2
2
==
=
±=
=+−
=+−−
=+−⋅−
=+−−
y
y
y
yyyyy
yyyyxx
13
224
0344033033
2
1
2,1
2
2
2
==
±=
=+−
=+−−
=+−−
xx
x
xyxxxyxx
1,3 21 == yy
___________________________
22 1822 =+− yxyxyx 2=
___________________________
22 1822 =+− yxyxyx 3−=
6
31 +=y 32 −=y 321 ⋅=x 6)3(22 −=−⋅=x
(6,3) (-6,-3)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
1718,
17183 i ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
1718,
17183
Dakle opet ima četri rešenja!!!
4) Sistemi koji se svode na homogene jednačine
Opšti oblik ovog sistema je:
_______________________________2
222
22
12
122
1
dycxybxa
dycxybxa
=++
=++
Ideja je da se metodom suprotnih koeficijenata unište 1d i 2d I da se dobije homogena jednačina. Nju rešimo i formiramo dva nova sistema. Ništa bez primera: Primer 1: Reši sistem:
______________________
22
22
74232
=++
=+−
yxyxyxyx
Prvu jednačinu pomnožimo sa 7, a drugu sa -4
www.matematiranje.com
39
1824418222)2(
2
222
22
±==
=+−
=+⋅⋅−
yy
yyyyyyy
181718269
182)3(2)3(
2
222
22
=
=++
=+⋅−⋅−−
yyyy
yyyy
17181718
1718
1718
2
1
2
−=
+=
±=
=
y
y
y
y
171831 −=x
171832 =x
7
5:/0102510
2844428142114
22
___________________________________
22
22
=+−
+⎪⎭
⎪⎬⎫
−=−−−
=+−
yxyx
yxyxyxyx
→=+− 0252 22 yxyx Dobili smo homogenu jednačinu!!!
0252 2
2
=+−yx
yx z
yx=
212
435
0252
2
1
2,1
2
=
=
±=
=+−
z
z
z
zz
Vratimo se u smenu
2=yx ili
21
=yx
yx 2= ili xy 2= Sada izaberimo jednu od početne dve jednačine (onu sa manje brojke) i formiramo dva nova sistema: Onda je: Onda je:
1111
77724
72)2(
72
2
1
2
2
222
22
______________________
22
−==±==
=
=++
=+⋅+
=++
=
yyyy
yyyy
yyyy
yxyxyx
2)1(222
2
11
−=−⋅==⋅=
xyx
1111
77742
7)2(2
72
2
1
2
2
222
22
______________________
22
−==±==
=
=++
=+⋅+
=++
=
xxxx
xxxx
xxxx
yxyxxy
2)1(222
2
11
−=−⋅===
xxx
8
Odavde su dakle rešenja: Odavde su rešenja (2,1) i (-2,-1) (1,2), (-1,-2) Konačno rešenja su: (2,1), (-2,-1), (1,2), (-1,-2)
5) Rešavanje složenijih slučajeva:
Kod sistema koji ne pripadaju nijednim od proučenih tipova, tražimo način da eliminišemo jednu nepoznatu, sredjujemo jednačine da uvedemo smenu, pravimo da jedna jednačina bude proizvod jednak nuli… Ovde nemamo neki ‘’dobar’’ savet, iskustvo je odlučujuće, dakle što više zadataka uradite, to ćete više ‘’trika’’ naučiti!!! Bilo kako bilo, evo par primera: 1) Rešiti sistem jednačina: 19=++ yxyx →=+
____________________
22 84xyyx izvičimo odavde xy
____________________
84)(19
=+=++
yxxyxyyx
Sad uvodimo smene x+y= a i xy=b
127712
2519
0841908419
84)19(19
8419
22
11
2,1
2
2
____________
=⇒==⇒=
±=
=+−
=−−
=−⋅−=
=⋅=+
baba
a
aaaa
aaab
baba
www.matematiranje.com
9
Vratimo se u smene: 12=+ yx ∧ 7=xy
34
2
1
==
xx
31 =y 42 =y Odavde su rešenja: (4,3), (3,4) 2) Rešiti sistem: Odavde možemo da drugu jednačinu pomnožimo sa (-1) I da eliminišemo 2y
4 2
2 2
_________________
4 2
175
12
x yx y
x x
+ =
− − = −
− =
⇒=−− 01224 xx ovo je bikvadratna jednačina Smena: tx =2
34
271
012
2
1
2,1
2
−==
±=
=−−
tt
t
tt
29629612
29629612
2
1
+=+−=
−=−−=
y
y
( ) ( )296,296,296,296 +−−+
2
2
(12 ) 712 7 0
12 7 0
x xx x
x x
− =
− − =
− + =
( )
____________________2
1
2,1
2,1
2926
29262
292622
292122
11612
−=
+=
±=
±=
±=
x
x
x
x
xy −=12
217
01270127
12)7(
2,1
2
2
±=
=+−
=−−
=−
x
xxxxxx
xy −= 77=+ yx ∧ 12=xy
_______________
22
24
517
=+
=+
yxyx
10
Vratimo se u smenu: Vratimo se u
2 2
2
2
1
2
53 5
8 2 2
2 2
2 2
x yy
y y
y
y
+ =
− + =
= ⇒ = ±
=
= −
Rešenja su: (2,1), (2,-1), (-2,1), (-2,1), ( )3 ,2 2 ,i ( )3 , 2 2 ,i − ( )3 ,2 2 ,i− ( )3 , 2 2 ,i− −
Dakle ima ih 8.
www.matematiranje.com
224
2
1
2
2
−===
=
xxx
tx 2
3 4
3
3 3
3 , 3
x
x i
x i x i
= −
= ± − = ±
= + = −
__________2
1
2
2
22
111
545
−===
=+
=+
yyy
yyx
1
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika:
cbxaxy ++= 2 Gde je ,Rx∈ 0≠a i ciba, su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije cbxaxy ++= 2 je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda grafik funkcije 2xy = . Napravićemo tablicu za neke vrednosti promenljive x.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
y=x2
x
y
za 3x = − je 9)3( 2 =−=y za
_________2−=x je 4)2( 2 =−=y
za _________
1−=x je 1)1( 2 =−=y
za _________
0=x je 002 ==y
za _________
1=x je 112 ==y
za_________
2=x je 422 ==y
za _________
3=x je 932 ==y www.matematiranje.com
2
Ovaj grafik će nam uvek služiti kao ‘’početni”. Šta se dešava ako ispred 2x ima neki broj? Naučimo sad grafik 2axy = Razlikovaćemo 2 situacije: 0>a i 0<a za 0>a Ovde je parabola okrenuta ‘’ otvorom nagore’’. Šta se dešava ako je 1>a i ?10 << a
1>a U odnosu na početni grafik 2xy = , ovaj grafik 2axy = se ‘’sužava’’
Primer 22xy =
X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 18 8 2 0 2 8 18
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
y=x2
y=2x2
x
y
Što je broj a veći to je grafik uži!!!
www.matematiranje.com
3
10 << a
U odnosu na početni grafik 2xy = , ovaj grafik 2axy = se ‘’širi’’
Primer 2
21 xy =
X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y
29
2 21
0 21
2 92
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
y=x2
x
y
y=1_ x22
Što je broj a bliži nuli, grafik je širi!!! Za 0<a parabola je okrenuta ‘’otvorom nadole’’. Početni grafik je 2xy −= .
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
www.matematiranje.com
4
Evo grafika funkcije 2xy −=
1 2 3-1-2-3
y=-x2
x
-1
-2
-4
-8
-9
1
2
3
y
Opet ćemo razmotriti 2 situacije: U odnosu na početni 2xy −= grafik se ‘’sužava’’ako je a<-1
Primer 22xy −=
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18
1 2 3-1-2-3
y=-x2
y=-2x2
x
-1
-2
-4
-8
-9
1
2
3
y
www.matematiranje.com
5
Ako je
01 <<− a
U odnosu na početni grafik 2xy −= grafik , na primer 212
y x= − se ‘’širi’’
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
-29
-2 -
21
0 -
21
-2 - 9
2
1 2 3-1-2-3
y=-x2
x
-1
-2
-4
-8
-9
1
2
3
y
y=- 1_ x22
Dobro, ovo za sad nije bilo ''mnogo opasno'' Naučimo sada da pomeramo finkciju duž y-ose. Posmatrajmo grafik:
2y ax β= + → Prvo nacrtamo grafik funkcije 2axy = → taj grafik pomeramo duž y-ose i to:
1) Ako je β pozitivan ‘’podižemo’’ grafik, odnosno pomeramo ga u pozitivnom smeru y-ose.
2) Ako je β negativan, ‘’spuštamo’’ grafik, odnosno pomeramo ga u negativnom smeru y-ose
www.matematiranje.com
6
Evo par primera:
Primer 1: 121 2 += xy
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
x
y
y=1_ x22
y=1_ x22 +1
0
Prvo nacrtamo grafik 2
21 xy = , Zatim taj grafik ‘’podignemo’’ za +1, paralelnim
pomeranjem (translacija) Primer 2: 22 −= xy Znači, najpre nacrtamo grafik 2xy = . Potom taj grafik ‘’spustimo’’ za -2 duž y-ose (transplatorno pomeranje)
1 2 3-1-2-3
1234
9
y=x2
x
y
-1
-2y=x2-2
0
www.matematiranje.com
7
Nadam se da smo i ovo razumeli, jel tek sad ide ''prava stvar''. Naučimo da pomeramo funkciju i duž x-ose. Posmatrajmo funkciju: 2)( α−= xy Pazi: → Ako je –α to znači da funkciju pomeramo za α po x-osi udesno. → Ako je +α to znači da finkciju pomeramo za α po x-osi ulevo Ništa bez primera: Primer 1: 2)3( −= xy → Znači pomeramo funkciju 2xy = udesno za 3
1 2 3-1-2-3
12
34
9
y=x2
x
y
-1
-2
2y=(x-3)
0
Primer 2: 2)2( += xy → Znači pomerimo funkciju 2xy = ulevo za 2
www.matematiranje.com
8
1 2 3-1-2-3
12
34
9
y=x2
x
y
-1
-2
2y=(x+2)
0
Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik funkcije cbxaxy ++= 2 . Najpre moramo funkciju cbxaxy ++= 2 svesti na takozvani kanonski oblik. Tu nam pomaže formula:
abac
abxay
44
2
22 −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ili ako uvedemo da je:
ab2
−=α i a
bac4
4 2−=β tj.
aD4
−=β dobijamo: 2( )y a x α β= − + kanonski oblik
Tačka ),( βαT je teme parabole.
Dakle: (važno, ovo je postupak) → Datu funkciju cbxaxy ++= 2 najpre svedemo na kanonski oblik βα +−= 2)(xay → Nacrtamo grafik funkcije 2axy = → Izvršimo pomeranje (transliranje) duž x–ose za α → Izvršimo pomeranje (transliranje) duž y-ose za β
www.matematiranje.com
9
Primer 1: Nacrtaj grafik funkcije: 562 +−= xxy → Svedemo je na kanonski oblik:
4
416
43620
14)6(514
44
3126
222
−=−
=−
=⋅−−⋅⋅
=−
=
=⋅
−−=−=
abac
ab
β
α
4)3(
)4()3(1)(
2
2
2
−−=
−+−=
+−=
xyxyxay βα
→ Najpre nacrtamo 2axy = , odnosno 2xy =
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
y=x2
x
y
→ Sada ucrtamo grafik 2)3( −= xy , odnosno vršimo pomeranje za 3 ulevo
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
y=x2
x
y
56
1
=−=
=
cba
10
→ I najzad ucrtamo 4)3( 2 −−= xy tako što grafik 2)3( −= xy spustimo za 4 ‘’nadole’’
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
y=x2
x
y
-4
5
5
y=(x-3)2
y=(x-3) - 42
Ceo ovaj postupak je dosta ‘’zamršen’’ a nije baš ni mnogo precizan. Evo kako ćete mnogo brže i preciznije nacrtati grafik cbxaxy ++= 2 bez svodjenja na kanonski oblik i ‘’pomeranja’’: Naš grafik će u zavisnosti od a (broja uz 2x ) i diskriminante acbD 42 −= biti jedan od sledećih 6 grafika: 1) 0,0 >> Da
x
y
1x 2x
( , )T α β
→ F-ja seče x-osu u 21 xix → 0<y za ),( 21 xxx∈ I 0>y za ),(),( 21 ∞∪−∞∈ xxx → F-ja ima minimum u temenu ),( βαT → F-ja raste za ),( ∞∈ αx → F-ja opada za ),( α−∞∈x
11
2) 0,0 => Da
x
y
( , )T α β1 2x x=
→ F-ja je definisana za Rx∈∀ → F-ja seče x-osu u 21 xx = → Rxy ∈∀≥ ,0 → F-ja ima minimum u )0,(αT → F-ja raste za ),( ∞∈ αx → F-ja opada za ),( α−∞∈x 3) 0,0 <> Da
x
y
( , )T α β
→ F-ja je definisana za Rx∈∀ → F-ja ne seče x- osu ( 2,1x su konjugovano -kompleksni brojevi). → Rxzay ∈∀> ,0 → F-ja ima minimum u ),( βαT → F-ja raste za ),( ∞∈ αx → F-ja opada za ),( α−∞∈x
www.matematiranje.com
12
4) 0,0 >< Da
x
y
1x 2x
( , )T α β
→ F-ja je definisana Rx∈∀ → F-ja seče x- osu u 21, xx → 0<y za ),(),( 21 ∞∪−∞∈ xxx 0>y za ),( 21 xxx∈ → F-ja ima maksimum u ),( βαT → F-ja raste za ),( α−∞∈x → F-ja opada za ),( ∞∈ αx 5) 0,0 =< Da
x
y
( , )T α β
1 2x x=
→ F-ja je definisana Rx∈∀
→ F-ja seče x- osu u 21 xx = → Rxy ∈∀≤ ,0 → F-ja ima maximum u )0,(αT → F-ja raste za ),( α−∞∈x → F-ja opada za ),( ∞∈ αx
www.matematiranje.com
13
6) 0,0 << Da
x
y
( , )T α β
→ F-ja je definisana Rx∈∀ → F-ja ne seče x- osu ( 2,1x su konjugovano -kompleksni brojevi) → Rxzay ∈∀< ,0 → F-ja ima maximum u ),( βαT → F-ja raste za ),( α−∞∈x → F-ja opada za ),( ∞∈ αx
Postupak
1) Najpre odredimo a,b,c i nadjemo diskriminantu acbD 42 −=
2) Tražimo a
Dbx22,1±−
= (ako ima)
1 2
1 2
1 2
0,0,0,nema ,
D x xD x xD x x
> ≠= =<
3) U zavisnost od znaka broja a zaključujemo da li je parabola okrenuta otvorom
nagore ili na dole, tj:
→> 0D Smeje se
→< 0D Mršti se 4) Parabola uvek seče y-osu u broju c
14
5) Nadjemo teme ),( βαT a
Dab
4,
2−=−= βα
),( βαT je max ako je 0<a ),( βαT je min ako je 0>a 6) Konstruišemo grafik
Primer 1: Nacrtaj grafik funkcije 562 +−= xxy (ovo je ista funkcija koju smo crtali svodjenjem na kanonski oblik i pomerili duž x i y ose, pa da vidimo koji će nam postupak biti jasniji) 1) 162036514)6(4 22 =−=⋅⋅−−=−= acbD 2)
15
246
2
2
1
2,1
==
±=
±−=
xx
aDbx
3) ⇒>= 01a okrenuta otvorom na gore (smeje se) 4) y-osu seče u c=5 5)
( , )6 3
2 2 116 4
4 4 1(3, 4) min
Tba
Da
T
α β
α
β
−= − = =
⋅
= − = − = −⋅
− →
www.matematiranje.com
56
1
=−=
=
cba
15
6) Grafik:
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
x
y
-4
5
5
sami odlučite koji način konstrukcije grafika vam je ‘’lakši’’ Primer 2: Nacrtati grafik finkcije
621
21 2 ++−= xxy
1)
2
12
126
1 1 1 1 494 6 12 122 2 4 4 4
a
b
c
D
= −
=
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2)
1,2 1 2
1
2
1 7 1 7 1 7 1 73 42 2 2 2 2 2 2 23 4
12 1 1 1 1 122
34
b Dx x xa
xx
− ± − ± − + − −− ± −= = = → = = = − → = = =
− − − − −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= −=
www.matematiranje.com
16
3)
⇒<−= 021a okrenuta otvorom na dole (mršti se)
4) presek sa y-osom je c=6 5) ),( βαT
21
212
21
2=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=−=abα
816
849
214
449
4=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=−=a
Dβ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
816,
21T
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
8
9
x
y
-4
5
56
4
www.matematiranje.com
17
Primer 3: Skicirati grafik funkcije:
342 +−= xxy
Rešenje:
Pošto ⎩⎨⎧
<−≥
=0,
0,xx
xxx , odavde ćemo imati 2 grafika, jedna za 0≥x i jedan za
0<x . 342 +−= xxy
za 0≥x je 342 +−= xxy
1) 3,4,1 =−== cba 4121642 =−=−= acbD 2)
13
224
2
1
2,1
==
±=
xx
x
3) ⇒>= 01a smeje se 4) presek sa y-osom je u 3 5)
)1,2(
114
44
2124
2
),(
−
−=⋅
−=−=
=⋅
−=−=
Ta
Dab
T
β
α
βα
www.matematiranje.com
18
za 0<x grafik 342 +−= xxy je
342 ++= xxy 1) 3,4,1 === cba 4121642 =−=−= acbD 2)
31
224
2
1
2,1
−=−=
±−=
xx
x
3) >⇒=1a smeje se 4) presek sa –osom je u 3 5)
)1,2(
114
44
2124
2
),(
−−
−=⋅
−=−=
−=⋅
−=−=
Ta
Dab
T
β
α
βα
Pogledajmo sad kako izgledaju ova dva grafika posebno a kako zajedno daju grafik
342 +−= xxy www.matematiranje.com
19
1 2 3-1-2-3
12
3
4
x
-1
-2
0
y
1 2 3-1-2-3
12
3
4
x
-1
-2
0
y
1 2 3-1-2-3
12
3
4
x
-1
-2
0
y
2 4 3y x x= − +2 4 3y x x= + +2 4 3y x x= − +
www.matematiranje.com
1
GRAFIČKO REŠAVANJE SISTEMA
Najčešći tip zadatka je onaj u kome se javlja jedna kvadratna funkcija cbxaxy ++= 2 i jedna linearna funkcija
y kx n= + .
Naš savet je da najpre rešite sistem analitički ( računski) pa tek onda da crtate grafike. Ako odmah crtate grafik
može se desiti da za presek ( preseke) koje dobijete ne možete precizno utvrditi koordinate...
Evo par primera:
primer 1.
Grafički rešiti sistem:
2 2 4 0
2 0
x x y
x y
− + + =
+ + =
Rešenje: Najpre ćemo izraziti y iz obe jednačine i rešiti sistem analitički.
2 22 4 0 2 4
2 0 2
x x y y x x
x y y x
− + + = → = − + −
+ + = → = − −
Sad oformimo jednu jednačinu “po x’’ upoređujući leve strane ove dve jednakosti ( desne su iste)
2
2
2
22
1,2
1 1
2 2
2 4 2
2 4 2 0
3 2 0
1; 3; 2
3 3 4 ( 1) ( 2)4 3 1 3 1
2 2 ( 1) 2 2
3 1 21
2 2
3 1 42
2 2
x x x
x x x
x x
a b c
b b acx
a
x x
x x
− + − = − −
− + − + + =
− + − =
= − = = −
− ± − ⋅ − ⋅ −− ± − − ± − ±= = = =
⋅ − − −
− + −= = → =
− −− − −
= = → =− −
Sad ove vrednosti vratimo u jednačinu 2y x= − − da nađemo y koordinate:
Za 1 1x = je 1 11 2 3y y= − − → = − pa je jedno rešenje tačka ( 1, - 3)
Za 2 2x = je 1 12 2 4y y= − − → = − pa je drugo rešenje tačka ( 2,- 4)
2
Sad možemo i da nacrtamo grafike, ali u istom koordinatnom sistemu.
Naravno, lakše je nacrtati pravu...Uzećemo dve tačke , recimo x=0 , pa naći y, a zatim uzmemo y=0 pa nađemo x.
2y x= − − imamo
xy
00-2-2
Kvadratnu funkciju nećemo detaljno ispitivati ( naravno, vi morate ako vaš profesor zahteva) već samo neophodne
stvari:
2 2 4y x x= − + −
Nule funkcije:
2
22
1,2
2 4 0
1; 2; 4
2 2 4( 1)( 4)4 2 12
2 2( 1) 12
x x
a b c
b b acx
a
− + − =
= − = = −
− ± − − −− ± − − ± −= = =
− −
Odavde zaključujemo da nemamo realnih rešenja, odnosno da grafik ove kvadratne funkcije nigde ne seče x osu.
Presek sa y osom
Da se podsetimo, presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je 4c = −
Teme funkcije
2
( , )
21
2 2 ( 1)
4 123
4 4 4 ( 1)
(1, 3)
T
b
a
D b ac
a a
T
α β
α
β
= − = − =⋅ −
− −= − = − = − = −
⋅ −
−
Sada možemo nacrtati grafike :
www.matematiranje.com
3
x
y
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
y=-x-2
2 2 4y x x= − + −
(1,-3)
(2,4)
Vidimo da se grafička rešenja poklapaju sa analitičkim.
primer 2.
Grafički rešiti sistem:
2 4 3
2 6
y x x
y x
= − +
= −
Rešenje:
Najpre da rešimo računski:
2
2
2
2 2
1 2 1 2
4 3
2 6
4 3 2 6
4 3 2 6 0
6 9 0 ( 3) 0 3 2 3 6 0
y x x
y x
x x x
x x x
x x x x x y y y
= − +
= −
− + = −
− + − + =
− + = → − = → = = → = ⋅ − → = =
4
Dakle, postoji samo jedno rešenje ovog sistema , tačka ( 3,0) . To nam govori da će se grafici prave i parabole seći
samo u jednoj tački ( odnosno da je prava tangenta parabole)
Za pravu 2 6y x= − imamo da je
xy
00-6-3
Za parabolu 2 4 3y x x= − +
Nule funkcije: 2
22
1,2
1 2
4 3 0
1; 4; 3
4 ( 4) 4 1 34 4 2
2 2 2
3; 1
x x
a b c
b b acx
a
x x
− + =
= = − =
± − − ⋅ ⋅− ± − ±= = =
= =
Presek sa y osom
Presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je 3c =
Teme funkcije
2
( , )
42
2 2 1
4 41
4 4 4 1
(2, 1)
T
b
a
D b ac
a a
T
α β
α
β
−= − = − =
⋅−
= − = − = − = −⋅
−
x
y
1 2 4 5-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
2 4 3y x x= − +
y=2x-6
-6
(3,0)
5
primer 3.
