matematika - učebnica 7 výsledkyebnica_7.pdfmatematika 7, učeb vica - výsledky 3 rozširova vie...

Matematika 7, učebnica - výsledky

1

Matematika - učebnica 7 - výsledky

riešiteľ: Mgr. Katarína Horváthová

1. Zlomky Zopakuj si

1.

2. Z 24 € je: 12 € = polovica, 4 € = šestina, 8 € = tretina, 1 € = jedna dvadsať štvrtina, 18 € = tri

štvrtiny, 20 € = päť šestín.

3. Z 12 cm je: tretina = 4 cm, polovica = 6 cm, štvrtina = 3 cm, dve šestiny = tretina = 4 cm.

4. Násobky: 1 – 5, 7, 13, 21, 99; 3 – 6, 18, 33, 54, 102; 6 – 12, 36, 60, 84, 96; 9 – 18, 27, 63, 99,

135; 12 – 24, 60, 84, 108, 144.

5. Každé číslo má nekonečne veľa násobkov.

6. Delitele: 20 – 1, 2, 4, 5, 10, 20; 36 – 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; 40 – 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40; 7 –

1, 7; 18 – 1, 2, 3, 6, 9, 18.

7. Prvočísla majú iba dva delitele: jednotku a seba samého, tzv. samozrejmé delitele. Zložené

čísla majú tri a viac deliteľov.

8. a) deliteľné 2: 48, 72, 90, 200, 328, 504, 3 600; b) deliteľné 6: 48, 72, 90, 504, 3 600;

c) deliteľné 3: 21, 33, 48, 72, 90, 504, 3 600; d) deliteľné 9: 72, 90, 504, 3 600; e) deliteľné 4:

48, 72, 200, 328, 504, 3 600; f) deliteľné 10: 90, 200, 3 600; g) deliteľné 5: 35, 90, 200, 3 600;

h) deliteľné 100: 200, 3 600.

9. Prvočísla: 17, 53, 3, 7, 101.

10. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

11. Prvočísel menších ako 100 je 25, sú to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,

59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

12. Zložené čísla väčšie ako 10 a menšie ako 50 sú: 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27,

28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.

13. a) 320 (súčasne deliteľné 4 a 5 je deliteľné 20); b) 36 (súčasne deliteľné 2 a 9 je deliteľné 18);

c) 60 (násobok 4, 5 a 6 je násobok 60); d) 216 (násobok 2, 3 a 9 je násobok 18).

14. Najmenší z trojice spoločných násobkov je podčiarknutý: a) 12; 24; 36; b) 15; 30; 45; c) 30;

60; 90; d) 12; 24; 36.

15. Delitele: 6 – 1, 2, 3, 6; 15 – 1, 3, 5, 15; 24 – 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 36 – 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,

36; 9 – 1, 3, 9; 7 – 1, 7; 48 – 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24, 48; 21 – 1, 3, 7, 21.


2

16. Najväčší zo spoločných deliteľov je podčiarknutý: a) 1, 2, 3, 4, 6, 12; b) 1, 3; c) 1, 2, 4, 8, 16; d)

1, 2, 3, 6, 12.

17. 15 a 16; 7 a 20; 66 a 25; 70 a 33, 100 a 47; 21 a 22 (nesúdeliteľné čísla sú: prvočíslo

a ľubovoľné číslo, párne číslo a číslo končiace číslicou 5, párne číslo a násobok dvoch

prvočísel).

18. 48,3 - štyridsaťosem celých tri desatiny; 3,15 – tri celé pätnásť stotín; 2,8 – dve celé osem

desatín; 0,206 – nula celé dvestošesť tisícin.

19. Periodické čísla : 2,7 ; 36, ; 0, . Neperiodické číslo: 4, 247 853 217 684...

Zlomok

1.

= jedna tretina,

= dve sedminy,

= jedna polovica,

= päť devätín,

= dvadsaťtri

sedemnástin,

= päťdesiatšesť stotín,

= deväť desatín.

2. Napríklad:

,

,

,

,

.

3. Napríklad:

,

,

,

,

.

4. a) Štvorec je rozdelený na 9 rovnakých častí. Jedna časť je devätina zo štvorca. b) Trojuholník

je rozdelený na 4 rovnaké časti. Jedna časť je štvrtina trojuholníka. c) Obdĺžnik je rozdelený

na 5 rovnakých častí. Jedna časť je pätina obdĺžnika.

5. Je to rôzne, v závislosti od počtu dní v mesiaci a či daný mesiac začína víkendom. Vo februári

=

alebo

. V iných mesiacoch

,

,

,

,

,

.

6.

=

;

=

;

;

=

.

7. Nie, lebo štvorec má rovnako dlhé všetky štyri strany. Ak jedna strana má dĺžku 4 cm, potom

každá zo strán má dĺžku 4 cm a obvod štvorca je 16 cm.

Áno, je možné aby šestina bola viac ako polovica.

Závisí to od veľkosti celku a na koľko častí ho rozdelím.

8. a)

zo 6 árov = 2 áre =

z 8 árov; b)

z 2 árov = 1 ár < 2 áre =

zo 16 árov.

9. a) polovica obdĺžnika b) štvrtina štvorca c) tri štvrtiny štvorca

Číselná os

1. a)

= 6 cm; b)

= 4 cm,

= 8 cm; c)

= 2 cm,

= 10 cm.

2. a) na päť častí; b) na sedem častí; c) na osem častí; d) na šesť častí.


3

Rozširovanie a krátenie zlomkov

Všetci zjedli rovnakú časť pizze.

=

=

=

=

=

Každý zo zlomkov upravím na základný tvar - čitateľa aj menovateľa vydelím tým istým číslom

rôznym od nuly. Pokračujem kým čitateľ aj menovateľ sú navzájom nesúdeliteľné čísla.

1.

z 12 cm = 4 cm,

=

;

=

.

2.

,

,

,

.

3. Alebo podľa obrázku ako v predchádzajúcej úlohe, alebo upravím zlomky na základný tvar.

4. a)

,

,

,

,

,

,

,

, ...; b)

,

,

,

,

,

,

, ... ; c)

,

,

,

,

,

,

, ...

5. a)

=

b)

=

c)

=

6. a) zlomok rozšírený číslom 2:

=

,

=

,

=

,

=

; b) zlomok rozšírený číslom 5:

=

,

=

,

=

,

=

.

7. Pretože v menovateli zlomku sa nesmie nachádzať 0.

8. Zapísané po riadkoch:

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

9. a)

,

,

,

,

,

,

; b)

,

,

,

.

10. Nie, rozšírením zlomku sa časť celku nemení.

=

=

=

11. Obrázok č. 2 a č. 4 v predchádzajúcej úlohe.

12.

=

=

=

=

=

13. Pretože nulou sa nedá deliť.

14.

=

,

=

,

=

,

=

,

=

.

15. a)

=

=

= 0,5; b)

=

=

= 0, .

16.

=

=

=

=

=

.

č. 4 č. 1 č. 2 č. 3


4

17.

=

=

=

=

=

=

=

.

18. Nemôžem krátiť :

,

,

,

,

, lebo sú v základnom tvare, čitateľ aj menovateľ sú navzájom

nesúdeliteľné čísla. Môžem krátiť:

=

,

=

.

19.

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

.

20. a)

,

napr.:

,

;

,

; b)

,

napr.:

,

;

,

; c)

,

=

napr.:

,

;

,

; d)

,

napr.:

,

;

,

.

66 = 6 · 11, 24 = 2 · 2 · 2 · 3, 35 = 5 · 7, 81 = 3 · 3 · 3 · 3, 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, 250 = 2 · 5 · 5 · 5,

13 = 1 · 13, 100 = 2 · 2 · 5 · 5, 7 = 1 · 7, 10 = 2 · 5

n(126, 30) = 2 · 3 · 3 · 7 · 5 = 630, n(88, 60) = 2 · 2 · 2 · 11 · 3 · 5 = 1 320, n(45, 30) = 3 · 3 · 6 · 2

= 90

n(5, 12, 4) = 5 · 3 · 4 = 60, n(6, 15, 8) = 2 · 3 · 5 · 2 · 2 = 120, n(9, 18, 24) = 3 · 3 · 2 · 2 · 2 = 72

21. n(4, 8) = 8,

,

; n(4, 5) = 20,

,

; n(3, 2) = 6,

,

; n(10, 5) = 10,

,

; n(100, 10) = 100,

,

; n(7, 10) = 70,

,

.

22. n(2, 3, 4) = 12,

,

,

; n(5, 4, 10) = 20,

,

,

; n(9, 6, 4, 2) = 36,

,

,

,

.

23. Nie, ak čitateľa aj menovateľa vydelíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa

nezmení.

24.

= 1, teda jedna celá čokoláda.

25. a) celý pomaranč; b) všetky cukríky; c) celý koláč.

26. Nepravý zlomok.

27. Pravý zlomok.

28.

,

,

,

Porovnávanie a usporadúvanie zlomkov

1. a) 3 čokolády > 1 čokoláda; b) tri štvrtiny čokolády > jedna štvrtina čokolády; c)

>

.

2. a)

>

; b)

>

; c)

<

; d)

=

.

3. a) Mislyteľ má pravdu. b) Zlomky najskôr upravíme tak, aby mali rovnaké menovatele

a potom porovnáme čitatele.

4. a) pravý zlomok < 1; b) nepravý zlomok > 1; c) pravý zlomok < nepravý zlomok.

5. a)

<

<

<

, lebo

=

<

<

<

; b)

>

>

>

>

, lebo

=

>

=

>

=

>

=

>

.

6. a) dve tretiny čokolády je viac ako dve šestiny čokolády; b)

>

.

Správna je odpoveď B.

7. a)

>

; b)

<

; c)

>

.

8. Ak majú dva zlomky rovnakého čitateľa, väčší je ten, ktorého menovateľ je menší.

9. Dlhšie sa učil Róbert.

10. Spolu 30 dielikov, z toho Katka chcela 10 dielikov, Danka 8 dielikov, Adam 21 dielikov. Boris

chcel 9 dielikov. Ktoré z dievčat dostalo viac dielikov čokolády? (Katka) Akú časť čokolády


5

dostal Boris?

Ktoré dve z detí si rozdelia celú čokoládu? (Adam a Boris) Koľko dielikov

čokolády by sme potrebovali, aby dostalo každé z detí toľko dielikov, koľko chcelo? (48

dielikov), ...

Zlomky, zmiešané čísla a desatinné čísla

1. a)

b)

c)

2.

,

,

,

,

.

3. Na stole je 23 šestín pizze.

4.

,

,

,

,

.

5.

6. 0,1; 0,01; 0,000 1; 0,02; 0,005; 0,7.

7. 0,3; 0,17; 0,5; 2; 0, ; 1, ; 0, ; 0, ; 1, ; 1, ; 0,8 .

8. 0; 0; 0; 0; 0, Ak je v čitateli zlomku 0, hodnota zlomku je vždy rovná nule.

9. Nie, neviem určiť hodnotu zlomku

. Ak je v menovateli zlomku číslo 0, zlomok nemá zmysel

(nevieme deliť na nula častí).

10.

11. a) 1,17; 0,65; 0,44; 0,31; 0,24; b) 0,286; 0,667; 0,120; 2,333; 2,485.

12.

;

=

;

;

=

;

13.

;

;

;

;

.

Sčítanie a odčítanie zlomkov

1. a) 5 jabĺčok; b) päť šestín; c)

2. a) dve jabĺčka; b) dve štvrtiny, teda jedna polovica; c)

.

3. Majka už zjedla polovicu čokolády.

4.

=

;

=

;

;

=

.

5. Milke zostalo

metra stužky.

6. Jakubovi zostali dve pätiny z pôvodnej sumy.

Oba zlomky upravil na spoločného menovateľa. Teda oba obdĺžniky rozdelil na zhodný počet

častí, ktoré vedel ľahko spočítať.

7.

;

=

;

;

;

;

;

;

.

8. Áno, výsledky sú rovnaké, iba zlomky

a

treba previesť na základný tvar.

9. Zapísané po stĺpcoch:

;

=

;

;

=

.


6


;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Papagáj našiel najmenší spoločný násobok čísel, ktoré sa nachádzajú v menovateľoch

všetkých uvedených zlomkov. Tento najmenší spoločný násobok je menovateľom výsledného

zlomku. Potom vydelil menovateľa výsledného zlomku menovateľom každého z daných

zlomkov. Získaným podielom vynásobil čitateľa daného zlomku (rozšíril všetky sčítance tak,

aby rovnakého menovateľa, pretože potom vie sčítať a odčítať čitatele).


=

;

=

;

;

;

;

=

.

12. Magický štvorec

Áno, kalkulačky majú pravdu.

= 1,25;

= 0,525;

= 0,64;

= 1,4 .

13. 0,06; 0,40; 1,80; 0,23; 0,57.

14. Napr.: 1 =

=

=

; 5 =

=

=

; 7 =

=

=

; 10 =

=

=

; 15 =

=

=

.

15.

;

;

;

;

;

.

16.

;

;

;

;

;

.

17.

;

;

;

;

.

18. 1

;

;

;

; 3

.

19.

=

;

=

;

= ;

=

;

=

;

=

.

20.

=

;

=

;

=

;

=

;

=

.

21.

=

;

=

;

=

;

=

;

=

.

22.

;

;

;

;

;

.

Výsledok nula ukážu „menej“ inteligentné kalkulačky.

E na displeji kalkulačky znamená Error, teda chybu, nesprávny, postup výpočtu.

23.

= 0,15;

= 21,2;

= 11,886;

= 3,29 .

24. 4,61; 4,80; 3,34.

25.

; ;

;

=

.

26.

=

=

;

=

=

;

≠

≠

.

Násobenie a delenie zlomkov

1.

z

znamená

·

=

=

.

2. Zapísané po riadkoch (výsledky napísané v základnom tvare):

;

;

;

;

;

;

; 1;

;

.

3.

;

;

;

;

;

;

.


7

4. a) 3 jabĺčka; b) tri štvrtiny; c) súčet

+

+

.


