matematikaƒ›ათემატიკა-5... · 5 maswavleblis wigni matematika nana jafarize...

5maswavleblis wigni

maTematika

nana jafariZe

nani wulaia

maia wilosani

grifminiWebulia saqarTvelos ganaTlebis, mecnierebis, kulturisa da sportis saministros mier 2018 wels.

maTematika 5maswavleblis wigni mexuTeklaselTaTvisTbilisi, 2018

avtorebi: nana jafariZe, nani wulaia, maia wilosani

redaqtorebi: Tamar gavaSeliSvili, mariam goCitaSvilidizaineri: ia maxaTaZeteqnikuri dizaineri: nino kublaSvili

© bakur sulakauris gamomcemloba, 2018

Sps `bakur sulakauris gamomcemloba~aRmaSeneblis 150, Tbilisi 0112tel.: 910954, 911165elfosta: [email protected]

ISBN 978-9941-30-034-9

Mathematics 5Teacher's book

© Sulakauri Publishing, 2018all rights reserved.

Tbilisi, Georgiawww.sulakauri.ge

mailto:[email protected]

http://www.sulakauri.ge

saxelmZRvanelos Sesaxeb 5

gakveTilebis sanimuSo scenarebi

I Tavi

§1. naturaluri ricxvebi 7

§2. rogor Caiwereba naturaluri ricxvebi 8

§3. klasebi da Tanrigebi ricxvTa CanawerSi 8

§4. naturaluri ricxvebis damrgvaleba 9

§5. Tvlis sistemebi 10

§6. jgufuri mecadineoba 11

§7. monacemebi 11

§8. diagrama, piqtograma 12

§9. kanonzomiereba 13

§10. naturaluri ricxvebis Sedareba 13

§11. monakveTi. sxivi 14

§12. zomis erTeulebi 15

§13. skala 16

§14. sakoordinato sxivi 16

§15. kuTxe 17

§16. kuTxis gazomva 18

§17. samkuTxedi 19

§18. ricxviTi gamosaxuleba, asoiTi gamosaxuleba 19

§19. logikuri amocanebi 20

II Tavi

§2. Sekrebis kanonebi 21

§3. gamokleba 22

III Tavi

§2. gamravlebis kanonebi 23

§11. sibrtyis dafarva (mozaika) 24

§18. naturaluri ricxvis gamyofebi da jeradebi 25

IV Tavi

§3. wrewiri, wrewiris elementebi 26

prezentaciebi 27

amonaridi „erovnuli saswavlo gegmidan“

moswavlis Sefasebis sistema 28

axali erovnuli saswavlo gegmiT gansazRvruli maTematikis programa axali erovnuli saswavlo gegmiT gansazRvruli maTematikis programa 34

standartis Sedegis miRwevisa da saxelmZRvanelos Sinaarsis urTierTkavSiris matrica 40

amoxsnebi, miTiTebebi I Tavi

§1. naturaluri ricxvebi 42

§2. rogor Caiwereba naturaluri ricxvebi 42

§3. klasebi da Tanrigebi ricxvTa CanawerSi 43

§4. naturaluri ricxvebis damrgvaleba 44

§5-6. Tvlis sistemebi: jgufuri mecadineoba 44

§7. monacemebi 45

§8. diagrama piqtograma 45

testi TviTSemowmebisTvis 45

§9. kanonzomiereba 46

§10. naturaluri ricxvebis Sedareba 47

§11. monakveTi. sxivi 48

§12. zomis erTeulebi 48

§13. skala 48

§14. sakoordinato sxivi 49

§15. kuTxe 50

§16. kuTxis gazomva 50

sarCevi

§17. samkuTxedi 50

§18. ricxviTi gamosaxuleba, asoiTi gamosaxuleba 51

§19. logikuri amocanebi 51


I Tavis damatebiTi savarjiSoebi 53

II Tavi

§1. Sekreba 55

§2. Sekrebis kanonebi 55

§3-4. gamokleba. Sekreba-gamoklebis erToblivi Sesruleba 56

§3. gamokleba 56

§4. Sekreba–gamoklebis erToblivi Sesruleba 56

§5. gantoleba 57

§6. amovxsnaT amocanebi 58


II Tavis damatebiTi savarjiSoebi 60

III Tavi

§1. gamravleba 61

§2. gamravlebis kanonebi 62

§3. gamravlebis ganrigebadobis kanoni 62

§4. nulebiT daboloebuli ricxvebis gamravleba 63

§5. mravalniSna ricxvebis gamravleba 63

§6. amovxsnaT amocanebi gantolebis SedgeniT 63

§7. axarisxeba. ricxvis kvadrati da kubi 64


§8. farTobi 65

§9. farTobis sazomi sxva erTeulebi 66

§10. kubi, marTkuTxa paralelepipedi 66

§12. naturaluri ricxvebis gayofa 66

§13. mravalniSna ricxvebis gayofa 67

§15. moqmedebaTa Sesrulebis rigi 68

§17. naSTiani gayofa 68

viTamaSoT 69

§18. naturaluri ricxvis gamyofebi da jeradebi 70

§19. 2-ze, 5-ze da 10-ze gayofadobis niSnebi 71

§20. martivi da Sedgenili ricxvebi 72


III Tavis damatebiTi savarjiSoebi 73

IV Tavi

§1. Cveulebrivi wiladebi 74

§2. amovxsnaT amocanebi 74

§3. wrewiri, wrewiris elementebi 75

§4. wre. seqtori 76

§5. wiladebis Sedareba 76

§6. wesieri da arawesieri wiladebi 77

§7. gayofa da wiladi 77

§8. arawesieri wiladidan mTelis gamoyofa 78


§10. wiladi ricxvebis Sekreba da gamokleba 79

§11. Sereuli ricxvis gadaqceva arawesier wiladad 79

§12. Sereuli ricxvebis Sekreba da gamokleba 80

§13. wiladebis gamravleba da gayofa naturalur ricxvze 81

§14. wiladis ZiriTadi Tviseba 81


IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi 82

amocanebi maTematikis moyvarulTaTvis 83

amoxsnebi, miTiTebebi (amocanebi maTematikis moyvarulTaTvis) 89

Semajamebeli samuSaos nimuSebi 97

Sefasebis rubrikebi Semajamebeli samuSaos nimuSebisTvis 101

instruqcia ist-is gamoyenebiT davalebebis Sesasruleblad 104

moswavlis wignis savarjiSoebis swori pasuxebi 106

5

saxelmZRvanelos Sesaxeb

mizaniV klasSi maTematikis swavlebis ZiriTadi mizania mozardSi azrovnebis unaris ganviTareba, logikuri da kritikuli damokidebulebis Camoyalibeba, maTemati-kis im „anbanis“ aTviseba da gaTaviseba, romelzec unda daSendes Semdgomi codna.

moswavlis wignis struqturamoswavlis wigni dayofilia Tavebad. yoveli Tavi dayofilia paragrafebad. aqe-dan TiToeuls axlavs „testebi TviTSemowmebisaTvis“ da damatebiTi savarjiSo-ebi, romlebic, erTi mxriv, emsaxureba gavlili masalis gamyarebas da Rrmad ga az rebas, xolo – meore mxriv, im unar-Cvevebis Camoyalibebas, romlebic maT mo -amzadebs maTematikis „silamazis“, logikisa da Tanmimdevrulobis aRsaqmela d.

meTodikaparagrafis struqtura maqsimalurad uzrunvelyofs moswavlis CarTulobas sagakveTilo procesSi. yoveli paragrafi iwyeba moswavleebisTvis (individu-aluri an wyvilebSi) gankuTvnili davalebiT. misi gadawyvetis Semdeg mozardi mzadaa axali masalis asaTviseblad, romlis gaazrebas da aTvisebas xels uwyobs paragrafSi CarTuli „individualuri kiTxvebi“, romlebic zog paragrafSi ram-denime adgilas gvxvdeba (imis mixedviT, Tu ramdenad iTxovs amas paragrafSi mo-cemuli masala); amave dros, moswavles da maswavlebels exmareba imis SefasebaSi, Tu ramdenadaa aTvisebuli da gaazrebuli esa Tu is Tematuri momenti.

moswavlis wignSi mravladaa sxvadasxva aqtivobis Semcveli davalebebi: pro-eqti, praqtikuli samuSao...

paragrafis amgvari struqtura uzrunvelyofs moswavleze orientirebuli gakve Tilis Catarebas, romelzec maswavlebeli ar iqneba masalis gadmomcemi da moswavle – pasiuri msmeneli.

moswavle aqtiurad monawileobs sagakveTilo procesSi. yoveli daskvna, ganmarteba da wesi yalibdeba moswavleebis da maswavleblis erToblivi Zalis-xmeviT. yovel Tavs axlavs erTi an ori „testi TviTSemowmebisTvis“, romelTa daniS nulebacaa ara mxolod testSi mocemuli davalebebis Sesruleba, aramed moswavlis TviTSefaseba. muSaobis damTavrebis Semdeg moswavleebs vTxovT, Sexedulebisamebr Seafason davalebebi, rogorc „martivi“, „saSualo sirTulis“ da „rTuli“; daTvalon, Tu ramden amocanas upasuxes (TavianTi azriT) sworad da ramdeni amocanis pasuxSi eparebaT eWvi; Seadginon Sesabamisi cxrili, werti-lovani an svetovani diagramebi, Semdeg naxon testis pasuxebi da gaiazron, Tu ramdenad sworad Seafases maT TavianTi namuSevari. es miexmareba moswavleeb s TviTSefasebis unaris ganviTarebaSi da TavianTi Sexedulebis gadafasebaSic, rac aranakleb mniSvnelovania.

6

maswavleblis wignis struqturamaswavleblis wignSi mocemulia mkafio miTiTebebi an amoxsnebi. gakveTilis msvle loba paragrafis struqturiTaa uzrunvelyofili, magram maswavlebels SeuZlia Secvalos igi Sexedulebisamebr.aseve, maswavleblis wignSi mocemulia Sefasebis sistema, miznebisa da Sedegebis ruka, gakveTilis scenarebi pirveli Tavis yvela paragrafisTvis, xolo danar-Ceni Tavebidan - 1 an 2 paragrafisTvis.

maswavleblis wigns Tan erTvis arastandartuli amocanebi, romelTa da-Zlevac am asakobriv jgufSi adviladaa SesaZlebeli da romelTa nakleboba-sac yovelTvis ganicdida saxelmZRvaneloebi. es amocanebi saSualebas iZleva, maswavlebels xelT hqondes samuSao im moswavleebisaTvis, romlebic klasTan SedarebiT ufro swrafad iTviseben masalas. zemoxsenebuli amocanebi xels uwyob s moswavleTa interesis gaRviZebas, kritikuli azrovnebis Camoyalibebas, problemebisadmi sxvadasxva midgomas. maTi xSiri CarTva sagakveTilo procesSi xels Seuwyobs muSaobas wreebSi (Tu aseTi aris skolaSi), an nawilobriv mainc Seasrulebs am funqcias, wris ararsebobis SemTxvevaSi. maswavlebels Tavadac SeuZlia, Seadginos msgavsi amocanebi mocemuli nimuSebis mixedviT. am amoca-naTa amoxsnebis Cven mier SemoTavazebuli xedva daexmareba maswavleblebs da SesZens arastandartuli amocanebis amoxsnis sxvadasxva xerxis gamoyenebis ga-mocdilebas, rac calsaxad xels Seuwyobs mis profesiul ganviTarebas.

arastandartulad dasmuli amocana an SekiTxva moswavlis mxridan iwvevs erT-gvar SiSs, Tu is amas miCveuli ar aris. maTi daZleva da sirTuleebis gadalaxva moswavleSi amZafrebs Tavdajerebulobas, acxovelebs interess da maTematikis siyvaruls.

maswavleblis wignis bolos mocemulia damxmare literatura, Semajamebeli samuSaos nimuSebi da moswavlis wignSi Sesuli amocanebis/savarjiSoebis pasuxe-bi.

gTavazobT gakveTilis Catarebis zogad sqemas:

I - micemuli individualuri davaleba (5 wT)

II - am davalebebis prezentacia moswavleTa mier (5-10 wT)

III - axali masalis ganxilva (maswavlebeli da moswavleebi erToblivad) (10-15 wT)

IV - axali masalis gamyareba/ganmtkiceba wignSi mocemuli individualuri an wyvilebisTvis gankuTvnili kiTxvebiT (5-10 wT)

V - paragrafSi ganxiluli amoxsnili amocanebis garCeva-gaazreba (xSirad – dis-kusiiTac) (10 wT)

VI - gakveTilis Sejameba, davalebis micema (5 wT)

7

gakveTilebis sanimuSo scenarebi

I Tavi

§1. naturaluri ricxvebi

reziume: moswavleebi gaecnobian naturalur ricxvTa mwkrivs.

moswavleebi SeZleben:

● naturalur ricxvTa mwkrivis Caweras;

● mocemuli ricxvis wina da momdevno ricxvebis dasaxelebas;

● mocemuli ricxvebis Sedarebas;

● cxovrebiseul situaciaSi miRebuli codnis gamoyenebas.

aqtivobis aRwera:

1. maswavlebeli miesalmeba moswavleebs, amoikiTxavs sias, esaubreba nat-uralur ricxvebze. (5wT)

2. kiTxva-pasuxis reJimSi ganixilaven paragrafis dasawyisSi mocemul maprovocirebel (1-5) SekiTxvebs, ris Semdegac ganimarteba naturaluri ricxvebi. (10wT)

3. 6-7 SekiTxvis dasmis mere weren naturalur ricxvTa mwkrivs. (5wT)

4. ganixilaven savarjiSoebs №1-9. (15wT)

5. maswavlebeli avalebs moswavleebs wyvilebisaTvis gankuTvnil №10 amocanaze fiqrs. (5wT)

6. romelime wyvili axdens davalebis amoxsnis demonstrirebas.

maswavlebeli ajamebs gakveTils da moswavleebs aZlevs saSinao davale-bas – savarjiSoebs №11-21. (5wT)

8

§2. rogor Caiwereba naturaluri ricxvebi

reziume: moswavleebi gaecnobian naturaluri ricxvis CanawerSi – Tanri-gis cnebas.


● mocemul ricxvSi cifrebis poziciis mixedviT Tanrigis dasaxelebas;

● ricxvis gaSlas saTanrigo Sesakrebebad;

● saTanrigo Sesakrebebis jamis mixedviT ricxvis Caweras.

aqtivobis aRwera:

1. maswavlebeli miesalmeba moswavleebs, amoikiTxavs sias, Seamowmebs sa-Sinao davalebas da upasuxebs moswavleTa SekiTxvebs / axsnis gaugebar sa-varjiSoebs. (5-10 wT)

2. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron paragrafSi mocemul amo-canebze №3-6. (5-10 wT)

3. moswavleebi axdenen amoxsnili amocanebis prezentacias. (5wT)

4. ganixileba savarjiSoebi №1-12. (15wT)

5. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – savarji-Soebs №13-21. (5wT)

§3. klasebi da Tanrigebi ricxvTa CanawerSi

reziume: moswavleebi gaecnobian klasebs, Tanrigebis cnebas.


● ricxvis sityvieri Canaweris gakeTebas;

● sityvierad dasaxelebuli ricxvis Caweras;

● didi ricxvebis dayofas klasebad da mis wakiTxvas.

aqtivobis aRwera:

1. maswavlebeli miesalmeba moswavleebs, amoikiTxavs sias, Seamowmebs sa-

9

Sinao davalebas da upasuxebs moswavleTa SekiTxvebs / axsnis gaugebar sa-varjiSoebs. (5-10 wT)

2. maswavlebeli esaubreba moswavleebs klasebsa da Tanrigebze. (5wT)

3. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron wyvilebisTvis gankuTvnil amocanebze №1-3. (5wT)

4. wyvilebi prezentaciis saxiT waradgenen amoxsnil amocanebs. (5 wT)

5. winaswar gamzadebuli plakatis daxmarebiT, maswavlebeli gaacnobs moswavleebs klasebs da Sesabamis Tanrigebs; moswavleebi maT dayofen klasebad da waikiTxaven did ricxvebs. (5-10wT)

6. moswavleebi amoxsnian savarjiSoebs №1-7. (10-15wT)

7. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – savarji-Soebs № 7-15. (5wT)

§4. naturaluri ricxvebis damrgvaleba

reziume: moswavleebi gaecnobian naturaluri ricxvebis damrgvalebis wess.

moswavleebi SeZleben: ricxvis damrgvalebas saWiro Tanrigamde.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli esaubreba moswavleebs ricxvebis damrgvalebaze, axdens paragrafSi ganxiluli nimuSebis demonstrirebas. (10 wT)

3. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron paragrafSi mocemul wyvilebisTvis gankuTvnil amocanaze. (5-10 wT)

4. moswavleebi prezentaciis saxiT waradgenen amoxsnil amocanebs. (5 wT)

5. klasSi ganixilaven savarjiSoebs №1-4. (10 wT)

10

6. maswavlebeli ajamebs gakveTils da moswavleebs aZlevs saSinao dava-lebas – savarjiSoebs №5-14. (5 wT)

§5. Tvlis sistemebi

reziume: moswavleebi gaecnobian:

● Zvel egviptur ieroglifur Canawerebs;

● romaul Tvlis sistemebs;

● Tvlis poziciuri sistemis cnebebs.


● egvipturi ieroglifebiT Cawerili ricxvis wakiTxvas da Caweras aTo-biT sistemaSi da piriqiT;

● romauli cifrebiT Cawerili ricxvis wakiTxvas da Caweras aTobiT sistemaSi da piriqiT.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli gaacnobs moswavleebs Zvel egviptur ieroglifebs, T vlis sistemis cnebas. (5 wT)

3. maswavlebeli isaubrebs Tvlis poziciur da arapoziciur sistemebze, aTobiT sistemaze. gaacnobs moswavleebs Tvlis romaul sistemas. (15 wT)

4. klasSi ganixilaven savarjiSoebs № 1-5. (10 wT)

5. maswavlebeli Seajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas № 6-10. (5 wT)

11

§6. jgufuri mecadineoba

pasuxebi ixileT: maswavleblis wigni, „amoxsnebi, miTiTebebi“.


2. maswavlebeli gayofs klass or an sam jgufad.

3. TiToeuli davalebis Sesasruleblad TiTo jgufidan gamodis TiTo bavSvi (yvela davalebaze sxvadasxva moswavle). maswavlebeli urigebs mo-swavleebs da jgufebs winaswar gamzadebul davalebebs (№1-10). TiToeul davalebaze maT (individualur moswavleebsac da jgufebsac) eZlevaT 3 wT (sul 30 wT). moswavlis mier sworad Sesrulebuli davaleba fasdeba 3 quliT, jgufis mier sworad Sesrulebuli davaleba ki – 1 quliT. (1dava-leba fasdeba maqsimum 4 quliT)

4. maswavlebeli jgufebs avalebs, Seasrulon savarjiSo №2. maswavle-blis daxmarebiT, moswavleebi afaseben sxva jgufis mier amoxsnil sa-varjiSos. (10wT)

5. maswavlebeli ajamebs qulebs da acxadebs gamarjvebuls. (5wT)

§7. monacemebi

reziume: moswavleebi gaecnobian raodenobrivi da Tvisobrivi monace-mebis cnebebs.


● monacemebis mowesrigebas cxrilSi;

● cxriliT miwodebuli monacemebidan informaciis amoRebas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli gaacnobs paragrafSi ganTavsebul, an mis mier internet-

12

Si moZiebul monacemebs; esaubreba am monacemebis sworad gaanalizebisa da gadamuSavebis mniSvnelobaze. (10 wT)

3. maswavlebeli avalebs moswavleebs, paragrafSi mocemuli pirveli cxrilis mixedviT upasuxon №1-4 SekiTxvebs. (10 wT)

4. maswavlebeli isaubrebs Tvisobrivsa da raodenobriv monacemebze da ganixilavs paragrafSi garCeul №1 magaliTs, ris safuZvelzec Semoi-tans sixSiris cnebas. (10 wT)

5. Semdeg xdeba ukve ganxiluli magaliTis warmodgena wertilovani dia-gramiT. (5wT)

6. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – savarji-Soebs № 1-7. (5wT)

§8. diagrama, piqtograma

reziume: moswavleebi gaecnobian diagramas, piqtogramas.


● diagramidan da piqtogramidan informaciis amoRebas;

● monacemebis diagramiTa da piqtogramiT warmodgenas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli kiTxva-pasuxis reJimSi ganixilavs paragrafis dasawyisSi mocemul piqtogramas da svetovan diagramas. (10wT)

3. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron da imsjelon paragrafSi mocemul №2-5 davalebebze. (10wT)

4. klasSi ganixilaven savarjiSoebs №1-3. (10wT)

5. maswavlebeli ajamebs gakveTils da moswavleebs aZlevs saSinao dava-lebas – savarjiSoebs №4-9. (5wT)

13

§9. kanonzomiereba

reziume: moswavleebi gaecnobian mimdevrobebs, romelSic aris kanonzo-miereba.

moswavleebi SeZleben: mimdevrobaSi kanonzomierebis danaxvas da Semdeg mis gagrZelebas ramdenime wevriT.

aqtivobis aRwera:


2. axali masalis axsnamde SesaZlebelia, moswavleebma imuSaon testze, romelic maswavlebels SeeZleba, gamoiyenos SefasebisTvisac. (15 wT)

3. maswavlebeli ganixilavs paragrafSi mocemul № 1-3 davalebebs, romelTa safuZvelzec moswavleebi dainaxaven kanonzomierebebs. (15wT)

4. klasSi ganixilaven №1-3 savarjiSoebis a) da b) SemTxvevebs. (5wT)

5. maswavlebeli ajamebs gakveTils da moswavleebs aZlevs saSinao dava-lebas – savarjiSoebs №1-9. (5wT)

§10. naturaluri ricxvebis Sedareba

reziume:

● moswavleebi gaecnobian davalebebs, romlebSic maT moeTxovebaT ricx-vebis dalageba zrdadobiT/klebadobiT;

● moswavleebs warmodgena SeeqmnebaT zrdadoba-klebadobaze.


● ricxvebis Sedarebas;

● ramdenime ricxvis zrdiT an klebiT dalagebas;

● mocemul ricxvze meti an naklebi ricxvebis dasaxelebas.

14

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron paragrafis dasawyisSi mo-cemul №1-4 SekiTxvebze. (5wT)

3. klasSi ganixilaven mocemul davalebebs, ris Semdegac akeTeben daskv-nas, romeli ricxvia meti, Tu isini sxvadasxvaniSnaa? (5wT)

4. maswavlebeli da moswavleebi kiTxva-pasuxis reJimSi ganixilaven erT-nairniSna ricxvebis magaliTebs da ayalibeben erTnairniSna ricxvebis Se-darebis wess. (10wT)

5. maswavlebeli avalebs moswavleebs paragrafSi mocemuli №5 amocanis Sesrulebas. (5wT)

6. klasSi ganixilaven №5 amocanas da №1-3 savarjiSoebs. (5 wT)

7. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – darCe-nil savarjiSoebs.

miTiTeba: davalebebis raodenobisa da mniSvnelobis gaTvaliswinebiT, sasurvelia, es paragrafi iswavlebodes 2 sT.

I sT: davalebebi - kenti nomrebi;

II sT: davalebebi - luwi nomrebi.

§11. monakveTi. sxivi

reziume: moswavleebi gaecnobian monakveTis, paraleluri wrfeebis, sxi-vis cnebebs.


● monakveTis nawilebis, sigrZis angariSs;

● naxazze paraleluri da TanamkveTi wrfeebis nawilebis povnas.

aqtivobis aRwera:

1. maswavlebeli miesalmeba moswavleebs, amoikiTxavs sias, Seamowmebs sa-

15

Sinao davalebas da upasuxebs moswavleTa SekiTxvebs / axsnis gaugebar sa-varjiSoebs. (5-10 wT)

2. maswavlebeli avalebs moswavleebs ifiqron paragrafis dasawyisSi mo-cemul №1 amocanaze. (5wT)

3. amocanis ganxilvis Semdeg maswavlebeli esaubreba wrfeze, sxivze. maT Canawerze. (10wT)

4. moswavleebi ganixilaven №2-3 amocanebs, ris Sedegadac ganmartaven paralelur wrfeebs. (10 wT)

5. klasSi ganixilaven №1-7 savarjiSoebis a) da b) SemTxvevebs. (5wT)

6. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs moswavleebs saSinao dava-lebas – savarjiSoebs №1-9. (5 wT)

§12. zomis erTeulebi

reziume: moswavleebi gaecnobian zomis erTeulebs, maT Tanafardobas.


● mocemuli monakveTis sigrZis gazomvas da am zomis sxvadasxva erTeule-biT warmodgenas;

● wonisa da drois erTi erTeulidan meoreze gadasvlas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron №1-2 SekiTxvebze. (5wT)

3. moswavleebi zomis erTi erTeuliT mocemul sidides gamosaxaven sxva erTeuliT. (10-15 wT)

4. klasSi ganixilaven savarjiSoebs №1-9. (15 wT)

5. maswavlebeli Seajamebs gakveTils da moswavleebs aZlevs saSinao dava-lebas – savarjiSoebs №10-20. (5wT)

16

§13. skala

reziume:

● moswavleebi gaigeben, rom xelsawyoebiT sidideTa gazomvisas gamoiy-eneba skala;

● SeeqmnebaT pirveladi warmodgena masStabze, koordinatebze.


● sxvadasxva sididis gazomvas Sesabamisi xelsawyoTi.

● badeze orientirebas miTiTebuli koordinatebis mixedviT.

● badeze ganTavsebuli obieqtis koordinatebis dasaxelebas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs paragrafis dasawyisSi maTTvis gan-kuTvnili davalebis Sesrulebas. es davaleba martivia, radgan maT ukve ician danayofebiani saxazaviT monakveTis sigrZis gazomva. (10 wT)

3. maswavlebeli gaacnobs moswavleebs wignSi mocemul sxvadasxva sididis gasazom xelsawyoebs. moewyoba diskusia: ganmartaven TiToeuli xelsawy-os skalis danayofis `Sinaarss“, ris Semdegac ganimarteba skalis masSta-bi. (10 wT)

4. maswavlebeli moswavleebs avalebs, ifiqron paragrafSi mocemul indi-vidualur davalebebze. (№3, 4) (10 wT)

5. moswavleebi axdenen namuSevrebis prezentacias. (10 wT)

6. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSiano davalebas. (5 wT)

§14. sakoordinato sxivi

reziume: gaecnobian sakoordinato sxivis cnebas.


17

● mocemuli ricxvis Sesabamisi wertilis aRniSvnas sakoordinato sxivze da piriqiT;

● mocemuli wertilidan mocemuli manZiliT daSorebuli wertilebis koordinatis povnas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli daavalebs moswavleebs, ifiqron paragrafis dasawyisSi mocemul №1-2 amocanebze, romelTa ganxilvis Sedegadac ganmartaven sa-koordinato sxivs. (10 wT)

3. moswavleebi fiqroben №3-5 davalebebze. (5 wT)

4. moswavleebi xdenen amoxsnili amocanebis prezentacias. (5 wT)

5. klasSi ganixilaven savarjiSoebs №1-9 CaTvliT. (10-15 wT)

6. maswavlebeli Seajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – sa-varjiSoebs № 10-17. (5 wT)

§15. kuTxe

reziume: gaecnobian kuTxis, gaSlili da marTi kuTxis cnebebs.

moswavleebi SeZleben: kuTxis daxazvas, Sesabamisi Canaweris gakeTebas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs, daxazon saerTo saTavis mqone ori sxivi da gaaferadon maT mier SemosazRvruli are, ris Semdegac ganmar-tavs `kuTxes~. (5 wT)

18

3. Semdeg avalebs, gadaxazon paragrafSi mocemuli naxazebi da amoiweron yvela kuTxe. (10 wT)

4. moswavleebi adareben namuSevrebs erTmaneTs da pouloben im kuTxeebs, romelTa amowerac gamorCaT. (5 wT)

5. amis Semdeg xazaven da ganmartaven marT da gaSlil kuTxeebs. (5 wT)

6. maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – savarji-Soebs № 1-11. (5 wT)

§16. kuTxis gazomva

reziume: moswavleebi iswavlian transportiris gamoyenebas, gaecnobian kuTxis sazom erTeulebs.


● kuTxis gazomvas transportiris daxmarebiT;

● konkretul amocanebSi kuTxis gradusis zomis angariSs.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli ganumartavs moswavleebs gaSlil da marT kuTxeebs, Sem-deg avalebs maT, ifiqron wyvilebisTvis gankuTvnil № 1-4 amocanebze. (10-15 wT)

3. wyvilebi axdenen amoxsnili amocanebis prezentacias, ris Sedegadac maswavlebeli ganmartavs maxvil, marT da blagv kuTxeebs. (10wT)

4. moswavleebi xsnian №1 savarjiSos. (5-10 wT)

5. maswavlebeli Seajamebs Sedegebs da aZlevs saSinao davalebas – savarji-Soebs № 2-7. (5 wT)

19

§17. samkuTxedi

reziume: moswavleebi gaecnobian maxvilkuTxa, marTkuTxa da blagvkuTxa samkuTxedebs.

moswavleebi SeZleben: mocemuli samkuTxedebidan marTkuTxa, maxvil-kuTxa, blagvkuTxa samkuTxedebis amorCevas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs wyvilebs, ifiqron paragrafis dasawyisSi moce-mul amocanebze № 1-3. (10 wT)

3. wyvilebi warmoadgenen TavianT namuSevrebs, ris Sedegadac ganmartaven marTkuTxa, maxvilkuTxa, blagvkuTxa samkuTxedebs. (10 wT)

4. klasSi, kiTxva-pasuxis reJimSi gaarCeven savarjiSoebs № 1-3. (10-15 wT)

5. maswavlebeli Seajamebs Sedegebs da aZlevs saSinao davalebas – savarji-Soebs № 4-10. (5 wT)

§18. ricxviTi gamosaxuleba, asoiTi gamosaxuleba

reziume: moswavleebi gaixseneben ricxviT, asoiT gamosaxulebas.


