matematika xii ipa | from asimtot for you · pdf filejika log 3 = 0 ,4771 dan log 2 = 0 ,3010...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
1
Soal 1 :
Diketahui premis :
Premis 1 : Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali
tidak mendapat hadiah
Premis 2 : Jika Ali tidak mendapat hadiah, maka
Ali bersedih
Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang
sah adalah ...
a. Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali bersedih
b. Jika Ali rajin belajar, maka Ali bersedih
c. Ali bersedih
d. Ali tidak rajin belajar
e. Ali mendapat hadiah
Soal 2 :
Kesimpulan dari argumentasi berikut :
๐ โ ๐
๐ โ ๐
~๐
adalah ...
a. ๐
b. ~๐
c. ๐
d. ๐
e. ~๐
Soal 3 :
Diketahui premis :
1 : Jika guru tidak datang, maka semua siswa
senang
2 : Ada siswa yang tidak senang
Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang
sah adalah ...
a. Semua siswa senang
b. Ada siswa yang tidak senang
c. Guru datang
d. Guru tidak datang
e. Guru senang
Solusi 1 :
Misalkan :
๐ : Ali tidak rajin belajar
๐ : Ali tidak mendapat hadiah
๐ : Ali bersedih
Argumentasi : ๐ โ ๐
๐ โ ๐
Bentuk Silogisme
Kesimpulannya adalah ๐ โ ๐
โJika Ali tidak rajin belajar maka Ali bersedihโ
(A)
Solusi 2 :
Perhatikan dua argumentasi pertama
๐ โ ๐
๐ โ ๐
Bentuk Silogisme, kesimpulannya ๐ โ ๐
๐ โ ๐
~๐
Bentuk modus Tollens
Kesimpulan : ~๐ (B)
Solusi 3 :
Misalkan
๐ : Guru tidak datang
๐ : Semua siswa senang
Perhatikan bahwa โAda siswa yang tidak
senangโ merupakan negasi dari โSemua siswa
senangโ, maka
~๐ : Ada siswa yang tidak senang
๐ โ ๐
~๐
Modus Tollens, kesimpulannya adalah ~๐
โGuru datangโ (C)
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis
Modus Ponens Modus Tollens Silogisme
๐ โ ๐ ๐ โ ๐ ๐ โ ๐
๐ ~๐ ๐ โ ๐
โด ๐ โด ~๐ โด ๐ โ ๐
Bentuk ekuivalen : ๐ โ ๐ โก ~๐ โ ~๐ ๐ โ ๐ โก ~๐ โจ ๐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
2
Soal 4 :
Ingkaran dari โJika banjir terjadi, maka semua
orang mengungsiโ adalah ...
a. Banjir terjadi dan semua orang tidak
mengungsi
b. Banjir tidak terjadi atau ada orang
mengungsi
c. Banjir terjadi dan ada orang mengungsi
d. Banjir terjadi dan ada orang tidak mengungsi
e. Banjir tidak terjadi dan semua orang
mengungsi
Solusi 4 :
Misalkan
๐ : Banjir terjadi
๐ : Semua orang mengungsi
Ingkaran dari ๐ โ ๐ adalah ๐ โง ~๐
~๐ : Ada orang tidak mengungsi
Sehingga ingkarannya adalah
โBanjir tejadi dan ada orang tidak mengungsiโ
Indikator : Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan
berkuantor
Kuantor Universal (โ) : โsemuaโ, โuntuk setiapโ, โseluruhโ, ...
