matematika në psikologji detyra për ushtrime pjesa e dytë ...qendrimgashi.com/psikologji2.pdf ·...

Matematika në psikologji – Ushtrime 2014/2015 1

Matematika në Psikologji Detyra për ushtrime

Pjesa e dytë

2. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE

Detyrat

1. Të zgjidhen ekuacionet lineare

a) 2( 3) 3( 1) 4x x . b) 2( 1) 3( 5) 4( 1) 3x x x .

c) 3( 3) 3 2( 1) 10x x x . d) 3( 3) 3 2( 1) 9x x x .

e) 1 2 1

3 4 5

x x x . f)

3 1 2 1

4 3 6 12

x x x .

f)

14 1 213 4 5

xx x

. g) 4 1 3 1

33 2 0.4

x x x .

h) 1 2 1

5 4 6 8

x x x . i)

11 1 1 3

0.3 4 5 5

xx x

.

2. Të zgjidhen inekuacionet. Të caktohen bashkësia e zgjidhjeve të plota.

a) 3 2( 4) 1x x . b) 2( 1) 3 ( 5) 4( 3)x x x .

c) 2( 0.4) 3( 0.5) 1x x . d) 1 1

3 1 22 3

x x x

.

e) 2 1 2 1

3 4 5

x x x . f)

3 0.20.125

24 33

x x x .

Rezultatet

Rezultatet mund t’i provoni përmes programit online falas

http://symbolab.com/solver/inequalities-calculator

p.s. Mund të shfrytëzoni edhe programe të tjera.


3. ZBATIMI I BARAZIMEVE

Problemet e shprehura me fjalë, të cilave ua kërkojmë zgjidhjen numerike janë të shpeshta dhe

ato sillen prej problemeve të ‘folklorit’ e deri te problemet e ndryshme shkollore dhe

akademike. Gjatë zgjidhjes së problemeve të tilla, lexuesi duhet të jetë në gjendje që

paraprakisht ta ‘përkthejë’ problemin me të gjitha kushtet e dhënë në ‘gjuhën e algjebrës’. Me

fjalë të tjera, problemi i dhënë duhet të shndërrohet në barazim/e që përfshijnë shprehje

algjebrike (variabla, numra, veprime aritmetike etj).

Kështu, gjatë parashtrimit të problemeve, shpesh përdoren fraza të ndryshme gjuhësore, e që

aludojnë në veprime matematike, të cilat së pari duhen identifikohen.

Kështu për shembull, për termi matematikor ‘mbledhja’, në problemet tekstuale haset në

ndonjërën nga format vijuese: shuma, i shtuar për, i rritur për, më i madh se, më tepër se.

Termi matematikor ‘zbritja’ shprehet si: më pak se, i zbritur nga, zvogëluar për, më i shkurtë

se, më pak se, ndryshimi në mes etj. Termi ‘shumëzimi’ shprehet si: prodhimi, herë,

shumëzuar për, tri herë më i madh, dy herë numri i dhënë, gjysma e numrit etj, kurse

‘pjesëtimi’ shprehet si: i pjesëtuar me, herësi etj. Termi ‘barazim’ shprehet si: është, do të jetë,

është baras me etj.

Në tabelën vijuese, në anën e majtë janë dhënë disa shprehje tekstuale dhe në anën tjetër është

paraqitur paraqitja simbolike e tyre.

Tabela 1.

Paraqitja tekstuale Paraqitja simbolike

3 herë numri x 3 x

Numri z i zvogëluar për 12 12z

Katrori i numrit x zvogëluar për 2 është baras me 7 2 2 7x

4 më tepër se numri i dhënë x 4x

3 i shtuar katërfishit të numrit të dhënë x 3 4x

Gjysma e numrit y shtuar një e treta e po atij numri 1 1

2 3y y apo

2 3

y y

Gjashtëfishi i një numri x i zvogëluar për katrorin e tij 26x x


Në vijim përmes shembujve të ndryshëm do të kuptojmë më mirë zbatimin e barazimeve për

zgjidhjen e problemeve tekstuale.

a) Zgjidhja e problemeve me numra realë

Shembulli 1. Është dhënë thyesa 3.5

Cilin numër duhet t’ia shtojmë numëruesit dhe emëruesit

që të merret thyesa 9?

