matematika 8. i dalis (2002) by cloud dancing

I DALIS

LEIDJ ODIS

Mieli atuntokai, prie jus vadovlis, paraytas laikantis t pai tradicij, kaip ir vadovlis 7 klasei. Vadovlis susideda i dviej dali (I dalis - 1-6 skyriai, II dalis - 7-12 skyriai). Kad js ga-ltumte dirbti savarankikai, teorin dalis yra platesn, pateikta daugiau isprst pavyzdi, bet maiau pratim ir uduoi. Kam udavini bus per maai, atskira knygute yra ileistas udavinynas. Kiekvienoje vadovlio dalyje pratimai ir uduotys numeruojami i eils, iskyrus skyrelius Pasitikrinkite", kuri udaviniai numeruojami atskirai kiekviename skyriuje, o j atsakymai pateikti kiekvienos dalies gale. Teorijos skyreliuose nuspalvintas klaustukas ymi klausimus, j kuriuos turt bandyti atsakyti patys mokiniai. Kaip jau prasta, sunkesni uduo-i numeriai - nuspalvinti. is vadovlis yra ilgo ir kruoptaus darbo rezultatas. Daugiau kaip metus autori kolekty-vas, leidyklos specialistai ir konsultantai, eksperimentuojantys mokytojai dar visk, kad js ivystumte kiek galima geresn ir domesn vadovl. Nuoirdiai dkojame visiems, prisidjusiems prie vadovlio rengimo. Praome savo pastabas, pageidavimus ir pasilymus sisti adresu: Leidykla TEV, Akademijos g. 4, LT-2600 Vilnius.

Vadovl reng autori kolektyvas:

Nijol Cibulskait, Kornelija Intien, Aleksandras Plikusas, Kazimieras Pulmonas, Viktorija Siinien, Juozas inknas, Vladas Vitkus.

Su eksperimentiniu vadovliu dirbo mokytojai: V. Antanaviit, R. Biekien, V. Bartkuvien, V. Jankeviien, R. Jonaitien, A. Karmanova, S. Kavalinien, R. Klasauskien, N. Kriaui-nien, R. Kuiauskien, A. Liegien, L. Lukait, L. Papukien, L. Prialgauskien, O. Simana-viien, S. Staknien, V. Stokuvien, A. verien, A. sien, V. Viniautien, A. iulpa.

M T E M A T I K A 8 I DALIS

Scanned by Cloud Dancing

V I L N I U S 2 0 0 2

UDK 51(075.3) Ma615

Lietuvos Respublikos vietimo ir mokslo ministerijos leista naudoti 1999 06 18, grifo Nr. 265

Darbo vadovas: Valdas Vanagas

Redaktoriai: Juozas Mays, ydrn Stundien

Programin ranga: Tadeu eibak, Rolandas Jaktys

Kompiuterin grafika: Edita Tatarinaviit

Teksto kompiuterinis rinkimas ir maketavimas: Nijol Drazdauskien, Aldona alien

Gamybos vadovas: Algimantas Pakeviius

Kalbos redaktor: Danut Giliaseviien

Konsultantai: Maryt Strikien, Elmundas alys

Leidyklos TEV Internet'o svetain: www.tev.lt

ISBN 9986-546-63-X (1 dalis) ISBN 9986-546-64-8 (2 dalys)

Leidykla TEV, Vilnius, 1999 dail. Taida Balinait, 1999 dail. Edita Tatarinaviit, 1999

TURINYS

Mstyk ir skaiiuok 6

Skaiiuok ir taupyk 8

Ne visa auksas, kas auksu iba... 11

1 Laipsnis 13

2 Kvadratin aknis 47

3 Reikini pertvarkymai 65

4 Pitagoro teorema 103

5 Erdviniai knai 123

6 Statistika 137

Skyreli Pasitikrinkite" udavini atsakymai 169

Priedas 175

Mstyk ir skaiiuok Trys draugai nori pasidalyti ilotus prizus: kepurait, kamuol ir skt. Keliais bdais jie gali tai padaryti? Uraykite visus galimus variantus.

Schemoje pavaizduotas gatvi tinklas. Keliais skirtingais bdais galima nuvaiuoti i sankry-os A sankry B, jei tamsiau paymtomis gatvmis eismas draudiamas (du kartus ta pa-ia gatvs atkarpa vaiuoti negalima)? Ivardy-kite visus galimus marrutus.

a) Keliais skirtingais bdais 3 draugs gali sussti ant suolo viena alia kitos?

b) Keliais skirtingais bdais 3 draugs gali sussti ant suolo viena alia kitos, jei Kornelija ir Regina nori sdti greta?

a) 4 draugai pasisveikino paduodami vienas kitam rank. Kiek buvo pasisveikinim?

b) 4 draugai pasisveikino vienas kitam sakydami labas". Kiek kart buvo itartas odis labas"?

a) Keliais bdais skaii 18 galima ireikti dviej natralij skaii su-ma, jei sumos, uraytos tais paiais dmenimis, bet atvirkia tvarka, laikomos vienodomis? Suraykite galimus variantus.

b) Keliais bdais skaii 18 galima ireikti dviej sveikj skaii san-dauga, jei sandaugos, uraytos tais paiais dauginamaisiais, bet at-virkia tvarka, laikomos vienodomis? Suraykite galimus variantus.

a) Paraykite visus dvienklius skaiius, sudarytus i skaitmen 1, 3, 5, 7, 9, jei skaiiuje skaitmenys kartotis negali.

b) Paraykite visus dvienklius skaiius, sudarytus i skaitmen O, 2, 4, 6, 8, jei skaiiuje skaitmenys gali kartotis.

a) Kai kuri valstybi vliavos yra sudarytos i trij lygi horizontali juost. Kiek skirting vliav gali bti sudaryta i geltonos, raudonos ir alios juost?

b) Kiek skirting vliav galima sudaryti i gelto-nos, alios, raudonos ir baltos spalvos horizon-tali juost, jei vliava sudaroma tik i 3 skir-ting spalv juost, o vidurin juosta yra balta?

?

?

balta ?

8. Udavini sprendimo konkurse buvo trij sudtingumo lygi 30 uduoi: 10 sunki, 10 vidutini ir 10 lengv. U teisingai isprst sunk udavin skiriami 3 takai, u vidutin 2 takai, u lengv 1 takas. Kiekvienas konkurso dalyvis galjo sprsti tik 6 pasirinktus udavinius. Taiau norint gauti priz, surinkt tak skaiius turjo bti ne maesnis u 15. Upildykite lentel, rodani visus galimus prizo laimjimo variantus (vie-nas galim variant lentelje parodytas).

Teisingai isprst udavini skaiius Tak skaiius Sunkus Vidutinis Lengvas

Tak skaiius

6 0 0 18

9. Saldaini dut sveria 600 g, o sausaini pakelis 250 g. Kokius galima i j sudaryti skirtingus rinkinius, jei rinkinio mas neturi viryti 2 kg? Variantus suraykite lentelje:

Saldaini dui skaiius

Sausaini pakeli skaiius

Bendras svoris

3 Ikg 800 g

2 2 Ikg 700 g

10. Nordamas pasiekti mus, voras i tako A ropoja tak B po vien kart i eils praropodamas takus C, K ir E (tuo paiu keliu voras gali ropoti tik vien kart). Paraykite kelis voro marrutus. Kiek i viso yra skirting keli vorui pasiekti mus?

Skaiiuok ir taupyk Danai girdime odius biudetas", balansas", santaupos". K jie reikia? Biudetas (anglikai budget, pranczikai bougette krepelis) tai asmens, eimos, mons arba valstybs tam tikro laikotarpio pajam ir ilaid paskirs-tymas. Biudetas padeda numatyti pajam altinius, planuoti ilaidas, taupyti. Biudetas yra subalansuotas, kai pajamos yra lygios ilaidoms. Jei ilaidos virija pajamas, tai turime deficitin, o jei pajamos virija ilaidas perteklin biudet. Uduotis. Panagrinkite Jonaii eimos (3 asmenys) vieno mnesio biudet ir atsakykite klausimus.

MNESIO BIUDETAS (litais)

Numatomos pajamos Numatomos ilaidos

Atlyginimas ( rankas) 2680 Pastoviosios ilaidos: Palkanos 100 Bstas 360 Honorarai 0 Transportas 130 Kitos 200 Maistas 900

I viso: 2980 Mokymosi reikmenys 160 Kitos 200

(1) I viso: 1750

Kintamosios ilaidos: Drabuiai ir avalyn 300 Saldumynai 150 Kinas, pramogos 200 Draudimo mokesiai 100 Medicinos paslaugos 60 Kitos 120

(2) I viso: 930

Ilaidos (1) + (2) 2680 Planuojamos santaupos 300 Ilaidos ir planuojamos santaupos 2980

1. Ivardykite numatom pajam altinius. Kas gali sudaryti, jus manymu, kitas pajamas?

2. Kas sudaro numatomas pastovisias ilaidas? Kintamsias ilaidas? 3. Pasakykite, kiek Jonaii eima planuoja sutaupyti mnes. 4. Ar Jonaii eima turi indli banke?

5. Isiaikinkite, ar 2680 Lt darbo umokesio yra priskaiiuojama, ar imo-kama suma.

6. Koks yra Jonaii eimos mnesio biudetas (subalansuotas, deficitinis ar perteklinis)?

Pratimai ir udaviniai

11. Praktin uduotis. Padedami tveli ir remdamiesi Jonaii eimos biu-deto pavyzdiu, sudarykite Js eimos mnesio biudet.

12. Praktin uduotis. Susidarykite asmenin savaits biudet.

13. Inagrinkite eimos mnesio biudet ir atlikite uduotis.

MNESIO BIUDETAS (litais)

Numatomos pajamos Numatomos ilaidos

Atlyginimas ( rankas) 1520 Pastoviosios ilaidos: Palkanos 85 Bstas 240 Honorarai 50 Transportas 95 Smulkus namudinis verslas 230 Maistas 800 Kitos 200 Mokymosi reikmenys 100

I viso: Kitos 100

(1) I viso: 1335

Kintamosios ilaidos: Drabuiai ir avalyn 300 Pramogos, laikraiai 120 Saldumynai 50 Draudimas 20 Medicinos paslaugos 50 Kitos 90

(2) I viso: 630

Ilaidos (1) + (2) 1965 Planuojamos santaupos 170 Ilaidos ir planuojamos santaupos

Apskaiiuokite: a) numatom pajam sum; b) numatom ilaid ir planuojam santaup sum. Subalansuotas, deficitinis ar perteklinis is eimos biudetas?

14. Banke per metus 12000Lt indlis iaugo iki 12 840Lt. Kokia banko metini palkan norma?

15. Kiek pinig reikia padti bank, norint gauti 1000 Lt palkan per metus, jei metini palkan norma yra 6%?

16. Terminuotasis 8500 Lt indlis metams padtas bank su 7% metini palkan norma ir 2000 Lt indlis iki pareikalavimo su 4% metini palkan norma. Kiek palkan bus gauta po met: a) u terminuotj indl? b) u indl iki pareikalavimo?

17. Pernai mieste gyveno 60000 gyventoj. Per metus gyventoj skaiius padidjo 9

Ne visa auksas, kas auksu iba ...

Taurieji metalai auksas, platina, sidabras, paladis daniausiai naudojami pa-puoal, monet ir pan. gamybai. Jie beveik nesutinkami grynu pavidalu, o tik lydiniuose. Taurieji metalai sudaro tik tam tikr j dal. T dal nusako lydinio praba (lotynikai probo bandau). Praba daniausiai reikiama promilmis (tkstantosiomis dalimis). Gryn auks atitinka praba 1000.

COC

Pavyzdiui, 585-tosios prabos auksiniame iede gryno aukso yra dalys. Juvelyriniai dirbiniai danai gaminami i auktesns prabos 958, 916, 900, 750 ir 585 prabos aukso lydini.

Kartais aukso dalis lydinyje nusakoma karatais (ct). Gryn auks atitinka 24 ct. Lydinys, kurio j dal sudaro grynas auksas, yra 1 karato. Pavyzdiui, 23 karat aukso lydinio praba yra madaug 958.

UDAVINYS. 585-tosios prabos auksinio iedo mas yra 6 g. a) Raskite gryno aukso kiek iede. b) Keli karat yra io iedo auksas? Sprendimas. a) I bdas. Viename auksinio iedo grame yra gram gryno aukso. Ziede

CQC

gryno aukso yra eis kartus daugiau: 6 = 3,51 (g). II bdas. 6 g 1000%o, 6 * 6-585

> = > = = 3,51 (g). g 585%c 1000 585 1000 6

b) I bdas. 6 gram mass iede yra 3,51 gram aukso. Vadinasi, aukso dalis iede yra . Padaugin trupmenos skaitikl ir vardikl i 4 suinome, kiek 24-j dali (t. y. karat) yra iede:

3,51 -4 _ 14,04 6 - 4 ~ 24

Vadinasi, iedas yra 14,04 karat. II bdas.

24 ct 1000 praba, 24 585-24 > _ _ - > _ 14 04 (ct)

jc ct 585 praba 1000 585 1000 ' v ' '

19. a) Auksinio iedo praba 585. Kiek gram gryno aukso yra iede, jei jo mas 8 g?

b) Sidabrins apyranks mas 25 g. Kiek gram gryno sidabro yra apy-rankje, jeigu jos praba 875?

20. a) Auskaro mas 4 g, o jame yra 3,664 g gryno aukso. Kokia auskaro praba?

b) Grandinls mas 12 g, joje yra 10,5 g gryno sidabro. Kokia grandi-nls praba?

21. Auksinio lydinio mas 5 g. Gryno aukso ir pried santykis lydinyje yra 9 : 1 . a) Kokia yra lydinio praba? b) Kiek gram gryno aukso yra lydinyje?

22. Sidabrins taurs mas 1,5 kg. Gryno sidabro ir pried santykis 4 : 1 . a) Kokia yra taurs praba? b) Kiek gram gryno sidabro yra lydinyje, i kurio pagaminta taur?

23. a) Kokios prabos yra aukso lydiniai, kurie yra 18 ct; 14 ct; 20 ct; 12 ct? b) Kiek karat turi aukso lydiniai, kuri praba 980; 855; 750; 900?

24. Kiek gram gryno aukso yra auksinje segje, kurios mas 18 g, jeigu lydinys, i kurio pagaminta seg, yra: a) 20 karat; b) 18 karat; c) 14 karat; d) 23 karat?

LAIPSNIS

1. Laipsnis su natraliuoju rodikliu 14 2. Laipsni su vienodais pagrindais daugyba ir dalyba 19 3. Sandaugos, trupmenos ir laipsnio klimas natraliuoju laipsniu 4. Laipsnis su sveikuoju neigiamuoju rodikliu 31 5. Laipsni su sveikuoju rodikliu veiksmai 36 6. Standartin skaiiaus iraika 40

Pasitikrinkite 44

1

1 Laipsnis su natraliuoju rodikliu

Prisiminkime, kaip keliame natraliuoju laipsniu, pavyzdiui:

43 = 4-4-4 = 64;

(-0,2) 4 = -0,2 (-0,2) (-0,2) (-0,2) = 0,0016;

) - H ) - - 1 - ( - 1 ) - ( - 5 ) - 27 27

Sandauga n dauginamj, kuri kiekvienas lygus a, ymima an ir vadinama skaiiaus a n-tuoju laipsniu. Skaiiaus a pirmuoju laipsniu vadinamas

pats skaiius a.

