matematika 2matematika 2 33 # ˆ˘ ˝ ˚ * ˘ ˘ = ˚ ˙ a ˆ ˘ 9ˇ = : ˇ ˝ ˆ˘ ˘ aˇ ˘ a ˇ ,...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA 2 2011./2012.
����������
�� ��� ��� ���� ����������� ���������� ���������� ��������� ��������� ���� �� ������� ������ ���������
MATEMATIKA 2 1
����������
� ����� ���� ������� ���� ���� �� � ������������� ������
� �� ������� �� ���� ��� � ������� �� � !�"�#$%� ����&��
� $� '(��%�� ������� ���� ���� �� ) � * +�,� ������� �� ������ )--��
� ,��%.//��� ���0�"��,�/���� ,��%.//��� ���0�"��,�/���*
� ,��%.//111�%�0"��,�/���� /������� ��/"�� %��/� "�2������� ���%�0
� �� �� 3�� �� �� ����� � ��4�� %� ���� � � 4�������� �� " %� ����� �� ��,� ���� ��(��+�,� ���� ��� �� ������ )--5�
� 6��(���#������ ����� 3�� �7�������������� �� ���� �� ����� ����� ���� ��� 8��"����� �� ������ )--)�
MATEMATIKA 2 2
�� ������ � � ������
MATEMATIKA 2 3
!"! #���������� ������� � ������� � $�������
%�������� ����������� �������
� ����� � ( ���� � � %����(�� 9'����� ���:��� ���� "("��� ���
��� ���� � � ��� �� �� �
� � � �� � � ��� �� �� � � ��
� ����� ��� ���� "("���.
� ;��� �� � � %����� ���� �� �� ����( �������� ���� "("��� ���
��� � � ��� ���
� ;��� �� � � � ����� � �� ��
� ����� �������
9 ���� � ( %� � ��� "����(:�
� ;��� �� � � ���� � � (������"� � � � � �
� � � � � � ��� �
���� ������
� ��
� � � ��� � � �� ��� � �� � � � � ��� �
MATEMATIKA 2 4
1
� +���( � � ��� �� ��� ��� ",� 4��� 9 � %��:� ����( ��� <���( " �
��� # %����� " %#
������ ��� ����� "("���� %� ��������� ��
� ���� ����� � ( ���� � � %����(�� ��� ���� "("��� ���
��� ���� � � ��� �� �� ��� �� "� %� � ���
�# " %�(���� " %����� "
x
yT=(ϕ,ρ)
ϕ
ρ
x
y
O0 1
��� �� ���� ��� <�( '����� ��� , ��� �� %���� ,��� ���� �� �� � � ��� ����� � � � ��
� � � �� � � � ��
�
��� �
�
�� ���� � ��
�
�� ��� <� ����( � �� ��
������ �� � ����(��
%�������( � ��
MATEMATIKA 2 5
&�������� ����������� �������
� ����� � ( %�"��( � %����(�� 9'����� ���:��� ���� "("��� ���
��� ����� ��� � ��� �� �� �� �
� � � �� � � ��� �� �� �� � � � � ��
� � � ��� ��� ��� ���� "("���.
� ;��� �� � � � ���� �� ���� �� �� ��� �����%���� "("��� ���� ���
� ;��� �� � %����� �� %���� ����� � �� � ������ �( � ���� �� �� � ��� ��� ���� "("��������� � � ��� �� �� %����� # �#"��
� + �� �� ( %�"��( ��=� ��� � � ��� ��� ��� ���� "("��� ���� �� �� �
�� � � �� � � �� �� ���
� �� � � � � ��� � � ������� "( � %����� ��� ���� ( "("���(
MATEMATIKA 2 6
���� �� �� �� %����� �� � � ����� � �� ���� �(� � � �� ��� ���� ( "("���( ��� �� �� ��%����� �� � �� ����� � �� %����� ��
x
y
T=(ϕ,ρ,z)
ϕ ρ
x
O
1
zz T''
T'=(ϕ,ρ)
Π
y
� ���� $���������' � ������� � ��' ����������
� ��� �� �� ����
� � � �� � � � ��� � �
�� �� � ���� �� ��
� ���� �� �� ����
� �������
�� ���
� � �
�� �� � ��� �� ��
MATEMATIKA 2 7
� '�� ����� ���� ��
� > '����� ���� ��� ����� "("���( ��� �� �� ��"� ����� �� � ���� ��� ��� �� �� �� %��"������ ���� , ���� �� � � ��� � � �� � � ���
� > � � ��� ���� ��� ����� "("���( ���� �� ������� �� � ��� ��� ��� �� �� "� �� %��"���?��� ���� , ��� ��?.
� � 9%�(���� �� ��� <���� "� �#" �������:�
� � �� 9� �� � � ���� ��� "�� ����� ( %�"��( ����� �� (������"� � �# " ������� ��:
� � �� 9���� ��:
zT0=(ϕ0,ρ0,z0)
ϕ0x
y
z
T0'
T''0
ρ0
ρ =ρ0
z0=z0
ϕ =ϕ0
z0
poluravnina
ravnina
cilindar
MATEMATIKA 2 8
2
� (����� ����������� ������.
� ;��� �� � � � ���� �� ���� �� �� ��� �����%���� "("��� ���� ���
� ;��� �� � %����� �� %���� ����� � �� � ������ �( � ���� �� �� � ��� ��� ���� "("��������� � � ��� ���
� ;��� �� � � �� �� %����� �( �� ���� �( � ������ � � � �� ��
� ;��� ��. � � ���� � � � ��
� � �� �� # �(� ��� <�( ��� �("#����������
��� �
� �� � # �(� ��� <�(��� ��� �("#������
����� ��
� + �� �� ( %�"��( ��=� ��� "0��� ��� ���� "("��� ���� �� �� �
�� � � �� � � �� �� ���
� �� � � � � �� ��� � � ��� �
MATEMATIKA 2 9
x
y
T=(ϕ,θ,r)
ϕρ
x
O
1
zz T''
T'=(ϕ,ρ)
Π
y
θ
i
kr
6� �� � �� %� � ��� ���� �#" ��� "(�� "0���� ��� ���� ��� �� �� � �� ����� ��� #��� �� ��� @",� 4�( � "� %� � ����(�( "0���� ��� #���� ��� �� ��:�
� '�� ����� ���� ��
� > "0���� ��� ����� "("���( ���� �� ������� ����� ��� ��� �� �� "� �� %��"��� ?��� #���� , ��� ��?.
� � 9%�(���� �� ��� <���� "� �#" �������:�
� � �� # "�A�� " ��,� ( ",� 4�( �
� � �� # "0��� "� "��� 4��� ( ",� 4�( � ��� �("� ���
MATEMATIKA 2 10
x y
z ϕ = ϕ0
θ0
θ =θ0
ϕ0
r = r0
T0
poluravnina
sto ac
sfera
� ���� $���������' � ������' ����������
����� � ( %�"��( %����(�� ��� ���� "("������ �� �� �� "0��� "("��� ���� �� �� ��� �� "�%� � ��� � #" %�(���� " %����� " �� �� �"� %�(�����( �#" �A�� ���� � ���� ��� <�(%����(�� , ��� �� �� "0��� , �� �� �� ��� ���� � ���� ����� � .
� � �� �� �� ����
� � � ��� �� � � � ��� ��� � � �� �
�� � ���� �� ���
MATEMATIKA 2 11
� ���� �� �� ��
� �
�� ��
�� ������
����������
� ����������
�� � ��� �� ���
�� ��� <� ����( �(�� � �� ��
������ �� �
����(�� %�������( � , ��� �����
&������" +���� �� ���� �
����
������ ( %��#��(��� ��� ����� "("���( �� ( "0������� ����� "("���( %� ���
�� �
��
��
�� �
���� ��
�� �����
��
�
� � �
�
�
�� � ����� ���
��� � ��� � ���� �����
���
��
�
��
�� ����� � ��� � ��� �
��� ���
���
� ���� � ��
MATEMATIKA 2 12
3
!"" )��� $��'�
%������ � $�������
��� � # "�� .
� �����"�� ������A�� ���� �� �
�� � ��� � ���� � ��
� ������A�� ���� �� � ��� �� ������������� �� � � �� � � ���� � �� �� � �� �� � ���� � �� �� � �� �� � ��
������ � ��
� ������A�� ���� �� � ����� ����� �� ����� ��� ��� �
���� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��
� % � �� � ������A�� ���� �� � �
�� � �� � �� � � � ��
� 9�����"� :.��� � ��� � � � ��
���� �� ��� � ������� ������ �� ���� �� ��� � ���� ��� ��� � � � � ��� �� �� � �� ������ � � ���� ��� ��� ��� � ��� �� ��
MATEMATIKA 2 13
xy
z
T1
Tr1
rO
n0
� "������� �� � ������A�� ���� �� ��
��
!��
"� ��
&��'� ������ ����;��� �� ( %�"��( ����� %����(�� ��� ���� "("��� ��� �� �� ��� �� $��'�� ������� ���� 9 � ���������: %����(� ����� "�(% "� , ������� � ��� �� �� ( %�"��( �� �� ��� ���� ����������(������A�( ��(��� "�(%���
��������������� � ��� � #���
�$� � %� � &� � ' � ��
" ����� � ��=� ���� �� � � � � � # $ % & ' %� (����� �� �� ����� ����� � � � � � � � # ���� �� � � �(��� �"��� �� ��" ��� ��� "������ ����� ���
MATEMATIKA 2 14
� ������A��
��� ���� � �� � ���
� � �� � ���� � (�
%���"������ ������� $��'� 9 � �����: "� ���������) � ���� ��� ��� $��������� 9 � ���������: ( � ��
� ;�%���� %��"��� �� %�,� ���� �� %��������" ��� ����� ���� �� ��"� � ��(A� �� � �����4� %����� �� "� ��(A� �� ( %�"��( �A� ����� �� %��"��� "0��� ���� ���
xy
z
��� ��
� �� ���� ������ �� �(�#��"����� ! " ������A��
��� ����
��
�� � ����
!��
�� � ����
"�� �
��� <�(�� %�,( ��( ��� ��� ���$������� ;��#��� "( " ("%����� " ��� ���� � " �� ��(�� �� "( � ���� � � �!� �"��
MATEMATIKA 2 15
� ;�%���� �� %" �� %��"��� ���� ���� ("%���#� � " ��� ���� � " �� ��"( � ��(A� �� � �� %"� � ������ �� � ��� � �� ( "�(����( � ! � "�� %" � %"���� "0����
� ;������ ������A��
��
����
!�� ��
"�� �
% "(�� ����������� ���$�� � �� '�$�������� 9$� ��9�::�
� ;���� ��%���� %��"��� ���� ���� ("%���� ��"� �#" ��"( � , %����� � ����� �� "( �(%��"��� ���� ���� ("%���� � " ��#���� ���� %"��
� � �� ��� � ���������
�� �� � � �� � � � � !� !� "� "�
�� ��� ������A�( ? "��? %�,� ( ��(��%�A��( 9�#" �� ?%���4����?:.
��
"����
�� ��
!�� ��
� �4 ����� ����� ������� �� ��� ���#
MATEMATIKA 2 16
4
���A�( 9?%���4����? �� �#":.
��
!����
"�� ��
�� ��
x y
z
x y
z
(a) (b)
��� ��
� ������A��
���
�� ��
!����
"�� �
% "(�� ��������� ���$�� � �� '�$�������� *$� �� 9�::�
� ;���� ��%���� %��"��� ���� �� ("%�����"� �#" ��"� , %����� �� �( �� ��%���� %��"������� �� ("%����� " ��#���� �� � �� %"� � ������
MATEMATIKA 2 17
� � �� ��� �� ����(�( � ��� ���� 9��� �����: �� �� ��� %� %���� ��"����� � !� " �� ��� ���#���A�� ? "��? %�,� ( ���� �� � � %�A�� ��.
���
"�� ��
����
!�� �� � ��
!�� ��
"����
�� ��
x y
z
x y
z
(a) (b)
��� ��
� ������A��
��
����
!�� �
% "(�� %�,( ��( ��� ��� ���$�� � ��� $�����������*$� *� 9�::� !���� ( ���( � � �� � ��� �� ����,� ��� 9�������"� : %�����
� '������� "� ��� %��"��� �� %�,� %� ����� � ����# ���� ��� "( %�������� ��� ���� � ���� ������"( �� %"� � %�������
� B�������( � � � �� ��� � �������� �� ��� �4MATEMATIKA 2 18
�� �� ������A�� ? "��? %�,� ( ���� �� � � %�A�#� ���
� ������A��
��
!�� ��
�� �
��� <�(�� '�$������ � �� $��������� *$� *�9�::�6����� ������� 9 � �� ��� � ���������: �� ���� �� �� %�,��
� ������A��
��
����
!��
��
"�
% "(�� �������� 9 � �������: $��'� *$� C�:� B%��"( ��( �� �4 �� �� 9� �� ����: ��� ������
x
y
z
��� ��
MATEMATIKA 2 19
� ;������ ������A��
��
����
!�� �
��
�� ��
"�� �
� � ��
% "(�( ���� ���$�� � �� '�$������ � �� $������� � ������ � ���� 9 � ������� � ��: $��'� 9$� 5�:� 3���� ��"( ( � � ������A���� ��( �� %� �� "%� ������ �� ���� ������� B�� �������"�� %�,� "( "�� ���%"��� %� ���� 9% ��: �������"�� %�,�
xy
z
x
y
z
xy
z
��� �
MATEMATIKA 2 20
5
+�,�� ��� !"!" ;��� �� ( ���� � � ���� �� �(��� ���� ���� �� %����� �� %����� �� ���������"�(% "� , %������ ( %�"��( �� " ���( �� �(��( � ("%���� "( " %������ � +��� ���( � "��� %����������� � "�(%� %� %���( 9������(: (� �( ��� #��� ���� � ����� 9 � � � ��� ����: $��'��� �� ����� � �� �� %����� ������� � 9 � �������� "�:� �� ����� ������� � 9��� ����������: �� �������"�� %�,��
�� ���� �� �� %� ���� �������"�� %�,
��
����
!�� �
����� ���� �� ��"� �#" � ������ �� �� �� �� %"�
��
����
!�� �� � � ��
�� � ��� � �� �� "���� ���� �� 9�� � �����: �������"��%�,� 9�� �� �(��( � ����� (��� �������( � %������:�
MATEMATIKA 2 21
;�%��� � � �� "� %�"���� �� �(��� ���"������( %��"���� �� �( %�,��
&������" $� � ��� � ��� * �� <��� %�,���
� � � ��� � �� � ���� � ��
9� ( � ���"� "���A�� ( ������ %�(%�"��(: % "�� �� ( %����(��� � � ��� ���� ��� �����"("���(�
+ ��� * ��� <��� �� %�,��� � � � ��� � ��
9%����� �: � ���� � �� 9"�A�"�� %�,�:�
x
y
z
z=2-x2-y2
z= x2+y2
B���� � %����� �( *�� � ���� * �� ��#���� �(.
MATEMATIKA 2 22
� B���� � %����� �( �� �(��� ��� "� ����� ( %��"#���( %������� , %�,�� �� � ��� �� ����� �� � ��
� � � � ��� � �� � ���� � �� �� ���
�� � � � � � � �� � �� �� � ��
� 3���� ��� � � � � � %� �� �� � �� � �� 3�(� �� ���� �� %��"������ �� �(��� �� ��(A� ��
�� � �� � �� � � ��
%����� �� %��"������ �� �(��� �� ��#���� �( ����(A� �� �� � �� � ��
� +��A��� %����� �� *�� �� ��(�
� ����� �� � �� � �� � �
��
MATEMATIKA 2 23
� >�� � ����� � � ��� �� �� %� %��� � ���( *� ��������� %����� �� � � � ��� �� �� �� ��#���� �( ���%� %���� ��(�( �� � � ����� �� �� ���� �� ��� #���� �� ��� �� � � � � ���� �� � � � ��� ���
� '����� �� �# ��� ���( ����� � � ��� �� �� � *�� ���
��� � �� � � 9����� � ��A ���� "�A�"��
%�,�: � � � �� � �� 9����� � ��A "%� %�,�%����� ��:� 3����
* ����� �� �� � �� � � � �� �
��� ��� � �
��� ���
��� � �� � � � � �� � ��
��
� > � � ��� ���� ��� ����� "("���( ��� ����%����� �� � � � �� �� �� ����� � � �� �� �� � *��� ��A�� ( ��(�( �� ����� �� ���� �� ��� ������ ��� � � � �� � � � � �� >���� �� �#��� ���(��� � �� � � � ������ %����� ( � � � � ����
3����
* ���� �� ��� � � � �� � � � � �� � � � � � ��
��
MATEMATIKA 2 24
6
!"�" ������ ��� � �� ���
�,���� !"" ���� �� � � �� � � � � � � � ��
������
� � � �� �
��� ��� ������ ������� �� � ������ ���������
���� ��� ������� � � ��� � � � ���� ��� ������� � �
9� ���� ��� ����� ������ ���� ��� ������� � ���� ���� � ������A� �� ���� � ���� ���� ��������� � � ���
��� � ������ ���� �������� ������ ��� ���#����� 9������� ������: ��A��� ������ � ���� ������ ��� ����� �� , ����� � � �� ����� ���������� ���
������� ��� �� � � ��� ������
� � � �� �
��� ��� ������� � ��� ���������
��� �� � � ��� � � ���� �� � �
MATEMATIKA 2 25
� � ��� � � � � � � ���� ��� ��� �� � �� � �����������
� �� � � ��� ��� ��������� � � �� ��� ��������
������ ����� �������� � ���������� ������
� � ���� ���
���!� �� � ��� ������� ��� ������ ���������������� ��� �� �� ����� ��������� ���#���� �� �� �� �� ���� ��� ��� � ?��� ������?�
����
�� � � ��� �� ���� ��� � ��� �� � �� � ��
��� ��� "��� ������ � � � �� �� � � ��� #��� ��������� ������� ��� ��� ������
�����" $���� � � ���� � � � � ��=��� ������
� � �� � �� �� � ��� ���� �� � ���� � � � ��
��� ���� �� ��=������ �������� �� ���� ���� ����#��A��� � � � � � ���
�� ����� �� � �� � � �� �
�MATEMATIKA 2 26
y
x
2
20
� ���� �� � � ��� ������� � � �� �
��� ��� ������� ����� ���������
��� �� �� � � ��� � � ���� �� �� � �
� � ��� � � � � � � ���� �� ��� ��� �� �� � �� � �����������
� �� �� � � ��� ��� ��������� � � �� ��� ��������� � � ���� �� �� � ��������� ����� 9����� �� #��������� ������� �� �� �� ���� ��� ��� � ���������:
� "��� ������ � � � �� �� � � �� ���� � � ��� �� �� � ��� �� ��� � ��� �� �� � �� � �
MATEMATIKA 2 27
9� ��A��� ������:
�����" %�� ��� � � ��� ���� � �� � �� � � ��=���������
� � �� � �� �� � ���
��� �� �� �� ���� �� �� � ��� ���� � �� � �� � ��
��� ���� �� ��=������ �������� �� ���� ���� ����#��A���� �� � �� � �� � �� � � �� �����
�� ����� �� �� � �� � � � �� � �� � �� � �
��
#��� �� ������ ��"�!� �� ������ 9���������:���� �� � � �
� & ������� � � ������ �������� ���� ��� ��#"� � �A� �������� �� '� �� �����!� ��������� �������� �� ���� � �������� ��� ��� �� ���� �� �������� � �� ��� � � � 9��������#�� ��#�� ���: ���� �� �������� ��� ���� ������� 9��� �����: ������ � ������ � 9��� "������ :� %� ���� � ��� ���� �� � � ��� ���� ����� ����������� ��� ���� �����A��� ���� �� � ���
MATEMATIKA 2 28
7
x
y
z
z=z0
z=f(x,y)
z0=f(x,y)
����� � � ���� �������� ��� ���� �� �������� ��������� ���������� ��
�����" �������� "��� � �� ������
���� �� ���� � ��
����� ������!� ��"� � �������� � ���������� �� #���� ��� �� ���� ��������� � �����
� � �� ��� � � � 9�� �� ������ � � � � � � � �(� � �� � � � � �:(
� �� ��� � � � 9�� �� ������ � � � � � � � �(� � �� � � � � �:(
� �� ��� � � � 9�� �� ������� ��� ���� 9���A��:�� � �� � � � � �:�
%���������� �� �� � ���A���� �����
MATEMATIKA 2 29
x
y
z
x2+y2=1, z=1
z= x2+y2
z=1
� ����� �� � ������� � � � � � � � ��� �����
�� � � "� ��� � � ������� ���� � 9��� �����
���� � : ������ � � %����� � ��� �����A��
���� �� �� � ��� �� � � ��� ����� ����� ���� ���� ������� ������� ����� ������ �� � � �������� ��������� ������ ���
�����" )������ ����� �� ������
� � � � �� � � �� ���� �� �� � � � �� �
���� �� �� ��� � ��
��
�� ����������� 9��� ?������?: � ��
��
��� � ��
��
�� � � ����
MATEMATIKA 2 30
x y
z
!"�" �� ����� ��� ���� � ����� ����
�������� ����� ��=����� ��� � �� 9��: ���� ?���� �����?��� ��� !� ���� ?� � ������ ? �� ���� ������� ������
%����A�� !��� �� ��������� ��������!� ��������� ��� ������� ���
� �� � � ��� �� �� � �� � ���� ��� ��� � �� ���������������� ��=����� ��
� ������ ��
��� ���� � �� � ���� � �� � �����
� �� � � ��� �� � �� � ���� ��� � �� ��
� ������ ��
��� ���� � �� � �����
MATEMATIKA 2 31
� ���� �� �� � � ������ � ���� 9������ � � �: � ���� �������� ��������� � �
������� ��
��� ���� � ��� ����
� � ����� � � � ���� ������ � �������� � � �� ������ �� ������� ������ � �� ������ � � �9������ � �� � � ���
�,���� !"�" $� ���� ���� ����� �� � �� � ���� �������� � ����
���� � � �� � �� � � ����� � � � � ��
��� ��� ��� ������ ������ ��������� �������� ���
K(T0,ε)
K(T0,ε)
K(T0,ε)
����)�!� !��� �� �� ���� � � �� ������ ����� �� � ���� ������� ��� � ���� �� �� ��"�� ���� � � � �
MATEMATIKA 2 32
8
$� ���� � � �� !��� ��!� �� �� ������ ��� �� ������� � ��� � ��� ����� 9������� � ���� �����A� ��� ���� ����� ?����?:� ���� ���� ���� ����A������ ������ ��� ������ 9������� � ���� ����A������ ���� ����� ?����?:�
y
x
otvoren skup neotvoren skup
0
)�!� !��� �� �� ����� �� �������� ����� � ���� ��� ������ �� �� ������ ���� � ����� $� ���� ���A��� �� �� � ����� ��� ����A� � � � ��� "���#����� 9������� � ���� ����A� � � � ����� ?����?:�
��� �� ����� � � � ������� ��� ������ ���� ������� ���� � ��� ��� ��A��� �� �� � ������ � ����� ����� �
���� � � �� �� � ����� ��� �� ��"� ����������� � �� �� �� ��� �����
������ ��!� !��� �� �� ���� � �� ! � ���������� ��� ��"�� ���� "� ����A��
MATEMATIKA 2 33
#����� �������� ����� ������ ��� ���������
*����� � ��=�����
��A��� �� �� �� � � ����� ������ � � ��������������� �� � ���� ��� 9�������� ��=���� �� � : � ������
���������������
���� �� � ���
��� ��������� ���� �� ��A� ����� �� ��� ��� �� ��A������ ���� ��� �
�,���� !"�" ���� �� ��� ������ � � � � �� � �
�� � ����� �� ���� ��� �������� ����� �� ��)�!� !��� �� �� ���� �� � � �� ����� ��� ���������� � � ������ �� ���
�� ����� ����� � � ������������ � � � ���� �� ��� � �
�%���������� �� �� � ��� ��� ���� � � �������� � ���� �� � � ����& ��� ������� ������
������
��� � � �� ��� ������� � � ���
MATEMATIKA 2 34
" ���� !"#" ��� ������ ���� �������� ��������
��������
���� � ��������
���� � � �� ������
���� � ��
����
���������� � ��
���������� �� ��
�������� � ��������
+ ��� �� �������� ���A����� %��� � ���� ,�!�, � ���� ������ ��������� �� ���� �� �� ����� � ����� � ��#��� � �������
" ���� !"$" &������ ��
��������
���������
���� �� � �� � ��������
���������
���� �� � ��
�� �� � �� ���� ���������������
���� �� � �������� + � ��
�������� ���� �� ����� �� ����� � ������� 9�� �� �������� �"� �� ����� �� �������:�
MATEMATIKA 2 35
-20
2
-20
2
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
-20
2
-20
2
-�� ���
�� � ��
�����" *�������� "����� �������� ������
���� �� ���
�� � ��
� ����� ��� ���
&������ ��� �� � ��� �� ��� �� ���� ��� ���� ���� �������� � � � �� �����
�������
���
���� �� � �����
� � ���� � ����
��
� � ��
� ���A�� ����� � ������� ��� �� ��������� � ����������������� ����������
MATEMATIKA 2 36
9
-4
-2
-0.4 x-0.2
4
2
000.0
-2
y
-4
z2
4
0.2
0.4
���� � ���� � ��� �� � �������
-0.4
-4
-2
-0.2z
x
0.00
0.24
2
0
-2 y-4
0.4
2
4
MATEMATIKA 2 37
�����" ������
� � �� ���� ��� � �� ���� �� � ���� � ��
��� � ��
�
��� � ����� ��� �� "����� �������� � ����������� �� � ��
&������ ��� �� � ��� �� ��� �� ���� ��� ���� ���� �������� � � � �� �����
�������
���
���� �� � �����
���������
��������
� �����
������ � ��
������ � ��
� � ��
��� ���� �� ����� ������� � �� �� ����� ��
MATEMATIKA 2 38
- 2
0
2
- 2
0
2
0
0 . 5
1
- 2
0
2
- 2
0
2
.�� � �� ������������
$������ �� ��A� �������� � ���������� � ������ ��#�������� ���!� �� � � � �� � � � � � ������� ��� ��� �� ��� � ���� ��� �� �� *����
�������
�������
������
� �����
� ��
��� ��
���!� �� ���� �� �������� � � ��� � � ��� � ������� ����� ?��������? � ����� ��� ��� ����� � � ��� ���� ���� �� ����� �������� � ����� ��� ��� �������������� ����� ������� � �� �� ����� ��
MATEMATIKA 2 39
'����� � ��������� �������� �� ������ � ��� ���#������
%��� !"&" ���� ��
� � ���������������
� ��� ��
��� ������� �������� ������
�� � ������
�������
� ��� ��
�� �� � ��
����
�������
� ��� ��
���� �� �� � � � ���
%�������� � �������� ��������� ������ �� � ������ ���� ��������� � �������� "����� �����#���� ������ �� � � �� �������� ��"� ���� �������A� ��� ����� ���� ��� � ��� � ���"��� � �����#���� ������ ��
%��������� �� �� �� � �� �� ���� �� ����� � ���������
MATEMATIKA 2 40
10
����� !� ���!� �� ��
�� � �����
������
�� �� � �
�� �����
���� � ���
�� � �����
������
�� �� � �
�� �����
� � ��
�� � ������� ����� �������������
�� �� � �
�
����� � /������ ������!��
�� � �����
������
��
�� � ��
�� �����
� � ��
�� � �����
������
��
�� � ��
�� �����
� � ��
����� �������� ������ ������� � �� ������� �������� � ���� � ������� �����
�������������
��
�� � ���
��� ��� �! ������ � ����� ������ ���������
MATEMATIKA 2 41
�,���� !"'" ���� �� ��� ������ � � �� �� ���� � ��� ��� ��
���������������
���� �� � ����� ���
��A��� �� �� ������ � �������� � �����
���� ��� � �� ���� �� � �������� � � ���� ����� ��� �� � ����A��� �� �� � �������� �������
MATEMATIKA 2 42
�����" ������
���� �� �
��
�� ������������ � ��� �� � ��� ��
�� ��� �� � ��� ��
�� ��������� 0�� ��
�������������
���� � ��
��� � ��
� � � ���� ���
" ���� " 1���� � ���������� ������ ����� ���#����� �� ����� ��=����
" ���� " $���� � � � ������� � � � ���A��� � � � ������� �
� 9��� "�� �� ��=����: ����������������� ������ ���� �������� ������� �������
MATEMATIKA 2 43
���� ������� � ����
����������� �� �� � � � � �� � � �� � �� ������������ ��� � �� � ���� ��� � �� ����� ��� �������
������ � � �� � ������ � � ���
�������� ���� ��
��� � ��� �� � � � ��� � ��� �� � ��� ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ����A� ����� ��� ���� ������� ���
� ���� � �� � ��� � �� �� ��� � � ��� ���
� ���� � �� � ��� � �� �� ��� � � ���� ��
������� �������� �� ����� ����� ���������� ��� ��������� ���� ���������� �� ������� �� ������
f1(x0)=f(x0,y0)
y
z
z=f(x,y0)=f1(x)z=f(x,y)z=f(x0,y)=f2(y)
T=(x0,y0)
x
DDy
0
Dx0
MATEMATIKA 2 44
11
� ,��� ���� ���� �� � � � �� �� � � ��� �� ������� ��������� � ���� ��� � �� ��� ������� �����
������
���������� � ����� ��� ����
������� � ������ ���
��� �� � �����
��
����� ��� � �
����� ���
���� � ����� ��� �������� ���� ���������� ����������� � ������� � � ����� ���� ���� ��� ������� �����
������
���������� � ������ �� ����
������� � ������ ���
��� �� � �����
��
����� ��� � �
����� ���
���� � ����� ��� �������� ���� ���������� ����������� � ������� � � ����� ���� ����
��� ��� ������ ������� �� ��� ��� �� � � ������������� �� ��� ���� ���������� � � � � �� �
� ��� �� � ���� � ���� �� � �
���� ��� ������ ������ ��� �� � �� ��
MATEMATIKA 2 45
� � � � � �� �
� ��� �� � ���� � ���� �� � �
���� ��� ������ ������ ��� �� � �� ��
������� �� ��� � �������
� � � �� � ���� � � � �� � ����
����� ��� ��� A����� �� � � �� ���� ��������� �� �������� � ����� ��������� ��� �������� ����������� �� �������!��� ��� ���A��� � �� ���� ����� ���� �� ����"���� � ����� ��������� ��� �������� � ���������� �� ��
MATEMATIKA 2 46
����� ��� #$����������� ���������� ��� ��� ������%������ ��� �� ��� ���� ���&
$�� �� ��� ���� ��������� �� ���%� ����� ���������� ��� �� � ���% �������� � � �� ��� � � ������� ��� ��������� ������� �� ������� ��������� ���������� �� �� �� �� !�� ������� ��� ��������� �� ��� �� � �� !�� ������� ��� �� ��������� ��� ��$����������� ���������� ��� ��� ������% ������ ���� ����� ��� � � ����� ������ � ���= ������ ������ ���!���� �� ��� ������� ���� ��� �� �� ���� ��� ������� �����
xy
α β
z=f(x,y)
(x0,y0)
tx0z Γ1
Γ2
0ty
����� ��
MATEMATIKA 2 47
����� ��� �����!�� �� ��=����� � ��� ������������ ��� �� ��� ��� � ���� ���������� ���� ��� � ���� �� � �����
������
���� ��� ��� ��� ����� ��� ����
� � ����� ��� ��
'��� ��� � ����� ��� ��� � ���� ��� ���(�%���� ����������� ������ ����� ���������� �� ����"����� �� �������� � � � ��� ���������� �� ��������� ���� �� ��
���� �� �� ������ ���� ���� �
��
� � � � �� � � � � �� ����� ������� �����
�������
������ ���� �� �� � �
� ������� �
��
�� � ����� ���� �� � ���� �
��
���
���� ��� ����� �������� ���������� ���������� �������� � ������ �� � � ����� � � � ����� ����� � �� ���� �������� �
��� �� ��� � ��� ��� �� �� ��� ����� ������ ���� ������ ��������� ���� ��A��� �� �� �� ��� �� ������� � ����� ��� ��� �� � ����������� ��������� �� � � �� �������� � � �������� ��������
MATEMATIKA 2 48
12
'������ �� �� �� ������ �� ��� ����� ��������� ������� ����� ������� ������������ '��� ��� ���������� �� �� ��� ���� ��������� ��� �� ������ �� ��������
��� �� �������� ��� �� �� �� ��� � � �� � �
������ ��������
���� �� �
�����
��
�� ��� ��� �� �� ��� ��
�� ��� �� � ��� ��
�������� ��� �� ��� �� # �������������
���� �� �� �������&�
��� ��� �� )����� ����������� ��� �� ��� ��� �����
� ���� �� � ������
� �� ��� ��� ���� ����
� ������
��������������
� ���
� ��
� ���� �� �� ����A� �� �� � � ���� �� � ��
*���� ���� ��� ������ ������ ��� ������ �� ��� � ������ �� ����
MATEMATIKA 2 49
� � � �� � �
� ���� �� �
��� �
�� � ����� ����
� ��� �� �� ��� ���� ��� �� � ��� ��
� � � � �� � �
� ���� �� �
��� �
�� � ����� ����
� ��� �� �� ��� ���� ��� �� � ��� ��
MATEMATIKA 2 50
� ,��� ����� ��� ������� ������������ ����% ���" ������% ������ ��� � ���� �� � � ���� �� #�� � ������ ��� ���� ���������&� �������� ��� ������ ������ �����!�! �����
�
��
�
�������
��� � �� � ���� " ��!� ��� ������ ������ ��� �� +
�
��
�
�����
��
��� � �� � ����
�
��
�
�����
��
��� � �� � ����
���������
" ��!� ��������� ��� ������ ������ ���
�
��
�
�������
��� � �� � ���� " ��!� ��� ������ ������ ��� �� ,
��� � ���� �� ��� ���� ����������
��� ������� ������������ ���% �� ��� �������� ����� ������% ������ ��� ��� �! ���� ���������!�� �� ��=����� ��� ������ ������ ��� ����!���� �� ��� �� ��� ��� ���� ����������
MATEMATIKA 2 51
�-���� ��� �� ��!� )�� �� � ��������� ������ ������� �� ��� �� ��� �� ��� � �� � � �� �� )�������������� ��������� �� ��������.� ���� ����� �� �� �� � �� �������/��!���� �� �� ������� ��� �� �������� �������
� �� � ����� *��� ��!�� � �� �" ���� �� ���
� � � � �� � �
��� ����� ����� ������� � ���� �� ��� �� ������������ ��� ������ ������ ��� ����! ���� � � �� �� � ���� ��� ������� ������� ��������� ��� ������������ ��� ��!�! ���� � �� � � �� ���� � ��!� ��������� ��� ������ ������ ��� � �� � � ������������ ��� �� ��� ���� � ��� � ������� ��� ����������
� ������ � ��������
#� ���� ��� ��� � ������#&
����� ��� ' %0����� ������ ��A��� ���� ��� ��� ���� ������ ��� #��� � ����������&� ��� ���� ��������� ������� ������������
MATEMATIKA 2 52
13
��� �� �������� ��� ��� ������ ������ ��� ��!�!����� � ��� � ��� ������ ������ ��� �� �� � � � ������ ���� �� �� � � ����� #����� !��� �������& �� �� ��
� � � � �� � � ��� ���� �� � ��� � � ��
*�=�� ����� ����� �� � �� �������� �������������� �� � �� � � � �� � �� ��� � �� ������������
������ ��� ���� ����� ��� �� ��� �� � ��
� ���� �� � ��� � ��
� ���� �� � ��
�
��
����������� �� � � ���� ��� ������ ������ ��� �����"������ �� ���� ��� �� �� �� ��� � ����� ������������� �� ��
� ����� �� � ��� ������ �� � ��
�
��
� ����� �� � �� �
�� � ����� �� � �
�
���
�������� �� ��� �� �� �� � � ����� #�������� �� ��������!� ���& ����������� � �� �� � ������ �� � � �� ������ ���
MATEMATIKA 2 53
��� �� ����������� �� �� � � �� � � �������������
���� �� �
��� �� � �
� � ���� ��
� ��� �� �� ��� ���� ��� �� � ��� ��
�
1�� ��� � �� ����������� �� �� � ��� ��� � ������ ��
� ���� �� � ���� � ���� ��
�����
��� ����
��
� ���� �� � ���� � ���� ��
� �����
��� ����
��
�������� ���� ��� ��� ������ ������ ��� � ������������� ��� #�� �� � ��� ���& � �������
� ����� �� ��� � ���� ��
��
�����
��� ����
�� � ����� ���
��!������� ���� ��� �� � ����������� ��� �� ��� ��2
MATEMATIKA 2 54
3� � �� �� ���� �� � � �� ����� � � � � ���� �� � ��� ����� � � �� �� �� � ����������� � ��� �� �� ���� �� � � � �
���� ��� ����������� �� ��
� ���� �� � �� ����� �� � �� �
���� �� � ��� � ���� �� � ��
�� �� ��!� ��������� ��� ������ ������ ��� �� � ��� �� ���������
� ����� �� � ������
� ���� � ����� ���� ���� �
� ������
��� � ��� � ���
� ����� �� � ������
� ��� ��� ���� ���� ���� �
� ������
��� ��� � ��
*����� �� ��� � �� ����� ������������ 4� )�����5���������5 ��!� ��� ������ ������ ��� � ����� �� �� ����� �� � �� )������ ������ ���2 .����� ������� ��A� ����������� �� ��� � ����� �� ��� �� ��� ���
MATEMATIKA 2 55
$��� ����������� ������ ��� ����� ������2
���� �� ������ � � � � �� �� �� ��������� �
����� ���� ��� � �� �� � ������� �������� ��������� ������ ��� � � ������ ����
���� ������ �� ����� �� �� � A��� ������ ������������� �� �� ����� ������ � � ��� � ���� � ��� ���� ���� ������� �������� ��� � ��� ����� ���
