matematika (obvezni predmet)

Državna matura iz matematike Ispitni katalog za nastavnike Rujan 2007. Verzija 1.0 Članovi stručne radne skupine za pripremu ispita iz matematike doc. dr. sc. Željka Milin Šipuš, Prirodoslovno-matematički fakultet-Matematički odjel Sveučilišta u Zagrebu, voditeljica prof. dr. sc. Zvonimir Šikić, Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu Jelena Gusić, prof., XV. gimnazija, Zagreb Jagoda Krajina, prof., Tehnička škola Ruđera Boškovića, Zagreb Dragica Martinović, prof., Ženska opća gimnazija Družbe sestara milosrdnica, Zagreb Josipa Pavlić, prof., Gimnazija Lucijana Vranjanina, Zagreb

1

Opis ispita iz matematike na državnoj maturi Matematika je obavezan predmet polaganja na državnoj maturi. Pri kreiranju ispita iz matematike za državnu maturu vodilo se računa o tome da postoji velik broj različitih programa iz matematike. Ispit iz matematike stoga se može polagati na tri razine zahtjevnosti – na nižoj razini, na standardnoj razini i na višoj razini. Ispit sadrži zadatke zatvorenog i zadatke otvorenog tipa. Zadaci zatvorenog tipa su zadaci višestrukog izbora. Učenik zaokružuje slovo ispred jednog od četiri ponuđena odgovora. Zadaci otvorenog tipa su zadaci kratkih odgovora i zadaci produljenih odgovora. U zadacima kratkih odogovora, učenik odgovara na postavljeno pitanje, dok u zadacima produljenih odgovora učenik prikazuje postupak rješavanja i odgovara na postavljeno pitanje. Ispit na državnoj maturi iz matematike je jedinstven i njegovo planirano trajanje (bez prekida) opisano je u sljedećoj tablici:

Niža razina 150 minuta

Standardna razina 180 minuta

Viša razina 180 minuta

Pribor Za polaganje državne mature iz matematke pristupnici koriste uobičajeni pribor za pisanje i brisanje (olovka, gumica). Potreban je i geometrijski pribor (trokut ili ravnalo, šestar), kao i džepno računalo (tzv. znanstveni kalkulator). Učenici smiju koristiti i formule predviđene za ispit odabrane razine zahtjevnosti. Opći ciljevi ispita Državnom se maturom ispituju razine znanja i dostignutih kompetencija učenika na kraju srednjoškolskog obrazovanja. Pri tome ispit provjerava koliko učenici znaju:

• koristiti matematički jezik pri čitanju, interpretiranju i rješavanju zadataka • očitavati i interpretirati podatke zadane u analitičkom, tabličnom i grafičkom

obliku ili riječima, te u navedenim oblicima jasno i logično prikazivati dobivene rezultate

• matematički modelirati problemsku situaciju, naći rješenje te provjeriti ispravnost dobivenog rezultata

• prepoznati i koristiti vezu između različitih područja matematike • koristiti različite matematičke tehnike pri rješavanju zadataka

2

• koristiti džepno računalo. Udjeli ispitnih cjelina Udio ispitnih cjelina u ispitu na državnoj maturi iz matematike za nižu razinu prikazan je u tablici:

Ispitna cjelina Bodovni udio, %

Brojevi i algebra 45 Funkcije 10 Jednadžbe i nejednadžbe 15 Geometrija 15 Modeliranje 15 Ukupno 100

Udio ispitnih cjelina u ispitu na državnoj maturi iz matematike za standardnu razinu prikazan je u tablici:



Udio ispitnih cjelina u ispitu na državnoj maturi iz matematike za višu razinu prikazan je u tablici:



Postotni udio pojedine ispitne cjeline odnosi se na postotak ukupnog broja bodova. Moguće odstupanje udjela pojedine cjeline iznosi ±10%.

3

Izražavanje rezultata na ispitu

Uspjeh na ispitu iz matematike na državnoj maturi iskazivat će se postotkom postignutih bodova u rasponu od 0 do 100% i ocjenom od 1 do 5. Raspon postotaka koji odgovaraju pojedinoj ocjeni odredit će Stručna radna skupina za matematiku nakon provedenog ispita. Rezultati ispita na državnoj maturi koristit će se za sumativno vrednovanje rada učenika. Opis bodovanja i ocjenjivanje U zadacima višestrukoga izbora, svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod. Neispravni odgovori ne donose negativne bodove. U zadacima kratkih odgovora, svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod. Ako zadatak traži više kratkih odgovora, svaki donosi jedan bod. U zadacima produljenih odgovora boduje se postavljanje zadatka, postupak i odgovor prema razrađenoj bodovnoj shemi.

