matematika - insan cerdas 12.pdf · 2015-08-13 · modul matematika sma kelas 12 les privat insan...
TRANSCRIPT
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 1 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
MATEMATIKA
1 – Integral
INTEGRAL TAK TENTU
Sifat – sifat Integral
INTEGRAL TERTENTU
F(x) = adalah anti turunan f (x)
a = batas bawah
b = batas atas
Sifat – sifat Integral Tertentu
k = konstanta
U = fungsi f (x)
V = fungsi g (x)
LUAS BIDANG DATAR
♣ Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X
1. cxdx
2. cxfxfd )()(
3. caxdxa
4.
cxn
dxx nn 1
1
1 dengan n 1
5.
cxn
adxxa nn 1
1 dengan n - 1
6. cna
baxdxbax
nn
)1(
)()(
1
dengan a 0
1. dxxfkdxxfk )()(
2. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
3. dxxgkdxxfkdxxgxfk )()()()(
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
1.
b
a
abkdxk )( 5.
b
a
c
b
c
a
dxUdxUdxU
2. 0a
a
dxU cba
3.
b
a
b
a
dxUkdxUk 6.
b
a
b
a
b
a
dxVdxUdxVU
4.
a
b
b
a
dxUdxU
Y Y
X
X
O
O D1
D2
)(xfy
)(xfy
x = a x = b
x = a x = b
1. b
a
dxxfDL )()( 1
2. b
a
a
b
b
a
dxxfdxxfdxxfDL )()()()( 2
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 2 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
♣ Luas Antara Dua Kurva
VOLUME BENDA PUTAR
Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y
Volum Benda Putar Suatu Daerah Antara
Dua Kurva
Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y
PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
INTEGRAL PARSIAL
Hal yang perlu diperhatikan agar dvu dapat
diselesaikan adalah memilih bagian dv sehingga v dengan
mudah dapat diperoleh melalui pengintegralan dvv .
Y
X O x = a x = b
)(xfy
)(xgy
b
a
dxxgxfL )()(
Y Y
X
X
O
O
a b y = c
y = d
)(xfy )(ygx
dyygV
d
c
2
)( b
a
dxxfV2
)(
Y Y
X
X
O
O
a b
)(1 xfy
)(2 xgy
)(1 yfx
)(2 yfx
cy
dy
dxxgxfVb
a
)()( 22 dyygyfVd
c
)()( 22
1.
Cun
adxua nn 1
1; a & n
bilangan rasional n 1
2. Cuduu sincos
3. Cuduu cossin
4. Cuduu tansec 2
5. Cuanduuec cotcos 2
6. Cuduuu secsectan
7. Cuecduuecuan coscoscot
Fungsi
Integral
Substitusi
Dgn Hasil Substitusi
22 xa x = a sin cossin1 2 aa
22 xa x = a tan sectan1 2 ana
22 ax x = a sec tan1sec 2 aa
duvvudvu .
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 3 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Latihan 1
1. Selesaikan tiap integral berikut ini!
a. dxx45 c. dxx4 3
b. dxx 3
1 d. dx
x 3 2
1
2. Tentukan tiap integral berikut ini!
a. dxxx )438( 23
b. dxx 2)1(
c. dxxxx )10412( 4711
d. dxxx )3()1(
3. Selesaikan tiap integral berikut ini!
a.
dxx
xx 2
14
b. dxxx 2)1(
c.
dx
xx
21
d. dxx
x
2
5 1
4. Selesaikan integral – integral berikut ini!
a. dxxx )12( c. dxx
xx
)1(
b. d. dxx
x
21
5. Misalkan 32)(' xxF dan F(1)=14, tentukan
fungsi F (x)!
6. Diketahui 443)(' 2 xxxF . Untuk x = 2 fungsi
F (x) bernilai 13. Tentukan fungsi F (x)!
7. Misalkan turunan kedua dari fungsi F (x) adalah
212)(" xxF . Jika F’(2)=20 dan F(1) = 4, carilah
fungsi F (x)!
8. Diketahui xxF 6)(" merupakan turunan kedua dari
F(x). Untuk x = 1 fungsi F (x) bernilai – 2,
sedangkan untuk x = - 1 fungsi F (x) bernilai – 6.
Tentukan fungsi F (x)!
9. Gradien garis singgung di setiap titik P (x, y) yang
terletak pada sebuah kurva adalah xdx
dy2 . Jika
kurva itu melalui titik (-1, 2), tentukan persamaannya.
10. Turunan kedua dari suatu persamaan kurva
ditentukan oleh 86" xy . Kurva tersebut
melalui titik (1, 6) dan gradien garis singgungnya
sama dengan 7. Tentukan persamaan kurva tersebut.
11. Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada
saat t detik laju benda dinyatakan dengan persamaan
tv 10 . Pada saat t = 2 detik posisi benda
berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukan
posisi benda s sebagai fungsi waktu t!
12. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar
dengan laju awal 4 m/det. Akibat gesekan dengan
bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det2.
Jika saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa
jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti.
13. Kurva 1)( 2 xxfy didefinisikan dalam
interval [-1, 2]. Interval ini dibagi menjadi 6 sub-
interval, masing – masing dengan panjang yang sama.
Titik xi merupakan titik tengah dari sub-interval ke i.
Hitunglah jumlah Riemannnya!
14. Tunjukkan luas daerah tertutup yang dinyatakan oleh
tiap rumus berikut:
a. 3
0
dxx b.
2
0
)2( dxx
c. 2
1
2 dxx d.
2
1
2)1( dxx
dxx
x
12
1. Cxdxx cossin
2. Cxdxx sincos
3. Cxdxx tansec 2
4. Cxdxxec cotcos 2
5. Cxdxxx sectansec
6. Cecxdxxecx coscotcos
7. Cbaxdxbaxa
)cos()sin( 1
8. Cbaxdxbaxa
)sin()cos( 1
9. Cbaxdxbaxa
)tan()(sec 12
10. Cbaxdxbaxeca
)cot()(cos 12
11. Cbaxdxbaxbaxa
)sec()sec()tan( 1
12. Cbaxecdxbaxecbaxa
)(cos)(cos)cot(1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 4 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
15. Tuliskan rumus integral untuk menyatakan luas
daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
16. Dengan menggunakan hubungan
n
i
iin
b
a
xxfdxxf1
)(lim)( , hitunglah
integral tertentu 3
0
dxx .
17. Hitunglah tiap integral tertentu berikut:
a. 3
0
dxx b. 3
1
4 dx
c. 5
0
dxx d.
2
0
)1( dxx
e.
3
2
)2( dxx
18. Hitunglah nilai dari tiap integral tertentu berikut:
a. 1
0
4 dxx b.
3
1
2)1( dxx
c. dxx
3
1
2
1 d.
4
1
dxx
17. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:
a.
1
1
2 )1( dxx b.
3
1
2 )1( dxx
c.
1
3
2 )1( dxx
18. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:
a. 2
0
34 dxx b. 3
0
34 dxx
19. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:
a. 4
0
23 dxx b. 1
0
23 dxx
c. 4
1
23 dxx
22. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. kurva xxfy 2)( , sumbu X, dan garis –
garis x = 1 dan x = 2.
b. kurva xxxfy 63)( 2 , sumbu X, dan
garis – garis x = 0 dan x = 2.
23. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. kurva 42)( xxfy , sumbu X, dan garis –
garis x = 0 dan x = 2.
b. kurva xxxfy 2)( 2 , dan sumbu X.
24. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva
xxxfy 3)( dan sumbu X.
25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x
dan kurva y = 3x dalam interval 21 x !
26. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x,
kurva y = 3x, dan garis x = 2.
27. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
parabola 22 xy dan garis y = x.
28. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
parabola xy 42 dan garis 434 yx .
29. Daerah yang dibatasi oleh garis 2 xy , sumbu
X, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu
X. Hitunglah volum benda putar yang terjadi.
30. Daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 , sumbu
X, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X satu
kali putaran. Tentukan volum benda yang terjadi.
31. Daerah yang dibatasi oleh lingkaran 422 yx di
kuadran pertama, sumbu X, sumbu Y, diputar
mengelilingi sumbu X satu kali putaran. Hitunglah
volum benda putar yang terjadi.
32. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, sumbu Y, y =
1, dan y = 2, diputar 360o mengelilingi sumbu Y.
Hitunglah volum benda putar yang terjadi.
33. Hitunglah volum benda putar yang diperoleh jika
daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 , y = 1,
dan y = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y.
34. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika
daerah yang dibatasi oleh garis – garis y = x, y = 2x,
x = 1, dan x = 2, diputar sejauh 360o mengelilingi
sumbu X.
35. Tentukan volum benda putar yang diperoleh jika
daerah yang dibatasi oleh kurva parabola 12 xy
dan 3 xy , diputar mengelilingi sumbu X.