xy
α β
z=f(x,y)
(x0,y0)
tx0z Γ1
Γ2
0ty
����� ���������� �������� � ������ ��� �� ���=���� ������������ �� � �� � ����� �� � ���� ��� �������� ���� �
�� ��� � � �� � � ������ ������ ���� � � ���
�� ���� ������ �� ���
MATEMATIKA 2 56
14
� �������� �������� � ������ ��� �� ���=���� ������������ �� � �� � ����� �� �
�� ��� � � �� � � ������ ����� � ���� � � ���
�� ���� ������ �� ��� � !� � A�� ����� � �=���� �������� �� � �� �� �� ��
� ��� ���� � � ������ ����������� ������ ���������� � �
xy
α β
z=f(x,y)
(x0,y0)
tx0z Γ1
Γ2
0ty
����� ��" ������ ����� ������ ����� ���� ��� � ��� ������ ����� �� �� � A��� ������ ��� ����� ������ � ���� ���� ����� ��� �� ����� � �� � � �������� ������������� ������� � ����� � � ���� ��� ����� ���
MATEMATIKA 2 57
� ��� � # �� ��� �� � A�� ��������� ������ ����� �� �� �������
���� �� � ���� � ��
� ����� �� � �� ����$��� �� � ����� �� � ���� � ����� �� � ���� ����� � ��
� ���� � � �� � � ���� � � ���!� � A�� ��������� ����� �����
� � � ����� �� ��� � ��� ���
� � ���� �� � �
"������� �� � � ����� ������ ����� �� � �����%���� ����� ���� ����������� ������� &������ ������ ��� �� �� ����� � ��
���� �� �� � ������ � ��� ��� � ������
���� �� �� � �� � �� � � �� � � � ���
� ������ �� �� � � ����� �������������
MATEMATIKA 2 58
��,��� ����� '�����
��� �� � ����� ����������� ����������� ������ ���������
����� �� ���� ����� ������ � � ���� ���� �������������
���� �� � ����� ����� ������ ����������� ������ ���������
���� ��� �� �������� � � � ���� ����
����� ������������ ������� ������� ��� �� �������������� �� �� ������ �������� � ���������� � ����������� � � ��
" ���� ������������ �������� ����� ���� � ��� ���� �� ������ ������������� ����� ������ ����% ���� � ��������� ������ � ���������� ������� � ���������� ������ ��� �� � ��� � ������ ����������� ��� ����� �� ���� ��� �������� ���� ���� ������� ������������� ���������� �������
MATEMATIKA 2 59
� ��� � �������� ��� � ������
���� �� �
� ��
�� � ��� ��� �� �� ��� ��
�� ��� �� � ��� ��
��� �������� �������� � ����� �� � �� � ����� �� � � ������������� � � � ��� �� �����
��� �� � ���� �� � ���� �� � ��� � �� � ��
" ���� ������� ����������� ��� ���� �������������� � � ����� � � ������� ����� � � � ������������ ��� ���� �� � �
� (�� �� ����� � ����� ������� �� � ���
����� � �� �� � ��������� ������)
� �� �� ����� ������ �� � � �� ������������ ������ ���� ����
MATEMATIKA 2 60
15
&� ������ � �� � ���������� ��������� � ��)
� *�=����� ���
����� � �������������� � � ����� � �������
������� �
� #������ ��
�������� � � �����
+�� �� � ��������� � ��� � � ��
�������
� �������
�������� � � �����
�� � ������� ����� � ��
�� ���� �� � ������� � � ����� ����� �
����� � � ������� � ����
�� ���� � �� ��������� ������ � � �� ����� �
����� � � �������� �� �����������
� ���
� �� �� �������
� ��
MATEMATIKA 2 61
�� ���� ����� � �������
����� �� � ���� ���� �� ����� ����� ���
��A��� ������� ��
��,��� ����� '����� � � � ��� �� �� ������������ ������ � ����� ���� ��� ��� �� �������
�� � ����� �� � � ��� ���� �� ����� � ���� ���
� � �������� � ������
�� � � ������ ��� ��� ��� � � ������ ��� �� � ��� �
� ������ � �����
� �� �� � �� ������� �� ��� �� �
��������� +�� ������� ���� �������� ��������� � � � ��� �� � � ��A��� � �� � � � ��� �� ���������� *����������� ������ � ����� � �����%��������� ��� ������ �� � ��������� �� �� ����������������� �
MATEMATIKA 2 62
��� �� ����� +�� �������� �������� � �� � � �� ���%���� � ������ ����� ���� ��� � ��� �� ������ � � ��������� ��� �� � �� ������ � � � ��� �� ������������������ � ����� ���� ��� �
� ��� � ����A��� � �� ������ ���� �� � ����
������������ � ����� �� � �� �� � � �� ��� ��������� �������������
$��� ��
� ����� �� �
������� � ��� � ������ � ���� �� � �
� ����� �� �
������� � ������ � ���� �� � �
�� ��� � �� �������� �������� ������ � � ��� ���� � � ����� ��� �� �� ���� ��� �� ������ �� ���%����� ������������ ������ � ����� ��� ������������ ������������ ��
��� �� � ��� �� � � ��� � � � �� � �� � � � ��� �� ���� � ��A��� ������
���� �� � ���� � � � � � ��� ��
� ���� ����� ������ ����� � � �� ��� �����
MATEMATIKA 2 63
�������� � �� �� � �
��������� � � � ������������ � �� �� �� �
*����� � �� ������ ������������ � � � ����������� ���� ��� ���� ����� ������ � ���� ���� �����%������� ������ � ����� ���� ��� �
��,��� ����� ������ ��������� �� ���� ��� ������� � ����� ���� ��� �=����� ���
�� ���� ��� � ��� ���� ��� �� � �
�� ���� ��� ��
� �� �� �� � �� ���������� �������� ��������� � � ��
��������� ,� ��� ���� � �� ��� � ��� � � ���%��� ������������ ��A��� �������� ���
���� �� � ��� �� � ����� ��� � ������ ����
MATEMATIKA 2 64
16
������������ ������������ ������� ����������
-������ ��� �� ������ �� � ��������� ����� ��� ��� ��������� ����� � � ������ � ���� ��� �������%������ ��� ������� � ������� ��� ������� �� ���� � ������� �� ������� ������� ��������� � �� ����� ��������� ������ ���������
�� ��� �� � � �� ��� �� �� � ��� ��� �� ��
�� ������� � ��������� ������ ��� ������� ��������� � ���������� ����� �� �������� �������� ����%����� � � � �� �� �� �� � ���
df(x,y)
Δf(x,y)
(x,y)
yx
(x+dx,y+dy)
x
y
z
MATEMATIKA 2 65
� ��� � # �� ��� ������ ��������� ������
���� �� � �� � �� � ���� ���� ����� ����� ��� ��� .����)
����� �� � ��� � ���� � ��� ���������������� ������� ����� �� ��� ������� �������� � � ����� �� � ����� � ������ ����� �� � �� � ����� �� � �� � �����
����� � � �������� �� ��� ���� �� �
����������������� ����� ��������������� � ����� �
����� � � ���������������������������� � ������ ��� � ������� � � ����� �� ��� � � �� ���� ����� ��������� -� � �� �
������� �� �� � ���� � � ����� � �
���� � � � � � �� � ���� � ���� ��
MATEMATIKA 2 66
��������� �������) ������ ������������ � ������ ���������� ������ �� �=����� � �� ������ � ��� � ��(� ���������� ���� �� ���� �� �� ������ �������%����� ��
� ��� �� �� � ��� �� �� � � ���� ��� ��� � � ������ ��� ��� ��� ����� ������ ��� ��� �� � ��� � � ������ ��� ��� �� � ���
� ������ ��������� ���
�� ���� ��� ��� �
� ������ ��� ����� � ������� ��� ����� � �
������ ��� ������
��������� #���� ������� �� ����������� (����� �� ��� �� ������ �� � ���������� ������ ������� �� ������ ��(� ��������� �� �� ����� ������)
��� ���� � ������� � ������� � ��������
��� ��� � ������ � ����� � ������ � ����� � �������
��� ���
�
����� �
����� � ������� ����� � ������������
�
�� �� ������ � �������� � �������
MATEMATIKA 2 67
�� � ��� ����� �!�� �"�
���� �� � � �� ������ ���� � � � � � � ��������%���� ��� �� � ���������� ������ �� � � ������ ����� ����� � � ��� �� � �� ��� ��
+�� �� ������ �� ������������� � � ���� � � ���������� �� � � "�� ����� " ���� �"� ������� �����)
��� � � ���� � ��� ���� � �
�����
� � ���� ����� � � �������� � �
�������� � �
���� ����
�
-�/���� � ���� ����
� � �� �������� � ����� ����
�
��������
�� � � ��
�
���
+�� �� ������ ��� ������������ � � � ��� ����� ���(����� �������� 0� �� � � � ������ ��� � "�� ����� � �#�� �"� ������ � �����)
��� � ������� �
� ���� ����
� � �� �������� � ����� ����
��
� � ������ ����� � � ������ ����
� �� � � �������� ����� � � ������ ����
�
��� � � ��
�
���
MATEMATIKA 2 68
17
���� ������ � ��� � ���� ������ � ��� � � ���� �������� �������� � ��������� ��� �%����� �� +�� �� ��� �������� �������� ��� �%����� � ������������ � ����� �� � ������ �������������� � � � ������ "�� ����� �$��� �"������� � � ����� � �����)
��� �� � �
���
�� ��
�
��� �� �
�
�����
��
�
� �� �� �
���� ��������� ����� �
�� � ��� ������
��
�
�������
��
�
��
��
��� �����
MATEMATIKA 2 69
("'" ����������� ������ �������
��� �������� ���A� � �� ��� �� � �������������� ��� � � � ���� � � � ����� ��� �� � � � ������� ����� � �� ���� � �� ������
��
�����
��� ����
���� ������
������ �"��" ���� �� � � � � � � � � � � � ������� ����� � �� ��� � � � �� ���� � ���� � � � ��� � � � � � ������ ����� � �� ���� ���� � �������= ��� � ���������
� � � � ��� �� � � � �� ���� � ������� ������ � � ��
��� � ������ ����� � � ������
�
���
�� ����
�� ���
������ ������� �� ��� � � ���� � � � � ����� � ���� �� ���� ������ � �������
�
���
�� ����
� ��
MATEMATIKA 2 70
���� � ���� �� � ������� ������ � � ���� ��� ����� !� ��� � � ������ ����� � �� ���� �� ��� � ����� � ����"� ������ � � ������
�� � � ���� ���
���� ���� ��
� ��������� � �� ���
��� �� � ���� ����� �� ��� ��� ���� ����� ��� �� �����
�����
� ���� ��
�
�����
� ���� ��
� �����
������� �� ��
�� �
���� ���� ��� �� ���� ����� �� � ���� ���������� � � � � � ���� ���� � ����� � � #�� �� � � � ������� �$� �� � ��� � �� �� %����
�
����� � �
������ ���� ��
�
�����
�� ���� ��
� �����
������� �� ��
�� � �
MATEMATIKA 2 71
� ���� ��
�� �����
���� �� �
���� ����
�� ���� ��
� �����
� �� �� �
���� ����
�
� �����
� �� � ��
�����
���������
�� ����
�� ����������
��� �������
������ ������
�
���
�� ����
� �
� � �� � �������
MATEMATIKA 2 72
18
�������" &����� � ����� ��� �
� � �� � �� � � � �� �� � ��� ��
'�����
�
��� � � �
�� ��� �� �
��� � � �
��� �� ���
(��� � ���� � �� ��� � � ����� �� �
����� �����
���� � � �
����� �������
�� ��� �������
����� � � �
����� �������
��� �� ������ � ��
)��� ������� � �������� �� �� ���
���� � ��� � ��� � � � �� � ��� ��
MATEMATIKA 2 73
������ �"��" ���� � � � � ��� � ������ ����� ��� ��� �� ���������� � � � � ��� �� � � ���� �� � � ���� �� ������ ����� � �� ��� �� ���������� � ��� ��� �
�
���
�� ����
� �
�
���
�� ����
� ��
��������
u
x
z
v u v
y
�������" &����� ��
���
����A� � �� ���
� � � � � � �� � ��� � ����
�
���
������
� �� � ���� �� � � ��� � �������
�
���
������
� �� � ����� �� � � ��� � �������
MATEMATIKA 2 74
��������" )���� � ������� *�*+ ���� �� ����"������� ��� ����� � � � ��� � �� �� � � � ���� ��� � ��� ��� � � ���� �� � � � ���� �� � �� ��
�
���
�� ����
� ���
�� ����
�� ��
�
���
�� ����
� ���
�� ����
�� ���
��������
u
x
w
v u v
y
u v
z
u v
t
�������" ��� �
� � � � ��� � � ����� � ������� � � ��� �� �
������ � ��
�� ���� ��� �� �� � � � �� ���
,����� � ������� �
x
u
y z
r tsr ts r ts
MATEMATIKA 2 75
�� � ��A� � ��������
�
���
�� ����
� ���
�� ���
� �� � ��� � �� � �� � ����� � � ��� � �� �� ��(��� � ���� �� �� � ����� �� � �� �� � � ��� �� �� �������� � � �� �� � � ���� �� �� � ��� �� �� �� � �� �� � ������
�� � �� ��
���� � � � � � ���� � � � � �� � � � � � � ������� � ����� � � � �� ��� �� �
-��� �� ��� � � � ��� � ��"� � � ���� ���� ������.� � ���� ���� ,�� ��� ����� �� � � � ��� � � ������� � ���� � �� ��� � ����� �� � ��� �� �� ��� ����� � � �� ����� ���� � �� ���� � �� �����
,���� �� ������� *�*/� ����� #�������� �� �� �$
MATEMATIKA 2 76
19
�
�� �� ����
��
� �� ��
0 � �������
�� �
���
� ����
� � �
&�� ������ ��� � � �� � � ��� � � � ��� � � �
������ � ��= ��� ��� �� ��� �� ��&�� �� ����� ����"�� �����"� ����� ������ ������ � ���� ���������� � �� ��� � �� �� ����� � ��= ����� ��� �� ��� �� ��
������ �"��" ������� � ���������� �������� ����� � ��= ��� � � � ���� �� ����� � � �� �������A� ���� �� � ���� �� � ��� � � ���� �� � � �� � ���� �� �� �� ��� �� � �� � � � ������� � �� ��� � �� ��� �� ��A�� � ��� � � � ������ � ��= ��� ��� �� ��� �� � � ��� ����� � �� �� � ��� ���� ��������
�� ��
��
� � �
MATEMATIKA 2 77
�������" ��
� ��� � � � � �� � �� � �
��= ��� � � ������ � �� ��� ��� �� ��� ��������� � � ��� � ���� � ����� � ���� �� � �#�� � � ��� �� � � � �� �� � ����� � � � � � �� � ��� � � ��
� � � � � � �� � � ������� � �� ��� � � � ��� �� �� �$��������� � �� ��� �
�� ��
��
� � � � � � �
��� � � � � � �� � ��
,���"� � ��� .�� �� ����� � � ��� ������
������ �"��" ������� � ���������� �������� ����� � � � ��� � �� �� ��� ��= ��� � � � ���� ������� � � �
��� ����A� ���� �� � ���� �� ������� � � ���� � �� � ������ �� � � ��� �� � ���� � � �
�� ������� � �� ��� � �� ��� �� ��A��
� ��� � �� � � ������ � ��= ��� �� ��� � � ���� �� ��� ����� � ���� ���� �� � � � ������ ��������� ��
�
�� ��
��
� ���
�
� ��
�
� ���
MATEMATIKA 2 78
�������" &����� � ������ � ���������
���
������ � ���� � �� ���
� ��� � �� � � � � � � �� � � � � ��
!� ��� � ��= ��� � � � �� ���� �� 1���"� ��
� � ��� �� �� � � � �� � � ����� �� �� � � �� �� � � ������ � ���� ��� �� ��� �� �� ��A��� ������ ����� � �� ��� � � ���� ��&������� �0 �������� � �� ����
�
�� �
����
� �� � � ���
�� � ����� � � �� � � ��
�
�
� �
�
��
�� �� � � � � ��
�
MATEMATIKA 2 79
�"�" ������ ������ ����������
,���� ��� �� 2���� ������ ������ # ���������� � ����� �� �$ �� �� ��� �� � ���������
������ �"� " ���� � �� ��� � � � � �� � � � ������� � � ����� � ��� �� � � � ��������� � �� ������ ��� �� � ���� ��� �� ���� � � ��� �� ������ �
� ���� � ����� � � � � ��� � � �
2���� ����� ������� � � �� ��A� ������ � � ��0� ��� ��
� ���� � ��� � � � ��� ��� ��� � � �� � � ��� ��� ��� �� � � � � � �
��� �� � � �� � � � �� ���
�� � � ��� ����� � ���� � � � ��� � �������
��� � � � � � ��
MATEMATIKA 2 80
20
��,������ �"��" 3� ���� � � �� ��A��� �� �
�������� ��� � �� ���� ��� ���� ���� ��� � � � �.��� ��� �� ����A� � � �� ��� �
����� �� �� � � �� � �� � � � ��� ��� � �
,���"� � 2���� ������ ������ �� �� ��� ��0��������� �� � � �����"�� ����� ��������� ,��� ������� �� �� ��� ���� ���������
������ �"��" ���� � � � �� � ���� � �� ����� ����� � ���� �� � � � � ��� ���� � �� � � ������ �� ��� � � �� � ��� � � ������� � ������� � �������� � �� � � � � ���� ��� �� ����� � ����� � � �� �� � �� � ���� �� �
� ��� ���� � �� ��� ���� �� � � �� ������� � ���� �
,�� �� � � � ��� � ���� � � �� � �� ���� � ��� �� �
MATEMATIKA 2 81
&�"� � � ������ ����� ���� � ����� �� � �� �� ���� ���������
������ �"�!" ���� � � � �� � ���� � �� ����� ����� � ��
�� ���� ��� � � � � ��
�� ���� ��� � �� ����
�� ��� � � � � � ��� � � ��� ������ ��������� ����� ���� � ��� �� � � ������� ������ ��� �� ���� � � ����� � � �� �� � �� �
���� �� �
� ���� ���� ���� � ���� ���� ��� �
�����
� ��� ��� ��� � ��� �
,�� �� � � � ���� � ��
�� �
�� � ���� �� � � ��� � ����
�� ��� � � ��� �� �
MATEMATIKA 2 82
�"� " ��"����� �����
,���� ��� ��� �� �� ��� �� � �������� ������
���� �� ��� � � � � � � � ��� � � ��������� �� � � �������� �� � ����� ���� � ��� ��� � ��� �� ���� ��� ����� ���� �� ����� � � ��� �������� ��"����� ������
� ��� � � ���� �� ������ ��� ��� � ��� � � ������
�� ��� ���� � � ���
� � ���� ���!��
� ������!� ��� ���! � � ��� �
� ��� �� �������������� ��� ������ �
��� � � � �� � � ��� ��� � � � � � �� � � ����� � �� #2���� ���� �����$ �� �� ���� � ��4��������������
3� �� ��� ���� �������� ��"����� ����� �� � ������"�� ��������
MATEMATIKA 2 83
������ �"�#" ��� �� ��� � � � � �� � � ��� � ��� ����� � " ���� �� � � ���� �� � ���� �� � � ������� � �������� �� �������� �� � ����� ������ �� �� ����� ���� � � ��� � � " ���� �� ��������4������ ��������
� �� � � � ���� ���#��
�
#�
���� ���
�� � � ��
�#� ����
� � �� � �
��� �
� �� � ��
�� � ���
���� ���
�� � � ��
������� �����
�� � ��� � � ��� ��� � � � � � � ��� � � � � � ��
� ��� ���� ����� ���
�� � � ��
�#� ���� �
�
#�!��
�#
!
�#� ����
�#�! !��� ���#�! � � ��! �
MATEMATIKA 2 84
21
������ ����� ��4������ ������� ����� �� �
� �� � � $� �� � �� � � �� � �
��� � $� �� � �� ��4����� ���� �� #�� �� � �� �$�� ��� � �
3� � � ������
� �� � � � ���� ��
��
�� �� ���� ��� ��� � � � ���� � � ��
���
�
�� ���� ���� ��� ���� � � ��� ���� ��� ��� � � ��
� � �� ���� � � ���� � �� �
��� �
� �� � ��
��
�� ������ ���� ��� ��� � �� ����� ���� ��� ���� � � ��
��� ���� ���� ��� ��� � � ��� � � ��� ���� � � ��
&�������� �� "� �� � �� � �� � �� � � �� � 0 � � ���� � ���A� ���� ���
MATEMATIKA 2 85
5�A� �� ������ � �� ��
� � ��� ��� �
��� ���� � � � ���
�������
����
� �� �
��� ��
0 � � ��� �� �� � �� ��4������ ������� � �� � � ���A� �� ��� �� � �� ���� �� � �� � ����� ��� ��� ��� % ���� �
��� �� ��� � � � � �� � � ��� � ��� ����� �" ���� �� � � ���� �� ������� � �������� ������ ������� ���� � ��� �� �� � ��� � �� � � � ���� � �� � �� ��4������ ������� ������� � ��"�������$
� �� � � � �������#��
�
#�
���� ���
�� � � ��
�#� ���� �
� ������ �� � ��� �� ��4������ ������� �������%����������� ������� � ��4����� ���%����������� �����"
� ���� � �� ��4������ ������� � ��4����� ��� ���������� � � ��"� � � �� �� ��� � ��������� � ��
MATEMATIKA 2 86
����� ������ � ������ ��- ���������
�,������ ����� $� �1���1 � � & � �� & � �����A��� �� ��� ������ ���� � # ��� � $ 1 ������� � �� ��� ������� �������� ����� �� � � ����� ���� �2����2�� �� ��
� �� � � � ���� � �� �2��1 ����1 � � ����� �� � ����
# � �� � � � ���� � �� �2��1 ����1 � � ����� �������$
&������ ��
� �� � � � ���� � �� �2��� � � �
# � �� � � ���� � �� �2��� � � �$
��� ��A��� �� � ��� ������� ���� � # ��� � $1 ����� �� � ��
��� � �� ���� ������ � �� ���� ��� ����� ���������
MATEMATIKA 2 87
������ ���� ���
���� � � � � � � ���� � �
�� � �
���� ���� �������� � ��������� � ��� �� ��� ���
�������� �� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� �� �������������� ������ � �� ��� � ��� ��� �� �� �� ������� ����� ���� � �� �� �� ���� ���� ��� �� ��� �� � ���! � ������ � �� �� ������� �� ������ ����� ��� ���� ��� ��
��� ����� *� ��� ��� �� ������� �����"�� ���� ��� � � � � �� � � �
�� �� � ��� ���� � ��� �� � � ������� ����� � ��� �� � ��� ��� ������������� ���� ��
� ��� �� � �� � ��� �� � ��
#�� �� � ����� �� ��� �� ������ ����� ��� ����!������� ������ �� ���������� � ����$�� ������ ��� �� �� �������� �� �������%�� �� ������ ������ ���� ���� ��� � ��� ���������� �� � ����� �� ������ ������ ������ �� ��� � �������� ��� � ��� ��� ��&
MATEMATIKA 2 88
22
��� ����� *�������� ��� �� ������� �����'��� �� �� � ��� �� � � ��� ������ ��� �� ���� ���� � � � �� � � �
�� � ���� �� ���� �� ����������� ��� ���� ��� � ��������� �� ����� ������������ �� � �� '��� ��
��� �� � � �� �� � � �� ��� ���� �����
�
���� � �� �� � �� ��� �� �� ��� ��
���� �#��� ������(
� "�� �� ����� � � � ����� � �� ���� �� � � ��� �� ���� ������� ���� � ���� �
� "�� �� ����� � � � ����� � �� ���� �� � � ��� �� ���� ������� ����� � ���� �
� "�� �� ����� � �� ���� � � ��� �� �� ��� ������
�� ���� "�� �� ����� � � �� �A�� ������� �����!�� � ������� ) ��� ���� ��� �A�� ���������� ��� � �������� ��� ��� #� �� ������� �������������������
MATEMATIKA 2 89
������ *������ ������ ���� ���
��� � � � � � � � � ��
+�����(
� �� � � �� � � � � �� � � � �� � � �
� �� � � �� � � � � �� � � � �� � � �
$������
� � � �� �� � � ���� � �
� �� � �
�� ��
� � � �� � � �� � � �� �� ������ ��� $�� ��������� �� ��
�� � ��� ��� �� � ��� ��� �� � ��������
,���� � �� ��
� �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ���
��� � �
������ ���� ��
���� � ����� � ��
���(
MATEMATIKA 2 90
����� �� �
������ � ��
���������
� ���
� ���� ��� � � �� ��� �����-
����� �� �
���������
�����������
� �� � ��� �� � �
� ���� ��� � � �� �� ������� ���� ��� � ���
��������� �
���������
�������������� ��
� ������� � �
� ���� ��� � � �� �� ������� ���� ��� � ���
$��� �� ��� �� ���� ��� �� ���������
��� ������ *� ��� ��� �� ������� �����"�� ���� ��� � � � �� � � �
�� �� � ��� ��� � �� � �� � � ������� ����� � ��� �� � ��� ��� ������������� ���� ��
� �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��� � �� � ��
MATEMATIKA 2 91
��� ������ *�������� ��� �� ������� �����'��� �� � � �� � �� � � ��� ������ ��� ������ ��� � � � �� � � ��� � ���� �� ���� �� ������� ����� ��� ���� ��� � ��������� �� ����� ����������� �� � �� '��� ��
�� �
������� ��� �
��� �
� ���
� ��� � ��� �
� ���
� � ��� �� ��� �
�� ���
�������� �
���� � ��� � ���
� ��� � ���
���� � �� � � ���
� "�� �� �� � �� �� � � � �� � �� ���� �� � � ��� �� ��� ������� ���� � ��� �
� "�� �� �� � �� �� � � � �� � �� ���� �� � � ��� �� ��� ������� ����� � ��� �
� ) ��� ������ ���� ������ ���� �� �� � �� � ���� �� � ��� ������� �����-
� "�� �� �� � � ��� �������
MATEMATIKA 2 92
23
��������� ��(
� !��� � �� �� ������ ��� �� ������� ����� �������� ��� ��� ��� �� ����� � � ������� � � � ����� ���� � ��� �� � �
� !��� � � �� �� ������� ��� �� ������ ���������� � ���� ������ �����
� #�� �� � � �� �� ���� ������ ���� � ��� ����� ����� ����� ������� ����� � ��� �� ���A� �������� ��� �� �� � � ��� ����� ��� �� �� ����� ��� �� ����� � � � ��� ��� ����� ��A�� ���������� ��� �� � �� ������ ��� �� ������ ����� ���
� $��� ��� ���� ������ �� � ��� ��� ����� � �������� �� ��������� ����� � � ����� ���� �� ���.����� ������ �� � ��"��� ���� �"� � �� �� ��� # "�� ������� �� ��"��� �� ���� � ���� ����
� /� ���� � � �� ��A�� �� � � ���� ���� ���
������� ������� ����� � ��� �� ���� ���A� ������ ����� �� � ������ �� �� ���!�� ������������������ � ����
MATEMATIKA 2 93
�������� ��( "�� �� � ��� �� � � ��������� ��������� ��������� ��������� ��� �� � ���� ��� ���� ������� ����� ���������� ������� � ��������� ����������
��� ���$� "�� �� � � � �� � ��������� ���������� �� 0���� ����� � � ��� ���� �������� ��� �� �� � ��� �� � �� � ��� �� � ����� ��� �������� ����� � ��� �� � �������� ����� ��� �� � ����
#�A���� �������� ������(
�� '� 0�� �� ��� ������ ��� �� �������� ����������� ��� � � ���������� �� � � ����-
�� '� 0�� �� ��� �� ������ �� � �� ��� �� � ����������� �� � � ����-
� #�� �� ����� ������ ������ � ��������� �� � �� ��� �� �� ��� �� ��������� ������� � ��� �� ����������� ������� ��������� �� � �� ��� �� ���������������
MATEMATIKA 2 94
������ ) ����� ��� ���������� ������ ������ �������� ����� �� �������� ����!�� � ����� ����������� � ������ � ��������
/����� �� ��� ������ �!�����- ���A����- ����������
� � � � � �
� ���� ��� � ����� ���� ���
� �� � �� � ��
1� �������� ������ �� � ��� � � �
� �� �����
�A�� ���!��� ��A�� � ����� ���� ���
� �� � � �� � � �
�
+�����
� �� � ����� � ��
� � ���
� �� � ����� � ��
� � ���
� �� ��� � ��� ������ ��� ��� ���� ����� ������� �� � ��� �������� �� ���!��� ������
MATEMATIKA 2 95
�� � � � ��
�� � � � ��
2�� ���� � � �� � �� ���� � ������� ���� ������������� ���� � � ���
$������ �� �� �� � �� ��� ������ ��� ��� .������������� ���� ������� ���������� ���� ����� ��������.������
� ��� � � � �
� ��
�� �� ������ �������� �� � �� � �� � ��� ��� � ��
��� ���� ���� �A�� ����������� �� ��� ��(
� *������ ����� ���� ��� � �� � �� � � �� ������� �� ��� � �� � � � � � � � � ��
MATEMATIKA 2 96
24
�,������ ���%� 3���� ���� ��� � � ��� � �� �������� � � � ������ �� ������ �������� ����� �
�� ���&
� +����� ����� �A�� ����������� �� ��� ��( ������� ��� � � ��� � ���� �� ����� �� ������� ����� � ��� � � �� ������ �� � �� �������������� � ������ ����� �� ��A��� ������ ������
� ) ��=�� ��� �� �� ��� ������ ��� �� �������� ���� ����� ������ '��� ����� ������� �������� �( ��� � ����� ���� ��� � � ��� � �� �� ���������� � �� � �� ���� � �� � � ���A������ ��������� ����������� ������ ��������
'���A���� ������� ������ ������!� �� �������'�(���(��� ��� ��(
� ���� �� ������� '�(���(��� � ������� �� � �� � ��� � � ���� ��
� '� 0�� �� ��� ������ ��� �� ���� ��� � � ���� �� ����� �� ��� �� ���-
� 1��� ����� �� ���������� ���� ��( ������ � ���������� �� ��� �� ������ ����� �� ��� �� �������� �� ��A��� ������ �����
MATEMATIKA 2 97
������ *������ ����� ���� ��� ��� � � � �� ����� � � � � ��
������� 4��������� ���� ��� ��
� �� � �� � � � ��� � � � �� �
�� ��� ������
� �� � �� � � � � � ��
� �� � �� � � � � ��
� ��� � �� � � � � � � � ��
� ��� �� ��!����� � ��� � �� � �
�
��
� � �� � � � � ��
��
1��( ������� � �� � ��������� � � � � ������
5��������� �������� ���(
#�� �� ����������� � ����� � �� �� ��� �� �� ��������� ������� ��������
����� � � � � ��� � � � �
���������� ��� ������ ������ � ������� �� ������������ ����� ���������� ��������� ��
MATEMATIKA 2 98
+���� �� �����( ������� ����� ���� ���
� �� � �� � �
�������� �� ����� �� ��
��� � �� � � � � � � � � ��
������ ������� 4��������� ���� ���(
� �� � �� �� � � � � � � � � � � ��
� ������ ������� ��� ������ ��� ��� 6���!�� ������
� �� � �� �� � � � � � �� � ��
� �� � �� �� � � � � � �� � ��
� ��� � �� �� � � � � � � ��
� ��� � �� �� � � � � � � � � ��
6��!���� ��� � � � � � � �� � � ��
�� � �� � �� � � ��� � �
�
��
/������ ���� �� �� ��A��� ������ ����� ��� � �� �� �� �����A� �� � � � � � � ��
MATEMATIKA 2 99
�� �������� �������
MATEMATIKA 2 100
25
"!" �������� ���� � � ��,��
�������� ��� �� � �� � ����� ���� ��� ���� �� �������� ��� �� � �� � �� ������ ��� �� ��� �� � � ����� ���� �� � � ��������� �� � ����� �� ������ ��������� � ���
� � �� � �� � � � ������ ��� �
���� ����� �������� ��� ���� � � � � ��=���� �
���
��� � � �����
����
�� � ��� � ��������� ���
� �� �� ��� �� �������� �������
�� � ���
���� ��� ������� ������� ������� � �� � ���� ������� � � ��� �� � � ��� �� � �� �������
���� ���� � � ��������� �
��� � ���� ����� �������
�� �� �!
MATEMATIKA 2 101
�� � �� � � � � ����� ��� ���� ��=������ ��������� ���� ���� �
� � ��� ��� � � � ����� ����� � � � � � �� � � � �
� �� � �� ��� �� �� ��� �� � �� "��� � ��� ���� ������ ����� �� ������A#� � � ��� ��� ������� �� �$����� �����$ ��� ���� � ���� ���� � � ����� ��� ���� ��� ��� %&�� � '!() ��!
� ����� �� �� � �� � ��� �� � �� � � � � ��� ��
��
*��������� ����� � ������ ��
b
d y
x
z
a c
z=f(x,y)
��� ���
�������� +�� ������ ��������� ������� ���� ����������+�� ����� �� +�� ��� ������� ����� ���������+��� ����� �����! &����� ��� �� ���������#��� ��� �� � � � � �� � � � � � �� � ��� � ���������� ������ ��� ����� � ��������� � ���
� � &����� � � � ������� ��#������ �� � � � �� � � � � � �� � �� � �������MATEMATIKA 2 102
���� ������ ��� ����� � ������� �� � � � �
�����#� �������� ��� �� � � � � ��� ����� �����#����� ���� � � �� ���� ���� �
��� ����� �� � �� � ���� � � � ��� ���� � � � ��
��
� � �� � � � ��� � � �� � � � � �� ����� � ������� ������ ��� ���� ���� � ��� ��#��� ��� � �� � � �
� �
� ����� ����� ��� �� #��� ���� ���� ��� ������� �� � � �
� � ����� ��� � �� � � �
� ������
,�� ����� A� ����� � ��� ������� ������� ����� ����� ��� ����� ���� ���� ��� ����� � ��� ���� ��� ���!
b
d y
x
z
xi-1xi
cyj-1
yj
(x*,y*)i j
Kij
a
z=f(x,y)
����� ���
-��� �� �� ���A��� ����� � ������ � A���� ������� �#��� ���� �� �#������ ��� ��!
� �����
����
�� � � � � ������
MATEMATIKA 2 103
.� � �� +�� ��� ������� ������ � #��� #��� ��� �� �����#� ���� ���� � � =���� ��! ��� �� �� � ��+�� %&�� � '!/)
b
d y
x
z
ac
=f(x,y)z
b
d y
x
z
=f(x,y)z
����� ��
�� ���� A� ����� �� ��
� � ���������
����
����
�� � � � � ������
0��� �� ��� ���� A� �������� � ������ ���� ���� ��������!
MATEMATIKA 2 104
26
��,�� "!" �������� ���� � ��� ���� � � �� �
��� ���� ���� � � �� �� #��
� � ���������
����
����
�� � � � � �����
%�� ��� � � �����) � �� � �����!
�#�������� ��� � ��
� �
���
��� �����
� ���� �
!" &������
����
�� � � � � ����� ������ �� �������
� �� � ��������
� ��� ���� ��������� �������� ��� ���� ��� �!
" 0��� �� .�=������ '!(! ����� ����� � �� �� ��� ���� ����� ����! �� ����� � �� �� ���� ���� ��� ����!
MATEMATIKA 2 105
� ���� � 0� �� � ����� �� ��������
�� ���
���� �� � ���� ��� �� �
�
���
��� ���� �
���
���� ����
�� ���
��� ���� �
���
��� ����� � ��
� 1 �� ��� �� � ���� �� �� ��� � ��� �� � � ���� �����
��� ���� ���
�
���� �����
MATEMATIKA 2 106
"" � ��� �� ��������� ���� � �������� �� %�������� �) ��������� ������ ��� ��������� ������#�� ���� ������ ��� �������������� ��=������ ��� ������ ��2���0��#����� ������ ��! ������ ����� ����� ���������! *�������� � ���������� � �� ������ � ��������!