Grafički rešiti sistem:
2
1
y x
y x
=
= −
Rešenje:
2
2
2 2
1
1
1 0 4 1 4 3 0
y x
y x
x x
x x D b ac D
=
= −
= −
− + = → = − = − = − → <
Sistem nema realna rešenja. Dakle, grafici se ne seku!
x
y
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
2y x=
xy0
0-1 1
y=x-1
Zaključak: Kad imamo da grafički rešimo sistem cbxaxy ++= 2 i y kx n= + može se desiti da imamo dve presečne tačke ( primer 1.), da se seku u jednoj tački ( primer 2.) ili da nema preseka ( primer 3.)
www.matematiranje.com
6
Evo par primera kad nije data linearna funkcija ( prava).
primer 4.
Grafički rešiti sistem:
12
7
xy
x y
=
+ =
Rešenje:
Kao i uvek, rešimo sistem najpre računski...Iz druge jednačine izrazimo y i zamenimo u prvu jednačinu:
2
2
1,2 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
12
7
7 7 zamenimo u prvu jed. 12
(7 ) 12
7 12 0
7 17 12 0 4 3
2
4 7 3 (4,3)
3 7 4 (3, 4)
xy
x y
x y y x xy
x x
x x
x x x x x
x y x y
x y x y
=
+ =
+ = → = − → =
− =
− − =
±− + = → = → = ∧ =
= → = − → = →
= → = − → = →
Rešili smo zadatak analitički...
Za pravu kao i uvek, uzimamo dve tačke:
xy
0077
Za hiperbolu 12
yx
= ćemo uzeti nekoliko tačaka, a ako se sećate od ranije, ona će pripadati prvom i trećem
kvadtantu:
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y -3 -4 -6 -12 12 6 4 3
Sada skiciramo grafik:
7
x
y
1 2 4 5-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
-6
3
6
6
7
7
x+y=7
12y
x=
primer 5.
Grafički reši sistem:
2
2
4 4
3 2
y x x
y x x
= − +
= − + −
Rešenje:
2
2
2 2
2 2
2
1 2
4 4
3 2
4 4 3 2
4 4 3 2 0
32 7 6 0 2
2
y x x
y x x
x x x x
x x x x
x x x x
= − +
= − + −
− + = − + −
− + + − + =
− + = → = ∧ =
Sad ove vrednosti zamenimo u bilo koju od dve jednačine ( recimo u prvu) :
2
1 2
2
1 1
2
2 2
4 4
32
2
2 2 4 2 4 0 (2,0)
3 3 3 1 3 14 4 ( , )
2 2 2 4 2 4
y x x
x x
x y
x y
= − +
= ∧ =
= → = − ⋅ + = →
= → = − ⋅ + = →
8
Dobili smo tačke preseka.
Po već poznatom postupku ispitamo tok dve zadate kvadratne funkcije i skiciramo:
x
y
1 4 5-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
2 4 4y x x= − +
-6
3
2 3 2y x x= − + −
(2,0)
(3/2,1/4)
www.matematiranje.com
1
KVADRATNA NEJEDNAČINA ZNAK KVADRATNOG TRINOMA
Kvadratne nejednačine su oblika:
0000
2
2
2
2
≤++
<++
≥++
>++
cbxaxcbxaxcbxaxcbxax
gde je x-realna promenljiva (nepoznata) i a,b,c su realni brojevi, .0≠a U delu kvadratna funkcija smo analizirali kako može izgledati grafik kvadratne funkcije u zavisnosti od znaka a i D. Podsetimo se:
1) ⇒>> 0,0 Da 2) 00,0 ≥⇒=> yDa uvek 3) 00,0 >⇒<> yDa uvek
4) ⇒>< 0,0 Da 5) 00,0 ≤⇒=< yDa uvek 6) 00,0 <⇒<< yDa uvek Naravno cbxaxy ++= 2 Primer 1) Odrediti znak trinoma: a) 4113 2 −− xx b) 45 2 +−− xx v) 4129 2 ++ xx g) 962 −−− xx
Rešenja a) Najpre rešimo odgovarajuću kvadratnu jednakost: 3x2 –11x –4 =0
2
411
3
−=−=
=
cba
169
4812142
=+=−=
DD
acbD
31
62
46
13112
2
1
2,1
−=−=
=
±=
±−=
x
xa
Dbx
Pošto je 03 >=a i 0169 >=D (prva situacija):
04113 2 >−− xx za ( )∞∪⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞−∈ ,4
31,x
04113 2 <−− xx za ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∈ 4,
31x
b) 045 2 =+−− xx → PAZI: nema množenja i deljenja nekim brojem!!!
4
15
=−=−=
cba
81
801=
+=DD
54
108
110
91
2
1
2,1
=−−
=
−=−±
=
x
x
x
Pošto je 0,0 >< Da (situacija 4)
045 2 >+−− xx za ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∈
54,1x
045 2 <+−− xx za ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪−∞−∈ ,
541,x
v) 04129 2 =++ xx
4129
===
cba
0
144144=
−=DD
32
32
1812
18012
2
1
2,1
−=
−=−=
±−=
x
x
x
Pošto je 0>a i 0=D → 04129 2 ≥++ xx uvek a ovo vidimo i iz 0)23( 2 ≥+x
3
g) 962 −−− xx
961
−=−=−=
cba
0
3636=
−=DD
33
206
2
1
2,1
−=−=−±
=
xx
x
Pošto je 0<a i 0=D → 0962 ≤−−− xx uvek, tj za Rx∈∀ Ovo vidimo i iz transformacije: 0)3()96(96 222 ≤+−=−−−−−− xxxxx Primer 2: Reši nejednačinu: 0)32()54( 22 <−+⋅−− xxxx Rešenje: Ovo je složeniji oblik nejednačina, gde možemo upotrebiti i već poznat šablon:
)0,0()0,0(0 ><∨<>⇔<⋅ BABABA Naša preporuka je da ovakve zadatke rešavate pomoću tablice!!! Najpre ćemo obe kvadratne jednačine rastaviti na činioce:
))(( 21
2 xxxxacbxax −−=++
⇒=−− 0542 xx , pa je )5)(1(542 −+=−− xxxx
⇒=−+ 0322 xx pa je )3)(1(322 +−=−+ xxxx Sada posmatramo nejednačinu: 0)3)(1)(5)(1( <+−−+ xxxx Pravimo tablicu:
51
2
1
=−=
xx
31
2
1
−==
xx
4
-∞ ∞x+1 x-5 x-1 x+3
(x+1)( x-5) (x-1)(x+3)
Dakle, svaki od izraza ide u tablicu, a u zadnjoj vrsti je ‘’ono’’ što nam treba, tj. ceo izraz. Brojevnu pravu (gornja linija od - ∞ do ∞ ćemo podeliti na 5 intervala) Iznad ovih vertikalnih linija ćemo upisati brojeve.(koje?) To brojevi su rešenja kvadratnih jednačina, dakle -1,5,1 i -3 samo ih poredjamo od od najmanjeg do najvećeg:-3,-1,1,5 -3 -1 1 5
-∞ ∞x+1 - x-5 - x-1 - x+3 -
(x+1)( x-5)( x-1)(x+3)
Dakle biramo bilo koju broj iz svakog od 5 intervala i zamenjujemo u izraze x+1, x-5, x-1 i x+3; ne zanima nas koji broj ispadne već samo njegov znak + ili – koji upisujemo u tablicu.Recimo, u intervalu (-∞,-3) izaberemo broj -10, pa ga menjamo redom: x+1=-10-5=-9 → uzmemo – (upisan u tablicu) x-5=-10-5= -15 → – upišemo u tablicu x-1=-10-11=-11 → + upišemo u tablicu x+3=-10+3=-7 → - upišemo u tablicu Izmedju -3 i -1 izaberemo -2, itd... Dobili smo: -3 -1 1 5
-∞ ∞x+1 - - + + + x-5 - - - - + x-1 - - - + + x+3 - + + + +
(x+1)( x-5)( x-1)(x+3)
+ - + - +
Onda sklopimo:
5
→ 4 minusa daju + → 3 minusa i plus daju – → 2 minusa i 2 plusa daju + → 3 plusa i 1 minus daju – → 4 plisa daju + na ovaj način mi smo rešili dve nejednačine:
0)32)(54(0)32)(54(
22
22
>−+−−
<−+−−
xxxxxxxx
Pošto je naš zadatak da rešimo prvu, 0)32)(54( 22 <−+−− xxxx , biramo u konačnom rešenju gde su minusi: )5,1()1,3( ∪−−∈x Primer 3: Rešiti nejednačinu:
01
432
2
>−
+−xxx
Rešenje:
0432 =+− xx
4
31
=−=
=
cba
7
16942
−=−=−=
DD
acbD
PAZI: pošto je 0>a i 0<D onda je 0432 >+− xx za x∀ !!! Dakle, mora biti 01 2 >− x Posmatrajmo kvadratnu jednačinu: 01 2 =− x
Zaključujemo )1,1(−∈x
10
1
==−=
cba
41)1(402
=⋅−⋅−=
DD
11
220
2
1
2,1
=−=−±
=
xx
x
6
Primer 4: Za koje realne vrednosti x razlomak 1252
2
2
−−−+−
xxxx manji od -1?
11252
2
2
−<−−−+−
xxxx PAZI: Moramo prebaciti -1 na levu stranu i to ‘’srediti’’
0126
012
1252
011252
2
2
2
22
2
2
<−−−+
<−−
−−+−+−
<+−−−+−
xxxx
xxxxxx
xxxx
Sad tek idemo ''klasično'' ⇒=−+ 062 xx )3)(2(62 +−=−+⇒ xxxx ⇒=−− 012 2 xx
Sada rešavamo: 0
21)1(2
)3)(2(<
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+−
xx
xx
-∞ -3 21 1 2 ∞
x-2 - - - - + x+3 - + + + + x-1 - - - + +
x+21
- - + + +
0
21)1(2
)3)(2(<
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+−
xx
xx + - + - +
Rešenje: )2,1(21,3 ∪⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∈x
32
2
1
−==
xx
21
1
2
1
−=
=
x
x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=−−⇒
21)1(12 2 xxxx
7
Primer 5: Data je funkcija 2)1(2)1( 22 +−+−= xrxry . Odrediti realan parameter r tako da funkcija bude pozitivna za svako realno x
2)1(2)1( 22 +−+−= xrxry
02)1(2)1( 22 >+−+− xrxr Da bi funkcija bila pozitivna mora da je: 0>a i 0<D
2
)1(212
=−=−=
crb
ra
),1()3,( ∞∪−−∞∈r ),1()1,( ∞∪−−∞∈r
Upakujmo sad ova dva rešenja:
),1()3,( ∞∪−−∞∈r Konačno rešenje
[ ]
128488484
88)12(4)1(8)1(4
2)1(4)1(2
4
2
22
22
22
22
2
+−−=
+−+−=
+−+−=
−−−=
⋅−−−=
−=
rrDrrrD
rrrDrrDrrD
acbD
31
242
032)4(:/01284
2
1
2,1
2
2
−==
±−=
>−+
−<+−−
rr
r
rrrr
11
0101
0
2
1
2
2
=−==−
>−
>
rrrra
8
Primer 6: Odrediti sve realne vrednosti parametra r za koje je funkcija 42)2(22 ++++= rxrrxy negativna za svako realno x.
042)2(22 <++++ rxrrx
da bi funkcija bila negativna mora da važi: 0<a i 0<D
42
)2(2+=+=
=
rcrb
ra
22
04)4(:/0164
2
1
2
2
−==
>−
−<+−
rrr
r
00
<<
ra
),2()2,( ∞∪−−∞∈r Upakujmo rešenja:
)2,( −−∞∈r konačno rešenje Primer 7: Odrediti k tako da je za svako x ispunjava nejednakost
211
2
2
<++++
xxkxx
21122
11
2
2
2
2
<++++
<−⇒<++++
xxkxx
xxkxx
Dakle, ovaj zadatak zahteva rešavanje dve nejednačine:
[ ]
16416816164168)44(4
)42(4)2(4)42(4)2(2
4
2
2
22
2
2
2
+−=
−−++=
−−++=
+−+=
+⋅−+=
−=
rDrrrrDrrrrD
rrrDrrrD
acbD
9
1) Rešimo
112 2
2
++++
<−xxkxx
0211
2
2
>+++++
xxkxx
0
13)2(3
01
2221
2
2
2
22
>++
+++
>++
+++++
xxkxx
xxxxkxx
012 =++ xx
111
===
cba
3
4142
−=−=−=
DD
acbD
Kako je 0>a i ⇒< 0D 012 >++ xx za x∀ pa ne utiče na razmatranje!!! 03)2(3 2 =+++ kxx , da bi 03)2(3 2 >+++ kxx mora biti 0,0 <> Da
3
23
=+=
=
ckb
a
3243644
334)2(
2
2
2
−+=
−++=
⋅⋅−+=
kkDkkD
kD
84
03240324
2
1
2
2
−==
=−+
<−+
kk
kkkk
)4,8(−∈k
2) Rešavamo:
01
1)2(
01
2221
02112
11
2
2
2
22
2
2
2
2
<++
−−+−
<++
−−−++
<−++++
⇒<++++
xxxkx
xxxxkxx
xxkxx
xxkxx
10
Kako je 012 >++ xx , to mora biti:
1)2()1/(01)2(
2
2
+−−
−>−−+−
xkxxkx
⇒< 0D
4,004 212 ==⇒=− kkkk
)4,0(∈k
Upakujemo oba rešenja:
Dakle, konačno rešenje je: )4,0(∈k
[ ]
044444)2(
2
2
2
<−=
−+−=
−−−=
kkDkkD
kD
1
EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
Funkcija zadata formulom:
xay = . 1,0, ≠>∈ aaRa se naziva eksponencijalna funkcija. → Funkcija xay = je svuda definisana Rx∈∀ → Za x=0 je 1== oay pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu. → Ako je 0>a funkcija je rastuća → Ako je 10 << a funkcija je opadajuća → Finkcija xay = je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose → Važe osnovna svojstva stepena: Za nju:
( )( )
x y x y
xx y
y
x y xy
x x x
x x
x
a a aaaa
a aa b a b
a ab b
+
−
= ⋅
=
=
⋅ =
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
gde su 0>a , 0>b , Ryx ∈, Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije 2xy = Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
81
41
21
1 2 4 8
www.matematiranje.com
2
→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1) → Pošto je 02 >=a ⇒ rastuća je → Uvek je pozitivna, tj. 0>y za Rx∈∀ Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije
x
y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21 tj. x
x
yy −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
21
Rešenje:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 4 2 1
21
41
81
→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1)
→ Pošto je ⇒<= 021a opadajuća je
→ Uvek je pozitivna, 0>y za Rx∈∀
www.matematiranje.com
3
Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije
12 += xy I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
89
45
23
2 3 5 9
Ali je lakše da razmišljamo ovako: Nacrtamo grafik xy 2= pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju, slična translacija je i tamo radjena)
Eksponencijalne jednačine Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo upotrebljavati:
)()()()( xgxfaa xgxf =⇔= Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i uporedjujemo eksponente.
www.matematiranje.com
4
Evo nekoliko primera: 1) Reši jednačine
a) xx
x1
24+
= b) 21 2168 −+ ⋅= xx
v) 21
416x
x = g)
2
2216 25 xx =⋅ +
d) 3
3
2719
+− ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
xx
dj) ( ) 11 322 =+−xx
e) 653 392
=+− xx Rešenja: a) Kad napravimo iste osnove njih ‘’skratimo’’!
Rešenja su 11 =x i 21
2 −=x
b)
www.matematiranje.com
xx
x
xx
x
xx
x
12
12
1
22
2)2(
24
+
+
+
=
=
=
⇔
21
14
31012
12
12
2
1
2,1
2
2
−=
=
±=
=−−
+=
+=
x
x
x
xxxxx
xx
2112
323233
2222
22)2(2168
233
2433
2413
21
−=
−=−=−+=+
=
=
⋅=
⋅=
++
−++
−+
−+
x
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
5
v) g) d) Pazi: đ) ( ) 11 322 =+
−xx Pošto znamo da je 1=oa , jedno rešenje će nam dati
2332
032
=
==−
x
xx
Drugo rešenje će biti ako je 0011 22 =⇒=⇒=+ xxx jer važi baba xfxf =⇔= )()( tj. 32322 1)1( −− =+ xxx pa je 112 =+x e)
www.matematiranje.com
xx
xx
xx
xx
22
22
)2()2(
416
4
2214
221
4
21
=
=
=
=
⋅⋅
22
4
4
4
2
1
2
−==±=
=
=
xxx
x
xx
2
2
2
2
22
22
222
2216
65
254
254
25
xx
xx
xx
xx
=
=
=⋅
=⋅
+
++
+
+ 2
2
1,2
1
2
5 65 6 0
5 12
32
x xx x
x
xx
= +
− − =±
=
==
936
3332
33
33)3()3(
2719
−−−
+−−
+−
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xx
xx
xx
33 3
31
271 −==
393
936936
=−=−
−=+−−−=−
xx
xxxx
61062
6532
653
33
3)3(
39
2
2
2
=
=
=
+−
+−
+−
xx
xx
xx
6
2) Rešiti jednačine: a) 016272 3 =−⋅−+ xx b) 033343 1 =+⋅−− xx v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − = d) 3231 3322 −−−− −=− xxxx
Rešenja: Ovde ćemo koristiti pravila za stepene:
( ) nmnm
n
mnm
nmnm
aaaaa
aaa
⋅
−
+
=
=
⋅=
a) →=−⋅−⋅ 0162722 3 xx Najbolje da uzmemo smenu tx =2
1678
01678=−
=−⋅−⋅tt
tt
→=16t Vratimo se u smenu
422162
4
==
=
x
x
x
b) 033343 1 =+⋅−− xx
→=+⋅− 0333433 x
x
Smena tx =3 www.matematiranje.com
12
213
0232:/0462
61062
2
1
2,1
2
2
2
==
±=
=+−
=+−
=+−
xx
x
xxxxxx
016272 3 =−⋅−+ xx
7
→=+− 03343
tt Pomnožimo sve sa 3
23393
99911
09912
2
==
=
=−=−
=+−
x
tttt
x
x
v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx
→=−⋅⋅ 450334332 2
1x
x Smena tx =3
4509
46 =−⋅tt
→=− 450946 tt Pomnožimo sve sa 9
8150
4050405050
4050454
=
=
==−
t
t
ttt
→= 813x pazi 81=3·3·3·3= 43
433 4
==
x
x
g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − =
→=−− 1622
22
22
4
3
3
3
2
3 xxx
smena tx =32
→=−− 161684ttt sve pomnožimo sa 16
388322
25625624
83
=
==
==−−
x
x
tttt
x
d)
323
3231
33
33
22
22
3322xxxx
xxxx
−=−
−=− −−−−
8
→−=−273
93
82
22 xxxx
zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27
27
3338
224 xxxx −⋅=
−⋅
→⋅
=⋅
2732
823 xx
Pomnožimo unakrsno
8322723 ⋅⋅=⋅⋅ xx /163812 ⋅=⋅ xx podelimo sa x3 I sa 81
432
32
8116
32
4
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
x
x
x
x
A mogli smo da razmišljamo i ovako:
44 2332
163812⋅=⋅
⋅=⋅xx
xx
Očigledno je 4=x 3) Reši jednačine: a) 4 5 2 4 0x x− ⋅ + =
→=+⋅− 04254 xx Pošto je xxx 22 2)2(4 == uzećemo smenu tx =2 pa će onda biti
2
1,2
1
2
5 4 05 3
241
t t
t
tt
− + =±
=
==
Vratimo se sad u smenu:
22242
2
==
=
x
x
x
ili 012
==
x
x
www.matematiranje.com
24 tx =
9
b) →=−− 02416 xx smena je tx =4 pa je 22416 txx ==
12
231
02
2
1
2,1
2
−==
±=
=−−
tt
t
tt
211222
2412
=
==
=
x
x
x
x
ili 4 1x = − ovde nema rešenja jer je xay = uvek pozitivna!!!
v) 2055 3 =− −xx
→=− 20555
3
xx smena tx =5
→=− 20125t
t celu jednačinu pomnožimo sa t
525
23020
01252020125
2
1
2,1
2
2
−==
±=
=−−
=−
tt
t
tttt
Pa je ili 55 −=x Nema rešenja g) 3525 232 +⋅= −− xx
→+⋅= 3552
55
23
2 xx
smena tx =5
→+= 3252
125
2 tt sve pomnožimo sa 125
www.matematiranje.com
255255
2
==
=
x
x
x
10
1525
24010
03751037510
2
1
2,1
2
2
−==
±=
=−−
+=
tt
t
tttt
Vratimo se u smenu:
255255
2
==
=
x
x
x
ili 155 −=x nema rešenja 05 >x
d) →+=− 9911)1111( 2 xx Ovde ćemo odmah uzeti smenu tx =11
122
22123
0222309912122
99)11(
2
1
2,1
2
2
2
==
±=
=+−
=−−+−
+=−
tt
t
ttttt
tt
Vratimo se u smenu:
22log
2211
11==
x
x
ili 0
111==
x
x
4) Rešiti jednačine: a) 22 210164 −− ⋅=+ xx
b) 62*542212 2 =−
−+−−+ xxxx
v) 43232 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
xx
Rešenja
a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to je 202 ≥⇒≥− xx
www.matematiranje.com
11
Uzećemo smenu 222 42 tt xx =⇒= −−
28
2610
016101016
2
1
2,1
2
2
==
±=
=+−
=+
tt
t
tttt
Vratimo se u smenu
32
2
22
82
=
=−
−
x
x
ili
→=− 32x kvadriramo
11
92=
=−xx
Kako za oba rešenja važi 2≥x to su oba rešenja ‘’dobra’’
b) Smena
2 22x x t+ − =
6252 =−tt pomnožimo sa 2
23
46
44115
41215
01252
2
1
2,1
2
−=−=
=
±=
±=
=−−
t
t
t
tt
Vratimo se u smenu:
www.matematiranje.com
312
12
22 2
==−=−
=−
xx
x
x
22 1 2
22 2 1
2 22
2
2 2
2( 2 )1
4 5 2 6
(2 ) 5 2 6
22 5 62
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− + −
+ − −
+ −
+ −
+ −
+ −
− ⋅ =
− ⋅ =
− ⋅ =
12
22
22
42
2
22
2
2
2
=−+
=
=−+
−+
xx
xx
xx
→−=− xx 222 uslovi 02 ≥− x pa je 2−≥− x tj 2≤x i 022 ≥−x
5,123
4664
244442
)2(222
22
===
=+=
+−=−
−=−
x
xx
xxxxx
→= 5,1x Zadovoljava uslove
b) 43232 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
xx
pogledajmo prvo jednu stvar:
32
132
343232
3232
13232
22
+=
+−
=+−
=++
⋅−
=−
Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:
432
132 =+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + x
x
smena tx=+ 32
→=+ 41t
t pomnožimo sve sa t
( )
32
32
322
3222
342
3242
124
01441
2
1
2,1
2
2
−=
+=
±=±
=±
=±
=±
=
=+−
=+
t
t
t
tttt
Vratimo se u smenu:
,32 tx=+ dakle
3232 +=+x
ili 3232 −=+x
www.matematiranje.com
( , 2) ( 2, )x∈ −∞ − ∪ ∞
13
Kako važi mn
m n aa = tj. 22x
x aa =
( ) ( )
2
12
32321
2
=
=
+=+
x
x
x
( )
( ) ( )
2
12
3232
32132
1
2
2
−=
−=
+=+
+=+
−
x
x
x
x
5) Reši jednačine: a) 0105620 =+⋅− xxx b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx a) →=+⋅− 0105620 xxx iskoristićemo da je nnn baba ⋅=⋅ )( 0)25(56)45( =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅−⋅ 0255645 xxxxx izvucimo x5 kao zajednički!!! 0)264(5 =+− xxx 05 =x ∨ 0624 =−+ xx
32
25106
2
1
2,1
2
−==
±−=
=−+
tt
t
tt
pa je 2 2
1
x
x
=
= ∨ 32 −=x nema rešenja
b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅⋅−⋅ 026231336 22 xxxx celu jednačinu podelimo sa x22
062313
236 2
2
=+⋅−⋅ x
x
x
x
062313
236
2
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
xx
Smena: tx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
23
www.matematiranje.com
14
32
128
23
1218
12513
06136
2
1
2,1
2
==
==
±=
=+−
t
t
t
tt
123
23
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
x
ili
6) Grafički rešiti sledeće jednačine
a) 02
52 =+−xx b) 08
23 =−−
xx
a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu:
2
52 xx −=
Nacrtaćemo funkcije xy 2= i 52+−=
xy i njihov presek će nam dati rešenje.
xy 2=
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
81
41
21
1 2 4 8
52+−=
xy
x 0 10 2 y 5 0 4
Na grafiku bi to izgledalo ovako:
www.matematiranje.com
123
23
32
23
1
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
x
x
x
15
Rešenje je 2x =
b) 082
3 =−−xx
82
3 +=xx
xy 3=
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
271
91
31
1 3 9 27
82+=
xy
x 0 -16 2 y 8 0 9
Na grafiku bi bilo:
www.matematiranje.com
16
Dakle, rešenje je 2=x . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to)
Eksponencijalne nejednačine Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi:
1) za 1>a je )()()()( xgxfaa xgxf >⇔> 2) za 10 << a je )()()()( xgxfaa xgxf <⇔>
Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće. Primeri:
1. Rešiti nejednačine:
a) 337 55 −+− >x b) 221 35,035,0 +− < xx
c) 22 32
>−x d) xx 72 <
17
a) →> −+− 337 55 x pošto je osnova 15 > znak prepisujemo!!!