... = , 1 = a. dauginamj

Apskaiiuojant skaitini reikini reikmes, pirmiausia keliama laipsniu, o po to atliekami kiti veiksmai, pavyzdiui:

3 IO2 = 3 100 = 300;

( - 5 ) 2 - 34 = 25 - 81 = -56 ;

_ l 2 _ ? ! . ( _ I \ 2 = _ ! _ i . I = - I - I = - i i 3 V 2 / 3 4 3 3

Jei reikinyje yra skliaust, pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose, pavyz-diui:

( 3 , 2 - 2,9)4 = 0,34 = 0,0081;

(2,09 - 0,32)3 = (2,09 - 0,09)3 = 23 = 8;

1 - 52 ( ^ - 1^) = 1 - 52 2 = 1 - 25 2 = 1 - 50 = - 4 9 .

an laipsnis a laipsnio pagrindas n laipsnio rodiklis

Apskaiiuoti laipsni ir skaitini reikini su laipsniais reikmes patogu naudo-jantis skaiiuokli. Pavyzdiui, norint rasti 46, galima skaiiuoti pagal schem:

X 4 X 4 X 4 X 4 X 4 = 4096

Taiau galima skaiiuoti nekartojant pagrindo: pakanka vesti 4, vien kart

Reikinio 3,43 : 1,7 reikm skaiiuokli galima apskaiiuoti taip:

3,4 X = = 1,7 23,12

Reikinio (42,5 4,6)2 8,33 reikm apskaiiuokime, naudodamiesi atmin-timi:

8,3 M+ 42,5 4,6 MR 864,623

MR atminties ikvietimo klavias (anglikai memory recall).

Abakas vienas pirmj skaiiavimus palengvinani prietais pasaulyje, naudotas jau senovs Kinijoje ir Japonijoje nuo VI-VII a. (ir dar tebevartojamas Tolimuosiuose Rytuo-se). Senovje tai buvo paprasiausia staiakamp lentel, subraiyta tiesiomis linijomis. Juosta tarp linij atitiko skaii grupes: vienetus, penketus, deimtis, penkias deimtis, imtus ir 1.1. tas juostas dedant akmenukus arba skridinlius buvo galima pavaizduoti skaiius ir atlikti paprasiausius skaiiavimus. Vliau abakai pasidar panaesni skaity-tuvus (pastaruosius dar prie deimtmet matydavome ms parduotuvse). iuolaikinio abako lentos (c) deinje pusje esantys skridinliai reikia penketus, t. y. vienas deinysis skridinlis lygus penkiems kairiesiems. Virbai, irint nuo apaios, atitinka skaii klases: pats apatinis - vienetus, antras nuo apaios - deimtis, treias - imtus ir 1.1. Brinyje ma-tote skaii 1986, atidt senoviniame graik (a) ir iuolaikiniame kin (b) abake. O dabar pasakykite, koks skaiius atidtas abako pieinyje (c).

500 50 5 1000 100 10 1

IO4 IO3 IO2 10 1

(f > $1 ) -e "H

a) b) c)

25. Pakelkite laipsniu:

a)0,32 ; b) ( f ) 4 ; C) ( - i ) 3 ; d) ( - i ) 2 ; e) ( -2 ,5) 2 ; f) (2) 3 .

26. Pasakykite, kam lygu: a) 161; b) I1 6 ; ) ( -1 ) 5 ; d) ( -1 ) 1 0 0 ; e) ( -1 ) 1 0 1 ; f) O4.

27. Apskaiiuokite:

a) 22 b) - 2 2 c) ( - 2 ) 2 d) O, I3 e) -O, I3

f) ( - o , i ) 3 g ) ( ) 2 h) H ) 2 i) - ( 2 j) %

28. Apskaiiuokite reikini reikmes:

a) 22 + 23 b) (3)2 23 c) 42 + 53 d ) - ( l f ) 2 - 2

e) 2 32 f) 1,32 : 10 g) l : ( ) 3 h ) 0 , l 2 - 0 , 2 2

29. Naudodamiesi 175 puslapyje esaniomis natralij skaii nuo 1 iki 10 kvadrat ir kub bei skaii 2, 3 ir 5 laipsni lentelmis, apskaiiuokite:

a) 92 + 73 b) 83 - 28 c) 37 - 93 d) 5 63

e) - 2 6 : 64 f) 3 25 - 35 g) ( - 5 ) 3 23 + 100 h) (35 - 73) : ( - 4 )

30. Skaiiuokli apskaiiuokite laipsnius ir suapvalinkite atsakymus iki im-tj: a) 3,123; b) 0,734; c) 1,855; d) 2,046; e) 1,14.

31. Skaiiuokli apskaiiuokite reikini reikmes ir suapvalinkite atsakymus iki deimtj:

a) 2,083 : 1,56 b) 1,64 8,3 c) 0,463 8,2 d) (1,27 + 6,32)3 e) 0,01 ( -4 ,5) 4 f) 2,065 - 33,12 : IO4

32. Apskaiiuokite: a) 6jc3, kai = - 2 ; - 1 ; 0; 0,2; b) 100 - y 2 , kai y = -15 ; - 1 ; 1; 15; 25.

33. Nustatykite, koks enklas (>, < ar =) turt bti paraytas kvadratlio vietoje:

a) 0,92 ( -0 ,9) 2 b) ( -0 ,2) 3 ( -0 ,3) 3

c) 7 52 (7 5)2 d) - 5 43 - 5 ( - 4 ) 3

34. Atsakymus klausimus paraykite reikiniu su laipsniu ir, jei manoma, apskaiiuokite reikinio reikm. a) Mgintuvlyje yra 500 bakterij. Bakterij kiekis mgintuvlyje per

valand padidja dvigubai. Kiek j bus mgintuvlyje po 1 valandos? 2 valand? 3 valand? n valand?

b) Pauki populiacija kasmet padidja 1,5 karto. Kiek bus pauki po 3 met, jei dabar j yra 1000?

35. Pasakykite, koks skaiius turt bti paraytas vaigduts vietoje:

a ) (*) 2 = 9 b) (*)2 = 1 c) (*)2 = 10000 d) (*)3 = 8 e) (*)3 = - 8 f) (*)3 = - 1 000000 g) 2* = 32 h) ( -3)* = - 2 7 i) 100* = 1 0 ^ 0

j) 5* = 5 k) ( -5)* = - 5 100 n u l i

36. Skaii paraykite laipsniu, kurio rodiklis lygus 2: a ) 2 ; b ) l g ; c) 13|; d) 3 .

Pavyzdys. 2 0 1 = = 2 = ^ 4 I j 2

37. Medinio kubelio turis lygus 64 cm3. a) Kam lygi kubelio kratin? b) Kiek kubini centimetr padids kubelio tris, kratin padidinus 1 cm? c) Keliais centimetrais reikt padidinti kubelio kratin, kad jo tris bt

64 m3?

38. Ivardykite statinius ir ambin:

d)

R

39. Apskaiiuokite reikinio reikm:

a) l | + 4 5 : 3 ^ - 2 3 , 6

c) 1 7 , 8 - 3 7 : 2 ^ - 1 ^

b) V05 - V25

d) 4 - V 1 2 T

40. Raskite neinomus kampus:

a) b) c) d) e)

330

41. Vienoje dje uogiens stiklaini buvo tris kartus daugiau negu kitoje. Kai i pirmosios ds 17 stiklaini buvo perdta antrj d, abiejose dse j pasidar po lygiai. Kiek stiklaini uogiens buvo kiekvienoje dje i pradi?

42. Kaina buvo sumainta 25%, ir dabar prek kainuoja 150 Lt. Kiek prek kainavo iki kainos sumainimo?

43. Isprskite lygtis:

44. Motorin valtis 90 km pasroviui nuplauk per 6 h, o atgal gro per 10 h. Koks ups tkms greitis? Nurodykite teising atsakym. A 6km/h B 3km/h C 2km/h D 12km/h E4km/h

45. Staiakampyje yra 9 skaiiai ir 6 matematiniai enklai.

Panaudojant visus skaiius ir visus enklus galima sudaryti tris teisingus teiginius, pavyzdiui:

3 + 5 = 8; 4 x 4 = 1 6 ; 2 + 6 < 10.

Paraykite dar tris tokius teising teigini trejetus.

a) 3JC = - 3 b) \x = 1

d) = 1 e) = - 1

c) -IOOOJC = 0

f ) 0 , I J C - 3 = 3

5 8 2

4 6 (X) 4 3

16

2 Laipsni su vienodais pagrindais daugyba ir dalyba

Panagrinkime dviej laipsni su vienodais pagrindais sandaug. Pavyzdiui, raskime sandaug laipsni 52 ir 54:

52 54 = ( 5 5 ) ( 5 - 5 - 5 - 5 ) = 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 = 56. 2 4 6

Vadinasi,

52 54 = 52+4 .

Matome, kad dauginant 52 i 54 gauname laipsn, kurio pagrindas 5, o laipsnio rodiklis lygus 2 ir 4 sumai. i taisykl galima taikyti dauginant bet kuriuos laipsnius su vienodais pagrindais. I tikrj,

am-an = (a-a-a ... a) (a-a-a -...- a) = a-a-a -...- a = '+. v 1V v

m dauginamj n dauginamj (m+n) dauginamj

am.an=am+n ( / > 6 JV)

( Analogikai sitikinkite, kad am an - ak = am+n+k (m, n, k e N).

Dauginant laipsnius su vienodais pagrindais, pagrindas paliekamas tas pats, o laipsni rodikliai sudedami.

Pavyzdiui:

32 - 35 = 32+5 = 37; ( - 2 ) 3 ( - 2 ) 4 = ( - 2 ) 3 + 4 = ( -2 ) 7 ;

c4 - c1 0 = c 4+ 1 0 = c14; 10 IO2 IO5 = IO1+2+5 = IO8.

Taisykl galima taikyti ir atbulai, pavyzdiui:

54 = 5 53 = 52 52;

a 6 = a a5 = a2 a4 = o 3 a 3 .

Panagrinkime dviej laipsni su vienodais pagrindais dalmen. Pavyzdiui, raskime dalmen laipsni 36 ir 34:

3 3 3 3 3 3 2 = 3 - 3 = 3 2 . 3 - 3 - 3 - 3 ^

2

Vadinasi,

36 : 34 = 36~4 .

Matome, kad dalijant 36 i 34 gauname laipsn, kurio pagrindas 3, o laipsnio rodiklis lygus 6 ir 4 skirtumui. i taisykl galima taikyti, dalijant bet kuriuos laipsnius su vienodais (nelygiais nuliui) pagrindais, kai dalinio rodiklis didesnis u daliklio rodikl. I tikrj,

m dauginamj Dl r -

m . n a a a a ... a mn a : a = = = a a a ... a = a an a-a-a

n dauginamj (mn) dauginamj

am . an _ am-n ^a Q. m> n e N . m > )

Dalijant laipsnius su vienodais (nelygiais nuliui) pagrindais, pagrindas paliekamas tas pats, o i dalinio rodiklio atimamas daliklio rodiklis.

Pavyzdiui:

0,58 : 0,55 = 0,58"5 = 0,53; a 1 0 : a 8 = a 1 0 ' 8 = a 2 ; 7 8 .9 z = 7 8 - 6 = 72; - = ^ 1 = C 8 . 76 c

Taisykl galima taikyti ir atbulai, pavyzdiui:

54 = 5 6 : 5 2 = 5 1 0 : 5 6 = . . . ;

3 15 12 a a = a : a = = . . . a

Kol kas taisykl am : an = am " taikme, kai m > n. Jei taikytume j tuo atveju, kai m = n, gautume:

an :an = an~n = a.

Kadangi an : an = ^ = 1 { 0), tai patogu susitarti, kad

a0 = I ( 0)

Kiekvieno skaiiaus, nelygaus nuliui, nulinis laipsnis lygus vienetui.

Pavyzdiui:

4 = 1; ( -3 ,2 ) 0 = 1; Q 0 = L

Reikinys O0 neturi prasms.

Taip susitarus, taisykl am : a" = am~n galima taikyti, kai m ^ n.

46. Sandaug ireikkite laipsniu:

a) 26 25 b) 74 7 c) ( - 5 ) 8 ( - 5 ) 3 d) IO2 IO3 IO4

e) 6 a 3 f ) b5 b9 g) ( - c ) 1 1 ( - c ) h) d d4 d12

47. Reikin ireikkite laipsniu, naudodamiesi 175 p. esaniomis lentelmis:

a) 25 4 b) 23 64 c ) 2 6 - 5 1 2 d) 128 23

e) 27 35 f) 32 81 g) 9 243 h) 729-81 i) 53 25 5 j) 47 64 4 k) 2 32 2 1) 36 62 63

48. Ireikkite laipsn dviej laipsni sandauga trimis bdais:

a) 25; b) 37; c) a 1 8 ; d) x2 0 .

Pavyzdys. 46 = 43 43 = 42 44 = 4 45.

49. Dalmen ireikkite laipsniu:

a) 24 : 23 b) 38 : 35 c) 0,59 : 0,55 d) ( -1 ,2) 1 0 : ( -1 ,2) 7

e) 9 :x2 f ) pls : p g) z1 6 : z12 h) (-y)11 : (-y)7


a) 57 : 54 b) 0,45 : 0,42 c) 14,16 : 14,15

d ) 5 : 3 e) ( - ) 7 : ( - ) 4 f) ( l ) 4 : l ) ! ! D (-0,2)11 S) 64 ) 0,14 (_o,2)8

51. Apskaiiuokite:

a) I 4 - I 3 : ! 6 b) I l 8 : I l 7 - 1 1 c) IO12 IO4 : IO8

d) ( ) 3 - ( ) 2 : ( ) e) ( 2 | ) 7 - (2f , (2)9 f, ( | ) 6 : . ( f )

Pavyzdys. 35 32 : 36 = 35+2~6 = 3 ^ 3 .

52. Remdamiesi lygybe 210 = 1024, apskaiiuokite: a) 2 n ; b )2 9 .

53. Suprastin reikinius, skaiiuokli apskaiiuokite j reikmes, o atsaky-mus suapvalinkite iki deimtj: a) 3,53 3,52; b) 7,28 : 7,25; c) 2,566 2,564 : 2,567.

54. Apskaiiuokite: a) 21 24 + 33 32; b) 5 24 + 10 3; ) 0,9 42 - 8,1 : 32.

55. Apskaiiuokite: a) 2\ /8l ; b) ; ) / ( - ) ; d) 10^0,0144.

56. Suprastinkite reikinius:

) - \ x ( -6 ,4) b) (-0,81*) c) ( - ) 42*

d) -0 ,27 \ e) OlOly ( - 6 ) f) 0,3y (-0,01)

Pavyzdys. 1 . ( _ 1 2 3 ) = _ 1 | 3 = = _ 4 .

57. Isprskite lygtis: a) 0,6(* - 3) - 0,5(: - 1) = 1,5; b) 0,8(y - 2) - 0,7(y - 1) = 2,7.

58. Brinyje pavaizduot trikampi por atitinkamai lygios kratins pay-mtos vienu, dviem ar trimis brkneliais, o atitinkamai lygs kampai paymti vienu, dviem ar trimis lankeliais. Kuriose porose trikampiai lygs?