4

NIŽA RAZINA Udio sadržaja u strukturi maturalnog ispita – niža razina

Brojevi i algebra

45% Funkcije

10% Jednadžbe i nejednadžbe

15% Geometrija

15% Modeliranje

15% • razlikovati skupove

RQZN ,,, • elementarno računati

( , , , :+ − ⋅ , korjenovati, potencirati, određivati apsolutne vrijednosti, zaokruživati)

• koristiti postotke i omjere • znati računati s

algebarskim izrazima • koristiti džepno računalo • računati s jedinicama za

duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac

• poznavati pojam funkcije i

način njezinog zadavanja • poznavati linearnu funkciju

i njezin graf • poznavati kvadratnu

funkciju i njezin graf • poznavati eksponencijalnu

funkciju i njezin graf

• rješavati linearne

jednadžbe i nejednadžbe • rješavati kvadratne

jednadžbe • rješavati jednostavnije

eksponencijalne jednadžbe • rješavati jednostavnije

sustave gore navedenih jednadžbi

• znati elementarnu geometriju

likova u ravnini • poznavati prizmu, piramidu,

valjak, stožac, kuglu • koristiti koordinatni sustav na

pravcu i u ravnini • poznavati jednadžbu pravca

Rješavati zadatke koristeći: • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz

5

ISPIT NIŽA RAZINA

U ZADATCIMA 1.-11. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA

1. Zajednički dio zatvorenih intervala prikazanih na slici sadrži:

− 32

4

2-5

A. 5 cijelih brojeva

B. 4 cijela broja

C. 3 cijela broja

D. 2 cijela broja

2. Marko je pročitao 2/3, Ana 7/11, Pero 5/6 i Višnja 1/2 iste knjige. Tko je pročitao najviše?

A. Marko

B. Ana

C. Pero

D. Višnja

3. Luka je dobio 21 bod od mogućih 35 na ispitu iz matematike. Koliki postotak ispita je riješio?

A. 14%

B. 21%

C. 40%

D. 60%

4. Ako je , tada je y jednako: 3 0x y− − =

A. 3y x= − −

B. y 3x= − +

3

C. y x= −

3

D. y x= +

5. Skupu svih rješenja nejednadžbe 3 2 0x− < pripada broj:

A. 2

B. 1

C. −1

D. −2

6

ISPIT NIŽA RAZINA

6. Pravcu na slici pripada točka:

A. ( )1,3− B. ( )3, 1− C. ( )4,3 D. ( )4, 4−

7. 1 1a b

− =

A. a bab−

B. b aab−

C. 1a b−

D. b a−

8. 12.3 sati je:

A. 12 sati i 3 minute

B. 12 sati i 18 minuta

C. 12 sati i 20 minuta

D. 12 sati i 30 minuta

9. U jednoj tableti je dobrih bakterija. Dijete od 10 godina smije popiti najviše dvije takve tablete tri puta na dan. Koliko najviše tih dobrih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednom danu?

75.2 10⋅

A. 85.2 10⋅

B. 81.04 10⋅

C. 81.56 10⋅

D. 83.12 10⋅

7

ISPIT NIŽA RAZINA

10. Na kojoj je slici prikazan graf funkcije 2( )f x x x= − − ?

A.

0

1

1

y

x

B.

0

1

1

y

x

C.

0

1

1

y

x

D.

0

1

1

y

x

11. Duljine stranica pravokutnog trokuta su 3 cm, 4 cm i 5 cm. Površina tog trokuta iznosi:

A. 6 cm2

B. 10 cm2 C. 12 cm2

D. 30 cm2

8

ISPIT NIŽA RAZINA

ODGOVORITE NA ZADATKE OD 12.- 22.

12. Riješite jednadžbu 5 4( 2) 19 4 .x x− + − = −

Odgovor: x =__________________________

13. 17% od 250 jednako je _________________________________________

14. Pomnožite i pojednostavnite ( 4)(3 ).x x− +

Odgovor: _____________________________

15. Riješite sustav jednadžbi 2 34 5

x yx y

3+ =⎧⎨ + =⎩

Odgovor: x = __ , y =_________ ____

16. Riješite jednadžbu . 210 3 1 0x x− − =

Odgovor: x1 = __ , x2 =______________

17. Cijena mandarina proporcionalna je njihovoj masi. Dopunite tablicu:

masa 3 kg 2.5 kg

cijena 13.5 kn 56.25 kn

18. Popunite: 2

23 4 x⎛ ⎞

+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

19. Odredite x iz jednadžbe . 110 0.1x+ =

Odgovor: x =_________________________

9

ISPIT NIŽA RAZINA

20.

Odredite opseg lika sa slike.

7 cm

10 cm

5 cm

Odgovor:______________________________ cm

21. SNIJEG NA ZAVIŽANU Graf prikazuje visinu snijega izmjerenog na Zavižanu tijekom jednog tjedna:

visina snijega (cm)

vrijememjerenja

50

20

ponnedsubpetčetsriuto6:00 6:00 6:006:006:006:006:006:00

pon

a) Kolika je visina snijega izmjerena u nedjelju u 6:00 sati? Odgovor: ______________________ cm

b) Visina snijega je rasla u dva navrata. Koliko je ukupno centimetara snijega napadalo u ta dva navrata?

Odgovor: ______________________ cm

10

ISPIT NIŽA RAZINA

22. LEDENICA

Veza temperature T u ledenici i vremena t koliko je ledenica uključena zadana je formulom: ( ) 1.2 22T t t= − + . Pri tome je temperatura izražena u °C, a vrijeme u

minutama.

a) Kolika je temperatura u ledenici pola sata nakon uključenja?