7 3 37 3 37 6
67
xxx
x
− + > −− > − −− > −
<
b) →< +− 221 35,035,0 xx pazi osnova je 0,35 a 0 0,35 1< < , pa okrećemo znak!!!
33
122221
−<>−
+>−+>−
xx
xxxx
v)
g)
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ox
72
72 pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće
x >0 2) Rešiti nejednačine: a) 455 12 +>+ xx b) 55625 −⋅< xx v) 9339 2 −>− + xxx
www.matematiranje.com
22
220
0413
22
22
2
1
2,1
2
2
13
3
2
2
−==
±−=
>−
>−
>
>−
−
xx
x
xx
x
x
172
172
72
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
<
<
x
x
x
xx
18
a) 455 12 +>+ xx →>−−⋅ 04555 12 xx smena tx =5
2
2
1,2
1
2
5 4 05 4 0
1 910
145
t tt t
t
t
t
⋅ − − >
− − =±
=
=
= −
4( , ) (1, )5
t∈ −∞ − ∪ ∞
vratimo se u smenu:
545 −=x ili
nema rešenja sad se interval ),1( ∞∈t transformiše u ),0( ∞∈x b) 55625 −⋅< xx →<+⋅− 055652 xx smena 5x t=
15
246
056
2
1
2,1
2
==
±=
<+−
tt
t
tt
Znači ),5,1(∈t vratimo se u smenu
015
==
x
x
ili 115
==
x
x
Tako da je sada konačno rešenje )1,0(∈x
www.matematiranje.com
5 10 (0, )
x
x x== → ∈ ∞
19
9<t
v) 93339 2 −>⋅− xxx
→−>⋅− 939332 xxx smena tx =3
992 −>− ttt (vidi iracionalne nejednačine) ∨ Znači Ova dva uslova daju ( ]0,∞−∈t Konačno rešenje ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je
tx =3
www.matematiranje.com
[ ]
90
299
0909
2
1
2,1
2
==
±=
<−∧≥−
tt
t
ttt [ ]09)9(9 22 ≥−∧−≥− tttt
9819
8118981189 22
>>
>+−+−>−
tt
tttttt
( ] [ )∞∪∞−∈ ,90,t
9≥t
2
93 93 3
2
x
x
t
x
>
>
>
>
IRACIONALNE NEJEDNAČINE Kao i jednačine i iracionalne nejednačine se rešavaju upotrebom ekvivalencija. Razlikovaćemo dve situacije:
1) )()( xQxP < je ekvivalentno sa: )()(0)(0)( 2 xQxPxQxP <∧≥∧> 2) )()( xQxP > je ekvivalentno sa:: [ ] [ ]0)()()(0)(0)( 2 ≥∧>∨<∧≥ xQxQxPxQxP
Primer 1: 66 −<+ xx Postavljamo ekvivalenciju:
3612666)6(60606
2
2
+−<+∧≥∧−>
−<+∧≥−∧>+
xxxxxxxxx
30130
6361202
2
+−<
−−+−<
xxxxx
310
2713
212016913
03013
2
1
2,1
2
==
±=
−±=
=+−
xx
x
xx
“ Kvadratni trinom ima znak broja a ( kod nas a=1) svuda osim izmedju nula(rešenja) Ovde je dakle rešenje: ),10()3,( ∞∪−∞∈x Kad rešimo sve tri nejednačine ‘upakujemo rešenje`: Konačno je:
Presek sva tri rešenja je: ),10( ∞∈x
1
Primer 2: 127 −>+ xx Postavljamo ekvivalenciju: ∨ [ ]012)12(7 2 ≥−∧−>+ xxx [ ]01207 <−∧≥+ xx
2 <∧−≥x 7 x 1
21
≥
o
-7 1_2
o
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≥∧⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−∈
212,
43 xx
)2,21[∈x
Konačno rešenje je:
)2,7[
)2,21[)
21,7[
−∈
∪−∈
x
x
⎟⎠⎞
⎢⎣⎡−∈
21,7x⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ <∧−≥
217 xx
21
<x
1447 +−>+x 2 xx x∧
044 <−+− x
43
86
28115
065471
1
1
2,1
2
2
−=−=
=
±=
<−−
−
x
x
x
xxxx
)2,43(−∈x
2
1
EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
Funkcija zadata formulom:
xay = . 1,0, ≠>∈ aaRa se naziva eksponencijalna funkcija. → Funkcija xay = je svuda definisana Rx∈∀ → Za x=0 je 1== oay pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu. → Ako je 0>a funkcija je rastuća → Ako je 10 << a funkcija je opadajuća → Finkcija xay = je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose → Važe osnovna svojstva stepena: Za nju:
( )( )
x y x y
xx y
y
x y xy
x x x
x x
x
a a aaaa
a aa b a b
a ab b
+
−
= ⋅
=
=
⋅ =
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
gde su 0>a , 0>b , Ryx ∈, Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije 2xy = Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
81
41
21
1 2 4 8
www.matematiranje.com
2
→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1) → Pošto je 02 >=a ⇒ rastuća je → Uvek je pozitivna, tj. 0>y za Rx∈∀ Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije
x
y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21 tj. x
x
yy −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
21
Rešenje:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 4 2 1
21
41
81
→ Funkcija je definisana za Rx∈∀ → Y-osu seče u (0,1)
→ Pošto je ⇒<= 021a opadajuća je
→ Uvek je pozitivna, 0>y za Rx∈∀
www.matematiranje.com
3
Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije
12 += xy I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
89
45
23
2 3 5 9
Ali je lakše da razmišljamo ovako: Nacrtamo grafik xy 2= pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju, slična translacija je i tamo radjena)
Eksponencijalne jednačine Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo upotrebljavati:
)()()()( xgxfaa xgxf =⇔= Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i uporedjujemo eksponente.
www.matematiranje.com
4
Evo nekoliko primera: 1) Reši jednačine
a) xx
x1
24+
= b) 21 2168 −+ ⋅= xx
v) 21
416x
x = g)
2
2216 25 xx =⋅ +
d) 3
3
2719
+− ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
xx
dj) ( ) 11 322 =+−xx
e) 653 392
=+− xx Rešenja: a) Kad napravimo iste osnove njih ‘’skratimo’’!
Rešenja su 11 =x i 21
2 −=x
b)
www.matematiranje.com
xx
x
xx
x
xx
x
12
12
1
22
2)2(
24
+
+
+
=
=
=
⇔
21
14
31012
12
12
2
1
2,1
2
2
−=
=
±=
=−−
+=
+=
x
x
x
xxxxx
xx
2112
323233
2222
22)2(2168
233
2433
2413
21
−=
−=−=−+=+
=
=
⋅=
⋅=
++
−++
−+
−+
x
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
5
v) g) d) Pazi: đ) ( ) 11 322 =+
−xx Pošto znamo da je 1=oa , jedno rešenje će nam dati
2332
032
=
==−
x
xx
Drugo rešenje će biti ako je 0011 22 =⇒=⇒=+ xxx jer važi baba xfxf =⇔= )()( tj. 32322 1)1( −− =+ xxx pa je 112 =+x e)
www.matematiranje.com
xx
xx
xx
xx
22
22
)2()2(
416
4
2214
221
4
21
=
=
=
=
⋅⋅
22
4
4
4
2
1
2
−==±=
=
=
xxx
x
xx
2
2
2
2
22
22
222
2216
65
254
254
25
xx
xx
xx
xx
=
=
=⋅
=⋅
+
++
+
+ 2
2
1,2
1
2
5 65 6 0
5 12
32
x xx x
x
xx
= +
− − =±
=
==
936
3332
33
33)3()3(
2719
−−−
+−−
+−
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xx
xx
xx
33 3
31
271 −==
393
936936
=−=−
−=+−−−=−
xx
xxxx
61062
6532
653
33
3)3(
39
2
2
2
=
=
=
+−
+−
+−
xx
xx
xx
6
2) Rešiti jednačine: a) 016272 3 =−⋅−+ xx b) 033343 1 =+⋅−− xx v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − = d) 3231 3322 −−−− −=− xxxx
Rešenja: Ovde ćemo koristiti pravila za stepene:
( ) nmnm
n
mnm
nmnm
aaaaa
aaa
⋅
−
+
=
=
⋅=
a) →=−⋅−⋅ 0162722 3 xx Najbolje da uzmemo smenu tx =2
1678
01678=−
=−⋅−⋅tt
tt
→=16t Vratimo se u smenu
422162
4
==
=
x
x
x
b) 033343 1 =+⋅−− xx
→=+⋅− 0333433 x
x
Smena tx =3 www.matematiranje.com
12
213
0232:/0462
61062
2
1
2,1
2
2
2
==
±=
=+−
=+−
=+−
xx
x
xxxxxx
016272 3 =−⋅−+ xx
7
→=+− 03343
tt Pomnožimo sve sa 3
23393
99911
09912
2
==
=
=−=−
=+−
x
tttt
x
x
v) 4503432 21 =⋅−⋅ −+ xx
→=−⋅⋅ 450334332 2
1x
x Smena tx =3
4509
46 =−⋅tt
→=− 450946 tt Pomnožimo sve sa 9
8150
4050405050
4050454
=
=
==−
t
t
ttt
→= 813x pazi 81=3·3·3·3= 43
433 4
==
x
x
g) 3 2 3 3 3 42 2 2 16x x x− − −− − =
→=−− 1622
22
22
4
3
3
3
2
3 xxx
smena tx =32
→=−− 161684ttt sve pomnožimo sa 16
388322
25625624
83
=
==
==−−
x
x
tttt
x
d)
323
3231
33
33
22
22
3322xxxx
xxxx
−=−
−=− −−−−
8
→−=−273
93
82
22 xxxx
zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27
27
3338
224 xxxx −⋅=
−⋅
→⋅
=⋅
2732
823 xx
Pomnožimo unakrsno
8322723 ⋅⋅=⋅⋅ xx /163812 ⋅=⋅ xx podelimo sa x3 I sa 81
432
32
8116
32
4
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
x
x
x
x
A mogli smo da razmišljamo i ovako:
44 2332
163812⋅=⋅
⋅=⋅xx
xx
Očigledno je 4=x 3) Reši jednačine: a) 4 5 2 4 0x x− ⋅ + =
→=+⋅− 04254 xx Pošto je xxx 22 2)2(4 == uzećemo smenu tx =2 pa će onda biti
2
1,2
1
2
5 4 05 3
241
t t
t
tt
− + =±
=
==
Vratimo se sad u smenu:
22242
2
==
=
x
x
x
ili 012
==
x
x
www.matematiranje.com
24 tx =
9
b) →=−− 02416 xx smena je tx =4 pa je 22416 txx ==
12
231
02
2
1
2,1
2
−==
±=
=−−
tt
t
tt
211222
2412
=
==
=
x
x
x
x
ili 4 1x = − ovde nema rešenja jer je xay = uvek pozitivna!!!
v) 2055 3 =− −xx
→=− 20555
3
xx smena tx =5
→=− 20125t
t celu jednačinu pomnožimo sa t
525
23020
01252020125
2
1
2,1
2
2
−==
±=
=−−
=−
tt
t
tttt
Pa je ili 55 −=x Nema rešenja g) 3525 232 +⋅= −− xx
→+⋅= 3552
55
23
2 xx
smena tx =5
→+= 3252
125
2 tt sve pomnožimo sa 125
www.matematiranje.com
255255
2
==
=
x
x
x
10
1525
24010
03751037510
2
1
2,1
2
2
−==
±=
=−−
+=
tt
t
tttt
Vratimo se u smenu:
255255
2
==
=
x
x
x
ili 155 −=x nema rešenja 05 >x
d) →+=− 9911)1111( 2 xx Ovde ćemo odmah uzeti smenu tx =11
122
22123
0222309912122
99)11(
2
1
2,1
2
2
2
==
±=
=+−
=−−+−
+=−
tt
t
ttttt
tt
Vratimo se u smenu:
22log
2211
11==
x
x
ili 0
111==
x
x
4) Rešiti jednačine: a) 22 210164 −− ⋅=+ xx
b) 62*542212 2 =−
−+−−+ xxxx
v) 43232 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
xx
Rešenja
a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to je 202 ≥⇒≥− xx
www.matematiranje.com
11
Uzećemo smenu 222 42 tt xx =⇒= −−
28
2610
016101016
2
1
2,1
2
2
==
±=
=+−
=+
tt
t
tttt
Vratimo se u smenu
32
2
22
82
=
=−
−
x
x
ili
→=− 32x kvadriramo
11
92=
=−xx
Kako za oba rešenja važi 2≥x to su oba rešenja ‘’dobra’’
b) Smena
2 22x x t+ − =
6252 =−tt pomnožimo sa 2
23
46
44115
41215
01252
2
1
2,1
2
−=−=
=
±=
±=
=−−
t
t
t
tt
Vratimo se u smenu:
www.matematiranje.com
312
12
22 2
==−=−
=−
xx
x
x
22 1 2
22 2 1
2 22
2
2 2
2( 2 )1
4 5 2 6
(2 ) 5 2 6
22 5 62
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− + −
+ − −
+ −
+ −
+ −
+ −
− ⋅ =
− ⋅ =
− ⋅ =
12
22
22
42
2
22
2
2
2
=−+
=
=−+
−+
xx
xx
xx
→−=− xx 222 uslovi 02 ≥− x pa je 2−≥− x tj 2≤x i 022 ≥−x
5,123
4664
244442
)2(222
22
===
=+=
+−=−
−=−
x
xx
xxxxx
→= 5,1x Zadovoljava uslove
b) 43232 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
xx
pogledajmo prvo jednu stvar:
32
132
343232
3232
13232
22
+=
+−
=+−
=++
⋅−
=−
Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:
432
132 =+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + x
x
smena tx=+ 32
→=+ 41t
t pomnožimo sve sa t
( )
32
32
322
3222
342
3242
124
01441
2
1
2,1
2
2
−=
+=
±=±
=±
=±
=±
=
=+−
=+
t
t
t
tttt
Vratimo se u smenu:
,32 tx=+ dakle
3232 +=+x
ili 3232 −=+x
www.matematiranje.com
( , 2) ( 2, )x∈ −∞ − ∪ ∞
13
Kako važi mn
m n aa = tj. 22x
x aa =
( ) ( )
2
12
32321
2
=
=
+=+
x
x
x
( )
( ) ( )
2
12
3232
32132
1
2
2
−=
−=
+=+
+=+
−
x
x
x
x
5) Reši jednačine: a) 0105620 =+⋅− xxx b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx a) →=+⋅− 0105620 xxx iskoristićemo da je nnn baba ⋅=⋅ )( 0)25(56)45( =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅−⋅ 0255645 xxxxx izvucimo x5 kao zajednički!!! 0)264(5 =+− xxx 05 =x ∨ 0624 =−+ xx
32
25106
2
1
2,1
2
−==
±−=
=−+
tt
t
tt
pa je 2 2
1
x
x
=
= ∨ 32 −=x nema rešenja
b) 04661396 =⋅+⋅−⋅ xxx →=⋅+⋅⋅−⋅ 026231336 22 xxxx celu jednačinu podelimo sa x22
062313
236 2
2
=+⋅−⋅ x
x
x
x
062313
236
2
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
xx
Smena: tx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
23
www.matematiranje.com
14
32
128
23
1218
12513
06136
2
1
2,1
2
==
==
±=
=+−
t
t
t
tt
123
23
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
x
ili
6) Grafički rešiti sledeće jednačine
a) 02
52 =+−xx b) 08
23 =−−
xx
a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu:
2
52 xx −=
Nacrtaćemo funkcije xy 2= i 52+−=
xy i njihov presek će nam dati rešenje.
xy 2=
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
81
41
21
1 2 4 8
52+−=
xy
x 0 10 2 y 5 0 4
Na grafiku bi to izgledalo ovako:
www.matematiranje.com
123
23
32
23
1
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
x
x
x
15
Rešenje je 2x =
b) 082
3 =−−xx
82
3 +=xx
xy 3=
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y
271
91
31
1 3 9 27
82+=
xy
x 0 -16 2 y 8 0 9
Na grafiku bi bilo:
www.matematiranje.com
16
Dakle, rešenje je 2=x . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to)
Eksponencijalne nejednačine Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi:
1) za 1>a je )()()()( xgxfaa xgxf >⇔> 2) za 10 << a je )()()()( xgxfaa xgxf <⇔>
Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće. Primeri:
1. Rešiti nejednačine:
a) 337 55 −+− >x b) 221 35,035,0 +− < xx
c) 22 32
>−x d) xx 72 <
17
a) →> −+− 337 55 x pošto je osnova 15 > znak prepisujemo!!!
7 3 37 3 37 6
67
xxx
x
− + > −− > − −− > −
<
b) →< +− 221 35,035,0 xx pazi osnova je 0,35 a 0 0,35 1< < , pa okrećemo znak!!!
33
122221
−<>−
+>−+>−
xx
xxxx
v)
g)
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ox
72
72 pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće
x >0 2) Rešiti nejednačine: a) 455 12 +>+ xx b) 55625 −⋅< xx v) 9339 2 −>− + xxx
www.matematiranje.com
22
220
0413
22
22
2
1
2,1
2
2
13
3
2
2
−==
±−=
>−
>−
>
>−
−
xx
x
xx
x
x
172
172
72
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
<
<
x
x
x
xx
18
a) 455 12 +>+ xx →>−−⋅ 04555 12 xx smena tx =5
2
2
1,2
1
2
5 4 05 4 0
1 910
145
t tt t
t
t
t
⋅ − − >
− − =±
=
=
= −
4( , ) (1, )5
t∈ −∞ − ∪ ∞
vratimo se u smenu:
545 −=x ili
nema rešenja sad se interval ),1( ∞∈t transformiše u ),0( ∞∈x b) 55625 −⋅< xx →<+⋅− 055652 xx smena 5x t=
15
246
056
2
1
2,1
2
==
±=
<+−
tt
t
tt
Znači ),5,1(∈t vratimo se u smenu
015
==
x
x
ili 115
==
x
x
Tako da je sada konačno rešenje )1,0(∈x
www.matematiranje.com
5 10 (0, )
x
x x== → ∈ ∞
19
9<t
v) 93339 2 −>⋅− xxx
→−>⋅− 939332 xxx smena tx =3
992 −>− ttt (vidi iracionalne nejednačine) ∨ Znači Ova dva uslova daju ( ]0,∞−∈t Konačno rešenje ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je
tx =3
www.matematiranje.com
[ ]
90
299
0909
2
1
2,1
2
==
±=
<−∧≥−
tt
t
ttt [ ]09)9(9 22 ≥−∧−≥− tttt
9819
8118981189 22
>>
>+−+−>−
tt
tttttt
( ] [ )∞∪∞−∈ ,90,t
9≥t
2
93 93 3
2
x
x
t
x
>
>
>
>
www.matematiranje.com
1
LOGARITMI Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo pozitivan broj b. )0,0( ≠> aa ili log x
a b x b a= ⇔ = Važno: 0>b je najčešći uslov koji postavljamo a još je 0,1, >≠∈ aiaRa b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma
1. 01log =a 2. 1log =aa 3. yxxy aaa loglog)(log +=
4. yxyx
aaa logloglog −=
5. xnx an
a loglog =
6. xs
x aas log1log =
7. a
btjabb
aaa log1log.1loglog ==⋅
8. Za prelazak na neku novu bazu c: abb
c
ca log
loglog =
9. ba ba =log → Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se
10log logx x= (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) → Ako je osnova (baza) a=e ( 7,2≈e ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I označavaju se xxe lnlog = → Moramo voditi računa o zapisu:
( )xxxx
xxxx
aaa
aaaa
log2loglog
loglogloglog2
22
=⋅=
⋅==
Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:
www.matematiranje.com
2
Izračunati: 1) Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( 01log =a ) 2) Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je 1log =aa PAZI: 3) a) ?3log2log 66 =+ b) ?3log5log2log 303030 =++ Primenićemo svojstvo 3: )(logloglog xyyx aaa =+ Dakle:
a) (6log)32(log3log2log 6666 ==⋅=+ po drugom svojstvu)=1 b) 130log)352(log3log5log2log 3030303030 ==⋅⋅=++
4) a) 5 5log 10 log 2 ?− = b) 2 2log 20 log 10 ?− =
Primenićemo: yxyx aaa logloglog =−
Dakle:
a) 15log2
10log2log10log 5555 ===−
b) 12log1020log10log20log 2222 ===−
?1ln?1log
?1log?1log?1log
21
6
5
==
===
12
23
log 12 ?2log ?3
log10 ?ln ?e
=
=
==
1logln110log10log 10
====
ee e
www.matematiranje.com
3
5) Izračunati: a) ?8log2 =
b) ?125
1log5 = Ovde ćemo upotrebiti xnx an
a loglog =
v) ?log 5 2 =aa Podsetnik: n
m n ma a= i nn a
a−=
1
a) 3132log32log8log 2
322 =⋅===
b)
35 5 5 53
1 1log log log 5 3log 5 3 1 3125 5
−= = = − = − ⋅ = −
v)
521
52log
52loglog 5
25 2 =⋅=== aaa aaa
6) Izračunati: a) ?3log81 = b) ?2log 2 = v) ?27log 3 =
Ovde ćemo upotrebiti da je xs
x aas log1log =
a) 411
413log
413log3log 3381 4 =⋅===
b) 12
222
1log 2 log 2 log 2 2 1 212
= = = ⋅ =
v) 61233log
21133log27log 3
3
33
21 =⋅⋅=⋅==
www.matematiranje.com
4
7) Izračunati: a) ?5log2log 25 =⋅ Važi: b) 10 15log 15 log 10 ?⋅ = 1loglog =⋅ ab ba Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. 8) Izračunati:
a) ?7log6log5log4log3log2log 876543 =⋅⋅⋅⋅⋅ b) Ako je a=2log5 i b=3log5 izračunati ?100log45 =
Rešenje:
Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: abb
c
ca log
loglog =
a)
Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: 3log2log2log3 = ;
4log3log3log4 = ,
itd. Dakle:
=⋅⋅⋅⋅⋅ 7log6log5log4log3log2log 876543log 2log3
log3⋅
log 4log 4
⋅log5
log5⋅
log 6log 6
⋅log 7
log 7⋅
log8=
Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ ==8log2log (sad vidimo da je bilo bolje da
uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u aba
bc
c logloglog
== )
311
312log
312log2log 228 3 =⋅====
b) ba =∧= 3log2log 55
www.matematiranje.com
5
=100log45 (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) ==45log
100log
5
5
( )25 55 5 5
25 5 5 5 5
5
5
2 log 5 log 2log 10 2log 10 2log (5 2)log (5 9) log 5 log 9 1 log 3 1 2log 32(1 log 2) 2(1 )1 2log 3 1 2
ab
+⋅= = = = =
⋅ + + ++ +
= =+ +
9) Izračunati: a) ?3 81log3 = Primenjujemo: b) ?10 5log = ?log =baa Dakle: 813 81log3 = i 510 5log = Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.
