I1.Definicija matrice.Vrsta matriceMatrica je pravokutna shema elemenata poredanih u m redaka i n stupaca, čiji su elemnti uglavnom realni brojevi.Elemente matrice označavamo najčešće oznakom aij tako da prvi indeks označava redak,a drugi označava stupac u kojem se nalazi dani element.Za matricu koja ima m redaka i n stupaca kažemo da je reda ili formata (m,n) ili m•n :

.. VRSTE MATRICA:

●Ako matrica ima jednak broj redaka i stupaca (m=n) zovemo je kvadratnom matricom.

.

●Kvadratna matrica je dijagonalna ako su svi njeni elementi izvanglavne dijagonale jednaki

nuli.Dijagonalna matrica: .

●Ako su u dijagonalnoj matrici svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki,to je skalarna

matrica: .

●Ako su u skalarnoj matrici svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1,to je jedinična

matrica i označava se sa I: .

●Matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli se zove nul matrica i ona ne mora biti

kvadratna: .

●Kvadratna matrica A=(aij) je gornja trokutasta ako su joj svi elementi ispod glavne

dijagonale jednaki nula : aij=0 , za i>j .

●Donja trokutasta matrica ima sve nule iznad glavne dijagonale : aij=0, za i<j

.

1

●Transponirana matrica matrice A=(aij) formata m•n je matrica B=AT formata n•m.Transponiranu matricu AT dobijem,o tako da retke matrice A zamijenimo odgovarajućim stupcima te matrice.Matrica je simetrična ako je kvadratna i ako je A=AT

2.Jednakost matrica.Zbrajanje matrica.Množenje broja i matriceMatrice A i B su jednake i pišemo A = B, onda i samo onda ako vrijedi: 1. A i B si istog formata. 2. a = b za svaki i ε ; j ε .Matrice se mogu zbrajati(oduzimati) samo ako su istog formata (m,n) i kao rezultat se dobije također matrica formata(m,n).A +B = C c = a + b , i,j ( A + B – istog formata)Svojstva zbrajanja matrica: 1.)A+B=B+A (komutativnost) 2.)A+0=0+A (gdje je nul matrica odgovarajućeg formata) 3.) (A+B)+C=A+(C+B) (asocijativnost) 4.)(A+B)T=AT+BT.

Množenje matrica sa realnim brojem: Neka je i A(m,n)=(aij) matrica formata (m,n).Matrica se množi skalarom tako da se svaki njen element pomnoži s tim skalarom

3.Množenje matrica i svojstvaMatrice se mogu množiti samo ako prva od njih ima toliko stupaca koliko druga ima redaka(ulančane matrice), pri čemu kao rezultat dobivamo matricu koja ima redaka kao i prva, a stupaca kao druga matrica iz umnoška: .Svojstva množenja: 1.)(A•B)•C=A•(B•C)→asocijativnost, 2.) A•B B•A→ (zakon komutativnosti za množenje matrica ne vrijedi),3.)(A•B)T=BT•AT , 4.)A•I=I•A=A→(ako je A kvadratna,a I jedinična matrica istog formata), 5.)A•0=0, 0•A=0→(gdje je nul matrica odgovarajućeg oblika), 6.)(A+B)•C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB, 7.) A2=A•A, A3=A•A•A=A2•A

4.Definicija determinante.Svojstva determinanteDet. je funkcija koja preslikava skup kvadratnih matrica Mn u skup realnih brojeva : det:

Mn→R., a definirana je formulom gdje drugi indeksi prolaze sve

permutacije brojeva1,......,n, a predznak dolazi ovisno jeli ta permutacija parna ili neparna. Det. drugog reda računa se tako da se od umnoška elemenata na glavnoj dijagonali oduzme

umnožak elemenata na sporednoj dijagonali. . Det. trećeg

reda mogu se računati po Sarrusovom pravilu i ono se smije samo koristiti za det. trećeg reda.SVOJSTVA DETERMINANTI: 1.)det. se množi nekim brojem tako da se tim brojem pomnože svi elementi jednog njenog retka ili stupca. 2.)ako je B=k•A, k ,tada je detB=kn•detA, gdje je n red matrice A, 3.)Transponirana i polazna matrica imaju jednake det. detA=detAT,

2

4.) Binet-Cauchyev teorem detA•B=detA•detB ako su matrice A i B istog reda, 5.) det. je jednaka nuli ako su svi elementi nekog njenog retka ili stpva jenaki nuli, 6.) det. Trokutaste matrice jednaka je umnošku ele. na glavnoj dijagonali. 7.) det. Je jednaka nuli ako su dva retka(stupca) jednaki, 8.)Zamjene li 2 retka(stupca) det. Svoje mjesto det. Mijenja predznak, 9.)vrijednost det. se ne mijenja ako elementima nekog retka dodamo odgovarajuće elemente nekog drugog retka pomnožene s nekim brojem.

