matematika 2. módszertani ajánlások, első...

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné

MATEMATIKA 2.

MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK

ELSŐ FÉLÉV

Módszertani ajánlások

Számok és m¶veletek 0-tól 20-ig

Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejleszté-

se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelé-

se, kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív

következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,

feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,

összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 1{6. 1{7. 1{7.

Csak akkor kezdhetjük el az új anyag tanítását, ha alaposan átismételtük és begyako-

roltattuk a szám- és m¶veletfogalomról tanultakat. Törekedjünk arra, hogy legalább a

20-as számkörben minden gyermek

tudja megszámlálni, illetve leszámlálni egy adott halmaz elemeit;

ismerje és tudja alkalmazni a sorszám fogalmát;

tudja a számokat nagyság szerint összehasonlítani, növekv®, illetve csökken® sorrend-

be rendezni, a <, >, = jeleket alkalmazni;

ismerje fel a páros és a páratlan, illetve az egy- és a kétjegy¶ számokat;

találja meg a számokat az egyesével beosztott számegyenesen;

legyen képes meghatározni a számok szomszédait, páros, illetve páratlan szomszédait;

legyen képes tevékenység, kép, szöveg stb. alapján értelmezni az összeadást és a ki-

vonást, ismerje és tudja alkalmazni az összeadás és a kivonás különböz® értelmezéseit,

az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét, a két m¶velet kapcsolatát;

legyen képes két adott számról eldönteni, hogy melyik mennyivel nagyobb, illetve kisebb

a másiknál;

biztosan végezze el az összeadást és a kivonást;

tudjon egyszer¶ szöveges feladatot értelmezni és megoldani.

A szöveges feladatok önálló megoldása nemcsak a szövegértelmez® képesség fejlesz-

tésének egyik legfontosabb módszere, hanem a m¶veletfogalom alakításának, elmélyí-

tésének is. Ezért 2. osztályban (és az alsó tagozatos matematikatanulás során végig)

szinte minden órán találkozzanak a gyermekek szöveges feladatokkal.

Kezdetben egy jól olvasó gyermek hangosan olvassa fel a szöveget, közösen beszéljük

meg, hogy mi adott, és mit kell kiszámítanunk. Tanítsuk meg ®ket a szükséges adatok

kigy¶jtésére, a számolási terv felírásának és a szöveges válasz megfogalmazásának

módjára stb.

Kés®bb, a gyermekek olvasási képességének fejl®dését �gyelembe véve, fokozatosan

hagyjuk el a szöveg hangos felolvastatását, közös elemzését, szoktassuk rá a gyerme-

keket a feladatok néma olvasás alapján történ® önálló értelmezésére, megoldására.

Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program

M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008

1

Tk. 4/1. feladat: A képekkel kapcsolatosan beszélgethetünk a nyári élményekr®l.

Kísérjük �gyelemmel az egyes gyermekek meg�gyel®képességének, szám- és m¶velet-

fogalmának, beszédkészségének, illetve aktivitásának alakulását.

Megoldás: 10 7 8 5

Tk. 4/2. feladat: A gyermekek fogalmazzanak meg minél több állítást. A mennyiségi

viszonyokat próbálják meg leírni reláció vagy m¶velet segítségével, illetve mondjanak

történetet leírt relációval, m¶velettel kapcsolatosan.

Megoldás: 6 > 4 3 < 7 5 = 5

Tk. 4/3. feladat: A kép alapján készítsenek gra�kont a tanulók a képen látható él®lények-

r®l, tárgyakról. Elemezzék a gra�konokat: Melyik elemb®l van a legtöbb, a legkevesebb,

ugyanannyi, valamennyinél több, kevesebb stb.

Megoldás: Lány Fiú Fa Virág Csiga Bot Labda Hátizsák

4 6 4 1 0 1 2 3

Tk. 5/4. feladat: Elevenítsük fel a kivonás értelmezését. Minden esetben mondassuk is

el a gyermekkel, hogy mit lát a képen, és ezt hogyan írhatjuk le a matematika nyelvén.

Megoldás: Bal Jobb Összesen:

10 10 10 + 10 = 20

4 5 4 + 5 = 9

6 5 6 + 5 = 11

Tk. 5/5. feladat: Elevenítsük fel a kivonás értelmezését. Minden esetben mondassuk is

el a gyermekkel, hogy mit lát a képen, és ezt hogyan írhatjuk le a matematika nyelvén.

Megoldás: Bal Jobb Összesen:

9 2 9 { 2 = 7

11 3 11 { 3 = 8

20 0 20 { 0 = 20

Tk. 6/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg az analógiát a 0 és 10, illetve

10 és 20 közötti számokkal végzett összeadások között. A továbblépéshez szükséges,

hogy minden gyermek eszközhasználat nélkül, lényegében hibátlanul, begyakorlottan

végezze el az összeadást a 20-as számkörben.

Tk. 6/6. feladat: Összeadás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra

támaszkodva. A számegyenesen történ® lépegetéssel szemléletessé tehetjük a m¶ve-

letvégzést.

Megoldás: 2 + 5 = 7 12 + 5 = 17

Tk. 6/7. feladat: Összeadás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra

támaszkodva. A játékpénzzel történ® kirakás, a pénz leolvasása könnyebbé teheti a

számolást.

2 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program


Megállapodunk abban, hogy matematikaórán továbbra is használunk 1 és 2 forintost,

hiszen ez a legszemléletesebb a gyermek számára.

Megoldás: 2 + 4 = 6 12 + 4 = 16 2 + 14 = 16

Tk. 6/8. feladat: Az analógiát �gyeltethetjük meg a 0 és 10, illetve 10 és 20 között

végzett m¶veletek között ennek a szöveges feladatnak a megoldása során. Figyeljük

meg, milyen fejlett a tanulók szövegértése, szövegértelmezése, meg�gyelése, problé-

mamegoldása, �gyelme.

Megoldás: 4 + 5 = 9 14 + 5 = 19

Tk. 7/2. kidolgozott mintapélda: Kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül,

analógiákra támaszkodva. A továbblépéshez szükséges, hogy minden gyermek eszköz-

használat nélkül, lényegében hibátlanul, begyakorlottan végezze el a kivonást a 20-as

számkörben. Figyeltessük meg az analógiát a 0 és 10, illetve 10 és 20 közötti számokkal

végzett kivonások között.

Tk. 7/9. feladat: Kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra tá-

maszkodva. A számegyenesen történ® lépegetéssel szemléletessé tehetjük a m¶velet-

végzést.

Megoldás: 9 { 4 = 5 19 { 4 = 15

Tk. 7/10. feladat: Kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépése nélkül, analógiákra

támaszkodva. A játékpénzzel történ® kirakás, a pénz leolvasása könnyebbé teheti a

számolást.

Megoldás: 5 { 2 = 3 15 { 2 = 13 15 { 12 = 3

Tk. 7/11. feladat: Az analógiát �gyeltethetjük meg a 0 és 10, illetve 10 és 20 között

végzett m¶veletek között ennek a szöveges feladatnak a megoldása során. Figyeljük

meg, milyen fejlett a tanulók szövegértése, szövegértelmezése, meg�gyelése, problé-

mamegoldása, �gyelme.

Megoldás: 7 { 4 = 3 17 { 4 = 13

Tk. 8/3. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg, mennyire tudják helyesen értelmezni

a szöveget, illetve a rajzot, m¶veletet a tanulók. Ha nem okoz gondot a tíz átlépése, ne

er®ltessük a klasszikus �tízesátlépés" modell alkalmazását. Ha a tanuló nem képes önál-

lóan kiszámolni az eredményt, akkor segíthet ennek a számolási tervnek a megtanulása

és begyakorlása.

Tk. 8/12. feladat: A szemléletre támaszkodva újra és újra felismertethetjük, tudatosíthat-

juk az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét; az összeadás és a kivonás kapcsolatát.

Hasonló feladatokkal elevenítsük fel, ha szükséges, gyakoroltassuk a �tízesátlépés"

modellr®l tanultakat.



3

Megoldás: a) 6 + 5 = 1 1

6z }| {

+ 4 + 1

5 + 6 = 1 1

5z }| {

+ 5 + 1

11 { 5 = 6

11z }| {

{ 1 { 4

11 { 6 = 5

11z }| {

{ 1 { 5

b) 8 + 7 = 1 5

8z }| {

+ 2 + 5

7 + 8 = 1 5

7z }| {

+ 3 + 5

15 { 7 = 8

15z }| {

{ 5 { 2

15 { 8 = 7

15z }| {

{ 5 { 3

Tk. 9/13. feladat: A �tízesátlépés" modellt számegyenesen történ® lépegetéssel tehetjük

szemléletessé. Ha szükséges, játsszák is el a tanulók a lépéseket.

Megoldás: 6 + 7 = 1 3

6z }| {

+ 4 + 3

7 + 6 = 1 3

7z }| {

+ 3 + 3

13 { 6 = 7

13z }| {

{ 3 { 3

13 { 7 = 6

13z }| {

{ 3 { 4

Tk. 9/14. feladat: Összeadás, kivonás a 20-as számkörben a 10 átlépésével. Egy-

egy feladat megoldásakor kérdezzük meg a gyermekeket, hogy ki hogyan számolt, ki

számolt másképpen.

Megoldás: 4 + 6 = 10 4 + 8 = 12 4 + 9 = 13

13 { 3 = 10 13 { 5 = 8 13 { 8 = 8

Tk. 9/15. feladat: A számolást, a képi gondolkodást fejleszthetjük ezzel a feladattal.

Egy úszó kacsa képét kapjuk:

Megoldás:6 + 5

18 4�6 2�

3 + 1

5 + 5

9+

9

8 + 8

8 + 3

106

�

7 + 7

20 4�

13 4�12 5�

18 7�9 + 2

6 + 6

102

3

� �

16

5�3

+3

5 + 2

4 + 4 + 1

5+

1

2 + 7

9 5�

16 3�7 + 5 20 4 1� �



Tk. 10/5. kidolgozott mintapélda: A szemléletre támaszkodva újra és újra felismer-

tethetjük, tudatosíthatjuk az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét; az összeadás és a

kivonás kapcsolatát.

Tk. 10/16. feladat: A 10 bontásának felelevenítése. Ismét tudatosítsuk az összeadásban

a tagok felcserélhet®ségét, az összeadás és kivonás közti kapcsolatot.

Megoldás: 2 + 8 = 10 4 + 6 = 10 8 + 2 = 10 6 + 4 = 10

10 { 2 = 8 10 { 6 = 4 10 { 8 = 2 10 { 4 = 6

Tk. 10/17. feladat: A feladattartást, meg�gyel®képességet, képi gondolkodást fejleszt®

feladatsor.

Megoldás:

K

S S

K

S S

S

Z

Z

P P

Z

Z Z

P

S

K

S S

K

S S

S

S

1. 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 0 = 20

2. 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 1 + 0 + 0 = 20

3. 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 21

Gy. 5/1. feladat: Elevenítsük fel az összeadás értelmezését.

Az ábrákról két összeadás leírását várjuk el

Megoldás: 3 + 4 = 7 3 + 6 = 9 4 + 4 = 8 7 + 3 = 10

4 + 3 = 7 6 + 3 = 9 4 + 4 = 8 3 + 7 = 10

Gy. 5/2. feladat: Elevenítsük fel a kivonás értelmezését.

Az ábrákról két kivonás leírását várjuk el.

Megoldás: 5 { 3 = 2 8 { 4 = 4 8 { 2 = 6 5 { 3 = 2

5 { 2 = 3 8 { 4 = 4 8 { 6 = 2 5 { 2 = 3

Gy. 5/3. feladat: Az ábrákról két összeadás és két kivonás leírását várjuk el. Például

a harmadik képen 1 kerékpár szemben áll a többivel. Természetesen a gyermek más

szempont szerint is csoportosíthatja a kerékpárokat. A szemléletre támaszkodva újra

és újra felismertethetjük, tudatosíthatjuk az összeadás tagjainak felcserélhet®ségét; az

összeadás és a kivonás kapcsolatát. Minden esetben mondassuk is el a gyermekkel,

hogy mit lát a képen, és ezt hogyan írhatjuk le a matematika nyelvén.

Megoldás: 4 + 2 = 6 2 + 3 = 5 4 + 1 = 5 4 + 6 = 10

2 + 4 = 6 3 + 2 = 5 1 + 4 = 5 6 + 4 = 10

6 { 2 = 4 5 { 2 = 3 5 { 1 = 4 10 { 4 = 6

6 { 4 = 2 5 { 3 = 2 5 { 4 = 1 10 { 6 = 4



5

Gy. 5/4. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése az összeadás

gyakorlásával.

Megoldás: a) 4 8 2 8 b) 5 8 9 7

2 8 6 8 1 6 9 9

7 8 9 7 5 9 9 9

Gy. 6/5. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése a kivonás

gyakorlásával.

Megoldás: a) 3 1 0 2 b) 2 6 3 3

1 1 6 1 2 4 1 1

3 3 4 3 4 2 0 0

Gy. 6/6. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, illetve kisebbítend®,

kivonandó pótlásával.

Megoldás: a) 5 3 5 3 b) 2 4 6 8

4 2 6 3 2 7 1 8

3 4 2 3 3 1 1 9

Gy. 6/7. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, összeg, illetve a hiányzó

kisebbítend®, kivonandó, különbség pótlásával.

Megoldás: a) 6 2 5 4 b) 1 8 8 3

7 9 1 0 4 3 6 6

3 5 4 7 0 4 0 1

Gy. 6/8. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése a 10 bontásának

felelevenítése céljából.

Vetessük észre, hogy ebben a feladatban nem tudjuk pontosan, hogy hány kék és hány

piros kis autójuk van a gyerekeknek. De ha például a kék autók számát megadjuk, akkor

a pirosak számát is meghatározhatjuk.

Tudatosítsuk, hogy a P és a K bet¶k a piros, illetve a kék autók számát jelentik.

Megoldás: P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

K 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A kitöltött táblázat segítségével válaszolhatunk a táblázat alatt olvasható

kérdésre:

6 piros és 4 kék autójuk van.

Gy. 7/9. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó összeg, illetve a hiányzó különb-

ség, kisebbítend® pótlásával.

Megoldás: a) 18 10 11 b) 15 10 18

10 10 17 16 10 10

13 10 13 20 14 20

Gy. 7/10. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése az összeadás

gyakorlásával.



Megoldás: a) 8 18 18 b) 6 16 16

5 15 15 8 18 18

9 19 19 9 19 19

Gy. 7/11. feladat: Számolási rutin, feladatmegoldási sebesség fejlesztése a kivonás

gyakorlásával.

Megoldás: a) 6 16 6 b) 6 16 6

2 12 2 2 12 2

2 12 2 3 13 3

Gy. 7/12. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok pótlásával.

Megoldás: a) 10 5 1 b) 11 4 4

12 4 4 12 6 10

15 7 1 13 7 12

Gy. 8/13. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, illetve hiányzó kisebbí-

tend®, kivonandó pótlásával. A d és e feladatokat di�erenciált munkára a jobb képesség¶

tanulók számára készítettük.

Megoldás: a) 6 15 1 d) 14 1 2

6 16 2 10 3 2

14 1 5

b) 4 17 4 e) 17 10 18

1 17 1 19 13 19

c) 2 18 19

3 20 15

Gy. 8/14. feladat: A szöveg megértését a rajzok helyes kiegészítése igazolja. Ez

helyettesíti az adatok lejegyzését.

Megoldás:

a) A rajzot 4 körtével, 3 szilvával, 2 almával kell kiegészíteni.

A matematikai modell és a megoldás: 10 + 3 + 4 = 17

Szöveges válasz: 17 gyümölcs van összesen.

b) 4 tulipánt kell sárgára színezni, a többit pirosra.

A matematikai modell és a megoldás lehet:

4 + 1 2 = 16, 1 2 + 4 = 16, 16 { 4 = 1 2 , 16 { 1 2 = 4

Szöveges válasz: 12 piros tulipánt ültetett Jutka.

c) Áginak 7 bélyeget kell rajzolni.

A matematikai modell és a megoldás lehet:

10 3> 7 , 10 { 3 = 7 , 7 <3 10, 7 + 3 = 10

Szöveges válasz: 7 bélyege van Áginak.

Gy. 9/15. feladat: Valamennyivel több, valamennyivel kevesebb fogalmának felelevení-

tése, alkalmazása.



7

Tudatosítsuk, hogy például a 3 <10 13 összefüggést kétféleképpen olvashatjuk:

Megoldás: 3 <10 13 12 <3 15 15<13 2

3 + 10 = 13 12 + 3 = 15 15 { 13 = 2

13 10> 3 15 3> 12 2 <13 15

13 { 10 = 3 15 { 3 = 12 2 + 13 = 15

Gy. 9/16. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat.

Megoldás: 19 { 9 <2 12 1 4 { 3 <2 13 18 { 5 <2 18 { 3

18 { 0 3> 15 1 4 + 5 3> 16 12 + 4 4> 12 + 0

Gy. 9/17. feladat: Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 20-as számkörben helyiérték

átlépésével.

Megoldás:

a) b)

3

+ 71 0

+ 21 2

+ 9

16

{ 61 0

{ 28

{ 8

c) d)

5

+ 5

1 0+ 3

1 3

+ 8

17

{ 71 0

{ 19

{ 8

Gy. 9/18. feladat: Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 20-as számkörben helyiérték

átlépésével.

Megoldás:

a)

5+ 7

1 2

1 0

+ 5 + 2

4+ 9

1 3

1 0

+ 6 + 3

9+ 8

1 7

1 0

+ 1 + 7

b)

1 4{ 6

8

1 0

{ 4 { 2

1 6{ 9

7

1 0

{ 6 { 3

1 2{ 7

5

1 0

{ 2 { 5

Gy. 10/19. feladat: Számolási rutin fejlesztése az összeadás gyakorlásával helyiérték

átlépésével.



Megoldás: a) 10 12 13 13 b) 12 12 16 11

11 12 11 14 15 11 15 13

11 11 10 11 14 10 14 12

10 10 12 10 13 13 10 14

c) 15 12 14 16

17 11 13 18

16 10 15 17

10 16 17 18

Gy. 10/20. feladat: Számolási rutin fejlesztése a kivonás gyakorlásával helyiérték átlé-

pésével.

Megoldás: a) 9 4 8 3 b) 6 5 7 9

6 5 3 4 8 8 6 8

7 2 9 5 7 4 9 6

c) 5 8 7 8

7 6 8 9

7 9 9 9

Gy. 10/21. feladat: Számolási rutin fejlesztése a kivonás gyakorlásával helyiérték átlé-

pésével.

Megoldás:

a 4 5 2 1 3 4 2 1 8 8 1 2 0 0

b 3 5 1 6 5 2 2 3 1 1 9 2 10 5

c 3 0 7 3 2 4 6 6 1 1 0 6 0 5

a + b + c = 10 a + c + b = 10 b + a + c = 10 b + c + a = 10

c + a + b = 10 10 { a { b = c 10 { a { c = b 10 { b { c = a

c + b + a = 10 10 { b { a = c 10 { c { a = b 10 { c { b = a

Az utolsó oszlopban más megoldás is lehetséges:

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 2 3 4 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 4 3 3 1 0

Gy. 11/22. feladat: Számolási rutin fejlesztése az összeadás, kivonás gyakorlásával

helyiérték átlépésével.

Megoldás: a) 20 15 12 20 b) 12 5 4 10

18 11 11 15 3 6 5 5

18 11 11 20 9 6 9 15

c) 13 7 14 3

13 6 14 7

13 8 12 8



9

Gy. 11/23. feladat: Számolási rutin fejlesztése a hiányzó tagok, illetve a hiányzó

kisebbítend®, kivonandó pótlásával.

Megoldás: a) 9 9 6 5 b) 8 13 9 6

3 3 6 9 3 14 6 8

4 8 8 8 5 12 8 9

c) 6 + 8 { 5 = 9 9 + 5 { 6 = 8 12 { 4 { 3 = 5

3 + 9 { 4 = 8 7 + 8 { 6 = 9 13 { 5 { 7 = 1

13 { 5 + 8 = 1 6 12 { 6 + 7 = 13 6 + 5 + 3 = 14

Gy. 11/24. feladat: Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 20-as számkörben helyi-

érték átlépésével.

Megoldás:

a)

9

+ 7

{ 7

1 6

{ 3

+ 3

1 3

+ 7

{ 7

2 0

{ 5

+ 5

1 5

b)

1 8

{ 6

+ 6

1 2

+ 5

{ 5

1 7

{ 8

+ 8

9

+ 3

{ 3

1 2

Gy. 11/25. feladat: Figyeltessük meg a tagok és az összeg, valamint a kivonandó és a

különbség változásait.

Megoldás: 3 + 5<10 3 + 15 7 { 5<10 17 { 5 6 + 6<10 6 + 13

Gy. 12/26. feladat: Következetesen szoktassuk rá a gyermekeket az adatok lejegy-

zésére, a számolási terv megadására, a számolás gondos elvégzésére és a válasz

leírására.

Ismertessük fel, hogy többféleképpen írhatjuk le az összefüggést a matematika nyelvén.

Megoldás: a) Adatok: 4 almát kell még rajzolni, majd 8 almát pirosra,

6-ot sárgára kell színezni.

Terv: p + s = a

Számolás: 8 + 6 = a a = 14

Válasz: 14 alma van összesen.

a) Adatok: 1 almát kell még rajzolni, 6-ot sárgára,

a többit pirosra kell színezni.

Terv: p = 11 { 6, 6 + p = 11, 11 { p = 6, p + 6 = 11

Számolás: p = 5

Válasz: 5 piros alma van.



Gy. 12/27. feladat: Következetesen szoktassuk rá a gyermekeket az adatok lejegy-

zésére, a számolási terv megadására, a számolás gondos elvégzésére és a válasz

leírására.

Ismertessük fel, hogy többféleképpen írhatjuk le az összefüggést a matematika nyelvén.

Megoldás: a) Adatok: P = 9 Ft, P < 3 R; R = ?

Terv: P + 3 = R

Számolás: R =9 + 3 R = 12 Ft

Válasz: 12 Ft-ja van Ritának.

b) Adatok: B = 12, B 5> T; T = ?

Terv: T = B { 5, T + 5 = B, T = 12 { 5, T + 5 = 12

Számolás: T = 7

Válasz: Tamás 7 éves.

Gy. 12/28. feladat: Di�erenciált foglalkozásra szánt feladat a metakogníció fejlesztésére.

Megoldás:

3 + 12 + 2 = 1 7 16 { 12 + 5 = 9

+ + + + { + + {

10 + 5 { 13 = 2 11 + 5 { 10 = 6

+ { { { + { { +

1 + 3 + 11 = 1 5 3 + 13 { 4 = 1 2

= = = = = = = =

1 4 { 1 4 + 4 = 4 8 { 4 + 1 1 = 1 5

Óra: 7. 8. 8.

Felmér® feladatsorok: Év eleji tájékozódó felmérés.

Kerek tízesek 100-ig


gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, mennyiségi következtetés, re-

lációszókincs fejlesztése, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás,

rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduk-

tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,

�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,

kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 8{9. 9{10. 9{10.

1. osztály év végén megismerkedtek a gyermekek a 100-nál nem nagyobb kerek tíze-

sekkel. Ha nem, akkor most ismerkednek meg velük. Felelevenítjük, elmélyítjük és



11

kib®vítjük ezeket az ismereteket. A fogalom kialakítása során gondot okozhat annak a

megértése, hogy a 0 és a 100 is kerek tízes.

A gyermekeknek meg kell tanulniuk számolni a kerek tízesekkel.

Számlálás kerek tízesekkel növekv®, illetve csökken® sorrendben.

Tk. 11/Figyeld meg!: A meg�gyelést konkrét játékpénzzel történ® kirakás, számlálás

el®zze meg. Figyeltessük meg az analógiát az egyjegy¶ számok és a kerek tízesek

között.

A kerek tízesek nevének és írásának megtanítása mellett a gyermekek ismerjék fel, hogy

például a 30 3 darab tízes, 30 = 3-szor 10.

Íly módon a kerek tízesek fogalmának elmélyítése el®készíti a tízes szorzótábla megta-

nulását.

Tk. 12/1. feladat: Figyeltessük meg, hogy ugyanazt a számot többféle formában is

leírhatjuk, például számjeggyel, bet¶vel, kirakva különféle dolgokkal. Ezzel er®síthetjük,

szilárdíthatjuk meg a számfogalmat. A gyengébb képesség¶ tanulókkal nagyon sokszor

ki kell rakatnunk a számot, csak így lehet biztos számfogalmuk.

Megoldás: Pénztárcában 2 db tízforintos 20 Ft

3 csomag cukorka 30 darab

4 lánc 40 gyöngy

8 db tízforintos 80 Ft

10 db ötforintos 50 Ft

Golyós számoló 100 gömb

Tk. 12/2. feladat: Az egyesek és a kerek tízesek közötti analógiát alkalmazhatjuk

a kerek tízesek számegyenesen történ® ábrázolása során,

a kerek tízesek nagyság szerinti összehasonlításakor (melyik mennyivel nagyobb, illetve

kisebb).

Megoldás: 4 2 5 7

40 20 50 70

Tk. 13/3. feladat: Beszéljük meg, merre lép a nyuszi, ha balra, s merre, ha jobb-

ra lép. Több hasonló feladattal �járjuk" be a 100-as számkört, hogy minél biztosabb

számfogalmuk alakuljon ki a tanulóknak.

Megoldás: A 20-as számon van a káposzta,

a 80-as számon van a répa.

Tk. 13/4. feladat: Az el®z® feladat tapasztalatait felhasználva ismét �gyeltessük meg

a kerek tízesek helyét a számegyenesen, hasonlíttassuk össze melyik kerek tízes a

nagyobb, kisebb. Ismét tudatosíttassuk, hogy a 0 is és a 100 is lehet kerek tízes.

Megoldás: A sün a nyúlhoz jut.

A cica szintén a nyúlhoz jut.

A béka a mókushoz jut.



A mókus a békához jut.

Tk. 13/5. feladat: Az el®z® feladatban szerepl® számegyenes segíthet a tanulóknak a

feladat megoldásában. A problémaérzékenységet, képi gondolkodást, relációszókincset,

meg�gyelést, feladattartást fejleszt® feladatsor.

Megoldás: Egy lepke képe alakul ki.

s z z z z z z z s

s s z z b z z s s

s s s z b z s s s

z s s s b s s s z

z k k k b k k k z

k k k k b k k k k

k p k z b z k p k

k k z z b z z k k

z z z z z z z z z

Gy. 13/1. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak, a 10 többszöröseinek a

fogalmát és a 10-es szorzótábla megtanulását el®készít® feladat.

Megoldás: 10 = 1 � 10 = 10 1 darab 10 = 10

1-szer 10 = 10

10 + 10 = 2 � 10 2 darab 10 = 20

2-szer 10 = 20

10 + 10 + 10 = 3 � 10 3 darab 10 = 30

3-szor 10 = 30

10 + 10 + 10 + 10 = 4 � 10 4 darab 10 = 40

4-szer 10 = 40

10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 5 � 10 5 darab 10 = 50

5-ször 10 = 50

Gy. 13/2. feladat: A szorzás fogalmát és a 10-es szorzótábla megtanulását el®készít®

feladat.

Megoldás: 60 = 6 � 10 6 db tízforintost kell kiszínezni.

80 = 8 � 10 8 db tízforintost kell kiszínezni.







13

Gy. 13/3. feladat: Gyakoroltathatjuk a pénzhasználatot. Figyeljük meg, mennyire

képesek a tanulók az adott értékeket többféleképpen ki�zetni az adott címlet¶ pénzek-

kel. Játszassuk el a feladatot, hogy a gyengébb képesség¶ tanulóknak is biztosabb

számfogalma alakuljon ki.

Megoldás: 40 10 10 10 10 10 10 20

20 20

60 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20

10 10 20 20 20 20 20

10 50

70 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20

10 10 10 10 10 20 10 10 50

10 20 20 20 20 50

100 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

10 10 10 10 10 10 10 10 20

10 10 10 10 10 10 20 20

10 10 10 10 10 50

10 10 10 10 20 20 20

10 10 10 20 50

10 10 20 20 20 20

10 20 20 50

20 20 20 20 20

50 50

M¶veletek kerek tízesekkel






�gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 10{12. 11{13. 11{14.



Tk. 14/1. kidolgozott mintapélda: A mintapélda alapján több hasonló feladattal �-

gyeltessük meg, gyakoroltassuk az összeadást kerek tízesekkel. Az egyjegy¶ számok

összeadásakor használt algoritmusokat analóg módon alkalmazzuk a kerek tízesekkel

történ® összeadás értelmezésében és elvégzésében.

Ha az analógiát nehezen ismeri fel a gyermek, akkor adjunk a kezébe játék pénzt.

Tk. 14/1. feladat: Rakják ki játék pénzzel is a m¶veletet a tanulók, így szemléletesé

válik a kerek tízesekkel végzett összeadás. Figyeltessük meg, hogy az összeadásban a

tagok felcserélhet®k.

Megoldás: 4 1 + 5 1 = 9 1 4 10 + 5 10 = 9 10

4 + 5 = 9 40 + 50 = 90

5 1 + 4 1 = 9 1 5 10 + 4 10 = 9 10

5 + 4 = 9 50 + 40 = 90

Tk. 14/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés teszi szemléletessé a m¶ve-

letvégzést. Ismét �gyeltessük meg az analógiát az egyjegy¶ számokkal, illetve kerek

tízesekkel végzett összeadás között.

Megoldás: Nyílra: +5 Nyílra: +50

M¶velet: 3 + 5 = 8 M¶velet: 30 + 50 = 80

Tk. 15/1. kidolgozott mintapélda: A mintapélda alapján több hasonló feladattal �gyel-

tessük meg, gyakoroltassuk a kivonást kerek tízesekkel. Az egyjegy¶ számok kivo-

násakor használt algoritmusokat analóg módon alkalmazzuk a kerek tízesekkel történ®

kivonás értelmezésében és elvégzésében.

Ha az analógiát nehezen ismeri fel a gyermek, akkor adjunk a kezébe játék pénzt.

Tk. 15/3. feladat: Rakják ki játék pénzzel is a m¶veletet a tanulók, így szemléletesé

válik a kerek tízesekkel végzett kivonás. Figyeltessük meg .a kivonandó és a különbség

közti kapcsolatot.

Megoldás: 9 1 { 5 1 = 4 1 7 10 { 3 10 = 4 10

9 { 5 = 4 70 { 30 = 40

9 1 { 4 1 = 5 1 9 10 { 4 10 = 5 10

9 { 4 = 5 90 { 40 = 50

Tk. 15/4. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés teszi szemléletessé a m¶ve-

letvégzést. Ismét �gyeltessük meg az analógiát az egyjegy¶ számokkal, illetve kerek

tízesekkel végzett kivonás között.

Megoldás: Nyílra: { 5 Nyílra: { 50

M¶velet: 8 { 5 = 3 M¶velet: 80 { 50 = 30

Tk. 16/5. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak az értelmezése, begya-

korlása. A 10 többszöröseinek, illetve a 10-es szorzótáblának az elsajátítását segít®

feladat.



15

A gyermekekkel �gyeltessük meg a kerek tízesek elhelyezkedését a számvonalon.

A táblázat kitöltésekor felismerhetik a szorzás és az osztás kapcsolatát.

Megoldás: 1 5 3 4 9 7 10 2 0 8 6

10 50 30 40 90 70 100 20 0 80 60

Tk. 16/6. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak az értelmezése, begya-

korlása. A 10 többszöröseinek, illetve a 10-es szorzótáblának az elsajátítását segít®

feladat.

Megoldás: 1-szer 10 Ft = 10 Ft 1 � 10 = 10

10 + 10 + 10 = 30

3-szor 10 Ft = 30 Ft 3 � 10 = 30

10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50

5-ször 10 Ft = 50 Ft 5 � 10 = 50

Tk. 16/7. feladat: A feladat feldolgozása el®készíti annak felismerését, hogy az osztás

(bennfoglalás) a szorzás inverze.

Szükség esetén oldassunk meg több hasonló feladatot.

Megoldás: 40-ben a 10 4-szer van meg, mert 4-szer 10 = 40,

50-ben a 10 5-ször van meg, mert 5-ször 10 = 50

80-ban a 10 8-szor van meg, mert 8-szor 10 = 80

100-ban a 10 10-szer van meg, mert 10-szer 10 = 100

Tk. 17/8. feladat: Azonos szín azonos számot jelent. Az 1. sor tíz sárga téglalapból áll,

és a beírt számok összege 100. Ezért a sárga téglalapba írandó szám (10) meghatároz-

ható. Így minden sárga téglalapba beírhatjuk a 10-et. A következ® lépésekben mindig

olyan részt kell keresni, amelyben az ismert színek mellett csak egy új szín fordul el®.

Máshonnan is elkezdhet® a feladat. Például a 2. oszlop utolsó két barna hatszögébe írt

számok összege szintén 100, tehát a barna hatszögekbe 50-et kell írnunk.

Kiindulhatunk még például a 2. sor utolsó két téglalapjából, a 3. oszlop els® három

téglalapjából, a 6. oszlop utolsó félköréb®l, illetve a 8. oszlop els® téglalapjából is.

A többféle megoldásmenet keresése fejlesztheti a gyermekek problémaérzékenységét,

ötletgazdagságát, gondolkodásuk rugalmasságát.

