matematika tantárgyi program - lovassymatematika tantárgyi program 2010 -5- lovassy lászló...

LOVASSY LÁSZLÓ GIMNÁZIUM Lovassy-László-Gymnasium

Pedagógiai Program

2010.

Matematika

tantárgyi program

A TANTÁRGYI PROGRAM RÉSZEI

Általános bevezető ................................................................................ 1

Matematika 9-13. középszintű tanterv ................................................ 10

Matematika 12-13. emelt szintű tanterv.............................................. 41

Matematika 9-13. matematika specializáció tanterv........................... 59

Matematika tantárgyi program

2010 -1- Lovassy László Gimnázium


„A matematikai tudományok különösen a rendet, a szimmetriát és a határt mutatják meg; és ezek a szépség legkiemelkedőbb formái.”

(Arisztotelész) A tantárgy célja, feladata

A matematikatanítás célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé.

Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását.

A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét.

A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez, gazdasági, pénzügyi kérdések áttekintéséhez, helyes döntések meghozatalához. A lehetőségekhez igazodva támogatja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia kifejlődőséhez.

Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. A tananyag egyes részleteinek csoport-munkában való feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei.

A tanulók váljanak képessé a közép- vagy emelt szintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika tanulása járuljon hozzá helyes pályaválasztási irány megtalálásához és megalapozásához.



Az egyes témákban szerepeltetett különböző nehézségű problémák természetesen nyújtják a differenciálás lehetőségét.

Kulcskompetenciák

A tantárgy alapfeladata a matematikai kompetencia fejlesztése. A matematika terén szükséges ismeretek magukban foglalják a számok, mértékek és struktúrák, az alapműveletek és alapvető matematikai reprezentációk fejlődő ismeretét, a matematikai fogalmak, összefüggések, koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika választ adhat. A matematikai kompetencia birtokában az egyén rendelkezik azzal a képességgel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat az ismeretszerzésben, a problémák megoldásában, a mindennapokban, otthon és a munkahelyen. Követni és értékelni tudja az érvek láncolatát, matematikai úton képes indokolni az eredményeket, megérti a matematikai bizonyítást, a matematika nyelvén kommunikál, valamint alkalmazza a megfelelő segédeszközöket. A matematika terén a pozitív attitűd az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok logikus okát és érvényességét keressük. A matematikai kompetencia kialakításakor a személyiséget, az egyéniséget teljességre törekedve kell fejleszteni. Ennek megfelelően a matematika tantervi tartalmak megvalósításakor az alábbi módon fejlesztjük – kiegészítő feladatként – a többi kompetenciát. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztése során a matematikai szaknyelvet szóban és írásban egyaránt el kell sajátítania a tanulóknak. Képesnek kell lenniük a matematikai szaknyelv helyes alkalmazására. Külön figyelmet fordítunk a pontos, szabatos fogalmazásra, és az írásbeli munkák javítása során ellenőrizzük a nyelvhelyességet is. A tantárgy sajátosságából adódóan gyakoribbak az írásbeli számonkérések, de tanórán a szóbeli kommunikáció fejlesztése is előtérbe kerül. A természettudományos szemlélet elmélyítését szolgálják mindazok a matematikai tartalmak, módszerek, eljárások, amelyeket a tanulók az iskolában megjelenő tantárgyi vonatkozásban is használhatnak. (Pl. a változás leírása, a változás sebességének matematikai modellje: a differenciálszámítás eszközei; számsokaság elemzésének statisztikai módszerei; az induktív és deduktív bizonyítások stb.) A matematikai módszerek gyakorlati felhasználásának területeként a matematika órákon megjelennek olyan tudományos, természettudományos problémák, amelyek megoldásait matematikai modelleken jól be lehet mutatni. (Pl. a helymeghatározás síkban, térben, gömbön; Newton törvények, kúpszeletek és a bolygómozgás; százalékszámítás a kémiai keveréses feladatok megoldásában; valószínűségi becslések a közvélemény-kutatásban, a régészeti feltárásokban, a biológiai kutatásokban stb.) A digitális kompetencia felöleli az információs társadalom technológiáinak aktív használatát. Ezeket a tanárnak alkalmaznia kell és lehet a matematika órákon, és a matematika órákra való készüléskor is. Élni kell a tananyag feldolgozásakor az interaktív tábla és a multimédiás termek adta lehetőségekkel. Meg kell követelni a kalkulátorok tudatos, hatékony és értő felhasználását. A számítógép segítségével megoldható és bemutatható matematikai problémák jelenjenek meg a tanórákon is. (Pl. az adatsokaságok grafikus jellemzése, a valószínűségi kísérletek feldolgozása



történhet megfelelő szerkesztőprogramok felhasználásával; a matematikatörténeti, kultúrtörténeti vonatkozások bemutatásához, feldolgozásához felhasználható az Internet is.) A hatékony, önálló – egyéni és csoportos – tanulási képességeket a matematika tantervi anyag elsajátítása során is kell és lehet fejleszteni. A tanárnak, a diáknak és a csoportnak is kötelessége a legalkalmasabb tanulási stratégiák megismerése, felismerése és alkalmazása. A tantárgyi érdeklődés, a pályaválasztási cél mielőbbi kialakítása sokat segíthet ezen a területen. A matematikai tananyag értő feldolgozása, a tartalmak pontos megtanulása és azok különböző szintű és mértékű alkalmazása minden tanulónak egyénileg jelent kötelezettséget, de a tanár és a csoport felelőssége is nagy azon területen, hogy minden tanuló a felkészültségének és tudásszintjének legmegfelelőbb támogatást, segítséget kapja meg. (Pl. differenciált foglalkozás; kooperatív tanulási technikák alkalmazása; önálló vázlat készítése; a lényegkiemelő képesség fejlesztése, megengedett segédletek használati módszereinek kialakítása stb.) A szociális és állampolgári kompetencia fejlesztése különösen a statisztika témakörének feldolgozásakor jelenik meg. A különböző adatsokaságok, diagramok helyes értelmezése segíti a diákokat abban, hogy képesek legyenek áttekinteni a társadalmi folyamatokat, és a demokráciáról így kialakult tudásukat felhasználva vegyenek részt a közügyekben. Az önálló – egyéni és csoportos – kezdeményezőképességet is fejleszti a matematika tanterv elsajátítása, feldolgozása. A tudás megszerzésére irányuló tanulói kreativitást a tanárnak maximálisan ki kell használnia, és a csoport tudásszintjének emelésére, színesítésére kell fordítania. Sok matematikai probléma több irányból is megoldható. A tanulói kezdeményezőképesség fejlesztésével el lehet érni, hogy a problémákra többféle megoldás is megvitatásra kerüljön a feldolgozás során. Az esztétikai-művészeti tudatosság és kifejezőképesség fejlesztésére lehetőség nyílik az elemi geometria tanításkor (pl. aranymetszés), és a tudománytörténeti vonatkozások tárgyalásakor (ókori görögök).

Kiemelt fejlesztési feladatok Énkép, önismeret

A matematika tananyag sikeres elsajátítása során a tanuló pozitív visszajelzést kaphat intellektuális képességeiről. Akiben tudatosul szakirányú tehetsége, nagyobb felelősséget érezhet képességeinek fejlesztéséért. Aki megtanulja, hogy a matematikai eredmények kontrollját mindig el kell végeznie, saját cselekedeteit is megtanulhatja kontrollálni.

Hon-és népismeret valamint európai azonosságtudat – egyetemes kultúra

A matematikatörténeti vonatkozások megismerése segíti a tanulókat abban, hogy megtapasztalják: a tudomány fejlődése az emberiség közös kultúrájának része. A tudomány eredményeinek felhasználása pedig az emberiség közös felelőssége. Megismerhetik a tanulók a magyar matematikusok hozzájárulását a tudományhoz, ez gazdagítja hazájukról és Európáról szerzett ismereteiket.

Aktív állampolgárságra, demokráciára nevelés

A statisztika témakörének feldolgozásakor lehetőség nyílik bizonyos társadalmi folyamatok áttekintésére. Ebben a különböző adatsokaságok, diagramok helyes értelmezése segíti a diákokat. Ez hozzájárul ahhoz, hogy képessé váljanak felelősségteljesen részt venni a közügyekben.



Gazdasági nevelés A matematikai ismeretek elsajátítása alkalmassá teszi a tanulókat arra, hogy a gazdasági élet alapvető összefüggéseit megértsék. Tudatosul egyéni gazdasági érdekük, ezt meg tudják fogalmazni, és ésszerű lehetőségek között azokat megvalósítani. (Pl. befektetések jövedelmezősége, kamatos kamattal hiteltörlesztések stb.) Megtanulhatják átlátni a leggyakrabban előforduló reklám- és marketingfogásokat. Eligazodhatnak a befektetési lehetőségek rövidebb és hosszabb távú előnyei, hátrányai között.

Környezettudatosságra nevelés A matematika tantárgyi kerettanterv gyakorlattal kapcsolatos problémakörébe több környezettudatos gondolkodásra vonatkozó probléma felvetésével érzékennyé kell tenni a tanulókat a környezet állapota iránt. Meg kell mutatni a személyes felelősségen alapuló döntések hosszú távú hatását a mennyiségi mutatók összevetésével (pl. dohányzás; szelektív szemétgyűjtés; energiafelhasználás mennyiségi összefüggéseinek áttekintése stb.).

A tanulás tanítása A matematikai ismeretek elsajátítása során lehetőség van a tanulás módszereinek, változatos technikáinak sokoldalú elsajátíttatására. Mivel tantervünk spirális felépítésű, feltétlenül szükség van az előzetes tudás, tapasztalat mozgósítására (ismétlések szerepe!). Lehetőség van az egyénre szabott tanulási módszerek, eljárások kiépítésére, a csoportos tanulási technikák módszereinek alkalmazására, a gondolkodási kultúra fejlesztésére, az egész életen át tartó tanulás eszközeinek, módszereinek megismerésére. Tantárgyunkban sok lehetőség adódik a gondolkodási képességek, a rendszerezés, a tapasztalás, a kombinációk, a következtetés, összehasonlítás, általánosítás és konkretizálás erősítésére, mindezek gyakorlati felhasználására. Kiemelt feladat a kreativitás, a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése, a kritikai gondolkodás megerősítése, az érvek-ellenérvek ütköztetése.

Testi és lelki egészség A matematikában sikerrel dolgozó tanuló átélve a tudás megszerzésének örömét alkalmas lehet arra, hogy személyiségének pozitív oldalát fejleszthesse. Jó hozzáállással elérheti, hogy saját testi és lelki fejlődését is tudatával, akaratával irányítsa. Megtanulja, hogy képes legyen energiáit pozitív dolgokra összpontosítani, valamint idejét jól beosztani. A tanárnak felelőssége, hogy a csoportjába járó tanulók testi és lelki fejlődését figyelemmel kísérje, és problémás eset láttán közbeavatkozzon, vagy külső segítséget kérjen.

Felkészülés a felnőtt lét szerepeire A matematikából sikerrel teljesítő tanulók esetén a pályaválasztás kérdése is könnyebben megoldható. A tanuló előtt sok olyan továbbtanulási lehetőség van, amelyben ezen tanterv mentén megszerzett tudását alkalmazni, és továbbfejleszteni tudja. A pályaválasztási döntésképesség tekintetében sok segítséget jelent a matematikai kompetencia. Tudós életpályákkal való ismerkedés minta is lehet a tanulók számára saját életpályájuk megválasztására. Az emelt szintű tantervi anyag teljesítésével a tanulók képessé válnak az emelt szintű érettségi letételére. Ezzel a többlettudással (és többletponttal) sok irányban tanulhatnak tovább. Biztosak lehetnek abban, hogy olyan tudásra és képességekre tettek szert a matematika tanterv elsajátítása során, amelyek birtokában sikerrel fejezhetik be egyetemi tanulmányaikat, akár a legmagasabb fokozaton is. A munka világában is jól fognak tudni teljesíteni, mert ismerni fogják saját értékeiket és esetleges korlátaikat is.



Alapelveink Nem kívánjuk a PP-ban felsorolt elveket megismételni, csak megerősítjük azokat, amelyekről úgy véljük, hogy tantárgyunkra nézve speciális feladatokat ró ránk a benne foglaltak teljesítése. Ezek a következők:

• helyes önismeretre nevelés

• az együttműködési képesség és az egészséges versenyszellem kialakítása

• a munka, az erőfeszítés megbecsülése

• a kezdeményezőkészség,

• a személyiség maximális tisztelete

• az esélyegyenlőség megteremtése

• a hátrányos megkülönböztetés tilalma

• a játék személyiségformáló erejének erősítése

• a kommunikációs készség sokoldalú fejlesztése

• az absztrakt gondolkodás képességének fejlesztése

• korszerű társadalom- és természettudományos ismeretek megalapozása

• alkotó gondolkodásra és gondolkodva cselekvésre nevelés - minden felsorolt pontja

• színvonalas, következetes oktatás - minden felsorolt - pontja

• a hagyományok tisztelete, ápolása (matematikus életpályák kidolgozása a Nemzeti Emlékezet Programhoz is kapcsolódva)



A matematika tantárgy oktatásának rendszere a Lovassy László Gimnáziumon belül az óraszámok feltüntetésével

9. osztály 10. osztály 11. osztály 12. osztály 13. osztály

Matematika specializáció 3 5 7 7 7

Német nemzetiségi tagozat

3 3,5 3 3K v 5E 4K v 6E

Informatika specializáció 3 3,5 3 3K v 5E 4K v 6E

Kiemelt angol nyelvi képzés

3 3,5 3 3K v 5E 4K v 6E

AJTP 4 3,5 3 3K v 5E 4K v 6E

Szaktárgyunk szempontjából igen fontos, hogy a rendelkezésre álló órakeretben a 9 – 11. években segítsük a pályairány kiválasztásában a tanulókat. Akik az emelt szintű érettségire készülnek, azoknak mindenképpen az utolsó két évben 5 + 6 órás képzésben (emelt szintű képzésben) kell részesülniük. Az emelt szintű képzésben résztvevőknek azonban nem kell feltétlenül emelt szinten érettségizniük. Akik a két utolsó évben 3 + 4 órában tanulják a matematikát, azok a középszintű érettségire készülnek. Ebben a képzésben emelt szintű vizsgára nem készítünk fel: a tananyag legalább 130 órában eltér egymástól. Tehát emelt szintű érettségire felkészítő csoportra jár matematikából mindenki, aki

• a matematika tagozatra jár • aki a két utolsó évben emelt szintű csoportba jár matematikából.

Matematika tagozaton csoportbontásban, a 10. évtől két tanárral, osztott tananyaggal történik a matematika oktatása. Az Arany János Tehetséggondozó Programban a 9. évfolyamon külön csoportban, azaz fél osztályban tanulják a diákok a matematikát, ezzel nagyobb lehetőség nyílik az esetleges felzárkóztatásra is. Szükség esetén délutáni felzárkóztató foglalkozásokat is tartunk. Fontosnak tartjuk a matematikai fogalmak érlelését, az önálló munkára törekvést, a pontos diszkussziós képesség sokirányú fejlesztését. A tanulók absztrakciós szintje lassan fejleszthető, egyénileg kell a tanárnak figyelnie arra, hogy hol tart, hogyan gondolkodik e téren a tanítványa. Ezt a személyre szabott tanári tevékenységet jól megszervezhetőnek látjuk az ötosztályos gimnáziumi képzésben, a csoportbontási lehetőség jó kihasználásával. A nyelvi előkészítő év matematika oktatása alkalmas arra, hogy az általános iskolában tanított ismeretek megszilárduljanak, a gimnáziumi követelmények megalapozása, a „szintre” hozás is megtörténjen. A tanári munkánk hatékonyságát a csoportbontások rendszere, az akkreditált szervezett pedagógus továbbképzéseken tanult ismeretek és módszerek növelik. Ezen tényezők fontos feltételei annak, hogy a tanulók matematikai ismeretei ezután is hagyományosan jó színvonalúak legyenek.



A csoportba-sorolásokról a beiskolázást követően illetve a két utolsó év előtt (emelt szintű választás!) munkaközösségi szinten döntünk. Délutáni kínálataink Szakköröket az igényeknek és lehetőségeknek megfelelően indítunk. Ezeken tehetséggondozást, verseny-előkészítést végzünk. Gondoskodunk arról, hogy a tanulók is használjanak szakfolyóiratokat (ABACUS, KÖMAL). Az Arany János Tehetséggondozó Programban van lehetőség egyéni fejlesztő foglalkozások tartására, amivel élünk is. Egyéb felzárkóztató foglalkozások rendszeres tartását nem tervezzük. Munkaközösségünk tanfolyamot hirdet önköltséges formában a tanév során általános iskolás hetedik és nyolcadik osztályos tanulóknak. Ezek tehetséggondozó (24 órás) és középiskolai előkészítő (24 órás) szakkörök, melyeket a város és város környéki általános iskolák tanulói számára indítunk. Ennek keretében a halmozottan hátrányos helyzetű tanulók számára térítésmentes előkészítő foglalkozást biztosítunk, ezzel teljesítve a „Tehetséggondozó Középiskola” cím elnyerésével járó kötelezettségünket. Tankönyv-kiválasztás elvei: Új tankönyvet és példatárat tanulócsoportoknak csakis akkor rendelünk, ha a munkaközösség tagjai kellő ismerettel rendelkeznek már a megrendelendő új könyvekről. Ezért a forgalomba kerülő tankönyvekről, példatárakról rendszeresen tájékozódunk, bizonyos tankönyvcsaládokat a munkaközösség tagjainak ajánlott használatra megrendeljük. Az éves tankönyvrendelés előtti hónapban (ez általában a félév-záró munkaközösségi értekezlet) lehet előterjeszteni a régitől való eltérés szándékát. A tankönyvlistán változtatni csakis munkaközösségi határozattal lehetséges. Az éves munkaterv mellékleteként megjelenő tankönyvlistát a munkaközösség minden tagjának ismernie kell. Az egy évfolyamon azonos típusú csoportban tanítók azonos tankönyvekből és példatárakból tanítanak.

A kétszintű érettségihez kiadott példatárakra, segédletekre is érvényes az előbbi pont. Ilyen példatárakat csakis ajánlott kategóriába sorolhatunk a tankönyvlistán. Ezekből a rendszeres tanítási gyakorlat során alsóbb évfolyamon feladatokat kitűzni nem ajánlott. Más a tanulási folyamatot és más a rendszerezést, az összefoglalást segítő tanári-tanulói tevékenység célja és tartalma. Továbbhaladás, értékelés A témák feldolgozása során a szaktanár változatos módon, a tanulók életkori sajátosságaira is figyelemmel folyamatosan ellenőriz, értékel, és alkalmas időben osztályoz. Az értékelésnél törekszünk a folyamatosságra, az időbeni egyenletességre. A számonkérés formái: szóbeli felelet, órai felmérő dolgozat, házi dolgozat, témazáró dolgozat. Érdemjeggyel jutalmazhatjuk a rangosabb versenyeken való sikeres szereplést, és a KÖMAL-ban rendszeresen végzett munkát. Törekszünk az egységes értékelésre:

• K ö z ö s t é m a z á r ó d o l g o z a t o k a t iratunk. A dolgozatok feladatsorának összeállításáért és a javítás, értékelés egységességéért az évfolyamfelelős szaktanár(ok) felel(nek). Gondoskodik a feladatlapok sokszorosításáról vagy a példatárak kikölcsönzéséről. Az évfolyamfelelősöket a munkaközösség a tanév elején az éves munkaterv elkészítésekor jelöli ki. A dolgozatíratások időpontját az évfolyamfelelősök a tanmenetben lehetőség szerint előre betervezik. A rögzített időpontot tanítási hétben kell



érteni. Az évfolyamfelelős gondoskodik arról, hogy a feladatokkal, az időponttal és az értékeléssel minden érintett szaktanár értsen egyet. Vitás kérdésekben a dolgozatíratás előtt egy héttel a munkaközösség-vezetőt is meg kell hallgatni. A témazáró pontos időpontját legalább egy héttel előtte a tanulókkal is tudatni kell.

• A tantervekben megfogalmazott tananyagokból minden fogalom megtanulása, a tételek kimondása és a tanórán is feldolgozott mintafeladatok reproduktív ismerete tartozik az elégséges szinthez.

• A tanév végéig kijavítatlan elégtelen témazáró osztályzat elégtelen év végi osztályzatot jelent, függetlenül attól, hogy más témákból milyen jeggyel zárt a tanuló. A javítási lehetőséget a tanárnak egy alkalommal kötelessége megadni, de csak azután, hogy meggyőződött arról, hogy a tanuló gyakorolta a téma anyagát pl. kitűzött mintafeladatokon. Javítás csak tanórán, vagy csoportos foglalkozásokon szervezhető.

• Jeles év végi jegyet az a tanuló kaphat, akinek nincs hármasnál rosszabb témazáró dolgozata az év során, és a témazáró osztályzatainak több mint a fele (csak jó és jeles témazáró osztályzatok esetén legalább a fele) jeles.

• Témazáró dolgozat javítási lehetőségét célszerű megadni azoknak a tanulóknak, akik ezt tanórai felkészültség reális igénye alapján kérik.

Munkaközösségünk tagjainak fontos feladata van a pályairány helyes kiválasztásának segítésében. Ezért a kezdő évfolyamokon minden szaktanár ismerteti az iskolánkban folyó matematika-oktatás rendszerét, az egyes szintek által szerezhető tudás mélységéről és alkalmazhatóságáról is tájékoztatja a tanulókat. Kellő időben konzultál az illető tanuló osztályfőnökével és a szülőkkel, ha a várható fejlődési iránytól eltér a tanuló teljesítménye. Felelősséggel gondozza és fejleszti a matematikából tehetséges tanulókat. Külső kapcsolatok

• A város általános iskolái közül hagyományosan jó a kapcsolatunk a matematika tagozatot működtető Deák Ferenc és a Kossuth Lajos Általános Iskolával. Ezeket a kapcsolatokat ápolni kívánjuk a jelen pedagógiai program megvalósítása érdekében is.

• Együttműködési megállapodás keretén belül igyekszünk elmélyíteni kapcsolatunkat a Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Karával. Részt veszünk továbbképző jellegű előadásaikon, tehetséges diákjainknak javasoljuk az Erdős Pál Tehetséggondozó Iskolát.

• Ápoljuk kapcsolatunkat a speciális matematika tagozatos iskolák országos munkaközösségével. Részt veszünk az éves óralátogatással egybekötött találkozókon, és ilyen szakmai program szervezését mi is vállaljuk

• Bekapcsolódtunk az Arany János Tehetséggondozó Program (AJTP) országos munkaközösségi hálózatába, ilyen programban részvevő iskolák matematika tanáraival igyekszünk személyes kapcsolatba is kerülni. A program alapján kiemelten kezeljük a veszprémi Középiskolai Kollégiummal való kapcsolatunkat.

• A JATE TTK tanáraival a kapcsolattartás egyik módja az is, hogy benevezzük tehetséges tanulóinkat az évenként megrendezésre kerülő Szőkefalvi Nagy Gyula Emlékversenybe.

Belső kapcsolatok Mivel az oktató-nevelő munka során a személyiséget a teljességre törekedve kell fejleszteni, ezért minden munkaközösséggel rendszeres a kapcsolatunk.

A tantárgy jellegéből adódóan kiemelkedően fontos az együttműködés a fizika és az informatika munkaközösségekkel.



• A matematika és a fizika tanítása során is megjelennek a másik tantárgyhoz is szorosan kapcsolódó problémák. A matematika tanmenetek megíráskor figyelembe vesszük, hogy a fizikaoktatásnak milyen matematikai ismeretekre van szüksége.

A fizika munkaközösség majdnem minden tagja egyben tagja a matematika munkaközösségnek is, ezért a tanév során felvetődő problémák, feladatok egy részét együtt tárgyaljuk.

Az elmúlt évek tapasztalata azt mutatja, hogy a matematika tagozatos tanulók többsége a fizikát emelt szinten tanulja az utolsó két évben.

• Az informatika tagozatos osztályokban is kiemelt jelentősége van a matematikaoktatásnak. Az itt tanuló diákok nagy része matematika igényes pályát választ, szinte mindegyikük emelt szinten tanul matematikát, ezért különösen fontos az informatika és a matematika tanár együttműködése. A matematika órákon az informatika eszközként jelenik meg, míg az informatika órákon matematikai problémákat is megoldanak. A két munkaközösség kölcsönösen segíti egymás munkáját.

A matematika tanárok nagy része szívesen vállal osztályfőnöki feladatot, ezért élő a kapcsolatunk az osztályfőnöki munkaközösséggel is. Személyi feltételek A matematika műveltségi terület feldolgozásához matematika szakos egyetemi végzettségű tanárokra van szükség. A tananyagtartalmak és az iskolai pedagógiai program változása miatt szükséges, hogy akkreditált, szervezett továbbképzésen vegyenek részt továbbra is a szaktanárok. Kiemelten fontosnak tartjuk az alábbi témákat:

• informatikai ismeretek, számítástechnika alkalmazási területei: szövegszerkesztés, adatbázis-kezelés, INTERNET használat, ECDL

• iskolai multimédiás eszközhasználat a tanórákon

• közép- és emelt szintű érettségi vizsgáztató középiskolai pedagógusok képzése

• a speciális matematika tagozaton és az Arany János Tehetséggondozó programban tanító tanároknak szervezett országos továbbképzések

• fontosnak tartjuk, hogy munkaközösségünk tagjai didaktikai, pszichológiai, szociológiai ismereteik kibővítése céljából (sajátos nevelési igényű tanulókkal való foglalkozás) is vegyenek részt akkreditált továbbképzéseken.

Tárgyi feltételek A tanulóknak: A matematika munkaközösség által kiválasztott tankönyvek és feladatgyűjtemények. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, zsebszámológép Tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, színes kréták, matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, személyi számítógépek, interaktív táblák, interaktív táblára írt oktató szoftverek, polydrom készlet, térgeometriai szemléltető készlet. Fénymásolási lehetőség feladatlapok sokszorosítására.

Matematika középszintű tanterv (9-13)


Matematika 9-13. középszintű tanterv

Részei Matematika 9 Matematika 10 Matematika 11 Matematika 12 Matematika 13

Óraszám Iskolai: 591 óra A 9-13. évfolyamon heti 3(4) +3,5+ 3 + 3 + 4 órára készült a tanterv. A zárójelben megadott 4 óra a kerettantervben az AJTP számára ajánlott és számunkra is elfogadott heti óraszámot jelenti a 9. évfolyamon. A továbbiakban is az erre a specializációra vonatkozó, a többitől eltérő óraszám-adatokat zárójelben adjuk meg.

A 9-13.évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. Fő témái a kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószínűség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.

A tanterv spirális felépítésű. Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt időt biztosítottunk az ismétlésre, a pedagógus által fontosnak tartott, a tanulócsoport igényeihez igazodó foglalkozásra (gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy bővítésére), a munkaközösség által jóváhagyott közös témazáró dolgozatok íratására, azok eredményeinek és hibáinak megbeszélésére.

A tanterv minden évfolyamon azzal indul, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az előzményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál) ezekre történnek visszautalások, illetve elsősorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes kifejtések. Egyaránt fontosnak tartjuk a számfogalom, műveletfogalom fejlesztését és a logikus, rugalmas gondolkodásra nevelést. A tantervben szerepet kap a tapasztalatokra épülő matematikaoktatás, az irányított felfedeztetés, az induktív módszer. Ugyanakkor fontos a tapasztalatok által megszerzett ismereteknek az életkornak megfelelő pontossággal történő megfogalmazása, tudása, s a matematikán belül, illetve más tantárgyakban való alkalmazási készsége.

A 9. évfolyamtól az induktív módszerek, a tevékenykedtető ismeretszerzés mellett folytatódik a deduktív módszerek alkalmazása és az elvont bizonyításokra való felkészítés. Ez hosszú folyamat, s természetesen a tanulók képességei és érdeklődése is meghatározza az elérhető szintet, de az érettségiig megfelelő szintre el kell juttatni a tanulókat.

Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelelő szintű problémamegoldást. Azt gondoljuk, hogy a kisebb, de megértett és begyakorolt ismeretanyag, a megfelelően fejlesztett gondolkodási képesség többet ér, mint a nagy, de kellően meg nem értett tananyag.

A 12-13.évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük a középszintű érettségi általános követelményeit. Kellő időt biztosítottunk a rendszerezésre.

Ajánlás Ezen tanterv első két évre szóló része a speciális matematika tagozaton kívül minden osztályra érvényes. Az utolsó két év a középszintű érettségire készülőknek szól. Így emelt szintű érettségi vizsgára a tanterv ezen része alapján tanuló diák nincs felkészítve, hiszen annak a vizsgának több előírt anyagát nem dolgozza fel az utolsó két év ( pl. analízis).

Óraszámok:

évfolyamok 9. 10. 11. 12. 13.

óra/hét 3(4) 3,5 3 3 4

összóraszám 111(148) 130 111 111 128



Cél • A tanterv a kerettantervben megjelölt időszakaszokig a követelmények mindegyikét teljesíti. • A két utolsó évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása

s kellő szintű feladatmegoldással a középszintű érettségi eredményes letételére való felkészítés. • A minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet. A tantervet használó pedagógus

tudja eldönteni a többlet-követelményt. Ezt a tanulóknak ismerniük kell.

Matematika 9 9. K

Részei Halmazok, logika Valós számkör, műveletek Algebra, számelmélet Egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények, függvénytranszformációk Alakzatok, geometriai mértékek Szerkesztések, bizonyítások Kombinatorika, valószínűség, statisztika

Óraszám Iskolai: 111 (148) óra (37 hét) Tanítási ciklus: 3 (4) óra / 1 hét

Cél • Az első nyolc év tananyagának rendszerezett áttekintése, a tanultak gyakorlati alkalmazásának megmutatása

jól választott feladatokkal. • Az ismétlés során jól választott feladatokkal mutassuk meg a matematika különböző területeinek

összekapcsolódását. • Az év során igyekezzünk az ismétlésből kiindulva tanítani és megértetni az új témákat. • A folyamatos fejlesztés feltételezi, hogy a

− számkörbővítés során, szemléletes alapon jussunk el a valós számok halmazának ismeretéhez, a szemléletes fogalomalkotáshoz;

− kapjon hangsúlyt a halmazszemlélet erősítése a tanult alakzatok rendszerező áttekintésében; − a szemléletes fogalomalkotással kiérleljük a definiált fogalmak megjelenését; − a függvényszemléletet erősíti az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása (pl. grafikus megoldás), a

geometriai transzformációk áttekintése. • A tanulók érdeklődését a tantárgy iránt a célszerű alkalmazások, (kapcsolat más műveltségterületekkel, illetve

a gyakorlati élettel) ötletes megoldások és matematikatörténeti érdekességek tehetik folyamatossá.

Követelmény • Ismerje a valós számkört, tudjon benne műveleteket végezni helyes sorrendben. • Legyen képes egyszerű műveletek elvégzésére halmazokkal. • Tudja az algebrai kifejezéseket célszerű formára alakítani, s azokkal műveleteket végezni. • Ismerje és alkalmazza a nevezetes szorzatokat. • Értse az egész kitevőjű hatvány fogalmát, tudja az azonosságokat. • Tudja felírni a számokat normálalakban. • Értse a függvény fogalmát, tudja a megadásának módjait, a tanult függvények tulajdonságait, egyszerűbb

transzformációit. • Legyen képes lineáris egyenletek, ezek segítségével szöveges feladatok, egyszerűbb abszolútértékes

egyenletek megoldására. • Ismerje a legfontosabb síkbeli alakzatokat, azok tulajdonságait, mértékeit. • Tudja a háromszögek oldalai, szögei közötti összefüggéseket és nevezetes vonalaikkal kapcsolatos tételeket. • Tudjon néhány bizonyítást (pl. Thalész, Pitagorasz), ismerjen nevezetes ponthalmazokat.

í



Előzmény • Az első nyolc év tananyagának megfelelő szintű elsajátítása; a korosztálynak megfelelő szintű írásbeli és

szóbeli kommunikációs készség, az értő-elemző olvasási készség megléte, birtoklása. • Nyitottság, érdeklődés, szorgalom.

Tartalom Tananyagegységek:

I. Gondolkodási módszerek: 8(10) óra + folyamatos

1. Halmazok, logika, kombinatorika II. Számtan, algebra: 55(70) óra

1. Valós számkör, műveletek, algebra, egész kitevőjű hatványok, számelmélet (37(47) óra) 2. Egyenletek, egyenlőtlenségek (18(23) óra)

III. Függvények, függvénytranszformáció: 13(18) óra IV. Geometria: 20(26) óra

1. Alakzatok, geometriai mértékek 2. Szerkesztések, bizonyítások

V. Valószínűség, statisztika: 7(9) óra VI. Rendszerezés, ismétlés, összefoglalás: 7 óra

VII. Témazáró dolgozat írása és értékelése: 8 óra (fentiekbe beszámítva)

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követően egy-egy dolgozatjavító, értékelő órát iktatunk be.

A tanév anyagának felsorolása nem jelent feltétlenül feldolgozási sorrendet, a tanár felcserélheti és apróbb egységekre is felbonthatja az év matematika anyagát.

Értékelés • A tanuló munkájának értékelésekor megfelelő arányban kapjon szerepet a szóbeliség is. Figyelemmel kísérjük

az órai munkát, a tanulói aktivitást, rendszeresen ellenőrizzük a házi feladatok elkészítését. • A szóbeli feleletek és a rövid felmérések (röpdolgozatok) mellett négy egész órás témazáró felmérést iratunk.

Halmazok, logika 9. K

Óraszám Iskolai: 15 (20) óra

Cél • Halmazszemlélet fejlesztése. Halmazműveletek megismerése. • A szaknyelv és a fokozatosan bővülő jelölésrendszer helyes alkalmazása. • A kommunikációs készség továbbfejlesztése érvelésekben, vitákban, bizonyításokban. • Definíciók és tételek megkülönböztetése. • Többféle megoldás keresése. • A számfogalom fejlesztése. A műveletek kiterjesztése algebrai egész és törtkifejezések esetében. A műveleti

tulajdonságok áttekintése. Helyes műveleti sorrend biztos alkalmazása. •

Követelmény • Ismerje a számírás alapelveit. Legyen tisztában a tízes számrendszerrel, a helyiérték fogalmával. • Ismerkedjen a matematikai jelölésekkel. • Legyen képes egyszerűbb matematikai szövegek értő elemzésére, tudja használni a szaklexikont. • Ismerje és értse a legalapvetőbb műveleteket, halmazokkal, tudja alkalmazni konkrét példák esetében. • Ponthalmazok a koordinátarendszerben.



Tartalom • Konkrét példák halmazokra. Halmazok megadása. • Számhalmazok, kapcsolatuk. Jelöléstípusok használata • Számegyenesen való tájékozódás • A racionális szám fogalma, tizedestört-alakja. • Változatos feladatok a racionális számok körében végzett alapműveletek összefoglalására (műveleti sorrend,

zárójelhasználat, kerekítés, közelítő érték, műveleti tulajdonságok konkrét számokkal, majd általánosan is.) • A részhalmaz, kiegészítő halmaz, unió, metszet szemléletes fogalma a konkrét példákhoz kapacsolódóan

(számelmélet, számhalmazok, ponthalmazok). • Számhalmazok, kapcsolatuk. Jelöléstípusok használata. • Intervallumok megadása, műveletek intervallumokkal • Részhalmaz, üres halmaz. Halmazok egyenlősége. • Unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementer halmaz képzése. • Venn-diagram használata feladatok megoldásában. • Példák a skatulyaelv alkalmazására. • A bizonyítás fogalmának körüljárása több előfordult példa alapján. Szemléletes indoklás, bizonyítás fokozatos

megkülönböztetése. "és", "vagy, "ha... akkor" kifejezések jelentése. • A gondolkodási módszerek témakör átszövi az egész tananyagot. Külön óraszámot azért biztosítottunk rá, mert

szükséges lehet, hogy egy-egy részletének a hangsúlyozására legyen elég idő. • Logikai szita formula.

Valós számkör, műveletek, algebra, számelmélet 9. K


Cél • A matematikai szimbólumok elmélyítése, alkalmazása különböző problémák lejegyzésére. • Nevezetes összefüggések, azonosságok megismerése és alkalmazása. • A hatványozás értelmezésének kiterjesztése egész kitevőkre. • A tanult számelméleti ismeretek áttekintése, alkalmazása algebrai kifejezéseket tartalmazó feladatokban. • A bizonyítási igény fejlesztése.

Követelmény • Tudja és értse a tanuló az algebrai egész és törtkifejezés fogalmát, tudja azok célszerű átalakítását elvégezni,

helyettesítési értéküket kiszámítani. • Ismerje a nevezetes azonosságokat és legyen képes alkalmazni egyszerűbb feladatok megoldásában. • Tudja az egész kitevőjű hatvány fogalmát, értse és igazolja a hatványozás azonosságait. • Az oszthatósági alapismeretek: prímtényezős felbontás, osztó, többszörös, legnagyobb közös osztó, legkisebb

közös többszörös egyszerű feladatokban történő alkalmazása, relatív prím. • Oszthatósági szabályok. • Tudja alkalmazni a tanult számelméleti ismereteket, a műveleti és algebrai azonosságokat, valamint a

hatványozás azonosságait algebrai kifejezést tartalmazó oszthatósági feladatok megoldása esetén. • Számelmélet alaptételét ismerje. • Számrendszerek, átváltás 10-es számrendszerből 2-es alapú számrendszerbe és viszont.

Előzmény • Az előző nyolc év e témákhoz kapcsolódó követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Arány, százalékszámítás • Abszolútérték fogalma • Pozitív egész 0 és negatív egész kitevőjű hatványozás, a hatványozás azonosságainak konkrét számolásban

való felismerése után azok általános megfogalmazása. A zsebszámológép használata hatványok meghatározásánál.

• Arány, aránypár, egyenes arányosság, fordított arányosság fogalma, a százalékszámítás fogalmai: alap, százalékláb, százalék; ezek használata feladatmegoldásokban.



• Algebrai egész és törtkifejezések átalakításai (kiemelés, beszorzás, összevonás). Helyettesítési érték. • Nevezetes azonosságok: kéttagú betűkifejezések 2. hatványa, háromtagú kifejezés négyzete, a2 – b2,

a3-b3, a3+ b3. • Szorzattá alakítás kiemeléssel, csoportosítva kiemeléssel, nevezetes azonosságokkal. • Algebrai törtek (értelmezési tartománya, egyszerűsítése, összevonása, szorzása, osztása.)

• Prímszám, összetett szám fogalma, relatív prímek. Számok prímtényezős felbontása. • Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös fogalma, kiszámításának módja, felhasználásuk a

törtekkel végzett műveleteknél. • Oszthatósági szabályok (2-vel, 4-gyel, 8-cal, 5-tel, 25-tel, 100-zal, 3-mal, 9-cel). • Oszthatósági feladatok (a tanult algebrai azonosságok alkalmazása is).

Egyenletek, egyenlőtlenségek 9. K


Cél • Értő-elemző olvasás fejlesztése. • Különböző problémák matematikai modelljének felírása. • Ellenőrzés igényének fejlesztése. • Szövegértelmezés, szöveges feladatok.

Követelmény • Tudjon elsőfokú- és elsőfokúra vezető törtes egyenleteket és egyenlőtlenségeket megoldani. • Legyen képes százalékszámítási és kamatszámítási feladatok önálló megoldására. • Szöveges feladatok.

Tartalom • Az egyenlet fogalma, azonosságok, alaphalmaz, az ellenőrzés szerepe. • A mérlegelv alkalmazása lineáris egyenletek megoldásánál, a megoldás ellenőrzése. • Törtegyütthatós lineáris egyenletek • Törtes egyenletek, algebrai megoldása és ellenőrzése. Alaphalmaz, igazsághalmaz. • Egyenletek ekvivalenciája. Hamis gyök. • Fizikai és kémiai képletekből a különböző mennyiségek kifejezése. • Elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok (mozgási, munkavégzéssel kapcsolatos, számjegyekkel

kapcsolatos, ill. keverési feladatok), az adatok táblázatba rendezése, a megoldás ellenőrzése. • Százalék- és kamatszámítási feladatok. Példák a gazdasági élet területéről is. • Szöveges feladatok megoldása. Ellenőrzés a szöveg alapján. • Egyenes és fordított arányosság. • Egyszerűbb abszolútértéket tartalmazó egyenletek.

Függvények, függvénytranszformációk 9. K


Cél • Függvényszemlélet fejlesztése. • A matematika különböző területeinek összekapcsolása • A különböző gyakorlati alkalmazások megmutatása.

Követelmény • Ismerje és tudja jellemezni a tanult alapfüggvényeket, legyen képes azok legegyszerűbb transzformációit

végrehajtani.



• Tudjon saját készítésű sablon alapján rendezett ábrát készíteni a vizsgált függvényekről. • Legyen képes a függvényekről tanultakat alkalmazni egyenletek megoldásában, természet- és

társadalomtudományos jelenségek, folyamatok leírásában.

Tartalom • Derékszögű koordinátarendszer. • Változó mennyiségek kapcsolata, ezek ábrázolása. • A függvény fogalma, megadási módjai, ábrázolásuk Venn-diagrammal, derékszögű koordinátarendszerben. • Az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalma, a függvények tulajdonságainak szemléletes leírása

(növekedés, fogyás, zérushely, szélsőérték, paritás). • Elsőfokú függvények, a bennük szereplő paraméterek jelentésének megfogalmazása konkrét függvények

vizsgálata után. • Az abszolútérték-, a négyzet- és az a/x függvény ábrázolása, tulajdonságaik, egyszerűbb, konkrét

transzformáltjaik ábrázolása, ezek tulajdonságainak vizsgálata. • Az egyenes arányosság, a fordított arányosság fogalma, a függvény jellemzői, ábrázolása. • Elsőfokú-, másodfokú-, abszolútérték-, törtfüggvényre vezető egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus

megoldása. • Egészrész- és törtrész függvény, szignum függvény fogalma, ábrázolása.

Alakzatok, geometriai mértékek, szerkesztések, bizonyítások 9.K


Cél • A már tanult síkbeli és térbeli alakzatok ismétlése és újabb alakzatok megismerése. • Az alakzatok jellemzőinek, tulajdonságainak mértékeinek rendszerező áttekintése, kapcsolatok, össze-

függések felfedezése, rögzítése. • A bizonyítás, cáfolás, ellenpélda lényegének megmutatása. • A definíció fogalmának mélyítése. • Pontos munkára nevelés szerkesztések kapcsán. • Esztétikus külalak igényének kialakítása. • Vázlat, megoldási terv szerepének megmutatása.

Követelmény • Nevezetes mértani helyek: kör, gömb, szögfelező, szakaszfelező merőleges. • A tanuló tudja a háromszög megadási módjait; szerkesztésének feltételeit. • Ismerje a háromszög szögei és oldalai közötti összefüggéseket. • Ismerje a háromszög nevezetes vonalait, pontjait, köreit, tudja megszerkeszteni azokat. • Tudja a sokszög szögösszegének, átlói számának meghatározását. • Igényes kivitelű szerkesztés, törekvés a diszkusszióra. • Pitagorasz- és Thalész-tétel, valamint bizonyításuk és megfordításuk ismerete. • A háromszöggel kapcsolatos tételek biztos ismerete és a bizonyításokban való jártasság.

Tartalom • Axiómák és alapfogalmak fontossága. • Szögek nagyság szerinti csoportosítása, nevezetes szögpárok. • Háromszögek jellemzői, csoportosításuk. • A háromszögek egybevágóságát biztosító alapesetek megfogalmazása, háromszögszerkesztések. • A szerkesztési feladat lépései, a diszkusszió. • Összefüggések a háromszög szögei között, oldalai között, a derékszögű háromszög oldalai között (Pitagorasz-

tétel alkalmazása egyszerűbb feladatokban). • A háromszögekben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. • Thalész-tétel • Sokszögek, szabályos sokszögek. Alaptulajdonságaik. • Négyszögek fajtái és tulajdonságai.



• Konvex sokszög belső szögeinek összege, átlóinak száma. Összefüggés sokszögek külső és belső szögei között.

• Nevezetes ponthalmazok a síkban: szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, ponthalmazok a koordinátasíkon. • Háromszögek nevezetes vonalai: oldalfelező merőlegesek, szögfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak,

súlypont. • Beírt kör középpontja, köré írt kör középpontja, magasságpont. • A háromszög beírt köre, köré írt köre., hozzáírt köre. • A definíció, a tétel, a tétel megfordítása, „akkor és csak akkor” használata. • A fentiek felhasználása egyszerűbb szerkesztéses és bizonyításos feladatokban.

Kombinatorika, valószínűség, statisztika 9. K


Cél • Tapasztalatszerzés kombinatorikai feladatoknál az összes eset rendezett felsorolásában összeszámolásában. • Kombinatorikus gondolkodás továbbfejlesztése • Kockadobással, pénzérmékkel végzett valószínűségi kísérletek. A tapasztalatok táblázatba foglalása,

grafikonnal való ábrázolása, a relatív gyakoriság és a tapasztalatok értelmezése. • Statisztikai adatok helye. A valós értelmezés, értékelés, ábrázolása, jellemzők leolvasásának megtanítása.

Követelmény • Valószínűségi kísérletek kimenetelére becslés adása. • Tudja a statisztikai adatokat táblázatba gyűjteni, ábrázolni. • Tudjon helyesen értelmezni különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatokat.

Tartalom • Kísérletek végzése, a kimenetel vizsgálata. • Gyakoriság, relatív gyakoriság kiszámítása konkrét példák kapcsán. • Gyűjtött adatok rendszerezése, ábrázolása (kördiagram, oszlopdiagram) • Statisztikai jellemzők (számtani közép, módusz, medián, terjedelem) keresése, megfogalmazása. • Különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatok értelmezése • Változatos kombinatorikai feladatok megoldása során a módszer fontosságának hangsúlyozása az összes

lehetőség megkeresésekor. Sorbarendezés, kiválasztás • A biztos esemény, a lehetetlen esemény fogalmának kialakítása példák alapján.



Matematika 10 10. K Halmazok,logika Kombinatorika Számkörök, műveletek. Algebra. Egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú függvények, szögfüggvények Geometriai alakzatok, mértékek Geometriai bizonyítások Geometriai transzformációk Valószínűség, statisztika Rendszerező összefoglalás

Óraszám Iskolai: 130 óra Tanítási ciklus: 3,5 óra / 1 hét

Cél • A valós számkörben végzett műveletek hibátlan elvégzése. • Az egyenlet megoldási módszerek alkalmazása szöveges feladatokban • Eljárások, algoritmusok erősítése gyakorlati feladatok megoldása. • A függvény- és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása koordinátarendszerben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása.

Követelmény • A valós számkör fogalmának és a benne végzett műveleteknek a biztos tudása. • Jártasság az algebrai kifejezésekkel, a halmazokkal, a vektorokkal való műveletek elvégzésében. • Tudja a hatványozás, a négyzetgyök és az n-edik gyök fogalmát, azonosságait, legyen járatos alkalmazásaiban,

egyszerű esetekben. • Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszerek, egyszerűbb másodfokú

egyenletek megoldása, a megoldás ellenőrzése. • Jártasság egyszerű szöveges feladatok megoldásában. • A tanult függvények fogalmának ismerete, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben, tulajdonságaik

leolvasása, egyszerű transzformáltjaik megrajzolása. • A tanult alakzatok - definíciójának - jellemzőinek, mértékeinek biztos tudása. • A geometriai transzformációk és jellemzőik biztos ismerete, alkalmazásuk szerkesztési, bizonyítási

feladatokban. • Hasonlóságon alapuló geometriai tételek. • A tanult tételek biztos tudása, jártasság ezek bizonyításában és alkalmazásaikban. • A halmaz- és függvényszemlélet fejlesztése a rendszerezés alapján is. • Szögfüggvények fogalma, alkalmazása derékszögű háromszögben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, a valószínűségi szemlélet fejlesztése.

Előzmény Az első 9 év követelményeinek megfelelő szintű teljesítése.

Tartalom Az első 9. év tananyagának folyamatos ismétlése mellett, • hatványozás egész kitevővel • a valós számkör, irracionális számok • a négyzetgyök azonosságai • az n-edik gyök fogalma és azonosságai konkrét számpéldákkal • lineáris egyenletrendszer, egyenlőtlenség, abszolútértékes egyenletek, paraméteres lineáris egyenletek • másodfokú egyenletek megoldása, • nevezetes algebrai azonosságok ismétlése, kiegészítve kéttagú összeg és különbség köbével • egybevágósági transzformációk,



• a párhuzamos szelők tétele, a derékszögű háromszögek hasonlósága, • háromszögekre vonatkozó tételek (Pitagorasz- és Thalész-tétel) sokszögekre vonatkozó ismeretek,

középvonalak • körrel kapcsolatos ismeretek, • hegyesszögre vonatkozó trigonometriai alapismeretek, • vektorok a síkon és a koordinátasíkon, • kombinatorikai feladatok, módszerek • valószínűségi és statisztikai alapfogalmak előkészítése.

Tananyagbeosztás:

I. Gondolkodási módszerek: 7 óra 1.Halmazok, logika (3 óra) 2.Kombinatorika (4 óra)

II. Számtan, algebra: 49 óra 1.Számkörök, műveletek. Algebra (16 óra) 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek (33 óra)

III. Függvények: 10 óra 1.Másodfokú függvények, szögfüggvények (10 óra)

IV. Geometria: 50 óra 1.Geometriai alakzatok, mértékek (20 óra) 2.Geometriai bizonyítások (5 óra) 3.Geometriai transzformációk (25 óra)

V. Valószínűség, statisztika: 6 óra VI. Rendszerező összefoglalás: 8 óra


Értékelés • Házi feladatok alapján. • Szóbeli feleletek, rövid írásbeli dolgozatok alapján. • Házi dolgozatok (kutatási feladatok kapcsán) értékelése. • Választott és önállóan feldolgozott versenyfeladatok vagy matematikatörténeti érdekességekből tartott

kiselőadások alapján. • Négy egy órás témazáró dolgozat alapján.

Halmazok, logika 10. K

Óraszám Iskolai: 3 óra

Cél • Halmazokról tanultak alkalmazása az első tíz év anyagának rendszerező áttekintésére. • A logika elemeinek, nyelvének helyes és pontos használata. • Újabb bizonyítási módszerekkel való ismerkedés.

Követelmény • A legegyszerűbb halmazműveletek ismerete és konkrét feladatok megoldásában való felhasználása. • Tájékozottság a "skatulyaelv", a teljes indukció és a szitamódszer (logikai szita) legfontosabb jellemzőiről.

Előzmény E témában a 9. osztály végéig tanultak követelményeinek teljesítése.

Tartalom • A halmazokról, halmazműveletekről tanultak alkalmazása más tananyagegységekben. • A nyelv logikai elemeinek helyes használata.



• A logikai szita, mint bizonyítási módszer bemutatása konkrét egyszerűbb feladatok kapcsán. • Az indirekt bizonyítás

Kombinatorika 10. K


Cél • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • Az összes megoldás megkeresésével kapcsolatos igény fejlesztése. • A matematika szépségének bemutatása.

Követelmény • Legyen képes a tanuló módszeresen megkeresni adott (kevés) elemszám esetén az összes lehetséges sorrendet.

(Permutációk) • Legyen képes néhány elemű halmaz összes lehetséges részhalmazát felsorolni, a részhalmazok számát

felsorolás nélkül is megadni (Kombinációk).

Előzmény Az első 9 év során összegyűjtött tapasztalatok, módszerek ismerete, a követelmények teljesítése.

Tartalom • Egyszerű kombinatorikus feladatok. • Ismerkedés a Pascal-háromszöggel kis n-ek esetén. • Adott kis elemszám esetén a sorrendek összeszámolása. Permutációk, variációk. • Adott kis elemszám esetén részhalmazok kiválasztása az összes lehetséges módon. • Kiválasztási és sorrendi kérdéseket tartalmazó érdekes feladatok megoldása.

Számkörök, műveletek. Algebra. 10.K


Cél • Számolási készség fejlesztése a valós számkörben. • Az algebrai kifejezésekkel végzett műveletek értő elvégzése. • Nevezetes összefüggések alkalmazása gyakorlati példákban.

Követelmény • Értse a valós szám fogalmát. Tudja igazolni, hogy négyzetgyök 2 irracionális szám. • Tudja elvégezni helyes sorrendben a tanult műveleteket a valós számok körében: alapműveletek,

négyzetgyökvonás, hatványozás. Legyen tisztában a zárójel használatával. • n-edik gyökvonás fogalma és azonosságai • Tudja meghatározni egyszerű esetekben az algebrai kifejezés értelmezési tartományát.

Tartalom • Ismétlés: egész kitevőjű hatványok (0 és negatív kitevő). • A hatványozás azonosságai és igazolásuk. • A számok normálalakja. • Gyakorlati alkalmazások. Kerekítés. Közelítő érték. • Példák irracionális számokra. • A négyzetgyök fogalma, azonosságai, műveletek négyzetgyökökkel. (kivitel, bevitel, gyöktelenítés),

a számológép használata



• A négyzetgyök 2 irracionális szám. Az indirekt bizonyítás • Az n-edik gyök fogalma, azonosságai, műveletek n-edik gyökkel (Csak számokkal)

Egyenletek, egyenlőtlenségek 10.K


Cél • Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során a mérlegelv mellett a tanult azonosságok alkalmazása. • Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz, igazsághalmaz vizsgálata. • A másodfokú egyenletek megoldási módjainak megismerése. • Másodfokú összefüggésekre vezető feladatok a természet- és társadalomtudományok és a gazdasági

számítások köréből. • Szélsőérték problémák megoldásával való ismerkedés.

Követelmény • Tudjon elsőfokú- és elsőfokúra vezető törtes egyenleteket és egyenlőtlenségeket megoldani. • Tudjon elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani.

• Tudja alkalmazni a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Értse a diszkrimináns szerepét. • Tudjon megoldani másodfokú egyenletre -, egyenlőtlenségre vezető feladatokat. • Tudja a szöveges feladatokat megfogalmazni a matematika nyelvén. • Alakuljon ki az önellenőrzés igénye.

Előzmény • Lineáris egyenletek, és törtes egyenletek megoldása. Szöveges feladatok megoldása.

Tartalom • Ismétlés szinten a lineáris egyenletek. • Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megoldásuk algebrai (behelyettesítő módszer, egyenlő

együtthatók módszere, új ismeretlen bevezetése) és grafikus úton. • Lineáris egyenlőtlenségek megoldása. • Abszolútértékes egyenletek (nehezebb) • Egyszerűbb paraméteres elsőfokú egyenletek megoldása diszkusszióval. • Nevezetes szorzatok. Összeg és különbség harmadik hatványa. A tanult nevezetes azonosságok ismétlése. • Másodfokú egyenletek szorzat alakja teljes négyzetté alakítással. • Másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet. A diszkrimináns. • Szöveges feladatok. • Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között (harmonikus és négyzetes közép)

Felhasználásuk egyszerűbb szélsőérték-feladatok megoldásában.

Másodfokú függvények, szögfüggvények, trigonometrikus fgv.-ek 10.K


Cél • A függvényszemlélet erősítése. • Szövegek lefordítása a matematika nyelvére, a talált összefüggések ábrázolása derékszögű koordináta-

rendszerben. • A hegyesszög szögfüggvényeinek megismerése.



Követelmény • Tudja ábrázolni a másodfokú és a négyzetgyök-függvényt, legyen képes szemléltetni tulajdonságait,

jellemzőit. • Legyen képes a másodfokú és a négyzetgyök- függvény egyszerű transzformációit elvégezni. • Értse és tudja a szögfüggvények definícióját, hegyesszögre.

Tartalom • Másodfokú függvények és vizsgálatuk (ismétlésként). • A négyzetgyök függvény ábrázolása, vizsgálata, transzformációi. • Szélsőérték számítások. • Hegyesszögek szögfüggvényei (definíciók) és összefüggéseik. • Pótszögek szögfüggvényei. • Pitagoraszi összefüggés. • Nevezetes hegyesszögek pontos szögfüggvényértéke. • Derékszögű háromszög, szabályos sokszög adatainak számítása. • Szögfüggvények közötti összefüggések. • Számítások derékszögű háromszögben, szabályos sokszögekben.

