matematika i. a ii. · pdf filematematika i. a ii. robert marˇ´ık a lenka...

Matematika I. a II.
Robert Mark a Lenka Pribylova
23. kvetna 2011
cLenka Pribylova, 2011

Obsah
Zaklady matematicke logiky 9
Zakladn mnozinove pojmy 13
Mnozina realnych csel a jej podmnoziny 16
Funkce 18
Slozena funkce 20
Vlastnosti funkc 22
Inverzn funkce 37
Komplexn csla 42
Polynomy 56

Celocselne koreny 59
Racionaln lomena funkce 82
Cselne vektory 84
Linearn kombinace vektoru 101
Linearn zavislost a nezavislost vektoru. 102
Matice 104
Operace s maticemi 108
Hodnost matice 127
Inverzn matice 132
Determinant matice 139

Soustavy linearnch rovnic 154
Gaussova eliminacn metoda 159
Cramerovo pravidlo 160
Analyticka geometrie v rovine 161
Kuzelosecky 168
Analyticka geometrie v prostoru 174
Vyznamne plochy v prostoru 183
Diferencialn pocet funkc jedne promenne 185
Limita funkce 187
Jednostranna limita 190

Nevlastn body 194
Nevlastn limita 196
Limita v nevlastnm bode 199
Spojitost funkce 200
Pravidla pro poctan s limitami 202
Vypocet limity funkce 206
Derivace funkce 208
Vzorce a pravidla pro derivovan 214
Diferencial funkce 217
Derivace vyssch radu 219

Uzit derivac k vypoctu limit 221
Monotonnost funkce. Lokaln extremy. 223
Konvexnost a konkavnost. Inflexn body. 226
Asymptoty funkce 229
Prubeh funkce 231
Tayloruv polynom 232
Integraln pocet funkc jedne promenne 235
Zakladn vzorce a pravidla 237
Metoda per partes 240
Substitucn metoda 242

Integrace racionalnch lomenych funkc 245
Integrace goniometrickych funkc. 249
Integrace iracionalnch funkc. 250
Integrace slozene exponencialn funkce 252
Urcity integral 253
NewtonovaLeibnizova formule 257
Vlastnosti urciteho integralu 258
Vypocet urciteho integralu 259
Geometricke aplikace urciteho integralu 260
Nevlastn integral 263

Diferencialn pocet funkc dvou promennych 266
Parcialn derivace 272
Diferencial a tecna rovina plochy 274
Lokaln extremy funkc dvou promennych 276
Absolutn extremy 280
Integraln pocet funkc dvou promennych 282

Zaklady matematicke logiky
Definice: Vyrok je sdelen o jehoz pravdivosti muzeme rozhod-nout. Pravdivostn hodnotou vyroku V je cslo p(V) = 1, pokudje vyrok V pravdivy a p(V) = 0, pokud je vyrok V nepravdivy.
Logicke spojky umoznuj z jednotlivych vyroku tvorit slozitejs.
negace A nen pravda, ze Akonjunkce A B A a zaroven Bdisjunkce A B A nebo Bimplikace A B jestlize A, pak Bekvivalence A B A prave kdyz B

Tabulka pravdivostnch hodnot zakladnch vyroku:
p(A) p(B) p(A) p(A B) p(A B)1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 0
p(A) p(B) p(A B) p(A B)1 1 1 11 0 0 00 1 1 00 0 1 1

Definice: Tautologie je slozeny vyrok, ktery ma vzdy pravdi-vostn hodnotu 1 bez ohledu na to, jake jsou pravdivostn hodnotyvyroku, z nichz je utvoren.
Veta: Nasledujc vyroky jsou tautologie:
A A, A A, A A, (A A) A
(A B) (A B), (A B) (A B)(A B) (A B), (A B) (A B)

Sdelen cele cslo x je vets nez 1nen vyrok, protoze nelzerozhodnout o jeho pravdivosti ci nepravdivosti. Teprve kdyz za xdosadme nejakou prpustnou konstantu, dostaneme vyrok. Takovetosdelen se nazyva vyrokova forma.
Je-li V(x) vyrokova forma, pak jej definicn obor je mnozina tech takovych, ze V() je vyrok. Obor pravdivosti vyrokove formy V(x) jemnozina tech z definicnho oboru, ze V() je pravdivy vyrok.
Z vyrokove formy muzeme vytvorit vyrok dosazenm konstanty zdefinicnho oboru nebo tzv. kvantifikac promennych. Kvantifikovanyvyrok vytvorme z vyrokove formy tak, ze udame pocet objektu, pronez z vyrokove formy utvorme vyrok pomoc kvantifikatorukazdy(), alespon jeden(), nejvyse dva, prave triatd.
Prklady z logiky

Zakladn mnozinove pojmy
Mnozina je soubor nejakych vec nebo objektu, ktere nazyvme prvkymnoziny. Pritom o kazdem objektu lze jednoznacne rozhodnout, zdado dane mnoziny patr. Mnoziny znacme zpravidla velkymi psmenyA, B, C, . . . , jejich prvky malymi psmeny a, b, c, x, . . . . Prslusnost, resp.neprslusnost, prvku x do mnoziny A znacme
x A, resp., x / A
Mnoziny muzeme popsat napr. vyctem prvku
A = {1, 4, 7}
nebo zadanm pravidla, ktere urc, zda dany prvek do mnoziny patrnebo ne
A = {x : x je sude 0 x < 7} = {0, 2, 4, 6}

Definice: Sjednocenm mnozin A a B nazyvame mnozinu
A B = {x : x A x B},
prunikem mnozin A a B nazyvame mnozinu
A B = {x : x A x B},
rozdlem mnozin A a B nazyvame mnozinu
A B = {x : x A x / B}.
Prazdna mnozina je mnozina, ktera neobsahuje zadny prvek. Znacmeji . Mnozina, ktera obsahuje konecny pocet prvku se nazyvakonecna. Mnozina, ktera obsahuje nekonecny pocet prvku se nazyvanekonecna.