Megoldás:



Tk. 17/9. feladat: Beszéljük meg, hogy itt a táblázat mellett lév® alakzatokban az azonos

szín¶ téglalapok nem föltétlenül azonos számokat jelentenek, mint az el®z® feladatban.

Megbeszélhetjük azt is, hogyan lehet felírni a 100-at két, három, négy, öt kerek tízes

összegeként. Ezek az összegek mely esetekben állhatnak azonos tagokból.

A kreativitás fejlesztése céljából kerestessük meg az összes megoldást:

Megoldás:

20 20 40 20 80 40 40 90

20 30 30 40 10 10 30 40

20 10 20 70 70 60 40 20

20 80 50 50 80 10 30 50

20 20 40 20 80 40 40 90

20 30 30 40 10 10 30 40

20 10 20 70 70 60 40 20

20 80 50 50 80 10 30 50

20 20 40 20 80 40 40 90

20 30 30 40 10 10 30 40

20 10 20 70 70 60 40 20

20 80 50 50 80 10 30 50

20 20 40 20 80 40 40 90

20 30 30 40 10 10 30 40

20 10 20 70 70 60 40 20

20 80 50 50 80 10 30 50

Tk. 17/10. feladat: A jobb, illetve a bal oldali feladaton belül az azonos szín¶ téglalapok

azonos számokat, a különböz®ek különböz® számokat jelentenek.

Bár a gyermekekt®l els®sorban próbálgatással várjuk el a megoldásokat, a feladatok

következtetéssel is megoldhatók:

Megoldás:

s s s 30

2s 2s s + 30

4s 3s + 30

7s + 30

10 10 10 30

20 20 40

40 60

100

0 10 10 40

10 20 50

30 70100

Tk. 17/11. feladat: A bal és a jobb oldali feladat egymástól független. Az egyes színek

nem ugyanazokat a számokat jelentik a két feladatban.

A bal oldali feladatban az utolsó sort vizsgál-

va meg�gyeltethetjük, hogy a sárga és a kék

téglalapba írt számok összege megegyezik

a rózsaszín téglalapba írt számmal. Ezt az

eredményt az els® sorral összevetve meg-

állapítható, hogy a rózsaszín téglalapba írt

szám 50, illetve a sárga és a kék téglalapba

írt számok összege is 50. A két középs® sor-

ból kiolvasható, hogy a sárga téglalap 30-at,

a kék téglalap 20-at ér.

50 + 30 + 20 = 100

50 + 30 { 20 = 60

50 { 30 + 20 = 40

50 { 30 { 20 = 0



17

A jobb oldali feladatnak több megoldása van.

40 + 60 = 100 30 + 70 = 100

{ { { { { {

10 + 40 = 50 20 + 30 = 50

= = = = = =

30 + 20 = 50 10 + 40 = 50

A megoldás kulcsa lehet annak meg�gyelése, hogy

100 { r = r , tehát a rózsaszín téglalap 50-et ér.

Gy. 14/1. feladat: Egy képr®l két összeadás és két kivonás írását várjuk el a tanulók-

tól. Ismét �gyeltessük meg, hogy az összeadásban a tagok felcserélhet®k, illetve az

összeadás és kivonás kapcsolatát.

Megoldás: 30 + 60 = 90 30 + 70 = 100 80 + 20 = 100

60 + 30 = 90 70 + 30 = 100 20 + 80 = 100

90 { 60 = 30 100 { 30 = 70 100 { 80 = 20

90 { 30 = 60 100 { 70 = 30 100 { 20 = 80

Gy. 14/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés teszi szemléletessé a m¶velet-

végzést. Beszéljük meg, mit jelent a jobbra, illetve balra lépés.

Megoldás: 30 + 40 = 70 70 { 50 = 20

40 + 20 + 30 = 90 90 { 40 + 20 = 70

Gy. 14/3. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak, a 10 többszöröseinek a

fogalmát és a 10-es szorzótábla megtanulását el®készít® feladatok.

Megoldás:

a) 3 <5 8 3 + 5 = 8 30<50 80 30 + 50 = 80

8 5> 3 8 { 5 = 3 80 50> 30 80 { 50 = 30

b) 9 7> 2 9 { 7 = 2 90 70> 20 90 { 70 = 20

2 <7 9 2 + 7 = 9 20<70 90 20 + 70 = 90

Gy. 15/4. feladat: Számítások egyjegy¶, illetve kétjegy¶ számokkal, analóg módon.

Megoldás: a) 7 9 10 b) 7 10 9

70 90 100 70 100 90

c) 10 9 8 d) 3 3 3

100 90 80 30 30 30

e) 3 1 8 f) 4 2 1

30 10 80 40 20 10

Gy. 15/5. feladat: Hiányos összeadásokban a hiányzó tag, kivonásokban a hiányzó

kisebbítend®, kivonandó pótlása egyjegy¶, illetve kétjegy¶ számokkal, analóg módon.



Megoldás: a) 50 70 50 b) 30 100 60

30 40 40 60 80 70

50 80 20 20 80 90

Gy. 15/6. feladat: Hiányos összeadásokban a hiányzó tag, kivonásokban a hiányzó

kisebbítend®, kivonandó pótlása egyjegy¶, illetve kétjegy¶ számokkal, analóg módon.

Megoldás:

a) 0 3 0 6 0 9 0 80 6 0 4 0 2 0

b) 1 0 4 0 7 0 100 9 0 7 0 50 3 0

c)

40

2 0

7 0

5 0

3 0

8 0

6 0

4 0

9 0

7 0

Gy. 16/7. feladat: A szöveges feladatok megoldásának els® lépése a szöveg elemi

információtartalmának értelmezését jelenti. Vetessük észre, hogy nem elég kiírni a

szövegb®l a számokat, hanem azt is tudnunk kell, hogy mire vonatkoznak ezek az

adatok.

Két-két feladatban ugyanazok a számok fordulnak el®. Fontos, hogy ne csak az adatokat

jegyezzük le, hanem azt is, milyen kapcsolat van az adatok között. Ez alapul szolgálhat

a számolási terv felírásához.

Megoldás: a) Adatok: Volt: 40 Ft. Kapott: 20 Ft-ot + 30 Ft-ot. L = ? Ft

Terv: L = 40 + 20 + 30

Számolás: L = 40 + 20 + 30 L = 90

Válasz: Tibinek 90 Ft-ja van.

b) Adatok: M = 30, M 10> H, H = ?

Terv: H = M { 10

Számolás: H = 30 { 10 H = 20

Válasz: 20 gyerek van a homokozóban.

c) Adatok: L = 30, L <10 F, F = ?

Terv: F = L + 10

Számolás: F = 30 + 10 = 40

Válasz: 40 �ú labdázott az udvaron.

Adatok: L = 30, F = 40, Ö = ?

Terv: Ö = L + F

Számolás: Ö = 30 + 40 Ö= 70

Válasz: 70 gyerek labdázott összesen.



19

d) Adatok: v = 40, k = 20, a = 30, l = ?

Terv: l = v + k { a

Számolás: l = 40 + 20 { 30 l = 30

Válasz: 30 bélyege lett így Gabinak

Kétjegy¶ számok






�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,

kooperatív és önálló munkavégzés

Óra: 13{15. 14{17. 15{19.

1. osztály év végén megismerkedtek a gyermekek a kétjegy¶ számokkal. Most a kerek

tízesekr®l tanultakra is támaszkodva felelevenítjük, elmélyítjük és kib®vítjük ezeket az

ismereteket.

Tk. 18/Figyeld meg!: A tankönyv szemléltet® ábrája meg�gyeltetésével újra tudatosít-

hatjuk, hogy például 40 = 40 egyes = 4 tízes.

Tk. 18/1. kidolgozott mintapélda: A szemléletb®l kiindulva értelmezhetjük a helyiérté-

kes írásmód lényegét. Újra és újra adjunk fel olyan feladatokat, amelyek tudatosítják,

hogyan írható fel egy kétjegy¶ szám tízesek és egyesek összegeként. Fontos, hogy

minden gyermek megértse ezt az összefüggést.

Tk. 18/1. feladat: Gyakoroltassuk a számok leírását tízesek és egyesek összegére,

illetve bontott alakú számok leírását számjegyekkel.

Megoldás: 3 tízes + 7 egyes = 37

7 tízes + 3 egyes = 73

7 tízes + 0 egyes = 70

Tk. 19/2. feladat: A sokféle szemléltetés el®készíti a számok alakiértékének, helyiérté-

kének és tényleges értékének tudatos megkülönböztetését, e fogalmak kialakítását.

Megoldás: 32 50 50

50 32 32

23 4 23

4 23 4

Tk. 19/3. feladat: Ismét adjunk fel olyan feladatokat, amelyek tudatosítják, hogyan

írható fel egy kétjegy¶ szám tízesek és egyesek összegeként.



Megoldás: 58 36 63 80 8 db 1 színes.

5 db 10 5 db 1 színes.



Tk. 20/2. kidolgozott mintapélda: A páros és a páratlan szám fogalmának általánosí-

tása a szemléletre támaszkodva.

A gyermekek megsejthetik a következ®ket: A kerek tízesek páros számok. Mivel a két-

jegy¶ számok felírhatók tízesek és egyesek összegeként, csak az egyesek helyén álló

szám határozza meg azt, hogy a szám páros vagy páratlan-e. (A másodikos gyermek

szintjén ez már bizonyításnak számít!)

Az el®z®b®l következik, hogy pontosan azok a számok párosak, amelyek 0-ra, 2-re,

4-re, 6-ra vagy 8-ra végz®dnek.

Tk. 20/4. feladat: A páros és páratlan számokról tanultakat kiterjesztjük a 100-as szám-

körre. Több szemléletes feladattal tudatosítsuk, hogy a kerek tízesek párosak, így a

kétjegy¶ természetes számoknál az egyesekt®l függ, hogy egy szám páros vagy párat-

lan.

Megoldás: 20 páros 30 páros 24 páros 34 páros 27 páratlan 37 páratlan

Tk. 20/5. feladat: Figyeltessük meg, hogy a számegyenesen végig felváltva követik

egymást a páros, illetve a páratlan számok.

Megoldás: Piros pöttyök: 24, 52, 70, 86

Ezek páros számok.

Kék pöttyök: 7, 35, 41, 59, 91

Ezek páratlan számok.

Tk. 21/3. kidolgozott mintapélda: A számvonalon jelölt számok egyes, tízes, páros

szomszédainak meghatározása a számfogalom elmélyítését segíti. Figyeltessük meg,

hogy a páros számok egyes szomszédai páratlanok, a páratlanoké párosak.

Tk. 21/6. feladat: Több hasonló feladattal gyakoroltathatjuk a számszomszédok meg-

határozását, így egyre biztosabb számfogalom alakulhat ki. Az adott szomszédok meg-

határozásában segíthet a 3. kidolgozott mintapéldában szerepl® számvonal.

Megoldás: 23 < 24 < 25 22 < 24 < 26 23 < 24 < 25 20 < 24 < 30

34 < 35 < 36 34 < 35 < 36 33 < 35 < 37 30 < 35 < 40

69 < 70 < 71 68 < 70 < 72 69 < 70 < 71 60 < 70 < 80

96 < 97 < 98 96 < 97 < 98 95 < 97 < 99 90 < 97 < 100

Tk. 21/7. feladat: Tasziló összegy¶jtötte azokat a típushibákat, amelyeket a tanulók

gyakran elkövetnek. A hibák megkeresése, kijavítása még szilárdabbá teheti a szám-

szomszédokról tanultakat.



21

Megoldás: 30 és 40 Nem 10-zel kisebb, nagyobb számot kell írni.

38 és 40 A kerek tízesek is páros szomszédok.

35 és 37 Az el®tte és utána lév® páratlan szám kell.

Gy. 17/1. feladat: A sokféle szemléltetéssel gyakoroltathatjuk a számok alakiértéké-

nek, helyiértékének és tényleges értékének fogalmát. A számegyenessel összekötve

�bejárhatjuk" a 100-as számkört, s ez er®síti a számfogalmat.

Megoldás: 37 30 37

25 37 30

30 13 25

8 25 13

13 8 8

Gy. 17/2. feladat: Ismét adjunk fel olyan feladatokat, amelyek tudatosítják, hogyan

írható fel egy kétjegy¶ szám tízesek és egyesek összegeként. Figyeltessük meg, nem

mindegy, hogy például 4 darab tízesünk vagy 4 darab egyesünk van.

Megoldás: 5 tízes 1 egyes = 50 + 1 = 51

7 tízes 4 egyes = 70 + 4 = 74

9 tízes 9 egyes = 90 + 9 = 99

4 tízes 8 egyes = 40 + 8 = 48

8 tízes 4 egyes = 80 + 4 = 84

Gy. 18/3. feladat: Ebben a feladatban bet¶kkel írtuk le a számokat. Fontos a szövegér-

tés, a szövegértelmez® képesség fejlesztése.

Megoldás: 17 50 28

84 75 91

36 63 100

Gy. 18/4. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. A számok

helyének megkeresése a számegyenesen.

Megoldás: 45 53 63

5 db 10 kell. 5 db 10 kell. A számot kell beírni.

Gy. 18/5. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. A számok

helyének megkeresése a számegyenesen.

Megoldás: 80 71 80 78 98

74 74 100 87 89

Gy. 18/6. feladat: Kétjegy¶ számok felírása tízesekre és egyesekre bontott alakból.

Ismét beszéljük meg az alakiérték, helyiérték, tényleges érték fogalmakat.

Megoldás: 53 35 86 79 100 61 44 33



Gy. 18/7. feladat: Táblázat kitöltése felismert szabály alapján. Itt is �gyeltessük meg,

hogy egy kétjegy¶ szám felírható egy kerek tízes és egy egyjegy¶ szám összegeként.

Megoldás: Szabály: a + b = c, b + a = c, c { a = b, c { b = a

a 50 60 80 40 70 90 50 60 40 30 50 80

b 2 3 9 2 6 9 7 2 3 9 5 8

c 52 63 89 42 76 99 57 62 43 39 55 88

Gy. 19/8. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. Két össze-

adás írását várjuk el a tanulóktól.

Megoldás: 50 + 3 = 53 30 + 5 = 35 60 + 6 = 66

3 + 50 = 53 5 + 30 = 35 6 + 60 = 66

Gy. 19/9. feladat: Kétjegy¶ számok bontása tízesek és egyesek összegére. Két összea-

dás és két kivonás írását várjuk el a tanulóktól. Újra és újra tudatosítsuk, hogyan írhatók

fel a kétjegy¶ számok egyesek és tízesek összegeként.

Megoldás: 30 + 4 = 34 50 + 6 = 56 60 + 5 = 65

4 + 30 = 34 6 + 50 = 56 5 + 60 = 65

34 { 4 = 30 56 { 6 = 50 65 { 5 = 60

34 { 30 = 4 56 { 50 = 6 65 { 60 = 5

Gy. 19/10. feladat: Kétjegy¶ számok felírása tízesek és egyesek összege alapján. Képi

gondolkodást, kreativitást fejleszt® feladatsor.

Megoldás: 33 35 55 39 99

Gy. 19/11. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján. Kétjegy¶ számokból a

tízesek vagy egyesek elvétele, kerek tízesekhez egyjegy¶ számok, egyjegy¶ számokhoz

kerek tízesek hozzáadása.

Megoldás:

a) 38

{ 8 + 5

5

+ 5 0

3 0 3 5{ 3 0

5 5

b) 79

{ 9 + 4

4

+ 4 0

7 0 7 4{ 7 0

4 4

c) 55

{ 5 + 6

6

+ 6 0

5 0 5 6{ 5 0

6 6



23

Gy. 20/12. feladat: A feladat segítségével feleleveníthetjük a páros és a páratlan szá-

mokról tanultakat.

Megoldás: 6 3 7 8 2 4 0 5 1 9 10

Gy. 20/13. feladat: Szemléletre támaszkodva ismét beszéljük meg, hogy csak az

egyesek helyén álló szám határozza meg a szám paritását.

Megoldás: 30 38 53 45 46

Gy. 20/14. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy a számegyenesen végig felváltva

követik egymást a páros, illetve a páratlan számok.

Megoldás:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Gy. 20/15. feladat: Ismét tudatosítsuk, hogyan bontható egy kétjegy¶ szám tízesek és

egyesek összegére.

Megoldás: 6 5 7 9 0 3 5

5 6 8 0 9 1 3

60 + 5 50 + 6 70 + 8 90 + 0 0 + 9 30 + 1 50 + 3

65 56 78 90 9 31 53

Gy. 21/16. feladat: A biztos számfogalomnak egyik feltétele a számok jelölése száme-

gyenesen és a számegyenesen megjelölt számok leolvasása. Ezen túlmen®en fontos,

hogy a tanuló a számok egymás közti kapcsolatait is legyen képes megjeleníteni szám-

egyenesen, illetve le tudja azokat olvasni számegyenesr®l.

A feladattal kapcsolatosan további kérdéseket tehetünk fel:

Hogyan helyezkednek el a páros, illetve a páratlan számok a számegyenesen?

Mit tudunk a páros (páratlan) számok szomszédairól?

Lehet-e egy páros szám szomszédja is páros?

Két-két adott szám közül melyik nagyobb, mennyivel?

Mennyivel kisebb a 9 kisebb páratlan (páros) szomszédja a 9 nagyobb páros (páratlan)

szomszédjánál?

Melyik nagyobb, mennyivel? A 9 kisebb páratlan szomszédja vagy a 8 nagyobb (kisebb)

páratlan szomszédja?

Megoldás: 5 kisebb páratlan szomszédja 3

7 nagyobb páros szomszédja 8

10 nagyobb szomszédja 11

15 szomszédai 14 és 16

20 kisebb szomszédja 19



Gy. 21/17. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen, számvonalon,

illetve a számegyenesen jelölt számok meghatározása alkalmas eszköz a számfogalom

elmélyítésére, a korábban tanultak általánosítására.

Kib®víthetjük a feladatokat a számok nagyság szerinti összehasonlításával. Színeztet-

hetjük a páros számokat pirossal, a páratlanokat kékkel.

Megoldás: Pirossal színezett számok: 46, 78

Kékkel színezett számok: 45, 59, 61, 87

Gy. 21/18. feladat: A szemléletre támaszkodva megvizsgáljuk, hogy melyik szám ki-

sebb, melyik nagyobb. Rendeztessük a számokat növekv®, illetve csökken® sorrendbe.

Megoldás: 45 < 46 45 > 40 3 tízes 6 egyes > 2 tízes 9 egyes

78 < 87 45 < 50 5 tízes 4 egyes > 4 tízes 5 egyes

61 > 59 50 > 40 82 egyes < 7 tízes 16 egyes

Gy. 21/19. feladat: Ha szükséges, akkor számegyenesen (számvonalon) �gyeltessük

meg a számok egyes, páros, páratlan, illetve tízes szomszédait, kés®bb általában

elegend® utalnunk a számegyenesre.

Megoldás: Egyes szomszédok: Páros szomszédok: Tízes szomszédok:

4 5 46 4 7 4 4 46 4 8 4 0 46 5 0

5 8 59 6 0 5 8 59 6 0 5 0 59 6 0

6 0 61 6 2 6 0 61 6 2 6 0 61 7 0

7 7 78 7 9 7 6 78 8 0 7 0 78 8 0

Gy. 22/20. feladat: Az egyjegy¶, kétjegy¶ szám; páros, páratlan szám fogalmának

elmélyítése. Számok nagyság szerinti rendezése. Térjünk ki arra, hogy ha egy számso-

rozat jobbról olvasva növekv®, akkor balról olvasva csökken®, és fordítva.

Megoldás: 14 < 41 < 59 < 60 < 95

100 > 60 > 14 > 6 > 0

Gy. 22/21. feladat: Ismét tudatosítsuk, hogyan írhatók fel a kétjegy¶ számok egyesek

és tízesek összegeként.

Megoldás:

a)

3 5z }| {

30 + 5 <

3 8z }| {

30 + 8

4 7z }| {

40 + 7 <

7 4z }| {

70 + 4

6 7z }| {

60 + 7 <

6 0z }| {

67 { 7

b)

9 0z }| {

96 { 6 =

9 0z }| {

95 { 5

8 0z }| {

87 { 7 >

7 0z }| {

78 { 8

4 0z }| {

48 { 8 >

3 0z }| {

38 { 8

c)

6 6z }| {

60 + 6 =

6 6z }| {

6 + 60

5 0z }| {

53 { 3 >

3z }| {

53 { 50

8z }| {

48 { 40 =

8z }| {

38 { 30



25

Gy. 22/22. feladat: Di�erenciálásra szánt feladatsor. A táblázat alapján szemléletessé

válik az egyes feladatok megoldása.

Megoldás: Egyjegy¶: 1 0

Kétjegy¶: 9 0

Páratlan: 5 0

Páratlan és kétjegy¶: 4 5

Csak páros számjegyb®l áll: 2 5

Kisebb 30-nál: 3 0

Nem kisebb 30-nál: 7 1

Gy. 22/23. feladat: Di�erenciálásra szánt feladatsor. A táblázat alapján szemléletessé

válik az egyes feladatok megoldása.

Megoldás: A tízesek helyén 5 áll:

50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 10 db szám.

Az egyesek helyén 5 áll:

5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 84, 95 10 db szám.

Számjegyek összege 5:

5, 14, 23, 32, 41, 50 6 db szám.

Két egyenl® számjegy:

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 9 db szám.

Római számírás 100-ig


számlálás, számolás, rendszerezés, deduktív következtetések, problémaérzékenység,

problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 16. 18. 20.

Az új jelek megtanulása után a gyermekek önálló munkával ismerjék fel a római számírás

�logikáját". Kapcsolódhatunk a kerek tízesekkel végzett analóg számításokhoz, illetve a

számok helyiérték szerinti bontásához.

Tk. 22/1. feladat: Ismertessük fel az egyesek és a kerek tízesek írása közti analógiát.

Megoldás: 36 = XXXVI 53 = LIII 84 = LXXXIV

48 = XLVIII 77 = LXXVII 92 = XCII

Tk. 22/2. feladat: Ismét Tasziló összegy¶jtötte a leggyakoribb hibákat, amelyeket a

tanulók elkövetnek. Ezek javításával biztosabbá válik a római számok ismerete, a római

számírás.



Megoldás: 87 = LXXXVII 56 = LVI

49 = XLIX 42 = XLII

Tk. 22/3. feladat: Kreativitást, térlátást, képi gondolkodást fejleszt® feladat. A megoldás

után beszéljük meg, hogy a IV-et tükrözve IX-et kaptunk.

Megoldás:

XXIX XCIX LXVIII L I XLIX XCII

29 99 68 50 1 49 92

LXXIV LXXX C XXXI LV LII X

74 80 100 31 55 52 10

XLV XLIV LXVI XXXIII XIII V VII

45 44 66 33 13 5 7

Gy. 23/1. feladat: Figyeltessük meg az egyesek és a kerek tízesek írása közti analógiát.

Megoldás: I = 1 , V = 5 , X = 1 0 , L = 5 0 , C = 1 0 0

II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20

III = 1 + 1 +1 = 3 XXX = 10 + 10 + 10 = 30

IV = 5 { 1 = 4 XL = 50 { 10 = 40

VI = 5 + 1 = 6 LX = 50 + 10 = 60

VII = 5 + 2 = 7 LXX = 50 + 20 = 70

VIII = 5 + 3 = 8 LXXX = 50 + 30 = 80

IX = 10 { 1 = 9 XC = 100 { 10 = 90

Gy. 23/2. feladat: Ezzel a feladattal gyakoroltathatjuk az arab számokkal leírt számok

leírását római számjegyekkel.

Megoldás: 23 = XXIII 38 = XXXVIII 82 = LXXXII 52 = LII

41 = XLI 74 = LXXIV 49 = XLIX 54 = LIV

56 = LVI 95 = XCV 67 = LXVII 59 = LIX

Gy. 23/3. feladat: Ezzel a feladattal gyakoroltathatjuk a római számjegyekkel leírt szá-

mok leírását arab számjegyekkel.



27

Megoldás: XI = 11 XV = 15 XIV = 14 XVII = 17

XXI = 21 XXV = 25 XXIV = 24 XXVII = 27

LI = 51 LV = 55 LIV = 54 LVII = 57

XXVI = 26 LXVI = 66 LXXVI = 76 LXXXVIII=88

XLIV = 44 XCI = 91 XLIX = 49 XLVII = 47

XXXIX = 39 LXXII = 72 LV = 55 XCVIII = 98

Gy. 23/4. feladat: Ismertessük fel a tíz és húsz közötti számok és a többi kétjegy¶ szám

írása közti analógiát.

Megoldás: L + XX + V = LXXV L { X + V + II = XLVII

XII + XX = XXXII L + XXX + V { I = LXXXIV

C { X + V { I = XCIV L + XXV { X = LXV

V + V { I = IX L + L { X = XC

Hosszúságmérés centiméterrel


rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szö-

vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, térbeli

viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-

maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,

kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csopor-

tos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 17-18. 19{20. 21{22.

A mérés s ezen belül a hosszúságmérés szoros kapcsolatban van a szám- és a m¶ve-

letfogalom alakulásával.

A tankönyvi feladatok feldolgozása el®tt célszer¶ meggy®z®dnünk arról, hogy a gyerme-

kek tisztában vannak-e a hosszúságméréssel kapcsolatos szavak jelentésével. Ilyenek

például a �hosszú", �rövid", �magas", �alacsony", �mély", �keskeny", �széles", �vastag",

�vékony", illetve �hosszúság", �szélesség", �magasság".

A hosszúságok összehasonlítása, becslése könnyebb, mint más mennyiségé. A mennyi-

ség egy kiterjedését kell szemmel végigkövetni, �gyelembe venni, elképzelni. A hosszú-

ságok összehasonlítása során is vegyük �gyelembe a fokozatosság elvét:

egymás mellé helyezhet® az összehasonlítandó két tárgy;

nem helyezhet® egymás mellé, de mindkett® látható;

az egyik látható, a másikat el kell képzelni;

mindkett®t el kell képzelni.

Elegend® gyakorlással a gyermekek mér®szalag segítsége nélkül is jó közelítéssel meg

tudják mutatni, hogy körülbelül mekkora az 1 cm-es, 5 cm-es, 10 cm-es, 15 cm-

es, 20 cm-es távolság, meg tudják mondani, hogy hány centiméter hosszúságú a



kisaraszuk, a nagyaraszuk, esetleg a lábfejük. (A gyermek saját testméreteinek ismerete

és �gyelemmel kísérése a természetismeretben is követelmény.)

Végeztessünk mérést alkalmi mértékegységekkel is. Mérés el®tt becsüljék meg a gyer-

mekek, hogy hány arasz, lépés stb. hosszú az adott távolság. Az udvaron járjanak be,

lépjenek ki, becsüljenek meg és hasonlítsanak össze nagyobb (de a számfogalom fej-

lettségének megfelel®) hosszúságokat is. Általában a nagyobb tárgyak magasságának

a becslése a legnehezebb a gyermek számára.

Tk. 23/1. feladat: Az els® osztályban megismerkedtek a gyermekek a centiméter fogal-

mával és a vonalzó vagy mér®szalag használatával. A számfogalom kialakításához is

fontos, hogy minden gyermek tudja használni a mér®szalagot, tudjon összehasonlítani,

megbecsülni, megmérni, kimérni különböz® hosszúságokat.

Megoldás: 1. 6 cm 6. 6 cm

2. 9 cm 7. 8 cm

3. 7 cm 8. 5 cm

4. 8 cm 9. 10 cm

5. 4 cm 10. 3 cm

a) barna c) lila e) 4 cm

b) sötétzöld d) piros

Tk. 23/2. feladat: Ehhez hasonló feladatokkal gyakoroltathatjuk a konkrét méréseket

egyéni, illetve páros, csoportos munkában, hogy minden gyermek tudja használni a

mér®szalagot, tudjon összehasonlítani, megbecsülni, megmérni, kimérni különböz®

hosszúságokat.

Megoldás: zöld szakasz hossza: 4 cm

lila szakasz hossza: 3 cm

barna szakasz hossza: 2 cm

sárga szakasz hossza: 6 cm

piros szakasz hossza: 1 cm

kék szakasz hossza: 11 cm

Gy. 24/1. feladat: Ezt a feladatsort is egyéni, illetve páros, csoportos munkában

oldathatjuk meg, ügyelve arra, hogy minden gyermek használja a mér®szalagot, tudjon

összehasonlítani, megbecsülni, megmérni, kimérni különböz® hosszúságokat. A konkrét

mérést el®zze meg a hosszúság becslése. Beszéljük meg, minél többet gyakoroljuk a

becslést, annál pontosabban határozhatjuk egy adott hosszúság körülbelüli hosszát.

Megoldás: Becs. Becs.

Arasz hossza 12 cm Ceruza hossza 14 cm

Könyv hossza 28 cm Radír hossza 3 cm

Könyv szélessége 20 cm Cip®talp hossza 15 cm

Gy. 24/2. feladat: Ezt a feladatsort is egyéni, munkában oldathatjuk meg, ügyelve

arra, hogy a gyermek helyesen használja a mér®szalagot, tudjon összehasonlítani,



29

megbecsülni, megmérni, kimérni különböz® hosszúságokat. A konkrét mérést el®zze

meg a hosszúság becslése.

Megoldás: 15 cm;

4 cm; 5 cm;

10 cm; 6 cm;

8 cm

Gy. 24/3. feladat: Ezt a feladatsort is egyéni, munkában oldathatjuk meg, ügyelve arra,

hogy a gyermek helyesen használja a mér®szalagot.

Megoldás: a) 13 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.

b) 5 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.

c) 4 cm, majd 8 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.

4 cm + 8 cm = 12 cm

d) 8 cm hosszú csíkot kell kiszínezni.

15 cm-8 cm = 7 cm

Gy. 25/4. feladat: Figyeljük meg, hogy a gyermekek helyesen használják-e a mér®sza-

lagot, tudnak-e kimérni adott hosszúságokat.

Megoldás:

7 cm 8 cm

6 cm

14 cm

9 cm 11 cm



Gy. 25/5. feladat: A vonalzó használatát, az irány és a távolság meghatározását

gyakoroltatjuk.

Megoldás:

Gy. 25/6. feladat: A vonalzó használatát, az irány és a távolság meghatározását

gyakoroltatjuk.

Megoldás: Legyen H: a hangya, V: a virág, F: a f¶szál jele.

Összesen 4 megoldás lehet:

H V F

| {z }

6 cm

H F V

| {z }

2 cm

F V H

| {z }

6 cm

V F H

| {z }

2 cm

Hosszúságmérés deciméterrel



vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése,

induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-



31

megoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség,

meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munka-

végzések.

Óra: 19{20. 21{22. 23{24.

Tényleges mérésekben alkalmazzuk a decimétert. Fontos, hogy a gyermekek becsüljék

is meg a megmérend® hosszúságot. Jó közelítéssel tudják megmutatni, hogy mekkora

az 1 dm, 2 dm, 5 dm, 10 dm, 15 dm, 20 dm. Legyenek képesek átváltani a 10

dm-nél nem nagyobb értékeket centiméterekbe és a 100 cm-nél nem nagyobb kerek

centimétereket deciméterekbe. A becsült, az összehasonlított, a megmért, illetve a

kimért távolságok különböz® helyzet¶ek legyenek.

A deciméter és a centiméter közti átváltások során a kerek tízesekr®l tanultak elmélyítése

mellett lényegében a 10-zel való szorzást és osztást is gyakorolja a tanuló.

A szabvány mértékegységek alkalmazása mellett különböz® alkalmi mértékegységekkel

is méressünk meg (vagy ki) ugyanakkora hosszúságokat. A gyermekek szerezzenek

tapasztalatot a mértékegység és a mér®szám közötti fordított arányosságról.

Tk. 24/Figyeld meg!: Gyakorlatban �gyeltessük meg, milyen mér®eszközökkel mérhe-

tünk hosszúságot, majd külön foglalkozzunk a centiméterrel, deciméterrel. Keressenek

a tanulók a közvetlen környezetükben olyan tárgyakat, amelyeket centiméterrel, illetve

deciméterrel szoktuk megmérni.

Tk. 24/1. feladat: A tananyag feldolgozását el®zze meg a tanulók környezetében lé-

v® tárgyak hosszúságának (magasság, szélesség, mélység) becslése, megmérése,

adott távolság kimérése deciméteres pontossággal. Csak kell® tapasztalatszerzés után

várható a tanulóktól a feladat helyes megoldása.

Megoldás: Becslés Mérés

Hosszúság 12 dm 12 dm

Szélesség 4 dm 4 dm

Magasság 6 dm 6 dm

Tk. 24/2. feladat: A hosszúságok összegének, különbségének el®állítása a hosszúság

fogalmának jobb megértése mellett a m¶veletfogalom mélyítését is szolgálja.

Megoldás: 6 cm 6 + 4 = 10

4 cm 4 + 6 = 10

10 { 4 = 6

10 cm = 1 dm 10 { 6 = 4

Tk. 24/3. feladat: Minden mérést el®zzön meg becslés.

Megoldás: 13 cm-t tett meg a lepke a kék úton.

14 cm-t tett meg a légy a zöld úton.

15 cm-t tett meg a méh a sárga úton.



Gy. 26/1. feladat: A deciméter és a centiméter közti átváltások begyakorlása.

