matematika ii -...

ObavijestiPrimitivna funkcijaNeodreeni integralIntegracijske metode

Saetak

Matematika II

Predavanje 1

M. Kosor1

1Pomorski odjel Sveuilita u Zadru

6. oujka 2013.

Mate Kosor Matematika II, Predavanje 1


Saetak

Saetak

1 ObavijestiUvjet za potpis

2 Primitivna funkcijaIdejaStriktna denicija i primjeri iz knjigeSvojstva primitivne funkcije

3 Neodreeni integralDenicija i primjeriTablica osnovnih integralaSvojstva

4 Integracijske metodeTipine grekeParcijalna integracijaIntegracija supstitucijomIntegriranje je openito vrlo sloeno


Uvjet za potpis za redovite studente: samo seminariIzvanredni studenti i poseban status nemaju nikakvih uvjeta za potpis.

Prijavite se na web stranice predmeta tamo e stizatiobavijesti.

Predavanju NISU obvezna: moete dolaziti srijedom ili gledativideo naknadno. Ponekad e nadoknada biti utorkom uterminu seminara.

Sve grupe seminara dri asistentica Lea Duji. Nema videa saseminara. Redoviti studenti trebaju sakupiti 22 od 30 satiseminara na obrascu za ovjere. Slobodno mijenjajte grupukako vam odgovara.

Seminari poinju idui utorak, otprilike svaki drugi tjedan.Odravati e 3-4 sata u jednom terminu.

Ako ete imati problema sa ispunjavanjem uvjeta za potpismorate se javiti u prva 3 tjedna nastave.

Biti e neka vrsta kolokvija. . .


Saetak

IdejaStriktna denicija i primjeri iz knjigeSvojstva primitivne funkcije

Antiderivacija

Denicija

Za funkciju f (x) primitivna funkcija je funkcija F (x) takva da je

F (x) = f (x)

.

Razmiljamo koja funkcija F (x) kada se derivira daje f (x). . .



Saetak


Ako deriviranje predoimo kao korak naprijed, integriranje se moe zamisliti kao korak unatrag.

Primjer

Da li su sljedee funkcije primitivne od f (x) = cosx?

?

g(x) = sinx+5 ?

?

g(x) = sinx35 ?



Saetak


Rije interval koristimo u labavom smislu



Saetak


Primitivna F (x) = f (x) do u prebrojivo toaka



Saetak


Primitivna funkcija je antiderivacija



Saetak


F (x) = f (x) mogue uz rupice u domeni

Zapamtite: za F (x) primitivnu funkciju od f (x) :

F mora biti neprekidna.

F (x) = f (x) osim za prebrojivo mnogo (rupica) x .

Ako se domena od F moe proiriti po neprekidnosti slobodno.



Saetak


Sve primitivne funkcije od f razlikuju se samo za konstantu

Za F (x) primitivnu funkciju od f (x) :

Za svaki c R takoer G (x) = F (x)+ c je primitivna od f .



Saetak


Sve primitivne funkcije od f razlikuju se samo za konstantu

Ako su F i G primitivne funkcije od f tada se razlikuju samoza konstantu



Saetak


Prisjeanje: ako je derivacija nula funkcija je konstanta



Saetak

Denicija i primjeriTablica osnovnih integralaSvojstva

Neodreeni integral je skup svih primitivnih funkcija


Kod raunanja elementarnih integrala moemo se sluiti tablicomderivacija, ali itamo je u obrnutom smjeru.

F f = F

x ( 6= 0) x1

lnx 1x

ex ex

sinx cosx

cosx sinx

tanx 1cos2 x

cotx 1sin2 x

sinhx coshx

F f = F

coshx sinhx

tanhx 1cosh2 x

cothx 1sinh2 x

arcsinx 11x2

arctanx 11+x2

sinh1x 11+x2

tanh1x 11x2

coth1 1x21


Saetak


Primjeri iz knjige. . .