Odgovor:__________________________°C

b) Koliko minuta poslije isključenja je temperatura u ledenici bila 0°C?

Odgovor:______________________min

RIJEŠITE ZADATKE 23.-24. I PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA

23. Zadane su funkcije 2( ) 2 3f x x x= − − i ( ) 1g x x= − − .

Prikažite njihove grafove u istom koordinatnom sustavu.

x10

1

y

11

ISPIT NIŽA RAZINA

24. ZDRAVA PREHRANA

Dnevna potreba odrasle osobe iznosi 250 g ugljikohidrata i 45 g bjelančevina.

Kilogram hrane A ima 10 g ugljikohidrata i 160 g bjelančevina, dok kilogram hrane B ima 220 g ugljikohidrata i 20 g bjelančevina. Koliko kilograma hrane A i B treba konzumirati da se zadovolje dnevne potrebe ugljikohidrata i bjelančevina?

Odgovor: Hrane A ____________kg

Hrane B_____________ kg

12

NIŽA RAZINA

13

F O R M U L E

• m n m na a a +⋅ =

• : ,m n m na a a −= 0a ≠

• 1 ,mma

a− = 0a ≠

• ( )2 2 22a b a ab b± = ± +

• 2 2 ( )(a b a b a b− = − + )

• Rješenja kvadratne jednadžbe 2 0, 0 :ax bx c a+ + = ≠2

1,24

2b b acx

a− ± −

=

• Tjeme parabole: 2 4,

2 4b b acTa a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Površina trokuta: 2

aa vP ⋅=

• Površina paralelograma: P a v= ⋅

• Površina kruga: 2P r π= • Opseg kruga: 2O rπ=

B = površina baze, = površina pobočja, = duljina visine P h

• Obujam prizme i valjka: V B h= ⋅ • Oplošje prizme: P 2O B= +

• Obujam piramide i stošca: 13

V B h= ⋅ • Oplošje piramide: O B P= +

• Obujam kugle: 343

V r π=

• Udaljenost točaka 21 ,TT : )( ) (2 21 2 2 1( , )d T T x x= − + 2 1y y−

• Jednadžba pravca: ( )1 , 1 xxkyy −=−12

12

xxyyk

−−

=

• Uvjet usporednosti pravaca: 1 2k k=

STANDARDNA RAZINA

14

Udio sadržaja u strukturi maturalnog ispita – standardna razina

Brojevi i algebra 20%

Funkcije 25%

Jednadžbe i nejednadžbe 20%

Geometrija 25%

Modeliranje 10%

• razlikovati skupove

N Z Q R C , , , ,• elementarno računati


• koristiti postotke i omjere • provoditi operacije s

potencijama i korijenima • znati binomni poučak • znati računati s

algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima

• koristiti džepno računalo • računati s jedinicama za


• poznavati pojam funkcije,

način njezinog zadavanja i operacije s njima ( , , , :+ − ⋅ , kompozicija)

• znati svojstva rasta/ pada, parnosti/ neparnosti i periodičnosti funkcije

• poznavati linearnu funkciju i njezin graf

• poznavati kvadratnu funkciju i njezin graf

• poznavati funkcije apsolutne vrijednosti i drugog korijena i njihove grafove

• poznavati grafove polinoma i racionalnih funkcija

• poznavati eksponencijalnu i logaritamsku funkciju i njihove grafove

• poznavati trigonometrijske funkcije i njihove grafove

• poznavati pojam niza • poznavati pojam derivacije

funkcije



jednadžbe i nejednadžbe • rješavati jednadžbe i

nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima i s

• rješavati jednostavnije polinomske i racionalne jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati sustave gore navedenih jednadžbi i nejednadžbi

Elementarna geometrija: • znati elementarnu geometriju


valjak, stožac, kuglu Trigonometrija: • poznavati trigonometriju

pravokutnog trokuta • znati poučak o sinusima i

kosinusima • znati primjenjivati

trigonometriju u planimetriji i stereometriji

Analitička geometrija: • koristiti koordinatni sustav na

pravcu i u ravnini • poznavati pojam vektora,

provoditi operacije s vektorima • poznavati jednadžbu pravca • poznavati pojam i elemente

krivulje drugog reda, njihove jednadžbe i skice

Rješavati zadatke koristeći • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz

ISPIT STANDARDNA RAZINA


1. Za kvadratnu jednadžbu 21 4 4 09 3

x x− + = vrijedi tvrdnja:

A. jednadžba ima dva (različita) realna rješenja

B. jednadžba nema realnih rješenja

C. jednadžba ima samo jedno (dvostruko) rješenje

D. jednadžba se ne može riješiti

2.

3 2

2 2

1:1

a aa a

− −

−

+=

− A.

1a

a−

B. 1

aa −

C. 1aa−

D. 1 aa−

3. U jednoj tableti je dobrih bakterija. Dijete od 10 godina smije popiti najviše dvije takve tablete tri puta na dan. Koliko najviše tih dobrih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednom danu?

