matematika 9 - devetletka.net · razlage in vaje za boljs. ˇe ocene v devetem razredu. 9....

RAZLAGE IN VAJE ZA BOLJSE OCENE V DEVETEM RAZREDU 9MATEMATIKATanja Koncan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

znam več

za

ZZV 9 MAT 2017 notranjost.indd 1 12.6.2018 11:49:12

Založba Rokus Klett, d. o. o.Stegne 9 b1000 LjubljanaTelefon: (01) 513 46 00E-pošta: [email protected]

ZBIRKA ZNAM ZA VEČ

iMATEMATIKA 9Razlage in vaje za boljše ocene v devetem razredu

Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan Urednik (1. izdaja): Vasja KožuhStrokovni pregled: Magda Albreht, Ema MaverLektoriranje besedila: Katja PaladinIlustracije: Marta Bartolj

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2007). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana

51(075.2)(076.2)

KONČAN, Tanja Znam za več. iMatematika 9 : razlage in vaje za boljše ocene v devetem razredu / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustracije Marta Bartolj]. - 1. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2018. - (Zbirka Znam za več)

ISBN 978-961-271-810-7 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija 293594112


33

Dragi učenec in draga učenka!

Pred tabo so razlage in vaje za matematiko. V veliko pomoč ti bodo pri napredovanju v znanju, saj te bodo vodile k znanju za več.

Zasnovane so pregledno. Razdeljene so na jasno ločena poglavja, ki se začnejo z rešenimi ZGLEDI. Ti omogočajo hitro seznanjanje z najpomembnejšimi pravili in postopki, potrebnimi za uspešno reševanje nalog. Sledijo VAJE, s katerimi boš gradil in utrjeval svoje znanje. Z VPRAŠANJI boš preverjal razumevanje snovi. Srečal se boš s povezavami PAROV, v katerih boš prepoznaval in utrjeval osnovne pojme in predstave. Spopadanju s tipičnimi nalogami določenega poglavja sledi PREIZKUS, ki je na-menjen povratni informaciji o tvojem znanju. Za preverjanje pravilnosti reševanja so dodane REŠITVE.

Z željo, da bi čim bolje napredoval, te pozdravljamo in ti želimo veliko uspeha.

Avtorice

Podnaslov poglavja

Nasvet preizkusa

Če si dosegel 15 točk, še premalo znaš. Ponovi snov in preglej rešene zglede.Če si dosegel od 16 do 30 točk, dobro znaš. Še vadi, da boš napredoval.Če si dosegel od 31 do 45 točk, že veliko znaš.

Tu so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.

Tu so napisani nasveti za lažje delo, dogovori, namigi in opozorila.


4

znam

več za

I. IZRAZI .................................................................................................................................................................................6

Enočleniki in množenje z enočlenikom ..................................................................................................................6Množenje in poenostavljanje dvočlenikov ...........................................................................................................8Kvadriranje dvočlenika .............................................................................................................................................. 10Produkt vsote in razlike dveh členov .................................................................................................................... 12Preizkus ........................................................................................................................................................................... 14

II. ENAČBE IN BESEDILNE NALOGE ........................................................................................................................ 16

Splošno o enačbah ...................................................................................................................................................... 16Reševanje preprostih enačb .................................................................................................................................... 18Reševanje enačb z oklepaji ...................................................................................................................................... 20Reševanje enačb z ulomki ........................................................................................................................................ 22Preizkus – enačbe ........................................................................................................................................................ 24Uporaba enačb pri reševanju nalog o številih .................................................................................................. 26Uporaba enačb pri reševanju nalog o starosti .................................................................................................. 28Uporaba enačb pri reševanju nalog iz geometrije .......................................................................................... 30Uporaba enačb pri reševanju nalog iz vsakdanjega življenja ...................................................................... 32Preizkus – besedilne naloge .................................................................................................................................... 34

III. ALGEBRSKI ULOMKI ............................................................................................................................................... 36