��� ���������� ��� ����� �������� �� ��� ���
������+�� �� �� ������#�� � �������! �������� +��#��� ��� ���� � ������#�� � � �� ��� ����������������+�� � � ������� �����������! �������������� �A� �� �� �������� ������ � ���������
� ��� ���� ���� �� �������� ����� �������� �����������! � ����� �� �� ������� ���! ������ ��������
������ "" %���� �� � �� � � � � ����� ������� ���� ��� ���� �� � � ��� ��� � � � �� ���� ����� ! ,��� ���������
�
��� ���� �
�
� �
�
��
��� ���
�� �
�
�� �
�
��� ���
���
�#�������� ����� ��
MATEMATIKA 2 107
� �
�
��
��� ���
�� �
� �
�
�
�
��� ����
�
�� �
�
��� ���
�� �
�
�
� �
�
��� ���
� ���� �A� �� � ������ ����������� � ����������� ��� ���� ���
������" *��������� � �
� ������ � �
��� �� ��� ���� �
���
����� �
� �
�
�
� �
���� �
� �
�
��
���
�
��������
�� �
� �
�
�
���
�� ��
�
�� �
�
�
���
���������
��
���
�
� ��
��
�
.� � ���� �� �������� �#��� � � #���� ����������� ������������!
MATEMATIKA 2 108
27
� ���� " 3� �������� �� �������� ������� �A� �� �� �������� �� ���������� ������#��� � ��� A� ������������ ����������� � ��A� ������������� �� ����������� �
�
�
��������� �
�� �
�
����
����
�����
��
� ������� ������� �����
����� �
�� �
�
��
���� �
���
��
����
���������
����
��
�
��������
��
�
� ���
�
�
MATEMATIKA 2 109
� ���� " . �� 4�#������� ����� �� ��A�� ��� �� � �������� �������� ��� ���� A� ����������������� ������� �����! ���� � �������� ����������� ���� ������ � ��������
��� ��� ���� �� #��
�� �� ����� ������ � ��������+��� ������ �����! . ��������� ��� ������ A� �+�� ��� ������+�� ��� �������! � ��� �������� ���� ���� ��%&�� � '!5!%�)) �� �����
�� ���
�� � � ���
���
3#������� ���� ��� ������ �#��� ��� �������� ������ � �
� �
���
�� ����
��
�� � � ���
�� �
b
d y
x
z=f(x,y)z
b
d y
x
z=f(x,y)z
Vi Vj
(a) (b)
����� ���
MATEMATIKA 2 110
� � �������� �������� �� ��� ���
� � ������
���
��
�� � � ���
� ��
� �� � �
�� �� �
�
� ��� �
�
� �
�
��
��� ���
���
b
d y
x
z=f(x,y)z
b
d y
x
z=f(x,y)z
Vi Vj
(a) (b)
����� ���� ���� �������� ���� ���� �� %&�� � '!5!%#)) �������
�� ��� �
�
��� � � ��
���
3#������� ���� ��� ������ �#��� ��� �������� ������ � �
� �
���
�� ����
�� �
�
��� � � ��
�� �
MATEMATIKA 2 111
� � �������� �������� �� ��� ���
� � ������
���
�� �
�
��� � � ��
� ��
��� ��
�� ��
� ��� �
�
�
�� �
�
��� ���
���
��� ���������� ������ � �� ��� ������� �#���� �� �� ��������
�
��� ���� �
� �
�
��
��� ���
��
�
�
�� �
�
��� ���
���
MATEMATIKA 2 112
28
3� ����� ���� ��� ���� � � � � ��� ���� ��� �� � ���� %&�� � '!6!) �������� �������� ��=����� �+�� �������� ���������� ����� ���
���� �� �
���� �� ��� �� � �� ��� �� � � �
�� �� � ���� ���� � � �!
00-10
z z=f(x,y)
x yDK
a
b
c
d
����� ����
&���� �� �������������� ��������� �������� ��� ������� ������� ����� ���� ����� ��� ���� ���� � ����� ���� ����� ��� ���� � ��� � %���������� � ���� ����� ���� ��� ����) �� ����� � �� ������� �������� ��� ���� ��� � ��=������ ��� ��������� ��� ���� � ��� � %�� �� ���� �� ��� �������� � ����� �� ���� ��#��� ���� ���� �)!
MATEMATIKA 2 113
��,�� " " �� � �� � � � � ����� ������� ���� ��� ���� �� � �� � ���� � ��! �� � ��� �� #�� �� ���� ���� �� ����A� � � ��� ����� � � � � ��������� ��������� ��� ���� ! 1 ����� ���� � �������#���� ��� �������� ���� � ����� � ��=���� ����
���
��� ���� �
���
���� ����� ��
� ���� " 7�������
!"��
�
���� �� � ���� ����� �
���
��� ����
�
���
���� ����
"��
�
� ��� ���� � �
���
��� ����� � � �
" 1 �� � � �� � �� � �� �� � � %������� ��
��� ���� � �) ��� �����
��� ���� �
����
��� �����
����
��� �����
MATEMATIKA 2 114
���#� �� �� ��=������ �������� � ��
� ���� ������� ����� ����� ����� ��� ���� �� �#��� �� ����� %() ��� �����
������ "!" �� � �� � � � � ��� ���� ��� ������ � �
� � ���� ������� ����� ����� ��� ������� �� � ��� ��� � �� � �� %&�� � '!8!%�))! ,��� ��
���
��� ���� �
� �
�
�� �����
�����
��� ���
��� ��
���� ������ �� �� � �� � ���� �������
����� ����� ��� ���� ��� �� � � � � � � �� � ��%&�� � '!8!%#)) �������
���
��� ���� �
�
�� �����
�����
��� ���
��� �
a b
c
dy
x
y
x
DD
y=ϕ2(x)
y=ϕ1(x)
x=ψ1(y) x=ψ2(y)
(a) (b)
����� ����
MATEMATIKA 2 115
����� %') � %/) �#������� �� ���������
��� ���� �
� �
�
�
� �����
�����
��� ����
���
��� ���� �
�
�
� �����
�����
��� ����
� ���� � � ���� �������� ����������� ������ ����������� �� � � ����� � ���������� ���
������ !" ��������� ����� ����������� � ���������
� �
� �
�
� ���
�
�
��
� ����������� ������ ���������!�������� �����������
� �
�� � � � �� � � � � �
A� �������� � �� ��� ������ � � �� ��� %&�� �'!9!)
MATEMATIKA 2 116
29
y=2-x
y=x
x
y
1
1
2
D2
D1
����� ����
���� ��
�� � � ��
� � � � �� � � � �
� �� � � ��
� � � � � � � � � �
�
*�
� �
���
�
����
�
����
�
� �
�
� �
�
�� �
� �
�
�
� ���
�
�� �
� �
��
�
���
��������
�� �
� �
�
��
�
���
����������
�� �
� �
�
�
���
��
���
� �
�
�
�
��� ���
��
�� � � � � �
MATEMATIKA 2 117
������ " *����������� ��������
���
�� � ��
����
��� ���� �� � � �� � ���� �������� � � �� �
� � ��!���������� �������� � #� ���� � �����������:
MATEMATIKA 2 118
")#) ������� ������� ����� ��� ������
���� �� ��� � �� ������ � ������� � ��� ��
�������� ������������ � � � �
��� ��� ��
��� �� � ���� �� � �� � ���� ��� + � ���� ����
���� �� �� � � � � � ������� � �� ����� ������������ �������� ���������� 9����� ����:�
u
v
x
y
(u,v)=(x=g(u,v),y=h(u,v))Φ(u,v)
ΦY
X
����� ���
������� ��
��� � � � �� ������ +� � �� � ��� +�� � � ��� +��
���� ����������� � ���� ����������� � � �� � ������ ����� �� ��9��������: �� ����������� � �� � ��������� � ��
MATEMATIKA 2 119
���� �� �� ������� � �������
� � ���� �� � �� � � � � � �� � � � � ��
��������� �� ����� ������ � � ��� ��� � ����������� �� � � � � �
��
� � ���� �� � �� � ��� + � ���� �� � ��
� � ������� � � �+#���� �� ��� ����� ����� � �� �
+�� � � �
+�� � � ������ � ��� �� � � # ���
x = 1 - y 214_1
4_
x = y2-1
0 1
1
-1 0 1
2
_
u
v
x
y
A
B
C
D
A'
B'C'
D'
YX
����� ���
������ �� �����
� � ���� �� � � � � � �� � � ������ � � ��� + � �� �� �� � ����� ������ � �
MATEMATIKA 2 120
30
��������� � �����
�� � ���� +� � � � � � �� + � ����� �����
� � ���� �� � � � �� � � � � ������ � � �� ��� + � � 9� � � � �: � ��������� ��� � ����
�� � ���� +� � � � �� �+�� � � + � ��
���� ����� �� �� �� ����� ����� �� � � ���� � ��# �� � � ���� � +# ��� !�� � ��� ������ ������ � � �� ����� � � � 9����� ��"�:�
������� #�� ���������� ����������
���� +� � +
������� � �� � ������ ��� +� � � ������ ��� �� ��� ������� ��� +� � ���� �� �
MATEMATIKA 2 121
���� �� ����� ������� ���� �� ��� ��
� � ���� ��� + � ���� ���
������� ��
��� ��� �� � ���� ����� ���� ��
���
��� � � � ���� � ���� ���� �� � �� ��� ��� ���� ���9� �+#����:� $���� ������ � � ��� ������ � ��� �� �� � ��� �� �� �� ������� ��������� � � ������� ��
u
v
x
y
u0 u0+Δu
v0
u0+Δv
Δu
ΔvS R
x0
y0
a
b
Δvrv'
(u0,v0)Δuru'
����� ����
������� ��
��� � ��� ��� �� ������� ���� ������� � ��� ���� �� ������ ���� ����
MATEMATIKA 2 122
% �&�� � ��� � ������� � � ��� ��� ��������� ��� �&� � ������� �����
������ ���� ��� � ���� ��� �������� �� ��� �
��� �
'���(�� ��
���� ����� ��� � ������
��� ��� �� ������� ���� ����
�
���� ����� ��� � ������
��� ���� �� ������ ���� ����
�
������
��� � ��� ��� �� ������� ���� ��� ���� ������ ������� � ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ������ ����
���� ��
���� ����� ��� � ������� ������ ������� ���
��� �
������� ���
��
���
�+���� ���
��
��� �
MATEMATIKA 2 123
���� ����� ��� � ������� ������ ������� ���
��� �
������� ���
��
���
�+���� ���
��
��� �
���� � �&�� � ��� � ������� � � ��� ��� �����#���� ��
� ��� ������ ���� ��� ������ ������ ����� ����� ������ ����� �
�� ���� ������ ������� ������ ���� �#�� ��
��� ������ ������� ������ ��� �
����������
���
���
�����������
�+��������� �
�����������
�+��������� �
������� ������
�����������
�+���������
�����������
�+���������
�������� �
��������������
�����������
���+�������
���+�������
��
�������� �
�� ��
���� ������ ������� ������ ���� �����������
�����������
�����������
�+���������
�+���������
����������
MATEMATIKA 2 124
31
���������
� �
����������
��
��
��
�+
��
�+
��
������������ �� )�� ����� ���������� ��� )�� ���� ����#� ������� � � ������ ��
� ����� +�
���� ���
����������
��
��
��
�+
��
�+
��
���������
��
��
�+
��� ��
��
�+
��
# ��� � �&�� � ������� � � ��� ��� �����������
� ��� �� ����
���� )�� ���� � ����� ����� � � ���� ���� ����
MATEMATIKA 2 125
���� �� ���� ���� � ������� � � �� � ��#����� ����� ������� ���� ��� � � ���� ��� + � ���� ���� �� � ������� � � ��#���� ��������� � � �������� � �� � �+#���� �� ��� �� � � � � � ��������% ������� � ������� � � ��� ������ ��� � ��* ������ � �+#���� ������ � ��� 9����� ��++�:�
u
v
x
yY X
vj
Sij
uj
yj
xj
Rij
����� �����
������ ������� ������� � �� � � ��� ��� ��������� ����
�
���� +� � ��� �
��� �
����� +��� �����
��� �
��� �
� ������ ���� ����� ����
�������� +����� ��
������
���� �� )�� ���� ���� � � ���� ���� ���� % ������� ������ �������� ���� �� �������MATEMATIKA 2 126
���
� ����� ��� ���� ���
�������� +����� ��
���� � �&� �� ���(���� � ������������ � � ����� ����������
����� ���� ���� �� � � � � � �������� �������� � ������� � � �
� � � � ��� �� � � � � � ��
��� �� �������� �� ����� ������� ����� )�� ���� ��&������� $��� ����
�
���� +� � + �
���
� ����� ��� ���� ���
�������� +����� ��
���� � ������ �� ,��������� �������
� �
���
+ � +
���� �� � �������� ��� ��� ����� ���� +� � �����+� � � �� � �# �� 9���� �# �� ����� ��"�:�-���� (��� �� ���� ��� �� ����� �������������
� � �� � ���+ � ���
% ������ �� � %������� +� �� �� � ������� ����������� � ��� � ����� � �������
MATEMATIKA 2 127
� � ���� �� � � � � � �� � � � � �� �
���� �� � � � � � ����� ������� ��� ���� ��������#��� � ���
���� �� � �� � �� � ��� + � ����
'���(�� ��
� ����� +�
���� ���
����������
��
��
��
�+
��
�+
��
���������
���� � ��� �
���� � ��� ��� � ��� $� ���� ��.� ����
� �
���
+ � + �
���
��
�������� +����� ��
���� � � �� �
�
� �
�
�� � � ��� ��� � � � � � �
�
�� �
�
���� ���
� �
� � �
�
� �
�
���
�� ��
��
������ �
� �
� � �
� �
�
�� ���
� � �
��� �
����� �� �
� �
MATEMATIKA 2 128
32
/ ������ �� ����� ����� � ����� �� �� ��� ����#��������� � ������ 9��������: �� + ������� � #����� � �������� � � �� � � �� ����������� ��
� � ���� �� � � ����+ � ���� �� � � ����
�� )�� ���� � ����
���� +�
���� ���
���������
��
��
��
��
�+
��
�+
��
����������
���� ���� �� �������� � ����
���� � ��
%���� � �����
���� +� � + �
���
��� ����� � ����� � � � ��
�� ������������ � ��� ������������� � ����0 ����� � ������� ���������� � ����������
�
���� +� � + �
���
���� +� �
�� � ����� ��+��
MATEMATIKA 2 129
ρ2(ϕ)
ρ1(ϕ)dϕ
dρρ
ρ+dρρdϕ
dP
x
y
X
ϕ
����� �����
��� � �� �� ������ � ����
� � ���� �� � ��� � � ��� ����� � � � �������
�������� ������ � �&�� � �� �� ���� ��������� �� ��
� �
��
�� ���� �
����
��� �
�� � � �
�
� ��� ��
���� ���� � ��� ��������� � ����� �� � � � � ��
���� ��
MATEMATIKA 2 130
���
���� +� � + �
���
���� +� � �
�
���
��� ����� � ������ � ��
� � ���� � �& �� ��� �������������
��� ���� � & �� �� � � ����� � �������� �#������� � � ����� �� �����
�
��� ����� � ������ � � �
�
� ��
��
�
� �����
�����
��� ����� � ������ ��
���� �� ,��������� �������
� �
���
��� �� � +� � +�
���� �� � � ������ � ,� ������� ��� ��� ������ ���� �
�
�� +� � �
�
����� � #���������* � ������ � ������ ���#�������� � �������
MATEMATIKA 2 131
� ����� +� � � � � � �� � � + �
��� ��
�� ����� ������������� � ��������
� ����� �� � � � � � �
� � � � � � ����� �
1
ρ= cosϕ
x
yy= x-x2
X
0 0ϕ
ρ
ρ=cosϕ
π2
Y
1
����� ����
� � ��������� ���������� �� � +� � ������
�� ��� ����������
��� �� � +� � + �
� �
�
�
� ���
�
��� ���� � �
� �
�
���
�
��� � ����� ��
������ ���� �
� � �
� �
�
��
�
������� ����� ������� ���
�
�� � �
�
����
MATEMATIKA 2 132
33
#������ �� ����� � � ���� �� ���� � 0
� ������ ��� ������� ���������� � ���� � ���� �� � � � � ���� � � ��� � ��
�� � � � �����+ � � � �����
�� )�� ���� � ���� � � �� � �� ��� �� ������ ������� ���������� � �����
� � ���� �� � �� � � � ��� ����� � � � ������
���������
���� +� � + �
���
��� � ����� � ������ � � �
� ��
��
�
� �����
�����
��� � ����� � ������ ��
#������ � �� � #�������� � � ����� � ����������� ������ �� � ��� �+ � �� � ��� ��� �������� ���� ������ � � �� $ ���� � � ��� +� � ��� ����� � ������ ��� � ������ ��� �� ���� ��
� ����� ��� �+ � ��� �� �
+ �
�� ��
MATEMATIKA 2 133
� ��� ��� ������ ���� � �� �� � +� ��� ����� ����
������ ���������� � �� � � + � �
� ��������� ������ ���������� �� �0�� � �� ����+ � �� ����
�� )�� ���� � ����
���� +�
���� ���
���������
��
��
��
��
�+
��
�+
��
����������
���� � ���� ��� ����� ���� �� ����
���� � ����
%���� � �����
���� +� � + �
���
���� ����� �� ����� � ��� � ��
��� ���� �� �� � � � ����� � ������
��������
�� +�
��� � ������ ������� � � � ��
�� �� �� � �(��� � ���� � ������ �� �
����� � ���� ��� �����������
MATEMATIKA 2 134
� ������ ��� ���� ���� ���������� � ���� � ���� �� � � � � ���� � � ��� � ��
�� � � �� �����+ � � �� �����
���� �� )�� ���� � � ���� � �� ��� �� ����� ���#�������� � � ������� � �����
� � ���� �� � �� � � � ��� ����� � � � ������
���������
���� +� � + �
���
��� �� ����� �� �������� � ��
��� ���� �� ������ � �� � #�������� � � ���#�� � ������ ��� ��������
��� ���
�� �+ � ��
��� ��
��� ��� ��� ���� ������ � � ��
MATEMATIKA 2 135
���� !� ,��������� � �
���
� +� ���� ��
� ����� +� � ���� �� ��+ ��� � ��� + � �� �
1
-3
5AB
O
x
y
polarna osϕA
ϕ
1
ρ=1
= 2sinϕρ
ϕB
����� ����
,������� �� � �����&� ��� ������
��� ����
�+ ���
�� �
9����� ��+1�: � ��� ������ ��
� �
�����
��� ����� � � � �
��� � ��
� � + � �� ������ ���� ��
�
MATEMATIKA 2 136
34
����� � #���������* � ������ � �������� �(���� 9�����������: � ����� � ���������
�� � �� ����+ � � � ����
������ � ����� ��� ���� ����� � � �� � � �� ���#����� ����� + � � � � ������
� ��
�����
������� �#� ������ � ���� � � � ���� � �� �
��� �� �+�� �� ������ �
��� ��
� �
��� �� ���
� ���
�
��
���� �� � ��������� �� �� ���� � ����� �
����������� � ����������� � ������� � � ����� ���#�������� � �������
� �
���� �� � �
�� � � ��
��
�
����� � � �
��
,���
� �
���
� + �
���
�� � � � �
� ��
�
�
� �
�� ��
� � �
MATEMATIKA 2 137
�
� ��
�
���
�������� �
� �� ��
� � � �
� ��
�
��� �
� �����
� � �
� ��� ��� � ���
MATEMATIKA 2 138
��!� "������ ������ ����� ��� �������
% ������ �� �� �� �� ������� � � � � �� � �
� �������� � ������� �� �������� ������ ������� ����� ���� �� �������� �� ������� ��� ��� �� � �� � � � �� * � �� ���
! ��� �
���
���� +� � +�
%��������� �� � �������� � ����� ����������� +� � � �� ������ ������� ����� � �&�� ���#�� �� ����� � ���
� ��� �
���
� +�
���� �� ,�������� ���� ������ �� ��� � �� #* � , � �� �� � +� � ��� � , � ��
�����&�� � ���� �� *� �� ������� �� +� � �� �� ��� ������� ���������� ����0
� ��� �� +� � �
'���(�� �� �� � � � � �� � ��� +� � � � �� � +� � �� � � �������� ������� ���� ������ � ���� ��������(�� �������0
MATEMATIKA 2 139
! �
���
��� �� � +�
� � + �
���
���
�
������
������
��� �� � +�
� +�
%������ � � � ���� � �������� � � ����+ � � ����
� ����
! �
� ��
�
�
� ���
��� ��
��� � � ������� �
�
�������
�
���
�
MATEMATIKA 2 140
35
#����� ���$� ���%�� ���&��2��� ������� � � � � � � � ��� �� �� *� � �� �� ����
� � ���� +� ,� � ��� +� � �� , � ���� +�� � ���
/� ��� �� ������� � �������������� ���� �� *������ ������� 9������ ��������� �� *� � �������� ���� � ��� � � � � � ���� � � � � ��&������������ ����3:�/ ���� ������������ � ��������� ������ (�� ���� *� � ��� �* � ����� ��+.�
S1
S3
S4
S2
����� �����
/ ����� �� �� ���� �� *� � �������� � � � #��� ������* �� *� ����� �� ��� �� � � ������?�� ��* �������? � � �� �� ���������� ����9� �����:� �� ���� �� *� ����� �� �� �� �'������� �������
MATEMATIKA 2 141
% ������ �� �� �� ���� ��* � ����� ���� �� *� �� ���� ��� ����������* ���� ?� �&���� ���#����? �� (��� �� � �&�� ������������ �����������������
���� �� �� , � ���� +�� ��� +� � �� ���������� ���#����� ������ �� *� �� ���� ��
� ��� �
���
��
��� ��� +�
��
��
��� ��� +�
�+
�� � +
����� � �&���
%��������� �� � �������� � ����� ����������� +� � " � � � � � ����
� ��� � � ��� �
���
� +�
&� �� ����� � ����� � ��� � � ���� ��!� �� *� � ��� ������ ��� �� �� � �� �������� � ����� ��� ������� ��������� � � ��� � � ?���#�����*? ������* �� *� ��� � � � � �� �� �� ������ �&�� ��� �
� ��� � � ���� � � � � �����
MATEMATIKA 2 142
���� (� ,��������� � �&�� ������ �� ����� �� *�+ � ���� ,� � �� �� ��� ��� ���� � � � + � �
x z
y
S
D
����� �����
%� *� � 9?�����������? +# �: � ��� �� ������� �9���� �� ,� � �: � �,#���� �������� �� � �������+4�
$���� ����������
� ��� �
���
!!"� ������� ,��
��
��
������� ,��
�,
�� � ,�
� ��� �
���
��
�� ��
�� ,�
��
�� ,�
�� ,�
�� � , �
�����,���
� � , �
�
�����,���
� , ��� ��� �
���
MATEMATIKA 2 143
)*�* �������� ���� � � ��,��
����� ������ ����� ��� ������� �=��� �� ������� �� �������� ���� �� � � � � � �������� ����� ���� ��������� �=���� � ���� � � ��# ��� ��� ��� ��� ������������ ������ ��������
� � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
� � �� � �� � � � � � �� � �
������� �� ��� ��� ��� ��� �� � ��������� ����� ���� � � ��
� � � � ���� � �� � ���
� � ����� ���������� � �������
���� � ��� � �� ��� ���� � ��
��� � � �� ����� � � ����
� � �� � � � � �� � � �� � � � ��� � � �� � � ��� ��� ��#����� ���� ����� ��� ���� ��� �������������� �� � �� �� ������
MATEMATIKA 2 144
36
��� �
��� �
��� �
�� � � � � � ���� ��
��� �� � � � � � � �� ���� ���� ������ �� ����� �����
��,�� ���� �������� ���� � � ����� � � � �� �
� � ������ � � � �� ����
� � ����������
��� �
��� �
��� �
�� � � � � � ���� ��
������ � ��������
���������� ����� ��
� �
����
��� � ���� ���
MATEMATIKA 2 145
���� � ��� �� ��������� ���� � � ������ �� �������
���� ��� � ���� �� �� ��� ����
������������� ��� ��� � � � �=����� �����
���������� ���������
���� � �� � � ��� � �� �� � �� � �� �� � �� � � �
� ����� � � ���� ���� ����� � ��� ���A� ���������� �����
�
��� � ���� �� �
����
���� � ���� �������A��� ��� ������� ����!��! ������� �� ���� ������ ��� ���������
������ ���� ���� �� � � � � � � ����� ��� ���� ��� � �� ��� ��� ��� ��� �� � � ������ "�� ������#���
�
��� � ���� �� �
�
� �
�� �
�
�� �
�
��� � ����
��
���
?������� � �� ������? ����������� ������� ������������������ ���� ���
MATEMATIKA 2 146
) ���� � $�����#
�����
�
���� � �� � ��� � ����� �� �����
��� � ���� �� �
����
��� � ���� ���
�����
�
�� �� � ���� �� � �
����
��� � ���� ��� � � ��
�� %�� �� � � �� ��� � �� ��� � �9���
��������
��� � ���� �� � �: �� ��
����
��� � ���� �� ������
��� � ���� �� �
�����
��� � ���� ���
�� %�� �� ��� � �� � ��� � ��� �� � �� � �� �� ������
��� � ���� �� ����
�
��� � ���� ���
MATEMATIKA 2 147
������ �� � ���� �� � � � � �� � ����� ��� ���� ��
� �
��� � �� � � � �� ���� � � �����
���� � � � � ���� �
��
��� � ��� �� � ��� �� ������� � ����� 9����� &�'(:�"�� �� ���
�
��� � ���� �� �
�
� �
�� ����
����
�� ���� �
���� �
��� � ����
��
���
a
x
b y=ϕ1(x)y=ϕ2(x,y)
z=g1(x,y)
z=g2(x,y)z
y
D
a< x <bϕ1(x)< y <ϕ2(x)
g1(x,y)< z <g2(x,y)
__ _
__ _
��� �����
MATEMATIKA 2 148
37
����� ������ ��� ��
� �
��� � �� � � � � �� ��� � � � ��� ��
���� � � � � ���� �
��
��� � ��� �� � ��� �� ������� � ����� 9����� &�'):�"�� �� ���
�
��� � ���� �� �
� �
�
�� ��� �
��� �
�� ���� �
���� �
��� � ����
��
�� � �
y=ψ1(x)
y=ψ2(x,y)
z=g1(x,y)
z=g2(x,y)z
x
c
dy
D
c< y <dψ1(y)< x < ψ2(y)
g1(x,y)< z < g2(x,y)
_ __ __ _
��� �����
MATEMATIKA 2 149
��� � �� ����� ��� �������� ���������� �� ������������ 9*: � 9+: ������������
�
��� � ���� �� �
�
� �
�
� ����
����
�
� ���� �
���� �
��� � ����� �
����
��� � ���� �� �
�
� �
�
�
� ��� �
��� �
�
� ���� �
���� �
��� � ����� ��
� ������ �������� � ��� ��������� ������� �������� � � ���� �������� � �
MATEMATIKA 2 150
!������ ������ ��������
���� ��
��� �� � � � ��� �� ��������� � �����
���� � � � � � � ���� � ��
� � ��
������� � ��������� ���!� ������� ��!������ �� �� ����� � A ������� �� A��� � � � � � ����� � � �� , �� � ���� � ����� � � � � � � ������� � � � �
�� � � �� �� ��������� ������ �
��� ��� ����A����#
�� � � ������ � � �
��� ��
� � � � � ��
� � �
�����#����
���� �� �
� �
���
� ���������
�
� ��� �
�� ����� �
� �
���
� ���������
����������
������
�������
�� �
MATEMATIKA 2 151
� �
���
� ���������
��� � �
�� ��� � �����
� �
� �
���
� ���������
� � � � � � � �� � � �
�� �
� �
��
����
� � � � � � �
�� � �
� ������
�������
��������
�� � �
����
�
�
���� �
�� ��� � �
���� �
������
�� ��� ��
���� �
���� �
�
MATEMATIKA 2 152
38
���� " ��� # �� $� � ���������� ���� ������ �� � � �
��� ���� 9 � !#���������� ���� : ���� �� ���������� "� �������������� ��� ���� ��
� ���� � !�� � #��� � !�� � � ���� � !�
���������� ��� ���� $ � � 9 �#���������� ���� :� -������� ������������� �� ���������
%�� � ��
%��� � !��
������%%�
%%
%%!
% %�
% %
% %!
%�%�
%�%
%�%!
������ ������� ��%� ���� �� � $ � � ������� � ������ ��� ��� $ � � �
� ��� #� �� � � $ � �
��� �� ��������� "� ������������� ����� -������� ����������� "�� �����
$
��� � ���� �� �
����
� ����� � !�� #��� � !�� ���� � !��
���� %�� � ��%��� � !�
���� ��� �!�
MATEMATIKA 2 153
� �� ���� ������ ��� �������� �� ������ ������ �������� �� ������ �� ����������� �������� ������������������ ��� �������� , �� � �� ���� �������#����! � ���������! ����������
� � ��&� �� �� � & ����� � #�&� �� �� � & ����� � ��&� �� �� � �
�� �� ������ -�������
%�� � ��
%�&� �� ���
�������%�& ����
%&%�& ����
%�%�& ����
%�%�& � ���
%&%�& � ���
%�%�& � ���
%�%�%&
%�%�
%�%�
������� ����������� �& ���� ����� & ���� �� � �
������ � &�
"��� ������� ���� � ���$
��� � ���� �� �
����
��& ����� & ����� ��&�&����
MATEMATIKA 2 154
!������ $������ �� ������ ������� � ������ ������$
���� ���
��� �� $ � � ��� �� ��������� ������������
���� � � � � � � ���� � ��
� � ������ ���� ����� �������� ������� ���
$
���� �� �
� �
���
� ���������
�
� ��� �
�� �����
�� ���������� ����������� ����� �� �� �� �� � ���� ��������� �������� ������������ ��� ���� $������� ������������� ��� ����� �
� ����� &� �� � � � � � ��� � � & � �� &� � � � &
��
"��� ����������$
���� �� �
����
��&�&���� �
� ��
�
��
� �
�
&�&
� &
&����� �
� ��
�
��
� �
�
�������� &
� &�
�&�& �
� ��
�
��
� �
�
�&� � &�
�&�& � ��� �
�
�
MATEMATIKA 2 155
� �� ���� ������ ��������� � ����� ����������������� ����� � ������
� � ���� '� �� � � ��� ' ���� � #��� '� �� � � ��� ' ����� � ���� '� �� � � ��� '
� ������ -������� ��
%�� � ��
%��� '� ���
��������%�� � � ' ����
%�%�� � � ' ����
%'%�� � � ' ����
%�%�� � � ' � ���
%�%�� � � ' � ���
%'%�� � � ' � ���
%�%�� �� '�
%�%�� �� '�
%'%�� �� '�
%�
���������
��������� ' ���� � ��� ' ���� �� ��� ' ������� ' ���� � ��� ' ���� � ��� ' ������� ' �� ��� ' �
������� �� ��� '�
"��� ��� ����� ���� � ���$
��� � ���� �� �����
��� ��� ' ����� � ��� ' ����� � ��� '� � �� ��� '���'���
MATEMATIKA 2 156
39
!������ ������ ������$
��� � � � � � ���� ���
��� �� $ � ��� � �� � � � � � �� � �� � ��
���������� � ����� ��� � � � � � �� ������
��������� � ���� ��� ����� � ��� '�� � ��� ��#
� ���� ���������� $ �� ������� ������� ��� � ��� ��� ������� ��� ���� ���������� �
� ����� '� �� � � � � � ��� � � ' � �
� � � � � � �� ��� �� ���
$
��� � � � � � ���� �� �
����
� ��� '�� � �� � �� ��� '���'�� �
� ��
�
��
� �
�
��� ' � ��� '�'� �
�
��� � ���� �
MATEMATIKA 2 157
�� ��
�
��
��� �
�
��� ' � ��� '�'��� �
�
��� � ����
��
������ � ��
���
MATEMATIKA 2 158
�� � )������ ����� ���������� ���� � %�� � ����� � � � � � � � ���������� � ��� � ������ � ������ ������� ����� ��� ���
���� �
����
��� � ���� ���
������� � �� ������ � ���� ��� � �� � � 9!�#�������: ������ ������� ����� ��� �� ������ �
( ��� �
����
�� ���
%�� �� ��� ������ � ������� � ��� �� & �����
���� � & � ( ����
!����� �� ������ ��� ��� ������ ��� ���� ��#��������� ������� ���� �� )� � )�� ��� �� � ��� ������������ ��� �� ������������ �������� �������� ����� � ����� �� * � �������� ��
�������# ���� � ��*�)�� �)��
��
MATEMATIKA 2 159
!����� �� ������ ��� ��� �� ������
� ���� � �� � �� � �� � �� � � � � �� � � � �� �
�������# ( �
����
�� �� ���
���
MATEMATIKA 2 160
40
�� �������� ���� �
MATEMATIKA 2 161
�!� �������� ������
���� ��� �� � ��� ������ ����� ������ ������������ �� �� �
�� � �� � ���$ ��$ ���$��� � �� � �� �
�� ����� �� �=����� �������� ��������
� � ����� � ��
� ���A���� �� �������
� � �� �� � ���
�� � � ���$ ��$ ���$��� $ � � ���$ ��$ ���$ ��� � �� �=������
� � � � ��� � ��$ �� � ��$ ���$�� � ��� $
�� � ����$���$ ���$���� $ � � ��
�� �� ���� �������� �� ������� �������� ������ �������� �������� �������� �������
MATEMATIKA 2 162
������ �!� �� � ��� ����� ���$�$ �� ����� ��$�� ���� �������� ��������� ����� ��� � ����������� ������ ��� ����� �������� ������ � ��������� ���� � ���� � �� ��������!
�� "�������������� ��������#�� � �� ����� �� � �� $ �$�$ � � ��
�� "���������� ��� ������#��� � ��� � � � � � � � � �$ � � ��
� "���������� �������� ������#� � � ��� ����� � ��� � � �� � �� � � � �
� "������������� ��������#� � � � � � �$ ��$� � ��
�� "�������������� ���A���� ��� �������������������#% �&�� � �%&��$ �%$ & � �$ �� � ��
�� " ������������� ���A���� ���� �������� � ��#% �� � �� � %� � %�$ �% � �$ ��$� � ��
�� " ������������� ���A���� ���� �������� � �#�% � &�� � %� � &�$ �%$ & � �$ �� � ��
� "����� ������ �� �����#� � � � �$ �� � ��
MATEMATIKA 2 163
$� ������� ��� �� �� ����� ����� � � ��$�$ �$ ���� �=����� �������� �������� ������ ��� � ���A���������� ������� ��� ���� ����� ���� ��� ��������� � � �$ �� � �� �� � ��� ����� ��$�$ ���������� ������ � �������� ����� � �����������������
���� ������ �������� ������!
� � �� � �� � � � �������� ������ ��� ������ �������� � ������� � ������ "� ��#�
� ��� ��� � ��� ��� � �������� ������ ��������� ���� ����� �� ������ � � ����� ��
%� ������� ��!
� &����� ��� ������ �� ������� ������� ��� ������������� ��� ���� �� ����� � ��
���� � ���� � ��� � ���� � � � �� ����� �� ���� �� �� � �� ��
� '�� �� ������ ��� ���� � ���� �� �� � �� � ��� � �� � ���� � �� ������ ��� ������ ������� ����������
MATEMATIKA 2 164
41
� ���� ������� ��������� ������ ���� ������� � �� ���� ��������� ������ ��� �� ����� ������ � ��A� �� ��������� �������� ��� ������������������ ������ �� ���� ������� �
� � ���� � ���� � ��� � ����
�� ���� ������ ��� ���� ���
� (��������� ��� ������� ��������� ������ ������ ��������� ������ �� ��� �� �������� ����������
)��� ��������� ������ � � �� ������ ��� �����
����� ����� � � � � ��� �� ������� ����� � ��� ����
� � �� � �
�� � �
�� �
%���� �� ��� �������� �� ���� � �� ���� ��������� ����� ������!
�� � ��� �� ���� �� � �� � ��� �� ���� �� � ��� � �� � ��� �� ���� �� �
�� �� ����� � � ���� ��� ���� ��� � �� ���� �� � ���� � ���� � ��� � ���� �
MATEMATIKA 2 165
���� �� � � ���� ��� ���� ��� � � � ���� ��� ���� ��� � ����� ��������� ������ �� �� ���� �=�����!
� ���� � �� ��� ����� ��� ������� �� ���!
�� � �� � ���� � ���� � ��� � ����
� *���� ��� ���� ������ �!
��� ��
�� � �� ����� � ��� � ��� � ���
� *���� ��� ������ "� ��������#!
� ����� � ��� �� ����
�� �� � ���
&������� ����� �� � ����� �� �=����� ����� ���������� �� ���� ����� ��� ���� � ����� ��� �������������� ����� ��� ����� � ����������� � ���
MATEMATIKA 2 166
�� ��������� ������� ��������� ���������$ ������ ������ � ��� ���� �� � ��� ���� ��� ��������� �A��� �� �� �� ��������� ������� �!
��� �
���� � � � ��
��������� �� ����� � ����� ���� ��� ���� ��� �� �
����� � � ��� ���� �
� ���� ���
��,���� �� ��������� ������� ��������� ���������� �� +������� � � � � � ��� ���� ������������ �� � �� �A��� ������ �� �� ����� �� ��� ��,���� �� � � � � �� � �� � � � ����������� �� ��������������!