5.Laplaceov razvoj determinanteDeterminanta bilo kojeg reda se može jednostavnije izračunati primjenom Laplaceovog

razvoja: ili . Predstavlja računanje det. razvojem po i-to

retku,a druga formula po j-tom stupcu.Aij su algebarski komplementi, tako da se može reći da je determinanta neke matrice jednaka sumi umnožaka elemenata nekog retka i njihovih algebarskih komplemenata.Formula: gdje je Mij minor ili subdeterminanta (n-1)reda koji se iz početne matrice A dobije tako da se iz nje ispusti i-ti redak i j-ti stupac i izračuna determinanta od preostalih elemenata.

6.Singularna i regularna matricaKvadratnu matricu za koju je detA 0 zovemo regularna matrica. Ako je detA=0, matrica A je singularna.

7.Rang matriceMatrica A ima rang r R(A)=r, ako su sve njene subdeterminante(minori) reda većeg od r jednake nuli,ali postoji barem jedna njena subdeterminanta reda r koja je različita od nule.Pri određivanju ranga matrice koristimo se sljedećim svojstvima: 1.) rang matrice se ne mijenja ako se u matrici izvrši bilo koja permutacija(zamjena)redaka(stupaca), 2.)rang matrice se ne mijenja ako bilo koji redak(stupac) pomnožimo brojem koji je različit od nule, 3.)rang matrice se ne mijenja ako nekom retku(stupcu) dodamo neki drugi redak(stupac) pomnožen s nekim brojem 4.)ako je u nekom retku(stupcu) samo jedan broj različit od nule tada se i u stupcu(retku) u kojem se taj broj nalazi mogu pisati sve nule.Koristim jordanov oblik prilikom određivanja ranga matrice.

8.Inverzna matricaMožemo definirati samo za regularne matrice(det A≠0).Neka je A regularna matrica. Matricu B za koju vrijedi AB=BA=I, gdje je I jedinična matrica istog reda kao i matrica A zovemo inverznom matricom matrice A i označavamo sa A-1. A•A-1=A-1•A=I. Inverzna matrica se

može izračunati pomoću sljedećeg relacije: gdje je A* adjunkta ili adjungirana

matrica matrice A,odnosno transponirana matrica algebarskih komplemenata.Matrica 3 reda :

. Inverzna matrica se može izračunati i pomoću Gauss-Jordanove

trasformacije.Pomoću transformacija matrica A se prevodi u jediničnu,a istodobno se jedinična matrica prevodi u inverznu matricu.

3

9.Sustav linearnih jednadžbiSustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica može se u općem obliku napisati:

. , ,

Matricu A zovemo matricom koeficijenata danog sustava linearnih jednadžbi.Označimo nadalje sa B jednostupčanu matricu slobodnih članova(realnih brojeva sa desne strane jednadžbi).Matrica X je jednostupčana matrica(nepoznanica) formata(n,1). To možemo

napisati u obliku matrične jednadžbe AX=B , .Matrica X ima toliko redaka

koliko matrica A ima stupaca (n) a kao rezultat dobivamo matricu B koja ima m redaka kao i matrica A i 1 stupac koja drugi član umnoška ,matrica X.Sustav linearnih jednasđbi ovisi o karakteristikama matrice sustava A. Ako je broj jednadžbi (m) ratličit od broja nepoznanica (m), sustav zovemo pravokutnim. Ako je m=n, tj. matrica sustava je kvadratna, sustav je kvadratni.

10.Rješenje i egzistencija rješenja sustava linearnih jednadžbiOvisi o karakteristikama matrice sustava A.Ako je broj jednadžbi (m) različit od broja nepoznanica(n) sustav zovemo pravokutnim.Ako je m=n sustav je kvadratni.Ako je vektor slobodnih članova nul-vektor tj. B=0,odnosno sustav ima oblik AX=0 takav sustav zovemo homogeni.Ako homogeni sustav ima samo jedno rješenje X=0 to zovemo trivijalno ili nul rješenje.Egzistencija rješenja: Capelli-Kronecker teorem- da bi sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica imao rješenje nužno je i dovoljno da matrica sustava A i proširena matrica sustava(A,B) imaju jednaki rang : R(A)=R(A,B)=r.U protivnom sustav nije konzistentan tj. nema rješenje.Ako je rang sustava jednak broju nepoznanica tj.r=n, sustav ima samo jedno rješenje.Pri tome ako je r=n i B=0(homogeno) to rješenje je trivijalno.Ako je rang sustava manji od broja nepoznanica sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