Geometriai alakzatok, mértékek, bizonyítások 10. K


Cél A témában eddig tanultak rendszerező összefoglalása és kiegészítése. • A tanulók bizonyítási igényének fejlesztése. • A pontos, logikus következtetések egymásra épülése a bizonyítás során. • A gondolkodás szépségének, eredményességének megmutatása.

Követelmény • Tudja a háromszögek, négyszögek, sokszögek definícióját, jellemzőit, kerület- és területszámítási módjait. • Ismerje és alkalmazza szerkesztési és bizonyításos feladatokban a háromszög nevezetes vonalairól, pontjairól

tanultakat. • Tudja kiszámítani ismert alakzatok kerületét, területét. • Tudja meghatározni ismert és tanult geometriai alakzatok kölcsönös helyzetét, kiszámítani hajlásszögüket,

távolságukat. • Tudja a párhuzamos szelők tételét, megfordítását, szelőszakaszok tételét

Tartalom • Háromszögekről, négyszögekről, sokszögekről tanult ismeretek áttekintése. • Háromszögek, négyszögek középvonalai. • Kör és részei. • A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk területe. • Szögek mérése fokban, radiánban. • Összefüggés sokszögek külső és belső szögei között. • Vektor fogalma, vektorok összeadása, kivonása, szorzása számmal. • Pitagorasz tétele és megfordítása, alkalmazása feladatok megoldásában.. • Thalész- tétel • Thalész-tétel megfordítása. • Érintőszerkesztési feladatok. • Vázlat, megoldási terv készítése. • Thalész-tétel felhasználása egyszerűbb bizonyításos feladatokban. • Egyszerűbb testek méretes vonatkozásai: térelemek távolsága és szöge a kocka, téglatest, tetraéder, szabályos

gúlák esetében. • A háromszög különböző területképletei. • Párhuzamos szelők tétele és a tétel megfordítása. • Szelőszakaszok tétele.



Geometriai transzformációk 10. K


Cél • Az egybevágósági transzformációk áttekintése. • A hasonlósági transzformáció fogalmának megismerése.

Követelmény • Legyen képes a szerkesztések pontos kivitelezésére, vázlat készítésére. • Legyen képes a tanult geometriai transzformációk rendszerező áttekintésére, összefoglalására. • Tudja az alakzatok egybevágóságának feltételeit. • Vegye észre adott esetben a különböző alakzatok szimmetriáit. • Tudja az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, tulajdonságait. • Tudja a geometriai transzformációkról tanultakat alkalmazni szerkesztési, bizonyításos és számítási feladatok

megoldása során. • Ismerje meg a vektor számmal szorzását, a vektorok felbontását a síkban • Tudjon vektorokkal műveleteket végezni a koordináta-rendszerben.

Tartalom • Példák különböző geometriai transzformációkra. • A geometriai transzformáció fogalma. • Fixpontok, invariáns alakzatok. • Példák nem egybevágósági transzformációkra; merőleges vetítés, pontból vetítés. • Egybevágósági transzformációk • A tengelyes tükrözésről tanultak átismétlése. • Középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, tulajdonságaik, alkalmazásuk szerkesztési feladatokban. • Középpontosan szimmetrikus alakzatok, forgásszimmetrikus alakzatok, szabályos sokszögek. • Eltolás, az eltolás tulajdonságai. • Alakzatok (háromszögek, sokszögek, kör) egybevágóságának feltételei. • Szimmetrikus alakzatok • Szerkesztési feladatok transzformációkkal (diszkusszió). • A paralelogramma és tulajdonságai, ekvivalens definíciók. • A háromszög, a paralelogramma és a trapéz középvonala. • A vektor fogalma, összeadása, kivonása, számmal való szorzása • Vektorok felbontása a síkon, a helyvektor fogalma. • Vektorok a koordinátasíkon. • Derékszögű háromszögek hasonlósága

Valószínűség, statisztika 10. K

Óraszám Iskolai: 5óra

Cél • A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása. • A valószínűség becslése és kiszámítása egyszerű esetekben. • Statisztikai adatok rendezése, jellemzése, ábrázolása. • Statisztikai témákhoz kapcsolódó ábrák értelmezése.

Követelmény • Tudja a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát, legyen képes kiszámítani egyszerű esetekben. • Találkozzon konkrét feladatok kapcsán a kombinatorikus valószínűségi modellel és a geometriai mértékkel

jellemezhető valószínűségi modellel (pl. lottó, totó).



Tartalom • Gyakoriság vizsgálata kísérletekkel. • Relatív gyakoriság fogalma. • A valószínűség személetes fogalma. • Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

Rendszerező összefoglalás 10. K


Cél • Az első tíz évben tanult ismeretek, fogalmak, összefüggések, eljárások, algoritmusok, tételek, bizonyítások

rendszerezett áttekintése, átismétlése. • Különböző matematikai témakörök kapcsolatának bemutatása konkrét feladatokon keresztül. • Feladatok a való életből a matematika hasznosságának igazolására.

Követelmény • Az első tíz évben megfogalmazott tananyag ismeretéhez kapcsolódó követelmények teljesítése, a rugalmas,

fegyelmezett gondolkodás kialakulása. • Az életkornak megfelelő szóbeli és írásbeli kommunikációs készség kialakulása. • Problémahelyzetekben törekvés a helyes megoldás keresésére.



Matematika 11 11.K Halmazok, logika Kombinatorika Algebra. Egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú függvények, szögfüggvények Geometriai bizonyítások Geometriai transzformációk Valószínűség, statisztika Rendszerező összefoglalás

Óraszám Iskolai: 111 óra Tanítási ciklus: 3 óra / 1 hét

Cél • A valós számkörben végzett műveletek hibátlan elvégzése. • A tanult témák rendszerező áttekintése, egymással és a gyakorlati élettel való kapcsolatának megmutatása. • A tanult fogalmak, tételek, bizonyítások összefoglalása. • Eljárások, algoritmusok erősítése gyakorlati feladatok megoldása. • A függvény- és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása koordinátarendszerben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása.

Követelmény • A valós számkör fogalmának és a benne végzett műveleteknek a biztos tudása. • Jártasság az algebrai kifejezésekkel, a halmazokkal, a vektorokkal való műveletek elvégzésében. • Tudja a hatványozás, a négyzetgyök és az n-edik gyök fogalmát, azonosságait, legyen járatos alkalmazásában,

egyszerű esetekben. • A racionális kitevőjű hatvány fogalma és azonosságainak ismerete. • Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása, a

megoldás ellenőrzése. • Jártasság szöveges feladatok megoldásában. • A tanult függvények fogalmának ismerete, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben, tulajdonságaik

leolvasása, egyszerű transzformáltjaik megrajzolása. • A tanult alakzatok - definíciójának - jellemzőinek, mértékeinek biztos tudása. • A geometriai transzformációk és jellemzőik biztos ismerete, alkalmazásuk szerkesztési, bizonyítási

feladatokban. • Hasonlóságon alapuló geometriai tételek. • A tanult tételek biztos tudása, jártasság ezek bizonyításában és alkalmazásaikban. • A halmaz- és függvényszemlélet fejlesztés a rendszerezés alapján is. • Szögfüggvények fogalma, alkalmazása. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, a valószínűségi szemlélet fejlesztése.

Tartalom Az első 10. év tananyagának folyamatos ismétlése mellett, • a négyzetgyök azonosságai • az n-edik gyök fogalma és azonosságai, • a racionális kitevőjű hatvány fogalma és azonosságai • másodfokú egyenlőtlenségek és megoldásuk, paraméteres feladatok • Viéte- formulák • irracionális egyenletek • középpontos hasonlóság, hasonló alakzatok és ezek kerülete, területe, • párhuzamos szelők tétele, • háromszögekre vonatkozó tételek (szögfelező tétel, derékszögű háromszögben magasság-, befogó-tétel) • háromszögek területének kiszámítási módjai, • trigonometriai alapismeretek,



• vektorok a koordinátasíkon, • kombinatorikai feladatok, módszerek • valószínűségi és statisztikai alapfogalmak.

Tananyagbeosztás:

I. Gondolkodási módszerek: 9 óra 1.Halmazok, logika (3 óra) 2.Kombinatorika (6 óra)

II. Algebra, egyenletek 40 óra 1.Algebra (13 óra) 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek (27 óra)

III. Geometria: 52 óra 1.Geometriai transzformációk (26 óra) 2.Vektorok, trigonometria (26 óra)

IV. Valószínűség, statisztika: 6 óra V. Rendszerező összefoglalás: 4 óra VI. Témazáró dolgozatok írása és értékelése: 8 óra


Értékelés • Házi feladatok alapján. • Szóbeli feleletek, rövid írásbeli dolgozatok alapján. • Házi dolgozatok (kutatási feladatok kapcsán) értékelése. • Választott és önállóan feldolgozott versenyfeladatok vagy matematikatörténeti érdekességekből tartott

kiselőadások alapján. • Négy egy órás témazáró dolgozat alapján.

Halmazok, kombinatorika, valószínűség számítás 11.K


Cél • Halmazokról tanultak alkalmazása az első tíz év anyagának rendszerező áttekintésére. • A logika elemeinek, nyelvének helyes és pontos használata. • Újabb bizonyítási módszerekkel való ismerkedés. • A kombinatorika egyszerű feladataival, módszereivel a problémafelismerő és megoldó képesség fejlesztése. A

feladatokkal a matematika érdekes voltának, gyakorlati használhatóságának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés.

• Az ismétléses és ismétlés nélküli permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

• A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása. • A valószínűség becslése és kiszámítása egyszerű esetekben. • Statisztikai adatok rendezése, jellemzése, ábrázolása. • Statisztikai témákhoz kapcsolódó ábrák értelmezése.

Követelmény • A teljes indukció módszere. • Ismerjék a permutációt, variációt ismétlés nélküli és ismétléses esetekben, valamint a kombinációt ismétlés

nélküli esetben. Egyszerű feladatokban tudják ezeket alkalmazni. • Ismerjék a binomiális együtthatók fogalmát • Ismerjék a Pascal háromszöget és tulajdonságait. • Tudja a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát, legyen képes kiszámítani egyszerű esetekben.



• Találkozzon konkrét feladatok kapcsán a kombinatorikus valószínűségi modellel és a geometriai mértékkel jellemezhető valószínűségi modellel (pl. lottó, totó).

Előzmény Az előző tanévekben szereplő halmazelmélet és matematikai logika, kombinatorika elemeinek ismerete.

Tartalom • Vegyes összeszámlálási feladatok, permutációk, variációk, kombinációk (ismétlés nélküli és általános esetben

is). • n elemű halmaz részhalmazainak száma • Binomiális együtthatók és tulajdonságai, kiszámolásuk. • A Pascal háromszög és tulajdonságai. • A teljes indukció módszere, és alkalmazása feladatokban • Gyakorisági vizsgálatok kísérletekkel, relatív gyakoriság. • A relatív gyakoriság változásának ábrázolása növekvő elemszám függvényében. • A valószínűség szemléletes fogalma, kapcsolata a relatív gyakorisággal. • A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja: kedvező esetek száma/összes lehetséges eset száma. • Egyszerűbb feladatok megoldása.

Számkörök, műveletek. Algebra. 11.K


Cél • Számolási készség fejlesztése a valós számkörben. • Az algebrai kifejezésekkel végzett műveletek értő elvégzése. • Nevezetes összefüggések alkalmazása gyakorlati példákban.

Követelmény • Tudja elvégezni helyes sorrendben a tanult műveleteket a valós számok körében: alapműveletek,

négyzetgyökvonás, hatványozás. Legyen tisztában a zárójel használatával. • n-edik gyökvonás azonosságai, műveletek n-edik gyökkel • Tudjon racionális kitevővel hatványozni. • Legyen járatos az egyszerű algebrai kifejezésekkel végzett alapműveletekben. • Tudja meghatározni az algebrai kifejezés értelmezési tartományát. • Tudja a tanult azonosságokat felhasználni másodfokú algebrai kifejezések egyszerűbbé-tételében. • Tudja kifejezni adott egyszerű képletek esetén a bennük szereplő változót.

Előzmény Az előző 10 év során e témában tanultak megfelelő szintű ismerete, a témához kapcsolódó követelmények teljesítése.

Tartalom • Algebrai egész és törtkifejezések, és ezek célszerű átalakításai a műveleti tulajdonságok és a tanult

azonosságok felhasználásával. • Algebrai kifejezések helyettesítési értéke, értelmezési tartománya. • Az n-edik gyök azonosságai, műveletek n-edik gyökkel • Hatványozás racionális kitevőre (permanencia elv), azonosságai.



Egyenletek, egyenlőtlenségek 11.K


Cél • A függvényszemlélet erősítése. • Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során a mérlegelv mellett a tanult azonosságok alkalmazása. • Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz, igazsághalmaz vizsgálata. • A másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módjainak megismerése. • Másodfokú összefüggésekre vezető feladatok a természet- és társadalomtudományok és a gazdasági

számítások köréből. • Szélsőérték problémák megoldásával való ismerkedés.

Követelmény • Tudja ábrázolni a másodfokú függvényt, legyen képes szemléltetni tulajdonságait, jellemzőit. • Legyen képes a másodfokú függvény egyszerű transzformációit elvégezni. • Ismerje az n-edik gyök függvényt, tulajdonságait. • Ismerje a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. • Gyöktényezős alak. • Tudjon megoldani másodfokú egyenletre -, egyenlőtlenségre vezető feladatokat. • Tudja a szöveges feladatokat megfogalmazni a matematika nyelvén. • Alakuljon ki az önellenőrzés igénye. • Másodfokú törtes egyenletek, másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek.

Előzmény • Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek és törtes egyenletek megoldása. Szöveges feladatok megoldása. • A másodfokú egyenlet megoldóképlete, diszkriminánsa • A témához kapcsolódó első 10 év követelményeinek teljesítése.

Tartalom • Ismétlés szinten: Nevezetes szorzatok. Másodfokú egyenletek szorzat alakja teljes négyzetté alakítással.

Másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet. • Másodfokú egyenletek gyöktényezős alakja, Viéte-formulák. • Másodfokú függvények és vizsgálatuk (ismétlésként). • Szélsőérték számítások. • Az n-edik gyök függvény, tulajdonságai • Egyszerűbb másodfokú egyenlőtlenségek. • Másodfokúra visszavezethető egyszerűbb egyenletek. • Szöveges feladatok. • Paraméteres másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek vizsgálata. • Irracionális egyenletek • Grafikus megoldások • Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások • Az ellenőrzés szerepének kiemelése.

Vektorok,trigonometria 11.K Óraszám Iskolai: 26 óra Cél

• Tudjon bánni a vektorokkal a koordináta rendszerben • Ismerje a trigonometrikus függvényeket. • Ismerje a trigonometrikus szögfüggvények közti összefüggéseket



Követelmény • Tudjon műveleteket végezni vektorokkal a koordináta rendszerben. • Értse és tudja a szögfüggvények definícióját hegyesszögre és forgásszögre. • Értse és tudja a szögfüggvények definícióját hegyesszögre és forgásszögre. • Trigonometrikus függvények grafikonjai, jellemzése, transzformációi. • Tudjon megoldani egyszerűbb trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket.

Tartalom • Vektorok a koordináta rendszerben: A vektor hossza, irányszöge, az egységvektor, párhuzamos és merőleges

vektorok, osztópontok koordinátái. • Forgásszög szögfüggvényei, szögfüggvények tulajdonságai, • Forgásszög szögfüggvényei, szögfüggvények tulajdonságai, függvények ábrázolása, transzformációi és

jellemzései, alkalmazása egyszerűbb egyenletekben, egyenlőtlenségekben. • Szögfüggvények közötti összefüggések. • Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. • Szögfüggvények közötti összefüggések.

Geometriai alakzatok, mértékek 11.K


Cél • A tanulók bizonyítási igényének fejlesztése. • A pontos, logikus következtetések egymásra épülése a bizonyítás során. • A gondolkodás szépségének, eredményességének megmutatása. • Az egybevágósági transzformációk áttekintése. • A hasonlósági transzformáció fogalmának és tulajdonságainak, a hasonló alakzatoknak a megismerése.

Követelmény • Tudja a párhuzamos szelők tételét, megfordítását, szelőszakaszok tételét (utóbbit bizonyítással). • Tudja a szögfelező osztásarányát, ismerje a bizonyítást. • Ismerje a derékszögű háromszögben a befogó-és magasságtételt, Ismerje bizonyításukat. • Ismerje az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, tulajdonságait. • Tudja a geometriai transzformációkról tanultakat alkalmazni szerkesztési, bizonyításos és számítási feladatok

megoldása során.

Előzmény • Párhuzamos szelők tétele, megfordítása, derékszögű háromszögek hasonlósága, szögfüggvények a derékszögű

háromszögben.

Tartalom • Ismétlés: A párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele • A szögfelező osztásaránya. • Befogótétel. Magasságtétel • Irracionális mérőszámú szakaszok szerkesztése. • A tételek alkalmazása feladatokban. • Egybevágósági transzformációk ismétlése konkrét feladatok kapcsán. • Középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. • A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai. • Hasonló alakzatok. • Háromszögek hasonlóságának alapesetei. • A háromszög területképletei. • Hasonló alakzatok kerület-, terület- és térfogataránya. • Kerületi és középponti szögek, látókörív. • Érintő- és húrnégyszögek



Rendszerező összefoglalás 11.K


Cél • Az első tizenegy évben tanult ismeretek, fogalmak, összefüggések, eljárások, algoritmusok, tételek,

bizonyítások rendszerezett áttekintése, átismétlése. • Különböző matematikai témakörök kapcsolatának bemutatása konkrét feladatokon keresztül. • Feladatok a való életből a matematika hasznosságának igazolására. • Segítségnyújtás a pályairány megválasztásához.

Követelmény • Az első tíz évben megfogalmazott tananyag ismeretéhez kapcsolódó követelmények teljesítése, a rugalmas,

fegyelmezett gondolkodás kialakulása. • Az életkornak megfelelő szóbeli és írásbeli kommunikációs készség kialakulása. • Problémahelyzetekben törekvés a helyes megoldás keresésére.

Előzmény A matematika műveltség területén az első 11 évre megfogalmazottak teljesítése.

Tartalom Az első tizenegy évben tanultak legfontosabb, legalapvetőbb részeinek kiemelése, a témakörök közötti kapcsolatok megmutatása sokszínű, érdekes gyakorlati és matematikai alkalmazásokon keresztül.



Matematika 12 12.K

Részei Halmazok, matematikai logika elemei Kombinatorika Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek Függvények Vektorok, trigonometria Koordináta-geometria Valószínűségszámítás, statisztika Ismétlés, a felhasználható további órakeret

Óraszám Iskolai: 111 óra Tanítási ciklus 3 óra / 1 hét

Cél • Logikus gondolkodásra, elemi következtetésekre, szöveges indoklásokra (okfejtésre) azoknak a tanulóknak is

szükségük van, akik felsőfokú tanulmányaik során nem matematika igényes stúdiumokon vesznek részt, sőt azoknak is, akik a középszintű érettségivel lezárják tanulmányaikat. A z e m e l t s z i n tű é r e t t s é g i r e n e m k é s z í t i f e l i s k o l á n k a z e z e n ( K ) t a n t e r v s z e r i n t t a n u l ó k a t !

• A helyes gondolkodás fejlesztéséhez ismeretekre van szükség. Az ismeretek az évek múltával elhalványulhatnak, de a tanulásuk során, az ismeretekhez kapcsolódó feladatok, problémák megoldása során a tanuló látásmódja fejlődik. A természettudományos, a technikai sőt a humán területek tanulmányozásához komoly segítséget nyújt a matematika, s annak nyelve.

• Azon tanulók számára, akik a későbbiekben humán területeken dolgoznak majd, komoly pozitív motivációt jelenthet, ha megmutatjuk a matematika és humán műveltség kapcsolatát, matematikatörténeti ismeretekkel fűszerezzük tanításunkat. Erre mód van a szöveges feladatok tanításakor, a trigonometria és az analitikus geometria tanításában is. Ehhez használjuk fel az iskolai könyvtárban megtalálható megfelelő enciklopédiákat lexikonokat, folyóiratokat, könyveket. a tanulók böngészhetnek az INTERNET-en is matematikatörténeti vonatkozásokat, életrajzi adatokat keresve.

• Ezen területek ugyanakkor alkalmat nyújtanak a matematika gyakorlati használhatóságának bemutatására is.

• A 12. évfolyamon elkezdődhet a különböző anyagrészek rendszerezése, folytatódhat az egyes tanult anyagrészek összekapcsolása (például az analitikus geometriában az algebra és a geometria összefésülése).

Követelmény • A tanulók ismerjék a permutáció, a variáció, a kombináció fogalmát, tudjanak egyszerűbb kombinatorikai

feladatokat megoldani. • Tudjanak másodfokúra visszavezethető, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket,

egyenlőtlenségeket megoldani, egyszerű azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, s miként lehet a fellépő hamis gyököket kiszűrni. Tudjanak egyszerű kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert megoldani. Ismerjék, hogy szöveges feladatokat hogyan lehet lefordítani a matematika nyelvére. Tudják, hogy a megoldásokat ellenőrizni kell.

• Ismerjék, hogy a hatványozás általánosításakor a permanencia elvét alkalmazzuk. Ismerjék az exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények definícióját, elemi tulajdonságait és ábráit.

• Zsebszámológép célszerű felhasználásával legyenek képesek megfelelő pontosságú számításokat végezni. • Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-

geometriában. Ismerjék a sinus- és cosinustételt, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni. • Tudják az egyenes, a kör tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési s egyszerű ponthalmaz keresési

feladatokat koordináta-geometriai módszerekkel megoldani. • Ismerjék a statisztikai alapfogalmakat, az átlag, modus, medián, szórás fogalmát, és tudják ezeket kiszámítani

konkrét számsokaság esetén • Tudjanak klasszikus valószínűségi feladatokat megoldani.



Előzmény A tanterv 11. osztály végéig előírt követelményeiben megfogalmazott, s a 12. osztály tanításakor szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszerű sort keríteni.)

Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 12 óra

1.Halmazok, matematikai logika elemei (4 óra) 2.Kombinatorika (8 óra)

II. Számtan-algebra: 25 óra 1.Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek (25 óra)

III. Függvények: 10 óra IV. Geometria: 32 óra

1. Vektorok, trigonometra (12 óra) 2. Koordináta-geometria (20 óra)

V. Valószínűségszámítás: 18 óra VI. Ismétlés, rendszerezés, összefoglalás 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 6 óra

Megjegyzés: A Tartalomban leírtak nem jelentenek tanítási sorrendet.

Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b) Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. rövid dolgozat 2. az év során három teljes órás felmérés, s ezeknek teljes órában történő értékelése.

Halmazok, matematikai logika elemei 12.K


Cél • A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböző területein: egyenleteknél,

függvényeknél, ponthalmazoknál. • A feltételek, a következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az

ekvivalencia, az implikáció, a konjukció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásakor.

Követelmény • A tanulók az egyszerű bizonyításokban az indukciós eljárások mellett értsék meg a deduktív következtetési

módszert. • Egyszerű bizonyításokat tudjanak reprodukálni. • Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehetőség, akkor

ellenőrzéssel igazolható, hogy egy gyök megoldás, ill. ellenőrzéssel szűrhető ki a hamis gyök.

Előzmény Az előző tanévekben szereplő halmazelmélet és matematikai logika elemeinek ismerete.

Tartalom • Negáció, konjunkció, diszjunkció és jelöléseik. • Implikáció, ekvivalencia és jelölésük. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Tétel és megfordítása. Megjegyzés: Az altémára szánt 4 órát a tanév során a különböző anyagrészekbe építve célszerű felhasználni.



Kombinatorika 12.K


Cél • A kombinatorika egyszerű feladataival, módszereivel a problémafelismerő és megoldó képesség fejlesztése. A

feladatokkal a matematika érdekes voltának, gyakorlati használhatóságának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés.

• Az ismétléses és ismétlés nélküli permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

• A gráfokkal kapcsolatos elemi ismeretek, s azok felhasználása a matematika különböző területein modell alkotásra.

• Annak ismerete, hogy a kombinatorika és gráfelmélet területén sok világhírű magyar matematikus tevékenykedett.

Követelmény • Ismerjék a permutációt, variációt ismétlés nélküli és ismétléses esetekben, valamint a kombinációt ismétlés

nélküli esetben. Egyszerű feladatokban tudják ezeket alkalmazni. • Ismerjék a binomiális együtthatók fogalmát • Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszerűbb feladatokat tudjanak

megoldani. • Ismerjék néhány magyar származású matematikus munkásságának lényegét, akik ezen a területen alkottak

Előzmény Kombinatorikából a korábban szereplő módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram alkalmazása, „szorzási és összeadási szabály”).

Tartalom • Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános esetben is). • A binomiális együtthatók és egyszerűbb tulajdonságaik. • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, egyszerű gráf, összefüggő gráf, fagráf) Fokszám tétel.. • Matematikatörténeti vonatkozások. A kombinatorika "magyar műhelye" : Kőnig Gyula és Kőnig Dénes, Erdős

Pál, Lovász László munkássága.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 12.K


Cél • Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási lehetőségeinek

megismerése. Ilyenekre vezető szöveges feladatok megoldása. • Egyszerű első- ill. másodfokúra visszavezethető exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenletek

megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltető egyenletekben a végtelen sok gyök ellenőrzési módjának megismerése.

Követelmény • Ismerjék meg, hogy miként lehet felismerni, hogy egy egyenlet vagy egyenletrendszer másodfokúra

visszavezethető, s biztonsággal tudják e visszavezetést megtenni. • Tudjanak egyszerű exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket megoldani. • Tudják, hogy ezen egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen

szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor (pl. kettő hatványaként kapott negatív érték nem lehet megoldása az eredeti egyenletnek).

• Ismerjék fel, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást.



• Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetekben hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta.

• Másodfokú egyenletekre visszavezethető egyszerű szöveges egyenleteket tudjanak megoldani. • Ismerjék a hatványozás kiterjesztését racionális kitevőkre. • Tudjanak egyszerű azonosságokat bizonyítani, ismerjék a tanult azonosságokat.

Előzmény Az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult azonosságoknak ismerete. A tanult hatványfogalom biztos ismerete.

Tartalom • Elsőfokúra ill. másodfokú visszavezethető exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. • A hatványozás fogalmának elmélyítése. A logaritmus fogalma és azonsságai. • Egyszerű trigonometrikus azonossságok (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságok, négyzetes

összefüggés, áttérés egyik szögfüggvényről a másikra). • Egyszerűbb egyenlőtlenségek megoldása algebrai és grafikus módszerrel.

Függvények 12.K


Cél • Újabb alapvető függvények (exponenciális, logaritmikus) megismerésével a függvényfogalom fejlesztése.

Ezen függvények grafikonjainak ismerete. • Újabb függvény tulajdonságok megismerése (korlátosság, folytonosság), a régebbi fogalmak tartalmának

pontosítása és ezzel az elemi függvényvizsgálat bővítése.

Követelmény • Ismerjék a különböző alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonjait, elemi tulajdonságait. • Legyen gyakorlatuk az elemi függvények egyszerű transzformációiban, abban, hogy a transzformációk hogyan

jelentkeznek a függvények ábráin ill. miként módosulnak a függvények tulajdonságai. • Tudják a függvények grafikonjait egyszerűbb egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában felhasználni.

Előzmény Az előző tanévekben megismert függvények értelmezésének, tulajdonságainak és ábráinak ismerete.

Tartalom • Az exponenciális, a logaritmus függvény és tulajdonságai. • A függvény inverze. Az inverz függvénypárok grafikonja a koordináta-rendszerben • A folytonosság szemléletes fogalma. • A logaritmus és exponenciális függvény grafikonjai különböző alap esetén, exponenciális folyamatok a

természetben. • A függvénytranszformációk átismétlése és alkalmazásuk általános esetben: f(x) + c, f(x + c), c f(x), f(cx).