�� ��� � �� ���� � �� ���
�� � �� ���
�� � � � � � ��
����� ��� � � ���
� � � ���
�� � � ���
�� � � � � � �� �
-� �� +�������!
� � ��� � �� ��� � � ��� � � ���� � ��� �� ��� �����
.������� � ��� � � ��� � � ��� ������ �������� ���������� �������� +������� �� ��� �
MATEMATIKA 2 167
����� � ��� ��� � � ��� � � ���� � � � � � ���
������ ���� �������� +������� �� ��� �/�+ ��������+������� �� ���� � ������ ���� ������� � � ��������
�� ��� � � ���� � � ���
�� � � ���
�� � � � � � �� �
������� ���� �� � ��� ������� ��������� �������
0�� �� ��+��� ���� � �� �������� +�������1
� �� ��� � � � ��� � � � ��
� �� ��� � ��� ��� � ��� � � � ��� �� �
� �� ��� � � � ��� � � ��� ��
�� � ����
�� � � � ��
MATEMATIKA 2 168
42
�������� ��� �=������ � �� ��� � ������� ���������� ��� �� � � �� �� ��� �� ������ ���� � "� �� ����� ������# � �� ���������� � � �� � �������� � � ��� � � ������� �� ��� ���� �������� ������ � ��� �
��,���� � � ���� �� �������� +������� �� ��� �=����� �������� � ���� ��A � � ������ �� � ������ �������� +������� �� ��� � ������ �� �� ����� � �� ���� ���� �
�������� ����� � � ��
� ��� �������� ��2��� � � �����
�� ��� �
$�� �=������ ��A��� �������� �� ���� � �� ������!�� ����� � � � ������� � � � ����� � ��� ��� � ��� ��� � � �� � �� ��� ����� � � ��
������ ��� ���� �� �� ��� �������� +�������
�� ��� � � ���� � � ���
�� � � ���
��
� ����� � � �� � �
�� � �
�� �
-� � �� �����
�� ��� � � ��� � ���� ��� ��
�����
� ��� � �� �����
� ��� � �� �����
� ��� � ��
MATEMATIKA 2 169
������� 3�������� ������ ��� ��� ��
�� ��� � � �� � ��� � ��� �� � ��
�� � ���
��� �
������ ��� %����������� � �� �������� +��������� � ��� � �� � ��� � ������� +������� ��� ������� ������
�����
�� � ��� � � � �����
�� � ��� � �� � �����
��� � ��
-� � ���� �!
�� �����
��� � ������ � ���� � � ��� ��� ��
��� ����� � ��� � �� � ��
���!�� � ��� � !� � ! � ��
� �����
��� � ��� � �� � ���� � � � �� �
� �����
��� � ������ � ���� � � ��� �
��,���� ��� �� �������� +������� �� � � � � ���
��A��� � �� ����� �� � ��!�� �� � � ��� ��
�����
�� ��� � �� ���� �
&������� +������� �� ��� �� ����� �� �� ����"���� ��� �� ������ �� � ������ ������ �������� ��
MATEMATIKA 2 170
4����� �������� +������� �� ������ �� ��� � ������� �� ������� ���������� ������ ��� ������������ ������� � �������� ����A�� ������ �� ��������� +������� ���� � � �� ������ �� +��������
��,���� �#� �� �������� +������� �� � � � � ���
��A��� � �� ��"�$��� � ��!�� �� � � ��� ������������
�� ��
�� ��� � ����� ����
� �
-�� ����� �������� ��"���� "�������� ��������� � ��!�� �� � ����������� �
�� � ���� � ��� ���
��� �� ��
�� ��� � ����� ����
� �
5�A��� � �� ��� ��� �������� �� � ��� �� ���������� ��� �� ��� ��������� � ������ ������ �������� ��%�������� � �� �������� �������� +������� � ������������ +������� ����� ���������
MATEMATIKA 2 171
'�� �� �� � ��� ��������� �� �������� �� �� � ��� �������� �=����� ��� �������� ��� ���������&�2� �������� �=����� �� �������!
�� �� ��� � ��� � ����� � ��� ��� ��� ��� ���� ����� ����� �
�� ����� �������� �������� +�������
�� ��� � � ���� � � ���
�� � � ���
��
��A� �� �������� ���� �� �������� ����� ������������ ��� ���� �!
�� � ��� � �� ���� � �� ���
�� � �� ���
�� �
'������� ��� � �� ������� +������� �=����� ���� ��������� �������� +�������!
��� ��� ���� ���
���� � �� � ��� ��
���� ���
� � �� ���
�� � �� ���
�����
� ��� ����� � ��� ����
�� � ��� ����
�� �
MATEMATIKA 2 172
43
������� �� �������� +��������� ��� � �
� ��� � �
�� � ��
��
� � ���!
� ������ �� �� ��� � !� �� � ��� ��� ��� ���� � �� �� ��� � �� � ��� � " � �� �� ��� �
���� �� ��� �������� +������� �� � ��� � �� � ��� �������� +������� ��� ��������� �� �� -� � �� ������ � � ���� � ���� � �� ��������!
�� ��� � ������ � ����� � �� �� ������ �� ��� ��� � ����� � ����� � ����� �� ��� � � ����� � ��� �� ��� � ��� � �� � ����� � �� �� ��� � �� � ��� ��� � ��� � �� �� ��� �� ��� � ������ � ����� � �� �� ������ � ��� ��� � ������ �� ��� �
�� �� ��� � � � �� � � � �� � ��� � �� � ������!�� � ��� � �� � �� � � � �� ��� � � �� ����
���������� ����� � �
MATEMATIKA 2 173
��,���� �%� &������� +������� �� � � ��� ��
����� #�� �� � �� � �� ���� �� �������� ��������� � �� ��� � ������ ������ �������� � +������� �� ��������� �� ���� ��������� %�2��� �� � #� ��� �
������ �&� ���� �� ��� +�������
� $ �� � #� �$� �
�� ����� �� �$� � � � +��������� � � �
���
�� � #� ��� �
-� � �� �=����� ����������� �� � � #� �$� ����� �!
��� � �� ��� � �� � � ���� � � ��� �
MATEMATIKA 2 174
��,���� �!'� �� +�������
�� ��� � � ���� � � ���
�� � � ���
�� � � � � � �� �
��A��� � �� ������$��� �� �������� � � �� ��� ��������� ���������� � ��� � � ��� � � ��� ������������� � � �� � -� � �=����� �
�� ��� �� � �
� ��� ��
�� �
�
� ��� ��
��� �
�
� ��� ��
��� �
("����"� �������� "�������) ��������
�� �
�%�� � ��� � &�� � ���� �� � %
�
�� � ��� �� � &
�
�� � ��� ���
�� �
�� ��� �� �
!
�� ��� �� �
�
!
�� ��� ���
� �
�! � �� ��� �� � �! � �
�� ��� ��� �� ����� �� �!���������� ������
MATEMATIKA 2 175
�
����� �
�� ��� ��
����� � �
��� ���� �� �
�� '�� �� �� ��� ������ �� �������� +������� � �' �������� ���"�� ������� �� �� ��� ��� �� �������� �
�' � ��� � �� ��� � �� � ��
�� � �� �� � � � � � �
�� ��� �� � �' �����' � � �
������� 3�������� �������� �������� +�������!
�
�
�
� � �
�� � ���
������
��
�
�
� �
� � � ��� �
�� � ��
������
MATEMATIKA 2 176
44
�������� � � ���������� ����� ���� �
���� �� ������� � ������ ��� � � � ��� ���������
�� � � �� �� � ���� ��
��� ��� � ����� � � ���
��� � ���
��� � � � �� �� �
��� �� � ������ �� ��� ���
� ��� ��� � � ��� � ���� � �� � � � �� ��
��
�� ����� �� ��� �� ���� ���� ��� �� ������������� ����� � �� � �������� �������� ���� �������#����� ��� ��� � ���������� ����
� ��� ��� ��� � ����� �� ���
��� � ���
��� � � � �� �� �
��� � ����������
� ��� � ��� � � � � ��� � � ��� � � � �� �� �
��� ������A�� ������� ������������� ����������� ��� ��� ��
&��� ��� ������ ���� ������������ ��� ��� ��� ����� �� ������ ���� � � � � ���
MATEMATIKA 2 177
Definicija 3.11. Za krivulju
Γ ... −→r (t) = x (t)−→i +y (t)−→j +z (t)−→k , t ∈ [a, b] ,
kažemo da je jednostavna glatka krivulja iliJordanov luk ako vrijedi:
1. −→r : [a, b] −→ Γ je bijekcija, tj. surjekcija i injekcija( t1 �= t2⇒−→r 1 (t) �= −→r 2 (t) ).
2. Derivacija −→r ′ (t) postoji i neprekidna je za svakot ∈ [a, b] , tj. −→r je klase C1 (krivulja Γ je glatka) .
3. −→r ′ (t) �= −→0 , za svako t ∈ [a, b] .
Tocke A = (x (a) , y (a) , z (a)) i B = (x (b) , y (b) , z (b))zovemo rubne tocke krivulje Γ.
Ako je A = B tj. −→r (a) = −→r (b) , onda krivuljuzovemo zatvorenom krivuljom.
a
b
r(t)r(b)r(a)
tx
y
z
r '(t)
r(t)
MATEMATIKA 2 178
Γ1
Γ2
Γ3r(b)
r(t1)
r(t2)
Krivulja Γ je po dijelovima Jordanov luk (po di-jelovima jednostavna glatka krivulja) ako se sastojiod Jordanovih lukova koji se nastavljaju jedan nadrugi i nema presjecanja. Dakle postoji skup tocakaA, T1, T2, ...Tn, B na krivulji Γ takav da su lukovi:AT 1,T1T 2, ... ,TnB Jordanovi lukovi.
Primjer. Provjerite da li je krivulja
−→r (t) = (a cos t)−→i + (a sin t)−→j + (bt)−→k , t ∈ [0, 2π]
Jordanov luk.
MATEMATIKA 2 179
��,���� � ����� *��� ������ � ���� ������� �� ������� � ������ ��� ��� ��=����� ��� � �� �� � �� ��� �� � ������ �� ���� ��� ��� �� ���� ����� ���������� �� ��� ����� ����� �� ����� ?����� ��� ��? � A � � ��� ������ � ��� ��� � ��� ����� � � ��� ��� � ������ ������������ � � �� ��?
� � � �� ?����� ��� ��? ���� � ����� � � ������ � ������ ��� �������� � � �� ��?�
� ��� �� ���� ��A�� �� ���� ��� ��� � ��� �������� �������� ��������� �� � �� �� ���� ��� ��� � ��� �������� ����� ��������� ��
� ��� 9� ��: �� ���� ��A�� �� �� � � ��� ����� ������ 9��� : � �� �� � � ��� ��� ��� 9�� ������:��������� ��� ��� ��
!���� ����� ���������� ������� � �� � � ���� �� ?�����? � ���� �
� � �� ������ � �� � � ���� �� ?�����? � ���� �
MATEMATIKA 2 180
45
"��������� ��� ��� ������� ���� 9���#�������: ���� �� ���� � ����� ����������� !������� ��� �� �� ��� ������ �� ���� ������� ��� � �� ��������� �� � �� ���������� ����������
&��� ��� #�
��� � ��� � �� ��� � ��� �
��� � � � �� ��
���� �� ����� ���������� � A���� ��� ����� �#��������� � ��� ������ �������� �� ��� � ��
��� � ��� � � �� ��� � ��� �
��� � � � �� ��
���������� ���� ������ �������� �� ��� �
MATEMATIKA 2 181
���� �� ������ ��� ��� � ��� ������ ���#���A��
��� ��� � ����� � � ���
��� � ���
��� � � � � � ��
#��� ���� ���� �������� �� ������������ ��������� ������� � ������ ��� ��� ����� �� � � �
��� ���� � ������ � � ����
��� � ����
��� �
��=������ ����� ���� � ��
����
��� ��� �������� ����
���
$� �� ��� ���� �� ��� � ��� �� ����� ���� �� ���� ��� ���� �� � ���� ������ � ������ ��� ��
���� ���� � ��� ��� �������� ���� �� ��� � �
%�� ���� �� ���� ����� ������� ���� ��� ��� ��&�� ��� �� ���� ��� ��� �������� ���� ��?�����A���? ���� ����� �������� ����� ����������
��� ���� � ������ � � ����
��� � ����
��� �
MATEMATIKA 2 182
�������� ���� ����� � � � ���� ���� �� �����
����� ��� ������� ���� �������� ����
��� ��� �������� ����
���
' � ��� �� ����� �����
��� ���� � ������
��� ��� �������� ����
��
� ���������� ������� ��� �� ���� �A� ����
�� ���� ����� �������� �� ��� �� � ������� � � ���� � � ���� � ����� �
��,���� � ����� ���� �� ���� ��� ���
� ��� ��� ��� � ����� � � ���
��� � ���
��� � � � �
� ���� �� ��� ��� ����������� (��� ��� ���� 9�� ������� : �� ������ �� ��� �������� �� ���� � ������� � � ���� � � ���� � ����� �
)�����A�� �������� ���
��� ��� � ��� ���� � ���� ���� � � � ��
MATEMATIKA 2 183
��� � ����������
� ���� � � ���� �� � � ���� � � � ���� � � � �� � ���� � � ���� �
��� ������� ����
� ����
�����
� � � ����
� �����
� ����
����� �� � � ��
$� �� ��� ���� �� ��� � ��� ���������� ����
��� ���� �
��� �������� ����� �
������ � � ����
��� � ����
���
����� � � ����
� � �����
������� ����� ���� ������ �������� ����� ��
&��� ��� ����� ������A� �������� �� ��� ��
��� ��� � ��� � ��
��� � ��
��� � � � �
����� � � �� �� �� �
MATEMATIKA 2 184
46
' � ��� �� �� ������� ��� ���������� ������ �� � �����
�� ������� �A� �� ��������� ��� ����� �����!������ �� ��������
��� ��� � ��� ��� �
������ ������� � �
������
��� ��� � �
��� ���
��� � � �
��� ���
��� ��� ��� �
*��� ����� ������� ��� ���� �� ���� �� ��
������� ���� ��������� % ��� ������� ������� ����� ���� � ���� ����� � ����������� � �
� ��� �
��������� ���
��
�����!�=���� � ������ ����� ������
��� ��� ��
��� ��������� �������
!��������
��� �����
#��� �������� ������ ��� �� �� � � ��
MATEMATIKA 2 185
&����� ���� � ,����� ������������ ���������������� � ������ ��� ��� ����� �� � ��
���� �� ���������� ����� ���� ����� � � ������� ��� � ��� ������ ������A��
��� ��� � ����� � � ���
��� � ���
��� � � � �� �� �
!���� ��� ���� �� �������� ��A��� �� ����� ��� �� ��� ���� ���� ������ �� ���� ��A�� ���� ���� ��������� ��� ��� ����� ������� �����#����� ����� � ��� ��� � � ����� � � �� ��A��� ����� �� ��������� ��������� �������� �������� ��� ���� ��A���� (���
��� ���� ��� �������� ����
��
���� ����� � ������ ����� � ����� ������ ��#������ 9��������� � �/������:� ������� ��������9�����: ������ ����� ��� ��� �
��� ���� � ������
��� ��� �������� ����
��� ��� ����
���� ������ ����� � ����� ������ ���
MATEMATIKA 2 186
��������� � ���������� ����� 9 ��� �� ��: ��=����� �� ��������� ����� � ����� �
��� ���� � ��� ���� � ��� ���� �
MATEMATIKA 2 187
� ��� �� ���� �
! ���� � �� ��� ��� ��=���� ���� ���� ����#����� ������ ? ������? � ��� �� ����� � ���������� ������A�� ��� ��� ��
� ��� � � � � ��� � � ��� � � � �� �� � ��
*����� ����� �������� �� �� �
� ��� � � �� � �� � ��� � ���� � �� � ����� � ��
�� � ����������� � ����� �� ��� �
�� + ������
��� � �� ��� ��� ��� ��� � � � ��� � � ��� � ����
������ ����� � �������� �� �� �� � � ���� ��� ��
� � ��� ���� � � � ��� ���� � � � ��� ���
�� � �� �� ���� �� ,A�� ������ �� �� ? ������?����� ��� �� � *��� ���������� ������ ���#����� �� �� ������ ��������� ������� ! �������������� ������ �� ����� ��� ������� � ����� � ����� ���� -� �� ������ �������� �� �� =���� � �� �
MATEMATIKA 2 188
47
��������� ������ ����� � ����� � ?���� ��������?��� �� ����������� ������ ���� � �� 9� � �� �� �����: ��
� ������ ��� � ���� �������� ������� �
�
� ����� �������
� � �� ����� � �������� � � ����� �������
�
�
����
� � ������ � �� ��
��
"�������� ��� ��������� ������ ���������� � ����� � �� ��� ��� ��
� ���
���
����
� � ������ � �� ��
��
���� � �� 9���� ������� ,��./01����:�� ��������� � �� � ������
� ��
���� � � ���� � ���� � ���� ���� � �
�� �� �� �� � ������ ����������� �� ������� �� ��� ���� � �� ������ �������� �� ���� ������ �
MATEMATIKA 2 189
� � �����
��
���
����
� � ������ � �� ��
�
�
�
�
���� � � ���� � ���� ���
$� �� ��� ��� � )���� � � ��� �� � �������� ��������� � ����� ������ �������� %��� ��������� ��������� �����
������ ��� � $� �� � )���� � � � �����������#��
��� ��� � ����� � � ���
��� � ���
��� � � � �� �� �
��� �� ������ � �����
� �
�
�
���� � � ���� � ���� ���
MATEMATIKA 2 190
)�������� ! ����� � �� ��� ��� �� ���� �����#�������� �� ������ ���������
$� �� � � �� � �� ���� � � � � �� � )������ ��� ���� ��
� ��� � � ���� � � ���� �
��� � ������ � � �� �� � �� �
�� � ��� � ��� � � �� ��� � ��
�� �������� ��� ��� �� �A�� �������� �� ���#��� � �����
��� �� � �� � � ��
��� � �� �� �
$� �� � ���������� � ������ ��� �� � ����� � �� ��
��� �������� �� �� �
� �
�
�
�� � � ���� � �
�
�
� � � ���� ��
� � �� ��� ������ �� �� �� ,��������� . ����� ����� � ����� � ���
MATEMATIKA 2 191
&��� ��� ����� � ���� � �� ����� ����� ������
��� ��� � �� �� ���� � �� ��� ��
��� � ����
��� � � � �� �� �
��� ��� ��� �� )���� � � ��� �� � ������� ����� ������ ����� �� �� � ����� � ��
� �
��
�
��� ��� ��� � �� �� ��� � �� ��
�
��
�
��� ���� � � �� ��� � � ����
� ���� � ���
MATEMATIKA 2 192
48
�*�* �������� � .�/���� �� �
� ����� ����� �� �� � ��� ����������� ��������� ���� �� � ���� ����� =�������� �������� ����� ������� ����������� � ����������� � � �����������
� ����� �� � ���� ��� ����� � ���� � �� ���� ������� �� � ���� ��� ��������
�,���� � ����� ���� �� � � ��� ��� ������
� �� � ����� ����� ��� �������� ��� ����������� ��
� ���� � ����� ��� ����� ��� ����� �� � � ������ �
� �� �� ��� �� � �� � ��� �� � �
� ����D�� � ���D���� � � �� �� ��� �� � �� � ��� �� � �
� ���� ! � ��� � ! �� �� ��� �� � �� ! ��� �� � �
MATEMATIKA 2 193
�,���� � ����� ���� �� � � ��� ��� ��������� � � �
�� ����� ���� ���� �������� ��� .��
/����� �� �� ����� ��� ����� ���������� ��
��� ��� �� �� � �� ��� �� ����� ��� ��� �� ��
�� ��� ��� �� ��
��
���� � �� � � �� �� � �� � �� ���������� ������ ������� �������! ����� �� ������
� ���� � ���� ���� ����� ��
� � ���������� �������$ ��������� ������
��$ �� �
���
� ����� ����� �������� ���������� ������ �
��� �� �
���
� ��������� �������� � ����� � ���� ���� ���D���� ���
������ ����� �������
� ���� ��� ������� ����� ��� � ������ �� � ���������������� � ������� ������ ���� ���� ������ ���� ��� ���� �� � � ��
���� � ��
�� ��� ��� � ��� ���� � ��� �
�� � �
�� �� ���� ��� �������
�����! ����� � ������"�� � ��� �� �� � �� � �� � �� �� ����� �� ����� � ��
� ������"MATEMATIKA 2 194
� ��� ��� �� � ���� � ���� � ���� �� ���� ��� �����
��� � ������"
� ��� ��� �� �� � ����� � �� � ��
����� � �
�� � �
���
�� ���� ��� ����� � �� � �������
�� ������� �� ������ ���� ���� ����� �� ��=�� �� �������� �������� �� �������� �� �������� ����� �������� ����� ������� �#� � ������! � ���� �� �� �� $������� �� ������ ������� �����������
������
���� ��� ��� � �������
��� ��� ���� ��� ������� ���� ��� �����
� � � � �
������
���� ��� ������ �
�����
���� ��� ����� �
�����
���� ��� �����
������
���� ��� ��� � �������
��� ���� �� ���� ������� ���� ��� �����
� � � � �
���������� ��� ���
��� �
��������� ��� ���
�� �
��������� ��� ���
��
MATEMATIKA 2 195
� �������� �� ��=�� � �������
������
���� ��� ��� � �������
��� ���� ��� �� �������� ���� ��� �����
� � � � �
���������� ��� ���
��� �
��������� ��� ���
�� �
��������� ��� ���
��
���� � �� %� ��� �� ������� �� �������
�� ����� ��� ������ � ��� �� �� � ���� �� ��
�� ���� ���� ������ ��� ��� �� � ������ ��� �
�� �����
�� �
MATEMATIKA 2 196
49
����� �/� ��.����� � � �/��� �
%��� D���� ��=�� ��� � � ����� �� ��� ��� �� ����������� ������������ ��������� ��������� =������� ���������� ������� ������ ����� A����� &��� �� ����� ������ ��� ��� ����� �� ��������� ������� �� � �������� $ ����� � ��������� �� ���� �������
�,���� � ����� ���� � � � � � � ��� � � ����
� � ��� ���� ����� �� � ���� ��� ������ �� ���� ���� ���� ������������
� ����� �/� ����� ��� ����� � ������� ���� �������� ���� � �� �
�� ��=�� ��� ���
���� � ���
��
��� �
��
��
�� �
��
��
��
��� �� ���� ��� �� �� � �
���� � ��� �� �� �
�� ��� �� ��
��
��� �
�� ��� �� ��
��
�� �
�� ��� �� ��
��
�� �
MATEMATIKA 2 197
� ��.����� � ���� ���� ����� ��� ������������ �� ����� ��!��� �� � ��=�� ��� ���
��!��� � �����
������
������
�
��� �� ���� ��� �� �� � �
��!��� ��� �� �� ���� ��� �� ��
������ ��� �� ��
������ ��� �� ��
���
� �/��� � ���� ���� ����� ��� ������� ���� �������� �� ��� �� �
�� ��=�� ��� ���
�� ��� �������� �����
���� �
������� �����
��� �
������� �����
���
��� �� ���� ��� �� �� � �
�� ��� ��� �� �� ����� ��� �� ��
��� ��� ��� �� ��
��
���� �
�
���� ��� �� ��
��� ��� ��� �� ��
��
��� �
�
���� ��� �� ��
��� ��� ��� �� ��
��
��� �
MATEMATIKA 2 198
� �������� �� �� ��� ���#�� �� ����� ����� ����� ���� ��������
�� ��� �
���������������
�
��
�
��
�
���� �� ��
�������� �
'������ ������D���� � ������� �� ������� ��=�� ��� �� ��� ���
���� ������������ ����� ��� ����� � ����������� ��� ���� ���� �����"
� ��� ������� �� ������� ��=�� ��� �� ��� ������� ������������ ���� ���� ����� � ����������� ��� ����� ��� �����"
� ������� �� ������� ��=�� ��� �� ��� ��� ���� ��$���������� ���� ���� ����� � ����������� ���������
MATEMATIKA 2 199
���� � ���� %� ��� � ������� ����� ��� �����
� ��� �� �� �
�� �� �
� ������ � ��� �� � �
�� %� ��� ��� ������ � ������ ���� ���� �����
��� ��� �� �� � ������ � ���
�� � ��� �
�� �
�� (�� �� ��� � ���� � �
�� � �
�� ����� ���� ���� �!�
����A� �� ����!��� � � � �� ��� � ��� �
)����� ���� ��� ����� ��� �� �0.�/���� *���������� ���� ���� ��� ����� ����� �� ��������������
��� � ����� ��� ����� ����� �� ��� �������
������� � ������� ���������
MATEMATIKA 2 200
50
+ �������� ��� ������� � ������� ��� �� ����������� ������ ��� ��� ���,����� �������� �����! ��������� ��� ����/�.��!���� ���� ���/� $ �� ����� ���� �
��� �
������
������
���
+������ �� �� ��� �� ��� ��� ��=�� �� �� ��$�� ���� � ���� ��� ���� ������������ ����� ��� ���� ����! ����� ������� �� ������D�� ���D�������
� � ���� �� ���������� ��� ��� � �� ����� �� ����� �� �
� ��� � ��!��� � ��� ����� ����� �� ���A�� � ���� ���� �������� � �
���� � �� ��� � ��� ����� ���� ��� ���A�� � ���� ���� �������� � �
��A�� �� ���������� �� �� ��� ��� ����� �� ������� �������� ���� � �������� ��� �� ����� ��� ��� ���
MATEMATIKA 2 201
"�� ���#� ����� �� ����� �� ��� ��� � ��� �� �������� �� ���� ����������� ����� �� ����� �� � �� ������ ���� �� ���� ����������� ���� ��� �������� ���� �� �
��� � � �� � ���� ���� �� � ��� �� � � �
������
�� ��� � ��� � �� � ����� �
����� � ����
�� � � � ��� � � �
� � ���
��
������� � ����
�� � ����� � � �
�����
��
���0$ )���A��� �� � � ��� *!�
������ � ����
��
�����������
��
��
�
��
�
��
�
��������� ������� �������
�������� �
� �
���������������
�
��
�
��
�
���� �� ��
�������� � ����������������
�
��
�
��
�
���� �� ��
�������� �
� � ����� � � ������
��
MATEMATIKA 2 202
"�� ���%� ���� � �� � � � �� � � ���
���� ����������� ����� �� ������ �� ���������� ����� �������� # � � �� � ��� � � � �� ���� ������������������ � �� � � �� *��� ���
�� ���� �� ���� "
�� ������� � ��� � � ���� � � � ���� �"
� �������� � � ���� � � � ���� �"
� ������
�
��� ���� � � � ���� �
��� ���� �� ��� � �� ��"
�� �����# � �� � # ��� ���� � �
���0$ * ���� � �� ��� ���������� ��=������� ��������� � ��������� �� �� � ���� �! ���� #�� �*�� �� *�)- )!�
MATEMATIKA 2 203
"�� ���&� ���� �� # � � � �� ������� ������������� *��� �� � ������� ��������� ����� # ��� �
� ���� � �� � �� � ���� � � �����
����# ��� � # ��� ������
���0$ � � � �������� �� �����
���� � � ������� � �� � ��
��
�
��� �
�
�
�� �
�
�
�� �
����� ��� �
�� �� � ��� ����� ��� *�� ��� *�).
����# ��� � # ��� ���� � � # ��� ������
MATEMATIKA 2 204
51
"�� ����� ���� � ��� ���� � � ���� � � �� �
���� ����������� ���� ��� ������ �� � �� � ���� ��$��������� ����� �� ������ ��� ���������� ���� ��� ������ �� � � �� *��� ��
�� ��!��� � �"�� ��!
����� � ����
�� � ��!��� � � ��!��� "
� ��!���� ���� � � ��� ��� � � ��� ���� � ��� ��� �"
� ��! �� � ��� � � ����� �� � ��� � � ���!��� �"�� ��! �� � ���� �� � ����� �� � ����� �� � ���
� ���� ���� �����������!� � � ���� ��
� ��! ���� � �
��� '�����. ��!���� ���� ���/� �����!� ���
� ��
������
������
����
�� ��!��� ��� � � � ��� ���� ���� ����� ����� ����
���0$ * ���� ������� ����� ���� �� ��=������ ��$� �������� � ��������� �� �� � ���� �� ����� � ����� �� *�� ��� *�)- �!�MATEMATIKA 2 205
,� ����� � ���� �� �� ����� D���� �� ����� ���� ��$��D� ��� ��� � � ����������
��� ����� ����
����� � ���� ���� � � ��� �
���� ���� �/��� �� ���� ��������� ��� ��� � �� ������ �� �� � �� �������� � ���� � �� ������ � ������ � ���� ���$�� ���� ����� �� ���� ��� ��� �� ������� )�����
��!���� ���� � � �
���� ���� �� �
���� ���� � � � ���� ���� ����� � ����� ����� �
�����
����� � �� ��� ���� � �� ��� �
���� ��� � �D� ��������� ������ �� � �� ���������� ��$������ � �� ���#����� � ���� � ������������������� � ��� ���#����� � �����* ���� (� ������� �� ������� ��� � � ���� �� )���A��� ���� �� ������ ������ ����D� ��� �$�� � 0!� )� ������ � ������� ��=������ ��� ������������
MATEMATIKA 2 206
��!�� � ��� � � ������
���������
���������
��
���
���� � �
�����
���
���� � �
�����
���
���� � �
�����
�
���
�����
�����
��
�� ���� ��� ��� � �
������
������
������
�
� ����� �� � ��� � � ��!��� �
* ���� �� ������� �� (� �� ��� � ���� ��� � ��������� � ���� �� �� ����� �� ��=������ ������� � ��� �������! � ��� � ��������� ���1� ����� ��� )���A��� ���� ����0!� !� ������ ���������� ��� ����� � ����� ����� �� �������
��!��� ��� � � � ����� � � ��� � ��� � ����
� ��
MATEMATIKA 2 207
���� � (� %� ��� 2������ ����� ��� ����� ������� ��
�� � ��� �� �� � ��� �� ��
�� � ��� �� �� ���� � �� � �� �� � �� ��� ��
��� ������!�
��
�� � � ���� �� �� �
���
������
������
���
����� �� ��
��� ���� �� ��
������ ���� �� ��
������ ���� �� ��
���
�� ���� �� ��
���� ��� �� ��
�����������
��
� ��� �� � � ���
���� ����� �� �����0
MATEMATIKA 2 208
52
��
�� � ���
�� � �� � ���
������ � �� � ��
��������� � �� � ��
��������� � �� � ��
���
��
��
���� � �� � ��
��
��
���� � �� � ��
��
��
���� � �� � ��
��� � ��
��� � �� � �����
��� � ��
��� � �� � �����
��� � ��
��� � �� � �����
���� � �� � ��
���� � �� � ���
��� � �� � ��
��
�� � �� � ���
�
MATEMATIKA 2 209
���� � �� %�D������ �� � ������� ������� �������# ��� � � �
��� � �� � �� ������
�# ��� � ��! �����# ����*�� *���� ��!
�# ��� �
����
�
� ��!
�# ����� ����
*�� *��)� C!�
�
�����
# ����
�� ��� � # ���
����!��� � *�� *���
�
�
�# ����
� ������ ��� � �#
����
��# ���� # ���
��� � � �#
����
� # ��� � # ����
�
MATEMATIKA 2 210
���� � �� ���������� ����� ������ ����� ������������������� ������ � ����#����� ������#� $ ����������� � ��� �� �� �������� �
��� � ���� � �
�� � �
�� � � � ���
������� �� � �
�
���
�
��
3� �������� � ������� ��� ����� ��� ����� �
����� �� � ��
�������
��
�
��
�
���
�� ���
����� �
� � �
���
�
��
����� � �
���
�
����� � ���� �� � �
)����� �� ����� ����� ����� ��������� ���������� ��������� �� � $ ����� ������ � ��� �� �� �����
��� �� � � � ����� �� � �
�� �� ��� �/��� ��� �� �%�D������ �� ���� ��� ����� ��� �� �
�� ��A��� ��
�� �/��� ��� ��� ������� ����� �� ����� �� �
���� �� �� ��� � ���� ��� ��� � � ���� �
MATEMATIKA 2 211
3� �������� � ��� ������ ����� ������ �������� ������
�
��!��� �� � � ��!
��
���
�
�������
�
�����!
��
������
*�� *��) C!�
��
���
�����
�
��
�� ��� � �
�����!��� �
�*�� *����
��
���
��� ���
����
�� ��� � � �
��
�
��
���
�� �����
��
�� ��
MATEMATIKA 2 212
53
"�� ����� ��� ����� � ����������� ��� *�� �� *��)� � ������ � �������� �� ����� ��� ����� ��� � ����� �� ����� � ����� �� �� � ������
�� �� ��� � ��� "
�� �� ����� � ����
�� � �� ��� � � �� ��� "
� �� ���� ���� � � ���!��� ���� � ���!��� ���� �
����� �
���� � ���� ����� �
� � ���� ���� � ��
�
��� ��
�
��� ��
�
��
� ������� ������� � ��� ���� ��������� ��� ��� �"
� �� �� � ��� � � ����� ������ � � �� ��� "
�� �� �� � ���� �� � ����� ��� ����� ���������� �� ����� �� �
��� "
�� �� ��� ��� � � ���� ���!��� ������ �
MATEMATIKA 2 213
���0$ ���#���� ���� �������� �� � ������ ��������� �� �� � ���� �� ���� #�� � � ���� *�� �� *�)- �!� )� ����� �� ��=������ ������� �� ��������� � ������� ���1� ��� ��� ��� ����$���
�� ����� �� ���� �
�� � ���� �� ������� �� (� �� ��� � ���� ��
)������ * ��� �� *�� �� *���� ��A������� ���������
���� ��!��� � �� ��� ��� � ����� �
�� ���� ������ ����� �� ������� #�� �� � ������������ ��� ������ ���� �� ��� ������� ���� ���� ������
MATEMATIKA 2 214
)�����$ )��� ��������� ��� ���
��� � ���
��� ��
�
��� ��
�
��
���D���� ��� 4����� 4� �� �� ��A� �������� � ������ ��� � ����� �� ������ 3�����
� ��� �� � ���� ����������� ����� �� ����� ���� ��
���� �� � ����
��� ��
�
��� ��
�
��
�� �
� ����
��� ��
��
��� ��
��
��� ��� � ���� �
� ��� ����� ���� ��� ��� ���� ����������� ���� ���
����� ���� ��
���� ����� ����
��� ��
�
��� ��
�
��
����� ��� ��� �
� ����� �� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� �
� ���� � ���� ��� ��� � ���� ��� ��� � ���� ��� �
MATEMATIKA 2 215
�
�����������
��������
�����
� ����������
��������
������
����������
��������
�����
��
� ��
������
������
������
�� ��
������
������
������
��
���
������
������������
�
������
��� ��
����
��� ��
����
���
MATEMATIKA 2 216
54
*�� ��� ���.��� � �������� �� �
���� ��� D���� ��=�� ��� ���� �� �� ���������� ��� ����� ���� ����� ���� ��
���� �� � � �� � � � � � ����� �� ������ %��$�� ��� �� � ���� ��� ��� � � � ��! ���������� ���� ���������� ������ ���
��! � !���� �!�
�� �!�
�� �
(�� ��! ���� ���������� ���� ����� ��! � ��!���! ��
���������� ���� ���� ���� � ��! !���� ������ � ��A� �� � ��� ���� ��! �� � E������������ �� � ���� �� ��! � ��� ���� ��
������ � "��! � " � ��
%����� �� # ���� � � � "�
�,���� � ����� ���.��� � �������� �� �� � � � 1 / ���� �� 1 �� �1 .�/�� ��! ��� ������� �������� ��� �������!
���"��
� �� �� � ����"
���
���! ���� �
MATEMATIKA 2 217
3���#��� �� � � � ��� ���������� ���� � ��! � ��� ��$���� ������� �� �
� � ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!��
��
���! ���� � ���"��
� ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!��� � ���� ��� ���"
�
���� ������� �� �� �� ������� �� ������ ����� �������� � ���� ����� ������� ������ ������ ���� ������ ������������� �� ��! � �� ����� �!� � !� � �� !� � ��
���"��
� ���� �� � "� ���� � ���� ��� ���"
���
������ ��� ��� �
% ���� ���� D���� ������� ���� �� �� �������� � ��� ������D�� ��� ���
"�� ���(� ���� �� � �� � �� ������� ����� ������� � ��! ���� � *��� ������
��
���! ���� � ���� ����� ���! �
���� �� ��! � ��!���! � ���������� ���� ���� � ��! �
MATEMATIKA 2 218
���0$ ���� �� ��! � !���� �!�
�� �!�
�� � ���! � � ��
���� �� ��$ ����� � �� ���� ��� ����� ��=�� ���
��
��$ ��� � ��� � �!�� �� � �!�� �� � �!�� � � � ��
%� ���� ��� ����� ����� � � � � �� A�� �������� � �� � ��� �� � E���� �� �� � ��! �!&����� ��� ���������� # � � ���$ ����� � �
# ��� � � ��� � �!�� �� � �!�� �� � �!�� � � ��
� ������� � ���� �� �� �� ���� ����������� ������� �����! �� ���������� ��� �������
��
���! ���� � ���"��
# �"�� # ���
"�##
#���� �
���
��
������
� # ��� � �!��#�
������
���
��
������
� # ��� � �!��#�
������
���
��
������
� # ��� � �!��#�
������
MATEMATIKA 2 219
���
������ � !� � ��
������ � !� � ��
������ � !�
� ���� ����� � ��! �
5 �� ���� ����� � ��! �� ����� � �������� ���� ����� ����� �� ���� ��! � � ����� �� � ��������
�� ���� ���
���! ����� � ������ ����� � ���� ���� � ��! �����D�� �� ��
��! � ���� ������
/�� �� ���� ��! ! �� ��� ����� � �������� ��������6/�� �� ��� ����� � �������� ������ ���6/��� �� ���� � ��� ���6 ����� �� �� ��������0!