Megoldás: a) 10 cm 30 cm 50 cm

60 cm 90 cm 100 cm

b) 2 dm 5 dm 4 dm

8 dm 7 dm 1 dm

c) 35 cm d) 4 dm 7 cm

46 cm 9 dm 4 cm

58 cm 8 dm 5 cm

e) 5 cm f) 3 dm

2 cm 4 dm

3 cm 8 dm

Gy. 26/2. feladat: A konkrét mérés eredményét kell összehasonlítani az 1 dm-rel. Sok

hasonló feladatot kell megoldatni a tanulókkal ahhoz, hogy minél pontosabban tudjanak

megbecsülni mennyiségeket, jobban megértsék a mértékegységek közti kapcsolatokat.

Megoldás: a) 1 2 cm = 1 dm 2 cm. > 1 dm, 2 cm-rel.

b) 8 cm = 0 dm 8 cm. < 1 dm, 2 cm-rel.

c) 1 3 cm = 1 dm 3 cm. > 1 dm, 1 cm-rel.

d) 7 cm = 0 dm 7 cm. < 1 dm, 3 cm-rel.

Gy. 26/3. feladat: A becslést segíti ez a feladatsor, amelyben egy mennyiség egész

deciméter szomszédait kell meghatározni. Figyeltessük meg, melyik deciméterhez van

közelebb a mennyiség.

Megoldás: a) 1 dm < 15 cm < 2 dm b) 2 dm < 21 cm < 3 dm

3 dm < 37 cm < 4 dm 4 dm < 45 cm < 5 dm

6 dm < 68 cm < 7 dm 8 dm < 86 cm < 9 dm

7 dm < 73 cm < 8 dm 5 dm < 53 cm < 6 dm

Gy. 27/4. feladat: A vonalzó használatának gyakorlása.

Megoldás: A hangya is és a katicabogár is 5 cm utat tett meg.

Gy. 27/5. feladat: A mértékegységekr®l tanultakat gyakoroltathatjuk szöveges feladat-

ban.

Megoldás: Egyik: 20 dm Másik: 50 dm

20 dm + 50 dm = 70 dm

70 dm hosszú csövet kapnak.



33

Gy. 27/6. feladat: A mértékegységekr®l tanultakat gyakoroltathatjuk szöveges feladat-

ban.

Megoldás: Egyik: 20 cm Másik: 7 dm = 70 cm

20 cm + 70 cm = 90 cm

90 cm hosszú rudat kapnak.

Gy. 27/7. feladat: A hosszúság-mértékegységekhez kapcsolódó fogalmakat és a szöve-

ges feladatok megoldási menetér®l tanultakat mélyítjük el a feladatok megoldása során.

Megoldás: 1 dm = 10 cm

2 cm-t kell pirosra színezni.

12 cm { 10 cm = 2 cm.

2 cm hosszú szalag marad.

Gy. 27/8. feladat: A hosszúság-mértékegységekhez kapcsolódó fogalmakat és a szöve-

ges feladatok megoldási menetér®l tanultakat mélyítjük el a feladatok megoldása során.

Megoldás: Adatok: v = 1 dm 5 cm = 15 cm, m = 7 cm, e = ?

Számolás: 15 cm { 7 cm = 8 cm

Válasz: 8 cm hosszú gyertya égett el.

Gy. 27/9. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat.

Megoldás: Az egyik oldal 6 cm, a másik 4 cm hosszú.

Hosszúságmérés méterrel



vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése,

induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-

megoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség,

meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munka-

végzések.

Óra: 21{22. 23{24. 25{26.

A számfogalom további elmélyítéséhez is szükséges a méter fogalmának kialakítása és

a centiméter-beosztású mér®szalag megismerése és használata.

Sok olyan összehasonlítást kérjünk, amelyben az 1 m-rel, 2 m-rel, 5 m-rel, 10 m-rel

kell összehasonlítani hosszúságokat. Például:

a pad hosszúságát, szélességét, magasságát, a testmagasságukat, lépésük hosszúsá-

gát az 1 m-rel;

az ajtó, az ablak, a szekrény, a tábla szélességét, magasságát az 1 m-rel és a 2 m-rel;



a tanterem szélességét, magasságát, hosszúságát, egy autó hosszúságát a 2 m-rel,

az 5 m-rel és a 10 m-rel.

Tudják megmondani, hogy körülbelül hány méterre tudják eldobni a kislabdát, hány

centiméter hosszúságú a lépésük stb.

Jó közelítéssel tudjanak megmutatni centiméterrel adott, 1 m-nél kisebb távolságokat.

Így könnyíthetjük meg annak az eldöntését, hogy minek a hosszúságát célszer¶ méter-

rel, deciméterrel, centiméterrel meghatározni. Az erre adott válasz is becslés.

Mikor mérhetünk kétféle mértékegységgel?

1 m < pad hosszúsága < 2 m.

Ennél pontosabbá válik a mérés, ha például méterrel és deciméterrel mérjük meg a pad

hosszúságát:

1 m 2 dm < pad hosszúsága < 1 m 3 dm.

Még pontosabbá tehet® a mérés, ha deciméterrel és centiméterrel mérünk:

12 dm 4 cm < pad hosszúsága < 12 dm 5 cm.

Néhány ilyen méréssorozat végrehajtása és az eredmények megbeszélése azt a sej-

tést is meger®síti a tanulóban, hogy a mérés sohasem lehet pontos. Hosszabb távon

el®készíti a törtszámok, majd a valós számok fogalmát.

A tényleges mérések során adjunk fel olyan feladatokat, amelyek a távolságok össze-

gének, illetve különbségének a meghatározását igénylik. Ezek a komplex feladatok

egyaránt szolgálják az összeadás, a kivonás és a távolság fogalmának elmélyítését,

illetve a méréssel kapcsolatos szöveges feladatok megoldásának el®készítését.

A mértékegységek közti átváltások alkalmat adnak a tízes szorzótábla gyakorlására, illet-

ve a tízzel való maradékos osztás fogalmának kialakítására (a tudatosítás igénye nélkül).

Javasoljuk, hogy a mér®szalag használatának gyakorlását kössük össze statisztikai vizs-

gálatokkal. Például kis csoportos munkaformában megmérethetjük minden tanuló ara-

szának, lábfejének a hosszát, a fejkörméretüket. Csoportosíttathatjuk, sorba rendez-

tethetjük a mérési eredményeket, megállapíttathatjuk a legkisebb, illetve a legnagyobb

értéket.

Tk. 25/Figyeld meg!: Adjunk a tanulók kezébe méterrudat, és csoportokban mérjék

meg a környezetükben lev® néhány tárgy hosszúságát, szélességét, magasságát. Ha-

sonlítsák össze a métert a deciméterrel, centiméterrel. Majd a tapasztalatokat foglaljuk

rendszerbe.

Tk. 25/1. feladat: A feladat feldolgozását el®zze meg a tanulók környezetében lév®

tárgyak hosszúságának, magasságának stb. becslése, megmérése, adott távolságok

kimérése méterrúd, mér®szalag segítségével. Csak ilyen el®zmények után várható el,

hogy a gyermekek megbecsüljék a feladatokban adott egyes távolságokat.

Megoldás: Zsiráf: 5 m Polc: 10 dm Telefon: 10 cm

Tk. 25/2. feladat: Csak konkrét mérések után várható el, hogy a gyermekek megbe-

csüljék a feladatokban adott egyes távolságokat.

Megoldás: Autó: Gyermeklépés: Ház hossza gyermek m.

40 dm 50 cm 8 m 1 m 3 dm



35

Gy. 28/1. feladat: Csoportmunkában, párosmunkában mérjenek a tanulók, majd a mért

eredményeket beszéljük meg.

Megoldás: Becslés: Mérés:

H � 8 m H = 8 m 4 dm = 84 dm

Sz � 6 m Sz = 5 m 6 dm = 56 dm

M � 3 m M = 2 m 9 dm = 29 dm

Gy. 28/2. feladat: Csoportmunkában mérjenek a tanulók, majd a mért eredményeket

beszéljük meg.

Megoldás: Tábla szélessége: 1 m

Kislabdadobás: 15 m

20 gyereklépés: 9 m

Személyautó: 5 m

Gy. 28/3. feladat: A deciméter és a méter közti átváltások begyakorlása.

Megoldás: a) 10 dm 43 dm 5 dm

70 dm 56 dm 3 dm

60 dm 38 dm 5 dm

b) 5 m 2 m 7 dm 4 m

4 m 4 m 4 dm 8 m

9 m 7 m 5 dm 3 m

Gy. 28/4. feladat: Mértékegységek ismeretéhez kapcsolódó szöveges feladatok megol-

dásával a szöveges feladatok megoldatását is gyakoroltatjuk.

Megoldás: 3 m + 6 dm = 3 m 6 dm = 36 dm

Gy. 28/5. feladat: Mértékegységek ismeretéhez kapcsolódó szöveges feladatok megol-

dásával a szöveges feladatok megoldatását is gyakoroltatjuk.

Megoldás: 4 m = 40 dm

44 dm { 40 dm = 4 dm

4 dm hosszú szalagot kapunk.

Gy. 28/6. feladat: A becslést segíti ez a feladatsor, amelyben egy mennyiség egész

méter szomszédait kell meghatározni. Figyeltessük meg, melyik méterhez van közelebb

a mennyiség.

Megoldás: 3 m < 36 dm < 4 m 5 m < 55 dm < 6 m

7 m < 72 dm < 8 m 8 m < 81 dm < 9 m



Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadása, kivonása


gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,

szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-

beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, prob-

lémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,

kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-

tív és önálló munkavégzés.

Óra: 23{25. 25{28. 27{30.

A tankönyvi feladatok feldolgozása el®tt játék pénzzel szemléltethetjük a m¶veletek el-

végzését. Fontos, hogy az összeadást és a kivonást a tanulók legyenek képesek

számegyenesen való lépegetéssel is értelmezni. Számegyenesként használhatjuk a

centiméter-beosztású mér®szalagot.

Újra és újra �gyeltessük meg az összeadás és a kivonás kapcsolatát.

Tk. 26/1. kidolgozott mintapélda: Játék pénzzel rakassuk ki az összeadást, �gyeltes-

sük meg az összeg változásait.

Tk. 26/1. feladat: A pénzhasználat gyakorlása segíti a feladatmegoldást. Hasonló

feladatokkal gyakoroltassuk be az összeadást. Figyeltessük meg az összeg változásait.

Megoldás: 30 + 50 = 80 32 + 50 = 82 35 + 50 = 85

Tk. 26/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés szemléletessé teszi a m¶velet-

végzést.

Megoldás: 14 + 10 = 24 14 + 20 = 34 14 + 30 = 44 14 + 40 = 54

Tk. 26/3. feladat: Az összeadást kapcsoljuk össze a hosszúságméréssel, mértékvál-

tással, így komplexen gyakoroltathatjuk mindkett®t.

Megoldás: 25 + 50 = 75 75 cm = 7 dm 5 cm

28 + 40 = 68 68 cm = 6 dm 8 cm

Tk. 27/1. kidolgozott mintapélda: Játék pénzzel rakassuk ki a kivonást, �gyeltessük

meg a különbség változásait.

Tk. 27/4. feladat: A pénzhasználat gyakorlása segíti a feladatmegoldást. Hasonló

feladatokkal gyakoroltassuk be a kivonást. Figyeltessük meg a különbségváltozásait.

Megoldás: 70 { 40 = 30 72 { 40 = 32 74 { 40 = 34

Tk. 27/5. feladat: A számegyenesen történ® lépegetés szemléletessé teszi a m¶velet-

végzést. Figyeltessük meg a kivonandó és a különbség változásait.

Megoldás: 64 { 10 = 54 64 { 20 = 44 64 { 30 = 34 64 { 40 = 24



37

Tk. 27/6. feladat: Két összeadást és két kivonás írását várjuk el a tanulóktól.

Megoldás: 35 + 40 = 75 43 + 20 = 63 27 + 40 = 67

40 + 35 = 75 20 + 43 = 63 40 + 27 = 67

75 { 40 = 35 63 { 20 = 43 67 { 40 = 27

75 { 35 = 40 63 { 43 = 20 67 { 27 = 40

Tk. 28/7. feladat: A m¶veletvégzés gyakorlását összekapcsoljuk a szöveges feladatok

megoldásával. A szöveges feladat megoldásmenetének lépéseit segíti feladat, ügyeljünk

arra, hogy egy lépésr®l se feledkezzenek meg a tanulók.

Megoldás: a) Adatok: e = 32, t = 20, m = ?

Terv: m = e { t

Számolás: m = 32 { 20 m = 12

Válasz: 12 üveget kell még megtöltenie.

b) Adatok: R = 32, R <20 M, M = ?

Terv: M = R + 20

Számolás: M = 32 + 20 M = 52

Válasz: 52 répát evett meg Mekeg®.

c) Adatok: U = 32, U 20> T, T = ?

Terv: T = U { 20

Számolás: T = 32 { 20 T = 12

Válasz: 12 káposztát evett meg Tapsi.

Tk. 28/8. feladat: A vásárláshoz kapcsolva gyakoroltatjuk a m¶veletvégzést. Ha szük-

séges, játszassuk el a tanulókkal a feladatot. Figyeltessük meg a különbség változásait.

Megoldás: 50 Ft 30 Ft 40 Ft 10 Ft 0 Ft 20 Ft

55 Ft 35 Ft 45 Ft 15 Ft 5 Ft 25 Ft

Gy. 29/1. feladat: Gyakoroltathatjuk a kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadását.

A pénzhasználat segít a számolásban. Figyeltessük meg az összeg változásait.

Megoldás: 35 + 10 = 45 35 + 30 = 65 35 + 50 = 85

44 + 20 = 64 44 + 40 = 84 44 + 50 = 94

Gy. 29/2. feladat: Gyakoroltathatjuk a kétjegy¶ számokból kerek tízesek elvételét. A

pénzhasználat segít a számolásban. Figyeltessük meg a különbség változásait.

Megoldás: 95 { 30 = 65 95 { 50 = 45 95 { 70 = 25

86 { 30 = 56 66 { 30 = 36 46 { 30 = 16

Gy. 29/3. feladat: A szemléletre támaszkodva kétjegy¶ számokhoz kerek tízesek hoz-

záadása, illetve elvétele.



Megoldás: 82 Ft-ot kell rajzolni. 11 Ft-ot kell rajzolni.

32 + 50 = 82 71 { 60 = 11

Gy. 29/4. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának gyakorlása.

Megoldás: a) 36 75 57 35

57 93 52 35

93 49 63 87

b) 86 92 96 87

79 96 58 85

88 71 94 95

Gy. 30/5. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek kivonásának gyakorlása.

Megoldás: a) 56 44 42 22

45 25 57 47

18 21 44 64

b) 34 39 15 5

15 6 6 16

47 13 38 18

Gy. 30/6. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának gyakorlása szám-

egyenesen történ® lépegetéssel.

Megoldás: a) 12 + 10 = 22 b) 12 + 20 = 32 c) 12 + 30 = 42

Gy. 30/7. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek kivonásának gyakorlása szám-

egyenesen történ® lépegetéssel.

Megoldás: a) 91 { 10 = 81 b) 91 { 20 = 71 c) 91 { 30 = 61

Gy. 31/8. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának, kivonásának

gyakorlása, a hiányzó tag, illetve kisebbítend®, kivonandó pótlásával.

Megoldás: a) 20 16 30 20

30 41 30 22

70 43 34 21

b) 50 55 80 49

70 83 60 39

20 88 30 79

Gy. 31/9. feladat: Kétjegy¶ számok és kerek tízesek összeadásának, kivonásának

gyakorlása, sorozatok folytatása adott szabály alapján.



39

Megoldás:

a) 8 3 8 1 8 4 8 2 8 5 8 3 8 6 8

b) 63 4 3 7 3 5 3 8 3 6 3 9 3 7 3

c) 24 4 3 4 1 4 4 4 2 4 5 4 3 4

Gy. 31/10. feladat: A függvény szabályának többféle felírása feltételezi, hogy a tanuló

tudatosan alkalmazza az összeadás és a kivonás közti kapcsolatot, illetve az összeadás

felcserélhet®ségét. A táblázat kitöltése során gyakorolja az összeadásról és a kivonásról

tanultakat.

Megoldás: Szabály: a + 40 = b, 40 + a = N, b { 40 = a, b { a = 40

a 6 25 17 9 53 52 12 48 8 31 34 53 41 0 60

b 46 65 57 49 93 92 52 88 48 71 74 93 81 40 100

Gy. 31/11. feladat: A kivonás gyakorlását összekapcsoljuk a szöveges feladatok meg-

oldásával, a mértékváltással.

Megoldás: a) Adatok: r = 65 dm, l = 5 m = 50 dm, m = ?

Terv: 65 dm { 50 dm = 15 dm

Számolás: M = 15 dm

Válasz: 15 dm hosszú rudat kapnak.

Gy. 31/12. feladat: Az összeadás gyakorlását összekapcsoljuk a szöveges feladatok

megoldásával, a mértékváltással.

Megoldás: a) Adatok: v = 34 dm, h = 4 m = 40 dm, l = ?

Terv: 34 dm + 40 dm = 74 dm

Számolás: L = 74 dm

Válasz: 74 dm hosszú szalagot kap Péter.

Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása, kivonása


gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,

szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-

beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, prob-

lémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,

kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-

ság, kooperatív és önálló munkavégzés.



Óra: 26{29. 29{33. 31{36.

A tankönyvi feladatok feldolgozása el®tt játék pénzzel szemléltethetjük a m¶veletek el-

végzését.

A megfelel® számolási rutin kialakításához szükség van az analógiák meg�gyeltetésére,

a különböz® számolási modellek elsajátíttatására, továbbá hosszas gyakorlásra.

Ezért ezzel a témakörrel ne csak ezen a néhány órán keresztül foglalkozzunk, hanem

folyamatos ismétlésként szinte minden órán térjünk vissza rá.

Tk. 29/1. feladat: Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összeadásának gyakorlása

tízesátlépés nélkül. A játék pénz segít a feladat megoldásában.

Megoldás: 2 + 7 = 9 22 + 7 = 29 42 + 7 = 49

Tk. 29/2. feladat: Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok kivonásának gyakorlása tízes-

átlépés nélkül. A játék pénz segít a feladat megoldásában.

Megoldás: 7 { 5 = 2 27 { 5 = 22 47 { 5 = 42

Tk. 29/3. feladat: Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összeadásának és kivonásának

gyakorlása tízesátlépés nélkül, számegyenesen történ® lépegetéssel.

Megoldás: Nyílra: +4 3 + 4 = 7 Nyílra: { 4 7 { 4 = 3

Nyílra: +4 23 + 4 = 27 Nyílra: { 4 27 { 4 = 23

Nyílra: +4 43 + 4 = 47 Nyílra: { 4 47 { 4 = 43

Nyílra: +4 83 + 4 = 87 Nyílra: { 4 87 { 4 = 83

Tk. 30/4. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összege úgy, hogy az eredmény kerek

tízes.

Megoldás: a) 16 + 4 = 20 26 + 4 = 30 36 + 4 = 40

b) 13 + 7 = 20 23 + 7 = 30 33 + 7 = 40

c) 18 + 2 = 20 28 + 2 = 30 38 + 2 = 40

Tk. 30/5. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám különbsége úgy, hogy a kisebbítend®

kerek tízes (analóg számítások).

Megoldás: 20 { 9 = 11 30 { 5 = 25

20 { 5 = 15 40 { 9 = 31

30 { 9 = 21 40 { 5 = 35

Tk. 30/6. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összeadásának gyakorlása játékos fela-

dattal.

Megoldás: 31 + 9 = 40 51 + 9 = 60 71 + 9 = 80

Tk. 31/1. kidolgozott mintapélda: A mintapélda szemléletesen mutatja be kétjegy¶

és egyjegy¶ számok összeadását tízesátlépéssel. Engedjük meg, hogy a gyermek



41

saját gondolatmenete alapján számoljon. A tankönyvben szerepl® számolási modellek

elsajátítása a nehezen számoló gyermekek számára nyújthat segítséget. Fontos az

analógiák felismertetése.

Tk. 31/2. kidolgozott mintapélda: A mintapélda szemléletesen mutatja be kétjegy¶

és egyjegy¶ számok kivonását tízesátlépéssel. Engedjük meg, hogy a gyermek saját

gondolatmenete alapján számoljon. A tankönyvben szerepl® számolási modellek elsajá-

títása a nehezen számoló gyermekek számára nyújthat segítséget. Fontos az analógiák

felismertetése.

Tk. 32/7. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összeadásának gyakorlása tízesátlépés-

sel. A játék pénz segít a feladat megoldásában. Figyeljük meg az összeg változásait, az

analógiákat.

Megoldás: 5 + 7 = 12 25 + 7 = 32 45 + 7 = 52

Tk. 32/8. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám kivonásának gyakorlása tízesátlépés-

sel. Az ábra segít a feladat megoldásában. Figyeljük meg a különbség változásait, az

analógiákat.

Megoldás: 14 { 9 = 5 24 { 9 = 15 34 { 9 = 25

Tk. 32/9. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összeadásának, kivonásának gyakorlása

tízesátlépéssel. Figyeljük meg a különbség változásait, az analógiákat.

Megoldás: 47 + 6 = 53

47

z }| {

+ 3 + 3

57 + 6 = 63

57

z }| {

+ 3 + 3

77 + 6 = 83

77

z }| {

+ + 3 + 3

53 { 6 = 47

53

z }| {

{ 3 { 3

63 { 6 = 57

63

z }| {

{ 3 { 3

83 { 6 = 77

83

z }| {

{ 3 { 3

Tk. 32/10. feladat: A hármas szorzótábla el®készítése.

Megoldás:

A megoldás kiindulópontja három egyenl® szám összege. A 21; 24; 27; és a 30.

A beírandó számok fölül: 7 8 8 9 10 10

alul: 7 7 8 9 9 10

Tk. 33/11. feladat: Az összeadásnál a helyiérték-átlépést számegyenesen is szemlél-

tetjük.



Megoldás: 6 + 7 = 13

6

z }| {

+ 4 + 3

16 + 7 = 23

16

z }| {

+ 4 + 3

86 + 7 = 93

86

z }| {

+ 4 + 3

Tk. 33/12. feladat: A kivonásnál a helyiérték-átlépést számegyenesen is szemléltetjük.

Megoldás: 15 { 8 = 7

15

z }| {

{ 5 { 3

25 { 8 = 17

25

z }| {

{ 5 { 3

65 { 8 = 57

65

z }| {

{ 5 { 3

Tk. 33/13. feladat: A helyiérték-átlépést számegyenesen is szemléltetjük.

Megoldás: 7 + 3 = 10 17 + 3 = 20

8 + 3 = 11 18 + 3 = 21

9 + 3 = 12 19 + 3 = 22

Tk. 34/14. feladat: Tasziló ismét összegy¶jtötte azokat a típushibákat, melyeket a

tanulók gyakran elkövetnek. Keressük meg, és beszéljük meg mikor milyen hibát vétenek

a tanulók.

Megoldás: 37 + 6 = 43 Nem a tízesekhez, hanem az egyesekhez adjuk a 6-ot.

45 + 8 = 53 5 + 8 = 13, így 45 + 8 = 53

73 { 5 = 68 Nem a tízesekb®l, hanem az egyesekb®l veszünk el 5-öt.

Tk. 34/15. feladat: A kreativitás, képi gondolkodás, metakogníció fejlesztésére szánt

feladat.

Megoldás:

Az összeg 24:

9 1 7 7 0 6 9 9

3 5 5 4 2 1 3 3

5 0 7 8 8 4 3 8

8 1 6 4 4 7 6 9

8 8 5 4 5 1 2 7

A táblázat alatt lév® alakzatokban az

azonos szín¶ négyzetek nem föltétle-

nül azonos számokat jelentenek.

Az azonos szín azonos számokat, a

különböz® szín különböz® számokat je-

löl. Egy szakasz mentén a négy szám

összege 25. A megoldás kulcsa lehet

az 1 + z + z + z = 25 egyenlet. z = 8



43

Tk. 34/16. feladat: A számolást, képi gondolkodást, feladattartást, meg�gyel®képessé-

get, �gyelmet fejleszt® feladatsor.

Megoldás: Egy mackó képét kapjuk.

p p p

Gy. 32/1. feladat: Kétjegy¶ számokhoz egyjegy¶ hozzáadása helyiérték átlépése nélkül.

A számegyenest eszközként, a számfogalom szilárdítására használjuk.

Megoldás: 3 + 6 = 9 43 + 6 = 49 83 + 6 = 89

Gy. 32/2. feladat: Kétjegy¶ számokból egyjegy¶ elvétele helyiérték átlépése nélkül. A

számegyenest eszközként, a számfogalom szilárdítására használjuk.

Megoldás: 7 { 5 = 2 47 { 5 = 42 67 { 5 = 62

Gy. 32/3. feladat: Ha szükséges, játék pénzzel modellezzék a tanulók a feladat megol-

dását.

Megoldás: a) 23 Ft-ot kell rajzolni. 53 Ft-ot kell rajzolni.

21 + 2 = 23 51 + 2 = 53

b) 31 Ft-ot kell rajzolni. 61 Ft-ot kell rajzolni.

34 { 3 = 31 64 { 3 = 61

Gy. 33/4. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása helyiérték átlépése nélkül.

Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) 9 19 99 69

8 28 48 18

9 39 89 59

b) 6 16 66 26

9 29 59 19

8 18 78 58

Gy. 33/5. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása helyiérték átlépése nélkül,

a hiányzó tagok pótlása. Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.



Megoldás: a) 39 38 4 4

77 68 3 4

49 56 6 0

b) 29 77 61 35

67 98 97 60

89 86 72 99

Gy. 33/6. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok kivonása helyiérték átlépése nélkül.


Megoldás: a) 3 13 53 93

3 23 63 83

2 32 42 72

b) 12 22 52 62

23 33 93 53

13 23 93 73

Gy. 33/7. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok kivonása helyiérték átlépése nélkül,

a hiányzó kisebbítend®, illetve kivonandó pótlása. Számolási rutin fejlesztésére szánt

feladatsor.


52 34 1 1

41 93 2 1

b) 32 60 66 50

87 53 59 97

61 91 87 77

Gy. 34/8. feladat: A m¶veletekr®l tanultak tudatosítása.

Megoldás: Annának 38 Ft-ja van.

Béninek 32 Ft-ja van.

A 6> B

Gy. 34/9. feladat: Szöveggel adott függvény szabályának felírása többféle alakban. A

tanulók tudatosan alkalmazzák a m¶veletekr®l tanultakat. (Az összeadás kommutativitá-

sát, az összeadás és kivonás inverz kapcsolatát.)

Megoldás: Szabály: 5 + M = T, M + 5 = T, T { 5 = M, T { M = 5

T (cm) 38 58 98 46 76 86 27 69 95 77 86 85 90 100

M (cm) 33 53 93 41 71 81 22 64 90 72 81 80 85 95

Gy. 34/10. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶velet-

végzést, a mértékváltást



45

Megoldás: a) Adatok: Sz = 45 dm, L = 3 dm; M = ?

Terv: Sz { L = M L + M = Sz

Számolás: 45 { 3 = M 3 + M = 45

M = 42 dm = 4 m 2 dm

Válasz: 42 dm = 4 m 2 dm hosszú szalag maradt.

b) Adatok: P = 45 dm, H = 3 dm; K = ?

Terv: P + H = K

Számolás: 45 + 3 = K K = 48 dm = 4 dm 8 cm

Válasz: 48 cm = 4 dm 8 cm hosszú szalagot kaphatott.

c) Adatok: Á = 10 dm = 100 cm, L = 10 cm; M = ?

Terv: M = Á-L L + M = Á

Számolás: M = 100 { 10 10 + M = 100

M = 90 cm = 9 dm

Válasz: 90 cm = 9 dm 0 cm hosszú ág maradt.

Gy. 35/11. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összege úgy, hogy az eredmény kerek

tízes, illetve kétjegy¶ és egyjegy¶ szám különbsége úgy, hogy a kisebbítend® kerek

tízes (analóg számítások).

Megoldás: a) 20 30 70 50

20 30 60 80

20 30 90 50

20 30 80 60

b) 20 30 60 80

20 30 50 90

20 30 70 50

20 30 90 60

c) 11 21 61 91

16 26 46 96

12 22 82 92

17 27 57 97

d) 18 28 88 68

19 29 79 69

14 24 34 64

Gy. 35/12. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ szám összege úgy, hogy az eredmény kerek

tízes, illetve kétjegy¶ és egyjegy¶ szám különbsége úgy, hogy a kisebbítend® kerek

tízes (analóg számítások), a hiányzó tag, illetve kisebbítend®, kivonandó pótlása.




3 3 3 3

b) 18 38 48 68

11 51 81 91

c) 15 5 50 80

3 7 90 80

d) 8 2 40 80

11 9 90 80

Gy. 35/13. feladat: A tankönyvi feladatok többféleképpen szemléltetik a hagyományos

tízesátlépés-modellt. Engedjük meg, hogy a gyermek saját gondolatmenete alapján

számoljon.

a) 7+ 4

1 0

+ +

1 1

3 1

2 7+ 4

3 0

+ +

3 1

3 1

5 7+ 4

6 0

+ +

6 1

3 1

Gy. 36/14. feladat: A tankönyvi feladatok többféleképpen szemléltetik a hagyományos

tízesátlépés-modellt. Engedjük meg, hogy a gyermek saját gondolatmenete alapján

számoljon.

c)1 2

{ 3

1 0

{ {

9

2 1

3 2{ 3

2 9

3 0

{ 2 { 1

6 2{ 3

6 0

{ {

5 9

2 1

Gy. 36/15. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása tízesátlépéssel. Számo-

lási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) 12 11 16 74

32 41 46 34

b) 23 34 37 31

63 64 67 61

c) 51 83 85 86

91 53 55 56

d) 12 12 14 40

42 22 34 60

Gy. 36/16. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok kivonása tízesátlépéssel. Számolási

rutin fejlesztésére szánt feladatsor.



47


27 39 57 29

b) 44 68 38 77

64 28 68 37

c) 83 56 42 59

33 36 72 89

d) 8 8 7 46

68 48 27 66

Gy. 36/17. feladat: Kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadása, kivonása tízesátlépéssel.


Megoldás: a) 53 56 55 29

83 36 75 69

b) Részeredm.: 52 Részeredm.: 54 Részeredm.: 75

Végeredm.: 43 Végeredm.: 60 Végeredm.: 66

Gy. 37/18. feladat: A hat szöveges feladatot egy tanórán célszer¶ feldolgozni. Hívjuk

fel a gyermekek �gyelmét az adatok helyes lejegyzésének fontosságára. A fordított szö-

vegezésb®l (lásd b) és d) feladat) ered® nehézségek miatt a lejegyzés el®tt tisztázzuk,

hogy melyik adat nagyobb.

Kerestessünk többféle helyes megoldási tervet.

Tisztázzuk, hogy az F, az L, illetve a Gy bet¶ a �úk, a lányok, illetve a gyermekek

számát jelenti. (Ismerkedés a bet¶szimbólumok alkalmazásával.)

Megoldás: a) Adatok: F = 45, L = 8; Gy = ?

Terv: Gy = F + L

Számolás: Gy = 45 + 8; Gy = 53

Válasz: 53 gyerek fogócskázik összesen.

b) Adatok: F = 45, F 8> L; L = ?

Terv: F { 8 = L

Számolás: 45 { 8 = L; L = 37

Válasz: 37 lány fogócskázik.

c) Adatok: F = 45, F <8 L; L = ?

Terv: F + 8 = L

Számolás: 45 + 8 = L; L = 53




d) Adatok: L = 45, L <8 F; F = ?

Terv: L + 8 = F

Számolás: 45 + 8 = F; F = 53

Válasz: 53 �ú fogócskázik.

e) Adatok: Gy = 45, F = 8; L = ?

Terv: Gy { F = L

Számolás: 45 { 8 = L; L = 37


f) Adatok: 8 kivételével �ú, azaz ez a 8 lány.


Óra: 30. 34. 37.

1. tájékozódó felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.

Óra: 31. 35. 38.

1. felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.

Hasonlítsd össze! Ugyanolyan alakú?


rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következteté-

sek, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás,


pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, esztétikai-m¶vészeti nevelés.

Óra: 32{33. 36{37. 39{40.

Ebben a részben a hasonlóság, egybevágóság, a kerület és a terület fogalmát készítjük

el® tapasztalatszerzés szintjén, a tudatosítás és a számonkérés igénye nélkül.

A �hasonló" szó helyett az �ugyanolyan alakú" kifejezést használjuk, mivel a mindennapi

életben, illetve a matematikában a �hasonló" szó jelentése igen különböz®. El kell kerülni,

hogy rosszul alapozódjon meg a majd csak a fels® tagozatban de�niált fogalom.

Tk. 35/1. feladat: Az azonos felvételr®l készült képek nagyítások vagy kicsinyítések,

esetleg azonos méret¶ másolatok, vagyis hasonlók. Ugyanolyan alakú két kép akkor is,

ha a másolás közben átfordították a negatívot (lásd például az 1. és a 6. kép egymás

tükörképe).

Megoldás: Azonos felvételr®l készült az 1., a 4. és a 6. kép, valamint a 3. és az 5.

Tk. 35/2. feladat: Beszéljük meg, hogy a képen szekrényeket látunk ugyan, de mégsem

ugyanolyan alakú mindegyik. Figyeljük meg a különbségeket.



49

Megoldás: Ugyanolyan alakú az 1. 4. és 6. szekrény.

Ugyanolyan alakú a 3., 7., 8. és 9. szekrény.