-2 O 1 2 X
Y
2
y = x + 2
-1 O 1 2 X
-1
Y 12 xy
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 5 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan 2
1. Jika dxxxxf )12()( 2 dan f(1) = 0,
maka f(x) =………..
A. 3
123
3
1 xxx
B. 3
1
2
12
2
13
3
1 xxx
C. 3
1
2
12
2
13
3
1 xxx
D. 3
123
3
1 xxx
E. 3123
31 22 xxx
2. Hasil dari
dx
xx
21
adalah…….
A. Cx
xxx
2
183
B. Cx
xxx
2
182
C. Cx
xx
4
243
D. Cx
xx
4
242
E. Cx
xxx
4
242
3. Diketahui dttxf
x
c
2)( . Jika f(2) = - 19/3, maka
kurva itu memotong sumbu x pada……
A. (0, 0) D. (3, 0)
B. (1, 0) E. (19/3, 0)
C. (2, 0)
4. Sebuah benda bergerak dengan laju awal 4 m/det dan
perlambatan 2 m/det. Benda tersebut berhenti……..
A. 1 meter dari titik awal
B. 2 meter dari titik awal
C. 3 meter dari titik awal
D. 4 meter dari titik awal
E. 5 meter dari titik awal
5. Nilai dari
2
12
2 1dt
tt adalah………
A. 20
537 D.
20
540
B. 20
538 E.
20
541
C. 20
539
6. Jika )3
( 3
3
1
xxy , maka dx
dx
dy
2
1
2)(4 ..
A. 13/6 D. 16/3
B. 14/6 E. 17/6
C. 15/6
7. dx
x 4)32(
1 adalah………
A. Cx 3)32(6
1 D. C
x
3)32(
1
B. Cx 3)32(6
1 E. Cx 3)33(
C. Cx 3)32(
8. Turunan kedua fungsi f(x) adalah f”(x) = 6x + 8.
Garis singgung kurva fungsi f(x) di titik (1, 6) adalah
7. Fungsi f(x) tersebut adalah………
A. y = x3 + 4x
2 – 4x + 4
B. y = x3 + 4x
2 – 4x + 2
C. y = x3 + 4x
2 – 4x + 5
D. y = x3 + 4x
2 – 4x + 3
E. y = x3 + 4x
2 – 4x + 1
9. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 2x + 1,
sumbu X, dan x = 2 jika dinyatakan dalam notasi
integral adalah…….
A.
2
0
2 )12( dxxx D.
2
2
2 )12( dxxx
B.
2
1
2 )12( dxxx E.
2
3
2 )12( dxxx
C.
2
1
2 )12( dxxx
10. Luas daerah yang dibatasi y = x3 – x dalam interval 0
x 1 dengan y = 0 adalah…….satuan luas
A. 1 D. 1/4
B. ½ E. 1/5
C. 1/3
11. Luas daerah yang dibatasi y2 = 4x dengan x = ¼
adalah…….satuan
A. 1/6 D. 1/3
B. 1/5 E. ½
C. ¼
12. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis
x = -2, garis x = 2 dan sumbu x adalah…….
A. 4 satuan luas D. 10 satuan luas
B. 6 satuan luas E. 12 satuan luas
C. 8 satuan luas
13. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
y = 3x2 + 4x + 1, sumbu x dan garis x = 2 sama
dengan……….
A. 18 D. 9274
B. 9 E. 18274
C. 18272
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 6 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
14. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2,
sumbu x, dan garis x = 3 sama dengan…….
A. 8 D. 4/3
B. 4 E. 0
C. 8/3
15. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y =
6 + 5x – x2, garis y = 4x dan sumbu y adalah………..
A. 1131 D. 13
21
B. 221 E. 15
32
C. 2465
16. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi y = x + 2, sumbu Y, dan sumbu X diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah…….satuan
isi.
A. 3
55 C.
3
53 E. 3
51
B. 3
54 D. 3
52
17. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x – 1, x = 1,
dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o,
maka isi benda putar adalah………
A. 10 D. 13
B. 11 E. 15
C. 12
18. Daerah yang dibatasi oleh y = x2 dengan sumbu x
untuk 0 x 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh
360o, maka isi benda putar yang terjadi sama
dengan……….
A. 5,2 D. 7,2
B. 6,4 E. 8,4
C. 6,8
19. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 2x +
3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o maka isi
benda putar………..
A. 6021 D. 72
158
B. 6532 E. 72
151
C. 7041
20. Luas daerah yang dibatasi y = x2 dan y = x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360o, maka isi benda
putar yang terjadi sama dengan……….
A. 15
2 D. 15
7
B. 15
4 E. 15
9
C. 15
6
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 7 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
2 – Program Linier Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program
linier, jika memenuhi :
- Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai
dalam bentuk program linier ax + by = z.
- Memiliki alternative pemecahan yang membuat nilai
fungsi tujuan menjadi optimum.
- Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang
terbatas dan pembatasan-pembatasan dari suber yang
tersedia dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linier.
Permasalahan program linier secara umum dapat
dirumuskan :
a. Permasalahan program linier maksimasi
- Fungsi objektif maksimum : z = ax + by
- Syarat : 0,0.,....2,1, yxnieydxc iii
b. Permasalahan program linier minimasi
- Fungsi objektif minimum : z = ax + by
- Syarat : 0,0.,....2,1, yxnieydxc iii
Nilai optimum(memaksimalkan/meminimumkan) dari
masalah program linier, dapat diketahui dengan cara
menentukan titik pojok dari daerah hmpunan penyelesaian
sistem persamaan yang ada.
Cara menentukan nilai optimum fungsi objektif (fungsi
tujuan) :
a. Dengan metode uji titik pojok
Mencari titik-titik pojok (ekstrim) dari kendala lalu
mensubsitusikan ke bentuk fungsi objektif z = f(x, y)
= ax + by. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum
dan nilai z yang terkecil merupakan nilai minimum.
b. Dengan garis selidik
(i) Gambar garis ax + by = ab yang memotong
sumbu X di titik (b, 0) dan memotong sumbu Y
di titik (0, a).
(ii) Tarik garis sejajar dengan ax + by = ab hingga
nilai z maksimum atau minimum, dengan
memperhatihan hal-hal berikut :
- Jika garis ax + by = k1 sejajar ax + by = ab
dan berada di paling atas atau paling kanan
pada daerah himpunan penyelesaian, maka z
= k1 merupakan nilai maksimumnya.
- Jika garis ax + by = k2 sejajar ax + by = ab
dan berada di paling bawah atau paling kiri
pada daerah himpunan penyelesaian, maka z
= k2 merupakan nilai minimumnya
Latihan
1. Gambarkan pada bidang Cartesius, himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan
( x dan y )R
a. 42 yx c. 62 yx
b. 42 yx d. 62 yx
2. Tunjukkan pada bidang Cartesius, daerah himpunan
penyelesaian dari tiap sistem pertidaksamaan linear
berikut ini.
a. 0x dan 0y , dan 054 yx , untuk x dan y
R
b. 5x dan 5y , dan 12 yx , untuk x dan y
R 3. Mas Boi membeli 6 buku tulis dan 8 pensil disuatu
toku buku. Untuk itu mas Boi harus membayar Rp
6.900,00. Sedangkan si Iteung hanya membeli buku
tulis dan pensil masing – masing sebuah. Untuk itu ia
harus membayar Rp 1.050,00. Kalau harga sebuah
buku tulis dan sebuah pensil masing – masing x
rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika untuk
persoalan itu.
4. Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi
syarat – syarat sebagai berikut.
a. Jumlah Nilai Matematika dan Fisika tidak kurang
dari 12.
b. Nilai masing – masing mata pelajaran itu tidak
boleh kurang dari 5
Buatlah model matematika yang dapat dipakai
sebagai patokan agar seseorang siswa boleh memilih
jurusan IPA.
8. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat
ditempati oleh 200 mobil sedan. Jika tempat itu
dipakai untuk parkir bis, maka 1 bis akan menempati
luas daerah yang sama jika dipakai parkir untuk 5
mobil sedan. Jika ditempat itu diparkir x bis dan y
mobil sedan , tentukan model matematikanya.
9. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang
A dan B dengan memakai dua mesin 1M dan 2M .
Untuk membuat barang A, mesin 1M beroperasi
selama 2 menit dan mesin 2M beroperasi selama 4
menit. Sedangkan untuk membuat barang B, mesin
1M beroperasi selama 8 menit dan mesin 2M
beroperasi selama 4 menit. Mesin 1M dan 2M
masing – masing beroperasi tidak lebih dari 8 jam tiap
hari. Keuntungan bersih untuk tiap barang A adalah
Rp 250,00 dan tiap barang B adalah Rp 500,00
Buatlah model matematika untuk masalah untuk
program linear itu, kalau keuntungan bersih yang
diharapkan sebesar – besarnya.