)����� �� � �������� ��� ��� ������� �� ����� ������� � ���� A� ���� ���� #�� �� �� � E��� ���� � ��������� �� ���� A� ���� ���� #�� �� �� � E���� ���� � �) ��� ��������� ���� � ���01 �� � �� ������ � ����� ���� ����� � � 7���#�� � ������� ������ ��A� � ��� ���� ��� ����
MATEMATIKA 2 220
55
���� � �� 3� �������� �� ����� ����� ���� �����
��� �� �� �� ���� �� �� � �� � ��� � �
������ � � ��� ���� ���� ��! � ��� ��� ��� �
�� *�� �� *��C ��
���� ���� ���� � ��� ��� ������������ � ������ ��� �
��! ���!����! �� �
������������
�
������� �� �� � �A��� ���� ��� �� �������� ��� ����
���! �������
�� ��� �������! � ����� ���� ����� � ��! �
� ������ �� �������������
�� ����
MATEMATIKA 2 221
"�� ����� ���� �� � � � �� � � �� ���� ����$������� ����� �� ������ *��� �� � ������� ���� ����� ����� ������ �� � ���� ��� ��� ������ �� ������ ���!���� ��� ����� � �� ����� ��� � ������ � �� ���������������� ��������� � ������ ���� ��� �� �������� ���������
���� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ���
������� ��
� � ���� �� ��� �� ���� �� ������ ���! �������� �� �� � ����� ��� ����
���0$ %���� ��� ���� ��� ����� �� � ���� ��� ��� � ��8�����A�� � ������ ������� ����� ������ �� �� � ����� ��� ���� #�� �������
� � #����� ��� ��� �
�� ���� ��� ���
��#� �
�� ���� ��� ���
��#� �
�� ���� ��� ���
��#� �
� ���� ����� ��� ��� � #��� �
� � ���� #��� �������� ����
#���� � #�
�� � #�
�� �#�� #�� #���
MATEMATIKA 2 222
5�D�� �� � ����� ������� �� �������� ����� ��������� �� #��� ������� �������� ��� ��=����������� ����� �������� �������������� ����� � �� ����� ��� � ��������
���� ����� ��� ��� � #��� � �
������ �� �� ���� ����� ��� ��� ������ �� � ����������� ����� ��� �� � ���� �� ������ ���� � �� �������� ������ �� ������ � � ������� �� ������ ���� ����� � ������� ���� ����� ��� ��� � ���� � �� ��
� � ���� ����� ��� ��� � ��� ��
�� *�� �� *��C ��
���� ����� ��� ��� � ��� � ��� ���� ��� ���
���� �
#�� ���� ����
���� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ���
������� ��
MATEMATIKA 2 223
)������ ����D� *�� ��� *��5 ���� �� �� ����������������� �� ����� ���� �� ������ ���� ����� �������� � � ������ �� ��� ����� �� � ���� ��� ��� �����
��� � ����� ����� ��� ���
����� ����� ��� �����
���� � #� 3� �������� ���������� �� ����� ���� ������ � � �� ������ �� � �� �� ���������� � ���������� �� �� � ���� ��� ����� � � ������ ������� ����� ���� �� �� � � ����� ����� �������� � �� �� � � ��� *��� �������
���� �� �� � �� � � � ��
�� ��
���� ��� �� �� � ��� ������������� � ��� ����
�� ��������
��� ����� ����� ��� �� ��
����� ��� �� ��� �����
����� �
�� ���
��
MATEMATIKA 2 224
56
*�� ��� ���.��� � .�/���� �� �
(������� � �������� ����� ������� ��=�� �� D���� ����� �� �� ����� ���� ���� ����� ���� ��������� ������ � �� ������ ��� � � �������� ���������� ���� �� � � �
� � ��% � � ��� ���� ��� ������
�� � ���� ��� ��� � � �
��! � !���� �!�
�� �!�
�� �
���������� ���� � ��������� ������ ��� �� ���� ��
������ � "��! � " � ��
��� ������ � �� ���� ������ �� � ��� ���� ��!�� � E����� ������� �� � ���� �� ��! ������� �� " �������� ���
�,���� � ����� ���.��� � .�/���� �� ���% � � ��� 1 / ���� �� 1 �� �1 .�/�� ��! ��
� ������� �������� ��� �������!
���"��
��% �� ����% ����"
����%���! ���� �
MATEMATIKA 2 225
��� � ��� ���������� ���� � ��! � ��� ������ ������� ���
� � ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!��
���%���! ���� � ���
"��
��% ��� � "!�� �� � "!�� �� � "!�����% ���� ��� ���"
(������� *�� �� *��C� ��A� �� �������� ���� �� ����� ���� ��� �� ������ ���� ���� ������
"�� ����� ���� ��
��% ��� �� �� � %� ��� �� ����� �%� ��� �� ��
�� �%� ��� �� ��
��
�� ������� ���� ��� ����� �� �� ��! � !���� �!�
�� �!�
��
���������� ���� � �� � �� *��� ������
���%���! ���� �
�!��
���!�
�
���!�
�
��
���% ���� �!
� ���! ����% ����
� !����%��
���� �!����%��
���� �!����%��
����
MATEMATIKA 2 226
' ���������� ��� ���� ��� ���� �� ���� ������������ ��� ������ ���� �� ����� �������! ���� �������� ����� �� ������ )����
���%���! �
�!��%����!�
�%����!�
�%���
����
�!��%����!�
�%����!�
�%���
��� �
�!��%����!�
�%����!�
�%���
��� �
(�� ��! ���� ���������� ���� � ���� �� ���� �� �������� ��! ������ ��! � ��!
���! �� )����� �����
���%���! ���� � �
��! ����% ����
���� � %� '���� ��� �� ������ �������� �
��� � ���� � �
�� � �
��
���� ���� ����� ����������� ���� � ��! � !���� �!�
�� �!�
��
���������! � !�
�������!�
�������!�
������
� !���� �!�
�� �!�
�� � ��! �
MATEMATIKA 2 227
���� � �&� 3� �������� �� ����� ���� ����� �����
��� �� �� �� ��% ��� �� �� � ���� ��� ���
������ �� � ������� � ���� ��! � ��� ��� � �� �
5�D�� �� �� ��! � � ������ ��� � �� �� �� *�� ��
*��9 �������
���% ������� ����! � ����! � ����% � ������� � ��
�
���%��
��
�
���%��� �
���%��
������� ���
�
�
���� �� �� �
�
���� �� ���
���� �� ��
������� ���
�
�
��� � �� � � �� � � �������� ��� �
��� �
�
�� �
MATEMATIKA 2 228
57
!�! "��� �� ������
� �������� ���� � �� ��� ��� ������������� ����� ���� � ������ ��� �� � � ���� ���� ���� � �� �������� � � � �� ����� � ������� � � ����� ������
� ������ ����� ���� ��������� ���� � �� � �� � � ���� �� � ������� ���� �
MATEMATIKA 2 229
"��� �� ������ ���� �����
��� �� � � ���� �� ��� � ����� �=����� *�))!������ � � ����� �����
��� ��� � � ������ � � ����� � ������ � � � ��� �� �
� �� �� ���� � � � �� � �� ����� �"����� !� � �� �� # � �� ��$�� ��=�� ����������
��� ������ �
�� ��
� �� �� ���� ���� � ������� ����� �����
��� �� �� � "����� ���� � ��� $�� ��������� �� � ��� � ���% � �� ����� ���� � ������� ������ ������ � � ��� ����� ��
��� ���� ������� � ������ � ������ � � ��� ���
� �� ���A � "�����
� �� � ���� ���� � ��� ���� %��� �� ������� ����� �����
������ � ������ � ������ � � ��� ���
MATEMATIKA 2 230
�� � "����� ���� � ��� $�� ������ ��� �� � ����,���� !%! ��� �� ���� �� ��� � � � � � ������ �����
��� ��� � � ������ � � ����� � ������ � � � ��� �� �
� �� �� ���� � � � �� � �� ����� �"����� !� � �� �� &�� �� �� � "����� ���� � ��� $��
� �� ������� ����� ����������� � ������ � ������ � � ��� ���
���� $�� % �� ���� �� ���� ���� ���� � �
�
������� ����� ���� ������� � ������ � ����� � �
�
�
����� ���� � ��� ���� �
��� �� ������ �� �� ���� �� � ������ � � ���� ���� ��� ������ �� ���� �����! ��� �� � �� �
�
� �
MATEMATIKA 2 231
Ova posljednja oznaka ima smisla jer za diferencijald elementa luka krivulje vrijedi
d = k 0( )k d
ds
r'(t) dt
Naime, ako su 0 bliske tocke na luku krivuljes radijvektorima ( 0) i ( 0 + ) redom, pri
cemu je dovoljno malen, onda duljinu dijelakrivulje (luka) izmedu 0 i možemo aproksimiratisa ( 0 ) Dakle imamo
( 0 ) = k ( 0 + ) ( 0)k k 0( 0)k
Napomena 1. Krivuljni integral prve vrste možemointerpretirati kao masu krivulje po kojoj je gustocapromjenjiva (nehomogene tanke žice). Ako skalarnopolje predstavlja linijsku gustocu žice, onda djelicžice duljine ima masu
( ) .
MATEMATIKA 2 232
58
'���� � �� � A��� ��$�� �� �$� � ����� � ������� � �� �� ������ A����
� ��
�������� ��� �� �
(� �� ���� � ��� "������ ���� �� ����� � ��� � ���
' �� ����� ����� �� � � ��� ���� � ��� � ����� �� � �������� ���� � � "������
�
���� �� � �
����$�% �� �� � � �� �� �
% � � (� ��� � ���
�������% � ��� ������ ��� �������� � ����� #�����*�)C!�
# ����� ! �������� ���� ���
� � ����� �
�� $� �� � � ����� ���� �������� �% �� ������� �
�
����� ���� � ��� ���� � � �
�
���� �� �� � �� ��� � � �
��� ����� �� ���� ������ ���� � ���� ����� �� �� $��� ���� ������� �� � � ����� ���� �� �� &�� �� � � � ��$� �����
MATEMATIKA 2 233
�������� � � � ���������� ��$�� �� � (� �� ����� ��$�� � � �!�
�
��
� �
�
��
�
�� � ���� � � ����� � ����� ���� �������� ��
&��� �� !! )�� ��� ��� �������� ���� � ���� ������
� ��� ����� ��
���� �� � � � �
� � � � ��� �A$ �
� � �� � � � ��� � ��� � � ��� ���
�
�� �
�
�
������� ����� ����� ��������������������
MATEMATIKA 2 234
�
�
�
�� � ��� � � �� � ���� �
�
�
�� � ����� � �����
�
�
�
�� � ��� � ���� � ��
MATEMATIKA 2 235
� ������� � �� � ����� �� � � �� � �� ��������� ���� �� ��� ��� ��������� ����� � �� � ������� !% ������� � � ���� �� ���� ���* ����� ��� � � � ���% ���� �� �������� ���� � ���� ������=�� � � �$���% ��
�
�� ��"��
��
�� � � � � ���
�� �
+������ � �� �������� ���� � ���� ���� ��=�� ����� ���� ����� �,��� �� ! ���� � % � �� ����� A� � �� ������� ��� ���� �� � ��������
�
��� � ���� � �
�
�� � �
�
�� �
���� �� � �� ��������� ���� �� ���% �� � � �� �
���� $��� "������ � �� � � ��# ����� ! &�� �� � ���� ������� � �� " "������� � � ���� � � ��� �� � �� � ��� $�� � ��A��� ����� � � �� �� # � �� �
��� ��� � ���� � � ����� � � � ��� �� �
� � � ����� ��� �������� � � �������
MATEMATIKA 2 236
59
�
� ��� �� �
�
�
� ��� � ����
� � ��� ����� ��
����$� � � � � ��$�� �� ��� � "������ � ������ ��� � ����� ���������
# ����� �! &�� �� � ���� ������� � � � ���� ��� ��� �� ��� �A$�� � � � ���� � � ��� �� ��� � ��� $�� � ��A��� ���� � � � �� � �� # � �� �
��� ��� � � ��� ��� ���� � � ��� ��� ��� � � � ��� �� �
� � � ����� ��� �������� � � ��������
� ��� �� �
�
�
� �� ��� ��� �� � ��� ��� ��
�� ����� � ��� �������
-��% � � � � ��$�� �� ��� � "������ � ��������� � ����� �������� � ��� ��� ������ ����� ���
MATEMATIKA 2 237
# ����� �! �.��� �� ��� ��������� ! �� � ������� � � �
� � � �� � � ������� ����� ���* � � �*��� �A$ �
���� �� � � ��
���� �� � � ��
# � ��$ /����� ����� ����� � ��� $��/ ��$����� �A$�
� � ����� � � ��
� ����� �� � �
��� ����� �� � � ��� ��� 0���� ��� �A$� �� ��� �A$������ ���* ���* � ���� ��������� �� ����� �� � � ��������� ����� $��� "������ ��� ��������� ���* ���* �� � ��� (� �� ��� � � � � ����� ��� � � �% � � ����% � ����% � � ��� ��%�������� �% � �� ���� �� �������� ���� � ���� ������A� ��� ��� � �� "�������
� �
�
�
���� ����� ������� � ������ � ������ ��
MATEMATIKA 2 238
Pritom u slucaju ravninske krivulje R2
dobivamo 0, pa je tadaZ
d =
Z( ( )) ·
p1 + 0( )2 d
Primjer 2. IzracunajteRd ako je ( ) = 3
i krivulja koja je presjek ploha
= 2 + 2 = 1 ( 0)
x
y
z
1
= 2 + 2
= 1
¾= 2+ 2 = 1 = 1
½= cos= sin
== cos= sin= 1
[0 ]
MATEMATIKA 2 239
����� � � ��� ��� � ��� �� � �
��� � �
��� ��� ��� � ���� ��� � ���� � � �
��
� �
��
��� �
� �
�
���� � ��� � � � �
MATEMATIKA 2 240
60
&��� �� ! )�� ��� ��� �������� ���� � ���� �����
�� �� �� ���� �� � �� �� �������� � �
��� � ��� � � �� � �� � � ��� ������ � ��� � � ��� � �� � � ��� ���
'������ � � �$ ������� ������� � �������� ������ � ��� �� � � � ��� ���
(1,0)
(0,1)
O
Y
Xy = -x+1
y=-x2+1
���
��
� �
� �
�
���� � ��� � ����� � �� �
� �
�
���� � ���� � � �
���
��
� �
� �
�
����� � ��� � ������ � � � � � �� �
������ �
-�� ��� ���� � �� $�� �� ����� �� �������� ������ %�� � �������� ���� � ���� ���� � ����� � �� ��� ���� ���� � 1!
MATEMATIKA 2 241
����� ��� ��=�� �� �������� ���� � ����� ������������� �� ���� ����� ���� ������������� �=����� *�)�!�
0� � ������� ����( ���� ����� ����� ������ ��� �� ��$�� 2��$ ����� �� ��A � �� ��$� ������ � ��� ��� �� ��$� ����� � � ��� ��� �� � �� ��� �� ��� $�� � � ��� ��2%
� ���� 2��$ ����� ��% �$� �% �� ����� � �� ������ �� � �� � � � ��� $�� � � ��� ��2�
' ����� ����� �� � A��� � ���� ������� � ��� ����� � ��� ���� � � ���� �% � ������� � ���� ������� � ��� ����� � � ��� � � ���� ��
' ����� �������! ����� �� � A��� � �� � � ��� ����� +��� � ��� ! � � �� � � ��� ��� �� ��� +��� �!������� � �������� ��
MATEMATIKA 2 242
2
1
r(b)
r(t1)
r(a)
Ako je krivulja po dijelovima glatka, njezine sas-tavne glatke krivulje 1 · · · dopuštaju po dvijeorijentacije.
• Reci cemo da je orijentirana cim su 1 · · ·sukladno orijentirane, tj. kraj od jest pocetak od+1, = 1 · · · 1.
Ako je zatvorena po dijelovima glatka krivuljaimamo negativnu i pozitivnu orijentaciju, tj.orijentaciju sukladnu gibanju satne kazaljke iorijentaciju suprotnu gibanju satne kazaljke.
• Orijentiranu krivulju oznacavat cemo say
.
• U posebnom slucaju zatvorene ravninske krivulje,y
ce oznacavati njezinu negativnu orijentaciju, ax
pozitivnu.
MATEMATIKA 2 243
"��� �� ������ ���� �����
��� �� � � ���� �� ��� � ������ � � ����� ������
��� ��� � � ������ � � ����� � ������ � � � ��� �� �
� �� �� ������ ��$� ����� � � ��� ��� �� � ��� ��� � &�� �� � ������ ��� ��� � � ���� �% �� �� � ������� �� � ���� � � ��(����
� ��
��� ��� �� � � � �� ���! � �!�� !�� !� � � �
��
�������� ����� � # � �� ��$�� ��=�� �����������
��� ������
��!� ���
� ��� ��! ���� ���� � �!����� ����� !����� ����� !���� ����� �
��� �� ������� "����� ���� � ��� $�� ������� ��� �� � �� 3������ � �� �� � �� ������
��! ���� � � ��� � � ��� ��� ��
MATEMATIKA 2 244
61
� ��� ��! ���� ���� � ��� ���� �� !��
��� ���� � ����� � !����� ���� � ����� � !���� ���� � �����
�� � "����� ���� � ��� $�� ������ ��� ���
��,���� ! '! ��� �� � ������� "����� ��! � �!�� !�� !� � � ��� � ��%
��� ��� � ������ ����� ����� � � ��� ������ ��� � � � ��� ��� � �
� � �� ��� ��� �A$ ������� �� ���� �������
�
� ��
�� � � &�� �� �� � "����� ����� ��� $��
� �� !������� ����� ���� ����� � !������� ����� ���� ������
�!������ ����� ���� ����� � � ��� ��
���� $�� % �� ���� �� ���� ���� ���� �
MATEMATIKA 2 245
� �
�
�!������� ����� ���� ����� � !������� ����� ���� ������
�!������ ����� ���� ����� �� �
� �
�
���! ���� ���� � ��� ����� ��
��� �� ������ �� ���������� �� ��! �� ���, ����� �� ���� �
�
� ��
�� ���� ���� ��� ������ ������ �����! � �� �� � �� � �
�
�
��! � ���� �
&��� �� �! )�� ��� ��� �������� ���� � ����� ������
�
��! � ���� �������� "������
��� �� � �� ��! ��� �� � � �� � � � �� �� ��
�� ��� ��� � � ��� ������� �� ���������
�%
��� ��� � �� ��� �� � ��� �� ���� � � ��� ����
-���� � ������ ���(���� � ��=������� "������
MATEMATIKA 2 246
��$�� ��� ��
�
��! � ���� �� ��
�
��� ��� �� ��� � ��� ��� �� � ���� � ��� �� � � ��� ��
��� ��� �� � ��� �� � ���� �� ��
�
��� � � ��� � � � ��� � � ��� �� ��� ���� � � � � � �����
# ����� �! �������� ���� � ����� ������
�
��! � ������ �$���� �������� � � � � ��� ����
��" � ��!
��A �� �� ��
� �� ����� � � ��� ��� �� ������ � ��� ��� �
MATEMATIKA 2 247
�������� ���� � ����� ���� ����� � �� $� �� �� ���� � ����� ���� � �� �� ����� �% �� �������
� �
�
���! ���� ���� � ��� ����� �� � �� �
�
���! ��� �� � �� ��� �� �� �
��� ����� �� ���� ������ ���� � ���� ����� �� �� $��� ���� ������� �� � � ����� ���� ��
�
�� -�� ���� �� �� ���� �� ���� ��� � �� ������ �� ���� ��� � � �� � !��� ����� ����% ������* ����� � ���� ������ �������� ����� ���� ��
# ����� #! &�� ���
� �� ��������� �� � �������� % ������� � � ���� �� ���� �� ������� �*�� ��* �������
�
��� � � � ��
�� ��� � �� �� �� ����� � �����%���� �� �������� ���� � ����� ���� ��=�� �� � ��$���% ���
�
�
��! � ���� ��"��
��
��
��! � ���� � � � � ���
��
��! � ���� �
)�� �� �� �=����� *�*� � ����� � ,��� �� ���� � ������� �� � ������
MATEMATIKA 2 248
62
������ ! !! ��� �� ��! ���# � � ��% � �
�%�������� "������ � ���� $���� ������ ��"����� � % �� � � � �
�
� ��
�� � ������� ����������� �� � ������� � # � ��
�!�
�
��
��! � ���� � ��
�
��
��! � ���� �
��!��
�
����! � ���# � � ���� � ���
�
��! � ���� � ���
�
��# � ���� �
��� �� ������� "����� ��! � � ��% � �
�%� � ������� � ��� $�%�& � � �% �� !� � $ %!� � % � ! � &� ������A��� �� "������ ��! ��"������� �� "����
$�� �%�� �&��
���� � �� � ��% "��� ��% �������� ���� � ��������� ����� � � ���� ��� ����� � ����� ��"������� �� "����% ���
�
�
��! � ���� ���
�
$�� �%�� �&��
���� �� ���� � ��'� � ��' � �'��
MATEMATIKA 2 249
&��� �� �! )�� ��� ��� �������� ���� � ����� ������
�
�� � ��� � � � ���� � �� � ���
�� ���
� ������� ������� � ��A� �� ��*���( (�� ����� � � ��� �� ���+������ � ��
�
� ����(� ��A� � � � � � �������
����� � �� � � � �% � �� �� % � � �% � �� �� �%� � ��� �� ������ ��� ��� ��� � � ��� � � �!% � ���
�
�
$�� �%�� �&� �
� �
�
�� � �� � ��� � �� � �� � ��� � �� � �� � ��� � � �
�
��� � ��
# ����� %! &�� �� � ��������� ���� �� �����
������
�
��! � ���� ������� � � ���� % �� �
�� �� � �� ��
�
��! � ����
� ��� �� ���� �� �� ��������� ���� ��! ��� ������ ��������
�
��
MATEMATIKA 2 250
Primjer 6. Izracunajmo cirkulaciju ravninskogavektorskog polja
( ) = { }) po središnjoj kružnici
y
polumjera (orijentiranojpo volji);
) po rubux
pozitivno orijentiranog trokuta s vrhovima= (2 0), = (1 1) i = (0 0).
=3
1
2
y
Ox
y
Ox
(a) (b)
(1,1)
(2,0)c
c 1
1
) Ovdje jey
zadana parametrizacijom = cos ,= sin , [0 2 ], pa je
Iy
· =
Iy
+ =
=
Z 2
0
[ cos · ( sin ) + cos · sin · cos ] =
2
Z 2
0
(cos cos2 )( sin ) = · · · = 0;
MATEMATIKA 2 251
�� -���� ���
� ������� � �� ��������� ���� ����� ���� �� � � ���� ��
�
�� ���(�%
�
�� ����� �
�
�� �����( � � � ����� ��� � ������!�
� � � �% � � ��� ��% ������� ��� ��� � � ��� ��
� � � �� � �% � � ��� ��% ������� � ���� � ��� ��
� � � �% � � ��� ��% ������� � ��� � � ��� ��
# �� ��$�� ����
�
��! � ���� ���
��
��! � ���� ���
��
��! � ���� ���
��
��! � ����
�
� �
�
�� � � � � � ���� �� �
�
�� � ���� ����������� �
�
�� � � � � � ���� � � � � � ���
� �� � �� ������ � �������� � � ����� ��� % ���
MATEMATIKA 2 252
63
��� ��� � �� ��� � � ���� � ��� ��� ��
� ��� �
� �% � � ��� ������ � �% � � ���� ��
�
� ��� �
�������% � � ��� ��� �� �% � � ���� ���� � � % � � ���� ��
�
������� ��� ��� � � ��� ��
MATEMATIKA 2 253
���� �� �� ��� ����� ���� �� � �����
4 �� � ����� ���� �������� "������ ��� � �����A��� � ��� � � ���������� �$�����
��� � ��� � ��� � ��� � ��� �
���� ����� �������� ����� �� ����� �������� �
� � � � � ����� ����� ��� ��� � -� �� ������� � ��
��� ��� � ��� ��� � ��� � � ��� �
���� ���% ������� ��� ��� ���� ��� ��������� ����� � ����� ���� �������! � ��������� ���� � �������� �����!�
�
�
��" � ��� �
��
��" � ��� �
MATEMATIKA 2 254
������2� �����
:���� ������ ���� �� � ��������� ��� ���� � ������ ���� �������� ��� �� ���� ����������.��#��������� ��� ��� ���� �� � ���� �� ��9����� ��: �������� �� ���������� ���� ��� � � ������ �� 9��� ����: �������� �� �� �� ��
������ � �� *������2 ����������� � "'' � & � � ��������������� ������ ���������� �� � & � �
� �� ���� ���
� � & ����#���� ������������ �������� �� ��������� ������� � ������ ������ ��� ������2� �����
���
������ ��
����� ��� ��
��
�����
�
��
�
� ��� ���� ����� �����
��� ���� �� � ���� ���� ��� ����� ��� ���� � ���� � � 9� �� ������ �� � � �� �� :�
MATEMATIKA 2 255
������� ��� ������� ��
����� ��� ��
��� �
9��� �� ��� ����� ���� �� ���� �� ����� � ��� �� � ����:���� ��� ������� ��� �� ���� ��� ������ ��#���� ������� ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��������� �� � ���� ��� ���
�
� ��� ���� ����!
� �� �
��
���� ��
�
��
�
��� � ����
�������� �� ������� �� �� ������ � � � ��� ������������� ������ ����� ��������� ��������������
��� � � ��� ��� ��� �� � �� ��� ��� ���� ��� �
������ ��� � ��A��� �������� � ����!��
������� � ��
����� �
��
�
��� � ���� �
MATEMATIKA 2 256
64
Primjer 7. Izracunajmo cirkulacijuIx2( 2 + 2) + ( + )2
po pozitivno orijentiranom rubux
4x
trokuta4 , = (1 1), = (2 2), = (1 3).
3
1
2
Y
OX
1
1 2
2
3
A
B
C
Primijenit cemo Greenovu formulu na
( ) = 2( 2 + 2) i ( ) = ( + )2Ix2( 2 + 2) + ( + )2 =
=
ZZ μ( ) ( )
¶)
=
ZZ(2 2 ) = 2
Z 2
1
μZ +4
( )
¶= · · · = 4
3
MATEMATIKA 2 257
���� 3�� ����
"� ������ ������ ��� ���A�� ���� ����� ������ ������������� �� ��
��
�� ����� 9� � � � � ��� ��� ��������� �����:
��
�� ������ 9� � ��� � � � ��� ��� ��������� ����: �
��
� ����� 9� � � � � ��� ��� ��������� ����:�
����������� �� ��� ��� ������� ������ ��� � ����������� ?�������� ����� ? ��� �� ������ ���� �������� ������ ����� �� ������������� � ���� ������� ������ �������� ������� ?���������? ������� ������ ���������� ��������������
MATEMATIKA 2 258
���2 �� ����!�� �����"� ���� ��
��������� �������� ��� ����� ��������� �� �� ��������� � �� �� ������� �� ���� � ���������������� ��� �� ����� �� ��������� ���� ���� � ����������������� � �������� ������� #��� ���� ������ ���� � �� �������� ����� ����� ��� ���� ��������� ���� ���� �������� � ���� ������������� ��� ����
��,��"� � � � ���� ��
��� � � �� � ��
���������� �������� ������ �� �� ���� �� ��� ��������!�� ���������� ����� ��� �� �2�#� � ����!��"�$ #%�� �� ��� �� ���� ���� ������ ��� � ����� ���� �� ��������� ������ ��� ���
�
����
�� � ��� ���� � � � � ������������ �� � ����� � �������
�
��
��� � ���� ���
��
��� � ���� �
$���� ��=������ ������ ������������� ������ ��������!
MATEMATIKA 2 259
������ � &� ���� �� ��� � � � ����������
�������� ����� �� �������� � �������� ���� ��� � �
� ���� �������� ��� ���� �������� �� ���� ��������������� � � ��� � ���� ��� �� ��� ����������������� ��� ��� ������� �������� ����� � � � � ������� �� ���� �� ��
��� � � ���� ��
���� �� �������� ��������� ����� ��� �� ��� ���
�
� ��� ��� ��� � � ������ � � ���
��� � � ���
�� � � � ��� � �
����������� �� ��������% � ��� � ���������������� � � ���� ��� ��� �
��� ��� � �������� �������� � ���� ��� ��� �
��� ��� ��������
�
��� � ���� � ���
�
��� � � ����
� ���
�
��
���� �
��
���� �
��
����
� �� �
�
��� ���� ����
��� ����
�� ���� ������
� ������ ���� ����
��� ���
���
MATEMATIKA 2 260
65
� �� �
�
������� ���� � � ���� ������ ���� ���������� �������� �����
� � ���� � ��� � ����� ��� ���� ����� ��� ����
&� ������ ������ �� � � �� �� ��2�4�� ��� ������ ���� ������ ��� � � ��� ��� ������������������� ����� 9����� ����������� �� � A���:��� ��� ������� �������� ����� ������� ��� ��� ���� ��
���� �� � �������� 9��������:!����� � ���� �� � ��� � ������ �� � �����
����A��� � &����� � ������ �� � ����� ����'� �" ��
�������� ()� ����������� �� ������ '�'( �� ���� ������ ��������� ������ �������� ������� � � � � ������� �� �������� ���� ������ ������������� ��#������� ����� ��� ���������
�
�
��� � ���� � ��
#������ �� ����������� ���� ������ ���� ���� ���������#���� �������������� ��������� �������� �� ���� ��� �
MATEMATIKA 2 261
"� ������ �������� ����� ���� ���������� ����������� �� �� ��� ������������ ���� ��� ��� ����� )���������� �������� �� �� ��� ���� �������� ����� ��� �� ��������� ��������� �� ��������� ��������� � � ������ � ����� �� ���� ���� ��������% ����� ���������� ����������� �� �� ��� ������������ ��� ����� & ���� �������� ������ �� �������!
������ � *� ���� �� ��� � � �� ����� ����� �� ��
��������� ���� ��� 9��� ���������� �� �� ������������ ��������� �� ���� ��� :� ���� ����� �������������� ��� � ���� ��� ��
�� ��� ���� �
�� ������
�� ��� ���� ��
��
�
��� � ���� � �
�� ���� �������� �� ��������� ������� � ��
� � �
MATEMATIKA 2 262
*�� �� ��� ������������ ����� �� ���� ����� � � ��� �
�� ���� �������� ����� � � � �� 9� ����� �����#����� �� ��� :� &����� �������
�� ��� � �� ���� ����� '�++ 9,:
���� �
MATEMATIKA 2 263
��%� �'��'��� �����"� � � 4�'���! �����"� ���!*��42������!� �� � ���+-� ���������� ��������% ����� ��� � � ��� �������� ��������� ��������% ����� 9����������:!
�� � �����
� �� � �����
� �� � �����
�
���� � � � ���� ��� ��� � � � ��� �� �� � � �������� ���� ���� � ����� �� �������� ����� ��� �������#������ ���� �� ��� ���
�
�� ���� ����� �� ������ ��������� ��������% � A���
�������
��������
������ ���� � ������
����� ����� � � � � ��� ������ �%��� .���� ���� ��
�� � ��� ��� ��� � �� � ��� �� ��� �
����� ������ '�'( ����� �� �� ��� ��� � � ���� ��� ��� � �
9�� ���� ��A���: ������� �� ��
� ��� � � ��� �� �� � ��
�
��
��� � ����
� ��������
��� � ���� ���������
��� � ���� ��������
��� � ���� �
MATEMATIKA 2 264
66
/ � �� �� ��
������ ���
��� � ��� � ���� � ��
��� � ��
�� � � � ���� � �
������� ���
��� � ��� � ���� � �
��� � ��
�� � � � ���� � �
������ ��� ��� � ��� � �
��� � �
��� � �
�� � � � ���� � �
�������
���� �� �� � �� �
��
����� ��� ������
�� �
��
����� �� ������� �
��
����� �� �����
MATEMATIKA 2 265
,��� �� -� -����� �������
�
��� � ���� ��� ��
��� ��� �� �� � ����� � � � �� ��� � �� �� ��� � � � � �
���
� ���� ���� � � �� � � � � ��� �� �� �� � � ��� �� ��0
���
� ���� ���� ������������ �� ��������� ������ ������#���� �������� ��� ����
�� &����� �� �� �� �������� ����� ��� ���������� ���#
������������ �� ������� ��� / � �� �� ��
���
���
���
���� �� � ���
���
���
���
���� ������
���
���
���
���� ���� � ���
�� �� �� ��� ���� �� �� ��� �������A�� ����� ����� �
������������� #��������
��
��� ����� � ��
�
��
��� � ����� � ��
�
��
�� � ���� �� ������� �� ���
MATEMATIKA 2 266
���� �� ���������� � �� ��� ���� ���� ���������9 ����� ���� ��� ��� � ��� �� ��:
���� �� �� � �� �
��
�������� � �� � �����
�� �
��
����� � �� ������� �
��
���� � � � ���� �
�� �
�
����� �
�
����� �
�
���� � � � ���� �
� ����� � �� � �� � �� � ���
����� ������
�
��� � ���� � ���� �� ��� ���� �� �� � �� � � ���
�� &��� �� ���� � ���� ������ �������A���� ����� �� ������� 1������ '�',��
�
�
��� � ���� � ��
MATEMATIKA 2 267
���� ��.�� ��������
����2�� ��� �
����� ����4 � ����� � �� ����� � �������
�� ���������� �����A�� - � � �.( /��
�� � ������� �����A�� � �.� /� -� � ��
�� ���� ������� �����A�� �
. � . ��� �� � / � / ��� �� � - � - ��� �� �
������ ��� �� � . ��� ��
��� � / ��� ��
��� � - ��� ��
��
� � �
���� � � � �� ������� �������� � ������� ����� ��� ������� �
� � �� �
������ ����� �� �� � �� � � ���������� ���������������� �� �� ����
� � ��.� /� -� � �� � - � ��.� /�� �.� /� � ��
� ������ ����� � �������� �� - � � �.� /� ����������� ������� ��� �
MATEMATIKA 2 268
67
�� ���������� �����A�� ����� ������� � � ������� �.� /� -� ��=������ ��
� �.� /� -� � ��.� /�� -�
��� � ������������ ������ ������ ����� �
� �.� /� -� � ��.� /�� - � �
����� ��� ��� �� �� ����� � ������
���� ���
�.
��� �
��
�/
��� ��� �
�� �� �����A�� ����������� ������� � ����� ���� ��� � ����� �� � �.�� /�� -�� �-� � ��.�� /��� ����
�� ���.�.�� /�� �.� .�� � ��
�/ �.�� /�� �/ � /��� �- � -�� � ��
��
����� �����
. � .� � � � ���.�.�� /���/ � /� � � � ���/ �.�� /��� � � ��- � -� � �
MATEMATIKA 2 269
����� �� ��� ��� ���������� ������� ������
�� - � .� � /� �������� ����������!
�� - ��.� � /� ���A�!
�� - ��
�� .� � /� ����� ���������!
"����� � �����A�� ����������� ������� � ��� ����� �������� ���������� � ����� �� � ��� �� � �
� �.� /� -� � .� � /� � - � �
����� ��� �� � � .��� � /
��� � � � ��
��������
� ��� �
��� ��� � ���
��� � ������� �
�
��� �
�
��� � �
�
��
�� ��� �.� �� � �/ � ��� �- � � � �
�� .� �
�
/ � �
�
- �
��� �� � � �
����� . � � � �� / � � � �� - � � �� � � �
MATEMATIKA 2 270
"� �����! ���� � � � � � � ������ ����� ���� �������� ����� � � �
� �� ������� ����� �.� /� -� �� ��� � ����� ����� �.� /� -� � � #$��� � ����
� � ��.� /� -� � � � � �.� /� -� � �� ��
������ ����� ����� �! � ����� �����! ��������
����� �.� /� -� � ���.
