matematika bisnis - modul.mercubuana.ac.idkahfi+... · konsep • barisan (sequence) adalah suatu...
TRANSCRIPT
![Page 1: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/1.jpg)
Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Ekonomi Bisnis
Manajemen
Muhammad Kahfi, MSM
MATEMATIKA BISNIS
DERET
http://www.mercubuana.ac.id
![Page 2: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/2.jpg)
Konsep
• Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.
• Deret (series) adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.
• Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.
![Page 3: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/3.jpg)
Sistem Bilangan
Bilangan
Nyata
Irrasional Rasional
Bulat
Negatif Nol Positif
Pecahan
Khayal
![Page 4: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/4.jpg)
Sistem Deret
Deret
Aritmatika Geometri
Terhingga Tak Terhingga
Konvergen Divergen
![Page 5: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/5.jpg)
Sistem Deret
Deret
Aritmatika Geometri
Terhingga Tak Terhingga
Konvergen Divergen
![Page 6: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/6.jpg)
Definisi Barisan Aritmatika• Definisi
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).
• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan
Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...
![Page 7: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...+3 +3 +3 +3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ...+6 +6 +6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.
![Page 8: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/8.jpg)
Contohc. 30, 25, 20, 15, ...
-5 -5 -5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut:
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisanaritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.
![Page 9: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/9.jpg)
Rumus Barisan AritmatikaU1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3bU5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
.
Un = Un-1 + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Keterangan: Un = suku ke-na = suku pertamab = bedan = banyak suku
Un = a + (n – 1)b
![Page 10: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 1Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawab:
–3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.
![Page 11: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh 2Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan
Un = 40.Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
![Page 12: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/12.jpg)
Definisi Deret Aritmatika• Definisi
Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D.
• Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-
suku dari suatu barisan aritmetika.
Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret aritmetika,
dengan Un = a + (n – 1)b.
![Page 13: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh 1Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab:Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.
D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 162D5 = 5 x 16 = 80D5 = 40
Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
![Page 14: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/14.jpg)
Rumus Deret AritmatikaMenentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahDn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.
Un-1 = Un – bUn-2 = Un-1 – b = Un – 2bUn-3 = Un-2 – b = Un – 3b
Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un…(1)
![Page 15: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/15.jpg)
Rumus Deret AritmatikaPersamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut:Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)
Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkanDn = a + (a + b ) + (a + 2b ) + … + (Un-2b) + (Un-b) + Un
Dn = Un + (Un – b) + (Un – 2b)+ ... + (a+2b) + (a+b) + a
2Dn = (a + Un ) + (a + Un ) + (a + Un) + ... + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
n sukuDengan demikian, 2Dn = n(a + Un )
Dn = (1/2) n(a + Un ) = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))
Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)
![Page 16: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh 2Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....
Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
Dn = n (2a + (n – 1)b)
D100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}= 50 (202)= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.
21
21
![Page 17: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh 3Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.
Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh : a = 3, b = 3, dan Un = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Un = a + (n – 1)b99 = 3 + (n – 1)33n = 99
n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah: Dn = n (a + U )
D33 = x 33(3 + 99) = 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.6832121
![Page 18: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/18.jpg)
Sistem Deret
Deret
Aritmatika Geometri
Terhingga Tak Terhingga
Konvergen Divergen
![Page 19: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/19.jpg)
Definisi Barisan Geometri• Definisi
Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap
• Bilangan yang tetap tersebut disebut Rasio dan dilambangkan dengan r.
• Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah :
a2 = a1ra3 = a2r = a1r2
a4 = a3r = a1r3
an = a1r(n-1)
![Page 20: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh3, 9, 27, 81, ...x3 x3 x3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dikali 3. Dapat dikatakan bahwa Rasionya 3 atau r=3
Carilah suku ke delapan dari barisan geometri di mana suku pertama adalah 16 dan rasionya adalah 2
Jawab:Diketahui : a1 = 16 , r = 2, n=8Ditanyakan S8 = …?S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2048
Carilah suku ke-11 dalam satu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768Jawab: 3072
![Page 21: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/21.jpg)
Definisi Deret Geometri• Definisi
Deret Geometri adalah jumlah n suku pertama barisan geometri. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D.
• Misalkan a1, a2, a3, ..., an merupakan suku-
suku dari suatu barisan geometri.
Dn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 disebut deret geometri
![Page 22: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/22.jpg)
Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan geometri adalah
Dn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 ... (1), Kalikan persamaan 1 dengan r, sehingga :
rDn = a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 + ... + a1rn ... (2)
Dn – rDn = a1 + a1rn
Dn (1– r) = a1 + a1rn
= a1 (1 – rn)
Dn = a1 (1 – rn) untuk r < 1. Tapi jika r > 1, maka : Dn = a1 (rn – 1)
(1-r) (r – 1)Dan untuk r = 1, Dn = a1 + a1 + ... + a1
Dn = na1
Rumus Deret Geometri
![Page 23: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh 1Carilah jumlah 8 suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + 24 +....
Jawab:Diketahui bahwa a1 = 3, r = 6/3 = 2, dan n = 8
Dn = a1 (rn – 1) (r – 1)
Maka :D8 = 3 (28 – 1) = 765
(2-1)
![Page 24: MATEMATIKA BISNIS - modul.mercubuana.ac.idKahfi+... · Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series)](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102516/5c891b1109d3f2224c8c93c5/html5/thumbnails/24.jpg)
Terima KasihMuhammad Kahfi, MSM