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 8 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
10. Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis
campuran A dan B. Bahan – bahan dasar yang
terkandung dalam tiap kg campuran A dan campuran
B diperlihatkan pada tabel dibawah :
Bahan Dasar
Bahan -1 Bahan - 2
Campuran
A
Campuran
B
0,4 kg
0,8 kg
0,6 kg
0,2 kg
Dari campuran A dan B itu hendak dibuat campuran
C. Campuran C ini sekurang – kurangnya
mengandung bahan – 1 sebanyak 4 kg dan bahan 2
sebanyak 3 kg. Harga tiap kg campuran A adalah Rp
20.000,00 dan tiap kg campuran B adalah Rp
10.000,00.
Buatlah model matematika untuk masalah program
linear itu, kalau biaya total untuk membuat
campuran C diharapkan semurah – murahnya.
11. Sebuah pabrik memproduksi buku jenis polos dan
bergaris. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak
memproduksi 1.000 buku. Dari bagian penjualan
diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak
lebih dari 800 buku polos dan 600 buku bergaris.
Keuntungan tiap buku jenis polos adalah Rp 100,00
dan jenis bergaris adalah Rp 150,00.
( a ) Berapakah keuntungan bersih sebesar – besarnya
yang dapat diperoleh tiap hari?
( b ) Berapa banyak buku polos dan buku bergaris
yang harus diproduksi tiap hari?
12. Tentukan nilai maksimum bentuk objektif 2x + 3y
pada sistem pertidaksamaan:
x 0 , y 0 , dan x + y 6 , dengan x dan y R
dan menggunakan garis selidik.
13. Titik P, Q, R, S, dan T dalam gambar dibawah
merupakan titik – titik sudut yang pada daerah
himpunan penyelesaian dari suatu masalah program
linear. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan
nilai optimum ( maksimum dan minimum) dari
bentuk objektif 2x + y.
14. Titik – titik O, A, B dan C dalam dalam gambar
berikut merupakan titik – titik sudut yang terletak
pada daerah himpunan penyelesaian dari suatu
masalah program linear. Dengan menggunakan garis
selidik, tentukan nilai maksimum bentuk objektif x +
2y
a). untuk x dan y R
b). untuk x dan y C
Latihan 2
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Nilai maksimum dari 4y – x dengan syarat:
xy 2
xy 23
202 xy
3 yx
adalah….
a. 32 d. 7
b. 28 e. 4
c. 19
2. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1x ,
2y , 6 yx , 1532 yx , nilai minimum dari
3x + 4y sama dengan….
a. 9 d. 12
b. 10 e. 13
c. 11
3. Nilai maksimum yxyxf 105),( didaerah yang
diarsir adalah…
A(8,0)
B (42
1 , 54
1 )
C(0,6)
Daerah Himpunan
Penyelesaian
4
4
6
Daerah himpunan
penyelesaian
P(2, 0) Q(5, 0)
R(6, 4)
S(3, 5)
T(0, 3)
Himpunan
Penyelesaian
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 9 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. 60 d. 20
b. 40 e. 16
c. 36
4.
a. 42 yx , 3y , 0x ,
b. 42 yx , 3y , 0x , 0y
c. 42 yx , 3y , 0x , 0y
d. 4 yx , 3x , 0x , 0y
e. 4 yx , 3y , 0x , 0y
5. Daerah yang memenuhi penyelesaian dari:
6 yx
32 yx
062 yx adalah….
a. I d. IV
b. II e. V
c. III
6. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = 5x + y maka
nilai maksimum dari P dan Q pada sistem
pertidaksamaan 0x , 0y , 122 yx , dan
122 yx adalah…
a. 8 dan 30 d. 6 dan 24
b. 6 dan 6 e. 8 dan 24
c. 4 dan 6
7.
Koordinat titik – titik didalam gambar dan
sepanjang sisi segitiga ABC dalam gambar di
atas, memenuhi pertidaksamaan…
a. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
b. 84 yx , 2434 yx , 126 yx
c. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
d. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
e. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
8. Nilai maksimum yxyxf 43),( didaerah yang
diarsir adalah…
a. 4
b. 2
14
c. 5
d. 6
e. 2
16
9. Untuk (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan
632 yx ; 1025 yx ; 0x , 0y , nilai
maksimum obektif yxyxf 2),( adalah…
a. 3 d. 11
b. 7 e. tidak ada
c. 16
10. Suatu jenis roti I membutuhkan 100 gram tepung dan
25 gram mentega, roti jenis II membutuhkan 50 gram
tepung dan 50 gram mentega. Tersedia tepung 1,5 kg
dan mentega 1 kg. Jika x banyak roti I dan y banyak
roti II, supaya kita dapat membuat roti sebanyak
mungkin dari 2 jenis roti itu,maka pertidaksamaan
dalam x dan y yang memenuhi syarat tersebut
adalah…
a. 202 yx , 602 yx
b. 604 yx , 20 yx
c. 302 yx , 6032 yx
d. 202 yx , 4032 yx
e. 302 yx , 402 yx
Daerah Himpunan
Penyelesaian
Daerah himpunan
penyelesaian
2
6
Daerah Himpunan
Penyelesaian
1 3
1
2
1,5
- 3
3
6
6
I
II III
IV V
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 10 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
11. Himpunan pemyelesaian dari sistem pertidaksamaan
402 yx , 402 yx , 0x , 0y terletak pada
daerah berbentuk..
a. trapesium d. segiempat
b. persegi panjang e. segilima
c. segitiga
12. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan
penyelesaian suatu program linear. Untuk soal ini
mana saja bentuk – bentuk dibawah ini mencapai
maksimum di A.
(1) 100x + 50y (2) 3x + 3y
(2) - 4x – 4y (4) 8x + 2y
Jawaban yamg benar adalah…
a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja
b. (1) dan (3) e. semua benar
c. (2) dan (4)
13. Jika segiempat OPQR merupakan himpunan
penyelesaian program linear, maka maksimum fungsi
sasaran x – y pada tiap titik adalah…
a. (0, 0) d. (10, 0)
b. (0, 6) e. semua salah
c. (7, 9)
14. Seorang penjaja buah – buahan yang menggunakan
gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian
apel adalah Rp1.000,00 tiap kg dan pisang adalah
Rp4.00,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp25.000,00 dan
muatan gerobaknya tidak melebihi 400kg. Jika
keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg
pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar
mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus
membeli…
a. 250 kg apel saja
b. 400 kg pisang saja
c. 170 kg apel dan 200 kg pisang
d. 100 kg apel dan 300 kg pisang
e. 150 kg apel dan 250 kg pisang
15. Rokok A yang harganya Rp 200,00 perbungkus dijual
dengan laba Rp40,00 per bungkus sedangkan rokok B
yang harganya Rp100,00 perbungkus dijual dengan
laba Rp30,00 perbungkus. Seorang pedagang rokok
yang mempunyai modal Rp80.000,00 dan kiosnya
maksimum dapat menampung 500 bungkus rokok,
akan memperoleh keuntungan sebesar – besarnya jika
ia membeli…
a. 300 bks rokok A dan 200 bks rokok B
b. 200 bks rokok A dan 300 bks rokok B
c. 250 bks rokok A dan 250 bks rokok B
d. 100 bks rokok A dan 400 bks rokok B
e. 400 bks rokok A dan 100 bks rokok B
16. Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti.
Setiap roti jenis I memerlukan 100 gram tepung dan
75 gram mentega, sedangkan setiap roti jjenis II
memerlukan 50 gram tepung dan 75 gram mentega.
Tepung yang tersedia adalahj 30 kg. Banyaknya roti
jenis I dan II masing – masing agar diperoleh laba
sebesar – besarnya adalah…
a. 100 dan 300 buah
b. 200 dan 200 buah
c. 150 dan 250 buah
d. 350 dan 250 buah
e. 175 dan 225 buah
17. Diberikan sistem pertidaksamaan linear berikut ini:
6 yx
3032 yx
x 0 , 0y ; x, y R
Bentuk objektif P = 150 x + 100y
maksPP :min
= …
a. 1 : 5 d. 4 : 5
b. 2 : 5 e. 1 : 3
c. 3 : 5
18. Sebuah kapal pesiar dapat menumpang 150 orang
penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh
membawa 60 kg bagasi dan penumpang kelas
ekonomi 40 kg. Kapal itu hanya dapat membawa
8000 kg bagasi. Jika banyak penumpang kelas utama
x dan banyaknya penumpang kelas ekonomi y, maka
sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah…
a. 150 yx , 80023 yx , 0x , 0y
b. 150 yx , 40023 yx , 0x , 0y
c. 150 yx , 40023 yx , 0x , 0y
d. 150 yx , 40033 yx , 0x , 0y
e. 150 yx , 80033 yx , 0x , 0y
0 2 6
3
6
A
Daerah Himpunan
Penyelesaian
P(10, 0)
Himpunan
penyelesaian
R(0, 6)
Q(7, 9)
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 11 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
19. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan
penyelesaian suatu masalahjj program linear. Bentuk
– bentuk dibawah ini mencapai minimum di Q.