11.Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovim algoritmomDa bismo sustav riješili Gaussovom metodom, potrebno je prvo definirati proširenu matricu. Ztim proširenu matricu sustava pomoću elementarnim transformacijama nad jednadžbama svesti na ekvivalentan sustav jednadžbi s matricom sustava koja je gornja trokutasta.Nepoznanica x1 eliminirana je iz svih jednadžbi osim prve,nepoznanica x2 iz svih jednadžbi osim prve i druge.Tada se iz posljednje jednadžbe čita rješenje za zadnju nepoznanicu, uvrštava u prethodnu i tako redom do prve. Dva su sustava ekvivalentna ako imaju ista rješenj. A Kada sustav linarne jednadžbe riješavamo Gaussovom metodom, svodimo ga na ekvivalentan suatav jednadžbi. Pod elementarne transformacije podrazumjevamo:1. zamjena mejsta dvaju redaka2.množenje nekog retka brojem različitim od nule3. dodavanjem nekoj jednadžbi neke druge jednadžbe prethodno pomnožene proizvoljnim brojem

4

12.Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gauss-Jordanovim algoritmomProširenje Gaussove metode je Gauss-Jordanova metoda gdje se matrica elementarnim transformacijama nad recima svodi na jediničnu(ako je to moguće) i odatle direktno čitaju rješenja.Gauss.Jordanova metoda nastavlja se na Gaussovu tako da se stvaraju nule iznad glavne dijagonale(tj. eliminacijom nepoznanice x2 iz svih jednadžbi osim druge itd.)

13.Matrični način rješavanja sustava linearnih jednadžbi AX=BBudući da je matrica sustava kvadratna i regularna postoji inverzna matrica A-1 pa sustav linearnih jednadžbi AX=B možemo riješiti koja matričnu jednadžbu množenjem s inverznom matricom A-1 slijeva : i to daje rješenje danog sustava.

14.Cramerovo praviloAko je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica(kvadratni sustav) i matrica sustava A

regularna (detA 0) sustav linearnih jednadžbi zovemo

Cramerovim sustavom.Ispunjeni su svi uvjeti Capelli-kroneckerovog teorema.Rang sustava

jednak je broju nepoznanica(r=n) te sustav ima rješenje.Cramerova formula: ,gdje

je Ai matrica koja se dobije kada se u matrici sustava A i-ti stupac zamjeni sa stupcem slobodnih članova.

15.Matrične jednadžbeSu jednadžbe u kojima je nepoznanica matrica.Korištenjem inverzne matrice, često se nepoznata matrica može izraziti kao funkcija ostalih matrica i izračunati.Primjer: AX=B rj. A-1 AX=B→A-1AX=A-1•B→ I•X=A-1•B→X=A-1•B, 2.primjer X=AX+B rj. X-AX=B→(I-A)X=B→X=(I-A)-1•B

16.Homogeni sustav jednadžbiAko je u sustavu linearnih jednadžbi matrica(vektor) slobodnih članova B nul matrica tada govorimo o homogenom sustavu jednadžbi. On je uvijek konzistentan,jer se proširena matrica sustava(A,B) razlikuje od matrice A samo za jedan stupac nula koji ne može promijeniti rang matrice.Jedno rješenje takvog sustava je sigurno trivijalno rješenje x1=x2=.....=xn=0.Ako je rang homogenog sustava jednak broju nepoznanica tj. r=n, to je ujedno i jedino rješenje takvog sustava jednadžbi.U slučaju kada je r<n homogeni sustav će imati beskonačno mnogo rješenja.

II17.Funkcije više varijabliImaju veliko značenje u ekonomiji,jer velik broj ekonomskih veličina(potražnja,proizvodnja) ovise ne samo o jednom,već o čitavom nizu faktora.Funkcija f:R×R→R pri čemu je f(x,y)=x+y ; x,y € R je funkcija dviju varijabli koju zovemo zbrajanje realnih brojeva.Funkcija od n varijabli f: Rn→R obično se označava ovako: y=f(x1,x2,...,xn). Funkcija od n varijabli ima za sliku neku plohu u prostoru dimenzije n+1. Ta slika je ravnina ako je funcija linearna u svim varijablama x1,x2,....,xn.