;

; 4;

; 3; 18; 6; 12.

6.

6 : 2 = 3 6 : 3 = 2 lebo 2 · 3 = 6

6 : 6 = 1 6 : 1 = 6 lebo 6 · 1 = 6

6 : 12 =

6 :

= 12

lebo

12 ·

= 6

6 : 9 =

6 :

= 9

lebo

9 ·

= 6

6 : 15 =

6 :

= 15

lebo

15 ·

= 6

6 : 18 =

6 :

= 18

lebo

18 ·

= 6

6 : 21 =

6 :

= 21

lebo

21 ·

= 6

7. Na obrázkoch je názorne ukázaný číselný výpočet, ktorý ukazuje ako určíme časť patriacu

jednému z kamarátov.

8. Výsledok uvedený v základnom tvare:

;

;

;

.


; 4; 30; 14; 18;

;

.


;

;

;

;

;

;

;

.

11. Počtové výkony v zátvorkách majú vždy prednosť. Pri počítaní postupujeme od vnútorných

zátvoriek k vonkajším. Matematické operácie - násobenie a delenie má vždy prednosť pred

matematickou operáciou - sčítanie a odčítanie. Ak sa vyskytujú iba rovnocenné operácie,

napr. násobenie a delenie alebo sčítanie a odčítanie, počítame postupne zľava doprava.

12.

;

;

= 2

.

13. Takto zapísaný zlomok voláme zložený zlomok. Do základného tvaru ho môžeme upraviť

dvomi spôsobmi:

=

:

, alebo

=

. (výsledky napísané

v základnom tvare):

;

;

;

.

Slovné úlohy

1. Ak sa cyklista pohyboval rovnakou rýchlosťou, za pol hodiny prešiel 10 km.

2. Jeden záhon má šírku

metra.

3.

tony +

tony +

=

tony. Tretí deň nemohli odviezť štvrtinu z tony, pretože po

prvých dvoch odvozoch ostala v sklade

, čo je menej ako

.

4. Celý byt má rozlohu

m2.

Krížom - krážom

1. Uprostred medzi číslami 0 a 1.

= 0,5 =

= 0,50.

2.

=

(Ak sčítavam zlomky, nezáleží na poradí, výsledok je rovnaký).

≠

(Ak odčítavam

zlomky, záleží na poradí v akom ich od seba odčítam);

≠

.


8

3. Ak vynásobím zlomok a zlomok ku nemu prevrátený, vždy dostanem výsledok 1, napr.

·

=

1. Ak vydelím zlomok a zlomok ku nemu prevrátený, dostanem druhú mocninu pôvodného

zlomku, napr.

:

=

·

=

=

.

4.

·

=

5. Ak zlomok vykrátim číslom 1, jeho hodnota sa nezmení.

6. Na desatinné zlomky viem upraviť iba tie zlomky, ktorých menovateľ je deliteľom 10, alebo

100, alebo 1 000,... .

=

;

neviem upraviť;

=

;

=

;

neviem upraviť.

7. Petržlenom je vysadených riadkov.

8. Cesta do školy trvá najkratšie Anne (15 min), potom Danke (30 min); Borisovi (32 min).

Najdlhšie Celestíne (40 min).

9.

10.

;

;

;

;

.

11. 0,5 =

=

=

; 7 =

=

=

; 0 =

=

=

.

12. 1 >

, lebo

>

;

> 1, lebo

>

.

13.

>

, n(5,6) = 30,

=

>

=

;

<

, n(8,4) = 8,

<

=

;

>

, n(6,9) = 18,

=

>

=

.

14. Ak sa nachádza v čitateli zlomku rovnaké číslo (napr. jednotka), zlomok je tým menší, čím

väčší je jeho menovateľ.

>

>

>

>

. Alebo n(8, 9, 3, 5, 16) = 720,

=

>

=

>

=

>

=

>

=

.

15. a) Príklady najpoužívanejších taktov: 2/4 - dvojštvrťový, 3/4 - trojštvrťový, 4/4- štvorštvrťový,

6/8 - šesťosminový,... Horná číslica určuje počet dôb v takte, spodná ich trvanie. Napr. 3/4

určuje, že v celej skladbe v každom takte sú 3 počítacie doby a že každá z nich má trvanie

štvrťovej noty. Tento takt sa teda môže vyplniť napr. tromi štvrťovými notami, alebo jednou

polovou a jednou štvrťovou... b) Noty podľa dĺžky delíme na : celú, polovú, štvrťovú,

osminovú, šestnástinovú, dvaatridsatinovú. Dĺžka polovej noty je polovicou dĺžky celej noty,

dĺžka štvrťovej noty je štvrtinou dĺžky celej noty (polovicou dĺžky polovej noty),...

16. V čajníku zostalo jeden a štvrť litra čaju.

17. štvrť kila = 250 g; pol kila = 500 g

18. Maximum bolo 20 bodov.

19.

20. x =

; x =

=

; x =

; x =

.


;

;

; 1.


9

22. Rozdiel a podiel v opačnom poradí je sivou farbou.

a) súčet b) súčin c) rozdiel d) podiel

a

1,15 0,3 0,35 -0,35 1,875 0,533

a

0,803 0,157 -0,137 0,137 0,709 1,41

a

0,841 0,159 0,270 -0,270 1,944 0,514

a

2,024 1 0,310 -0,310 1,361 0,735

a

0,382 0,036 0,018 -0,18 1,1 0,910

a

1,208 0,313 -0,458 0,458 0,45 2,222


10

2. Percentá, promile Zopakuj si

1. Zapísané po stĺpcoch: 5,7; 268,97; 300; 1 140,74; 139,12; 61,11; 2 767,68; 2 053,44; 162,5;

57; 410,25; 177 631,25.

2. Zapísané po stĺpcoch: 2,59; 8,11; 130; 0,87; 19; 4,00; 1; 1 500; 0,10; 30,67; 5 000; 10 000.


;

;

;

;

;

;

;

.

4. a) 45, 215; b) 250, 6 666; c) 17, 360, 10 800; d) 379, 10, 560.


;

;

;

;

;

;

;

.

6. Zapísané po riadkoch: 0,5; 0,2; 0,1; 0,25; 0,8 ; 0,875; 3,0; 0, .


;

;

;

;

;

;

;

.

8. Štvrtinu daného čísla vypočítame každým z uvedených výpočtov : 0,25 · 66 = 66 : 4 =

· 66 =

· 66.

9. Polovicu daného čísla vypočítame: 70 : 2 =

· 70 = 0,5 · 70.

10. Desatinu daného čísla vypočítame: 6 500 : 10 = 6 500 · 0,1 =

· 6 500.

11. Pätinu daného čísla vypočítame: 90 ·

= 90 : 5 = 0,2 · 90.

12. Na výstave bolo 7 040 návštevníkov.

13. Orlom fandí 40 žien z fanklubu.

14. C

15. a) Po anglicky sa učí

žiakov.; b) Po nemecky sa učí 25 žiakov.; c) Španielsky sa neučí nik.

16.

17. V tabuľke môže byť spracovaný napr. počet skokov na švihadle dvanástich detí; alebo počet

druhov zmrzliny ponúkaných v dvanástich stánkoch, ...

Prečo percentá?

1. a) Najviac žiakov sa zapojilo v II. a VIII. ročníku, 9 žiakov.; b) Najmenej žiakov sa zapojilo v I.

ročníku, iba traja.; c) Áno, tento údaj zmenil hodnotenie. Najviac žiakov sa zapojilo v II.

ročníku, a to polovica žiakov. Najmenej v VII. Ročníku, iba sedmina žiakov.

2. Záleží z akej sumy nám odrátajú zľavu. Je pre nás výhodnejšie získať 5 € zľavu z knihy, ktorej

cena je 10 €; ako zľavu 50 € z niekoľko tisícovej hodnoty auta.

3. a) Podľa počtu hodov je na I. mieste Maroš, na II. mieste Katka a na III. mieste Juraj.; b)

Prepočítam úspešnosť jednotlivých súťažiacich na rovnaký počet hodov.; c) Juraj 20 zo 100,

Katka 25 zo 100, Maroš 50 zo 100; d) 66 zo 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 3 2 7 9 8 3 4 2 1 8 9


11

4. a) viac obchodníkov v PER; b) menej študentov v PER.

CENTO PER

Obchodník 1 z 10 =

Obchodník 1 z 5 =

Muž 1 z 2 =

Žena 1 z 2 =

Škola 1 z 5 =

Škola 1 zo 6 =

Priemysel 1 zo 4 =

Priemysel alebo poľnohosp. 1 z 3 =

Poľnohospodárstvo 1 z 20 =

5. a) 60 stotín; b) 50 stotín; c) 40 stotín; d) 40 stotín.

6. Lyže = 50 stotín; topánky = 80 stotín; kabát = 90 stotín; telefón = 75 stotín; notebook = 87,5

stotín.

Percento

Dnes bola v obchode päťdesiatpercentná zľava = všetok tovar bol o polovicu lacnejší; Vyšlo to

na sto percent = podarilo sa to; Viem to na sto percent = všetko ovládam; Mišo je

stopercentný chalan = je úžasný.

Percento je stotina z celku. Názov pochádza z per cento, znamenajúceho (pripadajúci) na sto.

Znak „%“ je štylizovaný symbol dvoch núl, v pôvodnej podobe (asi roku 1425) bol využitý

podobný symbol (iba s vodorovnou čiarkou namiesto šikmej) pre skrátenie zápisu P cento;

písmeno P neskôr vypadlo a používal sa samostatný symbol s vodorovnou čiarkou (asi

roku 1650). (zdroj Wikipedia)

1. Zapísané po stĺpcoch: 1 %; 15 %; 53 %; 7%; 205%.


;

;

;

;

.

3. Zapísané po stĺpcoch: 0,05; 0,63; 0,24; 0,09; 5,00.

4. Zapísané po stĺpcoch: 0,36; 0,97; 5,32; 8,70; 5,18; 0,004; 0,009; 0,263 8; 18,40; 30,00; 0,904;

4,073 6; 0,001 8; 0,047; 2,06.

5. Zapísané po stĺpcoch: 37,36; 0,054 6; 8,09; 0,002 7; 5,21; 30,00; 0,008; 47,49; 5,00; 0,48.

6. a) 50 %; b) 10 %; c) 25 %; d) 20 %.

7. a) 50 %; b) 39 %; c) 54 %; d) 53 %.

8.

9. a) 25 %; b) 33 %; c) 50 %; d) 75 %.

10. Nevyfarbených zostalo 17 %.

11. Peter plánoval prejsť 10 km, Fero 50 km, Tóno 48 km a Adam 20 km.

12.

13. Žltá = 75 %; zelená = 100 %; fialová = 12,5 %; modrá 37,5 % (SABC =

SABCD; SFEC =

SABC).

Časť prislúchajúca počtu percent

1. a) 20; b) 13; c) 140.

2. Zapísané po riadkoch: 400; 104; 2 100; 490; 594; 81; 730,4; 3 240; 300; 1 904,6.

3. Zapísané po riadkoch: 0,07; 1,01; 2,35; 0,04; 6,93; 0,364; 938,45; 1,30; 0,28; 0,18.

4. a) 25 % je štvrtina zo 100 %. 25 % z 800 vypočítam 800 : 4 = 200; b) 50 % je polovica zo

100 %. 50 % z 1 500 vypočítam 1 500 : 2 = 750; c) 20 % je pätina zo 100 %. 20 % z 250

https://sk.wikipedia.org/wiki/1425

https://sk.wikipedia.org/wiki/1650


12

vypočítam 250 : 5 = 50; d) 10 % je desatina zo 100 %. 10 % z 32 760 vypočítam 32 760 : 10 =

3 276.

5. iba po b) je správne tvrdenie. a) tvrdenie platí iba ak je počet percent menší ako 100, napr.

pre 127 % tvrdenie neplatí. b) Počet percent môže byť aj väčší ako 100.

6. Dĺžka úsečky KL je : 5,7 cm (57 %); 4 cm (40 %); 6,2 cm (62 %).

7. Tovar zlacnel na 70 % pôvodnej ceny.

8. Plyn zdražel o 5 %.

9.

Cena 500 € 8 000 € 60 € 450 € 2 700 € 15 600 € 3,50 € 0,25 €

Zľava v % 5 % 10 % 12 % 20 % 30 % 50 % 1 % 2 %

Zľava v € 25 € 800 € 7,2 € 90 € 810 € 7 800 € 0,04 € 0,01 €

Zlacnelo na (%) 95 % 90 % 88 % 80 % 70 % 50 % 99 % 98 %

Cena po zľave 475 € 7 200 € 52,8 € 360 € 1 890 € 7 800 € 3,47€ 0,24 €

10. Obchod dodržal zľavu, ktorú sľuboval reklamou iba pri nohaviciach. (tričko zľava 10 %, sveter

zľava 12 %)

11. Pán Adam zaplatí 184 €, ušetrí 46 €.

Počet percent

1.

ročník I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX.

Počet projektov 3 9 6 4 5 5 4 9 7

Počet žiakov 15 18 24 16 20 25 28 27 21

Počet % žiakov zapojených do projektu

20 % 50 % 25 % 25 % 25 % 20 % 14,3 % 33 % 33 %

2. Zapísané po riadkoch: 25 %; 20 %; 50 %; 2 000 %; 33,3 %; 10 %; 75 %; 52,63 %

3. Petrovi ponúkali najvýhodnejšiu zľavu 9,5 % v druhom obchode. Hoci najnižšia cenu tabletu

je vo štvrtom obchode pri zľave 0 %.

Pôvodná cena 300 € 310 € 290 € 280 €

Cena po zľave 284,50 € 280,62 € 281,31 € 280 €

Zľava v % 5,17 % 9,5 % 3 % 0 %

4. Pre obchod je najvýhodnejšia posledná ponuka „2 za cenu 3“, lebo za jeden kus zaplatíme

150 % z pôvodnej ceny tovaru. (3 za cenu 2: 3 ks = 200 %, teda 1 ks = 66,67 % pôvodnej

sumy; 3 + 1 zdarma = 4 za cenu 3: 4 ks = 300 %, teda 1 ks = 75 % pôvodnej sumy; 2 za cenu 3:

2 ks = 300 %, teda 1 ks = 150 % pôvodnej sumy).