B

D

59. Kai inomas kuno turis V ir tankis p, jo mas m randama pagal formul m = p V. a) Apskaiiuokite kamio mas, jei jo tris lygus 8 cm3. (Kamio

tankis yra 0,18 g/cm3.) b) Kokia yra keturi staiakampi padkliuk, padaryt i kamio, komp-

lekto mas, jei vieno padkliuko ilgis yra 40 cm, plotis 25 cm, o storis 0,5 cm?

60. Paraykite visus keturenklius 711* pavidalo skaiius (t. y. j pirmieji skaitmenys yra 7, 1, 1), kurie dalijasi i: a) 5; b) 9; c) 5 ir 9.

61. I 8 kg bulvi gaunama 1,4 kg krakmolo. Kiek krakmolo galima gauti i 28 kg bulvi?

62. Kam lygus skaiius, jeigu jo 20% sudaro 4,5? A 0,9 B 2,5 C 9 D 22,5 E 18

63. Vienas darbininkas per 4 valandas pagamina 3 gaminius, o kitas 4 tokius pat gaminius per 5 valandas. Kuris darbininkas dirba spariau?

64. Nustatykite dsningum, kaip sudaroma skaii eilut, ir uraykite dar du jos narius: a) 1, 5, 9, 13, 17, . . . b) 1, 5, 25, 125, 625, . . . c) 1, 5, 8, 12, 15, . . . d) 1, 5, 11, 19, 29, . . .

65. eimos mnesio pajamos 2430 lit. eimos mnesio ilaidos: 1200 Lt maistas

450 Lt drabuiai 310 Lt mokestis u but 200 Lt kitos ilaidos

I viso: 2160 Lt

Kam lygios eimos mnesio santaupos? Stulpeline diagrama pavaizduokite pajam panaudojim.

3 Sandaugos, trupmenos ir laipsnio klimas natraliuoju laipsniu

Panagrinkime dviej nari sandaugos klim natraliuoju laipsniu. Pavyzdiui, kelkime ketvirtuoju laipsniu sandaug 2-3 :

(2-3)4 = (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) = (2 2 2 2)-(3 3 3 3) = 2434. 4 dauginamieji 4 4

Vadinasi,

(2 3)4 = 24 34.

Matome, kad keliant sandaug 2-3 ketvirtuoju laipsniu, tuo laipsniu keliami abu dauginamieji, o rezultatai sudauginami. i taisykl galima taikyti sandaug keliant bet kuriuo natraliuoju laipsniu. I tikrj,

(a-b)" = (a -b) ... (a -b) = (a -a ... -a) (b b ... -b) = an bn. v ' ' ' V V '

n dauginamj n dauginamj n dauginamj

(a b)n =an -bn (ne N)

; Analogikai sitikinkite, kad (abc)n = an bn cn (ne N).

Keliant sandaug natraliuoju laipsniu, kiekvienas dauginamasis keliamas tuo laipsniu, o gauti rezultatai sudauginami.

Pavyzdiui:

(2 IO)5 = 25 IO5; ( -) 3 = ( - 3 ) 3 :3 3 = -27x 3 y 3 .

Taisykl taikoma ir atbulai, pavyzdiui:

'4Q4 = K)4 = ^ 43 253 = (4 25)3 = IOO3 = 1 000000.

Panagrinkime trupmenos klim natraliuoju laipsniu. o Pavyzdiui, kelkime kvadratu trupmen | :

/ 3 \ 2 _ 3 3 _ 3 3 _ 3 2

\ 4 / ~~ 4 ' 4 ~ + 4 ~ 4 2 '

Vadinasi,

(I)2 = * V 4 / 4 2

O Matome, kad keliant trupmen | antruoju laipsniu, tuo laipsniu keliamas ir skaitiklis, ir vardiklis. i taisykl galima taikyti trupmen keliant bet kuriuo natraliuoju laipsniu. I tikrj,

n dauginamj ' n /a\n /a\ /a\ /a\ a ... a

\ b ) = ( b ) ' U / " ' ' U / b-b- ...-b ' v ' '

n dauginamj n dauginamj

( I ) " = $ (.)

Keliant trupmen natraliuoju laipsniu, tiek skaitiklis, tiek vardiklis keliami tuo laipsniu.

Pavyzdiui:

( 7 V _ i 7 ) 3 - 7 3 - 3 4 3

V 9 7 ~ ~ V 9 / _ ~ 9 3 ~ ~ 7 2 9 ;

d d d / a \ 4 a a a

V3b/ ~ (3b)4 ~ b4 ~ IF' Taisykl taikoma ir atbulai, pavyzdiui,

3^ _ /344 _ / 1 \ 4 _ 94 _ V 9 / ~ \ 3 / ~ 8 1

Panagrinkime laipsnio klim natraliuoju laipsniu. Pavyzdiui, kelkime laipsn 32 penktuoju laipsniu:

5 dmenys

( 3 2 ) 5 = ^ 2 _ 2 _ 2 _ 2 = 3 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 325 = 310_

5 dauginamieji

Vadinasi,

(32)5 = 325.

Matome, kad keliant laipsn 32 penktuoju laipsniu, laipsni rodikliai 2 ir 5 sudauginami. i taisykl galima taikyti laipsn keliant bet kuriuo natraliuoju laipsniu. I tikrj,

(am)n = am am n dmen

am =am+m+-+m =amn. n dauginamj

(am)n=amn (m, n e N)

Keliant laipsn natraliuoju laipsniu, laipsnio pagrindas lieka tas pats, o rodikliai sudauginami.

Pavyzdiui:

(1,92)3 = 1,92'3 = 1,96; ( ( -8 ) 2 ) 4 = ( - 8 ) 2 4 = ( - 8 ) 8 = 88;

(3a2b3)4 = 34 a2'4 b3'4 = 34 a8 b12 = ia8/,12.

i OL- 1)-

(T> - a")*= Crn-


a) (ab)1 b) (xyz)

e) (0,3)3 f) (IOaZ?)5


a) a4b4 b) m3n3/i3

e) 81x4 f) 0,008a3Z>3

68. Apskaiiuokite:

a) 25 55 b) 0,56 46

d) 0 ) 4 I 4 e) 0,00815


a ) ( i ) 3 b ) ( - f ) 4

=I (-1)3 f) ( ) 5

70. Trupmen ireikkite laipsniu:

b) 125x3

C) (2x)~ d) ( -3aY g) ( mn) 3 h) ( - 1 \abcY

c) ( - ) 5 } - 5

g) -0,027*3 d) I1O1

h) -5m4

125 15

o (!) 3c ) m

)9-9 f) H ) 7 - u 7

d) (4

h) ( -S) 2

e) f) -27000 C) g)

( - ) 7

128a Wc1

d)

h)

26m6 n6

1024x 10 IO10

71. Ireikkite laipsniu:

a) (33)2 b) (72)5

e) (a3)4 f) (b1)2

72. Ireikkite laipsniu:

c) (0,94)3

g) H 8 ) 3 d) ( - 5 3 ) 3

h) (-y4)6

a) su pagrindu 2: 4 J ; 162; 642; b) su pagrindu 5: 25z; 125J; 625J.

73. Paraykite laipsniu, kurio pagrindas a:

a) (a3)6 ; b) (a5)2 (a3)3; c) (a2 a3)4; d) (a-a5)4.

74. Kokie skaiiai turt bti parayti vaigdui vietoje?

a) 220 = (210)* = (25)* = (2*)5 = (2*)2; b) 230 = 4* = 8* = 32*.

2. c3.

75. Apskaiiuokite reikini reikmes: 9 3 /2\4. h4 (25)2. 39-27. 43(42)4. , 103102(103)2 d) ) , ) 25 W (33)2 ' ' 410 ' ' 10-(102)3

Pavyzdys. 3 8 (3 3 ) = = = ^ = 14_12 = =

312 3 1 2 3 1 2 3 1 2

76. Apskaiiuokite ir uraykite teising atsakym:

a) 32 + 3 A 243 B 36 C 729 b) 32 3 A 753 B 729 C 243 c) 54 52 A 600 B 25 C l d) 54 :5 2 A I2 B 625 C 25

77. Raskite gretutini kamp didumus:

a) , b)

+ 541 2x

c) kai j didumai sutinka kaip 7 : 8 .

78. Atstumas emlapyje tarp Kupikio ir ilals lygus 120 mm, o vietovje tarp i miest apytiksliai yra 180 km. Koks emlapio mastelis?

79. stiklin, kurioje yra 195 g vandens, berta 5 g valgomosios druskos. a) Kokia druskos tirpalo mas? b) Kokia tirpalo koncentracija (druskingumas) promilmis?

80. Tiesje paymti takai M, N ir K. Kam lygus atstumas MK, jeigu: a) MN = 2cm, NK = 4cm; b) MN = 2m, NK = 4cm? Nurodymas. Isiaikinkite, kaip gali bti isidst takai.

81. Usakym pagaminti stakles darbininkai planavo vykdyti per 20 dien. Kasdien pagamindami dvejomis staklmis daugiau, darbininkai usakym atliko per 18 dien. a) Kiek stakli per dien darbininkai planavo pagaminti? b) Kiek stakli per dien darbininkai pagamino? c) Kiek stakli buvo usakyta? d) Kiek stakli per dien turt pagaminti darbininkai, jeigu t usakym

reikt atlikti per 10 dien?

82. I dviej gyvenviei, atstumas tarp kuri 42 kilometrai, tuo paiu metu vienas prieais kit ivyko du dviratininkai. Jie susitiko po 2 valand. Pirmasis dviratininkas iki susitikimo nuvaiavo 2 kilometrais daugiau negu antrasis. Kokiu greiiu vaiavo kiekvienas dviratininkas?

83. Upildykite tuius langelius sveikaisiais skaiiais nuo 1 iki 9 taip, kad kvadratas bt magikas. - 4 - 2

- 6

84. Nustatykite dsningum ir pasakykite: a) kokie skaiiai turt bti parayti klaustuk vietoje.

16 25 36

b) kokie skaiiai ir kokios raids turt buti paraytos klaustuk vietoje.

A 2 A 1 B 4 C 3 6 D 5 E 8 ? ? ? ?

85. Degtukais paraytoje lygybje padaryta klaida. Itaisykite j, perkl tik vien degtuk.

4 Laipsnis su sveikuoju neigiamuoju rodikliu

Dalydami laipsnius su vienodais pagrindais, taisykl am : an = am~n imoko-me taikyti, kai m ^ n (a 0). Raskime reikinio am : an reikm, kai m < n, pavyzdiui, 52 : 55. Jei taikytume mint taisykl, gautume:

52 : 55 = 5 2 - 5 = 5 - 3 .

Taiau

2 5 _ 5 2 _ 5 - 5 _ 1 1 5 ' 5 _ 55 ~~ 5 5 5 5 5 ~ 5 - 5 - 5 _ 5 3 '

Todl patogu susitarti, jog

Tokio susitarimo laikomasi, kai laipsnio rodiklis yra bet kuris sveikasis neigia-masis skaiius:

a ~ n = \ ( a ^ O )

Pavyzdiui:

= ^ = ( - 2 ) - 4 = - 4 - r - L ( + 5 2 = 1 32 9 ( - 2 ) 4 16' (x + 5)2 '

Pakelkime neigiamuoju laipsnio rodikliu paprastj trupmen, pavyzdiui:

' 2 \ - 2 _ 1 _ 1 _ 9 / 3 \ - 3 _ 1 1 _ 125

3 ) ~ ( 2 ) 2 ~ I ~ 4 ; V 5 / ~ ( I | j 3 - I T -125

/ l \ - i _ J _ _ I _ 2 / _ _ L \ - 1 _ V2/ ~ ( ~ _ 1 ~ ; V 10/ " CIV 1 V 10/ ( M 1 - i 1

\2) 2 I oJ 10 = - 1 5 = -10 .

Paskutiniuose pavyzdiuose pakl trupmenas 2 "" ~~ TO la*Psniu gauname sveikuosius skaiius 2 ir 10. Toki savyb turi kiekviena trupmena, kurios skaitiklis lygus 1:

I tikrj

I x - I

Gr-e- ' r ' e - H - l ) = e l = e . Pavyzdiui:

T \ - l ( - * H)"1- -3.

Taip pat ir keldami bet kuri paprastj trupmen neigiamuoju laipsniu, j turime apversti", o laipsnio rodiklio enkl pakeisti prieingu:

I tikrj,

(a\~n 1 1 bn / b \ n U/ = (W = & = ^ = W ' Pavyzdiui:

_\~2

. 3 , G r - ( I ) 1 = G r 3 = ( ) 3 ; ( - - 4 Keliant mirj skaii arba deimtain trupmen neigiamuoju laipsniu patartina t skaii parayti kaip paprastj trupmen, pavyzdiui:

(r-(-()'-f - - ^

- ( i r - ( = G ) 3 = 1 2 3 216

86. Laipsn su sveikuoju neigiamuoju rodikliu pakeiskite trupmena:

a) KT 1 b) 3 - 2 ) - 3 d) 2~4

e) b~5 f) ( 2 b ) ' 4 g) ( + 2)" 1 h) (.xy)~3

87. Trupmen pakeiskite laipsniu su sveikuoju neigiamuoju rodikliu:

a) ; b) w > c ) 7 ' d) b f) ^ g) b

88. Skaiius ireikkite laipsniu su nurodytu pagrindu:

a) su pagrindu 2: 4; 2; 1; \ \ \ \

b) su pagrindu 3: ^ r ;

95. Paraykite reikiniu:

a) 5a ir b sumos kvadrat b) 3jc ir y kvadrat sum c) 8Im ir 25n skirtumo kub d) 4c ir 3d kub skirtum

96. Kubo formos vandens bakas siurbliu pripildomas per 15 minui. Per kiek laiko tuo paiu siurbliu bus pripildytas kubo formos vandens bakas, kurio briauna 2 kartus didesn nei pirmojo?

97. Raskite neinomus kampus, jei inoma, kad a || b.

98. Atskliauskite ir sutraukite panaiuosius narius: a) 3 ( 2 - y) + 2y- 5; b) 5x - (1 - x) 4 + 4.

99. Schemoje langeliai upildyti pagal toki taisykl: vir dviej skaii para-ytas j aritmetinis vidurkis. Kokie skaiiai turt bti parayti klaustuk vietoje?

100. Para keturis i eils einanius skaitmenis, gauname keturenkl skaii. Pirmus jo du skaitmenis sukeit vietomis, gauname skaii, kuris yra natraliojo skaiiaus kvadratas. Raskite pradin keturenkl skaii.

101. Apskaiiuokite:

a) | - 3 f | : ( - 2 ) ; b) - 3 , 8 + | -6,08| .

102. Turistai pirmj dien nujo 15% viso suplanuoto kelio, o antrj viso suplanuoto kelio. Kiek kilometr turistams liko eiti, jeigu pirmj dien jie nukeliavo 10,5 km?