5

18.Parcijalne derivacijeNeka je f: R2→R funkcija dviju varijabli i promatramo graničnu vrijenost

Varijabla y u tom izrazu ima stalnu vrijednost y=y0,a razmatramo

promjenu te funkcije samo po varijabli x(x→x0). Ako taj limes postoji,kažemo da funkcija ima parcijalnu derivaciju po prvoj varijabli x,a broj dobiven računanjem gornjeg izraza naziva se parcijalna derivacija funkcije f u točki P(x0,y0) i označava s:

.Parcijalne derivacije funkcije z=f(x,y) skraćeno se

označavaju kao: i

19.Ekstremi funkcija više varijabliNužni uvjeti za ekstrem dviju varijabli z=f(x,y) u točki slijede da u toj točki ekstreme imaju i funcije ) i koje su funcije jedne varijable.Da bi one imale ekstrem moraju njihove derivacije biti jednake nuli .Da bi funkcija dviju varijabli

z=f(x,y) imala lokalni ekstrem u točki nužno je: i

.Relacije formiraju sustav dvije jednađžbe s 2 nepoznanaice čija

rješenja su stacionirane točke f tj. točke gdje funkcija možda ima ekstrem.Treba podrediti parcijalne derivacije drugog reda i njihove vrijednosti u nađenim stacionarnim tiočkama, te formirati determinantu.a)Ako je ∆>0, funkcija ima lokalni ekstrem A>0=minimun, A<0=MAKSIMUMb) ∆<0 nema ekstremac) ∆=0 za odluku po ekstremu treba vešiti posebna ispitivanja

20.Relativni ekstremi-metoda supstitucijeEkstreme funcije z=f(x,y), ali ne na cijelom području definicije funkcije(DZ) već na nekom njegovom podskupu S nazivamo relativnim ili vezanim ekstremima funkcije f. Najčešće je skup S definiran nekim vezama između varijabli x i y: z=f(x,y)→max(min) i gm(x,y)=0.Zadržimo se na slučaju m=1(skup definiran samo jednim ograničenjem) g(x,y)=0.Ukoliko je funkcija g relativno jednostavno pa se problem može riješiti supstitucijom. Ako je iz g(x,y)=0 moguće eksplicitno izraziti varijablu y(x) tada se uvrštavanjem u funciju z=f(x,y) problem svodi na traženje ekstrema funcije jedne varijable.

21.Relativni ekstremi-langrangeova funkcijaEkstreme funcije z=f(x,y), ali ne na cijelom području definicije funkcije(DZ) već na nekom njegovom podskupu S nazivamo relativnim ili vezanim ekstremima funkcije f.Kada nije uvijek moguće jednostavno iz ograničenja izraziti jednu varijablu drugom ,taj problem se najćešće rješava formiranjem Langrangeove funkcije: gdje je Lagrangeov multiplikator.Ako uvjeta ima više, tada uvodimo i više multiplikatora

.Daljnji postupak svodi se na traženje ekstrema funcije F(x,y, ).Nužni uvjeti

svode se na rješavanje sustava od tri jednađžbe: , i

.Rješavanjem sustava jednadžbi dobiva se jedno ili

6

više rješanja i funcija z=f(x,y) ima eventualno u točki T(x0,y0) ekstrem.Ukoliko drugi diferencijal d2F>0,funkcija ima relativni minimum, a ako je d2F<0 ima relativni maksimum.

22.Potražnja,ponuda,ravnotežaPotražnja za nekim dobrom ovisi o cijeni tog dobra(p),cijenama ostalih dobara(p1,p2.....),općoj razini cijena,dohotku potrošača (k),dobnoj strukturi,njihovim navikama itd. i vremenu (t).Najćešće se analizira individualna potražnja. Za potražnju se najčešće koriste simboli d (demand) i q (quantity demanded).Simbol q ukazuje da kad analiziramo potražnju, mislimo zapravo na količinu potražnje.Funkcija potražnje koja iskazuje zavisnost količine potražnje o navedenim varijablama: q=f(p,p1,p2,k,t)PONUDA- Ponuda nekog dobra je količina tog dobra koja se iznosi na tržište, a ovisi o cijeni samog dobra, o troškovima proizvodnje, o cijeni drugih dobara, te o organizaciji tržišta. Razlikujemo individualni ponudu pojedinačnog proizvođača te agregatnu ponudu određenog dobra.Zavisnost ponude o navedenim varijablama opisuje se funcijom ponude.Najčešći tip funkcije ponude je linearna funkcija. Što je veća cijena to je veća i ponuda jer uz iste troškove to znači veću dobit za proizvođača.Koristimo simbol q i s (supply).RAVNOTEŽA-ona nastaje kada je potražnja q1 za nekim dobrom jednaka ponudi q2 tog dobra.Cijena pri kojoj se uspostavlja ravnoteža zove se ravnotežna ili ekvilibrij cijena.Grafički tržišna ravnoteža ostvaruje se u sjecištu krivulja potražnje i ponude gdje je ravnotežna cijena pe a qe ravnotežna količina.