10

Zgjidhja. Le të shënojmë me x numrin që duhet shtuar numëruesit dhe emëruesit të thyesës 3

5.

Problemi tekstual shndërrohet në barazimin

3 9

5 10

x

x

.

Duke zgjidhur barazimin e fundit kemi:

3 9

5 10

x

x

(përjashtohet mundësia që x = - 5)

10(3 ) 9(5 )x x

30 10 45 9x x

15.x

Shembulli 2. Cilin numër duhet t’ia shtojmë thyesës 3

5 që të merret thyesa

9?

10

Zgjidhja. Le të jetë x – numri që duhet shtuar thyesës 3

5. Problemi tekstual shndërrohet në

barazimin

3 9

5 10x .

Duke zgjidhur barazimin e fundit kemi 9 3

.10 5

x Përfundojmë se 3.

10x

Shembulli 3. Një numër është për 18 më i madh se numri tjetër. Nëse shuma e tyre është 62, të

caktohen numrat.


Zgjidhja. Le të jetë x njëri nga numrat e kërkuar. P.sh. le të jetë x numri i vogël. Në bazë të

kushtit të detyrës, numri tjetër është për 18 më i madh, pra numri i dytë është 18x . Kështu

shuma e të dy numrave (x, x +18) është 62, pra kemi barazimin

( 18) 62x x .

Pas zgjidhjes merret 22.x Kështu, numrat e kërkuar janë 22 dhe 40.

Shembulli 4. Një numër është për 11 më i madh se numri tjetër. Të caktohen të dy numrat nëse

trefishi i numrit të madh është për 4 më i madh se katërfishi i numrit të vogël.

Zgjidhja. Le të jetë x njëri nga numrat e kërkuar. P.sh. le të jetë x numri i vogël. Kështu, meqë

numri tjetër është për 11 më i madh, ai do të jetë 11x .

Trefishi i numrit të madh është 3( 11)x .

Katërfishi i numrit të vogël është 4x .

Në bazë të kushtit të detyrës kemi barazimin

3( 11) 4 4x x .

Pas zgjidhjes së barazimit të fundit merret

3 33 4 4x x

prej nga merret 29.x Përfundojmë se numrat e kërkuar janë 29,40.

Detyra për ushtrime të pavarura

1. Një numër është për 24 më i madh se numri i dytë. Nëse dihet se shuma e tyre është 100,

caktohen ata numra.

2. Shuma e tre numrave është 39. Numri i parë është pesë herë më i madh se numri i tretë,

kurse numri i dytë është për 11 më i madh se numri i tretë. Të caktohen të tre numrat.

3. Nëse numri pjesëtohet me 4 dhe rezultatit i shtohet 6 merret 27. Për cilin numër bëhet fjalë?

4. Të caktohet numri i cili kur të rritet për 14 dhe pastaj pjesëtohet me 5 merret -8.

5. Shuma e tre numrave të njëpasnjëshëm është 69. Të caktohen ata numra.


b) Problemet tekstuale me shifrat e numrave natyrorë

Shembulli 5. Shuma e shifrave të një numri dyshifror është 13. Nëse shifrat i ndërrojnë vendet,

merret numri i cili është për 9 më i madh se numri i dhënë në fillim. Për cilin numër është fjala?

Zgjidhja. Le të shënojmë numrin dyshifror xy . Kujtojmë se çdo numër dyshifror shënohet në

trajtën 10xy x y , ku x është shifra e dhjetësheve kurse y është shifra e njësheve. Për

shembull, numri 34 10 3 4 . Në bazë të kushtit

Shuma e shifrave të një numri dyshifror është 13 merret

13x y .

Kushti

Nëse shifrat i ndërrojnë vendet

paraqitet me shprehjen

10yx y x

Sipas përshkrimit të detyrës, numri i ri (pra 10y x ) është për 9 më i madh se numri i dhënë në

fillim (pra se numri 10x y ). D.m.th. merret barazimi

10 9 (10 )y x x y .

Pra, kemi arritur tek sistemi i barazimeve

13

10 9 (10 )

x y

y x x y

.