Vektorok, trigonometria 12.K


Cél • A vektorok skaláris szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a koordináta-

geometriában való alkalmazása. A fizikával való kapcsolat (a munka értelmezése) megmutatása. • A sinus- és a cosinustétel alkalmazása háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számításos feladatok során,

távolság-, magasság- és szög- meghatározási feladatok megoldása a gyakorlatban.



• A zsebszámológép célszerű használata, a gyakorlati feladatokban megfelelő pontosságú értékek meghatározása.

Követelmény • Ismerjék a skaláris szorzatot, tulajdonságait, koordinátákkal való kiszámítási módját; tudják alkalmazni a

cosinustétel levezetésében és trigonometriai feladatokban. • Ismerjék a sinus- és cosinustételt, és tudják alkalmazni a háromszög hiányzó részeinek meghatározásában.

Előzmény • Az elemi geometriában tanult anyag. A vektorokról és a trigonometriából korábban tanultak. • Táblázat és zsebszámológép használata.

Tartalom • A skaláris szorzat fogalma és tulajdonságai. • A skaláris szorzat felhasználása egyszerűbb feladatokban. • A sinus- és cosinustétel és levezetésük. • A háromszög területe két oldalból és a közbezárt szögből. • A sinus- és cosinustétel alkalmazása összetettebb síkbeli és térbeli feladatok megoldásában.

Koordináta-geometria 12.K


Cél • Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenlőtlenségek

segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)

• Az egyenes, a kör, a parabola egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben.

Követelmény • Ismerjék az egyenes néhány egyenletét, kör középpontos és általános egyenletét. • Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.

Előzmény • A tizenegyedik évfolyamig bezárólag ezen tanterv geometriai anyagának ismerete. • Egyenletek, egyenletrendszerek biztos megoldása. • Ponthalmazok megadása, nevezetes mértani helyek ismerete. • A koordináta-rendszerben adott pont és egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektorműveletek

koordinátákkal. • Vektor koordinátái, abszolútértéke, helyvektor fogalma. • Két pont távolsága, osztópont koordinátái, háromszög súlypontjának koordinátái.

Tartalom • Az egyenes irányvektoros, normálvektoros és általános egyenlete. • Adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenlete. • A párhuzamosság és merőlegesség feltétele. • A kör középpontos és általános egyenlete. • A kör érintőjének fogalma. Az érintő egyenlete konkrét esetekben. • Az egyenes, a kör egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. • Távolsággal kapcsolatos feladatok.



Valószínűségszámítás, statisztika 12.K


Cél • Statisztikai adatok rendszerezése, matematikai jellemzésük. • A valószínűség kombinatorikus fogalmának megismerése.

Követelmény • Ismerjék a statisztikai adatok rendszerezésének módszereit. • Ismerjék a különböző ábrázolási módokat: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram. • Ismerjék a statisztikai adatok néhány jellemzőjét: átlag, modus, medián, szórás. • Ismerjék, hogy ha egy valószínűségi kisérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenlően

valószínűek, akkor egy esemény valószínűsége kombinatorikus úton határozható meg. • Tudjanak egyszerű valószínűségi feladatokat (pl. kocka dobásával kapcsolatos feladatok) megoldani.

Előzmény • A tanult kombinatorikai ismeretek és a valószínűség elemi ismeretei. • Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése. • Statisztikai adatok különböző ábrázolása: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram. • A statisztikai sokaság átlaga, modusa, mediánja.

Tartalom • A gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. • A relatív gyakoriság változásának ábrázolása növekvő elemszám függvényében. • A valószínűség szemléletes fogalma, kapcsolata a relatív gyakorisággal. • Esemény, eseménytér konkrét esetekben. • Műveletek eseményekkel. • A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja: kedvező esetek száma/összes lehetséges eset száma. • Egyszerűbb feladatok megoldása. • Binomiális eloszlás.

Ismétlés, a felhasználható további órakeret 12.K


Cél • A tanult ismeretek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböző témakörök

közötti kapcsolat megmutatása. Feladatok megoldása. • Ha az idő engedi, akkor a tanár által választott, az osztály (csoport) érdeklődésének megfelelő kiegészítő anyag

vagy gyakorló ill. nehezebb feladatok szerepeltetése a rendelkezésre álló időben.

Követelmény A 11. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények.

Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböző anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása.



Matematika 13 13.K

Részei A matematikai logika elemei Sorozatok Kerület, terület, felszín, térfogat számítás Valószínűségszámítás, statisztika Rendszerező összefoglalás


Cél • A tanév fő feladata e tanulócsoportnak a középszintű iskolai érettségire való eredményes felkészítése. • Ennek érdekében e tanévben a tanult matematikai anyag igen alapos rendszerező összefoglalására van szükség.

Kellő időt kell fordítani az anyag egyszerű feladatokon való begyakorlására. • A tanév során tanítandó új anyagrészek feladatainak kiválasztásában fontos, hogy szerepeltessünk érdekes

matematikatörténeti feladatokat, továbbá a matematika gyakorlatban való felhasználhatóságát megmutatható feladatokat is.

Követelmény • A tanulók ismerjék, hogy a matematikában a szereplő állítások igaz vagy hamis voltáról döntünk. Korábban a

tapasztalatok, a szemlélet segítségével, majd később alapfogalmak, axiómák, definiált fogalmak s már bizonyított tételek felhasználásával. A logikai következtetéseknél komoly szerepe van a negációnak, a konjukciónak és a diszjunkciónak.

• Ismerjék a számtani és a mértani sorozat fogalmát, az n-edik tag és az összeg meghatározási módját, s ezekre vonatkozó képleteket tudják alkalmazni a feladatok megoldásában. Tudják a kamatos kamatszámításokat gyakorlati feladatokban is.

• Ismerjék a korábban tanult síkidomokat és testeket, ezek lényeges jellemzőit, s szemléletesen (egyszerűbb esetekben bizonyítással) tisztázzuk a kerület, terület, felszín és térfogat fogalmát. Legyenek képesek ezekre vonatkozó képletek alkalmazására geometriai és fizikai feladatokban. (Háromszög, speciális négyszögek, sokszögek, csonkagúla, forgáshengerből nyert csonkakúp, gömb).

• Ismerjék a statisztika és a matematikai statisztika néhány alapfogalmát. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószínűségét is meg tudják határozni,

melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. (Például célbalövésnél a 10-es körbe való beletalálás valószínűsége, ha tudjuk, hogy a lövés a céltábla minden pontját egyenlő valószínűséggel találjuk el.)

• Az középszintű érettségire való felkészülés érdekében a rendszerező ismétlés segítségével meg kell, hogy erősödjenek a tanulókban a különböző témakörökben (a halmazok és matematikai logika, kombinatorika, számfogalom, műveletek, számolási eljárások, egyenletek, függvények, sorozatok, geometriai alakzatok, geometriai transzformációk, geometriai mértékek, vektorok, trigonometria, koordináta-geometria, statisztika, valószínűségszámítás) tanult fogalmak, összefüggések, eljárások. Ezeket feladatok megoldásakor alkalmazni is tudják.

Előzmény • Az új anyag tanításához szükséges a korábbi években tanult logikai, sorozatokra vonatkozó s geometriai

alakzatokra és mértékekre vonatkozó ismeretek. • A rendszerező összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjai már a korábbi évek évvégi

ismétléseikor kiemeltük, s a különböző témák közötti összefüggésekre rámutattunk.

Tartalom A matematika logika elemei: 4 óraSorozatok: 19 óraKerület, terület, felszín, térfogatszámítás: 28 óraValószínűségszámítás: 17 óraRendszerező összefoglalás (részletezés később): 46 óraTémazáró dolgozatok és javítások 14 óra



Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b) Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. rövid dolgozatok 2. az új anyagból két teljes órás felmérés és ezeknek teljes órában történő értékelése 3. a rendszerező összefoglalásból két teljes órás összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történő értékelése

4. április végén egy 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból.

A matematikai logika elemei 13.K


Cél • A matematika iránt kevésbé érdeklődő, de érettségire készülő tanulóknál is cél a bizonyítások lényegének

megértése, a definíció, a sejtés és a tétel megkülönböztetése, az axiómák jelentőségének ismerete. A feltétel és az állítás szerepére, bizonyos esetekben felcserélhetőségére példák bemutatása.

• Egyszerű állítások logikai értékének megállapítása. A bizonyításokban az ÉS , a VAGY, a NEM szavak helyes alkalmazása. Egyszerű példákon a teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek a megértése.

Követelmény • Tudják, hogy az állításoknak kétféle logikai értéke lehet. • Tudják, hogy mi a negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, kapcsolatok a halmazműveletekkel. • Állítások tagadása. Logikai kvantorok változása tagadásnál. • A tanult anyagban szereplő bizonyítási módszereket (pl. teljes indukciót) reprodukció szinten ismerjék.

Előzmény A korábbi tanévekben szereplő matematikai logika elemeinek, s bizonyítási módszereknek ismerete.

Tartalom • Állítások logikai értéke. • Negáció, konjukció, diszjunkció. • Néhány példa a teljes indukció megismerésére. Megjegyzés: Az altémára szánt 4 órát a tanév során a különböző anyagrészekbe építve célszerű felhasználni.

Sorozatok 13.K


Cél • A sorozatokkal kapcsolatos fogalmak bővítése, a sorozat általános fogalmának tisztázása. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagjára és az első n tag összegére vonatkozó képlet igazolása,

alkalmazása matematikai, gyakorlati és matematikatörténeti feladatok (pl. a sakk feltalálójának jutalma) megoldására.

Követelmény • A tanulók tudják, hogy a sorozat speciális függvény. • Ismerjék a számtani és a mértani sorozat általános tagjának és összegének képletét, tudják ezeket feladatokban

alkalmazni. • Ismerjenek néhány példát egyéb sorozatokra is, rekurzióval megadható sorozatokra. • Tudják kamatos kamatot számolni.



Előzmény A témáról korábban tanultak ismerete.

Tartalom • A sorozat fogalma. Különböző megadási módok. A sorozatok elemi tulajdonságai. • A számtani és mértani sorozat fogalma. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagja és első n tagjának az összege. • Kamatos-kamat számítása gyakorlati feladatokban.

Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás 13.K


Cél • A geometria tanítás egyik fontos feladata a gyakorlati életben előforduló egyszerű síkidomok definícióinak,

testek származtatási módjának megismertetése. • A tanult síkbeli és térbeli alakzatok kerületére, területére, felszínére, térfogatára vonatkozó képletek elemi

meggondolásokkal történő megmutatása és átismétlése.

Követelmény • Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszögek, a kör értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Tudjon egyszerűbb testekről és bizonyos metszeteikről rendezett, "beszédes" ábrát készíteni. • Ismerjék a felsoroltak kerületének, területének, felszínének, térfogatának képletét, s ezeket tudják matematikai,

fizikai, technikai feladatokban alkalmazni.

Előzmény A geometriai alakzatokkal és mértékekkel kapcsolatos korábbi ismeretek tudása.

Tartalom • Az elemi geometriai anyag ismétlése. • Síkidomok területének szemléletes fogalma, tanult síkidomok területei. • Terület meghatározása különböző módon: átdarabolások, számításos módszerek. • Térgeometriai ismeretek átismétlése. • Tájékozódás a térben, valóságos viszonyok becslése térkép alapján. • Térbeliség ábrázolása két dimenzióban, takarás, síkmetszetek, hálókészítés. • Térelemek távolsága és szöge. Ezek számítása egyszerűbb testeknél. • A kocka, téglatest, hasáb, gúla, csonkagúla, henger, kúp, csonkakúp, gömb származtatása, tulajdonságai. • A térfogat és felszín szemléletes fogalma ismert testekre. • Térfogat- és felszínszámítási feladatok.

Valószínűségszámítás, statisztika 13.K


Cél • A valószínűségi szemlélet fejlesztése. Olyan események megmutatása, melyeknek végtelen sok kimenetele

lehet. • Van nulla valószínűségű, de nem lehetetlen esemény. • Annak beláttatása, hogy a valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével történhet (hosszúság,

terület, térfogat). • A nagy számok törvényének szemléletes megismerése. • A matematikai statisztika alapfogalmainak megismerése.



Követelmény • Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék meg a mintavételi eljárásokat. • Ismerjék, s egyszerű esetekben alkalmazni is tudják a geometriai valószínűség fogalmát. (Pl. annak

megállapítása, hogy adott méretű négyzethálózatra dobott pénzérme milyen valószínűséggel esik valamelyik négyzet belsejébe.)

Előzmény • A kombinatorikai, statisztikai fogalmak, alapeljárások ismerete. • A valószínűségről, valószínűségi kísérletekről, mértékekről korábban tanultak ismerete.

Tartalom • A mintavételi eljárások: visszatevéses és visszatevés nélküli esetek. Urnás modellek. • A mintavételi eljárások során definiált események kombinatorikus kiszámolása visszatevéses és visszatevés

nélküli esetben (binomiális és hipergeometrikus eloszlás konkrét adatokkal). • Az átlag és szórás kapcsolata. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés. • Egyszerű feladatok a geometriai valószínűség meghatározására. • A közvéleménykutatás elemei. • A matematikai statisztika alapfogalmai.

Rendszerező összefoglalás 13. K


Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésével, a tanult témakörök lényeges fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek, műveltségi területek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával a középszintű érettségi vizsgára való felkészítés.

Követelmény Tudják a tanult fogalmak definícióját, tételeket (az egyszerűbbek bizonyítását reprodukálni is), a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat, a matematika s az egyéb tudományok és műveltségi területek közötti összefüggéseket. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat feladatok megoldásában alkalmazni.

Előzmény A tanterv korábbi évfolyamain s a 13. évfolyam új témáiban előírt követelmények teljesítése.

Tartalom GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK: a) Halmazok, matematikai logika: 4 óra

Halmazok megadási módjai, részhalmaz, kiegészítő halmaz. Halmazok közötti műveletek. Venn-diagramos ábrázolás. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia.

b) Kombinatorika: 5 óra Permutáció, variáció, kombináció, gráfok.

SZÁMTAN, ALGEBRA: a) Számfogalom, művelet fogalom, számolási eljárások: 4 óra

A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Számok normálalakja, az abszolút érték fogalma. Az alapműveletek és tulajdonságai. Közelítő értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak: legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, számok prímtényezős felbontása. Egyszerű oszthatósági feladatok. Helyiértékes írásmód alapelvei.

b) Egyenletek, egyenlőtlenségek: 8 óra Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe. Azonosságok. A



hatványozás, gyökvonás és logaritmus azonosságai. Egyszerübb trigonometrikus azonosságok. Egyenletrendszerek.

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK: 6 óra A függvény és a sorozat fogalma. Speciális függvények és sorozatok: konstans, lineáris, másodfokú, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények, számtani és mértani sorozat. A függvények grafikonjai és elemi tulajdonságai: zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, szélsőérték szemléletes fogalma, periodicitás, paritás. Függvénytranszformációk.Számítógépes függvényábrázolási módszer.

GEOMETRIA: a) Geometriai alakzatok, bizonyítások: 5 óra

Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík- és térgeometriai tételek. b) Geometriai transzformációk: 3 óra

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. Merőleges vetítés.

c) Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria: 7 óra A vektor fogalma, műveletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinustétel. A háromszög hiányzó adatainak trigonometriával való meghatározása. Az egyenes, a kör, a parabola egyenlete.

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA: 4 óra Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, medián, modus. Szórás. Számítógépes feldolgozási módszerek. Mintavételi eljárások - visszatevéses mintavétel. Valószínűség, relatív gyakoriság, a nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Sokaság, paraméter. Minta, relatív gyakoriság. A közvéleménykutatás elemei.

Matematika emelt szintű tanterv (12-13)


Matematika 12-13. emelt szintű tanterv

Matematika 12. E Évi összes óraszám : 185 óra 5 óra / hét

Ajánlás Ezt a tantervet azoknak a tanulóknak ajánljuk, akik matematikából emelt szintű érettségire készülnek, mert matematika-igényes felsőfokú oktatásban kívánnak részt venni. Feltételezzük, hogy ezek a tanulók csoportbontásban tanulták a matematikát, és a 11. évfolyam végére megfogalmazott NAT követelményeket az iskolai matematikai tantárgyi programnak megfelelően teljesítették.

Cél • Azoknak a tanulóknak, akiknek a továbbtanulásuk során a matematikára mint alkalmazott tudományra lesz

szükségük, a 12. évfolyamon a korábban tanult ismereteiket bővíteni, magasabb szintre hozni, a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat feltárni, különböző tudományokban való alkalmazási lehetőségeket megmutatni elengedhetetlenül szükséges.

• Célunk a matematika tanításával segíteni mindazokat a tudományágakat, témaköröket, műveltségi területeket, melyek erősen építenek matematikai ismeretekre, módszerekre.

• A cél elérése érdekében az évfolyam anyagában szereplő kombinatorikai, trigonometriai, koordináta-geometriai, a lineáris algebra, a differenciálszámítás, a statisztika elemeinek tanításakor van lehetőség az alkalmazások bemutatására.

• Fontos, hogy önálló kutatómunkát is tudjanak a tanulók végezni kisebb témákból, pl. matematikatörténeti kérdésekből. Ehhez a könyvtárhasználat mellett az informatikai ismereteiket is használják

• A tehetséges, érdeklődő tanulók felkészítése az OKTV fordulóira.

Követelmény • A tanulók ismerjék a permutáció, variáció, kombináció fogalmát, a binomiális tételt.

• Tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.

• Tudjanak exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket megoldani, azonosságokat igazolni.

• Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, miként lehet a fellépő hamis gyököket kizárni.

• Ismerjék a sorozat fogalmát, a sorozat határértékének fogalmát s néhány sorozat esetén ennek megállapítását. Tudjanak számtani és mértani sorozattal kapcsolatos feladatokat megoldani.

• Ismerjék a függvény folytonosságának, határértékének és deriválhatóságának fogalmát.

• Tudják a tanult differenciálási szabályokat a függvényvizsgálatban s szélsőértékek meghatározásában alkalmazni.

• Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait.

• Tudják ezt alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-geometriában.

• Ismerjék a sinus- és cosinus tételt, az addíciós képleteket, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.

• Ismerjék az egyenes egyenletét, a kör és a kúpszeletek tanult egyenleteit.

• Tudjanak koordináta-geometriai feladatokat megoldani.

• Ismerjék az átlag és szórás fogalmát és jelentőségét, Csebisev tételéből eredő következtetéseket.

• Ismerjék a valószínűség fogalmát mint mértékfogalmat.

• Ismerjék az eseményalgebra elemi fogalmait és ezek összefüggéseit.



• Tudjanak klasszikus valószínűségi feladatokat megoldani.

• Ismerjék a tanult altémák matematikatörténeti vonatkozásait különös tekintettel a magyar matematikusok munkásságára.

Előzmény A tanterv 11. osztály végéig előírt követelményekben megfogalmazott, s a 12. osztály tanításakor szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszerű sort keríteni különös tekintettel az esetleges tanárváltásra.)

Tartalom Tananyagegységek: I. Gondolkodási módszerek: 13 óra

1. Halmazok, matematikai logika elemei ( 3 óra) 2. Kombinatorika (10 óra) II. Számtan-algebra: 25 óra 1. Hatványozás általánosítása, logaritmus (25 óra) III. Függvények, sorozatok: 57 óra 1. Sorozatok (25 óra) 2. Az analízis elemei I. (32 óra) IV. Geometria: 60 óra 1. Vektorok, trigonometria (32 óra) 2. Koordináta-geometria (28 óra) V. Valószínűségszámítás, statisztika: 20 óra VI. Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret: 10 óra

Értékelés Az írásbeli ellenőrzés formái:

- 45 perces felmérő dolgozatok, - az év során hat, 60-90 perces témazáró dolgozat, s ezeknek teljes órában történő értékelése.

Halmazok, matematikai logika elemei 12. E

3 óra

Cél - A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböző területein:

egyenleteknél, függvényeknél, az analízisben, ponthalmazoknál. - A matematikai logika elemeinek tudatos alkalmazása a matematikai feltételekben, a

következtetéseknél és a bizonyítási módszereknél. - Az ekvivalencia, az implikáció, a konjunkció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek,

egyenlőtlenségek megoldásakor. - A kvantorok szerepe (pl. az analízis fogalmainak kialakításához).

Követelmény - A tanulók az indukciós bizonyítások mellett értsék meg a deduktív következtetési módszert. - A tanulók legyenek tisztában a változatos feladatokban megismert teljes indukciós bizonyítás

logikájával, ismerjék fel az olyan problémákat, ahol önállóan is tudják alkalmazni ezt a módszert. - A tanult bizonyításokat tudják reprodukálni. - Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs

lehetőség, akkor ellenőrzéssel bizonyítható, hogy egy gyök megoldás, illetve ellenőrzéssel szűrhető ki a hamis gyök.

- Értsék és megfelelően használják a "minden" és a "létezik" szavakat.



Előzmény Az előző tanévekben szereplő halmazelmélet és a matematikai logika elemeinek, egyenletmegoldási

módszereknek, bizonyítási módszernek ismerete.

Tartalom - A teljes indukciós bizonyítási módszer - Negáció, diszjunkció, konjunkció - Implikáció, ekvivalencia. - Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. - Univerzális és egzisztenciális kvantor.

Megjegyzés: az altémára szánt 3 órát a tanév során a különböző anyagrészekbe építve célszerű felhasználni.

Kombinatorika 12. E

10 óra

Cél - A kombinatorika feladataival és módszereivel a problémafelismerő- és megoldó képesség fejlesztése. - A skatulyaelv módszerének ismerete. - A feladatokkal a matematika gyakorlati használhatóságának és érdekes voltának megmutatása. - Az ismeretek, a feladatok megértésének s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés. - A permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk összetettebb

feladatokban. - A binomális tétel szerepének megmutatása különböző alkalmazásokban. - A gráfokkal kapcsolatos elemi ismeretek s azok felhasználása a matematika különböző területein

modellalkotásra. - Az altéma történeti vonatkozásainak ismerete különös tekintettel a "magyar matematikai iskola" kiemelkedő

képviselőire.

Követelmény - Ismerjék fel, ha egy probléma megoldásához a skatulya-elv alkalmazása vezet el. - Ismerjék fel a permutáció, variáció, kombináció alkalmazási lehetőségét (ún. ismétlés nélküli és ismétléses

esetek. - Ismerjék a binomiális tételt és alkalmazásait. - Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszerű feladatokat tudjanak

megoldani. - Ismerjék az altéma történeti vonatkozásait, és a kombinatorika világhírű magyar művelőinek nevét,

munkásságát.

Előzmény Kombinatorikából a korábbiakban szereplő módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás,

fadiagram alkalmazása, "szorzási szabály", Pascal-háromszög kisebb n-ekre)

Tartalom - A skatulya elv és felhasználása különböző feladatok megoldásában. - Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános esetben is) megismert képleteinek

bizonyítása általános esetben pl. teljes indukcióval. - Binomiális tétel és alkalmazásai. - Pascal háromszög és tulajdonságai. - Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, fokszám, egyszerű gráf, összefüggő gráf, fagráf,

kör). - Egyszerűbb gráfelméleti tételek és bizonyításuk: fokszámok, élszámok, fagráf éleinek száma.

Értékelés Teljes órás dolgozatban is célszerű kombinatorikai feladatot szerepeltetni.



Hatványozás általánosítása, logaritmus 12. E

25 óra

Cél - A hatványozás kiterjesztése valós kitevőre, a logaritmus fogalmának bevezetése. - Az exponenciális és logaritmikus függvény megismerése, elemi tulajdonságainak vizsgálata. - Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek bővítése.

- Első-, illetve másodfokúra visszavezethető exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek megoldása.

Követelmény - Ismerjék a hatványozás kiterjesztését valós kitevőre, valamint a logaritmus fogalmát. - Tudjanak azonosságot bizonyítani, ismerjék a tanult azonosságokat. - Tudjanak exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. - Tudjanak egyszerűbb összetett függvényeket tartalmazó egyenleteket megoldani.

- Tudják, hogy az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor. - Tudják, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást.

- Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszert, s tudják, hogy ha erre nincs lehetőség, akkor ellenőrzéssel igazolható, hogy egy gyök megoldás, illetve ellenőrzéssel szűrhető ki a hamis gyök.

- Ismerjék a különböző alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonjait, elemi tulajdonságait.

- Legyen gyakorlatuk ezen függvények egyszerű transzformációiban, abban, hogy a transzformációk hogyan jelentkeznek a függvények ábráin illetve miként módosulnak a függvények tulajdonságai.

- Ismerjék az inverzfüggvény fogalmát, a kapcsolatot az exponenciális és logaritmus függvények között.

- Tudják a függvények grafikonjait egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában felhasználni. - A tanulók az egyszerű bizonyításokban az indukciós eljárás mellett értsék meg a dedukciós

következtetési módszert.

Előzmény - A hatványozás és gyökvonás korábbi fogalmainak ismerete, azonosságok ismerete. - Az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak,

tanult azonosságoknak ismerete. - Függvénytani alapfogalmak ismerete.

Tartalom - Gyökfogalom kiterjesztése. N-edik gyök azonosságai. (ismétlés) - Törtkitevőjű hatványok, permanencia elv. (ismétlés) - Exponenciális függvény monotonitása racionális kitevőre. Valós kitevőjű hatvány. - Logaritmus fogalma és azonosságai. - Logaritmus függvény, inverz függvény. - Elsőfokúra, illetve másodfokúra visszavezethető exponencionális, logaritmikus egyenletek. - Exponenciális, logaritmikus egyenlőtlenségek. - Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel. - Gyakorlati problémák.

Értékelés 90 perces témazáró dolgozat írása.



Sorozatok 12. E

25 óra

Cél - A számtani és mértani sorozat általános tárgyalása, s ezeknek összetett gyakorlati alkalmazásokban

való megmutatása (pl. kamatos-kamat számítás, törlesztési feladatok, járadékszámítás). - Sorozatokkal kapcsolatos újabb fogalmak (monotonitás, konvergencia, korlátosság) kialakítása és

feladatokon való alkalmazása. - A közepek közötti egyenlőtlenség ismerete n db pozitív szám esetén - Különböző becslési eljárások megismerése és alkalmazásuk - Végtelen tagú összegre példák (pl. 6/10 + 6/100 + 6/100 +... értelmezhető, összege 2/3 ).

- A végtelen mértani sor összegképletének használata gyakorlati jellegű feladatokban is.

Követelmény - Ismerjék és tudják alkalmazni a számtani és mértani sorozat n-edik tagjára és összegére vonatkozó

képleteket bizonyítással együtt. - Értsék a sorozat korlátosságának, monotonitásának, konvergenciájának fogalmát, s konkrét

esetekben tudják meghatározni a sorozat határértékét. - Ismerjék a sorozat határértékének néhány fontos tulajdonságát, a határátmeneti tételeket.

- Ismerjék a végtelen mértani sort, tudják, hogy mikor van véges összege, ismerjék az összegképlet levezetését. - Tudják, hogy a végtelen szakaszos tizedestört hogyan és miért írható fel két egész szám hányadosaként.

Előzmény A sorozatokról és függvényekről a korábbi években tanultak ismerete. A teljes indukciós bizonyítási eljárás ismerete. Két pozitív szám számtani és mértani közepe közti összefüggés ismerete.

Tartalom - A számtani és a mértani sorozat fogalmának ismétlése. - Az n-edik tag és az összegképlet. - Kamatos kamat, törlesztő részletek számítása. - Sorozatok korlátossága, monotonitása.

- Alternáló sorozatok, nullsorozatok. - Sorozatok konvergenciája, illetve divergenciája.

- Néhány nevezetes sorozat: q n ; 1 1+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟n

n

; nn ; a valós számok közelítő törtjeinek sorozata.

- A konvergens sorozatok néhány tulajdonsága. - Határátmeneti tételek és ezek alkalmazásával határértékszámítások. - "Rendőrelv"

- A végtelen mértani sor. - A konvergens mértani sor összege. - A tizedes törtek és a mértani sor. - A végtelen szakaszos tizedes tört zárt alakja.

