matematika i

Matematika I.

3. heti előadás

Deák Ottómestertanár

Műszaki Térinformatika 2015/2016. tanévszakirányú továbbképzés őszi félév

Számábrázolás a Maple-ben

• Az alábbi számtípusok pontos ábrázolása, keze-lése és megjelenítése a cél:– egész;– racionális;– valós;– komplex.

• Néhány adat a belső számábrázolásról:– A Maple számrendszerének alapja: 104

– Az adatvektor hosszának leírása: 17 bit– A legnagyobb ábrázolható szám számjegyeinek a

száma: 217-1– A 10-es számrendszerben ábrázolható legnagyobb

szám számjegyeinek a száma: 4*(217-1)=524284

4. lecke (1. rész)

• Néhány példa az egész számokkal végezhető műveletekre:

4. lecke (2. rész)

• Néhány példa a racionális számokkal végez-hető műveletekre:

4. lecke (3. rész)

• Néhány példa a valós számokkal végezhető műveletekre:

4. lecke (4. rész)

• Néhány példa a valós számokkal végezhető műveletekre:

Mit tanultunk a Maple-ből?

• A Maple borzasztóan nagy, kb. 500 000 jegyű egész számok ábrázolására és használatára képes. A racionális számokat egész számpárként ábrázolja úgy, hogy a számláló és a nevező már relatív prímek (egyszerűsített alak).

• A valós és a komplex számokat az őket előállító kifejezések segítségével ábrázolja.

• A valós számok közelítéseit az evalf eljárás szol-gáltatja, mégpedig tetszőleges pontossággal. A kö-zelítés pontosságát az evalf második paramétere határozza meg. Ha ilyet nem adunk meg, akkor a Digits környezeti változó értéke adja meg a pontosságot.

A 4. lecke gyakorló feladatai

5.feladat: Végezzük el a következő műveleteket!

a) 2200 b) 100!

c) ifactor(10^10) d)100100

e) 2^(2^(2^(2^(2^2))))

6.feladat: Számítsuk ki a 2,3 cm sugarú kör és gömb területét illetve térfogatát, illetve a 3,2 cm oldalhosszú négyzet és kocka területét és térfogatát 24 jegy pontos-sággal!

Az 5. gyakorló példa megoldása

A 6. gyakorló példa megoldása

5. lecke

Feladat: Határozzuk meg az x2/a2+y2/b2=1 egyenletű ellipszisbe írható legnagyobb téglalapot!

5. lecke megoldása (1. rész)

Mit tanultunk a Maple-ből (I.)?

• A szekvenciális helyettesítés általános alakja:subs(x1=e1,x2=e2,…,kifejezés);

Hatására először az x1 összes előfordulása e1-gyel, majd a keletkező kifejezésben az x2 összes előfor-dulása e2-vel helyettesítődik, és így tovább.

• Az implicitplot a plots csomag implicit függvé-nyek rajzolására alkalmas eljárása. Alakja:

implicitplot(egyenlőség,x=a..b,y=c..d,opciók);Az egyenlőség írja le az implicit függvényt, melynek független változója x, függő változója y. A második és a harmadik paraméter az ábrázolási tartományt adja meg az egyes tengelyeken.

Mit tanultunk a Maple-ből (II.)?

• A polygonplot a plots csomag sokszögek felraj-zolására alkalmas eljárása. Alakja:

polygonplot([[x1,y1],…,[xn,yn]],opciók);A paraméterként megadott kételemű listák egy n-szög szomszédos csúcsainak a koordinátái. Az opciók a plot eljárásnál ismertetettekkel azonosak, használatuk nem kötelező.

• A restart eljárással a rendszer újraindítható.• Kifejezés abszolut értékét az abs eljárással számít-

hatjuk ki.

Mit tanultunk a Maple-ből (III.)?