5.

6. a) napr. A = 10 a B = 20; A = 17 a B = 27; A = 90 a B = 100; b) Nie, toto tvrdenie neplatí.

7. Miškova veža (5 kociek) je nižšia o 37,5 % od Dušanovej veže (8 kociek). (Dušanova veža

vyjadruje základ, Miškova počet percent) Dušanova veža (8 kociek) je vyššia o 60 % od

Miškovej veže (5 kociek). (Miškova veža vyjadruje základ, Dušanova počet percent)

8. Počas obidvoch školských rokov nazbierala Ema viac, a to o 17,325 kg. (Ema 770 kg + 654,5

kg, Patrik 654,5 kg + 752,675 kg.)


13

9. V autobuse musí stáť 41,18 % cestujúcich.

10. Katka má menej o 4 roky. (Katka má 16 rokov)

Základ

1. a) Modrou je vyfarbených 77 % trojuholníka.; b) Červenou je vyfarbených 75 % štvorca.; c)

V šesťuholníku je nezafarbených 17 %.

2. Cez 1 %. Vypočítali by sme si koľko perníkov tvorí jedno percento, a vynásobili by sme tento

počet číslom 100.

3. Zapísané po stĺpcoch: 312; 68 100; 90; 300; 20; 290; 4 300; 3 700; 1 500; 20; 97; 830

4. a) Nohavice stáli pôvodne 11 €.; b) Kabát stál pred zľavou 75 €.; c) Topánky stáli pred zľavou

50 €.

5. Jakubov otec má 40 rokov.

6. Benzín stál pred zlacnením 1,5 €.

7. Kniha má 500 strán.

8. Torta stála 20 €.

9. DO VZDELANIA.

Slovné úlohy

Obaja dospeli k správnym výsledkom, hoci každý inou metódou.

1. Po zlacnení stála kniha 7,23 €.

2. Vysušené huby vážili 250 g.

3. a) 75 %; b) 50 %; c) 70 %; d) 85 %

4. U dospelého človeka s hmotnosťou 90 kg tvorí voda 54 kg.

5. Zničených bolo približne 38 000 000 stromov. (1km2 = 100 hektárov)

6. Na 35 kg údeného mäsa použil mäsiar 42,68 kg surového mäsa.

7. Hmotnosť Slnka je približne 2 · 1030 kg, čo predstavuje 99,87 % hmotnosti celej slnečnej

sústavy.

8. Babke Agáte sa podarilo vypestovať 625,6 mrkiev. (Matematicky správny výsledok, ale čo

urobí babka Agáta s 0,6 mrkvy? Diskutujte.)

Jednoduché úrokovanie

ČSOB, Prima banka, Slovenská sporiteľňa, VÚB, Raiffeisen bank, OTP bank, Poštová banka,

Wüstenrot, Prvá stavebná sporiteľňa, SBERBANK, Tatra banka...

Lepšie je požičať peniaze banke .

Ukladať peniaze v banke: stavebné sporenie, vkladná knižka, termínovaný vklad...

Požičať z banky: hypotéka, spotrebný úver, účelová pôžička...

1. a) Banka vrátila za požičanie 2 040 €.; b) Pán Veľký vrátil banke za 10 rokov 45 000 €.; c) Pani

Veselá po roku vráti banke 810 €.; d) Za jeden mesiac Danke vráti banka 45 € 45 centov.

2. a) 1 030 €; b) 5 150 €; c) 2 626,5 €; d) 3 839,84 €.

3. a) 2 040 €; b) 10 812 €; c) 9 239,16 €; d) 50 490 €.


14

4. Zhodnocovanie vkladov v priebehu piatich rokov. Sumy sú zaokrúhľované na dve desatinné

miesta.

Istina 1 000 € 15 000 € 800 € 200 000 €

Úročenie 2 % p.a. 5 % p.a. 3 % p.a. 7 % p.a.

Úrok po 1. roku 20 € 750 € 24 € 14 000 €

Spolu po 1. roku 1 020 € 15 750 € 824 € 214 000 €

Úrok po 2. roku 20,4 € 787,5 € 24,72 € 14 980 €

Spolu po 2. roku 1 040,4 € 16 537,5 € 848,72 € 228 980 €

Úrok po 3. roku 20,81 € 826,88 € 25,46 € 16 028,6 €

Spolu po 3. roku 1 061,21 € 17 364,38 € 874,18 € 245 008,6 €

Úrok po 4. roku 21,22 € 868,22 € 26,23 € 17 150,6 €

Spolu po 4. roku 1 082,43 € 18 232,6 € 900,41 € 262 159,2 €

Úrok po 5. roku 21,65 € 911,63 € 27,01 € 18 351,14 €

Spolu po 5. roku 1 104,08 € 19 144,23 € 927,42 € 280 510,34 €

5. Ak si po roku vyberú peniaze z banky, väčšiu sumu bude mať starý otec. Otec 600 + 18 = 618

€, starý otec 610 + 12,2 = 622,2 €.

6. Za osem rokov si takto z banky môžu vybrať 1 920 €.

7. Norbert do banky vložil 1 000 €.

8. a) 12,7 €; b) 63,5 €; c) 19,05 €

9. a) Stará mama mala po roku na účte 1 236 €.; b) Viac mala stará mama, lebo jej počítali 3 %

prírastok po celý rok zo sumy 1 200 €. Starému otcovi počítali 3 % prírastok zo sumy 1 200 €

iba posledný mesiac (v predchádzajúce mesiace zo sumy menšej než 1 200 €).

Môže si zaúčtovať poplatok za predčasný výber. Lebo banka počíta s tým, že bude mať

peniaze k dispozícii po celý rok.

10. Úrok za polrok: a) 25 €; b) 17,5 €; c) 300 €; d) 9,5 €

11. Rodičia po polroku vybrali 3 030 €.

12. Z banky po štvrťroku vyberiem: a) 101 €; b) 4 040 €; c) 282,8 €; d) 15 150 €

13. Po štvrťroku si z banky vyzdvihli 2 511,25 €. (úrok za štvrťrok je 12,5 €; poplatok za predčasný

výber 1,25 €)

14.

Vklad Zhodnotenie 4 % p.a.

za 1 rok za jeden polrok za jeden štvrťrok

1 000 € 40 € 20 € 10 €

2 000 € 80 € 40 € 20 €

500 € 20 € 10 € 5 €

20 000 € 800 € 400 € 200 €

430 € 17,2 € 8,6 € 4,3 €

15.

Vklad 5 % po dvoch rokoch 5 % p.a. po roku 5 % p.a. po dvoch rokoch

1 000 € 50 € 50 € 50 € + 52,5 € = 102,5 €

700 € 35 € 35 € 35 € + 36,75 € = 71,75 €

50 000 € 2 500 € 2 500 € 2 500 € + 2 625 € = 5 125 €

660 € 30 € 30 € 30 € + 31,5 € = 61,5 €

2 300 € 115 € 115 € 115 € + 120,75 € = 235,75 €

Ak 5 % za dva roky, tak je to približne 2,5 % p.a..


15

16. 3 % p.a. je výhodnejšie ako 5 % za dva roky. Napr. zo sumy 1 000 €. 5% za dva roky = 1 050 €,

3 % p.a. po dvoch rokoch = 1 030 € + 30,9 € = 1 060,9 €.

17. a) Úroky za rok sú 3 000 €.

b) Po zaplatení dane z príjmu pánu Karolovi zostane ročne 2 430 €.

18. Vklady spolu 45 €, výbery spolu 38,55 €, konečný stav účtu 195,87 €, úrok 0,16 €.

19. Po roku vráti rodičom 157,5 €.

20. Klient musí po mesiaci vrátiť 2 080 €.

21. Lebo spoločnosť POŽIČOVŇA mala úrok 2 % mesačne, čo je 24 % za rok.

22. a) Nie, 100 € je málo. Musia platiť 260 €, ak chcú splatiť 1 500 € za 6 mesiacov. b) Budú

musieť ušetriť na výdavkoch za domácnosť, stravu, ... . ? Čo je nereálne. Lebo mesačne budú

mať o 200 € menej na výdavky, čo nie je zanedbateľná suma. c) Ak dodržia splátkový

kalendár, spoločnosti vrátia o 300 € viac. d) Exekúcia alebo ďalší úver na splatenie toho

prvého a ešte väčšie zadlženie.

23. a) 588 €; b) Doba splácania úveru nie je uvedená. c) Celkový úrok neviem vypočítať ak

nepoznám celkovú sumu, ktorú musím vrátiť a dobu splácania. d) Chýba informácia

o úrokovej sadzbe a dĺžke splácania.

Diagramy

1. Napríklad:

trieda I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. spolu

Chlapcov 7 6 9 9 11 3 7 6 8 66 = 50 %

Dievčat 9 10 9 5 11 7 2 10 3 66 = 50 %

počet žiakov

dievčatá

chlapci


16

2. a)

b) percentuálny podiel medailí pre každú z krajín (My sme počítali, koľko percent z celkového

počtu získaných medailí bolo zlatých, strieborných... pre každú krajinu. Otázka sa však dá

pochopiť aj inak - diskutujte.)

Krajina Zlato Striebro Bronz

Spojené štáty 44,23 % 27,88 % 27,88 %

Čína 43,18 % 30,68 % 26,14 %

Spojené kráľovstvo 44,62 % 26,15 % 29,23 %

Rusko 29,27 % 31,71 % 39,02 %

Južná Kórea 46,43 % 28,57 % 25 %

Nemecko 25 % 43,18 % 31,82 %

Francúzsko 32,35 % 32,35 % 35,29 %

Taliansko 28,57 % 32,14 % 39,29 %

Maďarsko 47,06 % 23,53 % 29,41 %

Austrália 20 % 45,71 % 34,29 %

3. Nájdite aktuálne údaje po ostatnom sčítaní obyvateľov.

4.

5. Percentuálne zloženie vdychovaného vzduchu. (Oxidu uhličitého je 0,04 %, preto ho na

kruhovom diagrame nevidno. Diskutujte so žiakmi, čo sa dá v takejto situácii urobiť -

zanedbať ho, zaradiť medzi Iné...)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

zlato

sriebro

bronz

Taliansko

zlato

striebro

bronz


17

Promile

1. Zapísané po riadkoch: 5 a 35; 0,63 a 50,4; 12,6 a 12 587,4; 25 a 325; 5,84 a 1 168

2. 300 ‰; 70 ‰; 150 ‰; 1 500 ‰; 600 ‰

3. Informuje o stúpaní cesty. Na úseku cesty dlhom 100 m je prevýšenie 12 m.

4. Na úseku dlhom 1 km je klesanie o 15 m nadmorskej výšky.

Krížom - krážom

1. Mária bude mať o 12 rokov 46,15 % veku mamy.

2. 10 % z 50 = 50 % z 10 = 5.

3. Obaja majú pravdu. Karol má 200 % Martinových kociek, čo je dvojnásobok. Teda Martin má

polovicu z Karolových kociek.

4. a) 50 %; b) 25 %; c) 300 %; d) 10 %.

5. Povolená hladina alkoholu v krvi bežného (nie profesionálneho) vodiča v krajinách EÚ (zdroj:

www.tester.sk).

Povolená hranica alkoholu v krvi

krajiny

0,0 promile Česko, Estónsko, Chorvátsko (do 24 rokov), Maďarsko, Nemecko (do 21 rokov), Rumunsko, Grécko, Slovensko, Slovinsko (pre vodičské oprávnenie kratšie ako 2 roky)

0,2 promile Poľsko, Švédsko

0,4 promile Litva,

0,5 promile Belgicko, Bulharsko, Dánsko, Fínsko, Francúzsko, Chorvátsko , Taliansko, Lotyšsko, Luxembursko, Nemecko, Holandsko, Portugalsko, Rakúsko, Slovinsko, Srbsko, Španielsko

0,8 promile Írsko, Spojené kráľovstvo

6. S cestovnou kanceláriou „Cestujem rýchlo“ nám cesta okolo sveta potrvá o 62,5 % menej ako

Phileasovi Foggovi.

7. Aby dospelý človek pokryl svoju dennú dávku vápnika potrebuje vypiť min 850 ml (3,4 –

násobok 250 ml pre 29 %), alebo 1,125 l (4,5 – násobok 250 ml pre 22 %).

8. Súčet čísel je 1 229,4. Jednotlivé čísla sú 5,4; 54; 270 a 900.

9. Plánovali spracovať 1 000 objednávok.

vdychovaný vzduch

kyslík

oxid uhličitý

dusík

iné plyny


18

10. a) Dlhopisy mali po roku hodnotu 10 700 € a po dvoch rokoch 11 449 €.

b) Dlhopis (obligácia) je dlhový cenný papier, ktorý predstavuje záväzok emitenta (dlžníka)

voči veriteľovi. Ide o formálny záväzok, v ktorom sa dlžník zaviazal platiť úroky počas doby

platnosti dlhopisu. Po uplynutí tejto doby dlžník vyplatí investorovi nominálnu hodnotu

dlhopisu. Deň, keď dlžník vyplatí nominálnu hodnotu sa nazýva deň splatnosti (maturita).

Dlhopisy tak ako aj iné cenné papiere sa môžu obchodovať na burze. Dlhopisy sú veľmi

obľúbené medzi investormi, pretože nie sú také rizikové ako akcie. Tak ako pri akciách, aj pri

dlhopise môže investor dosiahnuť kapitálový a úrokový výnos. Väčšina investorov sa

zameriava na úrokový výnos, pretože ceny dlhopisov sú stabilnejšie ako pri akciách.

