matematika sma - bab limit
TRANSCRIPT
LIMIT FUNGSI
KELAS XI SEMESTER GENAP
Nama Anggota Kelompok :
Kelas XI IPA 5
Kelompok 1 LIMIT FUNGSI
Kompetensi Dasar
Standar Kompeten
si
Indikator
Materi
Pengayaan
Limit
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Standar Kompetensi
6.1 menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Kompetensi dasar
1. Mampu menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri di satu titik
2. Mampu menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi3. Mampu menentukan nilai limit di tak hingga suatu fungsi
Indikator
PENGERTIAN LIMIT
Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis .Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variabel fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses mendekati ini bisa dari kiri (disebut limit kiri ) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan ).Fungsi dikatakan mempunyai limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama. Untuk fungsi tunggal limit kiri dan kanan selalu sama sehingga tidak perlu kita cari limit kiri dan kanannya, tetapi untuk fungsi majemuk harus diperiksa limit kiri dan limit kananya.
Limit dari f(x) bila x menuju a adalah
L R, ditulis Lxfax
)(lim
Jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0
sedemikian sehingga jika 0 < |x - a| < d maka |
f(x) - L| < e.
Definisi
Limit
Pecahan) (Hk..0 jikaasalkan )(lim
)(lim
)(
)(lim5.
Perkalian) (Hk. )](lim)][(lim[)]()([lim.4
n)Penjumlaha Hk.()](lim[)](lim[)]()([lim 3.
maka )(limdan )(lim adaberikut limit Jika
lim .2
.Konstanta) (Hk. lim .1
MM
L
xg
xf
xg
xf
LMxgxfxgxf
MLxgxfxgxf
MxgLxf
aX
CC
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
axax
ax
ax
Teorema - Teorema
Limit
Komposisi)Limit tusi/ (Hk.Substi).())(lim())((lim
maka )()(limdan )(limMisalkan .8
(Hk.Akar).lim
maka
genap, nilaiuntuk 0 jikadan positifbulat bilangan suatu Jika 7.
Lfxgfxgf
LfxfLxg
ax
nan
axax
Lxax
nn
ax
n
n
ax
n
ax
Axfxf LimLim
)()(6.
222 )1(1
1sin)1()1(
x
xxx
)()()( xhxgxf
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
1
1sin)1(lim 2
1
xx
x
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan 0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
maka
Prinsip Apit
Perhatikan gambar di samping.Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.
Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB
Sehingga ½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1
Bagi dengan ½ cos > 0 diperoleh;
cos
1sincos
Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1sin
lim10
it
Sehingga : 1sin
lim0
it
Limit Fungsi Trigonometri
AO
B
C
D
OC= cos ; CB= sin
1sin
lim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tan
lim.30
x
xx
Contoh :
2.2
2tan5
4.4
4sin3
lim2tan5
4sin3lim
00
x
xx
x
xx
xxxx
2.
2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
0
0
x
xx
x
x
x
3
7
2.2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
02
04
x
xx
x
x
xx 0 ekivalen dgn 4x 0
Limit Tak Hingga & Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xg
xfax
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiii
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
1
1lim
2
1
x
xx
a.1
1lim
2
2
1
x
xx x
xx sinlim
b. c.
Jawab
a. 021lim 2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatifSehingga
1
1lim
2
1 x
xx
b. 021lim 2
1
x
x
1
1lim
2
2
1 x
xx
akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
Contoh
Hitung
c.
0lim
x
x
x
xx sinlim
dan
f(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)
sehingga
Karena
Lxfx
)(lima. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
42
52lim
2
2
x
xxx
Jawab
)2(
)1(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
42
52lim
2
2
x
xxx
2
2
42
521
lim
x
xxx
= 1/2
Limit di Tak
Hingga
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh Hitung
42
52lim
2
x
xx
42
52lim
2
x
xx
Jawab :
)2(
)(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
)2(
)(lim
2
2
4
52
x
xx
x
= 0
Contoh Hitung xxx
x
3lim 2
Jawab :
Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxxx
3lim 2)
3
3(3lim
2
22
xxx
xxxxxx
x
xxx
xxxx
3
3lim
2
22
xxx
xx
3
3lim
2
xx
x
xx
x
x
)1(
)1(lim
2312
3||2 xx
xx
x
xx
x
x
231
3
1
)1(lim
2
1
)11(
1lim
231
3
xx
x
x
PENGAYAA
N
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
ada)(lim xfax
)()(lim afxfax
(ii)
(iii)
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)
ºf(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
a
(ii)
1L2L Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=aFungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada
)(lim xfaxL
ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)(lim xfax
ada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara endefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
a
º
Contoh :Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
2
4)(
2
x
xxf
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfa. b.
2,1
2,1)( 2 xx
xxxfc.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
xxxx
)2()(lim2
fxfx
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
c. 312)2( 2 f
31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
Kontinu kiri dan kontinu
kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,1
2,)( 2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)2()(lim2
fxfx
aaxxfxx
2)(lim)(lim22
141)2()2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1
f kontinu kanan di x=2)2()(lim
2fxf
x
141)2()2( 2 aaf
141lim)(lim 2
22
aaxxf
xx
Selalu dipenuhi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu
pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka
dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).
Kekontinuan pada interval
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
Misalkan , maka f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-
4>0
atau x>4.
f(x) kontinu kanan di
x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n xxf )(
4)( xxf
)4(04lim)(lim44
fxxfxx
LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI KOMPOSISI
Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan f(x) kontinu di L, maka
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
Lxgax
)(lim
)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax
))(( xgf
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax
43
13cos)(
2
4
xx
xxxf
))(()( xhgxf
43
13)(
2
4
xx
xxxh dan g(x) = cos x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
THANK YOU ^^