103. Kuri dabar valanda, jeigu likus paros dalis dvigubai ilgesn u prajusi?

104. Vilniaus ir Kauno sporto mokykl 8-j ir 9-j klasi moksleiviai dalyvavo krepinio turnyre. Komandos buvo suskirstytos 4 pogrupius: I, II Vilniaus, III, IV Kauno. Pogrupiuose vykusi rungtyni rezultatai pateikti lentelse.

I pogrupis II pogrupis 8a 8b 8C 8d 9a 9b 9 9d

8a 50 : 40 60 : 52 52 : 50 9 a 62 : 60 70 : 60 61 : 59 8b 40 : 50 52 : 51 50 : 51 9b 60 : 62 52 : 70 48 : 47 8 52 : 60 51 : 52 48 : 70 9 60 : 70 70 : 52 60 : 65 8d 50 : 52 51 : 50 70 : 48 9d 59 : 61 4 7 : 4 8 65 : 60

III pogrupis IV pogrupis 8a 8b 8 8d 9 a 9b 9 c 9d

8a 40 : 60 50 : 62 54 : 52 9a 51 : 54 62 : 60 50 : 90 8b 60 : 40 62 : 50 61 : 65 9 b 54 : 51 50 : 58 70 : 82 8C 62 : 50 50 :62 49 : 48 9 c 60 :62 58 : 50 66 : 80 8d 52 : 54 65 : 61 48 : 49 9d 90 :50 82 :70 80 : 66

a) Irikiuokite komandas pogrupiuose pajgumo tvarka, jeigu: u pergal skiriamas 1 takas, u pralaimjim 0 tak; dviem komandoms surinkus vienod tak skaii, auktesn viet

uima ta komanda, kuri nugaljo tarpusavio rungtynse; trims komandoms surinkus vienod tak skaii, auktesn viet

uima ta komanda, kurios tarpusavio rungtyni mest ir praleist tak skirtumas yra didesnis.

b) Ar galjo vieno pogrupio visos komandos surinkti po vienod tak skaii?

c) Ar galjo taip atsitikti, kad trys vieno pogrupio komandos surenka po vienod tak skaii, o j tarpusavio rungtynse mest ir praleist tak skirtumas yra vienodas?

5 Laipsni su sveikuoju rodikliu veiksmai

Nesunku sitikinti, kad laipsni su natraliaisiais rodikliais savybs tinka laipsniams su sveikaisiais rodikliais. Pavyzdiui:

2 - 7 . 2 9 = 2 - 7 + 9 = 2 2 j n e s 2 - 7 2 9 = 1 2 9 = ^ = 2 9 - 7 = 2 2 ; 27 27

46 . 4 - 2 = 4 6 - ( - 2 ) = 4 8 s n e s 46 . 4 - 2 = 46 = 46 . 4 2 = 46+2 = 48.

42

V = 2 " 2 3 = 2 - ' , nes (2->)3 = ( ) 3 = = = 2 - 6 ;

105. Apskaiiuokite:

a) 6 - 4 6 7

d) IO5 IO - 3 10

g) ( ) " 4 3

j) ( - 3 ) - 2 . ( - 3 ) 5

b) 31 : 312

-4 e) I5 - 3 : I 5 - 3

h) ()2 : ()4 k) ( - 1 . 2 1 : ( - 1 , 2 ) - 3

c) (5-2) - 3

f) 123 (12 - 2 )

i) ( 4 2 2 4

1) 53 (5- 1 ) 2

106. Ireikkite reikin laipsniu:

a) su pagrindu 2 1 23 4 1 6 2 - 4

8 _ 1 42 2

c) su pagrindu 5

5 - 1 - 2 5

( I ) " 2 : 125 1

635 5 : 25

b) su pagrindu 3

9 - 3 - 3

27 : 3-2 9-2 - ( ) 3 : 3-2

d) su pagrindu 10

IO2 : - 5

- L . IO4 100

!-1 : IO3 IO6


2 5 - 2 ~ 6 a)

d) 83 4-2

g) 100 : 10~3 .. 4~5-4~6 V 9-20

b) ^ p 3 -e) 95 27- 4

h) 2~6 : 8 - 3

34 k) 3-10.97

c) 7 ^ W 7-3.75 f) 43 2~8

i) I25- 3 : 25-2 10"5-10010 1) IOOO3

108. Suprastinkite reikin:

a) 3a 2a-2

d) 0,9m3 \~

g) 0,2:3 : \ x ~ 2

J) : (W4

b) 0,754 8 - 3

e) 4"1 | 2

h) 16,96 : 13Z?-1

) - 2 I p - 1 : I P " 1

) 4 0,25 f) \ z~ 4 0,27z2

i) : Ap'4

1) 4 - 5 : (0,1)"

109. Atlikite veiksmus:

a) 6 32 3 24 b) 0 , 7 - 4 3 + (-1 ,6) : 24

) ( - 3 ) 2 : 0,25 d) 0,33 IO4 : (-270) e) 0 ,5- 2 + ( \ Y X f) 3-2 _ 3-3 + 3-1

110. Pasirinkite teising atsakym.

A B C

a) 9,2 = . . . 1 9,2 0 b) (Sx)2 = ... 25x 5x2 25x

2

c) I1

73 - 1 7 1 7 d) (0,5)100 reikm yra teigiama nulis neigiama

111. Koks enklas (>, < ar =) turt buti paraytas kvadratlio vietoje:

a ) 2300 B 3200. b) 91 0 815; c) IO3 24 53?

112. Paraykite laipsniu:

a) 35 75 33 73 b) 26 56 25 55

c) (46 66) : (43 63) d) (210 35 55) : (28 33 53)

113. Apskaiiuokite reikinio ab ba reikm, kai: a) a 2, b = 3; b) a = 3, b = 0.

114. Apskaiiuokite: ) /0^25; b) V0,0064; ) ^/025; d) .

115. Automobilis t valand vaiavo 100 km/h greiiu ir p valand 80 km/h greiiu. Paraykite reikiniu: a) kiek kilometr automobilis nuvaiavo per t h; b) kiek kilometr automobilis nuvaiavo per p h; c) kiek laiko sugaita kelyje; d) koks vidutinis automobilio greitis (viso nuvaiuoto kelio ir jam nuva-

iuoti sugaito laiko dalmuo).

116. Paraykite prastiniu bdu skaiius, kuri standartin iraika yra: a) 1,32 IO5; b) 2,003 IO3; c) 5,279 IO4; d) 9,1 IO8.

117. Pietukai sudti tris dutes. Pirmoje dutje yra ketvirtadalis vis pietuk, antroje 15 pietuk daugiau negu pirmoje, o treioje lik 25 pietukai. Kiek pietuk yra kiekvienoje dutje?

118. Trikampio kratini ilgiai sutinka kaip 5 : 4 : 3, o jo perimetras lygus 41 cm. Raskite trikampio kratines.

119. Raskite neinomus kampus.

120. Suprastinkite reikin: a) 5 (n - 2) - 6(n + 3) - (2n - 9 ) - 3 ; b) j(2,Sm - 4^n) - 2,4( |m - 1,5) + m.

121. 1000 litr Kuri mari vandens yra itirp vidutinikai 300 g drusk. Koks Kuri mari vandens druskingumas promilmis?

122. Katerio savasis greitis lygus 32,8 km/h, o greitis pasroviui 34,2 km/h. Koks katerio greitis prie srov?

123. Paraykite visus 6*3* pavidalo skaiius, kurie dalijasi i: a) 2; b) 3; c) 2 ir 3.

124. Nubraiykite trikamp MK P, jeigu M ( - 3 ; 4), K{3; 0), P(0; - 4 ) . Apskaiiuokite io trikampio plot.

125. Antano striukje yra 3 kiens. Keliais skirtingais bdais jis gali du vienodos verts banknotus sidti tas kienes? A l B 2 C 3 D 4 E 6

126. Viena figra skiriasi nuo kit. Kuri? Kuo ji skiriasi?

A B C D E

a) b) c)

d)

6 Standartin skaiiaus iraika

Praktikoje danai tenka susidurti su labai dideliais arba labai maais teigia-maisiais skaiiais. Didelius skaiius jau mokame urayti standartine iraika. Pavyzdiui, uraykime standartine iraika Mnulio mas:

73 500 0001 = 7,35 IO191.

Kam lygi io skaiiaus eil?

Dideli skaii eil n yra teigiamasis skaiius. Standartine iraika galima urayti ne tik labai didelius, bet ir labai maus teigiamuosius skaiius tam reikia naudotis neigiamuoju rodikliu. Pavyzdiui, uraykime standartine iraika plauko stor:

3 3 0,00003 m = m = T m = 3 IO - 5 m (n = - 5 ) . 100000 IO5

Skaiiaus uraas pavidalu a 10", kur 1 ^ < 10, on sveikasis skaiius, vadinamas standartine iraika. Rodiklis n vadinamas skaiiaus eile.

Maesni u vienet skaii eil yra neigiamasis skaiius, pavyzdiui:

0,235 = 2,35 : 10 = 2,35 = 2,35 IO - 1 , n = - 1 ; 10

0,0046 = 4,6 : 1000 = 4,6 = 4,6 IO - 3 , n = - 3 ; 1000

0 , 0 0 0 0 3 1 = 3,1 IO - 5 , n = - 5 . 12 3 45 kablelis perkeliamas per penkis skaitmenis dein.

Pasakykite, kaip i skaiiaus standartins iraikos eils galima sprsti, ar duo-tasis skaiius yra labai didelis, ar labai maas.

Fizikai, chemikai, astronomai, biologai, apraydami vairius gamtoje vykstan-ius reikinius, danai vartoja standartin iraik. Skaiiai danai pateikiami nurodant tik j eil.

Uduotis. Patyrinkite lentel ir pasakykite, koks gali bti visatos amius se-kundmis ir metais.

DIDIAUSIEJI IR MAIAUSIEJI

ERDVEJE Dydio LAIKE Dydio eil (m) eil (s)

Atstumas iki artimiausios Visatos amius IO17

galaktikos IO22 ems amius IO17

Atstumas iki artimiausios mogaus amius IO9

vaigds IO17 Metai IO7

Atstumas iki Sauls IO11 Diena IO5

ems skersmuo IO7 Laiko tarpas, per kur mus Kilometras IO3 pasiekia Sauls viesa IO3

mogaus gis 10 irdies plakimo periodas 10 Pirto storis IO"2 Muss sparneli vienas mostas IO"3

Popieriaus storis "4 Trumpas lazerio impulsas IO"12

Bakterijos skersmuo IO"5 Laikas, per kur viesa nusklinda Viruso skersmuo IO-8 atstum, lyg atomo skersmeniui 1 0- i8 Atomo skersmuo 1 0 - io Trumpiausiai gyvuojanios Atomo branduolio skersmuo IO"15 elementariosios dalels amius IO-23

127. Pasakykite standartine iraika parayto skaiiaus eil: a) 1,3 -IO5; b) 2,7 IO7; 0 )3 ,4 -10" 3 ; d) 5,42 IO - 4 .

128. Paraykite iuos skaiius standartine iraika:

a) 560 b) 7002 c) 11 e) 0,04 f) 0,056 g) 0,85 i) 0,05 IO6 j) 41 "5 k) 0,083 IO"4

d) 0,2 h) 427 IO5

1) IO-IO5

129. Ireikkite trupmenas skaiiaus 10 laipsniu: a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001; d) 0,0001; e) 0,00001.

130. Uraykite deimtaine trupmena: a) 2 10- 3 ; b) 1,4 10~2; 0 )6 ,5 -10" 3 ; d) 9,05 IO"4.

131. Paraykite skaii standartine iraika: a) uolo per par apvalomo oro kiekis 400000 i ; b) Cheopso piramids mas 10000000000 kg; c) vandenilio atomo spindulys 0,000000005 m.

132. Mikai ms planetoje uima apie 4,2 mlrd. hektar ir per metus sugeria 12,3 mlrd. ton anglies dioksido bei iskiria 8,7 mlrd. ton deguonies. Uraykite pamintus skaiius standartine iraika.

133. Naftos laelis gali isilieti ant vandens 0,000025 mm storio sluoksniu. Paraykite skaii standartine iraika.

134. Nustatykite, kam lygus n:

135. Anglies dioksidas kenkia sveikatai. Gyvenamosiose patalpose jo kon-centracija neturi viryti 0,2 IO - 2 g/m3. Kiek anglies dioksido gali bti kambaryje, kurio matmenys 4 m x 5 m x 2 , 5 m , kad nebt viryta leis-tinoji norma?

136. Taupomojo banko palkan norma yra 4% per metus. Kiek pinig gaus indlininkas met pabaigoje, jei jo indlis met pradioje buvo 568 Lt?

a) 3,43 10" = 3430 c) 5,4- 10" = 54000000 e) 6,7 10" = 0,67

b) 7,1 10" =71000 d) 1,003 10" = 1003 000 f) 8,05 10" = 0,00805

137. Paraykite skaii reikiniu, kuriame yra:

a) 7 deimtys ir b vienet b) : deimi ir 3 vienetai c) c imt ir 4 deimtys d) p imt ir q vienet e) a imt, b deimi ir c vienet f) a imt, O deimi ir 3 vienetai

138. Raskite trikampio kampus, jei j didumai proporcingi skaiiams: a) 2, 3,7; b) 3, 4, 8.

139. Medio 1 cm3 mas yra 0,63 g. Apskaiiuokite mas medinio kubo, kurio briauna lygi: a) 10 cm; b) 15 cm; c) 15 dm.

140. Apskaiiuokite:

)1 + ^; b ) l - ^ r ; c) J - fi, ^-.

141. Traukinys 2h vaiavo 63,2km/h greiiu ir 3 h 76,5 km/h greiiu. Koks traukinio vidutinis greitis?

142. Trys atuntokai aidia kompiuteriu. Per tam tikr laik vienas i j kompiuterio ekrane sunaikino kelet raket, antras trimis raketomis daugiau, o treias dvigubai daugiau negu pirmas. I viso trys atuntokai sunaikino 23 raketas. Kiek raket sunaikino kiekvienas?

143. Staklininkui mokamas 6,2 Lt valandinis atlygis. Per mnes staklininkas dirbo 173,5 h. a) Koks staklininko tarifinis atlyginimas per mnes? b) Kiek staklininkas moka mokesio SODRAI? (1% nuo priskaiiuotos

sumos.) c) Kiek staklininkas moka pajam mokesio, jei jo atlyginimo neapmo-

kestinamasis minimumas yra 214 Lt? (33% nuo priskaiiuoto atlygi-nimo dalies, virijanios neapmokestinam minimum.)

d) Kiek lit gavo staklininkas rankas, atskaiius mokesius?

144. Kiekvien figr padalykite dvi lygias figras.

Pasitikrinkite 1. Pakelkite laipsniu:

a)3 3 ; b)0,24 ; c) ( - f ) 2 ; d) ( - ) 3 ; e) ( -1 ) 1 0 ; f) ( -2) .

2. Sandaug paraykite laipsniu:

a ) 3 2 - 3 5 b) 5 52 53 c) ( - 6 ) 2 ( - 6 ) 3 d) 0,3 0,32

e) 73 49 f) 81 32 27 g) 0,64-0,82 h) 1,21-1,13

i) ( - ) 7 - ( - : ) 2 j) a-a10-a5 k) z Z8 1) ( - ) 3 ( - ) 1 0

3. Ireikkite laipsn dviej laipsni sandauga:

a)7 6 ; b) IO9; c) x7 ; d) y21; e) ( -8 ) 5 .