a) zyxA ⋅
=
b) 5
32
zyxB ⋅
=
v) yy
xC⋅
=5 2
3
d) 3 345 yxD = Rešenja: a)
zyxA ⋅
=
zyxzxyzxyA loglogloglog)log(loglog −+=−==
b)
5
32
zyxB ⋅
=
zyx
zyxzyxz
yxB
log5log3log2
loglogloglog)log(loglog 5325325
32
−+=
=−+=−⋅=⋅
=
www.matematiranje.com
6
v)
3
25
xCy z
=⋅
PAZI: mn
m n aa = , 21
aa =
( )
1 2 1323 5 3 5 2
25log log log log log log log
1 2 1log log log3 5 2
xC x y z x y zy z
x y z
⎛ ⎞= = − ⋅ = − + =⎜ ⎟
⋅ ⎝ ⎠
= − −
g) 3 345 yxD =
yx
yxD
yxyxyxD
loglog345log
31
5loglog
555
34
31
34
31
3 33 433 34
++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
⋅⋅===
2) Rešiti po x jednačine: a) 15log6log5log24loglog −++=x b) Hrx logloglog23loglog ++=+ π
v) cbax log21log5loglog3log2 ++=−
Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo izraz ,loglog ⊗=x ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo ⊗=x a) 15log6log5log24loglog −++=x SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! n
aa xxn loglog =
2log log 4 log 5 log 6 log154 25 6log log
15600log log15
log log 40.................. /40
x
x
x
x ANTILOGARITMOVANJEx
= + + −⋅ ⋅
=
=
==
www.matematiranje.com
7
b) v)
12 3 2
2
3
2
3
2 3
3
12 log 3log log 5 log log2
log log log 5 log log
log log 5 ................. /
5
5
5
x a b c
x a b cx b c ANTILOGARITMOVANJEa
x b cax a b c
x a b c
− = + +
− = + +
= ⋅ ⋅
=
=
=
3) Ako je a=7log14 i b=5log14 Izračunati ?28log35 = Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.
baa
+−
=+−
=
=+−
=+−
=⋅
==
25log7log7log14log2
5log7log7log14log
5log7log7log196log
)57(log7
196log
35log28log28log
1414
1414
1414
142
14
1414
1414
14
14
14
1435
Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 7
147
196282
== . Probajte razne
opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!
2
2
2
2
log log 3 2log log loglog( 3) log log loglog(3 ) log( )....................................... /3
...............................................( )3
x r Hx r Hx ANTILOGARITMOVANJEr H
x r Hr Hx V kupe
π
π
πππ
+ = + +
⋅ = + +
=
=
=
www.matematiranje.com
8
www.matematiranje.com
1
LOGARITAMSKA FUNKCIJA Funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji xay = ),0,1( Raaa ∈>≠ naziva se logaritamska funkcija. Označava se sa:
xy alog= (čita se logaritam od x za osnovu a) Ako je a=e → y=lnx Ako je a=10 → y=logx Za osnovne logaritamske funkcije važi:
1) Funkcije su definisane za ),0( ∞∈x 2) Nula funkcije je x=1 tj. grafik seče x-osu u tački A(1,0) 3) Monotonost (rašćenje i opadanje)
a) Ako je osnova 1>a finkcija je rastuća b) Ako je osnova 10 << a funkcija je opadajuća
4) Znak funkcije:
a) Ako je osnova 1>a , znak je: 0>y za ),1( ∞∈x 0<y za )1,0(∈x b) Ako je osnova 10 << a , znak je: 0>y za )1,0(∈x 0<y za ),1( ∞∈x
Evo par primera osnovnih grafika: 1) xy 2log=
Napravimo tablicu, ali vrednosti za x biramo pametno x=1,2,4,8, .81,
41,
21
Videćemo zašto!!! Za x=1 01log2 ==⇒ y Za x=2 12log2 ==⇒ y Za x=4 2122log22log4log 2
222 =⋅====⇒ y
Za x=8 3132log32log 23
2 =⋅===⇒ y
Za x=21 1112log12log
21log 2
122 −=⋅−=−===⇒ −y
www.matematiranje.com
2
Za x=41 22log
41log 2
22 −===⇒ −y
Za x=81 3−=⇒ y
X
81
41
21
1 2 4 8
Y -3 -2 -1 0 1 2 3
1-1
-2
-3
2 4 8
1
2
3
x
y
Kako je 02 >=a ona je rastuća!!! 2) xy
21log=
Slično kao malopre pravimo tablicu:
X 81
41
21
1 2 4 8
Y 3 2 1 0 -1 -2 -3
www.matematiranje.com
3
1-1
-2
-3
2 4 81
2
3
x
y
Dakle kad je osnova 21
=a izmedju 0 i 1 grafik je opadajući!!!
Za malo složenije grafike je moguće izvršiti pomeranje duž x i y-ose (slično kao kod kvadratne funkcije) ali za ozbiljnije zadatke će nam biti potrebno znanje iz IV godine srednje škole. 3) Data je funkcija )23(log 2 xxy a −= )1,0( ≠> aa
a) za koje vrednosti argumenata x funkcija ima smisla u skupu realnih brojeva? b) Odrediti nule date funkcije; c) Odrediti x tako da za osnovu 5=a vrednost funkcije bude 2.
Rešenje: )23(log 2 xxy a −= Pazi: Sve iza log mora biti >0 Znači: →>− 023 2 xx upotrebimo znanje iz kvadratne nejednačine!!! (podseti se) 023 2 =− xx
320
622
2
1
2,1
=
=
±=
x
x
x
Pa je oblast definisanosti: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪−∞∈ ,
32)0,(x
www.matematiranje.com
4
b) Nule f-je su rešenja jednačine y=0 Znači: 0)23(log 2 =− xxa Kako je 01log =a to mora biti:
31
16
420123
123
2
1
2,1
2
2
−=
=
±=
=−−
=−
x
x
x
xxxx
Dakle ova funkcija ima nule 11 =x i 31
2 −=x
c) 0)23(log 2 =−= xxy a ⎭⎬⎫
==
25
ya zamenimo
2)23(log 2
5=− xx
Idemo po definiciji ⊗=⇔⊗= ABBAlog
166
35
610
682
0523523
523
2
1
2,1
2
2
22
−=−
=
==
±=
=−−
=−
=−
x
x
x
xxxxxx
www.matematiranje.com
1
LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Pre nego što krenete u reševanje jednačine savetujemo vam da se podsetite pravila za logaritme. 1) Rešiti jednačine:
a) 2)32(log3 =+x b) 3)43(log4 =+x
c) 2113log =+x
Rešenje: a) 2)32(log3 =+x → Iskoristićemo definiciju ⊗=⇔⊗= ABBAlog Dakle:
362
932332 2
==
=+=+
xxxx
uz uslov
2332
032
−>
−>>+
x
xx
Pošto je 233 −> , rešenje x = 3 je ‘’dobro’’
b) 3)43(log4 =+x → Opet po definiciji
20603
6443443 3
==
=+=+
xxxx
uslov
3443
043
−>
−>>+
x
xx
Rešenje zadovoljava uslov!!!
v) 2113log =+x → Primetimo da nema osnova, pa dopišemo 10 po dogovoru,.
www.matematiranje.com
2
2113log10 =+x
21
1013 =+x uz uslov kvadriramox 2/().......1013 =+
393
==
xx
313 −> , dobro je rešenje.
2) Rešiti jednačine: a) 2)2(log)1(log 22 =++− xx b) 2)8log()19log( 2 =−−+ xx v) 13log2)5log( =−+− xx Rešenja: a) Iskoristićemo )(logloglog xyyx aaa =+ 2)2(log)1(log 22 =++− xx →=+− 2)2)(1(log2 xx Uslovi 01>−x i 02 >+x 1>x i 2−>x Dalje po definiciji:
32
25106
4222)2)(1(
2
1
2,1
2
2
2
−==
±−=
=−+
=−−+
=+−
xx
x
xxxxx
xx
Dalje se pitamo da li rešenja zadovoljavaju uslove: 1>x i 2−>x → Zadovoljava 32 −=x → Ne zadovoljava Dakle, jedino rešenje je
31
013013
−>
>+>+
x
xx
),1( ∞∈x
21 =x
2=x
www.matematiranje.com
3
b) 2)8log()19log( 2 =−−+ xx Dopišemo najpre osnovu 10
2)8(log)19(log 102
10 =−−+ xx
Pošto je yxyx aaa logloglog =−
2819log
2
10 =−+
xx naravno uz uslove: 0192 >+x i 08 >−x
8>x
991
282100
081910080010019
)8(10019
100819
10819
2
1
2,1
2
2
2
2
22
==
±=
=+−
−=+
−=+
=−+
=−+
xx
x
xxxxxx
xxx
x
Oba rešenja ‘’dobra’’ jer su veća od 8 v)
2
log(5 ) 2log 3 1
log(5 ) log 3 1log(5 ) log(3 ) 1
x x
x xx x
− + − =
− + − =− + − =
Uslovi su:
5
505
<−>−>−
xx
x i
3303
<−>−>−
xx
x
Dakle uslov je 3x <
www.matematiranje.com
4
68,0114
32,7114
1142
)114(22
11282
448
0580103515
10)3)(5(
2
1
2,1
2
2
1
≈−=
≈+=
±=±
=±
=±
=
=+−
=−+−−
=−−
x
x
x
xxxxx
xx
1141 +=x ne zadovoljava uslov, pa je jedino rešenje: 114−=x
3) Rešiti jednačine: a) 02log3log2 =+− xx
b) 25log log 22xx + =
Rešenja: a) Uvodimo smenu tx =log uz uslov 0>x 02log3log2 =+− xx
12
213
023
2
1
2,1
2
==
±=
=+−
tt
t
tt
Vratimo se u smenu i
b) 25log log 22xx + = kako je
ab
ba log
1log =
22
1 5loglog 2
xx
+ = →Uvodimo smenu tx =2log uz uslove 0>x i 1≠x
→=+251
tt Sve pomnožimo sa 2t
10010
2log2
10
==
=
xx
x
1010
1log1
10
==
=
xx
x
www.matematiranje.com
5
212
435
0252522
2
1
2,1
2
2
=
=
±=
=+−
=+
t
t
t
tttt
Vratimo se u smenu : ili 4) Rešiti jednačine: a) 7logloglog 1642 =++ xxx
b) 32loglogloglog 812793 =⋅⋅⋅ xxxx
Rešenje: U oba primera ćemo koristiti da je:
xS
x aaS log1log =
a) uslov x>0
42
2log2
2
==
=
xx
x
2
2
21log
21
2
=
=
=
x
x
x
162
4log28log7
28log1log2log4
4/7log41log
21log
7logloglog7logloglog
42
2
222
222
222
1642
42
=⇒=
==
=++
⋅=++
=++=++
xx
xx
xxx
xxx
xxxxxx
www.matematiranje.com
6
b)
0)4)(2)(2(0)4)(4(4)(016
log16log32log
241
32log
41log
31log
21log
32loglogloglog
32loglogloglog
2
2222243
43
43
3333
3333
812793
432
=++−
=+−=−⇒=−
=⇒=
=
=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
ttttttt
txx
x
xxxx
xxxx
xxxx
odavde je t=2 ili t=-2 Kada se vratimo u smenu v v 5) Rešiti jednačine: a) 2)22(log)64(log 55 =−−− xx
b) 07log)45log()27log( =++−− xx
Rešenja
a) 2)22(log)64(log 55 =−−− xx
Kako je yxyx aaa logloglog =−
93
2log2
3
==
=
xx
x
913
2log2
3
=
=
−=−
x
x
x
www.matematiranje.com
7
14
235
045204254
102564)22(564
52264
22264log
2
1
2,1
2
2
5
==
±=
=+−
=⇒=+⋅−
−⋅=−
−=−
=−−
=−−
tt
t
tttsmena xxx
xx
xx
x
x
x
x
ili 012
==
x
x
Ovde je najbolje da proverimo rešenja u početnoj jednačini→ x=2 je jedino rešenje b) 07log)45log()27log( =++−− xx
10 10 10
10 10
log (7 2 ) log (5 4 ) log 7 0
log (7 2 ) 7 log (5 4 )............... /
(7 2 ) 7 5 449 7 2 5 449 7 2 5 4 0
4 7 2 44 0 / ( 1)4 7 2 44 0...................................
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
ANTILOGARITMOVANJE
smena
− − + + =
− ⋅ = +
− ⋅ = +
− ⋅ = +
− ⋅ − − =
− − ⋅ + = −
+ ⋅ − =2
1,2
1
2
27 44 0
7 152
411
x tt t
t
tt
=
+ − =− ±
=
== −
22242
2
==
=
x
x
x
www.matematiranje.com
8
Vratimo se u smenu: ili 112 −=x nema rešenja Uslovi su 027 >− x i 045 >+ x a rešenje je x=2 ih očigledno zadovoljava 6) Rešiti jednačine: a) 31 log 3xx x+ = b) 4 4log 2 3(log 1)2x xx − −= Ovo je tip zadataka gde moramo logaritmovati obe strane za odgovarajuću osnovu!!! a) 31 log
33 ................ / logxx x+ = 31 log
3 3log log 3xx x+ = važi bnb an
a loglog =
1111
1)1(log............log3loglog)log1(
22
2
33333
±=⇒=⇒+−=
+=+
+=⋅+=⇒+=+
tttttttt
ttttxsmenaxxx
Vratimo se u smenu:
1log3 =x ili 1log3 −=x 13=x ili 13−=x
3=x ili 31
=x
b) 4 4log 2 3(log 1)2x xx − −= → logaritmijemo za osnovu 4
4 4
2
log 2 3(log 1)4 4
4 4 4 4
4 4 4 2
4 4 4
log log 2(log 2) log 3(log 1) log 2(log 2) log 3(log 1) log 2
1(log 2) log 3(log 1)2
x xxx x xx x x
x x x
− −=− = −− = −
− = − ⋅
Smena tx =4log :
22242
2
==
=
x
x
x
www.matematiranje.com
9
213
457
037203342
3342)1(3)2(2
)1(23)2(
2
1
2,1
2
2
2
=
=
±=
=+−
=+−−
−=−
−=−
−=⋅−
t
t
t
tttttttt
ttt
ttt
Dakle:
3log4 =x ili 21log4 =x
34=x ili 21
4=x 64=x ili 2=x
Za logaritamske nejednačine koristimo iste ‘’trikove’’ kao za jednačine, ali vodimo računa:
1) Kad je osnova veća od 1 (a>1) prepisujemo znak nejednakosti jer je funkcija rastuća.
2) Kaj je osnova izmedju 0 i 1 (0<a<1) okrećemo znak nejednakosti jer je tada funkcija opadajuća.
Kad postavimo uslove tj. oblast definisanosti, nadjemo i rešimo nejednačinu, trebamo naći njihov presek. 1) Reši nejednačine: a) 0)43(log2 ≥+x b) 0)34(log
21 <−x
v) 1)53(log2 <−x Rešenje:
www.matematiranje.com
10
a) 0)43(log2 ≥+x uslov
133
143243
−≥−≥≥+≥+
xxxx o
ne okrećemo znak jer je osnova veća od 1 Sad upakujemo rešenje i oblast definisanosti.
Konačno: [ )∞−∈ ,1x b) 0)34(log
21 <−x uslov:
PAZI: Okrećemo znak!!!
144
1342134
>>
>−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>−
xxx
xo
Upakujemo ova dva: Konačno: ),1( ∞∈x
3443
043
−>
−>>+
x
xx
4334
034
>
>>−
x
xx
www.matematiranje.com
11
v) 1)53(log2 <−x uslov
3773
253253 1
<
<<−<−
x
xxx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
37,
35x
2) Rešiti nejednačine: a) xx log)2log( >− b) )8(log)62(log 5,05,0 +>+ xx Rešenja: a) xx log)2log( >− uslovi: 02 >−x i 0>x xx >− 2 2>x i 0>x 2>− xx Dakle 2>x 20 >x Ovo nema rešenja, pa cela nejednačina nema rešenja!!! b) )8(log)62(log 5,05,0 +>+ xx PAZI:Okreće se smer Uslovi:
2
682862
<−<−+<+
xxx
xx
2 6 0 8 03 8
x xx x
+ > ∧ + >> − ∧ > −
Uslovi daju : 3−>x
3553
053
>
>>−
x
xx
www.matematiranje.com
12
Upakujemo: )2,3(−∈x konačno rešenje 3) Rešiti jednačine: a) 0)65(log 2
3 <+− xx b) 3)34(log 2
5,0 −≥+− xx a) 0)65(log 2
3 <+− xx uslov Rešenje uslova
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−∈
255,
255x rešenje zadatka konačno rešenje dobijemo kad upakujemo ova dva
Dakle: Dakle:
23
215
065
2
1
2,1
2
==
±=
>+−
xx
x
xx
),3()2,( ∞∪−∞∈x
2
2
2
1,2
1
2
5 6 35 6 15 5 0
5 52
5 5 3,622
5 5 1,382
ox xx xx x
x
x
x
− + <
− + <
− + <
±=
+= ≈
−= ≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +∪⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∈
255,32,
255x
www.matematiranje.com
13
b) 3)34(log 2
5,0 −≥+− xx uslov:
2 3
32
2 3
2
2
2
1,2
1
2
4 3 (0,5)
14 32
4 3 24 3 84 3 8 04 5 0
4 62
51
x x
x x
x xx xx xx x
x
xx
−
−
− + ≤
⎛ ⎞− + ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠
− + ≤
− + ≤
− + − ≤
− − ≤±
=
== −
[ ]5,1−∈x Upakujemo rešenja:
[ ) ( ]5,31,1 ∪−∈x Konačno
13
224
034
2
1
2,1
2
==
±=
>+−
xx
x
xx
1
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trigonometrija je prvobitno predstavlja oblast matematike koje se bavila izračunavanjem nepoznatih elemenata trougla pomoću poznatih. Sam njen naziv potiče od dve grčke reči TRIGONOS- što znači trougao i METRON- što znači mera. Kako se definišu trigonometrijske funkcije? Posmatrajmo pravougli trougao ABC. a,b→ katete c→ hipotenuza 222 cba =+ → Pitagorina teorema
sin
cos
naspramna kateta ahipotenuza c
nalegla kateta bhipotenuza c
naspramna kateta atgnalegla kateta bnalegla kateta bctg
naspramna kateta a
α
α
α
α
= =
= =
= =
= =
PAZI: Sam simbol sin(cos,tg,ctg) sam za sebe ne označava nikakvu veličinu!!! Uvek mora da ima i ugao. Izračunajmo vrednost trigonometrijskih funkcija za uglove od ooo i 6045,30 . Najpre ćemo posmatrati polovinu jednakostraničnog trougla. Kao što znamo visina jednakostraničnog trougla je
2
3ah =
www.matematiranje.com
2
12sin 302 2
332cos30
2
1 1 3 3230 ( )33 3 3 3
23
230 3
2
o
o
o
o
anaspramna kateta a
hipotenuza a a
analegla kateta
hipotenuza aa
naspramna katetatg racionališemonalegla kateta a
analegla katetactg anaspramna kateta
= = = =
= = =
= = = = ⋅ =
= = =
Sada ćemo uraditi (po definiciju) i za ugao od o60 .