● ricxviTi gamosaxulebis mniSvnelobis povnas;

● asoiTi gamosaxulebis mniSvnelobis povnas (cvladis mocemuli mniSvne-lobisaTvis);

● amocanebis amoxsnas cvladis SemotaniT.

aqtivobis aRwera:


20

2. maswavlebeli ganixilavs paragrafis dasawyisSi mocemul maprovoci-rebel amocanas. (5 wT)

3. maswavlebeli daavalebs moswavleebs, Seasrulon paragrafSi mocemu-li № 2-3 davalebebi. (10 wT)

4. klasSi amocanebs ganixilaven kiTxva-pasuxis reJimSi. (5 wT)

5. klasSi xsnian savarjiSoebs №1-3. (10 wT)

6. maswavlebeli Seajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – sa-varjiSoebs №4-15. (5 wT)

§19. logikuri amocanebi

reziume: moswavleebi gaecnobian logikuri amocanebis amoxsnis meTods cxrilis gamoyenebiT.


● amocanis teqstis Sesabamisi cxrilis Sedgenas;

● logikuri amocanis amoxsnas cxrilis meSveobiT.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron amocanaze №1. (5 wT)

3. maswavlebeli axdens №2 amocanis amoxsnis demonstrirebas winaswar momzadebuli plakatebis daxmarebiT (cxrilebi). (15 wT)

4. kiTxva-pasuxis reJimSi amoxsnian amocanas №3 ukve erTi cxrilis meS-veobiT. (5 wT)

5. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron savarjiSoebze №1-2, ris Semdegac moswavleebi axdenen amocanis cxriliT amoxsnis demonstrire-bas. (10 wT)

6. maswavlebeli Seajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas – sa-varjiSoebs №3-10. (5 wT)

21

II Tavi

§2. Sekrebis kanonebi

reziume: SeZleben Sekrebis kanonebis gamoyenebas, rac miexmareba maT mo-qmedebebis ioli xerxiT SesrulebaSi.


● Sekrebis kanonebis gamoyenebas;

● swori Tanmimdevrobis arCevas Sekrebis operaciis Sesrulebisas (advi-li angariSis mizniT);

● miRebuli codnis gamoyenebas ama Tu im amocanis an cxovrebiseuli situaciis gadawyvetisas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli ganixilavs paragrafis dasawyisSi dasmul amocanas da ax-dens qveSmiweriT Sekrebis demonstrirebas. (5 wT)

3. avalebs moswavleebs, Seasrulon paragrafSi mocemuli individualuri davalebebi da am davalebebis fonze gamoTqvan varaudi. (10 wT)

4. mcire diskusiis Semdeg, ganxiluli magaliTebis safuZvelze, moswav-leebi da maswavlebeli erTad ayalibeben Sekrebis gadanacvlebadobis kanons. (5-10 wT)

5. Semdeg ganixilaven paragrafSi amoxsnil amocanas. (5 wT)

6. maswavlebeli dasvams paragrafSi mocemul SekiTxvebs, ris Semdegac ukve moswavleebsac SeeZlebaT, Camoayalibon Sekrebis jufTebadobis kanoni. (5 wT)

7. maswavlebeli iZaxebs romelime moswavles dafasTan, romelic maswavle-blis daxmarebiT axdens Sekrebis Tvisebebis demonstrirebas paragraf Si ganxiluli magaliTebis safuZvelze. (5 wT)

8. maswavlebeli ajamebs Sedegebs da aZlevs saSinao davalebas. (5 wT)

22

§3. gamokleba

reziume: moswavleebi SeZleben ucnobi saklebis, maklebis an sxvaobis povnas.


● gamoklebis operaciis Sesrulebas;

● gamosaxulebaSi ucnobi komponentis povnas;

● mocemuli codnis gamoyenebas sxva disciplinebsa da cxovrebiseul situaciaSi.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron paragrafis dasawyisSi mo-cemul individualur davalebaze da, mcire diskusiis Sedegad, daafiq-sirebs Sedegs. (5-10 wT)

3. maswavlebeli, klasTan aqtiuri TanamSromlobiT, ganixilavs para-grafSi amoxsnil amocanas, ris Sedegadac ganimarteba `sxvaoba~. (5-10 wT)

4. maswavlebeli ganixilavs milionze meti saTanrigo erTeulebis jamis saxis mocemuli ricxvebis Sekreba-gamoklebas da avalebs moswavleebs, ifiqron paragrafSi mocemul individualur 3-6 SekiTxvebze. (5-10 wT)

5. moswavleebi axdenen Sesrulebuli davalebis prezentacias. (5 wT)

6. maswavlebeli ganixilavs paragrafSi amoxsnil magaliTebs, ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas. (5 wT)

23

III Tavi

§2. gamravlebis kanonebi

reziume: moswavleebi gaecnobian gamravlebis gadanacvlebadobisa da jufTebadobis kanonebs.


● aRniSnuli kanonebis gamoyenebas saWiroebis mixedviT;

● gamravlebis operaciis Sesrulebisas swori Tanmimdevrobis arCevas (advili angariSis mizniT);

● ramdenime Tanamamravlis namravlis povnas;

● miRebuli codnis gamoyenebas cxovrebiseul situaciaSi.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli avalebs moswavleebs imsjelon (individualurad an wyvi-lebSi) paragrafis dasawyisSi maTTvis gankuTvnil amocanaze. (5 wT)

3. moswavleTa naazrevis da namuSevrebis prezentacia. (5-10 wT)

4. maswavlebeli ajamebs Sedegebs da xazs usvams imas, rom zogma mocemuli davaleba gadaWra erTi gziT (procesi aRiwereba 12·15 - namravliT), zogma ki meore gziT (procesi aRiwereba 15·12 namravliT), ris Semdegac ayali-beben daskvnas ab=ba. (10 wT)

5. ganixilaven paragrafSi mocemul amocana 2-s da isev amoxsnilisadmi ornairi midgomis safuZvelze akeTeben daskvnas (a·b)·c=a·(b·c). (10 wT)

6. maswavlebeli usvams moswavleebs paragrafSi mocemul individualur SekiTxvebs. (5 wT)

7. maswavlebeli ajamebs gakveTils, ixilavs paragrafis bolos amoxsnil magaliTebs da aZlevs saSinao davalebas. (5 wT)

24

§11. sibrtyis dafarva (mozaika)

reziume: moswavleebi gaiTaviseben, Tu ras niSnavs `sibrtyis dafarva~.


● sibrtyis dafarvis demonstrirebas miTiTebuli figurebiT;

● im figurebis SerCevas, romlebiTac SesaZlebelia sibrtyis dafarva;

● mozaikis damzadebas (iseTi figurebis Seqmnas, romlebiTac SesaZlebe-lia sibrtyis dafarva).

aqtivobis mizani:


2. paragrafi iwyeba mkafio miTiTebebiT, Tu ra qmedebebis Sedegad Segvi-Zlia miviRoT marTkuTxedisgan mozaika. maswavlebeli acnobs moswav-leebs mecadineobis mizans da maTTan erTad SeimuSavebs davalebebis Se-fasebis kriteriumebs. (5 wT)

3. maswavlebeli yofs klass 2 jgufad da avalebs maT mozaikis Seqmnas wignSi mocemuli miTiTebebis mixedviT. (10 wT)

4. maswavlebeli Caibarebs namuSevrebs da avalebs jgufebs, Seasrulon davalebebi №2-4. (20 wT)

5. jgufebi axdenen maT mier Seqmnili mozaikiT sibrtyis nawilis dafarvis demonstrirebas da sxva davalebebis prezentacias. maswavlebeli aZlevs orive jgufs uflebas, dausvan SekiTxvebi mowinaaRmdege gundis warmo-madgenels da afasebs jgufebs. (5 wT)

25

§18. naturaluri ricxvis gamyofebi da jeradebi

reziume: moswavleebi gaecnobian naturaluri ricxvis gamyofisa da jeradis cnebebs.


● mocemuli ricxvis gamyofebis povnas;

● mocemuli ricxvis jeradebis povnas;

● gamyofis da jeradis cnebis gamoyenebiT, konkretuli davalebis Ses-rulebas;

● cxovrebiseul situaciebSi im situaciaTa amocnobas, romelTa gadasaW-reladac saWiroa ricxvis gamyofis/jeradis gamoyeneba.

aqtivobis aRwera: (gakveTili mimdinareobs kiTxva-pasuxis reJimSi)


2. maswavlebeli sTxovs moswavleebs, upasuxon paragrafis dasawyisSi dasmul 1-3 SekiTxvebs, ris Sedegadac maswavlebeli da moswavleebi er-Tad ayalibeben ricxvis gamyofis cnebas. (10 wT)

3. maswavlebeli avalebs moswavleebs, ifiqron №4-5 SekiTxvebze, ris Sedegadac, mcire diskusiis Semdeg, ayalibeben ricxvis jeradis cnebas. (10 wT)

4. Semdeg maswavlebeli avalebs moswavleebs №6-7 individualuri SekiTx-vebis gaazrebas, romelTa prezentaciis Sedegad ayalibeben daskvnas: „b ricxvis jeradi miiReba b ricxvis gamravlebiT raime ricxvze“. (10 wT)

5. maswavlebeli ganixilavs paragrafSi dasmul №7 individualur dava-lebas, romlis saSualebiTac moswavleebi gaiazreben yovelive zemoT ganxiluls. (5 wT)

6. maswavlebeli ajamebs gakveTils №1-3 SekiTxvebiT da aZlevs saSinao davalebas. (5wT)

26

IV Tavi

§3. wrewiri, wrewiris elementebi

reziume: moswavleebi gaecnobian wrewiris elementebs.


● wrewiris elementebis garCevas da sworad dasaxelebas;

● miTiTebis mixedviT, Sesabamisi naxazis Sesrulebas;

● wrewiris elementebs Soris mimarTebebis danaxvas.

aqtivobis aRwera:


2. maswavlebeli svams individualur SekiTxvebs, romelTa daxmarebiTac moswavleebi gaixsneben wrewiris ganmartebas, radiusis, centris cnebebs. (5 wT)

3. maswavlebeli ganmartavs qordas, diametrs, rkals da centralur kuTxes. (10 wT)

4. maswavlebeli awyvilebs moswavleebs da avalebs maT, daxazon wrewiri da misi is elementebi, romelTa ganmartebebic axla iswavles; daamyaron am elementebs Soris kavSiri. (10 wT)

5. zemoT aRniSnuli savarjiSos safuZvelze maswavlebeli da moswavleebi erToblivad akeTeben daskvnebs wrewiris elementebs Soris damokideb-ulebaze. (10 wT)

6. maswavlebeli Seajamebs gakveTils savarjiSoebSi mocemul №1-3 SekiTxvebiT da aZlevs saSinao davalebas. (5 wT)

27

prezentaciebi

adamiani adreuli asakidan unda mieCvios sakuTari azris koreqtulad da kvalificiurad gadmocemas. am unaris Camoyalibebas mravali faq-tori uSlis xels^^: auditoriis SiSi, TviTdajerebulobis nakleboba, me-tyvelebis aparatis arasrulyofileba da sxva.

zemoT xsenebuli unaris CamoyalibebaSi mniSDvnelovani roli SeiZleba iTamaSos Cveul garemoSi, anu klasis winaSe sakuTari naazrevis prezent-aciam, amitom moswavlis mier prezentaciis Catarebis dros, sasurvelia, maswavlebelma yuradReba gaamaxvilos SDemdeg sakiTxebze:

1. saubrobs faqtebze, argumentebze dayrdnobiT, sargeblobs winaswar momzadebuli CanawerebiT;

2. auditorias Tavdajerebulad mimarTavs, amyarebs TvaliT kontaqts, saubrobs gamarTulad;

3. iyenebs vizualur masalas;

4. prezentaciis dasawyisi da daboloeba efeqturia;

5. icavs drois limits.

28

moswavlis Sefasebis sistema

moswavlis Sefasebis mizani, principebi da amocanebi

1. moswavlis Sefasebis mTavari mizania swavla-swavlebis xarisxis marTva, rac gulisxmobs, erTi mxriv, swavlis xarisxis gaumjobesebaze zrunvas da, meore mxriv, swavla-swavlebis xarisxis monitorings. Sefaseba unda iZleodes infor-macias moswavlis individualuri progresis Sesaxeb.

2. moswavlis Sefaseba aris swavla-swavlebis ganuyofeli nawili. Tanamimdevru-li saganmanaTleblo procesis uzrunvelsayofad, moswavlis Sefaseba unda dae-fuZnos swavlis konstruqtivistul principebs.

3. moswavlis Sefasebis ZiriTad amocanebs warmoadgens:

a) aCvenos rogor mimdinareobs moswavlis codnis konstruirebis procesi da mexsierebaSi codnaTa urTierTdakavSireba;

b) axali saswavlo sakiTxis/Temis dawyebamde daadginos moswavlis winare codna da warmodgenebi;

g) gamoavlinos, ramdenad axerxebs moswavle sakuTari Zlieri da susti mxaree-bis damoukideblad Sefasebas, aseve ramdenad gaazrebul da efeqtian nabijebs dgams igi sakuTari winsvlis xelSesawyobad;

d) moicvas samive kategoriis codna;

e) aCvenos, ramdenad axerxebs moswavle codnis erTobliobaTa funqciurad gam-oyenebas Sinaarsian konteqstebSi.

4. ZiriTadi amocanebis gadasaWrelad moswavlis SefasebaSi prioriteti mieni-Weba kompleqsur, konteqstis mqone davalebebs, romelTa Sesruleba moswavles ubiZgebs codnis sxvadasxva komponentis interaqtiulad da Tanadroulad gam-oyenebisken.

ganmsazRvreli da ganmaviTarebeli Sefaseba

1. Sefaseba SeiZleba iyos: ganmsazRvreli da ganmaviTarebeli.

2. ganmsazRvreli Sefaseba adgens moswavlis miRwevis dones sagnobrivi saswav-lo gegmis SedegebTan mimarTebaSi.

3. ganmaviTarebeli Sefaseba adgens TiToeuli moswavlis ganviTarebis dinamikas da mimarTulia swavlis xarisxis gaumjobesebaze.

amonaridi „erovnuli saswavlo gegmidan“

29

ganmsazRvreli da ganmaviTarebeli Sefasebebis aRweriloba

ganmaviTarebeli ganmsazRvreli

miznebi swavlis xarisxis gaum-jobeseba;

moswavlis winsvlisa da ganviTarebis xelSewyo-ba.

moswavlis akademiuri miRwevis donis dad-gena sagnobrivi sas-wavlo gegmis SedegebTan mimarTebaSi.

amocanebi codnis konstruirebisa da codnaTa urTierT-dakavSirebis procesis Sefaseba;

winare codnis/warmod-genebis dadgena;

moswavlis mier Tavisive Zlieri da susti mxa-reebis dadgenis unaris Sefaseba;

moswavlis mier sakuTari winsvlis xelSesawyobad gaazrebuli nabijebis gadadgmis unaris Se-faseba;

codnis samive kategori-is aTvisebis procesis Sefaseba;

codnis erTobliobaTa funqciurad gamoyenebis unaris Sefaseba.

codnaTa urTierTdakav-Sirebis unaris Sefaseba;

codnis samive kategori-is gamoyenebis unaris Sefaseba;

codnis erTobliobaTa funqciurad gamoyenebis unaris Sefaseba.

warmatebis kriteriumi ganxorcielebuli wins-vla winare SedegebTan/ winare donesTan Sedar-ebiT.

miRwevis done sagno-brivi saswavlo gegmis moTxovnebTan SedarebiT

Semfasebeli da Se-fasebis formebi

maswavlebeli: zepirsi-tyvieri an werilobiTi ukukavSiri, wamaxalise-beli miTiTebebi, sim-boluri niSnebi da a.S.

moswavleebi: TviTSe-fasebiT; urTierTSe-fasebiT.

maswavlebeli: qula (SeiZleba axldes komen-tari Zlieri da susti mxareebis aRweriT, xarvezebis gamosaswore-beli miTiTebebiT).

30

akademiuri miRwevis doneebi da Sefasebis sistema

moswavleTa akademiuri miRwevebi fasdeba aTquliani sistemiT xuTi donis mixedviT:

qulebi Sefasebis doneebi

1 0maRali

9

8saSualoze maRali

7

6saSualo

5

4saSualoze dabali

3

2dabali

1

Sefaseba dawyebiT, sabazo da saSualo safexurebze

1. I-IV klasebsa da V klasis pirvel semestrSi mxolod ganmaviTarebeli Sefaseba gamoiyeneba. am klasebSi wlis bolos sagnis maswavleblebma unda daweron mo-swavlis mokle werilobiTi Sefaseba, romelSic daaxasiaTebs moswavles, aRniS-navs mis warmatebebs da miuTiTebs, raSi sWirdeba moswavles daxmareba sakuTari SesaZleblobebis ukeT gamosavlenad. klasis damrigebelma, sakuTari da sxva maswavleblebisagan miRebuli informaciis safuZvelze, IV klasis bolos unda daweros Semajamebeli werilobiTi Sefaseba.

2. V klasis meore semestrsa da VI-XII klasebSi ganmaviTarebeli da ganmsazRvre-li Sefaseba gamoiyeneba. moswavle fasdeba aTquliani sistemiT, yvelaze dabali qula aris 1, xolo yvelaze maRali qula - 10.

3. V-XII klasebSi sportis sagnobriv jgufSi gaerTianebul sagnebSi, saganSi „sag-zao niSnebi da moZraobis usafrTxoeba“ da arCeviT sagnebSi moswavle fasdeba CaTvlis sistemiT: CaeTvala/ar CaeTvala.

moswavlis Sefasebis komponentebi

1. semestris ganmavlobaSi moswavleebi fasdebian Semdegi sami komponentis mixedviT:

31

a) mimdinare saSinao davaleba;

b) mimdinare saklaso davaleba;

g) Semajamebeli davaleba.

2. maswavlebels SeuZlia, semestris ganmavlobaSi ganmaviTarebeli Sefaseba gamoiyenos nebismier komponentSi.

3. semestris ganmavlobaSi ganmsazRvreli SefasebiT moswavleebi fasdebian Sem-deg komponentebSi:

a) mimdinare saklaso davaleba (V klasis meore semestri, VI-XII klasebi),

b) mimdinare saSinao davaleba (VII-XII klasebi),

g) Semajamebeli davaleba (V klasis meore semestri, VI-XII klasebi).

4. am muxlis me-3 puqtiT gansazRvrul komponentebs erTnairi wona aqvs.

5. I-VI klasebSi saSinao davalebis komponentSi gamoiyeneba mxolod ganmaviTare-beli Sefaseba.

6. I-IV klasebsa da V klasis pirvel semestrSi saklaso da Semajamebel davale-baTa komponentebSi gamoiyeneba mxolod ganmaviTarebeli Sefaseba.

7. V klasis meore semestrsa da VI-XII klasebSi saklaso da Semajamebel davale-baTa komponentebSi gamoiyeneba rogorc ganmsazRvreli, aseve ganmaviTarebeli Sefaseba.

I-IV klasebi da V klasis pirveli

semestri

V klasis meore semestri da VI

klasi

sabazo da saSualo

safexurebi

mimdinare saSinao davaleba

ganmaviTarebeli Sefaseba



ganmsazRvreli Sefaseba

mimdinare saklaso davaleba






Semajamebeli davaleba






8. Semajamebeli davalebis komponentSi savaldebuloa kompleqsuri, konteqs-tis mqone davalebebis gamoyeneba (mag., eses dawera, proeqtis momzadeba, labo-ratoriuli kvlevis Catareba, referatis dawera, amocanis amoxsna, saxviTi da gamoyenebiTi xelovnebis nimuSis Seqmna, moTxrobis Sedgena, monacemTa bazis Seqmna, konkretuli problemis gadaWra, savele-gasvliTi samuSaos an saswavlo eqskursiis angariSis momzadeba da sxv.). amgvar davalebaSi Sesrulebuli samuS-aos mravalmxrivi SefasebisaTvis pedagogma unda SeimuSaos moswavleebis Se-fasebis kriteriumebi.

32

9. erovnuli saswavlo gegma V klasis meore semestris, VI klasis da sabazo-saSu-alo safexurebis TiToeuli sagnisaTvis gansazRvravs semestris ganmavlobaSi Casatarebeli Semajamebeli davalebebis savaldebulo minimalur raodenobas.

10. moswavle valdebulia Seasrulos klasSi Catarebuli yvela Semajamebeli davaleba (erovnuli saswavlo gegmiT dadgenili savaldebulo minimumi da skolis mier damatebiT dadgenili, am ukanasknelis arsebobis SemTxvevaSi).

11. Tu moswavle ar Seasrulebs romelime Semajamebel davalebas gacdenis gamo, skola valdebulia, misces mas gacdenili Semajamebeli davalebebis aRdgenis saSualeba. Semajamebeli davalebebis aRdgenis vadebi da misi Catarebis forma ganisazRvreba saskolo saswavlo gegmiT.

12. TiToeuli maswavlebeli valdebulia, kaTedras warudginos mis mier klasSi Catarebuli Semajamebeli davalebebis dokumentacia. aRniSnul dokumentacia-Si warmodgenili unda iyos: Semajamebeli davalebis nomeri, Semajamebeli dava-lebis piroba, sagnis standartis is Sedegi/Sedegebi, romlis Sefasebasac emsax-ureba konkretuli Semajamebeli davaleba; kriteriumebi, romliTac Sefasdeba es davalebebi; aseve, moswavleebis mier Sesrulebuli da maswavleblis mier Se-fasebuli Semajamebeli davalebis ramdenime nimuSi an Sesrulebuli Semajame-beli davalebis amsaxveli vizualuri masala.

ganmsazRvreli Sefasebis qulaTa saxeobebi

zogadsaganmanaTleblo sistemaSi gamoiyeneba ganmsazRvreli Sefasebis Semdegi saxeobebi:

a) sagnis mimdinare saklaso, mimdinare saSinao da Semajamebeli davalebebis qulebi, romlebsac moswavle iRebs semestris ganmavlobaSi;

b) sagnis semestruli qula – saganSi miRebuli Sefaseba TiToeul semestrSi;

g) sagnis wliuri qula – semestruli qulebidan gamomdinare Sefaseba saganSi. gamonakliss warmoadgens mexuTe klasis wliuri qula, romelic meore semestris sagnis semestruli qulis identuria. wliur qulaSi SeiZleba wliuri gamocdis qulac aisaxos, Tu aseTi gamocda gaTvaliswinebulia saskolo saswavlo gegmiT da skolis mier gansazRvrulia, rom mas gavlena eqneba sagnis wliur qulaze.

qulebis gamoangariSebis wesi

1. sagnis semestruli qulis gamoangariSebis wesi:

a) moswavlis mier semestris ganmavlobaSi sxvadasxva komponentSi miRebuli qulebis jami unda gaiyos miRebuli qulebis raodenobaze;

b) miRebuli qula unda damrgvaldes mTelis sizustiT (mag., 6.15 mrgvaldeba 6-mde, 7.49 mrgvaldeba 7-mde, 8.5 mrgvaldeba 9-mde);

g) im SemTxvevaSi, Tu moswavles ara aqvs Sesrulebuli yvela Catarebuli Semaj-amebeli davaleba, misi semestruli qulis gamosaangariSeblad sxvadasxva kom-ponentSi miRebuli qulebis jami unda gaiyos miRebuli qulebis raodenobisa da Seusrulebeli Semajamebeli davalebebis raodenobis jamze;

33

d) Tu semestris ganmavlobaSi skolidan skolaSi gadasvlisas aRmoCndeba, rom mimReb skolaSi romelime saganSi/sagnebSi Catarebulia Semajamebeli dava-lebis/davalebebis ufro meti raodenoba, vidre gamSveb skolaSi, mimRebi skola moswavlis Semajamebeli davalebis raodenobas daiTvlis gamSveb skolaSi dad-genili da moswavlis mier Sesrulebuli, aseve mimReb skolaSi moswavlis gad-mosvlis momentidan Catarebuli da mis mier Sesrulebuli Semajamebeli dava-lebebis mixedviT;

e) 36-e muxlis me-2 punqtiT gaTvaliswinebuli semestruli gamocdis Cabarebis SemTxvevaSi, semestruli qula gamoiTvleba misi gaTvaliswinebiT: gamocdis qula emateba sagnis semestrul qulas da jami iyofa orze.

2. sagnis wliuri qulis gamoangariSebis wesi:

a) sagnis wliuri qulis gamosaangariSeblad sagnis semestruli qulebis jami unda gaiyos orze;

b) sagnis wliuri qula mrgvaldeba mTelis sizustiT (mag., 7.25 mrgvaldeba 7-mde, 4.49 mrgvaldeba 4-mde, 9.5 mrgvaldeba 10-mde);

g) Tu saskolo saswavlo gegma iTvaliswinebs wliuri gamocdis Catarebas da gansazRvrulia, rom am gamocdis qulac aisaxeba sagnis wliur qulaze, maSin sa-gnis wliuri qula sami (ori - sagnis semestruli da erTi - gamocdis) qulis sa-Sualo ariTmetikulia (damrgvalebuli mTelis sizustiT);

d) Tu moswavles, skolidan skolaSi semetris mimdinareobisas gadasvlis gamo, mouxdeba gansxvavebuli sagnebis swavla da manamde naswavl saganSi miRebuli aqvs 32-e muxlis me-3 punqtiT gaTvaliswinebuli Sefaseba, romlis saSualo ariTmetikuli aris 5.0 an meti qula, es qula daufiqsirdeba naswavli sagnis wliur qulad. amasTan, mimRebma skolam unda Seafasos moswavle axal gansxvave-bul saganSi, Tu es eswreba semestris dasrulebamde;

e) moswavlis mier semestris dasrulebis Semdeg skolidan skolaSi gadasvlis gamo, mimReb skolaSi gansxvavebuli sagnis swavlis SemTxvevaSi, gansxvavebuli sagnebis semestruli qulebi aRiricxeba, rogorc ori damoukidebeli sagnis wliuri qula. (mag., Tu moswavle pirvel semestrSi ucxour enad swavlobda franguls, meore semestrSi ki frangulis nacvlad - germanuls, maSin franguli enis semestruli qula gadadis franguli enis wliur qulad, xolo germanuli enis semestruli qula - germanuli enis wliur qulad).

3. safexuris qulis gamoangariSebis wesi:

a) safexuris qulis gamoTvlisas jamdeba safexuris manZilze naswavli yvela sa-gnis wliuri qula da jami iyofa wliuri qulebis saerTo raodenobaze;

b) safexuris qula mrgvaldeba meaTedis sizustiT (mag., 6.43 mrgvaldeba 6.4-mde, 7.58 mrgvaldeba 7.6-mde, 9.75 mrgvaldeba 9.8-mde).

34

axali erovnuli saswavlo gegmiT gansazRvruli maTematikis programa

V klasSi wlis bolos misaRwevi Sedegebi da indikatorebi

V კლასი წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და ინდიკატორები

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები

მათ.V.1. მოსწავლეს შეუძლია ახალი რიცხვითი სახელების და პოზიციური სისტემის გამოყენება და ნატურალური რიცხვების კლასიფიკაცია. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: კითხულობს მილიონზე დიდ რიცხვებს ახალი რიცხვითი სახელების გამოყენებით (მაგალითად,

ტრილიონი და ა.შ.); განმარტავს ამ რიცხვით სახელებს; პოულობს ახალი რიცხვითი სახელით მოცემული (მილიონზე) დიდი რიცხვის რიგს (მაგალითად,

რამდენი ციფრისგან შედგება ათობით პოზიციურ სისტემაში ჩაწერილი ასეთი რიცხვი?); იყენებს 10-ის ხარისხებს რიცხვების ჩაწერისას. მსჯელობს ათობითი პოზიციური სისტემის

უპირატესობაზე სხვა რიცხვით სისტემებთან შედარებით (მაგალითად, ეგვიპტური ან რომაული სისტემა);

პოულობს მოცემული ერთნიშნა და ორნიშნა რიცხვების ჯერადებსა და გამყოფებს; განასხვავებს კენტ, ლუწ, მარტივ და შედგენილ რიცხვებს, ასაბუთებს 2-ზე და 5-ზე გაყოფადობის

ნიშნებს; იყენებს რიცხვის კვადრატის ცნებას, ამოიცნობს ორნიშნა ნატურალურ რიცხვებს შორის

ნატურალური რიცხვის კვადრატს.