Nga barazimi i barë i sistemit merret:

13x y .

Kur këtë shprehje e zëvendësojmë në barazimin e dytë të sistemit merret:

10 (13 ) 9 (10 (13 ) )y y y y .

Pas zgjidhjes së barazimit të fundit merret 7y . Prandaj, 13 13 7 6x y .

Përfundojmë se numri i kërkuar është 67 .



6. Të caktohet numri dyshifror, tek i cili shuma e shifrave është 15, kurse shifra e dhjetësheve

të tij është për 1 më e madhe se shifra e njësheve.

7. A ekziston numri dyshifror, tek i cili shuma e shifrave të tij është 13, kurse shifra e njësheve

është dy herë më e madhe se shifra e dhjetësheve?

8. Të caktohet numri dyshifror, shuma e shifrave të të cilit është 11, dhe tek i cili, kur shifra e

dhjetësheve pjesëtohet me shifrën e njësheve merret herësi 4 dhe mbetja 1.

c) Problemet tekstuale me moshë

Shembulli 6. Artani dhe Arta janë vëlla e motër. Artani është 29 vjeçar. Para 3 vitesh, Artani

ishte dy herë më i moshuar se Arta. Sa vite ka Arta?

Zgjidhja. Në raste të tilla do të ndërtojmë tabelën:

Tani Para 3 vitesh

Artani 29 26

Arta x x3

Shfrytëzojmë tani kushtin e detyrës

Para 3 vitesh, Artani ishte dy herë më i moshuar se Arta

për të arritur tek barazimi

26 2 ( 3)x

me zgjidhjen e të cilit kemi 16x . Pra, Arta ka 16 vite.

Shembulli 7. Lulja është 12 vite më e re se Hana. Nëse shuma e viteve të tyre është 32, të

caktohet mosha e tyre.

Zgjidhja. Veprojmë si në detyrën paraprake.

Tani Shuma e viteve

Linda x ( 12) 32x x

Hana x + 12


D.m.th. kemi barazimin

( 12) 32x x

me zgjidhjen e të cilit merret 10.x

Shembulli 8. Pas dy vitesh Hana do të ketë moshën sa gjysma e viteve të nënës së saj para katër

vitesh. Sot, nëna është tre herë më e moshuar se sa Hana para dy vitesh. Sa vite kanë Hana dhe

nëna?

Zgjidhja. Të dhënat e detyrës i paraqesim në tabelë:

Tani Pas dy

vitesh

Para katër

vitesh

Para dy

vitesh

Hana x x + 2 x - 2

Nëna y y - 4

Le t’i shqyrtojmë kushtet e detyrës:

Pas dy vitesh Hana do të ketë moshën sa gjysma e viteve të nënës së saj para katër vitesh Në bazë të të dhënave në tabelën e mësipërme, merret barazimi

12 ( 4)

2x y

Sot, nëna është tre herë më e moshuar se sa Hana para dy vitesh Pra, kemi barazimin

3 ( 2)y x .

Nëse barazimin e fundit e zëvendësojmë në barazimin 1

2 ( 4)2

x y merret

12 (3 ( 2) 4)

2x x .

Me zgjidhjen e barazimit të fundit kemi 14x . Atëherë 3 ( 2) 3 (14 2) 36.y x


9. Genci është gjashtë vite më i madh se Bujari. Pas dy vitesh, shuma e viteve të tyre do të jetë

28. Sa vite ka Bujari?


10. Nëna është 8 herë më e moshuar se e bija. Pas 18 vitesh, nëna do të jetë dy herë më e

moshuar se e bija. Sa vite ka nënë e sa e bija?

11. Shpëtimi ka 7 vite më shumë se vëllai i tij. Pas 3 vitesh Shpëtimi do të jetë dy herë më i

moshuar se vëllai. Të caktohet mosha e tyre.

d) Probleme tekstuale me distancë

Formula kryesore për të zgjidhura problemet tekstuale me distancë është

D v t

ku v paraqet shpejtësinë, kurse t paraqet kohën.

Kështu, për shembull, nëse automobili lëviz me shpejtësinë 60km

h, për dy orë ai do të kalojë

distancën prej 120 km .