75.2 10⋅

A. 85.2 10⋅

B. 81.04 10⋅

C. 81.56 10⋅

D. 83.12 10⋅

4. Iracionalno rješenje jednadžbe 7 2 4 12x x⋅ − = jednako je:

A. 2log 3

B. 3log 2

C. 3log 4

D. 4log 3

15


5.

Koja je od nacrtanih funkcija rastuća samo na intervalu [ ]0,5 ?

A.

y

x0 5

B.

y

x0 5

C.

y

x0 5

D.

y

x0

5

6. Ako je loga x s= i 2loga y t= , onda je logax

y=

A. 2

s t−

B. st

C. 2ts −

D. 2ts −

16


7. Apscise istaknutih točaka K, L, M, N, P na slici rješenja su jednadžbe:

PNMLK

0

1

y

x

0.5

−2π −π 2ππ

A. 2sin 1 0x − =

B. 2s in 1 0x + =

C. 2cos 1 0x − =

D. 2cos 1 0x + =

8.

A

B

1

10

y

x

A. 3 4 AB i j⎯⎯→ → →

= − −

B. 4 3AB i j⎯⎯→ → →

− = −

C. 3 4AB i j⎯⎯→ → →

= −

D. 4 3AB i j⎯⎯→ → →

= − +

9. Zadane su funkcije: 2( )5

f xx

=+

i 3( ) 3 1g x x= + .

( )(21)f g =

A. 29

B. 31613

C. 813

D. 349

10. Duljine osnovica jednakokračnog trapeza su 20 cm i 6 cm, a površina mu je 31.2 cm2. Duljina kraka trapeza je: A. 14 cm

B. 13 cm

C. 7.4 cm

D. 3.6 cm

11. Plin je poskupio 15%. Koliko treba pojeftiniti da bi mu krajnja cijena bila 5.5% veća od cijene prije poskupljenja? A. 7.80%

B. 8.26%

C. 8.96%

D. 9.50%

17



12. Za koji realan broj a sustav 4 33 5

x yx ay

3+ =⎧⎨ + =⎩

nema rješenje?

Odgovor: ___________________________

13. Skicirajte skup točaka ravnine zadan jednadžbom 2 2 6 8 9 0x y x y+ + − + = .

x10

1

y

14. Svjetski rekord u trčanju na 100 m je 9.73 s. Koliko je to km/h?

Odgovor: ___________________________ km/h

15. Grafovi funkcija f i g su prikazani na slici.

y = f (x)

y = g(x)

(5,0)

(0,6)

(-3,3)

Rješenje nejednadžbe ( ) ( )f x g x≥ je interval ____________________________

18


16. Broj zapišite u obliku a( 31 2i− + ) bi+ .

Odgovor: ___________________________

17. Odredite domenu funkcije

( )25log 4

( )5

xf x

x−

=+

.

Odgovor: ___________________________

18. Odredite mjeru kuta koji s pozitivnom zrakom x osi zatvara pravac 2 3y x= + .

Odgovor: ______________ ° _____' _____''

19. Metalnu kuglu obujma 36π cm3 treba pretopiti u valjak. Odredite visinu valjka ako je polumjer baze valjka jednak polumjeru kugle.

Odgovor: ___________________________ cm

20. Nacrtajte graf funkcije ( ) 2 4xf x = − .

x10

1

y

21. Usporedno s pravcem povučene su tangente na elipsu . Odredite njihove jednadžbe.

2 12 0x y− + = 2 23 4 4x y+ = 8

Odgovor: ____________________________

22. Na intervalu [ ]0,5x π∈ riješite nejednadžbu: 2sin cos4 4

x xπ π− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

.

Odgovor: ____________________________

19


23. STADION

Posljednji, 25- ti red stadiona može primiti 2048 gledatelja. Svaki prethodni red prima 20 gledatelja manje.

a) Koliko gledatelja prima prvi red stadiona?

Odgovor: ______________________________

b) Koliko je gledatelja na stadionu, ako je popunjen do posljednjeg mjesta?

Odgovor: ______________________________

Svečana loža stadiona ima 225 mjesta i smještena je unutar 5-tog do 10-tog reda. Svaki njezin red počevši od najnižeg ima pet sjedala više od prethodnoga.

c) Koliko mjesta ima u prvom redu svečane lože?

Odgovor: ________________________________

U ZADATCIMA 24.-25. PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA

24. Zadana je funkcija ( )3 21( ) 2 155

f x x x= + − x .

a) Odredite nultočke funkcije.

Odgovor: ___________________________

b) Odredite (lokalne) ekstreme funkcije. Odgovor: ___________________________

20


c) Skicirajte graf funkcije.

x10

1

y

25. RAZGOVOR

Dubravka i Ivana komuniciraju elektronskim uređajem dometa 500 m. Dubravka stoji na mjestu, a Ivana hoda kako je prikazano na slici. Na kojoj udaljenosti od točke A se uspostavlja komunikacija?