მათ. V.2. მოსწავლეს შეუძლია წილადების წაკითხვა, გამოსახვა, შეფასება, შედარება და დალაგება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

კითხულობს და გამოსახავს ჩვეულებრივ და შერეულ წილადებს; უთითებს მათ ჩანაწერში წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს, მთელ და წილად ნაწილებს;

გამოსახავს ერთეულის ნაწილებს რიცხვით სხივზე და აღნიშნავს ტოლ ნაწილებს; ითვლის ასეთი ნაწილების შესაბამისი ბიჯით (მათ შორის ერთეულის გავლით);

ნიმუში 1

ნიმუში 2

35

ადარებს ორ წილადს, მათ შორის წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით; წერს შერეულ წილადს არაწესიერი წილადის სახით და პირიქით; ახდენს (წესიერი) წილადის

ცნების სხვადასხვაგვარ ინტერპრეტაციას და მსჯელობს მათ შორის კავშირებზე (წილადი, როგორც ორი ნატურალური რიცხვის გაყოფის შედეგის ჩანაწერი, ერთეულის ნაწილი, მთლიანი ჯგუფის ქვეჯგუფი და როგორც "რიცხვით სხივზე" გარკვეული ადგილი).

მათ.V.3. მოსწავლეს შეუძლია ნატურალურ რიცხვებზე და ტოლმნიშვნელიან წილადებზე მოქმედებების შესრულება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს და იყენებს ნატურალურ რიცხვებზე მოქმედებათა შესრულების ადეკვატურ ხერხს; ნაშთით გაყოფის შემთხვევაში ახდენს ნაშთის ინტერპრეტაციას ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით;

ახდენს ერთნაირი მნიშვნელის მქონე მარტივ წილადებზე არითმეტიკული მოქმედებების დემონსტრირებას და მოქმედებათა შედეგის ინტერპრეტაციას მოდელის გამოყენებით (მაგალითად, ნამცხვრის ნაჭრები);

მსჯელობს, თუ როგორ იცვლება წილადი მისი მხოლოდ მნიშვნელის ან მხოლოდ მრიცხველის "-ჯერ/-ით" გაზრდით ან შემცირებით; ასაბუთებს პასუხს (მაგალითად, მოდელის გამოყენებით);

იყენებს მოქმედებათა თვისებებს და მათ შორის კავშირებს შერეულ რიცხვებზე გამოთვლების შესრულებისას/მათ გასამარტივებლად (შერეული რიცხვების შეკრება/გამოკლება; წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება).

მათ.V.4. მოსწავლეს შეუძლია ზომის სხვადასხვა ერთეულის ერთმანეთთან დაკავშირება და გამოყენება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

ერთმანეთთან აკავშირებს სიგრძისა და ფართობის ერთეულებს, იყენებს რიცხვის კვადრატის ჩანაწერს ამ კონტექსტში;

ერთმანეთთან აკავშირებს ფართობის სხვადასხვა ერთეულს; გამოსახავს ფართობის დიდ ერთეულს მცირე ერთეულის გამოყენებით;

იყენებს დროის 12 და 24-საათიან ფორმატებს და არითმეტიკული მოქმედებების გამოყენებით განსაზღვრავს დროს და დროის ინტერვალს;

იყენებს ნაშთით გაყოფას ზომის მოცემულ ერთეულებში მონაცემის სხვა ერთეულით გამოსახვისას (მაგალითად, რამდენი საათია 50000 წამი).

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

36

მათ. V.5. მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების გამოსახვა და აღწერა. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

აღწერს (მათ შორის რეალურ ვითარებაში) რაიმე სიდიდის თანაბარ ცვლილებას, რომელიც მიიღება მუდმივი სიდიდის მიმატებით/გამოკლებით;

მოცემული დამოკიდებულებისათვის თვისებრივად აღწერს, თუ რა გავლენას ახდენს ერთი სიდიდის ცვლილება მასზე დამოკიდებულ მეორე სიდიდეზე და სხვა ატრიბუტებზე (მაგალითად, "ერთის ზრდა გამოიწვევს მეორის ზრდას", "ზღვის დონესთან შედარებით უფრო მეტი სიმაღლე რუკაზე უფრო მუქია");

ერთი ცვლადის შემცველ მოცემულ ასოით გამოსახულებაში, სხვადასხვა რიცხვის ჩასმით ავსებს ცვლადის მნიშვნელობებსა და გამოსახულების მნიშვნელობებს შორის დამოკიდებულების გამომსახველ ცხრილს, რომელშიც ცვლადის მნიშვნელობების შესაბამისი სვეტი/სტრიქონი წინასწარაა შევსებული.

მათ. V.6. მოსწავლეს შეუძლია ალგებრული გამოსახულების შედგენა და გამარტივება ამოცანის ამოხსნისას. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

ადგენს რეალური ვითარების ან მისი სიტყვიერი აღწერის შესაბამის ტოლობას, უტოლობას ან განტოლებას (რომელშიც უცნობი არის ტოლობის მხოლოდ ერთ მხარეს);

არითმეტიკული ოპერაციების გამოყენებით ტექსტური ამოცანის ამოხსნისას, სვამს კითხვებს ამოცანის პირობაში არასრული მონაცემების შესავსებად (მაგალითად, ამოცანის პირობა: “მოსწავლემ სამ ფანქარში 60 თეთრი გადაიხადა. რა ღირს ერთი ფანქარი?” დაკლებული მონაცემების შესავსებად შეიძლება დაისვას კითხვა: “სამივე ფანქრის ფასი ტოლია?”);

იყენებს შეკრებისა და გამრავლების კომუტაციურობას, ასოციაციურობას და შეკრების მიმართ გამრავლების დისტრიბუციულობის თვისებებს (ერთი ცვლადის შემცველი) ასოითი გამოსახულებების გასამარტივებლად.

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ. V.7. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ფიგურების ამოცნობა, აღწერა და გამოსახვა. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: უთითებს წრის/წრეწირის ელემენტებს; კორექტულად იყენებს წრეწირთან/წრესთან

დაკავშირებულ ტერმინებს (ცენტრი, დიამეტრი, რადიუსი, ქორდა); ყოფს წრეწირს/წრეს ტოლ (ნახევარი, მეოთხედი) რკალებად/სექტორებად; იყენებს მათ კუთხეების

შესადარებლად და დასაჯგუფებლად (ბლაგვი, მართი, მახვილი და გაშლილი); ამზადებს მართკუთხა პარალელეპიპედისა და კუბის შლილს; მოცემული შლილის მიხედვით

ამზადებს მოდელს და ასახელებს მიღებულ ფიგურას.

მათ. V.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურებს შორის და ფიგურის ელემენტებს შორის მიმართებების დადგენა.

37

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: ახდენს სამკუთხედების კლასიფიკაციას მისი კუთხეების მიხედვით (ბლაგვკუთხა, მართკუთხა,

მახვილკუთხა); უთითებს ბრტყელი ფიგურის პარალელურ და ურთიერთთანამკვეთ გვერდებს, მსჯელობს

გადაიკვეთება თუ არა მოცემული გვერდები გაგრძელების შედეგად; სივრცული ფიგურის მოდელზე უთითებს პარალელურ და ურთიერთთანამკვეთ წახნაგებს,

მსჯელობს, გადაიკვეთება თუ არა მოცემული წახნაგები მათი გავრცობის შედეგად.

მათ.V.9. მოსწავლეს შეუძლია ბრტყელი ფიგურების ფართობების პოვნა და შედარება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

დაფარავს ფიგურას ერთნაირი არაგადამფარავი ფიგურებით და ასახელებს დასაფარად საჭირო ფიგურების მთლიან რაოდენობას;

ფიგურათა ურთიერთშეთავსებით ადარებს ან აფასებს ფიგურების ფართობებს (მაგალითად, როდესაც ერთი ფიგურა თავსდება მეორეში, მაშინ მისი ფართობი უფრო ნაკლებია);

იყენებს ფართობის ადიციურობას არაგადამფარავი ფიგურების კომბინაციით მიღებული ფიგურის ფართობის მოსაძებნად.

მათ.V.10. მოსწავლეს შეუძლია ორიენტირება ბადით დაფარულ არეზე. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: კოორდინატების (სიმბოლოთა წყვილის) გამოყენებით აღწერს მდებარეობას და იყენებს ამ ხერხს

რეალურ ვითარებაში (მაგალითად, კინოთეატრი, გემების ჩაძირობანა, ჭადრაკის დაფა, რუკაზე ობიექტის მოძებნა);

გადაადგილდება უჯრიან ფურცელზე ინსტრუქციების მიხედვით და აღწერს, როგორ მიაღწევს მოცემული უჯრიდან სხვა უჯრამდე (მაგალითად, ორი უჯრა მარცხნივ, შემდეგ ერთი უჯრა ზევით);

აღწერს რუკაზე ორი ან მეტი პუნქტის ურთიერთმდებარეობას ოთხი მიმართულების გამოყენებით (მაგალითად, ჩრდილოეთით, დასავლეთით).

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ.V.11. მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო თვისებრივი და რაოდენობრივი მონაცემების მოპოვება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

შეკითხვების მოცემული ჩამონათვალიდან შეარჩევს და იყენებს საჭირო მონაცემთა შესაგროვებლად შესაფერის შეკითხვას/შეკითხვებს;

მოცემულ თემასთან დაკავშირებით სვამს კითხვებს შესაფერისი ფორმით (ღია, დახურული, რამდენიმე ალტერნატიული არჩევანის მომცველი) და ამ კითხვების საშუალებით მოიპოვებს საჭირო მონაცემებს;

38

ირჩევს მონაცემთა შეგროვების შესაფერის საშუალებას (დაკვირვება, გაზომვა, მონაცემთა ამოკრება მოცემული ერთობლიობიდან) და იყენებს მას, ასაბუთებს თავის არჩევანს.

მათ.V.12. მოსწავლეს შეუძლია თვისებრივი და რაოდენობრივი მონაცემების დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით წარმოდგენა. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

კლასიფიცირებული მონაცემებისთვის ცალსახა შესაბამისობის მითითებული წესით ქმნის პიქტოგრამას, რომლის ერთი სიმბოლო შეესაბამება რამდენიმე მონაცემს;

ქმნის მარტივ ცხრილს არაუმეტეს ოცი კლასიფიცირებული და დალაგებული მონაცემისთვის (მაგალითად: განსაზღვრავს ჭდეებს, სათაურს, სვეტებისა და სტრიქონების რაოდენობას და ადგენს მონაცემთა ცხრილს);

კლასიფიცირებული მონაცემებისთვის ურთიერთცალსახა შესაბამისობის წესით ქმნის სვეტოვან დიაგრამას უჯრებიან ფურცელზე (მაგალითად: განსაზღვრავს ჭდეებს, სათაურს, სვეტების რაოდენობას და აფერადებს უჯრებიანი ფურცლის შესაბამისი სიგრძის ზოლებს).

მათ.V.13. მოსწავლეს შეუძლია თვისებრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა ინტერპრეტირება და ელემენტარული ანალიზი. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

სვამს საძიებო/შემაჯამებელ კითხვებს მონაცემების შესახებ, რომლებიც წარმოდგენილია სვეტოვანი დიაგრამის სახით (მაგალითად, ნაყინის რამდენი განსხვავებული სახეობა უნდა ვიყიდოთ კლასის ზეიმისთვის? თითოეული სახეობის რამდენი ნაყინი? ნაყინის რომელი სახეობა უყვარს უფრო მეტ ჩვენს თანაკლასელს –შოკოლადის თუ მარწყვის? ნაყინის რომელი სახეობაა ყველაზე პოპულარული ჩვენი კლასელებისთვის? გოგონებისთვის? ვაჟებისთვის? რატომ?);

ადარებს მონაცემთა ორ ერთობლიობას და წარმოაჩენს თვისებრივ და რაოდენობრივ მსგავსებასა და განსხვავებას მათ შორის (თვისებრიობა უკავშირდება ჯგუფში მონაცემთა გვარობას/ტიპს, მონაცემთა გამეორებადობას, პოზიციას და თანმიმდევრობას, გამორჩეულ მონაცემებს);

გამოთქვამს ვარაუდს მონაცემთა საფუძველზე (მაგალითად, გამოკითხვის - “ვინ რა გადაადგილების საშუალებას იყენებს სკოლაში მისასვლელად”- შედეგების საფუძველზე გამოთქვამს ვარაუდს, დაახლოებით რამდენი ბავშვი ცხოვრობს სკოლასთან ახლოს).

პროგრამის შინაარსი 1. ნატურალური რიცხვები და მათზე მოქმედებები; 2. მილიონზე მეტი ნატურალური რიცხვები (მილიარდი, ტრილიონი და ა.შ.); 3. სხვა რიცხვითი სისტემების გაცნობა; 4. არაუარყოფითი წილადები ტოლი მნიშვნელით და მათზე მოქმედებები; 5. სხვადასხვამნიშვნელიანი წილადების შედარება, დალაგება და გამოსახვა; 6. რიცხვის კვადრატი ფართობის კონტექსტში; 7. კავშირი სიგრძისა და ფართობის ერთეულებს შორის;

39

8. დროის ერთეულები (საათები, წუთები, წამები), საათის 12 და 24-საათიანი ფორმატი; 9. წონის ერთეულები (კილოგრამი, გრამი, მილიგრამი); 10. ორ სიდიდეს შორის დამოკიდებულება, რომელიც შეკრების/გამოკლების შემცველი

გამოსახულებით მოიცემა; სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების გამოსახვა ცხრილის საშუალებით;

11. შეკრების, გამოკლებისა და გამრავლების შემცველი რიცხვითი და ასოითი გამოსახულებები და მათი გამარტივება;

12. შეკრებისა და გამოკლების შემცველი რიცხვითი უტოლობები და მათი თვისებები; 13. ტექსტური ამოცანები, რომლებიც შეკრების, გამოკლებისა და გამრავლების შემცველი რიცხვითი ან

ერთი ასოითი აღნიშვნის შემცველი ალგებრული გამოსახულებით ამოიხსნება; 14. წრე/წრეწირი: ცენტრი, რადიუსი, დიამეტრი, ქორდა, რკალი, სექტორი; 15. კუთხე (არაფორმალურად, როგორც მრავალკუთხედის ელემენტი); 16. სამკუთხედის სახეობები: ბლაგვკუთხა, მართკუთხა, მახვილკუთხა. 17. მრავალკუთხედის გვერდებს შორის მიმართება: პარალელური და თანამკვეთი გვერდები;

მრავალწახნაგას წახნაგებს შორის მიმართება: პარალელური და თანამკვეთი წახნაგები; 18. ფართობი (არაფორმალურად, როგორც ერთნაირი არაგადამფარავი ფიგურებით დაფარულ

ფიგურაში დამფარავი ფიგურების რაოდენობა). 19. კოორდინატები (არაფორმალურად, როგორც ადგილმდებარეობის მითითება სიმბოლოთა

წყვილით); 20. თვისებრივი და რაოდენობრივი მონაცემების შეგროვების საშუალებანი: გაზომვა, დაკვირვება,

გამოკითხვა; მონაცემთა ამოკრება მონაცემთა უმარტივესი წყაროებიდან (მაგალითად ცნობარი, კატალოგი);

21. თვისებრივი და რაოდენობრივი მონაცემების ორგანიზაცია: მონაცემების კლასიფიკაცია (გარდა რაოდენობრივ მონაცემთა დაჯგუფებისა ინტერვალებად);

22. მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისებრივი ნიშნები: გამორჩეული (მაგალითად: ექსტრემალური, იშვიათი) მონაცემები;

23. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი რაოდენობრივი და თვისებრივი მონაცემებისათვის: სიხშირეთა ცხრილი, პიქტოგრამა, სვეტოვანი დიაგრამა.

40

standartis Sedegis miRwevisa da saxelmZRvanelos Sinaarsis urTierTkavSiris matrica

Sinaarsi Temis kavSiri miznebTan da SedegebTan

sava

rau

do

xa

ngr

Zliv

oba

I Tavi1. naturaluri ricxvebi2. rogor Caiwereba naturaluri ricxvebi3. klasebi da Tanrigebi ricxvTa CanawerSi4. naturaluri ricxvebis damrgvaleba5. Tvlis sistemebi6. ipove Secdoma da gaaswore7. monacemebi8. diagrama. piqtograma9. kanonzomiereba10. naturaluri ricxvebis Sedareba11. monakveTi. sxivi12. zomis erTeulebi13. skala14. sakoordinato sxivi15. kuTxe16. kuTxis gazomva17. samkuTxedi18. ricxviTi gamosaxuleba, asoiTi gamosaxuleba19. logikuri amocanebi

V 1

V 8

V 10

V 11

V 12

V 13

54 sT

Semajamebeli samuSao № 1, 2 2 sT

II Tavi1. Sekreba2. Sekrebis kanonebi3. gamokleba4. Sekreba–gamoklebis erToblivi Sesruleba5. gantoleba6. amovxsnaT amocanebi

V 5 V 6

15 sT

Semajamebeli samuSao № 3, 4 2 sT

41

III Tavi1. gamravleba2. gamravlebis kanonebi3. gamravlebis ganrigebadobis kanoni4. nulebiT daboloebuli ricxvebis gamravleba5. mravalniSna ricxvebis gamravleba6. amovxsnaT amocanebi gantolebis SedgeniT7. axarisxeba. ricxvis kvadrati da kubi8. farTobi9. farTobis sazomi sxva erTeulebi10. kubi, marTkuTxa paralelepipedi11. sibrtyis dafarva (mozaika)12. naturaluri ricxvebis gayofa13. mravalniSna ricxvebis gayofa14. ricxvis gayofa 10-ze, 100-ze, 1000-ze...15. moqmedebaTa Sesrulebis rigi16. gamravleba-gayofis erToblivi Sesruleba17. naSTiani gayofa18. naturaluri ricxvis gamyofebi da jeradebi19. 2-ze, 5-ze da 10-ze gayofadobis niSnebi20. martivi da Sedgenili ricxvebi

V 4

V 5

V 6

V 7

V 9

54 sT

Semajamebeli samuSao № 5, 6, 7 3 sT

IV Tavi1. Cveulebrivi wiladebi2 amovxsnaT amocanebi3. wrewiri, wrewiris elementebi4. wre, seqtori5. wiladebis Sedareba6. wesieri da arawesieri wiladebi7. gayofa da wiladi8. arawesieri wiladidan mTeli nawilis gamoyofa9. praqtikuli samuSao10. wiladi ricxvebis Sekreba da gamokleba11. Sereuli ricxvis gadaqceva arawesier wiladad12. Sereuli ricxvebis Sekreba da gamokleba13. wiladis gamravleba da gayofa naturalur ricxvze14. wiladis ZiriTadi Tviseba

V 2

V 3

V 7

38 sT

Semajamebeli samuSao № 8, 9, 10 3 sT

sarezervo dro 10 sT

42

amoxsnebi, miTiTebebi

(moswavlis wigni)

I Tavi

§1. naturaluri ricxvebi

paragrafSi dasmulia ramdenime amocana – ramdeni moswavlea klasSi? ramdeni saaTia dRe-RameSi?.. am kiTxvebis umetesobas moswavleebi adre miRebuli informaciis saSualebiT pasuxoben. davsvaT sxva SekiTxvebic: ramdeni fanjaraa skolis derefanSi? ramdeni xe dgas skolis ezoSi?.. am tipis SekiTxvebze pasuxis gacemas TiToeuli moswavle mxolod daTvliT moaxerxebs. amis Semdeg TviTon gaakeTebs daskvnas, rom naturaluri ricxvebi TvliT miRebuli ricxvebia.

yuradReba gavamaxviloT imaze, rom naturalur ricxvTa simravle usasruloa, agreTve, naturaluri ricxvis momdevno da wina ricxvebis dasaxelebaze. moswavleTaTvis sainteresoa sityvaTa daSifrvis amoca-nebi (sav. 21-22).

moswavles unda SeeZlos ricxvebis sworad Cawera da maTi wakiTxva, naturalur ricxvTa mwkrivSi nebismieri ricxvis momdevno da wina ricx-vis dasaxeleba, agreTve, dasaxelebul naturalur ricxvze `-iT~ metisa da `-iT~ naklebi ricxvebis gansazRvra.

5. a) ara, radgan mxolod 12 ricxvia. b) ara, radgan mimdevroba darRveulia g) aris. d) ara, gamotovebulia ricxvi 8.

9. a) 139; 940. b) 159; 960. g) 179; 980.

§2. rogor Caiwereba naturaluri ricxvebi

naturaluri ricxvebi bavSvebisTvis kargad aris cnobili dabali klasebidan. mivceT maT Tanrigis ganmarteba da, rac yvelaze mniSvne-lovania, moswavlem unda SeZlos ricxvis saTanrigo Sesakrebebad warmodgena.

8. a) 2560 erTeuli; 256 aTeuli; 25 aseuli; 2 aTaseuli.

12. a) 247, 274, 427, 472, 724, 742; b) 106, 160, 610, 601.SevecadoT, am ricxvebis Camowerisas moswavleebs davanaxoT kanonzomi-ereba, riTac isini SeZleben, ar gamorCeT romelime ricxvi.

43

15. radgan aTeulebis TanrigSi 4-is nacvlad dawera 8, e.i. jamSi miiRo 4 aTeuliT meti; aseve, erTeulebis Sekrebisas miiRebda 9–5=4 erTeuliT mets. sul, jamSi, miiRo 4 aTeuli +4 erTeuli =44-iT mets. amitom unda mieRo 148–44=104. pasuxi: 104.

19. a) 5 6

+9 8 4

1 0 4 0

b) 9 1

+9

1 0 0

g) 6 7 5 0

–3 8 9 42 8 5 6

d) 5 9 2 7

+4 4 4 57 8 4 2

1 8 2 1 4

e) 3 7 8 6

+4 2 5 78 0 4 3

v) 1 3

x5 2

2 6 6 56 7 6

ganvixiloT II SemTxveva: * 85 2

* 6* 0* 7 6

3 85 2

7 69 0* 7 6

z) 2 71 4

1 0 82 73 7 8

i)

6 6111

6 6 6 6

6 67 3 2 6

20. a) 9876543210. b) 10234567978

21. a) upirvelesad, xazi gavusvaT imas, rom udidesi ricxvis misaRebad saWiroa maqsimaluri niSnadoba, amitom es iqneba 21 cali `erTianiT~ Sedgenili ricxvi. b) umciresi ricxvisTvis saWiroa minimaluri niSnadoba – esaa samniSna. amis Semdeg unda vizrunoTY imaze, rom aseulebis ricxvi iyos, rac SeiZleba, mcire 23 = 9 + 9 +5, anu es ricxvia 299.

§3. klasebi da Tanrigebi ricxvTa CanawerSi

Tanrigebis Semdeg, ganvmartoT klasebi. avxsnaT maTi aucilebloba da moviyvanoT ramdenime cxovrebiseuli magaliTi didi ricxvebis gamoyenebaze. didi ricxvebis Cawerisas vTxovoT maT, rom klasebi gamoyon erTmaneTisgan – 12 384 748. aqve SeiZleba xazi gavusvaT kalkulatoris mniSvnelobas did ricxvebze moqmedebis dros.

Temis Seswavlis Semdeg moswavles unda SeeZlos didTanrigiani ricx-vebis Cawera da wakiTxva (sav. 11; 12); unda esmodes Tanrigebisa da klasebis mniSvneloba; unda gansazRvros, rogor Seicvleba ricxvi romelime Tan-rigis SecvliT (sav. 10).

10. uamravi 1; 11; 111; ... 11... 1;...

13. 888+88+8+8+8

44

§4. naturaluri ricxvebis damrgvaleba

sanam uSualod damrgvalebis wesebs gavacnobT, davsvaT SekiTxvebi:– `me aTi wlis var~ niSnavs, rom Tqveni asaki zustad 10 welia?– `Cemi wonaa 36 kg~. es monacemi yovelTvis zustia?– erTi qalaqidan meore qalaqamde manZili 340 km-ia. rogor gesmiT es

fraza? Tqveni azriT, es monacemi zustia? da a.S. amis Semdeg CamovayaliboT damrgvalebis wesebi da ganvixiloT savar-

ji Soebi. klasSi Sesrulebuli savarjiSoebis Semdeg, moswavles unda SeeZlos nebismieri ricxvis damrgvaleba dasaxelebul Tanrigamde, imis gaTvaliswinebiT, rom is ayalibebs damrgvalebis wess.

12. a) 1000–999=1 b) 100000–99999=1

13. a) 24-(4∙6)=0b) (24:4)-6=0

g) (24:4):6=1d) (24:4)+6=12

e) (24-4)+6=26v) 24+(4∙6)=48

§5-6. Tvlis sistemebi: jgufuri mecadineoba

visaubroT ricxvebis Caweris istoriaze; sxvadasxva Tvlis sistemaze.moswavleebma unda icodnen, rom garda ricxvebis im Cawerisa, romleb-

Tanac maT uSualo Sexeba aqvT, arsebobs ricxvebis Caweris sxva sistemebi. aRvniSnoT romauli cifrebis ZiriTadi daniSnuleba. ganvmartoT Tvlis sistemebis poziciuroba. sityva „pozicia“ maTTvis ar iqneba Zneli aR-saqmeli Tanrigebis da klasebis Seswavlis Semdeg.

maswavlebels SeuZlia, Tavad daumatos jgufuri mecadineobisTvis mocemulis msgavsi magaliTebi. ukeTesi iqneba, Tu moswavleebic Seadgenen msgavs magaliTebs da gaucvlian erTmaneTs.

§5. Tvlis sistemebi:

6. a) XXIV=10+10+(5–1)=24 g) (1000–100)+50+10+10+7=977

8. a) 201=CCI g) 44=iiiI I I

9. b) Ci I = 100+10+1=111 d) 100+100+3=203

§6. ipove Secdoma da gaaswore:

1.V+I=VI 2.X+II=XII

3. X-I=IX 4.XI-V=VI

5. IX-I=VIII 6. XX+II=XXII

7. VII+IV=XI 8. XI-II=IX

9. XV-IV=XI 10. V+V=IX

45

§7. monacemebi

moswavles unda SeeZlos raime movlenaze dakvirvebiT monacemebis Segroveba da Semdeg garkveuli analizis gakeTeba, agreTve, ukve mocemuli monacemebidan saWiro informaciis amokrefa da daskvnebis gakeTeba; unda SeeZlos Tvisebrivi da raodenobrivi monacemebis erTmaneTisgan garCeva, icodes, ra aris monacemTa sixSire da mocemuli monacemebisaTvis SeeZlos misi dadgena.

§8. diagrama piqtograma

avuxsnaT moswavleebs, Tu ramdenad aqtualuria monacemebis warmo-dgena diagramis saxiT. ganvixiloT svetovani diagrama da piqtograma. magaliTebis ganxilvisas xazi gavusvaT, romel diagramas SeiZleba mivaniWoT upiratesoba da ratom.

vaswavloT bavSvebs diagramebis wakiTxva da, garda im SekiTxvebisa, romlebic dasmulia savarjiSoebSi, SevTavazoT, Tavad moifiqron damatebiTi SekiTxvebi, romelTac SeiZleba vupasuxoT mocemuli diagramebis mixedviT.

me-7 da me-8 paragrafebis Seswavlis Semdeg moswavles (asakobrivi SesaZleblobis gaTvaliswinebiT) unda SeeZlos garkveul movlenasTan dakavSirebiT informaciis moZieba, am informaciis monacemebis saxiT Camoyalibeba da diagramis saxiT warmodgena; agreTve, mas unda SeeZlos paragrafSi ganxiluli tipis diagramebis wakiTxva, am diagramebiT moce-muli informaciis amokreba da Camoyalibeba.

5. a) meore bankma: 80000 meoTxe bankma: 30000

80000–3000=50000

testi TviTSemowmebisTvis

1 2 3 4 5 6

g d b b g g

6. radgan 170 sm-ze naklebi simaRlis qalebis naxevari atarebs ors, naxevari ki sulac ar atarebs sayures, SegviZlia, CavTvaloT, rom TiToeuli qali 1 sayures atarebs da radgan 170 sm-ze meti simaRlisanic TiTo sayures atareben, e.i. sul iqneba imdeni sayure, ramdenic qalia, e.i. – 800.

7. VI+IV=X

8. – 12, – 88, –92.

46

§9. kanonzomiereba

kanonzomiereba, Sesabamisoba, Tanadoba – es safuZvelia imisa, rasac momdevno klasebSi ukve Rrma maTematikuri formulireba miecema. dRes ki mTavaria, moswavleebma erTmaneTTan daakavSiron da am kavSiris kanonzomiereba dainaxon, garkveuli wesiT mocemul sagnebsa Tu ricxvebSi. zog SemTxvevaSi, isic SeiZleba davanaxoT, rom kanonzomiereba SeiZleba damyardes wevris nomersa da wevrs Soris.

albaT, adrea formulis daweraze saubari, magram rekurentul damo-kidebulebas wevrisa wina wevrebze, an sityvierad Camoyalibebas, Tu ro-gor aris damokidebuli wevri missave nomerze, moswavle unda axerxebdes.

1. b) 1+1, 2+2, 4+3, 7+4, 11+5, 16+6, 22+7, 29+8...

g) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

d) 2-is xarisxebia

v) 5-is xarisxebia

T) fibonaCis mimdevroba.

dawyebuli mesamedan, yoveli wevri wina ori wevris jamis tolia.

3. a)

1 1 · 32 2 · 43 3 · 54 4 · 65 5 · 7

A B b)

1 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 + 2 = 65 5 + 2 = 76 8

A B g)

1 1 · 32 2 · 33 3 · 34 4 · 35 1 56 1 8

A B

4. 5, 8, 11, 14, 17.pasuxi: 17.