��� � ��
�/
��� � ��
�-
�����.�/�-
��� �� �� ����������� �������! 4�� �� �� ��� ������A�� �������� ����������� �������! ���# � ������� � �.�� /�� -�� � � �
�� ���. ���� �.� .���
���/ ���� �/ � /���
���- ���� �- � -�� � �
� �����A�� ����� ��� ��� � �� �
�� .� .����. ����
�/ � /����/ ����
�- � -����- ����
� �� � � �
%�A� � �� � �����A�� � �.� /� -� � � ����������4����� �������� ��� � �
MATEMATIKA 2 271
����� �� ���� �
� � �� � �� � �.� /� -� � .� � /� � -� � �
$��� � ����
� � ��.� /� -� � �� � .� � /� � -� � �� � ��
������ ����� �� � �� ����� ����� �.� /� -� � �
����� �.� /� -� � �.� /� -� �� ��� �
��� �� � � ����� ���������� ��������� ����#
���� ���� "��� � � �����! �# ����� ��� � �������� ����� �� � �� ��� �� ���������� �����A��
��- ��
�� .� � /� ����� ���������!
��- � ��
�� .� � /� ���� ���������#
MATEMATIKA 2 272
68
%�� 4�� ������� � �������� &������& �� ��� ����������� ��� ��� ������ � ����� � ��������� ��������� � ��� ��� �
� ��������� ���� ����!
��� ��� � . ������ � / ���
��� � - ���
�� � � � ��� �� �
���� � � ����� � ����� ���������� ���� ��� &������&�� ���������� ������� � � �� ������� ! ������� !���#! ��� ��� ������# '����! ��� ���� � ������
��� � �� ��� � � ���
��� �� �� ��� ��� �� � . ��� ����� �/ ��� ��
��� �- ��� ��
�� �
��� � ����� �� �� � ����� � ����
� � ���� ��� �� � �� � ��� �� � �� � ��
����������� 4����� �������� ��� � � ��� ��� ������������ �������
. � . ��� �� � / � / ��� �� � - � - ��� �� �
� ��� <���� ��� ������ � ������ � ���� ������������� �
MATEMATIKA 2 273
����� �� ������ � �����A�� ����� ���� �������������� ������
�� ��� ��� �� � � � � � ���� �� � � ��
��� �� � �
�� �
� � ��� �� � � � ��� �� ������� ���� ��� �� ������ ������������
�� ��� ��� -� � � � ���� �� ��
��� � -
�� � � � ��� �� �
- � ����������� �����! .� � /� � ��� �- � �� ��
�� ��� �.� /� � .��� �/
��� �� �.� /�
�� � �.� /� � � � ��
����� ������� �����A�� ����� ������ � � � � ���
�� ��� ��� �� � ��� � ���� � ���� � �� � � ����
� ���� � �� ���� �������� �������!�������� ���� ����� � ����������� ��� � ��������������� �
��� � ��� �#
(�� ����� ���� ����� �� ���� �������� �����A������� ������ � � ������� �����A�� ��� �����#
MATEMATIKA 2 274
���� � ����� � ������ ��������� �����A��
��� ��� �� � . ��� ����� �/ ��� ��
��� �- ��� ��
�� � ��� �� � ��
��� �� � � ������ ��� � � � �� ����� �� �� �
��������� ������ . ��� �� � / ��� �� � - ��� �� � ������������ ���� �������� �������� �� ��
)������ � �� �������� ����� ����� � � ��� � ���� � � �� ������ � ���� ����� � ������� �� ����� � �
��� ��� � ��� ��� ��� �� �������!��� ��� � ��� ���� �� � � �������!
��� ������� ����� �� � ��� ���� ��� $����������������� �� �� ������� ���� ��
��� � ����� ��� ���
����.
��
��� �
�/
��
��� �
�-
��
���
��������
�
��� � ����� ���� ��
����.
��
��� �
�/
��
��� �
�-
��
���
��������
�� ����� � ������������ � �� � � ��� ����� ���� �� � � ��������� �������
MATEMATIKA 2 275
��� ��� �� � ��� � ���� � �
����������
��������
�.
��
�/
��
�-
��
�.
��
�/
��
�-
��
�������������
�� ���
� ��������� ���� ��� � ������ ��� ��� ����� � � �����
�� � ��� ���� ���
'����! �����A�� ����������� ������� �� ����� � ������ �� � ��� ���� ��� ���������������
.� .� / � /� - � -��.
��
�/
��
�-
��
�.
��
�/
��
�-
��
����������� �
��� �� � �������� � ����� ������ ������ � � ��������� ���
'����! �� ����� � ������ ���������� �����A�� - � � �.� /�
��� � ��� ��� *#��� ������ ��� ��� �����
��� �.� /� � ��� . ���� / � ��.��� � �/��� �
�� �
MATEMATIKA 2 276
69
�� � �������� ������ ��� ��� ����� ��
���� �.� /� �
��.��� � �/��� ����
� � ��.�� � ��/�
�
���� ���� 2����� ������ � ������ ������������ ��2���� 4� ������� ��� �4 ������ ��
MATEMATIKA 2 277
������� � �� ����4��� ������ �����! ��� � �������� �������������� �������
�,����� ����� ���� � � � � � �! � � ��!
�������������� ������! � � � � ��������� �������� � � <���� �� ������� � ������ ��������� ������� # ���� � � ����� ������ �����A�� - � ��.� /�! �.� /� � �# $��� ������ ��2� ��! ��=����� � ��� ���
��� �
���
�� � ��. �.� /��� � ��/ �.� /���!.!/ �
���
!�
� ��������� ��=���� ����� !� � ���� ��2� ��#'����! ����4��� � ������ &���������� �����&���������� ���������� ���� ��� ����� ����4���#
%��� �� ������ ��� ��� �� ��� ��� ����4��� !� ���������� ���
*�����++�����#����#��+ ��*+ � �')! ���������! ���#C&! �� ����� ��� '�=���� *#�#,
MATEMATIKA 2 278
� ���� ��� ������ � � ��� ��� � ����� � ������� ����� �����
S 1
S 2
S 3
S 4
S 1
S 2
S 3
������ � �� �� ���� � ����� � ���������� ��������� ������� ����� ��!###! �� ���� �� � ����� �-������ �������- �� ������ ����������� ������� ������ ����#
�� ����� ����� ��A� � �� � �� ����2��� ������!� ���� ����4��� �� ��=���� ��� �����
��� � ���� � � � � � ����
MATEMATIKA 2 279
��� �� ������� ��2 2���
�,����� ���"� ���� � � � � � �! � � ��!
���������� ������ ��������� �����! � � � ������� ����� ������ �����A�� - � ��.� /�!�.� /� � � �
�! �� ��������� ������� �� � <���� �� ������� � ������ ��������� ������� # $��� ��������� ��������
���
��.� /� ��.� /��
�� �
����.� /�
�.
���
����.� /�
�/
��!.!/
������ � ��� ��� ��������� ��2 2��� �������������� � �� ����� � � �������� � �� ���
�
�!�
���� ���� � �� � ������ � ������ � ��������� ��� ������ #�
MATEMATIKA 2 280
70
����� #� .������� � ���4�� �������� ���� ��������
�!�! ��� �
��.� /� -� � . � / � -�
� � ��� �������� �����4�� ����� � .# ������� #
X Y1 1
Z
/��� � �� �
�- � ��.� /� ��
�� .� � /�� .� / � ��
�.� /� � �
�� � / � ��� .�
� � . � ��
�� ����.� /�
�.�
�.��� .� � /�
�
���.� /�
�/�
�/��� .� � /�
�
MATEMATIKA 2 281
�� �
� �
����.� /�
�.
���
����.� /�
�/
���
�
�� .� � /�
��� � �� �!���
�!� �
���
�. � / �
��� .� � /�
� ���� .� � /�
!.!/
������� ��������� �
������
�" � � � " ���
��� "�
���
�� "�"!"!� �
� � � � ���
�
MATEMATIKA 2 282
$������ ��
*�% 0������ ��� � �� ����� � ������ ������ ��� �� -������� ���� ����� ��� � ��A��� � 4�����-��������! ����� ��A�! ����� �� ��� ��#� ����� ���.� /� -�! ���� �������� ���4�� �������� ���� ����� ��� ��� ���� ������#
*��% 0�� � ����� � �� ������� � ������ � ������������ ������� ���� ������� ����� ��� � � � � �� ������ ����� ���4�� �������� ���� ����� ��=���� ����������� ����! �#��
�
�!� �
����
�!��� � � � �
����
�!��
�� ���� ������ � ��������� ���������� ���4��� ���������� ���� ������&��� ���'� ���� �� �� � � � � �! � � �
�!���������� ������! � � � �� ������� � ����������� � #� $ � �# $��� ���
�
�#� � $�� !� � #
���
�!� � $
���
�!�
MATEMATIKA 2 283
��� �� ������� ��!� 2���
%�� 4�� � � ����� ���� ����� ���� ��� ����� ����������! � ����� �� ��������� ����� ���� <�������������� �� �������� �� �������! ���� ����� � � ��������� ���� ��� ���������� ��������� �� �������� ��������� .������� ��������� ���� �� ����� � � ��=������ ������4�� �������� ���� ������
� ���� � � ��=������ �������� ���������� ���� �������#
������ ������ ��������� ��������� ���������� ������� ����������� ��������! ���� ����� ��=������ ��� ��������� �����# ������ ��=������ ���� �� � ��� ��������! �� � � ������ � ����������! �� ��������� � �� � �� ����#
"���������� ����� � � ��=������ �� � � ������������������� ������������ �������! � ������������������ �� � � ������� ��� ����� �������#
� �� ����� ������ ���� � �� ������� � � �2������ �� ���� � ���� ���� <���� ����� ��������������� ��� ����� ������� ��� �! � ����� ����� ���� ���� �#
MATEMATIKA 2 284
71
)#�����
"������ ���� �� ��� ������! �# ��� ���� ��� � ��� �������� �! �������� � ���� �� ���� ������������� ���������� ��� ������ �������#%�A� � �� � ������ ����� � ���������� ��� � ������������ ����� ����������� ������� � ����� � ��&����������� ����������&! �# � ������ ����� � �������� � �������� ��� ���� �������#
'���� ����� �! ����� � � ������������ ������������ ��� � � ���� ������ � ���� �� ��� � ��������#����� ������������ ��������� ����� ��� �������� ���� ���� ������� 4�� &������& �� �������� ������#
$��� �� ��� ��� ����������! �# ������������� ����������� ����� ������ �����A�� - � � �.� /� ��.� /� � � �� 1���� ��������� ���� �������� ���� ���� �������
MATEMATIKA 2 285
��� ��.� /� �� �.�.� /�
��� � �/�.� /�
��� ����
�� ��.�.� /���� ��/�.� /��
��
��� �������� �� ��������� ����� ��� - 4������ ����������
�
��! � ����� ��������� ���� ��� ���� ����������� ��.� /�! ��� �������� �� ��������� ����� ��� -���� ��� �������
�
��#
MATEMATIKA 2 286
2.slikaPrimjer neorijentabilne plohe je Möbiusova vrpca.Promatrajmo pravokutnik pa mu zalijepimostranicu sa stranicom i to tako da smo"preokrenuli" i identificirali s i s . Dobit cemoplohu, tzv. Möbiusovu vrpcu.
Pokažimo da Möbiusova vrpca nije orijentabilna ploha!
• Odaberimo bilo koju njezinu tocku 0 i u njoj nor-malni vektor 0 pa ”krenimo kroz njezine normalnevektore u kontinuirani obilazak” po naznacenoj(crtkanoj) jednostavno zatvorenoj krivulji.
• Vrativši se u polaznu tocku 0 pojavit ce se normalnivektor 0. Primijetimo da pritom nismo napuštali”odabranu stranu” te plohe (tj. nismo prelazili prekoruba), a na kraju-pocetku smo se našli na ”drugojstrani”. To, zapravo, znaci da Möbiusova vrpca imasamo jednu stranu.
MATEMATIKA 2 287
(a ) (b )
*#�����
� 0�� ����� � ��� ������ ��� � �� ������� � ������!�������� � ������������ ������������� �������������� ����� � ������ � <������� ����������! �#���������� ���� ��� ����� ������� ����� ���������� �� �����# ����������� ��� ����� ������� ������ � &������ �������& ���� ���� �2�
� ������� ����� ��� ���������� ��������� �����������! ��� ��� �������� ������# /��� � �� ���!�����! � �� ���� ������! 2����! � !�!��� �!!���� �� � ��������� �! �# ��� ����� ���� ���������������� ��� ����� ������� �������
�
�� ��� ����� ���� ���� ������4��� �������
�
��#
MATEMATIKA 2 288
72
�,����� ���'� ���� ���0 � �0.� 0/� 0-� � � � �
�� � � ������������� ������ ���������� �����! � - � ��.� /�!�.� /� � � ��! �����A�� ����������� ������ ������ � �! ��� �� � � � ��������� ������� ��� � ����� ������� � ������ ��������� �������#$��� ��������� ����������
�
��0.
��
�.� 0/
��
�/� 0-
�.�/��.�/
!.!/
������ � ��� ��� ��������� ��!� 2��� ������������ ���� ��0 �� ����������� �����
�
� � ��������� � ���
�
�
��0 � !��� �����
�
��0 � ��� �!�
��� ���� � �� �� ������ ����� � ������ � ��=����� �� �
!� �
��� ��.�.� /��
�� ��/�.� /���!.!/
MATEMATIKA 2 289
���� ��.� /� �
� �.�.� /���� � �/�.� /�
��� ����
�� ��.�.� /���� ��/�.� /��
�
��� ��� � �� �� ���4�� �������� ����� �����
% �
���
�
��0 � !���
� ��������� �� ������ ����� ���� (!����� ������������ ���� ��0 ���� ����� �#��� �! ��� �� ��0 ���������� ���� ������ ���� ���!���� �������� % �A� � ����� ����� ��� �������������� ���� ��� ��� ������� ���� ����� � � ��������� ���#
� ������ ����������� �� ������� � ������ ������
�!�������� ���������� �� ������������ ������� ������
��� � � � ��
��! ��������� � ���4�� �������� ����� �������=���� � ��� �������� ����! �#��
�
�
��0 � !��� � ��
���
��
��0 � !����� � � � �
���
��
��0 � !����
�� ���4�� �������� ����� ����� ������ ��� ����� �
MATEMATIKA 2 290
&��� ���)� ���� �� ��0 ���� � � � ��! � � �
�!���������� ��������� ������! � � � �������������� ������� � ������ ����� � #� $ � �# $��� ���%��
�
�
��0 � !��� � ���
�
�
��0 � !��� �
�%��
�
�
�#��0 �$��� � �!��� � #
���
�
��0 �!��� �$
���
�
��� �!��� #
$������ �� �������� � �4 ���� ����� ���4������������ ����� �����# ���� � �� ��� ���� ����������� ���� ������� �� � �� � � ������� ��������� ���!
��� � ���� � & �
��� � ' �
�� � (�
�������� ���4�� �������� ����� ����� � � ��������
�
��0 � !��� �
���
�0. � & � 0/ � ' � 0- � (�!� �
���
0.!/!- � 0/!-!. � 0-!.!/
� ����� � �� ! ������� � �� �4 ���� ��=���������4��� ��������� ����� �����#
MATEMATIKA 2 291
���� �� ���� ���������� �������� ������
�)�� � � � �� � � ���
� ��������� ����� � � �! �� ����
��� � � � &��� � � '
��� � � (
��
�������� �������� ��� ���� ������ �� �������������� �� ����� � � ���� ��� �����# $��� �� �����������4�� �������� ����� ����� &��=����& ���� ���������
�� !/!- �)!-!. ��!.!/ �
�
���
� � & �) � ' �� � (�!�
����� � �� �� ����� ������ ���� ���4�� �������� ���������2�
$�������� 0�� � ������������ ������ ����� ������� �����A�� - � ��.� /�� �.� /� � � ������ ��������� ���� <��� ���� �� ��������� ���� ����� �������
MATEMATIKA 2 292
73
��� ��.� /� � � �.�.� /���� � �/�.� /�
��� ����
�� ��.�.� /���� ��/�.� /��
�
/��� � �� �
� ( � ���� ��.�.� /��
�� ��/�.� /����
���� �
!� �!.!/
�� (���� � ��
�� !/!- �)!-!. ��!.!/ �
�
���
� � & �) � ' �� � (�!� �
���
� � & �) � ' �� � (�!.!/
�� (� ����
� � &
�� (� �)� '
�� (� ��� (
�� (��!.!/
MATEMATIKA 2 293
����� *� .������� � ���4�� �������� ����� ���������
.�!/!- � /�!-!. � -�!.!/�
��� �� � � �� &������& ������ &�����& ��������� �������� �����A�� .� � /� � -� � ��#
X Y
Z
(n 0 ) 1
- (n 0 ) 2 S 2= S 2+
S 1 = S 1+
a aO
�� ���
3������ � &�����& ��������� � �� ���� ������� � �� � ��! ��� �
���� -��� � ���� � ��� � .� � /��
�.� /� � �
� �� � . � �
� � / � ��� � .�
/��� � �� � �� -������ ������-! �� � �� ��
�� ��
��!�� �� $���� � 5#)* ������
MATEMATIKA 2 294
����
��0 � !��� �
���
��
��0 � !�����
���
��
��0 � !����
�
���
��
��0 � !�������
�
��
��0 � !����
$��A��� �������� �������� ���
������.� /�
�.�
�.��� � .� � /�
�
������.� /�
�/�
�/��� � .� � /�
$� � � � ������ ��� ��� �� �� ������������# '����!
����
.�!/!- � /�!-!. � -�!.!/ �
�
����
�.� � &� � /� � '� � -� � (��!���
���
��
�.� � &� � /� � '� � -� � (��!��
MATEMATIKA 2 295
�
���
�.�������.
�� /�
������/
�� -�
�!.!/�
���
�
�.�������.
�� /�
������/
�� -�
�!.!/
�
���
�.�
.��� � .� � /�
� /�/�
�� � .� � /�
�!.!/ �
������� ���������
�����
�"� � ����� � "��
"� ������ � "�
�"!"!�
�
� �
�
��� �� � ���
� � �
�
"!"��� � "�
�!� � � � � � ��
�+,- 5./ 0-��.��������� ��� ���4�� �������� ����� ����� ����������� � ����� �2
������� "������ �� �� /��� -�����4���� -! � ����4������������ �����A�� / � *�-� .�#�
MATEMATIKA 2 296
74
�$�$�������� ����� � �������
-24�� ���� ��2�� � ������� ���� � �� ��4������* �
� � ������ ���� ��� 4���� 2��� �� ��#��2�� ������� �� ��$�
�
+* �
������ ����� ������� � �� ���������� ��� ��
��� � � ��� � � ���
2������� ����� �� �� �� � * � � � 2������4������ ��� �4�� �� 4�����2�� �� ��� � 2��������*��
�
) ��
�* ������� �� 2 ����� ��� � � �# 4 2����4� -����� 4���#�������� ��������
*
��!��� �* �
���
�*
��� ����) � ���
�*
��� ���� � �)��
�������� �� �� ��� � ����������#�������� ��#��� ������� ������ �������� ��������� � �� ��
���( � � �
������� ���� �� �� ������� � ����� ��� ��������* �� ����� � �� �* �� ��� ����� ������ ����� �������� ���� �
MATEMATIKA 2 297
���*
���
��
�
���
�(
��
������ �
�
���*
�� ��� � ��� � �( ��� �� �)�
��� �� ��� � ��� � ��� � �������� �� � ������ ��#�� �� ����� �* �
������� �� ���������� ������ ��� ��� ��� ��� ���
)
����� � ����� � �����
�� �� ��
) ��� � � �� � �� � �� � � ��� ������� ����#��� ���������� �� � ��
�
)
����� � ����� � ����� �
���
)
��� � ���) �
�� �� � � ��� � ��� ��� ��� ��� �� �� � ����� �� �� � �� � ���� �� �� � �� � �� ��� ����� ���� � � � ��� � ������ � ��
MATEMATIKA 2 298
���
)
����� � ����� � ����� �
���
)
��� � ���) �
���*
��!��� �* �
���*
��� � ��� � ���
������ �
������ ���������� �
���*���
��� � �� ��� � � ������ �
�
� ��
�
�� �
�
���� �
� �
�
����
���
��� � � � � � ����
��
MATEMATIKA 2 299
!��� � � � ��� � ����� ��� � �� ��������� ��#� ���� �� ����� � �������� ��� ���� ?� ������ ? ���������� � "� �� �� ������ ��� ��� ������ �� � � � �� � =����� ��� ��� #���
*
��� �* ����
���*
��* ����
���*
���* ����
���*
���*�
��)
��� ��) � �����)
���)������)
����)������)
����)�
�� ��� ����� ���� � � � � ��� � ����� ���������� � ��� � � #
MATEMATIKA 2 300
75
������ ��� � � : � �� �� �������� �� ��� ��� ��� � � $�%&� � � �� � ������� ���� � � � �
���� �� �� �� ���� ��� ��
��
���*
���� � �* �
���*
� � ��� � �) �
����
���*
� ��� �) ����
���*
� ��� ��) ����
���*
� ��� ��)�
��
� ���*
��!��� �* �
���*
��� � ��� � �)
�
��
���*
�� ��� �* �
���*
��� � ���� �)�
��
���*
� �* �
���*
��! ����� �� �* �
��
���*
���� � � ��� ��) �
���*
��
���� �)�
MATEMATIKA 2 301
��!�"�� !��� �����
�� ��� ����� ��� ��� � ���� ������ � '����� #���� �� ���� � =����� �� ������ ������������������ � ���� ������ � =����� � ���������9(�� ��� ��: ���������� �������� )�� � ��� � �# ��� �� ���� �� � �� ��� � ������ ����������� ������� � �� ��� ����� � �� ��� ��#��� ��� � =����� ��� �� �����
������ ���#� � �� � * ��� ����� �� ����� �������� �� � ���� � ������ � � � �� � ) ��� � �* ��� ��#����� �� � 9�� � ���� : � �* ���� ���� � �� * ���� ��� � � �������� ������� ����� �� �� � ) ��� �
*�� � � ������� ���� ���� �� �� * ��� � � ��� � �#����� ���� ���� �� �� * ��� � ���� � #
�� ���� � �� � � ������
�
� �* ����
��)�
� � ��� � �)
9� ������ �������� ���� �������� �����:+
����� ��!��� �� � � ������
�
� �* ����
��)�
��� � ��� � �)
9������� �������� ���� � ������� �����:+
MATEMATIKA 2 302
�� �� ��� �� � � ������
�
� �* ����
��)�
��� � ���� �)
9� ������ �������� ?����? � ������� �����:+
�� � �� � � ������
�
� �* ����
��)�
��
���� �)�
����� ������ � �� ��� � =����� ��� � ���� ���� �� �� � � �� ��� ���� * ��� �������� ����� ������� * 9��� ����� � : ����� � �� � ������� �� ����� )� � ����� � � � � � ��� ���� ����� �� �� � ������� * ?�� A ? � � ������ � ��� ���� �� �� ��� ���� �� � A� � �����
MATEMATIKA 2 303
$�%������ ��!�����!����� �� ���������
�������� �!��������� ���� ���� � ������ ������� ���� � ������ �� ��� ����� ��� � �������� �� ������ � ���� � � �� � �� ��� � ����A���� �������,������ ����� ) � � ������� � �������� �� ������������� � ������ ���� ��� �� ������ � �������� ���� � ��� �� ��� ����� )� - �� ���� ����� )����� ��� �� �� ���� )�� ����)��
(�������� � ������ ���� ��� ��� ����� )� ��� �� ��� �� � �� � �� "� �� � ���� �� �����#�� �� � )� ���� � ������� �������� � ��������� � � �� �������� �� �� ��� � ���� � �������� � ������� �� ����� )� � ������ �� � )� ���� � ��
��� � ���� � � �)�� � ��� ���� � ��� � ���� � �
�����A�� ���� ��������� � ������ ���� ��� )� ��� �� �� ��� �� )�
�
���
��� ���� � ��� ���� � ��� � ���� � � �)��
� �����A�� ���� ��������� � ������ ���� � � ������ � # �� �� "� ��� ����� )� - �������� �������� ���
MATEMATIKA 2 304
76
� � � 9 � �)�� � ) � � : ����� ��� � ���� ������� ��� ��� ��� ��� #��
)
���� � ��� � �)
���� ��� ��A �� ���� &���� !���"���� ���� � �������� ������ ���!�&�� ���% ���'� )� !��� ��� ��� � �� �������� !�� ��!������ ����� ���� ��� ����� )�
.������ ���� ���� � ������ ��� �� � ) 9��� �#����� ������� ������: � � �� � ) � )� � )� 9)�
������ :� ��� �� �� ������ � ���� �� �������� � ��� ��� � (�������� � ������ ���� � � ������ � # �� �� "� ��� �� � ) � ����� � ��)
���� ���� � �) �
��)�
���� ���� �� �)��
��)�
���� ���� �� �)��
��� � ������� ����� ��� ������ � )�� �� � ��� ���)� ��)�
���� ���� �� �)� �
��)�
� ���� � �������� ���� �
�
��)� � ��
9� � ����� ���� �
�
�� ���:�
� ������ ��� ������ � )�� �� � ��� ��� )�
MATEMATIKA 2 305
��)�
���� ���� �� �)� �
��)�
� ���� � �������� ���� �
�
��)� � ��
9� � ����� ���� �
�
�� ���:�
!��� ������ ��� � � ���� ������ �������� � ������ ���� ��� "� �� ) � �� ���� � "� � )� *�� � ������ ���
��)
���� ���� � �)
���
� � ��� � ������ ��� "� # � �� � "� � � ������ � ������ � "� # ������ ��� "� � � ��� � ������ � "� # � �� ��� "� �
/������ �� � � � � � � $�%0����
��! ���� �� � � ������
�
� �* ����
��)�
���� � ��� � �)�
��� � ) ��� �� � ������� � �� � ���� � ������ ���� ���
��! ���� �� ����
� � � � ����� � � ��� �� ���� �� ����� � � � �����
.������� �� ���� ������� ��� ���� ��������� �� ����� ) ���� ��������� ������ ��
MATEMATIKA 2 306
(�����)*� ���!����!�!�
����� ���� ���� � ������ ����� � ������������ �� � �� �� �� �� � 1��� � ������ � �������� * �� ����� � ���� � ��
� ��� �
���*
� �� �� �� �� �*�
� ����
���
���*)
���� � ��� � �) �
���� � ��������� � ������ ���� � � ������ � ����� "� �� �������� *� ��� ��� �� ��� ������ �� ������ ��� - ��� �� ��� �� ������� ���� � # �� �������� �� ���
����
*
��
���* �
� ������ ��� "� �� * 9��� ��� ������ ���� � �� �� � ����
� ����� ?�?:� ) ��� ���� ����� ��� ����� ������ ���� � ����� � ���� �� * ������� �� �� *��� "� � ������� ��
��
���*
� �*� �
MATEMATIKA 2 307
!��� ���������� ��� � ��� ������� ������ ��� ����� � � ������ � �� ��� ��� �� * #���
*
���� � ��
��
��* �
���*
���� � ��� � �)�� � �����
�
���*
��! ����� � �*
�� �� � �� ������ � ������� ������ ��� �� � �# � � ��� � ������ ����� �������
� �
���*
��
��� ��! ����� �� ���
�*�
/������ �� �� ��� �� �� ����� ������� * �� ���� ��� ���� � �������� ���� ��
��
��� ��! ����� � � ��� � �
2 ����A�� ��� � ������ ������)*� ���!����!�!� ���� ��A�� ����� � ������������ *�� � � �������� ��������� ��� ��������� ������� � ���� �
��! ���� � � �� �
*�� � �� �� � ���� ���� � �����A�� ��� �� ���� � � ������ � ������ ���� ��
MATEMATIKA 2 308
77
��� � � ���������� �
� � ���
� ��� � � ����A�� ������ �������� � ������)*��
*�� ��� � � �� ����� �� ����� � * 9 � �: ����� ����A�� ��� � ���� �
��
��� ��! ����� � � ��
���� �� � �������� � ������ � ���� �
��!��� � ��
MATEMATIKA 2 309
+!����� � �������
)� ��� � � ��� ���� ��!
��
�� ��
��
���� �
��
�!
�� ���
���� � �������� ��� ��� �� �������� ������� ! � ���� �� �������� ��� ��� ��� ��� �� �� �������� )����� �� ��� � ��� � � ������� �� ��� � �#����� �����#��
!
��� ��� ����
���� �
��
�!
��� �������
��!
��� ���� ��"�
)��� ���� ����� �� ���� ������ �� � ��� ��#�� �� ������� � ������ ���� ��� � ����� ) �� ��� ��� �� �)�
�� ����� ������ � �� � =����� �������� ��#� ������� ���� � �� ���� ����
(�� ��� �� � � �� ��������� ����� ) ������� ����A��
� � #�� ��� �� �� � ! ������ ������ � �������� ������ � �����
MATEMATIKA 2 310
��� ��� �� �� #�� ��
��� � #��� ��
��� �����
�� �#�� ����� �#��� ���
��
��� ���������� � �������� ����� ������� ���
���������� ���
) � ��� ������ ���������� ��� �� # ��
�
)� ��� ������ �� �! 9�� ��� #����� ������ ����� �� �������� �������: ��������! ��������� ��� ���
�
�! 9?������ � �� �� ? ��� � ����� ��� ����� ��� � ���
��� : �� � ����� ���
��� �������� 9� ������ ��� ��:MATEMATIKA 2 311
�
�! ��� � ���� � � ����� � � ��� $��
/������ �� � �� �) 9�� ��� ����� ������ ����� ���������: ������ ������� �� �! � ) ���������� ��������
) ��� ��� �� �� � ��� � �
��� � #�� ��
��� � �� �� � !�
�� � ��� ������� ��
�! ?� ����? �� �) 9��������� ��: �������� � ���
�
�) ���
�
�) ��� ��� ����� ����� � ��� ��� �
� ������ � ����
��� � #����� ������
��� � � � ��� $��
��� ������ �� �� ������
) � �� ��� ���
�)�������� ������!������
!����� � �������� � ������ ��� ������ �
�! ����#��� ����������� ��� �������� ��
�
�) �� � ������A � �� �� �����
�
) � �� ��� ���
�) ����������� ������� ��� ��� �� � � ��� �������� ��� ����������� ?������ � �� �� ? ��� � ����� ��� ���#�� ��� ������ � ����MATEMATIKA 2 312
78
������ ����� �+!����� !������ � �� � � � ��� ��� � � �
� � ������ �������� ���� �� �� ��
) � � ��� ������ �� ��� ����� ������ ����� ��
�)�������� ��� ��� ������ �� ���� � �� ��� ����� ����������� �� �������� ���� ��� �� +!����� � ���������
�
)
�� ��� � ���) �
��
�)
��� � ������
��)
��� � ��� ��"�
�
�������� �� (��� �� � ���� ���� � � ��)��� ���� ����� �� ��� ��� ������� ������ - ������ � �� ��
���( � � �� � � ���
������� ���� �� �� � � ) � � �� ��� ����� ����������� � ��� �) �� ��� ����� ������ ����� ���������� ���� � ������� )��� ���� ����� ��#����� ���� ���� ��#�
�
�)
�� ��� �(�� �
MATEMATIKA 2 313
��)
�
��(
��� �
��
���� �
���
��� �(
�
���� ��
�
��
�� ��
��
���� ���)�
�� �� � �� ��� ��� � � ��� � �������� �� �������� � ���� �� ����� ) �������� ��� ������ ���� �)�
MATEMATIKA 2 314
������� ,� ���������� ���������� � ������� �����
�� �� �� � ��� �� �� �� � ����� �� ��
��A ��� ������� ����
�) ���� ) ����� � �#���A�� � �
�� � � ���
������ �� ��� � ����A� ���� ��
)���� � #�� �� � �� � � ���
�� �� � ! � ��� �� � � � �� � �� ���
/������ �� �������� ��� ������� 9� ����
�): �� )
�������
) ��� ������ ������ ��� � 9� ����� �� #:��
�#�� ��
��
� �� � � ��
�
�#�� ��
���
�� �� � � ��
��������
��� ��� �� �� #�� ��
��� � #��� ��
��� �����
�� �#�� ����� �#��� ���
��
MATEMATIKA 2 315
���
��� �
���
��� �
�� � � ���
�
���
�
�) �
��� �#�� ���
�� �#��� ������� �
��
�� � � ������
���� ���������
�)
��� � ���� ��
�
�)
�� � ���� � ������������ ��� �
�
�
���
)
�� ��� � ���) �
��)
����
��� ���
��
���� �
�
���
��� ���
�
���� � �
����
�� ��
��
���� �
�) �
�
��!
��� �� �
�� ��� �� ��
��
���� ����� �� � � ���
�
� ��
�� � � ����� �
MATEMATIKA 2 316
79
� ����
!