23.ElastičnostPod elastičnošću podrazumijevamo sposobnost ekonomske veličine da više ili manje intezivno,reagira na promjenu neke druge veličine koja je s njom u odnosu međuzavisnosti. Ako se ekonomske veličine x i y mijenjaju kontinuirano, elastičnost od y u odnosu na x mjeri se u točki (x,y).Ta mjera zove se koeficijent elastičnosti u jednoj točki, a označava se simbolom EX,Y.To je omjer relativne promjene od y i odgovarajuće relativne promjene od x,

uz uvjet da su obje promjene beskonačno male. što pokazuje značenje

koeficijenta elastičnosti.On pokazuje za koliko se postotaka približno promjeni veličina y kad x poraste za 1%. elastično, neelastično, Ey,x=0 savršeno neelastično,

jedinična elastičnost. Ako se ekonomska veličina y mijenja sa x od točke do točke njena elastičnost mjeri se na luku između dviju točaka.Ta mjera zove se koeficijent lučne

elastičnosti

24.Diferencijalna jednadžba,red i stupanj,opće i posebno rješenjeSu funkcionalne jednadžbe(traži se nepoznata funkcija) u kojima se pojavljuje jedna ili više derivacija(ili diferencijala) neke nepoznate funkcije.Ako te jednadžbe sadrže derivacije samo po jednoj varijabli to su obične diferencijalne jednadžbe, a ako sadrže derivacije po više varijabli to su parcijalne diferencijalne jednadžbe.Red diferencijalne jed. je red najviše derivacije koja je u njoj sadržana, a stupanj dif.jed. je eksponent derivacije najvišeg reda.Ako rješenje u sebi sadrži konstantu C takvo rješenje zovemo opće rješenje.Ukoliko je za nepoznatu funkciju zadan neki početni uvjet, dobivamo posebno rješenje.

25.Separabilna dif. jed.Svaka dif.jed. prvog reda i prvog stupnjamože se napisati u obliku:

7

Ako se varijable mogu odvojiti (separirati) tako da dobijemo tada integriranjem dobijemo rješenje y=y(x). Ako rješenje u sebi sadrži konstantu C takvo rješenje zovemo opće rješenje.Ukoliko je za nepoznatu funkciju zadan neki početni uvjet, dobivamo posebno rješenje.

26.Homogene dif.jed.je homogena ako su f1 i f2 homogene funkcije istog stupnja

homogenosti.Homogena dif.jed. može se napisati u obliku: i svodi se na dif.jed. sa

separabilnim varijablama supstitucijom

27.Linearna dif.jed.Ukoliko se dif.jed. može svesti na: y'+f(x)y=g(x) zovemo je linearnom dif.jed.. Opće rješenje

te dif.jed. može se dobiti iz formule: ili metodom

varijacije konstante.Ta metoda u prvom koraku rješava zadanu jednadžbu, ali uzimajući da je g(x)=0.Neodređena konstanta koja se dobije rješavanjem te jednadžbe(separacijom varijabli) tretira se kao funkcija varijable x, tj. C=C(x) i uvrštavanjem u početnu jed. Izračunava se C(x) i time dobiva i konačno rješenje varijable.

28.Bernoullijeva dif.jed.Y'+f(x)y=g(x)•yά zove se bernoullijeva dif.jed.. Dijeljenjem te jed. S yά i supstitucijom

, odnosno z = y1-ά,dobiva se linearna dif.jed. s nepoznatom funkcijom z,koja se onda

rješava na prethodno opisane načine.

29.Egzaktna dif.jed.Svaka dif.jed. prvog reda i prvog stupnjamože se napisati u obliku:

Ako je lijeva strana te jed. Totlani diferencijal neke funkcije z=f(x,y), onda iz dz=0 slijedi z=f(x,y)=C, što je opće rješenje jed.. Problem se svodi na određivanje funkcije dviju varijabli

z=f(x,y) kojase može dobiti formulom: .Da bi početna

jed. Bila egzaktnatj. Da bi njenalijeva strana bila jednaka totalnom diferancijalu neke funkcije

z=f(x,y) mora biti ispunjen uvjet: .Provjerom tog uvjeta opće rješanje dobivamo

primjenom navedene formule u obliku f(x,y)=C.