5. I dRe – 1000 m

II dRe – 800 m

III dRe – 600 m

IV dRe – 400 m

V dRe – 200 m

pasuxi: 5 dReSi.

6. a) me-5;

b) me-4 zedmetia;

g) me-3;

d) me-5;

e) me-3.

1800m2400m 2800m

3km

47

§10. naturaluri ricxvebis Sedareba

maRali Tu dabali, msubuqi Tu mZime, ganieri Tu viwro, cxeli Tu civi – Sedareba yovel nabijze gvxvdeba da yovelTvis gvWirdeba maTi ricxvTa monacemebis SedarebiT gamoxatva. rogor unda SevadaroT erTmaneTs ricxvebi? es aris am paragrafis ZiriTadi kiTxva. cxadia, saubaria ZiriTadad did ricxvebze, Torem 5 rom metia 1-ze, es yvela mexuTe klaselma icis. moswavlem unda iswavlos erTnairTanrigiani ricxvebis Tanrigebis mixedviT Sedareba, mas kargad unda esmodes gansxvavebulTanrigian ricxvebs Soris romelia meti. meti yuradReba mieqces 20 da 15 tipis magaliTebs, sadac moswavleebs sidideebis erT ganzomilebaSi gadayvana dasWirdebaT, cxadia, praqtikuli Sinaarsis amocanebic ar unda davtovoT yuradRebis miRma.

8. a) 19, 20, ... 26 – sul 8.sasurvelia, moswavleebi mieCvion ase daTvlas.

1 - - - 18, 19, 20 - - - 26. 1-dan 26-mde 26 ricxvia. 1-dan 18-mde – 18. e.i. 19-dan 26-is CaTvliT iqneba 26-18=8.

b) 1, 2, ... 25, 26, ... 40. sul 40–25=15.

18. 3, 7, 11, 15, 19, 23.pasuxi: tolia.

19. a) 382818, b) 382818.

20. a) 1, ... 1 erTiani. I aTeuli

10, 11, 12, ...19 sul 11 erTiani II aTeuli

21, ... 1 erTiani III aTeuli

31, ... 1 erTiani IV aTeuli

91. ... 1 erTiani X aTeuli

sul: 20 erTiani

yovel aTeulSi erTi ricxvi bolovdeba 5-iT. 5, 15, ... 95. sul 10 xuTiani. magram 50-dan 59-is CaTvliT kidev 10 xuTiania (55-Si erTeulebis 5-iani ukve CavTvaleT).e.i. sul 20 5-iania.pasuxi: Tanabari.b) 10+11=21.metia 22.

26

18

40

25

48

§11. monakveTi. sxivi

axali masalis axsnamde, SesaZlebelia, visaubroT maTematikis nawileb-ze – ariTmetikaze, algebrasa da geometriaze. am gakveTilis Temaa mona-kveTi da misi gazomva, amrigad, SegviZlia vaxsenoT, Tu ras niSnavs sityva `geometria~.

moswavleebisTvis arc am gakveTilSi mocemuli cnebebia Zalian axali. maT ician, ra aris monakveTi da isic, rom monakveTs sigrZe gaaCnia. gan-vmar toT monakveTis Siga wertili da davanaxoT moswavleebs, rogor or mona kveTad yofs es wertili monakveTs.

ganvmartoT sxivi da xazi gavusvaT, rom erTi da igive Canaweri „AB“ SeiZleba gvaZlevdes monakveTsac, sxivsac, wrfesac da monakveTis sig-rZesac. amdenad, aucilebelia mas sityvierad mivayoloT, Tu romel geo-met riul cnebaze gvaqvs saubari.

§12. zomis erTeulebi

gakveTili SeiZleba daiwyos imiT, Tu ramdenad mniSvnelovania zomis saerTaSoriso erTeulebi. uZvelesi droidan sxvadasxva xalxebs zomis sxvadasxva erTeulebi gaaCndaT, ramac, cxadia, droTa ganmavlobaSi ua-mravi uxerxuloba warmoSva.

SeiZleba moswavleebs vuxsenoT Zveli qarTuli erTeulebi: adli, baTmani, kasri... aucileblad davavaloT maT gakveTilis bolos SemoTa-vazebuli proeqtis momzadeba.

moswavlem kargad unda icodes zomis ZiriTad erTeulebs Soris damokidebulebebi da, amis gaTvaliswinebiT, unda SeeZlos sidideebis ganzo milebebis Secvla. praqtikulad, paragrafis yvela savarjiSo am mizans emsaxureba. cxadia, msgavsi magaliTebis mofiqreba aranair sir-Tules ar warmoadgens, Tu gakveTilis dro amis saSualebas mogvcems.

15. daTvaleT kubis wiboebis raodenoba (12). radgan kubis yvela wibo tolia, amitom monakveTis sigrZe iqneba: 12 ∙ 8 = 96.pasuxi: 96 sm.

§13. skala

saaTis ciferblati, saxazavi, saswori, Termometri – yvela es nivTi nacnobi da gasagebia moswavleTaTvis. ganvumartoT maT, Tu ra saerTo saxelwodebiT erTiandebian isini. ganvmartoT skalis masStabi. vaCvenoT sxvadasxva skalis mqone erTi da imave daniSnulebis xelsawyoebis arseboba kvadratuli da wriuli saaTis magaliTze, SeiZleba igive gavakeToT wri-u li da ovaluri formis saaTebisTvis. am magaliTebze avuxsnaT, rom ska-

49

lis danayofebs Soris ar aris aucilebeli erTi da igive manZili iyos, gaaC nia skalis formas. cxadia, Cveni mizania moswavles esmodes skalis daniSnuleba, SeeZlos sxvadasxva skalis mqone xelsawyoebis gamoyeneba praqtikaSi.

Wadrakis dafis magaliTze avuxsnaT moswavleebs ori koordinatis arsebobis daniSnuleba (Tumca jer ar vaxsenebT sityva „koordinats“) mivaRwioT imas, rom dafaze nebismieri ujris koordinatebis wakiTxva SeeZloT da piriqiT koordinatebis saSualebiT SeeZloT ujris povna. ganvixiloT gansxvavebuli kvadratuli dafebi, koordinatebad SeiZleba gamoviyenoT sxva simboloebi, Tundac romauli ricxvebi, naturaluri ricxvebi, laTinuri asoebi da sxva. sasurvelia me-10, me-11 savarjiSoebze davsvaT damatebiTi SekiTxvebi, an davasmevinoT SekiTxvebi moswavleebs.

4. a) kuTxe b) sxivi g) monakveTi

§14. sakoordinato sxivi

ganvmartoT sakoordinato sxivi, wertilis koordinati. moswavleebs Tavad davadgeninoT A(a) da B(b) wertilebis sxvadasxva mdebareobisTvis rodis aris a>b; a<b; a=b; sainteresoa im faqtis aRniSvnac, rom ricxviT RerZze yovel naturalur ricxvs aucileblad Seesabameba erTaderTi wertili, piriqiT ki – ara. moswavleebma am magaliTzec dainaxon, sxva, aranaturaluri ricxvebis arsebobis aucilebloba. yuradReba gavamaxviloT or wertils Soris manZilis dasaTvlel magaliTebze, Sua wertilis dadgenaze. moswavles unda SeeZlos ricxviT RerZze yoveli danayofis Sesabamisi ricxvis dasaxeleba da piriqiT, nebismieri naturaluri ricxvis Sesabamisi wertilis moZebna. unda SeeZlos ricxviT RerZze AB monakveTis sigrZisa da misi Suawertilis koordinatis moZebna, wertilebis mdebareobis mixedviT maT koordinatebs Soris Tanafardobis dadgena (>;<;=).

3. a) O A2 4

B6

b) 7; g) 25; d) 13.

7. a) B(9); b) aseTi wertili oria: B(2) da C(16).

11. 1, 2, ... 9, 10, ... 98, 99. 98–9=89

14. a) a<7; b<20; c>20. b) a,b<25; c-ze verafers vityviT.

15. a) TiTo danayofi 1 erTeulia. K(80) F(83) g) K(500) F(700)d) TiTo danayofi – (250–150):10=10 erTeulia F(190) K(220)

16. B2 5

Aa) AB=3 b) AB=4 g) 6 d) 21

17. me-11 galiaSi iqneba 1+2...+9=45 kurdReli. aTive galiaSi darCa 100 kurdReli. e.i. pirvel galiaSi iyo 10 kurdReli.

50

§15. kuTxe

kuTxes, rogorc figuras, moswavleebi icnoben. isini xedaven kuTxes saaTis isrebs Soris, geometriul figurebSi – samkuTxedis gverdebs Soris, oTxkuTxedis gverdebs Soris... ganvmartoT kuTxe, rogorc geometriuli figura; ganvmartoT misi gverdebi, wvero. vaswavloT moswavleebs kuTxis wakiTxva. ganvmartoT marTi kuTxe, gaSlili kuTxe.

sasurvelia, N7 savarjiSoSi moswavleebma SeamCnion, rom marTi kuTxe saaTis isrebs Soris, garda sruli saaTebisa, kidev iqmneba, magram am SemTxvevaSi sakmarisia, dasaxeldes 3 sT, 9 sT.

§16. kuTxis gazomva

SemoviRoT gradusi, rogorc kuTxis sazomi erTeuli. Tu vityviT, rom 10 marTi kuTxis zustad 90 tol nawilad gayofis Sedegad miiReba, moswavleebi Tavad mixvdebian, rom marTi kuTxis zoma 900-ia, xolo gaSlilis – 1800.

gavacnoT moswavleebs transportiri, rogorc kuTxis gasazomi xelsawyo; vaswavloT misi gamoyeneba. moswavle naxazze unda arCevdes maxvil, blagv da marT kuTxeebs; saWiroebis SemTxvevaSi, unda SeeZlos transportiriT maTi gazomva. naxazis mixedviT unda SeZlos amocanis pirobis aRdgena iseT elementarul amocanebSi, rogorebicaa, mag:

x30°

me-2 da me-5 tipis savarjiSoebi moswavleebs geometriuli figurebis wakiTxvas aCvevs.

6. (85–15):2=35350; 500.

§17. samkuTxedi

am paragrafSi moswavleebi saxels arqmeven maTTvis ukve nacnobi figuris komponentebs – gverdi, wvero, kuTxe; ecnobian samkuTxedebis dayofas kuTxeebis mixedviT – maxvilkuTxa, marTkuTxa, blagvkuTxa. isini intuiciurad xedaven, rom marTkuTxa samkuTxeds mxolod erTi marTi, xolo blagvkuTxa samkuTxeds mxolod erTi blagvi kuTxe aqvs. naxazebis wakiTxvis dros ganansxvaveben erTmaneTisgan samkuTxedebis sxvadasxva tips. me-3 savarjiSos Sesrulebis dros SeiZleba, daskvnac ki gaakeTon

samkuTxedis Siga kuTxeebis jamis Sesaxeb. me-6, 7, 8 savarjiSoebis Sesrulebis dros ki, faqtobrivad, midian samkuTxedis utolobamde.

§18. ricxviTi gamosaxuleba, asoiTi gamosaxuleba

es paragrafic ar warmoadgens gansakuTrebul siaxles moswavleTaTvis, isini ukve adgenen amocanis Sesabamis ricxviT gamosaxulebas. mTavaria, maT kargad gaiazron, rom ricxviT gamosaxulebas erTi konkretuli mniSvneloba aqvs, xolo asoiTi gamosaxulebis mniSvneloba ki, ZiriTadad, cvladis mniSvnelobazea damokidebuli. sasurvelia, moswavleebs iseTi asoiTi gamosaxulebac vaCvenoT, romlis mniSvneloba cvladis mniSvnelobaze damokidebuli ar aris, Tundac: a+(5–a)

savarjiSoebSi, ZiriTadad, amocanebi Warbobs, sadac moswavleebma unda SeZlon Sesabamisi asoiTi an ricxviTi gamosaxulebebis Sedgena.3. a) 67; 27; 152.5. n+(n+35)6. n naturalur ricxvSi n erTeulia. marjvniv 5-is miweris Semdeg iqneba n aTeuli da kidev 5 erTeuli, e.i. 10n+5.9. 60n;11. erT saaTSi daamzadebs x+50 detals; 10 sT-Si – 10(12+50)=620 detals.14. (220–17):7=2915. sasurvelia, moswavleebs vaCvenoT amocanis amoxsnis nimuSi, sadac moqmedebebs bolodan mivyvebiT, radgan gamoklebis Semdeg miviReT udidesi orniSna ricxvi, anu 99, maSasadame gamoklebamde Sedegi yofila 99+35=134, anu 5-ze gayofis Sedegad miiRes 134. maSasadame, gayofamde anu Tavdapirvelad aRebuli ricxvia 134∙5=670.

§19. logikuri amocanebi

logikuri amocanebis amoxsna gansakuTrebul xaliss iwvevs moswavleebSi, maT amoxsnas is moswavleebic cdiloben da Tavsac arTmeven, romlebsac maTematika, zogadad, uWirT. mTavaria, maT logikur msjelobas swori mimarTuleba mivceT da etapobrivad, sxvadasxva tipis logikuri amocanebisTvis, mivceT amoxsnis Sesabamisi meTodebi.

1.

2. n.b.i.g.

III.II.I.IV.

I ara; bolo araII

bolo ara

I II III IVn. – – + –

b. – + – –

i. + – – –

g. – – – +

g

alubali vaSli msxali qliavi

z b n

52

3. eka – dabali lurji

maka – maRali wiTeli

nino – dabali wiTeli

4. c. w. T. w. T. mS.

2 – – +

5 + – –

10 – + –

5. mewarme – SavaZe TeTri bankiri – TeTraZe wiTeli iuristi – wiTlanaZe Savi

6. 5 bavSvi; 4 vaJi da 1 gogona.

7. levani – inJineri; giorgi – maswavlebeli; arCili – eqimi.

9. a) 3; b) 6; g) 8; d) 5.

10. xelTaTmanebs, windebisgan gansxvavebiT (amocana 9), marjvena–marcxena gaaCnia. ganvixilavT yvelaze cud variants, amoviReT:a) yvela xelTaTmanis cali, aseTia 3 wiTeli da 2 yviTeli, me-6 xelTaTmani romelimes wyvili iqneba. e.i. 6.b) 2 wyvili yviTeli da 3-ive wiTelis cali, me-8 xelTaTmani romelimes wyvili iqneba. e.i. 8.g) 9; d) 7.

testi TviTSemowmebisTvis:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10b g b a b b g a b d

Tavis damatebiTi savarjiSoebis nawili SeiZleba moswavleebma mTeli Tavis paragrafebis gavlis dros gadaanawilon. sasurvelia, maT amo xsnas Semajamebeli xasiaTi mivceT. unda gaviTvaliswinoT, rom moswavlem ga-iara mTeli Tavis masala da flobs im codnas, romelic am Tavis Seswav-lis Semdeg moiTxoveba: wers da kiTxulobs naturalur ric xvebs, yofs maT klasebad da Tanrigebad adarebs erTmaneTs; Slis Tanrigovan Ses-akrebTa jamad; saWiroebis SemTxvevaSi, amrgvalebs nebismier miTiTebul Tanrigamde; mocemul ricxvTa mimdevrobaSi adgens kanonzomierebas da

m. w. d. l. d. w.

e. – + –

m. + – –

n. – – +

53

axerxebs am kanonzomierebis gamoyenebiT mimdevrobis ramdenime wevriT gagrZelebas; ganasxvavebs erTmaneTisgan Tvisobriv da raodenobriv mo-nacemebs; axerxebs monacemebis Sesabamis svetovani, wertilovani an wri-uli diagramis Sedgenas; ukve mocemuli diagramebidan kiTxulobs in-formacias; icis geometriuli figurebi – kuTxe, samkuTxedi, monakveTi, sxivi, wrfe; transportiris meSveobiT SeuZlia kuTxis gazomva; xsnis maTi asakobrivi jgufis Sesabamis logikur da algebrul amocanebs; adgens Se-sabamis ricxviT an asoiT gamosaxulebebs.

I Tavis damatebiTi savarjiSoebi

1. a) 999+1000=1999 b) 10+100=110 g) 9999-99=99004. 97531; 135795. 86420; 204689. a) (4∙4+4):4=5 b) (4:4+4)∙4=20 g) (4+4)∙(4+4)=64 d) 4∙4+4:4=17 e) 4∙4+4∙4=32 v) (4+4+4)∙4=4810. a) 4∙12+18:(6+3)=50 b) 4∙(12+18:6+3)=7211. 1+1999=200012. Cafiqrebuli ricxvis aseulebis, aTeulebis da erTeulebis Tanrigebi mocemul ricxvebSi ar unda meordebodes. aseTi ricxvia 163.

14. a) 11; b) 9; g) 10; d) 10.

15. cxadia, yveli iwonis 2 kg-s.

18. erTi danayofis sigrZea 1000, Sesabamisad, yoveli Semdegi wertilis koordinati izrdeba 1000-iT.

19. erTi danayofis sigrZea 10.

21. gvaqvs 3 varianti, Tu vin gatexa Wiqa. gamovsaxoT es cxrilSi `–~-iT.

I II IIIeka – + +

maka + – +

beqa + + –

I Tu eka tyuis, e.i. Wiqa makam gatexa da makas da beqas pasuxebic gamodis tyuili. II Tu maka tyuis, e.i. Wiqa TviTon gatexa. e.i. danarCenebis pasuxebic tyuilia. III Tu beqa tyuis. e.i. Wiqa gatexa makam an beqam da radgan eka marTalia, Wiqa beqas gautexavs.

54

22. fexsac. wiT. yviT. mwv.

bimi + – –

bomi – + –

bami – – +

feri wiT. yviT. mwv.

bimi + – –

bomi – – +

bami – + –

pirveli winadadeba – `bimis fexsacmeli wiTeli ferisaa~ droebiT gamovtovoT. ̀ bomis CacmulobaSi ar figurirebs wiTeli feri~ – Sesabamis ujrebSi davsvaT niSani `–~. `bims ecva mwvane fexsacmeli~ – fexsacmlis grafaSi bimis gaswvriv davsvaT `+~ da Sesabamisi sveti da striqoni SevavsoT `–~-ebiT. cxadia, bims ar ecmeva mwvane perangi, radgan mas acvia erTi feris tansacmeli. davsvaT `–~. boms acvia yviTeli fexsacmeli. bims – wiTeli fexsacmeli da, maSasadame, wiTeli perangic. radgan boms da bams acviaT gansxvavebuli feris tansacmeli, amitom bomis perangi mwvanea, bamis ki – yviTeli.

pasuxi:

fexsacmeli perangi

bimi wiTeli wiTeli

bomi yviTeli mwvane

bami mwvane yviTeli

24. 7-s jamSi gvaZlevs Semdegi cifrebi: 0+7; 1+6; 2+5; 3+4, Sesabamisad gveqneba Semdegi nomrebi: 7; 70; 16; 61; 25; 52; 34; 43. e.i. 8 binis.

25. SevadginoT naxazi

29. cxadia, nebismier ricxvs 1-dan 9-mde damatebuli 39 miiReba ricxvi 40-dan 48-mde. ase rom, bolo cifris waSliT miviRebT 4-s.

((4∙5–2):2)∙10+10=100

2

3

5

1215 cxadia, darCa 3 km.

banaki

55

II Tavi

§1. Sekreba

moswavleTaTvis erTaderTi siaxle, romelic am paragrafSia, milionze meti ricxvebis Sekrebaa. Sekrebis komponentebis saxelwodebebi moswavleTaTvis dabali klasebidan aris cnobili. isev xazi gavusvaT kalkulatoris mniSvnelobas did ricxvebze moqmedebebis dros. amocanebis amoxsnis dros isev movTxovoT msjeloba da ricxviTi gamosaxulebebis Sedgena.

13. a) 1+2+3+45=51; b) 3+45+67=115; g) 56+7+89=152.

18. a) 46+974=1020; b) 73+954=1027.

19. ara (yvelaze didi orniSna ricxvebis jamia: 99+99=198).20. a) 704698; b) 10469823. 9876543; 1023456.

§2. Sekrebis kanonebi

paragrafSi moyvanili magaliTebis msgavsi uamravi magaliTi SeiZleba SevTavazoT moswavleebs da daskvnebis gakeTeba maTac ar gauWirdebaT. CamovayaliboT Sekrebis kanonebi – gadanacvlebadobisa da jufTebadobis. moswavleebma unda gaiazron, rom ariTmetikul moqmedebaTa kanonebi unda gamoviyenoT gamoTvlebis gamartivebis mizniT. SevecadoT, moswavleebma SeZlebisdagvarad meti SekiTxva dasvan me-10, me-11 amocanebis msgavsi amocanebis ganxilvis dros.

7. g) 4 2 1 88 1 3 2

1 2 3 5 0

d) 2 2 7 61 3 1

2 4 0 7

10.I 125 kgII 125+12kgIII (125+12)+10kg

kiTxva: 1. ramdeni kilogrami jarTi Seagrova samive klasma?2. pirvelTan SedarebiT, ramdeniT meti jarTi Seagrova mesame klasma?

12. a) 9; b) 99-9=90; g) 900. 13. 1-dan 9-mde - 910-dan 99-mde - 90•2=180 da ricxvi 100 - 3 cifri

9+180+3=19214. 1-dan 9-mde – 9 cifri 10-dan 99-mde – 180 cifri

wigni 122-gverdiania.

samniSna gverdebisTvis darCa 258-189=69 cifri, e.i. samniSna ricxvebiT Cawerili gverdebis raodenobaa 23.

56

§3-4. gamokleba. Sekreba-gamoklebis erToblivi Sesruleba

§4-Si ganxiluli Tvisebebi wina paragrafebSi magaliTis saxiT mos-wavleebs ukve Semowmebuli aqvT cvladebis sxvadasxva mniSvnelo bebis-Tvis. aq ganxiluli amocanebis safuZvelze, isini rwmundebian Tvisebebis samarTlianobaSi. maqsimalurad SevecadoT, moswavleebma praqtikaSi (ga -m o Tvlebis dros) gamoiyenon es Tvisebebi. Tu aRniSnul Tvisebebs ver viyenebT garkveuli gamoTvlebis dros, xolo ricxvebi sakmaod didia, isev SeiZleba movuwodoT maT, rom SeiZleba kalkulatoris gamoyeneba.

§3. gamokleba

12. a) 1 3 8 2 8–

6 2 4 97 5 7 9

b)5 2 3 5 4–

7 1 2 24 5 2 3 2

g)3 4 2 1 3 1–

7 2 4 1 92 6 9 7 1 2

d)5 2 3 4 7

–3 7 2 3 21 5 11 5

15. 200–3∙50=50 (litri)

17. Savi Tevzia: 194–96=98. metia Savi Tevzi.

19. a) WeSmaritia; b) WeSmaritia; g) mcdaria, mag., 10–7=3;

d) WeSmaritia; e) WeSmaritia; v) mcdaria. mag., 10:2=520. a) a+0=a; b) 0+a=a g) a∙0=0 d) a-a=0 e) 0∙a=0

22. a) 8 4 5 6+

4 5 9 11 3 0 4 7

b)7 1 2 2 8

+2 9 9 7 2

1 0 1 2 0 0

g)2 3 2 4 6–

6 7 2 81 6 5 1 8

d)5 8 3 8 1

–4 9 7 1 8

8 6 6 3

§4. Sekreba-gamoklebis erToblivi Sesruleba

1. a) (365+57)–165=(365–165)+57=257g) 885–(85+124)=(885–85)–124=800–(100+24)=700–24=676e) 196–(96–37)=(196–96)+37=1376. 12+(13–3)=22 (wlis)

7. 14+(10+7)=31 (wlis)

9. a) gaizrdeba 3-iT; b) gaizrdeba 26-iT.

10. a) gaizrdeba 11-iT; b) gaizrdeba 32-iT.

11. ufrosi SviliSvili 22 wlisaa. umcrosi SviliSvili ki – 11 wlis.62+22+11=95 (wlis)

12. a) daviwyoT Secdomebis gasworeba. aseulebis cifri `6~ miiRes 0-ad anu gamovasworoT (+600). aTeulebis cifri `3~ CaTvales `8~-ad (–50). sul 600–50=550-iT meti pasuxi miviReT, anu swori pasuxia 1450-650=800.

57

15. amocanis gverdiT, areze, aRniSnulia, Tu ras niSnavs fraza `erTi mainc~. am amocanisTvis es niSnavs, rom tyuis an romelime erTi, an orive. cxadia, ar SeiZleba, tyuodes erTi romelime, meore ki ambobdes marTals, am SemTxvevaSi gamova, rom orive biWia, an orive gogo. maSasadame, tyuis orive – SavTmiania gogo da qeraa biWi.

19. moigo 1345 lari.

§5. gantoleba

ganvmartoT gantoleba da gantolebis fesvi, anu amonaxseni. avuxsnaT moswavleebs, rogor unda SevamowmoT gantolebis Cveni amoxsnis siswore da, saerTod, ras niSnavs `amovxsnaT gantoleba~. zogadad, SeiZleba vuT-xraT, rom gantolebas SeiZleba hqondes ramdenime an arc erTi amonaxseni.

5. a) x+27=25+3 g) (12+y)-45=45 12+y=45+45 y=90-12 y=78

d) 45-x=33 x=45-33 x=12

x=28-27 x=1

6. x-727=133 x=8608. a) (((x+5)-2)+8)-7=8-3 b) (((3-x)+7)-5)+4=2+7

((3-x)+7)-5=9-4 (3-x)+7=5+5 3-x=10-7 x=3-3 x=0

((x+5)-2)+8=5+7 (x+5)-2=12-8 x+5=4+2 x=6-5 x=19. vTqvaT, nikas hqonda x marka.(x+15)+17=137x=105sasurvelia, moswavleebma es amocanebi amoxsnan gantolebis Sedgenis gareSec.

10. iyo x kg kombosto.(x+50)-62=83x+50=83+62x=9512. x-2

x+2

x 3x=15, x=5

pasuxi: 3, 5, 7. 14. m + n

2 = 11 + 1 7

2= 14

amocanas amoxsna aqvs, roca m da n an orive luwia, an orive kentia.

58

§6. amovxsnaT amocanebi

rogorc ukve aRvniSneT, ZiriTadad, amocanebi SeiZleba daiyos ramdenime tipad. erT-erTi aseTi gavrcelebuli tipia amocanebi moZraobaze. amocana 1-is msgavsi amocanebis ganxilvis Semdeg, moswavleebi midian daskvnamde, rom sxeulis mier gavlili manZili gamoiTvleba formuliT S=vt. cxadia, jer ar vaxsenebT pirdapirproporciulobas, magram me-3 kiTxvaSi analogiur damokidebulebas viRebT gadaxdili Tanxisa da mandarinis raodenobas Soris. yuradReba gavamaxviloT erTi mimarTulebiT da erTmaneTis sawinaaRmdego mimarTulebiT moZraobaze.

1. V=s:t2. A=2t4. a) m=3n; b) m=n2; g) m= n2 -15. 272:(12+56)=4 (sT)

7. a) 3 saaTSi maT Soris manZili Semcirdeba 3(80–70)=30 (km-iT) e.i. maT Soris manZili iqneba 70 km. b) 70km/sT 80km/sT 3 saaTSi maT Soris manZili gaizrdeba 3(80-70)=30 km-iT.

maT Soris manZili iqneba 130 km.

8. roca moZraoba daiwyo meore matarebelma, matareblebs Soris manZili ukve 80 km-ia. v2<v1. amitom yovel saaTSi pirveli meores 5km-iT uswrebs. 17 sT-ze maT Soris manZili iqneba 80+5=85 (km)

9. S=60∙4=240 (km) V=240:3=80sasurvelia, Tu moswavleebis yuradRebas gavamaxvilebT im faqtze, rom moZraobaze daxarjuli drois Semcireba iwvevs siCqaris gazrdas (erTi da imave manZilis SemTxvevaSi) an kidev: rac ufro swrafad vimoZravebT, miT ufro swrafad gavivliT mocemul manZils.

11. yovel saaTSi uswrebs 16 km-iT. 6 sT-is Semdeg maT Soris manZili iqneba 16∙6=96 km.

12. 20 metrs kurdReli 6 wm-Si gaivlis, e.i. ZaRlis siCqarea 5 m/wm, is 80 metrs 16 wm-Si gairbens.

13. auzebSi wylis raodenobaTa Soris sxvaoba yovel wuTSi 400 litriT mcirdeba. amitom Tanabari raodenobis wyali iqneba (18800–1200):400=44 saaTSi.

15. 98t 25kg – 97t 825=200kg, rac 98 lari Rirs. 1kg eRireba 9800 TeTri: 200=49 TeTri

16. 1l benzinis masaa 730gr. 3 litrisa iqneba: 2190gr=2kg 190gr.

20. a) 75; b) 20.

59


1 2 3 4 5g b d a b

6.a)

a b a-b a+b17 8 9 2525 8 17 33

18 14 4 32

sasurvelia, moswavleebma dainaxon, rom ori obieqtis urTierTSemxvedri mimarTulebiT moZraobisas manZili ifareba siCqareebis jamiT v=v1+v2, xolo roca erTi midis da meore misdevs – siCqareebis sxvaobiT: v=v2-v1. SesaZloa, 2 moswavle davayenoT klasSi da movaxdinoT moZraobis demonstrireba nabijebis aTvliT. I dgams wamSi 4 nabijs, II – 2 nabijs. Semxvedri mimarTulebiT – v=6 nab/wm.

erTi misdevs meores: v=2 nab/wm.

7. b) 150+160=310 (km/sT).