(1) x + 3y (3) x + 4y
(2) 2x + 5y (4) 3x + y
Pernyataan yang benar adalah…
a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja
b. (1) dan (3) e. semuanya benar
c. (2) dan (4)
20. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk
dijual. Pakaian jenis I memerlukan 1m2
katun dan 3
m2
wool dan pakaian jenis II memerlukan 2 m2
katun dan 2 m2
wool. Bahan katun yang tersedia
adalah 80 m2
dan bahan wool yang tersedia 120m2
.
Apabila harga jual pakaian jenis I dan II masing –
masing adalah Rp120.000,00 dan Rp60.000,00 dan ia
memperoleh laba yang sebesar – besarnya, maka
banyak pakaian jenis I adalah…
a. 50 potong d. 20 potong
b. 40 potong e. 10 potong
c. 30 potong
(30, 0)
(0, 30)
P(45, 0)
R(0,40)
Q
Himpunan
Penyelesaian
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 12 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
3 – Matriks
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B dapat
dilakukan apabila :
a. Ordo A = ordo B
b. A ± B = (aij) ± (bpq), untuk setiap i = p dan j = q
Bentuk umum matriks :
ijii
j
j
nm
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Matriks A dapat ditulis sebagai A = (aij).i = 1,2, ….m dan j =
1,2, …..n
baris ke-1
Kolom ke-1
baris ke-2
baris ke-i
Kolom ke-2 Kolom ke-j
Ordo matriks = banyak baris × banyak
kolom
Determinan Matriks
A =
2221
1211
aa
aa
det (A) = 21122211
2221
1211aaaa
aa
aaA
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
det A =
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
= 332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Invers Matriks :
dc
baA
ac
bd
AA
11
Sifat-sifat invers matriks :
a. (A-1
)-1
= A
b. (At)
-1 = (A
-1)
t
c. (AB)-1
= B-1
.A-1
d. (BA)-1
= A-1
.B-1
Jika AX = B, maka X = A-1
B
Jika XA = B, maka X = BA-1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 13 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan
1. Diketahui mariks A =
12
34dan A
2 = xA + yI,
dengan x, y bilangan real dan I matriks identitas
berordo 2. Nilai x – y adalah ……
a. 3 b. 4
c. 1 d. 5
e. 6
2. Diberikan dua matris :
A =
31
02dan B =
20
21
Matriks C yang memenuhi ABC = I, dengan I
matriks identitas adalah …….
a.
41
42
4
1
b.
41
42
12
1
c.
41
42
6
1
d.
21
44
12
1
e.
41
42
3. Matriks A =
142
11
m
, B =
11
46m, dan C =
51
81 m. Jika A
2 + B
-1 = C, maka nilai m yang
memenuhi adalah ……
a. -2 b. 6
1
c. ½ d. 2
e. 6
4. Nilai x2 + 2xy + y
2 yang memenuhi persamaan :
5
2
31
62
y
xadalah …..
a. 9 b. 7
c. 5 d. 3
e. 1
5. Diketahui matriks : A =
132
111
102, X = ( x y
z), dan B = (5 8 7). Jika AXt = B
t, maka nilai 2x +
y + z = ……
a. 42 b. -29
c. -24 d. -32
e. -3
6. Diberikan :
79
316
21
34
dc
ba . Nilai (a + b
+ c + d) = …….
a. 6 b. 7
c. 8 d. 9
e. 10
7. Jika
0
2
44
23
y
x, maka nilai x + 2y =
……
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
8. Matriks N berordo (2 × 2) yang memenuhi
persamaan :
12
34
43
21N , adalah ………
a.
45
56
b.
54
65
c.
54
56
d.
13
24
e.
810
1012
9. Himpunan penyelesaian SPLTV adalah (x, y, z).
1346
622
3
4
723
zyx
zyx
zyx
Nilai x – y – z dari SPLTV di atas adalah …..
a. 7 b. -4
c. -1 d. -7
e. -13
10. Jika
b
a
y
x
11
23dan
q
p
b
a
25
32
. Maka ......
y
x
a.
q
p
25
32
b.
q
p
25
66
c.
q
p
17
134
d.
q
p
1213
19
e.
q
p
34
51
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 14 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
11. Jika B =
53
21dan AB
-1 =
34
12 , maka A = …..
a.
2313
95
b.
239
53
c.
139
35
d.
312
59
e.
232
139
12. Jika N = B3 dengan B =
3
3
21
21
21
21
, maka N
......1
2
a.
2
1
b.
2
1
c.
1
2
d.
1
2
e.
2
1
13. Jika
72
08
232
04 2
x
yx
, maka nilai
.....2 yx
a. 49
b. 29
c. 3
d. 9
e. 18
14. Jika A =
34
21dan f(x) = x
2 + 2x, maka f
2(A) =
……
a. 11 A2
b. 11 A
c. 11 I
d. 121 A
e. 121 I
15. Jika M =
21
21
2
1
2
1
, maka determinan dari (M-
1)
2 adalah …..
a. 221
b. 2
c. 2
d. 22
e. 24
16. Diberikan matriks-matriks berikut ini :
g
e
b
f
d
a
CBA ;7143
5210,
987
654
321
. Carilah transpos dari setiap matriks itu.
17. Diberikan matriks A =
zy
x
32
9dan B =
1422
2464
yyx
xyz. Jika A = B
t, tentukanlah
nilai x, y, dan z?
18. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan matriks
berikut ini
67
18
423 dacd
cbba
19. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV
berikut ini.
a.
353
49310
yx
yx
b.
3432
2032
3
zyx
zyx
zyx
20. Uang Yuda, Laras, dan Dinda semuanya adalah Rp
1.000.000,-. Uang Laras dan Dinda bersama-sama
Rp 155.000,- krangnya dari2 kali uang Yuda,
sedangkan jumlah uang Yuda dan Dinda adalah Rp
126.000,- lebih banyak dari uang Laras. Carilah
besar uang mereka masing-masing?
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 15 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
4 - Vektor ♣ Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang)
dan arah
♣ Cara Penulisan
aAB
Vektor kolom
3
2
1
a
a
a
a
Vektor Baris ),,( 321 aaaa
♣ Vektor Nol ( O )
Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya nol dan
arahnya sembarang.
Sifat : aaa 00
♣ Kesamaan Vektor
Dua vektor disebut sama jika panjang sama dan arahnya
sama. ba
♣ Invers Suatu Vektor
Invers vektor a adalah vektor yang panjang/besarnya
sama dengan a , tetapi arahnya berlawanan
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
♣ Penjumlahan
Metode Segitiga Metode Jajaran Genjang
♣ Pengurangan
Metode Segitiga Metode Jajaran Genjang
Sifat – sifat Penjumlahan Vektor
1. vba : tertutup
2. abba : komutatif
3.
cbacba
bersifat asosiatif
4. aa 00 : identitas
5. 0)( aa : Invers
Perkalian Vektor dengan Suatu Bilangan (skalar)
Mis: a = vektor , k = bilangan real, c = hasil kali
bilangan real dengan a akc
Panjang c : akc , jika k > 0 c searah dengan
a , jika k < 0 c berlawanan arah dengan a , jika k = 0
0c
Sifat – sifat Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
ba , = vektor dan m, n = bilangan real
1. amam
2. maam
3. anamanm )(
4. amam )(
5. )()()( anmanm
6. bmambam )(
Panjang Vektor
OR mewakili r,
z
y
x
r
Panjang vektor r , 222 zyxr
Jarak Dua Titik
),( 11 yxA , ),( 22 yxB , AB mewakili vector
12
12
12
zz
yy
xx
. Jarak AB adalah :
212
212
212 )()()( zzyyxxAB
Vektor Posisi
Misal titik A (x, y, z).
Vektor posisi dari titik A adalah suatu vektor a yang titik
awalnya di O(0, 0) dan titik ujungnya di (x, y, z).
Misal A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2). Vektor posisi AB
adalah
12
12
12
zz
yy
xx
AB
a
A
B
a b
a a
a
b
ba
a
b
ba
O
X Y
Z R
r
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 16 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Perbandingan Ruas Garis di R-3D dalam bentuk
koordinat
A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2)
nm
xnxmxp
12 ,
nm
ynymyp
12 ,
nm
znzmz p
12 .