332sin 60
2
12cos 602
3260 3
2
326033
2
o
o
o
o
a
aa
aa
tg a
a
ctga
= =
= =
= =
= =
Za vrednost trigonometrijskih funkcija ugla od o45 upotrebićemo polovinu kvadrata. Kao što znamo dijagonala kvadrata je 2ad =
www.matematiranje.com
3
145
145
22
245cos
22
22
21
245sin
===
===
===
=⋅===
aa
katetanaspramnakatetanaleglactg
aa
katetanaleglakatetanaspramnatg
aa
hipotenuzakatetanalegla
aa
hipotenuzakatetanaspramna
o
o
o
o
Na ovaj način smo dobili tablicu: o30 o45 o60
sinα 21
22
23
cosα
23
22 2
1
tgα
33
1 3
ctgα 3 1
33
Naravno kasnije ćemo tablicu proširiti na sve uglove od .3600 oo → Osnovni trigonometrijski indetiteti:
1) 1cossin 22 =+ αα
2) ααα
cossin
=tg
3) ααα
sincos
=ctg
4) 1=⋅ αα ctgtg Da probamo da dokažemo neke od indetiteta:
1) =+ αα 22 cossin (pogledajmo definicije: ca
=αsin i cb
=αcos to da zapamtimo)=
2 2 2 2
2 2 2
a b a bc c c
++ = =(važi Pitagorina teorema, 222 cba =+ ) 12
2
==cc
www.matematiranje.com
4
2) ααα tg
ba
cbca
cbca
==⋅⋅
==cossin slično se dokazuje i za αctg
4) =⋅ αα ctgtg (zamenimo iz definicije, da je batg =α i bctg
aα = ) 1=⋅=
ab
ba
Baš lako, zar ne? Iz osnovnih indetiteta se mogu izvesti razne druge jednakosti:
1) Ako krenemo od:
→=+ 1cossin 22 αα ovo delimo sa α2cos 2 2
2 2 2
sin cos 1cos cos cos
α αα α α+ =
→=+α
α 22
cos11tg Odavde izrazimo α2cos
22
1cos1tg
αα
=+
Ako sad ovo zamenimo u:
2 2
22
22
22
2
22
2
sin cos 11sin 1
11sin 1
11 1sin
1
sin1
tg
tgtg
tg
tgtg
α α
αα
αα
ααα
ααα
+ =
+ =+
= −+
+ −=
+
=+
Ove dve identičnosti ćemo zapisati i koristiti ih u zadacima!!! Još jedna stvar, da izvedemo i trigonometrijske funkcije komplementnog ugla. Kako je kod pravouglog trougla o90=+ βα tj. komplementni su, važi:
www.matematiranje.com
5
Tj. Odakle ovo? sa slike (po definiciji) je
1) Date su katete pravouglog trougla a=8cm i b=6cm. Odrediti vrednost svih trigonometrijskih funkcija uglova α i β
www.matematiranje.com
αα
αα
αα
αα
tgctgctgtg
o
o
o
o
=−
=−
=−
=−
)90()90(
sin)90cos(cos)90sin(
αβαβαβαβ
tgctgctgtg====
sincoscossin
abctg
batg
cbca
=
=
=
=
α
α
α
α
cos
sin
bactg
abtg
cacb
=
=
=
=
β
β
β
β
cos
sin
cmcccc
bac
cmbcma
10100
366468
68
2
2
222
222
__________
==
+=
+=
+=
==
βα
βα
βα
βα
tgabctg
ctgbatg
cbca
====
====
====
====
43
86
34
68
sin53
106cos
cos54
108sin
6
2) Izračunati vrednost trigonometrijskih funkcija nagibnog ugla dijagonale kocke prema osnovi. Izvučemo na stranu ovaj trougao: Kao što znamo mala dijagonala je 2ad = , a velika dijagonala (telesna) 3aD = . Po definicijama je:
1 1 3 3sin33 3 3 3
2 2 2 3 6cos33 3 3 3
1 1 2 222 2 2 2
2
aaaaatg
actg
α
α
α
α
= = = ⋅ =
= = = ⋅ =
= = = ⋅ =
=
3) Po definiciji je:
cmaa
aca
2,198,024
248,0
sin
=⋅=
=
=α
222 acb −= sad ide Pitagorina teorema
cmbbbb
4,1436,207
64,368576)2,19(24
2
2
222
==
−=
−=
www.matematiranje.com
??
8,0sin24
______________
==
==
ba
cmcα
7
4) Izračunati vrednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je: a) 6,0sin =α
b) 1312cos =α
v) 225,0=αtg Rešenje:
a) 53sin =α jer
53
1066,0 == najpre ćemo iskoristiti da je 1cossin 22 =+ αα
54cos
2516cos
2516cos
2591cos
1cos53
2
2
22
±=
±=
=
−=
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α
α
α
α
α
Pošto su oštri uglovi u pitanju:
4cos5
α = +
b)
135sin
16925sin
16925sin
1691441sin
11312
sin
1cossin1312cos
2
2
22
22
±=
±=
=
−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=+
=
α
α
α
α
α
αα
α
oštar ugao uzimamo +
5sin13
α =
341
43
5453
cossin
==
===
αα
ααα
tgctg
tg
512
125
1312135
cossin
=
===
α
ααα
ctg
tg
8
v) 409
1000225225,0 ===αtg
Iskoristićemo jednakosti:
419sin
419sin
168181sin
168181sin2
+=
±=
±=
=
α
α
α
α
940
14140cos
4140cos
16811600cos
16811600cos
16001681
1cos
11cos
2
2
22
=
=
+=
±=
±=
=
=
+=
α
αα
α
α
α
α
α
αα
ctg
tgctg
tg
www.matematiranje.com
1600160081
160081
sin
11600
811600
81
sin
1409409
sin
1sin
2
2
2
2
2
2
22
+=
+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
+=
α
α
α
αα
αtg
tg
9
96cos
)9(36cos
)9(36cos
2
22
2
22
22
+=
+=
+=
aaa
a
aa
α
α
α
5) Izračunaj vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:
a) 99sin 2
2
+−
=aaα
b) a
actg4
42 −=α
a)
2
2
sincos
99
tg
aatg
ααα
α
=
−+=
2
69
aa +
2
2
966
9
atgaactg
a
α
α
−=
=−
b)
www.matematiranje.com
22
24242
22
22222
22
222
2
2
22
22
22
)9(81188118cos
)9()9()9(cos
)9()9(1cos
991cos
sin1cos1cossin
+−+−++
=
+−−+
=
+−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−=
−=
=+
aaaaa
aaa
aa
aa
α
α
α
α
αα
αα
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2 22
2
2 2
22
2 4 2
22
4 2
2
2 2
2
4 44 4
sin1
44sin
4 14
16( 4)sin16 1
( 4)16sin
16 8 1616sin8 16
16sin( 4)4sin
4
a actg tga atg
tg
aa
aa
aa
aa
aa a a
aa a
aaa
a
α α
ααα
α
α
α
α
α
α
−= ⇒ =
−
=+
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠=
⎛ ⎞ +⎜ ⎟−⎝ ⎠
−=+
−
=+ − +
=+ +
=+
=+
44cos
)4()4(cos
)4()4(cos
)4()4(
1cos
)4()4(16
1cos
14
41cos
11cos
2
2
22
22
22
222
22
222
22
2222
2
2
2
22
+−
=
+−
=
+−
=
−+
=
−−+
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
=
+=
aa
aa
aaaa
aaa
aa
tg
α
α
α
α
α
α
αα
10
6) Dokazati identitet tgxx
tgxx
tgx 2cos
11cos
11 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
xxx
xxx
xtgx
xtgx
cos1
cossin1
cos1
cossin1
cos11
cos11
=−+
⋅++
xxx
xxx
cos1sincos
cos1sincos gore je razlika kvadrata
=−+
xxx
2
22
cos1)sin(cos (jedinicu ćemo zameniti sa xx 22 cossin + )
2 2 2 2
2
cos 2cos sin sin sin cos 2 coscos
x x x x x x xx
+ + − −=
2
sincos
x
sin2 2cos
xx tgxx
=
= =
7) Dokazati da je: a) 272cos54cos36cos18cos 2222 =+++ oooo Pošto važi da kad je o90=+ βα βα sincos = , o54cos ćemo zameniti sa o36sin a
o72cos ćemo zameniti sa o18sin . Onda je: =+++ oooo 72cos54cos36cos18cos 2222 2 2 2 2cos 18 cos 36 sin 36 sin 18o o o o+ + + =
211 =+= b) =⋅⋅⋅⋅ ooooooo tgtgtgtgtgtgtg 89...464544...321 1 = Kako je βα ctgtg = )90( o=+ βα Biće= oooooooo ctgctgctgtgtgtgtgtg 12...444544...321 ⋅⋅⋅⋅⋅ = Kako je 1=⋅ αα ctgtg 145...11 =⋅⋅⋅= otg
www.matematiranje.com
11
8) Dokazati identitet 26 6
3 ( )1 sin cos
tg ctgα αα α
= +− −
=+−
=−− )cos(sin1
3cossin1
36666 xxxx
Pokušaćemo da transformišemo izraz
xx 66 cossin − Podjimo od 1cossin 22 =− xx pa ‘’dignemo’’ na treći stepen: 32233 33)( BABBAABA +++=+
1cos)cos(sincossin3sin1coscossin3cossin3sin
/()1cossin
6
1
22226
642246
322
=+++
=+++
=+
xxxxxxxxxxxx
xx
44 344 21
Dakle: xxxx 2266 cossin31cossin −=+ Vratimo se u zadatak:
xxxxxx 222222 cossin
1cossin3
3cossin311
3==
+−=
Da vidimo sad desnu stranu: αααααα 222 2)( ctgctgtgtgctgtg ++=+
αα
αααα
αααααα
αα
αα
22
22
222
22
4224
2
2
2
2
cossin1
cossin)cos(sincossin
coscossin2sinsincos2
cossin
=
+=
++=
++=
Ovim smo dokazali da su leva i desna strana jednake: Uslov je
0cos0sin0cossin
1cossin311cossin
0cossin1
22
22
66
66
≠∧≠≠
≠−
≠−
≠−−
αααα
αα
αα
αα
www.matematiranje.com
TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili šta je to radijan, posmatraćemo kružnicu poluprečnika R .Obim kružnice se računa po formuli O= 2Rπ , a znamo da je
14,3≈π .Ako uzmemo deo te kružnice (kružni luk) koji je dužine baš R , njemu odgovara neki centralni ugao ϕ . Mera centralnog ugla koji odgovara luku dužine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2π radijana. Odnosno: 3600=2π radijana 1800=π ZAPAMTI
Važi dakle:
radijana
radijana
radijana
6060180``1
601801̀
18010
∗∗=
∗=
=
π
π
π
I obrnuto: ``45`17571801 00
≈=π
rad
Primer 1: Nađi radijansku meru ugla od:
`3082)245)75)
0
0
0
vba
Rešenje: a) Kako je radijana180
10 π= to je
125
18075750 ππ
==
b) 36
49180
2452450 ππ==
v) 24
1160180
30180
82`30820 πππ=
∗+=
www.matematiranje.com
Primer 2. Naći meru u stepenima ugla čija je radijanska mera:
radijanav
b
a
5)6
11)
43)
π
π
Rešenje:
``45`28286``45`88285``225`85285
``)45`1757(55)
330618011
611)
13541803
43)
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=∗
=
=∗
=
radijanav
b
a
π
π
Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajedničkim početkom.A možemo razmišljati i ovako:Uočimo jednu polupravu koja može da se obrće oko svoje početne tačke O.Pri obrtanju ćemo razlikovati dva smera: POZITIVAN – smer suprotan od smera kretanja kazaljke na časovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke časovnika. Ako obeležimo sa a početni a sa b završni položaj poluprave nakon obrtanja oo tačke O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO.
O a
b
TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprečnika 1 čiji je centar u koordinatnom početku.
www.matematiranje.com
0
x
y
A(1,0).
Tačka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POČETNA tačka. Na trigonometrijskom krugu ćemo posmatrati različite lukove koji svi počinju u tački A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako:
x
y
.π2
23π
2π
0
III
III IV
iz I kvadranta: 2
0 πα <<
iz II kvadranta : παπ<<
2
iz III kvadranta : 2
3παπ <<
iz IV kvadranta : παπ 22
3<<
www.matematiranje.com
Uglovi 0, 2π , π ,
23π , su granični i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.
Uglove čije ćemo vrednosti očitavati sa trigonometrijskog kruga su sledeći:
0 360 2o o π= =
306
o π=
603
o π=
454
o π=
902
o π=
21203
o π=
31354
o π=
51506
o π=
180o π=
72106
o π=
52254
o π=42403
o π=
32702
o π=
53003
o π=
113306
o π=
73154
o π=1−
1
11−
Sinus i kosinus proizvoljnog ugla Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x osom, tj, sa početnom tačkom A(1,0), drugi krak seče trigonometrijski u nekoj tački M(x0,y0). Iz te tačke spustimo normale na x i y osu. Te dužine su: - Na x-osi cosα ( cosα =x0) - Na y-osi sinα (sinα =y0)
www.matematiranje.com
x
y
.
sin
cos
M(x ,y )00
Evo našeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih “ pročitate” sa kruga. Zapamtimo tri broja:
21 ,
22 ,
23
koji su poređani od najmanjeg do najvećeg.
Broj u sredini 22 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata!
Znači sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost 22 , samo vodimo računa da li
je ta vrednost +22 ili -
22 .
Evo to na slikama , pa će biti jasnije:
0
x
y
.1
145 0
sin 450=cos450=22
www.matematiranje.com
0
x.
y
1
-1
1350
sin 1350=22 a cos 1350= -
22
x
y
.
2250
-1
-1
sin 2250= - 22 cos 2250= -
22
x
y
.
3150
1
-1
sin 3150= - 22 a cos 3150=
22
www.matematiranje.com
Ta ostale uglove vrednosti će biti 22 ili
23 , naravno opet gledamo da li je + ili - .
Evo par primera: Primer1. Nađi sin 600 i cos 600
x
y
.
sin 60
cos 600
0
600
Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to će vrednosti za sin 600 i cos 600 biti 21 i
23 i to obe
pozitivne.Pošto je crta za sin 600 duža, ona mora biti 23 (jer je veći broj) a cos 600 je
21 jer je crta tu kraća.
Dakle: sin 600=23 i cos 600 =
21
Primer 2. Nađi sin1500 i cos 1500
x
y
.sin 150
cos 150
1500
0
0
Crta za sin1500 je kraća i pozitivna a crta za cos 1500 je duža i negativna, pa je : sin1500=21 a cos 1500=-
23
Primer 3.
Nađi sin3
4π i cos3
4π .
Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to 3
4π = 2400
x
y
.
sin240
cos240
240
0
0
0
Znači, radi se o uglu u trećem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetićemo da su obe vrednosti negativne,
sinus je duži a kosinus kraći. Zaključujemo: sin3
4π = -23 i cos
34π = -
21
Primer 4. Nađi sin(- 300) i cos(- 300) Ovaj ugao, pošto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300.
x
y
.
sin(-30 )
cos(-30 )
-30
0
0
0
sin(- 300) = sin 3300=-21 i cos(- 300)=cos3300=
23
Da pogledamo šta je sa uglovima od 0, 2π , π ,
23π
www.matematiranje.com
x
y
.10
0
Kraci ovog ugla se poklapaju , x osu seku do jedinice, a y osu nigde, zato je cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)
x
y
.
1
900
Ugao od 900 seče y osu po celoj crti a x osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0
x
y
.0
180-1
sin 1800=0 cos 1800= - 1
www.matematiranje.com
0
x
y
.
-1270
sin2700=-1 cos 2700=0 Tangens i kontangens proizvoljnog ugla
Već smo se ranije upoznali sa formulama ααα
cossin
=tg i ααα
sincos
=ctg , naravno pod uslovima da
su imenioci različiti od nule.
Možemo zaključiti da je tgα definisan za cosα ≠ 0 ,odnosno za α ≠2π +k π , k∈Z
A ctgα za sinα ≠ 0, odnosno za α ≠ k π , k∈Z To znači da ako znamo da nađemo sinα i cosα , znamo i tgα i ctgα Primer 1. Nađi:
a) tg4π
b) ctg 3000
a) tg4π = tg 450=
22
22
45cos45sin
0
0
= =1
b) ctg 3000=33
23
21
300sin300cos
0
0
−=−
=
www.matematiranje.com
Naučimo sada gde se čitaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uočimo pravu x=1. Ona očigledno prolazi kroz tačku A(1,0) i paralelna je sa y osom.Jedan krak datog ugla α opet poklopimo sa x osom a drugi krak će seći ovu pravu x=1 koju ćemo zvati TANGENSNA osa . Odsečak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tgα . Evo to na slici:
y
.A(1,0)
tg
tangensna osa
x
y
.A(1,0)
tg
tangensna osa
Uočimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz tačku B(0,1) i paralelna je x osi. Tu pravu ćemo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj ćemo očitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:
x
y
.
tg
x
y
.
tg tangensna osac koB(0,1)
www.matematiranje.com
Ovde razmišljamo slično kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja :
33 , 1, 3
Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45,135,225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo dužinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna.
Veća crta je 3 , a manja je 33
Evo nekoliko primera:
x
y
.
tg45
ctg45
45
0
0
0
tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1.
x
y
.120
tg120
ctg1200
0
0
PAZI: Pošto krak ugla ne seče tangensnu osu ,moramo ga produžiti do preseka sa osom. Uočimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens duži a kotangens kraći!
Dakle : tg 1200= - 3 i ctg 1200= - 33
www.matematiranje.com
x
y
.
tg240
ctg240
240
0
0
0
tg2400= 3 i ctg 2400=33 (uoči dužine ovih podebljanih crta)
Šta je sa graničnim uglovima?
x
y
.π2
23π
2π
0
Za 0 stepeni vidimo da ugao ne seče nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kažemo da ctgx teži beskonačnosti kad x teži nuli u pozitivnom smeru. Slično je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens teži - ∞ . Za ugao od 900 je obrnuta situacija: ctg900=0 a tg900 teži +∞ . Za ugao od 2700 je ctg2700=0 a tg2700 teži - ∞ .
www.matematiranje.com
0 360 2o o π= =
306
o π=
603
o π=
454
o π=
902
o π=
21203
o π=
31354
o π=
51506
o π=
180o π=
72106
o π=
52254
o π=
42403
o π=
32702
o π=
53003
o π=
113306
o π=
73154
o π=
12
12
−
22
−
22
32
32
−
1−
1
12
12
−
32
32
−
22
22
−
11−
Evo male pomoći za one koji su naučili da se snalaze na krugu!
www.matematiranje.com
1
SVODJENJE NA I KVADRAT Kao što smo videli do sada, trigonometrijske funkcije uglova I kvadranta izračunavaju se na isti način kao trigonometrijske funkcije oštrih uglova pravouglog trougla. Pokazaćemo da se preko formula, trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla mogu izraziti preko trigonometrijskih funkcija odgovarajućeg ugla I kvadranta. Taj postupak se zove svodjenje na I kvadrat. 1) Iz II u I kvadrant
Važe formule za: 2
0
Primeri: a) oooo 25cos)2590sin(115sin a može i: sin115 sin(180 65 ) sin 65o o o o Naravno, već smo videli ‘’veze’’ u I kvadrantu i znamo da je oo 65sin25cos . Tako da možete upotrebiti bilo koju formulu iz ove dve grupe.
b) 2
2
4cos
4cos
4
3cos
v) oooo tgtgtg 3939180141
g) oooo tgctgctg 111190101
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
0
0
0
0
sin cos odnosno sin 90 cos2
cos sin odnosno cos 90 sin2
odnosno 902
odnosno 902
tg ctg tg ctg
ctg tg ctg tg
0
0
0
0
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
:
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
(180 )
(180 )
tg tg
ctg ctg
odnosno
tg tg
ctg ctg
2
2) iz III u I kvadrant Opet imamo dve grupe formula: Primeri:
a) 4 3 3
sin sin sin sin3 3 3 3 3 2
b) oooo 27cos27180cos207cos
v) oooo ctgtgtg 77270263
g) 3666
7
ctgctgctg
3) Iz IV u I kvadrant Ako posmatramo negativan ugao )( : sin(- ) = - sin cos(- ) = cos tg(- ) = tg ctg(- ) = -ctg Ovo nam govori da je jedino cos parna funkcija (jer ‘’uništava’’ minus a sve ostale su neparne)
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
0
0
0
0
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
to jest:
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
(180 )
(180 )
tg tg
ctg ctg
tg tg
ctg ctg
0
0
0
0
3sin cos tj. sin 270 cos
2
3cos sin tj. cos 270 sin
2
3 tj. 270
2
3 tj 270
2
tg ctg tg ctg
ctg tg ctg tg
0
0
0
0
3sin cos tj. sin 270 cos
2
3cos sin tj. cos 270 sin
2
3 tj. 270
2
3 tj. 270
2
tg ctg tg ctg
ctg tg ctg tg
3
Primeri: a) oooo 37cos37270sin307sin
b) 2
330cos30cos oo
v) 3
3
666
11
tgtgtg
g) 3
3 3 3ctg ctg
Što se tiče periodičnosti funkcija xsin i xcos već smo uočili da važi:
0
0
sin( 2 ) sin odnosno sin( 360 ) sin
cos( 2 ) cos odnosno cos( 360 ) cos
k k
k k
za k koji je bilo koji ceo broj. Dakle: osnovni period finkcija xsin i xcos je 2T odnosno oT 360 Primeri: a) o1170sin (oduzmimo od o1170 po o360 dok se ne dodje ‘’ ispod’’ o360 )
oo
oo
ooo
90360450
450360810
8103601170
Pa je: 190sin1170sin oo ili možemo zapisati: ooo 90sin)2390sin(1170sin b) o780cos (sličan postupak)
ooo
ooo
60360420
420360780
Pa je 2
160cos780cos oo tj.
2
160cos)36060cos(780cos oooo
Za tangense i kotangense važi:
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
4
0
0
( ) odnosno ( 180 )
( ) odnosno c ( 180 )
tg k tg tg k tg
ctg k ctg tg k ctg
Dakle: osnovni period funkcija tgx i ctgx je T odnosno oT 180 Primeri: a) otg750 (odavde od o750 oduzmemo po o180 dok se ne ‘’ spustimo’’ ispod o180 )
3
330750
30180210
210180390
390180570
570180750
oo
ooo
ooo
oo
ooo
tgtg
b) 33011101110 ooo ctgctgctg jer je ooo 3018061110
ZADACI:
1) Uprostiti izraz: ooo
ooo
ctg
tg
780cos1860sin405
1140390cos750sin
Rešenja: Najpre ćemo upotrebom formula sve prebaciti u I kvadrant!!!
_________________________________________________________
1sin 750 sin(30 2 360 ) sin 30
2
3cos390 cos(30 360 ) cos30
2
1140 (60 6 180 ) 60 3
405 (45 2 180 ) 45 1
sin1860 sin(60
o o o o
o o o o
o o o o
o o o o
o o
tg tg tg
ctg ctg ctg
3
5 360 ) sin 602
1cos 780 cos(60 2 360 ) cos 60
2
o o
o o o o
Vratimo ova rešenja u početni zadatak:
1sin 750 cos390 1140 2
405 sin1860 cos 780
o o o
o o o
tg
ctg
32
3
31
2
12
3
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
5
2) Uprosti izraz:
38
sin4
7cos
310
417
37
sin6
17cos
ctg
tg
Slično kao u prethodnom zadatku, sve prebacujemo u I kvadrant.
_____________________________________
17 17 180 3cos cos cos510 cos150 cos(180 30 ) cos30
6 6 2
7 6 3sin sin sin 2 sin sin 60
3 3 3 3 3 2
17 164 45 1
4 4 4 4 4
oo o o o o
o
otg tg tg tg tg
____________________________________
10 9 33 60
3 3 3 3 3 3
7 7 180 2cos cos cos315 cos( 45 ) cos 45
4 4 2
8 2 6 2 2 2 180sin sin sin 2 sin sin sin120
3 3 3 3 3 3
o
oo o o
oo
ctg ctg ctg ctg ctg
sin(90 30 )
3cos30
2
o o
o
Zamenimo ove vrednosti u zadatak:
317 7 17cos sin
6 3 410 7 8
cos sin3 4 3
tg
ctg
2
32
1
3
23 2
3
2
3 3 2 3 2
22 2 2
3) Dokazati indetitet:
tg2
1
cos)cos(
)sin(2sin
Kod indetiteta krenimo od jedne strane i transformišemo je, dok ne dodjemo do druge strane.