Ugyanolyan alakú és méret¶, azaz egybevágó a 3. és 9. szekrény



Tk. 35/3. feladat: Beszéljük meg, ha síkban való elforgatásban gondolkozunk, akkor az

els® forgó elforgatásából nem kaphatjuk meg az utolsót. Ha az els® forgót átfordítjuk, a

forgó hátoldalát nézzük, akkor kaphatjuk meg az utolsó forgót.

Megoldás:

Az els® öt forgó esetén az óra járásával megegyez® irányban haladva a színezés sárga,

zöld, piros, kék.

Az utolsó forgónál az óra járásával ellentétes irányban haladva lesz a színezés sárga,

zöld, piros, kék.

Így az els® és az utolsó forgó egymás tükörképei lesznek.

Tk. 36/4. feladat: Figyeltessük meg az egybevágó alakzatokat (ugyanolyan alakú és

méret¶).

Megoldás:

Alulról felfelé haladva kék, piros, sárga és zöld négyzetek kerültek egymás tetejére.

Alulról felfelé haladva zöld, sárga és kék háromszögek kerültek egymás tetejére.

Tk. 36/5. feladat: Figyeljük meg az alakzatokat. Beszéljük meg, miben egyeznek meg,

miben különböznek. A képi gondolkodást, térlátást, meg�gyel®képességet fejleszt®

feladat.

Megoldás:

Két szabályos háromszög, két négyzet, két szabályos hatszög, két kör mindig ugyan-

olyan alakú (hasonló).

A zöld téglalap az alatta lév®vel, a sárga a t®le jobbra lév®vel egybevágó (ugyanolyan

alakú és méret¶).

A fennmaradó két négyszög ugyanolyan alakú és méret¶ (egymással egybevágók).

Tk. 36/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, milyen tévedésekre hívja fel a

�gyelmet Tasziló.

Gy. 38/1. feladat: Figyeljük meg, melyik két-két ábra lehet ugyanolyan alakú, melyik

nem. Próbálják megfogalmazni a tanulók szóban az észrevételeiket.

Megoldás:

Ugyanolyan alakúak a bogarak, a zsiráfok és a del�nek. Nem hasonlóak (nem ugyan-

olyan alakúak) a kutyák.

Gy. 38/2. feladat: Figyeljük meg a következ®ket:

A 2. autó az 1.-nek kétszeres nagyítása.



A 3. és az 1. tengelyesen tükrösek.

Az 5. autó az 1.-nek a felére kicsinyített képe, vagy az 1. az 5.-nek kétszeres nagyítása.

A 7. autó az 1.-nek a felére kicsinyített képe, vagy az 1. a 7.-nek kétszeres nagyítása.

Megoldás:

Pirosra kell színezni a 4. és a 6. autót.

Gy. 38/3. feladat: Próbáljuk szóban megindokoltatni a tanulókkal megoldásukat.

Megoldás:

a) Pirosra kell színezni a 2., 5. és 7. háromszöget.

A 2. háromszög a szürke tükörképe, a 6. háromszög a szürke felére kicsinyítése és

forgatása, a 7. háromszög a szürke kétszeres nagyítása.

Pirosra kell színezni a szürke mellett lev® alsó téglalapot, a legnagyobb és a legki-

sebb téglalapot.

A szürke melletti téglalap a szürke forgatása, a legnagyobb téglalap a szürke két-

szeres nagyítása, míg a legkisebb téglalap a szürke felére kicsinyítése.

Tükrözés


rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következteté-

sek, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás,


pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, esztétikai-m¶vészeti nevelés.

Óra: 34{35. 38{39. 41{42.

A tengelyes tükrözéssel 1. osztályban ismerkedtek a gyermekek. Most sem lépünk

tovább, újabb tapasztalatokat gy¶jtünk, mélyítjük a fogalmat, minél több és minél

sokoldalúbb tevékenységgel er®sítjük, fejlesztjük a tanulók meg�gyel®képességét, képi

gondolkodását, képzel®erejét. A tankönyvi feladatok megoldását el®zzék meg hozzájuk

hasonló, de eszközzel megoldható feladatok (például logikai lapok kirakása, tükrös

alakzatok kivágása összehajtogatott papírlapból).

Tk. 37/1. feladat: Tengelyes szimmetriával, tengelyes tükrözéssel kapcsolatos feladat.

Megoldás: Az 1. ábra tükörképe Tappancsnak, a 2. nem.


Megoldás: Az 1., 2. és 4. ábra nem tükörképe Brekinek, a 3. az.




51

Megoldás:

Az 1., 2., 3. és 6. ábra, valamint a 4. és 5. ugyanannak a diaképnek a két oldala. (A

számozás az olvasás irányával egyezik meg).


Tükörrel vizsgálják meg a tanulók a közlekedési táblák tükrösségét.

Megoldás: 1. ábrának 1

2. ábrának 2

3. ábrának 0

4. ábrának 0

5. ábrának végtelen sok tükörtengelye van.

Tk. 38/5. feladat: Beszéljük meg, hogy mindegyik négyzet, de a színezés miatt nem

mindegyiknek van tükörtengelye.

Megoldás:

1 2 0 4 2 0

Tk. 38/6. feladat: Figyeljük meg, hogy az 1. és a 3., valamint a 2. és a 4. ábrasor

megegyezik.

Megoldás:

P S Z Z S P P S Z Z S P

Tk. 38/7. feladat: Átlátszó papírra rajzolt színes formákat �gyeljünk meg, hogyan látjuk,

ha megfordítjuk a papírt.

Megoldás: K P S Z K

Z K P K Z

K Z P Z K

Tk. 38/8. feladat: Vízszintes és függ®lege tükörtengelyre is tükrözniük kell a tanulók-

nak a rajzot. Figyeljük meg, mennyire képesek a feladattartásra, pontos rajzolásra a

gyermekek.

Megoldás:



Tk. 39/9. feladat: Összehajtott papírlapból vágjanak ki különböz® formákat a tanulók,

és �gyeljék meg az így kapott alakzatokat. Csak több konkrét tapasztalat után várható

el ennek a feladatnak a helyes megoldása a gyermekekt®l.

Megoldás: Az 1. papírlapból a 4. alakzatot,

a 2. papírlapból a 2. alakzatot,

a 3. papírlapból a 4. alakzatot,

a 4. papírlapból az 1. alakzatot,

az 5. papírlapból az 5. alakzatot,

a 3. alakzatot egyik papírlapból sem vághatja ki.

Tk. 39/10. feladat: Mindkét tükörtengelyre tükrözniük kell a tanulóknak a megadott

formát, s így alakul ki egy kép.

Megoldás:

Tk. 39/11. feladat: Tükör segítségével ellen®rizzék a tanulók a megoldásukat. Külön

beszéljük meg a 3. és 4. ábra tükrözését. Figyeljük meg a 3. ábra tükrözése után,

hogyan helyezkedik el a tükörkép az eredeti képhez viszonyítva.

Megoldás:



53

Gy. 39/1. feladat: Tükör segítségével rajzolják meg a tanulók a cica tükörképét.

Megoldás:

Gy. 39/2. feladat: Tükör segítségével rajzolják meg a kacsa tükörképét a tanulók.

Hasonlítsuk össze a képeket, miben egyeznek meg, miben különböznek egymástól.

Megoldás:

Gy. 39/3. feladat: Beszéljük meg, melyik az eredeti szám, s melyik a tükörképe.

Megoldás: A 4-es, 1-es, 5-ös, 1-es, 9-es és 2-es számok tükörképét rajzoltuk le.



Gy. 40/4. feladat: Ügyesebb tanulóknak szánt feladatsor a tengelyes tükrözésr®l gy¶jtött

tapasztalatok alkalmazására.

Megoldás:

Gy. 40/5. feladat: Két alakzat egymás mellé helyezésével különböz® ábrákat kaptunk.

Tükör segítségével �gyeljék meg a tanulók, mely ábrák lettek így tengelyesen tükrösek.

Megoldás: Tengelyesen tükrösek az 1., 4., 5. és 7. ábrák.

Gy. 40/6. feladat: Figyeljük meg az órákat, állapítsuk melyek azok az id®pontok,

amelyekben tükörkép két óra egymással.

Megoldás:

Az els® és az ötödik, a második és a harmadik, illetve a negyedik és a hatodik óra

tükörképei egymásnak. Vizsgáljuk meg, hogy hol helyezkedik el a tükörtengely.



55

Gy. 41/7. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, térlátást fejleszt® feladat. Di�erenci-

álásra szánt feladatsor.

Megoldás: Néhány megoldás:

Gy. 41/8. feladat: Gyakorlatban végezzék el a négyszögek összehajtását a tanulók

egyéni, páros vagy csoportos munkában, s ez alapján döntsék el, Tasziló mikor rajzolta

le helyesen, mikor helytelenül az összehajtott négyszöget.

Megoldás: 1. négyszöget félbehajtva az 1. és 3. ábrát kaphatjuk.

2. négyszöget félbehajtva egyik ábrát sem kaphatjuk.

3. négyszöget félbehajtva a 2. ábrát kaphatjuk.

4. négyszöget félbehajtva mindhárom ábrát kaphatjuk.

Számolás 2-vel



se, szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése,

kombinativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékeny-

ség, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeménye-

z®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló

munkavégzés.

Óra: 36{38. 40{42. 43{46.

A páros és a páratlan számok felismerése, kettesével növekv®, illetve csökken® szám-

sorozat képzése 1. osztályos minimumkövetelmény. Korábban át is ismételtük ezeket az

ismereteket, pótoltuk az esetleges hiányosságokat. Ezért a páros és a páratlan számok-

ról tanultakra támaszkodva megtehetjük az els® lépéseket a szorzással és az osztással



kapcsolatos ismeretrendszer (fogalmak, elnevezések, számolási rutin stb.) kialakításá-

ra, illetve a 2-es szorzótábla megtanítására. Mivel a 20-as számkörön belül maradunk,

a számolások elvégzése még minimumszinten sem okozhat gondot.

Itt még nem tudatosítjuk a szorzás és az osztás fogalmát, nem vezetjük be a jelöléseket,

erre kés®bb kerül sor.

Nem javasoljuk a 2-es szorzótábla mechanikus megtanítását. A gyermekek különböz®

problémákat megoldva ismerkedjenek meg a 2 többszöröseivel, illetve a 10-nél nem

nagyobb számok kétszeresével, s ennek alapján végezzék el a számításokat.

Mintegy �melléktermékként", a szemléletre támaszkodva kib®vítjük és elmélyítjük a páros

és a páratlan számokról tanultakat:

A páros számok megadhatók a 2 többszöröseiként.

A páros számok megadhatók úgy, hogy egy számhoz önmagát adjuk hozzá.

A páros számok az egész számok 2-szereseként állíthatók el®.

Páros számú elem kettesével csoportosítható (a páros számokban maradék nélkül meg-

van a 2). Ha páratlan számú elemet kettesével csoportosítunk, akkor 1 elem megmarad.

Páros számú elem két egyenl® részre osztható úgy, hogy nem kell elemet kettévágnunk.

Páratlan számú (nem szétdarabolható) dolgot nem tudunk így két egyenl® részre osztani.

Tk. 40/1.kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg, hogy a 2 többszöröseit leírhatjuk

ismételt összeadásként, illetve �röviden".

Szükség esetén adjunk fel további, a tankönyvi feladatokhoz hasonló játékos feladatokat.

Tk. 40/1. feladat: Beszéljük meg, hogy a 2 többszöröseit leírhatjuk összeadással és

�rövidebb" formában is.

Megoldás: 1-szer 2cm

1 � 2 = 2

2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm

6-szor 2 cm = 12 cm 6 � 2 = 12

Tk. 40/2. feladat: Lépegetés kettesével a számegyenesen 0-ról indulva. A szorzás

fogalmát készíti el®, és a 2-es szorzótábla szemléleti megalapozását szolgálja.

Megoldás: 2 + 2 = 4 2-szer 2 = 4 2 � 2 = 4

2 + 2 + 2 + 2 = 8 4-szer 2 = 8 4 � 2 = 8

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 5-ször 2 = 10 5 � 2 = 10

Tk. 41/3. feladat: Játék pénzzel játsszák is el a tanulók a beváltást. Sok hasonló

feladattal biztosabbá tehetjük a számolást.

Megoldás: 7-szer 2 = 14

7 � 2 = 14



57

Tk. 41/4. feladat: Számok 2-szeresét írjuk le ismételt összeadásként, illetve �röviden".

Megoldás: 9 + 9 = 19 10 + 10 = 20

2-szer 9 = 18 2-szer 10 = 20

2 � 9 = 18 2 � 10 = 20

Tk. 41/5. feladat: Számok 2-szeresét írjuk le ismételt összeadásként, illetve �röviden".

A tankönyvi feladatokhoz kapcsolódóan további kérdésekkel b®víthetjük a feladatokat.

Például megméretjük vagy meghatározzuk a fehér, rózsaszín¶, világoskék, piros, cit-

romsárga, narancssárga rudak, illetve különböz® hosszúságú szakaszok kétszeresének

a hosszúságát.

Megoldás: 6 cm + 6 cm = 12 cm 2-szer 6 cm = 12 cm

2 � 6 cm = 12 cm

Tk. 41/6. feladat: Kétszerese, fele fogalmak közötti kapcsolat meg�gyeltetése.

Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 4 6 5 9

2 ugrással 0 2 6 8 12 10 18

Tk. 42/7. feladat: Tapasztalatot szerezhetnek a tanulók arról, hogy a szorzásban a

tényez®k felcserélhet®k.

Megoldás: 7-szer 2 = 14 2-szer 7 = 14

7 � 2 = 14 2 � 7 = 14

Tk. 42/8. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának (inverz m¶veletek) el®készíté-

se.

Megoldás: 2-szer 2 = 4 4-szer 2 = 8 10-szer 2 = 20

2 � 2 = 4 4 � 2 = 8 10 � 2 = 20

Tk. 42/9. feladat: 20-nál nem nagyobb páros számok felének meghatározása tevékeny-

séggel, rajzzal. A �kétszerese" és a �fele" fogalmak közti kapcsolat felismertetése: azt a

számot kell keresni, amelynek kétszerese az adott szám.

Megoldás:

El®ször osszák szét a tanulók a makkot a két mókus között, csak utána pótolják a

hiányzó számokat.

2-szer 3 = 6 2-szer 6 = 12

2 � 3 = 6 2 � 6 = 12

Tk. 43/10. feladat: A fogalom kialakítása érdekében fontos, hogy egy rajzról a kér-

déshez tartozó megfelel® m¶veletet tudják kiválasztani a tanulók. Ezt a feladatot el®zze

meg több hasonló feladat.

Megoldás: Zöld: 3 � 2 = 6 Kék: 4 � 2 = 8

2 � 3 = 6 2 � 4 = 8



Tk. 43/11. feladat: Komplex feladat, a számfogalommal és a geometriával kapcsolatos

alapvet® fogalmakat kell alkalmaznia a tanulónak.

A páros és a páratlan, illetve az egyjegy¶ és a kétjegy¶ szám, továbbá a sorszám

fogalmának alkalmazása. Tájékozódás a síkban: a �jobb" és a �bal" fogalma.

Megoldás:

a) Formák azonosítása: 1 2

9 10 15 16 17 18

3

10

4

11

0

7

14

8

5

12

19 20

b) Lépegetés adott irányban, adott lépéssel:

82

102

12 1 62

42

22

0 2 142

162

182

20

52

32

1 2 152

172

19 1 132

112

92

7

Tk. 43/12. feladat: Komplex feladat, amelyben a szorzatokat kell beírni a megfelel®

téglalapba. Ha szükséges, játék kétforintosokkal rakják ki a feladatot a tanulók, és így

írják be a helyes eredményt.

Megoldás: 16 20 12 18

2 14 6 4 8 10

Gy. 42/1. feladat: A 2 többszöröseit írjuk le ismételt összeadásként, illetve �röviden".

Megoldás: 2 1 darab 2 = 2

2 1-szer 2 = 1 � 2 = 2

2 2 2 darab 2 = 4

2 + 2 = 4 2-szer 2 = 2 � 2 = 4

2 2 2 3 darab 2 = 6

2 + 2 + 2 = 6 3-szor 2 = 3 � 2 = 6

2 2 2 2 4 darab 2 = 8

2 + 2 + 2 + 2 = 8 4-szer 2 = 4 � 2 = 8

2 2 2 2 2 5 darab 2 = 10

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 5-ször 2 = 5 � 2 = 10

2 2 2 2 2 2 6 darab 2 = 12

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 6 � 2 = 12

2 2 2 2 2 2 2 7 darab 2 = 14

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 7 � 2 = 14

2 2 2 2 2 2 2 2 8 darab 2 = 16

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16 8 � 2 = 16

2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 darab 2 = 18

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 9 � 2 = 18

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 darab 2 = 20

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20 10 � 2 = 20



59

Gy. 42/2. feladat: Kétféle összeadás, illetve szorzás leolvasása ugyanarról a rajzról.

Hasonló jelleg¶ feladatok megoldása során a gyermekek megsejthetik a szorzás egyik

legfontosabb tulajdonságát, a tényez®k felcserélhet®ségét. Az általánosítást ne er®ltes-

sük, ehhez még nem rendelkeznek kell® tapasztalattal a gyermekek.

Megoldás:

5 + 5 = 1 0 3 + 3 = 6

2-szer 5 = 1 0 2-szer 3 = 6

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 0 2 + 2 + 2 = 6

5-ször 2 = 1 0 3 -szor 2 = 6

Gy. 43/3. feladat: A 2 többszöröseit írjuk le a pénzhasználat segítségével.

Megoldás: 10 = 5-ször 2 = 5 � 2 4 = 2-szer 2 = 2 � 2

14 = 7-szer 2 = 7 � 2 16 = 8-szor 2 = 8 � 2

12 = 6-szor 2 = 6 � 2 2 = 1-szer 2 = 1 � 2

20 = 10-szer 2 = 10 � 2 6 = 3-szor 2 = 3 � 2

8 = 4-szer 2 = 4 � 2 18 = 9-szer 2 = 9 � 2

Gy. 43/4. feladat: A szorzás mint ismételt összeadás értelmezése. A számok kétszere-

sét írjuk le összeadásként.

Megoldás: 3 + 3 = 6 2 + 2 = 4 5 + 5 = 10 0 + 0 = 0

2-szer 3 = 6 2-szer 2 = 4 2-szer 5 = 10 2-szer 0 = 0

1 + 1 = 2 4 + 4 = 8 6 + 6 = 12 8 + 8 = 16

2-szer 1 = 2 2-szer 4 = 8 2-szer 6 = 12 2-szer 8 = 16

Gy. 43/5. feladat: A valamennyinek a kétszerese, fele fogalmak kapcsolatát �gyeltetjük

meg.

Megoldás: 1 kétszerese 2 4 kétszerese 8 2 kétszerese 4

fele fele fele

5 kétszerese 10 9 kétszerese 18 8 kétszerese 16

fele fele fele

3 kétszerese 6 7 kétszerese 14 6 kétszerese 12

fele fele fele

Gy. 44/6. feladat: A valamennyinek a kétszerese, fele fogalmak kapcsolatát �gyeltetjük

meg.

Megoldás:



8 = 4 -szer 2 12 = 6 -szor 2 20 = 1 0 -szer 2

8 = 4� 2 12 = 6

� 2 20 = 1 0� 2

Gy. 44/7. feladat: Az osztás (megvan benne a kett®) mint a szorzás fordított m¶velete.

Megoldás: Ennyi pár 1 4 2 8 3 7 5 9 6 10

Ennyi darab 2 8 4 16 6 14 10 18 12 20

Gy. 44/8. feladat: 20-nál nem nagyobb páros számok felének meghatározása tevékeny-

séggel, rajzzal. A �kétszerese" és a �fele" fogalmak közti kapcsolat felismertetése: azt a

számot kell keresni, amelynek kétszerese az adott szám.

Megoldás: 6 fele 3 14 fele 7 8 fele 4

Gy. 44/9. feladat: Adjunk több olyan feladatot a tanulóknak, amelyben a kétszerese,

fele fogalmak közötti kapcsolatot �gyeltetjük meg.

Megoldás: A 2 4 6 12 18 16 14 8 20 10 0

B 1 2 3 6 9 8 7 4 10 5 0

Gy. 44/10. feladat: A 2-vel történ® maradékos osztás el®készítése.

A gyermekek ismerjék fel, hogy azokat a számokat nevezzük páros számoknak, ame-

lyekben maradék nélkül megvan a 2. Ebb®l kiindulva azt is beláthatják, hogy a 0 azért

páros szám, mert a 2 megvan benne 0-szor, és 0 marad.

Ha páratlan számú dolgot kettesével csoportosítunk, akkor végül mindig kimarad egy. A

páratlan számokban a 2 nincs meg maradék nélkül.

Megoldás:

Ennyi 1 van 7 10 15 4 11 18 13 12 20 17 2 0

Ennyi 2 lesz 3 5 7 2 5 9 6 6 10 8 1 0

Ennyi 1 marad 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

Számolás 5-tel




kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív kö-

vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-

dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,




61

Óra: 49{41. 43{45. 47{50.

A szorzás és osztás fogalmának, közelebbr®l az 5-ös szorzótábla tanulásának el®ké-

szítése. Javasoljuk a sokféle szemléltetést, tapasztalatszerzést: lépegetés a száme-

gyenesen, számolás játék pénzzel, a szorzat kirakása színesrudak (vagy az eszköztár

színes lapjai) segítségével. A tankönyvi feladatokat egészítsük ki úgy, hogy újra és újra

feldolgozzuk a teljes 5-ös szorzótáblát.

Tk. 44/1. kidolgozott mintapélda: Az 5 többszörösét írjuk le ismételt összeadásként,

illetve �röviden". Hasonló feladatokat már a 2-vel való számolás során is csináltunk.

Tk. 44/1. feladat: Az 5 többszöröseinek ismételt összeadással történ® értelmezése.

Nem kell átlépnünk a tízeseket. Egészítsük ki a feladatokat úgy, hogy az 5 hétszeresét,

kilencszeresét és tízszeresét is értelmezzük.

Megoldás: 5 5 + 5 + 5 = 15 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30

1-szer 5 = 5 3-szor 5 = 15 6-szor 5 = 30

1 � 5 = 5 3 � 5 = 15 6 � 5 = 30

Tk. 44/2. feladat: Az 5 többszöröseinek ismételt összeadással történ® értelmezése.

Megoldás: 2 citromsárga rúd 5 + 5 = 10

2-szer 5 cm = 10 cm 2 � 5 = 10

4 citromsárga rúd 5 + 5 + 5 + 5 = 20

4-szer 5 cm = 20 cm 4 � 5 = 20

8 citromsárga rúd 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40

8-szor 5 cm = 40 cm 8 � 5 = 40

Tk. 45/3. feladat: El®készítjük az osztás (bennfoglalás) mint a szorzás fordított m¶velete

fogalmát.

Megoldás: 25 = 5-ször 5 = 5 � 5 35 = 7-szer 5 = 7 � 5 45 = 9-szer 5 = 9 � 5

Tk. 45/4. feladat: El®készítjük az osztás (bennfoglalás) mint a szorzás fordított m¶velete

fogalmát. Ha szükséges, pálcikákból rakjanak ki több formát, s így töltsék ki a tanulók a

táblázatot.

Megoldás: 1 2 3 4 0 8 6 5 10 7 9

5 10 15 20 0 40 30 25 50 35 45

Tk. 45/5. feladat: Különböz® színesrudakkal kirakva megsejtethetjük a szorzat tényez®-

inek felcserélhet®ségét.



Megoldás:

5 + 5 + 5 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

3-szor 5 = 15 5-ször 3 = 15

3 � 5 = 15 5 � 3 = 15

Tk. 46/6. feladat: Számegyenesen történ® lépegetéssel megsejtethetjük a szorzat té-

nyez®inek felcserélhet®ségét.

Megoldás: Béka: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 7 � 5 = 35

Mókus: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 5 � 7 = 35

Tk. 46/7. feladat: A téglalapszer¶ elrendezés ráirányítja a gyermek �gyelmét a szor-

zás tényez®inek felcserélhet®ségére. Oldassunk meg sok hasonló feladatot különböz®

tényez®kkel, hogy a gyermekek többsége jusson el ennek az összefüggésnek a felis-

merésére.

Szemléltethetjük ezt az összefüggést korongok, színesrudak kirakásával, számegye-

nesen történ® lépegetéssel, játék pénzzel stb. is (lásd a 2-es és a 10-es szorzótábla

el®készítésével kapcsolatos ajánlásainkat).

Megoldás: 5-ször 4| {z }

20=

4-szer 5| {z }

20

Tk. 46/8. feladat: A 10-nél nem nagyobb számok 5-szörösének ismételt összeadással

történ® értelmezése.

Megoldás: 5 + 5 + 5 + 5 + 5

5-ször 5 = 25 5 � 5 = 25

2 + 2 + 2 + 2 + 2

5-ször 2 = 10 5 � 2 = 10

Tk. 46/9. feladat: A 10-nél nem nagyobb számok 5-szörösének ismételt összeadással

történ® értelmezése. Külön �gyeljük meg a 0 többszörösét.

Megoldás: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

5-ször 3 = 5 � 3 = 15

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

5-ször 0 = 5 � 0 = 0

Tk. 47/2. kidolgozott mintapélda: Az 5-ös szorzótábla el®készítése szöveges feladat

megoldásával. Beszéljük meg, hogy a feladatot leírhatjuk ismételt összeadással is,

illetve �rövidebb" formában.

Tk. 47/10. feladat: Az 5-ös szorzótábla el®készítése szöveges feladat megoldásával.

Beszéljük meg, hogy a feladatot leírhatjuk ismételt összeadással is, illetve �rövidebb"

formában.



63

Megoldás: Adatok: V = 4, V <�5 Z, Z = ?

Terv: Z = 5-ször V

Számolás: Z = 4 + 4 + 4 + 4 Z = 5-ször 4 = 5 � 4 Z = 20

Válasz: 20 vakondtúrást csinált Zoli.

Tk. 47/11. feladat: Az 5-ös szorzótábla el®készítése szöveges feladat megoldásával.

Beszéljük meg, hogy a feladatot leírhatjuk ismételt összeadással is, illetve �rövidebb"

formában.

Megoldás: Adatok: 1-szer 5 �óka 3-szor ?

Terv: n = 3-szor 5

Számolás: n = 5 + 5 + 5 n = 3 � 5 n = 15

Válasz: 15 �ókát neveltek fel.

Tk. 47/12. feladat: Az 5-ös szorzótábla el®készítése, a feladatot leírhatjuk ismételt

összeadással is, illetve �rövidebb" formában.

Megoldás: 5 5 + 5 = 10 5 + 5 + 5 = 15 5 + 5 + 5 + 5= 20

1 � 5 = 5 2 � 5 = 10 3 � 5 = 15 4 � 5 = 20

Gy. 45/1. feladat: Az 5 többszöröseinek ismételt összeadással történ® értelmezése.

Nem kell átlépnünk a tízeseket.

Megoldás: 5 1 darab 5 = 5

5 1-szer 5 = 1 � 5 = 5

5 5 2 darab 5 = 10

5 + 5 = 10 2-szer 5 = 2 � 5 = 10

5 5 5 3 darab 5 = 15

5 + 5 + 5 = 15 3-szor 5 = 3 � 5 = 15

5 5 5 5 5 5 darab 5 = 25

5 + 5 + 5 + 5 + 5= 25 5-ször 5 = 5 � 5 = 25

5 5 5 5 5 5 6 darab 5 = 30

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 6 � 5 = 30

5 5 5 5 5 5 5 7 darab 5 = 35

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 7 � 5 = 35

Gy. 45/2. feladat: Az 5 többszöröseit írjuk le a pénzhasználat segítségével.

Megoldás: 20 = 4-szer 5 = 4 � 5 50 = 10-szer 5 = 10 � 5

40 = 8-szor 5 = 8 � 5 35 = 7-szer 5 = 7 � 5

45 = 9-szer 5 = 9 � 5 0 = 0-szor 5 = 0 � 5

Gy. 45/3. feladat: El®készítjük az osztás (bennfoglalás) mint a szorzás fordított m¶velete

fogalmát.



Megoldás: 5 lépéssel 5 � 5 = 25 50-re 10 lépéssel

6 lépéssel 6 � 5 = 30 15-re 3 lépéssel



8 lépéssel 8 � 5 = 40 0-ra 0 lépéssel

Gy. 46/4. feladat: Az összeadás és a szorzás kapcsolatát, valamint a szorzás kommuta-

tivitását (tényez®k felcserélhet®ségét) megsejtet® feladat. Minden esetben indokoltassuk

meg, hogy miért tartozik egy-egy m¶velet az ábrához.

Megoldás: Fels® ábrához tartozó m¶veletek: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 0

5-ször 2 = 1 0

5 + 5 = 1 0

2 � 5 = 1 0

Alsó ábrához tartozó m¶veletek: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 5

5 � 3 = 1 5

5 + 5 + 5 = 1 5

3-szor 5 = 1 5

Gy. 46/5. feladat: A szorzás értelmezésének tudatosítása mellett a gyermek tapaszta-

latot szerezhet a szorzás tulajdonságairól, a tényez®k felcserélhet®ségér®l, csoportosít-

hatóságáról.

Ezeken túlmen®en a feladat szemléleti alapozást ad a térfogatszámításhoz és fejleszti a

térszemléletet.

Megoldás:

Bár a könyv egy megoldást kér, beszéljük meg, hogy több megoldás lehet.

András tornya: vagy:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 =15 5 + 5 + 5 = 15

5-ször 3 = 15; 5 � 3 = 15 3-szor 5 = 15; 3 � 5 = 15



65

Béla tornya: vagy:

9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 15 + 15 + 15 = 45

5-ször 9 = 45; 5 � 9 = 45 3-szor 15 = 45; 3 � 15 = 45

vagy:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 45

9-szer 5 = 45; 9 � 5 = 45

Nóra tornya: vagy:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 10 + 10 = 20

5-ször 4 = 20; 5 � 4 = 20 2-szer 10 = 20; 2 � 10 = 20

vagy:

5 + 5 + 5 + 5 = 20

4-szer 5 = 20; 4 � 5 = 20



Éda tornya: vagy:

8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 20 + 20 = 40

5-ször 8 = 40; 5 � 8 = 40 2-szer 20 = 40; 2 � 20 = 40

vagy:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 10 + 10 + 10 + 10 = 40

8-szor 5 = 40; 8 � 5 = 40 4-szer 10 = 40; 4 � 10 = 40

Gy. 46/6. feladat: El®készítjük az osztás (részekre osztás) mint a szorzás fordított

(inverz) m¶velete fogalmát.

Megoldás:

Egy virág ára (Ft) 2 5 1 8 3 10 9 4 6 7 0

Egy csokor ára (Ft) 10 25 5 40 15 50 45 20 30 35 0

Gy. 46/7. feladat: A 2-vel, 5-tel, 10-zel végzett ismételt összeadással bejárjuk a 100-as

számkört, egyben el®készítjük a 2-es, 5-ös, 10-es szorzótáblát.

Megoldás: a) 30 60 b) 20 10

15 30 40 50

6 12 8 25



Megoldás: a) 50 10 b) 50 10

40 10 25 10

16 4 54 10





67

Megoldás: a) 5 25 85 b) 50 70 60

15 75 45 90 40 10

35 55 65 20 30 80

Gy. 47/10. feladat: M¶veleti tulajdonságok elmélyítésére szánt feladatsor.

Megoldás:

15

+ 5 + 52 0 2 5

+ 1 0

50

{ 5 { 54 5 4 0

{ 1 0

Gy. 47/11. feladat: Szöveggel adott függvény szabályának felírása többféle alakban.

Ismét tudatosítsuk és alkalmazzuk a m¶veletek közti összefüggésekr®l tanultakat. (Az

összeadás kommutativitását, az összeadás és kivonás inverz kapcsolatát.)

M + 5 = N 5 + M = N N { 5 = M N { M = 5

Megoldás: M 15 45 43 60 53 85 80 5 15 62 0

N 20 50 48 65 58 90 85 10 20 67 5

Gy. 47/12. feladat: Ha szükséges, játék pénzzel modellezzék a feladat megoldását a

tanulók.

Megoldás: Flóránál 8 darab 5 kell kiszínezni. F = 8 � 5 = 40 Ft

Gábornál 7 darab 5 kell kiszínezni. G = 7 � 5 = 35 Ft

Szorzás








Óra: 42{44. 46{49. 51{54.

A korábbi hetekben el®készítettük a 2, a 10 és az 5 többszöröseinek, illetve a számok 2-

szeresének, 10-szeresének és 5-szörösének fogalmát. Sok-sok tapasztalatot gy¶jtöttek

a tanulók azzal kapcsolatosan, hogy az egyenl® tagok összeadását hogyan fogalmaz-

hatjuk meg rövidebben. Ezért most már nem okozhat gondot az általánosítás, a szorzás

értelmezése és a szorzás jelének bevezetése.

A szorzás egyik legfontosabb tulajdonsága a tényez®k felcserélhet®sége. Ezért eddig

is több olyan feladatpárral találkozhattak a gyermekek, amelyek eredményét összeha-



sonlítva konkrét esetekben felismerhették az összefüggést (lásd a 3., a 4. és az el®z®

hét anyagának feldolgozásával kapcsolatos ajánlásainkat). Az eddigi tapasztalatokra

támaszkodva eljuthatnak a tanulók az általánosításhoz, az általános szabály megfo-

galmazásához. Természetesen, a kés®bbiekben újra és újra meg kell er®síteni ezt a

felismerést.