Dlhopisy môžeme rozdeliť podľa viacerých hľadísk. V praxi sa najčastejšie vyskytuje delenie

podľa času, emitenta a podľa vyplácaného kupónu. (zdroj:

http://www.kaminvestovat.sk/dlhopisy)

Akcia je majetkový cenný papier, ktorá stelesňuje majetkový podiel v akciovej spoločnosti. S držbou akcií sú spojená nasledovné práva: Právo podieľať sa zisku spoločnosti, Právo podieľať sa na riadení spoločnosti a Právo na likvidačný zostatok. Každá akciová spoločnosť je založená za účelom dosahovania zisku. Každoročne valné zhromaždenie rozhoduje o rozdelení zisku (alebo vysporiadaní straty). S akciami veľkých spoločností sa obchoduje na burze. Investor teda môže okrem dividend získať aj na rozdiele medzi predajnou a nákupnou cenou. Podľa štatistických prieskumov dlhodobá držba akcií je výnosnejšia ako iné investície. Pri držbe akcií niekoľko desaťročí sú akcie dokonca menej rizikové ako dlhopisy. (zdroj: http://www.kaminvestovat.sk/akcie)

http://www.kaminvestovat.sk/dlhopisy/13-co-su-dlhopisy.html

http://www.kaminvestovat.sk/akcie/37-co-su-akcie.html

http://www.kaminvestovat.sk/dlhopisy

http://www.kaminvestovat.sk/akcie/37-co-su-akcie.html

http://www.kaminvestovat.sk/dlhopisy/13-co-su-dlhopisy.html

http://www.kaminvestovat.sk/akcie


19

3. Kváder a kocka Zopakuj si

1. Zapísané zľava doprava: ihlan, kocka, kváder (hranol), šesťboký hranol, trojboký hranol, valec,

kužeľ.

2.

3.

4. Príklady plánov stavieb postavených z 20 kociek:

1 1 1 1 3 2 3 2 3 3 1 4 3 2 1 1 1 1 1

1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 3 2 1 2 2

1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2

2 1 1 1 1 1 1

5. a) cm2 – štvorec so stranou dlhou 1 cm; b) mm2 – štvorec so stranou dlhou 1 mm; c) dm2 –

štvorec so stranou dlhou 1 dm

6. zapísané po stĺpcoch: 4 m2 = 40 000 cm2; 6,3 dm2 = 63 000 mm2; 300 mm2 = 3 cm2; 850 dm2 =

8,5 m2

7. zapísané po stĺpcoch: 10 mm3 < 1 cm3 = 1 000 mm3; 20 dm3 < 1 m3 = 1 000 dm3; 1 dm3 =

1 000 cm3 > 10 cm3; 1 m3 = 1 000 000 cm3 > 100 cm3

8. a) Kocka s hranou 1 cm obsahuje 1 000 kociek so stranou 1 mm. b) Kocka s hranou 1 m

obsahuje 1 000 000 kociek so stranou 1 cm.

9. Obsah štvorca so stranou 7,5 cm je 56,25 cm2.

10. Druhý rozmer obdĺžnika je 48 mm.

11. Kocka ABCDEFGH má: 8 vrcholov – A, B, C, D ,E, F, G, H; 12 hrán – AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG,

DH, EF, FG, GH, HE; 6 stien – ABCD, ABFE, BCFG, DCGH, ADEH, EFGH.

12. Kváder KLMNOPQR má: 8 vrcholov – K, L, M, N, O, P, Q, R; 12 hrán –KL, LM, MN, NK, KO, LP,

MQ, NR, OP, PQ, QR, RO. 6 stien – KLMN, KLPO, LMQP, NMQR, KNRO, OPQR.

13. a) Kváder obsahuje 90 kociek s hranou dlhou 1 cm. b) Objem kvádra je 90 cm3.

14. a) Veľká kocka obsahuje 64 kociek s hranou dlhou 1 cm.

b) Objem kocky s hranou 4 cm je 64 cm3.

K L

M N

O P

Q R


20

Voľné rovnobežné premietanie, perspektíva

1. a) štvorec obdĺžnik; b) kváder kocka

2.

3. a) kváder s rozmermi 5 cm, 6 cm a 7 cm. b) Každý kváder (so štvoruholníkovou podstavou)

má 8 vrcholov, 12 hrán a 6 stien.

Postup:

1. Narysujem prednú stenu, obdĺžnik ABEF s rozmermi a .

2. Narysujem bočné hrany AD, BC, FG a EH ako rovnobežky pod uhlom 45°. Dĺžka bočných

hrán je 3 cm (6 cm : 2).

3. Narysujem zadnú stenu kvádra – obdĺžnik, ktorý vznikne spojením vrcholov D, C, G, H.

Nakoniec vyznačím viditeľnosť hrán, neviditeľné hrany zobrazím prerušovanou čiarou.

Náčrt:

4. a) kocka s hranou dĺžky 5,5 cm

Postup:

1. Narysujem prednú stenu, štvorec ABEF s rozmermi 5,5 cm.

2. Narysujem bočné hrany AD, BC, FG a EH ako rovnobežky pod uhlom 45°. Dĺžka bočných

hrán je 2,75 cm (5,5 cm : 2).

3. Narysujem zadnú stenu kvádra – štvorec, ktorý vznikne spojením vrcholov D, C, G, H.

Nakoniec vyznačím viditeľnosť hrán, neviditeľné hrany zobrazím prerušovanou čiarou.

Náčrt:

5. Každá kocka má 8 vrcholov, 12 hrán a 6 stien (štvorcových).

6.

Stenová a telesová uhlopriečka

1. Stenová uhlopriečka spája protiľahlé vrcholy ležiace na jednej stene. Telesová uhlopriečka

spája dva vrcholy neležiace na rovnakej stene.

5 cm

7 cm

3 cm

45° A B

C D

E F

G H

5,5 cm

D 5,5 cm

2,75 cm

45° A B

C

E F

G H


21

2. a) Kváder má spolu 12 stenových uhlopriečok: AC, BD, AF, BE, BG, CF, DG, CH, AH, DE, EG, FH

(na každej zo stien sa nachádzajú dve) a 4 telesové uhlopriečky: AG, BH, CE, DF (z každého

vrcholu dolnej podstavy zostrojíme jednu). b) Kocka má spolu 12 stenových uhlopriečok (na

každej zo stien sa nachádzajú dve) a 4 telesové uhlopriečky (z každého vrcholu dolnej

podstavy zostrojíme jednu). Pre kváder aj kocku platí: telesová uhlopriečka > stenová

uhlopriečka > hrana kocky. (Pre niektoré kvádre môže platiť, že stenová uhlopriečka podstavy

je menšia ako výška kvádra, teda ako dĺžka jeho hrany.)

3. a) viditeľné hrany: KL, LM,KK´, LL´, MM´, K´L´, L´M´, N´ M´, K´N´; b) neviditeľné hrany: KN, NM,

NN´; c) viditeľné uhlopriečky (iba stenové uhlopriečky sú viditeľné): KL´, K´L, K´M´, L´N´, LM´,

ML´; d) neviditeľné uhlopriečky: stenové: KM, NL, KN´, NK´, MN´, NM´, telesové: KM´, LN´,

MK´, NL´.

4. Majme kocku s dĺžkou strany a = 10 cm. Dĺžku stenovej uhlopriečky vypočítame ako , pre

našu kocku us = 14,1 cm, teda us je o 41 % dlhšia ako hrana a. Dĺžku telesovej uhlopriečky

vypočítame ako , pre našu kocku ut = 17,3 cm, teda ut je o 73 % dlhšia ako hrana a.

Nárys, pôdorys a bokorys

Pravý aj ľavý bokorys sú osovo súmerné útvary.

1. Kváder nárys bokorys pôdorys

Nemusia vyjsť všetkým zhodné obrázky pre nárys, pôdorys a bokorys. Záleží od toho, ktoré

rozmery si zvolíme pre podstavu a aká bude výška kvádra.

2. Kocka nárys bokorys pôdorys

Áno, všetkým vyšli rovnaké obrázky, lebo každá zo stien kocky je štvorec.

3.

4.

10 cm

6 cm

8 cm 10 cm

6 cm

8 cm

6 cm

10 cm

8 cm

5 cm 5 cm

5 cm 5 cm

5 cm

5 cm 5 cm 5 cm

5 cm


22

5. Oranžové teleso: nárys bokorys pôdorys

Zelené teleso: nárys bokorys pôdorys

6. Áno, napr. keď v oranžovom telese z predchádzajúceho príkladu doplníme ešte jednu spodnú

vrstvu, potom bude bokorys aj pôdorys oboch telies kocka 3 x 3.

7. a) priemety lopty: nárys bokorys pôdorys

b) priemety knihy

položenej na stole: nárys bokorys pôdorys

uloženej na poličke: nárys bokorys pôdorys

c) priemety pohára: nárys bokorys pôdorys

8. A – nadhľad sprava; B – podhľad sprava; C – podhľad zľava; D – nadhľad zľava


23

Sieť kvádra a kocky

Chlapec aj Mislyteľ majú pravdu

Áno, dá sa to, akúkoľvek škatuľu viem rozobrať – rozložiť na jeden kus.

1. Siete kvádra sú: A a B. Siete kvádra nie sú C a D.

2. Siete kvádra.

3. Príklady osovo súmerných sietí kvádra:

4.

5. Siete kocky sú: A, C, D, E, F, sieťou kocky nie je B.

6. Pre každú kocku existuje 11 sietí.

7.

Pravdu má Mislyteľ


24

Jednotky objemu

1. Objem kocky s hranou 1 mm (1 cm, 1 dm, 1 m) je 1mm3 (1 cm3, 1 dm3, 1 m3).

2. a) 8 cm3; b) 27 mm3

3. Vychádzame z Medzinárodnej sústavy jednotiek, ktorá je označovaná SI. Meter je základnou

jednotkou a meter kubický je odvodenou jednotkou. Pozri napr.

https://sk.wikipedia.org/wiki/SI.

4. Kocka s dĺžkou hrany 1 meter.

5. a) 2 cm3 = 2 000 mm3; b) 1,5 dm3 = 1 500 cm3; c) 5 dm3 = 5 000 cm3; d) 0,2 m3 = 200 dm3

6. a) 6 000 mm3 = 6 cm3; b) 2 500 cm3 = 2,5 dm3; c) 6 250 dm3 = 6,25m3

7. a) Objem kocky s hranou dĺžky 1 km je 1 km3 = 1 000 000 000 m3. b) Jeden svetelný rok je

9 460 730 472 580 800 metrov, čo môžeme zapísať ako 9,46 · 1015 metra. Objem kocky

s hranou dĺžky jeden svetelný rok je 8,47 · 1047 m3.

Obaja sa mýlia.

Kocku s hranou 1 km vyplníme 1 000 · 1 000 · 1 000 = 1 000 000 000 kociek s hranou 1 m.

Preto 1 km3 = 1 000 000 000 m3.

8. a) 2 km3 = 2 000 000 000 m3; b) 3,8 km3 = 3 800 000 000 m3; c) 4 000 000 000 m3 = 4 km3; d)

1 000 m3 = 0,000 001 km3

9. Rovnosti C a F sú správne. A... 1 mm3 = 0,000 000 001 m3; B... 1 m3 = 1 000 000 cm3; D...

1 dm3 = 1 000 000 mm3; E... 100 cm3 = 0,1 dm3. Chybné rovnosti nám dajú slovíčko BEDA.

10. Zistíme že 1 dm3 = 1 liter.

Áno, jednotka dekaliter je umiestnená správne.

1 hl = 10 dal; 1 dal = 10 l; 1 dal = 100 dl; 1 dal = 1 000 cl; 1 dal = 10 000 ml

Lebo používame jednotku liter aj pre desiatky litrov. Rovnako nepoužívame ani dekameter

11. Premena jednotiek objemu

1 hl = 100 l = 1 000 dl = 10 000 cl = 100 000 ml

1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml

1 dl = 10 cl = 100 ml

1 cl = 10 ml

1 ml = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l = 0,000 01 hl

1 cl = 0,1 dl = 0,01 l = 0,000 1 hl

1 dl = 0,1 l = 0,001 hl

1 l = 0,01 hl

12. Zapísané po stĺpcoch: 0,8 l = 8 dl; 0,05 l = 50 ml; 2,5 l = 0,25 l; 3,15 dl = 315 ml; 907 ml =

0,907 l; 0,05 dl = 0,5 cl; 12,5 dl = 1 250 ml; 0,25 l = 2,5 dl; 34 cl = 3,4 dl.

Objem kvádra a kocky

1. Ak máme kváder, ktorého podstava má rozmery a a b, výška kvádra je c, potom jedna vrstva

sa skladá z a · b kociek, dve vrstvy sa skladajú z 2 · a · b kociek, tri vrstvy sa skladajú z 3 · a · b

kociek, ... Teda c vrstiev sa skladá z c · a · b kociek.

2. Z 12 kociek sa dajú postaviť celkom štyri rôzne kvádre s rozmermi: 1, 1, 12; 1, 2, 6; 2, 2, 3;

1, 3, 4.


25

3. 1 vrstva a · b = 3 · 5 = 15 kociek; dve vrstvy 2 · a · b = 2 · 3 · 5 = 30 kociek; 6 vrstiev 6 · a · b =

6 · 3 · 5 = 90 kociek.

4. a) jednotkové kocky – 24, polkocky – 18, švrťkocky – 3.

Objem kvádra = počet jednotkových kociek +

· počet polkociek +

· počet štvrťkociek. Teda

= 33,75 kociek.

b) V = 4,5 · 3 · 2,5 = 33,75 cm3

5. a) Kváder obsahuje 2 kocky s hranou 1 cm.

b) Kváder obsahuje 2 200 kociek s hranou 1 mm.

c) 2 cm · 1 cm · 1,1 cm = 2,2 cm3

6. a) V = 243,107 cm3; b) V = 1,4 m3

7. a) náčrt kvádra s rozmermi 4 cm, 5 cm a 10 mm = 1 cm; b) 20 jednotkových kociek; c) V =

4 cm · 5 cm · 1 cm = 20 cm3

8. a) V = 314,432 cm3; b) V = 42,875 dm3

9. Kufor si na palubu lietadla nemôžem vziať. Objem kufra je 39,312 dm3 (l), čo je viac ako 35 l.

10. Tretí rozmer škatule s objemom 1 liter je 10,1 cm.

Povrch kvádra a kocky

1. a) 6 stien kocky; b) stena kocky je štvorec s dĺžkou strany 7 cm, jeho obsah vypočítam S = a · a

= 7 · 7 = 49 cm2

2. a) spolu 6 stien, zhodné po dvojiciach; b) stenami kvádra sú obdĺžniky s rozmermi: 5 cm

a 4 cm (S = a · b = 5 · 4 = 20 cm2), 5 cm a 3 cm (S = a · c = 5 · 3 = 15 cm2), 4 cm a 3 cm (S = b · c

= 4 · 3 = 12 cm2).