Értékelés Sorozattal kapcsolatos feladatok feltétlenül szerepeljenek legalább hatvan perces témazáró

dolgozatban.



Az analízis elemei I. 12. E

32 óra

Cél - Az analízis elemeivel bővíteni a függvényekről kialakult képet. - Megismerkednek a tanulók a véges helyen és végtelenben vett függvényhatárérték fogalmával. - A folytonos függvények és differenciálhányados fogalma a matematikában, a

természettudományokban egyaránt igen fontos szerepet játszik (érintő, sebesség, gyorsulás stb.). Ezzel, továbbá néhány elemi függvény differenciálási szabályával célszerű megismertetni azokat a tanulókat, akik továbbtanulásukban a matematikát használni fogják.

- Elérendő, hogy a tanulók olyan függvények vizsgálatát is el tudják végezni, olyan szélsőérték feladatokat is meg tudjanak oldani, melyek a gyakorlatban lényegesek, ugyanakkor elemi függvényvizsgálatokkal ez nem megy. Fontos, hogy újabb becslési módszerekkel is megismerkedjenek, tudják alkalmazni a kétoldali közelítés módszerét egyszerűbb esetben.

Követelmény - Ismerjék az összetett függvény fogalmát.

- Ismerjék a tanulók a függvény határértékének és folytonosságának fogalmát. - Tudják a tanult függvények adott helyhez tartozó különböző tipusú határértékét megállapítani.

- Tudjanak példákat adni folytonos és nem folytonos függvényekre. - Ismerjék és értsék a differenciálhányados fogalmát, geometriai és fizikai tartalmát.

- Ismerjék a magasabbrendű derivált fogalmát. - Ismerjék az összeg, szorzat, hányados és összetett függvények deriválási szabályát. - Tudjanak polinomot, trigonometrikus függvényeket és összetett függvényeket differenciálni. - Tudják, hogy a deriváltfüggvény segítségével hogyan vizsgálható a függvény menete, hogyan lehet

meghatározni a függvény lokális szélsőértékeit. - Ismerjék a konvexitás fogalmát, a konvexitás és a második derivált kapcsolatát. Önállóan tudják

ezen ismereteket feladatokban alkalmazni.

Előzmény A korábbi években tanult függvény fogalom és függvénytulajdonságok ismerete.

Tartalom - Függvény folytonossága - A folytonos függvények tulajdonságai: műveletek a folytonos függvényekkel. - Zárt intervallumon folytonos függvények.

- A sin x

x függvény vizsgálata.

- Függvény véges és végtelen határértéke az x0 pontban. - Függvény véges és végtelen határértéke a végtelenben. - Határátmeneti tételek és alkalmazásuk határértékek kiszámítására.

- A differenciálhányados, a differenciálhatóság, a deriváltfüggvény. Magasabbrendű deriváltak. - Görbék érintője. A derivált és az érintő kapcsolata. - A derivált fizikai jelentése: sebesség-, gyorsulásfüggvény. - Kapcsolat a differenciálható és a folytonos függvények között, műveletek a differenciálható

függvényekkel. - A monoton függvények és a differenciálható függvények kapcsolata, a monotonitás vizsgálata.

- Összeg-, szorzat-, hányados-, polinomok-, összetett- és trigonometrikus függvények deriváltja. - A függvény szélsőértéke és a derivált közötti kapcsolat

- A függvénymenet vizsgálatára, a szélsőértékekre vonatkozó tételek. (Egy-két tétel bizonyítással.) - A konvexitás fogalma. Konvex és konkáv függvények.

Értékelés A témából 90 perces felmérést íratunk.



Vektorok, trigonometria 12. E

32 óra

Cél - A vektorok skaláris szorzatának ismerete és a matematikán belül az elemi geometriában, a

trigonometriában és a koordináta-geometriában való alkalmazása. - A skaláris szorzat felhasználása fizika tantárgy bizonyos problémáinak megoldására (pl. munka,

forgatónyomaték). - Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása addíciós tételek, azonosságok

felhasználásával valamint grafikus módon. - A sinus- és cosinustétel alkalmazásával háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számításos feladatok a síkban és térben. A gyakorlatban távolság, magasság, szög, sebesség, erő meghatározása. - A zsebszámológép célszerű használata, gyakorlati feladatokban megfelelő pontosságú értékek meghatározása.

Követelmény - Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait, koordinátákkal való kiszámítási módját. - Tudják a skaláris szorzatot alkalmazni a cosinustétel levezetésében és trigonometriai feladatokban.

- Ismerjék a sinus- és cosinustételt, s tudják alkalmazni a háromszög hiányzó adatainak meghatározásában sík- és térgeometriai feladatok megoldásában és fizika tantárgy által felvetett bizonyos kérdések megoldásában.

- Ismerjék a trigonometrikus azonosságokat, addíciós tételeket, azokat tudják alkalmazni trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásánál.

- Tudjanak egyszerűbb összetett függvényeket tartalmazó egyenleteket megoldani. - Tudják, hogy az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya s értékkészlete milyen szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor. - Tudják, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást. - Tudják hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetekben hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta.

Előzmény - Az elemi sík- és térgeometriai ismeretek. - Vektorok összege, különbsége, szorzása skalárral - Vektor felbontása összetevőkre, vektorkoordináták - Szögfüggvények ismerete. Trigonometrikus függvények ábrázolása, elemi tulajdonságai. - Függvénytranszformációk ismerete. - Egyszerű trigonometrikus azonosságok. (négyzetes összefüggés, pót és kiegészítő szögek

szögfüggvényei közötti kapcsolat, áttérés egyik szögfüggvényről a másikra)

Tartalom - A skaláris szorzat fogalma és tulajdonságai, felhasználása feladatokban. - Vektorkoordináták alkalmazása vektorműveletekben. - Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között. Sinus és cosinustétel. - Addíciós tételek. Kétszeres szögek szögfüggvényei. - Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. - Összetett feladatok megoldása síkban és térben.

Értékelés 90 perces dolgozat írása trigonometrikus számításos feladatokból, valamint trigonometrikus

egyenletekből, egyenlőtlenségekből.



Koordináta-geometria 12. E

28 óra

Cél - Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordinátarendszerben egyenletek,

egyenlőtlenségek segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg.

- Az algebra és a geometria kapcsolata. - Az egyenes, a kör, a kúpszeletek egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban.

- A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben (pl. Kepler törvények).

Követelmény - Vektorműveletek és a vektorkoordináták kapcsolatának készségszintű alkalmazása. - Osztópontok koordinátáinak használata. Háromszög súlypontjának koordinátáinak ismerete és

használata. - Ismerjék a koordináta-síkban lévő egyenes néhány egyenletét, a párhuzamosság és merőlegesség

feltételét. Tudják felírni egyenes egyenletét különböző kiindulási adatokból. - Tudják levezetni a kör középponti és általános egyenletét. Ismerjék a kapcsolatot a kör és a

kétimeretlenes másodfokú egyenlet között. - Ismerjenek néhány alapvető ponthalmazt síkban és ezek felkutatását többféle módon. - Tudják a kúpszeletek definícióját, szimmetria tulajdonságait, a parabola tengelyponti egyenletét. - Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni. - Ismerjék a kúpszeletek érintőjének fogalmát és az érintkezés algebrai és geometriai feltételeit.

-Tudják a térelemek távolságát és szögét meghatározni. - Tudjanak elemi háromszög és négyszög-geometriai feladatokat megoldani koordinátageometriai módszerekkel.

Előzmény - A koordinátarendszerben adott pont és egyenes ábrázolásának biztos ismerete. - Vektor műveletek koordinátákkal. Elemi geometria ismerete. - Mértani helyek, háromszög nevezetes vonalai és pontjai. - Elsőfokú, másodfokú függvény, lineáris törtfüggvény. - A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolata.

Tartalom - Két pont távolsága, a szakasz osztópontjának koordinátái. (ismétlés) - A háromszög súlypontjának koordinátái. - Irányvektor, normálvektor, iránytangens fogalma. - Két egyenes hajlásszöge. - Az egyenes irányvektoros egyenlete. - Síkban az egyenes normálvektoros egyenlete. Adott ponton átmenő adott iránytangensű egyenes

egyenlete. -A párhuzamosság és merőlegesség feltétele. - Pont és egyenes távolsága. Szögfelezők egyenlete - A kör középponti és általános egyenlete. - Kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet. - Kúpszeletek definíciója, elemi tulajdonságai. - Parabola egyenlete. - A másodfokú függvény grafikonja és a parabola. - A kúpszeletek érintői, az érintők egyenlete. - A tanult alakzatok egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. - Ismeretlen mértani helyek felkutatása koordinátageometriai úton.

Értékelés A 90 perces témazáró dolgozat írása



Valószínűségszámítás, statisztika 12. E

20 óra Cél

- Annak beláttatása, hogy adatsokaságokat a számtani (illetve a súlyozott) közép s a szórás miként jellemzi.

- Matematikatörténeti feladatok felidézése. - Ismerkedés az eseményalgebra alapfogalmaival, újabb egy - és kétváltozós művelettel. - Játékesélyek meghatározása. A biológiában az öröklődési kérdések kapcsolata a valószínűség

kombinatorikus meghatározási módjával. -A figyelem felkeltése a valószínűségi feladatok érdekességére és sokoldalú használhatóságára.

Követelmény - Ismerjék az átlag, a módus, a medián és a szórás fogalmát és meghatározási módját. - Ismerjék meg, hogy a számsokaság elemeinek eloszlását hogyan jellemzi az átlag és a szórás.

- Ismerjék, hogy ha egy valószínűségi kísérletben véges sok elemi esemény lehetséges és azok egyenlően valószínűek, akkor egy esemény valószínűsége kombinatorikus úton határozható meg.

- Ismerjék meg az eseményalgebra alapfogalmait. Tudják az események ellentettjének, összegének és szorzatának megállapítását, és ismerjék a műveleti azonosságokat.

- Egyszerűbb - kombinatorikus úton számolható - valószínűségi feladatok megoldása.

Előzmény A tanult kombinatorikai ismeretek és a statisztika és valószínűség elemi ismeretei. A halmazműveletek és azonosságainak ismerete. A kétváltozós műveletek fogalmának ismerete, a

kommutatív, asszociativ és disztributiv tulajdonság. Venn-diagramos ábrázolás ismerete.

Tartalom - Átlag, szórás, módus, medián fogalma számsokaság esetén. (ismétlés) - Az átlagtól való eltérés a 2, 3 szórásnyi intervallumban. Csebisev tétele - Események egyenlősége, lehetetlen és biztos esemény fogalma, egymást kizáró események. - Az ellentett események fogalma. - Események összege, események különbsége, események szorzata. - Az összeg- és szorzatesemények elemi tulajdonságai: kommutativitás, asszociativitás, a kétféle

disztributivitás. Igazolás Venn-diagrammal. - De Morgan azonosságok.

- A valószínűség fogalma mint mérték. - A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja és ennek felhasználása egyszerűbb feladatok

megoldásánál.

Ismétlés, a tanár által felhasználható órakeret 12. E

10 óra

Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböző

témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Feladatok megoldása. Ha az idő engedi, akkor a tanár által választott, az osztály (csoport) érdeklődésének megfelelő kiegészítő anyag vagy gyakorló, illetve nehezebb feladatok szerepeltetése a rendelkezésre álló időben.


Előzmény A tanév végén az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek alkalmazása.



Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböző

anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása. Matematikatörténeti összefüggések, kapcsolatok



Matematika 13. E Évi összes óra : 192 óra 6 óra / hét

Cél - A tanév fő feladata e tanulócsoportnak a tanulók által választottnak megfelelően az emelt illetve a

közép színtű érettségire s a felsőoktatásban az eredményes tanulásra való felkészítése.

- Ennek érdekében szükséges az alapos rendszerező összefoglalás, a biztos feladatmegoldás, s olyan ismeretekbe, matematikai módszerek alkalmazásába (pl. az integrálszámításba) való bevezetés, melyek a későbbi tanulmányaikban a matematikai anyag jó megértését s az alkalmazási készséget lehetővé teszik.

Követelmény - A tanulók ismerjék, hogy a matematikában az állítások igaz vagy hamis voltáról döntünk. Ehhez

logikai következtetésekre, bizonyításokra van szükség. Ismerjék a konjunkció, diszjunkció, negáció szerepét a bizonyításokban, s a matematika különböző területein az alkalmazásokban. - Ismerjék a kétoldali megközelítés módszerét (pl. a terület és térfogatszámításban), az integrál, az integrálhatóság, a primitív függvény definícióját. Tudják alkalmazni a Newton-Leibniz tételt, a határozott integrál tulajdonságait. Tudják, hogy a fizikában például a munka, a nyomóerő a tömegközpont meghatározása integrál segítségével történhet. Ismerjék az integrálok a geometriában való fontos voltát, az ún. görbe alatti terület, illetve a forgástestek térfogatának meghatározásában. Tudják kiszámítani a tanult síkidomok területét, testek térfogatát és felszínét.

- Ismerjék a térelemek hajlásszögének, távolságának fogalmát. Legyenek képesek ezeket feladatokban alkalmazni.

- Legyenek tisztában a várható érték fogalmával. - Ismerjék az eseményalgebra alapfogalmait és a valószínűség mint mérték fogalmát

- Ismerjék meg a binomiális és hipergeometriai eloszlást, és tudják jellemzőit: ismerjék az átlag, szórás, medián, várható érték fogalmakat és egyszerűbb esetekben ezeket meg tudják adni.

- Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószínűségét is meg tudjuk határozni, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. Tudjanak ilyen feladatokhoz geometriai modellt alkotni.

- Az érettségire való felkészülés érdekében a rendszerező ismétlés segítségével meg kell, hogy erősödjenek a tanulókban a különböző témakörökben - a halmazok és matematikai logika; kombinatorika; számfogalom, műveletek, számolási eljárások; egyenletek; lineáris algebra; függvények, sorozatok; analízis; geometriai transzformációk; geometriai mértékek; vektorok, trigonometria, koordináta-geometria; statisztika és valószínűségszámítás - tanult fogalmak, összefüggések, eljárások. Ezeket tudják alkalmazni matematikai feladatokban és a természettudományok megfelelő területein. - Tudják megfogalmazni azt, hogy a matematika eredményeit hol és hogyan használják a szaktudományokban és a gyakorlati életben.

Előzmény Az új anyag tanításához szükséges a korábbiakban tanult logikai, analízisbeli, geometriai alakzatokra

és mértékekre vonatkozó, statisztikai és valószínűségszámítási ismeretek.

A rendszerező összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjait már a korábbi évek évvégi ismétlésekor kiemeltük, s a különböző témák közötti összefüggésekre rámutattunk.



Tananyagegységek I. Gondolkodási módszerek: 7 óra 1.A matematikai logika elemei (7 óra) II. Függvények: 29 óra 1.Az analízis elemei II. (29 óra) III. Geometria: 40 óra 1.Geometriai mértékek, terület (12 óra) 2.Térgeometria, térfogat (28 óra) IV. Valószínűségszámítás - statisztika: 19 óra V. Rendszerező összefoglalás: (részletezés később) 97 óra

Értékelés - az új anyagból két 60 perces felmérés és ezeknek teljes órában történő értékelése

- a rendszerező összefoglalásból legalább két alkalommal 90 perces összefoglaló dolgozat és ezeknek teljes órákban történő értékelése. - április végén egy "próbaérettségi" 180 percben, és ennek egy teljes órában történő megbeszélése.

A matematikai logika elemei 13. E

7 óra

Cél A matematikát további tanulmányaikban alkalmazni kívánó tanulóknál különösen fontos, hogy értsék

s reprodukálni tudjanak tételek bizonyítását, szerkezetét (feltételek, állítások, megfordíthatóság stb.) Állítások logikai értékének megállapítása. A bizonyításokban az és, a vagy, a nem, a következik, az akkor és csak akkor, szükséges és elégséges feltételek stb.) szavak, kifejezések helyes alkalmazása. A teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek az alkalmazása.

Követelmény - Tudják, hogy az állításoknak kétféle logikai értéke lehet.

- Ismerjék az egy- és kétváltozós műveleteket és tulajdonságait a logikai értékek körében. - Tudják, hogy mi a negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia

- A tanult anyagban szereplő bizonyítási módszereket (pl. a teljes indukciót, direkt és indirekt bizonyítás, skatulya elv) ismerjék, s alkalmazni is tudják.

- Tudatosan alkalmazzák a nyelv logikai elemeit. Tudják megfogalmazni állítások, tételek megfordítását.

Előzmény A korábbi tanévekben szereplő matematikai logika elemeinek, s bizonyítási módszereknek ismerete.

Tartalom - Állítások logikai értéke.

- Negáció, konjunkció, diszjunkció. - Implikáció és ekvivalencia - Az egy - és kétváltozós logikai műveletek tulajdonságai. - Kommutativitás, asszociativitás, kétféle disztributivitás. - De Morgan azonosságok. Bizonyítások Venn-diagramos módszerrel. - Nyelvünk logikája és a matematikai logika.



Az analízis elemei II. 13. E

29 óra

Cél Az integrálszámítás elemeivel olyan eszközhöz juttatni a tanulókat, melyek mind matematikai

feladatokban (pl. terület és térfogatszámítás), mind a fizikában (pl. sebességből az út meghatározása, a végzett munka kiszámítása) alkalmazható. További tanulmányaikat előkészíteni az integrálszámításban megismert módszerek s tételek alkalmazási szintű tudásával.

Követelmény - Ismerjék a tanulók a kétoldali megközelítés módszerét. - Tudják a négyzetszámok összegére vonatkozó képlet levezetését.

- Ismerjék a határozott integrál fogalmát, tulajdonságait, a primitív függvény fogalmát, a Newton-Leibniz tételt, s tudják a felsoroltakat feladatokban alkalmazni.

- Tudjanak polinomfüggvények, illetve sinus- és cosinus függvény garfikonja alatti területet számolni.

- Ismerjék az integrálszámítás néhány fizikai alkalmazását.

Előzmény Az egyenletek, egyenlőtlenségek témakörben tanultak, nevezetes egyenlőtlenségek, közepek, a

függvényekről, sorozatokról, a differenciálszámítás elemeiből tanult ismeretek. A terület és térfogatszámítás elemi ismeretei. A 13. évfolyamos geometria tananyagegység geometriai mértékek, terület részének ismerete.

Tartalom - A parabolikus háromszög területe.

- Alsó és felső közelítő összegek. - A négyzetszámok összege. - A határozott integrál fogalma és tulajdonságai. - Az integrál mint a felső határ függvénye. - A primitív függvény fogalma és tulajdonságai - A Newton-Leibniz tétel.

- A határozott és határozatlan integrál alkalmazása geometriai és fizikai problémák megoldására.

Értékelés A témából 90 perces dolgozat írása, kiegészítve a területszámítási feladatokkal.

Geometriai mértékek, terület 13. E

12 óra

Cél -A geometriai ismeretek rendszerezése, alkalmazása. - A geometria-tanítás egyik fontos feladata a gyakorlati életben előforduló síkidomok definícióinak

származtatási módjának ismerete. - A terület szemléletesen megismert fogalmának pontosítása. A kerület, terület átismétlése, bizonyítása.

Követelmény - Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszöget, a kör és részeinek értelmezését és

tulajdonságait. - Ismerjék a terület fogalmát, mint mértékelméleti fogalmat.

- Tudják a sokszögek területének képletét igazolni. - Ismerjék a gyakran használt kerület-, területképleteket, s ezeket tudják matematikai, fizikai,

technikai feladatokban alkalmazni.



Előzmény A geometriai alakzatokkal, mértékekkel kapcsolatban korábban tanult ismeretek tudása.

Tartalom - A terület fogalma és tulajdonságai. - A téglalap területének meghatározása kétoldali közelítés módszerével a terület -definicióra építve. - A paralelogramma területe, átdarabolások. - A trapéz, a háromszög és sokszögek területe, a képletek felhasználása összetett feladatok

megoldására. - A kör területe. - Hasonló síkidomok területe

Térgeometria, geometriai mérték (térfogat) 13. E

28 óra

Cél - A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése, s

alkalmazása gyakorlati feladatokban. - A térszemlélet fejlesztése. - Testek származtatási módjának ismerete. - A felszín, térfogat szemléletesen megismert fogalmának pontosítása, a térfogat, mint mérték

ismerete. - A felszín, térfogatképletek átismétlése, igazolása, s néhánynak az integrálszámítás segítségével

történő bizonyítása.

Követelmény - Ismerjék a térelemek távolságát, szögét. - Tudjanak térbeli feladatokhoz rendezett ábrát készíteni, ezeknek tudják bizonyos metszeteit

megfelelően szemléltetni, és pontos hivatkozásokat tudjanak készíteni az egyes részletekhez. Tudják ezeket testekkel kapcsolatos számításokban alkalmazni.

- Ismerjék a hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonakgúla, csonkakúp, gömb származtatását. - Ismerjék a kocka, paralelepipedon, a szabályos gúlák, szabályos testek alaptulajdonságait. Ezeket a

testeket térhálóból is készítsék el. Ezekben a testekben tudjanak hajlásszögeket, távolságokat számítani elemi úton, vektorokkal vagy koordináta-módszerrel.

- Ismerjék a gyakran használt felszín-, térfogatképleteket, ezeket tudják matematikai, fizikai, technikai feladatokban alkalmazni.

Előzmény Az elemi sík- és térgeometriából, a szerkesztésekből, számításos eljárásokból korábban tanultak

ismerete. Az integrálszámítás ismerete.

Tartalom - Térelemek távolsága, szöge. - A poliéder fogalma. A hasáb, henger, gúla, kúp származtatása. - A kocka, paralelepipedon, a gúlák, szabályos gúlák, szabályos testek felépítése. Metszetek

készítése. - Merőleges vetület területe. - Hajlásszögek és távolságok meghatározása elemi úton, vektorokkal és koordináta-módszerrel. - A tanult testek térhálójának, metszetek elkészítése. - A térfogat fogalma és tulajdonságai. - A téglatest térfogatának meghatározása. - Hasábok (egyenes és ferde) térfogata, felszíne. Henger térfogata, felszíne. - Gúla, csonkagúla térfogata, felszíne. - Kúp, csonkakúp felszíne és térfogata. - Forgástestek térfogata – integrálszámítás felhasználásával. - Gömb és részeinek felszíne és térfogata.



Valószínűségszámítás - statisztika 13. E

19 óra

Cél A statisztikával és valószínűséggel kapcsolatos ismeretek átismétlése és bővítése.

A várható érték fogalmának és tulajdonságainak megismerése. A valószínűségi szemlélet fejlesztése olyan feladatok tárgyalásával, ahol a kísérletnek végtelen sok kimenetele lehet. Van nulla valószínűségű, de nem lehetetlen esemény. Annak beláttatása, hogy a valószínűség meghatározása geometriai mértékek segítségével történhet. (Hosszúság, terület, térfogat.)

Ismerkedés a nagy számok törvényének szemléletes tartalmával. Ismerkedés a közvéleménykutatás elemeivel

Követelmény - Ismerjék a várható érték fogalmát, s tudják azt kiszámítani egyszerübb valószínűségi változók

esetén. - Ismerjék a geometriai valószínűség fogalmát.

- Ismerjék az események függetlenségének fogalmát, és tudják megállapítani bizonyos eseményekről a függetlenséget.

- Ismerjék meg a binomiális eloszlású valószínűségi változót és tudják kiszámítani annak várható értékét és szórását..

- Tudjanak modelleket adni a binomiális valószínűségi változóhoz: urnás modell, sorsolás visszatevéssel.

- Lássanak példát más elosztású valószínűségi változókra is: pl. visszatevés nélküli sorsolás konkrét esetekben (hipergeometrikus eloszlás). - Végtelen kimenetelű kísérlethez tudjanak modellt készíteni: kockadobás az első hatosig,

Előzmény A statisztikából, a valószínűségről, valószínűségi kísérletekről és a geometriai mértékekről korábban

tanultak. Kombinatorikai eljárások ismerete.

Tartalom - Statisztikai fogalmak ismétlése. Adatsokaságok ábrázolása. Osztályba sorolás, hisztogramok

készítése. - Valószínűségi változó fogalma és tulajdonságai. Példák konkrét valószínűségi változókra, ezek

jellemzői: várható érték, szórás. - Események függetlensége. Független események felismerése a definíció alapján. - A binomiális eloszlás fogalma és jellemzői. Példák binomiális eloszlásra. - A binomiális eloszlás várható értéke és szórása. - Urnamodellek: visszatevéses és visszatevés nélküli sorsolások. - A hipergeometriai eloszlás. A hipergeometrikus eloszlás várható értéke és szórása. - Példa végtelen sok kimenetelű valószinűségi kísérletre: geometriai eloszlás.

- Ponthalmazok geometriai mértéke és események valószínűségeinek kapcsolata. A nagy számok törvénye: párhuzam a számsokaság esetén megismert Csebisev tételével, majd ennek

értelmezése valószínűségi változó esetére.



Rendszerező összefoglalás 13. E

97 óra

Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésének, a tanult témakörök súlyponti fogalmainak,

összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával az emelt szintű írásbeli és szóbeli érettségire s a felsőoktatásban való sikeres részvételre felkészítés.

Követelmény Tudják a tanulók a tanult fogalmak definícióját, tételeket (egyesek bizonyítását reprodukálni is),

biztosan használják a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat, a matematikának a tudományokban és a gyakorlatban való felhasználhatóságát. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat a matematikában s más műveltségi területek megfelelő feladataiban alkalmazni. Lássák a kapcsolatot az informatikában tanultakkal, tudjanak számítástechnikai módszerek alkalmazásával is megoldani bizonyos matematikai problémákat. Ismerjék a matematikatörténet, kultúrtörténeti fontos összefüggéseit. Ismerjenek néhány kiemelkedő tudóst a matematikusok társadalmából. (Bolyai János, Pitagorasz, Thalesz, Euklidesz, Descartes, Euler, Fermat, Newton, Erdős Pál, Lovász László)

Előzmény A tanterv korábbi évfolyamain s a 13. évfolyam új témáiban előírt követelmények teljesítése.

Tartalom GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK 5 óra

a/ Halmazok, matematikai logika 3 óra - Halmazok megadási módjai, részhalmaz, kiegészítő halmaz.Venn-diagramok

- Halmazok közötti műveletek. Kétféle disztributivitás, De Morgan azonosságok. - Állítások, logikai értékük. - Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia.

- Univerzális és egzisztenciális kvantor. b/ Bizonyítási módszerek 2 óra

- Tétel és megfordítása. Szükséges, elegendő feltételek. - Direkt, indirekt bizonyítás. - Teljes indukció.

SZÁMTAN- ALGEBRA 29 óra

a/ Számfogalom, műveletfogalom, számolási eljárások 4 óra - A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. - Az alapműveletek és tulajdonságaik. - Közelítő értékek, kerekítések. - Számelméleti alapfogalmak. Oszthatósági alapismeretek.

- Az euklideszi algoritmus. - Diophantoszi egyenletek, egyszerűbbek megoldása b/ Azonosságok 4 óra - Hatványozás, gyökvonás, logaritmus - Nevezetes azonosságok c/ Egyenletek, egyenlőtlenségek, lineáris algebra elemei 21 óra

- Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. - Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai.

- Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe. - Paraméteres feladatok. - Azonosságok.

- Első, másod és magasabb fokú egyenletek, egyenlőtlenségek. - Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek, - Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek.



- Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. - Egyenletrendszerek.

- Középértékek, nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazása. - Szöveges feladatok.

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 23 óra a/ Függvények 4 óra - A függvény fogalma. Tulajdonságok. - Speciális függvények: konstans, lineáris-, másodfokú-, abszolutérték-, exponenciális-, logaritmus-, trigonometrikus függvények. - A függvények grafikonja s elemi tulajdonságai: zérushely, növekedés. fogyás, korlátosság, szélsőérték, konvexitás periodicitás, paritás.

- Összetett függvények. - Függvény transzformációk. Függvényábrázolási módszerek számítógépes programmal is. b/ Sorozatok 8 óra

- A sorozat fogalma. - Számtani, mértani sorozat. - Sorozatok korlátossága, monotonitása, konvergenciája. - A végtelen mértani sor.