Tko zna derivirati lako provjeri . . .

dx = x+C

dxa2+x2

=1

aarctan

x

a

dxa2x2

=1

2aln

a+xax+C

za 6=1 :x dx =

x+1

+1+C

tanx dx = ln |cosx |

dxx2a2

=1

2aln

xax+a+C

dxx

= ln |x |+C

cotx dx = ln |sinx |+C dx

x2a2= ln

x+x2a2+Cex dx = ex +C

dxcos2 x

= tanx+C dx

a2x2= arcsin

x

a+C

ax dx =

ax

lna+C

dxsin2 x

=cotx+C dx

2axx2= arccos

(1 x

a

)+C

sinx dx =

cosx+C

sinhx dx = coshx+C

x2a2 dx =

1/2[xx2a2a2 ln

(x+x2a2

)]

cosx dx = sinx+C

coshx dx = sinhx+C

a2x2 dx =

1/2[xa2x2+a2 arcsin

(x

a

)]+C

Integral je neki nain antiderivacije

Vrijedi (slino kao za derivacije): vidi Teorem 4.2.2. i 4.2.3. iz knjige(f (x)dx

)= f (x)

f (x)dx = f (x)+ ca f (x)dx = a

f (x)dx , (akonstanta)

(f (x)+g(x)) dx =

f (x)dx+

g(x)dx

Dokaz. . .


Saetak


Ponekad zaboravljamo konstatnu C



Saetak

Tipine grekeParcijalna integracijaIntegracija supstitucijomIntegriranje je openito vrlo sloeno

Ne rastavljati integral po faktorima!

Za razliku od derivacija nema formule za integraciju umnoka.

na primjer ne vrijedi:x sinx dx =

x dx

= x2

2

sinx dx

=cosx

ponekad se za umnoke pod integralom koristi parcijalnaintegracija. . .



Saetak


Ne rastavljati razlomak po zbroju u nazivniku!

vrlo esta greka:x

x2+2dx =

x

x2dx

=ln|x |

+

x

2dx

= 14 x2

openito je

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::zabranjeno rastaviti razlomak po zbroju u nazivniku

integral razlomka je relativno teak: posebne (sloene) metoderijeavanja. . .

ovaj gore moe se rijeiti jednostavnom supstitucijom. . .


Parcijalna integracija

Formula za derivaciju umnoka:

f (x) g(x)+ f (x) g (x) = (f (x) g(x))

Integracija:f (x) g(x)dx+

f (x) g (x)dx =

(f (x) g(x)) dx

= f (x) g(x)+ c

Lijevo ostavimo samo dio izraza:f (x) g (x)dx = f (x) g(x)

f (x) g(x)dx ,

Zamjenom varijabli u = f (x) i v = g(x) moemo pisati i ovako:u

dvdx

dx = uv

vdudx

dx ,u dv = uv

v du

Parcijalna integracija

Primjer

Koristei zamjenu u = x i dv = sinx dx izraunati

x sinx dx =

{u = x ; du = u = 1dxdv = sinx dx ; v =

dv =

sinx dx =cosx

}= uv

v du

= . . .

Integracija supstitucijom

Deriviranje kompozicije funkcije:

F (g(x)) g (x) = (F g) (x).

Integrirajmo:F (g(x)) g (x) =

(F g) (x) = (F g)(x)+ c

Zakljuak: Ako je f neprekidna funkcija i F njena primitivnafunkcija (itaj: F (x) = f (x)), a uz to g ima neprekidnu derivacijutada

f (g(x)) g (x)dx = F (g(x))+ c.


Saetak


f (g(x)) g (x)dx = F (g(x))+ c.

Drugim rijeima, napravili smo zamjenu varijabli t = g(x):f (g(x)) g (x)dx =

{t = g(x)

dt = d(g(x)) = g (x)dx

}=

f (t)dt

= F (t)+ c

= F (g(x))+ c


Integracija supstitucijom: x dx

x2+2Najsloeniji dio izraza moe se pokuati zamijeniti novom varijablom

=

t = x2+2

dt =(x2+2

) dx = 2x dxx dx = 1

2dt

= 1

2dtt

=12ln t =

12lnx2+2+c

Teorem

Kada je brojnik ba derivacija nazivnika integracija razlomka se

moe provesti supstitucijom.

Dokaz.

f (x)

f (x)dx =

{t = f (x)

dt = f (x)dx

}= dt

t= ln |t|= ln |f (x)|+ c

Treba poznavati tehniku za svaki pojedini tip integrala

Lagani neodreeniintegrali:- tablini- izluivanje konstantogfaktora- razdvojiti integralzbroja na zbroj integrala

Ostali neodreeni integrali mogu sepokuati rijeiti:- parcijalnom integracijom- supstitucijom- pogaanjem (pa deriviranje za provjeru)- razvojem funkcije u red- posebnom kombinacijom ovih tehnika- ponekad nerijeivi


Saetak

Ponavljanje

to je primitivna funkcija?

to je neodreeni integral?

Formule za integraciju

parcijalna integracija

integracija supstitucijom


matematika ii -...

Documents