A

688 m

43°24'

IVANA

DUBRAVKA

Odgovor: _______________________________ m

21

STANDARDNA RAZINA

22

= − = +

F O R M U L E

• Kompleksan broj: 2 1, ,i z a bi ,z a bi= − 2 2 ,z a b= + , Ra b∈ • (cos sin )z r iϕ ϕ= + , , ( )1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z r r iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = + + +

( )1 11 2 1 2

2 2cos( ) sin( )z r i

z rϕ ϕ ϕ ϕ= − + − , (cos sin )n nz r n i nϕ ϕ= + ,

2 2cos sin , 0,1,..., 1n n k kz r i k nn n

ϕ π ϕ π⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−

• m n m na a a +⋅ = , 0)n a−: (m n ma a a= ≠ , 1 ( 0)mma a

a− = ≠ ,

nm n ma a=

• ( )2 2 22a b a ab b± = ± + , ( )3 3 2 23 3a b a a b ab b3± = ± + ±

• 2 2 ( )( )b a b+ , )ab b a b a− = − a b a b a± = ± +∓n n n

a b a a b a b ak n

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 2 2( )(

• ( ) 1 1... ...1 1

n n n n k k n nb b− +

• Kvadratna jednadžba: 2

21,2

40, 02

b b acax bx c a xa

− ± −+ + = ≠ ⇒ =

• Vièteove formule: 1 2 1 2, b cx x x xa a

+ = − ⋅ =


2 4b b acTa a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• log , logxbb a x a= ⇔ = log b xx

b b x b= =

• log ( ) log logb b bxy x= + y , log log logb b bx x y , ly

= − og logyb bx y x= , loglog

logb

ab

xxa

=


aa vP ⋅= , ( ) ( ) ( ),P s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

2a b cs + +

=

sin2

abP γ= ,

4 o

abcPr

= , uP r s=

• Jednakostraničan trokut: visina: 32

av = , površina: 2 34

aP = , 23or v= , 1

3ur v=

• Površina paralelograma: P a v= ⋅ • Površina trapeza: 2

a cP v+=


• Površina kružnog isječka: 2

360rP πα

= • Duljina kružnog luka: 180rl πα

=

• Obujam prizme i valjka: V B h= ⋅ , • Oplošje prizme i valjka: 2O B P= +


V B h= ⋅ , • Oplošje piramide: ,O B P= + stošca: 2O r r sπ π= +


V r π= , • Oplošje kugle: 24O r π=

• U pravokutnom trokutu:

nasuprotna katetasinus kuta =hipotenuza

, priležeća katetakosinus kuta =hipotenuza

, nasuprotna katetatangens kuta =priležeća kateta

• Poučak o sinusima:sin sin sin

a b cα β γ

= = • Poučak o kosinusima: 2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −

STANDARDNA RAZINA

23

• 2 2sin cos 1x x+ = , sintg ,cos

xxx

= sin 2 2sin cosx x x= , 2 2cos 2 cos sinx x x= −

( )sin sin cos sin cosx y x y y x± = ± , ( )cos cos cos sin sinx y x y x y± = ∓ , tg tgtg( )1 tg tg

x yx yx y±

± =⋅∓

• Udaljenost točaka 1 2,T T : )( ) (2 21 2 2 1( , )d T T x x= − + 2 1y y−

• Polovište dužine 1 2T T : 1 2 ,2 2

x 1 2x yP + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y

• Površina trokuta 1 2 3T T T : ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 212

P x y y x y y x y y= − + − + −

• Vektor 1 2T T⎯⎯→

: 1 2 2 1 2 1 1 2( ) ( )T T a x x i y y j a i a j⎯⎯→

= = − + − = +

• Skalarni umnožak vektora: cosa b a b α⋅ = ⋅⋅ , 1 1 2 2a b a b a b→ →

⋅ = +

• Jednadžba pravca: ( )1 1y y k x x− = − , 2 1

2 1

y ykx x

−=

− • Kut između dvaju pravaca: 2 1

1 21k ktg

k kα −

=+

• Udaljenost točke ( )1 1,T x y i pravca p... 0Ax By C+ + = : 1 1

2 2( , )

Ax By Cd T p

A B

+ +=

+

Krivulja drugog reda

Jednadžba Tangenta u točki krivulje ( 1 1,x y ) Uvjet dodira pravca i krivulje y kx l= +

Kružnica središte

( , )S p q 2 2( ) ( ) 2x p y q− + − = r ( )( ) ( )( ) 2

1 1x p x p y q y q r− + − − = ( )− ( )22 21r k kp q l+ = − +

Elipsa fokusi

1,2 ( ,0)F e±

2 2

2 2 1x ya b

+ = , 2 2e a b= − 2 1 12 2 1x x y y

a b+ = 2 2 2 2a k b l+ =

Hiperbola fokusi

1,2 ( ,0)F e±

2 2

2 2 1x ya b

− = ,

2 2e a bby xa

= +

= ±

2

1 12 2 1x x y y

a b− = 2 2 2 2a k b l− =

Parabola fokus

,02pF ⎛

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 1y y p x x= + 2 p⎞

2 2y px=

kl=

• Aritmetički niz: 1 ( 1)na a n d= + − ⋅ , 1( )2n nnS a a= +

• Geometrijski niz: 11

n , na a q −= ⋅ 111

n

nqS aq

−=

−

• Geometrijski red: 1 , | | 11

aS qq

= <−

• Derivacija umnoška: ( ) ´´ ´f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅ ; Derivacija kvocijenta: 2´ ´f f g f g

g g

′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Tangenta na graf funkcije f u 1 1( , )T x y : ( ) ( )1 1 1x⋅ − y y f x x′− =