A tényez®k felcserélhet®ségének felismerése és alkalmazása a matematikai gondolko-

dásmód fejl®dése szempontjából is rendkívül jelent®s. A gyermek megtapasztalhatja,

hogy a matematikai törvényszer¶ség alkalmazása megkönnyítheti a munkáját.

Például: 5 � 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 kiszámításakor négyszer okozhat nehézséget a tízesek

átlépése, míg az 5 � 9 = 9 � 5 összefüggés ismeretében esetleg azonnal tudja a

megoldást.

Ne használjuk a �szorzó" és �szorzandó" elnevezéseket. A tényez®k nevének és funkci-

ójának megkülönböztetése gátolhatja a helyes fogalom kialakulását.

Hibásnak tartjuk azt az érvelést, amely szerint nem mindegy, hogy hogyan írja le a

matematika nyelvén a gyermek a következ® képek jelentését:

Ha helyesen alakítottuk ki a fogalmat, akkor a gyermek például az els® képr®l egyaránt

állíthatja, hogy 3-szor osztottunk ki 5-5 gombócot (egymás után töltöttük meg a tálakat),

illetve 5-ször osztottunk ki 3-3 gombócot (minden körben egy-egy gombócot tettünk a

tálakba). Tehát leírhatjuk a kép jelentését 3 � 5 és 5 � 3 alakban is, a kett® ugyanazt

jelenti.

Hasonlóan kétféleképpen írható le a második kép jelentése is.

Mindenképpen el kell jutni a gyermeknek annak a felismerésére, hogy a két képen

ugyanannyi gombóc van.

A fentiek alapján a tényez®k sorrendjének megkötése nemcsak a matematikai fogalomal-

kotás szempontjából, hanem tanuláslélektani szempontból is kifogásolható, hiszen az

értelmes és rugalmas gondolkodás helyett merev és mechanikus gondolkodásra kény-

szeríti a gyermeket.

Tk. 48/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, hogy a képr®l a m¶veletet leír-

hatjuk ismételt összeadásként, illetve szorzásként is. Ismét �gyeltessük meg, hogy a

szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k. Ezt jól szemlélteti a téglalapos elrendezés.

Tk. 48/1. feladat: A tényez®k felcserélhet®ségének meger®sítése.

Megoldás: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 4 � 5 = 20

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 5 � 4 = 20



69

Tk. 48/2. feladat: Az 5-ös szorzótábláról korábban szerzett tapasztalatok alapján kell

beírniuk a tanulóknak az eredményeket, s ez alapján végigmenni a labirintuson.

Megoldás: 0 25 40 20 45

50

15 5 35 10 30

Tk. 49/3. feladat: A 10-es szorzótábla el®készítése, a m¶velet leírása ismételt összea-

dásként is és szorzásként is.

Megoldás: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 6 � 10 = 60

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10=100 10 � 10 =100

Tk. 49/4. feladat: A szorzótáblák tanulása során mindig a teljes szorzótáblát tüntetjük fel

úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük az újonnan tanulandó sort és oszlopot,

illetve kékkel jelöljük a korábban tanultakat.

A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-

mek, hanem újra tudatosíthatja a 10-es szorzótáblát, a szorzásban a tényez®k felcse-

rélhet®ségét.

Megoldás: 2 � 10 = 20 10 � 7 = 70

10 � 2 = 20 9 � 10 = 90

5 � 10 = 50 10 � 9 = 90

10 � 5 = 50 1 � 10 = 10

7 � 10 = 70 10 � 1 = 10

Tk. 49/5. feladat: A 10-zel való szorzást, osztást �gyeltethetjük meg a táblázat kitölté-

sével.

Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 4 6 2 8 10

10 ugrással 0 10 30 40 60 20 80 100

Tk. 50/6. feladat: A 10-es szorzótábla gyakorlása, a m¶velet leírása ismételt összea-

dásként és szorzásként is. Újból �gyeltessük meg a szorzásban a tényez®k felcserélhe-

t®ségét.

Megoldás: 10 + 10 = 20

2-szer 10 = 20

2 � 10 = 20

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20

10-szer 2 = 20

10 � 2 = 20

Tk. 50/7. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük fel


a 2-es szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük a korábban tanultakat. Hasonlíttassuk össze a

10-es és 2-es szorzótábla megfelel® sorait, illetve oszlopait.




mek, hanem újra tudatosíthatja a 2-es szorzótáblát, a szorzásban a tényez®k felcserél-

het®ségét.

Megoldás: 5 � 2 = 10 2 � 9 = 18

2 � 5 = 10 1 � 2 = 2

7 � 2 = 14 2 � 1 = 2

2 � 7 = 14 2 � 0 = 0

9 � 2 = 18 0 � 2 = 0

Tk. 50/8. feladat: Figyeltessük meg, hogy egy képr®l több m¶velet is megfogalmazható.

A tényez®k felcserélhet®ségének, az összeadás és szorzás kapcsolatának meger®síté-

se.

Megoldás: Fels® képhez tartozik: 2 szorozva 3-mal = 6

3 � 2 = 6

2-szer 3 = 6

Alsó képhez tartozik: 5 + 5 = 10

2 � 5 = 10

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

2 szorozva 5-tel = 10

5 � 2 = 10

Tk. 51/9. feladat: A feladat megoldásakor a tanuló felismerheti az 5-ös és a 10-es

szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: Ugrások sz. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mókus 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Nyúl 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100



az 5-ös szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük a korábban tanultakat. Hasonlíttassuk össze

a 10-es és 5-ös szorzótábla megfelel® sorait, illetve oszlopait.


mek, hanem újra tudatosíthatja az 5-ös szorzótáblát, a szorzásban a tényez®k felcserél-

het®ségét.

Megoldás: 5 � 3 = 15 5 � 9 = 45

3 � 5 = 15 5 � 5 = 25

7 � 5 = 35 1 � 5 = 5

5 � 7 = 35 0 � 5 = 0

9 � 5 = 45 5 � 0 = 0



71

Tk. 51/11. feladat: Újra tudatosíthatjuk az 5-ös és a 10-es, illetve a 2-es és a 10-es

szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: 10 = 1 � 10 20 = 2 � 10 40 = 4 � 10

10 = 10 � 1 20 = 10 � 2 40 = 10 � 4

10 = 2 � 5 20 = 4 � 5 40 = 8 � 5

10 = 5 � 2 20 = 5 � 4 40 = 5 � 8

Tk. 52/12. feladat: A szorzás és az osztás tulajdonságainak meg�gyelése (tapasztalat-

szerzés szintjén, az általánosítás igénye nélkül):

A tényez®k felcserélése nem változtatja meg a szorzatot.

Nem változik a szorzat értéke, ha az egyik tényez®t valahányszorosára növelem, és a

másikat ugyanannyiad részére csökkentem.

Hogyan változik a hányados, ha az osztandó nem változik, az osztó változik?

Hogyan változik a hányados, ha az osztó nem változik, az osztandó változik?

Hogyan változik a hányados, ha az osztandó és az osztó is változik?

Megoldás: 2 � 5|{z}

10

= 5 � 2|{z}

10

10 � 5| {z }

50

= 5 � 10| {z }

50

4 � 5|{z}

20

= 5 � 4|{z}

20

Tk. 52/13. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás, össze-

függéslátás, feladattartás, �gyelem fejlesztésére.

Megoldás:

Abból indulhatunk ki, hogy a 10-et és az 50-et hogyan állíthatjuk el® 4 egyjegy¶ szám

szorzataként:

10 = 1 � 2 � 5 � 1; 50 = 2 � 5 � 5 � 1



Megoldás:

A táblázat mellett és alatt lév® alakzatokban az azonos szín¶ négyzetek nem föltétlenül

azonos számokat jelentenek.

A szorzat 20:

3 8 7 2 10 7 6 5

7 9 7 6 8 9 10 4

4 6 8 4 2 2 6 3

5 2 9 6 8 5 7 9

8 7 10 2 3 8 3 2

A szorzat 40:

8 3 7 6 5 9 4 10

5 9 2 4 5 5 6 3

10 7 3 7 10 9 2 7

6 2 2 9 10 5 2 10

8 3 2 5 7 8 9 7





Megoldás:

Ha a két ábrát egy feladatnak tekintjük, akkor a feladatnak egy megoldása van.

Az els® oszlopból kit¶nik, hogy 4 egyforma szám összegét írtuk le, így az ötszög

értéke 4.

A középs® oszlop els® sorában csak 2 � 2 = 4 vagy 3 � 3 = 9 állhat. Mivel az ötszög 4-et

ér, így csak az els® szorzás vezet helyes megoldásra.

2�2 = 4 2

�1 0 = 2 0

2�4 = 8 4

�1 0 = 4 0

2�5 = 1 0 5

�1 0 = 5 0

4�5 = 2 0 8

�1 0 = 8 0

8�5 = 4 0 1 0

�1 0 = 1 0 0



Megoldás:

A két ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik. Felismertethetjük az

1-es szám mint tényez® szerepét.



Megoldás:

A három ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik. A feladat megoldása

során a 40 osztópárjairól szereznek tapasztalatot a gyermekek.



73

A harmadik feladatnak több megoldása van, a sárga és a kék alakzat értéke felcserél-

het®, így 40 = 5 � 8 = 8 � 5, 40 = 2 � 20 = 20 � 2 is lehet.



Megoldás: Érdemes a második szorzatból kiindulni.

Érdemes a második szorzatból kiindulni.

r�

r�

r�k = 5; k = 5, r = 1



Megoldás: A két ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik.

5

2

2 2

2

2

2

4

4

7

1

3

3

1

1

5

5

5

5

3

3

1

1

11

A 2 � 2 � 2 = 8 vagy az 1 � 1 � 2 = 2

szorzat felismerése lehet a megoldás

kulcsa.

A következ® szorzatok egyikének fel-

ismerésével indulhatunk el:

1 � 1 � 5 = 5; 1 � 5 � 5 = 25;

3 � 3 � 5 = 45; 2 � 2 � 5 = 20;

2 � 5 � 5 = 50

Gy. 48/1. feladat: A szorzás mint ismételt összeadás fogalmának tudatosítása.

Megoldás: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 6 � 2 = 12

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 8 � 5 = 40

10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 5 � 10 = 50

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 7 � 2 = 14

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 5 � 1 = 5




Megoldás: a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

5 � 2 = 10

5 + 5 = 10

2 � 5 = 10

b) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 45

9 � 5 = 45

9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45

5 � 9 = 45

c) 5 + 5 + 5 = 15

3 � 5 = 15

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

5 � 3 = 15

c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60

6 � 10 = 60

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 60

10 � 6 = 60


Megoldás: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

5 + 5 = 10

5 � 2 = 10 2 � 5 = 10

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 50

10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50

10 � 5 = 50 5 � 10 = 50

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20

10 + 10 = 20

10 � 2 = 20 2 � 10 = 20

Gy. 49/4. feladat: A 10-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a

szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k.

Megoldás: 0 � 10 = 0 6 � 10 = 60 10 �0 = 0 10 �6 = 60

1 � 10 = 10 7 � 10 = 70 10 �1 = 10 10 �7 = 70

2 � 10 = 20 8 � 10 = 80 10 �2 = 20 10 �8 = 80

3 � 10 = 30 9 � 10 = 90 10 �3 = 30 10 �9 = 90

4 � 10 = 40 10 � 10 = 100 10 �4 = 40 10 �10 = 100

5 � 10 = 50 10 �5 = 50



75

Gy. 49/5. feladat: Problémahelyzetben gyakoroltatjuk a számolást.

Megoldás: 30 = 3 � 10 3 db 10 -t kell kiszínezni.

70 = 7 � 10 7 db 10 -t kell kiszínezni.


Gy. 50/6. feladat: A 2-es szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása sorozat folytatásával.

Megoldás: Mindig 2-vel növekszik a sorozat.

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Mindig 2-vel csökken a sorozat.

20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0



Megoldás: 0 � 2 = 0 6 � 2 = 12 2 � 0 = 0 2 � 6 = 12

1 � 2 = 2 7 � 2 = 14 2 � 1 = 2 2 � 7 = 14

2 � 2 = 4 8 � 2 = 16 2 � 2 = 4 2 � 8 = 16

3 � 2 = 6 9 � 2 = 18 2 � 3 = 6 2 � 9 = 18

4 � 2 = 8 10 � 2 = 20 2 � 4 = 8 2 � 10 = 20

5 � 2 = 10 2 � 5 = 10





Gy. 50/9. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó szorzat,

illetve tényez®k pótlásával.

Megoldás: 14 80 2 10

6 12 8 6

50 50 0 0

16 30 1 9

70 70 10 5

8 40 2 10

Gy. 50/10. feladat: A 2-es szorzótábla gyakorlása.

Megoldás: 12 = 12 10 = 10 12 = 12

14 = 14 8 = 8 14 < 16

Gy. 51/11. feladat: Az 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása sorozat folytatásá-

val.



Megoldás: Mindig 5-tel növekszik a sorozat.

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

Mindig 5-tel csökken a sorozat.

50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0

Gy. 51/12. feladat: Az 5-ös szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a


Megoldás: 0 � 5 = 0 6 � 5 = 30 5 �0 = 0 5 � 6 = 30

1 � 5 = 5 7 � 5 = 35 5 �1 = 5 5 � 7 = 35

2 � 5 = 10 8 � 5 = 40 5 �2 = 10 5 � 8 = 40

3 � 5 = 15 9 � 5 = 45 5 �3 = 15 5 � 9 = 45

4 � 5 = 20 10 � 5 = 50 5 �4 = 20 5 � 10 = 50

5 � 5 = 25 5 �5 = 25





Gy. 51/14. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó szorzat,

illetve tényez®k pótlásával.


14 80 5 8

20 40 2 5

40 60 10 1

25 30 2 10

35 0 2 10

Gy. 51/15. feladat: Az 5-ös szorzótábla gyakorlása.

Megoldás: 8 4 1

6 4 2

Osztás




kombinativitás, térbeli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív kö-

vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-

dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,




77

Óra: 45{47. 50{53. 55{58.

Csak egyféle osztást értelmezünk, és (jelenleg) csak egyféle jelölést célszer¶ bevezet-

nünk.

Ezt az álláspontot a következ® érvek támasztják alá:

Sohase tanítsunk olyat (még kisiskolás korban sem!), ami ellenkezik a tudományosság

követelményével. Az osztás a szorzás fordított (inverz) m¶velete. Mivel a szorzás ténye-

z®i felcserélhet®k, a matematika (ebben az értelemben) csak egyféle osztást ismer.

Ezért elhibázottnak tekintünk minden olyan módszertani törekvést, amely ezzel ellen-

tétes irányba tereli a gyermek fogalomalkotását. Természetesen a gyermek a fogalom

kialakítása során találkozik az osztással mint a szorzás fordított m¶veletével, egyes szö-

veges feladatokban az osztás mint bennfoglalás, másokban mint részekre osztás jelenik

meg. A fogalom kialakításának éppen az a legfontosabb célja, hogy a gyermek ismerje

fel a közös matematikai modellt ezekben a különböz®nek látszó feladatokban. Ezek-

ben az esetekben az osztás különböz® értelmezéseir®l, de nem többféle osztásról van

szó. (Els® osztályban sem tanítunk háromféle összeadást és négyféle kivonást, pedig

ott is megtanítjuk a m¶veleteknek a különféle értelmezéseit.) Ráadásul csak a szöve-

ges feladatok megoldásakor lehetne értelmezni a kétféle osztást, számfeladat esetén a

kétféle jel megkülönböztetése nem értelmezhet®. Sohase tanítsunk olyat, amit kés®bb

másképpen kell tanítanunk. Esetleg pillanatnyilag egyszer¶bbnek t¶nhet a hibás foga-

lom kialakítása, kés®bb sokkal nehezebb ezt a hibát kijavítani, mint eredetileg helyesen

megtanítani.

A matematikai fogalmak kialakításakor fontos, hogy a szemléletre is támaszkodjunk. A

részekre osztást eszközzel csak egyes speciális esetekben tudjuk direkt módon végre-

hajtatni, szemléltetni (például papírszalag hajtogatásával vagy színesrudakkal történ®

kirakással). Az esetek többségében a részekre osztást a tárgyi tevékenység szintjén is

bennfoglalással végezzük el. (Lásd 56. oldal feladatai.) Éppen erre a szemléleti alapra

támaszkodva ismerheti fel a gyermek, hogy mindkét esetben ugyanarról a matematikai

m¶veletr®l van szó.

Esetleg megbeszélhetjük, hogy az osztást háromféleképpen szokták jelölni ( �:", � / ",

��

�

"), és ezen jelölések közül mi az els®t fogjuk használni.

Tk. 54/1. kidolgozott mintapélda: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése. Szükség

esetén adjunk még hasonló feladatokat, s csak ezután vezessük be a jelölést.

Minden esetben ellen®riztessük a megoldást, így tudatosíthatjuk az osztás és a szorzás

közti kapcsolatot.

Tk. 54/1. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése. Ha szükséges játék

pénzzel rakják is ki a tanulók a megadott értéket, és 5-5 forintot tegyenek egy kupacba.

Megoldás: 30 forint 6 ötforintosra váltható, mert 6 � 5 forint = 30 forint

30 forintban az 5 forint megvan 6-szor, 30 : 5 = 6

Tk. 54/2. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése. Ha szükséges rakják is ki

a zöld rudat rózsaszín rudakkal a tanulók.

Megoldás: 12 : 2 = 6



Tk. 54/3. feladat: A 2-es szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása táblázat kitöltésével.

Ha szükséges, játsszák is el a tanulók a feladatot páros, vagy csoportos munkában.

Megoldás: Ennyi 1 0 2 4 6 10 8 16 18 12 14 20

Ennyi 2 0 1 2 3 5 4 8 9 6 7 10

Tk. 55/4. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése számegyenesen történ®

lépegetéssel.

Megoldás: 45-ben az 5 megvan 9-szer, mert 9 � 5 = 45 45 : 5 = 9

Tk. 55/5. feladat: Az 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása táblázat kitöltésével.


Megoldás: Ennyi 1 0 5 10 20 15 40 35 30 45 25 50

Ennyi 5 0 1 2 4 3 8 7 6 9 5 10

Tk. 55/6. feladat: Az osztás tulajdonságainak meg�gyelése.

Megoldás: 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1

5 kosár kell. 2 kosár kell. 1 kosár kell.



Megoldás: A három ábrában az egyes színek nem ugyanazt a számot jelentik.

2 0 : 2 = 1 0

: : :

1 0 : 2 = 5

= = =

2 � 1 = 5

Megállapodunk abban, hogy a háromjegy¶ szám 100, így a feladatnak két megoldása

van:

2 � 5 � 1 0 = 1 0 0 5 � 2 � 1 0 = 1 0 0

� �

� : � � � :

5 � 2 � 1 = 1 0 2 � 5 � 1 = 1 0

� : : : � : : :

2 : 2 � 5 = 5 5 : 5 � 2 = 2

= = = = = = = =

2 0 : 5 : 2 = 2 5 0 : 2 : 5 = 5



79

A második sorból vagy a második oszlopból indulhatunk ki.

2 0 : 2 : 5 = 2

: � � �

2 � 2 � 2 = 8

: � : :

2 � 2 � 2 = 2

= = = =

5 � 8 : 5 = 8

Tk. 56/2. kidolgozott mintapélda: Az ábra azt szemlélteti, hogy a részekre osztást

hogyan hajthatjuk végre bennfoglalással. Szükség esetén adjunk fel olyan feladatokat,

amelyekben konkrét tárgyakat (korongokat, pálcikákat stb.) kell 2, 5, 10 egyenl® részre

osztani. Az osztás és a szorzás közti kapcsolat tudatosítása céljából minden esetben

ellen®riztessük a megoldást.

Tk. 56/8. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléltetése szétosztással.

Megoldás: 18 : 2 = 9 mert 9 � 2 = 18 9 szem málnát kaptak.

Tk. 57/9. feladat: Az osztás mint részekre osztás gyakorlása. Beszéljük meg, mit jelent

a �tizedrész" kifejezés.

Megoldás: Egy részbe 3 eper kerül.

30 : 10 = 3 mert 10 � 3 = 30 30 eper tizedrésze 3 eper

Tk. 57/10. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának meg�gyelése, tudatosítása.

Megoldás: 10 fele 5 10 fele 5 10 ötödrésze 2kétszerese kétszerese ötszöröse

20 ötödrésze 4 10 tizedrésze 1 20 tizedrésze 2ötszöröse tízszerese tízszerese

Tk. 57/11. feladat: A bennfoglalás és a részekre osztás meg�gyelése, összehasonlítá-

sa.

Megoldás: 35-ben az 5 = 7 35 ötödrésze 7

35 osztva 5-tel = 7

35 : 5 = 7

Gy. 52/1. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése pénzhasználathoz kap-

csolva. Szükség esetén adjunk még hasonló feladatokat. Minden esetben ellen®riztes-

sük a megoldást, így tudatosíthatjuk az osztás és a szorzás közti kapcsolatot.

Megoldás: 6 : 2 = 3 10 : 2 = 5 18 : 2 = 9

3 � 2 = 6 5 � 2 = 10 9 � 2 = 18



Gy. 52/2. feladat: A 2-es bennfoglalótábla gyakorlása.

Megoldás: 0 : 2 = 0 mert 0 � 2 = 0 12 : 2 = 6 mert 6 � 2 = 12

2 : 2 = 1 mert 1 � 2 = 2 14 : 2 = 7 mert 7 � 2 = 14

4 : 2 = 2 mert 2 � 2 = 4 16 : 2 = 8 mert 8 � 2 = 16

6 : 2 = 3 mert 3 � 2 = 6 18 : 2 = 9 mert 9 � 2 = 18

8 : 2 = 4 mert 4 � 2 = 8 20 : 2 = 10 mert 10 � 2 = 20

10 : 2 = 5 mert 5 � 2 = 10

Gy. 52/3. feladat: Az osztás mint bennfoglalás gyakorlása pénzhasználattal.

Megoldás: 15 : 5 = 3 25 : 5 = 5 30 : 5 = 6

3 � 5 = 15 5 � 5 = 25 6 � 5 = 30

Gy. 52/4. feladat: Az 5-ös bennfoglalótábla gyakorlása.


5 : 5 = 1 mert 1 � 5 = 5 35 : 5 = 7 mert 7 � 5 = 35

10 : 5 = 2 mert 2 � 5 = 10 40 : 5 = 8 mert 8 � 5 = 40

15 : 5 = 3 mert 3 � 5 = 15 45 : 5 = 9 mert 9 � 5 = 45

20 : 5 = 4 mert 4 � 5 = 20 50 : 5 = 10 mert 10 � 5 = 50

25 : 5 = 5 mert 5 � 5 = 25

Gy. 53/5. feladat: Az osztás mint bennfoglalás szemléltetése pénzhasználathoz kap-

csolva. Szükség esetén adjunk még hasonló feladatokat. Minden esetben ellen®riztes-

sük a megoldást, így tudatosíthatjuk az osztás és a szorzás közti kapcsolatot.

Megoldás: 30 : 10 = 3 50 : 10 = 5

3 � 10 = 30 5 � 10 = 50



10 : 10 = 1 mert 1 � 10 = 10 70 : 10 = 7 mert 7 � 10 = 70

20 : 10 = 2 mert 2 � 10 = 20 80 : 10 = 8 mert 8 � 10 = 80

30 : 10 = 3 mert 3 � 10 = 30 90 : 10 = 9 mert 9 � 10 = 90

40 : 10 = 4 mert 4 � 10 = 40 100 : 10 = 10 mert 10 �10 = 100

50 : 10 = 5 mert 5 � 10 = 50

Gy. 53/7. feladat: Az osztás mint bennfoglalás gyakorlása pénzhasználattal.

Megoldás: 20 : 2 = 10 20 : 5 = 4 20 : 10 = 2

10 � 2 = 20 4 � 5 = 20 2 � 10 = 20



81

Gy. 53/8. feladat: Figyeltessük meg az osztó és a hányados változásait.

Megoldás: Ági: 10 : 2 = 5 Éva: 10 : 5 = 2

5 � 2 = 10 2 � 5 = 10

Gy. 54/9. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Ha szüksé-

ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást,

ezzel is tudatosítjuk az osztás és szorzás közötti inverz kapcsolatot, valamint a szorzás

kommutativitását (felcserélhet®ségét).

Megoldás: 12 fele 6, 18 fele 9,

12 osztva 2 egyenl® részre, 18 osztva 2 egyenl® részre,

12 : 2 = 6, mert 2 � 6 = 12 18 : 2 = 9, mert 9 � 2 = 18


ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást,

ezzel is tudatosítjuk az osztás és szorzás közötti inverz kapcsolatot, valamint a szorzás

kommutativitását (felcserélhet®ségét).

Megoldás: 8 : 2 = 4 14 : 2 = 7 16 : 2 = 8

2 � 4 = 8 2 � 7 = 14 2 � 8 = 16


ges, adjunk több ezekhez hasonló feladatot. Minden esetben ellen®rizzük a megoldást.

Megoldás: 6 fele 3, 10 fele 5,


6 : 2 = 3, mert 2 � 3 = 6 10 : 2 = 5, mert 2 � 5 = 10

20 fele 10, 20 osztva 2 egyenl® részre,

20 : 2 = 10, mert 2 � 10 = 20

16 fele 8, 16 osztva 2 egyenl® részre,

16 : 2 = 8, mert 2 � 8 = 16



Megoldás: 15 ötödrésze 3, 30 ötödrésze 6,


15 : 5 = 3, mert 30 : 5 = 6

5 � 3 = 15 5 � 6 = 30

10 : 5 = 2 35 : 5 = 7

5 � 2 = 10 5 � 7 = 35





Megoldás: 20 : 5 = 4 25 : 5 = 5 40 : 5 = 8

5 � 4 = 20 5 � 5 = 25 5 � 8 = 40

Gy. 55/14. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Minden

esetben ellen®rizzük a megoldást.

Megoldás: 4 kis négyzetet kell kiszínezni.

20 ötödrésze 4, 20 osztva 5 egyenl® részre,

20 : 5 = 4, mert 5 � 4 = 20

5 kis négyzetet kell kiszínezni.

25 ötödrésze 5, 25 osztva 5 egyenl® részre,

25 : 5 = 5, mert 5 � 5 = 25

Gy. 56/15. feladat: Az osztás mint részekre osztás szemléletes gyakorlása. Minden

esetben ellen®rizzük a megoldást.

Megoldás: 1 kis négyzetet kell kiszínezni.

10 tizedrésze 1,

10 osztva 10 egyenl® részre,

10 : 10 = 1, mert 10 � 1 = 10

2 kis négyzetet kell kiszínezni.

20 tizedrésze 2,

20 osztva 10 egyenl® részre,

20 : 10 = 2, mert 10 � 2 = 20

Gy. 56/16. feladat: Beszéljük meg a �fele", �ötödrésze", �tizedrésze" fogalmakat,

valamint a mértékegységek közti kapcsolatot.

Megoldás: 1 méter tizedrésze 1 deciméter, mert 1 méter = 10 deciméter

Gy. 56/17. feladat: Gyakoroljuk a számok felének meghatározását.


2 : 2 = 1 mert 2 � 1 = 2 14 : 2 = 7 mert 2 � 7 = 14

4 : 2 = 2 mert 2 � 2 = 4 16 : 2 = 8 mert 2 � 8 = 16

6 : 2 = 3 mert 2 � 3 = 6 18 : 2 = 9 mert 2 � 9 = 18

8 : 2 = 4 mert 2 � 4 = 8 20 : 2 = 10 mert 2 � 10 = 20

10 : 2 = 5 mert 2 � 5 = 10



83

Gy. 56/18. feladat: Gyakoroljuk a számok ötödrészének meghatározását.


5 : 5 = 1 mert 5 � 1 = 5 35 : 5 = 7 mert 5 � 7 = 35

10 : 5 = 2 mert 5 � 2 = 10 40 : 5 = 8 mert 5 � 8 = 40

15 : 5 = 3 mert 5 � 3 = 15 45 : 5 = 9 mert 5 � 9 = 45

20 : 5 = 4 mert 5 � 4 = 20 50 : 5 = 10 mert 5 � 10 = 50

25 : 5 = 5 mert 5 � 5 = 25

Gy. 56/19. feladat: Gyakoroljuk a számok tizedrészének meghatározását.


10 : 10 = 1 mert 10 � 1 = 10 70 : 10 = 7 mert 10 � 7 = 70

20 : 10 = 2 mert 10 � 2 = 20 80 : 10 = 8 mert 10 � 8 = 80

30 : 10 = 3 mert 10 � 3 = 30 90 : 10 = 9 mert 10 � 9 = 90

40 : 10 = 4 mert 10 � 4 = 40 100 : 10 = 10 mert 10 � 10 = 100

50 : 10 = 5 mert 10 � 5 = 50

A szorzás és az osztás gyakorlása


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-

értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli




ság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.

Óra: 48{50. 54{56. 59{62.

Csak azután tanulják meg és gyakorolják be a gyermekek a szorzótáblákat, ha kialakult

és kell®en megszilárdult a szorzás és az osztás fogalma. Enélkül csak mechanikus

tanulás jöhetne szóba.

A kettesével, ötösével, tízesével történ® soralkotás nemcsak a szorzótábla tanulását

készíti el®, hanem a számfogalmat is elmélyíti, a számok oszthatósági tulajdonságairól

szereznek tapasztalatot a gyermekek.

A szorzat hiányzó tényez®jének meghatározása az osztást (mint a szorzás fordított m¶-

veletét) is el®készíti. A szorzást és az osztást együtt célszer¶ gyakoroltatni.

A tankönyv és a gyakorló rész b®séges feladatanyagot nyújt a di�erenciált foglalkozta-

táshoz.

Tk. 58/1. kidolgozott mintapélda: Fordított szövegezés¶ szöveges feladat megoldás-

menetét mutatja be a mintapélda, mely az osztásra mutat példát. Beszéljük meg, hogy



az adatok lejegyzésekor jelölnünk kell az adatok közti kapcsolatot, s ez sokat segíthet a

feladat megoldásában. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Tk. 58/2. kidolgozott mintapélda: Fordított szövegezés¶ szöveges feladat megoldás-

menetét mutatja be a mintapélda, mely szorzásra mutat példát. Beszéljük meg, hogy

az adatok lejegyzésekor jelölnünk kell az adatok közti kapcsolatot, s ez sokat segíthet a

feladat megoldásában. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Tk. 58/1. feladat: Gyakoroltatjuk a szöveges feladat megoldási menetét, a m¶veletvég-

zést. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: 5 perc 30 cm 1 perc ?

Terv: x = 30 cm : 5

Számolás: x = 6 cm

Ellen®rzés: 5 � 6 cm = 30 cm

Válasz: 6 cm-t tett meg 1 perc alatt Csiga Biga.



Megoldás: Adatok: 1 perc 5 m 3 perc ?

Terv: x = 3 � 5 m

Számolás: x = 15 m

Ellen®rzés: A tényez®k felcserélésével ellen®rizhetjük.

Válasz: 15 m-re lakott t®le Fürgi.



Megoldás: Adatok: T = 10, T � 5 > M, M = ?

Terv: M = T : 5

Számolás: M = 10 : 5 M = 2

Ellen®rzés: 5 � 2 = 10

Válasz: 2 banánja van Makinak.



Megoldás: Adatok: F = 10, F + 5 > E, E = ?

Terv: E = F { 5

Számolás: E = 10 { 5 E = 5

Ellen®rzés: 5 + 5 = 10

Válasz: 5 vödör vizet locsolt szét Elek.





85

Megoldás: Adatok: G = 2, G < � 5 F, F = ?

Terv: F = 5 � G

Számolás: F = 5 � 2 F = 10

Ellen®rzés: Pl: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Válasz: 10 �ókája van Fridának.

Tk. 60/6. feladat: Meg�gyeltethetjük a következ®ket:

Az ismételt összeadás hogyan írható fel szorzatként.

A szorzásban a tényez®k felcserélhet®k.

A szorzás és az osztás milyen kapcsolatban van.

Milyen kapcsolat van az osztások között.

Tapasztalatot szerez a gyermek annak felismerésére, hogy az osztásnak két inverz

m¶velete van, egy szorzás és egy másik osztás.

Megoldás: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 4 � 5 = 20 20 : 5 = 4

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 5 � 4 = 20 20 : 4 = 5

Tk. 60/7. feladat: Tasziló ismét bemutat néhány �típushibát", ezek megbeszélése

szilárdíthatja a fogalomalkotást.

Megoldás: 10 fele nem 2, 10 ötödrésze nem 5, 10 tizedrésze nem 10,

hanem 5. hanem 2. hanem 1.

10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1

2 � 5 = 10 5 � 2 = 10 10 � 1 = 10

Tk. 60/8. feladat: Táblázatból adatokat kell leolvasni a tanulóknak, és ebb®l kell a

megfelel® m¶veletet leírni.

Megoldás: Alfonz. 7 � 2 = 14

Barna: 5 � 5 = 25

Cecília: 3 � 10 = 30

Donát. 6 � 5 = 30

Elemér: 4 � 2 = 8

Tk. 61/9. feladat: A számolási rutint, kreatív gondolkodást fejleszt® feladat.

Megoldás:



Tk. 61/10. feladat: A kreatív gondolkodást fejleszt® feladat.

Megoldás: Ári: 6 � 5 = 30 Bogi: 6 � 5 = 30

Mindkét gyerek �szélkakasa" 30 kis négyzetb®l áll.

Gy. 57/1. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a szorzás gyakorlására.