4. Dalmen ireikkite laipsniu:

a) 1514 : 1512 b) 0,710 : 0,77 c) ( -2 ,3) 5 : ( -2 ,3) 2

d) 0,28 : 0,04 e) 125 : 52 f) 34 : 9 g) p1: P2 h) ( - y ) 1 3 : ( - y ) 1 0 i) 3 :

5. Apskaiiuokite:

a) 34 + 32 b) I 2 - 7 c) 53 45 : 43 d) 3 IO2 - 52

e) - I 3 + (2)3 f) - 6 2 - ( - l ) 4 g) 2 32 3 22 h ) 1 0 - 5 - 2 3

6. Sandaug pakelkite laipsniu:

a) (0,3a)2; b) (-5ab)4, c) ( ^ n ) 2 ; d) ( - z 2 ) 3 ; e) (2xy)3.


a )a 5 b 5 ; b) 36x6; c) 0,001x3y3; d ) -125m 3 n 3 ; e) z 2 .


a) ( ? ) 3 ; b) ( - D 2 ; O ( I ) 2 ; d) ( - J ) 5 ; e) ( 3 .

9. Trupmen ireikkite laipsniu:

a); b) 3 ^ ; c ) b ^ ; d) =., e) . 10. Ireikkite laipsniu:

a)(6 4 ) 5 ; b) (0,73)2; c) ( - a 3 ) 5 ; d) (x2)6.

11. Paraykite reikinius laipsniu su pagrindu x:

a) (x6)4; b) X6JC4; c) x2x2 ; d) (x2)2; e) x2x3x4.


- h ) 25-(22)4. 4 M 6 . d4 5M25 ' 35 ' / 211 ' ' 64 ' ' (52)2 '

13. Laipsn su sveikuoju neigiamuoju rodikliu ireikkite trupmena: a) 7 - 4 ; b) a - 3 ; c) ( -2a )~ 2 ; d) (a + 7)" 1 .

14. Trupmenas paraykite laipsniu su pagrindu 3x:

a ) L b ) 9*2' C) '' d ) 8-15. Apskaiiuokite:

a) 137 B - 7 b) 51 0 - 9 25 c) 124 : 34

d) (-0,04) 2 : 8 e) ( ) - 2 36"1 f) - 0 , 0 9 " 1 18 g) 0 ,3 - 2 + ( i ) - 1 h) 2 - 3 + 2 - 2 + 2 i) 0,63 9 _ 1 4 ( - 8 ) - 2

16. Paraykite skaii standartine iraika ir nurodykite jo eil:

a) 37 IO2 b) 0,02 c) 0,037 d) 29 IO - 2

e) 12,7 IO3 f) 0,5 IO4 g) 139 10~3 h) 7000 10~3

17. Suaugs mogus turi apie 5 litrus kraujo. 1 mm3 kraujo yra apie 7000 bal-tj ir 5 milijonai raudonj kraujo kneli. Apskaiiuokite ir uraykite standartine iraika, kiek mogaus organizme apytikriai yra baltj ir kiek raudonj kraujo kneli.

18. Pasirinkite teising atsakym.

A B C

a) 8 - 3 8O-3 -8000 0,008 b) 0,000405 40,5 10~6 4,05 IO"4 0,405-10 c) 0,03 standartin iraika 0 ,3 -10" 1 310~ 2 3- IO2

d) 0,67-104 = . . . 6,7 IO3 0,0067 670 e) imtas milijard yra IO9 IO11 IO13

f) 2 - 4 5 IO6 = . . . 7- IO2 IO3 "9

g) = 14 ,2 -10 - 2 < y = y > y y = 20,1 IO - 3

19. Pagal vien i hipotezi Visata egzistuoja apie 15 milijard ami. Para- ykite standartine iraika Visatos ami:

a) metais; b) dienomis; c) valandomis.

20. Apskaiiuokite:

a) 1 : 1 - 4 , 5 b) 3 - 3 6 - t ^ ^ 8 C ) - | - 8 | | + 15 | d ) | | - | - i | - i

21. Suprastinkite reikin 2{2x 3) (x 1) 3 1. Su kuria reikme reikinio reikm lygi 1 ?

22. Motorin valtis 45 km upe pasroviui nuplauk per 3 h, o gro per 5 h. a) Koks ups tkms greitis? b) Koks motorins valties savasis greitis?

23. Skautai pirmj ygio dien nujo 30% viso kelio, o antrj likusio eiti kelio. Kiek kilometr skautai nujo treij dien, jeigu pirmj jie nukeliavo 12 km?

24. 485 g vandens berta 15 g geriamosios sodos. a) Kokia geriamosios sodos tirpalo mas? b) Kokia tirpalo koncentracija promilmis?

25. U 5,1Lt nupirkta 3 vienodi tuinukai ir 12 vienod ssiuvini. Kiek kainuoja ssiuvinis, jeigu tuinukas 0,2 Lt brangesnis u ssiuvin?

26. a) Koks plotas trikampio, kurio statiniai lygs 5 cm ir 5 dm? b) Staiojo trikampio plotas lygus IOcm2, o vienas statinis 2 cm. Ras-

kite kit statin.

27. Raskite raidmis x, y ir - paymt kamp didumus.

1. Kas yra kvadratin aknis? 48

2. Kvadratin aknis i sandaugos ir trupmenos 51

3. Kvadratin aknis i a2 56

4. Reikini su kvadratinmis aknimis pertvarkymas 60

Pasitikrinkite 63

2 KVADRATIN AKNIS

1 Kas yra kvadratin aknis?

Prisiminkime, kaip traukiame kvadratin akn, pavyzdiui:

s/36 = 6, nes 62 = 36 ir 6 > 0;

049 = 0,7, nes 0,72 = 0,49 ir 0,7 > 0.

Pastebkime, kad: kvadratin aknis negali bti neigiama (*Ja ^ 0). poaknis irgi negali bti neigiamas (a ^ 0).

Kvadratine aknimi i neneigiamojo skaiiaus a vadinamas toks neneigiamasis skaiius, kurio kvadratas lygus a.

Tas skaiius ymimas /. Kitais odiais, aknies apibrim galima bt pasakyti taip: jei kvadratin akn i a pakelsime kvadratu, tai gausime a. Taigi teisinga lygyb:

(s/a)2 = a (a ^ 0)

Pavyzdiui:

(V25)2 = 25; (Vb)2 = 3.

Apytiksl aknies reikm galima apskaiiuoti skaiiuokli. Tam reikia surinkti poaknio skaii ir paspausti mygtuk su aknies enklu. Pavyzdiui, V ^ 5 skaiiuojame taip:

Apskaiiav skaiiuokli, kuris rodo 8 skaitmenis, gauname, kad y/3^5 ^ 1,8708286.

Reikinio 7/2 reikm skaiiuojame taip:

X 7 = arba taip: 7 X 2 r

Apskaiiuokite skaiiuokli reikinio 7\/2 reikm.

3,5

145. Naudodamiesi natralij skaii nuo 11 iki 99 kvadrat lentele, raskite:

) 144, /225, -v/289, V256 b) V324, V441, V676, V729 c) V%I , V26, V836 d) V^25, VO,0169, V^240, V 4

146. Raskite, jeigu manoma, skaii, kurio kvadratins aknies reikm lygi:

0; 1; 9; 1,2; ; - 5 ; -10 ; 0,13; .

147. Remdamiesi lygybe (Va)2 = , apskaiiuokite kvadratus skaii:

VT; V2; Vl7; V4; A"; V23; 4 ; 2V2; J _ V3-

148. Apskaiiuokite:

a) ( V ^ 2 b) (V8)2 c) ( - V I 2 ) 2 d) - (V90) 2

1 2

e) 2 Vl5 Vl5 f) (VlO)2 g) ( -2V5) 2 h) (0,2VTT)2

i ) ( # ) 2 i) 1 4 k ) 2 7 6 . ( - 7 6 ) D ^ i v 2 ' V3-V3


) V + > kai = 9, y = 16 b) V* + V^. kai = 9, y = 16 c) V3z - 5, kai z = 7; 23 d) V9 - 4m, kai m = 0; - 1 0

150. Patikrinkite, ar teisingos lygybs:

a) V i o o o o = oo b) Vioooo = - i o o c) VIooo = 10

d)V32 = 4V2 e) 7 = -

151. Koks enklas ( < , > , = ) turt bti paraytas kvadratlio vietoje?

a) V2 V3 b) - V 2 - V 3 c) VlOOOO lOVIO

d) - V I O V I ) ^ 7 f> - ^

152. Skaiius suraykite majimo tvarka:

Vo; - V I ; vT; V2; - V 2 ; ; V3.

153. Pasakykite, kam lygus plotas kvadrato, kurio kratin lygi: 1; /2; /3; /.

154. Raskite perimetr kvadrato, kurio plotas lygus: a) 25 m2; b) 0,49 dm2; c) 1,21 m2; d) 62500 a; e) 1,44 ha.

155. Raskite (jei tai manoma) neinomojo reikm, su kuria bt teisinga lygyb:

) / = 6; b) Vy = 0,9; c) J i = ; d) V? = - 1 .

156. Raskite spindul skritulio, kurio plotas lygus: ) 64 cm2; b) 3,61 dm2; ) 0,0529 m2; d) m2.

157. Skaiiuokli imtj tikslumu apskaiiuokite kratin kvadrato, kurio plo-tas lygus: a) 18 cm2; b) 3,6 dm2; c) 0,63 m2; d) 0,529 m2.

158. Apskaiiuokite skritulio spindul deimtj tikslumu ( 3,14), kai skri-tulio plotas lygus: a) 5 m2; b) 12 cm2; c) 5,6 dm2; d) 0,27 cm2.

159. Raskite kampus ir y, jeigu BC H AD.

160. sunkveim sukrauta 8 vienodos ds ir 6 konteineriai, kuri kiekvieno mas 0,281. Bendra krovinio mas 2,41. Paraykite skaitin reikin vienos ds masei rasti ir apskaiiuokite j.

161. Apskaiiuokite, keliais procentais: a) 5000 Lt daugiau u 4000 Lt; b) 4000 Lt maiau u 5000 Lt.

162. Ireikkite skaiius ^j- ir 51 periodinmis trupmenomis. Paraykite j apytiksles reikmes, suapvalin periodines trupmenas iki imtj.

163. Nustatykite dsningum ir pasakykite, k reikt nupieti klaustuko vie-toje.

2 Kvadratin aknis i sandaugos ir trupmenos

Palyginkime reikini 4 9 ir /4 9 reikmes:

V4^9 = = 6; V 4 - V 9 = 2- 3 = 6.

Matome, kad

49 = V4-V9.

Apskritai, yra teisinga lygyb:

/Tb = y/a y/b (a ^ O, b ^ 0)

I tikrj, remiantis aknies apibrimu utenka patikrinti, ar deins puss kvadratas lygus poakniui:

Vb)2 = (yfi)2-(Vb)2=a-b.

Taisykl galima pasakyti odiais:

Kvadratin aknis i neneigiamj skaii sandaugos lygi kvadratini akn i t skaii sandaugai.

Pavyzdiui:

/9 169 = V9 169 = 3 13 = 39;

/484 = V4 121 = V4 = 2 11 = 2 2 ;

120 = V2 15-8 - 15 = 16 152 = T l i 2 = 4 15 = 60.


V20 /5 = /20 5 = ) = 10; /12 /27 = V l 2 27 = V3 4 3 9 = V4 9 9 = 2 - 9 = 1 8 .

Palyginkime reikini ^ ir -^I reikmes:

[9 , 3 V 9 3

Matome, kad

l~9 _ /9 4 ~ Vi"


I tikrj, deins puss kvadratas lygus poakniui:

2 / V a \ 2 _ ( V f l ) _ fl

V^J ~ (V&)2 ~

Kvadratin aknis i trupmenos, kurios skaitiklis neneigiamas, o vardiklis teigiamas, lygi kvadratins aknies i skaitiklio ir kvadratins aknies i

vardiklio dalmeniui.

Pavyzdiui:

1 4 4 V l 4 4 12 14

6 r 196 V I 9 6


VO / 8 0 /7 , _ = = V l 6 = 4 ;

l ! = 16

2 V 2 7

"7 = 2 = 2 V 9 = 2 - 3 = 6 .

/25" _ /25 _ 5 6 ~ V^ ~ 4"

164. Apskaiiuokite:

a) V4^9

d) V81 121

g) /900 0,04 j)

m)j2i

b) -s/25 36

e) V64 144

h) V0,81 -225

k)

c) V25 100

f) V0,01 169

i) V6,25 0,16

D r ' W 841

165. Pagal formul ~J~a \[b = V a b apskaiiuokite sandaugos reikm:

a) V3 A/27 b) V7 V28 C) V V45

d ) V 2 - V 3 2 e) VTo V90 f) / f - - / f

/ | VI20 h) V 6 3 V o j i) VTTo V ^ 9 g)


a)

d)

-s/27 VI 7

VTTOO

b)

e)

. Vo Ws Vo^

c)

f)

VU VO063

V o j

Pavyzdys. V45 _ /45 _ ^ _ ^

V5 ~ V 5

167. Apskaiiuokite:

a) V250 490 b) V72 32 c) V90 6,4

d) V45 80 e) V7,5 -4,8 f) V2,5 12,1

Pavyzdys. V4,9 360 = V0,49 3600 = V M 9 = 0,7 60 = 42.


a) V196 0,64 2500 b) V0,04 0,49 6,25

c) V0,49 87 + 0,49 82 d) V144 1,21 - 0 , 4 144

e) V8 162 + V486 96 f) V363 507 - V750 270

169. Apskaiiuokite:

) /32 + 42 b) 2 + 82 ) 122 + 52

d) \/172 - 82 e) ^25 2 - 72 f) Vl3 2 - 52


a) 8 - 2 44 b) 9 - 6 275 c) 125"1 252

d) (2)6 : 613 e) (12-1)2 : 12 f) (103)2 : IO"5

(23)5(2-6)2 , , (3~2)394 n (83)-'-64 SJ 42 W (3)2 i) 8_2

171. Atstumas nuo Sauls iki Saturno yra milijardas keturi imtai dvideimt atuoni milijonai kilometr. Pamintas skaiius paraytas standartine i-raika. Nurodykite teising atsakym: A 1428 IO6 B 142,8 IO6 C 1,428 IO9 D 0,1428 IO10

172. Apskaiiuokite ir palyginkite reikini a2 b2 ir 5ab3 reikmes, kai a) = 2, b = -3; ) = 0,=1.

173. Kubo paviriaus plotas lygus 150 cm2. Kam lygi kubo briauna?

174. a) Jeigu dvi lygiagretainio kratins lygios 3 j c m ir 2^ cm, tai jo peri-metras lygus: A 5,75cm B 10,15cm C 11,15cm D 11,05cm E l l ,5cm

b) Jeigu vienas lygiagretainio kampas yra 51, tai kiti kampai yra: A 51, 129, 129 B 49, 129, 129 C 51, 131, 131

c) Jei lygiagretainio dviej kamp suma lygi 100, tai kit dviej kamp suma lygi: A 80 B 260 C 180 D 130 E 200

175. Duota: Zl = Z2, Z i = Z4. rodykite: AB = , ZBAC = ZBCA.

c

176. Koks skaiius turt buti paraytas klaustuko vietoje?

177. Raskite a) ^ : = i : x; b) 1 ^ : = : 4,7; c) 1 : = : : 1.

178. I pieno fermos 14% viso primelto pieno buvo iveta vaik darel ir

2 viso primelto pieno mokykl. Kiek pieno buvo iveta mokykl, jei vaik darel iveta 147 litrai?