3. Povrch kocky je 245,76 cm2.

4. Povrch kvádra je 641,5 cm2.

5. Na jeden náter stupňa víťazov potrebujeme 6 plechoviek farby. Spolu natrieme plochu 4,18

m2. Natierali sme horné, predné, zadné a bočné plochy. Predná (= zadná) sa skladá z 3

obdĺžnikov s rozmermi 0,6 m a 0,5 m; 1 m a 0,6 m; 0,4 m a 0,6 m. Horná plocha je obdĺžnik

s rozmermi 1,8 m a 0,5 m (alebo 3 totožné obdĺžniky s rozmermi 0,6 m a 0,5 m). Bočné plochy

sú dva totožné obdĺžniky s rozmermi 0,5 m a 1 m (alebo sprava obdĺžniky s rozmermi 0,5 m

a 0,4 m; 0,5 m a 0,6 m; zľava dva totožné štvorce s rozmerom 0,5 m).

0

20

40 kocky

polkocky

štvrťkocky

4 cm 5 cm

1 cm


26

Krížom - krážom

1. obr. 1 obr. 2

Nárys bokorys pôdorys nárys bokorys(pravý) pôdorys

obr. 3 obr. 4

Nárys bokorys(pravý) pôdorys nárys bokorys(ľavý) pôdorys

2. Zadané hodnoty vpísané na správne miesto sivou farbou

mm3 cm3 dm3 m3 dl l

56 000 000 56 000 56 0,056 560 56

2 000 000 000 2 000 000 2 000 2 20 000 2 000

50 000 000 50 000 50 0,05 500 50

4 600 000 000 4 600 000 4 600 4,6 46 000 4 600

200 000 000 200 000 200 0,2 2 000 200

1 000 000 000 1 000 000 1 000 1 10 000 1 000

3. Nákladné auto sa pri odvoze vykopanej zeme na skládku otočí 6 krát. Rozmery vykopanej

jamy tvaru kvádra sú 3,7 m; 5,7 m a 1,9 m. Objem vykopanej zeminy je 40,071 m3.

4. Na stavbu múra potrebujú vyrobiť 30 kociek s rozmerom 50 cm.

5. b) z kociek vieme postaviť napríklad písmená E, I a L (ak volíme iba spôsob ukladania kociek

na seba, stavanie vežičiek.)

6. Rozmery nádrže sú napr. 100 m, 700 m a 20 m. 1,4 milióna litrov je 1 400 000 m3. (Otázka je

zameraná iba na rozmery ryby; v diskusii sa môžete rozprávať o tom, že ak do nádrže

s navrhovanými rozmermi dám rybu, zmenší sa objem vody o toľko, aký objem má ryba.)

Najväčší cicavec na svete a zároveň najväčšie zviera v oceáne je vráskavec obrovský. Niekedy

sa mu tiež hovorí modrá veľryba. Tento tvor môže mať dĺžku aj viac ako 30 metrov a

dosahovať hmotnosti 200 ton.

(zdroj: http://server.sk/zaujimavosti/priroda/top-10-najvacsich-zijucich-zvierat-na-svete/)

7. Akvárium je vysoké 70 cm.

8. Príbeh o Archimedovi a korune: K objavu hydrostatického zákona, ktorý nesie Archimedove

meno, sa viaže príbeh, podľa ktorého dostal Archimedes od vládcu Syrakúz Hierona úlohu

zistiť, či zlatník neprimiešal striebro do zlata pri výrobe kráľovskej čelenky. Archimedes prišiel


27

na podstatu zákona pri kúpeli. Myšlienka, ako porovnať objemy kovových predmetov známej

hmotnosti, ho napadla pri pozorovaní hladiny vody vo vani, do ktorej sa ponoril. Objav ho

vraj uviedol do takého tranzu, že pobehoval nahý po meste s výkrikmi "Heuréka!" (Objavil

som!). Vyriešil Hieronovu hádanku: vzal kus čistého zlata s rovnakou hmotnosťou ako

čelenka. Vhodil ho do nádoby s vodou a zmeral objem vody, ktorú tento kus zlata vytlačil. To

isté zopakoval s čelenkou. Ak zlato i čelenka vytlačia rovnaké množstvo vody, potom majú

rovnaký objem, a koruna je teda vyrobená iba zo zlata. Pretože sa ukázalo, že koruna nebola

len zo zlata, proces zopakoval so striebrom, takto mohol postupne zistiť hustotu zlata,

striebra a materiálu čelenky a usvedčiť klenotníka z nepoctivosti.

(zdroj: cec.truni.sk/spilakova/Java%20applety%20vo%20fyzike/archimedes.htm)

9. Objem nových rybičiek je 0,08 litra. (Ak je podstava akvária štvorec s rozmerom 40 cm.)

10. Vymaľovanie kancelárie bude stáť 217 €. (Maľujeme iba steny a strop, podlahu nie!) Na jeden

náter potrebujeme natrieť plochu 70 m2. Za dva nátery zaplatíme maliarom 168 €. V úlohe

nie je uvedené na náter akej plochy vystačí liter farby. Na internete môžete nájsť údaj, že 1

liter stačí na dva nátery plochy 5 až 6 m2. Ak vychádzame z predpokladu, že 1 liter farby stačí

na dva nátery plochy 5 m2, potom na dva nátery kancelárie potrebujeme 14 litrov farby. Ak

jeden liter farby stojí 3,5 €, potom za farbu zaplatíme 49 €.

11. Na zaplnenie kvetináča 1 cm pod horný okraj treba 9,54 litrov zeminy (kváder s rozmermi

123,4 cm; 8,4 cm a 9,2 cm). Ak natrieme vonkajšie steny kvetináča (4 bočné steny a

podstavu), musíme natrieť plochu 42,2 dm2.

12. a) zadané hrany sú zvýraznené hrubšou čiarou

b) hranol = kváder so štvorcovou podstavou. Aby sa dal jednoznačne narysovať obraz hranola

stačí poznať rozmery hrán bočnej steny, teda 2 hrany. Pozor, nestačí poznať iba rozmery

základne.


28

4. Pomer a úmernosť Zopakuj si

1. Zapísané po riadkoch. Výsledný zlomok upravený v základnom tvare.

4;8; 15; 9; 8;

;

;

;

;

2.

;

;

;

;

;

3. Zapísané po riadkoch: 78 > 26 o 52; 315 > 49 o 266; 705 > 441 o 264; 2 753 > 1 608 o 1 145;

99 > 37 o 62; 415 > 277 o 138;

4. Zapísané po riadkoch: 35 < 245, 7 – krát; 812 < 7 308, 9 – krát; 43 < 1 032, 24 – krát;

37 < 296, 8 – krát; 1 003 < 7 021, 7 – krát; 405 < 2 025, 5 – krát

5. a) 66 – 13 = 53; b) 99 : 3 = 33; c) 386 + 105 = 491; d) 108 · 7 = 756

6. 6 · 5 = 30; 13 · 4 = 52; 60 · 1,5 = 90; 0,8 · 3 = 2,4

7. 15 : 3 = 5; 4,5 : 5 = 0,9; 80 : 10 = 8; 210 : 7 = 30

8. a) 22 guľôčok; b) 21 detí; c) 620 bĺch; d) 3 bonbóny

9. Dĺžku každej strany treba zväčšiť trikrát.

10. Dĺžku každej strany treba zmenšiť dvakrát.

Pomer

Počet žiakov v skupinách

ZŠ I. II III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X.

Počet žiakov 30 63 45 51 84 15 72 105 66 48

Počet žiakov v prvej skupine

20 42 30 34 56 10 48 70 44 32

Počet žiakov v druhej skupine

10 21 15 17 28 5 24 35 22 16

Podľa tohto pravidla sa dá rozdeliť iba trieda, v ktorej je počet žiakov deliteľný číslom 3.

Triedu rozdelím do trojíc. Z každej trojice pôjdu dva žiaci do prvej skupiny a tretí žiak do

druhej skupiny.

Tento postup sa dá použiť iba vtedy, ak delím v pomere 1 : 2.

Vždy musíme určiť počet častí, na ktoré celok delíme (súčet čísel v pomere). Napr. 2 : 3

rozdelíme na 5 častí, lebo 2 + 3 = 5. Potom vypočítame počet prvkov prislúchajúci jednej

časti. Ak napr. 2 : 3, v prvej skupine bude dvojnásobný počet prvkov ako v jednej časti,

v druhej skupine trojnásobný počet prvkov ako v jednej časti.

1. a) 60 žuvačiek v pomere 3 : 1 je 45 žuvačiek a 15 žuvačiek.; b) 55 kociek v pomere 1 : 4 je 11

kociek a 44 kociek

2. a) ch : d = 2 : 1; b) m : h = 1 : 6; c) n : s = 10 : 1; d) ľ : p = 1 : 7

3. a) kr : š = 8 : 12 = 2 : 3; b) ko : hv = 6 : 3 = 2 : 1; c) kr : t = 8 : 4 = 2 : 1; d) hv : š = 3 : 12 = 1 : 4;

hviezdy(h) = 3, krúžky(kr) = 8, kocky (ko) = 6, trojuholníky(t) = 4, štvorce(š) = 12

4. a) 14 a 21; b) 21 a 35; c) 189 a 21

5. a) B; b) C; c) skupiny sú rovnako veľké

6. a) ko : h : t = 6 : 3 : 4; b) š : kr : ko = 12 : 8 : 6 = 6 : 4 : 3; c) t : kr : št : ko = 4 : 8 : 12 : 6 = 2 : 4 : 6

: 3; d) t : kr : ko : hv : š = 4 : 8 : 6 : 3 : 12 hviezdy(h) = 3, krúžky(kr) = 8, kocky (ko) = 6,

trojuholníky(t) = 4, štvorce(š) = 12

7. a) 24 a 36 a 48; b) 45 a 75 a 105; c) 62 a 124 a 496; d) 296 a 370 a 222


29

8. Najmenej dostala Betka (4 dieliky z 15 dielikov), najviac Zuzka (6 dielikov z 15 dielikov).

9. a) M : K : F = 24 : 18 : 32 = 12 : 9 : 16; b) K : F = 18 : 32 = 9 : 16; c) M : K = 24 : 18 = 4 : 3; d)

M : F = 24 : 32 = 3 : 4

10. S1 : S2 : S3 = 2 : 3 : 5

11. Všetkých(Vš) trojuholníkov je 16, z toho bielych(B) je 6, červený(Č) je 1, modré(M) sú 2,

zelené(Z) sú 3 a žltých(Ž) je 4. a) M : Z = 2 : 3; b) M : Č = 2 : 1; c) Z : Č = 3 : 1; d) M : Z : Č : Ž = 2

: 3 : 1 : 4; e) Z : Vš = 3 : 16; f) M : Vš = 2 : 16 = 1 : 8

12. Prevrátené pomery sú 7 : 3; 15 : 6; 2 : 9; 3 : 8; 5 : 5.

13. a) Katka s Jankou si rozdelili žuvačky v pomere 2 : 1. b) Martin s Karolom si rozdelili guľôčky

v pomere 3 : 5. c) Na výstave bolo trikrát menej mužov ako žien. d) Športového dňa sa

zúčastnilo pred rokov dvakrát viac detí ako tento rok.

14. a) 60 a 180; b) 60 a 180; c) 60 a 180; d) 60 a 180. Výsledky sú zhodné, lebo pomery sa dajú

všetky upraviť na základný tvar 1 : 3. Zlomky

=

=

=

,

je zlomok v základnom tvare.

15. a) 1 920 a 1 280; b) 1 920 a 1 280; c) 1 920 a 1 280; d) 1 920 a 1 280. Výsledky sú zhodné,

lebo pomery sa dajú všetky upraviť na základný tvar 3 : 2. Zlomky

=

=

=

,

je zlomok

v základnom tvare.

16. 3 : 7; 4 : 5; 8 : 9

17. a) 4 : 3 = 8 : 6; b) 1 : 3 = 2 : 6 = 3 : 9

18. Pomery v základnom tvare sú 1 : 2; 3 : 4; 2 : 3; 4 : 3; 1 : 3.

19. Baktérie A a B budú v pomere 1 : 2 po akomkoľvek dlhom časovom období. Napr. po týždni

bolo v miske 64 baktérií A a 128 baktérií B. Počet baktérií rastie geometrickým radom.

A: a = 4, b = 8; B: a = 6, b = 12. Obdĺžnik A musím zväčšiť 1,5 krát aby vznikol obdĺžnik B, lebo

aA : aB = 4 : 6 =

= 1,5; bA : bB = 8 : 12 =

= 1,5

A: a = 4, b = 8; B: a = 6, b = 12. Obdĺžnik B musím zmenšiť 0, krát aby vznikol obdĺžnik B, lebo

aB : aA = 6 : 4 =

= 0, ; bB : bA = 12 : 8 =

= 0,

20. a) 120 detí; b) 100; c) 63 cm. Ak je hodnota zlomku > 1, počet sa zvýši, zväčší. Ak je hodnota

zlomku < 1, počet sa zníži, zmenší.