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
6
Važi:
cos)cos(
sin)sin(
sin 2sin( ) sin 2sin sin
cos( ) cos cos cos 2cos
1 sin 1
2 cos 2tg
4) Dokazati indetitet:
sin)()2cos(
)cos(22
3cos
tg
ctg
Važi:
tgtg
tgctg
)(
cos)2cos(
cos)cos(
2
sin2
3cos
Pa je:
3cos cos( )
( sin ) ( )2 2cos(2 ) ( )
ctgtg
tg
(cos )(cos ) ( )tg
sin
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
1
ADICIONE FORMULE Zbir uglova
sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin
( )1
1( )
tg tgtgtg tg
ctg ctgctgctg ctg
α β α β α βα β α β α β
α βα βα βα βα ββ α
+ = ++ = −
++ =
− ⋅⋅ −
+ =+
Razlika uglova
αββαβα
βαβαβα
βαβαβαβαβαβα
ctgctgctgctgctg
tgtgtgtgtg
−+⋅
=−
⋅+−
=−
+=−−=−
1)(
1)(
sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(
Primećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni znaci!!! Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a ‘’bezobrazni’’ profesori im ne daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite ‘’asocijaciju’’ koja će vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju ‘’asocijaciju’’: Zapamtite dve male ‘’pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:
βαβαβα sincoscossin)sin( +=+ ∧ ( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+ “sin - ko više ko-si “ “kosi-kosi manje sine-sine” Uvek prvo pišite ugao α pa β Za )( βα +tg znamo da je:
βαβαβαβα
βαβαβα
sinsincoscossincoscossin
)cos()sin()(
++
=++
=+tg (sad gde vidite sinus zamenite
ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) βαβα
βαβα
tgtgtgtg
tgtgtgtg
−+
=−⋅
⋅+⋅=
11111
www.matematiranje.com
2
Za cos( ) cos cos sin sin( )sin( ) sin cos cos sin
ctg α β α β α βα βα β α β α β+ −
+ = = =+ +
(zamenite sinus sa 1, a kosinus
sa kotanges) αββα
αββα
tgctgctgctg
ctgctgctgctg
+−⋅
=⋅+⋅⋅−
=1
1111
Znači zapamtili smo ‘’sinko više kosi’’ i ‘’kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smo formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!! 1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od a)15, 75, i b) 105 stepeni a)
= racionališemo sa 3 33 3−−
= ( ) ( ) 326
3266
361239
3369
33
3322
2
−=−
=−
=−
+−=
−
−
Naravno otg15 smo mogli izračunati i lakše o
ootg
15cos15sin15 = …
323432
3232
321
15115 +=
−+
=++
⋅−
== oo
tgctg
www.matematiranje.com
sin15 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30
2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4
cos15 cos(45 30 )cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4
45 3015 (45 30 )1 45 30
3 331 3331
3
o o o
o o o o
o o o
o o o o
o oo o o
o o
tg tgtg tgtg tg
= −
= ⋅ −
−= ⋅ − ⋅ =
= −
= +
+= ⋅ + ⋅ =
−= − =
+
−−
= =+
3 33+
3 33 3−
=+
3
( )
( )
sin 75 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30
2 3 2 12 2 2 22 3 1
4cos 75 cos(45 30 )
cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 3 2 12 2 2 22 3 1
4
o o o
o o o o
o o o
o o o o
= +
= +
= ⋅ + ⋅
+=
= +
= −
= ⋅ − ⋅
−=
( )( ) =
−+
=−
+
==1313
4132
4132
75cos75sin75 o
ootg (moramo opet racionalizaciju)
( )
323232
321
75175
322
3222
32413
13231313
1313
−=−−
⋅+
==
+=+
=+
=−
++=
++
⋅−+
=
oo
tgctg
b) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= oooo 15
2sin)1590sin(105sin π (imamo formulu) == o15cos
(a ovo smo već našli) 4
)13(2 +=
Naravno, isto bismo dobili i preko formule ( )ooo 4560sin105sin +=
2( 3 1)cos105 cos 15 sin152 4
105 15 15 ( 2 3)2
105 15 15 ( 2 3)2
o o o
o o o
o o o
tg tg ctg
ctg ctg tg
π
π
π
−⎛ ⎞= + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
opet ponavljamo da može I ideja da je 0105 (60 45 )o otg tg= + …itd.
www.matematiranje.com
4
2)a) Proveri jednakost 2110sin20cos10cos20sin =+ oooo
=+ oooo 10sin20cos10cos20sin (ovo je: )sin(sincoscossin βαβαβα +=+ )
2130sin)1020sin( ==+= ooo
b) 2317sin47sin17cos47cos =+ oooo
=+ oooo 17sin47sin17cos47cos (ovo je: )cos(sinsincoscos βαβαβα −=+ )
2330cos)1747cos( ==−= ooo
3) Izračunati )sin( βα + , ako je 135cos,
53sin −=+= βα i ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
23,,,
2ππππα
sin( ) sin cos cos sinα β α β α β+ = ⋅ + ⋅ Znači ‘’fale’’ nam αcos i βsin . Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti:
1312sin
169144sin
169144sin
16925169sin
1351sin
cos1sin1cossin
2
2
22
22
22
±=
±=
=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
−=
=+
β
β
β
β
β
ββ
ββ
ovde su sinusi negativni Dakle: Dal da uzmemo + ili – to nam govori lokacija ugla
Ovde su kosinusi negativni! Znači da je 4cos5
α = −
54cos
2516cos
2516cos
25925cos
2591cos
531cos
sin1cos1cossin
2
2
2
22
22
22
±=
±=
=
−=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
=+
α
α
α
α
α
α
αα
αα
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ ππα ,
2
12sin13
β = −
5
Vratimo se da izračunamo ( )βα +sin
( )6533
6548
6515
1312
54
135
53sin =+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=+ βα
4) Izračunati ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
4tg za koje je
1312sin =α i ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∈ ππα ,
2
αα
απ
απ
απtgtg
tgtg
tgtgtg
−+
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11
41
44
Pošto je ααα
cossin
=tg , znači moramo naći αcos
Vratimo se u zadatak:
Da li uzeti + ili – ? ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ ππα ,
2
Ovde su kosinusi negativni!!! Dakle
www.matematiranje.com
135cos
16925cos
16925cos
169144169cos
1691441cos
1cos1312
1cossin
2
2
2
22
22
±=
±=
=
−=
−=
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=+
α
α
α
α
α
α
αα
5cos13
α = −
512135
1312
−=
−=
α
α
tg
tg
1215
124 15
775
174 175
tg
tg
π α
π α
−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +
−⎛ ⎞+ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠
6
5) Ako su α i β oštri uglovi i ako je 21
=αtg i 31
=βtg pokazati da je 4πα β+ =
Ispitajmo koliko je ?)( =+ βαtg
1
6565
31
211
31
21
1)( ==
⋅−
+=
−+
=+βαβαβα
tgtgtgtgtg
Znači: 1)( =+ βαtg , ovo je moguće u 2 situacije: o45=+ βα ili o225=+ βα pošto su α i β oštri uglovi, zaključujemo:
o45=+ βα tj. 4πβα =+
6) Dokazati da je ,)()32( 2 tgyyxtgytg =−+ ako je 032 =− tgytgx =−+ )()32( 2 yxtgytg
=+−
⋅+tgxtgy
tgytgxytg1
)32( 2 (pošto je 032 =− tgytgx zaključujemo 2
3tgytgx = )
2
22
2
32(2 3 ) 31
23 2
2(2 3 )2 3
2
(2 3 )
tgy tgytg y tgy tgy
tgy tg
tg ytg y
tg y
−+ ⋅ =
+ ⋅
−
+ ⋅ =+
+2
3 22 3tgy tgy
tg y−
⋅+
tgy=
Ovim je dokaz završen. 7) Dokazati identitet: sin( )cos( ) 1
tg tgtg tg
α β α βα β α β+ +
=− +
sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin
α β α β α βα β α β α β+ +
= =− +
(sada ćemo izvući: βα coscos i gore i
dole) www.matematiranje.com
7
cos cosα β
=
sin sincos cos
cos cos
α βα β
α β
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠1sin sin1
cos cos
tg tgtg tgα βα βα β
α β
+=
+ ⋅⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
8) Ako je 2
1,1212
=−+
= βα tgtg i , 0, ,2πα β ⎛ ⎞∈⎜ ⎟
⎝ ⎠ dokazati da je
4πα β− =
Sredimo prvo izraze αtg i βtg
1212
−+
=αtg (izvršimo racionalizaciju)
( )2
2 2
2 12 1 2 1 2 2 2 12 12 1 2 1 2 1
3 2 2
tg
tg
α
α
++ + + += ⋅ = =
−− + −
= +
1 1 2 2
22 2 22
2
tg
tg
β
β
= = ⋅ =
=
( )
23 2 22( ) 2 je zajednički i gore i dole=
1 21 3 2 22
6 4 2 2 6 3 22 2 1
2 3 2 4 6 3 22 2 2 2
tg tgtgtg tgα βα βα β
+ −−− = = =
+ ⋅+ +
+ − +
= = =+
+ +
Dakle 1)( =− βαtg , to nam govori da je o45=− βα ili o225=− βα . Pošto u zadatku
kaže da je ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
2,0, πβα zaključujemo o45=− βα tj.
4πβα =− što je i trebalo
dokazati!
www.matematiranje.com
1
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA Formule su: 1. ααα cossin22sin = 2. ααα 22 sincos2cos −=
3. ααα 21
22tgtgtg−
=
4. α
ααctg
ctgctg2
122 −
=
Primeri:
1) a) α
αα 2122sin
tgtg
+= Dokazati.
sin 2 2sin cosα α α= = (uvek možemo u imenioci dopisati 1, zar ne?)=
2 2
2sin cos 2sin cossin 21 sin cosα α α αα
α α= = =
+ (trik: izvučemo zajednički i gore i dole
α2cos )=
2cos α
2
2sincos
cos
αα
α
⋅2 22
2
2 21 1sin 1
cos
tg tgtg tg
α αα αα
α
= =+ +⎛ ⎞
⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
b) ααα 2
2
112cos
tgtg
+−
= Dokazati.
=+−
=−
=−=ααααααααα 22
222222
cossinsincos
1sincossincos2cos (isti trik izvučemo
α2cos i gore i dole)
22
2 2 2
2 222
2
sincos 1cos 1 1 ,
1 1sincos 1cos
tg tgtg tg
ααα α α
α αααα
⎛ ⎞−⎜ ⎟ − −⎝ ⎠= = =
+ +⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
što je i trebalo dokazati.
www.matematiranje.com
2
v) ααα 3sin4sin33sin −= Dokazati. →+= )2sin(3sin ααα Iskoristimo formulu sin( ) sin cos cos sin⊕+ = ⊕ + ⊕ →+= αααα sin2coscos2sin sad formule za dvostruki ugao
ααα
ααααα
αααααα
32
322
22
sincossin3sincossincossin2
sin)sin(coscos)cossin2(
−=
−+=
⋅−+=
(sad ćemo iz 1cossin 22 =+ αα izraziti αα 22 sin1cos −= )
2 3
3 3
3
3sin (1 sin ) sin3sin 3sin sin3sin 4sin
α α α
α α α
α α
= − −
= − −
= −
g) 54cos =α Nadji vrednosti za dvostruke uglove ako je α u IV kvadrantu.
Najpre ćemo izračunati αsin
259sin
259sin
25161sin
541sin
cos1sin1cossin
2
2
22
22
22
±=
=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
=+
α
α
α
α
αα
αα
53sin ±=α , pošto je ugao iz IV kvadranta uzećemo da je
53sin −=α
Sada je:
www.matematiranje.com
3
724
2572524
2cos2sin2
257
259
2516
53
54
sincos2cos2524
54
532
cossin22sin
22
22
−=−
==
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
−=
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=
ααα
ααα
ααα
tg
2) sinα =0,6 i α pripada prvom kvadrantu, nadji vrednosti za dvostruke uglove. Sada ćemo prvo naći αcos 3)Dokazati
a) 4115cos15sin =oo
www.matematiranje.com
8,0cos8,0cos
64,0cos
64,0cos36,01cos
)6,0(1cossin1cos
1cossin
2
2
22
22
22
+=±=±=
=
−=
−=
−=
=+
ααα
α
α
α
αα
αα
2 2
2 2
sin 2 2sin cos2 0,6 0,8
3 4 2425 5 25
cos 2 cos sin
4 3 7 5 5 25
24sin 2 252 7cos 2
252427
tg
tg
α α α
α α α
ααα
α
== ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
=
4
sin15 cos15o o = (trik je da dodamo 22 )
==2
15cos15sin2 00
(ovo u brojiocu je formula za ααα cossin22sin = )
41
221
230sin
===o
b) ααα 2coscossin41 222 =−
2 21 4sin cosα α− = (pošto je formula ,cossin22sin ααα = to je ααα 2sincossin4 222 = )
pa je 2 21 4sin cosα α− = 2 21 sin 2 cos 2α α− = 4) Dokazati a) 12cossin2 2 =+ αα
1cossin
sincossin22cossin222
2222
=+=
−+=+
αα
ααααα
b) ααα 244 sin5,01sincos −=+ Da bi ovo dokazali podjimo od indentiteta: /1cossin 22 =+ αα Kvadriramo
4 2 2 4
4 4 2 2 2 2
2 24 4 2 2 2
4 4 2
4 4 2
sin 2sin cos cos 12sin cos 1 2sin cos ( dodamo izrazu 2sin cos )2
4sin cossin cos 1 (ovde je 4sin cos sin 2 )2
1sin cos 1 sin 22
sin cos 1 0,5sin 2
α α α α
α α α α α α
α αα α α α α
α α α
α α α
+ + =
+ = −
+ = − =
+ = −
+ = −
5) Dokazati indetitet: ααα 4cos832cos44cos =++ Rešenje: Poći ćemo od leve strane da dokažemo desnu.
www.matematiranje.com
5
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
cos 4 4cos 2 3cos 2 (2 ) 4(cos sin ) 3cos (2 ) sin (2 ) 4cos 4sin 3(cos sin ) (2sin cos ) 4cos 4sin 3(cos (1 cos )) 4sin cos 4cos 4sin 3 [zamenimo sin 1 cos ](2cos 1
α α
α α α
α α α α
α α α α α α
α α α α α α α α
α
+ + =
⋅ + − + =
− + − + =
− − + − + =
− − − + − + = = −
− 2 2 2 2 2
4 2
) 4cos (1 cos ) 4cos 4(1 cos ) 3
4cos 4cos
α α α α
α α
− − + − − + =
− 21 4cos α+ − 4 24cos 4cosα α+ + 24 4cos α− +4
38cos α
+ =
= A ovo smo trebali dokazati!!
6) Ako je 4,12
cos2
sin =+xx izračunati sin x
Rešenje: Kvadriraćemo datu jednakost.
2
2 2
sin cos 1,4 / ()2 2
sin 2sin cos cos 1,96 [ovde je 2sin cos sin ]2 2 2 2 2 2
x x
x x x x x x x
+ =
+ + = =
1 sin 1,96sin 1,96 1sin 0,96
xxx
+ == −=
7) Predstavi α3tg kao funkciju od αtg Rešenje:
2
22
2
23 (2 )1 22 (1 )2
1121
1
tg tgtg tgtg tg
tg tg tgtg tg tgtgtgtgtg
α αα α αα α
α α αα α ααααα
+= + = =
− ⋅
+ −+ −−= =
− ⋅−
2 2
2
1 21
tg tgtgα α
α− +
−3 3
2 2
2 31 1
tg tg tg tg tgtg tg
α α α α αα α
+ − −= =
+ +
www.matematiranje.com
6
8) Dokaži indetitet:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
++ απ
ααα
4cos2
cossin2sin1
Rešenje:
2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )
sin cos sin cosα α α α α α α
α α α α+ + + +
= =+ + sin cosα α+
=+= αα cossin (trik: kod oba sabiraka ćemo dodati 22 tj.
22
2
)
=+ αα cos22sin
22
22
izvučemo 2 kao zajednički
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ αα cos
22sin
222 pošto je
22
4sin =
π i 22
4cos =
π zamenimo u izraz
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + απαπ cos
4cossin
4sin2 malo pretumbamo
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
4sinsincos
4cos2 πααπ ovo u zagradi je formula za )cos( βα −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −απ
4cos2
www.matematiranje.com
www.matematiranje.com
1
TRANSFORMACIJE ZBIRA I RAZLIKE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA U PROIZVOD I
OBRNUTO Formule su:
1. 2
cos2
sin2sinsin βαβαβα −+=+
2. 2
sin2
cos2sinsin βαβαβα −+=−
3. 2
cos2
cos2coscos βαβαβα −+=+
4. 2
sin2
sin2coscos βαβαβα −+−=−
5. βαβαβα
coscos)sin( ±
=± tgtg
6. βαβαβα
sinsin)sin( ±
=± ctgctg
7. 1sin cos [sin( ) sin( )]2
x y x y x y⋅ = + + −
8. 1cos sin [sin( ) sin( )]2
x y x y x y⋅ = + − −
9. 1cos cos [cos( ) cos( )]2
x y x y x y⋅ = + + −
10. 1sin sin [cos( ) cos( )]2
x y x y x y⋅ = − + − −
Primeri : 1) Transformisati u proizvod a) oo 50cos20sin + b) sin 56 cos56o o− v) βα sinsin −
www.matematiranje.com
2
a) =+ oo 50cos20sin (pošto nam formula za zbir sinusa i kosinusa, upotrebom veza u I kvandrantu, prebacićemo: cos50 sin 40o o= )
oo
oo
oo
oooooo
10cos10cos212
10cos30sin2)10cos(30sin2
24020cos
24020sin240sin20sin
=⋅=
=
−=
−+=+=
b)
sin 56 cos56sin 56 sin 34
56 34 56 342cos sin2 2
2cos 45 sin11
22 sin11 2 sin112
o o
o o
o o o o
o o
o o
− =
= −
+ −=
=
= ⋅ =
v)
sin sin
sin sin2
2cos
α βπα α
α
− =
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
= 2π α+ − 2sin2 2
22cos sin4 2
222cos sin
4 222 sin
2 4
2 sin4
πα α
πα απ
παπ
πα
πα
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
− +=
−=
⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
www.matematiranje.com
3
2) Dokazati da je: a) 25,075sin15sin =oo b) 5,045cos135cos −=oo a)
1sin15 sin 75 sin(15 75 ) sin(15 75 )2
1 sin 90 sin( 60 ) pazi: sinx je neparna funkcija sin(-x) = -sinx21 sin 90 sin 6021 1 1 1 11 0,252 2 2 2 4
o o o o o o
o o
o o
⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = ⋅ = =⎢ ⎥⎣ ⎦
b)
[ ]
1cos135 cos 45 cos(135 45 ) cos(135 45 )2
1 cos90 cos18021 10 1 0,52 2
o o o o o o
o o
⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦
⎡ ⎤+= ⎣ ⎦
= − = − = −
3) Izračunati a) sin5x sin3x=? b) =4
cos3
cos2
cos xxx ?
a)
[ ]
[ ]xx
xxxxxx
8cos2cos21
)35cos()35cos(213sin5sin
−=
+−−=
b)
=4
cos3
cos2
cos xxx ( grupišemo prva dva na koja ćemo upotrebiti formulu, a
4cos x neka sačeka!!!)
www.matematiranje.com
4
cos cos cos2 3 4
1 cos cos cos2 2 3 2 3 4
1 5cos cos cos2 6 6 41 1 5(cos cos ) (cos cos ) ovde opet upotrebimo formulu za izraze u zagradama2 6 4 2 6 41 1 cos2 2
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x
⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= ⋅ + ⋅ →
= ⋅1 1 5 5cos cos cos
6 6 4 2 2 6 4 6 441 5 1 7 13cos cos cos cos4 12 12 4 12 121 5 7 13cos cos cos cos4 12 12 12 12
x x x x x xx
x x x x
x x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + ⋅ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
4) Dokazati da je : a) 8380sin40sin20sin =⋅⋅ ooo
b) 8370cos50cos10cos =⋅ ooo
a) =⋅⋅ ooo 80sin40sin20sin upakujemo prvi i treći činilac po formuli.
0 0 0 0
0
1sin 20 sin 40 sin80 (sin 20 sin80 ) sin 40 [cos(20 80 ) cos(20 80 )] sin 402
1 cos 60 cos100 sin 402
1 1 1 1sin 40 cos100 {Znamo da je cos100 cos80 ,pa je } sin 40 cos802 2 2 21 sin 404
o o o o o o o
o o o
o o o o o
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − − + ⋅
⎡ ⎤−⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − → − = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=1 sin 40 cos802
1 1 1sin 40 (sin120 sin( 40 ))4 2 21 1sin 40 (sin120 sin 40 )4 41 sin 404
o o o
o o o
o o o
o
+
⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −
=1 1sin120 sin 404 4
o o+ −
1 1 3 3sin1204 4 2 8
o= = ⋅ =
www.matematiranje.com
5
b) Pa ovo je ustvari isti zadatak!!! Zašto?
oo
oo
oo
20sin70cos40sin50cos80sin10cos
=
=
=
Dakle ooo 70cos50cos10cos ⋅⋅ je isto 83
5) Transformisati u proizvod ,sinsinsin zyx ++ ako je π=++ zyx
[ ]sin sin sinsin sin sin ( )
sin sin sin( ) Upotrebimo sin sin 2sin cos i sin 2sin cos2 2 2 2
2sin cos 2sin cos Izvučemo zajednički 2sin2 2 2 2 2
2sin [cos cos ] S2 2 2
x y zx y x y
x y x yx y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
πα αα
+ + =
+ + − + =
+ −+ + + → + = =
+ − + + ++ =
+ − ++ = ad formula za cos +cos
2sin 2 cos cos2 2 2
4sin cos cos2 2 2
x y x y
x y x y
α β
+⋅ ⋅ ⋅ =
+=
transformišemo 2
sin yx +
2
cos2
90sin22
sin2
sin2
sin zzzzyx o =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
+ ππ po formuli za veze u I
kvandrantu.
Dakle: 2
cos2
cos2
cos4sinsinsin zyxzyx =++ simpatično, zar ne?