Megoldás: a) 6 12 10 16 b) 16 18 8 20

20 30 45 0 35 15 25 90

50 70 60 14 90 20 80 40

c) 2 5 4 14 d) 18 40 0 30

80 0 12 10 30 6 15 40

10 70 40 60 20 5 50 20

e) 35 8 50 40

0 2 0 0

10 50 20 100

Gy. 57/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó tényez®k

pótlásával.

Megoldás: a) 9 5 5 5 b) 3 8 3 1

6 2 10 10 2 7 3 5

2 10 10 2 0 6 2 10

2 6 8 10 1 4 5 5

Gy. 57/3. feladat: A kétszerese, fele fogalmak gyakorlása méréshez kapcsolva.

Megoldás: 5 cm kétszerese = 10 cm = 1 dm 0 cm

7 cm kétszerese = 14 cm = 1 dm 4 cm

Gy. 58/4. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor az osztás gyakorlására.

Megoldás: a) 10 10 5 6 b) 7 5 2 9

8 10 7 8 6 5 1 3

6 4 4 0 9 3 2 0

c) 0 8 2 10

3 4 9 2

1 1 7 5



87

Gy. 58/5. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó osztó, illetve

osztandó pótlásával.

Megoldás: a) 5 5 10 5 b) 30 45 20 70

10 10 5 2 14 6 0 15

2 2 2 10 80 50 10 8

c) 0 8 2 10

3 4 9 2

1 1 7 5

Gy. 57/6. feladat: A fele fogalom gyakorlása méréshez kapcsolva.

Megoldás: 6 cm fele 3 cm 4 cm fele 2 cm 2 cm fele 1 cm

Gy. 58/7. feladat: A 2-es szorzó- és bennfoglalótábla gyakorlása táblázat kitöltésével.


Megoldás: Ennyi 1 6 10 14 2 4 8 16 18 12 20 0

Ennyi 2 3 5 7 1 2 4 8 9 6 10 0

Gy. 59/8. feladat: Ismét �gyeltessük meg a szorzás és az osztás tulajdonságait. A

szorzás kommutatív, azaz a tényez®k felcserélése nem változtatja meg a szorzat értékét.

Növekszik a hányados, ha az osztandó nem változik, és az osztó csökken. Növekszik a

hányados, ha az osztandó n®, és az osztó nem változik.

Megoldás:

a)

1 5z }| {

3 � 5 =

1 5z }| {

5 � 3

2 0z }| {

4 � 5 <

4 0z }| {

4 � 10

3 0z }| {

6 � 5 =

3 0z }| {

3 � 10

b)

1 0z }| {

50 : 5 >

5z }| {

50 : 10

3z }| {

30 : 10 =

3z }| {

15 : 5

6z }| {

30 : 5 =

6z }| {

60 : 10

c)

4 0z }| {

5 � 8 =

4 0z }| {

10 � 4

2z }| {

20 : 10 <

6z }| {

30 : 5

0z }| {

0 � 5 =

0z }| {

0 : 5

Gy. 59/9. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának meg�gyeltetése, tudatosítása.

Megoldás:

a)10

� 2 : 5

: 2

2 0

� 5

4 45

: 5 � 2

� 5

9

: 2

1 8



b) 6

� 5 : 10

: 5

3 0

� 1 0

3 35

: 5 � 10

� 5

7

: 1 0

7 0

Gy. 59/10. feladat: A megoldás során �gyeltessük meg a 2-es, 5-ös és 10-es szorzó-

táblák közötti összefüggéseket.

Megoldás:

a)

3

� 2 � 56 3 0

� 1 0

4

� 2 � 58 4 0

� 1 0

b) � 5

5

� 21 1 0

� 1 0

� 2

6

� 53 3 0

� 1 0

c)

20

: 2 : 51 0 2

: 1 0

10

: 5 : 22 1

: 1 0

d) : 2

2

� 104 2 0

� 5

� 10 : 5

84 4 0

� 2

Gy. 60/11. feladat: Egy képr®l két szorzás és két osztás írását várjuk el a tanulóktól.

Ismét �gyeljük meg a tényez®k felcserélhet®ségét, a szorzás és osztás kapcsolatát.

Megoldás: 3 � 5 = 15 2 � 5 = 10 4 � 5 = 20 5 � 7 = 35

5 � 3 = 15 5 � 2 = 10 5 � 4 = 20 7 � 5 = 35

15 : 3 = 5 10 : 2 = 5 20 : 4 = 5 35 : 5 = 7

15 : 5 = 3 10 : 5 = 2 20 : 5 = 4 35 : 7 = 5

Gy. 60/12. feladat: A megoldást tervszer¶ próbálgatással várjuk.

Megoldás:

0 10 20 30 40 50

4 ugrás után lesz a nagy tücsök 20 cm-rel a kis tücsök el®tt.



89

Gy. 60/13. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-

tokban. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: a) Adatok: A = 5 Ft, A 4-szer B B = ?

Terv: B = 4 � 5 Ft

Számolás: B = 20 Ft

Válasz: 20 Ft-ja van Beának.

b) Adatok: G = 30 db, Egy unoka : 5 db, E = ?

Terv: E = G : U

Számolás: E = 30 : 5 E = 6


Válasz: 6 unokája volt a nagymamának.

Gy. 61/14. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-


Megoldás: a) Adatok: Egy nap 2 Ft, 1 hét = 7 nap

Terv: v = 7 � 2 Ft

Számolás: v = 14 Ft

Ellen®rzés: Pl: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 2 � 7 = 14

Válasz: 14 Ft-ja van Annának.

b) Adatok: m = 8 l, m <�2 v, v = ?

Terv: v = 2 � m

Számolás: v = 2 � 8 l v = 16 l

Ellen®rzés: 16 : 2 = 8

Válasz: 16 l méz volt a bödönben.

c) Adatok: p = 18, t = 2, gy = ?

Terv: gy = p : t

Számolás: gy = 18 : 2 gy = 9


Válasz: 9 gyerek vett részt a kiránduláson.

d) Adatok: 1 nap 10 búza 5 nap ?

Terv: x = 5 � 10

Számolás: x = 50

Válasz: 50 búzaszemet ehetett meg Cincogó.

e) Adatok: 5 nap 10 ki i, 1 nap ?

Terv: x = 10 : 5

Számolás: x = 2




Válasz: 2 ki icsücsköt rágott el naponta Surranó.

Gy. 62/15. feladat: Feladatok a tanult szorzótáblák gyakorlására.

Megoldás: 10 Ft tizedrésze 1 Ft 30 Ft tizedrésze 3 Ft

20 Ft tizedrésze 2 Ft 40 Ft tizedrésze 4 Ft

80 Ft tizedrésze 8 Ft


Megoldás: 10 cm = 1 dm 0 cm 20 cm = 2 dm 0 cm

25 cm = 2 dm 5 cm 45 cm = 4 dm 5 cm


Megoldás: 1 m = 10 dm = 2 lépés 2 m 5 dm = 25 dm = 5 lépés

3 m = 30 dm = 6 lépés 3 m 5 dm = 35 dm = 7 lépés



Gy. 62/18. feladat: Kreatív gondolkodást, problémamegoldó képesség fejlesztését

segít® feladatsor.

Megoldás: 5 { 5 + 5 = 5 5 : 5 � 5 = 5 5 : 5 + 5 = 6

5 + 5 { 5 = 5 5 � 5 : 5 = 5 5 � 5 + 5 = 30

5 � 5 { 5 = 20 5 + 5 + 5 = 15

Gy. 62/19. feladat: Kreatív gondolkodást, problémamegoldó képesség fejlesztését

segít® feladatsor.

Megoldás: 2 2 2

5 5 2

5 5 10



91

Gy. 63/20. feladat: Gra�konkészítés, elemzés, tapasztalatszerzés az egyenes ará-

nyosság körében. Figyeltessük meg, hogy az ugrások számának változásával hogyan

változik a lépcs®fokok száma.

Megoldás:

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ugrás

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

lépcs®fok

Ugrások száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lépcs®fok 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Gy. 63/21. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése.

Megoldás:

a) Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Magasság (dm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

b) Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Magasság (dm) 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20



Maradékos osztás








Óra: 51{53. 57{59. 63{66.

Az osztás fontos tulajdonsága, hogy nem végezhet® el minden esetben a természetes

számok körében. Az osztás fogalmának kialakulásához szükséges, hogy a gyermekek

felismerjék ezt. Ezért célszer¶ minél hamarabb foglalkoznunk a maradékos osztással.

A maradékos osztás korai tanulása mellett szól, hogy elvégzésekor az egyes szorzótáb-

lákat összetett feladathelyzetben alkalmazzuk, ezért sokkal hatékonyabban fejlesztjük a

számolási rutint, mint a szorzótáblák direkt gyakoroltatása során. A maradékos osztás a

számolási rutin mellett a számfogalmat is elmélyíti. A számok oszthatósági tulajdonsága-

iról további ismereteket szerez a tanuló. Például szétválogathatják a számokat aszerint,

hogy oszthatók-e maradék nélkül 2-vel, 5-tel vagy 10-zel.

Igaz vagy hamis állításokat fogalmazhatnak meg a tapasztaltakkal kapcsolatosan.

A maradékos osztás fogalmát el®készíthetjük konkrét tevékenységgel, például tárgyak,

ábrák csoportosításával, számegyenesen való lépegetéssel.

Tk. 62/1. feladat: A 2-vel való maradékos osztás fogalmát el®készít® feladatok. Az

eredmény helyességét mindig ellen®riztessük.

Már korábban is meg�gyelhették a gyermekek, hogy a páros számok maradék nélkül

oszthatók 2-vel, a páratlan számok 2-vel osztva 1-et adnak maradékul.

Megoldás: Citromsárga rúd nem rakható ki.

Sötétkék rúd nem rakható ki.

Narancssárga rúd kirakható.

Zöld rúd kirakható.



Meg�gyeltethetjük, ha páros számról indul a nyuszi, akkor mindig hazaér, ha páratlan

számról indul, akkor az 1-re jut. A páros számokat 2-vel osztva 0 a maradék, a páratlan

számokat 2-vel osztva 1 a maradék.

Megoldás: Honnan indul? 10 9 13 5 16 19 20 14 17 12

Hányat ugrik? 5 4 6 2 8 9 10 7 8 6

Hova érkezik? 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0



93



Megoldás: Ennyi makkjuk van 10 8 11 15 18 7 16 13 16

Ennyi makk jut egynek 5 4 5 7 9 3 8 6 8

Ennyi makk marad 0 0 1 1 0 1 0 1 0

Tk. 63/1. kidolgozott mintapélda: Az 5-tel való maradékos osztás (bennfoglalás) fo-

galmát el®készít® feladatok.

Tk. 63/2. kidolgozott mintapélda: Az 5-tel való maradékos osztás (részekre osztás)

fogalmát el®készít® feladatok.

Tk. 63/Figyeld meg!: Beszéljük meg, hogy a maradékos osztásnál hova kerül a mara-

dék, hogyan ellen®rizhetjük a feladat megoldását.

Tk. 63/4. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: 32 : 5 = 6 6 � 5 + 2 = 322

6 zacskó telik meg, 2 narancs marad.

Tk. 64/3. kidolgozott mintapélda: Tasziló ismét összegy¶jtötte azokat a típushibákat,

amelyeket a tanulók gyakran elkövetnek. Beszéljük meg ezeket, ez segíthet a fogalom,

megoldási menet biztosabb kialakításában.

Tk. 64/5. feladat: A 2-vel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 18 : 2 = 9 15 : 2 = 7 20 : 2 = 100 1 0

9 � 2 + 0 = 18 7 � 2 + 1 = 15 10 � 2 + 0 = 20

9 : 2 = 4 19 : 2 = 9 2 : 2 = 11 1 0

4 � 2 + 1 = 9 9 � 2 + 1 = 19 1 � 2 + 0 = 2

Ha páros számot osztunk, akkor a maradék 0.

Ha páratlan számot osztunk, akkor a maradék 1.

Tk. 65/6. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 41 : 5 = 8 35 : 5 = 7 19 : 5 = 31 0 4

8 � 5 + 1 = 41 7 � 5 + 0 = 35 3 � 5 + 4 = 19

23 : 5 = 4 7 : 5 = 1 40 : 5 = 83 2 0

4 � 5 + 3 = 23 1 � 5 + 2 = 7 8 � 5 + 0 = 40

0-ra vagy 5-re végz®dik az a szám, amelyet 5-tel osztva 0 a maradék.



Tk. 65/7. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: Innen indul 11 15 18 24 27 20 36 49 43 32 34

Ennyit ugrik 2 3 3 4 5 4 7 9 8 6 6

Ide érkezik 1 0 3 4 2 0 1 4 3 2 4

5-tel osztva a maradék 0, 1, 2, 3, 4 lehet.

5-tel osztva 3 a maradék: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, . . .

Tk. 65/8. feladat: A 10-zel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: Ennyi 1 van 25 48 72 93 61 7 56 64 99 100

Ennyi 10 -t kap 2 4 7 9 6 0 5 6 9 10

Ennyi 1 marad 5 8 2 3 1 7 6 4 9 0

10-zel osztva a maradék 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lehet.

10-zel osztva 3 a maradék: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, . . .

Gy. 64/1. feladat: A 2-vel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 9 Ft: 16 Ft: 13 Ft:

9 : 2 = 4 16 : 2 = 8 13 : 2 = 61 0 1

4 � 2 + 1 = 9 8 � 2 + 0 = 16 6 � 2 + 1 = 13

Gy. 64/2. feladat: 2-vel gyakoroltatjuk a maradékos osztást. A megoldást minden

esetben ellen®riztessük.

Megoldás: 19 : 2 = 9 15 : 2 = 71 1

9 �2 + 1 �

1 7 �2 + 1 �

1

14 : 2 = 7 11 : 2 = 50 1

7 �2 + 0 �

1 5 �2 + 1 �

1

Gy. 64/3. feladat: A 2-vel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 10 : 2 = 5 17 : 2 = 8 7 : 2 = 30 1 1

5 � 2 + 0 = 10 8 � 2 + 1 = 17 3 � 2 + 1 = 7

19 : 2 = 9 9 : 2 = 4 18 : 2 = 91 1 0

9 � 2 + 1 = 19 4 � 2 + 1 = 9 9 � 2 + 0 = 18

15 : 2 = 7 5 : 2 = 2 12 : 2 = 61 1 0

7 � 2 + 1 = 15 2 � 2 + 1 = 5 6 � 2 + 0 = 12



95

Gy. 65/4. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 16 Ft: 24 Ft: 20 Ft:

16 : 5 = 3 24 : 5 = 4 20 : 5 = 41 4 0

3 � 5 + 1 = 16 4 � 5 + 4 = 24 4 � 5 + 0 = 20

Gy. 65/5. feladat: 5-tel gyakoroltatjuk a maradékos osztást. A megoldást minden


Megoldás: 19 : 5 = 3 15 : 5 = 34 0

3 �5 + 4 �

1 3 �5 + 2 �

1

37 : 5 = 7 38 : 5 = 72 3

7 �5 + 0 �

1 7 �5 + 3 �

1

Gy. 65/6. feladat: Az 5-tel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 17 : 5 = 3 23 : 5 = 4 30 : 5 = 62 3 0

3 � 5 + 2 = 17 4 � 5 + 3 = 23 6 � 5 + 0 = 30

34 : 5 = 6 41 : 5 = 8 18 : 5 = 34 1 3

6 � 5 + 4 = 34 8 � 5 + 1 = 41 3 � 5 + 3 = 18

39 : 5 = 7 40 : 5 = 8 48 : 5 = 94 0 4

7 � 5 + 4 = 39 8 � 5 + 0 = 40 9 � 5 + 3 = 48

Gy. 66/7. feladat: A 10-zel való maradékos osztás fogalmát el®készít® feladatok. Az

eredmény helyességét mindig ellen®riztessük. Oldassunk meg több hasonló feladatot.

Figyeltessük meg:

(1) mely számok oszthatók maradék nélkül 10-zel;

(2) ha 10-zel osztunk, milyen maradékokat kaphatunk;

(3) hogyan olvasható le egy számról, hogy 10-zel osztva mennyit ad maradékul.

Megoldás: 48 Ft: 70 Ft 63 Ft:

48 : 10 = 4 70 : 10 = 6 63 : 10 = 68 0 3

4 � 10 + 8 = 48 7 � 10 + 0 = 63 6 � 10 + 3 = 63

Gy. 66/8. feladat: 10-zel gyakoroltatjuk a maradékos osztást. A megoldást minden




Megoldás: 19 : 10 = 1 28 : 10 = 29 8

1 �10 + 9 �

1 2 �10 + 8 �

1

37 : 10 = 3 60 : 10 = 67 0

3 �10 + 7 �

1 6 �10 + 0 �

1

Gy. 66/9. feladat: A 10-zel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 26 : 10 = 2 36 : 10 = 3 45 : 10 = 46 6 5

2 � 10 + 6 = 26 3 � 10 + 6 = 36 4 � 10 + 5 = 45

54 : 10 = 5 74 : 10 = 7 80 : 10 = 84 4 0

5 � 10 + 4 = 54 7 � 10 + 4 = 74 8 � 10 + 0 = 80

Óra: 54. 60. 67.


Óra: 55. 61. 68.


A 3-as szorzótábla, osztás 3-mal








Óra: 56{59. 62{66. 69{74.

A 3-as szorzótábla felépítését, a szorzás és osztás fogalmának b®vítését szemléleti

megalapozással (például számegyenesen való lépegetéssel, színesrudakkal történ® ki-

rakással, rajzok kiegészítésével) készíthetjük el®. Fontos a sokféle feladathelyzet, a

matematikai tartalom minél sokoldalúbb megközelítése. A tanulók ismerjék fel újra és

tudatosítsák az összeadás és a szorzás, illetve a szorzás és az osztás kapcsolatát, a

szorzás tényez®inek felcserélhet®ségét, �gyeljék meg, hogy a tényez®k változtatásá-

val hogyan változik a szorzat értéke. A szorzótábla megtanulása és alkalmazása során

hasznosítsák a felismert összefüggéseket. A színesrudak kirakásával nemcsak a szor-

zás fogalmát, a tényez®k felcserélhet®ségét szemléltetjük, hanem a hosszúságmérésr®l

tanultakat is elmélyíthetjük.



97

A fejezet végén lév® számrejtvények a problémamegoldó képesség, a kreativitás fej-

lesztését segítik el®.

Tk. 66/1. feladat: 3 többszöröseinek, illetve a számok 3-szorosának képzése szám-

egyenesen való lépegetéssel. A feladatok eredményeinek összehasonlításával újra fel-

fedezhetik a gyermekek a szorzat tényez®inek felcserélhet®ségét.

Ha a 0-tól kezdve hármasával lépegetünk a számegyenesen, akkor a 3 többszöröseit

�gyeltethetjük meg. Lehetséges meg�gyelési szempontok:

Hová jutunk el valahány lépéssel?

Hány lépéssel juthatunk el valahová (a 3 valamelyik többszöröséhez)?

Mely számokhoz jutunk el és mely számokhoz nem?

Meg�gyeltethetjük, hogy az egyik tényez®nek a megkétszerezése hogyan változtatja

meg a szorzat értékét.

Megoldás: A 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 számokat jelöltük meg.

Tk. 66/2. feladat: 3 többszöröseinek, illetve a számok 3-szorosának képzése színesru-

dakkal való kirakással.

Megoldás: 3 1 � 3 cm = 3 cm

3 + 3 = 6 2 � 3 cm = 6 cm

3 + 3 + 3 + 3 = 12 4 � 3 cm = 12 cm

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 8 � 3 cm = 24 cm

Tk. 66/3. feladat: Ha szükséges, akkor pálcikákból rakassuk ki a formákat.

Megoldás:

Formák sorszáma: 0 1 3 5 10 9 2 4 6 8 7

Pálcikák száma: 0 3 9 15 30 27 6 12 18 24 21

Tk. 66/4. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának meg�gyeltetése mellett a

szorzás tényez®inek a felcserélhet®ségét is szemléltethetjük az ábrával.

Megoldás: 3 emeleten 3 � 3 = 9 21 ablak 7 � 3 = 21

6 emeleten 6 � 3 = 18 15 ablak 5 � 3 = 15

9 emeleten 9 � 3 = 27 30 ablak 10 � 3 = 30

Tk. 67/5. feladat: A feladatok feldolgozása azért is fontos, mert a természetes számok-

kal mint mér®számokkal végezzük a m¶veletet. Ez egyaránt er®síti és elmélyíti a szám-

és a m¶veletfogalmat, illetve a hosszúságmérés fogalmát. A rudak, illetve a kirakott

hosszúságok megmérésével gyakoroltathatjuk a hosszúságmérést.

Megoldás: 3 � 1 cm = 3 cm 3 � 3 cm = 9 cm 3 � 5 cm = 15 cm

3 � 2 cm = 6 cm 3 � 10 cm = 30 cm



Tk. 67/6. feladat: A 3-mal való szorzás osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg.


3 ugrással 0 3 9 12 18 21 24 27

Tk. 67/7. feladat: Felismerhetik a gyermekek, hogy pontosan akkor lesz a szorzat

páratlan, ha mindkét tényez®je páratlan.

Megoldás: 2 � 3 = 6 3 � 3 = 9 5 � 2 = 10 3 � 5 = 15 3 � 4 = 12páros páratlan páros páratlan páros

2 � 10 = 20 3 � 10 = 30 3 � 6 = 18 7 � 3 = 21 1 � 3 = 3páros páros páros páratlan páratlan

9 � 2 = 18 3 � 9 = 27 4 � 10 = 40 5 � 5 = 25 8 � 3 = 24páros páratlan páros páratlan páros


úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 3-as szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük

a korábban tanultakat.


mek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®ek. Fi-

gyeltessük meg, hogy melyek azok a szorzatok, amelyeket már korábban is ismertek,

melyek azok, amelyeket most kell megtanulniuk.

Megoldás: 2 � 3 = 6 3 � 9 = 27

3 � 2 = 6 3 � 1 = 3

7 � 3 = 21 3 � 3 = 9

3 � 7 = 21 0 � 3 = 0

9 � 3 = 27 3 � 0 = 0

Tk. 68/9. feladat: Ebben a feladatban is azt �gyeltethetjük meg, mely számok bonthatók

fel többféleképpen két szám szorzatára.

Megoldás: 12 = 2 � 6 = 4 � 3 = 3 � 4 = 6 � 2

15 = 5 � 3 = 3 � 5

18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 6 � 3 = 3 � 6

Tk. 68/10. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, metakogníciót fejleszt® feladatsor.

Megoldás: Ugyanaz a szín ugyanazt a számot jelenti a két ábrában.

2�2 = 4 2

�2

�2 = 8 5

�5 = 25

2�3 = 6 2

�2

�3 = 12 2

�5

�5 = 50

3�3 = 9 2

�3

�3 = 18 3

�3

�2 = 18

2�5 = 10 3

�3

�3 = 27 3

�3

�5 = 45

3�5 = 15 2

�3

�5 = 30 2

�5

�3 = 30



99

Tk. 68/11. feladat: Ebben a feladatban is azt �gyeltethetjük meg, mely számok bontha-

tók fel többféleképpen két szám szorzatára.

Megoldás: 10 � 3 9 � 2 1 � 10 4 � 5 6 � 2

6 � 5 6 � 3 2 � 5 10 � 2 4 � 3

Tk. 69/12. feladat: Az eddig tanult szorzótáblák számainak ismerete a feladat problé-

mahelyzetben. Több hasonló feladattal tudatosulhat a tanulókban, mely számok mely

szorzótáblák számai között szerepelnek. Kés®bb meg�gyelhetik azt is, melyek azok a

számok, amelyek egyik szorzótábla számai között sem szerepelnek.

Megoldás: A 2-es szorzótábla számai között nem szerepel az 5.

A 3-as szorzótábla számai között nem szerepel a 14.

Az 5-ös szorzótábla számai között nem szerepel a 9.

A 10-es szorzótábla számai között nem szerepel az 1.

Tk. 69/13. feladat: A szorzótáblák gyakorlása komplex feladatban.

Megoldás: a3

b5

c2

d2 0

e4 0

f3 0

g9

h2 7

i1

j2

k1 8

1 5

l6


Megoldás: A szorzat 12:

3 5 2 7 2 6 3 6

4 4 8 5 8 9 5 4

7 9 6 2 7 6 5 3

2 8 6 4 9 3 5 7

2 3 5 3 8 2 2 8

A szorzat 18:

3 6 9 6 7 4 6 9

7 9 5 2 9 3 5 8

8 5 8 8 3 2 2 7

2 6 4 2 7 9 7 5

3 3 7 6 5 8 6 3


Megoldás: Célszer¶ a második szorzatból kiindulni: z � z � z � z = 16; z = 2



Tk. 70/16. feladat: Az osztás (bennfoglalás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése

rajzzal, számítással. A számolás során, illetve az eredmény ellen®rzésekor tudatosítsuk

az osztás és a szorzás kapcsolatát. Hívjuk fel a �gyelmet az ellen®rzés fontosságára.

Figyeltessük meg az osztó és a hányados változását.

Megoldás: 30 : 10 = 3 30 : 3 = 10

3 � 10 = 30 10 � 3 = 30

3 tányér kell. 10 tányér kell.

Tk. 70/17. feladat: Az osztás (bennfoglalás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése

rajzzal, számítással. A számolás során, illetve az eredmény ellen®rzésekor tudatosítsuk

az osztás és a szorzás kapcsolatát. Hívjuk fel a �gyelmet az ellen®rzés fontosságára.

Megoldás: 18 : 3 = 6, mert 6 � 3 = 18 15 : 3 = 5, mert 5 � 3 = 15

6 csokrot készít. 5 csokrot készít.

Tk. 70/18. feladat: A képr®l több szorzást, illetve osztást várunk el a tanulóktól. Írat-

hatunk (a füzetbe) összeadásokat is, ezzel mélyítjük az összeadás és a szorzás közti

kapcsolatot.

Megoldás: 6 � 2 = 12 12 : 2 = 6 6 � 4 = 24 24 : 4 = 6

2 � 6 = 12 12 : 6 = 2 4 � 6 = 24 24 : 6 = 4

3 � 4 = 12 12 : 4 = 3 12 � 2 = 24 24 : 2 = 12

4 � 3 = 12 12 : 3 = 4 2 � 12 = 24 24 : 12 = 2

3 � 8 = 24 24 : 8 = 3

8 � 3 = 24 24 : 3 = 8

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

6 + 6 = 12

4 + 4 + 4 = 12

3 + 3 + 3 + 3 = 12

Tk. 71/19. feladat: Az osztás (részekre osztás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzé-

se rajzzal, számolással. Új mozzanat a harmadrész megjelenítése rajzzal. Ismét hívjuk

fel a tanulók �gyelmét az ellen®rzés fontosságára.

Megoldás: 21 harmadrésze 7 , 21 osztva 3-mal = 7 ,

21 : 3 = 7 , mert 3 �7 = 21. 7 salátát kap.

Tk. 71/20. feladat: Az osztás (részekre osztás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzé-

se rajzzal, számolással. Ismét hívjuk fel a tanulók �gyelmét az ellen®rzés fontosságára.

Megoldás: 18 harmadrésze = 6 15 harmadrésze = 5

18 : 3 = 6, mert 3 � 6 = 18 15 : 3 = 5, mert 3 � 5 = 15

6 makkot kap. 5 makkot kap.

Tk. 71/21. feladat: Szorzás, osztás 3-mal. Tudatosítsuk a két m¶velet közötti inverz

kapcsolatot.



101

Megoldás: Ennyi van 0 3 9 6 15 12 18 24 27 21 30

Ennyi lesz 0 1 3 2 5 4 6 8 9 7 10

Tk. 72/22. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása. A fel-

adatsorokat akkor célszer¶ feldolgoztatni, amikor már megbízhatóan tudják a hármas

szorzótáblát a tanulók. Ugyanakkor a maradékos osztás gyakorlása továbbfejleszti a

gyermekek számolási képességeit. Ismertessük fel, hogy ha 3-mal osztjuk a számot,

akkor a maradék 0, 1 vagy 2.

Megoldás: Ennyi gomb volt 7 8 5 23 22 21 28 30 27

Ennyi blúzra elég 2 2 1 7 7 7 9 10 9

Ennyi gomb maradt 1 2 2 2 1 0 1 0 0

Tk. 72/23. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása.

Megoldás: Répa van 6 11 12 23 3 4 16 19 24 25 26

Egynek jut 2 3 4 7 1 1 5 6 8 8 8

Marad 0 2 0 2 0 1 1 1 0 1 2

Tk. 72/24. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása. Ismét

�gyeltessük meg, hogy 3-mal osztva a maradék 0, 1, 2 lehet.

Megoldás: Innen indul 10 9 13 14 15 20 24 25 26 17 18

Ennyit ugrik 3 3 4 4 5 6 8 8 8 5 6

Ide érkezik 1 0 1 2 0 2 0 1 2 2 0

Tk. 72/25. feladat: A szorzásról és az osztásról tanultak alkalmazása szöveges felada-


Megoldás: Adatok: F = 9, F <�3 D, D = ?

Terv: D = 3 � F

Számolás: D = 3 � 9 D = 27


Válasz: 27 halat fogott Del�n Dini.



Megoldás: Adatok: r = 9, r � 3 > d, d = ?

Terv: d = r : 3

Számolás: d = 9 : 3 d = 3


Válasz: 3 kagylót gy¶jtött délben Vidra Vidor.





Megoldás: Adatok: h = 18, m = 1 + 2 = 3, e = ?

Terv: e = h : m

Számolás: e = 18 : 3 e = 6


Válasz: 6 hal jutott egy mackónak.



Megoldás: Adatok: 1 perc 3 m, ? perc 12 m

Terv: x = 12 : 3

Számolás: x = 4 perc

Ellen®rzés: 4 � 3 m = 12 m

Válasz: 4 perc alatt érnek oda.

Gy. 67/1. feladat: A hármasával növekv®, illetve csökken® sorozatok képzése során

a tanulók gyakorolják a kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadását, kivonását a tízesek

átlépésével. Ez egyrészt a hármas szorzótábla tanulását készíti el®, másrészt a számok

3-mal való oszthatóságával kapcsolatosan gy¶jtenek tapasztalatokat a gyermekek. A

feladatot kiegészíthetjük igaz vagy hamis állítások logikai értékének meghatározásával.

Megoldás: A sorozat mindig 3-mal növekszik.

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32

A sorozat mindig 3-mal csökken.

30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0

29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, esetleg (-1)

28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, esetleg (-2)

Gy. 67/2. feladat: Ha szükséges, akkor pálcikákból rakassuk ki a formákat.

Megoldás: 1 � 3 = 3 2 � 3 = 6 3 � 3 = 9

4 � 3 = 12 5 � 3 = 15 6 � 3 = 18

7 � 3 = 21 8 � 3 = 24

9 � 3 = 27 10 � 3 = 30

Gy. 67/3. feladat: Figyeltessük meg, hogy a tényez®k felcserélhet®k.

Megoldás: 3 � 4 = 12 3 � 5 = 15 3 � 7 = 21

4 � 3 = 12 5 � 3 = 15 7 � 3 = 21



103



Megoldás: a) 0 � 3 = 0 3 � 3 = 9 6 � 3 = 18 9 � 3 = 27

1 � 3 = 3 4 � 3 = 12 7 � 3 = 21 10 � 3 = 30

2 � 3 = 6 5 � 3 = 15 8 � 3 = 24

b) 10 � 3 = 30 8 � 3 = 24 6 � 3 = 18 9 � 3 = 27

7 � 3 = 21 5 � 3 = 15 3 � 3 = 9 1 � 3 = 3

0 � 3 = 0 4 � 3 = 12 2 � 3 = 6 3 � 3 = 9

Gy. 68/5. feladat: A 3-as szorzótábla gyakorlása.

a)

0 10 20 30

3 � 1 = 3

3 � 7 = 2 1

b)

0 10 20 30

3 � 2 = 6

3 � 4 = 1 2

c)

0 10 20 30

3 � 3 = 9

3 � 6 = 1 8

d)

0 10 20 30

3 � 5 = 1 5

3 � 1 0 = 3 0

e)

0 10 20 30

3 � 8 = 2 4

3 � 9 = 2 7

Gy. 68/6. feladat: Az eddig tanult szorzótáblák gyakorlása.

Megoldás: a) 35 16 30 18

25 8 4 3

12 20 30 40

b) 27 16 18 18

10 21 16 20

24 14 15 9

Gy. 69/7. feladat: Osztás (bennfoglalás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése

rajzzal, számítással.

Megoldás: 12 : 3 = 4 24 : 3 = 8 18 : 3 = 6

4 � 3 = 12 8 � 3 = 24 6 � 3 = 18





3 : 3 = 1 mert 1 � 3 = 3 21 : 3 = 7 mert 7 � 3 = 21

6 : 3 = 2 mert 2 � 3 = 6 24 : 3 = 8 mert 8 � 3 = 24

9 : 3 = 3 mert 3 � 3 = 9 27 : 3 = 9 mert 9 � 3 = 27

12 : 3 = 4 mert 4 � 3 = 12 30 : 3 = 10 mert 10 � 3 = 30

15 : 3 = 5 mert 5 � 3 = 15

Gy. 69/9. feladat: Osztás (részekre osztás) értelmezése a szöveg alapján, elvégzése

rajzzal, számítással.

Megoldás: 5 fa színes. 3 fa színes. 7 fa színes.