Zakladn cselne mnoziny maj pevne dohodnuta oznacen:
Definice:
N = {1, 2, 3, . . .} . . . mnozina prirozenych cselZ = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .} . . . mnozina celych csel
Q =
{m
n: m Z, n N
}
. . . mnozina racionalnch csel
R = (, ) . . . mnozina realnych cselI = R Q . . . mnozina iracionalnch cselC = {a + ib : a, b R} . . . mnozina komplexnch csel

Mnozina realnych csel a jej podmnoziny
Definice: Podmnozinou B mnoziny A rozumme libovolnoumnozinu, jejz vsechny prvky jsou obsazeny v mnozine A. Tutovlastnost mnoziny B zapisujeme takto: B A
Mnozinu R zobrazujeme jako prmku. Typickymi podmnozinamimnoziny R jsou intervaly.

Otevreny interval (a, b) oznacujeme kulatymi zavorkami a na prmceuseckou s prazdnymi krajnmi body.
a b
a < x < b
uzavreny interval a, b oznacujeme hranatymi zavorkami a na prmceuseckou s plnymi krajnmi body.
a b
a x b
Dals mozne typy intervalu jsou naprklad tyto:
a b
a x < b
a
< x aa, b) (, a

Funkce
Definice: Nechtjsou dany neprazdne mnoziny D a H. Pravidlo f ,ktere kazdemu prvku x D prirazuje prave jeden prvek y H, senazyva funkce. Zapisujeme y = f(x) nebo f : x y.
Mnozina D = D( f ) se nazyva definicn obor funkce f .
Mnozina vsech y H, pro ktera existuje x D s vlastnost f (x) = y senazyva obor hodnot funkce f a oznacujeme jej H( f ).
Pokud jsou D( f ) a H( f ) podmnoziny R, mluvme o realne funkcijedne realne promenne.Operace s funkcemi:
Funkce lze sctat, odctat, nasobit a delit. Plat komutativn, asociativn

a distributivn zakon.
(f g
)(x) = f (x) g(x)
(f g
)(x) = f (x) g(x)
Definicn obor nove funkce je prunikem definicnch oboru puvodnchfunkc D( f ) D(g).
(f
g
)
(x) =f (x)
g(x)
Definicn obor nove funkce je prunikem definicnch oboru puvodnchfunkc mimo bodu, kde je jmenovatel nulovy:D( f ) D(g) {x : g(x) = 0}.Dals operac je skladan func.

Slozena funkce
Definice: Necht u = g(x) je funkce s definicnm oborem D(g)a oborem hodnot H(g). Necht y = f (u) je funkce s definicnmoborem D( f ) H(g). Slozenou funkc
(f g
)(x) = f
(g(x)
)
rozumme prirazen, ktere x D(g) prirazuje y = f (u) =f (g(x)). Funkci g nazyvame vnitrn slozkou a funkci f vnejsslozkou slozene funkce.
x g(x) f(
g(x))
g f
f g
D(g)D( f )
H( f )
bb
b

Definice: Grafem funkce rozumme mnozinu vsech uspora-danych dvojic [x, f (x)], x oznacujeme jako nezavislou promennoua y jako zavislou promennou.
y
x0
f (x0)
x0
b

Vlastnosti funkc
Definice: Necht f je funkce a M D( f ) podmnozina definicnhooboru funkce f .
1. Rekneme, ze funkce f je na mnozine M zdola ohranicena,jestlize d R takove, ze pro x M plat d f (x).
2. Rekneme, ze funkce f je na mnozine M shora ohranicena,jestlize h R takove, ze pro x M plat f (x) h.
3. Rekneme, ze funkce f je na mnozine M ohranicena, je-li naM ohranicena zdola i shora.
Nespecifikujeme-li mnozinu M, mame na mysli, ze uvedena vlast-nost plat na celem definicnm oboru funkce f .

Graf zdola ohranicene funkce lez nad nejakou vodorovnou prmkou:
y
x0
d
y = f (x)

Graf shora ohranicene funkce lez pod nejakou vodorovnou prmkou:
y
x0
h
y = f (x)

Graf ohranicene funkce lez mezi nejakymi dvema vodorovnymiprmkami:
y
x0
h
d
y = f (x)

Definice:
1. Rekneme, ze funkce f je suda, pokud pro x D( f ) plat, ze
x D( f ) f (x) = f (x).
2. Rekneme, ze funkce f je licha, pokud pro x D( f ) plat,ze
x D( f ) f (x) = f (x).

Graf sude funkce je symetricky podle osy y:
y
x0
y =

matematika i. a ii. · pdf filematematika i. a ii. robert marˇ´ık a lenka...

Documents