6) Dokazati da je: 01095sin795sin495sin =+− ooo
www.matematiranje.com
6
Rešenje: Najpre ćemo ove uglove prebaciti u I kvadrant, da nam bude lakše!!!
sin 495 sin(495 360 ) sin135 cos 45sin 795 sin(795 2 360 ) sin 75 cos15sin1095 sin(1095 3 360 ) sin15
o o o o o
o o o o
o o o o
= − = =
= − ⋅ = =
= − ⋅ =
Znači sada imamo:
cos 45 cos15 sin15 na prva dva člana upotrebimo formulu...45 15 45 152sin sin sin15
2 22sin 30 sin15 sin15
12 sin15 sin15 sin15 sin15 02
o o o
o o o oo
o o o
o o o o
− + =
+ −− + =
− + =
− + = − + =
7) Dokazati da je: 48163279 =+−− oooo tgtgtgtg Rešenje: Pregrupišemo prvo članove:
( ) ( )81 9 63 27
sin(81 9 ) sin(63 27 )cos81 cos9 cos 63 cos 27
sin 90 sin 90 (sin 90 1)cos81 cos9 cos 63 cos 27
cos81 sin 91 1cos81 cos9 cos 63 cos 27 cos 63 sin 27
1sin 9 cos9
o o o o
o o o o
o o o o
o oo
o o o o
o o
o o o o o o
o
tg tg tg tg imamo formule+ − + =
+ +− =
− = =
⎛ ⎞=− = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠
1 2sin 27 cos 27 2
2 2 (sin 2 2sin cos )2sin 9 cos9 2sin 27 cos 27
2 2 ( )sin18 sin 542(sin 54 sin18 ) ( )
sin18 sin 5454 18 54 182 2cos sin 4cos36 sin182 2sin18 sin 54
o o o
o o o o
o o
o o
o o
o o o o
o o
o o
dodamo
zajednicki
gore formula
α α α
⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
− = =
− =
−=
+ −⋅
=sin18o
4cos36 4 cos36sin 54sin 54
o o
oo= =
cos36o4=
www.matematiranje.com
7
5) Izračunati o36sin bez upotrebe tablica. Rešenje: Znamo da važi veza u I kvandrantu: oo 54cos36sin = odnosno oo 183cos182sin ⋅=⋅ formula za α2sin imamo: ααα cossin22sin = a formula za α3cos smo izveli (pogledaj) 3cos3 4cos 3cosα α α= − . Upotrebimo ih:
ooo
ooo
18cos318cos4183cos18cos18sin2182sin
3 −=⋅
=⋅
Pa je: oooo 18cos18sin218cos318cos4 3 =− (sve podelimo sa o18cos ) oo 18sin2318cos4 2 =− (onda je 2 0 2 0 2 2sin 18 cos 18 1 cos 18 1 sin 18o o+ = ⇒ = − )
2
2
2
4(1 sin 18) 3 2sin18 04 4sin 18 3 2sin18 04sin 18 2sin18 1 0
o
o
o
− − − =
− − − =
+ − =
(uzmimo smenu to =18sin ) 0124 2 =−+ tt
1,22 20 2 2 5 2( 1 5)
8 8 8t − ± − ± − ±
= = =
451
451
451
2
1
2,1
−−=
+−=
±−=
t
t
t
41518sin −
=o
Nadjimo sad o18cos
www.matematiranje.com
8
2 2
2
2
2
2
2
sin 18 cos 18 1
5 1cos 18 14
5 2 5 1cos 18 116
16 6 2 5cos 1816
10 2 5cos 1816
o o
o
o
o
o
+ =
⎛ ⎞−= − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− += −
− +=
+=
4521018cos
16521018cos
+=
+=
o
o
( ) ( )
( )( )8
5210152536sin
8521015
36sin
)15(4
52104
15236sin
18cos18sin236sin
2
++−=
+−=
−
+⋅
−⋅=
=
o
o
o
ooo
korenpodubacimo
( )( )
( )
6 2 5 10 2 5sin 36
8
60 12 5 20 5 20sin 368
40 8 5sin 368
8 5 5sin 36
8
22 5 5sin 368
2 5 5sin 364
o
o
o
o
o
o
− +=
+ − −=
−=
−=
−=
⋅ −=
www.matematiranje.com
9
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
1
Trigonometrijske jednačine (osnovne)
1. sinx=a
Ova jednačina ima rešenja ako je 11 a zbog ograničenosti sinusne funkcije izmedju ‐1 i 1.
Da bi lakše razumeli kako se rešavaju ove jednačine, posmatraćemo sledeće situacije:
i) 10 a
ii) 01 a
iii) 0a
iv) 1a
v) 1a
a) ax sin 10 a
Postupak: Nadjemo vrednost a na y‐osi i povučemo pravu ay Ona seče trigonometrijski krug ( tačke A i B ) i
spojimo sa kordinatnim početkom. Dobili smo dva tražena ugla: )( i )( . Evo slike:
Rešenja zapisujemo:
kx 21
kx 2)(2
zk
PAZI: k2 dodajemo zbog periodičnosti funkcije xsin , koja je 03602 , to je obavezno! Rešenje se
(kad postanete iskusni) može sjediniti i u jedno rešenje:
kx kk )1( zk
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
2
Primer:
Rešiti jednačinu: 2
1sin x
Rešenje: Prvo nacrtamo trigonometrijski krug. Nadjemo na y‐osi vrednost 2
1 i povučemo pravu
2
1y ,
paralelnu sa x‐osom. Ta prava seče trigonometrijski krug u tačkama A i B. Te tačke spajamo sa koordinatnim
početkom i dobili smo tražene uglove.
Iz tablice ( ko zna ) vidimo da su traženi uglovi:
6
3001
6
51500
2
Evo slike:
Rešenja su:
kx 2
61
kx 2
6
52
zk
Ili zajedno: kxk
6)1(
ii) ax sin 01 a
Postupak je sličan kao malopre. Nadjemo vrednost a na y‐osi ( pazi: sad je a negativno pa je ispod x‐ose ),
povučemo pravu paralelnu sa x‐osom. Mesta gde prava y=a seče trigonometrijski krug (A i B) spojimo sa
koordinatnim početkom i dobili smo tražene uglove: )( i )(
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
3
Na slici to izgleda:
Rešenja su:
kx 21
kx 2)(2
zk
Primer:
Reši jednačinu: 2
2sin x
0454
4
52250
Rešenja su:
kx 2
41
kx 2
4
52
k Z
Naravno, ovo negativno rešenje k2
4 možemo napisati i kao
k24
7 ali je običaj da se uglovi u IV
kvadrantu pišu kao negativni
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
4
iii) 0sin x
Sinusi su jednaki nuli za uglove od 00 i 0180
kx 20
kx 2
k Z
Ili zajedno: kx k Z
iv) 1sin x
Sinus ima vrednost 1 za ugao od 090
Ovde imamo samo jedno rešenje: kx 2
2 k Z
vi) 1sin x
kx 2
2 k Z
Ili možemo zapisati preko pozitivnog ugla:
kx 2
2
3 k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
5
2. bx cos
Kao i kod ax sin i ovde mora biti 11 b da bi jednačina imala rešenja.
I ovde ćemo rasčlaniti problem:
i) 10 b
ii) 1 0b
iii) 0b
iv) 1b
v) 1b
i) bx cos 10 b
Ovi uglovi se nalaze u I i IV kvadrantu.
Postupak: Na x‐osi nadjemo vrednost b. Povučemo pravu paralelnu sa y‐osom. Ta prava seče
trigonometrijski krug u tačkama M i N. Spojimo te tačke sa koordinatnim početkom i dobili smo tražene
uglove: i )(
Rešenja su:
kx 2
kx 2
k Z
Ugao odredimo iz tablica ili konstruktivno.
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
6
Primer:
Reši jednačinu: 2
3cos x
Rešenja su:
,26
kx k Z
,26
kx k Z
Jer je 2
330cos 0
To jest 2
3
6cos
ii) bx cos 1 0b
Ovi uglovi se nalaze u II i III kvadrantu. Postupak je isti, samo je b negativno!
Rešenja su:
kx 2
kx 2
k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
7
Primer:
Reši jednačinu 2
1cos x
3
21200
Rešenja su:
kx 2
3
2
kx 2
3
2
k Z
iii) 0cos x
kx 2
2
22
x k
k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
8
iv) 1cos x v) 1cos x
kx 20 kx 2
kx 2
k Z k Z
3. mtgx
Za razliku od prethodne dve, jednačina mtgx ima rešenja za ),( m . Razmotrićemo dve situacije: 0m
i 0m
i) mtgx 0m
To su uglovi u I i III kvadrantu!
Postupak: Na tangesnoj osi nadjemo m i to spojimo sa koordinatnim početkom. Dobili smo ugao . Produžimo taj
ugao u III kvadrant i evo drugog rešenja:
Rešenje je:
kx
zk Zašto samo jedno rešenje?
Zato što je tgx kao i ctgx periodična funkcija sa periodom
. Pa kad stavimo k mi smo to rešenje već opisali!
Zapamti: Kod xsin i xcos je perioda k2 a kod tgx i ctgx samo k .
ii) mtgx 0m
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
9
Ovi uglovi su u II I IV kvadrantu! Postupak je potpuno isti.
Rešenje:
kx
k Z
Primer 1:
Reši jednačinu: 1tgx
Rešenje: (iz tablice znamo: 1450 tgx )
4
450
kx
4
k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
10
Primer 2:
Reši jednačinu: 3tgx
Rešenje: Iz tablice je 3600 tg , pa je onda 3)60( 0 tg jer je tgtg )(
Crtamo sliku:
Dakle:
k3
k Z
Primer 3:
Reši jednačinu: 0tgx
Vidimo da su to uglovi od 00 i 0180
Dakle:
kx 00
kx
k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
11
4. ctgx m
Kao i za tgx rešenja su iz celog skupa R. Perioda je k . Postupak rešavanja je sličan, samo što vrednost za ctgx
tražimo na kotangensnoj osi
ctgx m
0m ctgx m 0m
Uglovi su u I i III kvadrantu. Uglovi su u II i IV kvadrantu.
Rešenje: kx Rešenje: kx
k Z k Z
Najpre potražimo vrednost u tablici, vidimo koji je ugao u pitanju I nacrtamo sliku.
Primer 1:
Reši jednačinu: 3
3ctgx
Rešenje: iz tablice vidimo vrednost za 060
kx
3 k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
12
Primer2:
Reši jednačinu: 1ctgx
kx
4
A može i:
kx
4
3
k Z
Primer 3: Rešiti jednačinu: 0ctgx
kx
2
k Z
Zadaci
1) Reši jednačine:
a) 2
12sin x
b) 03
sin
x
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
13
Rešenje:
a) Jednačinu rešavamo normalno , kao da je sinx.( al pišemo 2x u rešenju…)
Iz tablice vidimo da je jedan traženi ugao 030
Pazi sad:
kx 2
62 V
kx 26
52
Sada izrazimo x, odnosno sve podelimo sa 2
kx
12 V
kx 12
5
k Z
b) Isto rešavamo kao da je 0sin x ali posle ne pišemo x …. Nego ...3
x pa izračunamo!
Dakle:
kx 20
3 V
kx 23
kx 2
3 V kx 2
3
k Z kx 2
3
4
k Z
2) Reši jednačine:
a) 2
25cos x
b) 06
2cos
x
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
14
Rešenje: 2
25cos x
kx 2
4
35 V
kx 24
35
Oba rešenja podelimo sa 5
5
2
20
3 kx V
5
2
20
3 kx
k Z k Z
b)
06
2cos
x
kx 2
262 V
kx 226
2
kx 2
622
kx 262
2
kx 2
6
42
kx 26
22
kx 2
3
22
kx 23
2
kx
3
kx 6
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
15
k Z k Z
3) Rešiti jednačine:
a) 12 xtg
b) 12
3
xtg
Rešenje:
a) 12 xtg
Traženi ugao je 045
Dakle:
kx
42
28
kx
k Z
b)
12
3
xtg
Traženi ugao (iz tablice) je 4450
kx
423
kx
243
kx
4
33
34
kx
k Z
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
16
4) Rešiti jednačine:
a) 13 xctg
b) 32
xctg
Rešenje:
a) 13 xctg Iz tablice vidimo da je traženi ugao 045
Dakle:
kx
43
312
kx
k Z
b) 32
xctg
Traženi ugao je 030
kx
62
kx
26
kx
6
4
kx
3
2
k Z
1
Trigonometrijske nejednačine
To su nejednačine kod kojih se nepoznata javlja kao argument trigonometrijske funkcije. Rešiti trigonometrijsku nejednačinu znači naći sve uglove koji je zadovoljavaju.
Prilikom traženja rešenja ove nejednačine, najpre ćemo rešiti odgovarajuću jednačinu, a zatim naći intervale koji se u nejednačini traže.
1. Nejednačine sinx>a i sinx<a 1−<a -svaki broj je rešenje
ax >sin 11 ≤≤− a - rešavamo
1≥a -nema rešenja
1−≤a -nema rešenja
ax <sin 11 ≤≤− a -rešavamo
1>a -svaki broj je rešenje
Primer 1: Reši nejednačine:
a) 2sin −>x
b) 21sin >x
v) 3sin >x
Rešenja:
a) 2sin −>x pošto je 1sin1 ≤≤− x to je svaki Rx∈ rešenje.
b) 21sin >x
www.matematiranje.com
2
Najpre rešimo odgovarajuću jednačinu:
21sin =x Dakle, rešenja jednačine su:
ππ
ππ
kx
kx
26
5
26
+=
+=
Sada razmišljamo! Pošto nam treba da je 21sin >x uzimamo “gornji deo”.
Dakle:
6
56
ππ<< x
Još dodamo periodičnost
ππππ kxk 26
526
+<<+ , Zk∈
v) 3sin >x
Ovo je nemoguće, dakle nejednačina nema rešenja.
Primer 2: Reši nejednačine:
a) 2sin −<x
b) 22sin −≤x
v) 5sin <x
Rešenja:
a) 2sin −<x ⇒Kako je 1sin1 ≤≤− x , dakle nikad ne može biti manji od -2, data
nejednačina nema rešenja.
www.matematiranje.com
3
b) 22sin −≤x
Najpre rešimo jednačinu 22sin −=x
Rešenja su:
ππ
ππ
kx
kx
24
7
24
5
+=
+=
Za nejednačinu 22sin −≤x nama treba “donji” deo ! Dakle:
47
45 ππ
≤≤ x
Zkkxk ∈+≤≤+ ,24
724
5 ππππ
v) 5sin <x
Kako je 1sin1 ≤≤− x , ova nejednačina je uvek zadovoljena,tj. Rx∈∀ je rešenje.
2.Nejednačine cosx>b i cosx<b
1−<b - svaki broj je rešenje
bx >cos 11 ≤≤− b - rešavamo
1≥b - nema rešenja
1−<b - nema rešenja
bx <cos 11 ≤≤− b - rešavamo
1>b - svaki broj je rešenje www.matematiranje.com
4
Primer 1:
Reši nejednačine:
a) 2cos −>x
b) 21cos >x
v) 23cos >x
Rešenja:
a) 2cos −>x ovde je svaki Rx∈
b) 21cos >x
Najpre rešimo 21cos =x
ππ
ππ
kx
kx
23
23
+−=
+=
x
y
1-1
60
-600
0
Za rešenja su nam potrebni uglovi čiji je kosinus veći od 21
,znači “desno”.
Konačno rešenje je ππππ kxk 23
23
+<<+− , Zk∈
www.matematiranje.com
5
v) 23cos >x
Ova nejednačina nema rešenja jer najveća vrednost za “kosinus”, kao što znamo, može biti 1.
Primer 2: Reši nejednačine:
a) 2cos −<x
b) 21cos −≤x
v) 2cos <x
Rešenja:
a) 2cos −<x - nema rešenja
b) 21cos −≤x -rešićemo prvo
21cos −=x
x
y
120
0
0
240
ππ
ππ
kx
kx
23
4
23
2
+=
+=
Za rešenje nejednačine 21cos −≤x nam treba “levi” deo
Dakle rešenje je ππππ kxk 23
423
2+≤≤+
v) 2cos <x
Ovde je naravno rešenje Rx∈∀ www.matematiranje.com
6
3. Nejednačine sa tgx i ctgx: Ove nejednačine za razliku od onih sa sinx i cosx uvek imaju rešenja s obzirom da tgx i ctgx uzimaju vrednosti iz celog skupa R.
I ovde ćemo najpre rešiti odgovarajuću jednačinu I na osnovu nje odrediti interval rešenja date nejednačine.
Primer 1:
a) 3>tgx
x
y
0
0
6090
240
270
0
0
Najpre rešimo jednačinu 3=tgx , πkx o += 60 .
Razmišljamo gde su tgx veći od 3 ? Prvo su to
Uglovi od o60 do o90 . A onda I drugi interval od
o240 do o270 . Znači ovde imamo dva intervala
sa rešenjima!
Rešenje će dakle biti:
oo x 9060 << i oo x 270240 <<
Dodamo period πk koja važi za tgx.
Zk
kxk
∈
+<<+ ππππ23 i
Zk
kxk
∈
+<<+ ππππ2
33
4
Ili možemo zapisati:
Zk
kkx
∈
++∈ )2
,3
( ππππ i )
23,
34( ππππ kkx ++∈
7
b) 1<tgx
Prvo rešimo 1=tgx , znamo da je to ugao od o45 i o225 .
Nama treba da su tangensi manji od 1.(podebljana poluprava)
Opet imamo dva rešenja !
x
y0
0
0
0
4590
225
270
42ππ
<<− x i 4
52
ππ<< x
Odnosno:
Zk
kkkkx
∈
++∪++−∈ )4
5,2
()4
,2
( ππππππππ
Primer 2:
Reši nejednačine:
a) 33
>ctgx
b) 0<ctgx
Rešenja:
a) Rešimo prvo oxctgx 6033
=⇒= i ox 240=
x
y
0
0
60
0180
240
0
0
8
Opet dva intervala:
30 π
<< x i 3
4ππ << x
Rešenje je:
)3
4,()3
,0( πππππππ kkkkx ++∪++∈ , Zk∈
b) 0=ctgx
Traženi uglovi su iz II i IV kvadranta.
x
y
0
00
0
90
180
270
360
ππ<< x
2 i ππ 2
23
<< x
Rešenje je:
Zk
kkkkx
∈
++∪++∈ )2,2
3(),2
( ππππππππ
www.matematiranje.com
9
Zadaci:
1) 0233sin ≥−x
Najpre rešimo
233sin
0233sin
=
=−
x
x
x
y
120 0
0
60
Dakle:
ππππ kxk 23
2323
+≤≤+
Sve podelimo sa 3
Zk
kxk
∈
+≤≤+3
29
23
29
ππππ
2) 2cossin <+ xx
Najpre rešimo jednačinu:
2cossin =+ xx
Ovo je tip “uvodjenje pomoćnog argumenta”
www.matematiranje.com
10
a=1
b=1
c= 2
445
111
πϕ
ϕϕϕ
==
=⇒=⇒=
o
tgtgabtg
122
112
22==
+=
+ bac
Pa je : 1)4
sin()sin(22
=+⇒+
=+πϕ x
bacx
Dakle imamo:
1)4
sin( <+πx
Ovde nam ne odgovara samo ako je 1)4
sin( =+πx
Tj.
ππ
πππ
πππ
kx
kx
kx
24
242
244
+=
+−=
+=+
Dakle rešenje je x∀ sem ππ k24+ odnosno Zkkx ∈+≠ ,2
4ππ
3) 02sin5sin2 2 >++ xx
02sin5sin2 2 >++ xx → smena sinx=t
→>++ 0252 2 tt pogledaj kvadratne nejednačine!
221
435
2
1
2,1
−=
−=
±−=
t
t
t
www.matematiranje.com
11
),21()2,(sin
,),21()2,(
∞−∪−−∞∈
∞−∪−−∞∈
x
tjt
Pošto je 1sin1 ≤≤− x moramo izvršiti korekciju intervala!
⎥⎦⎤
⎜⎝⎛−∈ 1,
21sin x odnosno
21sin −>x
7210
6o π=
11330
6 6o π π= =−
12
−
Zk
kxk
∈
+<<+− ππππ 26
726
Je konačno rešenje!
4) Pokazati da važi za svako 8cos
1sin
1: 44 ≥+αα
α
Transformišemo izraz na levoj strani!
=++
=+αααα
αα 44
44
44 cossinsincos
cos1
sin1
Transformišemo izraz αα 44 cossin + .
www.matematiranje.com
Podjimo od :
12
2 2 2
2 2 2
4 2 2 4 4 4
4 4 2 2
2 24 4
24 4
sin cos 1/ ()(sin cos ) 1sin 2sin cos cos 1 odavde izrazimo sin cos
2sin cos 1 2sin cos dodamo kao trik 2
2 2sin cossin cos 12
sin 2sin cos 1
kvadriramoα α
α α
α α α α α α
α α α α
α αα α
αα α
+ =
+ =
+ + = +
+ = −
⋅+ = −
+ = −
2 24 4 2 2
2
22 sin 2 1 1 sin 2sin cos opet trik da je 1 sin 2 cos 2
2 21 cos 2
2
α αα α α α
α
− + −+ = = − =
+=
Vratimo se u zadatak:
2
4 4 2
4 4 4 4 4 4
2 2
4 4 4 4
1 cos 2cos sin 1 cos 2 82 ( )sin cos sin cos 2sin cos 88(1 cos 2 ) 8(1 cos 2 ) 8 8
16sin cos sin 2 sin 2
dodamo
αα α αα α α α α α
α αα α α α
++ +
= = =⋅ ⋅ ⋅
+ += = ≥
A ovo sigurno važi!
5) Ako su γβα ,, uglovi trougla I ako je γ tup, tada je 1<βαtgtg . Dokazati
?1<⋅ βα tgtg
Ako je ugao tup I 180oα β γ+ + = onda zbir βα + mora biti manji od o90 to jest ugao )( βα + je u I kvadrantu! A pošto znamo da su tangensi uglova u prvom kvadrantu
pozitivni, mora biti 0)( >+ βαtg
Za )( βα +tg imamo formulu:
01
>−
+βαβα
tgtgtgtg
Pazi: )0,0()0,0(0 <<∨>>⇔> BABABA
Pošto je 0>+ βα tgtg mora biti:
13
01 >− βαtgtg odnosno 1<βαtgtg
Što smo I trebali dokazati!!!
www.matematiranje.com
1
GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (I deo)
sin( )y a bx c
Da se najpre podsetimo osnovnog grafika funkcije y = sinx i njenih osobina.
1
-1
siny x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
Osobine: - funkcija je definisana za svako x, to jest ( , )x - skup vrednosti funkcije je interval [ 1,1] , to jest funkcija je ograničena 1 sin 1x
- sinx je periodična funkcija sa osnovnom periodom 2
- nule funkcije ( mesta gde grafik seče x osu) su 0, , 2 ...x x x ili ovo možemo zapisati , uzimajući u
obzir periodičnost kao ( 0, 1, 2,...)x k k
- maksimalne vrednosti funkcije su u 3 5
, , ,...2 2 2
to jest, možemo zapisati: 2
2x k k Z
- minimalne vrednosti funkcije su u 3 7
, , ,...2 2 2
to jest , možemo zapisati: 2
2x k k Z
- sinx raste u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2
k k
- sinx opada u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2
k k
- funkcija je pozitivna, sinx > 0 za (2 , (2 1) )x k k k Z
- funkcija je negativna, sinx < 0 za ((2 1) ,2 )x k k k Z
- grafik se zove SINUSOIDA
www.matematiranje.com
2
Trigonometrijsku funkciju sin( )y a bx c ćemo da naučimo da crtamo na dva načina. Prvi način se sastoji u tome da krenemo od početnog grafika y=sinx i da u zavisnosti od brojeva a,b i c vršimo pomeranja grafika ( naučićemo kako ) a drugi način je direktno ispitivanje tačaka ( nule funkcije, max, min...) ali za njega nam je potrebno da znamo rešavati trigonometrijske jednačine. Najpre uočite i zapišete brojeve a,b i c. Svaki od njih priča neku priču...
siny a x
Broj a koji je ispred sinusa se zove amplituda i predstavlja maksimalno rastojanje tačke grafika od x- ose. Za funkciju y=sinx je taj broj a=1 a na grafiku vidimo da je ona baš ograničena sa -1 i 1. Ako je broj ispred sinusa pozitivan , funkcija izgleda:
1
-1
siny x 222
3
2
2
3
2
0
a
-a y=asinx
x
y
Dakle, nule funkcije ostaju na svojim mestima , dok se max i min “ produže” do tačke a, odnosno –a. Ako je broj ispred sinusa negativan ,funkcija izgleda:
1
-1
siny x 222
3
2
2
3
2
0
a
-a
y=-asinx
x
y
Ovde dakle moramo voditi računa jer se grafik “ okreće”, a max i min zamene mesta i produže se do tačke a, odnosno –a.
www.matematiranje.com
3
primer 1. Nacrtati grafik funkcije siny x Ovde nam je a = -1 . To nam govori da početni grafik siny x ( koji je nacrtan na slici isprekidanom linijom) samo “ okrenemo”.