• A plot3d könyvtári eljárás. Alakja:plot3d(f,x=a..b,y=c..d);

ahol f kétváltozós kifejezés x-ben és y-ban. Hatá-sára háromdimenziós felület keletkezik a kijelölt rajzolási tartományban.

• A convert(f,string) parancs az f Maple objektumot karakterlánccá konvertálja minden olyan esetben, amikor ez az átalakítás értelmezhető.

Mit tanultunk a Maple-ből (IV.)?

• A for utasítás legegyszerűbb alakja:– for x from kezdőérték to végérték by lépésköz do– ...ciklusmag– od

Hatására a ciklus magja a ciklusváltozókezdőérték,kezdőérték+lépésköz,kezdőérték+2*lépésköz...

értékeire újra és újra végrehajtásra kerül. Ez addig tart, amíg a ciklusváltozó értéke meg nem haladja a végértéket.

• A vessző [,] infix operátor sorozatok összefűzésére szolgál. Tehát az s1 és az s2 sorozatra az s1,s2 az a sorozat, ami úgy keletkezik, hogy az s1 elem mögé írjuk az s2 sorozat elemeit.

Az 5. lecke gyakorló feladatai

7.feladat: Rajzoljuk fel az alábbi implicit függvénye-ket!

a) x-y2=0 b) x2-y2=0

c) (x2+y2-1)*(x2+y2-4)=0

8.feladat: Egy felül nyitott, téglatest alakú kád tér-fogata V. Milyen méretek mellett lesz a felülete a lehető legkisebb?

9.feladat: Határozzuk meg az y=2*sqrt(1-x/3)) függvény görbéjébe írható legnagyobb területű téglalapot! Szorítkozzunk az első síknegyedre!

A 7/a. gyakorló példa megoldása (I.)

A 7/a. gyakorló példa megoldása (II.)

A 7/b. gyakorló példa megoldása

A 7/c. gyakorló példa megoldása

A 8. gyakorló példa megoldása (I.)

A 8. gyakorló példa megoldása (II.)

A 9. gyakorló példa megoldása (I.)

A 9. gyakorló példa megoldása (II.)

Vegyes gyakorló feladatok

1.feladat: Keressük meg az alábbi egyenletek gyökeit!

a) 7*x4-3*x2+5*x-11=0

b) (x2+2*x-3)*(x2-3*x+2)=0

c) 13*x5-12*x4+11*x3-10*x2+9*x-8=0

2.feladat: Ábrázoljuk az alábbi függvényeket!

a) f(x)=4*x3-2*x2+16*x-4

b) g(x)=sin(x-1)*cos(x+1)-sin2(x-1)

c) h(x)=x2*sin(x-1)+x*cos(x+1)


3.feladat: Izoláljuk az alábbi polinomok gyökeit, és adjuk meg minden intervallumra a gyö-köt!a) x3-3*x-1b) x3-7*x2-2*x-1c) x4+x2-1

4.feladat: Határozzuk meg az alábbi függvények szélsőértékeit és ábrázoljuk együtt a függvényt, valamit az első és a második deriváltját!a) f(x)=2*x4-4*x3-11*x2+8*x+4b) g(x)=x2*e-2*x


5.feladat: Keressük ki a 104 és a 105 közé eső szom-szédos prímszámokat! (pl. 29 és 31)!

6.feladat: Határozzuk meg az alábbi számok legnagyobb közös osztóit!a) 2468; 55382b) 362*25!, 31568*34

7.feladat: Adjuk meg a 38!+45! számot követő má-sodik prímszámnál 1-gyel nagyobb szám prímtényezős felbontását!


8.feladat: Határozzuk meg az y=2*cos(Pi*x/6) függvény görbéjébe írható legnagyobb területű téglalapot! A megoldást az I. síknegyedben keressük!

9.feladat: Rajzoljuk fel az alábbi implicit függvé-nyeket!a) x3/a3-y2/b2=2b) sin(x)*cos(y)=0.5c) ln(x*y)*(x2-y3)

matematika i

Documents