8. g) v=v2-v1=30 km/sT.2 saaTiT adre Sexvedramde iqneba 60 km.

SevajamoT meore TavSi Sesaswavli masala. ganvsazRvroT, ras unda flobdnen Cveni moswavleebi am Tavis Seswavlis Semdeg. isini unda as-rulebdnen Sekrebas da gamoklebas nebismierTanrigian naturalur ricx-vebze; maT unda SeeZloT ariTmetikis ZiriTadi wesebis gamoye neba da amiT gamoTvlebis Catarebis procesis gamartiveba; unda esmodeT, ra aris gan-toleba, misi amonaxseni; unda SeeZloT imis Semowmeba, aris Tu ara mo-cemuli gantolebis amonaxseni mocemuli ricxvi; unda SeeZloT elemen-taruli gantolebebis amoxsna da, rac mTavaria, amocanebis Sesabamisi gantolebebis Sedgena.

b)

S km 200 180 40Vkm/sT

10 60 5

t sT 20 3 8

60

II Tavis damatebiTi savarjiSoebi

4. 1 km=1000m, e.i. Tu gia moZraobs 100 m/wT siCqariT, is 1000 m-is gavlas moandomebs 10 wuTs. e.i. yvelaze gvian SeiZleba gamovides 8 sT-sa da 50 wuTze.

5. SesaZlebelia gantolebiTac:

175t+125t=300t=300:(175+125)=1 t=16. daeweva meore avtomobilis gamosvlidan 2 sT-Si

(S=100 km. v=v2-v1=50 km/sT).

7. a) 2700:270=10 (sT) b) 2700:30=90 (wT)

8. Tu orive mili gaxsnilia, erT sT-Si auzSi Cava 700 l wyali.

10. Svilebis asakebis jamsa da dedis asaks Soris yovel wels gansxvaveba mcirdeba 2 wliT (dedas emateba erTi weli, samive Svils erTad – 3 weli). axla asakebs Soris sxvaoba 37–(12+2∙6)=14 welia, e.i. gatoleba SesaZlebelia 14:2=7 weliwadSi.

11. maSo agdebs 20 TeTriT mets, e.i. maT Tanxebs Soris gansxvaveba yoveldRiurad mcirdeba 20 TeTriT. Tavidan gansxvaveba 5 lari, anu 500 TeTria, e.i. Tanabari Tanxa eqnebaT 500:20=25 dReSi.

12. gias velosipedis sayidlad sWirdeba 120 lari. yovel kviras mama da babua erTad aZleven 15 lars, e.i. gias saWiro Tanxa Seugrovdeba 120:15=8 kviraSi.

13. 240:12=20 km/sT pirvel dRes gaiara 140 km, meore dRes – 100 km.

14. 5∙2+2∙3=16 (t)

15. a) 800–(90+100)=610 (km)

b) 800–2(90+100)=420 (km)

g) 800–3(90+100)=230 (km)

16. Tu oradgiliani magida 8 calia, maSin oTxadgiliani magidebis raodenoba iqneba 14. kafeSi SesaZlebelia, erTdroulad dajdes 2∙8+14∙4=72 (adamiani).

17. V=48:4=12km/sT

S=12·9=108km

18. S=80 km/sT∙15 sT=1200km t=12sT. v=100km/sT.19. v=(190-10)km:3 sT= 60 km/sT.

20. v=(216-72) km:4 sT= 36 km/sT

61

III Tavi

§1. gamravleba

gavaxsenoT moswavleebs, rom namravli tol SesakrebTa jamia; Sevaxse-noT gamravlebis komponentebi – mamravlebi da namravli.

moswavles unda SeeZlos ricxvebis qveSmiweriT gamravleba, Temis Se-sabamisi amocanebisTvis gamosaxulebebis Sedgena da maTi gamoangariSeba. imis gaTvaliswinebiT, rom icis, rodis xdeba namravli 0-is toli, unda xsnides me-10 savarjiSoSi mocemulis msgavs gantolebebs.

10. d) x(x–5)=0 e) (x–3)(x–2)=0 x=0 an x–5=0 x–3=0 an x–2=0 x=5 x=3 x=2

pasuxi: 0; 5 pasuxi: 3; 2.

14. 125·12=1500 (lari)

15. 8·35+5·85=705, 705 TeTri=7 lari da 5 TeTripasuxi: zedmeti uangariSa 10 TeTriT.

16. 28·12=336. 240+130=370; 336<370 e.i. ar eyofaT.

18. a) 2 9

x3 5

1 4 5 8 71 0 1 5

b) 6 3

x5 8

5 0 43 1 53 6 5 4

g) 5 3

x2 6

3 1 81061 3 7 8

d) 6 4

x1 7

4 4 8 6 41 0 8 8

20. a) gaizrdeba 20-iT; b) gaizrdeba 5-iT; g) gaizrdeba 25-iT.

21. 77-77=0 7:7+7:7=2 77:7-7=4 (7·7-7):7=6 (7·7+7):7=8

7:7+7-7=1(7+7+7):7=37-(7+7):7=5(7-7)·7+7=7(7+7):7+7=9

(77-7):7=1023. amocana amovxsnaT bolodan: bolo amoRebamde kalaTSi iyo kvercxebis raRac raodenoba da kidev 30 kvercxi. amocanis pirobis Tanaxmad, es raRac raodenoba kalaTaSi arsebuli kvercxebis naxevari iyo, e.i. kalaTaSi iyo 60 kvercxi, meore amoRebamde – 120 da pirvel amoRebamde – 240 kvercxi.

62

§2. gamravlebis kanonebi

vTxovoT moswavleebs, Camoayalibon jamis gadanacvlebadobisa da jufTebadobis kanonebi; Semdeg Camoayalibon igive kanonebi gamravlebisTvis da gamoTqvan azri: aris Tu ara es kanonebi samarTliani. moiyvanon magaliTebi maT gamoyenebaze rogorc jamisTvis, aseve – namravlisTvis.

moswavleebs unda SeeZloT aRniSnuli kanonebis gamoyeneba Sesabamis magaliTebSi, rac gaumartivebs maT gamoTvlis process.

2. a) (a·9)·8=a·(9·8)=72a b) gadidda 100-jer, e.i. bolo gadidda 72-jer cifrebia – 00.

10. 6·4·m=24m11. 1·2····19 namravlSi erT-erTi Tanamamravlia 10, e.i. bolo cifri iqneba 0.

12. ab. miviRebT (4a)(6b)=4·6·ab=24ab. gadiddeba 24-jer.

13. saba ninoze 6-jer ufrosia. saba 12 wlisaa.

15. 123–45–67+89=10017. 108:(2+1)=36

36·2=72

§3. gamravlebis ganrigebadobis kanoni

arsebiTia, rom moswavleebs esmodeT am kanonis samarTlianoba. amo-canis amoxsnis dros (mag., paragrafSi ganxiluli amocana) SeZlon orive nawilis Sinaarsis gadmocema:

3(15+10) – jer viTvliT sakidebis raodenobas, Semdeg – buStebisas.3·15+3·10 – viTvliT TiToeul kedelze buStebis raodenobas da vkrebT

maT.CamovayaliboT ganrigebadobis kanoni sxvaobisTvis da ganvixiloT

Sesabamisi magaliTebi.

2. vTqvaT, mocemuli ricxvia a.7a+18a=25a gadidda 25-jer.

9. (4+8+7)·17=323

63

§4. nulebiT daboloebuli ricxvebis gamravleba

jgufuri mecadineobis Catarebis scenari ixileT `scenarebSi~. Sesasrulebeli davalebebia №1-4.

savarjiSoebs №5-9 vaZlevT saSinao davalebad.

5. y yx x y xx x

y y

2x+2y=51 (mocemulobis Tanaxmad)Tavdapirveli marTkuTxedis perimetria 4x+4y=2(2x+2y)=102 sm.

6. saba Cafrindeba Tbilisis droiT 2+4=6 saaTze, anu sxvaoba 6–3=3 saaTia. 9. a) cxadia, meore TanamravlSi sul erTianebia. e.i. 57•111.

b) 87•111 g) 81•13 d) 68•61

§5. mravalniSna ricxvebis gamravleba

radgan moswavleebma ukve ician ricxvebis qveSmiweriT gamravleba, cxadia, maTTvis rTuli ar iqneba imave moqmedebis Sesruleba mravalniSna ricxvebisTvis.

did ricxvebze moqmedebis Sesrulebisas drodadro SevaxsenoT xolme moswavleebs kalkulatoris mniSvneloba. etapobrivad mivaCvioT isini mis gamoyenebas. oRond, gavafrTxiloT, rom kalkularotiT Zalian xSirad nu isargebleben da nu gaazarmaceben TavianT gonebas.

4. naxatidan Cans, rom ori wignis simaRle 3 sm-ia. 120000 wignis erTmaneTze dadebiT miReba 60000·3 sm =180000m= 1km800m

5. 102572+2·102572+3·2·102572=102572(1+2+6)=9231486. 450·18–240·12=5220 (dkl)

§6. amovxsnaT amocanebi gantolebis SedgeniT

rac meti iqneba amocanebisTvis gamoyofili dro gakveTilze, miT ufro mieCvevian moswavleebi marTebul, logikur msjelobas. mTavaria, maT kargad esmodeT, ras aRniSnaven ucnobiT, gantolebis Sedgena ar moxdes meqanikurad, gauazreblad; yovelTvis SeZlon Sedgenili gantolebis Sinaarsis gadmocema – wakiTxva. garkveuli tipis amocanebs moswavleebi ukve xsnian ricxviTi gamosaxulebis SedgeniT. paragrafSi mocemuli amocanebis nawilsac, albaT, ariTmetikulad mSvenivrad gaarTmeven

64

Tavs, magram amjerad upiratesoba gantolebis Sedgenas mivaniWoT, paralelurad, zogierTi SeiZleba ariTmetikuladac amovaxsnevinoT.

1. Tu cisferi saRebavi xkg iyo, miviRebT

x+4x=85 x=17cisferi 17 kg da yviTeli 68 kg.

3. vTqvaT, erT wilSi Sedis x raodenoba, maSin Sekerili kabebis raodenoba iqneba 3x, xolo xalaTebisa – 4x. kabebs dasWirdebaT 3·3x m qsovili xalaTebs ki 5·4x m qsovili. miviRebT:

9x+20x=290

x=10kaba – 30. xalaTi – 40.

4. vTqvaT, Sexvdebian avtomobilis gamosvlidan x sT-is Semdeg, avtomobili x sT-Si 50x km-s gaivlis. motociklisti imoZravebda (x+3) sT-s da gaivlida 30(x+3). maT jamSi 250 km gaiares.

50x+30(x+3)=250

x=2

5. A A A BA c

A xA 4x 5x=35 x=7 AC=28 sm CB=7 sm.6. (x+3x)2=80 10, 30.7. 2x+x+4=16. x=4 I – 8 kg, II – 4 kg

9. keSa ver iqneba marTali, e.i. an matyuaraa, an cuRluti. verc romaa marTali, is keSaze ambobs, marTaliao, e.i. marTalia goSa; gamodis, keSa matyuaraa da roma cuRlutia.

§7. axarisxeba. ricxvis kvadrati da kubi

bavSvebma unda daimax sov ron xarisxi, xarisxis fuZe, xarisxis maCvenebeli da ganasxvavon isini erTmaneTisgan xarisxis CanawerSi; savarjiSoebi №11-15 amoxsnan msjelobiT, gaakeTon Sesabamisi daskvnebi. moswavles unda SeeZlos toli Tanamamravlebis namravlis xarisxis saxiT da, piri qiT, xarisxis namravlad warmodgena.

13. a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64... b) 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

14. a) 20. danarCeni yvela 2-is xarisxebia.

b) 21. danarCenebi 3-is xarisxebia.

65

18. me-10 sarTulze asavlelad unda gaiaro 9 sarTuli. TiTo sarTulis kibe 11-safexuriania. dagvWirdeba 44 safexuri.

19. a) cxra b) 45 wT.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14d b d b b b g g g g g a b g

15. a) 60·2=120 (samniSna), maSasadame, yovel jerze gamravleba xdeba 1-ze.

a) 6 6x111

6 6 6 66 67 3 2 6

b) 2 43 2

4 8 7 2

7 6 8

§8. farTobi

dabal klasebSi moswavleebs ukve hqondaT Sexeba cnebasTan `farTobi~. maT ician, rom marTkuTxedis farTobi gamoiTvleba formuliT S=a·b.

Semogvaqvs farTobis erTeuli, rogorc erTeulovani kvadratis far-To bi, amis gaTvaliswinebiT, savarjiSo 1-s moswavleebi iolad arTmeven Tavs.

xazi gavusvaT imas, rom tol figurebs toli farTobebi aqvT da figuris farTobi misi Semadgeneli nawilebis farTobTa jamis tolia.

moswavles unda SeeZlos marTkuTxedis farTobis gamoTvla misi gan-zomilebebiT – 1-6 tipis savarjiSoebSi figuraTa farTobebis daTvla, anu figuris farTobis gamoTvla, misi nawilebis farTobTa dajamebiT.

5.

21

3

9

a) 9·3+1·2=29 (sm2) b) 5·7–3·5=20 (sm2)

g) 1·5+2·5=15 (sm2)

66

§9. farTobis sazomi sxva erTeulebi

farTobis erTeulebs Soris kavSiri Zalian mniSvnelovania, magram mniSvnelovania, moswavles esmodes, rogor xdeba erTi erTeulis meoriT Secvla, roca viciT Sesabamis sigrZis erTeulebs Soris kavSiri. SeiZleba movTxovoT moswavleebs, moiZion informacia farTobis Zveli erTeulebis Sesaxeb da gaakeTon prezentacia.

2. a) 1 km=1000m, 1 km2=1 000 000m2

b) 1 km=10 000dm, 1km2=10 000dm·10 000dm=108dm2

6. a) 5dm2=5·100sm2=500sm2 x=500.

d) 1 km2=1 000 000m2=100·10 000m2=100ha. x=100.

8. 30ha=300 000m2 300 000:125=2400(m)

P=2(2400+125)=5050(m)

10. a) 1000ha=10 000 000m2 b) 25km2=25·1 000 000m2

5 km2=5·1 000 000m2 metia 250 000-jer.metia 2-jer.

§10. kubi, marTkuTxa paralelepipedi

moswavle unda icnobdes mravalwaxnagebis aRniSnul saxeebs da gamo-yofdes maT darCenili mravalwaxnagebidan; unda icodes Semdegi cnebebi: wibo, waxnagi, wvero; unda SeeZlos kubisa da marTkuTxa paralelepipedis Sli lebis Seqmna da, piriqiT, SliliT figuris awyoba; unda esmodes, ra figurebs warmoadgens maTi waxnagebi.

12. ani germanuli an franguli franguliqeTi germanuli germanulisofo inglisuri; germanuli an franguli inglisurimaka rusuli

§12. naturaluri ricxvebis gayofa

gasayofi, gamyofi, ganayofi – am terminebs moswavleebi kargad icnoben dabali klasebidan. vTxovoT maT, daweron gayofis magaliTebi, daasaxelon TiToeuli komponenti, Seamowmon Sesrulebuli moqmedebebi gamravlebiT; imsjelon, ratom aris a:a=1, 0:a=0, a:1=a da ratom ar

67

SeiZleba 0-ze gayofa; Camoayalibon wesebi, rogor unda vipovoT ucnobi gasayofi da gamyofi; Seasrulon gayofis moqmedeba did ricxvebze.

11. 10 dReSi daxarjula 500 kg sakvebi. dReSi – 50 kg.

13. vTqvaT aavsebs x sT-Si. miviRebT: 30x+35x=130 x=214. 72 sT-is Semdeg isev Ramea;

15. erTad davdgaT da rogorc ki 5 wuTiani Caicleba, kvercxi davdgaT mosaxarSad.

18. pirobidan Cans, rom 1 wigni mZimea 1 albomze e.i. (5+1) wigni mZime iqneba (7+1) albomze.

19. vTqvaT, iyida x Tojina da y wigni. maSin 5x+6y=50 (x da y naturaluri ricxvebia).

SerCeviT davrwmundebiT, rom x=4, y=5.

§13. mravalniSna ricxvebis gayofa

moswavleebi ukve icnoben sami ariTmetikuli moqmedebis Sesrulebis process qveSmiweriT, gayofis operaciac ician, mxolod SedarebiT pata-ra ricxvebisTvis. avuxsnaT maT qveSmiweriT gayofis procesi, risTvisac dagvWirdeba naSTis cnebis Sexseneba.

3. 111 111 111 : 12345679=9

9-jer metia.

4. Tu moZraobis dros aRvniSnavT x-iT, maSin miviRebT 60x=2400, saidanac x=40 sT.

5. yovel saaTSi maT Soris manZili (50+40)=90 km-iT mcirdeba. amitom Sexvdebian 630:90=7 (sT-Si). sasurvelia, es amocana gantolebis SedgeniTac amovaxsnevinoT.vTqvaT Sexvdebian x sT-Si.

40x+50x=630 x=76. 725:25=298. 595000:(1500+2000)=17010. a) b:x=a b) a·x=b g) b:a=x11. Tu wasakiTxi darCa x, waukiTxavs 4x. 4x=120. x=30. wignSi 5x=150 gverdia.12. 3 yuTi mandarini Rirs 54 lari. sul gayida 15+18=33 yuTi. auRia 33·54=1782 lari.13. gayides 150+140=290 palto. darCa 420-290=130 palto. aqedan 65 –

68

qalis, 65 – kacis. Tavdapirvelad hqoniaT qalis 140+65=205 palto, kacis ki – 215 palto.

15. 48+54=102 detalSi gadaixades 5100 lari. erT detalSi – 5100:102=50 lari. I-s auRia 48·50=2400 lari, II-s ki – 54·50=2700 lari. 16.

150

100

60°

50A

o B

150-is 23

nawilia 150·23 =100

pasuxi: 100 km/sT.

17. SevadginoT gamosaxuleba: gakveTilebis xangrZlivoba – 5•45; Sesvene-bebis xangrZlivoba 3•5+15; dro saxlamde - 25.

5·45+3·5+15+25=280 wT=4 sT da 40 wT.

e.i. Tina saxlSi dabrundeba 13 sT da 40 wT-ze.

18.4·2·3=24 sm.

§14 da §16 – ixileT jgufuri samuSaos Catarebis sqema `scenarebSi~.

§15. moqmedebaTa Sesrulebis rigi

moqmedebebi davyoT safexurebad. aucilebelia, moswavle kargad erkve odes ricxviT gamosaxulebaSi; adgendes, ra TanmimdevrobiT unda sruldebodes moqmedeba da asrulebdes mas.

5. pirvelma muSam imuSava 24·5=120 (sT)

meorem 30·6=180 (sT) orivem 180+120=300 (sT)

300-sT-iani muSaobisTvis miiRes 1200 lari, e.i. 1 sT-Si iReben 1200:300=4 (lars)pirveli muSa aiRebda 120·4=480 (lars)meore muSa ki – 180·4=720 (lars)

9. wiTeli 2x yviTeli – x 2x+x+6x=72

x=8 lurji – 3·(2x)=6x

pasuxi: 8 burTula

§17. naSTiani gayofa

ukve aRvniSneT, rom gayofis moqmedebis Sesruleba gamravlebiT mowmdeba, anu 104:4=26. es niSnavs, rom 104=4·26. ra kavSirSia erTmaneTTan ricxvebi, roca gayofa ar sruldeba unaSTod? SevTavazoT moswavleebs ramdenime ricxviTi magaliTi. mag. 20:3=6 (2) rogori tolobiT SeiZleba

69

davakavSiroT magaliTSi miRebuli ricxvebi? – 20=3·6+2.amis Semdeg CamovayaliboT zogadad a=bc+r. moswavleebma TviTon

gamoTqvan azri, rogori mniSvnelobebis miReba SeuZlia r-s. naSTian gayofaze N12-13 tipis amocanebis msgavsi araerTi magaliTia. gavarCioT isini dawvrilebiT, mivceT analogiuri amocanebi.

5. (400:8)·30=50·30=1500 (vedro)

6. 254:16=15 (14). r=14.10. 50:16=3(2) darCeba 2 mandarini da 11 kanfeti235:16=14(11)

11. nebismier wels aris 52 sruli kvira.

12. 137:n=10(7) 137=10n+7 10n=130 n=1314. a) a=5k b) a=5k+1 g) a=5k+2 d) a=5k+3 e) a=5k+4

sasurvelia, am davalebis Sesrulebisas moswavleTa yuradReba gavamaxviloT imaze, rom ukve SegviZlia davweroT ricxvis formula misi sityvieri daxasiaTebis mixedviT. magaliTad: davweroT formula ricxvisa, romelic 7-iT gayofisas naSTs gvaZlevs 5.

a=7k+515. a) a=10k+2 b) a=10k+5 g) a=10k+4 d)a=10k+7 e) a=10k+816. b) a=17k+818. nakiani wlebia 2008, 2012. 2012 wlis Tebervali ar gvainteresebs, amitom 1-jer. 2008 wels iyo 29 Tebervali.

19. 2012 nakiani weliwadia.

20. 100:4=25 25-jer.

22. 16 marti oTxSabaTia, 24 marti – xuTSabaTi, 30 marti – oTxSabaTi, pirveli aprili ki – paraskevi.

23. radgan udidesi gvinda, unda aviRoT udidesi naSTi. e.i. x=23•14+22=344

viTamaSoT

I. gadavnomroT ujrebi marjvnidan marcxniv. pirveli moTamaSe qvas luwnomrian ujraze debs, meore ki – kentnomrianze. amitom, roca ujrebis luwi raodenoba iqneba, moigebs I. xolo kenti ujrebis SemTxvevaSi – meore moTamaSe.II. 11 21 31 41 51 5 4 3 2 1 roca 25 ujriani zoli gvaqvs, pirveli

akeTebs 11 svlas. meorec – 11 svlas,

70

me-12 svlis gakeTebas SeZlebs pirveli, meore waagebs.

III. I II sul

1 +4 52 +3 53 +2 54 +1 5

da a.S. meore moTamaSe cdilobs mis mier aRebuli qvebiT aRebuli qvebis saerTo raodenoba 5-is jeradi gaxados, radgan 65:5, amitom sworad TamaSis SemTxvevaSi moigebs meore moTamaSe. Tu meore Secdeba, maSin pirvels eZleva mogebis Sansi. ra Tqma unda, sworad TamaSis SemTxvevaSi.

§18. naturaluri ricxvis gamyofebi da jeradebi

SevaxsenoT moswavleebs gamyofis cneba, ganvmartoT jeradi. aRvniSnoT, rom nebismier naturalur ricxvs sasruli raodenobis gamyofi aqvs, jeradi ki usasrulo raodenobaa.

gakveTilze vavarjiSoT moswavleebi erTi da imave ricxvis gamyofebisa da jeradebis dasaxelebaze.

cxadia, SegviZlia damatebiTi SekiTxvebi davusvaT moswavleebs, Tun-dac, SevasrulebinoT me-4 da me-9 tipis savarjiSoebi; orniSna SevcvaloT samniSnaTi; me-10-Si jami SevcvaloT namravliT da a.S.

4. a) 9-is jeradi erTniSna da orniSna ricxvebis raodenobaa 99:9=11. aqedan, erTniSnaa mxolod 9, e.i. 9-is jeradi orniSna ricxvebis raodenoba iqneba 11–1=10.

g) 99:7=14(1) 14–1=13. (orniSna)

5. umciresia 1, udidesi a.6. a7. ara. rveulebis raodenoba unda yofiliyo 2-is jeradi ricxvi.

8. dilis 8 sT-dan saRamos 8 sT-mde 12 sT-ia.

12 sT=12·60=720 (wT). 720:45=16.

pasuxi: 16.

10. 24-is gamyofebad, magram radgan jgufuri samuSaos Catarebaa saWiro. maswavlebeli moswavleebs dayofs an 4 an 6 jgufad da TiToeulSi iqneba Sesabamisad an 6 an 4 moswavle.

11. unda vipovoT: a) 10-is jeradi ricxvebi; b) 15-is jeradi; g) 6-is jeradi.

12. iyofa 8-ze, 3-ze da 6-ze, e.i. 24-ze.

13. a) jeradi; b) 7-is jeradi.

14. yvelaze cota – oTxi;

yvelaze meti – xuTi.

71

am amocanis ganxilvisas gavamaxviloT yuradReba imaze, rom 1-dan 28 ricxvis CaTvliT, aris 4 kvira, anu yvela dRe (orSabaTi, samSabaTi... kvi-ra) Sevsebulia 4-4-jer. 29, 30, 31 ricxvebidan, Tu isini aris am TveSi, ra dRec aris, kidev emateba 1.

15. 29 Tebervali iyo paraskevi. 1-li Tebervali iyo 28 dRis win. 28=7·4 (7-is jeradia), e.i. iyo paraskevi.

§19. 2-ze, 5-ze da 10-ze gayofadobis niSnebi

moswavleebi unda ganasxvavebdnen luw da kent ricxvebs; gayofadobis niSnebis safuZvelze, unda arCevdnen ricxvebs, romlebic iyofa 5-ze da 10-ze; unda SeeZloT mocemuli ricxvis jeradi ricxvis formulis dawera da am formulebis daxmarebiT me-10, me-11 savarjiSoebis msgavs magaliTebze msjeloba.

6. a) 50 danarCenebis bolo cifria 5. b) 555. danarCenebis bolo cifria 0.

g) 65. danarCenebi luwi ricxvebia. d) 32. danarCenebi 5-is jeradia.

9. a) kenti ricxvebis, aseve luwi ricxvebis jamic da sxvaobac luwia. kenti da luwi ricxvis jamic da sxvaobac kentia.

12. orSabaTi iyo luw ricxvSi. Semdegi orSabaTi iqneba 7 dRis Semdeg (luwi+kenti=kenti), anu kent ricxvSi. gavamaxviloT yuradReba imaze, rom yovel TveSi, 1-dan 28 ricxvis CaTvliT, yvela dRe gvxvdeba 4-jer. amasTan, 2-jer iqneba luw ricxvSi, orjer – kent ricxvSi. maSasadame, Tu romelime TveSi iyo 5 paraskevi, es niSnavs, rom 28 ricxvis mere aucileblad iyo paraskevi (29, 30, 31).an: Tu romelime TveSi iyo 3 luwi SabaTi, maSasadame, am Tvis 30 ricxvi iyo SabaTi (me-5 SabaTi iyo 28-is mere).

13. a) 1+28=29 ricxvSi iqneba samSabaTi. 1-dan 28-is CaTvliT, iyo 4 samSabaTi, maSasadame, am TveSi iyo 5 samSabaTi.b) 1-dan 28-mde iyo 2 kenti da 2 luwi samSabaTi. 29 iyo samSabaTi, e.i. am TveSi iyo 2 luwi da 3 kenti samSabaTYi.d) 30 iyo oTxSabaTi. e.i. iyo 2 kenti da 3 luwi oTxSabaTi.e) 5 oTxSabaTi.v) martSi 31 dRea. 1-li marti iyo samSabaTi, maSasadame, 1+28-29 iyo samSabaTi, 30 – oTxSabaTi, 31 – xuTSabaTi. e.i. am TveSi samSabaTi, oTxSabaTi da xuTSabaTi iyo 5-jer, danarCeni dReebi ki – 4-jer.

72

§20. martivi da Sedgenili ricxvebi

ganvmartoT martivi da Sedgenili ricxvebi. paragrafSi dasmuli amocanebi da paragrafis savarjiSoebi, ZiriTadad, SekiTxvebis formisaa. SevecadoT, rom maTze moswavleebma imsjelon da SeZlebisdagvarad amomwuravi pasuxebi miviRoT maTgan.

moswavle erTmaneTisgan unda ganasxvavebdes martiv da Sedgenil ricx-vebs; unda icodes, rom 2-is garda, yvela martivi ricxvi kentia; yovel-gvari dasabuTebis gareSe unda hqondes warmodgena imaze, rom rogorc Sedgenil, aseve martiv ricxvTa simravlec usasruloa; ricxvis gamyofebs Soris unda SeeZlos martiv gamyofTa amorCeva.

6. 2 da 3. sxva wyvili ar iarsebebs, radgan ori momdevnodan erTi aucileblad luwia.

7. 2+3=5 2+5=7 2+11=13 2+17=19 2+41=438. ara. sami momdevno ricxvidan erTi mainc luwia, romelic ver iqneba 2-is toli.

12. ara. n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) sami momdevno ricxvis jami iyofa 3-ze.

13. esenia: 52=25; 112=121; 132=169; 172=289; 192=361; 232=529; 292=841; 312=961. aseTia martivi ricxvis kvadrati. Tu a martivia, a2 iyo-fa 1-ze, a-ze da a2-ze.

17. sul gvaqvs 90 orniSna ricxvi. aqedan 45 kentia da 45 luwi.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16g d d d g d g b g g g d b g b g

Tavis damatebiT savarjiSoebs Semajamebeli xasiaTi aqvs. SevamowmoT, mivaRwieT Tu ara imas, rasac am Tavis Seswavla isaxavda miznad – SeuZlia Tu ara moswavles mravalniSna naturalur ricxvebze oTxive ariTmeti-kuli moqmedebis Sesruleba; icis Tu ara, rogoria martivi da Sedgenili ricxvebi; SeuZlia Tu ara daasaxelos ricxvis gamyofebi, jeradebi.

(erT-erTi aucileblad luwi unda iyos, anu erT-erTi 2-ia, meore ki – kenti.