' 0c = ( ) 1,n nx n x −′ = ⋅ 0n ≠ ( )sin cos

• Derivacije:

x x′ = ( )cos sin x′ = − ( ) x 21tg

cosx ′ =

x

VIŠA RAZINA

24

Udio sadržaja u strukturi maturalnog ispita – viša razina

Brojevi i algebra 20%

Funkcije 25%

Jednadžbe i nejednadžbe 20%

Geometrija 25%

Modeliranje 10%

• razlikovati skupove

N Z Q R C , , , ,• elementarno računati


• koristiti postotke i omjere • provoditi operacije s

potencijama i korijenima • znati binomni poučak • znati računati s

algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima

• poznavati poučak o uzastopnom prebrojavanju

• koristiti džepno računalo • računati s jedinicama za


• poznavati pojam funkcije,

način njezinog zadavanja i operacije s njima ( , , , :+ − ⋅ , kompozicija)

• znati svojstva rasta/ pada, parnosti/ neparnosti i periodičnosti funkcije

• poznavati linearnu funkciju i njezin graf

• poznavati kvadratnu funkciju i njezin graf

• poznavati funkcije apsolutne vrijednosti i drugog korijena i njihove grafove

• poznavati grafove polinoma i racionalnih funkcija

• poznavati eksponencijalnu i logaritamsku funkciju i njihove grafove

• poznavati trigonometrijske funkcije i njihove grafove

• poznavati pojam niza • poznavati pojam derivacije

funkcije • poznavati pojam

neodređenog i određenog integrala

• poznavati vjerojatnosnu funkciju



jednadžbe i nejednadžbe • rješavati jednadžbe i

nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima i s

• rješavati jednostavnije polinomske i racionalne jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati sustave gore navedenih jednadžbi i nejednadžbi

Elementarna geometrija: • znati elementarnu geometriju


valjak, stožac, kuglu Trigonometrija: • poznavati trigonometriju

pravokutnog trokuta • znati poučak o sinusima i

kosinusima • znati primjenjivati

trigonometriju u planimetriji i stereometriji

Analitička geometrija: • koristiti koordinatni sustav na

pravcu i u ravnini • poznavati pojam vektora,

provoditi operacije s vektorima • poznavati jednadžbu pravca • poznavati pojam i elemente

krivulje drugog reda, njihove jednadžbe i skice

Rješavati zadatke koristeći • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz

ISPIT VIŠA RAZINA


1. Za neke realne parametre k kvadratna jednadžba 21 1 ( 1) 1 0

9 3x k x k− + + + = ima samo jedno (dvostruko)

rješenje. Zbroj tih parametara jednak je:

A. 23

B. 2

C. 23

−

D. 2 −

2.

1 32 2

1 1 1:11 1

x xxx x x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⋅ =⎜ ⎟ +− + +⎝ ⎠

A. 1

B. 11

xx

−−

C. 11

xx−+

D . 11x

x+−

3. Zbroj svih cjelobrojnih rješenja nejednadžbe 92 12

xx 0+ <

jednak je:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

4.

Koja je od nacrtanih funkcija rastuća samo na intervalu [ ]0,5 ?

A.

y

x0 5

B.

y

x0 5

C.

y

x0 5

D.

y

x0

5

25

ISPIT VIŠA RAZINA

5. Ako je loga x s= i 2loga y t= , onda je logax

y=

A. 2

s t−

B. st

C. 2ts −

D. 2ts −

6. Apscise istaknutih točaka K, L, M, N, P na slici rješenja su jednadžbe:

PNMLK

0

1

y

x

0.5

−2π −π 2ππ

A. 2sin 1 0x − =

B. 2s in 1 0x + =

C. 2cos 1 0x − =

D. 2cos 1 0x + =

7.

U nekoj školi 40% učenika je odlučilo pisati maturalni ispit iz kemije. Od onih koji su izabrali kemiju 70% je izabralo i biologiju, dok je od onih koji nisu izabrali kemiju 50% izabralo biologiju. Kolika je vjerojatnost, da je nasumce izabran učenik izabrao biologiju na maturi?

A. 1

B. 0.58

C. 0.48

D. 0.2

8.

Koji je od ponuđenih vektora okomit na vektor AB

⎯⎯→

?

A

B

1

10

y

x

A. 3 4i j → →

− −

B. 4 3i j→ →

− −

C. 3 4i j → →

−

D. 4 3i j → →

− +

26

ISPIT VIŠA RAZINA

9. Zadane su funkcije: 2( )5

f xx

=+

i 3( ) 3 1g x x= + .