- Kamatos kamat számítása, járadékszámítás. c/ Analízis 9 óra - Függvény határértéke, folytonossága. - Differenciálhányados, derivált függvény. - Differenciálási szabályok; - Függvény-vizsgálat differenciálás segítségével.

- Szélsőérték feladatok - A határozott integrál, a primitív függvény fogalma. - A tanult függvények primitív függvényei. - Newton-Leibniz tétel.

GEOMETRIA 26 óra a/ Geometriai alakzatok, bizonyítások, transzformációk 11 óra - A geometria alapjai: axiómarendszerek. (Ellentmondásmentesség kérdése.)

- Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. - Elemi sík és térgeometriai tételek. - Háromszögekre és négyszögekre vonatkozó nevezetes tételek.

- Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben.

b/ Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria 15 óra - A vektor fogalma, műveletek a vektorok körében. - Vektorok koordinátái. Osztópont koordinátái. - Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinustétel. - A háromszög hiányzó adatainak trigonometriával való meghatározása. - Az egyenes egyenletei. - Két pont távolsága. A kör egyenletei. - A kúpszeletek definíciója, parabola egyenlete.

- Metszés, érintés.

KOMBINATORIKA, GRÁFOK, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA 10 óra - Statisztikai alapfogalmak: módus, medián, átlag, szórás, várható érték.

- Grafikonok, táblázatok készítése és olvasása. Számítógépes módszerek számsokaság statisztikai jellemzésére.

- Kombinatorikai alapfogalmak. Pascal háromszög. Binomiális tétel.

- Valószínűségi kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság. A valószínűség kiszámítási módjai.

- A valószínűségi változó, binomiális és hipergeometrikus eloszlás.

- Gráfelméleti alapfogalmak.



MATEMATIKATÖRTÉNETI, KULTÚRTÖRTÉNETI VONATKOZÁSOK 4 óra

Az ókori, különösen a görög matematika. A számírás története. A tudomány fejlődése Newton és Leibniz idején: az analízis előretörése. Az axiómák és a párhuzamossági axióma: Bolyai János élete és munkássága. A halmazelmélet fejlődése. A modern matematika: Neumann János, Erdős Pál, Lovász László.

Matematika specializáció tanterve (9-13)


Matematika 9-13. matematika specializáció tanterv


A 9-13. évfolyamon heti 3 + 5+ 7 + 7 + 7 órára készült a tanterv.

A 9-13. évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. Fő témái a kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószínűség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.

A tanterv spirális felépítésű. Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt időt biztosítottunk gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy bővítésére és az ismétlésre.

Minden évfolyamon azzal indul a tanterv, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az előzményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál) ezekre történnek visszautalások, illetve elsősorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes kifejtések.

Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelelő szintű problémamegoldást.

A 12-13. évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük az emelt szintű érettségi általános követelményeit. Kellő időt biztosítottunk a rendszerezésre.

Ajánlás Ezt a tantervet a speciális matematika tagozaton folyó matematika-tanításhoz használjuk. Azon tanulók számára készült, akik a matematika iránt különösen érdeklődőek, absztrakciós készségük erősen fejleszthető, és a matematikához szorosan kapcsolódó pályára készülnek vagy más tudományág elméleti művelői lesznek.

Tudjuk, hogy a tanulók előtanulmányaik során nemigen részesültek a kerettanterv alapkövetelményeiben megfogalmazottaknál erősebb alapképzésben, tehát a 9. évben a matematika módszereinek, a matematikai modellalkotás folyamatának körültekintő kialakítására, az első 8 év matematika anyagának új szempontú átismétlésére és bővítésére van szükség

Óraszámok évfolyamok 9. 10. 11. 12. 13. óra/hét 3 5 7 7 7 összóraszám

111 185 259 259 224

A 12-13. évfolyamban olyan anyagrészek is szerepelnek (például az analízis elemei, lineáris algebra elemei, gráfelmélet, ábrázoló geometria), melyek a felsőfokon matematikát tanulók számára tanulmányaik indulását megkönnyítik, ezzel természetesen biztosítják az emelt szintű érettségi letételének lehetőségét.

Cél A tanterv legfontosabb célja a kerettantervben megfogalmazottaknak megfelelően a rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelés, a kreativitás fejlesztése, a tudományos ismeretszerzés módszereinek alkotó módon történő megismerése. Fontos cél és pozitív motivációs eszköz annak megmutatása, hogy a matematika a kultúrtörténet része, hogy a matematikai ismeretek lehetővé teszik a világ mélyebb megismerését. Tudós életpályákkal való ismerkedés minta is lehet a tanulók számára saját életpályájuk megválasztásában. A matematikai ismeretek alkalmazása, s a megfelelően fejlett gondolkodás biztosítja több tantárgy megfelelő szintű megértését, tanulását.



A tantervben fontos cél a tevékenységekkel megérlelt fogalmak kialakítása, majd pontos tudása, az életkornak megfelelő matematikai nyelv egyre pontosabb használata. A leírtak érdekében a gondolkodási módszereknek a matematika minden témakörében folyamatosan kell szerepelniük.

Követelmény • A tanterv a NAT-ban megjelölt időszakaszokig a kerettanterv követelményeinek mindegyikét teljesíti, sőt ez a

tanterv ezeken túllép azzal a megkötéssel, hogy a hagyományos 9-10. évfolyami anyagot a 9-11. években tanítja meg.

• A 12-13. évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása s kellő szintű feladatmegoldással az emelt szintű érettségi eredményes letételére való felkészítés, és ezen felül a sikeres felsőfokú tanulmányok folytatásának, a kutatópályák betöltésének előkészítése.

• A 9-11. évfolyamon a minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet, nyilvánvaló, hogy ebben a tantervben többre van szükség. A tantervet használó pedagógus ismerteti a többlet-követelményt a tanulókkal is.

Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg.



Matematika 9. S

Részei Az első 8 évfolyam matematika anyagának rendszerező feldolgozása Halmazok, a logika elemei számhalmazok Kombinatorika Algebrai kifejezések Számelmélet Egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések


Cél • A kreatív gondolkodás erősítése, a tehetséges, érdeklődő tanulók fejlesztése. • Mivel a tanulók különböző iskolákból érkeztek, a legfontosabb cél a közös munka elkezdéséhez a közös

szóhasználat kialakítása, a tanult ismeretek együttes átismétlése és kibővítése, az esetleges hiányok pótlása. • A tanév folyamán megmutatjuk a matematika különböző területeinek összekapcsolódását, fejlesztendő a

bizonyítási igény, a szemléletes fogalmak helyét egyre inkább a definiált fogalmak veszik át. Fontos a természettudományos tantárgyakkal, a társadalomtudományokkal illetve különböző műveltségi területekkel való koncentráció.

• Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok: − az eddigi halmazelméleti ismeretek rendszerezése, összekapcsolásuk logikai műveletekkel, − paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elsajátítása, − a matematika sokszínűségének megmutatása a számelméleti problémák kapcsán, − a függvényszemlélet fejlesztése, − megismerkedés a KÖMAL c. folyóirattal, bekapcsolódás az éves pontversenyekben. − a tanulók felkészítése az Arany Dániel versenyre.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani egyszerű paraméteres egyenleteket, algebrai törtes, egyszerű abszolútértékes egyenleteket; • oszthatósági szabályok és algebrai azonosságok alkalmazásával tudjon megoldani oszthatósági feladatokat; • tudja alkalmazni a megismert függvényeket egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában, • szöveges problémákhoz találja meg a megfelelő modellt • képes legyen elemi függvényeket ábrázolni • ismerje és alkalmazza a függvénytranszformációkat; • ismerkedjen a szaktudomány módszereivel, tudatosan használja a szaknyelvet (definíciók, tételek kimondása,

jelölések, tanult tételek bizonyításának pontos ismerete) • ismerje a feldolgozott matematikai anyag kultúrtörténeti szerepét, ismerjen néhány tudósi életpályát.



Tartalom A tanév anyagát - a NAT témaköreit követve - altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását az éves tanmenetek tartalmazzák.

T a n a n y a g b e o s z t á s : I. Gondolkodási módszerek: 24 óra

1.Halmazok ,a logika elemei (14 óra) 2.Kombinatorika (10 óra)

II. Algebra: 55 óra

1.Algebrai kifejezések (25 óra) 2.Számelmélet (10 óra) 3.Egyenletek, egyenlőtlenségek (20 óra)

III. Függvények: 20 óra IV. Rendszerezés, kiegészítések 4 óra V. Témazáró dolgozatok és javítások 8 óra

Értékelés • A tanulók tanórai munkájának folyamatos értékelése, házi feladatok ellenőrzése, írásbeli és szóbeli

számonkérések. • A tanév folyamán három alkalommal témazáró dolgozat 1 órás időtartamban, a tanár által összeállított

feladatlappal. Ezek időpontját, témáját a választott tanítási sorrend szabja meg.

Halmazok, számhalmazok, kombinatorika 9. S


Cél • A különböző iskolákból jövő tanulók tudásszintjének "bemérése". • A racionális számkör és az alapműveletek tisztázása. • A tanult tételek többféle megfogalmazása. • Ismerkedés a bizonyítási módszerekkel. • A definíció fogalmának tudatosabb használata. • A matematikai jelölések egységesítése. • A halmazokkal kapcsolatos eddigi ismeretek rendszerezése • Számhalmazok rendszerezése, a számkör bővítése. • A kombinatorikus szemlélet fejlesztése

Követelmény A tanuló • Biztosan tudja alkalmazni a kerettanterv 8. évfolyam végéig megadott szaktárgyi követelményeit. • Ismerje a részhalmaz, valódi részhalmaz, üres halmaz, halmazok metszetének, uniójának, , két halmaz

különbségének és Descartes szorzatának szemléletes fogalmát, a metszet és a logikai "és", valamint az unió és a megengedő "vagy" megfelelését.

• Tudja a fenti fogalmakat többféle módon is jelölni, ismerje a Venn-diagramos bizonyítási módot. • Részhalmaz, valódi részhalmaz, üres halmaz szemléletes fogalma. • Halmazok metszete, uniója, két halmaz különbsége. Ezen fogalmak és halmazműveletek szemléletes

alkalmazása különböző feladatokban, kapcsolatuk a konjunkcióval és a diszjunkcióval. Venn-diagramos megjelenítés.

• Ismerje a logikai-szita formulát, valamint a halmaz részhalmazainak számára vonatkozó összefüggést. • Számhalmazok, a számkör „bővítése”.



• A szakszerű definíció jellemzői, példák hibás definícióra. • Ismerkedés bizonyítási módszerekkel (direkt, indirekt, teljes indukció –ajánlott! ) • Ismerje fel konkrét esetekben egy véges halmaz elemeinek különböző összeszámlálási, kiválasztási

lehetőségeit. • Legyen képes az alkalmazott megoldási módszer helyességének bizonyítására. • tudja, hogy milyen az irracionális számok tizedestört alakja, • tudja igazolni, hogy létezik irracionális szám,

Tartalom • A szakszerű definíció jellemzői, példák hibás definícióra. • A helyes bizonyítás jellemzői, hibás bizonyítások javítása. • Ismerkedés bizonyítási módszerekkel (direkt, indirekt, teljes indukció – ajánlott! ). • A természetes, az egész, a racionális, az irracionális, a valós számok fogalma, műveleti alaptulajdonságok,

tizedestört alak. • Példák irracionális számokra. • Annak bizonyítása, hogy ha egy pozitív egész nem teljes négyzet, akkor a négyzetgyöke irracionális. • Az irracionális számok tizedestört alakja. A valós számok és a számegyenes. • n különböző elem összes lehetséges sorrendje n! • Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk – feladatokon keresztül. • Ismerkedés a Pascal-háromszöggel. • Kombinatorikus geometriai feladatok (metszéspontok, tartományok száma, kis n esetén). • A skatulyaelv egyszerűbb alkalmazása.

Algebrai kifejezések 9. S


Cél • Hatványozás egész kitevőre • Nevezetes azonosságok megismerése • A matematikai gondolatmenetek pontos leírásának fejlesztése. • Tudjon algebrai törtekkel műveleteket elvégezni.

Követelmény A tanuló tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat algebrai törtekkel végzett műveletek során és

feladatokban.

Tartalom • Hatványozás egész kitevőre • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése. • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nbababababa +±±±± ;;;; 5432 .

• 55443322 ;;; babababa −−−− ; . . . .nn ba −

• .;; 775533 bababa +++

• 1212; ++ +− kknn baba

• ( )2cba ±± • A Pascal háromszög – a binomiális tétel előkészítése • Műveletek algebrai törtekkel.



Számelmélet 9. S


Cél • Számelméleti problémák matematikatörténeti érdekességeinek bemutatása; • Gondolatmenetek pontos leírásának fejlesztése. • A számírás és a számfogalom fejlődésének ismerete.

Követelmény A tanuló • ismerje és tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat számelméleti feladatokban, • tudjon megoldani oszthatósági feladatokat, • ismerje a különböző alapú számrendszereket. • ismerje az euklideszi algoritmust. • ismerje a számírás és a számfogalom fejlődését, a négy alapművelet kialakulási módját. • képes legyen egyszerűbb számelméleti, oszthatósági feladatokat megoldani

Tartalom • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése • Prímszámok száma, a prímszámok eloszlása, ikerprímek. • Az oszthatóság fogalma, az összetett és a prímszám. • Teljes indukció és az indirekt bizonyítás alkalmazása. • Prímszámkereső eljárások. Euklideszi algoritmus (csak konkrét számokkal). • A számelmélet alaptétele. • Osztók számának meghatározása, osztók összege, tökéletes számok. • Különböző alapú számrendszerek, a kettes alapú számrendszer fontossága. • Oszthatósági szabályok különböző alapú számrendszerekben (csak egyszerűbb esetekben, feladatokon

keresztül, versenyfeladatok is, bizonyítás csak egyszerűbb esetben!). • Alapműveletek a különböző számrendszerekben.

Egyenletek, egyenlőtlenségek 9. S


Cél • A különböző egyenletek és egyenletrendszerek megoldásával igyekszünk elérni, hogy ezeket az ismereteket a

matematika további tanulmányozása során alkalmazni és kibővíteni lehessen. • Az egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával is fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, erősítjük az

önellenőrzés igényét és a diszkussziós készséget.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani elsőfokú egyenleteket és paraméteres egyenletet, • tudjon megoldani algebrai törtet tartalmazó egyenletet, legfeljebb két abszolútértéket tartalmazó egyenletet, • tudjon megoldani egyszerűbb egyenlőtlenséget algebrai és grafikus módszerrel.

Tartalom • Lineáris egyenletek és paraméteres lineáris egyenletek megoldása • Algebrai törtet tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. • Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Egyszerűbb (legfeljebb két) abszolútértéket tartalmazó egyenletek megoldása. • Szöveges feladatok megoldása egyenletek segítségével.



Függvények 9. S


Cél • A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, ennek kapcsán a

függvényszemlélet fejlesztése. • A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolatának tudatosítása. • A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a rugalmas

gondolkodás fejlesztése.

Követelmény A tanuló • legyen képes az első 8 évben megismert alapfüggvények grafikonját ábrázolni. • képes legyen elsőfokú, másodfokú és racionális törtfüggvényeket geometriai transzformációk segítségével

ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait,

Tartalom • A függvény fogalmának és elemi tulajdonságaik átismétlése. • Az elsőfokú-, másodfokú-, abszolútértékes-, egészrész és törtrész függvények, lineáris törtfüggvények,

grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Ismerkedés a monotonitás, a szélsőértékek, a korlátosság fogalmával. • Ismerkedés az összetett függvény fogalmával. • Egyenletek grafikus megoldása. • Egyszerűbb egyenlőtlenségek grafikus megoldása.

Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 9. S


Cél A tanév folyamán megismert legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások összefoglalása, az egyes altémák közötti kapcsolatok megmutatása.

Követelmény A tanuló • legyen képes a tanév folyamán tanított matematikai ismereteit szóban és írásban megfogalmazni, feladatok

megoldásában alkalmazni.

Tartalom • Több területről vett ismeretet igénylő feladatok feldolgozásával a tananyag leghangsúlyosabb részeinek

összefoglalása, az esetleges hiányok pótlása. • Versenyfeladatok megoldása.



Matematika 10 S

Részei Lineáris egyenletrendszerek Kombinatorika A négyzetgyök és az n. gyök Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Gyökfüggvények irracionális egyenletek A geometria alapjai, alakzatok Geometriai transzformációk Kör, geometriai mértékek Matematikai közepek és alkalmazásuk Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések


Cél • A matematikát szerető, tehetséges tanulók tudásának továbbfejlesztése. • A valós számkör építésének teljesebbé tétele, a függvényszemlélet továbbfejlesztése újonnan megismert

függvények és függvénytulajdonságok alapján, a matematika további alkalmazási lehetőségeinek megmutatása.

• A tanulók felkészítése a KÖMAL pontversenyére és az Arany Dániel matematika versenyre. • Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok:

− különböző bizonyítási módszerek szerepeltetése, − jártasság különböző egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldásában, − pontos fogalomismeret a hatványozással kapcsolatban, − az egybevágósági transzformációk, többféle alkalmazása (szerkesztésben, bizonyításban, számításokban) − a ponttranszfomáció, mint függvény értelmezése, a függvényszemlélet fejlesztése − a valószínűségszámítási alapfogalmak, kombinatorikus gondolkodásra építve.

Követelmény A tanuló • ismerje a direkt és indirekt bizonyítást, a skatulyaelvet, a teljes indukciót, • tudja megkülönböztetni, helyesen alkalmazni a tételeket és megfordításukat, • ismerje a gyökök és együtthatók összefüggését másodfokú egyenleteknél, tudjon megoldani másodfokúra

vezető különböző egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenlőtlenséget, • ismerje és tudja alkalmazni az n-edik gyök fogalmát az ezekre vonatkozó azonosságokat, • tudja alkalmazni a megismert függvénytranszformációkat, megállapítani a transzformált függvények

tulajdonságait; • tudja alkalmazni az egybevágósági transzformációkat, az egybevágóságot és a hasonlóságot szerkesztési,

számítási és bizonyítási feladatokban, • ismerje valószínűségszámítási alapfogalmakat, és tudja a kombinatorikai eszközöket változatos módon

használni véges halmaz elemeinek megszámlálásához.



Tartalom A tanév anyagát - a kerettanterv témaköreit követve altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását a szaktanárokra bízzuk. Ahol célszerűbbnek látszik, a magasabb óraszámú altéma két részre bontva is beilleszthető a tanítási sorrendbe.

T a n a n y a g b e o s z t á s :

I. Gondolkodási módszerek: 15 óra

1.Kombinatorika (15 óra)

II. Algebra: 60 óra 1. Lineáris egyenletrendszerek (15 óra) 2.A négyzetgyök és azonosságai, az n. gyök és azonosságai (15 óra) 3. Közepek, egyenlőtlenségek (10 óra) 4. Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek (20 óra)

III. Függvények: 25 óra 1. Másodfokú függvények (15 óra) 2. Gyökfüggvények, irracionális egyenletek (10 óra)

IV. Geometria: 69 óra 1. Geometria alapjai, alakzatok (44 óra) 2.Geometriai, egybevágósági transzformációk (25 óra)

V. Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések: 6 óra VI. Témazáró dolgozatok és javítások 10 óra


számonkérés. • A tanév folyamán öt alkalommal témazáró felmérés a szaktanár által összeállított feladatlappal, 1-2 óra

időtartamban. Ezeknek helyét a tanítási sorrend szabja meg.

Kombinatorika B tanár 10. S


Cél A matematika szépségének, érdekességének hangsúlyozása. Véges struktúrák szerkezetének átlátása.

Követelmény A tanuló • ismerje a Pascal-háromszögben elrendezett számok tulajdonságait, ezeket bizonyítani is tudja, • módszeresen számolja össze halmazok összes részhalmazát, • ismerjen az n elem összes részhalmazának a képletének bizonyítására legalább kétféle módszert, • ismerje a négyzetszámok összegének és a köbszámok összegének képletét bizonyítással együtt, • ismerkedjen meg a binomiális tétellel.

Tartalom • Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk. • A Pascal-háromszög képzési szabályainak azonossága, a binomiális együtthatók tulajdonságai, szimmetriája,

(n elemű halmaz összes részhalmazainak összeszámolása, az eredmény képletbe foglalása). • Totózással, lottózással, számjegyek képzésével kapcsolatok kombinatorikus feladatok. • A teljes indukciós bizonyítási módszer alkalmazása



• Kombinatorikus problémák a síkban. • Négyzetszámok összege, köbszámok összege. • A Newton-féle binomiális tétel. • További kombinatorikai feladatok, ismétléses kombinációk, a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés módszere

véges halmaz elemeinek megszámlálásához.

Lineáris egyenletrendszerek A tanár 10. S


Cél Lineáris egyenletrendszerek fogalmának megismerése, algebrai és geometria megoldási módszerek elsajátítása. A megoldások számának vizsgálati módszerei.

Követelmény A tanuló • ismerje a lineáris egyenletrendszerek fogalmát, ábrázolásai lehetőségeit, • sajátítsa el a megoldási módszereket, és képes legyen a megfelelőt kiválasztani • ismerje a grafikus és algebrai megoldás alkalmazásának feltételeit, • képes legyen a megoldások számának megállapítására, • tudjon algoritmizálható megoldást adni az egyenletrendszerek megoldására.

Tartalom • Kétismeretlenes egyenletrendszerek grafikus megoldása. • Kétismeretlenes egyenletrendszerek algebrai megoldásai. • Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek, új változó bevezetésével megoldható egyenletrendszerek. • Algebrai törtet tartalmazó egyenletrendszerek megoldása. • Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök.

Négyzetgyök és azonosságai, n. gyök A tanár 10. S


Cél A valós számok fogalmának pontosabbá tétele. A négyzetgyök és az n. gyök bevezetése matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. A számítások technikai fejlődése.

Követelmény A tanuló • tudja definiálni számok négyzet- és n-edik gyökét, ismerje és tudja alkalmazni a gyökökre vonatkozó

azonosságokat, • tudja bizonyítani a négyzetgyökökre és az n. gyököre vonatkozó azonosságokat, • tudjon bizonyos irracionális mérőszámú szakaszt többféle úton is szerkeszteni, • A tanuló tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat algebrai törtekkel végzett műveletek során és

feladatokban.

Tartalom • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése. • A négyzetgyök és az n. gyök fogalma • A négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok és bizonyításuk. • Az n-edik gyök fogalma, azonosságai • Feladatok négyzet- és n. gyökös kifejezésekkel.



Másodfokú függvények A tanár 10. S


Cél • Másodfokú függvények ábrázolása geometriai transzformációk segítségével.

Követelmény A tanuló • ismerje a teljes négyzetté alakítás módszerét • képes legyen függvénytranszformációkkal másodfokú függvényeket ábrázolni. • tudja a függvényábrázolást alkalmazni egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

Tartalom • Másodfokú kifejezések teljes négyzetté alakítása. • Másodfokú függvények ábrázolása geometriai transzformációk segítségével. • Másodfokú függvények jellemzése.

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A tanár 10. S


Cél • A különböző egyenletek és egyenletrendszerek megoldásával igyekszünk elérni, hogy ezeket az ismereteket a

matematika további tanulmányozása során alkalmazni és kibővíteni lehessen. • Az egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, erősítjük az

önellenőrzés igényét és a diszkussziós készséget. • A paraméteres egyenletek megoldási módjainak valamint a másodfokú egyenlet megoldó képletének biztos

használatával segítjük a különböző természettudományos tantárgyak tanterveinek megvalósulását is.

Követelmény A tanuló • ismerje a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és készségszinten tudja azt alkalmazni. • ismerje a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között lévő kapcsolatot, • ismerje fel, ha magasabbfokú egyenlet megoldását vissza lehet vezetni másodfokúra, és tudja az ilyen

egyenleteket megoldani, • tudjon megoldani másodfokú egyenletrendszereket, másodfokú egyenlőtlenséget, • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellenőrizze, • képes legyen paraméteres másodfokú egyenletet megoldani. • képes legyen másodfokúra visszavezethető egyenleteket megoldani. • szélsőérték-problémákhoz tudja a célszerű matematikai modellt megtalálni.

Tartalom • Másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással, a megoldóképlet, a diszkrimináns. • Legfeljebb másodfokúra vezető szöveges egyenletek. • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenlőtlenséggel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módjainak megismerése, szöveges

feladatokban való alkalmazása. • Másodfokú függvényre visszavezethető gyakorlati és fizikai szélsőérték-problémák megoldása. • A Viete-formulák. Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. • Paraméteres másodfokú egyenletek megoldása. • Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása. • Másodfokú egyenletrendszerek. Szöveges feladatok.



• Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. • Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák.

Matematikai közepek, egyenlőtlenségek A tanár 10. S


Cél A matematika közepek (harmónikus, geometria, aritmetikai, négyzetes) megismerése és alkalmazása egyenlőtlenségek megoldásában és szélsőértékfeladatokban.

Követelmény A tanuló • ismerje a számtani, a geometriai (mértani), a harmonikus és a négyzetes közép fogalmát, • tudja a közepek közötti relációt és annak bizonyítását, • tudja alkalmazni egyenlőtlenségekben és szélsőértékfeladatokban a közepek közötti egyenlőtlenségeket.

Tartalom • A közepek fogalmának kialakítása. • A közepek közötti egyenlőtlenségek igazolása. • A közepek alkalmazása egyenlőtlenségekben és szélsőértékfeladatokban. • A közepek előfordulása természettudományos feladatok megoldásában.

Gyökfüggvények, irracionális egyenletek A tanár 10. S


Követelmény A tanuló • ismerje a pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényeket és gyökfüggvényeket, ezek kapcsolatát, • ismerje fel az alapfüggvényekből képzett összetett függvényeket, • tudjon megoldani irracionális egyenleteket

Tartalom • Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények. • Páros függvény, páratlan függvény fogalma. • Gyökfüggvények. • Irracionális egyenletek megoldása.

A geometria alapjai, alakzatok B tanár 10. S


Cél A geometriai alapismeretek rendszerezése, pontosítása A tétel és megfordítása közti kapcsolat megértetése, A bizonyítási készség további fejlesztése, diszkussziós készség fejlesztése a szerkesztési feladatok kapcsán.



Követelmény A tanuló • ismerjen mértani helyként is megfogalmazható alapvető ponthalmazokat (szögfelezők, oldalfelező merőleges,

parabola, ellipszis, , hiperbola, látókörív-alakzat, Thalesz-kör és Thalesz-gömb). • tudja halmazokba rendezni a megismert speciális négyszögeket, lássa kapcsolatukat, • ismerje és tudja bizonyítani a háromszögek nevezetes vonalaira, pontjaira vonatkozó tételeket, tudja ezeket

alkalmazni bizonyítási és szerkesztési feladatokban, • ismerje a háromszög nevezetes köreit,azok sugarainak hosszát tudja számítani az oldalak ismeretében, • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát, a szerkesztési feladatok megoldási lépéseit, tudjon megoldani

háromszögek, négyszögek szerkesztésére vonatkozó feladatokat. • ismerje háromszög területének kiszámítási módjait • ismerje az ívmérték fogalmát, a kör részeinek kerület- és területszámítási módját, • ismerkedjen a matematikai modellalkotás folyamatáról, foglalkozzon a nem-euklideszi szerkesztések és a nem-

euklideszi geometriák kérdéskörével. • ismerje Bolyai János életét és munkásságát.

Tartalom • Geometriai alapfogalmak, axióma, tétel fogalma. • A háromszögekre, négyszögekre vonatkozó ismeretek rendszerezése. • Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszög hozzáírt körei. • A négyszögek osztályozása, speciális négyszögek kapcsolata. • Az euklideszi szerkesztés. A szerkesztési feladatok lépései. • A háromszög területének kiszámítási módjai • A forgásszög fogalma, a szög ívmértéke. Körív hossza, a körcikk területének meghatározása. • Nem-euklideszi szerkesztések. • Euklidesz, Thalesz, Pitagorasz, Heron munkássága, koruk műveltségeszménye. • Bolyai János élete és munkássága.