15 : 3 = 5 9 : 3 = 3 21 : 3 = 7

3 � 5 = 15 3 � 3 = 9 3 � 7 = 21

Gy. 69/10. feladat: Gyakoroljuk a számok harmadrészének meghatározását.

Megoldás: 0 : 3 = 0 mert 3 �0 = 0 18 : 3 = 6 mert 3 � 6 = 18

3 : 3 = 1 mert 3 �1 = 3 21 : 3 = 7 mert 3 � 7 = 21

6 : 3 = 2 mert 3 �2 = 6 24 : 3 = 8 mert 3 � 8 = 24

9 : 3 = 3 mert 3 �3 = 9 27 : 3 = 9 mert 3 � 9 = 27

12 : 3 = 4 mert 3 �4 = 12 30 : 3 = 10 mert 3 � 10 = 30

15 : 3 = 5 mert 3 �5 = 15

Gy. 70/11. feladat: Az eddig tanult bennfoglalótáblák gyakorlása.


10 2 0 9

7 5 10 1

b) 6 7 4 8

2 5 9 6

9 3 5 5

c) 8 3 2 7

6 1 9 4

8 6 10 4

d) 3 21 3 3

24 18 3 3

12 0 3 3



105

Gy. 70/12. feladat: A feladat megoldása során tudatosítja a tanuló az összeadás és a

szorzás, illetve a szorzás és az osztás fogalmát és kapcsolatát.

Megoldás: t 3 9 6 15 0 12 18 21 27 24 30

cs 1 3 2 5 0 4 6 7 9 8 10

Gy. 70/13. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy egy képhez több m¶velet is tartozhat.

A fels® képhez tartozik: 3 � 2 = 6 2 + 2 + 2 = 6

2 � 3 = 6 6 : 2 = 3

3 + 3 = 6 6 : 3 = 2

6 : 3 = 2

Az alsó képhez tartozik: 2 + 2 = 4 2 � 2 = 4

4 : 2 = 2

Egyik képhez sem tartozik: 3 + 3 + 3 = 9 3 � 3 = 9

Gy. 70/14. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) 26 28 10 3

70 82 6 5

b) 94 38 70 7

76 53 18 8

Gy. 71/15. feladat: Az öt szöveges feladatot egy tanórán célszer¶ feldolgozni. Ismerjék

fel a gyermekek, hogy nagyon fontos az adatok helyes lejegyzése. Ez csak úgy lehetsé-

ges, ha képesek helyesen értelmezni a szöveget. Vetessük észre, hogy többféle helyes

lejegyzés lehetséges. Ennek alapján a megoldás tervét is többféle formában írhatjuk le

számfeladattal. Mindig tisztázzuk, hogy az alkalmazott bet¶k vagy egyéb szimbólumok

mit jelentenek az adatok lejegyzésekor. Például az a) feladatban a H és a K bet¶ nem

a hétf®, illetve kedd rövidítése, hanem a hétf®n, illetve kedden olvasott lapok szá-

mát jelenti. Ily módon az adatok lejegyzésekor a bet¶szimbólumok alkalmazásával is

ismerkednek a gyermekek. A fordított szövegezés esetén (lásd c) és d) feladat) sokkal

nehezebb az adatok helyes értelmezése, ezért mindig tisztázzuk, hogy a két adat közül

melyik nagyobb. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: a) Adatok: h = 9, h <+3 k, k = ?

Terv: k = h + 3

Számolás: k = 9 + 3 k = 12

Válasz: 12 oldalt olvasott el kedden Jutka.

b) Adatok: K = 9, K <3 L, L = ?

Terv: L = 3 � K

Számolás: L = 3 � 9 L = 27

Válasz: 27 bélyege van Lacinak.



c) Adatok: M = 9, M �3> N, N = ?

Terv: N = M : 3

Számolás: N = 9 : 3 N = 3


Válasz: 3 képeslapja van Noéminek.

d) Adatok: G = 9, p :3> G, p = ?

Terv: p = 3 � G

Számolás: p = 3 � 9 p = 27

Válasz: 27 palacsintát sütött édesanya.

e) Adatok: b = 9, b :3> F, F = ?

Terv: F = b : 3

Számolás: F = 9 : 3 F = 3


Válasz: 3 barackot evett meg Feri.

Adatok: v = 9, F = 3, m = ?

Terv: m = v { F

Számolás: m = 9 { 3 m = 6

Ellen®rzés: 6 + 3 = 9

Válasz: 6 barack maradt.

Gy. 72/16. feladat: A 3-mal való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 11 : 3 = 3 15 : 3 = 5 23 : 3 = 7

2 0 2

3 � 3 + 2 = 11 5 � 3 + 0 = 15 7 � 3 + 2 = 23

Gy. 72/17. feladat: A 3-mal való maradékos osztás elvégzése, gyakorlása. Ismét

�gyeltessük meg, hogy 3-mal osztva a maradék 0, 1, 2 lehet.

Megoldás: Lap van 9 10 15 20 16 26 14 28 18 24 22 8

Kunyhó lett 3 3 5 6 5 8 4 9 6 8 7 2

Maradt 0 1 0 2 1 2 2 1 0 0 1 2

Gy. 72/18. feladat: A 3-mal való maradékos osztás gyakorlására szánt komplex fel-

adatsor. A problémamegoldó képesség, kreativitás, metakogníció fejlesztésére szánt

feladat.

Megoldás:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.



107

a) Az adott ábrák a következ® sorszámoknál vannak:

3., 6., 9., 12., 15., 18., 21., 24., 27., 30.

1., 4., 7., 10., 13., 16., 19., 22., 25., 28., 31.

b) Az adott sorszámoknál a következ® ábrák vannak:

6. 10. 12. 14. 17. 18. 19. 25. 29.

Az ellen®rzést el®ször szóban kérjük, majd jegyeztessük is le (lásd 145/1. feladat).

Gy. 73/19. feladat: A 3-mal való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 14 : 3 = 4 22 : 3 = 7 15 : 3 = 52 1 0

4 � 3 + 2 = 14 7 � 3 + 1 = 22 5 � 3 + 0 = 15

7 : 3 = 2 26 : 3 = 8 19 : 3 = 61 2 1

2 � 3 + 1 = 7 8 � 3 + 2 = 26 6 � 3 + 1 = 19

1 : 3 = 0 27 : 3 = 9 13 : 3 = 4

1 0 1

0 � 3 + 1 = 1 9 � 3 + 0 = 27 4 � 3 + 1 = 13

Gy. 73/20. feladat: Figyeljük meg a szorzás és osztás közti kapcsolatot. Például ha

egy számot 4-gyel szorzunk, majd 2-vel osztunk, az annyit jelent, mintha csak 2-vel

szoroztuk volna.

Megoldás:

3

� 4 : 21 2 6

� 2

3

� 6 : 21 8 9

� 3

� 3 � 3

273 9

� 9

� 2

6

� 5

3 3 0

� 1 0



Gy. 73/21. feladat: A szorzásról és osztásról tanultak alkalmazása összetett feladatok-

ban.

Megoldás: 9 � 2 = 6 � 3 18 : 3 = 2 � 3 18 : 2 = 2 7 : 3

6 � 5 = 3 � 10 9 : 3 = 3 � 1 27 : 3 = 1 8 : 2

2 � 6 = 3 � 4 12 : 2 = 2 � 3 15 : 3 = 2 5 : 5

Gy. 73/22. feladat: A szorzásról és osztásról tanultak alkalmazása összetett feladatok-

ban.

Megoldás: a)

2 7z }| {3 � 9 =

1 8z }| {2 � 9 + 9

2 1z }| {7 � 3 =

1 4z }| {7 � 2 + 7

b)

1 8z }| {3 � 6 =

2 4z }| {4 � 6 { 6

9z }| {18 : 2 =

6z }| {18 : 3 + 3

c)

5z }| {15 : 3 =

3z }| {15 : 5 + 2

4z }| {12 : 3 =

3z }| {12 : 4 + 1

Kétjegy¶ számok kétszerese








Óra: 60{61. 67{68. 75{76.

A szorzótáblák közti összefüggések felismeréséhez szükséges, hogy a gyermek ki tudja

számolni az 50-nél kisebb kétjegy¶ számok kétszeresét. A kétjegy¶ számok kétszere-

se visszavezethet® két egyenl® tag összegére, illetve a tízesek kétszeresének és az

egyesek kétszeresének összegére. Így ezek a feladatok el®készítik a kétjegy¶ számok

összeadását és szorzását is.

Tk. 74/1. feladat: Egyjegy¶ számok, illetve kétjegy¶ kerek tízesek kétszerese. A

feladatok megoldásához játék pénzt használunk modellnek.

Megoldás: 1 + 1 = 2 2 + 2 = 4 5 + 5 = 10

2 � 1 = 2 2 � 2 = 4 2 � 5 = 10

10 + 10 = 20 20 + 20 = 40 50 + 50 = 100

2 � 10 = 20 2 � 20 = 40 2 � 50 = 100



109

Tk. 74/2. feladat: Egyjegy¶ számok, illetve kétjegy¶ kerek tízesek kétszerese. A

feladatok megoldásához számegyenesen való lépegetést használunk modellnek.

Megoldás: 3 + 3 = 6 30 + 30 = 60

2 � 3 = 6 2 � 30 = 60

4 + 4 = 8 40 + 40 = 80

2 � 4 = 8 2 � 40 = 80

Tk. 74/3. feladat: A szorzásról tanultak alkalmazása játékos feladatban.

Megoldás:

0 2 � 1 40 2 � 3 6 10 2 � 50 100

2 2 � 10 2 � 20 2 � 30 2 � 40 80 2 � 5

2 � 0 20 2 � 2 4 60 2 � 4 8

Tk. 75/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, hogy egy kétjegy¶ szám kétsze-

rese visszavezethet® a tízesek és az egyesek kétszeresének összegére.

Tk. 75/2. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, hogy egy kétjegy¶ szám kétsze-

rese visszavezethet® a tízesek és az egyesek kétszeresének összegére.

Tk. 75/4. feladat: Kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítása. Az ábra segít a megol-

dásban.

Megoldás: a) b)2 � 10 = 20

2 � 6 = 12

)2 � 16 = 32

2 � 20 = 40

2 � 5 = 10

)2 � 25 = 50

c) 2 � 20 = 40

2 � 8 = 16

)2 � 28 = 56

Tk. 76/5. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása szöveges feladat megol-

dása során. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: D = 34, D <�2 B, B = ?

Terv: B = 2 � D

Számolás: B = 2 � 34 B = 68

Válasz: 68 szem málnát talált Brumi.

Tk. 76/6. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása szöveges feladat megol-

dása során. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási kész

Megoldás: Adatok: 1 ugrás 49 dm, 2 ugrás ?

Terv: x = 2 � 49 dm

Számolás: x = 98 dm

Válasz: 98 dm-re távolságra jut 2 ugrással Gida.



Tk. 76/7. feladat: Kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítása alapján a helyes ered-

mény megkeresése.

Megoldás: 12 17 23 28 39

Tk. 76/8. feladat: Ismét �gyeltessük meg az ismételt összeadás és a szorzás közti

kapcsolatot.

Megoldás:

Ny 15 14 13 6 16 26 18 20 50 40 37 19 24 25

S 15 14 13 6 16 26 18 20 50 40 37 19 24 25

E 30 28 26 12 32 52 36 40 100 80 74 38 48 50

Lehet együtt 44 almájuk, mert, 22 + 22 = 44

Nem lehet együtt 45 almájuk, mert egy szám kétszerese mindig páros szám.

Tk. 77/9. feladat: El®ször számolják ki a tanulók a szorzások eredményét, majd rajzol-

ják a képrészletet a megfelel® helyre. Képi gondolkodást, térszemléletet, kreativitást,

feladattartást fejleszt®

Megoldás: Beírandó eredmények: 32 52 48 18

20 36 21 28

66 98 90 50

40 24 56 70

Egy Mikulás képe alakul ki.

Gy. 74/1. feladat: Kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítása ismételt összeadásként,

illetve szorzásként.

Megoldás: a) 10 + 10 = 20 2 � 10 = 20

3 + 3 = 6 2 � 3 = 6

13 + 13 = 26 2 � 13 = 26

b) 20 + 20 = 40 2 � 20 = 40

4 + 4 = 8 2 � 4 = 8

24 + 24 = 48 2 � 24 = 48



111

c) 30 + 30 = 60 2 � 30 = 60

5 + 5 = 10 2 � 5 = 10

35 + 35 = 70 2 � 35 = 70

Gy. 74/2. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat.

Megoldás:

2 � 12| {z } = 2 4

2 � 10| {z }2 0

+ 2 � 2| {z }4

2 � 34| {z } = 6 8

2 � 10| {z }6 0

+ 2 � 4| {z }8

2 � 46| {z } = 9 2

2 � 10| {z }8 0

+ 2 � 6| {z }1 2

2 � 18| {z } = 3 6

2 � 10| {z }2 0

+ 2 � 8| {z }1 6

2 � 38| {z } = 7 6

2 � 10| {z }6 0

+ 2 � 8| {z }1 6

2 � 25| {z } = 5 0

2 � 10| {z }4 0

+ 2 � 5| {z }1 0


Megoldás:

a) 2 � 10 = 2 0 2 � 20 = 4 0 2 � 40 = 8 0 2 � 30 = 6 0

2 � 4 = 8 2 � 3 = 6 2 � 1 = 2 2 � 2 = 4

2 � 14 = 2 8 2 � 23 = 4 6 2 � 41 = 8 2 2 � 32 = 6 4

b) 2 � 30 = 6 0 2 � 10 = 2 0 2 � 20 = 4 0 2 � 10 = 2 0

2 � 2 = 4 2 � 5 = 1 0 2 � 6 = 1 2 2 � 8 = 1 6

2 � 32 = 6 4 2 � 15 = 3 0 2 � 26 = 5 2 2 � 18 = 3 6


Megoldás: a) 10 � 2 = 20 b) 10 � 2 = 20

2 � 2 = 4 6 � 2 = 12

12 � 2 = 24 16 � 2 = 32

c) 10 � 2 = 20

7 � 2 = 14

17 � 2 = 34




Megoldás:

21 � 2| {z } = 4 2

20 � 2| {z }4 0

+ 1 � 2| {z }2

27 � 2| {z } = 5 4

20 � 2| {z }4 0

+ 7 � 2| {z }1 4

31 � 2| {z } = 6 2

30 � 2| {z }6 0

+ 1 � 2| {z }2

19 � 2| {z } = 3 8

10 � 2| {z }2 0

+ 9 � 2| {z }1 8

39 � 2| {z } = 7 8

30 � 2| {z }6 0

+ 9 � 2| {z }1 8

45 � 2| {z } = 9 0

40 � 2| {z }8 0

+ 5 � 2| {z }1 0


Megoldás:

a) 10 � 2 = 2 0 20 � 2 = 4 0 30 � 2 = 6 0 40 � 2 = 8 0

1 � 2 = 2 4 � 2 = 8 3 � 2 = 6 2 � 2 = 4

11 � 2 = 2 2 24 � 2 = 4 8 33 � 2 = 6 6 42 � 2 = 8 4

b) 30 � 2 = 6 0 20 � 2 = 4 0 10 � 2 = 2 0 20 � 2 = 4 0

6 � 2 = 1 2 9 � 2 = 1 8 7 � 2 = 1 4 8 � 2 = 1 6

36 � 2 = 7 2 29 � 2 = 5 8 17 � 2 = 3 4 28 � 2 = 5 6

c) 40 � 2 = 8 0 17 � 2 = 3 4 2 � 11 = 2 2 2 � 16 = 3 2

5 � 2 = 1 0 19 � 2 = 3 8 2 � 12 = 2 4 2 � 15 = 3 0

45 � 2 = 9 0 18 � 2 = 3 6 2 � 13 = 2 6 2 � 14 = 2 8

Gy. 76/7. feladat: A �kétszerese" fogalmának sokoldalú megalapozása. Szükség ese-

tén, különböz® eszközök (játék pénz, mér®szalag, színesrúd) segítségével további

feladatokat is célszer¶ megoldatni.

Megoldás: Szabály: M � 2 = L, 2 � M = L, L : 2 = M, L : M = 2

Madarak száma 1 10 12 20 16 13 14 15 21 18 50

Lábak száma 2 20 24 40 32 26 28 30 42 36 100

Gy. 76/8. feladat: A kétjegy¶ számok kétszeresének kiszámítását gyakoroltató feladat

méréshez kapcsolva.

Megoldás: a) A papírcsík hossza 25 cm.

2 � 2 5 cm = 5 0 cm = 5 dm 0 cm



113

b) A papírcsík hossza 19 cm.

2 � 1 9 cm = 3 8 cm = 3 dm 8 cm

c) A papírcsík hossza 33 cm.

2 � 3 3 cm = 6 6 cm = 6 dm 6 cm

Gy. 76/9. feladat: A feladat az, hogy 2-szer 12 területegységnyi terület¶ téglalapot

rajzoljunk.

Megoldás: A 24-et négyféleképpen tudjuk két szám szorzatára bontani, így összesen 4

megoldás van.

1 � 24 = 24, 2 � 12 = 24, 3 � 8 = 24, 4 � 6 = 24

Tk. 77/10. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása szöveges feladat meg-

oldása során. Fontosnak tartjuk, hogy minden témakörhöz kapcsolódóan oldjanak meg

elegend® szöveges feladatot a gyermekek. A feladatok egy része a kés®bbi folyamatos

ismétlés keretében is megoldatható. Amennyiben még nem rögzült a szöveges feladatok

megoldási menete, hívjuk fel a tanulók �gyelmét: Gy¶jtsék ki az adatokat! Írjanak a szö-

vegr®l egyenletet! Számítsák ki az eredményt! Válaszoljanak a kérdésre! Szövegértés,

szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: a) Adatok: J = 16 Ft, J <�2 K, K = ?

Terv: K = 2 � J

Számolás: K = 2 � 16 Ft K = 32 Ft

Válasz: 32 Ft-ja van Karcsinak.

b) Adatok: 1 nap 2 oldal, 19 nap ?

Terv: x = 19 � 2

Számolás: x = 38

Válasz: 38 oldalas a történet.

c) Adatok: 1 kancsó 15 dl, 1 vödör 2 kancsó, v = ?

Terv: v = 2 � k



Számolás: v = 2 � 15 v = 30

Válasz: 30 dl = 3 l víz lett a vödörben.

d) Adatok: 1 személy 2 sütemény, 18 személy ?

Terv: x = 18 � 2

Számolás: x = 36

Válasz: 36 mézeslepényt sütött Brumi.

e) Adatok: 1 nap 2 káposzta, 17 nap ?

Terv: x = 17 � 2

Számolás: x = 34

Válasz: 34 káposztája volt Mekeginek.

f) Adatok: T = 25 cm, T <�2 P, P = ?

Terv: P = 2 � T

Számolás: P = 2 � 25 cm P = 50 cm

Válasz: 50 cm = 5 dm magas Picur.

A 4-es szorzótábla, osztás 4-gyel








Óra: 62-65. 69{73. 77{82.

A 3-as szorzótáblánál elmondottakat a következ®kkel egészítjük ki:

A 4-es szorzótábla elsajátíttatásánál fektessünk súlyt a 2-es és a 4-es szorzótábla közti

kapcsolat felismertetésére és tudatos alkalmazására. Ez nemcsak a matematikai szem-

léletmód fejlesztése szempontjából fontos, hanem a korábban tanult 2-es szorzótábla

gyakorlását, valamint a �fele" és a �kétszerese" fogalmak megszilárdítását is szolgálja.

Tk. 78/1. feladat: A gyermekek ismerjék fel és konkrét esetekhez kapcsolódóan a saját

szavaikkal fogalmazzák is meg, hogy ha az egyik tényez® a 2-szeresére n®, a másik

változatlan, akkor a szorzat is a 2-szeresére n®.

Megoldás: 1 � 4 cm = 4

3 rúd 4 + 4 + 4 = 12 3 � 4 = 12 cm

6 rúd 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 6 � 4 = 24 cm



115

Tk. 78/2. feladat: A 4-es szorzótábla tanulásának el®készítésekor sokféleképpen szem-

léltessük a 2-es és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot. A gyermekek ismerjék fel és

konkrét esetekhez kapcsolódóan a saját szavaikkal fogalmazzák is meg, hogy ha az

egyik tényez® a 2-szeresére n®, a másik változatlan, akkor a szorzat is a 2-szeresére

n®.

Megoldás: 2 � 2 = 4 4 � 2 = 8 5 � 2 = 10

2 � 4 = 8 4 � 4 = 16 5 � 4 = 20

Tk. 78/3. feladat: Számegyenesen történ® lépegetéssel ismét �gyeltessük meg a 2-es

és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: Ugrások száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Béka 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Veréb 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Tk. 79/4. feladat: Alkalmazzák a gyermekek a szorzat változásairól korábban felismert

összefüggéseket.

Megoldás: 4 � 4 cm = 16 cm 4 � 8 cm = 32 cm 4 � 6 cm = 24 cm

Tk. 79/5. feladat: A feladat megoldatása el®tt ténylegesen megmérethetünk ugyan-

akkora távolságot (például 12 cm-t, 16 cm-t, 20 cm-t) rózsaszín és piros rudakkal is.

Ezzel további összefüggések felismerését készíthetjük el®. Ha az egyik tényez® a 2-

szeresére n®, a másik a felére csökken, akkor a szorzat változatlan: Az ilyen mérések

végrehajtásával egyúttal megsejtethetjük a mértékegység és a mér®szám közti fordított

arányosságot is.

Megoldás: Rózsaszín rúd 2 0 4 10 6 8 12 14 18 16 20

Piros rúd 1 0 2 5 3 4 6 7 9 8 10

Tk. 79/6. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás és mint részekre osztás) elvégzése a

szemléletre támaszkodva. Felismertethetjük, hogy a negyedrészt ismételt felezéssel is

megkaphatjuk. Hangsúlyozzuk az osztás ellen®rzésének fontosságát. A feladatok ered-

ményének összehasonlításával felfedezhetik a tanulók, hogy ha az osztandó nagyobb,

az osztó ugyanakkora, akkor az eredmény is nagyobb.

Megoldás: 12-re 3 , 24-re 6 , 36-ra 9 , 28-ra 7 , 40-re 1 0

Tk. 79/7. feladat: A szorzás és osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg.


4 ugrással 0 4 8 16 20 24 32

Tk. 80/8. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük

fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 4-es szorzótáblát, illetve kékkel

jelöljük a korábban tanultakat. A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat



alkalmazását gyakorolja a gyermek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a

tényez®k felcserélhet®ek. Figyeltessük meg a 2-es és 4-es szorzótábla megfelel® sorai,

oszlopai közti összefüggéseket.

Megoldás: 6 � 4 = 24 4 � 9 = 36

4 � 6 = 24 4 � 1 = 4

7 � 4 = 28 4 � 0 = 0

4 � 7 = 28 0 � 4 = 0

9 � 4 = 36 4 � 4 = 16

Tk. 80/9. feladat: Az osztás (bennfoglalás) gyakorlására szánt feladat. Ismét beszéljük

meg az ellen®rzés fontosságát.

Megoldás: 20 : 4 = 5, mert 5 � 4 = 20.

24 : 4 = 6, mert 6 � 4 = 24.

Tk. 80/10. feladat: A szorzás és osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg a táblázat

kitöltésével.


4 ugrással 0 4 8 16 20 24 32

Tk. 81/11. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése a szemléletre támasz-

kodva. (A maradékos osztást és a részekre osztást a jelrendszerben és a szóhasz-

nálatban nem különböztetjük meg.) új mozzanat a negyedrész meghatározása rajzzal,

matematikai jelekkel. Fedezzék fel a tanulók, hogy egy mennyiség negyedrészét úgy is

kiszámíthatjuk, hogy a mennyiség felét megfelezzük. Hívjuk fel a �gyelmet az osztás

ellen®rzésének fontosságára.

Megoldás: 20 negyedrésze 5 , 20 osztva 4-gyel = 5 ,

20 : 4 = 5 , mert 4 � 5 = 20; 5 búzaszemet kap.

Tk. 81/12. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése a szemléletre támasz-

kodva.

Megoldás: 2 0 negyedrésze 5 , mert 2 4 negyedrésze 6 , mert

4 � 5 = 2 0 4 � 6 = 2 4

Tk. 81/13. feladat: Két szorzás és két osztás írását várjuk el a tanulóktól.

Megoldás: 3 � 4 = 12 2 � 4 = 8

4 � 3 = 12 4 � 2 = 8

12 : 3 = 4 8 : 2 = 4

12 : 4 = 3 8 : 4 = 2

Tk. 82/14. feladat: A számok csoportosítása aszerint, hogy 4-gyel osztva mennyit

adnak maradékul (tapasztalatszerzés). A gyermekek ismerjék fel, hogy a maradék 0,

1, 2 vagy 3 lehet.



117

Megoldás: Ennyi pálca van 4 8 16 22 23 31 37 35 25 2

Ennyi négyzet lesz 1 2 4 5 5 7 9 8 6 0

Ennyi pálca marad 0 0 0 2 3 3 1 3 1 2

Tk. 82/15. feladat: A számok csoportosítása aszerint, hogy 4-gyel osztva mennyit

adnak maradékul (tapasztalatszerzés). A gyermekek ismerjék fel, hogy a maradék 0, 1,

2 vagy 3 lehet.

Megoldás: Innen indul 11 12 13 14 24 25 26 27 28 5 9 6

Ennyit ugrik 2 3 3 3 6 6 6 6 7 1 2 1

Ide érkezik 3 0 1 2 0 1 2 3 0 1 1 2

Tk. 82/16. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás értelmezésére szánt feladat. Ha

szükséges apró tárgyakkal (gomb, mag, korong) játsszák is el a tanulók a feladatot.

Megoldás: 9 : 4 = 2 16 : 4 = 41 0

4 � 2 + 1 = 9 4 � 4 + 0 = 16

17 : 4 = 4 22 : 4 = 5 39 : 4 = 91 2 3

4 � 4 + 1 =17 5 � 4 + 2 = 22 9 � 4 + 3 = 39

Tk. 83/17. feladat: Szöveges feladat megoldása a 4-es szorzótábla gyakorlására. Szö-

vegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: G = 3, G <�4 F, F = ?

Terv: F = 4 � G

Számolás: F = 4 � 3 F = 12

Ellen®rzés: 3 <� 4 12

Válasz: 12 csibéje van Fácán mamának.



Megoldás: Adatok: 1 ugrás 4 dm, ? ugrás 24 dm

Terv: x = 24 : 4

Számolás: x = 6

Ellen®rzés: 6 � 4 dm = 24 dm

Válasz: 6 ugrással éri el Béka Ben® a tavat.



Megoldás: Adatok: 1 sikló 0 láb, 1 hód 4 láb, hód 20 láb

Terv: h = 20 : 4



Számolás: h = 5


Válasz: 5 hód él a tóban.



Megoldás: Adatok: m = 2, m <�4 e, e = ?, H = ? a sorban

Terv: e = 4 � m

Számolás: e = 4 � 2 e = 8

Ellen®rzés: 2 <�4 8

Válasz: 9. a sorban Hápi mama.

Tk. 84/21. feladat: Tasziló ismét összegy¶jtötte a maradékos osztás során a tanulók

általi leggyakoribb hibákat. Ezek javítása segít a fogalom kialakításában.

Megoldás: Hibás. Hibás. Jó Hibás.

27 : 5 = 5 27 : 4 = 6 20 : 2 = 102 3 0

Tk. 84/22. feladat: Számrejtvények a 4-es szorzótábla gyakorlására.

Megoldás: A két feladatban az azonos színek nem ugyanazokat a számokat jelölik.

A megoldás kulcsa az s � s = 16

(s = 4), illetve a z � z = 4 (z = 2)

szorzatok felismerése.

A 24 osztópárjaiból, majd azok

osztópárjaiból lehet kiindulni.


Megoldás: A két ábrában az azonos színek különböz® számokat jelentenek.

3 6 2 9 4 2 3 2 4� : = � � =

� : � � � � :

4 3 6 2 2 2 1 4� : = � � =

: � : : � � � �

2 2 3 3 2 2 3 3: � = : � =

= = = = = = = =

6 4 4 6 1 6 8 9 1 8� : = : � =



119


Megoldás:

Mindkét feladatban a 2 � 2 � 2 � 2 = 16 szorzat felismerése lehet a megoldás kulcsa.

Más kiindulás is lehetséges!

2 2 2 2 = 16

2 4 2 2 = 32

3 2 2 1 = 12

2 1 5 7 = 70

= = = =24 16 40 28

2 3 2 3 = 36

5 1 2 2 = 20

3 3 2 55 = 90

2 2 2 1 = 8

= = = =60 18 16 30


Megoldás:

A különböz® megoldások felkutatása a problémaérzékenységet és a gondolkodás rugal-

masságát fejleszti.

Figyeltessük meg, hogy két páratlan szám szorzata is páratlan szám.

8

2 � 4

4 8

6 � 8

1 2

2 � 6

3 2

4 � 8

1 5

3 � 5

6 3

7 � 9

1 5

3 � 5

6 3

7 � 9

8

2 � 4

4 8

6 � 8

1 2

2 � 6

3 2

4 � 8

2 1

3 � 7

4 5

5 � 9

2 1

3 � 7

4 5

5 � 9

8

2 � 4

4 8

6 � 8

1 2

2 � 6

3 2

4 � 8

2 7

3 � 9

3 5

5 � 7

2 7

3 � 9

3 5

5 � 7



Természetesen további jó megoldásokat kapunk a tényez®k felcserélésével. Például:

1 2

6 � 2

3 2

4 � 8

2 1

7 � 3

4 5

5 � 9


Megoldás: Egy karácsonyi kép a megoldás.

Beírandó számok: 28 50 0

12 48 14

9 21 22

7 24 44

16 1 8

35 26 90

40 45 32

3 2 10

20 27 15

6 18 100

30

36

80

4

70

13

5

25

60

42

Gy. 78/1. feladat: A négyesével növekv®, illetve csökken® sorozatok képzése során

a tanulók gyakorolják a kétjegy¶ és egyjegy¶ számok összeadását, kivonását a tízesek

átlépésével. Ez egyrészt a négyes szorzótábla tanulását készíti el®, másrészt a számok

4-gyel való oszthatóságával kapcsolatosan gy¶jtenek tapasztalatokat a gyermekek. A

feladatot kiegészíthetjük igaz vagy hamis állítások logikai értékének meghatározásával.



121

Megoldás:

a) A sorozat mindig 4 -gyel n®.

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43

b) A sorozat mindig 4 -gyel csökken.

40, 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12, 8, 4, 0

39, 35, 31, 27, 23, 19, 15, 11, 7, 3, esetleg ({ 1)

37, 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1, esetleg ({ 3)

Gy. 78/2. feladat: A 4-es szorzótábla tanulásának el®készítése számegyenesen történ®

lépegetéssel. Figyeljük meg a szorzat változásait.

Megoldás: 4 � 5 = 20 4 � 2 = 8

4 � 10 = 40 4 � 4 = 16

Gy. 78/3. feladat: Figyeljük meg a 2-es és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás:

a) 2 nyuszinak: 2 � 4 = 8 3 nyuszinak: 3 � 4 = 1 2

4 nyuszinak: 4 � 4 = 1 6 6 nyuszinak: 6 � 4 = 2 4

b) 16 lába: 1 6 : 4 = 4 12 lába: 1 2 : 4 = 3

32 lába: 3 2 : 4 = 8 36 lába: 3 6 : 4 = 9

Gy. 78/4. feladat: Figyeljük meg a 2-es és a 4-es szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: Ennyi darab 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dió 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Szilva 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40



Megoldás: a) 0 � 4 = 0 3 � 4 = 12 6 � 4 = 24 9 � 4 = 36

1 � 4 = 4 4 � 4 = 16 7 � 4 = 28 19 � 4 = 40

2 � 4 = 8 5 � 4 = 20 8 � 4 = 32

Megoldás: b) 3 � 4 = 12 4 � 2 = 8 4 � 1 = 4 4 � 4 = 16

4 � 4 = 20 10 � 4 = 40 4 � 8 = 32 4 � 5 = 20

5 � 4 = 28 0 � 4 = 0 6 � 4 = 24 4 � 9 = 36



Gy. 79/6. feladat: A tanult szorzótáblák gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: a) 21 15 24 50

30 30 9 24

8 24 35 45

15 20 18 6

b) 6 20 0 60

27 18 25 0

20 12 40 36

30 16 4 14

c) 28 10 0 40

0 8 70 36

12 10 16 4

12 40 5 24

32 14 70 60

Gy. 79/7. feladat: A tanult szorzótáblák gyakorlására szánt feladat.


5 3 6 5

9 8 9 2

b) 8 8 7 9

7 5 3 6

2 2 5 7

G7y. 80/8. feladat Az osztás (mint bennfoglalás) elvégzése a szemléletre támaszkodva.

Megoldás: 12 golyót 16 golyót 20 golyót

12 : 4 = 3 16 : 4 = 4 20 : 4 = 5

3 � 4 = 12 4 � 4 = 16 5 � 4 = 20



4 : 4 = 1 mert 1 � 4 = 4 28 : 4 = 7 mert 7 � 4 = 28

8 : 4 = 2 mert 2 � 4 = 8 32 : 4 = 8 mert 8 � 4 = 32

12 : 4 = 3 mert 3 � 4 = 12 36 : 4 = 9 mert 9 � 4 = 36

16 : 4 = 4 mert 4 � 4 = 16 40 : 4 = 10 mert 10 � 4 = 40

20 : 4 = 5 mert 5 � 4 = 20



123

Gy. 80/10. feladat: Figyeljük meg az osztó és a hányados változásait.