21. a) 60; b) 110; c) 224

22. a) 6; b) 34; c) 364

23. Počas prázdnin cestovalo 5 – krát viac cestujúcich.

24. Vzniklo 3 – krát menšie číslo.

25. Na vyrobenie 1 kg mosadze potrebujem 0,6 kg medi a 0,4 kg zinku.

26. Potrebujem 68,3 kg medi a vyrobím 83,3 kg bronzu.(1 diel cínu váži 1,6 kg)

27. Žiaci 7. A zasadili 6 kríkov malín a 8 kríkov ríbezlí.

28. Učiteľské štúdium matematiky študuje 10 študentov.

Mierka

1. V skutočnosti je vzdialenosť týchto dvoch miest 19,5 km.

2. Mierka mapy je 1 : 100 000

3. 1 : 1 000 000

4. Rozmery domu v skutočnosti sú 12 m a 13 m.

5. Záleží od rozlohy školy, ale odhadujeme rádovo 1 : 100 pre malé dedinské školy, až po 1 :

1 000 pre veľké pavilónové školy.


30

6. V pôvodnom pláne zmením iba m na cm. (1 : 100 znamená 1 cm v pláne = 100 cm = 1 m v

skutočnosti). Pomer pôdorysov plán : skutočnosť = 1 : 10 000. (1 m2 = 10 000 cm2)

7. 1 : 2

8. V skutočnosti má súčiastka rozmery: dĺžka 15 mm, šírka 7 mm a výška 3 mm.

9. Tabuľka

na mape 8 cm 3 mm 6 cm 6 cm

mierka 1 : 5 000 30 : 1 1 : 100 000 10 : 1

skutočnosť 400 m 9 cm 6 km 6 mm

10.

Priama úmernosť

Áno, teta Serafína má dobre vypočítané ceny.

Áno, stačí ak cenu za 2 kg vynásobím číslom 10 a dostane cenu za 20 kg.

Obe tvrdenia a) aj b) sú správne.

1. Tabuľka (pre väčšiu prehľadnosť sme sumy zaokrúhlili na jedno desatinné miesto)

Hmotnosť v kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

cena slivky 0,7 € 1,4 € 2,1 € 2,8 € 3,5 € 4,2 € 4,9 € 5,6 € 6,3 € 7 €

maliny 3,5 € 7 € 10,5 € 14 € 17,5 € 21 € 24,5 € 28 € 31,5 € 35 €

orechy 10,3 € 20,6 € 30,9 € 41,2 € 51,5 € 61,8 € 72,1 € 82,4 € 92,7 € 103 €

2. Tabuľka

Dĺžka 4 cm 20 cm 5,4 cm 1 cm 7 cm

Šírka 2 cm 10 cm 2,7 cm 5 mm 3,5 cm

3. a) 90 centov · 5 = 4,5 €, 1 kg · 5 = 5 kg; b) 2 kg · 4 = 8 kg, 1,80 € · 4 = 7,20 €; c) 9 kg : 3 kg = 3 :

1; 8,10 € : 2,70 € = 3 : 1

4. Príklady textov slovných úloh a ich riešenia:

a) Päť žiakov prinieslo na začiatku školského roku spolu 10 zošitov. Koľko zošitov mala

odovzdať pani učiteľke celá trieda, ak je v nej 24 žiakov? (Žiaci mali priniesť spolu 48 zošitov.);

b) Vo Fructope majú debny naplnené jablkami. Sedem takýchto debien váži spolu 105 kg.

Koľko debien naplnených jablkami je naložených v dodávke, ak sa jej hmotnosť zvýšila o 720

kg? (V dodávke je 48 debien naplnených jablkami.); c) Babka zo 6 kg nazbieraných húb

získala 0,9 kg sušených húb. Koľko kilogramov sušených húb budeme mať my, ak sme

nazbierali 4 kg húb? (Zo 4 kg húb získame 0,6 kg sušených húb.)

5. Jakub zaplatil v októbri za 15 obedov 43,50 €.

6. Pani Majka zaplatila za 38 litrov benzínu 52,82 €.

Nepriama úmernosť

Väčšina detí si myslí, že 5 maliari natrú most za 5 dní, ale nie je to pravda. Piatim maliarom by

trvalo natretie mosta 4,8 dní.

a) ... menej dní; b) ... viac dní; c) ... zväčšiť počet maliarov

1. a)

Počet častí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dĺžka jednej časti v cm

36 18 12 9 7,2 6 5,14 4,5 4 3,6


31

b) Čím viac pásikov nastrihám, tým menšiu dĺžku budú mať. Čím menej pásikov nastrihám,

tým väčšiu dĺžku budú mať.

2.

3. Príklady textov slovných úloh a ich riešenia:

a) Osem robotníkov postaví montovaný drevodom za 6 dní. Koľko dní by trvalo postavenie

toho istého drevodomu, ak by traja robotníci ochoreli? (Piatim robotníkom by stavanie trvalo

9,6 dní).; b) Deti na krúžku šikovných rúk stavali model divadla. Desiatim deťom trvalo

vystrihnutie všetkých potrebných častí osem minút. Koľko minút by trvalo vystrihovanie častí,

ak by mali k dispozícii iba 6 nožníc? (Šesť detí by všetky časti vystrihli za 13,3 minúty.); c) Na

oplotenie čelnej strany domu použili 80 kusov ozdobných latiek širokých 40 cm. Koľko kusov

latiek máme kúpiť na oplotenie, ak majú v obchode iba ozdobné latky so šírkou 20 cm? (Na

oplotenie potrebujeme kúpiť 160 kusov 20 cm širokých latiek.)

4. Naplno naložené auto odvezie sto balíkov s hmotnosťou 25 kg.

5. Ak bude vzdialenosť medzi sadenicami 15 cm, do záhonu sa ich zmestí 53. Pozor ak je sadeníc

4O, znamená to, že je medzi nimi 39- krát vzdialenosť 20 cm. Teda ak nám vyjde 52- krát

vzdialenosť 15 cm, sadeníc je 53.

6. Tri výrobné linky vyprodukujú 1 500 výrobkov za 2,5 dní. Jedna linka za jeden deň

vyprodukuje 200 výrobkov.

Krížom - krážom

1. Maťo dostal

torty a Kubo

torty.

2. Obvod obdĺžnika je 42 cm.

3. a) noví stravníci : pôvodní stravníci = 2 : 1; b) nový počet : pôvodný počet = 1 : 3

4. a) 1 : 10; b) 3 : 1; c) 1 : 1

5. Dospelých bolo o 45 viac ako detí. Detí bolo 6- krát menej ako dospelých.

deti : dospelí = 1 : 6

6. a) štvorec so stranou 5 cm; b) kružnica s polomerom 6 cm

7. 1 : 3 000

8. Nasledujúci deň musia pracovať dvaja brigádnici 4 hodiny aby vysadili 480 stromčekov. Jeden

brigádnik vysadí za 1 hod 60 stromčekov.

9. Ak chceme most natrieť za 8 dní, potrebujeme 3 maliarov.

10. Michal zarobí za týždeň brigády 116 €. (za týždeň odpracoval 5 · 8 = 40 hodín)

11. a) stĺpcový graf

b) Nejedná sa o priamu úmernosť ani o nepriamu úmernosť.

c) Teplota bola meraná počas zimných mesiacov (december až február).

-6

-4

-2

0

2

4

Po Ut St Št Pia So Ne

teplota v °C

teplota v °C


32

5. Rovnobežník Zopakuj si

1. α = 139° (180° - 41°)

2. β = α = 33°

3. a) rovnobežné priamky b) rôznobežné priamky

4. Počet spoločných bodov dvoch rovnobežiek je A ...0. Počet spoločných bodov dvoch

rôznobežiek je B ...1.

5. Postup:

1. Priamka s; s kolmá na priamku p; M s

2. Priamka r; r kolmá na priamku s; M r

3. p r

6. V ľubovoľnom štvoruholníku platí, že súčet dĺžok uhlopriečok > súčet dĺžok dvoch najdlhších

strán.

7. Ak vychádzame z obrázku štvoruholníka na str. 61, potom e = AC, f = BD.

8. Bod, priamka, trojuholník, štvoruholník, päťuholník, šesťuholník.

9. Štvorec a obdĺžnik majú a) spoločné: Susedné strany sú na seba kolmé. Protiľahlé strany sú

rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Uhlopriečky sú rovnako dlhé a navzájom sa rozpoľujú.; b)

rozdielne: Štvorec má rovnako dlhé všetky štyri strany, zatiaľ čo obdĺžnik má rovnako dlhé

iba protiľahlé strany. Uhlopriečky štvorca sú na seba kolmé, na rozdiel od uhlopriečok

obdĺžnika.

10. a) správne tvrdenie; b) Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku.

11. Súčet vnútorných uhlov v každom trojuholníku je 180°.

Ostrouhlý trojuholník tupouhlý trojuholník pravouhlý trojuholník

12. a) veta sss – všetky tri dĺžky strán trojuholníka; b) veta sus – dve dĺžky strán a uhol, ktorý

zvierajú; c) veta usu – dĺžka jednej strany a veľkosti uhlov ku nej prislúchajúce

13. a) Δ ABC, a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm (veta sss)

postup konštrukcie náčrt

1. úsečka AB; |AB|= 7 cm

2. kružnica k; k(A; 6 cm)

3. kružnica l; l(B; 4 cm)

4. bod C; C je priesečník kružníc k a l

5. trojuholník ABC

p

M r

s

c = 7 cm

b = 6 cm a = 4 cm

k l C

B A


33

b) Δ ABC, b = 8 cm, c = 5 cm, α = 60° (veta sus)


1. úsečka AB; |AB|= 5 cm

2. uhol BAX; | | = α = 60°

3. kružnica k; k(A; 8 cm)

4. bod C; C je priesečník kružnice k a

polpriamky

5. trojuholník ABC

c) Δ ABC, a = 6 cm, β = 45°, γ = 75° (veta usu)


1. úsečka BC; |BC|= 6 cm

2. uhol CBX; | |= β = 45°

3. uhol BCY; | | = γ = 75°

4. bod A; A je priesečník polpriamky a

a polpriamky

5. trojuholník ABC

Rovnobežky preťaté priečkou

1. Súhlasné uhly sú zhodné: α a ε, β a ω, γ a ρ, δ a τ.

2. Striedavé uhly sú zhodné: α a ρ, β a τ, γ a ε, δ a ω.

C

b = 8 cm

c = 5 cm

60°

X k

B A

a = 6 cm

45° 75°

X

C

A

B

Y

p

a

b

α β γ

δ

ε ρ

τ

ω

p

a

b

α β γ

δ

ε ρ

τ

ω


34

3. a) Na zadanom obrázku sú zhodné iba vrcholové uhly: ω a ε, ρ a τ, γ a δ, α a β.

b) Zhodné sú: vrcholové uhly: ω a ε, ρ a τ, γ a δ, α a β; súhlasné uhly: ω a γ, ρ a β, ε a δ, α a τ;

striedavé uhly: ω a δ, ρ a α, γ a ε, τ a β. Pre daný obrázok platí: ω = ε = γ = δ, α = β = τ = ρ.

4. a) Priamky a a b nie sú rovnobežné, lebo α2 ≠ β2. (α1 + α2 = 180°, teda α2 = 120°). b) Priamky

a a b sú rovnobežné, lebo α4 = β4 = 59°. (α4 + α2 = 180°, teda α4 = 59°)

5. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°. Teda súčet vnútorných uhlov dvoch

trojuholníkov je 360°. Preto je aj súčet vnútorných uhlov štvoruholníka 360°.

6. Keď ku sebe priložíme všetky štyri vrcholy štvoruholníka zistíme, že tvoria kruh. Na základe

toho môžeme tvrdiť, že súčet vnútorných uhlov štvoruholníka je 360°.

7. a) δ = 130°; b) β = 98°; c) β = 90°; d) γ = 90°

Rovnobežník

1. Na obrázku sú iba dve rôzne veľkosti uhlov. Takže osem a osem navzájom zhodných uhlov.

Na obrázku sú farebne rozlíšené.

2. V rovnobežníku majú protiľahlé strany zhodnú dĺžku strán.

1. Trojuholníky ABC a CDA majú spoločnú stranu AC.

2. α2 = γ1 lebo sú to striedavé uhly


p

m

n

ω ρ

ε

τ

γ δ

α

β

α

β γ

δ

m n

a

b


35

4. Δ ABC Δ CDA podľa vety usu

5.Pre strany AB a CD platí, že majú rovnakú dĺžku.

Δ ABC a Δ CDA sú zhodné preto, lebo dĺžky ich strán majú rovnakú veľkosť, aj všetky

tri vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť

Strany AB a CD sú navzájom rovnobežné a majú rovnakú dĺžku.

1. Trojuholníky DAB a BCD majú spoločnú stranu BD.

2. β2 = δ1 lebo sú to striedavé uhly


4. Δ DAB Δ BCD podľa vety usu

5.Pre strany BC a AD platí, že majú rovnakú dĺžku.

3.

4. Priesečník uhlopriečok rozdeľuje každú uhlopriečku na dve úsečky rovnakej dĺžky. Inak

povedané, uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom rozpoľujú.



3. Úsečky AB a CD sú rovnako dlhé.

4. Δ ABS Δ CDS podľa vety usu

5. Teda a

Uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom rozpoľujú.

5. Zhody a rozdiely „bratských štvoruholníkov“ sú uvedené v ružovom rámiku na strane 65.

6. Bratské štvoruholníky sú: štvorec a kosoštvorec, obdĺžnik a kosodĺžnik.

Výška rovnobežníka

1. štvorec kosoštvorec obdĺžnik kosodĺžnik

2. a) Obe výšky majú rovnakú veľkosť v štvorci (výška je zhodná so stranou štvorca)

a v kosoštvorci. b) Výška rovnobežníka sa rovná dĺžke jeho strany v štvorci a obdĺžniku. c)

Áno, je to možné v špeciálnom prípade, ak je uhlopriečka zároveň kolmá na stranu

rovnobežníka, viď. obrázok.