1
-1 siny x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
primer 2. Nacrtati grafik funkcije 2siny x Sada je а = 2. To znači da funkcija po y- osi ide od -2 do 2 i da se grafik ne okreće.
1
-1
2siny x
222
3
2
2
3
2
0
2
-2
x
y
primer 3. Nacrtati grafik funkcije 3
sin2
y x
Vidimo da je 3
2a . Grafik je u odnosu na početni okrenut, zbog minusa i nalazi se, gledajući po y osi ,
između 3 3
i 2 2
.
1
-1
3sin
2y x
222
32
2 3
2
0
2
-2
3
2
3
2
x
y
www.matematiranje.com
4
siny bx
Periodičnost funkcije sin( )y a bx c direktno sledi iz periodičnosti funkcije y=sinx.
Osnovni period za sin( )y a bx c se računa po formuli 2
Tb
.
Broj b se zove frekvencija ili učestalost i pokazuje koliko se celih talasa nalazi na intervalu [0,2 ]
Dakle, naš poso je da uočimo broj b, i ubacimo ga u formulu 2
Tb
da bi dobili osnovnu periodu.
primer 4. Nacrtati grafik funkcije 1
sin2
y x
Uočimo da je ovde 1
2b . Onda je
2 24
12
T T Tb
1
-11
sin2
y x
222
3
2
2
3
2
0 3 45
2
7
2
x
y
Početna funkcija y = sinx je i ovde data isprekidano. Šta se desilo sa njom? Vidimo da se ona izdužila, jer je sada perioda 4T . primer 5. Nacrtati grafik funkcije sin 2y x
Kako je 2b onda će osnovna perioda biti 2 2
T Tb
2
T
Šta će sada biti sa početnim grafikom? Pa kako je perioda samo T , on će da se “ skupi”:
1
-1 sin 2y x
222
3
2
2
32
04
34
x
y
www.matematiranje.com
5
sin( )y x c odnosno sin( )y bx c ( broj c se zove početna faza)
Opet naravno, najpre iz zadate funkcije pročitamo vrednosti za b i c. Onda odredimo vrednost za c
b.
Grafik funkcije sin( )y bx c se dobija pomeranjem grafika siny bx duž x ose i to (pazi na ovo):
i) u pozitivnom smeru ( udesno ) ako je vrednost c
b negativna
ii) u negativnom smeru ( ulevo) ako je vrednost za c
b pozitivna
primer 6. Nacrtati grafik funkcije sin( )2
y x
Ovde je a=1, b=1, c= 2
. Vrednost izraza
c
b je 2
1 2
c
b
. Šta ovo znači?
Pošto je vrednost ovog izraza pozitivna , početni grafik y = sinx pomeramo za 2
ulevo.
1
-1
sin( )2
y x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
primer 7. Nacrtati grafik funkcije sin( )4
y x
1, 1,4 4
ca b c
b
Pomeramo grafik y = sinx za
4
udesno.
1
-1
sin( )4
y x
222
3
2
2
32
04 5
4 9
4 x
y
www.matematiranje.com
6
primer 8. Nacrtati grafik funkcije sin(2 )2
y x
Ovde je a=1, b=2 i 2
c
Perioda je : 2 2
T Tb
2
T a vrednost izraza : 2
2 4
c
b
Moramo crtati tri grafika : y=sinx ( slika 1.) pa onda y=sin2x ( slika 2.) i na kraju sin(2 )2
y x
(slika 3.)
1
-1
222
32
2
3
2
0
1
-1 sin 2y x
222
32
2
3
2
04
34
1
-1sin(2 )
2y x
222
3
2
2
3
2
04
34
y=sinx
slika 1.
slika 2.
slika 3.
x
x
x
y
y
y
Na slici 2. vidimo da se grafik sinusne funkcije “skupio” zbog periode T .
Na slici 3. je izvršeno pomeranje grafika y=sin2x za 4
udesno, jer je vrednost
c
b negativna.
Verovatno će vaš profesor tražiti od vas da sva tri grafika nanosite na jednoj slici…Mi smo namerno crtali tri slike da bi bolje razumeli…
www.matematiranje.com
7
primer 9. Nacrtati grafik funkcije 1
sin( )2 4
y x
1
1, ,2 4
a b c
Tražimo periodu: 2 2
412
T T Tb
i vrednost izraza: 24
1 4 22
c
b
Opet idu tri grafika: Na slici 1. je početni grafik y = sinx
Na slici 2. je grafik 1
sin2
y x koji dobijamo povećavajući periodu na 4
Na slici 3. je konačan grafik 1
sin( )2 4
y x
koji dobijamo kada grafik funkcije 1
sin2
y x pomerimo za 2
udesno,
jer je vrednost izraza c
b pozitivna.
1
-1
22 0 3 4
1
-1 1sin
2y x
222
32
2
3
2
0 3 45
2
7
2
1
-1 1sin( )
2 4y x
222
3
2
2
32
0 3 45
2
7
2
slika 1.
slika 2.
slika 3.
y
y
y
x
x
x
www.matematiranje.com
8
Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik sin( )y a bx c ali to pogledajte u sledećem fajlu: GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)
www.matematiranje.com
1
GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)
U prethodnom fajlu ( grafici trigonometrijskih funkcija I deo) smo proučili kako se crtaju grafici u zavisnosti od brojeva a,b i c. Sada možemo sklopiti i ceo grafik funkcije sin( )y a bx c . POSTUPAK: i) Nacrtamo grafik funkcije y = sinx
ii) Uočimo brojeve a,b i c , i nađemo periodu 2
Tb
. Crtamo grafik siny bx .
iii) Odredimo vrednost izraza c
b i vršimo pomeranje po x osi, to jest crtamo grafik sin( )y bx c
iv) Vrednost amplitude a nam pomaže da nacrtamo konačan grafik sin( )y a bx c Ovo je jedan način za crtanje grafika. Drugi način je direktno ispitivanje značajnih tačaka, a već smo vam pomenuli da ovde morate znati rešavati trigonometrijske jednačine.( Imate taj fajl, pa se malo podsetite...)
primer 1. Nacrtaj grafik funkcije: 3sin(2 )4
y x
Rešenje I način
Iz 3sin(2 )4
y x
je 3, 2,4
a b c
Crtamo prvo grafik osnovne funkcije siny x .
1
-1
222
3
2
2
3
2
0
y=sinx
slika 1.x
y
Nadjemo periodu : 2 2
2T T T
b
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
2
Dalje crtamo grafik funkcije sin 2y x
1
-1 sin 2y x
222
3
2
2
3
2
04
3
4
slika 2.x
y
Vrednost izraza c
b je 4
2 8
c
b
. Vršimo pomeranje grafika sin 2y x za 8
ulevo:
1
-1sin(2 )
4y x
222
32
3
2
0 slika 3.x
y
8
I konačno, kako je amplituda 3a , to nam govori na “razvučemo” grafik izmedju -3 i 3 duž y ose.
1
-1
3sin(2 )4
y x
222
3
2
2
3
2
04
3
4
slika 4.x
y
8
2
-2
-3
3
II način
Zapišemo vrednosti za a,b i c. Nadjemo periodu 2
Tb
.
Ispitujemo gde su nule funkcije. Tražimo tačke ekstremuma ( maksimum i minimum).
www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html
3
3, 2,4
a b c
i 2 2
2T T T
b
Nule funkcije To su mesta gde grafik seče x osu.
0
3sin(2 ) 04
sin(2 ) 0 2 0 24 4 4
2 04
2 Ovde sada dodamo periodu(T= ): 4 8 8
24
3 3 32
4 8 8
y
x
x x x
x
x x x k k Z
x
x x x k k Z
Ove tačke nalazimo na x osi . Maksimum Kako je amplituda 3a , funkcija će imati maksimalnu vrednost za y=3.
3
3sin(2 ) 34
sin(2 ) 1 2 2 24 4 2 2 4 4 8
I ovde moramo dodati periodu: 8
y
x
x x x x x
x k k Z
Minimum Funkcija će imati minimalnu vrednost za y =-3
3
3sin(2 ) 34
3 3 5 5sin(2 ) 1 2 2 2
4 4 2 2 4 4 8
5 Dodajemo periodu:
8
y
x
x x x x x
x k k Z
www.matematiranje.com
4
Sada sklopimo grafik:
1
-1
3sin(2 )4
y x
222
3
2
2
32
04
3
4
x
y
8
2
-2
8 5
83
8
78
-3
3
Vidite i sami da ovaj drugi način daje precizniji grafik, ali mora se vladati rešavanjem jednačina.
Vi konstruišite grafik kako vaš profesor komanduje...
primer 2. Nacrtaj grafik funkcije: 1
2sin( )2 6
y x
1 2 2 62, , 4 , dakle 4 i ,dakle 1 12 6 3 32 2
c ca b c T T
b b b
1
-1siny x
222
3
2
2
3
2
0 3 45
2
7
2
x
y
1
-1 1sin
2y x
222
3
2
2
3
2
0 3 45
2
7
2
x
y
1
-1
1sin( )
2 6y x
222
3
2
2
3
2
0 3 45
2
7
2
x
y
3
1
-1
12sin( )
2 6y x
222
3
2
2
3
2
0 3 45
2
7
2
x
y
3
2
-2
slika 1.
slika 2.
slika 3.
slika 4.
5
Ako bi radili preko ispitivanja : Nule funkcije
0
12sin( ) 0
2 61 1 1
sin( ) 0 02 6 2 6 2 6
10 i kad dodamo periodu: 4
2 6 3 3
1 5 5 kad dodamo periodu: 4
2 6 3 3
y
x
x x x
x x x k
x x x k
Maksimum
2
12sin( ) 2
2 61
sin( ) 12 6
1 3
2 6 21 8
2 6
8 8 dodamo periodu +4
3 3
y
x
x
x
x
x x k
Minimum
2
12sin( ) 2
2 61
sin( ) 12 6
1
2 6 21 2
2 6
2 24
3 3
y
x
x
x
x
x x k
Da sklopimo grafik:
www.matematiranje.com
6
1
-1
12sin( )
2 6y x
22 3
2
0 3 4 x
y
3
2
-2
5
3
1138
3
23
primer 3. Nacrtaj grafik funkcije: 2cos(2 )4
y x
Grafik ove funkcije se konstruiše na isti način kao i za sinusnu funkciju. Razlika je jedino u tome što je početni grafik cosy x
Za 2cos(2 )4
y x
je:
2, 2,4
2 2
2
42 8 8
a b c
T Tb
c c
b b
Krećemo od grafika cosy x :
1
-1
222
3
2
2
3
2
0x
y
Dalje crtamo grafik cos 2y x , to jest smanjujemo periodu na .
www.matematiranje.com
7
1
-1 cos 2y x
222
3
2
2
3
2
0x
y
Kako je 8
c
b
, vršimo pomeranje ovog grafika za
8
udesno:
1
-1
cos(2 )4
y x
222
3
2
2
3
2
0x
y
38
Amplituda je 2a , pa “ raširimo” grafik izmedju -2 i 2 po y osi.
1
-1
2cos(2 )4
y x
222
3
2
2
3
2
0x
y
3
8
2
-2
Evo konačnog grafika.
primer 4. Nacrtaj grafik funkcije: sin 1y x
Ovakvu situaciju do sada nismo imali... Ali smo nešto slično radili kod kvadratne funkcije ( pogledaj taj fajl). Broj « van » sinusa nam ustvari predstavlja pomeranje po y-osi! Ako je taj broj pozitivan grafik se pomera “na gore” a ako je taj broj negativan , grafik se za toliko pomera “na dole”.
www.matematiranje.com
8
Ovde imamo +1, pa ćemo nacrtati grafik funkcije siny x i ceo grafik podići za 1 na gore.
1
-1
siny x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
1
-1
sin 1y x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
2
primer 5. Nacrtaj grafik funkcije: cos 2y x
Crtamo grafik cosy x pa ga “spustimo” za 2 na dole po y osi!
1
-1
cos 2y x
222
3
2
2
3
2
0x
y
-2
-3
1
-1
222
3
2
2
3
2
0x
y
www.matematiranje.com
9
primer 6. Nacrtaj grafik funkcije: sin 3 cosy x x
Rešenje: Ovde nam je prvi posao da “ spakujemo” funkciju na oblik sin( )y a bx c ili cos( )y a bx c . Ovde moramo koristiti formulice iz trigonometrije, a ima i nekih trikova...
2sin 3 cos kao trik dodamo
22 2
sin 3 cos sad uzmemo 2 ispred zagrade2 2
1 3 1 32( sin cos ) znamo da je cos i sin , zamenimo ...
2 2 3 2 3 2
2( cos sin sin cos ) malo pretumbamo....3 3
2
y x x
y x x
y x x
y x x
y
( sin cos cos sin ) ovo u zagradi je formula sin( ) sin cos cos sin3 3
2sin( )3
x x x y x y x y
y x
Znači, zadatu funkciju sin 3 cosy x x smo sveli na oblik 2sin( )3
y x
koji znamo da konstruišemo.
Ostavljamo vama za trening da probate sami da je konstruišete.
primer 7. Nacrtaj grafik funkcije: 3
sin(2 ) cos(2 )4 4
y x x
Rešenje: I ovde imamo zeznutu situaciju. Najpre moramo prebaciti kosinus u sinus preko formulice za vezu trigonometrijskih funkcija u I kvadrantu:
cos sin( )2
x x
www.matematiranje.com
10
3sin(2 ) cos(2 )
4 43
sin(2 ) sin[ (2 )]4 2 4
3sin(2 ) sin[ 2 ]
4 2 45
sin(2 ) sin( 2 ) dalje koristimo formulicu: sin sin 2sin cos4 4 2 2
5 52 2 2 ( 2 )
4 4 4 42sin cos2 2
2s
y x x
y x x
y x x
x y x yy x x x y
x x x xy
y
2
inx
52
4 4x
52 2
4 4cos2 2
34
22sin cos znamo da je sin 12 2 2
34 22 1 cos( )2 2
32 cos(2 )
4
x x
xy
xy
y x
I ovo je za trening...Ako se ne snalazite, pošaljite nam mejl pa ćemo probati da vam pomognemo, nekako.
www.matematiranje.com
1
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
Sinusna teorema glasi: Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.
Rcba 2sinsinsin
===γβα
Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla.
Sinusna teorema se primenjuje:
1) Kada su data dva ugla i jedna stranica 2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica
Kosinusna teorema glasi: Neka su a,b,c dužine stranica i je,,βα veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla ABC. Tada je:
jeabbac
accabbccba
cos2cos2cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=
β
α
Kosinusna teorema se primenjuje:
1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih 2) Kad su date sve tri stranice trougla
2
Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su: → Površina trougla je:
→ Površina trougla je R
cbaP4⋅⋅
= , gde je 2
cbas ++= poluobim a r je poluprečnik
upisane kružnice → Težišne linije se izračunavaju: → Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica) jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana. bdacnm +=⋅ Ptolomejeva teorema → Ako su 1d i 2d dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade. Površina tog četvorougla je:
γ
β
α
sin21
sin21
sin21
cP
bP
aP
=
=
=
222222222
222
222
222
cbat
bact
acbt
c
b
a
−+=
−+=
−+=
3
αsin21
21 ddP ⋅=
Zadaci:
1) U trouglu ABC dato je 045=α , 060=β i poluprečnik opisanog kruga 62=R . Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.
____________62
6045
=
=
=
R
o
o
β
α
Najpre ćemo naći ugao γ
Rcba 2sinsinsin
===γβα
Iskoristićemo sinusnu teoremu.
⇒= Ra 2sinα
o
ooo
oje
75)6045(180
180
=
+−=
=++
γ
γ
βα
34
341222264
45sin622
sin2
=
==⋅=
⋅=
=
a
a
a
Rao
α
4
⇒= Rb 2sin β
⇒= Rc 2sin γ
2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice cmccma 6,32 == i ugao 0105=β
?
1056
32
____________
=
=
=
=
b
cmc
cma
oβ Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!
βcos2222 accab −+= Ajmo prvo da nadjemo o105cos )4560cos(105cos ooo +=
4)31(2
22
23
22
21
45sin60sin45cos60cos
−=⋅−⋅=
−= oooo
36
361822364
60sin622
sin2
=
==⋅=
⋅=
=
b
b
b
Rbo
β
( )332
dim21
22
23
2264
)30sin45cos30cos45(sin64
)3045sin(64
75sin62
sin2
+=
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅⋅=
+⋅=
+⋅=
⋅=
=
c
osrec
c
c
Rc
jeRc
oooo
oo
o
5
proverimo→+=+ 2)33(3612
3612
3369
3332322
+=
++=
+⋅+=
3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao 060=α . Odrediti bez upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.
A B
C
a
c=24cm
b=9cm
cmaa
a
a
abccba
o
21441
44121249257681
60cos2492249cos2
2
2
222
222
==
=
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
−+= α
33
)33(
3612
366612
)31(66124
)31(26322)6()32(
22
2
2
2
222
+=
+=
→+=
+−+=
−−+=
−⋅⋅⋅−+=
b
b
trikmalib
b
b
b
??,
60249
__________
==
=
==
Ra
cmccmb
oα
6
⇒= Ra 2sinα
4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao 060=γ i poluprečnik
opisane kružnice cmR3
37= . Odrediti stranice trougla ABC.
?,,
337
603
_____________
=
=
=
=−
cba
R
cmbaoγ
⇒= Rc 2sin γ
cmR
R
R
emoracionališR
R
R
Ro
373
32133
321
321
3422
2
23
21
260sin
21
=
=
⋅=
=
=
=
=
cmc
c
c
Rc
o
723
3372
60sin3
372
sin2
=
⋅⋅=
⋅⋅=
= γ
7
bbbbb
bbbb
bbbbabbac
o
3964921)3(2)3(49
60cos)3(2)3(7cos2
222
22
222
222
−−+++=
⋅+−++=
+−++=
−+= γ
→=−+ 04032 bb kvadratna jednačina ‘’po b’’
5
2133
1
2,1
=
±−=
b
b
→−= 82b ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj. Dakle 5=b
8
353
=+=+=
aa
ba
5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao 060=α . Izračunati poluprečnik opisane kružnice.
cmaaa
a
abccba
o
749
4089214026425
60cos85285cos2
2
2
2
222
22
==
−=
⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
−+= α
⇒= Ra 2sinα
?
6085
____________
=
=
==
R
cmccmb
oα
337
33
373
723
72
260sin7
=
⋅=
=
=
=
R
R
R
R
Ro
8
6) Ako su stranice trougla 2,,2 +− aaa i jedan ugao iznosi 0120 , odrediti stranice.
a
a-2a+2
o120
Pazi: o120 je ugao naspram najveće stranice (a+2)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−−−+=+
−−−+=+
−+=
21)2(2)2()2(
120cos)2(2)2()2(cos2
222
222
222
aaaaa
aaaaaabbac
o
γ
)2()2()2( 222 −+−+=+ aaaaa aaaaaaa 24444 2222 −++−+=++
0)5(21020 2
=−−=
aaaa
→= 0a nemoguće 5=a
72
33252
=+=
==−=−=
cac
bab
7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni. Ovde je najvažnije skicirati problem!!!
22
+=−=
=
acabaa
9
βα −
β
A B
V
.
0 a. .
x
Obeležimo traženu visinu sa OV=X Prvo nadjemo nepoznate uglove OVA∠ i AVB∠
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
−=∠
−=∠
β
αo
o
OVBOVA
9090
Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV
)sin(
sinsin)sin( βα
βββα −
=⇒=−
aAVAVa
sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.
⇒=AVXαsin
βααβ
αβ
−=∠+−−=
−−−=
∠−∠=
AVB
OVAOVBAVB
oo
oo
9090)90()90(
)sin(sinsin
)sin(sinsin
)(sin
βαβα
βααβ
α
−=
−=
=
aX
aX
AVX
10
8) U trouglu ABC dato je ,1=−ba ,23
=ch R=4. Bez upotreba tablica izračunati α .
?
423
1
________
=
=
=
=−
α
R
h
ba
c
Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla:
2
chcP ⋅= ,
RabcP4
=
Dakle: Sada napravimo sistem:
32
71012
12)1(1
121
1
2,1
2
___________
=
±−=
=−+
=++=
==−
b
b
bbbb
ba
abba
42 −=b Nemoguće Dakle 44133 =⇒=+=⇒= aab
122342
422
4242
=
⋅⋅=
⋅⋅===
=⋅
ab
ab
habRhabRhab
Rabchc
c
c
c
c
11
Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:
⇒= Ra 2sinα
Znamo da je o30=α jer je 2130sin =o
Dakle o30=α 9) Odrediti stranice trougla površine 33=P , ako je ugao 060=α i zbir stranica koje zahvataju dati ugao b+c=7 Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla: Dalje ćemo oformiti sistem jednačina:
127
==+
bccb
Izrazimo c=7-b i zamenimo u bc=12
21sin
84sin
2sin
=
=
=
α
α
αRa
?,,
760
33
___________
=
=+=
=
cba
cb
Poα
1233
2133
60sin2133
sin21
=
⋅=
=
=
bc
bc
bc
bcP
o
α
12
4334
217
0127127
12)7(7
2
1
2,1
2
2
=⇒==⇒=
±=
=+−
=−
=−⋅−=
cbcb
b
bbbb
bbbc
Znači imamo dve mogućnosti: 3,41 == cb ili 4;32 == cb Upotrebimo sad kosinusnu teoremu:
13
131225
21122916
60cos34234cos2
2
2
2
222
222
=
=
−=
⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
−+=
a
aa
a
abccba
o
α
10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC, ugao ABC= 0120 , ugao BAD= 0120 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po sebi:
A
B C
D
1200
1 β
.
13
Pošto je oABC 120=∠ i oABDBCBD 30=∠⇒⊥ a kako je
oo ADBBAD 30120 =∠⇒=∠ naravno trougao ABD je jednakokraki 1=⇒ AB a onda nije teško naći DB →⋅⋅⋅−+= oDB 120cos11211 222 Kosinusna teorema
3
321211
2
2
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−+=
DB
DB
DB
pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!! 030120120 ++=+ βα oo βα += o30 i važi još o90=+ βα pa je : oo 30,60 == βα Primenimo definiciju:
2
323
360sin
=
=
=
CDCD
CDo