Algebrski ulomki .......................................................................................................................................................... 36Računanje z algebrskimi ulomki ............................................................................................................................ 38Algebrske enačbe ........................................................................................................................................................ 39

IV. SORAZMERJE IN PODOBNOST .......................................................................................................................... 40

Razmerje količin ........................................................................................................................................................... 40Sorazmerje ..................................................................................................................................................................... 42Premo sorazmerje ....................................................................................................................................................... 44Obratno sorazmerje .................................................................................................................................................... 46Razmerje dolžin in besedilne naloge iz razmerij in sorazmerij ................................................................... 48Podobnost ...................................................................................................................................................................... 50Podobni trikotniki........................................................................................................................................................ 52Preizkus ........................................................................................................................................................................... 54

V. LINEARNA FUNKCIJA ............................................................................................................................................... 56

Linearna funkcija ......................................................................................................................................................... 56Graf linearne funkcije ................................................................................................................................................. 58Zapis enačbe linearne funkcije ............................................................................................................................... 60Presečišče premice s koordinatnima osema in presečišče dveh premic ................................................. 62Preizkus ........................................................................................................................................................................... 64

KAZALO


5

VI. SISTEM DVEH LINEARNIH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA .............................................................. 66

Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama ..................................................................................... 66

VII. GEOMETRIJSKA TELESA ...................................................................................................................................... 68

Vrste teles ....................................................................................................................................................................... 68Prizme .............................................................................................................................................................................. 70Pravilne in enakorobe prizme ................................................................................................................................ 72Štiristrana prizma ........................................................................................................................................................ 74Tristrana prizma ........................................................................................................................................................... 76Šeststrana prizma ....................................................................................................................................................... 78Preizkus – prizme ........................................................................................................................................................ 80Valj – osnovni pojmi, površina in prostornina ................................................................................................... 82Izračunavanje neznanih količin v valju ................................................................................................................ 84Enakostranični valj ..................................................................................................................................................... 86Preizkus – valj ................................................................................................................................................................ 88Piramida – osnovni pojmi, površina in prostornina ........................................................................................ 90Pravilne in enakorobe piramide ............................................................................................................................ 92Uporaba Pitagorovega izreka v piramidah ........................................................................................................ 94Preizkus – piramide ..................................................................................................................................................... 98Stožec – osnovni pojmi .........................................................................................................................................100Površina in prostornina stožca ..............................................................................................................................102Enakostranični stožec .............................................................................................................................................104Stožec kot vrtenina ..................................................................................................................................................105Krogla .............................................................................................................................................................................106Preizkus – stožec in krogla .....................................................................................................................................108

VIII. MATEMATIČNI VZORCI IN ZAPOREDJA .....................................................................................................110

Matematični vzorci in zaporedja ..........................................................................................................................110

IX. REŠITVE ......................................................................................................................................................................112


6

znam

več za

1. IZRAZI

Enočleniki in množenje z enočlenikom

ZGLED 1: Kako bi poenostavil zapis 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b? To je pogosta in preprosta vaja poenostavljanja izraza. Najlažje jo rešiš, če si zapis ogledaš tako, da ne pozabiš nobenega člena. Združuješ podobne si enočlenike.

3a – 7a + 5b + 3b + 2ab –4a + 8b + 2ab torej: 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b = –4a + 8b + 2ab

ZGLED 2: Kako bi rešil spodnje primere množenja?

a) 3(x + 4) → 3(x + 4) = 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12 b) –3(x + 4) → -3(x + 4) = –3 · x + (–3) · 4 = –3x – 12 c) 3(x – 4) → 3(x – 4) = 3 · x – 3 · 4 = 3x – 12

č) –3(x – 4) → -3(x - 4) = –3 · x – (–3) · 4 = –3x + 12

VAJA 1: Poenostavi naslednje izraze.

a) 7a + 3b – 4a + 2b =

b) 5c + 6 d + 2c – 8d =

c) 4m + 2m2 – 5m2 – m =

VAJA 2: Poenostavi naslednje izraze.