A B

C D

β1

β2

1

2

120°

0

120° 60°

60°

51°

51° 129°

129° 72° 72°

72°

108°

108°

89°

89°

89° 91°

91°

a A B

C D

a = va

a = va

A B

C D

a = vb

b = va

A B

C D

a va

va

A B

C D

b

a

va

vb


36

Konštrukcia rovnobežníka

Prehľadná tabuľka vlastností rovnobežníkov

štvorec kosoštvorec obdĺžnik kosodĺžnik

Dvojice protiľahlých strán sú rovnobežné a rovnako dlhé.

áno áno áno áno

Všetky strany sú rovnako dlhé. áno áno nie nie

Dvojice protiľahlých uhlov sú zhodné.

áno áno áno áno

Všetky vnútorné uhly sú pravé. áno nie áno nie

Uhlopriečky sa rozpoľujú. áno áno áno áno

Uhlopriečky sú rovnako dlhé. áno nie áno nie

Uhlopriečky sú na seba kolmé. áno áno nie nie

1. a) kosoštvorec ABCD, ak a = 6 cm, β = 120°

rozbor:

Viem narysovať Δ ABC podľa vety sus. AD BC a AB CD preto vrchol D leží na priesečníku

polpriamok AB a BC.

Postup: náčrt:

1. Δ ABC podľa vety sus

2. ; AB

3. ; BC

4. ; D a

5. Kosoštvorec ABCD

b) kosodĺžnik ABCD, ak a = 5 cm, b = 3 cm, β = 135°

rozbor:


polpriamok AB a BC.

Postup: náčrt:


2. ; AB

3. ; BC

4. ; D a

5. Kosodĺžnik ABCD

A B

C D

X

Y

120°

a = 6 cm

a = 6 cm

A B

C D

X

Y

135°

a = 5 cm

b = 3 cm


37

c) obdĺžnik ABCD, ak = 5 cm, = 8 cm, = 30°

rozbor:


polpriamok AB a BC.

Postup: náčrt:


2. ; AB

3. ; BC

4. ; D a

5. obdĺžnik ABCD

2.

3. a) kosoštvorec ABCD, ak a = 4 cm, u = = 3 cm

rozbor:

Viem narysovať Δ ABD podľa vety sss. AD BC a AB CD preto vrchol C leží na priesečníku

polpriamok AB a AD.

Postup: náčrt:


2. ; AB

3. ; AD

4. ; C a


b) kosodĺžnik ABCD, ak = 6 cm, = 10 cm, = 8 cm

rozbor:

Viem narysovať Δ ABS podľa vety sss ( = 6 cm, = 5 cm, = 4 cm).

Využijem vlastnosť štvoruholníka, že uhlopriečky sa navzájom rozpoľujú. Z trojuholníka ABS

viem pomocou polpriamok a narysovať body C a D.

Postup: náčrt:

1. Δ ABS podľa vety sss

2. ; S

3. k; k(A; 10 cm)

4. C; C a k

5. ; S

6. l; l(B; 8 cm)

7. D; D a l


A B

C D

X

Y

a = 4 cm

a = 4 cm a = 4 cm u = 3 cm

A B

C D

X

Y

30°

a = 5 cm

u = 8 cm

A B

C D X Y

a = 6 cm

u2 = 8 cm u1 = 10 cm

l k

S


38

c) kosoštvorec ABCD, ak = 5 cm, = 9 cm, = 4 cm

rozbor:

Viem narysovať Δ ABC a Δ ABD podľa vety sss.

Postup: náčrt:

1. Δ ABC podľa vety sss

2. Δ ABD podľa vety sss


4.

5. a) kosoštvorec ABCD, ak = 5 cm, = 30°, = 60°

rozbor:

Viem narysovať Δ ABS podľa vety usu ( = 5 cm, = 30°, = 60°).

Využijem vlastnosť štvoruholníka, že uhlopriečky sa navzájom rozpoľujú. Z trojuholníka ABS

viem pomocou polpriamok a narysovať body C a D.

Postup: náčrt:

1. Δ ABS podľa vety usu

2. ; S

3. k; k(B; 5 cm)

4. C; C a k

5. ; S

6. l; l(A; 5 cm)

7. D; D a l


Iný postup:

rozbor: Δ ABC je rovnoramenný, lebo kosoštvorec má rovnaké dĺžky strán. Preto platí, že uhly pri

základni sú rovnako veľké, = . Ak súčet uhlov trojuholníka je 180°, potom =

180° - (30° + 30°) = 120°. Aj Δ ABC je rovnoramenný, preto platí, = . Ak súčet uhlov

trojuholníka je 180°, potom = 180° - (60° + 60°) = 60°. Ak viem zostrojiť Δ ABC podľa vety sus

= 5 cm, = 5 cm, = 120° a Δ ABD podľa vety sus = 5 cm, = 5 cm,

= 60°. Potom viem narysovať aj kosoštvorec ABCD

Postup:

1. Δ ABC podľa vety sss

2. Δ ABD podľa vety sss

3. kosoštvorec ABCD

D

A B

C

a = 5 cm

u2 = 4 cm u1 = 9 cm

a = 5 cm a = 5 cm

S

D

A B

C

X Y

a = 5 cm

l k

30°

,

60°

,

S


39

b) štvorec ABCD, ak = = 10 cm.

rozbor:

Viem narysovať Δ ABS podľa vety sus ( = = 5 cm, = 90°).

Využijem vlastnosť štvorca, že uhlopriečky sa navzájom rozpoľujú a sú na seba kolmé. Z

trojuholníka ABS viem pomocou polpriamok a narysovať body C a D.

Postup: náčrt:


2. ; S

3. k; k(S; 5 cm)

4. C; C a k

5. ; S

6. l; l(S; 5 cm)

7. D; D a l

8. štvorec ABCD

c) kosoštvorec ABCD, ak = 8 cm, = 60°

rozbor:

Viem narysovať Δ ABS podľa vety usu ( = 4 cm, = 30° (uhlopriečka kosoštvorca je

zároveň osou uhla), = 90°). Využijem vlastnosť kosoštvorca, že uhlopriečky sa

navzájom rozpoľujú a sú na seba kolmé. Z trojuholníka ABS viem pomocou polpriamok a

narysovať uhla C a D.

Postup: náčrt:


2. ; S

3. k; k(A; 8 cm)

4. C; C a k

5. ; S

6. l; l(S; )

7. D; D a l


D

A

X

B

C Y

u = 10 cm

l k

90°

,

S

S

D

A B

C

X Y

u = 8 cm

l k

60°

,

S


40

d) obdĺžnik ABCD, ak = 8 cm, = 120°

rozbor:

Viem narysovať Δ ABS podľa vety usu ( = 8 cm, = 30°, = 30°. Využijem

vlastnosť obdĺžnika, že uhlopriečky majú rovnakú dĺžku a navzájom sa rozpoľujú. Δ ABS je

rovnoramenný trojuholník a preto uhly pri základni AB majú rovnakú veľkosť. Z trojuholníka

ABS viem pomocou polpriamok a narysovať body C a D.

Postup: náčrt:


2. ; kolmá na AB

3. ; S

4. ; D a

5. ; AB

6. k; k(D; 8 cm)

7. ; C a

8. obdĺžnik ABCD

Krížom - krážom

1. V trojuholníku leží strana a oproti vrcholu α, vo štvoruholníku vedľa neho.

2. kosodĺžnik ABCD, ak a = 6 cm, b = 5 cm, β = 50°

rozbor:


polpriamok AB a BC.

Postup: náčrt:


2. ; AB

3. ; BC

4. ; D a


3. Máme tri navzájom rovnobežné priamky a, b, c preťaté priečkou p.

Platí:

1. Každé tri súhlasné uhly sú zhodné: α1 = β1 = γ1;

α2 = β2 = γ2; α3 = β3 = γ3; α4 = β4 = γ4;

2. Každé dva striedavé uhly sú zhodné:

α1 = β4; α1 = γ4; α2 = β3; α2 = γ3; α3 = β2; α3 = γ2;

α4 = β1; α4 = γ1; β1 = γ4; β2 = γ3; β3 = γ2; β4 = γ1;

3. Keďže každé dva vrcholové uhly sú zhodné,

potom platí: α1 = α4 = β1 = β4 = γ1 = γ4;

α2 = α3 = β2 = β3 = γ2 = γ3;

A B

C D

X

Y

50°

a = 6 cm

b = 5 cm

a

b

c

p

A B

C D

X

Y

Z k

120°

S


41

4. Uhlopriečky daného obdĺžnika zvierajú uhol 126°.

Prvý spôsob

Δ ABC : = 90° (obdĺžnik má všetky

vnútorné uhly pravé), = 27°, = 63° =

180° - (90° + 27°)

Δ ABC Δ BAD, preto platí, že = 63° a

potom = 27°, lebo uhol pri vrchole D

je pravý.

a sú striedavé uhly, teda sú zhodné. Z toho vyplýva = 27°.

Druhý, jednoduchší spôsob: Keďže uhlopriečky obdĺžnika sú rovnako dlhé a navzájom sa

rozpoľujú, potom Δ ABS je rovnoramenný. V rovnoramennom trojuholníku sú uhla pri

základni zhodné, preto = 27°.

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°, preto = 180° - (27° + 27°) = 126°.

5. „Štvoruholník ABCD“ nie je štvoruholník, lebo súčet zadaných uhlov je 357°.

6. Štvorec, ak uhlopriečka má veľkosť 6,4 cm.

rozbor:

Viem narysovať Δ ABS podľa vety sus ( = = 3,2 cm, = 90°).

Využijeme vlastnosť štvorca, že uhlopriečky sú rovnako dlhé, navzájom sa rozpoľujú a sú na

seba kolmé. Z trojuholníka ABS viem pomocou polpriamok a narysovať body C a D.

Postup: náčrt:


2. ; S

3. k; k(A; 6,4 cm)

4. C; C a k

5. ; S

6. l; l(B; 6,4 cm)

7. D; D a l

8. štvorec ABCD

iný spôsob pri ktorom tiež využijeme vlastnosť štvorca, že uhlopriečky sú rovnako dlhé,

navzájom sa rozpoľujú a sú na seba kolmé

Postup: náčrt:

1. S

2. p; S p

3. r; r je kolmá na p; S r;

4. k; k(S; 3,2 cm)

5. C a A; A a C sú prienikom p a k

6. D; B a D sú prienikom r a k

7. štvorec ABCD

Obvod štvorca je 18 cm. (strana štvorca má dĺžku 4,5 cm)

7. Áno, štvoruholník KLMN je rovnobežník, pretože platí tvrdenie o tom, že uhlopriečky sa

navzájom rozpoľujú. = = 0,3 m a = = 5 m

A B

C D

27°

x°

S

A

D X

B

C Y

u = 6,4 cm

l k

90°

,

S

k

r p A B

C D

S


42

6. Metódy riešenia kombinatorických úloh Zopakuj si

1. a) 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54,

55; b) 333, 335, 353, 533, 355, 535, 553, 555

2. Ak sa písmená nebudú opakovať a použijeme ich všetky, vytvoríme 24 „slov“. abcd, abdc,

acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca, cabd, cadb, cbad, cbda, cdab,

cdba, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba

3. 50 € viem zaplatiť pomocou 5 a 10 – eurových bankoviek šiestimi spôsobmi. 50 € = 10 € + 10

€ + 10 € + 10 € + 10 €; 50 € = 10 € + 10 € + 10 € + 10 € + 5 € + 5 €; 50 € = 10 € + 10 € + 10 € + 5

€ + 5 € + 5 € + 5 €; 50 € = 10 € + 10 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 €; 50 € = 10 € + 5 € + 5 € +

5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 €; 50 € = 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 € + 5 €

Vypísaním všetkých možností

1. a) Spolu odohrali 6 partií. J – K, J – M, J – Z, K – M, K – Z, M – Z; b) Ak by hral každý s každým

dvakrát odohrali by spolu 12 partií.

2. a) A – B, A – C, A – D, A – E, B – C, B – D, B – E, C – D, C – E, D – E . Spolu 10 zápasov.;

b) A – B, B – C, C – D, D – E, E – A, A – C, A – D, B – E,B – D, C – E. Možnosti vypísané na

základe grafického znázornenia

3. Ráno „sa odohralo“ v kuchyni 15 stretnutí: M – L, M – K, M – P, M – B, M – D, L – K, L – P,

L – B, L – D, K – P, K – B, K – D, P – B, P – D, B – D. M – Majka, L – Lucka, K – Katka, B – Betka,

D – Danka.

Grafickým znázornením

1. Každé Vianoce posielajú spolu 20 vianočných pozdravov.

2. Každá z dievčat pošle 3 SMS, teda spolu odošlú 4 · 3 = 12 SMS.

a)

3. Ak si sedem chlapcov navzájom podalo ruky spôsobom každý s každým, spolu bolo 21 podaní

rúk. Chlapec č. 1 si podal ruku s chlapcami č. 2, č. 3, č. 4, č. 5, č. 6 a č. 7 (spolu 6 podaní).

Chlapec č. 2 si už s chlapcom č. 1 ruku podal, takže si podal ruku iba s chlapcami č. 3, č. 4,

č. 5, č. 6 a č. 7 (spolu 5 podaní). Chlapec č. 3 si už s chlapcami č. 1 a č. 2 ruku podal, takže si

podal ruku iba s chlapcami č. 4, č. 5, č. 6 a č. 7 (spolu 4 podania). Chlapec č. 4 si už

s chlapcami č. 1, č. 2 a č. 3 ruku podal, takže si podal ruku iba s chlapcami č. 5, č. 6 a č. 7

(spolu 3 podania). Chlapec č. 5 si už s chlapcami č. 1, č. 2, č. 3 a č. 4, ruku podal, takže si podal

ruku iba s chlapcami č. 6 a č. 7 (spolu 2 podania). Chlapec č. 6 si už podal ruku s chlapcami č.

1, č. 2, č. 3, č. 4 a č. 5, takže si podal ruku iba s chlapcom č. 7 (1 podanie). 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

= 21.

D

B E

C

A

Danka

Janka

Katka

Marka


43

4. a) Spolu sa odohrá 7 zápasov. b) Víťaz odohrá 3 zápasy.