Geometriai, egybevágósági transzformációk B tanár 10. S


Cél Az egybevágósági transzformációkra vonatkozó ismeretek rendszerezése, a transzformációs szemlélet fejlesztése, feladatmegoldásoknál annak tudatosítása, hogyan kereshető meg a célszerű transzformáció egy probléma megoldásához Pontos fogalomismeret, a transzformációs szemlélet fejlesztése, alkalmazási lehetőségének (szerkesztésben, bizonyításokban, számításos feladatokban) megmutatása.

Követelmény A tanuló • legyen képes az egybevágósági transzformációkat függvényként értelmezni, • ismerje a tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pont körüli elforgatás és az eltolás tulajdonságait, tudja

ezeket alkalmazni szerkesztési és bizonyítási feladatok megoldásánál, • ismerje a vektorok fogalmát, és a vektorok körében végzett összeadást, kivonást és számmal szorzást, ezek

tulajdonságait • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetevőkre, ismerje a vektorfelbontás egyértelműségére

vonatkozó tételt.

Tartalom • A ponttranszformáció mint függvény. Az egybevágósági transzformáció. • A tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pont körüli elforgatás, az eltolás tulajdonságai. • Egybevágósági transzformációk szorzata. • Az egybevágósági transzformációk előállítása tengelyes tükrözések szorzataként. • Az egybevágósági transzformációk alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban.



• A vektorok fogalma, összeadás és kivonás a vektorok körében • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai



Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, összefüggések, eljárások összefoglalása. A különböző témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Összetettebb feladatok megoldása, a munka megszervezése az adott osztály, csoport érdeklődésének, helyzetének megfelelően.

Követelmény Az év során tanított anyag ismerete, alkalmazása, írásban és szóban való érthető megfogalmazása a matematika tanult jelöléseinek segítségével.

Tartalom Az eddig tanult matematika tananyag hangsúlyos részeinek kiemelése, az egyes témakörök közötti kapcsolatok bemutatása, feladatmegoldás.



Matematika 11 S

Részei A logika Számfogalom, műveletek, algebrai ismeretek Egyenletek, egyenlőtlenségek Logaritmusfüggvények és szögfüggvények Hasonlóság és alkalmazása A kör geometriája Trigonometria Statisztika, valószínűségszámítás Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések


Cél • A matematikát szerető, tehetséges tanulók tudásának továbbfejlesztése. • A valós számkör építésének teljesebbé tétele, a függvényszemlélet továbbfejlesztése újonnan megismert

függvények és függvénytulajdonságok alapján, a matematika további alkalmazási lehetőségeinek megmutatása.

• A tanulók felkészítése a KÖMAL pontversenyére és az Arany Dániel matematika versenyre. • Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok:

− különböző bizonyítási módszerek szerepeltetése, − paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elmélyítése − jártasság különböző egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldásában, − alapismeretek a egész együtthatós polinomok elméletéből − pontos fogalomismeret a logaritmussal és a szögfüggvényekkel kapcsolatban − a korlátosság és a monotonitás fogalma, az analízis fogalmainak előkészítése − a hasonlóság többféle alkalmazása (szerkesztésben, bizonyításban, számításokban) − a függvényszemlélet fejlesztése, inverz függvények, szögfüggvények − ismerje a periodicitás fogalmát, ennek következményeit a trigonometrikus egyenletek megoldásában − trigonometriai alapismeretek kialakítása és bővítése − térgeometriai ismeretek − számtani és mértani sorozatokkal kapcsolatos ismeretek elmélyítése, − kamatos kamatszámítás − statisztikai elemzések elvégzése, a valószinűségszámítási alapfogalmak, kombinatorikus gondolkodásra

építve.

Követelmény A tanuló • ismerje a direkt és indirekt bizonyítást, a skatulyaelvet, a teljes indukciót, • tudja megkülönböztetni, helyesen alkalmazni a tételeket és megfordításukat, • ismerje a gyökök és együtthatók összefüggését magasabbfokú egyenleteknél, • ismerjen polinomok szorzattábontási technikáit, • ismerje és tudja alkalmazni logaritmus fogalmát, az ezekre vonatkozó azonosságokat, számolási eljárásokat, • tudja alkalmazni a megismert függvénytranszformációkat, megállapítani a transzformált függvények

tulajdonságait; • ismerje a korlátosság és monotonitás fogalmát, tudja eldönteni és igazolni ezeket a tulajdonságokat; • tudja alkalmazni a hasonlósági transzformációkat, az egybevágóságot és a hasonlóságot szerkesztési, számítási

és bizonyítási feladatokban, • ismerje a számtani és a mértani sorozatot • tudjon kamatos kamatszámításhoz kapcsolódó gyakorlati példákat megoldani • ismerje a statisztikai és valószínűségszámítási alapfogalmakat, és tudja a kombinatorikai eszközöket változatos

módon használni véges halmaz elemeinek megszámlálásához. • ismerje a hasonlóság fogalmát, és alkalmazását szerkesztésekben és bizonyításokban,



• ismerje a kerületi és középponti szögek tételét és tudja azokat alkalmazni • legyen tisztában az érintő- és húrnégyszögek fogalmával, tételeivel és alkalmazhatóságukkal feladatok

megoldásában • ismerje a szögfüggvények definícióját háromszögekben és tudja alkalmazni gyakorlati feladatokban • ismerje a szögfüggvény definícióját tetszőleges szögre • ismerje a trigonometrikus függvényeket és azok transzformációit képes legyen ábrázolni.




1.A logika (15 óra)

II. Algebra: 90 óra 1.Logaritmus (15 óra) 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek (15 óra) 3. Egyenletrendszerek, determinánsok (15 óra) 4. Polinomok (15 óra) 5. Számtani és mértani sorozatok (30 óra)

III. Függvények: 30 óra 1. Logaritmusfüggvény (10 óra) 2. Szögfüggvények és transzformációik (20 óra)

IV. Geometria: 80 óra 1. A hasonlósági transzformáció (15 óra) 2.A hasonlóság alkalmazása (15 óra) 3. A kör geometriája (15 óra) 4. Vektorok, skaláris szorzat (15 óra) 5.Trigonometria (20 óra)

V. Statisztika, valószínűségszámítás: 15 óra VI. Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések: 15 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 14 óra


számonkérés. • A tanév folyamán hat alkalommal témazáró felmérés a szaktanár által összeállított feladatlappal, 1-2 óra

időtartamban. Ezeknek helyét a tanítási sorrend szabja meg.

A logika elemei A tanár 11. S


Cél • A logika nyelvének tudatosabb használata • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció

módszerének biztos alkalmazása • Műveletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” műveletek tudatos alkalmazása • A tétel és megfordítása logikai értékének egyezése illetve különbözősége • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása.



• A logikai értékek Boole-algebrájának megismerése. Boole-algebrák • A feltételek, következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az

ekvivalencia, az implikáció, a konjunkció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásakor.

• A kvantorok fogalmának megismerése, szerepük felismerése (pl. az analízis fogalmainak kiépítésekor).

Követelmény • Részben a többi altémánál fogalmazódik meg. • Önálló követelmény: a tanuló ismerje és egyszerűbb feladatokban tudja alkalmazni matematikai logika elemi

összefüggéseit. • Értsék és megfelelően használják a minden és van, olyan szavakat. • Tudjanak állításokat tagadni. • Ismerjék a logikai értékek Boole-algebráját, tudják azt egyszerűbb esetekben alkalmazni. • Ismerjék a konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia logikai műveleteket; tudják az egyszerűbb

matematikai állítások logikai vázát felépíteni, ismerjék az egyszerűbb bizonyítások logikai formuláját is.

Tartalom • A logika nyelvének tudatosabb használata: az ítélet fogalma, a logikai értékek definíciója • A eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek feltárása, a teljes indukció módszerének

biztos alkalmazása • Műveletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” műveletek • A tétel és megfordítása a matematika különböző területeiről összegyűjtve • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása – feladatokon keresztül (számelméleti, geometriai,

kombinatorikus problémák). • A logikai értékek algebrája. • Boole- algebra és a számtest összevetése • A konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia • Logikai szita formula. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Univerzális és egzisztenciális kvantor. • Megoldatlan problémák a tanórán, az iskolai, matematikában, a matematika történetében.

Logaritmus A tanár 11. S


Cél A valós számok fogalmának pontosabbá tétele. Törtkitevőjű hatvány, a logaritmus fogalmának ismerete, bevezetésük matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. A számítások technikai fejlődése.

Követelmény A tanuló • ismerje a törtkitevőjű hatvány fogalmát • ismerje a logaritmus fogalmát, • ismerje a logaritmus azonosságait, és tudja azokat alkalmazni, • legyen tisztában a számítások pontosságával: a gépi és egyéb módszerek korlátaival, előnyeivel

Tartalom • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése, a hatványozás fogalmának kiterjesztése. • A törtkitevőjű hatvány fogalmának bevezetése. • Műveletek hatványokkal. Inverz műveletek • A logaritmus fogalma, azonosságai. • Zsebszámológép alkalmazása a számolásban. Pontosság kérdése. • Zsebszámológép előtti világ "számítás"technikája.



• Tudománytörténeti problémák. A gyakorlati számítások idő és helykorlátja. • És mire képes a gép? Mire nem?

Egyenletek, egyenlőtlenségek A tanár 11. S


Cél • A korábbi tanévekben megismert egyenlet és egyenlőtlenség-megoldási módszerek ismétlése • Az exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldási módszereinek elsajátítása. • Az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek megoldási módszereinek elsajátítása.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani exponenciális és logaritmusos egyenletet • tudjon megoldani exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségeket • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellenőrizze, • meg tudja különböztetni az ekvivalens átalakítást a nem ekvivalens átalakítástól.

Tartalom • Exponenciális és logaritmikus egyenletek • Exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenlőtlenséggel kapcsolatos ismeretek bővítése.

Logaritmusfüggvények, összetett függvények A tanár 11. S


Cél • A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, ennek kapcsán a

függvényszemlélet fejlesztése. • Tudja, hogy az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma • Az inverz függvény fogalmának elmélyítése • A logaritmus-függvény és tulajdonságainak megismerése

Követelmény A tanuló • legyen képes az első 10 évben megismert alapfüggvények grafikonját és transzformáltjait ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • ismerje meg az összetett függvény fogalmát és tudja értelmezni egyszerűbb esetekben;

Tartalom • A függvény fogalmának és elemi tulajdonságaik átismétlése. • Az elsőfokú-, másodfokú-, abszolútértékes-, egészrész és törtrész függvények, lineáris törtfüggvények,

grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma • Az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • A logaritmusfüggvény, tulajdonságai, transzformációi • A monotonitás, a szélsőértékek, a korlátosság fogalma. • Az összetett függvény. • A geometriai és függvény-transzformációk kapcsolata; • Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása.



Polinomok A tanár 11. S


Cél A polinomok matematikán belüli és természettudományokban történő lehetséges alkalmazásainak megismerése.

Követelmény A tanuló • ismerje az egész együtthatós polinomok fogalmát, a rajtuk értelmezett műveleteket, • ismerje az egész együtthatós polinomok gyökeinek összefüggéseit, • ismerje és tudja alkalmazni a Horner-elrendezést, • ismerjen módszert a racionális gyökök meghatározására.

Tartalom • Egész együtthatós polinom fogalma, műveleteik. • Egész együtthatós polinom gyökök és együtthatók összefüggése. Viete-formulák. • Horner elrendezés. • Egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökei.

Egyenletrendszerek, determinánsok A tanár 11. S


Cél • A két és háromismeretlenes egyenletrendszerek megoldási algoritmusa Gauss eliminációval. • A determináns fogalmának kiépítésével olyan hatékony algoritmust tudunk ajánlani a tanulóknak, amelynek

segítségével a lineáris egyenletrendszerek megoldása egyszerűen tárgyalható.

Követelmény • Ismerjék a determináns fogalmát, tulajdonságait. • A Gauss-féle fokozatos kiküszöbölés módszerét lineáris egyenletrendszerek megoldására. • Ismerjék a Sarrus szabályt és tudják alkalmazni.

Tartalom • A determináns fogalma és tulajdonságai. • Sarrus szabály. • Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszerével.

Számtani és mértani sorozatok A tanár 11. S


Cél • A számtani és mértani sorozat általános tárgyalása, s ezeknek gyakorlati alkalmazásában (pl. kamatos-

kamatszámítás, törlesztési feladatok, járadékszámítás) való megmutatása. • Azonosan teljesülő egyenlőtlenségek ismerete, becslési eljárások használata. • Fibonacci típusú s egyéb rekurzióval megadható sorozatok ismerete.

Követelmény • Ismerjék és tudják alkalmazni a számtani és mértani sorozat n-edik tagjára és összegére vonatkozó képleteket.



• Ismerjenek néhány rekurzióval megadott sorozatot. • Tudják alkalmazni a teljes indukció módszerét feladatok megoldásában.

Tartalom • A számtani és mértani sorozat fogalma. Az n-edik tag és az összegképlet. • Fibonacci-sorozat, rekurzív sorozatok. • A számtani és mértani sorozattal kapcsolatos feladatok. • Teljes indukció alkalmazása feladatok megoldásában.

Hasonlósági transzformációk B tanár 11. S


Cél A hasonlósági transzformációkra vonatkozó ismeretek rendszerezése, a transzformációs szemlélet fejlesztése, feladatmegoldásoknál annak tudatosítása, hogyan kereshető meg a célszerű transzformáció egy probléma megoldásához Pontos fogalomismeret, a transzformációs szemlélet fejlesztése, a hasonlóság többféle alkalmazási lehetőségének (szerkesztésben, bizonyításokban, számításos feladatokban) megmutatása.

Követelmény A tanuló • ismerje a középpontos hasonlóság, a hasonlósági transzformáció fogalmát, a transzformáció tulajdonságait, • tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként megtanult

tételeket, • legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni

Tartalom • Párhuzamos szelők tétele és bizonyítása a kétoldali közelítés módszerével. Párhuzamos szelők tételének

megfordítása. A párhuzamos szelőszakaszok tétele. • A középpontos hasonlóság fogalma, tulajdonságai. Szerkesztési feladatok. • A hasonlósági transzformáció fogalma, alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának alapesetei.

A hasonlóság alkalmazása B tanár 11. S


Cél A hasonlóságra vonatkozó ismeretek rendszerezése és az alkalmazások kiterjesztése

Követelmény A tanuló • legyen képes a hasonlóság tulajdonságait feladatokban alkalmazni • tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként megtanult

tételeket, • legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni

Tartalom • A hasonlóságról tanultak átismétlése. • A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, szögfelezőtétel, arányossági tételek a

derékszögű háromszögben. • Aranymetszés • Euler egyenes, Feuerbach féle kör.



• Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. • Pont körre vonatkozó hatványa, ezzel kapcsolatos tételek.

A kör geometriája B tanár 11. S


Cél • A kör geometriai ismereteinek bővítése. • A kerületi és középponti szögek közötti összefüggés megismerése. • A látókör lehetséges alkalmazásainak felismerése szerkesztési feladatokban.

Követelmény • ismerje az ívmérték fogalmát, a kör részeinek kerület- és területszámítási módját, • ismerje, tudja bizonyítani és alkalmazni a kerületi és középponti szögek tételét és megfordítását, a

húrnégyszögek tételét, az érintőnégyszögek tételét, ismerje a húrnégyszögtétel és az érintőnégyszögek tételének megfordítását,

• ismerje a látókör szerkesztésének módját • ismerje fel a látókörív alkalmazásának szükségességét szerkesztési feladatokban.

Tartalom • A kerületi és középponti szögek tétele, a látószögkörív mint mértani hely. • A húrnégyszög tétele és megfordítása, az érintőnégyszög tétele és megfordítása. • Látókörív szerkesztése. • Háromszög és négyszögszerkesztési feladatok látókörív segítségével. • Ptolemaiosz tétele.

Vektorok, vektorműveletek B tanár 11. S


Cél A vektorok sokirányú felhasználása a geometriai problémák megoldásában. A vektorokkal kapcsolatos műveletek elmélyítése. A skaláris és vektoriális szorzat fogalmának kialakítása

Követelmény A tanuló • ismerje és alkalmazza a vektorokról és vektor-műveletekről tanultakat, • ismerje a vektorok fogalmát, és a vektorok körében végzett összeadást, kivonást és számmal szorzást, ezek

tulajdonságait • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetevőkre, ismerje a vektorfelbontás egyértelműségére

vonatkozó tételt. • ismerje a vektorok skaláris és vektoriális szorzatának a fogalmát és tudja alkalmazni feladatokban • ismerje ugyanezen fogalmakat Descartes féle koordinátarendszerben definiált helyvektorokra is.

Tartalom • A vektorok fogalma, összeadás és kivonás a vektorok körében • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai • Vektorok felbontása síkban és térben. A vektorfelbontás egyértelműségére vonatkozó tétel. • Bázisvektorok, vektor koordinátái. • Vektorműveletek koordinátái. • Skaláris és vektoriális szorzat.



Trigonometria B tanár 11. S


Cél • A szögfüggvényekkel kapcsolatos ismeretek és Pitagorasz tételének összekapcsolása derékszögű

háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatokban. • Térgeometriai számítások • Ezeknek a számításoknak a felhasználása a természettudományos tárgyakban. • Ponthalmazok koordinátákkal való jellemzésével a koordinátageometria módszeres tárgyalásának előkészítése.

Követelmény A tanuló • készség szinten tudja derékszögű háromszög hiányzó adatait kiszámolni Pitagorasz tételének vagy a

szögfüggvényeknek a felhasználásával, • tudja ezeket a számításokat alkalmazni egyéb síkbeli és térbeli alakzatok hiányzó adatainak meghatározásához;

számításainál használja célszerűen a zsebszámológépet,

Tartalom • Pitagorasz tétele és megfordítása síkban és térben. • Szögfüggvények a derékszögű háromszögben • Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között • A szögfüggvények alkalmazása síkbeli és térbeli geometriai, valamint fizikai feladatok megoldására. • Szakasz merőleges vetületének hossza. • Síkbeli és térbeli vektor koordinátái. • Számolás vektorokkal

Szögfüggvények B tanár 11. S


Cél A függvényszemlélet fejlesztése a szögfüggvények megismertetésével. A periodicitás, mint függvénytulajdonság elmélyítése. A függvénytranszformációkról tanultak alkalmazása.

Követelmény A tanuló • ismerje a definiált szögfüggvényeket és elemi tulajdonságaikat, • ismerje ugyanazon szög szögfüggvényei közötti kapcsolatokat, • tudja ábrázolni és tulajdonságaival jellemezni a szögfüggvények transzformáltjait, • a definíciók és a grafikonok segítségével tudjon megoldani trigonometrikus egyenletet és egyenlőtlenséget.

Tartalom • Az egységvektor koordinátái, a sinus és cosinus függvény. • A sinus- és cosinusfüggvény alapvető tulajdonságai (periodicitás, zérushelyek, helyi szélsőértékek, párosság,

páratlanság, monotonitás, korlátosság), • a sinus és coninus-függvények ábrázolása, • transzformáltjaik, azok ábrázolása, tulajdonságainak megfogalmazása. • A tg és a ctg függvények definíciója, ábrázolása, tulajdonságai. • Összefüggés ugyanazon szög szögfüggvényei között, a sin és cos függvények között. • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása a definíciók alapján és grafikus úton. Az

ellenőrzés lehetősége végtelen sok megoldás esetén.



Valószínűség, statisztika B tanár 11. S


Cél Statisztikai adatok összegyűjtése és az adatok jellemzése matematikai módszerekkel. A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása valószínűségi kísérletek elvégzése alapján. A valószínűség matematikai fogalmának kiépítése. A kombinatorikus modell alkalmazhatósága. Tapasztalatszerzés a geometriai modell alkalmazására.

Követelmény A tanulók • ismerjék a statisztikai adatsokaság jellemzésére használt legalapvetőbb mutatókat (módus, medián, átlag,

szórás, gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás-függvény), • ismerjék az eseményalgebra alapfogalmait: a biztos esemény,a lehetetlen esemény, az ellentett esemény

fogalmát, az összeg és szorzatesemény fogalmát, a kizáró események fogalmát , • ismerjék az eseményalgebra alapazonosságait (kommutativitás, asszociativitás, kétféle disztributivitás, De

Morgan azonosságok), • tudjanak egyszerű eseményalgebrai azonosságokat igazolni, • ismerjék meg az események valószínűségének fogalmát, • tudjanak kísérleti úton meghatározni bizonyos teljes eseményrendszerekhez tartozó relatív gyakoriságokat, • tudják alkalmazni a kombinatorikát bizonyos események valószínűségének kiszámítására,

Tartalom • Változatos statisztikai adatgyűjtés (pl. iskola tanulóinak magassága, lábbeli mérete, születési hónapja,

keresztneve, születési helye stb.), majd az adatok elrendezése: hisztogramkészítés, módus, medián, átlag, szórás meghatározása.

• A szórás és átlag szerepe a számsokaság jellemzésénél. Csebisev tulajdonság. • Az eseményalgebra fogalmainak megismerése, az azonosságok bizonyítása. • Az algebrai struktúra összevetése a valós számok (egész számok) algebrájával, a halmazalgebrával. • Változatos valószinűségi kísérletek elvégzése ( egyenletes eloszlás, együttes eloszlás, bimoniális, geometriai,

hipergeometriai eloszlású valószinűségi változóra, ismert p és ismeretlen p, betűelőfordulás, titkosírásfejtés) • A kísérletek statisztikai elemzése, módus, medián, átlag, szórás.

• Eseményekhez tartozó relatív gyakoriságok változása a kísérletszám függvényében, a kn

érték stabilitása.

• A valószínűség fogalma. • A valószínűség kiszámítása bizonyos esetekben kombinatorikus módszerrel.



Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, összefüggések, eljárások összefoglalása. A különböző témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Összetettebb feladatok megoldása, a munka megszervezése az adott osztály, csoport érdeklődésének, helyzetének megfelelően. Azoknak a tanulóknak, akik alapvizsgát kívánnak tenni, a felkészülés biztosítása.

Követelmény Az év során tanított anyag ismerete, alkalmazása, írásban és szóban való érthető megfogalmazása a matematika tanult jelöléseinek segítségével.



Tartalom Az eddig tanult matematika tananyag hangsúlyos részeinek kiemelése, az egyes témakörök közötti kapcsolatok bemutatása, feladatmegoldás.



Matematika 12 S

Részei Gráfok Lineáris algebra Sorozatok Az analízis elemei Vektorok, trigonometria Komplex számok Koordináta-geometria Valószínűségszámítás, statisztika Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret


Cél A matematikát szerető, a matematikai problémák iránt érdeklődő tanulók számára érdekes, nehezebb, gondolkodtató feladatok, problémák kitűzésével, a különböző megoldási lehetőségek, diszkussziók megbeszélésével a matematika iránti érdeklődést (a pályaválasztást is segítendő ) tudatosan fejlesztjük. A fejlesztés érdekében célszerű a feladatokat szakköri feladatgyűjteményekből, a KÖMAL-ból is választani. Cél az ezen osztályba járó tanulók közül azokat, akik várhatóan a matematikai versenyeken is jól szerepelhetnek, a versenyekre is felkészíteni. Ehhez feltétlenül szükséges az is, hogy a feladatok megoldását megfelelően kellő pontossággal és részletességgel le is tudják írni. Ebbe az osztályba járó tanulók zöme feltételezhetően olyan egyetemre, főiskolára fog kerülni, ahol a matematikát, mint elméleti- és/vagy mint alkalmazott tudományt fogják tanulni. Ezért nem elég érdekes, a logikát fejlesztő feladatokat feldolgozni otthoni munkával és a tanórán, hanem cél felkészíteni olyan ismeretekre is őket, melyek későbbi tanulmányaikat elősegítheti. Így nem hagyható el a többi tanuló számára is kötelezően tanított tananyag (pl. a trigonometria és koordináta-geometria). A gondolkodást fejleszti az alábbi témák problémáinak mélyebb szintű feldolgozása is: logikai feladatok, a kombinatorika, a gráfok, az algoritmusok, különböző játékok. A sikeres továbbtanulásra való felkészítésben például a lineáris algebra, analízis, valószínűségszámítás játszik komoly szerepet.

Követelmény • A tanulók tudják a permutáció, variáció, kombináció fogalmát ismétléses és ismétlés nélküli esetekben

összetettebb feladatokban is alkalmazni. Találkozzanak színezési feladatokkal, a gráfok különböző témakörökben, mint modellek is szerepeljenek, s tudják gráfokat alkalmazni is.

• Tudjanak összetettebb trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket (paramétereseket is) megoldani, azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, miként zárhatják ki a hamis gyököket.

• Ismerjék a mátrix és a determináns fogalmát. A mátrixok között értelmezhető műveleteket, a determinánsra vonatkozó néhány tételt. Ismerjék a mátrix és a determináns felhasználhatóságát (egyes geometriai transzformációk tárgyalásában s az egyenletrendszerek megoldásában).

• Tudják alkalmazni a gráfokat a matematika különböző területein. • Ismerjék az Euler-féle poliéder tételt, tudjanak néhány játékalgoritmust és rendezési algoritmust. • Ismerjék a sorozat fogalmát. Ismerjék a sorozat határértékének definícióját, s egyes sorozatoknál tudják a

határértéket megállapítani. Ismerjék a függvény folytonosságának, határértékének és deriválhatóságának fogalmát. Tudják a tanult differenciálási szabályokat a függvényvizsgálatban. Tudjanak szélsőértékeket megállapítani elemien (a közepek alkalmazásával), s a differenciálás segítségével is.

• Ismerjék a komplex számok fogalmát és tudjanak alapműveleteket végezni a komplex számok körében. • Tudják, hogyan lehet komplex számokkal a sík pontjait jellemezni, bizonyos geometriai feladatokat komplex

számok segítségével megoldani. • Ismerjék a sinus- és cosinus tételt, az addíciós képleteket, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.



• Ismerjék az egyenes egyenletét, ill. egyenletrendszerét (síkban és térben), a sík egyenletét, a kör és a gömb, a kúpszeletek tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési, és ponthalmaz keresési feladatot koordináta-geometria segítségével megoldani.

• Ismerjék a valószínűségi változó, a várható érték és a szórás fogalmát. Tudjanak klasszikus valószínűségi feladatokat megoldani. Egyszerűbb esetekben ismerjék fel a binomiális-, a geometriai- és a hipergeometriai valószínűségi változót. Találkozzanak valószínűségi játékokkal. Ismerjék a feltételes valószínűséget. Teljes valószínűség tétele. Bayes tétel (fa módszerrel).

• Legyenek tisztában a várható érték fogalmával. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószínűségét is meg tudjuk határozni,

melyeknek végtelen sok kimenetele lehet.




1. Gráfok (20 óra)

II. Számtan-algebra: 15 óra 1.Lineáris algebra (15 óra)

III. Függvények, sorozatok: 80 óra 1.Sorozatok (20 óra) 2.Az analízis elemei (60 óra)

IV. Geometria: 85 óra 1.Trigonometria (30 óra) 2.Komplex számok (15 óra) 3.Koordináta-geometria (40 óra)

V. Valószínűségszámítás, statisztika: 30 óra VI. Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret: 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 21 óra

Értékelés a/ Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése b/ Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. iskolai dolgozatok, 2. az év során hét 1 -2 órás dolgozat s ezeknek teljes órában történő értékelése,

Gráfok A tanár 12. S


Cél • Gráfokkal kapcsolatos alapismeretek kialakítása, s azok felhasználása modellalkotásra a matematika

különböző területein. • A gráfok használatának megmutatása matematikatörténeti feladatokban is. • Ismerjék a "magyar matematika" jelentőségét a XX. században, ismerkedjenek művelőinek életpályájával

(Kőnig Dénes, Neumann János, Kalmár László, Péter Rózsa, Erdős Pál, Lovász László).



Követelmény • Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszerű feladatokat megoldani. • Az Euler-féle poliédertétel alkalmazásainak megismerése. • Az ötszintétel bizonyításának megismerése. • A négyszíntétel bizonyításának problematikája.