Perkalian Skalar dua Vektor
1
1
1
z
y
x
a ,
2
2
2
z
y
x
b
cos. baba
212121. zzyyxxba
Sudut yang Dibentuk oleh Dua Vektor
)()(
.cos
22
22
22
21
21
21
212121
zyxzyx
zzyyxx
ba
ba
i. jika 0. ba maka lancip (0 < < 90)
ii. jika 0. ba maka = 90o (Teorema Ortogonalisis)
iii. jika 0. ba maka tumpul (90 < < 180)
iv. jika baba . maka = 0 (berimpit/sejajar)
v. jika baba . maka = 180 (berlawanan arah)
Sifat – sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
1. cba . , c adalah skalar (tidak tertutup)
2. abba .. (komutatif)
3. 2
. aaa
4. 00. aaa
5. bakbkabakbak .)().().(
6. cabacba ..)( (distributif)
7. )..(.).( cbacba (tidak assosiatif)
Proyeksi Skalar Ortogonal (hasilnya sebuah skalar)
1. Proyeksi skalar a pada
b
adalah panjang scalar a
di
proyeksikan ke b, yaitu
c
2. Proyeksi skalar b pada a adalah panjang skalar b
diproyeksikan ke a, yaitu d
Proyeksi Vektor Ortogonal (hasilnya sebuah vektor)
1. Proyeksi vektor a pada
2. Proyeksi vektor b
pada
b adalah vektor, yang
a adalah vektor, yang
panjangnya cosa dan
panjangnya cosb dan searah dengan b , yaitu c
searah dengan a , yaitu d
Perkalian Silang Dua Vektor
sinbaba
1
1
1
z
y
x
a dan
2
2
2
z
y
x
b
21
1
21
zzk
yyj
xxi
ba
A
B
O
a
b
b
baac
.cos
a
babd
.cos
a
b
cosac
cosbd
a
b
cosac
cosbd
b
b
baac .
.cos
2 a
a
babd .
.cos
2
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 17 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan
1. Empat vektor
ddancba ,,, dilukiskan pada
gambar dibawah ini. Gambarlah diagram vektor yang
menunjukkan jumlah dari vektor – vektor
ddancba ,,, atau )(
dcba
2. Misalkan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah
ini, panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan AE = 4 cm.
Ruas – ruas garis berarah
AB ,
AD , dan
AE
berturut – turut mewakili vektor
rdanqp , .
a. Gambarlah diagram – diagram vektor berikut
ini: (i).
qp (iii).
rp
(ii).
rq (iv).
rqp
b. Hitunglah panjang atau besar vektor – vektor
yang diperoleh pada soal a).
3. Vektor – vektor u dan v dilukiskan pada gambar
dibawah ini. Gambarlah diagram vektor yang
menunjukkan :
a. 2
u +
v b.
u – 2
v
3. Misalkan A (3, -2) dan B (-1, 5). Jika vektor
p
wakil dari ruas garis berarah
AB dan vektor
q wakil
dari ruas garis berarah
BA , nyatakan vektor – vektor
p dan
q dalam vektor kolom.
4. Diketahui vektor – vektor
3
1,
4
2,
1
3cdanba .
a. Tentukan
a +
b dan
b +
a
b. Periksa apakah
a +
b dan
b +
a
c Tentukan
cba )( dan )(
cba
d. Periksa apakah
cba )( dan
)(
cba
5. Diketahui vektor – vektor
8
4,
6
9,
2
4rdanqp .
Nyatakan vektor – vektor berikut dalam bentuk vektor
kolom.
a.
p2
1 b.
q3
1
c.
r4
1 d.
rqp4
1
3
1
2
1
6. Diketahui titik A (1, 7) dan titik B (4, 1). Titik C
adalah sebuah titik pada garis hubung AB sehingga
ABAC3
1.
a. Tentukan vektor
AB dan
AC
b. Tentukan koordinat titik C .
7. Diketahui vektor – vektor
4
2,
1
1,
3
2cdanba .
Hitunglah:
a.
a c. e.
cba 2
b.
b d.
ba f.
cba2
8. Misalkan vektor
3
4a , carilah vektor satuan
dari
a .
c
a
b c
d
E
H
D
F
B
G
C
A
u
v
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 18 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
9. Diketahui vektor – vektor
3
2
1
,
4
3
2
,
1
2
3
cdanba .
a. Tentukan
a +
b dan
b +
b
b. Periksa apakah
a +
b =
b +
b
c. Tentukan (
a +
b ) +
c dan
a + (
b +
c )
d. apakah (
a +
b ) +
c dan
a + (
b +
c )
9. Diketahui vektor – vektor
2
0
2
,
6
2
4
,
0
3
6
wdanvu .
Tentukanlah: a.
u31 b.
v21
c.
w21 d.
wvu21
21
31
11. Diketahui tiga buah titik A (3, 3, 2), B (4, 5, 1), dan C
(7, 11, -2). Ruas – ruas garis berarah
OCdanOBOA ,, mewakili vektor
cdanba ,, .
a. Nyatakan
cdanba ,, dalam vektor
kolom.
b. Nyatakan
ACdanBCAB ,, dalam
vektor kolom.
c. Tunjukkan bahwa A, B, dan C segaris
(kolinear).
d. Tentukan perbandingan AB : BC
12. Diketahui titik P (4, 1, -5) dan titik Q (1, 7, -14).
Titik R adalah titik pada garis hubung PQ sehingga
PQPR31 .
a. Tentukan vektor yang diwakili
PQ ,
PR
b. Tentukan koordinat titik R.
13. Diketahui vektor – vektor
2
2
1
a ,
1
2
3
b , dan
4
5
2
c . Hitunglah :
a.
a c. e.
cba2
b.
b d.
cba f.
cba 2
14. Misalkan segitiga ABC dengan titik – titik sudut
A (1, 1, 2), B (3, 0, -1), dan C (4, -4, 1). Dengan
menggunakan rumus jarak, tunjukkan bahwa segitiga
ABC merupakan segitiga siku – siku di B.
15. Tentukan persamaan bola yang pusatnya di titik
M (3, 4, 2) dan jari – jarinya 5.
16. Misalkan vektor
6
3
2
a , carilah vektor
satuan dari vektor
a .
c
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 19 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
5 – Transformasi Geometri Pengertian
Transformasi T di bidang datar adalah suatu pemetaan
titik di bidang yang sama. Jika titik (x, y)
ditransformasikan menjadi (x’, y’) oleh transformasi T,
maka ditulis )','(),(: yxyxT . Transformasi
demikian disebut transformasi Geometri.
Jenis Transformasi
1. Translasi
Translasi (pergeseran) adalah
pemindahan suatu objek sepanjang
garis lurus dengan arah dan jarak
tertentu.
Matriks
Jika translasi
b
aT memetakan titik P(x, y) ke
titik P’(x’, y’), maka x’ = x + a dan y’ = y + b
atau P’(x + a, y + b) dapat dituliskan dalam bentuk:
),('),(: byaxPyxPb
aT
2. Refleksi
Refleksi (pencerminan) adalah suatu
transformasi yang memindahkan
setiap titik pada bidang dengan
menggunakan sifat bayangan
cermin dari titik – titik yang
hendak dipindahkan itu.
Refleksi Titik Terhadap Garis x = a dan y = b
( i ) Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis x = a,
bayangannya adalah titik P’(2a – x , y).
( ii ) Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = b,
bayangannya adalah titik P”(x, 2b – y).
Refleksi Titik terhadap garis y = mx
y
x
y
x
2cos2sin
2sin2cos
'
', dengan mtan
Refleksi Titik terhadap garis y = mx + n
ny
x
ny
x
2cos2sin
2sin2cos
'
'
3. Rotasi
Rotasi (perputaran) pada bidang
geometri ditentukan oleh titik pusat,
besar sudut, dan arah sudut rotasi.
Suatu rotasi dikatakan memiliki
arah positif, jika rotasi itu ber-
lawanan arah dengan arah putaran
jarum jam. Sedangkan rotasi di-
katakan memilki arah negatif, jika
rotasi itu searah dengan arah
putaran jarum jam.
Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0)
Jika titik P(x, y) diputar sebesar radian
berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam
terhadap titik pusat O diperoleh bayangan P’(x’,y’),
maka : sincos' yxx
cossin' yxy
Rotasi terhadap Titik Pusat A (a, b)
Jika titik P(x, y) diputar sebesar radian
berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam
terhadap titik pusat A(a, b) dan diperoleh bayangan
P’(x’, y’), maka :
sin)(cos)(' byaxax
cos)(sin)(' byaxby
No Transformasi Pemetaan Matriks
1 Pencerminan terhadap sumbu X ),(),( yxyx
10
01
2 Pencerminan terhadap sumbu Y ),(),( yxyx
10
01
3 Pencerminan terhadap garis y = x ),(),( xyyx
01
10
4 Pencerminan terhadap garis y = -x ),(),( xyyx
5 Pencerminan terhadap titik asal O ),(),( yxyx
10
01
01
10
No Transformasi Pemetaan Matriks
1 Rotasi terhadap
titik asal O(0, 0)
sebesar 2
),(),( xyyx
01
10
2 Rotasi terhadap
titik asal O(0, 0)
sebesar 2
),(),( xyyx
01
10
3 Rotasi terhadap titk
asal O(0, 0) sebesar
),(),( yxyx
10
01
4 Rotasi terhadap
titik asal O(0, 0)
sebesar
),(),( yxyx
sincos' yxx
cossin' yxy
cossin
sincos
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 20 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
4. Dilatasi
Dilatasi (perbesaran atau
perkalian)
adalah suatu transformasi yang
mengubah ukuran (memperbesar
atau memperkecil suatu bangun,
tetapi tidak mengubah bentuk
bangun yang bersangkutan. Dilatasi
ditentukan oleh titik pusat dan
faktor skala dilatasi. Dilatasi yang
berpusat di titik asal O dan di titik
sebarang P(x, y) dengan masing –
masing faktor skala k dilambangkan
berturut – turut dengan [O, k] dan
[P, k].