179. Meistras ir jo mokinys per valand kartu pagamina 17 detali. Meistras dirbo 4 h, o jo mokinys 2 h, ir abu pagamino i viso 54 detales. a) Kiek detali per valand pagamina mokinys ir kiek meistras? b) Kiek detali pagamino meistras? c) Kiek procent meistro pagamint detali sudaro mokinio pagamintos

detals? d) Kiek procent vis pagamint detali sudaro meistro pagamintos de-

tals?

180. Raskite DBD(36;256) ir MBK(36;256).

181. Kiek staiakampi yra brinyje?

A 3 B 4 C 5 D 6 E 7

182. Mokiniai turjo nuspalvinti piein viena i keturi spalv: raudona, alia, ruda arba mlyna. Kaip jie pasirinko spalvas, parodyta lentelje.

a) Pavaizduokite duomenis stulpeline diagrama. b) Kiek i viso buvo mokini? c) Koks procentas mokini rinkosi kiekvien

spalv? d) Procentais ireiktus duomenis pavaizduokite

skrituline diagrama.

Spalva Pasirinkim skaiius

Raudona 85 Zalia 70 Ruda 30 Mlyna 12

3 Kvadratin aknis i a2

Raskime reikinio Va2 reikmes, kai a = 4 ir a = 4:

V42 = 7 6 = 4; -/(4)2 = = 4.

Abiem atvejais teisingos lygybs:

V i 2 = |4|; -J (4)2 = \4\.

Apskritai, tiek su neneigiamaisiais, tiek su neigiamaisiais a yra teisinga lygyb:

Vo2 = |a|

I tikrj, deins puss kvadratas lygus poakniui: \a\2 = a2.

i taisykl galima parayti atskirai neneigiamiems ir neigiamiems a: kai > O, tai Va2 = a; kai a < O, tai Va2 = a.

Taisykl galima taikyti traukiant akn i laipsnio, kurio rodiklis yra lyginis. Pavyzdiui:

^ = 7 ( 2 ^ = 23 = 8;

V1024 625 = V210 54 = (25)2 (52)2 = 25 52 = 32 25 = 800;

183. Apskaiiuokite:

) b) vT2 c) V& d) T R j 2 e) V i 1 W f) 1 ^ g) - V m h) - V 9 2 i) - V I s 2


) V W b) - V o J 1 + V o m c) ^ ( ) 1 -

d) V02 : e) --4/252 + -4/144

185. Raskite reikini reikmes:

a) V b) V c) VlO6

d) V26 32 e) V34 54 f) ( - 7 ) 2 . 44 g ) Vli 32 h) V27 3 i) V128 23

j) V729 24 k) V25 - I l 4 1) VS6 ( - 3 ) 4

186. Poakn ireik pirmini dauginamj laipsni sandauga, apskaiiuokite:

a) V5625; b) 3969; c) V28561; d) V58564.


a) 0,5-s/l2l + -^ b) V400 + (4/0^)2

c) ( -2V2) 2 - / d) 0,3^56 - ( V n f e) ( ) 2 - V W ^ W f) (2V6)2 + ( -3V2) 2

g) V0A9-2(J^j h) 0,1 (/120)2 : ( | /20) 2


a) V ^ b) 3Vy2 c) 0,2Vfl2 d) Vm4 e) VX6 6 f) O J v W r o

g) -IVIecn h) v [ i) /

189. Paraykite emiau pamintus skaiius standartine iraika: a) vandens molekuls skersmuo apytiksliai yra 0,000000028 cm; b) muilo burbulo plvels storis apytiksliai yra 0,00000006 cm.

190. a) Kurios figros yra rombai?

D J 1 L

b) Jeigu lygiagretainio striains lygios ir viena kitai statmenos, tai tas lygiagretainis yra: A kvadratas B staiakampis C rombas

c) Jeigu lygiagretainio striain dalija jo kamp pusiau, tai to lygiagre-tainio kampas tarp striaini yra lygus: A 30 B 45 C 60 D 90

d) Jeigu rombo striain su jo kratine sudaro 36 kamp, tai rombo bukasis kampas yra lygus: A 54 B 72 C 108 D 118 E 144

e) Jeigu rombo striain lygi jo kratinei, tai rombo kampai yra:

A 60, 60, 120, 120 B 45, 45, 135, 135 C 90, 90, 90, 90 D 30, 30, 150, 150

191. Duota: ABCD- lygiagretainis, AD = 8dm, AB = 3dm, Z i = Z2, 3 = 4.

Raskite: GH.

192. Sidabrinio iedo praba yra 840. Apskaiiuokite, kiek gram gryno sidabro yra iede, kurio mas 5 g.

193. kininkas planavo suarti lauk per 14 dien. I tikrj, jis suardavo kasdien 5 ha daugiau, negu planavo, ir suar lauk per 12 dien. a) Po kiek hektar per dien kininkas planavo suarti? b) Po kiek hektar per dien kininkas suar? c) Koks suarto lauko plotas?

194. I 6kg smen ispaudiama 2,7 kg aliejaus. Kiek aliejaus galima i-spausti i 34 kg smen?

195. Naudodamiesi skaitmenimis 1, 2, 3 ir j nekartodami, paraykite visus galimus: a) dvienklius; b) trienklius skaiius.

196. Plane pavaizduotas garao planas, kurio mastelis 1 : 200.

a) Kiek garae lang, dur? b) Koks garao ilgis? c) Koks garao plotis? d) Koks grind plotas?

e) Garao grindys ibetonuotos 15 cm storio betono sluoksniu. Kiek ku-bini metr betono sunaudota grindims ibetonuoti?

197. XIX amiaus matematikas de Morganas klausim, kiek jam met, atsak: Man 2 metais buvo met." Kuriais metais jis gim?

198. Fizikoje, chemijoje, astronomijoje danai operuojama skaiiais mili-nais", kuriuos labai sunku sivaizduoti. Pavyzdiui, molekuli skaii viename mediagos molyje Avogadro skaii 6 IO23, padeda sivaizduoti toks pavyzdys: tolygiai iskirsius vien stiklin ymtj" vandens molekuli visuose penkiuose ems vandenynuose, kiekvienoje vandenyno vandens stiklinje bt ne maiau kaip 500 ymtj" molekuli. Skaiiui IO100 pavadinim gugolas dav matematikas E. Kasneris. Gugol sivaizduoti galima palyginus j su ms Visatos elementarij daleli kiekiu jis lygus tik" IO88. Atsakykite klausimus: a) Kelis molius mediagos reikt tolygiai iskirstyti penkiuose ems

vandenynuose, kad kiekvienoje vandenyno vandens stiklinje aptiktu-me ne maiau kaip 1000 tos mediagos molekuli? ne maiau kaip 100 tos mediagos molekuli?

b) Kelios Visatos (panaios ms Visat) turt" gugol elementarij daleli?

4 Reikini su kvadratinmis aknimis pertvarkymas

\ / l 8 Pertvarkykime reikin :

VY V2-V9 3^2 = /2 .

ia - pakeitme skaii 3 ir /2 sandauga. Toks pertvarkymas vadinamas dauginamojo iklimu prie aknies enkl. Kartais reikia atlikti atvirki veiksm kelti dauginamj po aknies enklu, pavyzdiui:

3V2 = 2 V2 = 322 = VT;


aVb = sia^b (a ^ O, b ^ 0)

Pavyzdiui:

2 ^ 0 5 = 22 0,5 = 7 4 0,5 = V2;

20 = V4^ 5 = 225 = 2V; - - n / 2 7 = = --323 = - I . 3V3 = -V3.

3 3 3 3

Kairje lentels pusje parodyta, kaip pertvarkomi skaitiniai reikiniai su kvad-ratinmis aknimis, o deinje - analogiki veiksmai su raidiniais reikiniais.

4/3 + 5/3 = 9\/3 4 + 5 = 9

5 - V3 = 4v/3 5 a = Aa

2 ^ 5 / = 6 V5 V3 = 6/15 2 3b = 6>

199. Ikelkite dauginamj prie aknies enkl:

) 2 b) N/20 C) VO d) y/45

e) -/25 f) n/343 g) VTO h) ^432

i) 3V j) 5Vl8 k) 6V24 1) - 4 V 7 5

m) n) - > / 4 8 o) - 0 , 3 ^ 3 0 0 p) 0,5V50

200. Raskite sum; skirtum; sandaug; dalmen; kvadrat sum; kvadrat skirtum skaii: a) V27 ir V^; b) >/8 ir y/2.

201. Ikl dauginamj prie aknies enkl, nustatykite, kuris skaiius dides-nis: a) 2y/5 ar %/45; b) 3^2 ar /; c) Ay/l ar y/63; d ) l l V 2 a r V 7 2 .

202. Ikl dauginamj prie aknies enkl, atlikite veiksmus ir suprastinkite:

a) 3712 + 4\/27 b) 6 ^ 2 - 4>/l8 c) 7 2 + 3V27 - 2/48 d) 3V45 + 5/20 - 4 ^ 7 5

Pavyzdys. I v 5 5 + ^ = 1 ^ 2 ^ 2 5 + ^ = ^ + 2 ^ 2 = V2 + 2 ^ 2 = .

203. kelkite dauginamj po aknies enklu:

a) 5y/3 b) 4/7 ) 90 d) 2>/l5

e) , f) \ V 3 2 g) | > / 8 h)

204. Idstykite skaiius didjimo tvarka:

) /, 4/2, 2/, V28 b) 5^2 , >/56, 3^7 , 2^15

) ^, /39, I /125 d) ^ >/91, |1

205. Netraukdami aknies, nustatykite, kurios nelygybs teisingos: a) 2 ^ 3 < 3V2; b) 5V4 < 4/5; c) 3 ^ 5 > 4/3; d) 7/5 > 3^7 .

206. Raskite a b, kai: a) a = V, b = V3; b) a = V5, b = V45.

207. Apskaiiuokite racionaliausiu bdu: a) 3 4 , 4 - ( 1 8 , 1 - 5 , 6 ) + ( -11,9 + 8); b) - 2 , 8 6 f - f -0,64.

208. Suprastinkite reikin 3(x 2) + 2(2 x) ir nurodykite teising atsakym. A 5x 10 B 2 * - 2 C + 2 D j c - 2 E 5x + 5

209. Apskaiiuokite: a) 1-71 - 3; b) 1 - 35,7 : | -34 | .

210. Darbininkui mokamas tarifinis atlyginimas. U 175 h per mnes jis udir-bo 1155Lt. Darbininko atlyginimo neapmokestinamasis minimumas yra 242 Lt. a) Koks yra valandinis atlygis darbininkui? b) Kiek darbininkas moka pajam mokesio? c) Kiek darbininkas moka mokesio SODRAI? d) Kiek lit gavo darbininkas, atskaiiavus mokesius?

211. Duota: RV || TS, ZPRV = ZVRS. rodykite: RT = RS.

212. Dvienklio natraliojo skaiiaus skaitmen suma lygi 13. Deimi skait-muo 3 didesnis u vienet skaitmen. Raskite skaii.

213. Koordinai ploktumoje nubraiykite atkarp MN ir ties AK, jeigu M ( - 4 ; 6), N(-1; 0), A(-8; - 1 ) , K(6; 6).

214. Vienas traktorius lauk gali suarti per 8 dienas, o kitas per 12 dien. Per kiek laiko gali suarti lauk abu traktoriai kartu?

215. Nustatykite dsningum ir pratskite skaii ir raidi eilut vienu skai-iumi ir viena raide: 3; D; 9; H; 15; L; . . .

216. Kokio skaiiaus trksta eilje?

Pasitikrinkite

1. Naudodamiesi natralij skaii nuo 11 iki 99 kvadrat lentele, raskite:

) 196 b) /169 c) V36l d) V29

e) VT764 f) V504T g) ^ 2 ^ 9 h) VO,0361

2. Raskite skaii, kurio kvadratins aknies reikm lygi:

10; 1,1; f ; 0,1; l .

3. Koks enklas ( > , < , = ) turt bti paraytas kvadratlio vietoje: ) /12 2/3; b ) - 2 V - 3 V ; c ) 0 B V T ?

4. Apskaiiuokite:

b X - V T f ; d) ( f ) 2 ; e, ( - X ) 2


a) VT6T25 b) V2 V50 c) d)

e) /32^~50 O V I O S - V ^ / h) ^ L

i) V63T7 j) V 0 2 - y T | k) 0 , 4 / l f 1)

6. Apskaiiuokite:

a) 7 ( 0 ^ ) 2 b) T ( I ) 5 c) / ( 4 )

+ e) V f T j j i f) / ( P I ) 7. Apskaiiuokite ir palyginkite reikini +Jx + y ir Vx + +Jy reikmes, kai:

a) = 36, y = 64; b) = 25, y = 144.

8. Ikelkite dauginamj prie aknies enkl:

a)V28; b)V96; C ) - V l 8 ; d) V 5 6 11; e) - V3 74 ; f) V l 3 28 .

9. Ikl dauginamj prie aknies enkl, nustatykite, kuris skaiius dides-nis: a) 2V2 ar V; b) Vb6 ar 2V5; c) V l 2 ar 5>/3; d) 5V6 ar V24.

10

2

10. kelkite dauginamj po aknies enklu: ^ 1 n /n nm A / ) /5; b) 4\/2; c) 2 ^ ; d) IvT; e) 1 0 V T ; f) 5 11


a) 2 ^ 8 1 + 4 ( | ) 2 b) - ( ) 2 - 30 c) 3 ^ 3

d) 2-5 (V5) e, f f,

1 2 . Raskite skaii y/5 ir v /20 sum; skirtum; sandaug; dalmen; kvadrat sum; kvadrat skirtum.


) 28 _ 2-s/7 b) y / + ly/Tl c) 2^20 - 3 V45

d) V 5 3 /80 e) As/b V27 f) 2V% : 2^24

14. Suprastinkite, apskaiiuokite skaiiuokli ir gautus rezultatus suapvalin-kite iki deimtj:

a) y/b y/5; b) ^ 3 ; c) V27; d) ^ 3 2 + 72.

15. Isprskite lygtis: a) 2x - 5 = 4 - 3(x - 2); b) : = 3 : l\.

16. Apskaiiuokite jums patogiu bdu: a) (-3,07) - 5,93 ; b) 25,7 - (16,2 - 4,3) + (5 - 8,8).

17. Paraykite visus keturenklius 1*3* pavidalo skaiius, kurie dalijasi i: a) 10; b) 9.

18. Sargui mokamas tarifinis atlyginimas 5,2Lt u valand. Per mnes jis budjo 165 h. Sargo atlyginimo neapmokestinamasis minimumas 242 Lt. a) Koks sargui priskaiiuotas mnesio atlyginimas? b) Kiek sargas moka pajam mokesio? c) Kiek sargas moka mokesio SODRAI? d) Kiek lit gavo sargas atskaiiavus mokesius?