a) –3a(4a + 3) + 2a2 =

b) 4(2e + f – 3g2) =

c) 3y2 + 2y2 + 4y – xy =

č) 4(–2a + 1) – 3(5a + 4) =

VAJA 3: Obkroži črko pred pravilnimi zapisi.

a) 2a · 3ab = 6ab b) 2a · 3ab = 6a2b c) 2a . (–3a) = –6a2

č) 2a · (2a + b) = 4a + b d) 2a · (2a + b) = 4a2 + b e) 2a · (2a + b) = 4a2 + 2ab

Primeri3a + 5a = 8a2b – 7b = –5b4c · 2c = 8c2 (pomnoži koeficienta in spremenljivki)3d + 3d2 = 3d + 3d2 (ne moreš sešteti d in d2)10y : 2y = 5

Spomni se: m = 1 · m

+ krat + = + – krat – = + + krat – = – − krat + = –

Rešuješ lahko samo na tak način.

Če sta člena enako predznačena, je produkt pozitiven, če sta različno predznačena, je produkt negativen.


7

VAJA 4: Poveži nakazano množenje z rešitvijo.

(x + y) . x (x – y) . (–2x) (x + y) . (–2x) (x + y) . 2x

2x2 + 2xy 2x + 2xy –2x2 – 2xy x2 + xy –2x2 + 2xy VAJA 5: Poenostavi zapis (2a – 3b + c) – (–a + b + 4c) in izračunaj vrednost izraza za a = –1, b = 2 in c = 1.

VAJA 6: Zapiši izraz za obseg narisanega lika in ga poenostavi, kolikor je mogoče.

a) b)

2x + 2

2x + 2

x x

x x

3x

2x +

5

x +

5

2x

VAJA 7: Iz osmih ploščic z dolžino (2a + 2) cm in širino (a + 1) cm oblikujemo pravokotnik. Izračunaj obseg pravokotnika, če ploščice položimo kot kaže slika.

a)

b)

c)

Ë)


8

znam

več za

ZGLED 1: Kako pomnožiš dvočlenik (a + 2) z dvočlenikom (a + 4)?

(a + 2)(a + 4) = a2 + 4a + 2a + 8 = a2 + 6a + 8

Prvi a krat a

a2

Zunanji a krat 4

4a

Znotraj 2 krat a

2a

Zadnji 2 krat 4

8

(a + 2)(a + 4)

ZGLED 2: Kako pomnožiš dvočlenik (p + 5) z dvočlenikom (p – 2)?

(p + 5)(p - 2) = p2 - 2p + 5p - 10 = p2 + 3p - 10

Prvi p krat p

p2

Zunanji p krat -2

-2p

Znotraj 5 krat p

5p

Zadnji5 krat -2

-10

(p + 5)(p - 2)

ZGLED 3: Kako pomnožiš dvočlenik (t – 6) z dvočlenikom (t – 1)?

(t - 6)(t - 1) = t2 - t - 6t + 6 = t2 - 7t + 6

Prvi t krat t

t2

Zunanji t krat -1

-t

Znotraj -6 krat t

-6t

Zadnji-6 krat -1

6

(t - 6)(t - 1)

ZGLED 4: Kako bi zmnožil (y – 3)(y – 2) s pomočjo preglednice?

krat y –2

y y2 –2y (y – 3)(y – 2) = y2 – 2y – 3y + 6 = y2 – 5y + 6

–3 –3y 6

VAJA 1: Pomnoži. a) (a + 1)(a + 2) =

b) (d – 3)(d + 1) =

c) (x – 4)(x – 3) =

VAJA 2: Poenostavi naslednje izraze. a) (x + 2)(x + 3) – 6x + 5 = b) (2a + 3)(a + 3) – (a – 3) =

c) (y – 7)(y – 3) + (y + 7)(–3) = č) (z – 4)(z + 1) – (z – 1)(z + 2) =

I. IZRAZI

Množenje in poenostavljanje dvočlenikov

Spomni se kratice PZZZ, ki pomeni »Prvi Zunanji Znotraj Zadnji«. Pomaga ti na preprost način pomnožiti vsak par, ne da bi katerega pozabil ali ga pomnožil dvakrat.