������������ ���������
�
��� ��
�
������ �����
� ��
�
���
��� � ���
MATEMATIKA 2 317
�� ��� ���� ����������������� ��
MATEMATIKA 2 318
##�" ����
������ ������� �� �������� ���!������A��� ����� � �)� 6� ��� ������
� � % �)� ��
�)� % �)� � � � % �)� �)
�� ����� ������� �# + ������ � �)� �� ���� 3����7�� �� �������� 74 8�� ��� 6�������� �����
�)� �
% �)� �) � �� � � ��
����� "
�� � ��� � �� � ��� �
��� � �� � � � ���� � �
#������ �� ����8��� � ������� ��� � �� $6�������� �������5������ �������5
�� ��� � ��� � ��� � ��� � ���
5�������4 6�������� �������������4 ���8���� ��������
�� ��� � ��� �
MATEMATIKA 2 319
� ������������� �� �� ���� ��6���� ���� ��� ������A� ���� ������������ 6������ ���6 ������6��� ����� 4 ��6���� ������� 6��� ��6�5���� ��������7 � ��������� ����6���� ������#
� 6������������ ������A�� ��6�� �� ������ �������������� �� ��� ��� �� ���� ����6���� ������4 ���������� ����� ��������#
� �� ������� ������������� ������A�� �� ��� ����8���������� ���� �� ����6� ������A��#
� ��"� ����� ������� ������������� ������A�� �5�������� ��
��� �� ��� ���� ���� ��� � ����
�� � ��� �� ��� ���� ���� ����
�
����� �"�7
�� � � � �� �
�� ������� ������������� ������A�� ���� ���� 6����6����� ��������4 � � � ���� ����6���� ������77
MATEMATIKA 2 320
80
�7��� � ��� � ��
�� ������� ������������� ������A�� �� ��� ���� 6����6����� ��������4 � � � ���� ����6���� ������74
�7
��
��� �
�
���
�� ���������� ������������� ������A�� 6�� �� ��6�5���� ��������4 � ��� ��� ����6���� ������7#
� ���#���� ������������� ������A�� �5���� ���� ������ ������ ���� �8���� 66������ �� ����������������7 ���������� 6�������� ��� ��������5���� ������A� #
� ����#� � ������������ ������A� 6����� �������� �� ������ 6����������� ��� ����������7 ����4 6������ ������� ����������� ���������� 6��������� ��� ������������ ������A� #
MATEMATIKA 2 321
����� �" 6��� �� ������������� ������A��
��� � � � ��
��������� ��� �� ���� �� ������5
�� ��� � ��� �� �� ��� � ��� �� �� ��� � ��� �� ��� ����8���� ������ ������������� ������A��# �����5
�7�� ��� � ��� � �� ��� ��� � � ��� � �� ���� ��� � � ��� ��
$�8������� ������������ ������A� �������
� ��� �� �� ������
� ��� ��������
� ��� � � ��
�� �� �� ��� � ��� � ���8����#
#������4
�7�� ��� � ��� � �� ��� ��� � ��� � �� ���� ��� � � ��� ��
$�8������� ������������ ������A� �������
MATEMATIKA 2 322
� ����� �� ������
� �����������
� ��� � � ��
�� �� �� ��� � ��� � ���8����#�7
�� ��� � ����� ��� � �� ��� ��� � ��� � � ��� �
�� ���� ��� � � ��� � � ��� ��
$�8������� ������������ ������A� �������
� ���� � ��� �� �� ������
� ����� ��� �� �� ����
� ��� � � ��
�� �� �� ��� � ��� �� ��� � ���8����#
� ��"� ���#���� ������������� ������A�� �5��� ���� ��������� ������
��� �� ��� ��� ���� ��� � �
���� � ��� ��� ���� �� ������ ���������4 ���� ������5������ ������A� 6�������� ����������#
MATEMATIKA 2 323
� ��$���� ���� ��� ��!����� � ���#���� �� ����� �6��8��� ���8���� 6��� ���������7 6� ��������� �����5����� ��������� ��� ��� ���� ��# 6� �� �� ������������ ������� ���8����4 ������� �� ������ ��5����� 6�%����4 �6# ���� �� !��� ����� ��� ���� ���������# 5�� �� ��8�� ���8���� ��6���� ������ �6 �����4 �������� ��������� ����4 ���� �6�������A��� ������� ���8����
����� �" &�8�� ���8���� ������������� ������A��
��� � � � ���
� ��� � �� ��� � � �� ��� ���������5
� ��� � �� ��� � � �� ��� � �� �� ��� � �� ��� �� �� ��� �
�� ��� ��� � ��� ��� �� �� ��� ��
$�8������� ������������ ������A� �������
��� ��� �� �� ��� �� �� �����
� �� ��� � � �� ��� �� �� ���
� ��� � � ��
�� �� ������ ������
� ��� � �� ��� � � �� ��� �
MATEMATIKA 2 324
81
���8���� 6� �� ���������� ��������� �� � ���
�7 "� �� � � � �� � � ������� ������ ����� ���8����
�� ��� � ��� ��
�7 "� �� � � � �� � � ������� ������ ����� ���8����
�� ��� � ��� ��
�7 "� �� � � � �� � �� ������� ������ ����� ���8����
�� ��� � ��� �� ��� ��
� ������� ������� ���8���� ������������� ������A������ �� �� ��� ������ �6 ��8��� ���8���� 66���������� ���������� ��������� ��� ��� ���� ��7� �����8���� ��6���� $���!������ ���#������#
� ��� ���8���� 6������� ������ ��� ��8���7 �� ��6���� ������� ����!��� 6��� ������� �� �������� ����!��� 5 6���8�� ���8����7#
MATEMATIKA 2 325
����� �" &�8�� ���8���� ������������� ������A��
����� � �� � � � ���
��� ��� � �� � �
6��������� �� �� �� ���8����7� )� 3� ��� ������� ���8����
� ��� � � � � ��� � ��
6��������� �� � �� ���8����7 ���� �� �� ��� �������6 ��8��� 6� ��� �������� ��������� ��������� �#6����4 � ��� � � � � ��� � �� � ���� ����� ���8����#
-4 -2 2 4
-2
2
��� ��� � �� � � � � �� � � ��
��� ��8��� ���8���� 6���������� ��� ���7 �� ��������� A���� ��� ��� � �� � � ����� �� � ������ ������98���9 �� ��� �� � ����� ���� �����% ���8���� � ����� � � � � � � ��#
MATEMATIKA 2 326
��� ����� �� ����5
� ���������� ���8����7
� ����A���� ��% ��� ���� ����% ���8����7
� ������������ ���8���� 6 ���� �������� ����#
)� 8���� �� ����� ���� ����� ������� �������% ����5���������% ������A�� �� ��� ���� �� ��� ����4 ��#�������������� ������A���� ������
��� �� ��� � � 6��� �� � ��� ��7�
��� �� ��� ���� � � 6��� ��� � ��� �� ���7#
�"�" ���������� ������������ ���������
"� ��������� =6������% 6������%7 �������� ��������������� ������������ ������ 6������6�����7 ���� � ������ ���� ����� �������������% ������A��# ����8� �������������% ������A�� �� ���� � �������� �������%4 �� ������ ���� ���� ������ � ������� ���� ����8�� �������4 A����� 9���������� � � 8�����9#
MATEMATIKA 2 327
����� �" ������� ������
���� " $ ��6��� ��� ������� �� � ���8���� ������ ��������� ����� �� ��6�� �������� ������5�������� � ������ ���� ���� �������88� # ���# ����6���7 ��� ������ �������������� �� ���� ���� ������ ������4 ��6��� ������� ����������� ���� ���5����������� �� ���� ���� ��������� �� ����4 ����� ���������������� ��������� ��A���� ����4### #
& 6��������� ������������ ��� ������5
�� ���
��� ���
6��# ���# � ���� 5 ���!����$�� �� �� ���7
��������� &��� ��5
� ������ � ��6����� ��������4
� �������� ��� ������ ����6���� ������ � ��� �
� �� ��� � ����
����� ������� 6���� ��� ���7 ��� ������
����� #
MATEMATIKA 2 328
82
$������5
� ��� �� � � � ���� ����
��� �� 8�� 6����� ��
��� ������ �����4
� ��� �� � � � ���� ����
��� �� 8�� 6����� ��
��� ������ ����#
8��8���� ��
��
��� �� �� ��
�� � ��
�� �� ��� � �� � �� �� � � ���� 6� � ����7#
1������� � ���� 3� ���� ����� ��������� ����� ��� ��# �������� ��� ������ ���� �� �� � �� 9 � 8�� ��� ��� � ��� � �� ���8���� ��
� ��� � ������
��� �� ������ ��5
t t
y y
0 0k>0 k<0
y0 y0
MATEMATIKA 2 329
����������� �� �� ���� 6���7 ��� ������ ������5�������� ���� ���� ��� ��� ������ �� ����� �������� ������� ����# ���# ��� �� ���� � ��� ��������������� ��� A������� �� 6����� �� ���# A����� ����������� ����������4 ���� ��������% ������������4 ��� ��5����� %����4### #
���� �" ������������ �� �� ���� ��� ������ ������5�������� �� ���� ���� ��� ��� ������4 ��� �� ����������� ������ �������� ������� ��� ������� ��������� ��&� ���� ��A��� ������� ����5
� ����� ��� 6� � ������� �����7
� ����
� �� 6� � � ��
)����������� ����� �� ����$ � ��� ������������ �� �� ���5
��
��� ��
��� �
�
�� � � �
�����4 ��� ��
� � �� � �� ������� ������ ���� ���
�� �� ��#
�� �
�� �� �� ��
��
��� ���
MATEMATIKA 2 330
� � � � ���� ���
�� �� ��# �� �
�� �� �� ��
��
��� ��
&�8�� ���8���� ����������� ������������� ������A�� 6��#���# �� ���# ��# 5 �������7 ��
� ��� ��
� � ������
1������� � ���� 3� ���� ����� ��������� ����� �����# ��������� ���� �� �� � �� 9 � 8�� �� � ��� � �
���������
�
� � �� �� �� � �
� � ����
�
��#
� ��� ��
� � ������
�����
��� �� ������ ��5
t t
y y
y0<K, k>0 y0>K, k>00 0
MATEMATIKA 2 331
����� !" 1 �� �� ��������� ������� ��� ���� ���5������4 � ����� ����� �� �������������� ���� ���������#����� ���� ��� ������ �� ����# &������� �6��6 �������� 3� �� ���� ��������� ����� � ����# 1����� �� ��� 5������ ����� � ����:
)����������� ����� �� ��� �������� ������A����
��� ���
&�8�� ���8���� �� ������������� ������A�� ��
� ��� � �����
9 � 8�� �� � ��� � ����� �����
� ��� � ��������
6����4 � � 8�� �� � �� � ����4 �� ��
���� � �������� �� � � �� ��
�� ��� ��� � ������ ��� � ���� � ���
#��� ��
� ��� � ���� � �� � ����
MATEMATIKA 2 332
83
����� "" $ ��6��� �� � 8���� ��� ����# ����� ��������� �� ���� ���� ������ ����# &������� ������ 8�� �������� ��6�� ����� � ������4 ��� �� �������� �� ����������� ��6��� ����� ����# "� ������ ������ 8�� �������� ��6�� ������� �� ����
)����������� ����� �� ����������� ������������� ���5���A��
��
��� ��
��� �
�
��
���� �� � � ����� ��������� ��6���# &�8�� ���8������ ������������� ������A�� ��
� ��� ��
� � ������
�����
� � ������
9 � 8�� �� � ��� � ���� �����
��� ������
� � ����� � � ��
6����4
� ��� ������
� � ������
1��� 6���� �� �� ���� ���� ������ ���� ����� ���������4 �� �� � ��� � ���� �� ��
MATEMATIKA 2 333
��� ������
� � ������� � � ��
��
��� � ��� ��
6����4 ���� ���� ��6�� ����� � ������ ��
� ��� ������
� � ����������
#��� �������� ������ ������ 8�� ���� ���� ��6�� ������� �� ���� �����
��� ������
� � ���������� � �
�� �
��� � �� �
8�� �� ������A�� ������ � �������#
MATEMATIKA 2 334
����� #" �$�%����� &���� '�� (������ ���������������� �� ����� ������ �������������� �� ��6������������ �� ��� ������ � �������# & 6��������������������� ��� ������ ��5
��
��� �� �� � � � � � � ��
���� ��5
� ������ � ��6����� ��������4
� �������� �� ������ ����6���� ������ � ��� �
� �������� �� ������� � #
8��8���� ��
��
��� �� �� � � � �� ��
� � �� �� ��
�� �� �� � � � � ��� � �� �� � � ����� � � 6� � ���7#
1������� � ���� 3� ���� ����� �������� �� ������ �� ���� �� �� � �� 9 � 8�� �� �� � ��� � � 4 ������ ��� � �� � � � ���8���� ��
� ��� � � � ��� � � � �����
MATEMATIKA 2 335
����� )" ������� �������� ���������� ��������������� ���� � ����8��� �� ��� � ��� �� �����#
����� ��������� ���� � � ������ � ���A���� ������ ��������� � ��� � �������� �� ��� �� ���� ��A � ������� �� �� � �� ��� � ��� �� �� ����� �������� ���� �� � � ������ �� ����� ���� � ����A� �����A� �������� � ����� ����� ���� �� ������ ���������� � ��� � � �� ���� ���!�� ��� ������ � ����
���� ���
���� ��� ��� �� ��� ���
���� � �
�� ��� �
!�� �� � "���� �� ����A� ������ ���� #� ������� ����� � �� �� �� ���!�� ������ ��� �� ���� � �� "��� � ��� � ��� ��
MATEMATIKA 2 336
84
����� " �*������� '��� + ,���+ ��� �������� �� � ���� ��� � ����� �� � � ������� � � ��������� ��� �� ���#�� ��� � "���� �� ����A� � ��������� � ����� � ����� ��������� ����� ��� ������� ��� �� ����� ���� � � � ��$%���� ����A� � ��� � ������ �� �� �� !� � � � ������ ��� �� �� ����� �
-��.����� %��� �� � � ����A� � ���� %� ��� ��� �� �� ��� !�� �� ����� �������� ��� �� ��� ��� � � ��� ��� ������� ��� �� ��� �� ���� � ��� ������� &���� �����&� ���� ������� �� ������ �� ���� �� '��� �� ��� ��� ��� �����A��
���� ���
���� ��� �� ��� ���
���� ��
!�� �� �� �� � "���� �� ����A� ������ ���� ���� ���!��� ������ � ���� ����� '�� ����
�� ���
���
��� �� � ��� � ���
�� ����� ������ �� ���� (������ � ������ ) ������
MATEMATIKA 2 337
*�� �� � ������� � � � ��� ��� �� ��
�� � �� � � � �� � ���
� ��
�� ���
��� ��� � ��
����� �� ��! ����� ���� �� ��� ����
� ��� � ��
��� � ��� � ���
*�� �� � ������� � � � ����A� � ��� � ��� � ��� �� ��
�� � � ��� � ���
+ �� ��� � ��! � � "���� ��� ����A��� ,��!���� �� ���� ����A� � ��� � �� ���� � �������
� ��� � ��
��� � ��� � ���
-�" �� "��� �� �� ����� � ����� ��� �������� � � �� � �� ��.
MATEMATIKA 2 338
��� !� � � � ���� � ���� ������ ��A��� ����� � ���� ������ � ������� "��� ���
�� ��� � � ��� � �� � � � �����
����� �� ���
� �� � �
���
� �� �
�����
MATEMATIKA 2 339
�"�" $��� ��/��� ������������ ��������� ,���0����
�"�" " ���������� ���.����
%���� ����� ����� �� ��� �� � ���! ���� � "���� ��� ) ����A� !�� ����!��� �� �
�� � ���� ���
�� ����� �� � � � � �� � � ��� � "��� �
��� �������� �� � ���� � ����� �� ��A�����!��� �� ����� "��� � � � ��� ������� ������/������ �A�� ���!�� � "���� ��� ����A��
�� � ���� ��
���� �������� � ������ �����
� � �� � � � ��� ��� � ���� � ���
� � �� 0��)1��� ������� � ������� � ������ � ����� ��
MATEMATIKA 2 340
85
1���� " ��������� ��� �� �� "��� �� � � � �� � � ��� ����� ���� ��� � �������� ������� �
� � ���� �� ��� ��� ���� �� ��� �� � �� �� � ������ � �� ��� �
� � �� ����� � � 2
� � �������� ���� 3 ���) ����� ������ � ���� ��� �� ������ ��� ����� ���� ��� ��� � �
����� �������� ���� � � ��� � ��� �
+� � "���� �� ����A�� � ������ � ��������
�� � ���� ��� � � ��� � � ���
� ����� ���� ���!��� ���� �� ����� � "��� �
� ��� � �� �� � ��� �� �� � �����
���� �� � � ������ ����
� � ��������� ��� � ��� �� � ���4��� � � ��� 3 ���) ������ ���������
MATEMATIKA 2 341
����#� ����� ������
%�� � �������� ! � �*� � � �� ��� ������� � ����A�
! � ��*� !�� �
��� ������ ������ �*�� !�� � ��� � ���� �� =� ���� � ���� �� �� ������� ! � �*� � ������ �*�� !�������� ����� � �*�� !�� �
��� � ��� �������� � ����A�� ��� �� ��� � ���� � ������ ��� � ������6� ������ ������ �*� !� � ��� �� 5� � � �� ���� �� �� � �� ��� ����� ������� � � ����A� ���� ������ �� �������
%�� ������ &�� �� �� & � ��� ��������������� � =����� ��� � ��� �� �� ���� ����������� �� ��� � �A � ������� ����� ��� �������������� ��� �� ��� �� ����� ��� ��� ������ �� � ���� �� � � ���
,��� ���� � ������ �� 5��� � ���� �� � ������ ��� ������� ����� � � ����� �� =��� ��� �� ����� �� � 6� �� ������ � � ����A�� � �*� !� � �� � � ���� ! � �������� � � �� � ���� ���� ����������� �������� ��
MATEMATIKA 2 342
� ��� ��� ��������� ����� �������� � ������A���
,� ! � * �
�� ! � �*
!�
�� ����� ) ��� ���� �� ����� �������� � ��������������� ������A���
! � * � ! � ! � *� � !� � �
����� ��
MATEMATIKA 2 343
�� ����� � ��� ���� �� ����� �������� � ��������� ��������������� �����A��
�!
��� &!
��� !
�
�� & � � �
��� ������� ���� ������ �� ������ ����� �� ����� �����& � ��� �� ���� � �� ������� �������� �������� � ���� �� ������� � ����� �� �� ������ � �����)�� �� ������ �������� ���� ������A�� �� �� ���� ���
! ��� �����
� � ���������
� � � �� �� ������ � ���� ) �� �� ������ �������� ������
� ��� �����
�� ��������� �
����� �
MATEMATIKA 2 344
86
������ � ����� ����� ��������� � ������ � ����� �� ��� �������
!������������ �� �� ������� �������������� ������A������� ���� � ��� �� �� � � ��A� ������� ��
� � ���� ��� �� � ��� ���
��� ����� �� ����� ���� ��� ����� "��� �� ��� ����������� ��� ���� � ��� ���� �� � �������� ����������� ������A��� ������
�
���� ��� � ��� � ����
#�� ������� � �������� ��� � �������� � ������������������������ ������A�� �� �� � ���������� ��� ����� ��� ���� � ��� ���� ���� � � � $� ���������� ���� ��%�� �������� ������ �������������� ������A�� ��������� ������ &���� �������� � ������
� �
���� ���
# � �� ������ ��� ��� � � ������ ���� ��� ���������������� ���� �� ��� � ����� �������� � ���� ��� ������� � �� � �������� �������� �� ���
���� � ����� � ��
MATEMATIKA 2 345
� ��� ��� '������� �������������� ������A��
� ���
�� ���� �� �
���� ��
���
��
� �
���
�� ���� � ������� � ��
��� ��� � ��� ���� � � ���
��� ���� �� � � ����� � ������� � �� � � ��# � �� ���� �������� ����� � � �� � � �� ��������������� ��������
����� � ��������
MATEMATIKA 2 346
!���������� ���� ���� ��%�������� �������� ��� ��������������� ������A�� � ��� �� �� � � ��� ������� ����
� � ��� � ����
���� ��� �� ��� ��������� ���� ��������� (����������) �� ��� �� ������ ������A��
��
���� ��� ��� ��� � �� � � � �
*����������%�� ���� ������ �����������
����
���� �� � ��
��� �������� ��%��� ���������� ��� ������ �������� ��� �� ��� ��� ���� ���������� ����� ��� �����������������A����!����� �A��� �� ��� ������ �������������� �������A�� �������� �� ������� � (���� ��� � ) � ������
MATEMATIKA 2 347
� ��� ��� +�������������� ������A��
� � �� � �� � �����
�� � ���������� �������������� ������A��
����� � �� � �� � � ���
��� �� ����� ��
��
� � �
��
��� � ��
( �� �� � � � � � � � � � ���)�'������� ��� ����� ��� ���� ���������� ���������������, *����������%�� ���� ������ ��������
� �� � � � � ��� � � �� � �� � �� � � ��
-���%�� �� �� � �� � � ���� ����� �� � ��� � � �������� �� � � � � �� �� �� �� � ��� � �� �� �����
� �� � � � � ������ � ��� � � � � ����
.������ �� ��%�� �������� ������� ����
� � ����� ���
� � ��� � � ������� ��� � � ������
MATEMATIKA 2 348
87
!�������" ��� �� �������� ��������� �� ������������ ���� � � � � (��������� ���������%�� � � ����� � )�
'��������� ���� ���������� ��� ��� � ���� �� ���������
� � � �������� � � �� �� ���������� � ������������A�� ��������
� � � � � �� � �� � �� �� �
.������ �� �� � ��������� ��� ���� � � � ���������
� ���� ��� � ���� � � � ��� ������� ������A�� ����������� � � � ��� �� � ���� � �������� ��������
!���� ����� ��� �������� �� ���� ��
� � ����� ���
� � �� � � � � � ������ � � � � ����
� � ����� � � � � ��
���������� �� �� � � ����� � ���������� ������������ �� �� ��A��� ������ �������� �������� ��
MATEMATIKA 2 349
�� ����� �� ��� ���� �� ��� � �������� (������ ���)�
10
10
x
y
f-5
f-5 f1
f1 f02
+� �� �� �������� ������� ��������� ��� �������������������� ������ �� � �� �� � �� ����� ���������� �������� � � ������A��
� �� � �
� � � ��
+������� � � �� �� �� ������� ��������
����� ���
� � �� �
�������� � � �� �� � � ���� ���� �� � � ��� ����������� �� ������ ���� �� ��� �� �� ���� �� &������� ��� ��������� ������� ���� ���� &���� ����������������
MATEMATIKA 2 350
������ #���$��� � ����� ����� ���������
+������ �� ������� �������������� ������A�� � ��� �� �� �� ��� &����� �� ����
� � ��
�
��
�������� � %���$���� ��������������� ������A�������� ����� ����������
�
�� � �� � �����
�������� �������������� ������A�� � ���������� �������������
���� � ��� � � � �� � ��� � ��
���� ����
��
+� ��� ��%�� �������� ������� ������� � ���� ����
���� �� � ����� � �
�
�� � � � � ����
MATEMATIKA 2 351
� ��� �&� /�����A��
�� �� � ��� � �� � ��� �� � �
�� ������� �������������� ������A�� ������ ������� ����������� � �� �� ������ �
� � ���
�
���
�
�� ��
$������� � � ��� � � � � ��� �������� ������A��
�� � � � �� � ��
�������� ��� �����
� � ��� �
���
�� �� ���
����� � � � � ����� � � � � ����
-���%�� �� �� � � ��� ���A��� ��%�� �������� ����
� � �� ��� � ������ � � � � ����
MATEMATIKA 2 352
88
!���������� ���� �������������� ������A��� ��� �� �� � � ��� ������� ����
� �
���� � ��� � ����� � ��� � ��
��
# � �� ������������
� �
���� �� ���� ��
���� � ��
���� �������� ������
��� � ��� � �� � ��
��� � ��� � �� � �
��� ������ ����� ��������� ������ ��� �� � ���� ��� � ���������� �� ���� ������
� � �� � �� � � �� � ��
�������� ������� �������������� ������A��
� � ��
�
� ��� ��������� �� ����� ������� �������
MATEMATIKA 2 353
# � �� �� � � � ���� ������� ���� � � � �� �� �� ����� � ��� � ����� � ����� "��� �������
� � ��� � ���� � � �� � ���
������� ������ ������A�� ��
�
���� � ��� �
�� � ��
�� � ��
��
� ��� ������ ������� ��������� ��������� � � ��
� ��� �'� '������� �������������� ������A��
� ��� � � �
� � � � ��
.����� ������A��
�� � � � � �� � � � � � � �
��� �������� ��� �� � ��� � � �������
� � � � �� � � � ��
������ �������������� ������A�� ������ � ��������������������� ������A��
� ��� �
�
� � ��
�
$������� � � ��� � � � � �� ��������
MATEMATIKA 2 354
� � �� ��� �
� � �� �� �
��� � � � �
� � ��
� � �
��� � � � ��� �
��
���
� � �
��� � � � ��� � � �����
� ��
����� � � � �
�� � � ������ ����� � � � �
�� � � ������� ��� � � � � �
�
������
0�A��� ������ �� � � � � � ���� � � ��%�� �����������������
� �
�� �
���
� �
�� �� � �
�
��� ���
�������
�� � �� � �� �� � �� � ��
MATEMATIKA 2 355
����&� ( ����� � ����� ����� ���������
+������������� ������A�� ��� ������� ����
� � ����� � ����
������� � ������ � ����� ������ ���������������� ����� 1�� ����� ������A�� ��������� �� ��� ���� �������� ��� �������� ����)���� (��� %����$���) �������������� ������A��
� � ����� � ��
1���������%�� ��������� ����������
�� ����� ���
�� ���
� � � � ���
�� ��� � � ��
���� ��� � �� ���� �� �� ���� ��� � ����� �����)��)� � (������� �������� � �� ������ ����������� ���� ����) ����� �� ��%��� �������� ������ (��������) ������A��� ������ ������������� �� ��%���������� ���� �
� � ���� � ���
�� ���
��� ����� ����� �������� (�� �� �������� ��������)
MATEMATIKA 2 356
89
��� ���� � �� ����� � �� ����� �������� ��� � � ��������� � � ������ ������A���
� ��� ���
�� �� � � ��� ���
�� �� � ��� ����� �� �
�
�� ��� � � ��� ���
�� ��� �� �
� � ��� �
��� ����
� ��� � � ��� ��
�� �� ��
� ��� �
�� ��� �
��� �� �� � ��
!���� ����� ��%�� �������� �������� ��������������������A�� ������ ���� ����
� �
������ � �
��� �� �� � �
���
��� ��� � � ��
�
MATEMATIKA 2 357
� ��� �*� +������������� ������A��
�� � � � ��
�� � ���������� ������A��
� �
�� � � ����
�� ������ ������� ������ ���������
� �
�� � � �� ��
�� �
��
�� � �
�
���
�� ��������%�� �������� � ���������� �� �� ��%���������� ���� �
� �����
���
���� ����� �������� ��� ���� � �� ����������
��
��
�� ����
��� ��� �
� ��� � ��� � ���� � �� � �� � � ��
!���� ����� ���A��� ��%�� �������� ����
� � � ��
��� � � ��
��� �� ��A� ������ � ���� ��� � ������� � ��MATEMATIKA 2 358
$����� �� �� � �������� ������ ���������� � � �� � � ����������
� � � ��
��� � � ��
�� �� �������� ������� �������� � � ��
!��������� ����� � �������������� ������A��
� � ����� � ������� � � �� � �
��� ������� +������ ���� ����������� 1���� �������
���� � �
����� �� �������� (�� �) �������������� ������A��
� � ��� ������� � ��� �������
��� �� ����� ������� �� ������� �������
MATEMATIKA 2 359
� ��� �,� /�����A��
� � �� � ����
�������
���� � ��� � ���
��� ��
��
������ � �������� �������������� ������A��
� � ��� � �����
���� �� ��%�� ��������
� �
������ � �
� �� �� � �
���� �� �
��
����
�
� �������
� �
����
�
� ����
�����
�
� � � ��
+� ��� ������ �������������� ������A�� ��� ��%����������
�
��� �� �
�
� ����
�
� � � ��
MATEMATIKA 2 360
90
����'� -$���)�� � ����� ����� ���������
# � �������������� ������A�� � ��� �� �� � � �����������
� ��� �� �� � ���� �� �� � ��
��� ���������
���
��
���
��� � � �� � ��� �� �� � ���� �� �� (�������) �������������� � ��� ���� ��� �� �� � � ��� ��� ���� �������� ���� ���� ��������������� ������A�� ������ �����
0�A� �� �� ���� �� � ��� � �� ���� �� � � ���� ����� ���� ��� �� ���� �
��� �� �
� �
��
� ��� �� �� �
� �
��
����� �� �� � ��
������� �� ��� ����������� ��� � �������������� �������A�� � ���������� ����������� ��� ����
MATEMATIKA 2 361
� ��� �.� +������������� ������A��
�� � ��� �� � ��� � �� �� � �
�� ��� ��� ��� ��
�� ��� ��
���
��� � ���
��� � �
����� � ���
���
����� ��
���
.���� �� ������ ��%�� ��������� �
��
�� � ��� �� �
� �
��
��� � ��� �� � �� ���
��
��������
����
����
�����
����������
�� � �� � � ��
��� �� ��A� �������� �� (� � ������������������)
��� � ���� � �� � ��
$��������� ��� ����������� �� �� � � ���� �� � � ����������� � � �� �� �� �������� ������� ��������
��� � ���� � �� � � ��
MATEMATIKA 2 362
# � �������������� ������A��
� ��� �� �� � ���� �� �� � �
���� ��� ��� � � � ������� ��� ���� ��� �� �� ��� �� �� �� �� �� ��
�� ��� �� �� � ����� �� �� � �
��� ��� �������������� ������A��� ���� �� ��� ��������� (��� ���) �������������� ������A��
����� �� �� � ����� �� �� � �� �� � ��� �� � ���
������ �������� ������ ������A���
2� ��� (��� ����) � ������� �)�$�� ��� � (���-���� �) ���) �� ��)����
� 1��� &������� ��� ���� � ���� ����� ������������(1�%������� ����� �������� �� � ���������� ��������������� ������A��,)
MATEMATIKA 2 363
� # � �� � ��� ���� ���� ����� ��������� (���� � ���� �)���� �� ������� ���� &������� ��������� �� �� ����������������� � �������� ���� � ��A��� �������� �������
�����
����
��
� ��� �
���
� ����
��� �
��
��� �
��
��� �
��
��� �
��
���
�
���
��� ��
��
�� �
��
��� �
��
���
� � ��� � �� � � ����� ���� ��
��
��� ��
��
���
��
���
�� �������
��� ��
��
��� �
��
��
MATEMATIKA 2 364
91
� � ��� � �� � � ����� ���� ��
��
��� ��
��
���
��
���
�� �������
��� ��
��
��� �
��
��
� ��� �/� '������� �������������� ������A��
��� � ��� ��� � �� � ��
-���%�� ��
��
���
� ���� � ����
��� �� � ��
��
���
� ����
��� ��
�������������� ������A�� ���� ��� ����
MATEMATIKA 2 365
1������� 3������ �������� ��������� � ��
��
��� �
���� �� � ��
��� � ����� �
��
��
��
��� �
���
�� � �
�
���
1����� �������� ������A���
� � ��
���� �
���� � ��
� �
����
� � ��
��� �
� �
����
� ������ � � � �
�� �
�
�� ��
MATEMATIKA 2 366
���� !��� �� 0��� � ����� ����� ��������� ��$�$���
1�%������� �������������� ������A��
� ��� �� �� �� � �
������� ������� � � � �� ������
� ��� �� �� �� � �� � � ��
������ � ����� ����� ��������� � ��� �� �� � �
# � �� � ������� ��������������� ������A�� �� ����������� � ��������� �� ��� � � ������A�� ������� ����
� ��� �� �� � ��
���� �������
� � �� � � �
�������� �������������� ������A�� ������ ����
� ��� �� �� � ��
1������� �� ������ �������� � � ����� ��������������������� ���A��� ��������
� �
����� ���
MATEMATIKA 2 367
� ��� ��� '������� �������������� ������A��
� ��� � �� � � � ��
$������� � � ����� � � � �������� ������A��
� ��� � �� � � � ��
"� �� ������A�� ��� ������� ������������� ���������
��
�� � ��
�� � ��
.������
� ��� � ��������� � �
��
����� �����
� � ���� � �
���
�� �� ��%�� ��������
� � ����� ���
�� ���
MATEMATIKA 2 368
92
����� � ����� ����� ��������� � ��� �� �� � �
# � �� � ��������������� ������A�� � ��� �� �� �� � ��� ���������� � ��������� � �� ���������� ��� � � ��������A�� ������� ����
� ��� �� �� � ��
���� ����A� �������
� ���
��� � ��� � � �
��
����
����� �
��
����������
�����
� ��� ��� '������� �������������� ������A��
�� � ���� � ��
�� �������� ������� �������� ��� ���������� ����������� �������
�) � � �� � � �� � � �4
�) � � �� � � �� � � �4
�) � � �� � � �� � � �4
�) � � �� � � �� � � �
MATEMATIKA 2 369
$������ � � �� � � ���� � � � ����� �������� ��������
��
���� � �� � �� ��� �
���
��� � �
�� ��
+� ��� ���� ����
� � � �����
��� � � � ��
# � �� � � � � � ���� ��
� � �
# � ����
��� � � � � ���
��
����
��
���� ��
� � � � ��� �� ��
�� �� �� �
.������
� � �������
!���������� �� �� ���� ������� �����%��� ������(�� � �� �� � �)�
�� &���� ���� ���A��� ������� ���������
MATEMATIKA 2 370
(�) !������� ����� � � �� � � �� � � �� ������� �
� � ������ � � � ����
��������
� � �� � � � � �� � � �
(�) !������� ����� � � �� � � �� � � � ��������
� � ����� � � � ��
��� �� ������������� +� ��� �� �� ������� ��������������� ��� �� ���������� ���� ��������� �������
(�) !������� ����� � � �� � � �� � � � ��������
� � ����� � � � �� �� �� � �� �� � �
��
�� � � �����
(�) .������� �������� ����� � � �� � � �� � � ��������
� � ����� � � �� �� �� � � �� � �
��
�� � � �����
MATEMATIKA 2 371
������ �������� ����� ����� �������
6�� �� ������
��� �� ��� ���� � � ��� �� ��� ����
�� ����� �� �������� � �� ��� ���� ��� ��� ��
� ��� ��� ���� ����� � � � ��� �� ��� ����� � �� ���� ����� � ������� �� ������� �� � ������ ����������� ������A��
� ��� �� ��� ���� � �
�� ����
� � ��� �� � � �����
���� � �� ����������� ������A�� ������ ����
���� �
�� �� � � �
�� �� ��� � ��� � �
�� ��� ��
��� ��� ���
� ��� �� �� �� � ��� � ��
��������
� ��� �� �� �� � ��� � �
MATEMATIKA 2 372
93
����� ����������� ������A�� ������� ���� ������ �������� ����� � ��������� �� ��������� � �� ��� ����
������ ��� 3���������� ������A��
��� � ���� � ����� � �
�� �� ����� � � � ��� ��
������ � ����������� ������ � ������ � ���� � ������
�� ���� � ���� �� � � ����� ��� �� ������A��
� � �� � �� � �� � ��
���
� � �� � �
������
� � ���
� ��
�� �� �� � � ��
�
�� ��� �'��
� �� � ���!���� ������� ������A�� ����
� � ����
� �����'� � ������� ����
MATEMATIKA 2 373
"������ � ��� �� � ���!���� ����������� �������A�� ���� ����
� ��� �� ��� ���� � � � � ��
� � ���� �� ��� ���� � � ��� ��
�� ����� ������� �� ��� �������
��� �������� �� � � �� ������ �� � �
���� ������ ����������� ����������� ������A����� #� ���������� ��������� �� ��������� � � ������� ������
� ���� � ��� �� ���� � ��� ��� ���� � ���
� � �� ���� � � ��� ��
����� � ������� � ����������� ���!���������$��� ������ �� ������A�� ���� ���� ����.������ ���!���� ����������� ������A�� ��� ��������������� ������� ������ ��
"�������� �� ������ ��� � ����$��� ������ ������������ ���!����� � �� � ����� ������ ����� .
MATEMATIKA 2 374
������ �� �� ����� %��� �� ������ � ��=������ ����� ����� � ����� ���� ��� ��� ��� � � ��� ���� ���� ����� ����������� ������
�� ���� �� ��� ���� � � ��� �� ��������� �������
�� ������ � � � ����� �� �������������� ���
������������� ��� ��� �
���� ��
�����
���� ���
���� ������ ������� ��� � ��� � � ��� ����� ���� ���� ������A�� ���
�� � ���� �� ��� ���� ���� �����
� ���������� ���!���� � � � ��� ���� ������������������ ������ ��
�� � � � ����� �� ��������
���� ��� ���� �� � �
������ �� ������ � �� ����� � �����������&������� ����� �� ������� � �� ��������� ���
MATEMATIKA 2 375
������ �� ��� � � ���� ��� � �.
����� ���� ���� ���� # � ����� ����
�������� ��� ��
���� ��� � ���
� � ��� � ��� �
3����� � ����� &��������� ������ �� ������ ��� '�������' �� � ����� � � ������������ ���!��������$����� ������ � �� ��� ������A�� ���������� �A� �� ��������� '��� �����' � �����������
�������� ���������
���
(���� �� �������� ���������� ���!���� ����$����������� �� � ����� �� �������� ������������ ���!��������� ��� ������ ��� �� � ��� � ��� ������� ����������������� ���!���� ���� � �������� ������� ������ ��� ������A��� #���� ���� �� �A��������� �� ������� ������ � ��� �A� ����A���� ���� �������� � �� � ���������
MATEMATIKA 2 376
94
������ ������ ����� ����� ������� �����!��!�� ���, ���!��
6�� ����������� ������A�� ������� ���� ����!������
��� � ��� � � � ����� �� � �� ��
����� � � �������� ����� ������ ������ �������� ���� � ����!��!�� ���, ���!��� ( �������� � � ����� �
��� � ��� � � � �� �� � �� �
!�� �� ������� ��� �������� �� '����!����'� �������A���
)�A� �� ������� �� ��� ������ ������� ������������ ������A�� � ����� ����� ���!���� �� ��������� ����� � � ��� � � ��� �
� � ��� � �� ������ ����������� "����!� ���###
������ ���� 6�� �� �� � ����� �� � ����� ������!���� ������� �� ����� ������A�� �*�� ���� ��
� � ������� � �������� ����� � �����!���� �� ������A���
3����. @������ �������� ��� ��
MATEMATIKA 2 377
"�,� �� ���� +� � � �� �� ��� ���!������ � ����� �� � ����� ������� �� ����� ������A���*� ������� ��$������ ��� �
���� � ���� � �
������������ ����� � �� ����� �� � �� � ��
'����� ������� ������������ ��� �� �� � � ����%��������� ������ ����� ,���������
������ ���� 6�� �� ������ �� � ����� �� � ������������ ������ ���� �� ,��������
� ��� �
���� ����� ������ ����� ������
���� � �� �� ���� ��
3����. ���
������ ���� 6�� �� �� � ����� �� � ����� ��������������� ���!���� ������� �� ����� ������A�� �*����� ��
� ��� �
���� ����� ������ ����� ������
���� �� �� �� ���� ��
MATEMATIKA 2 378
������ ��&� 6�� �� �� � ����� �� � ����� ���������� �������� ���!���� ������� �� ����� �������A�� �*�� ���� ��
� � ������� � �������� ����� � �������� �� � ���!�����
3����� � �� ���!���� �� ����� ������� ������A���*� ���� �������� ��� �� ������� ���������� ���������
� � �� �� � � �� ���� � ���� � ������ � �����
�� �� � �� � � ������ �������
3������ ������ � � ���� � ������
� � � ���� � ����� � ������
���� ��� �� ������ � � ����������� ������������� �������� �� #���� -�. #���� -�/ ������ �� ������ ��� �� ������� ���!���� � ��������� ������ � ��
� ���������� �������� ���!���� �� ����� �������������A�� �*� ����� ������ ����� �
MATEMATIKA 2 379
������ ��'� "����� ���� �� ������ � �� ������������� �� ��
� � ���
������� ���!���� �� ����� ������� �����������������A�� �*��
3����.
0�� ��� ���!�����
� � ���� �� � ���� ��� � �����
� ������A�� �*� ����� �
������ � �� � � � ��
����� � �� � � ��
!�� �� ���� �����!���! � �� ������� �����������������A�� �*�� ���� �� ����� ��������� ������A�� � ���!���� � � � �� � � ��� � ������� ����� �
���� � ������
�� �
�� �� �� ����� �� ����� ������� ���!���� �������
����� ������A�� �*��
MATEMATIKA 2 380
95
� 1���!�� ��� �� ���� �� �� �� � � ���� ��
� ��� �
���� ���� ����
������ ���
���
���� � ��� � ���������� �� ��
�� �� ������� ������� ���!���� ������� ���������� "� #���� � -�/
� � ������ � ���
���
�� �� � ���!���� ����������� ������A�� �*��
� 6�� ��� ���� �� � �� ���� �� ��� � �� � ����� ������� ���!���� �#���� -�2��
� ������ ������������� ������� ���!���� ���� � �� �������
MATEMATIKA 2 381
������ ��(� 6�� ������������� ������A�� �� ������ ������� ����������� ������A�� �*� � �� ������ ���!����� ��� ��� �� �� � �� � ��
� � � � �� ������� ����� � ����� ������� ���!����
� � �����
1���!�� ���� �� �� ������ � ���� � � ���� �������� ��������� ���� ��
� � ����� � ����
��
�� � ���!���� ����������� ������A�� ���
3����. ���
MATEMATIKA 2 382
( ������� ������������� �������� ���!���� �������������� ������A��� ���
���� � �� ��� �� � � �� � �� ��
�� � ���!���� � � ������ � ���
��� ����� �� �������������� �� ����� ������� ����������� ������A���*� ������� � �����.