( )(21)f g =

A. 29

B. 31613

C. 813

D. 349

10. Duljine osnovica trapeza su 10 cm i 3 cm. Udaljenost polovišta dijagonala trapeza je:

A. 6.5 cm

B. 5 cm

C. 3.5 cm

D. 3 cm

11. Plin je poskupio 15%. Koliko treba pojeftiniti da bi mu krajnja cijena bila 5.5% veća od cijene prije poskupljenja?

A. 7.80%

B. 8.26%

C. 8.96%

D. 9.50%


12. Za koji realan broj a sustav 4 3 13 5ax yx ay

0+ =⎧⎨ + =⎩

nema rješenje?

Odgovor: ___________________________________

13. Odredite duljinu tetive kružnice 2 2 6 8 9x y x y 0+ + − + = kojoj je polovište točka ( 1,2)− .

Odgovor: ___________________________________

14. Svjetski rekord u trčanju na 100 m je 9.73 s. Koliko je to km/h? Odgovor: ________________________________ km/h

27

ISPIT VIŠA RAZINA

15. Grafovi funkcija f i g su prikazani na slici.

y = f (x)

y = g(x)

(5,0)

(0,6)

(-3,3)

Rješenje nejednadžbe ( ) ( )f x g x≥ je interval ____________________________

16. Broj ( )20091 3i− + zapišite u obliku a bi+ .

Odgovor: ___________________________________

17. Odredite domenu funkcije

( )25log 4

( )5

xf x

x

−=

+.

Odgovor: ___________________________________

18. Duljina osnovnog brida pravilne trostrane uspravne piramide jednaka je 4 cm, a pobočnog 7 cm. Odredite mjeru kuta koji pobočka zatvara s ravninom osnovke.

Odgovor: ______________ ° _____' _____''

19. Metalnu kuglu obujma 36π cm3 treba pretopiti u valjak. Odredite visinu valjka ako je polumjer baze valjka jednak polumjeru kugle.

Odgovor: __________________________________ cm

28

ISPIT VIŠA RAZINA

20. Nacrtajte graf funkcije ( ) 2 4xf x = − .

x10

1

y

21. Usporedno s pravcem povučene su tangente na elipsu . Odredite njihove jednadžbe.

2 12 0x y− + = 2 23 4 4x y+ = 8

Odgovor:____________________________

22. Na intervalu [ ]0,5x π∈ riješite nejednadžbu: 2sin cos4 4

x xπ π− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

.

Odgovor: ____________________________

23. STADION

Posljednji, 25- ti red stadiona može primiti 2048 gledatelja. Svaki prethodni red prima 20 gledatelja manje.

a) Koliko gledatelja prima prvi red stadiona?

Odgovor: __________________________

b) Koliko je gledatelja na stadionu, ako je popunjen do posljednjeg mjesta?

Odgovor: _____________________________

Svečana loža stadiona ima 225 mjesta i smještena je unutar 5-tog do 10-tog reda. Svaki njezin red počevši od najnižeg ima pet sjedala više od prethodnoga.

c) Koliko mjesta ima u prvom redu svečane lože?

Odgovor: __________________________

29

ISPIT VIŠA RAZINA

U ZADATCIMA 24.-26. PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA

24. Jednadžba tangente na graf funkcije 2( ) 2 5f x x x k= − + u točki s apscisom x p= jednaka je . Odredite p i k. 7 12y x= −

Odgovor: p = , k = .

25. Zadana je funkcija ( )3 21( ) 2 155

f x x x= + − x .

a) Odredite nultočke funkcije.

Odgovor: ____________________

b) Odredite (lokalne) ekstreme funkcije. Odgovor: ____________________

c) Skicirajte graf funkcije.

x10

1

y

d) Odredite površinu dijela ravnine omeđenog grafom funkcije i x osi.

Odgovor: ____________________

30

ISPIT VIŠA RAZINA

26. RAZGOVOR

Dubravka i Ivana komuniciraju elektronskim uređajem dometa 500 m. Dubravka stoji na mjestu, a Ivana hoda kako je prikazano na slici. Koliko metara Ivana može hodati od trenutka uspostavljanja do trenutka prekida komunikacije?

A

688 m

43°24'

IVANA

DUBRAVKA

Odgovor: _______________________

31

VIŠA RAZINA

32

= − = +

F O R M U L E

• Kompleksan broj: 2 1, ,i z a bi ,z a bi= − 2 2 ,z a b= + , Ra b∈ • (cos sin )z r iϕ ϕ= + , , ( )1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z r r iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = + + +

( )1 11 2 1 2

2 2cos( ) sin( )z r i

z rϕ ϕ ϕ ϕ= − + − , (cos sin )n nz r n i nϕ ϕ= + ,

2 2cos sin , 0,1,..., 1n n k kz r i k nn n

ϕ π ϕ π⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−

• m n m na a a +⋅ = , 0)n a−: (m n ma a a= ≠ , 1 ( 0)mma a

a− = ≠ ,

nm n ma a=

• ( )2 2 22a b a ab b± = ± + , ( )3 3 2 23 3a b a a b ab b3± = ± + ±

• 2 2 ( )( )b a b+ , )ab b a b a− = − a b a b a± = ± +∓n n n

a b a a b a b ak n

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 2 2( )(

• ( ) 1 1... ...1 1

n n n n k k n nb b− +

• Kvadratna jednadžba: 2

21,2

40, 02

b b acax bx c a xa

− ± −+ + = ≠ ⇒ =

• Vièteove formule: 1 2 1 2, b cx x x xa a

+ = − ⋅ =


2 4b b acTa a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• log , logxbb a x a= ⇔ = log b xx

b b x b= =

• log ( ) log logb b bxy x= + y , log log logb b bx x y , ly

= − og logyb bx y x= , loglog

logb

ab

xxa

=


aa vP ⋅= , ( ) ( ) ( ),P s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

2a b cs + +

=

sin2

abP γ= ,

4 o

abcPr

= , uP r s=

• Jednakostraničan trokut: visina: 32

av = , površina: 2 34

aP = , 23or v= , 1

3ur v=

• Površina paralelograma: P a v= ⋅ • Površina trapeza: 2

a cP v+=


• Površina kružnog isječka: 2

360rP πα

= • Duljina kružnog luka: 180rl πα

=

• Obujam prizme i valjka: V B h= ⋅ , • Oplošje prizme i valjka: 2O B P= +


V B h= ⋅ , • Oplošje piramide: ,O B P= + stošca: 2O r r sπ π= +


V r π= , • Oplošje kugle: 24O r π=

• U pravokutnom trokutu:

nasuprotna katetasinus kuta =hipotenuza

, priležeća katetakosinus kuta = ,hipotenuza

nasuprotna katetatangens kuta =priležeća kateta

• Poučak o sinusima:sin sin sin

a b cα β γ

= = • Poučak o kosinusima: 2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −

VIŠA RAZINA

33

• 2 2sin cos 1x x+ = , sintg ,cos

xxx

= sin 2 2sin cosx x x= , 2 2cos 2 cos sinx x x= −

( )sin sin cos sin cosx y x y y x± = ± , ( )cos cos cos sin sinx y x y x y± = ∓ , tg tgtg( )1 tg tg

x yx yx y

± =⋅∓

±

• Udaljenost točaka 1 2,T T : )( ) (2 21 2 2 1( , )d T T x x= − + 2 1y y−

• Polovište dužine 1 2T T : 1 2 ,2 2

x 1 2x yP + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y

• Površina trokuta 1 2 3T T T : ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 212

P x y y x y y x y y= − + − + −

• Vektor 1 2T T⎯⎯→

: 1 2 2 1 2 1 1 2( ) ( )T T a x x i y y j a i a j⎯⎯→

= = − + − = +

• Skalarni umnožak vektora: cosa b a b α⋅ = ⋅⋅ , 1 1 2 2a b a b a b→ →

⋅ = +

• Jednadžba pravca: ( )1 1y y k x x− = − , 2 1

2 1

y ykx x

−=

− • Kut između dvaju pravaca: 2 1

1 21k ktg

k kα −

=+

• Udaljenost točke ( )1 1,T x y i pravca p... 0Ax By C+ + = : 1 1

2 2( , )

Ax By Cd T p

A B

+ +=

+

Krivulja drugog reda

Jednadžba Tangenta u točki krivulje ( 1 1,x y ) Uvjet dodira pravca i krivulje y kx l= +

Kružnica središte

( , )S p q 2 2( ) ( ) 2x p y q− + − = r ( )( ) ( )( ) 2

1 1x p x p y q y q r− + − − = ( )− ( )22 21r k kp q l+ = − +

Elipsa fokusi

1,2 ( ,0)F e±

2 2

2 2 1x ya b

+ = , 2 2e a b= − 2 1 12 2 1x x y y

a b+ = 2 2 2 2a k b l+ =

Hiperbola fokusi

1,2 ( ,0)F e±

2 2

2 2 1x ya b

− = ,

2 2e a bby xa

= +

= ±

2

1 12 2 1x x y y

a b− = 2 2 2 2a k b l− =

Parabola fokus

,02pF ⎛

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 1y y p x x= + 2 p⎞

2 2y px=

kl=

• Aritmetički niz: 1 ( 1)na a n d= + − ⋅ , 1( )2n nnS a a= +

• Geometrijski niz: 11

n , na a q −= ⋅ 111

n

nqS aq

−=

−

• Geometrijski red: 1 , | | 11

aS qq

= <−

• Derivacija umnoška: ( ) ´´ ´f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅ ; Derivacija kvocijenta: 2´ ´f f g f g

g g

′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Tangenta na graf funkcije f u 1 1( , )T x y : ( ) ( )1 1 1x⋅ − y y f x x′− =

' 0c = ( ) 1,n nx n x −′ = ⋅ 0≠ ( )sin cos

• Derivacije i integrali:

n x x′ = ( )cos sin x′ = − ( ) x 21tg

cosx ′ =

x

dx x C= +∫ 1

1

nn xx dx C

n

+

= ++∫ sin cosxdx x C = − +∫ cos sin xdx x C= +∫

matematika (obvezni predmet)

Documents