Rešuješ lahko na tak način.

Pozorno si oglej vsak zapisani enočlenik.Zapomni ali zapiši si koeficient, ki je zapisan tik pred spremenljivko.Če pred koeficientom ni znaka, ga upoštevaj kot pozitivnega.

Produkt dveh enako predznačenih številje pozitiven.


9

VAJA 3: Obkroži črko pred pravilno izjavo.

a) (c + d)(c + a) = c2 + cd + ad b) (x + 2y)(x + 2y) = x2 + 4xy + 4y2

c) (2x – y)(2x + y) = 4x2 – y2 č) (a + 4)(a – 2) = a2 + 8a + 8 d) (–a + b)(a + 2b) = –a2 – ab + 2b2 e) (p + 3)(p – 4) = p2 – 7p – 12

VAJA 4: Za katero vrednost spremenljivke x je vrednost izraza enaka nič? a) –2 + (–2 + x) b) –2 – (2 + x)

Odg.: ___________________________________ Odg.: ____________________________________

VAJA 5: Poenostavi zapis (x + 1)(x + 1) + (x – 1)(x + 1) in izračunaj njegovo vrednost, če je x = –1.

VAJA 6: Dan je (2a + 3) cm dolg pravokotnik, širok (2a – 3) cm. a) Zapiši izraz za njegov obseg in ga poenostavi.

b) Zapiši izraz za njegovo ploščino in ga poenostavi.

c) Izračunaj obseg in ploščino tega pravokotnika, če je a = 2.


10

znam

več za

ZGLED 1:

(a + 3)2 (a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2 a2 + 6a + 9

a · 3 = 3a 3 · 3 = 9

a · a = a2

3 · a

= 3

a

a + 3 a

a

a +

3

3

3

ZGLED 2: Kako bi določil (a + 3)2 ?

Nalogo lahko rešiš tako, da potenciranje prevedeš v množenje dvočlenika z dvočlenikom. Navzkrižno pomnožiš vse enočlenike. Delne produkte, ki pri tem nastanejo, urediš in sešteješ. (a + 3)2 = (a + 3)(a + 3) = = a · a + a · 3 + 3 · a + 3 · 3 = = a2 + 3a + 3a + 9 = = a2 + 6a + 9 ZGLED 3: Kako bi kvadriral dvočlenik a + 3?

Kvadriraš lahko tudi po pravilu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, ki pravi, da dvočlenik kvadriraš tako, da kvadriraš prvi člen dvočlenika, temu prišteješ dvakratnik produkta prvega in drugega člena ter prišteješ kvadrat drugega člena.

(a + 3)2 = (a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2 = a2 + 6a + 9

prvi člen drugi člen ZGLED 4: Kako bi določil (y – 3)2 s pomočjo preglednice?

krat y –3

y y2 –3y (y – 3)(y – 3) = y2 – 3y – 3y + 9 = y2 – 6y + 9

–3 –3y 9

VAJA 1: Kvadriraj.a) (x + 1)2 = č) (1,3a + 1,6)2 =

b) (a – 3)2 = d) ( 13 x + 1

2 y)2 =

c) (3b – 2)2 = e) ( 34

a – 23

b)2 =

I. IZRAZI

Kvadriranje dvočlenika

32 pomeni 3 krat 3 x2 pomeni x krat x (2y)2 pomeni 2y krat 2y (a + 3)2 pomeni (a + 3) krat (a + 3)

Pomagaš si lahko z geometrijsko ponazoritvijo.

Bodi pozoren na člene, koeficiente pred spremenljivkamiin predznake.

kvadrat prvega členadvakratni produkt obeh členov

kvadrat drugega člena


matematika 9 - devetletka.net · razlage in vaje za boljs. ˇe ocene v devetem razredu. 9....

Documents