Problemet me distancë zakonisht përfshijnë dy vetura (trena, biçikleta etj) që udhëtojnë në

drejtime të kundërta, në drejtim të njëjtë apo një veturë që lëvizë në të dy drejtimet. Edhe për

këto probleme, të dhënat i paraqesim në tabelë. Këtë më së miri do ta shohim përmes

shembujve vijues.

Shembulli 9. Besniku udhëtoi prej shtëpisë së tij deri tek stadiumi i basketbollit me një

shpejtësi mestare 3 km

h. Pas ndeshjes, ai vendosi të kthehet në shtëpi me autobus. Kështu të

njëjtën rrugë ai tani e kaloi me shpejtësi prej 42 km

h. Nëse dihet se kohëzgjatja e përgjithshme e

udhëtimit të tij ishte 2 orë, të caktohet distanca që ai e përshkroi.


Shpejtësia Koha Distanca

Udhëtimi në këmbë 3 t 3 t

Udhëtimi me

autobus

42 2 - t 42 (2 -t)

Meqë distanca është e njëjtë kemi barazimin:

3 42 (2 )t t

Pas zgjidhjes së barazimit të fundit merret 1.866...t . Pra, distanca që Besniku përshkroi është

3 1.866 5.6D km.


Shembulli 10. Motoçiklisti niset nga Prishtina në drejtim të Vlorës dhe lëviz me shpejtësinë 30

km

h. Pas 6 orësh, po nga Prishtina për në drejtim të Vlorës, niset Valoni me automobil me

shpejtësi 70 km

h. Pas sa kilometrash Valoni do ta tejkalojë motoçiklistin?



Motoçiklisti 30 t + 6 30 (t+6)

Valoni 70 t 70 t

Kur distanca që kalon motoçiklisti dhe ajo që kalon Valoni barazohen, nënkuptojmë se ata

takohen. Kështu pra së pari caktojmë kohën kur ata takohen, e që do të thotë zgjidhim

barazimin

30 ( 6) 70t t

prej nga merret 9

2t d.m.th. ata takohen pas 4 orë e gjysmë. Gjatë kësaj kohe secili prej tyre ka

kaluar 315 kilometra. Prandaj, pas 315 kilometrash, Valoni do ta tejkalojë motoçiklistin.

Shembulli 11. Dy automobila janë nisur nga i njëjti vend dhe udhëtojnë në drejtime të

ndryshme. Njëri prej tyre udhëton me shpejtësi prej 20 km

h më të madhe se tjetri. Pas dy orësh

ata janë larg njëri tjetrit 360 km. Sa është shpejtësia e automobilave?



Automobili i parë v 2 2 v

Automobili i dytë v + 20 2 2 (v + 20)

Distanca e përgjithshme është shuma e distancave të të dy automobilave, prandaj kemi

barazimin

2 2 ( 20) 360v v .


Pas zgjidhjes së barazimit merret 40v . D.m.th. automobili i parë lëviz me shpejtësinë 80 km

h

kurse automobili i dytë ka shpejtësinë e lëvizjes 100 km

h.


12. Dy automobila nisen në drejtim të njëri tjetrit, nga qytetet A, B të cilat janë larg njëri tjetrit

195 km. Automobili parë lëviz 5 km

h më ngadalë se tjetri. Nëse dihet se ata janë takuar pas 3

orësh, të caktohet shpejtësia e lëvizjes së tyre?

13. Dy aeroplanë nisen nga aeroporti i Prishtinës në drejtime të kundërta. Shpejtësia e

aeroplanit të parë është 300 km

h, gjersa e të dytit është 270

km

h. Pas sa kohe, ata do të jenë

larg njëri tjetrit për 1000 km?

14. Dy persona nisen nga i njëjti vend dhe ecin për në drejtime të ndryshme. Personi i parë ecën

dy herë më shpejt se personi i dytë. Pas katër orësh ata janë larg njëri tjetrit për 24 kilometra.