19. Raskite MBK(36; 54) ir DBD(36; 54).

20. Viena staiakampio kratin 7 cm ilgesn u kit. io staiakampio peri-metras lygus 78 cm. a) Raskite staiakampio kratines. b) Apskaiiuokite staiakampio plot.

REIKINI PERTVARKYMAI

1. Tapats reikini pertvarkymai. Tapatyb 66 2. Vienanariai ir daugianariai. J daugyba 71 3. Dviej nari sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formuls 4. Dviej nari skirtumo ir j sumos sandaugos formul 83 5. Bendro dauginamojo iklimas prie skliaustus 87 6. Daugianari skaidymas dauginamaisiais grupavimo bdu 91 7. Daugianari skaidymas dauginamaisiais taikant greitosios

daugybos formules 95 Pasitikrinkite 100

3 3

1 Tapatus reikini pertvarkymai. Tapatyb

+^+, a Ciyl=Cl CL

Ml

1 KIIIlPJj wing

ha.

f

-i

Lentoje uraytos kai kurios skaii veiksm savybs. ios lygybs yra teisin-gos su visomis galimomis kintamj reikmmis. Sakysime, kad ie reikiniai yra tapaiai lygs, o j lygyb vadinsime tapatybe.

Reikiniai, kuri reikms yra lygios su visomis galimomis kintamj reikmmis, vadinami tapaiai lygiais.

1 uduotis. Uraykite tapatybmis kitas jums inomas skaii veiksm savy-bes.

2 uduotis. Upildykite lentel:

X 2x + y X+ 2 y 0 0 1 2 2 2 10 - 1 0 - 5 - 5

7 Ar reikiniai 2x + y ir + 2y yra tapaiai lygs?

66

Tapatybmis laikomos ir teisingos skaitini reikini lygybs, pavyzdiui,

4 + ( -10) = - 6 , 3 - ^ = 1.

Kai reikin pakeiiame jam tapaiai lygiu paprastesni reikiniu, tai sakome, kad reikin suprastinome. Kai kuriuos tapaiuosius pertvarkymus jau mokame atlikti: tai panai dmen sutraukimas, atskliautimas, bendro dauginamojo iklimas u skliaust. Pavyzdiui:

2a 3b + a + 2b = 3a b (sutraukme panaiuosius narius) 4(jc - 1) = 4* - 4 (atskliautme) 5p + IOq 5 = 5 ( p + 2q 1) (iklme bendr dauginamj prie skliaustus)

Tapats pertvarkymai vartojami apskaiiuojant reikini reikmes, prastinant trupmenas, sprendiant lygtis ir kitus udavinius.

1 PAVYZDYS. Apskaiiuokime reikinio reikm, kai a = 5, b = 7. Pirmiausia reikin suprastinkime:

3a + 3b _ 3(a + b) _ a + b 6 ~ 6 ~ 2

Kai a = 5, b = 7, tai

a+b 5 + 7 ,

2 PAVYZDYS. Isprskime lygt 13* - 4x = 18:

- 4 j c = 18, 9x = 18, = 2.

3 PAVYZDYS. sitikinkime, kad lygyb 2 (3 ,8x -4 ) -3 ,5 (2 -4* ) = 3(7,2x-5) yra tapatyb. Suprastinkime kair, paskui dein lygybs puses:

2(3,8* - 4) - 3,5(2 - 4*) = 7,6* - 8 - 7 + 14* = 21,6* - 15; 3(7,2* - 5 ) = 21,6* - 15.

Lygyb yra tapatyb, nes kairioji ir deinioji lygybs puss yra lygios su visomis * reikmmis.

217. Pasakykite, kuriomis veiksm savybmis remiantis galima teigti, kad ie reikiniai yra tapaiai lygs:

a) *y + 5a ir 5a + xy b) (b + x) + y ir b + (x + y) c) -\m + m ir O d) (m + k) O ir O e) 1,5(* - 0,2) ir 1,5* - 0,3 f) 4 ( - * ) 2 ir 4x2

218. Paraykite tapatybmis iuos teiginius: a) vienas kitam prieing skaii suma lygi nuliui; b) skaiiaus ir vieneto sandauga lygi tam skaiiui; c) vienas kitam prieing skaii moduliai yra lygs; d) kiekvieno skaiiaus kvadratas lygus jam prieingo skaiiaus kvadratui.

219. Paraykite koki nors tapatyb: a) tik su skaiiais; b) su vienu kintamuoju; c) su dviem kintamaisiais.

220. Ar tapaiai lygs ie reikiniai?

a) 2x + 7 ir 2(* + 7 ) b) y ir y c) (*)2 ir * 2

d) (a + b) 0 ir a + b e) (a b) ir b a f) |3 a\ ir \a 3| g) 2 (a + \b) ir 2a + b h) ( - j c ) 3 ir - : 3 i) - 5 2 ir ( - 5 ) 2

221. Kurios lygybs yra tapatybs?

a) a + (-a) +b = b b) a + ( - b ) = -b + a c) - 1 -m+ n = - m - n d) | - 1 0 | x + |10|jc = 0 e) 3x + = 4x f) -0 ,99 2,5 = (1 - 0,01) 2,5 g ) 7 ( a - a ) = 7 h) 84 76 = (80 - 4)(80 + 4)

222. Atskliauskite:

a) 0,5(2* - 4y + 8) b) ( - 2 2 - 33y + 55z)

c) ( -6 ,2 + 2,4b + 3,5c) ( -0 ,2) d) - ^ ( 4 9 * 2 - 14* + 7)

223. Apskaiiuokite patogiausiu bdu:

a) 2,8 1,6 + 7,2 1,6 b) 74 1,4 - 1,4 24 c) 5,9 2,6 + 5,9 11,5 - 4,1 5,9 d) 3,4 4,2 - 0,8 4,2 + 2,4 4,2 e) 999 15 f) 0,98 0,6

224. Sutraukite panaiuosius narius:

a) 6 a + 24 a-a b) 5* - 20 + 8* - 24 c) -4 ,2a + 8b + 3,8a - 2b + 16 d) 6* - 8y + 7,2* - 2,4 + 0,6y e) \a + b - \b + \a f) 6,2 - 6,2 + 1 ,Ab - 7,4

225. Ikelkite bendr dauginamj u skliaust:

a) 5,2a + 5,2b b) 18a+ 6 c) 11 + 22* - 33a d) 20a - 5 + 25*

226. Atskliauskite ir sutraukite panaiuosius narius: a) 2(x + y) - 3(* - y)', b) 5(a + b) + 5(a -b), c) 8(3* + Ay) - 6(5* - Ay) + (* + y); d) 3(a + b) + 4(* - y) - (* - y) + (-a - 1b).

227. Suprastinkite reikin ir apskaiiuokite jo reikm: a) (a 8 a 1 0 ) : ( a 2 a 1 0 a4) , kai = 9 ; b) (a5 a " 3 ) 5 : (a2 a 3 ) 2 , kai = 121;

c) kai = -95 ; ,"-20 15\4 _-5

d> W W ' k a i = 3

228. sitikinkite, kad ios lygybs yra tapatybs: a) 8* - (3* + 20) = 5(* - 4); b) -9a + ( - 5 6 - 5a) = 7 ( - 8 - 2a); c) 2(-25,5 + 16*) = 7(2* - 3) - 6(5 - 3*); d) l ( 2 4 - 3 y ) = 4 ( l + y ) - 2 ( y + ) .

229. Kokie skaiiai turt bti parayti debesli vietoje, kad gautumte tapa-tybes: a) (4* - 5) - (3* - 3) = * - > ; b) - ( 3 * + 2) - (* + 3) = C b J t + O ; c) 0,5(2,6* - 4) + 0 , 2 ( > * + O ) = U x + 1 0 ; d) + 2 0 ) + f (6* - 30) = 7* - O ?


a) - 4 2 - (* + 54) = 101 b) - ( - y + 0,42) + 4,2 = 8,78 c) 2(* - 1) + 3 = - 3 ( 2 - 3*) d) 5(* + 2) = 8 - 3(2* + 1)

231. Su kuria kintamojo reikme: a) reikinio 4(2 5*) reikm dviem vienetais didesn u reikinio

3(5* - 8) reikm? b) reikinio 2(4* + 1) reikm penkiais vienetais maesn u reikinio

5(0,4* + 3,2) reikm? c) reikinio 7* + 5 reikm tris kartus maesn u reikinio 15* 21

reikm? d) reikinio 11 0,2* reikm keturis kartus didesn u reikinio 0,05*+7

reikm?

232. Suprastinkite reikin: ) /3 + 12 - 27; b) 3VT2 + 2 ^ 3 - 2^27.

233. a) Apskaiiuokite lygiagretainio plot: 4 cm V

b) Raskite lygiagretainio neinom kratin:

\4

234. Raskite kamp *:

a) Il b b) a \\ b \\ c

235. Lauko plotas 26 ha. Bulvmis usodinta 35% io ploto. irniais apsta 20% likusio ploto. a) Kiek hektar lauko uima bulvs? b) Kiek hektar lauko apsta irniais?

236. Saul turi 4 sukneles ir 2 poras batuk. Keliais skirtingais bdais ji gali apsirengti?

2 Vienanariai ir daugianariai. J daugyba

Staiakampio gretasienio formos akvariumo, kurio matmenys nurodyti paveiks-le, tr gausime sudaugin ilg a + a, plot b ir aukt c.

= Iabc

a a Sandaugoje 2abc yra keturi dauginamieji, i kuri pirmasis yra skaitinis, o kiti trys raidiniai. Tokios sandaugos vadinamos vienanariais, pavyzdiui:

1

, 2am, -a (4)b, labc.

Vienanariais taip pat laikomi skaiiai, kintamieji ir j laipsniai, pavyzdiui:

- 8 , k, 52, JC4.

Skaii, kintamj ir j laipsni sandaugos vadinamos vienanariais.

Remdamiesi daugybos perstatymo ir jungimo dsniu, suprastinkime vienanar:

5a2b ( -3 )ab 3 = 5 ( -3 )a 2abb 3 = -15a3b4. Vienanar ireikme skaitinio dauginamojo ir vairi kintamj laipsni san-dauga; sakoma, kad j urame standartine iraika. Standartikai urayto vienanario skaitinis dauginamasis vadinamas vienanario koeficientu, pavyzdiui,

vienanario 15a3b4 koeficientas yra 15; vienanario a koeficientas yra 1.

1 9 ^ Kokie i vienanari: 8a; ^pax; 2ab; a ; y koeficientai?

Apskaiiuokime brinyje pavaizduotos palapins su dugnu paviriaus plot. Matome, kad palapin yra trikamps prizms formos. Jos pavirius:

Jeigu daugianar sudaro du nariai, tai jis vadinamas dvinariu, jei trys trinariu ir 1.1. Pavyzdiui, reikinys 2;2 + Ax 7 yra trinaris su vienu kintamuoju x.

Uraykite: a) dvinar su vienu kintamuoju; b) trinar su dviem kintamaisiais; c) keturnar su vienu kintamuoju.

Remdamiesi daugybos skirstymo dsniu, padauginkime vienanar 3a i dvinario a+ 2b:

3a(a + 2b) = 3a a + 3a 2b = 3a2 + 6ab.

Dauginant vienanar i daugianario, reikia vienanar padauginti i daugianario kiekvieno nario ir gautas sandaugas su atitinkamais enklais

sudti.

Uraykime tai simboliais:

Spav = 2 \ab + 2 c2 + be = ab + 2c2 + bc.

Gaut reikin sudaro trij vienanari ab, 2c2 ir bc suma.

Daugianariu vadinama vienanari algebrin suma.

( + + V + -+0) = A + D - O + D - V + - +

Pavyzdiui,

p(3x +p- Iy2) =-3+- 2} = 3px +p2- 2py2.

Padauginkite vienanar a i keturnario y + z + k.

Apskaiiuokime ant sienos pakabinto paveikslo su rmais plot. Paveikslas yra staiakampio formos, todl jo uimamas plotas lygus ilgio (a + b + a) ir ploio (a + c + a) sandaugai.

c S = (2a + b) (2a + c)

'a

a b a

Padauginkime dvinar 2a + b i dvinario 2a + c: (2a + b)(2a + c). Dvinar 2a+b paymkime ir remkims vienanario dauginimo i daugianario taisykle:

(2a + b)(2a + c) = *(2a + c) = 2a + c.

Gautame reikinyje vietoj vl raykime dvinar 2a + b ir dar kart remkims vienanario dauginimo i daugianario taisykle:

2a + c = (2a + b) 2a + (2a + b) c =

(2a + b) (2a + c) = 4a2 + 2 ab + 2 ac + bc.

T pat reikin gautume, kiekvien dvinario 2a+b nar padaugin i kiekvieno dvinario 2a + c nario.

Dauginant daugianar i daugianario, reikia kiekvien daugianario nar dauginti i kito daugianario kiekvieno nario ir gautas sandaugas su

atitinkamais enklais sudti.

Sudaugin daugianarius, panaiuosius narius sutraukiame, pavyzdiui:

(x + y)(x + v - 3) = 2 +xy - 3x + xy +y2 -3y = x2 + 2xy -3x+y2 - 3y.

= 2a 2a + b 2a + 2a c + b c =

= 4 a2 + 2 ab + 2 ac + bc.

Taigi

Padauginkite dvinar m + n i trinario y z.

237. Suprastinkite reikinius ir nustatykite gaut vienanari koeficientus:

a) Sm Am b)-\lp + \Sp c) 2x - Ax + 1 IJC

d) a-a3-a e) 2x2 f ) - y - y 4 - 2 y

g) 2x2 3x h) (m)(m)(m) i) (10a2)3

j) - ( - 4 c ) 2 k) {-ab3)3 1) ( 2 \ a 3 b 3 f

238. Atuntokai pririnko 12 krepeli spanguoli, o penktokai 4 krepelius. Viename krepelyje telpa a gram spanguoli. a) Kiek gram spanguoli surinko mokiniai? b) Kiek gram spanguoli penktokai surinko maiau negu atuntokai? c) Kiek kart atuntokai surinko uog daugiau negu penktokai? (Atsakymus uraykite reikiniais.)

239. Perskaitykite uraytus raidinius reikinius:

a) ax + by b) ax by c) ax by

d) f f e) (ax)2 + (by)2 f ) (ax + by)2

g) (ax)2 - (by)2 h) ( - by)2 i) 2 - (2 - )2

240. Urayti keturi i eils einantys natralieji skaiiai. Maiausias i j yra n. a) Uraykite tuos natraliuosius skaiius. b) Raskite j sum. c) Raskite skirtum tarp dviej vidurinij skaii sumos ir dviej kra-

tini skaii sumos.