III30.Jednostavni i složeni kamatni račun,dekurzivani i anticipativni način obračuna kamataPod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu.Pod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznos koji se plaća za 100 novčanih jedinica za neki osnovni vremenski interval.Obračun kamata može biti jednostavan ili složen.U slučaju jednostavnog ukamaćivanja kamate se računaju uvijek na početnu vrijednost glavnice(C0), dok se kod složenog ukamaćivanja kamate u svakom sljedećem razdoblju računaju na prethodnu vrijednost uvećanu za kamate,tj. računaju se kamate na kamate.Jednostavno ukamaćivanje složeno ukamaćivanje

8

I = C = C + I I =

C = C + I C = C +

C = C + n ·

Dekurzivno (p)obračunati kamate znači izračunati kamate na posuđeni iznos i isplatiti ih ili pribrojiti iznosu na kraju vremenskog razdoblja(. ).Anticipativno(q) obračunati kamate znači obračunati ih unaprijed za neko vremensko razdoblje pri čemu se kamate obračunavaju na konačnu vrijednost zadanog iznosa (C = C · p ).

31.Vrste kamatnjaka- nominalni, relativni, konformni, ekvivalentniPropisana kamatna stopa za osnovno vremensko razdoblje naziva se nominalna ili zadana kamatna stopa.Označimo sa n1 vremenski interval na koji se odnosi zadana kamatna stopa, a

sa n2 vremenski interval u kojem se obračunavaju kamate. , m je broj koji pokazuje

koliko se puta u toku osnovnog vremenskog intervala obračunavaju kamate. Kamatnjak

nazivamo relativni kamtnjak i on se odnosi na vremenski interval n2. Ako je m>1 tada

je realativni kamatnjak manji od nom. i dobija se jednostavnim djeljenjem nominalnog kamatnjaka s brojem koji pokazuje koliko se puta vrši pripis kta. U toku osnovnog vremenskog razdoblja. Konformni kamatnjak- njega koristimo želimo li vidjeti je li moguće preračunati kamatnu stopu p na takvu kamatnu stopu p kojom će se u nekom drugom

vremenskom intervalu ostvariti jednak iznos kamata. p = 100 · . Budući da se

u proračunima češće koristi kamatni faktor r nego kamatna stopa p, a konformni kamatni

faktor dobivamo: r ^^ = r = . Ekvivalentni kamatnjak je kamatnjak koji dobijemo želimo li

odrediti takav kamatnjak p koji će dati jednaku konačnu svotu kao i unaprijed zadani anticipativni kamatnjak q.

EKVIVALENTNI DEKURZIVNI: p =

EKVIVALETNI ANTICIPATIVNI: q =

32.Konačna vrijednost jednog iznosa,sadašnja vrijednost jednog iznosaU banku ulažemo neku početnu vrijednost C0 uz složenu kapitalizaciju i dekurzivan obračun kamata.Dekurzivno ukamaćivanje- zanima nas kolika će biti konačna vrijednost svote na kraju n-tog

razdoblja. Konačnu vrijednost dobivamo formulom: .Izraz

nazivamo dekurzivnim kamatnim faktorom i označavamo sa r. Dekurzivni kamatni faktor faktor r predstavlja vrijednost jedne jedinice zajedno sa složenim kamatama na kraju jednog razdoblja. . Anticipativno ukamaćivanje – konačna vrijednost je veća u slučaju

anticipativnog nego u slučaju dekurzivnog ukamaćivanja C = C · p (anticipativni kamatni fakor).

9

Ako želimo izračunati sadašnju vrijednost jednog iznosa koji uz kamatnu stopu p naraste

zajedno sa složenim kamatama na neki iznos Cn dobit ćemo:

33.Konačna vrijednost periodičnih uplata- prenumerandoUplate koje su početkom razdoblja nazivamo prenumerando uplatama.Želimo izračunati konačnu vrijednost svih tih uplata,tj. sve te jednake uplate R zamijeniti jednom svotom na

kraju n-tog razdoblja. ili S= R•r+R•r2+.......+R•rn-2+R•rn-1+R•rn

34.Konačna vrijednost periodičnih uplata- postnumerandoUplate koje su krajem razdoblja nazivamo postnumerando uplatama.Želimo izračunati konačnu vrijednost svih tih uplata,tj. sve te jednake uplate R zamijeniti jednom svotom kraju

n-tog razdoblja ili S'=R+R·r+R·r2+.......+R·rn-2+R

35.Sadašnja vrijednost periodičnih uplata- prenumerandoViše jednakih svota R koje se javljaju u jednakim vremenskim razmacima zamjenjujemo sada jednom svotom koja dospijeva odmahtj. Izračunavamo sadašnju vrijenost.Prenumerando je u

slučaju kada su uplate početkom razdoblja. ili

36.Sadašnja vrijednost periodičnih uplata- postnumerandoViše jednakih svota R koje se javljaju u jednakim vremenskim razmacima zamjenjujemo sada jednom svotom koja dospijeva odmahtj. Izračunavamo sadašnju vrijenost.POSTNUMERANDO- tražimo početnu vrijednost svih n uplata koje dospijevaju krajem svakog razdoblja kroz n razdoblja uz kamtnu stopu p.Obračun kamata je složen i razdoblje kapitalizacije jednako je vremenskom razdoblju između dospijeća tih uplata.

ili

37.Vječna rentaObičnu periodičnu iplatu zovemo rentom. Želimo li da broj renti bude beskonačan tj. želimo li na osnovu svote koju smo uplatili primati vječnu rentu,treba izračunati graničnu vrijednost An

kada broj teži u beskonačnost.Ukoliko želimo osigurati vječnu postnumerando rentu veličine

a moramo na štednju uložiti C novčanih jedinica, gdje je: . U slučaju prenumerando

rente dobivamo:

38.Neprekidna ili kontinuirana kapitalizacijaUkoliko se kapitalizacija obavlja neprekidno tj. ako između dva obračuna kamata i njihova pribrajanja kapitalu nema vremenskog prekida, govorimo o neprekidnoj ili kontinuiranoj kapitalizaciji.Neprekidnu kapitalizaciju dobijemo kad m→ .Ukoliko imamo neprekidnu

10

kapitalizaciju, konačna vrijednost nakon n razdoblja uz nominalni kamatnjak p: .

Koristi se relativni,a ne konformni kamatnjak.

39.Model otplate zajma nominalno jednakim anuiteteima-dekurzivan obračun kamataAnuitet je periodički iznos koji plaća korisnik zajma a sastoji se od otplatne kvote(R) i kamata (I).Osnovne pretpostavke su sljedeće:-obračun kamata je složen i dekurzivan,-anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim razdobljima krajem termina,- razdoblje ukamaćivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeća između anuitete,-kamatna stopa je

konstantna. , , ,

40. Veza anuiteta i posljednje otplatne kvote (zajam s jednakim anuitetima)Budući da su svi anuiteti jednaki, za posljednji anuitet vrijedi:a = I + R I - kamate R - otplatne kvote

41.Model otplate zajma nominalno jenakim otplatnim kvotamaBudući de se nominalni iznos zajma otplaćuje sa otplatnim kvotama vrijedi relacija:

. Otplatne kvote dobijemo iz relacije: . Kamate u k-tom terminu računaju se

kao i ranije, na ostatak duga u prethodnom terminu: . Anuitet otplate više nije

stalan: .

42. Model otplate zajma promjenjivim anuitetima kad otplatne kvote tvore aritmetički niz

Otplatne kvote su konstante a anuiteti tvore aritmetički niz: a - a = - . Razlika dvaju

susjednih anuiteta uvijek je konstanta (ne ovisi o k) i anuiteti tvore aritmetički niz s

diferencijom. d = - = - = - R·

43.Krnji anuitetMoguće je da se pri amortizaciji zajma dužnik i vjerovnik unaprije dogovore o visini aniteta.Takav anuitet zvat ćemo dogovoreni aniutet.Jako je mala vjerojatnost da dogovoreni anuitet bude jadnek analitičkom anuitetu imat ćemo za posljedicu da je zadnji anuitet manji od predhodnih. Taj posljednji anuitet zovemo krnji ili nepotpuni anuitet (a').Krnji anuitet računamo:1.) zadnja otplatna kvota mora biti jednaka prthodnom ostatku duga, 2.)zadnja kvota + zadnje kamate= nepotpuni anuitet

44.Ostatak dugaU slučaju konverzije zajma potrebno je izračunati ostatak duga.Računa se ostatak duga krajem k-tog termina i taj ostatak duga predstavlja novi zajam koji podliježe novim uvjetina

amortizacije.Ostatak duga jednakim anuitetima: n=koliko smo trebali

11

prvotno platit razdoblja, k= koliko smo stvarno platili.Ostatak duga jednakih otplatnih kvota:

45.Reprogramiranje ili konverzija zajmaČesto za vrijeme trajanja otplate dolazi do promjene nekih uvjeta amortizacije zajma.Pod konverzijom zajma podrazumijevamo promjenu ugovorenih uvjeta otplaćivanja zajma.Konverzija znači ili promjenu kamatne stope ili promjenu roka otplate ili jedno ili drugo,ili promjenu načina otplaćivanja zajma što ima za posljedicu promjenu aniuiteta.U tom slučaju potrebno je izračunati koliki je u tom trenutku ostatak duga zajma koji će se nastaviti

otplaćivati po novim uvjetima.Formula za izračunavanje ostatka duga: C = a

46.Interkalarna kamataKod nekih dugoročnih zajmova između banke i korisnika zajma ugovara se interkalarna kamata.To je naknada koju korisnik zajma plaća za korištenje sredstava(cijelog iznosa ili djela zajma) od trenutka doznake sredstava do trenutka stavljanja zajma u otplatu.Interkalarna kamata se može računati na dva načina: 1.)obračunati i isplatiti odjednom u trenutku kad počinje otplata zajma, 2.) pripisati iznosu zajma u trenutku stavljanja zajma u otplatu te tako povećati njegov nominalni iznos.

47.Model amortizacije zajma uz anticipativni obračun kamataKada je zajam C0 odobren uz anticipativnu kapitalizaciju treba otplatiti sa n međusobno jednakih anuiteta.Za razliku od dekurzivnog zajma,ovdje se odmah na početku plaćaju kamate tako da korisnik zajma ne prima cjelokupan iznos zajma već umanjen za nulte kamate:

.Svota koju prima korisnik je , ,

Budući da nema kamata u posljednjem razdoblju,posljednji anuitet jednak je posljednjoj otplatnoj kvoti. R1=(a-I0)•p

48.Klasični model potrošačkog kreditaPotrošački kredit se najčešće odobrava uz obavezu uplate nekog dijela kredita odmah,u gotovini.Nakon odbitka udjela u gotovini dobije se stvarni iznos potrošačkog kredita na koji se primjeni+om jednostavnog kamatnog računa pribrajaju ukupne kamate i time dobije ukupno dugovanje.Iznos konstantnog mjesečnog anuitetea dobit će se djeljenjem ukupnog dugovanja s brojem mjeseci na koji je odobren kredit.NAČIN OTPLATE: ukupno dugovanje

C0+I treba otplatiti sa n jednakih mjesečnih anuitet a. Dakle vrijedi: , gdje su

prosječna otplatna kvota, a prosječne kamate.Obračun kamata kod potrošačkog

kredita je anticipativan i koristi se jednostavni kamatni račun.

49.Niz planiranih kamata i diferencija niza planiranih kamata kod potrošačkog kredita

12

Svaki termin se otplaćuje jedna otplatna kvota,dakle u j-tom terminu ostatak duga je Cj= C0-

(j-1)•R. Kamte u j-tom terminu su .Diferencija niza planiranih kamata

ne ovisi o indeksu j pa stoga niz kamata I tvori aritmetički niz s diferencijom = -

50. Prijevremena otplata potrošačkog kreditaAko se, naprimjer, dužnik u trenutku uplate trećeg anuiteta želi osloboditi preostalog duga, mora uplatiti prvo razliku kamata I - I za prva dva razdoblja, jer je plAćano manje nego što su planirane kamate. Pored toga treba platiti otplatnu kvotu i kamate za treće razdoblje, te

preostale otplatne kvote ( u ovom primjeru samo R ), tj.: X = + I + R + R

51.Ukupne kamate(potrošački kredit)

Ukupne kamate I,kao suma aritmetičkog niza, jednake su: te iz toga

dobivamo .Ako se u taj izraz uvrsti C0=100 dobije se izraz za kamatni

koeficijent . To je iznos ukupnih jednostavnih kamata na potrošački kredit od 100

novčanih jedinica za n mjeseci uz anticipativni godišnji kamatnjak q.

52. ObvezniceObveznica je dužnički vrijednosni papir koji se izdaje s ciljem prikupljanja financijskih sredstava s unaprijed definiranim rokom povrata. Obveznica je, iz pozicije izdavatelja, alternativa bankovnom kreditu. Postoji mnoštvo vrsta obveznica, a glavne skupine (obzirom na novčane tokove) su: kuponska obveznica, obveznica bez kupona te anuitetska obveznica. Obzirom na izdavatelja, obveznice se mogu podijeliti na: državne, municipalne i korporativne.

13