73

III Tavis damatebiTi savarjiSoebi

1. 500–(3·50+5·40)=500–350=150 TeTri=1 lari 50 TeTri

2. 7·3+5·1=263. 100:10=10. am aTis dalevis Semdeg kidev gacvlis 1 limonaTSi, anu 11.

7. faqtiurad, yoveldRiurad sawyobs akldeba 100 kg kartofili

700:100=7 7 dReSi.8. x+3x+5=13 x=2. 2;6;5 udidesi 6 sm.

13. a) x=7n+3; b) x=5n+2; g) x=11n+7; d) x=15n+5.14. a) 9n+2-is 3-ze gayofis naSTia 2.

b) 9n+7=9n+6+1 naSTia 1.

17. giorgi A wertilSi moxvdeba moZraobis dawyebidan 20;40: 60 ;70.... wuTis Semdeg, daTo – 15;30;45; 60 ... wuTis Semdeg. saerToa 60 wT.

74

IV Tavi

§1. Cveulebrivi wiladebi

Zalian bevri magaliTis moyvana SeiZleba mTelis nawilebad dayofaze, amitom wiladi ricxvebis Semotanis aucilebloba moswavleTaTvis advili dasanaxia.

ganvmartoT cnebebi: wiladi, mricxveli, mniSvneli.moswavle unda ayalibebdes, ras gviCvenebs mricxveli da mniSvneli;

unda adgendes zomis erTeulebs Soris damokidebulebas (mag., №7,8, 9...).

4. 9.

9. sul dasWirda 1 sT da 50 wT. anu 110 wT.

maTematikaze daxarja 110 wT-is 15 , anu 22 wuTi. darCa 110-22=88 wT.

geografiaze – 88 wT-is 18 nawili, anu 11 wuTi.

10. 30 yuTSi, TiToeulSi – 18 kg. e.i. gaunawilebiaT 18·30=540 kg vaSli.

11. auzis 14 -Si eteva: 30(80+180+100)=10800 l wyali, auzSi ki – 10800·4=

43200 l.

12. matarebliT gaigzavna 28·40=1120 tona, darCa 1170-1120=50 tona, rac daeteva 50:5=10 manqanaze.

13. samive Svilis ojaxebSi sul 3+2+1=6 sulia, Sindis raodenoba ki 42 kg-ia, e.i. TiTo sulze – 7 kg. ufrosi Svilis ojaxs – 21kg.– 9+10+2 (kalaTi), SuaTana Svilis ojaxs – 14kg.– 6+8 (kalaTi), umcrosisas – 7kg.– 7 (kalaTi).

§2. amovxsnaT amocanebi

1. 180°-is 310 nawili rom vipovoT, 180°· 3

10 = 54°.

180°· 720 = 63° ; 180°· 1

90 = 2°.3. vaSlia 35· 2

7 = 10, mandarini – 35-10=25.4. biWia 1200· 2

3 = 800, gogo ki – 400.5. amovxsnaT bolodan. sanam 12-s gamoaklebda, ricxvi iyo 12+18=30. e.i. Cafiqrebuli ricxvis 1

5 -ia 30. maSasadame, es ricxviaa 150.

6. a) 37 kvira = 3

7 · 7 dRe = 3 dRe = 3·24 sT = 72 sT.

b) 4100km = 4

100· 1000 m = 40 m

g) 760 wT = 7

60 · 60 wm = 7 wm

d) 31000 t = 3

1000 · 1000 kg = 3 kg

75

7. 3100 ; 1

4 ; 37100

8. 1° aris marTi kuTxis 190 nawili, 17° iqneba 17

90 nawili.

14. 1 gverdia 1160 nawili, 23 gverdi iqneba 23

160 nawili.

15. 5 kg da 600 gr = 5600gr. muraba moxarSa 57 nawiliT. mTeli raodenobis

17 aris 900 grami; 5

7 iqneba 4500gr= 4 kg da 500 gr.

16. 35 = 6

10, anu 6 amocana aris mTelis 610 nawili. e.i. iyo 10 amocana, darCa

4 amocana.

§3. wrewiri, wrewiris elementebi

gavaxsenoT moswavleebs wrewiris ganmarteba; ras ewodeba wrewiris centri, radiusi.

ganvmartoT wrewirTan dakavSirebuli cnebebi: qorda, diametri, rkali, centraluri kuTxe.

vTxovoT moswavleebs, dafaze daxazul naxazze daafiqsiron, ra kavSi-ria wrewiris diametrsa da radiuss Soris. gavavloT ramdenime radiusi amave naxazze. moswavleebi dainaxaven, rom miRebuli yvela centraluri kuTxis jamia 360°.

6. b) A B

C

AB; ACB; BC; BAC; AC; ABC

8. 60°.

12. ∠AOB+∠BOD=∠AOD ∠BOD=40°14. saaTebis maCvenebeli TiTo danayofi Seicavs 360°:12=30°-s.

a) didi isari mobrunda 60°-iT, e.i. gavida 10 wT, anu 15 sT da 10 wT. b) mobrunda 1800-iT, e.i. gavida 30 wT, anu 15 sT da 30 wT.

15. a) b)

16. 18-s jamSi gvaZlevs 1+17; 2+16; 3+15; 4+14; 5+13; 6+12; 7+11; 8+10; sul – 8 wyvili da kidev 9. Tu amoviRebT 10 burTulas, maTSi garantirebulad iqneba sasurveli wyvili.

18. (2x–x)·11=660

siCqareebia: 60m/wT da 120m/wT.

20. a) 4 sT; b) 5 sT; g) 6 dReSi.

76

§4. wre. seqtori

moswavleebs xSirad erevaT erTmaneTSi wre da wrewiri. kargad avuxsnaT maT, rom wre sibrtyis nawilia, wrewiri ki – wiri.

centraluri kuTxis ganmartebis Semdeg, maT ar gauWirdebaT, gaigon, ra aris seqtori da arc paragrafSi dasmuli amocanebis amoxsna.

moswavles unda SeeZlos, daadginos, mocemuli centraluri kuTxe wris ra nawilia da, piriqiT, wris mocemuli nawili ramdengradusiani centraluri kuTxea.

1. 18 .

2. 360°:8=45°.

3. 360°:6=60°. 5. <AOB=360°: 1

3 =120°.

6. 14

§5. wiladebis Sedareba

rodis miiRebT ufro met Sokolads – maSin, roca erT fila Sokolads Tanabrad gainawilebT 5 megobari Tu maSin, roca erT fila Sokolads Tanabrad gainawilebT 6 megobari? am SekiTxvaze nebismieri moswavle sworad gipasuxebT.

SevadarebinoT moswavleebs erTnairmniSvneliani da erTnairmricx-veli ani wiladebi; CamovayalibebinoT daskvnebi.

moswavleebma ician, rom ufro meti ricxvis Sesabamisi wertili ricxviT RerZze ufro marjvniv mdebareobs, amitom wiladebis ganlageba ar gauWirdebaT.

8. 40·5=200 (litri)

9.

10. 47 , 3

7 , 27 , 1

7 .

11. 35·12=420 (km).

12. 15·2–12·2=6 (km).

13. 3(55+65)=360 (km).

77

§6. wesieri da arawesieri wiladebi

ganvmartoT wesieri da arawesieri wiladis cnebebi. xazi gavusvaT, rom naturaluri ricxvebic arawesier wiladebad SeiZleba CaiTvalos.

SeiZleba, Cvenve movifiqroT da davamatoT me-5, me-6, me-7 tipis msgavsi savarjiSoebi.

moswavle erTmaneTisgan unda ganasxvavebdes wesier da arawesier wiladebs, unda SeeZlos maTi 1-Tan Sedareba da maTi ganmarteba.

7. arawesieria, Tu n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. wesieria n<8-Tvis. danarCeni arawesieria.

8. 1m2-is SeRebvas sWirdeba 15 kg; 2m2-s dasWirdeba 2

5 kg=400 g.

9. pirvelis erTi naWeri iqneba mTelis 15 , meoris – 1

6 . 15 > 1

6 . metia pirvelis.

10.a) 15 < 1

3 amitom 25 < 2

3 . SesaZlebelia, vaCvenoT modelzec.

11. 1720 Tu aris 85, anu 1

20=85:17=5 (dRiuri normaa 5·20=100 detali.

§7. gayofa da wiladi

wiladis cnebis SemoRebis Semdeg, SegviZlia avuxsnaT moswavleebs, rom ori naturaluri ricxvis ganayofi aris wiladi, romlis mricxveli gasayofia, xolo mniSvneli – gamyofi.

a ricxvi ra nawilia b ricxvisa? – moswavleebma unda SeeZloT am kiTxvaze pasuxis gacema. sami oTxis 3

4 nawilia, xuTi Svidis 57 , xolo

Cvidmeti samisTvis 173 nawilia.

3. a) 355 ; b) 56

8 ; g) 7711 .

4. a) 37 ; b) 3

17 .

7. Tu mTel tvirTs davyofT 5 tol nawilad, maSin gadaziduli aRmoCndeba 4 nawili da gadauzidavi – 1 nawili, e.i. gadaziduli tvirTi mTelis 4

5 nawilia.

8. daTos aqvs mTeli kaklis 1 wili, nikas 3 wili, xolo lukas 3·4=12 wili.

kaklis mTeli raodenoba dayofilia (1+3+12)=16 tol nawilad. lukas

aqvs kaklis mTeli raodenobis 1216

nawili.

11. 10016 kg.

14.a) 56

-dan 1-mde 16

-ia, 78

-dan 18

; 18 <

16 e.i. 7

8 ufro axlosaa.

16.es ricxvi unda iyofodes rogorc 3-ze, ise 4-ze, anu sul mcire, 12 metri unda iyos.

78

19. 12·10+11=13120. wiladi rom iyos umciresi, mricxveli unda davasaxeloT rac SeiZleba mcire, mniSvneli ki – rac SeiZleba didi. moswavleebisTvis advilad aRsaqmeli iqneba, rom wiladis mniSvnelis udides mniSvnelobas ver davasaxelebT, is yovelTvis SeiZleba gavzardoT, Tundac erTiT.

§8. arawesieri wiladidan mTelis gamoyofa

paragrafSi ganxiluli amocanis msgavsi amocanebis magaliTze moswavleebi miviyvanoT daskvnamde arawesieri wiladidan mTeli nawilis gamoyofis Sesaxeb.

miviReT Sereuli ricxvis cneba. nebismieri ricxvi SeiZleba CavweroT wesieri, arawesieri wiladis an Sereuli ricxvis saxiT. 3+ 5

3 =3 53 magaliTis

pasuxi unda dasruldes

3 53 =4 2

3yuradReba gavamaxviloT SekiTxvebze – rodis aris wiladi nawili 0-is

toli.? mTeli nawili?moswavle unda asxvavebdes erTmaneTisgan wesier da arawesier wiladebs,

unda SeeZlos arawesieri wiladidan mTelis gamoyofa.

4. roca wiladi wesieria.

8. a) 92 =4 1

2 ; 5315=3 8

15; e.i. 92 >53

15.9. aviRoT 3

8 damatebiT miviRebT 3+88 =1 3

8 gaizarda 1-iT.

11. a) 187 =2 4

7 2<187 <3

13. a) 4-jer. 14

14

14

14

b) 7-jer. g) 8-jer. d) 10-jer.

14. cxadia, namravli bolovdeba 0-iT, SeiZleba amocana gavarTuloT da daviTvaloT 0-ebis raodenoba 1-dan 37-mde. aris 5-is jeradi 7 ricxvi, romlebSic Tanamamravlad TiTo 5-iania, garda 25-isa 25=5·5, e.i. namravlSi aris 8 cali 5-iani (luwi ricxvebi Zalian bevria), e.i. namravli dabolovdeba rva 0-iT.

15. pirveli droSidan mervemde aris 7 danayofi, romelic gairbina 8 wamSi. 1 danayofs gairbens 8

7 wamSi. merve droSidan meTormetemde aris 4 danayofi, romelsac gairbens 4· 8

7 = 327 =4 4

7 wamSi.

79


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a b d d g g d b b d

§10. wiladi ricxvebis Sekreba da gamokleba

auxseniT moswavleebs, rom am etapze Sekreba-gamokleba sruldeba mxo-lod tolmniSvneliani wiladebisTvis.

moswavleebs ar gauWirdebaT paragrafSi dasmuli amocanis msgavs amocanebze pasuxis gacema – mag., Tu pirvel dRes daamuSaves mTeli yanis 15 , meore dRes – 25 , sul ra nawili iqneba damuSavebuli an ra nawili darCeba dasamuSavebeli? mTavaria, sworad ayalibebdnen tolmniSvneliani wiladebis Sekreba-gamoklebis wesebs da iyenebdnen maT.

4. d) a+b= 13125+ 21

125= 34125

5. 17 + 2

7 = 37

7. 711 – 4

11 = 311 3

11 -iT

8. a) 7+ 49 + 3

9 =7 79 ; b) 2+17

11 – 611

=2+ 1111 =3

9. meore partia grZeldeboda 53 + 4

3 = 93 =3 (sT-s). TamaSi grZeldeboda

3+1+ 32 =4 2

3 sT-s.

10. a) x=1715– 11

15+ 315 ; x= 9

15 ; b) x=1320+ 7

20 – 920 ; x= 11

20.

13. a) 67 > 5

6 ; b) 2425 >17

18 .16. 2(40+25)+4(20+25)+30=340. dasWirdeba 340sm-is sigrZis lenti.

17. aRar darCa.

18. a) zedmetia 30 ; b) zedmetia 25 .

§11. Sereuli ricxvis gadaqceva arawesier wiladad

am gakveTilze moswavleebs SeasrulebineT me-7 paragrafSi Catarebulis Sebrunebuli moqmedebebi – Sereuli ricxvi gadaaqcion arawesier wiladad.

Tavdapirvelad aCveneT es moqmedeba ise, rogorc paragrafSia ganxiluli, da auxseniT, rom Sesabamisi daskvnis gakeTebis Semdeg, cxadia, es moqmedeba, ufro mokled Sesruldeba. SeecadeT, daskvna TviTon moswavleebma Camoayalibon.

3. a) 2=105 ; b) 2=26

13 ; g) 2=147 ; d) 2=200

100; e) 2=3015 .

80

4. meoreze iyo 4 310+1 1

10=4+ 310+1+ 1

10=4+1+ 310+ 1

10=5 410 tona vaSli.

bazaSi moitanes: 4 310+5 4

10=4+ 310+5+ 4

10=9 710 tona vaSli.

6. a) 7sm = 7100 m. 5m da 7sm =5 7

100 m=507100m.

7. a) 18:x=6 x=18:6=3;

b) x11 =5 x=5·11=55

8. 143=11·13 klasSi 24 moswavlea.

9 . 57

kg. murabaa 1 qilaSi.

13. 4·4=16; 16·4=64; 64·4=256; 256·4=1024; 1024·4=4096. es ricxvia 4096.

§12. Sereuli ricxvebis Sekreba da gamokleba

xSiria SemTxveva, roca maRal klasebSi Sereul ricxvebze moqmedebebis dros moswavleebi ricxvebs aucileblad arawesier wiladebad aqceven, Semdeg axdenen moqmedebebs. moswavleebs vaswavloT swori moqmedebebis Sesruleba – jer mTelebze, Semdeg wiladebze.

5. a) 41214; b) 2 2

37 ; g) 1 513

.6. 2m 15sm =2 15

100 m; 1m 3dm=1m 30sm=1 30100 m

AAB=2 15100 +1 30

100=3 45100(m)

7. 20+50+75=145(wT);

145 wT=14560 sT =225

60sT.

8. 35 25 +1 1

5 + 35 =36 6

5 =37 15 (kg) .

9. Sarvlebze daixarja mTeli qsovilis 516 nawili, e.i. 144-is 5

16 , rac 45 metris tolia.

10. S=3(27+33)=180 km.

gasayofi

gamyofi

81

§13. wiladebis gamravleba da gayofa naturalur ricxvze

moswavleebi unda ayalibebdnen wiladebis naturalur ricxvze gamrav-lebisa da gayofis wesebs; maT unda SeeZloT maTi gamoyeneba konkretuli ma ga liTebisa da amocanebis amoxsnis dros. aucileblad gaamaxvileT yuradReba Sereuli ricxvebis naturalur ricxvze gamravleba-gayofaze.

1. d) 72 – 1

2 = 62 =3; e) 12

5 –105 = 2

5 ; v) 27 – 2

7 =02. a) 7

10(58+42)=70010 =70; b) 45( 10

8 – 28 )=45.

3. a) a=1;2;3 b) a=1;2. . . . .6 sul 6.4. TiToeul sawyobSi Sevida produqciis 1

4 nawili. TiToeul maRaziaSi Sevidoda sawyobSi arsebuli produqciis 1

4 :12= 148 nawili.

5. 12 :3= 1

66. a) x=15

9 :5 x=1545; b) x= 2

7 ·3 x= 67 ;

g) x= 47 :2= 4

14; v) x=1215 :4 x=12

60.7. `mricxveli gaizarda 6-jer~ niSnavs, rom wiladi gaizarda 6-jer. `mniSvneli gaizarda 3-jer~ ki niSnavs, rom wiladi Semcirda 3-jer. e.i. wiladi gaizarda 2-jer.

8. davuSvaT, nikas stipendiaa x lari. maSin giorgis xelfasi iqneba 3x lari, daTYos xelfasi ki – 6x lari. e.i. nikas stipendia (x) daTos xelfasis (6x) 1

6 nawilia.

10. atlantikis okeanes uWiravs 617 :2= 6

34 (nawili)

12. amocanis pirobis Tanaxmad:

§14. wiladis ZiriTadi Tviseba

paragrafSi dasmuli amocanis msgavsi araerTi amocana SeiZleba movi-yvanoT Sokoladis filebze, xaWapurze, tortze, woniT raodenobebze... tortis 1

3 naWeri metia Tu 39 ? 500 kg-is 2

5 metia Tu 410? da a.S. moswavlee-

bma Seadaron erTmaneTs da gamoitanon daskvna. moswavles unda SeeZlos wiladis ZiriTadi Tvisebis Camoyalibeba da misi ariTmetikuli moqmede-bebisas gamoyeneba.

6. a) 11; 12; 13; 21; 23; 31; 32; 33. b) 11; 10; 13; 30; 31; 33.

7. amocanis pirobis Tanaxmad, Tamunasa da naTias Soris nawildeba leqsi da cekva, e.i. Teona mReris da qeTi gitaraze ukravs.

miviReT: Tengo - IV; irakli - I; zura - III; giorgi - II.

I I I I I I I Vi + – – –g – + – –z – – + –T – – – +

82


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d a d g b a b d a d

Tavis damatebiTi savarjiSoebi isev Semajamebel gakveTilze gamoiye-neT. miaRwieT Tu ara Sedegs, rasac es Tavi isaxavda miznad: moswavle unda kiTxulobdes, erTmaneTs adarebdes wiladebs – wesiers, arawesi-ers, Sereul ricxvebs; SeeZlos Sereuli ricxvebis arawesier wiladad gadaqceva da piriqiT mTelis gamoyofa arawesieri wiladidan; axdendes Sekreba-gamoklebis operaciebs erTnairmniSvnelian wiladebze; yofdes, amravlebdes wiladebs naturalur ricxvze; icodes wiladis ZiriTadi Tviseba; icodes geometriuli figurebi – wre, wrewiri, kvadrati, marT-kuTxedi da maTi elementebi; SeeZlos marTkuTxa paralelepipedis da kubis Slilis gakeTeba; erTmaneTTan akavSirebdes farTobis erTeulebs.

IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi:

1. a) 112; b) 1

6 ; g) 14 ; d) 1

3 ; e) 12 .

3. b) x<54. a) 7

15 ; b) 817 ; g) 3

4 .5. 12·7=84 (lari).

6. 3 naWeri

8. a=517. a) gaizrdeba 5-jer;

b) Semcirdeba 5-jer;

g) Semcirdeba 10-jer;

d) gaizrdeba 10-jer;

e) Semcirdeba 100-jer.

19. gaiara gzis 38 , e.i. gasavleli darCa 5

8 , rac 20 km-is tolia. anu gzis 18

aris 4 km. mTeli gza iqneba 32 km.

22. xeebs Soris miiReba 19 Sualedi.

a) 7-dan me-13 xemde aris 6 Sualedi, anu 619 nawili;

b) 2-dan me-5 xemde aris 3 Sualedi, anu 319 nawili;

g) 1-dan me-12 xemde aris 11 Sualedi, anu 1119 nawili.

83

amocanebi maTematikis moyvarulTaTvis

1. gafuWebuli onkanidan wyali mowveTavs. natom SeniSna, rom naxevarlitriani qila ivseba 15 wuTSi. ramdeni litri wyali daikargeba dRe-Ramis ganmavlobaSi, Tu onkans ar SeakeTeben?

2. ricxvSi 251452347 amoSaleT sami kenti cifri ise, rom darCenilma cifrebma (imave mimdevrobiT) Seadginos udidesi SesaZlo ricxvi.

3. maRaziaSi nivTi Rirda 19 lari. myidvels fulis gadaxdisas aRmoaCnda mxolod 5-larianebi, gamyidvels ki – mxolod 2-larianebi. SeuZlia Tu ara myidvels nivTis yidva da rogor?

4. moswavlem rom iyidos 11 fanqari, darCeba 5 TeTri, xolo imave TanxiT rom iyidos 15 fanqari, daakldeba 7 TeTri. ra Tanxa aqvs moswavles?

5. wignidan amovarda misi raRac nawili. amovardnili nawilis pirveli gverdis nomeria 387, xolo bolo gverdis nomeri imave cifrebisgan Sedgeba. ramdeni gverdi amovarda wignidan?

6. kolofSi 10 wiTeli, 8 lurji, 8 mwvane da 4 yviTeli fanqaria. sul cota ramdeni fanqari unda amoiRo kolofidan TvaldaxuWulma, rom maT Soris aucileblad moiZebnos:

a) 4 erTnairi feris fanqari?b) yvela feris TiTo fanqari?g) 6 mwvane fanqari?d) 6 erTnairi feris fanqari?

7. ras udris ori ricxvis jami, Tu is 3-iT metia pirvelze da 5-iT metia meoreze?

8. bavSvebi xerxaven xis Zels 1-metrian naWrebad. erTi naWris CamoWras 5 wuTs andomeben. Zelis sigrZe 7 metria.

a) ra dros moandomeben bavSvebi Zelis daWras?b) ramdeni 1-metriani naWeri eqnebaT samuSaos damTavrebis Semdeg?

9. warmoidgine, rom dawere yvela mTeli ricxvi 1-dan 100-is CaTvliT. ramdenjer dawere:

a) 9-iani? b) 3-iani? g) 0-iani?

10. cxrasarTuliani saxlis I sarTulze 2 kaci cxovrobs, yoveli TiTo sarTulis momatebisas mcxovrebelTa raodenoba 4-iT izrdeba. liftSi romeli sarTulis Rilaks iyeneben am saxlis binadrebi yvelaze xSirad?

11. oqroTi savse skivri 32 kilograms iwonis, naxevrad savse ki – 17 kilograms. ramden kilograms iwonis carieli skivri?

12. gamyidvels sami carieli yuTi aqvs, warwerebiT: „xili“, „vaSli“, „kartofili“. am yuTebSi man vaSli, msxali da kartofili ise Caawyo, rom yvela warwera mcdari aRmoCnda. ra devs yuTSi warweriT „vaSli“?

84

13. erT tbaSi izrdeba dumfara, romelic wylis zedapirzea. yoveli saaTis gasvlis Semdeg yvavilebis mier dafaruli wylis farTobi ormagdeba. 10 saaTis Semdeg mTeli tba daifareba. ramden saaTSi daifareba tbis farTobis naxevari?

14. roca Cemi Svili 12 wlis iyo, me 31 wlis viyavi. axla Cemi wlovaneba 2jer metia, vidre Cemi Svilis. ramdeni wlis var axla me?

15. tabloze mwvane, wiTeli da yviTeli naTurebia damagrebuli. mwvane naTura yovel 6 wuTSi inTeba, wiTeli – yovel 10 wuTSi, yviTeli – yovel 15 wuTSi. samive naTura erTad 9 saaTze ainTo. romel saaTze ainTeba amis Semdeg pirvelad samive naTura erTad?

16. yuTSi devs 10 wyvili Savi da 10 wyvili TeTri xelTaTmani. yuTSi Cauxedavad sul mcire ramdeni xelTaTmani unda amoviRoT, rom maT Soris aucileblad aRmoCndes erTi wyvili:

a) erTi feris?b) TeTri?g) Savi xelTaTmani?

17. ricxvidan 1234512345123451234512345 amoSale 10 cifri ise, rom darCes rac SeiZleba: a) mcire ricxvi; b) didi ricxvi.

18. amoweres yvela naturaluri ricxvi TanmimdevrobiT 1234567891011121314151617... romeli cifri dgas me-200 adgilas?

19. 97-s gamoakles raRac ricxvi, miRebuli sxvaoba gaamravles 2-ze, namravls gamoakles 15 da miiRes 105. ra ricxvi gamoakles 97-s?

20. 27-s gamoakles raRac ricxvi, miRebuli sxvaoba gayves 7-ze, miRebuli ganayofi gaamravles 15-ze, miRebul namravls gamoakles 17 da miiRes 13. ra ricxvi gamoakles 27-s?

21. ramdeni ricxvia 1-dan 100-mde iseTi, romelic 3-iT bolovdeba?

22. ramdeni ricxvia 1-dan 100-mde iseTi, romelic 3-is jeradia?

23. ramdeni ricxvia 1-dan 100-mde iseTi, romelic an 3-iT bolovdeba an samis jeradia?

24. oTxi momdevno naturaluri ricxvis jamia 2010. ipove es ricxvebi.

25. mocemulia 8 ricxvi. yoveli ricxvi, dawyebuli meoridan, wina ricxvze 2-jer metia. cnobilia, rom mesame da meSvide ricxvebis jamia 429. ipove es ricxvebi.

26. kartofili ganawilebulia 5- da 3-kilogramian paketebSi. paketebis saerTo raodenobaa 24. ramdeni 5 kg-iani da ramdeni 3 kg-iani paketia, Tu 5 kg-iani da 3 kg-iani paketebis saerTo masa tolia?

27. erTi rveuli, 2 fanqari da erTi saSleli 12 lari Rirs, xolo 2 rveuli, 3 fanqari da 3 saSleli – 27 lari. ra Rirs 2 rveuli, 2 fanqari da 4 saSleli?

85

28. daTo mdinareze sabanaod wavida fexiT, xolo ukan dabrunda velosipediT. mTel gzaze man daxarja 40 wuTi. meored mdinaremde da ukan man imgzavra velosipediT da daxarja mxolod 20 wuTi. ra dro dasWirdeba daTos, rom mTeli gza (mdinaremde da ukan) gaiaros fexiT?

29. yuTSi devs lurji, wiTeli da mwvane fanqrebi, sul – 20 cali. lurji fanqrebis raodenoba 6-jer metia, vidre mwvane, xolo wiTeli fanqrebi ufro naklebia, vidre lurji. ramdeni wiTeli fanqaria yuTSi?

30. mariami saxlidan skolamde midis 9 wuTSi, xolo mis Zma giorgis imave skolaSi misasvlelad da ukan dasabruneblad sWirdeba 9 wuTi. ramdenjer metia giorgis siCqare mariamis siCqareze?

31. daWeriT TiToeuli figura or tol nawilad (formiTa da zomiT).

32. givi iwyebs sirbils 20 m/wT siCqariT. 3 wuTis Semdeg mas gamoedevneba kata 25 m/wT siCqariT. givis moZraobis dawyebidan ramden wamSi daeweva mas kata?

33. motocikli midis 60 km/sT siCqariT. ra siCqariT unda iaros motociklma, rom erTi kilometri 1/3 wuTiT Cqara gaiaros?

34. vaSlebiT savse yuTidan amoiRes yuTSi arsebuli vaSlebis naxevari, Semdeg – kidev darCenili vaSlebis naxevari, Semdeg – kidev darCenili vaSlebis naxevari da bolos – darCenili vaSlebis naxevari. amis Semdeg yuTSi darCa 10 vaSli. ramdeni vaSli iyo yuTSi Tavdapirvelad?

35. ciyvs 20 wuTSi miaqvs Txili fuRuroSi. ra manZiliTaa daSorebuli Txilis xe fuRurodan, Tu ciyvi darbis 5 m/wm siCqariT?

36. wignSi gadaixades lari da gadasaxdeli darCa kidev imdeni, ramdenic darCeboda gadasaxdeli, Tuki masSi gadaixdidnen imdens, ramdenic darCa gadasaxdeli. ra Rirs wigni?

37. yuTSi yria sami feris windebi – 7 wyvili wiTeli, 11 wyvili TeTri da 13 wyvili Savi. TvaldaxuWulma sul mcire ramdeni cali winda unda amoiRo, rom maT Soris aucileblad iyos:

a) erTi wyvili romelime feris; b) 1 wyvili TeTri; g) 1 wyvili wiTeli; d) 1 wyvili Savi;

e) TiTo cali yvela feris; v) erTi cali mainc TeTri; z) erTi cali mainc Savi; T) erTi cali mainc wiTeli.

86

38. 1 vaSli da 1 msxali erTad 25 TeTri Rirs, xolo 5 vaSli da 2 msxali ki – 95 TeTri. ra Rirs 1 vaSli da 1 msxali cal-calke?