241. Isprskite 240 udavin, kai: a) maiausias natralusis skaiius yra n + 5; b) maiausias natralusis skaiius yra n 6.

242. Sutraukite panaiuosius narius:

a) 2Ixy 8xy + Ixy b) - 5 a 3 + IOa3 - Ia3

c) 0,8x2 + 0,2y - 0,5x2 + 0,8y d) 1,5ab - 0,5ab + 2ab + 8

243. Sudauginkite:

a) 5(b 2) b) a(x + 5y) c)p(2p-5pq)

d) y2 (by2 2xy) e) x ( 3 x - 2 a x + 4x2) f) - y ( 5 y 2 + 2y - 7)

g) a(-Aab) h) 6y2 ( - y 3 a ) i) - 5 x 2 ( - x 5 y )

244. Sudauginkite ir sutraukite panaiuosius narius:

a) (* + 3 ) (*+ 4) b) ( 2 - y ) ( y + 2) c) (3y - l)(2y + 7) d) (m - 1 l)(2m + 8) e) (x2 + 2x - 4)(x + 3) f) (a3 -a2 + 1 )(a - 1)

245. Sudauginkite pagal pateikt pavyzd: a) 39-25; b) 79-81; c) 30,1 29,9; d) 15,2 14,8.

Pavyzdys. 102 98 = (100 + 2) (100 - 2) = 100 100 - 100 2 + 2 100 - 2 2 = = 10 000 - 200 + 200 - 4 = 9996.

246. Dauginant padaryta klaida. Suraskite j: a) (p + m)(m + r) = pm + mr + pr; b) (a *)(* + 2) = ax + a2 x2 2x.

247. Isprskite lygtis: a) 131 - 8(3* - 2) = - I t - 5(12 - 3/); b) 7(2* - 1) - 6(11 - *) = 3(* + 4); c) (* - 3)(* - 4) = 2 + 2* - 11; d) (y 1)(2 y) = (y + 3)(y 4).

248. Raskite du gretimus sveikuosius skaiius, kai j sandauga: a) 66 vienetais maesn u kit dviej gretim skaii sandaug; b) 18 vienet didesn u kit dviej gretim skaii sandaug.


a) 2 ( * - 3 ) = 0 b) ( * + 6 ) = 0 c) ( * + 4 ) ( * - 5 ) = 0 d) ( - * - 2 ) ( 3 * + 2) = 0 e) *(4* - 3)(5* - 15) = 0 f) - * ( 2 * + 8)(4* - 5) = 0

Pavyzdys. Isprskime lygt x(x 3)(jc + 2) = 0. Sprendimas. Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui. Todl arba = 0, arba 3 = 0, arba + 2 = 0. Vadinasi, arba = 0, arba = 3, arba = 2. Atsakymas. Lygtis turi tris sprendinius: 0; 3; 2.

250. Lygiaonio trikampio perimetras lygus 20 cm. Viena kratin du kartus ilgesn u kit. Raskite trikampio kratines, jeigu: a) onin kratin didesn u pagrind; b) pagrindas didesnis u onin kratin.

251. Vaikas aidia su staiakampio gretasienio formos trimis kaladlmis, ku-ri matmenys 1,5 cm 2 cm 5 cm. Ar jis sutalpins kaladles d, kurios matmenys yra 3 cm 3,5 cm 6 cm?

252. a) 585 prabos auksins grandinls mas 12 g. Kiek gryno aukso yra grandinlje?

b) 250 g arbatos stiklinje yra 28 promils cukraus. Kiek gram cukraus yra imaiyta stiklinje?

253. Kuris skaiius didesnis: a) 2~6 ar 2~4; b) 5~3 ar 0,23?

254. Motorins valties savasis greitis yra 24,5 km/h. Valtis 0,4 h plauk Kuri mariomis ir 1,5 h Nemunu (pasroviui), kurio tkms greitis 2,1 km/h. a) Kok atstum motorin valtis nuplauk Kuri mariomis? b) Kok atstum motorin valtis nuplauk Nemunu? c) Paraykite reikin motorins valties nuplauktam atstumui rasti ir ap-

skaiiuokite j.

255. Nubraiykite romb. Nubrkite po dvi auktines i rombo: a) bukojo kampo; b) smailiojo kampo. Ar nubraiytos auktins yra lygios? Kodl?

256. Udavinys-poktas. Kiekvienas sugalvokite skaii. Prie jo pridkite 7 ir gaut sum padauginkite i 2. Prie gautos reikms pridkite 6 ir atim-kite dvigub savo sugalvot skaii. Js visi gavote t pat atsakym skaii 20. Kodl taip atsitiko? Nurodymas. Uraykite udavin algebriniu reikiniu ir j suprastinkite. O dabar sugalvokite udavin-pokt, kad galutinis atsakymas bt skai-ius 100.

3 Dviej nari sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formuls

Kartais daugianarius galima sudauginti greiiau, pritaikius vadinamsias grei-tosios daugybos formules. Pakelkime kvadratu dviej nari sum a + b:

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Taigi rodme sumos kvadrato formul:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

Dviej nari sumos kvadratas lygus pirmojo nario kvadratui plius dviguba pirmojo ir antrojo nario sandauga, plius antrojo nario kvadratas.

Uraykime sumos kvadrato formul simboliais:

( + D)2 = 2 + 2 + D2.

Pavyzdiui, kai = 2x, = 5y, tai

( + ) 2 = (2x+5y)2 = (2;)2+2-2:-5 + (5)2 = 4x 2 +2(ky+25y 2 .

Pakelkime kvadratu dviej nari skirtum a b:

{a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - lab + b2.

Taigi rodme skirtumo kvadrato formul:

(a - b)2 = a2- lab + b2

Dviej nari skirtumo kvadratas lygus pirmojo nario kvadratui minus dviguba pirmojo ir antrojo nario sandauga, plius antrojo nario kvadratas.

Uraykime skirtumo kvadrato formul simboliais:

( - D)2 = 2 - 2 + 2.

Pavyzdiui, kai = -s/7, = 3, tai

( - D ) 2 = ( V 7 - 3 ) 2 = (V7) 2 -2 -V7-3+3 2 = 7 - 6 V 7 + 9 = 1 6 - 6 ^ 7 .

Abi sumos ir skirtumo kvadrato formules galima urayti kartu:

{a b)2 = a2 2ab + b2

ia turima galvoje, kad imami arba virutiniai, arba apatiniai enklai.

== CX2-Cd-Oob

fieS

Il \

257. Upildykite lentel:

Sumos (skirtumo) kvadratas

Pirmo nario kvadratas

Dviguba pirmo ir antro nari sandauga

(su atitinkamu enklu)

Antro nario kvadratas

(m + n)2

+ X)2

(a-)2

(5 - 3x)2

258. Pagal pateiktus pavyzdius nustatykite, k reikt parayti debesli vie-toje, kad lygyb bt tapatyb: a) ( + D)2 = 2 + 2 + D2

(3 + )2 = 32 + 2 3 + 2

(m + 4)2 = C b + 2m-4+

(2x + )2 = (2x)2 + 2 + 2

(5a + 3b)2 = (5)2 + + (3b)2

b) ( D)2 = A2 2 -f D2

( - I)2 = 2 - 2 1 + I 2

(y-b)2 = y2-2-yb +

( 7 - ) 2 = > - 2 7 + >

(3jc - 2y)2 = ()2 - + Vy)2

259. Taikydami sumos arba skirtumo kvadrato formul, pakelkite kvadratu:

a) (m - 8)2 b) (2x + 3)2 c) (4x - 3)2

d) (5a + \b)2 e) ( a - 3b)2 f ) (0,3x2 - 0,2y)2

260. Keliant kvadratu padaryta klaid. Suraskite jas.

a) (2a + jx)2 = 4a2 + ax + x 2 ;

b) (P5 - 1 p 3 ) 2 = P 1 0 + + I6P6-,

c) ( \ 2 X 2 - X 3 ) 2 = 1 2 x 4 - 2 4 j c 5 + j c 6 ;

d) ( \ a 2 - 3b)2 = ^ a 4 - a2b - 9b2.

261. Apskaiiuokite pritaik greitosios daugybos formules:

a) (10+ 8)2; b) (20 - 3)2; c) 712; d) 1992; e) 9,92.

262. Apskaiiuokite:

a) (V32 + V2)2; b ) ( V 5 - V 2 0 ) 2 ; c ) (V3 + V7)2; d) (5 - V)2.

Pavyzdys. ( 2 + V3)2 = (2)2 + 2 - 12 + (V)2 = 12 + 2 ^ 1 2 ^ 3 + 3 =

= 15 + 2 ^ 3 6 = 15 + 2 - 6 = 27.

263. Kurios lygybs yra tapatybs?

a) (a - b)2 = (b - a)2 b) (a + b)2 = -(a - b)2

c) ( - b)2 = -(a + b)2 d) ( - a - b)2 = (a + b)2

264. Pakelkite kvadratu:

a) { y)2; b) ( - 4 - a ) 2 ; c ) ( - p - 9 ) 2 ; d) ( - m - 7)2.

Pavyzdys. Pakelkime kvadratu dvinar --2.

Taikykime skirtumo kvadrato formul (a b)2 = a2 2ab + b2, kai a = 3x, b = 2y: (~3x - Iyf = (3x)2 - 2 ( - 3 * ) Iy + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2. Galima sprsti ir kitaip, ikeliant 1 prie skliaustus:

( - 3 * - 2y)2 = (l(3x + 2 y ) f = (~l)2(3x + 2y)2 = = 1 ((3x)2 + 2 3x 2y + (2y)2) = 9x2 + I2xy + 4y2.

Galima sprsti ir taip: dvinari 3x 2y ir 3x + 2y reikms yra vienas kitam prieingi skaiiai, todl (~3x - 2y)2 = {3x + 2y)2. Gauname: ( - 3 * - 2y) 2 = (3x + 2;y)2 = (3x)2 + 2 3x 2y + (2y)2 =

= 9 2 + \2xy + 4y2.


a) ( + 5)2 = ( - I)2 - 48 b) (x - 2)2 - (x - 3)2 = - 5 4 c) (x - 4)2 - jc (jc + 6) = 100 d) (7 + x)-(x + 9)2 = 41

266. sitikinkite, kad lygybs yra tapatybs: a) (a + b)2 - ( a - b)2 = Aab\ b) (a + b)2 + (a Paaikinkite ias lygybes remdamiesi briniais.

b)2 = 2(a2 + b2).

a)

Illll

i i

b)

3i. 3 5 ' f) ^ 4 2

267. Apskaiiuokite:

a) 24 23; b) 28 ( i ) 7 ; c) 43 125; d) 93 : 34; e)

268. Kam lygu: a) pus 26; b) tredalis 33?

269. Duotas trikampio plotas S. Kokio ilgio yra trikampio auktin, nubrta kratin m, kai: a) S = 32 cm2, m = 16 cm; b) S= 1,5 dm2, m = 6 cm?

270. Duo kabinos grindis reikia iklijuoti kvadratinmis 15 cm 15 cm plyte-lmis. Staiakampiam plotui, kurio ilgis lygus 90 cm, o plotis 60 cm, ikloti reikia 24 toki plyteli.

90 cm

15 cm

a) Kiek plyteli reiks iklijuoti duo kabinos grindims, jeigu duo kabi-nos: 1) ilgis du kartus didesnis; 2) plotis du kartus didesnis; 3) ir ilgis, ir plotis du kartus didesnis?

b) Vienoje dje yra 10 plyteli. Plytels parduodamos tik dmis. 1) Kiek di teks pirkti, jei reikia 72 plyteli? 2) Koki matmen gali bti grindys, jeigu joms iklijuoti reikia 10

di plyteli? Pastaba. Plyteli skaldyti negalima ir reikia suklijuoti visas plyteles.

271. Kaiy = 2 , t a iy + - = O b

272. Diagrama vaizduoja mokyklos 5-10 klasi mokini pasiskirstym pagal klases. 1) Kelis procentus mokyklos mokini sudaro

devintokai? 2) Kiek mokykloje yra mokini, jei devintok

yra 50? 3) Ar teisingas teiginys: mokykloje yra 28 de-

imtokai"? Paaikinkite.

273. Pagal pavaizduot buto plan upildykite lentel.

M ivPl Rin M

V Cnri

Vc )nio s v Virtuv d orius ka mb arys 1

1 m

Patalpos pavadinimas Ilgis (m) Plotis (m) Plotas (m2) Svetain Miegamasis Koridorius Virtuv Vonios kambarys

274. emiau rodyta", kad 4 = 5. Nustatykite, kur padaryta klaida.

16 - 36 = 25 - 45; 81 81

1 6 - 3 6 + - = 25 - 4 5 + - ;

( - D * - ( ' - D 1 '

4 = 5.

4 Dviej nari skirtumo ir j sumos sandaugos formul

Dviej nari skirtum a b padauginkime i t nari sumos a + b:

Oa - b)(a + b) =a2 -ab + ab-b2 = a2 - b2.

Taigi

(a-b)(a + b) = fl2 -b2

? Kaip js trumpai pavadintumte i tapatyb?

Dviej nari skirtumo ir j sumos sandauga lygi i nari kvadrat skirtumui.

Uraykime kvadrat skirtumo formul simboliais:

( ) ( + ) = 2 D2 .

Pavyzdiui, kai == 3ra, = 4q, tai

( ) ( + ) = (3m4q)(3m+4q) = (3m) 2 - (4^) 2 = 9m2-\6q2.

i formul kartais padeda greitai sudauginti.

1 PAVYZDYS. Apskaiiuokime sandaug 99 101. Pakeit 99 ir 101 reikiniais 100 1 ir 100 + 1, pritaikykime kvadrat skirtumo formul:

99 101 = (100 - 1)(100 + 1) = IOO2 - 1 = 10000 - 1 = 9999.

2 PAVYZDYS. Sudauginkime (5a+ b) (b 5a). Atkreipkime dmes tai, kad sumoje galima sukeisti dmenis vietomis. Tada

(5a + b)(b - 5a) = (b + 5a){b - 5a) = )2 - (5a)2 = b2 - 25a2.

275. Upildykite lentel.

Dviej nari skirtumo ir j sumos sandauga

Pirmo nario kvadratas Antro nario kvadratas

(p-q)(p + q) (m - 1 )(m + 1)

(2x - p)(2x + p)

( V 7 - 1 ) ( V 7 + 1)

276. K reikt parayti debesli vietoje, kad lygyb but tapatyb:

a) ( 7 - 2 x ) ( 7 + 2x) = > - ( 2 * ) 2 ;

b) (4a - 3b)(4a + 3b) = (4a)2 - 0> 5

c) ( I m - I n ) ( I m + in) = e 3 b - G > ?

277. Sudauginkite taikydami greitosios daugybos formul:

a) ( * - 3 ) ( * + 3 ) b) ( 4 - y ) ( 4 + y) c) (m2 - 4) (m2 + 4) d) (2a + b2) (2a - b2) e) 6 - \b)ib + \b) f) ( - b)il\* + b)

278. Taikant dviej nari skirtumo ir j sumos sandaugos formul, padaryta klaid. Suraskite jas:

a) (2a - b)(2a + b) = 2a2 - b2,

b) ( \x + ) ( ~ ) = 52 ~ j y 2 >

c) (3x2 - 0,2y3)(3x2 + 0,2y3) = 9:2 - 0,04y6.

279. Apskaiiuokite patogiausiu bdu:

a) (80 + 2 ) (80-2 ) ; b) (200+10)(200 - 10); c) 62-58; d) 97-103.

280. Pritaikykite greitosios daugybos formul:

a) (m + n)(n m) b) (p + a)(a p) c) (

matematika 8. i dalis (2002) by cloud dancing

Documents