♣ Dilatasi terhadap Titik Pusat O (0, 0)
Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat
O (0, 0), dengan faktor skala k didapat bayangan
titik P’(x’, y’) maka :
xkx '
yky '
♣ Dilatasi terhadap Titik Pusat A (a, b)
Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat
A (a, b), dengan faktor skala k didapat bayangan
titik P’(x’, y’), maka :
)(' axkax
)(' bykby
Latihan
1. Tentukan bayangan dari titik – titik P (1, 4), Q (-1, 1),
R (2, -4), dan S (-3, -1) oleh translasi
3
2T .
2. Translasi T memetakan titik A (1, -2) ke titik
A’(4, 3).
a. Tentukan translasi T itu.
b. Tentukan bayangan dari titik – titik B
(0, 3) dan C (2, 6) oleh translasi T yang
anda peroleh pada soal a)
3. Titik Q (-1, 4) diputar 45o searah dengan arah putar
jarum jam terhadap titik pusat O. Tentukan bayangan
dari titik Q oleh rotasi itu.
4. Titik P (4, 3) diputar terhadap titik A (1, 2) dengan
arah perputaran berlawanan arah dengan arah putar
jarum jam. Tentukan bayangan titik P, jika besar
sudut putarnya
a. 2
radian b. radian
5. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan
rotasi – rotasi berikut ini.
a. 2
, O d. ,O g. 6
, O
b. 2
, O e. 2
3, O h. 4
, O
6. Tentukan bayangan atau peta dari titik P(-2, 5) oleh
rotasi dengan pusat di (0, 0) sejauh 2 radian.
7. a. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian
dengan rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh
3 radian.
b. Dengan menggunakan matriks rotasi yang
diperoleh pada soal a), tentukan bayangan
atau peta dari titik P(6, 4)
8. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik
berikut ini dicerminkan terhadap sumbu X.
a. A(4, 3) b. C(-3, -5)
9. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik
berikut ini dicerminkan terhadap sumbu Y.
a. A(3, 5) b. C(-6, -1)
10. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik
berikut ini dicerminkan terhadap garis y = - x
a. A(10, 3) b. C(-6, -4)
11. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik
berikut ini dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0)
a. A(12, 4) b. B(-1, -6)
12. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik
berikut ini dicerminkan terhadap garis x = 2
a. A(1, 2) b. B(5, -1)
13. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik
berikut ini dicerminkan terhadap garis y = 3
a. A(-3, 4) b. (-4, -5)
14. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik – titik
sudut A(5,1), B(3, 4) dan C(1,2). Tentukan bayangan
dari titik – titik sudut segitiga ABC jika dicerminkan
terhadap garis y = - x
15. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(2, 6)
oleh dilatasi – dilatasi berikut.
a. 2,O b. 21,O
16. Diketahui titik P(5, 4) dan titik M(1, 2). Tentukan
bayangan dari titik P oleh dilatasi – dilatasi berikut
ini.
a. 3,M b. 21,M
17. Titik – titik sudut suatu persegi adalah A (1, 1),
B (2, 1), C (2, 2), dan D (1, 2).
a. Carilah peta dari titik – titik sudut persegi
itu oleh dilatasi [O, 2]
b. Jika peta dari titik – titik A, B, C, dan D
itu adalah A’, B’, C’, dan D’, tunjukkan
luas persegi A’B’C’D’ sama dengan 4 kali
luas persegi ABCD.
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 21 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
6 – Barisan dan Deret Pola Bilangan
Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah
kelompok bilangan.
Kelompok Pola Bilangan Pola ke-n
Bilangan Asli
Bilangan Genap
Bilangan Ganjil
Bilangan Persegi
Bilangan Segitiga
Bil. Persegi Panjang
Bil. Segitiga Pascal
1, 2, 3, 4, 5, 6,7, …
2, 4, 6, 8, 10, ….
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
1, 4, 9, 16, …
1, 3, 6 , 10, …
2,6,12,20, ….
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
n
2 x n
2n – 1
n2
2
1)n(n
n(n + 1)
2(n – 1)
Barisan/ Deret Aritmetika
Suatu barisan a/ U1, U2, U3,..,Un atau a, a + b, a
+ 2b, ..Un disebut barisan aritmetika jika U2 –
U1=U3– U2 dan seterusnya,
atau Un – Un-1 = b Suku ke-n barisan aritmetika adalah
Un = a + (n-1) b atau Un = Sn – Sn-1
dimana a =U1(suku pertama), n=banyaknya
suku, b=beda = Un–Un-1
Suku tengah barisan aritmetika
2
nU1U
TU
Jumlah n suku pertama Sn = n/2 (a + Un)
atau Sn = n/2 (2a + (n -1) b)
Jika suatu deret aritmetika disisipi k bilangan
sehingga membentuk deret aritmetika baru,
maka : 1k
1UnU'b
Barisan /Deret Geometri
Suatu barisan a/ U1, U2, U3, .. ,Un atau a, ar,
ar2, ar
3, .., Un disebut barisan geometri jika
2U
3U
1U
2U dan seterusnya, atau r
1nU
nU
Suku ke-n barisan geometri ditentukan oleh :
1narnU
Suku tengahnya adalah n U.1UT
U
Jumlah n suku pertama r1
)nra(1
nS
Jika suatu deret geometri disisipi k bilangan
sehingga membentuk deret geometri baru maka,
rasio barunya : 1k
1U
nUr'
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga a + ar + ar2 + …+
arn-1
+ … dikatakan :
1. mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika
dan hanya jika | r | < 1
Limit jumlah itu ditentukan oleh r1
aS
2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen,
jika dan hanya jika | r | > 1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 22 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan
BARISAN ARITMATIKA
1. Carilah suku pertama (a), beda (b), suku ke-6 (u6) pada
tiap barisan berikut ini.
a. 2, 4 , 6, 8, …. b. 4, 1, -2, -5, ….
c. 8, 4, 0, -4, …. d. 1 ½ , 1, ½, 0, ….
2. Suku pertama sebuah barisan sama dengan 2 sedangkan
bedanya sama dengan 5.
a. Carilah suku ke-10
b. Suku keberapakah yang nilainya 82
3. Suku keempat suatu barisan aritmatika sama dengan 15,
sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39.
a. Carilah suku pertama, beda dan rumus suku ke-n
b. Carilah suku ke-20
c. Carilah jumlah 20 suku pertama
4. Diketahui barisan aritmatika, suku ketujuh sama dengan
4 kali suku pertama dan suku kelima 6 lebihnya dari
suku ketiga. Carilah suku ke-22.
5. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika.
Jumlahnya 18 dan hasil perkaliannya adalah 192.
Carilah bilangan-bilangan itu.
6. Hitung banyak dan jumlah bilangan-bilangan bulat
antara 100 dan 1000 yang merupakan kelipatan 7.
7. Ditentukan bilangan asli kurang dari 200. Carilah
banyaknya bilangan-bilangan itu yang:
a. habis dibagi 4
b. habis dibagi 5
c. habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5
SISIPAN
8. Diantara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah
bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan
bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk
membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari
barisan yang terbentuk.
SUKU TENGAH
9. Suku tengah dari suatu barisan aritmatika sama dengan
19, sedangkan suku terakhirnya sama dengan 34. Jika
suku kelima barisan itu sama dengan 16, carilah:
a. suku pertama dan beda
b. banyaknya suku
10. Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9,…, 95.
Banyaknya suku pada barisan itu ganjil., carilah:
a. suku tengahnya
b. suku ke berapakah suku tengahnya itu ?
c. berapa banyaknya suku barisan itu ?
DERET ARITMATIKA
11. Ditentukan deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + ….
Carilah:
a. rumus suku ke-n
b. rumus jumlah suku ke-n
c. jumlah 30 suku pertama
12. Hitunglah jumlah tiap deret aritmatika berikut ini.
a. 4 + 6 + 8 + ……sampai 40 suku
b. 0 + 3 + 6 + …. + 93
13. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika
ditentukan dengan rumus Sn = 4n2 – 3n. Carilah suku
ke-2n dari deret tersebut.