39. moris 4 nawilad daWra Rirs 12 lari. ramdeni lari eRireba moris 8 naWrad daWra?

40. ricxvs 32 TavSi da boloSi miuwereT TiTo cifri ise, rom miRebuli oTxniSna ricxvi gaiyos 18-ze (ipove yvela amonaxseni).

41. ricxvs 45 boloSi miuwere ori cifri ise, rom miRebuli oTxniSna ricxvi gaiyos 45-ze (moZebne yvela amonaxsni).

42. ricxvs 23 TavSi da boloSi miuwereT TiTo cifri ise, rom miRebuli oTxniSna ricxvi gaiyos 45-ze (moZebne yvela amonaxsni).

43. ricxvSi 3*5* varskvlavebis nacvlad Casvi cifrebi ise, rom miRebuli ricxvi gaiyos 45-ze (moZebneT yvela amonaxsni).

44. giorgi pirveli sarTulidan avida mesame sarTulze da gaiara kibis 30 safexuri. kibis ramden safexurs gaivlida igi, Tu pirvelidan meeqvse sarTulze avidoda (sarTulebs Soris safexurebis erTnairi raodenobaa)?

45. marTkuTxa paralelepipedi, romlis sigrZe 2 santimetria, sigane – 3 sm, xolo simaRle – 5 santimetri, daWres kubebad, romelTagan TiToeulis sigrZe, simaRle da sigane 1 sm-ia. miRebulTagan ramden kubs aqvs SeRebili sami gverdi?

46. ricxviTi mimdevrobis wevrebi naturaluri ricxvebia da yoveli momdevno wevri wina wevrze 3-iT naklebia. sul ramdeni wevria mimdevrobaSi, Tu pirveli wevria 54?

47. ipove ori ricxvis jami, Tu igi erT Sesakrebze – 50-iT, meoreze ki 30-iTaa meti.

48. ipove 11-dan 19-is CaTvliT naturaluri ricxvebis jami martivi xerxiT.

49. skivrs aqvs 5 ujra. yovel ujraSi 3 yuTia, yovel yuTSi 10 monetaa. skivri, yvela ujra da yvela yuTi Caketilia. sul mcire ramdeni saketi unda gavxsnaT, rom 50 moneta amoviRoT?

50. samkuTxedis ori gverdi tolia, mesame ki 2 sm-iT metia danarCenebze. ipove am samkuTxedis gverdebis sigrZe, Tu samkuTxedis perimetria 11sm.

51. ori naturaluri ricxvis jamia 474. am ricxvebidan erT-erTis bolo cifria 1. Tu am cifrs gadavxazavT, miviRebT meore ricxvs. ipove es ricxvebi.

52. ramdeni gverdia wignSi, romlis gverdebis gadasanomrad saWiroa 747 cifri?

87

53. erT nakveTze muSaobs 25 traqtori, xolo meoreze – 30. pirvel nakveTze TiToeuli traqtori dReSi 3 ha-Ti mets amuSavebs, vidre meoreze. ramden heqtars amuSavebs dReSi TiToeul nakveTze erTi traqtori, Tu orive nakveTze erT dReSi 405 ha damuSavda?

54. ori qalaqidan Semxvedri mimarTulebiT ori matarebeli gamovida. pirveli matareblis siCqare iyo 54 km/sT, meoris ki – 75 km/sT. meore gamovida 2 saaTiT gvian pirvelze da Sexvedramde gaiara pirvelze 102 km-iT meti. ra manZilia qalaqebs Soris?

55. gvaqvs 9 erTnairi burTula. viciT, rom erT-erTi ufro msubuqia, vidre – danarCeni 8. rogor vipovoT 2 awoniT (TefSebian sasworze) msubuqi burTula?

56. aCvene, rom gamosaxulebis mniSvneloba iyofa 10-ze:a) (25354•258+45001•13)•376;b) (45107•297-1376•254)•132.

57. 1-li marti xuTSabaTia. ramdeni xuTSabaTi da ramdeni samSabaTi iqneba am TveSi?

58. ramdeni dRe iyo 1999 wlis 31 dekembridan 2011 wlis 1-l ianvramde (1-li ianvris CauTvlelad)?

59. Tu dRes SabaTia, ra dRe iqneba: a) 7kvirisa da 3 dRis Semdeg? b) 200 dRis Semdeg?

60. ramdeni nuliT dabolovdeba 1-dan 30-mde (CaTvliT) ricxvebis namravli?

61. grZel zolSi moTavsebulia 8 burTula: 4 Savi da 4 TeTri (ixileT nax.1). milis SuaSi aris patara niSa, romelSic eteva mxolod erTi burTula. rogor SevucvaloT burTulebs adgili? (ixileT nax. 2)

nax. 1

nax. 2

62. mogzaurma gzis pirveli naxevari gaiara cxeniT 15-jer ufro swrafad, vidre gaivlida fexiT; xolo gzis meore naxevari – tiviT, 2-jer ufro nela, vidre gaivlida fexiT. moigo Tu ara dro mogzaurma imasTan SedarebiT, vidre gaivlida fexiT?

63. mSeneblebma Senoba 18 TveSi aaSenes. gegmiT ki gaTvaliswinebuli iyo am

drois 119

. ramdeni Tve iyo gankuTvnili Senobis asaSeneblad?

88

64. 1888 gayavi Suaze ise, rom miiRo 1.

65. ramdenjer moTavsdeba:

a) 12

-Si 16

? b) 13

-Si 16

? g) 15

-Si 120

?

66. ramdeni arsebobs a) orniSna ricxvi; b) kenti orniSna ricxvi; g) 5-niSna ricxvi; d) luwi 5-niSna ricxvi?

67. ramdenia iseTi orniSna ricxvi, romelSic erTeulebis cifri naklebia aTeulebis cifrze?

68. ramdeni ricxvia 1-dan 100-mde iseTi, romelic iyofa 2-ze da 7-ze da ar iyofa 5-ze?

69. matarebeli 250 m sigrZis xids gadis 1 wuTSi, xolo boZs Cauvlis naxevar wuTSi. risi tolia matareblis sigrZe?

89

amoxsnebi, miTiTebebi

amocanebi maTematikis moyvarulTaTvis

1. radgan 15 wuTSi ivseba naxevarlitriani qila, 1 saaTSi aivseba 4-jer meti, anu 2 litri. dRe-RameSi ki – 24·2=48 litri.

2. Tu gvinda, rom udidesi ricxvi miviRoT, waSlili cifris adgili unda daikavos ufro didma, e.i. 552347. 3. 19 unda gamovsaxoT 5k-2b saxiT, e.i. 19=5·5-3·2, anu myidveli aZlevs 5 cal 5-larians, gamyidveli ubrunebs 3 cal 2-larians.

4. pirobidan Cans, rom 4 fanqari Rirs 5+7=12 TeTri, anu erTi fanqari Rirs 3 TeTri. radgan 11 fanqris yidvisas darCeba 5 TeTri, e.i. moswavles hqonda 11·3+5=38 TeTri.

5. radgan wina gverdis nomeri kentia, bolo gverdis nomeri iqneba luwi. e.i. bolo cifria 8. miviReT 378 an 738. amaTgan 378 ar SeiZleba, radgan momdevno gverdis nomeri winaze meti unda iyos. darCa 738. miviReT, rom wignidan amovardnili furclebis pirveli gverdis nomeria 387, bolosi ki – 738. dagvrCa, davadginoT, ramdeni gverdi amovarda wignidan. am tipis davalebebis Sesrulebisas sifrTxilea saWiro. rogorc wesi, moswavlee-bi uSveben Secdomas da upasuxeben, rom es aris 738-387. Secdomisgan Tavis dasazRvevad gTavazobT aseT sqemas: dasviT SekiTxvebi: ramdeni ricxvia 1-dan 738-mde? ramdeni ricxvia 1-dan 387-mde?

1;2.....386,387;379............738 davanaxoT moswavleebs, rom pirveli 738 ricxvidan ar gvWirdeba 1-dan 386-mde ricxvebi, anu pasuxia 738–386=352.

6. aseTi amocanebis amoxsnisas unda vivaraudoT yvelaze uaresi varian-ti: a) davuSvaT, fanqrebis amoRebisas amovida 3 wiTeli, 3 lurji, 3 mwvane da 3 yviTeli fanqari. amis Semdeg 1 fanqaric rom amoviRoT, iqneba rome-lime am ferebidan da Sesruldeba 4 erTi feris. pasuxi: unda amoviRoT 3·4+1=13 fanqari. b) davuSvaT, yvela fanqari amovida ise, rom amoiwura sami yvelaze meti raodenobis feri, anu 10 wiTeli+8 lurji+8 mwvane. amis mere erTi fanqaric rom amoviRoT, iqneba meoTxe feris, anu piroba Sesrulebulia. pasuxi: 10+8+8+1=27 fanqari. g) yvelaze uares variantSi mwvane fanqrebi darCeba boloSi, anu unda amoviRoT yvelas gamoklebuli 2fanqari=28 fanqari.

d) vTqvaT, amovida 5 wiTeli + 4 yviTeli + 5 mwvane + 5 lurji. amis mere ki-dev erTi fanqari romelime fers Seavsebs 6-mde. e.i. 5+5+5+4+1=20 fanqa ri.

7. radgan jami 3-iT metia erT Sesakrebze, e.i. meore Sesakrebia 3. analo-giurad pirvelia 5, maSasadame, jamia 8.

90

8. radgan 1 metrian naWrebad xerxaven, amitom miiReba 7:1=7 naWeri. Tavi-dan gvaqvs 1 naWeri. yovel gaxerxvaze Seemateba kidev 1, e.i. dagvWirdeba sul 6 gaxerxva. pasuxi: 6·5=30 wuTSi daxerxaven.

9. yvela aTeulSi 9-iani Segvxvdeba 1-jer, garda me-10 aTeulisa. 90-dan 99-mde cxriani Segvxvdeba 11-jer (99-Si 2). danarCenebSi 1. e.i. sul iqneba 9+11=20.

b) analogiurad 20; g) 1-dan 90-mde Segvxvdeba 9-jer, xolo 100-Si – 2-jer, anu sul iqneba 9+2=11.

10. cxadia, pirveli sarTulis Rilaks, radgan, vinc zeviT adis, aWers sxva -dasxva Rilaks, ukan Camosvlisas ki yvela aWers pirveli sarTulis Rilak s.

11. cxadia, wona skivrsac aqvs. Tu 17 kilograms iwonis skivri da oqros raodenobis naxevari, xolo 32 kilograms iwonis skivri da oqros mTliani raodenoba, maSin oqros naxevari iwonis 32-17=15 kilograms anu skivri iwonis 17-15=2 kilograms. pasuxi: skivri iwonis 2 kilograms.

12. kartofili unda iyos „xilis“ yuTSi, radgan am yuTSi verc vaSli, verc msxali ver iqneba. e.i. kartofili „vaSlis“ yuTSi ver iqneba, aseve vaSlic ver iqneba „vaSlis“ yuTSi, e.i. „vaSlis“ yuTSia msxali.

13. radgan yvavilebiT dafaruli farTobi 1 saaTSi ormagdeba da mTeli tba daifareba 10 saaTSi, amitom tbis naxevari farTobi daifareba 9 sT-Si.

14. mama-Svilis wlovanebaTa sxvaobaa 31-12=19 weli. es sidide mudmivi rCeba. axla mamis asaki Svilisaze metia 2-jer, e.i. axla Svili 19 wlisaa. mama iqneba 38 wlis.

15. usg (6, 10, 15)=2·3·5=30 wuTSi. isev ainTeba yvela naTura 9:30 sT-ze.

16. a) 3 cali. samidan 2 cali aucileblad iqneba erTnairi.

b) 12 - yvelaze cud SemTxvevaSi, Tavidan 10 Savi iqneba.

g) 12 - yvelaze cud SemTxvevaSi, Tavidan 10 TeTri iqneba.

17. a) 12345123451234512345 b) 1234512345123451234518. erTniSnebma daikaves 9 adgili. orniSnebma – 2·90=180. sul 189 adgi-li. darCa 11 adgili samniSnebisTvis. 11:3=3, naSTi – 2. e.i. 3 cali samniSna ricxvi daiwera ase: 100, 101, 102, xolo 103-is dasawerad ar gveyo erTi adgili, anu bolos davwereT 0.

19. daviwyoT bolodan: sanam 105 gaxdeboda, iyo 105+15=120. vinaidan gaam-ravles 2-ze, Cven axla 2-ze unda gavyoT 120:2=60. 97-s gamoakles raRac ricxvi da miiRes 60. e.i. es ricxvia 97-60=37.

20. sanam 13 gaxdeboda, cxadia, iyo 13+17=30. es ricxvi miviReT 15-ze gam-ravlebiT, anu manamde iyo 30:15=2, xolo es ricxvi miviReT Svidze gayo-fiT, anu manamde iyo 2·7=14. 27-s gamoakles raRac ricxvi da miiRes 14, anu es ricxvia 27-14=13.

21. 3; 13; 23; 33; 43; 53; 63: 73: 83; 93. sul 10 cali.

22. samis jeradia yoveli mesame ricxvi, anu 100:3=33 13 . anu 3-is jeradi

ricxvebis raodenobaa 33.

23. 3-is jeradia 33 cali. 3-iT bolovdeba 10 cali. 3-is jeradia da Tan 3-iT bolovdeba 4 cali (3, 33, 63, 93). sul pasuxia 33+10–4=39, radgan es 4 2-jer Sevida 33+10-Si.

24. am ricxvebidan umciresi aRvniSnoT x-iT.

maSin, 2010=x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6

4x+6=2010

4x=2004

x=501

x+3=504

es ricxvebia 501, 502, 503 da 504.

25. meSvide ricxvi mesameze 32-jer metia, e.i. x+32x=429, x=103.

26. vTqvaT, iyo x cali. 5 kg-iani da (24-x) 3 kg-iani paketi, e.i.

5x=3(24–x); 5x=72–3x; x=9.

27. 1r+2f+1s Rirs 12 lari;

1r+3f+3s Rirs 27 lari;

e.i. 1r+1f+2 Rirs 15 lari.

2 rveuli, 2 fanqari da 4 saSleli Rirs 30 lari.

28. roca daTo mdinareze wavida da ukan dabrunda velosipediT, mas dasWirda 20 wuTi, e.i. erTi mimarTulebiT gziT gavlas velosipediT sWirde ba 10 wuTi, e.i. erTi mimarTulebiT fexiT gzis gavlas dasWirdeba 40–10=30 wT. maSasadame, orive mimarTulebiT fexiT siaruls dasWirdeba 30wT+30wT=1 sT.

29. Tu mwvane fanqrebis raodenobas aRvniSnavT x-iT, lurji fanqrebi iqne-ba 6x, anu lurji da mwvane fanqrebis jamia 7x. e.i. iyofa 7-ze. aseTi ricxve-bia 7; 14. 7-is SemTxvevaSi, wiTeli gamodis 13, anu lurjze meti. varga 14. maSasadame, wiTeli fanqrebis raodenobaa 6, mwvane – 2 da lurji – 12.

30. radgan giorgi 2-jer met manZils gadis imave droSi, e.i. 2-jer metia.

31.

92

32. sanam kata gamoekideboda, givim gairbina 60 metri. maT Soris manZili ifareba siCqareebis sxvaobiT. e.i. 5 m/wT-iT, 60 metri daifareba 60:5=12. daeweva 12+3=15 wuTSi.

33. 60 km/sT=1 km/wT.

motocikli moZraobs 1 km/wT siCqariT da gvinda, rom 1 km gaiaros 40 wam-Si. gamodis, 20 wamSi unda gaiaros naxevari kilometri, saidanac vaskvniT, rom wuTSi gaivlis (1 km+1/2 km) -s. siCqarea 3/2 km/wT=90km/sT.

34. ajobebs, am tipis amocanebSi angariSi daviwyoT bolodan. bolos yuT-Si darCa 10 vaSli, e.i. bolo ganaxevrebamde iyo 20 vaSli (analogiurad mi-vyvebiT). radgan gaanaxevres 4-jer, e.i. Tavidan iyo 10·24=160 vaSli.

35. 5 m/wm =300 m/wT. V =300 m/wT, t=20wT, S=300·20=12000m=12km.

36. es sityvebis TamaSia. cxadia, gadasaxdeli darCa imdeni, ramdenic gada-i xa da, e.i. Rirs 2 lari.

37. a) vTqvaT, amovida yvela TiTo-TiTo, e.i. 1 wiTeli, 1 TeTri da 1 Savi, sul – 3 cali. meoTxe aucileblad iqneba erT-erTi am ferebidan, e.i. unda amoiRon 4. b) vTqvaT, amovida 7-ve wyvili wiTeli da 13-ve wyvili Savi. sul 40 cali. kidev 2-s rom amoviRebT, orive iqneba TeTri. anu 42; g) analogiurad, 2·11+2·13=50; d) 7·2+11·2+2=38; e) vTqvaT, amovida sul erTi ferebi, Tanac isini, romlebic ufro metia: 11 wyvili TeTri da 13 wyvili Savi, sul – 48. kidev erTs Tu amoviRebT, ukve gveqneba yvela feris. e.i. 48; v) amovida yvela wiTeli da yvela Savi, sul – 40 cali. kidev erTs rom amoviRebT, ukve iqneba TeTri, e.i. – 41 cali. z) analogiurad, 7·2+11·2+1=29; T) 11·2+13·2+1=49.

38. SegviZlia, 5 vaSli da 2 msxali davanaxoT ase: 2 vaSli, 2 msxali da 3 vaS-li Rirs 95 TeTri, magram 2 vaSli da 2 msxali Rirs 50 TeTri. e.i. 3 vaSli Rirs 45 TeTri. 1 vaSli Rirs 15 TeTri, erTi msxali ki – 10 TeTri.

39. moris oTxad dasaxerxad saWiroa 3 gaWra, e.i. erTi gaWra Rirs 4 lari. 8 naWris misaRebad saWiroa 7 gaWra, anu dajdeba 7·4=28 lari.

40. 18-ze rom gaiyos, unda gaiyos orze da cxraze, anu bolo cifri unda iyos luwi. *320 *322; *324; *326; *328. cifrTa jami unda iyos 9-is jeradi, e.i. ricxvebia 4320; 2322; 9324; 8326; 5328.

41. `gaiyos 45-ze~ niSnavs, gaiyos 5-ze da 9-ze. anu bolo cifria 0 an 5. *450 an *455 cifrTa jami iyofa 9-ze. pirvelidan miviRebT 9450 da meoredan 4455.

42. ixileT №41-is amoxsna.

43. 3*50 an 3*55. aqedan miviRebT: 3150 an 3555.

44. giorgim aiara 2 sarTuli, TiTo sarTulze ki 15 safexuria. pirveli-dan meeqvsemde gaivlis 5 sarTuls, anu 5•15=75 safexurs.

93

45. samive gverdi SeRebili eqneba 8 kubs (wveroebi).

46. 54, 51, 48 ..... radgan mcirdeba 3-iT, unda vnaxoT 54 : 3=18. anu 18 wevria.

47. 30 da 50.

48. 11, 12, 13 ...... 19 saSiSroebas Seicavs ricxvebis raodenobis dadgena, amitom moswavleebs mivuTiToT, rom daTvalon Semdegnairad:

1+2+3+ ....+10+11+....+19vipovoT jami 1-dan 19-is CaTvliT da gamovakloT

jami 1-dan 10-is CaTvliT.

1+2+3+ ....+8+9+10 vxedavT, rom aris 10 Sesakrebi, davawyviloT ise, ro-

gorc naxatzea naCvenebi, es jamebi yvela tolia 11-is.

aris sul 5 wyvili anu jami tolia 5•11 = 55

1+2+3+ .... +16+17+18+ 19 axla davTvaloT jami 1-dan 19-is CaTvliT.

radgan raodenoba kentia 19 SevinaxoT, davTvaloT jami 1-dan 18-is CaTv-liT da mere mivumatoT 19. dawyvilebis Semdeg vnaxavT, rom wyvilebis ra-odenobaa 9 da TiToeul wyvilSi jamia 19, anu 1-dan 18-is CaTvliT jami iqneba 9•19. amas davumatoT Senaxuli ricxvi 19. sul iqneba 10•19 anu 190.

maSasadame, 11+......+19=190-55=135

49. 50 monetis amosaRebad unda gaixsnas 5 yuTi. rac 2 ujraa.

gavxseniT skivri – 1 saketi

gavxseniT 2 ujra – 2 saketi sul 8 saketi.

gavxseni 5 yuTi – 5 saketi

50.

x+2

xx 3x+2=11, 3x=9, x=3.

51. vTqvaT, meore ricxvia x, maSin pirveli iqneba: 10x+1 11x+1=474, 11x=473, x=43. es ricxvebia: 43 da 431.

52. erTcifriani nomrebi dagvWirdeba 1-dan 9-mde, e.i. 9. orniSna ricxvi aris 90. TiToze saWiroa 2 cifri anu 180. erTniSna da orniSna ricxvebis dasawerad daixarja 189 cifri, anu samniSnebze darCa 747 – 189=558. sam-niSna gverdebis raodenobaa 558 : 3 = 186. e.i bolo samniSna ricxvi ro-melic davwereT iqneba 185.

wignSi aris 185 gverdi.

am amocanis amoxsnisas, sasurvelia, yuradReba gavamaxviloT imaze, rom

94

pirveli samniSna ricxvia – 100;

me-2 – 101;

me-3 – 102;

me-10 – 109.

53. sasurvelia, amocanis piroba movawesrigoT cxrilSi.

traqt. raod. 1 traqt. dReSi amuSavebs

1 dReSi daamuSaves

I nakveTi 25 (x + 3) ha 25(x+3) haII nakveTi 30 x ha 30x ha

25 (x + 3) + 30x = 405

25x + 75 +30x = 405

55x = 330

x = 6

54. vTqvaT, I-ma iara x sT. man gaiara 54x km.

II-s uvlia (x-2)sT da gaiara 75(x-2) km.

75(x-2)-54x=102

21x=252

x = 12.

qalaqebs Soris manZilia 75x-150+54x=129x-150=1298 (km).

55. sasworis TefSebze davdoT 3-3 burTula. Tu gaTanabrda, maSin msubuqi burTula mesame sameulSia; Tu ar gaTanabrda, vpoulobT msubuq sameuls. meore awoniT, msubuqi sameulidan sasworze vdebT TiTo-TiTo burTu-las. msjeloba analogiuria.

56. miTiTeba: iangariSeT bolo cifri: a) (... 2+ .... 3) • ( ... 6)=(...5)•(...6)=....0 e.i iyofa.

57. radgan 1-li marti xuTSabaTia, 29 martic iqneba xuTSabaTi.

58. 1999 wlis 31 dekembridan 2011 wlis 1-l ianvramde gavida 11 weli, aqe-dan 3 iyo nakiani. dReebis raodenobaa 11•365+3=4015+3=4018 dRe.

59. a) 7 kviris Semdeg isev SabaTia, kidev sami dRis Semdeg ki – samSabaTi;

b) 200 : 7 = 28 (naSTi 4) iqneba oTxSabaTi.

60. warmovidginoT rom yvela ricxvi 1-dan 30-mde davSaleT martiv mam-ravlebad. „0“-s gvaZlevs 2•5. cxadia „2“-iani meti gveqneba, vidre „5“. ami-tom daiTvliT „5“-ebis raodenobas: 5; 10 = 2 • 5; 15=3•5; 20=4•5; 25=5•5, rac 6-is tolia.

gveqneba 6 nuli.

( erTiT naklebi

2 + 99 = 101

3 + 99 = 102 )

95

61.

ase gavagrZeloT bolomde.

62. waago, radgan is dro, rac unda evlo fexiT, tiviT daxarja.

63. 18 • 11/9= 22 Tve

64. 1 888

65. a) 90; b) 45; g) 90000; d) 45000.

66. pirvel aTeulSi:

12dan 19 CaTvliT (8 cali);



45dan 49 CTvliT (5 cali);




89 (1 cali).

sul 1+2+... +8=36.

67. e.i iyofa 14-ze, Tu aseTia 100÷14=7 ( naSTi ar gvainteresebs).

vnaxavT,rom arc erTi maTgani ar iyofa 5-ze.

68. ar iyofa 2-ze 50 ricxvi, ar iyofa samze 33 ricxvi.

maTi jami metia saZiebel raodenobaze, radgan aq xdeba damTxveva. anu unda gamovakloT 6-is jeradebis raodenoba, rac 100:6=16 (naSTi...)-is to-lia. e.i 50+33-16=67 aseTi ricxvia.

69. boZs Cauvlis naxevar wuTSi. am winadadebidan daskvnis gasakeTeblad warmovidginoT, rom matarebeli dgas da boZs Cauvlis naxevar wuTSi. e.i or aseT matarebels Cauvlis 1 wuTSi. anu Tu matareblis sigrZea x metri

96

matareblis siCqare iqneba 2x m/wT, saidanac „matarebeli 250m sigrZis xids gadis 1 wuTSi“. winadadebidan vaskvniT, rom x=125m. matareblis sig-rZea 125 metri.

97

Semajamebeli samuSaos nimuSebi

nimuSi №11. oTxi momdevno ricxvis namravlis bolo cifria 4, xolo maTi cifrebis jamia 22. ipove es ricxvebi.

2. mocemul samniSna ricxvs marcxnidan miuweres cifri 2 da miiRes 6-jer meti ricxvi. ipove mocemuli ricxvi.

3. mocemulia ricxvTa mwkrivi: 1, 4, 9, 16, ...

dawere mwkrivis kidev ori wevri. aris Tu ara am mwkrivSi ricxvi 1022?

4. marTkuTxedis sigrZea 12 sm. ipove misi sigane, Tu perimetria 40 sm.

5. sakoordinato sxivze MN monakveTis Suawertilia P(1). a) ipove N werti-lis koordinati, Tu M(5)-ia, b) ipove K wertilis koordinati, Tu NP=NK.

nimuSi №21. marTi kuTxe wverodan gamosuli sxiviT gayofilia 2 kuTxed ise, rom erTi meoreze 2-jer metia. ipove es kuTxeebi.

2. samkuTxedis saSualo sigrZis gverdia 5 sm. umciresi gverdi 2 sm-iT nak-lebia, udidesi ki 2 sm-iT metia saSualoze. ipove samkuTxedis perimetri.

3. erT klasSi m moswavlea, meoreSi – 5-iT meti. dawere gamosaxuleba: ram-deni moswavlea orive klasSi? ipove gamosaxulebis mniSvneloba, Tu n=15; n=20.

4. miSas, zuras, beqas da nikas hqondaT sami ankesi da erTi bade. ra hqonda TiToeul biWs, Tu zuras da nikas, aseve, miSas da nikas hqondaT sxvadasxva saTevzao saSualeba?

5. saaTi uCvenebs 3 sT-s. ra dros uCvenebs saaTi, Tu: a) saaTis isari mob-rundeba 600-iani kuTxiT? b) wuTebis isari mobrundeba 1800-iani kuTxiT?

nimuSi №31. ipove 613252-isa da 1235-is jams gamoklebuli 12127.

2. ipove (2354 + a) – 354 gamosaxulebis mniSvneloba, Tu a = 1550.

3. amoxseni gantoleba:

a) (x – 150) + 194 = 200; b) (144 + y) – 3•45 = 1449.

4. ori turisti gamovida A da B punqtebidan urTierTSemxvedri mimar-TulebiT. erTi saaTSi gadis 10 km-s, meore moZraobs orjer nela. ramdeni kilometri iqneba maT Soris Sexvedramde 2 sT-iT adre?

5. erTi nakveTis TiToeuli heqtarze modis 5 t. pomidori, meore nakve-Tis TiToeuli heqtridan – 2 t-iT meti. ramdeni pomidori aiRo fermerma orive nakveTidan, Tu pirveli 6 nakveTia 5 heqtari, meore ki - 3 ha?

98

nimuSi №41. gamoTvale ioli xerxiT: 328•234 + 124•234 + 452•796.

2. MN monakveTze aRebulia K wertili, ise, rom ML monakveTis sigrZe 5-jer naklebia KN monakveTis sigrZeze. ipoveT MN monakveTis sigrZe, Tu KN = 325 sm.

3. ramdeni cifrisgan Sedgeba namravli:

a) 1100•12000; b) 25•53; g) 252•42.

4. ipove ricxvi, romlis kvadrati tolia:

a) 0-is; b) 64-is; g) 121-is.

5. amoxseni gantoleba: 15(x – 250) – 127 = 173.

nimuSi №51. kvadratis da marTkuTxedebis farTobebi tolia. ipove marTkuTxedis gverdebi, Tu kvadratis gverdia 8 sm, marTkuTxedis sigrZe ki 4-jer metia siganeze.

2. Seasrule moqmedeba:

a) (125 – 125) : 437; b) (572 + 724) : 324.

3. saxelosnom daamzada samfexa da oTxfexa skamebi. ramdeni samfexa da ramdeni oTxfexa skami iyo, Tu sul 600 fexi da 180 dasajdomi nawili damzadda?

4. rogor Seicvleba ganayofi, Tu gasayofs da gamyofs erTsa da imave ricxvze gavamravlebT? moiyvane 2 magaliTi.

5. 11 noemberi SabaTia. ra dRe iqneba 21 noemberi? 25 noemberi? 1-li de-kemberi?

nimuSi №61. 3 kg banansa da 5 kg forToxalSi imdenive gadaixades, ramdenic – 7 kg banansa da 3 kg forToxalSi. ramdenjer Zviria forToxali bananze?