Të caktohet shpejtësia e ecjes së tyre

15. Nga A në B është nisur automjeti me shpejtësinë 40 km.

h Pas tetë orësh, nga B në A është

nisur automjeti me shpejtësi 60 km.

h Në cilin kilometër të rrugës do të takohen automjetet

nëse distanca nga A në B është 700 km.

e) Problemet tekstuale me punë

Shembulli 12. Besarti e kryen një punë për dy orë. Motra e tij, Besarta, të njëjtën punë e kryen

për tre orë. Për sa kohë kryhet puna, nëse ata fillojnë të punojnë së bashku?

Zgjidhja. Le të shënojmë me x kohën që u duhet Besartit dhe Besartës për ta kryer punën së

bashku. Kështu për një orë Besarti e kryen 1

2 e punës, kurse Besarta për një orë e kryen

1

3 e

punës.

Të dhënat e detyrës i paraqesim në tabelë:


Raporti Koha Puna e kryer

Besarti 1

2

x 1

2x

Besarta 1

3

x 1

3x

Kështu 1

2x dhe

1

3x paraqesin pjesët thyesore të punës që kanë kryer në mënyrë individuale,

kështu që e tërë puna që duhet kryer është 100% apo 1. Pra kemi barazimin:

1 11

2 3x x

Pas zgjidhjes merret 1.2.x Pra, nëse ata punojnë së bashku puna kryhet për 1.2 orë.

Shembulli 13. Baseni ka dy gypa. Gyp i madh e mbush basenin për 5 orë, kurse gypi i vogël për

3 orë. Për sa kohë mbushet baseni nëse janë në funksion të dy gypat?

Zgjidhja. Le të shënojmë me x kohën që duhet të mbushet baseni kur janë në funksion të dy

gypat. Kështu për një orë, gypi i vogël e mbush 1

5 e basenit, kurse gypi i madh e mbush

1

3 e

basenit.

Të dhënat e detyrës i paraqesim në tabelë:

Raporti Koha Puna e kryer

Gypi i vogël 1

5

x

5

x

Gypi i madh 1

3

x

3

x

Sërish e tërë puna që duhet kryer është 100% apo 1. Pra kemi barazimin:

15 3

x x

Pas zgjidhjes merret x = 1.875. Pra, nëse funksionojnë të dy gypat funksionojnë së bashku

baseni do të mbushet për 1.875 orë.



16. Shpresa e kryen punën për 90 minuta. Nëse asaj i ndihmon Fatoni, punën e kryejnë për 40

minuta. Për sa kohë e kryen punën Fatoni?

17. Baseni ka dy gypa. Gyp i madh e zbrazë basenin për 45 orë, kurse gypi i vogël e zbraz për

30 orë. Për sa kohë zbrazet baseni nëse janë të hapur të dy gypat?

18. Ariani e kryen një punë në kompjuter për 8 orë. Motra e tij Ariana, e kryen të njëjtën punë

për 6 orë. Nëse Ariana ka filluar punën një orë pas Arianit, pas sa kohe do të kryhet puna?

f) Problemet tekstuale nga gjeometria

Shembulli 14. Të caktohet gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit nëse dihet se gjatësia e

drejtkëndëshit është 3 herë më e madhe se gjerësia dhe nëse perimetri i drejtkëndëshit është 120

cm.

Zgjidhja. Le të jetë x – gjerësia e drejtkëndëshit. Në bazë të kushtit

gjatësia e drejtkëndëshit është 3 herë më e madhe

gjatësia e drejtkëndëshit do të jetë 3x.

Atëherë kemi barazimin 2 2 (3 ) 120x x .

Pas zgjidhjes kemi 15x cm. Pra, gjatësia është 45 cm kurse gjerësia 15 cm.

Rezultatet

1. 38, 62 2. 20,15,4 3. 84 4. -54 5. 22, 23, 24 6. 87 7. Jo 8. 92

9. 9 10. 24,3 11. 4,11 12. 1 230 , 35km km

v vh h

13. 1.75t

14. 1 22 , 4km km

v vh h

15. 472 (228 )km km 16. 72 min. 17. 18 orë 18. 4 orë

3x

x x

3x

matematika në psikologji detyra për ushtrime pjesa e dytë ...qendrimgashi.com/psikologji2.pdf ·...

Documents