14. Dalam suatu deret aritmatika suku pertama = 3 , suku
ke-n = 87, jumlah suku ke-6 dan ke-7 adalah 39. Jika
diantara dua suku disisipkan 2 buah suku baru, maka
terbentuk deret aritmatika baru. Carilah selisih deret
aritmatika baru dengan deret aritmatika semula.
Barisan geometri
1. Carilah suku pertama (a), rasio (r), dan suku kedelapan
(u8) pada tiap barisan geometri berikut ini.
a. 1, 3, 9, 27,…… c. 8, 4, 2, 1, ……
b. 2, -6, 18, -54,…... d. –24, 12, -6, 3,….
2. Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 2,
sedangkan suku kelimanya sama dengan 162.
Carilah rasio dan rumus suku ke-n ( ada 2
kemungkinan jawaban )
3. Suku ketiga dan suku kelima suatu barisan geometri
berturut-turut adalah 16 dan 1. Jika rasio barisan ini
positif, carilah :
a. rasio dan suku pertamanya
b. rumus suku ke-n dan suku ke-9
c. suku keberapakah yang nilainya 1/256
4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri.
Jumlah ketiga bilangan itu sama dengan 1728. Carilah
bilangan bilangan itu.
5. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika
suku kedua dikurangi dengan 1, maka terbentuk
barisan geometri dengan rasio 2. Carilah bilangan-
bilangan itu.
Suku Tengah
6. Ditentukan barisan geometri ¼, ½, 1, …..,256.
Banyaknya suku pada barisan itu adalah ganjil. Carilah
:
a. suku tengahnya
b. suku keberapakah suku tengah itu ?
c. berapakah banyaknya suku barisan itu ?
Sisipan
7. Diantara bilangan-bilangan ¼ dan 16 disisipkan 5 buah
bilangan, sehingga membentuk barisan geometri.
Carilah rasio barisan geometri yang terbentuk dan
bilangan-bilangan yang disisipkan.
8. Diketahui tiga buah suku barisan geometri 2, 32, 512.
Diantara tiap dua suku disisipkan 3 buah suku,
sehingga membentuk barisan geometri baru. Tentukan
rasio, banyak suku, dan suku ke-8 barisan baru itu.
Deret Geometri
9. Carilah jumlah 6 suku pertama pada tiap deret
geometri berikut ini.
a. 16 + 8 + 4 + … c. 27 – 9 + 3 – 1 + ….
b. 1 + 4 + 16 + … d. – 1 + 2 – 4 + …
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 23 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
10. Jumlah deret geometri 2 + 22 + 2
3 + …… + 2
n sama
dengan 254. Carilah nilai n.
11. Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri
adalah Sn = 3n – 1.
a. Carilah rumus suku ke-n
b. Carilah suku pertama dan rasio deret geometri itu.
12. Suatu deret geometri terdiri atas 8 suku. Jumlah 3
suku yang pertama 210 dan jumlah 3 suku yang
terakhir 6720. Carilah deret geometri tersebut.
13. Dalam deret geometri, suku pertama =1dan rasionya =
2. Carilah nilai n yang bukat dan paling kecil , jika
Un > 109.
14. Diketahui deret geometri terdiri dari 6 buah suku,
dengan suku pertama 2 ½ dan suku kelima 600
lebihnya dari suku ketiga. Di antara tiap dua suku
berurutan disisipkan sebuah suku, sehingga didapat
deret geometri baru. Berapakah jumlah deret
geometri baru itu yang memiliki rasio positif.
15. Dalam suatu deret geometri ditentukan S2 = 9 dan S4
= 45.
a. Carilah suku pertama dan rasio deret geometri
tersebut.
b. Carilah Jumlah 8 suku pertama.
Deret Geometri Tak Berhingga
16. Jumlah semua suku suatu deret geometri tak berhingga
adalah 6, sedang jumlah suku-suku genapnya adalah
2. Tentukan suku pertama deret itu.
17. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam dan
melintasi 3 dm pada detik pertama, dan pada detik
berikutnya bergerak 2/3 dari lintasan detik
sebelumnya. Hitung panjang lintasan yang ditempuh
benda sampai berhenti.
18. Diberikan deret geometri :
2log (x – 6) +
2log
2 (x – 6 ) +
2log
3 (x – 6) + …..
Tunjukkan bahwa deret itu konvergen pada interval
6 ½ < x < 8.
19. Suku ke-n suatu deret geometri ditentukan oleh Un =
234
2xxn
. Carilah batas-batas nilai x agar
deret tersebut konvergen.
20. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m.
Setiap kali memantul bola tersebut akan mencapai
ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya.
Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh bola itu
sampai berhenti.
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 24 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
7 – Persamaan, Fungsi, dan Pertidaksamaan Eksponen
Pangkat Bulat Positif, Nol dan Bulat Negatif
aaaaaaan ... perkalian terdiri atas n buah faktor n
n
aa
1
atau n
n
aa
1, dan 10 a
Sifat – Sifat Pangkat Rasional
(i). mnmn aaa (iii). nnn
baba (v). nmmn aa (ii). mnmn aaa :
(iv). n
nn
b
a
b
a
(vi).
qn
pnn
q
p
b
a
b
a
Pangkat Pecahan
i). aa 21
ii). nn aa
1
iii). n mn
m
aa
catatan: sifat – sifat pangkat rasional sama dengan sifat – sifat pangkat Rasional.
Persamaan Eksponen
Bentuk – bentuk Persamaan Eksponen
A. Bentuk : pxf
aa )(
Jika pxf aa )(
( a > 0 dan 1a ), maka f (x) = p
B. Bentuk : )()( xgxf
aa
Jika )()( xgxf aa ( a > 0 dan 1a ), maka f (x) = g(x)
C. Bentuk : )()( xgxf
ba (a > 0 dan 1a , b > 0 dan 1b , dan ba )
Jika )()( xgxf ba maka f (x ) = 0
D. Bentuk : )()()()(
xgxfxhxh
Jika )()()()(
xgxfxhxh , maka kemungkinannya adalah
[1.] f (x) = g (x) [2.] h (x) = 1
[3.] h (x) = 0, asalkan f (x) = g(x) keduanya positif
[4.] h(x) = - 1, asalkan f (x) dan g(x) keduanya ganjil atau f (x) dan g(x)
keduanya genap
E. Bentuk : A 2)( xfa + B )( xf
a + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen diatas di
selesaikan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu kedalam
persamaaan kuadrat,dengan cara memisalkan y = }{ )(xfa
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 25 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Pertidaksamaan Eksponen
Sifat Fungsi Monoton naik (a > 1)
[o]. Jika )()( xgxf aa maka
)()( xgxf aa
[o]. Jika )()( xgxf aa maka
)()( xgxf aa
Sifat Fungsi Monoton naik (a < 1)
[o]. Jika )()( xgxf aa maka
)()( xgxf aa
[o]. Jika )()( xgxf aa maka
)()( xgxf aa
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi
yang mempunyai bentuk umum:
xaxf : atau xaxfy )(
a disebut bilangan pokok atau basis a > 0 dan 1a
Peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas.
Grafik Fungsi Eksponen
Grafik Fungsi Eksponen dikelompokkan menjadi dua macam.
[o]. Grafik Fungsi Eksponen dengan basis a > 1
[o]. Grafik Fungsi Eksponen dengan basis 0 < a < 1
Sifat grafik fungsi )(xfaxfy dengan:
a > 1 a< 0 <1
(i). Fungsi monoton naik (i). Fungsi monoton turun
(ii). Memotong sumbu Y dititk (0, 1) (ii). sama
(iii). Sumbu X sebagai asimtot datar (iii). sama
(iv). Merupakan fungsi bijektif (iv). sama
(v). Daerah hasil selalu bernilai positif (v) . sama
untuk semua x R
0
1 x
y
1, aay x
0
1
y
10, aay x
x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 26 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman
eksponen berikut.
a. 13 4 x c. 3
4118 x
b. 322 13 x d. 2433 12
271 x
.
2. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman
eksponen berikut.
a. 14
312
2
9
xxx
b. 1641232
10010
xxxx
3. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman
eksponen berikut.
a. 6363 32 xx
b. 8686 22
53 xxxx
4. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman
eksponen berikut.
a. 52122 1313 xx xxxx )()(
b. 1124 )52()52(2 xx xx
5. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen:
1)8( 1522
xxx 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap
persamaan eksponen berikut ini.
a. 03221222 xx.
b. 010109102 xx.
c. 01565 12 xx.
d. 03633 522 xx
7. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
eksponen berikut.
a. 84 x
b. 73593 xx
c. 366 342
xx
d. xxx 4
323
255
)( 8. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
berikut.
a. 42
411
21
xx
b. 3
12
3
1
2712
91
xx
9. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
berikut.
a. 042522 xx.
b. 0273269 xx.
c. 022652 52 xx.
d. 035745 22 xx.
10. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen dibawah ini:
a. 3x6 x24 3 x b.bb.b
b. xx
x
x33
28.2.64
8
2
c. x23
1
1x
1
2x
1
81
1
3
1.27
d. 120
82
5
4 23 x
x
11. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen dibawah ini
xxxxxx
72122 1212
12. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen dibawah ini:
a. 033 x3x2x3x 22
b. x3xx27824 2
1
13. Tentukan himpunan peneyelesaian persamaan
dibawah ini
a. 2
1
3
13
42
6
yx
yx
5
11 155 xyyx
b. 0813.103 19292 yxyx
48 yx
14. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
eksponen berikut.
a. 033.43 322 xx
b. 075
25 1
x
x
Latihan 2
1. Carilah semua nilai x yang memenuhi persamaan:
a. 422
3 32 1255
xx
b.
xx
8
24.
8
1 32
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 27 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
c. xx
x23
1
1
1
2
1
81
1
3
1.27
2. Carilah semua nilai x dan y yang memnuhi sistem
persamaan :
42 12 yx
yxyx 273 332
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen berikut ini.
a. 32322 352352
xx
xxxx
b. 1124 )52()52(2 xx xx
4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen berikut.
a. 055.43125 221 xx
b. 0273
12
3
1
2
xx
c. 0813.103 19292 yxyx 48 yx
d.
511
21
3
13
155
42
6
xyyx
yx
yx
5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
eksponen berikut:
a. 48042 12 xx
b. 34525 11 xx
c. 0342.342.34 22 xxxx
6. Dari rumus 120
3
23 dv
H , diberikan H = 1200 dan d =
1728. Tentukan nilai v
7. Tentukan nilai dari
01
01
23
54
3
2
3
2
bbb
aaa
, untuk a = 4 dan
b = 8
1
8. Tentukan bentuk sederhana dari :
a. 2
1
4
13
1
3 2234:
ba
a
ba
b
ab
ab
b.
mnnmmnn
m
n
mm
m
n
aaaa
a
a
a
a
)()()(2
c.
3
22222
:
nn
nn
ww
ww
9. Tentukanlah nilai a, b, c, d dari :
a. dcba 7.5.3.26259628
49)30(
225
642
b. cba 5.3.2
124
3
16
1575
35
44
10. Tentukan nilai
pr
q yang memenuhi
rqp xx .3.27292565 33
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 28 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
8 – Persamaan, Fungsi, dan Pertidaksamaan Logaritma
Definisi: Logaritma bilangan
Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1 atau g > 1).
xag log jika dan hanya jika ag x
* g disebut bilangan pokok atau basis logaritma
* a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya
* x disebut hasil logaritma
Sifat – sifat Dasar Logaritma
(i). ngng log (ii). 1log gg (iii). 01log g
Sifat – sifat Logaritma
(a). baba ggg loglog)log( (e). (i). bba gag logloglog
(b). bab
a ggg logloglog
(ii). a
n
ma gmgn
loglog
(c). ana gng loglog (iii). aa gngn
loglog
(d). (i).
g
aa
p
pg
log
loglog (f). ag ag
log
(ii).
ga
a
g
log
1log
Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan
bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Bentuk – bentuk persamaan Logaritma.
A. Bentuk : pxfaa
loglog
Jika pxf aa loglog maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
B. Bentuk : )(loglog xfxfba
Jika )(loglog xfxf ba (dengan ba ), maka f (x) = 1
C. Bentuk : )(loglog xgxfaa
Jika )(loglog xgxf aa maka f(x) dan g(x) keduanya positif
D. Bentuk : )(loglog)()(
xgxfxhxh
Jika )(loglog )()( xgxf xhxh maka f(x) = g(x) asalkan
f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) 1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 29 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
E. Bentuk: A 2xa
log + B xa
log + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma diatas di
selesaikan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu kedalam
persamaaan kuadrat,dengan cara memisalkan y = xa log
Pertidaksamaan Logaritma
Sifat Fungsi logaritma Monoton naik ( a > 1)
[o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf
[o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf
Sifat Fungsi logaritma Monoton turun ( 0 < a < 1)
[o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf
[o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf
Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum:
xxfy alog
* a disebut bilangan pokok atau basis a > 0 dan 1a
* Peubah x dinamakan numerus ( yang dicari nilai logaritmanya)
Grafik Fungsi logaritma
Grafik Fungsi logaritma dikelompokkan menjadi dua macam.
[o]. Grafik Fungsi logaritma dengan basis a > 1
[o]. Grafik Fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1
Sifat grafik fungsi xxfya
log dengan:
a > 1 a< 0 <1
(i). Fungsi monoton naik (i). Fungsi monoton turun
(ii). Memotong sumbu Y dititk (1, 0) (ii). sama
(iii). Sumbu Y sebagai asimtot tegak (iii). sama
(iv). Merupakan fungsi bijektif (iv). sama
(v). Daerah hasil semua x R (v) . sama
1 0
y
f(x) = 1,log axa x
1 0
y
f(x)= 10,log xxa
x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 30 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan
logaritma berikut ini.
a. 3)6log()4log( 22 xx
b. 81log)2log()5log( 922 xx
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persaman
logaritma berikut.
a. xx 4loglog}2)43log{log(
b. )10
log(log}14log{log2
757 xx
c. xx log1)}812log{log( 212
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persaman
logaritma berikut.
a. 3log)1log( x
b. )6log(3loglog xx
c. 1)22loglog(log 222 x
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap
persaman logaritma berikut.
a. 2log1)9log()10log( xx
b. 5log)12loglog(loglog xx
c. 1)63log( 236 xxxx
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap
persaman logaritma berikut.
a. 1log
1
log
1
log
1
10612
xxx xxx
b. 5,2log
2log5log8log)1log(
2213 13
1 xxx
6. Tentukan himpunan penyelesaian tiap dari setiap
persamaan logaritma berikut ini:
a. 0125logloglog 54525 xx
b. 5log63log30log2 25log5log xx
dengan bilangan pokok logaritma 5.
c. 8
4log2 x
x x
d. 6log log12 2
xx
7. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
berikut.
a. 81loglog4 2
1
2
1
x
b. 2)44log( 22
1
xx
c. 4)110(log 2
1612
1
xx
8. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
berikut.
a. 01log2)log( 2
2122 xx
b. 03log.2)log( 525 xx
9. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
berikut.
a. 12log12 x
b. xx xx log)13log(
c. )43log(log 2121 xx xx
10. Jumlah penduduk di suatu kota pada tahun 2000
sebanyak 1,4 juta orang. Persentase pertambahan
penduduk di kota itu sebesar 5% pertahun dan
persentase pertambahan ini bernilai tetap. Pada tahun
keberapa ( setelah tahun 2000) jumlah penduduk kota
itu menjadi 2,1 juta orang?
11. Ali menyimpan uang di Bank sebesar Rp5.000.000,00
dengan aturan tingkat bunga majemuk p% per tahun.
Tingkat bunga ini tetap dan perhitungan bunga
dilakukan setiap tahun. Pada tahun kelima, jumlah
uang disimpan Ali menjadi Rp8.052.550,00. Berapa
besar tingkat bunga pertahun yang diberikan oleh
pihak bank?
12. Besar arus transien pada sebuah rangkaian RC
ditentukan oleh rumus:
10
eII o
dengan = RC disebut tetapan waktu atau waktu RC
(time constant). Besar arus semula adalah oI = 100
ampere dan ketika mengalir di dalam rangkaian RC
selama 10 detik besar arus menjadi I = 1 ampere.
Hitunglah nilai tetapan waktu pada rangkaian RC
itu.
13. Misalkan semula terdapat masa isotop radioaktif C14
sebanyak oM gram dan isotop radioaktif C14
mempunyai waktu paruh 5.600 tahun.
a. Nyatakan masa isotop radioaktif C14 yang
tersisa sebagai fungsi dari n waktu paruh.
b. Nyatakan masa isotop radioaktif C14 yang
tersisa sebagai fungsi waktu t
c. Dalam waktu berapa tahun masa yang tersisa
sama dengan 75% dari masa semula
15. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen dibawah ini:
a. )72log(1)1log(5log.2 xx
b. 25log)20.255.6log( xxx
c. )1log()185log( 216 xx
16. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen dibawah ini
a. 110log21log 15 x
x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 31 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
b. 2)3log(
1)12log(
)1(
)3(
xx
x
x
17. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen dibawah ini:
a. 13log279log 1212 xx
b. 5log63log30log225log5log xx ,
dengan bilangan pokok 5
c. xxx xx log
12
11010 loglog
18. Tentukan himpunan peneyelesaian persamaan
dibawah ini
a. 84:2 7 yx
2log)1log(5loglog 3333 yx
19. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
logaritma berikut.
a. 1)45log( 21,0 xx
b. 0625log)12log( 125 xx
c. 1)7x2log(x