Megoldás: Karcsi Laci Mari

24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6

12 � 2 = 24 8 � 3 = 24 6 � 4 = 24

Marinak fogyott el leghamarabb a bonbonja.

Gy. 80/11. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatát �gyeltethetjük meg.

Megoldás: Autók száma 1 0 2 5 4 9 6 7 10 3 8

Kerekek száma 4 0 8 20 16 36 24 28 40 12 32

Szabály: A � 4 = K, 4 � A = K, K : 4 = A, K : A = 4

Gy. 80/12. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 2 3 0 9

4 5 8 7

6 10 7 1

Gy. 81/13. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése a szemléletre támasz-

kodva.

Megoldás: 32 Ft van 36 Ft van

32 : 4 = 8 36 : 4 = 9

4 � 8 = 32 4 � 9 = 36

Gy. 81/14. feladat: Gyakoroljuk a számok negyedrészének meghatározását. Megbe-

szélhetjük, hogy a számok negyedrészét úgy is kiszámíthatjuk, ha a szám felének a

felét vesszük.


4 : 4 = 1 mert 4 � 1 = 4 28 : 4 = 7 mert 4 � 7 = 28

8 : 4 = 2 mert 4 � 2 = 8 32 : 4 = 8 mert 4 � 8 = 32

12 : 4 = 3 mert 4 � 3 = 12 36 : 4 = 9 mert 4 � 9 = 36

16 : 4 = 4 mert 4 � 4 = 16 40 : 4 = 10 mert 4 � 10 = 40

20 : 4 = 5 mert 4 � 5 = 20

Gy. 81/15. feladat: A tanult osztások gyakorlására szánt feladatsor.


3 7 6 9

5 5 6 5

2 1 8 5



b) 3 3 4 0

3 8 9 1

5 2 2 0

1 7 3 2

c) 9 1 9 10

7 4 4 2

7 4 0 7

8 0 1 9

10 10 10 0

Gy. 82/16. feladat: A tanult osztások gyakorlására szánt feladatsor a hiányzó osztandó,

illetve osztó pótlásával.


4 7 7 4

4 9 6 9

4 9 7 8

3 4 9 6

b) 16 70 14 20

28 45 60 5

36 18 40 70

20 10 50 4

12 16 80 25

Gy. 82/17. feladat: A szorzás gyakorlása összetett feladatokban.

Megoldás:

a) 1� 2

2� 2

4 2� 2

4� 2

8 3� 2

6� 2

1 2

b) 1� 4

4� 4

1 6 2� 4

8� 4

3 2 3� 4

1 2� 4

4 8

c) 1� 3

3� 3

9 2� 3

6� 3

1 8 3� 3

9� 3

2 7

Gy. 82/18. feladat: A szorzás, osztás gyakorlása az eredmények összehasonlításával.

Megoldás:

1 6z }| {4 � 4 =

1 6z }| {2 � 8

3 5z }| {5 � 7 >

2 8z }| {4 � 7

4z }| {16 : 4 <

8z }| {16 : 2

8z }| {24 : 3 >

6z }| {24 : 4



125

Gy. 82/19. feladat: Ismerkedés a �fele", �harmadrésze" és �negyedrésze" fogalmakkal.

Megoldás: 10 cm fele 5 cm

6 cm harmadrésze 2 cm

12 cm negyedrésze 3 cm

Gy. 83/20. feladat: A négyzet kerületének meghatározása; a 4-es szorzótábla gyakor-

lásának és a hosszúságmérésr®l tanultaknak az összekapcsolása. A számítás tervét a

gyermekek ismerjék fel.

Megoldás: a) 4 � 3 cm = 1 2 cm = 1 dm 2 cm

b) 4 � 4 cm = 1 6 cm = 1 dm 6 cm

c) 4 � 5 cm = 2 0 cm = 2 dm 0 cm

Gy. 83/21. feladat: A négyzet kerületének meghatározása; a 4-es szorzótábla gyakor-

lásának és a hosszúságmérésr®l tanultaknak az összekapcsolása.

Megoldás:

2 m = 2 0 dm, 2 m 8 dm = 2 8 dm, 3 m 2 dm = 3 2 dm

2 0 : 4 = 5 2 8 : 4 = 7 3 2 : 4 = 8

4 � 5 = 2 0 4 � 7 = 2 8 4 � 8 = 3 2

Oldal: 5 dm Oldal: 7 dm Oldal: 8 dm

Gy. 83/22. feladat: A: 4-es szorzótábla gyakorlásának és a hosszúságmérésr®l tanul-

taknak az összekapcsolása.

Megoldás:

a) 4 lépéssel 4 � 4 = 1 6 1 6 dm = 1 m 6 dm

6 lépéssel 6 � 4 = 2 4 2 4 dm = 2 m 4 dm

b) 3 m 6 dm = 3 6 dm 3 6 : 4 = 9 9 lépés

2 m 8 dm = 2 8 dm 2 8 : 4 = 7 7 lépés

Gy. 84/23. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás értelmezésére szánt feladat. Ha

szükséges játék pénzzel játsszák is el a tanulók a feladatot.

Megoldás: 11 : 4 = 2 14 : 4 = 3 16 : 4 = 43 2 0

2 � 4 + 3 = 11 3 � 4 + 2 = 14 4 � 4 + 0 = 16

21 : 4 = 5 26 : 4 = 6 31 : 4 = 71 2 3

5 � 4 + 1 =21 6 � 4 + 2 = 26 7 � 4 + 3 = 31



Gy. 84/24. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 12 : 4 = 3 25 : 4 = 6 30 : 4 = 70 1 2

3 � 4 + 0 = 12 6 � 4 + 1 = 25 7 � 4 + 2 = 30

b) 19 : 4 = 4 27 : 4 = 6 3 : 4 = 03 3 3

4 � 4 + 3 =19 6 � 4 + 3 = 27 0 � 4 + 3 = 3

c) 18 : 4 = 4 28 : 4 = 7 33 : 4 = 82 0 1

4 � 4 + 2 =18 7 � 4 + 0 = 28 8 � 4 + 1 = 33

Gy. 84/25. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: Ennyi búza van 9 10 15 20 21 34 14 28 39 24 40

Ennyi jut egynek 2 2 3 5 5 8 3 7 9 6 10

Ennyi búza marad 1 2 3 0 1 2 2 0 3 0 0



Megoldás: Adatok: 1 zacskó 4 alma

? zacskó 25 alma ? alma marad

Terv: x = 25 : 4

Számolás: 25 : 4 = 6 x = 6 zacskó, és marad 11

Ellen®rzés: 6 � 4 + 1 = 25

Válasz: 6 zacskó telik meg, és 1 alma marad.

Tk. 85/27. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, feladattartást, metakogníciót

fejleszt® feladatsor.

Megoldás: 16-ot kapunk:

4 3 2 4 5 2 8 3

4 5 5 3 2 3 4 6

2 7 4 2 4 5 6 7

3 5 2 7 5 2 2 4

6 2 5 4 3 3 2 2

24-et kapunk:

3 8 5 2 7 3 2 4

9 1 4 3 6 1 3 5

3 7 4 2 5 8 7 6

2 9 3 5 2 4 7 4

2 6 5 3 2 2 3 5

Tk. 85/28. feladat: A 4-gyel való maradékos osztás gyakorlására szánt komplex fel-

adatsor. A problémamegoldó képesség, kreativitás, metakogníció fejlesztésére szánt

feladat.



127

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a) 1., 5., 9., 13., 17., 21., 25., 29., 33., 37., 41., �

2., 6., 10., 14., 18., 22., 26., 30., 34., 38., 42., �

4., 8., 12., 16., 20., 24., 28., 32., 36., 40., 44., �

b)

7. 8. 9. 12. 15. 18. 26. 32. 35. 40.

A 6-os szorzótábla, osztás 6-tal







ság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 66{69. 74{78. 83{86.

A 6-os szorzótábla elsajátításánál tudatosítsuk a 3-as és a 6-os szorzótábla közti, vala-

mint a 2-es, 4-es, 6-os szorzótábla közti kapcsolatot is. Ismételve a már tanult szorzó-

táblákat, tovább szilárdítjuk a fele, kétszerese; harmada, háromszorosa fogalmakat.

Fedeztessük fel, hogy a 6-tal osztható számok oszthatók 2-vel is és 3-mal is, illetve a

2-vel és 3-mal osztható számok oszthatók 6-tal is. Itt az �és" szót matematikai logikai ér-

telemben használjuk. Figyeltessük meg, hogyan változik a szorzat, ha az egyik tényez®t

valahányszorosára növeljük vagy csökkentjük, a másikat pedig nem változtatjuk.

Tk. 86/1. feladat: A 3-as és 6-os szorzótábla közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg a

színesrudakkal való kirakás segítségével.

Megoldás: 2 kék rúd 2 � 3 cm = 6 cm 2 lila rúd 2 6 cm = 12 cm

2 lila rúd 2-szer olyan hosszú, mint 2 kék rúd.

5 kék rúd 5 � 3 cm = 15 cm 5 lila rúd 5 � 6 cm = 30 cm


9 kék rúd 9 � 3 cm = 27 cm 9 lila rúd 9 � 3 cm = 27 cm




Tk. 86/2. feladat: Figyeljük meg a szorzat változásait. A 6-os szorzótábla el®készítése.

Megoldás: 1 � 6 = 6 3 � 6 = 18 6 � 6 = 36

Tk. 86/3. feladat: A 6-os szorzótábla tanítása során minél többféleképpen szemléltessük

a 3-as és a 6-os szorzótábla közti kapcsolatot. Számegyenesen lépegetve, táblázattal

adott függvénnyel.

Megoldás: Ugrások 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cica 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Kutya 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

Tk. 87/4. feladat: Meg�gyeltetjük a 2-es és a 6-os szorzótábla közti kapcsolatot: ha

az egyik tényez®t 3-szorosára növeljük, a másikat nem változtatjuk, akkor a szorzat is

3-szorosára n®. Az egymás mellett lév® feladatok esetén az egyik tényez®t 2-szeresére,

4-szeresére növeljük, a másikat nem változtatjuk, így a szorzat is 2-szeresére, 4-

szeresére n®.

Megoldás: 2 � 2 = 4 4 � 2 = 8 8 � 2 = 16

2 � 6 = 12 4 � 6 = 24 8 � 6 = 48

Háromszorosa a láb a csápoknak.

Tk. 87/5. feladat: A 6-tal való szorzás osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg.


6 ugrással 0 6 18 36 24 30 48 54

Tk. 87/6. feladat: Ismételve a már tanult szorzótáblákat, tovább szilárdítjuk a 2-es, 3-as,

6-os szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: 2 � 3 = 6 2 � 6z}|{2 � 3

= 12 4z}|{2 � 2

� 6z}|{2 � 3

= 24

Tk. 87/7. feladat: Ismét kerestessük meg, mely szám nem szerepel az adott szorzótábla

számai között.



úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 6-es szorzótáblát, illetve kékkel jelöljük

a korábban tanultakat.


mek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®ek. Figyel-

tessük meg a 2-es, 3-as, valamint a 6-os szorzótábla megfelel® sorai, oszlopai közti

összefüggéseket.



129

Megoldás: 6 � 1 = 6 6 � 9 = 54

1 � 6 = 6 6 � 8 = 48

7 � 6 = 42 8 � 6 = 48

6 � 7 = 42 0 � 6 = 0

9 � 6 = 54 6 � 6 = 36

Tk. 88/9. feladat: Az el®z® feladat táblázata alapján �gyeltessük meg, mely számok

szerepelnek több szorzótáblában is.

Megoldás: 18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 3 � 6 = 6 � 3

24 = 3 � 8 = 8 � 3 = 4 � 6 = 6 � 4 = 2 � 12 = 12 � 2

36 = 4 � 9 = 9 � 4 = 6 � 6 = 2 � 18 = 18 � 2

Tk. 88/10. feladat: Tapasztalatszerzés a szorzás asszociatív tulajdonságára. A szorzó-

táblák gyakorlása.

Megoldás: 24 18 36 30 24

36 30 24 36 30

18 24 18 18 30

Tk. 88/11. feladat: A feladatok a kreativitás fejlesztését szolgálják.

Megoldás: A három feladat színezése független egymástól.

Megoldás:24 48 24

6 4 6 8 6 4

3 2 2 3 2 4 2 3 3

3 1 2 1 3 1 2 2 2 1 3 1

Tk. 89/12. feladat: A feladatok a kreativitás fejlesztését szolgálják.

Megoldás: Az els® szorzatban a 2-es tényez®k felismerése lehet a megoldás kulcsa.

2 3 5 4

Tk. 89/13. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatát �gyeltethetjük meg a számegyene-

sen történ® lépegetéssel.

Megoldás: 16/1. 12-re 2 , 24-re 4 , 36-ra 6 , 48-ra 8 , 60-ra 1 0

Tk. 89/14. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatát �gyeltethetjük meg a táblázat

kitöltésével.

Megoldás: Ennyi lába van 0 6 36 60 30 42 24 48 18 12 54

ennyi lepkének 0 1 6 10 5 7 4 8 3 2 9

Tk. 89/15. feladat: A 6-tal való osztás (bennfoglalás) fogalmának elmélyítése tevékeny-

kedtetéssel. Ismét beszéljük meg az ellen®rzés fontosságát.



Megoldás: 2 4 : 6 = 4 , mert 3 0 : 6 = 5 , mert

4 � 6 = 2 4 5 � 6 = 3 0

Tk. 90/16. feladat: Figyeltessük meg az osztó, illetve a hányados változásait.

Megoldás: 24 : 6 = 4 24 : 4 = 6 24 : 3 = 8

Tk. 90/17. feladat: A 6-tal való osztás mint részekre osztás értelmezése, elvégzése a

szemléletre támaszkodva. Rajzzal megjelenítjük egy mennyiség hatodrészét.

Megoldás: 1 8 hatodrésze 3 , 18 osztva 6 egyenl® részre 3 ,

18 : 6 = 3 , mert 6 � 3 = 18

3 gyöngy kerül egy-egy szalagra.

Tk. 90/18. feladat: A 6-tal való osztás mint részekre osztás értelmezése, elvégzése a

szemléletre támaszkodva. Rajzzal megjelenítjük egy mennyiség hatodrészét.

Megoldás: 2 4 hatodrésze 4 , mert 3 0 hatodrésze 5 , mert

6 � 4 = 2 4 6 � 5 = 3 0

Tk. 91/19. feladat: A következ® összefüggéseket tudatosíthatjuk:

1 Az összeadás és a szorzás kapcsolatát, a szorzást mint ismételt összeadást értel-

meztük,

2 a szorzás tényez®inek felcserélhet®ségét,

3 a szorzás és az osztás kapcsolatát. Több ehhez hasonló feladatot is adhatunk a

tanulóknak.

Megoldás: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 =42

7 � 6 = 42 6 � 7 = 42

vagy

6 � 7 = 42 7 � 6 = 42

Tk. 91/20. feladat: A feladat el®készíti a 2-vel, a 3-mal, illetve a 2-vel és 3-mal, azaz

6-tal való oszthatóságot.

Megoldás: Csak piros: 9, 15, 21

Csak sárga: 8, 14, 20

Piros és sárga: 6, 12, 18, 24

Színezetlen: 11



131

Tk. 91/21. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás:

Innen indul 30 31 32 33 34 35 36 44 23 55 22 27 60

Ennyit ugrik 5 5 5 5 5 5 6 7 3 9 3 4 10

Ide érkezik 0 1 2 3 4 5 0 2 5 1 4 3 0

Tk. 91/22. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás:

Ennyi makk van 6 13 16 15 23 24 27 40 57 42 35

Ennyi �gura lesz 1 2 2 2 3 4 4 6 9 7 5

Ennyi makk marad 0 1 4 3 5 0 3 4 3 0 5



Megoldás: Adatok: 6 ugrás 18 m

1 ugrás ?

Terv: x = 18 m : 6

Számolás: x = 3 m

Ellen®rzés: 6 � 3 m = 18 m

Válasz: 3 m a csikó egy ugrása.



Megoldás: Adatok: i = 4, i <�6 l, l = ?

Terv: l = 6 � i

Számolás: l = 6 � 4 l = 24


Válasz: 24 kisbárány legel a réten.



Megoldás: Adatok: 6 malac 30 cs®

1 malac ?

Terv: x = 30 : 6

Számolás: x = 5


Válasz: 5 cs® kukorica jut egy malacnak.

Tk. 92/26. feladat: A feladatok a kreativitás fejlesztését szolgálják. A 2. osztályos

gyermek szintjén tervszer¶ próbálgatással megoldható feladat.



Megoldás: A 2. osztályos gyermek szintjén tervszer¶ próbálgatással megoldható feladat.

A két feladat színezése független egymástól.

2 � 2 � 6 = 2 4 1 8 : 6 � 8 = 2 4

� � � : : � � :

4 � 9 : 6 = 6 9 � 2 : 3 = 6

� : : : � : : :

6 � 3 : 9 = 2 2 � 4 : 4 = 2

= = = : = = = =

4 8 : 6 : 4 = 2 4 � 3 : 6 = 2

Tk. 92/27. feladat: A számolási rutin fejlesztése játékos feladattal.

Megoldás: Beírandó számok:

10 48 7 36

4 18 60 8

9 54 24 5

30 6 42 12

Gy. 86/1. feladat: 6-tal növekv®, illetve csökken® sorozatokat alkotunk. Gyakoroljuk

a 6-os szorzótáblát. Egy-egy sorozat a 6-tal való osztás egy-egy maradékosztálya. A

maradékosztályok diszjunkt halmazokat alkotnak. Megbeszélhetjük, hogy minden szám-

ról egyértelm¶en el tudjuk dönteni, hogy az itt lév® sorozatok közül pontosan melyikben

fordul el®.

Megoldás: a) A sorozat mindig 6-tal n®.

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61

5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65

b) A sorozat mindig 6-tal csökken.

58, 52, 46, 40, 34, 28, 22, 16, 10, 4, esetleg (-2)

57, 51, 45, 39, 33, 27, 21, 15, 9, 3, esetleg (-3)

56, 50, 44, 38, 32, 26, 20, 14, 8, 2, esetleg (-4)

Gy. 86/2. feladat: A 6-os szorzótábla szemléltetése. Ha szükséges pálcikákkal rakják is

ki a tanulók a feladatot.



133

Megoldás: a) 2 dobozba 2 � 6 = 1 2 3 dobozba 3 � 6 = 1 8

8 dobozba 8 � 6 = 4 8 9 dobozba 9 � 6 = 5 4

b) 24 ceruzát 2 4 : 6 = 4 30 ceruzát 3 0 : 6 = 5

42 ceruzát 4 2 : 6 = 7 36 ceruzát 3 6 : 6 = 6

Gy. 86/3. feladat: A 6-tal való szorzás szemléltetése számegyenesen való lépegetéssel,

táblázattal.

a)

0 10 20 30 40 50

6 � 2 = 1 2

6 � 4 = 2 4

b)

0 10 20 30 40 50

6 � 8 = 4 8

6 � 5 = 3 0

c)

0 10 20 30 40 50

6 � 6 = 3 6

6 � 3 = 1 8

d)

0 10 20 30 40 506 � 7 = 4 2

Gy. 87/4. feladat: A 6-os szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a


Megoldás: 0 � 6 = 0 3 � 6 = 18 6 � 6 = 36 9 � 6 = 54

1 � 6 = 6 4 � 6 = 24 7 � 6 = 42 10 � 6 = 60

2 � 6 = 12 5 � 6 = 30 8 � 6 = 48

5 � 6 = 30 6 � 6 = 36 1 � 6 = 6 6 � 10 = 60

9 � 6 = 54 7 � 6 = 42 6 � 8 = 48 6 � 7 = 42

6 � 3 = 18 6 � 0 = 0 2 � 6 = 12 6 � 5 = 30

Gy. 87/5. feladat: A szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor, a hiányzó szorzat,

illetve tényez® pótlásával.


21 3 6 8

54 9 8 6

b) 12 6 6 9

48 7 1 7

48 3 0 6



Gy. 87/6. feladat: Di�erenciált munkára szánt feladat a kreativitás, képi gondolkodás

fejlesztésére.

Megoldás: A szorzat 36:

2 5 7 4 3 3 9 3

2 9 3 8 7 6 5 2

7 0 1 9 0 8 9 6

6 5 2 3 7 2 6 5

6 8 9 2 3 5 4 9

A szorzat 48:

6 2 3 6 6 2 3 2

2 2 9 2 7 4 9 8

7 7 5 4 9 7 5 2

8 3 9 5 7 0 3 2

2 0 7 6 8 1 2 2

További megoldás, a szorzat 36:

2 5 7 4 3 3 9 3

2 9 3 8 7 6 5 2

7 0 1 9 0 8 9 6

6 5 2 3 7 2 6 5

6 8 9 2 3 5 4 9

Gy. 87/7. feladat: Egyenl®tlenségek igazsághalmazának megkeresése.

Megoldás: 6 � 3 < a < 6 � 4 a: 19, 20, 21, 22, 23

7 � 6 < b < 8 � 6 b: 43, 44, 45, 46, 47

Gy. 88/8. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatáról tanultakat mélyít feladatok.

Figyeltessük meg, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a szorzat.

Megoldás: Lapok száma 1 2 5 10 3 6 4 8 7 9 0

Lyukak száma 6 12 30 60 18 36 24 48 42 54 0

Gy. 88/9. feladat: A 6-tal való osztás (bennfoglalás) szemléltetésére, a m¶veletfogalom

szilárdítására szánt feladat.

Megoldás: 12 : 6 = 2 24 : 6 = 4 30 : 6 = 5

2 � 6 = 12 4 � 6 = 24 5 � 6 = 30

Gy. 88/10. feladat: A 6-os bennfoglalótábla gyakorlása.


6 : 6 = 1 mert 1 � 6 = 6 42 : 6 = 7 mert 7 � 6 = 42

12 : 6 = 2 mert 2 � 6 = 12 48 : 6 = 8 mert 8 � 6 = 48

18 : 6 = 3 mert 3 � 6 = 18 54 : 6 = 9 mert 9 � 6 = 54

24 : 6 = 4 mert 4 � 6 = 24 60 : 6 = 10 mert 10 � 6 = 60

30 : 6 = 5 mert 5 � 6 = 30



135

Gy. 88/11. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladatsor, a hiányzó hányados, illetve

osztandó, osztó pótlásával.


6 7 7 2

9 8 8 10

b) 9 4 18 25

8 6 20 12

5 6 0 36

Gy. 89/12. feladat: A 6-tal való osztás (bennfoglalás) szemléltetésére, a m¶veletfogalom

szilárdítására szánt feladat.

Megoldás: 18 : 6 = 3 24 : 6 = 4 6 : 6 = 1

6 � 3 = 18 6 � 4 = 24 6 � 1 = 6

Gy. 89/13. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatáról tanultakat mélyít® feladatok.

Figyeltessük meg, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a szorzat.

Megoldás:

� 6

: 6

�

�

� � � � � �

� � � � � �

: 6

� 6

�

�

�

��

��

��

Gy. 89/14. feladat: Gyakoroljuk a számok hatodrészének meghatározását.


6 : 6 = 1 mert 6 � 1 = 6 42 : 6 = 7 mert 6 � 7 = 42

12 : 6 = 2 mert 6 � 2 = 12 48 : 6 = 8 mert 6 � 8 = 48

18 : 6 = 3 mert 6 � 3 = 18 54 : 6 = 9 mert 6 � 9 = 54

24 : 6 = 4 mert 6 � 4 = 24 60 : 6 = 10 mert 6 � 10 = 60

30 : 6 = 5 mert 6 � 5 = 30

Gy. 89/15. feladat: újra és újra meg�gyeltetjük a 2-es, 3-as és a 6-os szorzótábla közti

kapcsolatot.

a)

3

� 2 � 26 1 2

� 4

4

� 2 � 38 2 4

� 6

b)

18

: 2 : 39 3

: 6

30

: 3 : 21 0 5

: 6



Gy. 89/16. feladat: Figyeltessük meg, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a

szorzat, illetve az osztandó változásaival hogyan változik a hányados.

Megoldás: 24 = 24 48 6> 42 4 <1 5 6 3> 3

Gy. 90/17. feladat: A maradékos osztásról tanultak gyakorlása, elmélyítése.

Megoldás:

1 6 : 6 = 2

4

2 1 : 6 = 3

3

2 4 : 6 = 4

0

2 � 6 + 4 = 1 6 3 � 6 + 3 = 2 1 4 � 6 + 0 = 2 4

Gy. 90/18 feladat: A maradékos osztásról tanultak gyakorlása, elmélyítése.

Megoldás: Ennyi négyzetlap van 6 9 20 24 27 32 51 40 55 60

Ennyi kocka építhet® 1 1 3 4 4 5 8 6 9 10

Ennyi négyzetlap marad 0 3 2 0 3 2 3 4 1 0

Gy. 90/19. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 15 : 6 = 2 24 : 6 = 4 29 : 6 = 43 0 5

2 � 6 + 3 = 15 4 � 6 + 0 = 24 4 � 6 + 5 = 29

b) 34 : 6 = 5 37 : 6 = 6 38 : 6 = 64 1 2

5 � 6 + 4 =34 6 � 6 + 1 = 37 6 � 6 + 2 = 38

c) 46 : 6 = 7 48 : 6 = 8 55 : 6 = 94 0 1

7 � 6 + 4 =46 8 � 6 + 0 = 48 9 � 6 + 1 = 55

d) 19 : 6 = 3 26 : 6 = 4 42 : 6 = 71 2 0

3 � 6 + 1 =19 4 � 6 + 2 =26 7 � 6 + 0 =42

e) 19 : 3 = 6 26 : 4 = 6 42 : 5 = 81 2 4

6 � 3 + 1 =19 6 � 4 + 2 =26 8 � 5 + 2 =42

Gy. 91/20. feladat: Szöveges feladat megoldása a 6-os szorzótábla gyakorlására.

Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: a) Adatok: Cs = 8, Cs <�6 K, K = ?

Terv: K = 6 � Cs

Számolás: K = 6 � 8 K = 48



137


Válasz: 48 búzaszemet evett meg Kotkoda.

b) Adatok: 1 mókus 7 db, 6 mókus ?

Terv: x = 6 � 7

Számolás: x = 42

Válasz: 42 mogyorót osztott el a 6 mókus.

c) Adatok: 1 sor 6 db, 9 sor ?

Terv: x = 9 � 6

Számolás: x = 54

Válasz: 54 káposztapalántát ültettek.

d) Adatok: 6 egér 42 búza, 1 egér ?

Terv: e = 42 : 6

Számolás: e = 7


Válasz: 7 szem búza jut egy-egy kisegének.

Adatok: ty = 36, ty �6> k, k = ?

Terv: k = ty : 6

Számolás: k = 36 : 6 k = 6


Válasz: 6 kacsa van az udvaron.

Gyakorlás


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöve-

gértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli





Óra: 70{72. 79{81. 89{90.

A számolási rutint fejleszt®, illetve képi gondolkodást, kreativitást, ötletgazdagságot

feladatsorok.



Tk. 94/1. feladat: A számolási rutin fejlesztése a szorzás gyakorlásával.

Megoldás:

Tk. 95/2. feladat: A számolási rutin fejlesztése az osztás gyakorlásával.

Megoldás:

Tk. 96/3. feladat: A számolási rutin fejlesztése az összeadás, kivonás gyakorlásával.

Megoldás:



139

Gy. 92/1. feladat: Számolási rutin fejlesztése az összeadás, kivonás gyakorlásával.

Megoldás: a) 70 80 60 90

25 34 82 88

48 56 78 68

70 90 60 80

84 92 62 42

b) 30 40 20 20

10 40 7 2

5 4 2 6

5 2 7 6

6 4 7 7

c) 30 30 60 40

20 40 5 5

72 52 4 5

58 53 6 5

67 46 29 32

d) 20 30 20 40

80 70 8 4

43 51 33 22

74 85 66 42

39 25 54 67

e) 40 50 60 40

20 20 2 90

6 3 2 6

3 9 6 6

3 6 4 4

f) 60 40 90 80

46 57 64 98

24 13 45 26

40 70 40 60

44 84 51 33

Gy. 93/2. feladat: Számolási rutin fejlesztése a szorzás, osztás gyakorlásával.

Megoldás: a) 18 24 24 48

35 42 54 45

18 8 15 28

16 60 21 18

80 25 30 14



b) 4 3 2 6

10 3 4 4

8 5 3 3

2 2 2 4

2 4 6 5

c) 1 6 2 4

8 3 6 5

2 1 3 5

1 0 6 10

9 6 10 6

d) 3 8 2 5

6 6 9 8

6 8 7 10

7 8 9 2

9 9 5 0

e) 6 5 4 10

5 10 3 6

3 4 2 4

4 2 5 3

5 6 6 3

f) 14 9 4 50

12 20 60 2

30 50 3 0

60 12 10 10

4 6 40 0

Gy. 94/3. feladat: összetett feladatokban az eddig tanult m¶veletek gyakorlása. A

számolási rutin fejlesztése. A m¶veletek közötti kapcsolatok elmélyítése.

2 + 37 = 3 9 17 { 2 = 1 5 27 + 2 = 2 9

17 + 22 = 3 9 27 { 12 = 1 5 27 { 22 = 5

17 + 12 = 2 9 27 + 12 = 3 9 37 { 22 = 1 5

27 { 2 = 2 5 7 + 32 = 3 9 37 { 12 = 2 5



141

Gy. 94/4. feladat: összetett feladatokban az eddig tanult m¶veletek gyakorlása. A

számolási rutin fejlesztése. A m¶veletek közötti kapcsolatok elmélyítése.

Megoldás:

6

+ 9

{ 9

1 5

+ 3

{ 3

1 8

{ 1 5

+ 1 5

3

+ 1 8

{ 1 8

2 1

1 6

+ 9

{ 9

2 5

+ 3

{ 3

2 8

{ 1 5

+ 1 5

1 3

+ 8

{ 8

2 1

Gy. 94/5. feladat: A m¶veletek és a számfogalomról tanultak gyakorlása. Az egyjegy¶,

kétjegy¶ és a páros, páratlan fogalmakat kapcsoljuk a m¶veletekhez.

k p p p

k f f f

k z z z

k k k k

14 0 6 8

10 9 7 9

28 21 35 47

70 40 50 10

Gy. 94/6. feladat: Hívjuk fel a tanulók �gyelmét, hogy egy négyzetbe csak egy számjegy

kerülhet.a b c

d

e

f g

h i

2 3 5 1

6 1 7

1 0 0

4 0 2

5 5 1 4

Vízszintes: Függ®leges:

a = 23 a = 26

b = 51 c = 17

e = 100 d = 100

h = 55 f = 45

i = 14 g = 24



Gy. 95/7. feladat: A m¶veletekr®l tanultak gyakorlása.

2 � 2 = 4 28 + 3 = 3 1 45 { 6 = 3 9

4 � 7 = 2 8 12 : 2 = 6 3 � 3 = 9

15 : 3 = 5 21 : 3 = 7 1 � 2 = 2

16 + 16 = 3 2 71 { 7 = 6 4 4 � 2 = 8

3 � 4 = 1 2 23 + 30 = 5 3 76 { 50 = 2 6

7 � 5 = 3 5 3 � 6 = 1 8 52 { 9 = 4 3

36 + 8 = 4 4 9 � 3 = 2 7 26 : 2 = 1 3

36 + 30 = 6 6 92 { 5 = 8 7 74 + 8 = 8 2

8 � 5 = 4 0 73 { 10 = 6 3 57 + 10 = 6 7

5 � 9 = 4 5 8 � 10 = 8 0 90 { 20 = 7 0

4 � 5 = 2 0 100 { 7 = 9 3 69 + 9 = 7 8

40 : 4 = 1 0 6 � 4 = 2 4 5 � 6 = 3 0

60 { 6 = 5 4 86 + 8 = 9 4 93 + 5 = 9 8

12 : 4 = 3 25 + 25 = 5 0 22 : 2 = 1 1

�

79�

16�

1�

39�

28�

0�

100�

99�

89

�

58�

60�

71�

31�

4�

9�6

�

96�

49�

65

�11

�5

�

86�

83�

46

�

51�

62�

73�

50�7

�

77

�

42�

3�

2�

49

�

91�

98�

32� �

23

�

30�

54 14�

8�

12

�

24�

15�

94�

61�

74�64 �

17� 53 �

22

�

10�

20 29�43 �26

�

78�

93� 70 �

76�

84�44 �

18�

35�

1937

�

81

�

21�

48�

80�

27�

47�

36

�

45�

56�

57�

13�

69

�

41�

88�

95�

25�

38

�

67 68�

66

�

55�

63�

92�

97�

87�

52

�

85�

33

72�

34�

90�

40�

82�

75



143

Gy. 95/8. feladat: A m¶veletekr®l tanultak gyakorlása.

Gy. 96/9. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása játékos feladatban. Beszéljük meg,

hogy minden számot meg kell keresni, amely igazzá teszi az állítást.

Megoldás: 1 � 3 < a < 3 � 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

28 + 7 > 28 + b > 28 + 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 : 5 5 c 5 28 : 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

35 { 32 5 d < 27 { 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 < e � 2 5 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 < f � 10 < 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

40 5 40 + g < 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

19 < 25 { h < 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

21 : 3 > i > 20 : 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



Óra: 73. 82. 91.


Óra: 74. 83. 92.




145

matematika 2. módszertani ajánlások, első...

Documents