Tartalom • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, fokszám, egyszerű gráf, összefüggő gráf, komplementer

gráf, fagráf, kör, páros gráf). • Speciális gráfok és részgráfok (teljes gráfok, Euler-vonal, Hamilton-kör). • Az Euler-féle poliéder-tétel. Síkbarajzolhatóság fogalma és feltétele. • Euler-féle poliédertétel többfajta bizonyítása. • Szinezési problémák. Az ötszíntétel és bizonyítása a síkbarajzolhatóság felhasználásával. • A négyszíntétel problematikájának felvetése. • Hall-tétel, Turán-tétel • Magyar matematikusok a XX. században a tudomány előrevívői, módszereik. • Kőnig Dénes, Neumann János, Erdős Pál, Kalmár László, Péter Rózsa, Lovász László munkássága.

Lineáris algebra A tanár 12. S


Cél • A két és háromismeretlenes egyenletrendszerek megoldási algoritmusa alapján az n-ismeretlenes lineáris

egyenletrendszerek általános megoldásának módját megmutatva a matematikai modellalkotásának egyik lehetséges útjára is rávilágíthatunk.

• A korábban tanult egy és kétváltozós műveletek konkrét tulajdonságainak elemzése alapján az egy- és kétváltozós művelet fogalmának kialakítása, a műveleti tulajdonságok tudatosítása.

• A mátrix és a determináns fogalmának kiépítésével, a mátrixok közötti műveletek megismerésének segítségével olyan hatékony algoritmust tudunk ajánlani a tanulóknak, amelynek segítségével a lineáris egyenletrendszerek megoldása, bizonyos geometriai transzformációk, egyszerű kétszemélyes mátrix játékok egyszerűen tárgyalhatók.

Követelmény • A tanulók ismerjék az egy- és kétváltozós művelet fogalmát, ismerjenek műveleti tulajdonságokat • Ismerjék a mátrix fogalmát, mátrixok között értelmezett műveleteket. • Ismerjék a determináns fogalmát, tulajdonságait. • Ismerjék a mátrixok geometriai felhasználhatóságát.

Tartalom • A korábban tanult egy- és kétváltozós műveletek rendszerezése a műveleti tulajdonságok szerint. • A mátrix fogalma, négyzetes mátrix, egység mátrix, nullmátrix, inverz mátrix. • Műveletek a mátrixok körében (összeadás, kivonás, számmal szorzás, szorzás, invertálás). • A determináns fogalma és tulajdonságai. • A mátrixok és a vektorműveletek. • Néhány lineáris programozási feladat • Origo körüli forgatás megadása mátrix-szal.



Sorozatok A tanár 12. S


Cél • Sorozatokkal kapcsolatos fontos ismeretek (monotonitás, konvergencia, korlátosság ismerete) és feladatokon

való alkalmazása. • Végtelen mértani sor összegképletének használata. Végtelen szakaszos tizedestörtek és a racionális számok

kapcsolatának bizonyításával a számfogalom mélyítése.

Követelmény • Értsék a sorozat korlátosságának, monotonitásának, konvergenciájának fogalmát, tudják meghatározni

sorozatok határértékét. • Ismerjék a végtelen mértani sort, tudják az összeg-képletet levezetni. • Tudják, hogy a végtelen szakaszos tizedestört hogyan és miért írható fel két egész szám hányadosaként.

Tartalom • Sorozatok korlátossága, monotonitása. • A határérték fogalma. • A konvergens sorozatok tulajdonságai. Határértékszámítási módszerek. • A

n

n11 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + sorozatok és az e szám.

• Sorozatok konvergenciája. • A végtelen mértani sor.

Az analízis elemei A tanár 12. S


Cél • Az analízis elemei bővítik a függvényekről tanultakat. A függvényhatárérték, a folytonosság, a

differenciálhányados fogalma a matematikában, a természettudományokban egyaránt igen fontos szerepet játszik (érintő, sebesség, gyorsulás stb.). A differenciálási szabályokkal célszerű megismertetni a matematika iránt érdeklődő s a matematikát a későbbiekben is használni akaró tanulókat.

• Olyan függvények vizsgálata is célunk, melyeket elemi úton nem tudunk megismerni. • Fontos az elemi szélsőérték vizsgálatok (másodfokú függvénnyel, közepekkel történő módszerek) mellett a

differenciálszámítás eszközeinek ismerete.

Követelmény • Ismerjék a tanulók a függvény határértékének és folytonosságának fogalmát. • Tudják a tanult függvények adott helyhez tartozó határértékét megállapítani. Tudjanak példákat adni folytonos

és nem folytonos függvényekre. • Ismerjék és értsék a differenciálhányados fogalmát. Ismerjék az összeg, szorzat, hányados deriválási szabályát.

Tudjanak polinomot, algebrai törtfüggvényeket és trigonometrikus függvényeket differenciálni. • Ismerjék az összetett függvény deriválási szabályát. • Ismerjék az inverz függvények deriváltjainak összefüggését. • Ismerjék az exponenciális- és a logaritmus-függvény deriválási szabályát. • Ismerjék a differenciálszámítás középérték-tételeit. (Rolle- és Lagrange-tétel) • Tudják, hogy a deriváltfüggvény segítségével hogyan vizsgálható a függvény menete, hogyan lehet

meghatározni a függvény lokális szélsőértékeit. • Ismerjenek elemi módszereket is a szélsőértékek megállapítására. • Ismerjék meg a konvexitás és konkavitás fogalmát, és e tulajdonságok kapcsolatát a deriváltfüggvények

menetével.



• Tudják, hogyan változott a függvényfogalom, a függvények tulajdonságainak vizsgálati módszere a matematikatörténet során, és kinek a munkássága volt a legnagyobb hatással e tudományág fejlődésére.

Tartalom • A függvény folytonossága, a folytonos függvények tulajdonságai. • Függvény határértéke a véges helyen és a végtelenben. • Függvény határértéke jobbról és balról, a határérték tulajdonságai, kiszámítási módjai • Határátmeneti tételek. • A differenciálhányados, a differenciálhatóság, a deriváltfüggvény. • Összeg, szorzat, hányados, polinomok, algebrai törtfüggvények, trigonometrikus függvények deriváltja. • Az összetett függvény deriválási szabálya. • Az inverzfüggvény deriváltja. Az exponenciális- és logaritmusfüggvény deriváltja. • Arcus függvények deriválási szabályai. • Konvexitás, konkavitás. Inflexiós pontok. • A függvénymenet vizsgálatára, a szélsőértékekre vonatkozó tételek. • Teljes függvényvizsgálat az analízis eszközeivel és a számítógéppel. • Szélsőértékfeladatok megoldása az analízis eszközeivel. • Az analízis módszereinek fejlődése, a fogalmak tartalmának változása - tudománytörténeti vonatkozások:

Newton, Leibniz, Cantor élete és munkássága.

Trigonometria B tanár 12. S


Cél • A térbeli derékszögű koordinátarendszer megismerése, használata • A sinus- és cosinustétel alkalmazásával, háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számítások és bizonyításos

feladatok, a gyakorlatban távolság, magasság, szög, sebesség, erő meghatározása. • Ismerje az addíciós tételeket és ezeknek alkalmazási lehetőségeit. • A zsebszámológép és a személyi számítógép célszerű használata, gyakorlati feladatokban megfelelő

pontosságú értékek meghatározása.

Követelmény • Ismerjék a skaláris és vektoriális szorzat fogalmát, tulajdonságaik koordinátákkal való kiszámítási módját. • Tudják ezeket alkalmazni a bizonyításokban és feladatmegoldásokban. • Ismerjék a sinus- és cosinustételt (levezetésüket is), s tudják alkalmazni a háromszög hiányzó alkotórészeinek

meghatározásában. • Ismerje az addíciós tételeket és ezeknek alkalmazási lehetőségeit. • Tudja bizonyítani a trigonometrikus azonosságokat. • Ismerje a trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módszereit.

Tartalom • Különböző vonatkoztatási rendszerek. A térbeli derékszögű koordinátarendszer. Térbeli vektorok. • A skaláris és vektoriális szorzat használata, koordinátákkal való kiszámítási módjuk. • A vektorműveletek és a kétváltozós műveletek. • A sinus- és cosinustétel. • Addiciós tételek. • Összetett számítási feladatok síkban és térben, a térelemek méretes vonatkozásai. • Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek.



Komplex számok B tanár 12. S


Cél Ismerjék meg a tanulók a számkör-bővítés egyik lehetséges módját. Tudjanak a komplex számokkal alapműveleteket végezni. Ismerjék meg a komplex számok néhány alkalmazását az algebrában, a geometriában és a fizikában.

Követelmény • A tanulók ismerjék meg a komplex számok fogalmát. • Ismerjék a komplex számokon értelmezett alapműveleteket, a hatványozást és a gyökvonást mind a kanonikus

mind pedig a trigonometrikus alakban. • Ismerjék az egységgyökök fogalmát. • Ismerjék a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldási algoritmusát és a diszkussziót. • Ismerjék az algebra alaptételét és annak egyszerűbb következményeit. • Tudják valós együtthatós polinomok gyökeit keresni a komplex számtest felett. • Ismerjék a GAUSS-féle számsíkot, és tudjanak az egybevágósági- és hasonlósági transzformációk valamint a

komplex számok közt végzett műveletek kapcsolatáról. • Tudjanak egyszerűbb esetekben geometriai feladatokat komplex számsíkon értelmezni és megoldani. • Ismerjék a komplex számok felhasználásának néhány módját fizikából.

Tartalom • A komplex számok fogalma, a kanonikus és a trigonometrikus alak. Komplex szám konjugáltja és abszolút

értéke. • A GAUSS-féle számsík. • A négy alapművelet elvégzése komplex számokkal. • A komplex számok teste a valós számok testének egy lehetséges kibővítése: a műveleti azonosságok

permanenciája. • Moivre-tétel. Hatványozás és gyökvonás komplex számokból. Egységgyökök, primitív egységgyökök. • Másod-, harmad-, negyedfokú egyenletek megoldása komplex számok felett. A megoldhatóság vizsgálata. • Az algebra alaptételének egyszerűbb következményei: a valós együtthatós polinomok felbontása irreducibilis

polinomok szorzatára. • Komplex számok felhasználása geometriai problémák megoldásánál. • Fizikai alkalmazások.

Koordináta-geometria B tanár 12. S


Cél • Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenlőtlenségek,

egyenletrendszerek segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)

• Az egyenes, a kör, a kúpszeletek egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban. Térben az egyenes vektor-egyenlettel, egyenletrendszerrel, a sík lineáris egyenlettel adható meg.

• A kúpszeletek: a kúp síkmetszetei. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben (Pl. Kepler-törvények.)

Követelmény • Ismerjék a koordináta-síkban lévő egyenes néhány egyenletét, a párhuzamosság és merőlegesség feltételét, a

kör középpontú és általános egyenletét.



• Ismerve a kúpszeletek definícióját, szimmetria tulajdonságait le tudják vezetni a parabola tengelyponti egyenletét, az ellipszis és hiperbola kanonikus egyenletét. Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.

• Ismerjék az egybevágósági transzformációk, bizonyos hasonlósági transzformációk és a merőleges affinitás hatását a pontokra, az alakzatokra.

• Ismerjék a kúpszeletek érintőinek geometriai fogalmát, ez érintők szerkesztésének és egyenletük kiszámításának módszereit.

• Tudják összekötni a függvényeknél tanult érintőfogalmat a geometriai érintőfogalommal. • Ismerjék, hogy a henger és a kúp síkmetszete mi lehet. • Tudják a térelemek méretes vonatkozásait megfelelő adatok segítségével meghatározni. • Ismerjék a térbeli egyenes és sík koordináta-geometriai megadási módját.

Tartalom • Az egyenes irányvektoros egyenlete (síkban és térben). Síkban az egyenes normálvektoros és általános

egyenlete. Adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenlete. A párhuzamosság és merőlegesség feltétele.

• A sík egyenlete. • Két pont távolsága, a kör középponti és általános egyenlete. • Kúpszeletek definíciója, elemi tulajdonságai és speciális egyenletei. • Kúpszeletek érintői és ezek tulajdonságai. Az érintők szerkesztése és egyenletük felírása. • A henger és a kúp síkmetszetei. • A tanult alakzatok egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. Távolsággal kapcsolatos

feladatok.

Valószínűségszámítás, statisztika B tanár 12. S


Cél • Matematikatörténeti feladatok, játékesélyek elemzése. A valószínűségi feladatokban az érdekesség és a

felhasználhatóság megmutatása. • A valószínűség fogalmának elmélyítése: a modellalkotás folytatása. A binomiális-, a geometriai- és a

hipergeometriai eloszlások felismerése, paramétereinek számítása. • Feltételes valószínűségre néhány feladat bemutatása.

Követelmény • Ismerjék, hogy ha egy valószínűségi kísérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenlően

valószínűek, akkor egy esemény valószínűségi kombinatorikus úton határozható meg. • Értsék meg, hogy egyes események valószínűsége bizonyos feltételektől függhet. • Ismerjék fel a tanult valószínűségi változót. • A nagy számok törvényének megismerése.

Tartalom • Valószínűségi változó, várható érték. • A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja. • Az egyenletes eloszlás. A binomiális eloszlás. A geometriai eloszlás. A hipergeometriai eloszlás. • A lottó, a totó telitalálatának valószínűsége. • Találati valószínűség a céltáblán, járművek megállítása egy útvonal egyik szakaszán, a geometriai

valószínűségi modell bemutatása, egyszerű geometriai valószínűségek kiszámítása. • Binomiális eloszlás. • Geometriai eloszlás. • Hipergeometriai eloszlás. • Együttes eloszlások várható értéke, szórása. • Néhány játék valószínűségi elemzése. • Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel (fa módszerrel). • Nagy számok törvénye.



Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret 12. S


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböző témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Feladatok megoldása.


Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböző anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása.



Matematika 13 S

Részei Az analízis elemei II. Térgeometriai ismeretek Geometriai mértékek Az ábrázoló geometria elemei Halmazok számossága Rendszerező összefoglalás


Cél • A tanév fő feladata az osztály tanulóinak az emelt szintű érettségire s a felsőoktatás igényes

matematikaoktatásában való eredményes részvételre történő felkészítése. • Ennek érdekében szükséges az alapos rendszerező összefoglalás, a biztos feladatmegoldás, s olyan

ismeretekbe, matematikai módszerek alkalmazásába való bevezetés (pl. a térgeometriába, az integrál-számításba), melyek a későbbi tanulmányaikba a matematikai anyag jó megértését s az alkalmazási készséget lehetővé teszik.

• Továbbra is cél az osztály legjobbjainak a versenyekre (OKTV) való felkészítése.

Követelmény • A tanulók legyenek képesek helyes logikai következtetésekre, tanult viszonyítások reprodukciójára,

bizonyítási feladatok megoldására. • Ismerjék a kétoldali megközelítés módszerét (pl. a terület és térfogatszámításban), az integrál, az

integrálhatóság, a primitív függvény definícióját. • Tudják alkalmazni a Newton-Leibniz tételt, a határozott integrál tulajdonságait. • Ismerjék az integrál néhány fizikai alkalmazását. • Ismerjék az integrálnak a geometriában való fontos voltát, az ún. görbe alatti terület, illetve a forgástestek

térfogatának meghatározásában. Tudják kiszámítani a tanult síkidomok területét, testek térfogatát és felszínét. • Ismerjék a térelemek hajlásszögének, távolságának fogalmát. Legyenek képesek ezeket feladatokban

alkalmazni. • Ismerjék a merőleges vetítés tulajdonságait, a Monge-féle két képsíkos ábrázolás elemeit. • Ismerjék meg a halmazok számosságát, a megszámlálható és a kontinuum számosság fogalmát. • Az emelt szintű érettségire való felkészülést rendszerező összefoglalással, összetett és vegyes típusú

feladatokkal segítjük. A tanult témakörökben (a halmazok és matematikai logika; kombinatorika; számfogalom, műveletek, számolási eljárások; egyenletek; lineáris algebra; függvények, sorozatok; analízis; geometriai alakzatok; geometriai transzformációk; geometriai mértékek; vektorok, trigonometria, koordináta-geometria; statisztika és valószínűségszámítás) megerősítjük a tanult fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat.

• Ismerjék a matematikatörténet kultúrtörténeti összefüggéseit. • Tudják, hol és milyen módon alkalmazhatóak a matematika eredményei • Ismerjék néhány matematikus pályaképét.

Tartalom

I. Gondolkodási módszerek: 10 óra 1.Halmazok számossága (10 óra)

II. Függvények: 70 óra

1. Az analízis elemei II. (70 óra)

III. Geometria: 65 + 15 óra 1. Geometriai mértékek (30 óra) 2. Térgeometriai ismeretek (35 óra) 3. Az ábrázoló geometria elemei (15 óra)



IV. Rendszerező összefoglalás: (Részletezés később) 43+15 óra V. Témazáró dolgozatok és javítások 21 óra

Értékelés a/ Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b/ Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. dolgozatok, félévente 1-1 házi dolgozat különös tekintettel az emelt szintű érettségi követelményeire. 2. az új anyagból 1-2 órás felmérés és ezeknek teljes órákban történő értékelése. 3. a rendszerező összefoglalásból legalább két alkalommal kétórás felmérés, s ezeknek teljes órákban történő értékelése.

Az analízis elemei II. A tanár 13. S


Cél • Az integrálszámítás elemeivel eszközhöz juttatni a tanulókat, melyek mind matematikai (pl. terület és

térfogatszámítás), mind pedig fizikai (pl. sebességből az út meghatározása, a végzett munka) problémák megoldásához segítséget nyújt.

• Átlássák a tanulók a közelítő érték és pontos érték problémáját a határozott integrállal tárgyalható feladatokban is. Eredményeik pontosságát meg tudják becsülni.

• Készítse elő a tanulók természettudományos felsőfokú tanulmányait.

Követelmény • Ismerjék a tanulók a kétoldali közelítés módszerét, és tudják is azt alkalmazni. • Ismerjék a négyzetszámok és köbszámok összegére vonatkozó képletet - levezetéssel együtt. • Ismerjék a határozott integrál fogalmát, tulajdonságát, a primitív függvény fogalmát, a Newton-Leibniz tételt, s

tudják a felsoroltakat feladatokban alkalmazni. • Ismerjék a téglány- és trapézszabályt, s tudják, hogy ezeknél a lépésköz megválasztásától hogyan függ a

pontosság.

Tartalom • A parabolikus háromszög területe. • Alsó- és felső közelítő-összegek. • A határozott integrál fogalma és tulajdonságai. • Az integrál, mint a felső határ függvénye. • A primitív függvény fogalma és tulajdonságai. • A Newton-Leibniz tétel, és felhasználása határozott integrál kiszámításához. • Közelítő integrálás (téglány és trapéz szabály). • Az integrálszámítás algoritmusai. • Improprius integrál. • Néhány egyszerűbb differenciálegyenlet és megoldásuk. • Kapcsolat a geometriai mértékekkel, a fizikai fogalmakkal.

Halmazok számossága A tanár 13. S


Cél • Véges és végtelen halmazok ekvivalenciájának megismerése. • A megszámlálható és kontinuum számosság fogalmának kialakítása.



Követelmény • Értsék a megszámlálható halmaz fogalmát • Tudják, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható. • Tudják, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható. • Ismerjék a számosság fogalmát. • Ismerjék a kontinuum számossága fogalmát.

Tartalom • Véges és végtelen halmaz ekvivalenciája, halmazok számossága. • Végtelen halmaz végtelen részhalmazának számossága. • A racionális és valós számok halmazának számossága. • Számosság fogalma. • Kontinuum számosság fogalmának kialakítása • Hatványhalmaz számossága.

Geometriai mértékek B tanár 13. S


Cél • A terület, felszín, térfogat szemléletesen megismert fogalmait matematikailag egzakt formába öntjük. • A régről ismert terület-, felszín- és térfogatképleteket igazoljuk. • A kétoldali közelítés módszerének és az integrálszámításnak a felhasználása a bizonyításokban.

Követelmény • Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszöget, a kör és részeinek értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Ismerjék a síkidomok területének és a testek térfogatának definícióját. • Ismerjék az alapvető terület, felszín, térfogatképletek bizonyítását, s ezeket a képleteket tudják feladatokban

alkalmazni.

Tartalom • A területfogalom és tulajdonságai. • A téglalap területe, a paralelogramma területe, trapéz, háromszög és deltoid területe. A sokszög területe. • A területszámítás alkalmazásai. • Sokszög merőleges vetületének területe. • Görbevonalú síkidomok területe. Területszámítás határozott integrállal (ismétlés). • A térfogat fogalma és tulajdonságai. • A téglatest térfogata, a paralelepipedon térfogata, a hasábok térfogata. • A tetraéderek, gúlák és csonkagúlák térfogata. • A szabályos testek térfogata. • Henger, kúp, csonka kúp, gömb, tórusz, ellipszoid, hiperboloid, forgástestek térfogata (ismétlés).

Térgeometriai ismeretek B tanár 13. S


Cél • A gyakorlati életben előforduló síkidomok definícióinak, testek származtatási módjának biztos ismerete.



• A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése s alkalmazása gyakorlati feladatokban

• A térszemlélet fejlesztése. • Az alapvető testek ismerete (kocka, téglatest, paralelepipedon, tetraéder, gúla, hasáb, gömb. • A szabályos testek ismerete • Testek elkészítése, a modellezés különböző módszereinek ismerete. • Kombinatorikai problémák megoldása a testekkel kapcsolatosan. Síkmetszetek, áthatások felismerése. • Pontok, testek jellemzésének különféle lehetőségei a térbeli koordinátarendszerekben.

Követelmény • Ismerjék a térelemek szögének, távolságának (kitérő egyenesek normál transzverzálisát is) fogalmát, és tudják

ezeket különböző adatokból számítani. Tudják ezeket testekkel kapcsolatos számításokban alkalmazni. • Ismerjék a merőleges vetítés tulajdonságait. • Tudjanak méretes, illetve metszési feladatokat megoldani. • tudjon modellt készíteni az egyszerűbb testekből, ismerjen alapvető számolási eljárásokat • Tudják bizonyítani, hogy ötféle szabályos test van.

Tartalom • Térelemek távolsága, szöge. • Testek származtatása: paralelepipedon, hasáb, gúla, csonka gúla, tetraéder, oktaéder, dodekaéder, ikozaéder. • A kocka, a téglatest és a paralelepipedon • A tetraéder és a gúla • A hasáb és a poliéder • A szabályos testek származtatása • A szabályos testek tulajdonságai. • Gömb. • Beírásos, érintési feladatok a térben. • Mértani helyek a térben. • Összetett feladatok térben • Térgeometriai feladatok megoldása vektorokkal, koordináta-módszerrel • Henger, kúp, csonkakúp, gömb, ellipszoid, hiperboloid, tórusz, forgástestek.

Az ábrázoló geometria elemei B tanár 13. S


Cél • A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése s alkalmazása

gyakorlati feladatokban. • A merőleges vetítés. Egyszerű testek két képsíkos ábrázolása, illetve elöl és felülnézeti képből a test

rekonstrukciója mind a műszaki, mind a művészeti felsőoktatásban továbbtanulásra való felkészítés segítségének érdekében.

• A térszemlélet fejlesztése.

Követelmény • Ismerjék a térelemek szögét, távolságát (kitérő egyenesek normál transzverzálisát is). • Ismerjék a merőleges vetítés tulajdonságait. • Tudják hasáboknak, gúláknak, hengereknek, kúpoknak elölnézeti és felülnézeti képét megszerkeszteni, s a

megszerkesztett képekből a testre következtetni. • Tudják miként biztosítható a Monge-féle ábrázolásban, hogy négy pont vagy két egyenes egy síkban legyen. • Tudjanak egyszerű méretes, illetve metszési feladatokat megoldani.

Tartalom • Térelemek távolsága, szöge. • A két képsíkos ábrázolás elemei: pont, szakasz, egyenes sík, egyszerű testek ábrázolása. • Rekonstrukció.



• Egy-két metszési, illetve távolságra vonatkozó feladat speciális felvétel melletti ábrázolása.

Rendszerező összefoglalás 13. S

Óraszám Iskolai: 43 +15 óra

Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésének, a tanult témakörök súlyponti fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával az emelt szintű érettségire s a felsőoktatásban való sikeres részvételre felkészítés. Matematikatörténeti vonatkozások ismerete. A matematika egyes filozófiai kérdéseinek taglalása. A matematika eredményeinek felhasználása a különböző tudományokban.

Követelmény Tudják a tanulók a tanult fogalmak definícióját, tételeket (egyesek bizonyítását is, a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat, a matematikával a tudományokban és a gyakorlatban való felhasználhatóságát. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat matematikai feladatokban (bizonyítási feladatokban is) s más tantárgyak megfelelő feladataiban alkalmazni. Ismerjenek nagy matematikai felfedezéseket és a felfedezések történetét, az egyes fogalmak történeti alakulását, az egyes matematikusok életpályáját. Tudják megválaszolni azt a kérdést, hogy mi a matematika.

Tartalom

G o n d o l k o d á s i m ó d s z e r e k : a/ Halmazok, matematikai logika

Halmazok, megadási módjai, részhalmaz, kiegészítő halmaz. Halmazok közötti műveletek. Végtelen halmazok elmélete; számosságok. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. Univerzális és egzisztenciális kvantor.

b/ Kombinatorika, gráfok, algoritmusok Permutáció, variáció, kombináció. Binomiális tétel. Pascal háromszög. Elemi gráfelméleti ismeretek. Bejárási problémák, színezései kérdések, Euler-féle poliédertétel, síkbarajzolhatóság, ötszíntétel, négyszíntétel. A bizonyítások fejlődése és a bizonyítási módszerek változása. Egyszerű algoritmusok, játékok. Lépésszám-kérdések.

S z á m t a n - a l g e b r a

a/ Számfogalom, műveletfogalom, számolási eljárások

A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Az alapműveletek és tulajdonságaik. Közelítő értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak.

b/ Egyenletek, egyenlőtlenségek, a lineáris algebra elemei Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások.



Az ellenőrzés szerepe. Paraméteres feladatok. Azonosságok. Egyenletrendszerek. A fokozatos közelítés módszere. Szöveges feladatok. Polinomok gyökei. Megoldási algoritmusok.

F ü g g v é n y e k , s o r o z a t o k a/ Speciális függvények

A függvény fogalma. Speciális függvények: konstans, lineáris, egészrész, törtrész, másodfokú, abszolutérték, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények. A függvények grafikonja s elemi tulajdonságai. Függvény transzformációk.

b/ Sorozatok, sorok A sorozat fogalma. Számtani, mértani sorozat. Rekurzióval megadott egyéb sorozatok. Sorozatok monotonitása, konvergenciája. A végtelen mértani sor.

c/ Analízis Függvények korlátossága és monotonitása.

Függvény határértéke, folytonossága. Differenciálhányados, derivált függvény. Differenciálisi szabályok. Függvényvizsgálat differenciálás segítségével. Szélsőérték meghatározási módok. A határozott integrál, a primitív függvény fogalma. A tanult függvények primitív függvényei. Newton-Leibniz tétel. Integrálási módszerek.

G e o m e t r i a a/ Geometriai alakzatok, bizonyítások

Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík és térgeometriai tételek.

b/ Geometriai transzformációk

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben és feladatokban.

c/ Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria Vektor fogalma, műveletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinus tétel. A háromszög hiányzó adatainak kiszámolása. Az egyenes egyenletei, egyenletrendszere (síkban és térben). A kör egyenletei. A kúpszeletek definíciója, egyenleteik.

V a l ó s z í nű s é g s z á m í t á s , s t a t i s z t i k a Statisztikai alapfogalmak: módus, medián, átlag, szórás, várható érték. Grafikonok, táblázatok készítése és olvasása. Valószínűségi kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság.



A valószínűség kiszámítási módjai. Feltételes valószínűség. Binomiális-, geometriai- és hipergeometriai eloszlás. Csebisev tétele és a nagy számok tétele. A közvéleménykutatás elemei. A matematikai statisztika alapvető fogalmai, eljárásai.

D o l g o z a t í r á s , é r t é k e l é s

matematika tantárgyi program - lovassymatematika tantárgyi program 2010 -5- lovassy lászló...

Documents