2. 120 moswavlidan gamocdaze 40-ma miiRo Sefaseba „10“, 30-ma – „9“, 15-ma – „8“, 15-ma – „7“, 10-ma – „6“ da 10-ma – „5“. Seadgine Sesabamisi piqtograma.

3. SesaZlebelia Tu ara, rom ricxvi 35 warmovadginoT 10 Sesakrebis saxi T, romelTagan TiToeuli aris 1, 3 an 7? pasuxi daasabuTe.

4. dafaze weria ricxvebi: 1,2,3,.......99. TanmimdevrobiT amoSales 1,3,5 da a.S. manam, sanam ar darCa erTi ricxvi. ra ricxvi darCa wauSleli?

5. ipove 3a+2(5b-a) gamosaxulebis mniSvnelobebi, Tu:

a) a = 15, b = 8;

b) a = 37, b = 0.

99

nimuSi №71. a) ipove 54-is yvela gamyofis jami;

b) ipove 54-is yvela martivi gamyofis jami.

2. dawere yvela a24

, romlebic metia 1724 -ze da naklebia 23

24 -ze. ipove maTi jami.

3. klasis 35 biWia. klasSi gogonebi metia Tu biWebi? sul ramdeni moswav-

lea klasSi, Tu gogonebis raodenobaa 8?

4. amoxseni gantoleba:

a) x – 117 = 4

17 b) (x + 4 38 ) – 1 1

8 = 10

5. daxaze marTkuTxedi 4x5. gaaferade misi 34 nawili.

nimuSi №81. wrewiris diametri mis radiusze 25 sm-iT metia. ipoveT wrewiris diame-tri.

2. klasSi gogonebis raodenoba 3-jer metia, vidre biWebis. ramdeni mo-swavlea klasSi, Tu maTi raodenoba 16-ze meti da 23-ze naklebia?

3. gamoTvale 6 : 35 + 8 • 3

4 - 1 12 • 6 + 7

10 • 20 - 12 : 67

4. ipove umciresi naturaluri ricxvi, romlis 3-ze gayofisas naSTi to-lia 1 -is, 5-ze gayofisas 3-is, xolo 7-ze gayofisas 5-is.

5. wiladis mricxveli 18-iT naklebia mniSvnelze. wiladis Sekvecis Sed-agad miiRes 2/5. ipove es wiladi.

nimuSi №91. marTkuTxedi, romlis gverdebia 5 sm da 7 sm, gayves or marTkuTxedad, romelTagan erT-erTis perimetri mocemuli marTkuTxedis perimetris naxevris tolia. opove am ukanasknelis farTobi.

2. gaamravle martivi xerxiT:

a) 19*231+19*769;

b)432-324-432*224.

3. erTi msxvili sawarmo atmosferoSi 200 t mavne nivTierebas gamoyofs. ramdeniT Semcirdeba mavne nivTierebis gamoyofa 1 weliwadSi, Tu sawar-mos dauyeneben gamwmend saSualebas, romelic amcirebs nivTierebis gamo-yofas 20-jer?

4. amoxseni gantoleba: Х*6+29=2(Х+3)+95

5. ipove 2-iT da 5-iT daboloebuli yvela SesaZlo orniSna ricxvis jami.

100

nimuSi №101. ipove 96-is da 40-is u.s.j. da u.s.g. aseve – maTi namravli.

2. ipove udidesi ricxvi, romlis 12-ze naSTiani gayofisas ganayofia 15.

3. 1 wlis ganmavlobaSi 1 bu anadgurebs 1000 mindvris Tagvs. ramden kg purs gadaarCens 15 bu 1 weliwadSi, Tu erTi mindvris Tagvi mTeli wlis ganmavlobaSi 1 kg xorbals Wams?

4. ra cifriT damTavrdeba 1-dan 59-is CaTvliT yvela ricxvis namravli, Tu yvela 5-is jerad ricxvs wavSliT?

5. erT yuTSi 40 burTulaa, meoreSi – 30. pirvel yuTSi yoveldRiurad ama teben 2 burTulas, xolo meoredan iReben erT cals. ramdeni dRis Sem-deg iqneba pirvel yuTSi 3-jer meti burTula, vidre – meoreSi?

101

Sefasebis rubrikebi Semajamebeli samuSaos nimuSebisTvis

SeniSvna: Sefasebis rubrikas gTavazobT N1 da N10 Semajamebeli amocanebis nimuSebis magaliTze. TiTo amocana Sefasdeba 4 quliT. TiToeuli dava-leba (ix. gv. 97-100) aris ocquliani.

namuSevari Sefasdeba:

10-ianiT - 19, 20 qulaze;

9 -ianiT - 17, 18 qulaze;



6-ianiT - 11, 12 qulaze.

nimuSi №1

amocana 1

1. SemTxvevebis Camowera da TiToeuli SemTxvevisTvis – 1 qula.

2. maTgan swori pasuxis amorCeva – 1 qula.

amocana 2

1. aRniSvnis Semotana – 1 qula. (abc);

2. gantolebis Sedgena - 2abc=6•abc – 1 qula;

3. gantolebis 2000+ abc =6 abc saxiT gadawera – 1 qula;

4. gantolebis amoxsna da SekiTxvaze pasuxis gacema – 1 qula.

amocana 3

1. kanonzomierebis danaxva – 1 qula;

2. TiToeuli sworad dawerili ricxvisTvis – 1 qula;

3. dadgena, iqneba Tu ara am mwkrivSi ricxvi 1022 – 1 qula.

amocana 4

1. naxazis sworad Sesruleba – 1 qula;

2. cvladis sworad Semotana – 1 qula;

3. gantolebis Sedgena – 1 qula;

4. swori pasuxis povna – 1 qula.

102

amocana 5

1. sakoordinato sxivis sworad daxazva – 1 qula;

2. mocemuli wertilebis sakoordinato sxivze moniSvna Sesabamisi koordinatis miTiTebiT – 1 qula;

3. N wertilis koordinatis povna – 1 qula;

4. K - wertilis koordinatis povna – 1 qula.

nimuSi №10

amocana 1

1. mocemuli ricxvebis mamravlebad daSla - 1 qula;

2. esg-is povna - 1 qula;

3. usj-is povna - 1 qula;

4. maTi namravlis povna da amocanis SekiTxvaze srulyofili pasuxis Camoyalibeba – 1 qula.

amocana 2

1. erT-erTi aseTi ricxvis povna an am ricxvis formulis dawera (a=12*15+r) – 2 qula;

2. aseTi udidesi ricxvis povna da pasuxis Camoyalibeba – 2 qula.

amocana 3

1. 1 Tagvis mier 1 weliwadSi ganadgurebuli xorblis raodenobis povna – 1 qula;

2. 1000 Tagvis mier ganadgurebuli xorblis raodenobis povna – 1 qula;

3. erTi bus mier gadarCenili xorblis raodenobis povna – 1 qula;

4. 15 bus mier gadarCenili xorblis raodenobis povna – 1 qula.

amocana 4

1. am ricxvebis aTeulebad dayofa da 5-iani da 2-iani Tanamamravlis amogdeba – 2 qula;

2. TiToeuli aTeulisaTvis namravlis bolo cifris povna – 1 qula;

3. amocanaSi dasmul SekiTxvaze pasuxis povna da Camoyalibeba – 1 qula.

103

amocana 5

1. cvladis sworad Semotana: vTqvaT, is, rac Cven gvinda, moxdeba X dReSi – 1 qula;

2. gamosaxulebis Sedgena: burTulebis raodenoba TiToeul yuTSi X dRis Semdeg – 1 qula;

3. gantolebis Sedgena – 1 qula;

4. gantolebis amoxsna da dasmul SekiTxvaze pasuxis gacema –1 qula.

104

instruqcia ist-is gamoyenebiT davalebebis Sesasruleblad

V klasSi, sasurvelia, moswavleebma CamotvirTon dinamikuri maTemati-kis axali paketi Geogebra. Geogebra programirebis enaze, Java-ze, dawer-ili ufaso programaa, romelic SesaZlebelia, gadmoiweroT interneti-dan. Gam programis saSualebiT, moswavleebs (maswavleblis daxmarebiT) SeuZliaT Seasrulon rogorc geometriuli, ise algebruli davalebebi. programaSi muSaoba martivia, Tumca, sawyis etapze gTavazobT instruq-cias, rogor SeiZleba misi moxmareba da V klasis moswavlis wignSi (194-197) mocemuli davalebebis Sesruleba.

davaleba 1

aage figurebi:

sur. 1

sur. 2• samkuTxedi• marTkuTxedi• kvadrati• oTxkuTxedi• wre• xuTkuTxedi

enis Secvla

105

2. samkuTxedi. instrumentebis panelze `mausiT~ davawkapunoT Rilakze. naxazis velze davawkapunoT jer erTxel – gaCndeba wertili, Semdeg meored (gaCndeba meore wertili) da Semdeg isev pirvel wertil-ze. Seikra samkuTxedi.

samkuTxedis gasaferadeblad davawkapunoT ujraze, Semdeg ki – sam-kuTxedis SigniT. gaCndeba fanjara, romliTac SegveZleba, SevarCioT Sida aris sasrurveli feri.

2. marTkuTxedi – analogiurad vagebT marTkuTxeds. SevecadoT, marT-kuTxedis gverdebi gahyves badis xazebs, raTa davicvaT naxazis sizuste.

Rilakze dawkapuneba uzrunvelyofs figuris simyares. Tu `mauss~

davawkapunebT Rilakze da mivitanT im wertilTan, saidanac daiwyo figuris ageba, SegveZleba, figura gadavitanoT nebismier sxva adgilas. bolos vawkapunebT jer Rilakze, Semdeg – badeze.

3. wrewiri avagoT wrewiri centriT da radiusiT. amisaTvis `mausi~ davawkapunoT Rilakze da Semdeg – badeze. gaCndeba wertili da fan-jarac, romelSic CavwerT im ricxvs, ris tolic gvinda, rom iyos radiu-si. Semdeg davadasturebT RilakiT „diax“ da SemovxazavT wrewirs.

106

moswavlis wignis savarjiSoebis swori pasuxebi

I Tavi§1. 3. umciresi – 1; udidess ver davasaxelebT. 6. a) 67;68;69;70;71. 9. a)139;940; b)159;960; g)179;980. 14. igive ricxvs. 15. igive ricxvs. 16. a)901; b)100 099; g)900. 17. a) maTematika; b) megobari g) mandaturi; d) wiladi. §2. 3. aTi. 8. a)2560 erTeuli; 256 aTeuli; 25 aseuli; 2 aTaseuli. 9. a)9999; 1000. 15. 104. 17. 35. 18. 431; 43. 20. a)9876543210; b)1023456789. 21. a)986; b)599.§3. 2. sami. 9. a)gaizrdeba 300-iT; b)Semcirdeba 5000-iT. 11. 10; 13. 888+88+8+8+8. §4. 6. 250 gr. 8. 5kg; 4km; 7c; 3t; 3m; 26l. §5. 4. Svidi; 6. a)24; b)28; g)1178; d)1506. 9. a)111; b)23; g)101; d)110.§6. 1. V+I=VI 2. X+II=XII. 3. X–I=IX. 4. XI–V=VI. 5. IX–I=VIII. 6. XX+II=XXII. 7. VII+IV=XI. 8. XI–II=IX. 9. XV–IV=XI. 10. IV+V=IX.§8. 3. a) 700; b) 200-iT. 5. a) 50000; b) 110000.testi: 1)g; 2)d; 3)b; 4)b; 5)g; 6)g; 7) VI+IV=X; 8) ▲= 12, ○ = 88, □ = 84.§9. 1. a) 15, 18, 21; b) 16, 22, 29; g) 13, 21, 34. 4. 17. 5. me-5.§10. 8. a)8; b)15. 9. a)129; b) 829. 20. a) Tanabari; b) metia 22. 21. 500 l; 800 l.

§11. 1. a) 11sm; b) 12sm; g)13 sm. 5. 2sm. 8. a) 12 sm; b) 2 sm; g) 6 sm; d) 8 sm.

§12. 9. 18t. 11. a)9 sm; b)14 sm. 15. 96 sm. 17. 7 sm. 19. 30km da 600m.§13. 4. a) kuTxe. b)sxivi. g) monakveTi. 6. a) 32; b) b2; g2; g) b5; b6; g6 da v4; v5; v6. §14. 3. a) 4; b) 7; g) 25; d) 13. 7. a)B(9) b)B(2); C(16). 11. 89. 14. a<7; b<20; c>20; a;b<25; c-s ver SevafasebT. 15. a) K(80); F(83); g)K(500); F(700); d)F(190); K(220). 16. a) 3; b) 4; g) 6; d) 21.§15. 6. a) 15wT; b) 3sT; g) 15wm. 7. a) 3sT; 9 sT. b) 6sT.§16. 2. 120°. 4. a) arasworia; b) arasworia; g) sworia; d) sworia; e) sworia; v) ras-woria. 5. a) 50°; b) 30°; g) 40°; d) 40°. 6. 35°; 50°. 7. 89°. 8. a) 70°; b) 45°. §17. 8. 9 sm.§18. 3. a)67; 27; 152. 5. 35+(n+35). 6. 10n+5. 9. 60n. 11. 620. 14. 29. 15. 670.§19. 1. gia-alubali; zura-vaSli; beqa-msxali; nika-qliavi. 2. ika-I; beqa-II; nika-III; giorgi-IV.3. eka - dabali da lurji; maka - maRali da wiTeli; nino – dabali da wiTeli.5. mewarme – SavaZe, TeTri; bankiri – TeTraZe, wiTeli; iuristi – wiTlanaZe, Savi. 7. levani – inJineri; giorgi – maswavlebeli; arCili – eqimi.9. a) 3; b) 6; g) 8; d) 5. 10. a) 6; b) 8; g) 9; d) 7.

testi: 1) b; 2) g; 3) b; 4) a; 5) b; 6) b; 7) g; 8) a; 9) b. 10) d.

I Tavis damatebiTebi savarjiSoebi: 1. a)1999 b)110. 4. 97531; 13579; 5. 86420; 20468; 9. a) (4.4+4):4=5; b) (4:4+4).4=20; g) (4+4).(4+4)=64; d) 4 . 4+4:4=17; e) 4.4+4.4=32; v) (4+4+4).4=48; 10. a) 4.12+18:(6+3)=50; b) 4.(12+18:6+3)=72 . 11. 1+1999=2000. 12. 163; 14. a)11; b)9; g)10; d)10. 15. 2kg. 21. beqa; 22. bimi-wiTeli; wiTeli; bomi-yviTeli; mwvane, bami-mwvane; yviTeli. 25. 3km.

107

II Tavi§1. 11. 68; 13. a)1+2+3+45; b)3+45+67; g)56+7+89; 18. a) 46+974=1020; b) 73+954=1027; 19. ara. 20. a) 704 698; b)104 698.§2. 6. 182; 8. a) 824. 12. a)9; b)90; g)900; 13. 192; 14. 122; 16. 110m.§3. 13. a) 210; b) 120; g) 227 d) 23; 14. a) 200 b) 254; 15. 50l. 16. 677; 17. Savi. 19. a) WeSmari-tia; b) WeSmaritia; g) mcdaria; d) WeSmaritia; e) WeSmaritia; v) mcdaria. 21. 17kg.§4. 3. 617; 4. 1100; 6. 22; 7. 31; 11. 95. 12. a) 2000; b) 5040. 15. orive tyuis. 19. moge-ba-1345 lari; 20. a)Semcirdeba 20-iT; b) gaizrdeba 36-iT.§5. 4. a) 8; b)5; 5. a)1; b)13; g)78; d)12; 6. 860; 8. a)1 b)0; 9. 105; 10. 95 kg; 12. 5sm; 3sm; 7sm. 14. (m+n):2; orive luwi an orive kenti. §6. 1. V=s:t; 2. A=2t 4. a)m=3n; b)m=n2; g) m=n2–1; 5. 4sT; 7. a) 70km; b)130km; 8. 85km; 9. 80km/sT; 11. 96 km; 12. 16wm; 13. 44 sT.

testi: 1) g; 2) b; 3) d; 4) a; 5) b; 7) b; 8) g; 9) g.

II Tavis damatebiTebi savarjiSoebi: 1. a)236 b)226; g)4918; 3. 18; 4. 8sT 50wT; 5. 1sT; 6. 2sT; 7. a) 10 wT; b) 90 wT; 8. a) 700l. 10. 7 weli; 11. 25dRe; 12. 8 kvira. 13. 20km/sT; 40km; 14. 16t; 15. a) 610km; b)420km; g)230km; 16. 72; 17. 108km; 18. 100km/sT. 19. 60km/sT. 20. 36km/sT;

III Tavi§1. 11. 150l; 350l; 50nl. 12. 390; 910; 130n; 14. 1500 l; 16. ar eyofaT; 20. a)gaiz-rdeba 20-iT b)gaizrdeba 5-iT; g)gaizrdeba 25-iT; 23. 240 kvercxi.§2. 2. a)72-jer b) 00-jer; 6. 7nkm; 7. 105; 225; 15n; 8. 875; 10. 24m; 11. 0-iT; 12. 24-jer; 13. 12 wlis; 14. 72sm; 15. 123-45-67+89; 16. 55T; 3l. da 45T. 17. 72.§3. 2. 25-jer; 3. 17-jer; 10. 24l.75T; 11. 628; 13. 170l. §4. 5. 102sm; 6. 3sT; 7. 3sT-dan 6sT-mde (Tbilisis droiT).§5. 3. a)45900 b)130750; 4. 1km 800m; 5. 923148 c; 6. 5220 dkl.§6. 1. cisferi-17kg; yviTeli-68kg; 3. kaba-30; xalaTi-40; 4. 2sT; 5. 28sm; 7sm; 6. 30sm; 10sm; 7. 8kg; 4kg; 8. 30l. 9. matyuara-keSa; marTali-goSa; cuRluti-roma.§7. 12. a) 0 da 1; 14. a) 20; b)21; 18. 44; 19. a) 9, b) 45 wT.

testi: 1) d; 2) b; 3) d; 4) b; 5) b; 6) b; 7) g; 8) g; 9) g; 10) g; 11) g; 12) a; 13) b; 14) g; 15) a) 66x111; b) 24x32.

§8. 3. 100; 5. a) 29 sm2; b) 20 sm2; g) 15 sm2.

§9. 6. a) 500; b) 300; g) 2000000; d) 100; 8. 5050 m; 14. 24.§10. 12. ani-franguli; qeTi-germanuli; sofo-inglisuri; maka-rusuli.§12. 9. a)45 b)1 g)48; d)1 e)5 v)2 z)4 T)2 i)2; 11. 50kg; 12. 25; 13. 2sT; 14. ara. 16. 6l; 18. 6 wigni.§13. 3. 9-jer; 4. 40sT; 5. 7sT; 6. 29; 7. 530l. 8. 170; 16. 100km/sT; 17. 13sT; 40wT; 18. 24sm; 21. 18.§14. 1. gaizrdeba 10-jer b)Semcirdeba 100-jer; 2. 300; 3. a)100 dRe b)1000dRe g)10000 dRe

108

§15. 5. 480l; 720l; 6. a)400; b)10568; g)40534; d) 76; z)174; T)2731; 9. 8; 10. a) 30; b) 15; g) 306; d) 12.§16. 6. a) gaizrdeba 10-jer; b) gaizrdeba 2-jer; g) gaizrdeba 4-jer; d) Semcird-eba 6-jer; 7. ara. 8. 17wT.§17. 1. a) 44 b) 35; g) 81; d)92; 4. 5; 5. 1500; 6. 14; 10. 2 mandarini; 11 kanfeti; 12. 13; 13. a) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 14. a) 5k; b) 5k+1; g) 5k+2; d) 5k+3; e) 5k+4; 18. erTxel; 19. 2012 wels; 23. 44.§18. 4. a)10 b)9; g)13; d)4; 5. 1;a; 6. a 7. ara 8. 16; 14. yvelaze cota – 4; yvelaze bevri – xuTi; 15. paraskevi.§19. 5. a)ara b)ki; g)ki; 6. a)50; b)555; g)65; d)32; 8. a)ki b)ara; 15. a)8; b)18.§20. 6. 2;3; 8. ara; 12. ara; 14. a) 15. b) 16. g) 17. 45 luwi; 45 kenti.

testi: 1)g; 2)d; 3)d; 4)d; 5)g; 6)d; 7)g; 8)b; 9)g; 10)g; 11)g; 12)d 13) b; 14) g; 15) b; 16) g.

III Tavis damatebiTebisavarjiSoebi: 1. 1lari 50TeTri; 2. 26; 3. 11; 7. 7; 8. 6sm; 13. a)7n+3; b)5n+2; g)11n+7; d)15n+5; 14. a) 2; b) 1; 17. 60wT; 19. mama-35; vaJi-7; qaliSvili-5.

IV Tavi§1. 4. 9; 9. 22wT. 11wT; 11. 43200l. 12. 10; 13. I-9+10+2; II-6+8; III-7.§2. 1. 54°; 63°; 2°; 3. 25; 5. 150; 6. a) 72sT; b) 40m; g) 7wm; d) 3kg; 16. 4 amocana; 17. a) 21; b) 31.§3. 8. 60°; 12. 40°; 13. a)180°; b)90°; g)120°; d)150°; e)30°; v)90°; 14. a) 15sT 10wT. b) 15sT; 30wT; 16. 10 burTula. 17. 8 l; 17 l. 18. 60 m/wT; 120 m/wT.

§4. 1. 18 ; 2. 45°; 3. 60°; 5. 120°.§5. 8. 200l. 11. 420km; 12. 6km; 13. 360km.

§6. 7. Svidi; uamravi; 8. 400gr; 1kg. 400gr; 3kg. 14. 2kg.

§7. 4. a) 37 ; b)

317 ; g)

647 ; d)

1251000. 6. 17

25 . 7. 45 . 16. 12m; 19. ara.

§8. 8. a) 92 ; b)

278 ; g)

406 ; d)

12725 e)

10023 v)

192 9. gaizarda erTiT; 11. a) 2;3; b)7;8; g)20;21;

d)12;13; e)12;13; 13. a)4-jer b)7-jer g)8-jer d)10-jer; 14. 0; 16. a) 25; b) 25.

testi: 1)a 2)b 3)d 4)d; 5)g 6)g 7)d 8)b 9)b 10)d.

§10. 5. 37 ; 6. a)1211 b)

2438 g)

2815 d)

34125 7. 3

11 -iT 9. 423sT. 18. ar darCa.

krosvordi: 1. qorda; 2. erTi; 3. rkali; 4. grami; 5. kuTxe 6. metri; 7. kvadrati; 8. gradusi.

§11. 3. a)105 ; b)

2613 ; g)

147 d)

200100 e)

3015 4. 9 7

10t; 6. a) 507100 m; b)

715100 m; g)

17410 m; d)

1910 m; 7.

a)3 b)55 g)8 d)96; 8. 24; 13. 4096.

§12. 4. a) 4 215 ; b) 87

9 ; g) 215 ; d) 0 e) 3 9

17 v)3; 5. a) 41214 ; b) 2 2

37 ; g) 1 513 ; 9. 45m;

§13.2. a)70; b)45; 3 a) a=1;2;3; b)a=1;2;3;4;5;6; 4. 148 naw; 5. 16 ; 6. a)

1545 b)

67 g)

414 v)

1260 . 7.

gaizarda 2-jer; 8. 16 ; 12. giorgi-II; irakli-I; zura-III; Tengo-IV.§14. 6. a)11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33; b) 10; 11; 13; 30; 31; 33. 7. qeTo-gitaraze; Teona-mReris; 9. 6. 10. 33.

109

testi: 1)d; 2)a; 3)d; 4)g; 5)b; 6)a; 7)b; 8)d; 9)a; 10)d.

IV Tavis damatebiTebisavarjiSoebi: 1. a) 1

12 ; b) 16 ; g)

14 ; d)

13 ; e)

12 . 3. b); 4. a)

715 ; b)

817 ;

g) 34 . 5. 84l. 6. 3 naWeri; 8. a=5; 9. a)

1113 ; b)

1425 ; g) 5; d) 7; e)

514 . 10. a)

73 ; b)

67 ; g)

510 ; d)1; 11.

a)10 b)21; g)0; d)11; 13. a) 335 ; b) 95

7 . 15.a) 211 ; b)

154 ; d)2 e)7 v)10; 17. a)gaizrdeba 5-jer

b)Semcirdeba 5-jer; g)Semcirdeba 10-jer; d)gaizrdeba 10-jer; e)Semcirdeba 100-

jer; 19. 32km; 22. a) 619 ; b)

319 ; g)

1119 . 23. 24; 24. 7kg; 3 kg. 25. 48; 26. 14. 27. 40km; 28. 140;

29. 324kg. 30. 60; 31. 99kg.

110

eleqtronuli resursebi maswavleblisaTvis

www.kargiskola.ge – eleqtronul portalze Tavmoyrilia mravalferovani, ino-vaciuri saganmanaTleblo swavlebisa da saswavlo meToduri interaqtiuli resursebi. portalis meSveobiT, dawyebiTi safexuris maswavlebels SeuZlia gakveTilis gegmis CamotvirTva, sabavSvo kompiuteruli TamaSebis gamoyeneba jgufuri, individualuri Tu saklaso muSaobisTvis.

www.learningapps.org – programis meSveobiT maswavlebels Tavad SeuZlia, Seqmnas saintereso saswavlo resursebi – testebi, viqtorinebi, jgufuri davalebebi... da saWiroebisamebr gamoiyenos gakveTilze, rac Zalian sainterso da saxali-soa moswavleebisTvis. Learningapps-i maswavlebels aZlevs saSualebas, sawyis gverdze, marjvena zeda kuTxeSi airCios saitis ena (qarTuli) da daaTvalieros kolegebis mier Seqmnili resursebi (magaliTad, kategoria „maTematikis“ arCe-viT), da maTgan SearCios TavisTvis sasurveli resursi; Semdeg zeda panelze gamoiZaxos brZaneba „registraciaSi Sesvla“ da mihyves bmuls.

www.khanakademy. org – vebgverdze moipoveba saintereso testebi, viqtorinebi dawyebiTi safexuris moswavleebisTvis, Tumca, sasurvelia, moswavleebTan mi-tanamde maswavlebelma winaswar Targmnos ama Tu im testis piroba.

www.G-pried – dawyebiTi ganaTlebis proeqts saqarTvelos ganaTlebisa da mec-nierebis saministro aSS saerTaSoriso ganviTarebis saagentos (USAID) mxar-daWeriT axorcielebs da saqarTvelos yvela sajaro skolas sTavazobs monaw-ileobas maswavlebelTa profesiuli ganviTarebis programaSi dawyebiT (I-VI) klasebSi kiTxvisa da maTematikis swavlebis gaumjobesebis mizniT.

Geogebra – dinamikuri maTematikis axali paketi, programirebis ena Java-ze dawerili ufaso programa, romelic SesaZlebelia, gadmoiweroT inter-netidan. Gam programis saSualebiT, moswavleebs (maswavleblis daxmarebiT) SeuZliaT Seasrulon rogorc geometriuli, ise algebruli davalebebi.

damxmare literatura

1. a.benduqiZe – `maTematika. seriozuli da saxaliso~, `nakaduli~, Tbili-si, 1977 w.

2. a.benduqiZe – `maTematikuri narkvevebi~, `legia~, 1995 w.

3. m.kopaleiSvili – `mogzauroba ricxvTa samyaroSi~, `ganaTleba~, 1979 w.

4. T.ebanoiZe – `werilebi qarTvel maTematikosebze~. `mecniereba~, 1971w.

5. Энциклопедический словарь юного матемтика. Издательство “Педагогика”. 1975 г.

6. r.kuratni. h.robinsi – `ra aris maTematika?~

7. v. komarovis Tbilisis fizika-maTematikis #199 sajaro skola – amoca-naTa krebuli maTematikaSi, VI kl. 2010 w.

7. Я. И. Перельман живая матемтика. Изд. “Наука”. 1967 w.

http://www.kargiskola.ge

http://www.learningapps.org

111

9. n. maWaraSvili – `logikur amocanaTa krebuli~

10. А. В. Спивак. Математический праздник. Библиотека Квант. Выпуск 77.

11. k. ciskariZe – `maTematikuri Sejibrebebi~, 1997 w.

12. T. bawilaSvili, l. avaliani – `Tavsatexi da gasarTobi amocanebi~, 2005 w.

13. a. gagniZe, d.lelaZe – `zogadi unarebis testi~, 2006 w.

www.mathsurf.com/5/ch1;

www.project.ex.ac.uk; http:/primes.utm.edu;

http:/Olympiads.win.tue.nl; www.problems.ru;

www.zaba.ru; www.mathematics.ru;

http:/google.com-golden section; www.solarviews.com.

gTavazobT savaraudo saaTobriv ganawilebas, romelic maswavlebels, saWiroebisda mixedviT SeuZlia Secvalos:I Tavi–40sT; II Tavi–15sT; III Tavi–35sT; IV Tavi–40sT.sarezervo dro 14 sT.

http://www.mathsurf.com/5/ch1

http://primes.utm.edu

http://Olympiads.win.tue.nl

http://www.problems.ru

http://www.zaba.ru

http://www.mathematics.ru

http://google.com

http://www.solarviews.com

matematikaƒ›ათემატიკა-5... · 5 maswavleblis wigni matematika nana jafarize...

Documents