5. Všetkých možných priebehov turnajov štyroch hráčok je 24.

Pomocou tabuľky

1. b) Odohrali 6 zápasov. Výsledky zaznačíme do šiestich okienok nachádzajúcich sa nad

zelenými okienkami.; c) Ak si dali aj odvetu, pribudlo 6 zápasov, teda spolu odohrali 12

zápasov. Výsledky odvetných zápasov môžeme zaznačiť do tej istej tabuľky pod zelené

okienka. d) Ak sa do turnaja zapojí ešte jeden chlapec a budú hrať bez odvety, pribudnú 4

zápasy – v tabuľke znázornené červenou farbou.

Adam Betka Cyril Danka chlapec

Adam

Betka

Cyril

Danka

chlapec

e) (pri riešení úlohy vychádzame z pôvodného zadania) Ak pribudnú ešte dve spolužiačky

a budú hrať aj odvetné zápasy pribudne 18 zápasov - v tabuľke znázornené červenou farbou.

Spolu odohrajú 30 zápasov.

Adam Betka Cyril Danka Spolužiačka 1 spolužiačka 2

Adam

Betka

Cyril

Danka

spolužiačka 1

spolužiačka 2

1

1

2

2

1

1

2

4

1

1

1 3

1

2

2

1

1

2

3

1

1

1 4

1

2

2

+

1

3

2

1

1

3

1 4

1

2

2

1

3

2

4

1

3

1 1

1

2

2

1

4

2

1

1

4

1 3

1

2

2

1

4

2

3

1

4

1 1

1

1

1

+

1

2

1

3

1

2

1 4

1

1

1

+

1

2

1

4

1

2

1 3

1

1

1

+

1

3

1

2

1

3

1 4

1

1

1

+

1

3

1

4

1

3

1 2

1

1

1

+

1

4

1

3

1

4

1 2

1

1

1

+

1

4

1

2

1

4

1 3

1

3

3

1

1

3

4

1

1

1 2

1

3

3

1

1

3

2

1

1

1 4

1

3

3

1

2

3

4

1

2

1 1

1

3

3

1

2

3

1

1

2

1 4

1

3

3

1

4

3

1

1

4

1 2

1

3

3

1

4

3

2

1

4

1 1

1

4

4

1

1

4

3

1

1

1 2

1

4

4

1

1

4

2

1

1

1 3

1

4

4

1

2

4

1

1

2

1 3

1

4

4

1

2

4

3

1

2

1 1

1

4

4

1

3

4

2

1

3

1 1

1

4

4

1

3

4

1

1

3

1 2

1


44

2. a) všetky dvojciferné čísla

1 2 3 4 5

1 11 12 13 14 15

2 21 22 23 24 25

3 31 32 33 34 35

4 41 42 43 44 45

5 51 52 53 54 55

b) Áno, viem použiť tú istú tabuľku, ak sa číslice nesmú opakovať. Vyškrtnem z nej iba čísla na

diagonále (priamka vedúca z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu.

1 2 3 4 5

1 11 12 13 14 15

2 21 22 23 24 25

3 31 32 33 34 35

4 41 42 43 44 45

5 51 52 53 54 55

3. Áno, sú vyznačené všetky možnosti.

4. Možností Jakubovho obdarovania je 10.

Darček/možnosť 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

kniha 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

tablet 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0

slúchadlá 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0

MP3 prehrávač 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

korčule 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

Pravidlo súčtu a súčinu

1. a) Áno, zapísali všetky možnosti.; b) V lete majú pani vychovávateľky 6 možností prechodu:

1A, 1B, 1ŠD, 2A, 2B, 2ŠD

2. a) V parku je spolu 5 chodníkov: 1, 2, 3, A, B; b) Od jazierka ku lavičke sa dá prejsť 6 rôznymi

spôsobmi: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B

3. a) Pani učiteľka môže z týchto príkladov zostaviť 35 rôznych písomiek. (Ku každému

aritmetickému príkladu môže vybrať jeden zo siedmych geometrických príkladov. Teda spolu

5 · 7 = 35 možností.) b) Milke stačí prepočítať všetky zadané príklady, teda 12 príkladov. (7 +

5 = 12)

4. Trojciferných čísel začínajúcich číslicou 3 alebo číslicou 7 je spolu 200. Číslicou 3 sa začína sto

trojciferných čísel (300, 301, 302, ... , 399), číslicou 7 sa začína sto trojciferných čísel

(700,701, 702, ... , 799).

5. Násobíme vtedy, ak máme k dispozícii viac skupín a vypisujeme všetky možnosti spôsobom,

že vyberieme po jednom prvku z každej skupiny.(napr. počet písomiek z úlohy 3 v tejto

podkapitole). Sčítavame vtedy, ak vypisujeme všetky možnosti pre n-tice (napr. dvojice)

z jednej skupiny, pričom nezáleží na poradí. (napr. počet podaní rúk)

1

fontána jazierko lavička 2

3

A

B


45

Strom možností

1.

2.

3. a) Spolu 6 možností: bb, zz, žž, bz, bž, zž; b) spolu 7 možností: bbz, bbž, zzb, zzž, žžb, žžz, bzž.

c) Spolu 6 možností: bbzz, bbžž, bbzž, zzžž, zzbž, žžzb.

4. Predpokladáme, že záleží iba na kombinácii a nie na tom, na ktorej z mincí padne rub (líce).

a) spolu 3 možnosti: rr, rl, ll; b) spolu 4 možnosti: rrr, rrl, rll, lll; c) spolu 6 možností: rrrrr, rrrrl,

rrrll, rrlll, rllll, lllll.

Dirichletov princíp

1. Počet obyvateľov Bratislavy je 422 932 (v roku 2015, zdroj: wikipedia). Keďže človek môže

mať na hlave až 500 000 vlasov, každý obyvateľ Bratislavy môže mať iný počet vlasov. To však

neznamená, že nemôžu existovať dvaja ľudia, ktorí majú práve 100 000 vlasov na hlave.

2. Aspoň dvaja žiaci sa narodili v ten istý deň mesiaca pri minimálnom počte 32 žiakov v triede.

(do úvahy berieme mesiace s najvyšším počtom dní - 31).

Krížom - krážom

1. Z mesta A do mesta C sa viem dostať 9 rôznymi spôsobmi: 1X, 1Y, 1Z, 2X, 2Y, 2Z, 3X, 3Y, 3Z

A B C

1 2

3

X

Y

Z

ččb

čč

čč

ččm ččč

b

bčb

bč bčm bčč

bmb

bm bmm bmč

bbb

bb bbm bbč

č

ččb

čč ččm ččč

čmb

čm čmm čmč

čbb

čb čbm čbč

m

mčb

mč mčm mčč

mmb

mm mmm mmč

mbb

mb mbm mbč

m

b

č

č

m

b

č

b

m č

m č

b

m

b

m

č

m

b

č

b

m č

m č

b

m

b

b

č

m

b

č

b

m č

m č

b


46

2. a) 10-uholník má spolu 35 uhlopriečok, ktoré vzniknú spojením týchto vrcholov: 1-3 ,1-4, 1-5,

1-6, 1-7, 1-8, 1-9, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8, 2-9, 2-10, 3-5, 3-6, 3-7, 3-8, 3-9, 3-10, 4-6, 4-7, 4-8, 4-

9, 4-10, 5-7, 5-8, 5-9, 5-10, 6-8, 6-9, 6-10, 7-9, 7-10, 8-10; Pozor, spojením susedných

vrcholov nevzniká uhlopriečka!

b) Ak pridáme ešte jeden vrchol (vznikne 11-uholník), pribudne 9 uhlopriečok (spolu bude 44

uhlopriečok): 1-3 ,1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8, 1-9, 1-10, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8, 2-9, 2-10, 2-11, 3-5,

3-6, 3-7, 3-8, 3-9, 3-10, 3-11, 4-6, 4-7, 4-8, 4-9, 4-10, 4-11, 5-7, 5-8, 5-9, 5-10, 5-11, 6-8, 6-9,

6-10, 6-11, 7-9, 7-10, 7-11, 8-10, 8-11, 9-11.

3. Označme druhy zmrzlín 1, 2, 3, 4 a 5. a) Ak nezáleží na poradí a druhy zmrzlín sa nebudú

opakovať, existuje spolu 10 spôsobov trojkopčekovej zmrzliny: 123, 124, 125, 134, 135, 145,

234, 235, 245, 345. Ak nezáleží na poradí, ale druhy zmrzlín sa môžu opakovať (teda môžeme

si kúpiť trojkopčekovú zmrzlinu jedného druhu), existuje spolu 35 druhov trojkopčekovej

zmrzliny: 111, 222, 333, 444, 555, 112, 113, 114, 115, 221, 223, 224, 225, 331, 332, 334, 335,

441, 442, 443, 445, 551, 552, 553, 554, 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345; b)

Ak záleží na poradí a druhy zmrzlín sa nebudú opakovať, existuje spolu 60 spôsobov

trojkopčekovej zmrzliny. Ku každej z desiatich kombinácií z úlohy po a) máme 6 rôznych

možností pre poradie zmrzlín: 123: 123, 132, 213, 231, 312, 321, 124: 124, 142, 214, 241,

421, 412, 125: 125, 152, 215, 251, 512, 521, 134: 134, 143, 314, 341, 413, 431, 135: 135,153,

315, 351, 513, 531, 145: 145, 154, 415, 451, 514, 541, 234: 234, 243, 342, 324, 423, 432, 235:

235, 253, 325, 352, 523, 532, 245: 245, 254, 425, 452, 524, 542, 345: 345, 354, 435, 453, 534,

543. Ak záleží na poradí a druhy zmrzlín sa môžu opakovať, máme až 125 spôsobov

trojkopčekovej zmrzliny.; c) Ak zmrzlinár pridá ešte dva druhy zmrzlín, spolu budeme mať 7

druhov zmrzlín: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ak nezáleží na poradí a druhy zmrzlín sa nebudú opakovať

máme spolu 35 spôsobov trojkopčekovej zmrzliny (počet možností sa zvýšil o 25): 123, 124,

125, 126, 127, 134, 135, 136, 137, 145, 146, 147, 156, 157, 167, 234, 235, 236, 237, 245, 246,

247, 256, 257, 267, 345, 346, 347, 356, 357, 367, 456, 457, 467, 567. Ak nezáleží na poradí

a druhy zmrzlín sa môžu opakovať máme spolu 84 spôsobov trojkopčekovej zmrzliny (počet

možností sa zvýšil o 49). Ak záleží na poradí a druhy zmrzlín sa nebudú opakovať máme spolu

210 spôsobov trojkopčekovej zmrzliny (počet možností sa zvýšil o 150). Ak záleží na poradí

a druhy zmrzlín sa môžu opakovať, tak máme až 343 spôsobov trojkopčekovej zmrzliny

(počet možností sa zvýšil o 218).

4. V triede je 12 dievčat.

1 2

3

4

5

6 7

8

9

10


47

5. Všetkých možností postavení do radu pre sedem spolužiačok je 5 040. Na to, aby využili

všetky možnosti im nebude stačiť ani 9-ročná dochádzka na ZŠ. Použili sme pravidlo súčinu.

Na prvom mieste je na výber zo siedmych dievčat. Ak už je niektorá na prvom mieste v rade,

na druhej pozícii môže byť niektoré zo zvyšných šiestich dievčat. Ak sú obsadené prvé dve

miesta v rade, na treťom môže byť niektoré zo zvyšných piatich dievčat. ... Teda spolu je 7 · 6 ·

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040 možností.

6. Ak hádžeme dvoma kockami, môžeme dostať 11 rôznych súčtov. Pre niektoré zo súčtov

existuje viac ako jedna možnosť ako daný súčet dostať. Súčet 2: 1 + 1; Súčet 3: 1 + 2; Súčet 4:

1 + 3, 2 + 2; Súčet 5: 1 + 4, 2 + 3; Súčet 6: 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3; Súčet 7: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4; Súčet

8: 2 + 6, 3 + 5, 4 + 4; Súčet 9: 3 + 6, 4 + 5; Súčet 10: 4 + 6, 5 + 5; Súčet 11: 5 + 6; Súčet 12: 6 +

6.

7. Všetkých možností pre zadanie 4-miestneho PIN-u je 10 000, teda Milke by trvalo vyskúšanie

všetkých možností 2 hodiny, 46 minút a 40 sekúnd.

8. Andrej sa môže obliecť 12 rôznymi spôsobmi. Ak označíme krátke nohavice KN1, KN2 a KN3,

tričká T1, T2, T3 a T4, potom všetky možnosti sú: KN1 T1, KN1 T2, KN1 T3, KN1 T4, KN2 T1,

KN2 T2, KN2 T3, KN2 T4, KN3 T1, KN3 T2, KN3 T3, KN3 T4.

9. Môžeme spolu dostať 36 rôznych výsledkov hodu: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25,

26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66.

10. Kvetinárka do každej kytice použije zakaždým 2 biele a 2 ružové ruže (2b + 2r), takže štyri

kvety v kytici máme vždy určené. Preto budeme vyberať iba kombinácie zvyšných kvetov. a)

pre 5 ruží sú dve možnosti pre výber piatej ruže, výsledná kytica je: 3b + 2r; 2b + 3r; b) pre

deväť ruží existuje šesť kombinácií pre výber zvyšných päť ruží, výsledná kytica je: 7b + 2r; 6b

+ 3r; 5b + 4r; 4b + 5r; 3b + 6r; 2b + 7r; c) pre sedem ruží existujú štyri kombinácie pre výber

zvyšných troch ruží, výsledná kytica je: 5b + 2r; 4b + 3r; 3b + 4r; 2b + 5r.

11. a)

V parku je 7 chodníkov: A, B, C, D, E, 1, 2.

b) Od lavičky k jazierku sa môžeme dostať 10 spôsobmi: A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, E1, E2.

1

fontána jazierko lavička

2

A B C D

E

matematika - učebnica 7 výsledkyebnica_7.pdfmatematika 7, učeb vica - výsledky 3 rozširova vie...

Documents