� � �������� � ���
����� � ���������� � �������� �
� ���������� ���� ��� ����������������� ����������
� ������� � ��� ��� �� � ���� � ��� ��� ���
� ������ ��� �� ��� ��� ����
�� �� � �� �� � �� ��� � �� �� � �������� � ���
�� ����� ���� �� ������� �� �� ������
� � ��� ��� ��� ��� ��� ��
������� �������� ���� �� � �� � �� ��
MATEMATIKA 2 383
)����� � ��* �� � ���!���� �� ����� ������������������ ������A��
��� � ��� � � � ��
���� ���� ��� ������ !�� ����!���� ���� ���������� � ��.
������ � ���
���� � �� ���� � � �� �� ���
����� � ����
��� � �� �� � �� � � � ��
������ ��� ����� ��� ���� � �� ���� � ���� � �� � �� ��
�� �� � �� ���� ���!���� ������� ������������� �������A�� �� � �� � � ��
������ ��� 3� ������ �������� ������������ �������A�
��� � ��� � �� � �
������ ������������� ������A��
�� � �� � � � ��
����� �� ���!���� �� � �� � �� �� � ���!���� ��� ������� ����������� ������A�� ��� ������
� � ������ � ����
���� ����� � ��
MATEMATIKA 2 384
96
������ ��+� 6�� �� ���� ��� ���� ������� ���!����������� ����������� ������A��
��� � ��� � � � ����� �� � �� ������ �� ������ �� � ���!���� ����� ���������� ���� �������� ���!���� �� � ���!���� ������� ����� ����� ������A��
��� � ��� � � � �� �3����. ���
�� � ���!���� � �� ����� ������A�� �*� �������� � ������� �� �� ������ ������ ���� ��������� ����������� ���!���� �� ������A�� �.��
6�� �� �������� ���� � ��� ���� ����� ������������������ ������A�� �.� ������ �����
���� � ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� � �
���� �� � � ���������� �� ��� �� ��� ����� �������� � ������� �� ���� ������� ���!���� �� �A� ��� ����� ������ 4���� ���=������� "����������� ���!���� ���A � � �����
����� � ����� ��� ��� ��� �� � � ��� ��� ��� � �
���� �� �� ��� � ��� ����� � ��������� � ���=����� � ������� � � ��� ��� �� ���� �� � ��������
MATEMATIKA 2 385
������� �� �� ������������� ������A��� ���
� �
�� ��� �� �� ��� ���!���� ������� ������ � � � � ��� �� �� �� ���!���� ������� ����� �
'��=����� ����� � �� ��� � ��� ���� 4���� �� ������ �� ������ �� ������ ����������� ����� ����� ������A�� �.�� 0����� � ��� �5� �������� �� ������� �������� ��� ������ � ������ .
�� ���
��� ��� �����
��� ���� ������
�� ������ ��������
���� � ��� ���� ��� �� ���� ��� ���� ��� ���
�� ����� ��� ���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� ���
� ���� ��� ������� ��� �� ������ ��� ��� �� ��� ���
������ �&� +��! � ������� ����������� �������A�� � ��������� ���=���� �
��� � � � �� � �
����� � ��� ������� ���!���� ���� ����������������� ����� � � �� � � �� �� � ��
MATEMATIKA 2 386
"������ �� ����� ������A�� ��
��� � � � ��
� ������������� ������A�� ��
�� � � � ��
+��!���� ���� � �� ������ �� ��
� � �� � � ���
������� �������� ������� ���!���� �� ����� �������A��� #��� ����� � �� � ���!����
� � ���� � ���
��
�� �� ����� ������A��� ( �������� �������� ������������� ������A� ��
���� � �� � � � �����
����� ������ �������� "� ����� ��� �� � � �� ��������� ���!���� ����� ���� ����� ����� �������
����� � �� � ��
'��=����� � � � ������ �� ����� ����.
MATEMATIKA 2 387
��������� ������ � ����� ����� � �����
3����� � � � � � ��� �� �� ���A��� ����������!���� �� � �� �� %������� �� #���� � -�6 ������� ��
� � ���� � ���
�� � �� �
���A��� �� � ���!�����
"������ ���!���� ���� ����������� ������ ������ � �� � � �� �� � � ����� � ���������� ���!����� �.
��� � ���
� � �� � � �� ��� � ���
� � � � ��
������ �� � �� �� � �� �� �� ���A��� ������� ���!����
� � ��� � �� ��
������ ��,� 6�� �� � ������������ ������A� �.�
���� � ����� � � � � � ������ � � ������ �� ������ ������� ���!���� ����� �� �� �������������� ���!���� ����� ������� ������A��
��� � ��� � � � �!���� ! � �� � � � � ��
MATEMATIKA 2 388
97
������ �'� +��! � ������� ����������� �������A�� � ��������� ���=���� �
��� � �� � �� � ����� � �� ��
"������ ������������� ������A�� �� � � � � � � � ������������� ������� ���!���� ���� � �� � ��� �� �� � ���!���� ������� �� ����� ������A��
� � ������ �� � � �� �� ���
���� �� ��
���� � ����� � �� ��
�� � � �� �������A���� �������� ���!���� �������������A�� ������� ��������� #���� -�-�"�� ����� �� ������ ���� ������� ����������� �������A��.
��� � �� � �� � ������
��� � �� � �� � �� ��
������ �� ������ ������� ���!����� �� ���� �� ��
��� ����� � �� � �
�����
� �� �������� � � �� � � � �� ��
MATEMATIKA 2 389
(��!����� �� ���� ������ � ����� ������� ����� �������A�� ���������� ������������ � ����� �
��� ��
����
����� � ��� � ��
�����
��� ��
� ��� �� � �� ���
���� ��� �� #���� � -�-
�� � ��� � ��� ��
����
����� � ��� � ��
���� �
��
� ��� �� � �� ��
������� ���!���� ������� ����������� ������A���%������� �� #���� � -�6
� � ��� ��� �� � � �� �� �� �
��
����
����� � ��� � ��
���� �
�
� ��� �� � �� ��
���� �� � ���!���� ����������� ������A��
��� � �� � �� � ����� � �� ��
MATEMATIKA 2 390
-�!�� ����� �� ����!��!(����� ������ � ����� ���� ��� ����� �5� ����� � ����� ������� ����������� %� �� �� � ���!����� �� ����� ������A�� �*�
� � ���� � �����
����� ��� � ������� �� �� ������ ������ ����������� ���!���� �� ������A�� �.�� %���� � ����A� �� ���� �� � �� � ���!���� ������� �� ������ ������A�� � � ���� � ���� ��������� �� ���� ��� � ������ � �� ��� �� ��� � 3���� ���A������!���� �� �����
�� � �� ��� �� � �� ��� ��� ��
���� �� �� ��� �� ��� � �� ����� ��������� �������3������� �� ������ ����� ��������� ������� � ������� ������ ���� � ���� ���� � � 4�� �� �������3�������� ������A�� �/� ����� �
�� � � ���� � � ���� � ����� � ���
���
%��� �� ���� � 4�� ���A�� ������ �
� �� ��� �� � � ���� � ��
@ � �
MATEMATIKA 2 391
�� � ����� � ���
���
��� � � ����� � � ���
�� � ���
��� � ���
��� �
(��!������� ������� ����� � ���� ���� � � ���������� �
��� � ��� � � � � ����� � � ���
�� � ���
��� � ���
����
������� � ���
��� � ����� � ����� �
� �������
�������� ��
������
��� ��� ��� ��
������
��� ���� �����
���� �� �� �� ���!���� �� ����� ������A��� ������ �
� ����� � � ���
�� � � ��� �
"�� � �� � ��������� ������ �� �� �������������������
� ���� � � ���� � �
� ����� � � ���
�� � � ��� �
#� �� ������ ������ �� ���� ��������� ������ � �� � ��� 3���� ����� ���� ������� �� ������
� ��� �
���� �� ����� ���
���� �MATEMATIKA 2 392
98
���� �� ������ �� �� ��� ������� �����������!���� �� ����� ����������� ������A�� �*������ �� � ��� �� �� �� ���� �� �� ������ � ����������� ���!���� � ����� � ������ ���� ��
����� �
�� ����� �� ����� �
�� ����� ���
������ �(� +��!�� ����������� ������A��
��� � � ��
��� ��
�� � ���!���� ������� �� ����� ������A�� ��
� � �� ��� � �� �� ��
"��������� � �� �� ����������� ���!���� ������������ ������A�� �����
� � �� ��� ��� � �� ��� �� ��
)����� ������� ��������� ����� � ������
� �� ��� � � �� �� � � �
� �� �� �� � �� ��� ��
��� ��
@� ��� ������� ����� �
MATEMATIKA 2 393
� �� ��
��� �� � �� �
� ������ �
�
@���������� ����� �
����� � �� � ���� ����� ���
��� �����
�����
� � ��� � ���� ��� �
��
��� ����
��� � �
�� ��� ��� �� � ���� �
�� �� �
�� ��
�� ��� � ��� � �� �� � ��
�� ��
� �� � � � �� � ��
�� �� � � ���
3�����
� � � � �� � � �� � � � �� � ��
�� �
�� �� � ���!���� ���� ����������� ������A���
MATEMATIKA 2 394
)� ������ ��� �. ������� �� � ���!���� ������������ ������A�.
�� ��� � ��� � �� � ���� ��� � ��� � �� ��
� ��� � �� � �� � ���� ��� � �� � � � �� ���
�� ��� � �� � ���� �
�� ��� � � � ���
�� ������� ����������� ������A�� ����� ����� ��������� ���=���� � � �A� � ����������!���������� ������� � � �� ������������� �������A�� �� 7�������� ��!��8'���� � ���� ������� ����������� �����A�� ������� �� � ����� ������������� ������A�� ����������� ������ ����� �� �� �� �� ��7
MATEMATIKA 2 395
1.1.2. +�-�-���� ����� �� ��� �������
;��5�� ���� ������ ��� �� ���� �� �����������������A�� ������ ���� �� ������� ��� ����!��� ��������� #���� ��� � ���� �� ����5 ���� � ��#�=���� ������ ' " �� ������ � ������� ������9��!����: � ���=����� ��!���� ! " � � �� ������������ ������� ��� � ��� �� ���
;��� �� � ��� ������ ����� �� ����A��� ������� ��������� �� ;� ����� ������� ������ � ���0
MATEMATIKA 2 396
99
� ��� ��!���� ���� �� ������������ ��5�
������
�
� ��� ���� ������� ������ ��� � 3������� 5����� � ���� �� ������������ ������� ������A��� �������
����� ������� ��� � ���
��� � ����� ;�6������ 5����� ������ ������� ��������� 9��� ���� ����� �����: �� ������#������ �� ���� ������� �� �� ������ 9���� ������A�������� ����
����
���� ����
��� �� � � ���
���
����
���� ���
��� �� � � ��� � ��
� �� �� ������� ����������� ������A�� ������ ����� ��������� ���=���� ��
MATEMATIKA 2 397
( ��������������� ������� ���� �� � � ��!���� �������� ��� ��� �� � ������������ ������ �� ��#����� 9�� �����: ����������� ������A�� ����
����
���� �� � �
;���� ������������� ������A�� ��
� � � �
��
�� �� ���!����
� ��� � �� ����� � �� ������ � �
��
�
(5 �5����
��
��� � ��
� � ���� ���
� ���� ���
�
� �
� ��� � ������ ���� � ����� ����� �
��� 9�� ����� ����� �:
� ��� � ��� ���� ��
MATEMATIKA 2 398
( ������� ���� � ��!���� �� �� � ������� ��� ��#����� 9�� �����: ����������� ������A�� ����
����
���� ���
��� �� � �
;���� ������������� ������A�� ��
�� � � � � � ��
�� ��
��� �����
�� � ��
�
+�5����� � �� �������0
�� ��� �� �� � �� � � ���� �� ���!���� ���� ��
� ��� � ���� � ��
���
� ��� �� �� � �� � � ���� �� ���!���� ���� ��
� ��� � ��� � ���
��
MATEMATIKA 2 399
� ��� �� ��� �� � � ���� �� ��� ����� �
��������� � �
� � �� ���!���� �� ���� ��
� ��� � �� ��� ��� �� � �� ��� ���
( ��� �� ������� ����� ������ � ��� � �� ( ����
������� ��� �� � ��!���� ��5 ������� � ���#�� ������� �A� �� �� ������������ ��������������� ������� ����� ���� ������� ��!������5 ������� � � ��� � ������� �� ��� � ��!��� ������� ��� ����A��� �������A�� �� ��� ����!����������� �� ��� �� ���
MATEMATIKA 2 400
100
(����� �� ������ ������� ������� ��� � ��� ��� �� �� ������ ��������� � ����������� ������A��
����
���� ���
��� �� � � ���
� ���!����� ��� � �� � �� �
���� �� �� ���!���� ������� �� ����� �����������������A�� � �� ���� ����� ����������� ���!�����;��� �� ���� ������� ��� �������
� ��� � # ��� ��� � � �
:�� !�� � � �� ����� ��� ���!������ ������� ��# ����� ������A�� ��5����� � �� �������� ( ���� ������� ���� �� �� � �� � � ���!���� ������� ��# ����� ������A�� �� ���� ��
�� � ���� � ��
���
� ����������� ���!���� �A� � ������ ����� ������ 4���� ���=������ ����
�� �#
� ������ ���� �� �
MATEMATIKA 2 401
���� �� 9���� �����:
� ���� ��� ����
��� ����� �
���� �� ����
� ���� ���� �
��
� ���
9���� �� � ���!����
� ��� � ���� � ��
�� �#
� ������ ���� ��
�� ������ �� ��� ������ ��� �� ��� �� ��A � ��� ����� � � ��� �� ����������� � ������� �������� 9����� ��� �� �� �������� ������ � ������ � � ��
� ��� ��� ����!���� ������� �� ��� �� ���
;� ����� ���� �� ����� �� � ���!���� � ������������ ������� ���� �� �� � �� � � � �� � �� � ��
MATEMATIKA 2 402
��� ��� � ��! ������ � ����� ������ � ��5��!���� 9� � �: ��� ������A�� ����
����
���� �� � � ��� � # ��� ��� � � � ���
+��!���� ������� �� ����� ������A�� ��
�� � �� ����� � �� ������ � �
��
�
+�5����� � ��� �������� 0�� �� � �� � ���� �� ���#�������� ���!����
�� �#
� ��� � ������ ���
!�� �5 �5���� ��� ���� ���� �� � ���!����
� ��� � ��� ���� �� �#
� ��� � ������ ��
����� �� ����� ����� ��� ��� � ��������
0�� ���
��
�
�� � ���� �� �� �������� ������ �
������ � ���
��
��
��
( �������� �� �� ?����� �������� ������?�
MATEMATIKA 2 403
0�� �� � � � ���� �� �� ���������� ��������������� ��� ������� ��� ���!���� �� ����� ���#���A�� ���� ��� ��� ��������� ������� ���� ����������� ��������� �������� ( ��� ������� ���� � ���!���� ������A�� ���� ���� ��
� ��� � ��� ���� �� �# �
�������
#� �� �������� ������ � ������ � � ��� �
�� 4��� ������ �� ��� � 4���� ���� � � � �� � 5� �������� ���� � �� �� ��5������ ���������� ��� ����!���� ������� �� ��� �� ���
(�� � �� �� ���� ��� ��5������ �� �A� �� ������ ������ � ��!�������0//���6���������/6�/#�� ��;����������� ����//������������/��/�������������������
MATEMATIKA 2 404
101
����//���������������/���� ������� !"��#$ ����//���������������/���� ���%����&��'(�
�� ����� ������ ��) �� �����) � ���� ������ ��*���� �� ���) ��������� ���������� +� )� ����)����� ��) �� �����) � �����,����� ��������� �-���� 9.: ������ ( ��� 9B �: ,���)��� � ���#������� � ���)� 9/: �� ��) )���)� ����������������� ��)� � �������� � ���,�� ����� � � ��� �����90: ����)� � � ��� ������ 91: ��� �� ����
����� B ����� ,����� �� ������ �� ������ )�#��� )� (�� �� ������ �� ,���)�� )���� )� ����� ��� ������ �� �����,����� )���� )� �
� �� �����)� � ����) ��,���� ������ �����,����������� ��� �--���� ,����� ,���) ����� ������)���� )� ������ ��)�� �)� ,��� �� ����
MATEMATIKA 2 405
-�����)���� )���A��
���
��� (� �
�
�� � ���
@, ��� )���A�� ��A��� ��� ������� -����#�)���� )���A�� ����� ��� �� �� �������$��*�����)�
� ���
���)�
����
���� (
��
���
�
�� � � ��� �
�� ������)� �)�
����
���� (
��
���
�
�� � � ���
$����� 2�)�3� ��)� ���� ��� )���A�� � )�#��A��� ��� ,���)����)��� � )� ,���)��� �����#������ � ����� ����� � ��*����� � �����,���� ��������� +��� 2�� ,���)����)��� � ��)���,�� -�,��)�*��)� ������� ,���)����)� ����������� ��� 2�)��� )� ����� ��A�� �� ,�)������)� ��,�����)���������
MATEMATIKA 2 406
&�*� �������� ������������ ������ �� ���� ����-��4�A�4 ��� �4
� ��� � �� �� ��� � �� � ��� ��� ��� ��� ��� � � ���
� ���� �� �������� ������������ ������ �� ��������� 7�� �� "��5 �4 ������ � ��� � �� �4 ���4�A���4A��� �4 �� ���������; ��� �� �4�4 �4��4��4� �� ���5 �4�4 ����54� �4 � ����4�� "��5 �� �� ��� � �� ��� �� ��� � ����4��4��4� ��� � �4�� � "���5 �4�� ���4�A�� ���#��� ���4 � ����4� � ���=5 ��� �4�7�� �� � ��� �� �� ��4 �� ���4�A�4 � � ��A�4� �4� � ��� ��
� � ���� � � ���� � ��
��� �5��� ��
���� � � ���� � ��
��
� �� �� ���� ���
� �� � ��� � �� ���
� ��� � �� ���
� ��� �
� ���
� ����
7�� �� "��5 �� � ��� � � �� �� ���� � � �������� �� ��4 �� �4������� ��� ����� � 54������%�����4 6 9�4 � "� ���� � /�� ���4:� 7���05 �4
MATEMATIKA 2 407
�4�5 �4�� ��� �45 �� � ������ �����4 ��� ������4 �#����4�� ��4��������� ���� �
������ ���� ���
���� ��������
���� ������� ���� ���
���� � ��� ����� ��
� � ��
���� ������ �� ���� ���
���� ��� �� ��� 1��� "��5 �� �4 �� �4������� ���� ������ 54������ ������4� 74�� ���4�A�4 � � �4 ���5����� ���/��� �4 � �� ��� ���� ���5�� ) �����4
���� � �� ���� � �� ��� � � �� ���� � �� �
������ �4����� �� �������� �������� ������������� ������ �� ������ ���� 9� �����4� ����=5 ��� �4:
� ! ��� � # ��� � �� �
7�� �� � � ��4 � �4�� ��4� �4 ���/��4 ������4�A�� 9"��5 �� ���� �� ������5 �4��: �4�4�� � )��4 � �4�4 ���� 45 �4
� #� � � #� �
�4�� 1��� ���/��� )������ ���4�A�� �4 � �� ������ ������ ����4� #� #�� %� �� ��05� ���/���
MATEMATIKA 2 408
102
� "���5 �4�� ���4�A�� � � � <4A��� �4 "��5 �� � � �4 ����)��� 4���� � ������� �4 �5 � ������������ )������ � � � "� ���4�A�� � � �7�� �4�� ���� ���/��� � "���5 �4�� ���4�A��� � ��4 �� � "���5 �4�� ���4�A�� ��A��� � ��/ � ������� ��� ������ ���� � �4�� � "���5 �4�����4�A�� ���� 05��� ���4�4� 4 ������05�� �� ������
������� ��� =���� ��05� ���/��� � "���5 �4�����4�A��
�� � � � � ��
�� � ��� �� 4��� �� �4 �� � ��� � � �4�� ���4�����/��� ��� ���4�A��� >��� �� ��� "��5 �� "�4�����
" �
��
��
7���05 �4 ��
� "�� � "� � "� � "� � "�
����� �/ �� ��4�� � ��� �4� � "� ���4�A�� ��� �4#���� ���4���
� �
� �
�
�� � �
MATEMATIKA 2 409
��� �4��"� � " � �
��"� � "� �
�
��"� � �
����" � " � ��
84�4 � A4�4�� ��� ��� ��� � "���5 �4�� ���#4�A�� �4�����
" � !� ! � ! ��� ��� �4��
�! � ! � � � (!
!� �(�
��
=�4��� ��
"� � ! �#��
�
�� " � #� �� ��� � #��
�4 ��
��� � �" � #�� �� ��� � #��
��05� ���/��� ���4�� � "���5 �4�� ���4�A���
MATEMATIKA 2 410
9�4� �� �� ���� 4 �4��4��4�� � �4�� � "���5 #�4�� ���4�A�� #��� ���48
� �� �� ��� � �� � ��� ��� ��� ���� ��� � � ��� �
74 "��5 �4 �� �� ���� �4A��� �4 �� ����������������� 4 ����4�� "� 4�� ���45 �4
)� � ��� � )� � ��� � ��� � ) ��� � �� �� � "
����4�5 )� � )� � ��� � ) � ��
:���� �4 "��5 �4 �� �� ���� �� ������ 4�4
� ���� ���� ��� ���� �
���������� � � � ����� � � � ������ ���
����� � � � � ����� �
������������
74 :���� �4 �� ��� ������05�� 74 ��� �����4 �� � � �
� ���� ���� ��� ���� � � � ���� ���� ��� ��� � �� �� � �� ���� ���� ��� ���� �� � � ���� ���� ��� ��� �� �� �� � �
MATEMATIKA 2 411
8���4 �� "��5 �� ��� ��� ���� �� � �4�� ��4� �� 4 ����4�� � 4�� �4�� 4�� ��
� ���� ���� ��� ��� �� ���4 �� � � ��=�05� ���/��� �)������ ���4�A�� � � �4 ��� �
� � � � �
���� �� � ��� �4�� ���4�� ���/��� �� ���4�A��4 � ��05� ���/��� �� �4�� )������ ���4�A���6��/��� )������ �4 ��� �
� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � ���� ���
�� �5��� � �4�� ��4� �� "��5 �� ��� ��� ���� ������� ������������ ���� *���� ���������
>��� �� �4�� ��05� ���/��� )������ ���4�A�����/��� �)������ ���4�A�� ��A��� 405 ������� �4� �45 �� ����4� � 6��/��� �)���������4�A�� �4 ��� �
� ��� � �� ��� �� ��� � ��� � �� ��� �� ��� �
�� �5��� "��5 �� �� ��� �� � �� ���� �� ���� 1������ �
MATEMATIKA 2 412
103
�����4 �4 � ��� �4������4�4 �)������ ���4�A�� ��/ �� ) ���4� ) �����4 9�4 ��� ��� �45 �� �� � �4�� �� ��� � �4� �4�4 "��5 �4 � :�
?��5 �� ��� ��� ��� �4�� �4� ���/��� ����4�4�������������������
����� � ����� ��� � ����� � �
������ � ����
�� � ��� � ����
�� � �
�������
���� � � ����
���� � � ��� � ����
���� � � �
�������� � � ����
���� � � ��� � ����
���� � � ��� �
; ��� � 4�4 ���� ����4�4 ��:���� �4 � ���� ���� ��� �7���05 �4 �� :���� �4 �4�� �5 � �� ��� 9��� ����� ��� ���� �� � �4�� ��4� ��: �� ����)�� ����4�9;�4�����: �4 ��� ����� ���/��� ����� �
��� ���� �
����
@���� �4��05 �� ���/��� ��� �4�� ��4A�� "��5 ���� ��� � ��� � �� ��� �
7�� �� � ���4�A� � � ���=5 ��� �� ��� � �� � ��� � �� �� ���� �� �4�4 �4�� � �4�� � "���5 �4�����4�A�� �#��� ���4 � ����4� � ���=5 ��� �4���� ���/4�4�� 44���� ���5 �4��� ����54�� �����4�A�� �4 � � ��� ��� ��05 ���4� � �
MATEMATIKA 2 413
!�"� #���������� � ���������� ������������74�44 �� "4� � �4 �� ����4 �� �44 ���4�A����� ��� �� �� � �� %�4A �� ���4�A�� "4� � �� �� ����4���� � ���� �4�4� "4� � �� ��� �� � ����� � 9�����4�� �� �� �� ����� � ����� ) "4� � �4 � ���� ����� � � �����:� <� ����� � �� "4� � �� 4� �4������������� 4 �4 � � �� �������������������������� ���4�� "4� � �� �� ����4�������4� ���� 1� �4�4 ���4�A�� "4� � �� ����4� )��4������ �4 ��� �4 �� � ���� �� ���4�48
�� ;4��� �� ����� �� � "���5 �4�� ���4�A��� ��� �� ��� � � ���5��� "4� � ��� =4 �� ��� �4�� � 45 ��� ����4�� � � ����4�4 ���4�A� ������������� ��� �� �� � ��
���� ���� � � � ���
������
������� �� � ��
� 74 ��� � �� 1�� �����4 �� ����4�4 �� ���
��� � �� ��� � ��� ����� � ����� � ���� ����
�
���� �� �� �� ����� ���� �4���� 4 �� �� �����MATEMATIKA 2 414
�4��4�4�� �4 ��� � � � � ����� �� ��
7�� �� �� ����� ��4��� ��4 ��
��� ���� � ���� � ����
��
� ��� ���� � ���� � ��� ���
� �
� @��4� �4 ��� �4� "��5 �� �� ��� ����� �� � � "���5 #�4�� ���4�A�� "4� � �� �� ����48
� ��� �� ���� � � �
�� ��
��� � ���� � ��� ���
� �� �
� ;�� ��� � "���5 �4�� ���4�A�� "4� � �� ����#4� ) ��4������ �4 � ��/ �� �4�� ��� �4�� ��4A��"4� � �� �� ����4 �� ��� �� �� � ��
MATEMATIKA 2 415
������ 4�� ��4A �� ������4�� ��4������ �����4�� "4� � �� �� ����4 ��4 ������� � � �4��8
� ���
���� � ���� � ����
��
�������� � � ��� ��� � � �
����
�4 ��
�
�� ��� �
���
� � ��
� "���5 �4�4 ���4�A�4 ��4A�� "4� � �� ������4� )�� ����4�
;4 ������ �� 5 �� �4�4� �� ������4�� ��4������ ��� � �� �� � �� � ��
MATEMATIKA 2 416
104
������� �$� =���� �� ����� ���� � ���� ��4�� ���4�4���4 � � ��� ��� ��4� � ������
���� ����� �� � "���5 �4�� ���4�A�� ���5���"4� � ��� ;�� � �4��� �� � �4�� �4�4���4� � �
� � ���� �� � �� �� � �
��� �
�
��
% �� ��� ��� � � "���5 �4�� ���4�A�� ���5���"4� � ��� ; "���5 �4�� ���4�A�� ������4�� "4� � ������4 ��� ��� �4�� 4�� ������� �� ��4� �� � �
���
� �
���
�
�� ��� � ��
�� �� � �
��
�� � ��
��
� �� � ��
;4��� ��� � ��� "4� � �� �� ��4�
������� %&� =���� "4� � �� ��4������ �4 ���� � �����4�4� "4� � �� ���A 54 �� � �� � �� ��� ����� ����� 9'#() 6*+ ,)'---:
MATEMATIKA 2 417
=�����4�� ��4������ �� � � ��� �� ���
� � 8
@����4�� ��4������ �� 9� � ��: � � �� � � � �� 8
MATEMATIKA 2 418
!�.� /��������� �������� ������������ ������ ������� ����
/��������� �������� � "���5 �4�� ���4�A��
� ��� �� ��� � �
�� �� ���/��� ���� � � ����� ���5� � �4������4�4����� ��� ������� ���/��4� 6 ��/ �� ��� ���4�A���� �� �
�� � � ��� �� �
>���� ��� ������� ���/��4 �4 ��� ���5�� ��� �� � � #54������ ������� � � 05� 4��/� ���� �� �4�5 �4�4
��� �45 �4��
��� ������ � ��� ���5� � ����4 ������� �
��� 5 ��� "��5 � �4 �� ��� �45 �� �� ���
��
������
��� �
��
����
���
�
=4 �05� ������4� ���� �� �� ���� � ���� �4�����4�����4�54 � 4� � � ���4� �� �
MATEMATIKA 2 419
;4��� � ���4�� ���/��� ��A��� ��� � �4�� ������ ����� ����� 8
0� � ��� �� ��� � �
����
������ �� ��� � � �
��
����� �� ��� �
���������� �� �� � ����� ��� � �� ������� ��� �� � �� ���� �������������� ��������� �������A� ��� ���� ����� ��������� � ��� �� � � ������ ������ ��� � �� � ������ � �� ��� � � � �� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� � A� ���� ������ ������ ������������� �����A���� �� ���� � ��� ����� �������� �������� �������A� ��� ���
������� %0� �� �����A�
����� � �� � � � � ��������
��
���� �� � �
� ����� � � �� �� � ����� �� 9���� �����: ������������ ������������� �����A������� ����� ������ �A�� ����� � ��� �� ����A��� ����� ������� �� �����A�� ��� ���#���MATEMATIKA 2 420
105
�� � �
�� ���
�� ���� ����������� ������������� �����A��� �#� ��� ����A��� ������ 9�����������: ������������!
��
�
�� �� � ��� � �� ��
������ � � � � ��
� � ��� �� � �� �
"���� ���� ������ ����� ������� ��� ���� � ���� #����� ������ � � � � � � �� ���� �� ��������� ��� � ��� ���� �� ����� �������
���� ���� ������ ������������� �����A�� � �������� *�������� ������� ���� �� � ��� �� �� � � ������ ������ ������ ������������� �����A����������� ����� ���� ������� ���������� ���� ��� ��� �� �� � � � ���� �� �� ���� �� ��������� ��� � ���� �� �� ������� � ��� �� �� � ��
������� �� � ����� ���� �� ����� ���� ���#�������
MATEMATIKA 2 421
����� 9�� ���� ���� ������: �A�� ����� ����������� ��������� � �� � �����
� ��� �� �� � ���� ��� �� ��
��� ��
#� ������ �� � ����� ������ ���������������������� �� �������� ������ 9 ���� ����:��� ���� �� �� ���� ��� "������������� ���� �� ����� �A� ����A����� � ���� �� �� ���� �� �������� �� �� ������ ������� ���������� ���� �� ���������� ��� ���� �� ���� ��������� �� ����9���������� ����� ���� ������ ������:�
MATEMATIKA 2 422
������� %�� ������� ���� ������� �� A����
�� � �� � ��� ���
�
���������� ������� � �� � ����� �� � �� � ��� � ��
� �
� �� � �� � ��
�� �� �� �����A�� ������ � � �� � �����#����� ��� �����A� �� � ��� "���� ����������� ������� �� A���� ����� �� � ������� � � �� � � ���$������ ��� ������������ �����A� ���� ������� ������ ������� �� A����� ���������� ����������� � �� � �����
�� � �� � ��� ���
� � � �� � �� �� � ��
������!
�� ���
������
�� � �����
������
� ���� ��� %������ ������ ������ ������������ �����A�
MATEMATIKA 2 423
��� � ��� ����� � ���� � �� � ��
������ ��� %��� �A�� ����� ���� ���� �������&���� �� �� � � ����� �����A�� �� � �� '
��� ���� ������ ������ ������������� �����A���� � � ��� �� �A� ����� � �������� ���������� ��1���� � �� ���� ����� ����� ��� ����� ���� �� ������� ������ ������� #�� �� ����� ������ ���� ��������#��� ���� �� ������ ���� �����A�� ��� ������� �������� �� ������ ��� ���� ���������� ���� �� ����#��� ��������� ��1���
������� %%� �������� ������������� �����A�� ��� ������� ���� ���� ���� ������� � ��� ��!
�� �� ��
��
� �� ��
��
� �� � ����
MATEMATIKA 2 424
106
0� ����� ������ �� ������������� �����A�� �� � ���
� � � ������� ������� ��� ��������� "���� ����������� ������ ��������� ����������� ���� �� 9���:�� ������������� �����A�� �� � �� ������������ ����� ������ ��� ����� ����� ������� � ��� ������
�� ����� ������ �� ������������� �����A�� �� � ����
� � � ������� ������� �� ������ ������� ��� �������� ������ �������� ���� ����� ����� �� ���� ������ ��� ������� �� �������� ��� ����� ������������ � ��� ������
%� ����� ������ �� ������������� �����A�� ��� � �� � ��
� � � ������� ������������� �� A���� �� ������ ������� � "���� ��� �������� �� ������ ���� �������� �� �� �� ������� �� � �� �������� ���� ���������� � ��� ����� ����� ������� � ��� ������
MATEMATIKA 2 425
!��� /����� �� ����� ���1��� ������������� ������ ��
����� � � ����
� ��� �� �� ��� ��� � ��
���� �� �� ��� ��� � �
� ��� ������� �������������� �����A�� ����� ����� ����� ��������� � ������� �� ���� ������� ���������� � ������ ���� � ����� ����������� ��#���A�� �� �� ���� �� ������ �� ���� �����A�� � ����� ����������� #� ���� ������ ��� ����� �� ����� ���� ���� � ���� ���������#���� �����A�� ����� ��� �� ��� �����
������� %!� ������� � ����
�� � � � ��
�� � �� � ��
"���������� ���� �����A�� � �������� �� �� � ������ ������������ �����A� �� ��� ����
��� � � � �� � �(���� ������ �
� � ���� � ���
�� � �� ��
MATEMATIKA 2 426
�� ���� �����A�� ������ ���A��� � � ����
�� � � � � ����� � ����� � �� �
��� � � �
� � ���� � ����� � �� �
���A�� �� ������ ��� ����� ������ ���������� �� ������ ������� ���
� � �� � � �� � � ��
������ �������� � ����
� � �� � �� � ��
� � �� � �� � ��
������ ���� � �� � � �� � � �� � ���A������� ������
� � �� � � �� � ��� � � �� � � � �� � ����
MATEMATIKA 2 427
!�$� 2����� 1�� *������ �� ���������� ������������������� ��
������� %3� ����� ����� � ������� ���������� ������ ������������� �����A�� � �������� ��#��
�� � � � �� �� � �� �� � ��
�� ������� �� ���
���� ������ � ���� � �� � �� ��
�� ���!
� )�������� �� �� �� ��� ������ ����� ������� � ��*
� ������ ��� ���
�� ��� � ���� �� � � � � � ��
� ������ �� �
� � �� � �� ��� ��� ��� � � � � � ���� ��
� � � � � �
�������� ���� �� � � �� � �� � ����� ����� ��� ����� ���������� ����� ������ �A�� ����������� ����������
MATEMATIKA 2 428
107
���� � � � ��
�� ���� ����� ������ ���� � ������ ��������#��� ����� �������� ����� ����� �� �� �� ���� ��� � �� ��� �
10.50
3
1
x
y
10.750.50.250
3
1
x
y
��� � ��
� ������ �� � ����� �� � � ���� ���� �� � ��� �� ���� �� � ��� & � ����� �� � ���������� ����������� ���
����� � �� � � � ��
� �������� ����� ������� ����� ����������� ��
�� � ����� � ���
"������������ �����A�� �� � � � � �� ������������� ��� ���
�� ���� � ����� ��� � �� � �� � �
MATEMATIKA 2 429
�� ���������� ���A��� ������ 9�� � � ��� ��� ���� ������� � ����
���� � �� � ��������� ��� � � � ���
�� ���� ����� ������ �� ������� ��� ������������� ����� ������ � � � � �� �������� ����� ������ ����
� "������ ��������� ���� � ����������� ���������� ������ �� ������� �� �� � & ������ � ������������� ���� �� ���� � ���
� ����� �� ������� �� �� �� ������� ������ ������� ���� �� �� ���� � ��� ���� �������� ��� �� ��� ���������� ���� ����� �������
$���������� �� ��� ��� ����� �� �����4������� ������! �� ������������ �����A� ��������� ����
�� � ���� ��� � � ��� � � ���
����������� ����� ������ �� ������� ��� !� ������ � ��������� ���� ��� %���� �� �������9��� ��� � ������ �� ����� +�:!
MATEMATIKA 2 430
�� ���� � �� � �� � �� � ����� ����� � �� � �� � �� � ����� ���� � � � � ��� � ���� � �� � ���� � ������� �����
0
hG(x0,y0)h
h
hG(x1,y1)
y0
y1
y2
x0 x1 x2
y
x
T0
T1
T2
��� � �,��� � �� ��� ��������� ���� ��� ���������������� ������ ���� � ���� ����� &���� ������ �� �� �� ���� ������� � ����� ��� � ������������ �����
MATEMATIKA 2 431
108