Kuantor Eksistensial (โ) : โadaโ, โbeberapaโ, โterdapatโ, ...
bentuk baca ingkaran
Konjungsi ๐ โง ๐ ๐ dan ๐ ~(๐ โง ๐) โก ~๐ โจ ~๐
Disjungsi ๐ โจ ๐ ๐ atau ๐ ~(๐ โจ ๐) โก ~๐ โง ~๐
Implikasi ๐ โ ๐ Jika ๐ maka ๐ ~(๐ โ ๐) โก ๐ โง ~๐
Biimplikasi ๐ โ ๐ ๐ jhj ๐ ~(๐ โ ๐) โก (๐ โง ~๐) โจ (๐ โง ~๐)
Ingkaran dari Kuantor Universal (โ) adalah Kuantor Eksistensial (โ)
Kesetaraan
๐ โ ๐ โก ~๐ โจ ๐
๐ โ ๐ โก ~๐ โ ~๐
๐ โ ๐ โก (๐ โ ๐) โง (๐ โ ๐)
๐ โจ (๐ โง ๐) โก (๐ โจ ๐) โง (๐ โจ ๐)
๐ โง (๐ โจ ๐) โก (๐ โง ๐) โจ (๐ โง ๐)
Misalkan ๐ : Semua orang afrika berkulit hitam
maka (ingkarannya)
~๐ : Ada orang Afrika yang tidak berkulit hitam
Misalkan ๐ : jika ada guru yang tidak masuk, maka semua siswa senang
๐ : ada guru yang tidak masuk ~๐ : semua guru masuk
๐ : semua siswa senang ~๐ : ada siswa yang tidak senang
๐ : ๐ โ ๐ , maka ~๐ : ๐ โง ~๐
maka (ingkarannya) ~๐ : ada guru yang tidak masuk dan ada siswa yang tidak senang
Misalkan implikasi ๐ โ ๐ , maka
Konvers : ๐ โ ๐ (tukar posisi) konvers โก invers
Invers : ~๐ โ ~๐ (beri negasi) implikasi โก kontraposisi
Kontaposisi : ~๐ โ ~๐ (tukar posisi dan beri negasi)
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
3
Soal 5 :
Bentuk rasional dari 6
15โ 10 adalah ...
Soal 6 :
Dalam bentuk pangkat positif,
๐ฅโ1 + ๐ฆโ1
๐ฅ โ ๐ฆ
โ1
= โฏ
Soal 7 :
Jika 2โ 3
2+ 3= ๐ + ๐ 6 ; ๐ dan ๐ adalah bilangan
bulat, maka ๐ + ๐ = โฏ
Solusi 5 :
6
15โ 10=
6
15โ 10ร
15+ 10
15+ 10=
6 15+ 10
15โ10
= 6.15+ 6.10
5=
3.2.3.5+ 2.3.2.5
5=
3 10+2 15
5
Solusi 6 :
๐ฅโ1 + ๐ฆโ1
๐ฅ โ ๐ฆ
โ1
=๐ฅ โ ๐ฆ
๐ฅโ1 + ๐ฆโ1=
๐ฅ โ ๐ฆ
1๐ฅ +
1๐ฆ
=๐ฅ โ ๐ฆ๐ฅ + ๐ฆ๐ฅ๐ฆ
=(๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ๐ฆ)
๐ฅ + ๐ฆ=
๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆ2
๐ฅ + ๐ฆ
Solusi 7 :
Dengan merasionalkan penyebut
2โ 3
2+ 3=
2โ 3
2+ 3ร
2โ 3
2โ 3=
2โ 3 2
2โ3=
2โ2 6โ3
โ1
=โ1โ2 6
โ1= 1 + 2 6
๐ = 1, ๐ = 2, maka
๐ + ๐ = 1 + 2 = 3
2. ๐๐
๐๐= ๐๐โ๐ 4. .
๐
๐/
๐
=๐๐
๐๐ 6. ๐โ๐ =
1
๐๐
๐๐/๐ = ๐๐๐
๐) ๐๐๐
= ๐๐
ร ๐๐
๐๐) ๐
๐
๐=
๐๐
๐๐
๐ ๐ + ๐ ๐ = (๐ + ๐) ๐
๐ ๐ โ ๐ ๐ = (๐ โ ๐) ๐
๐ ๐ ร ๐ ๐ = ๐๐ ๐๐
๐
๐=
๐
๐ร
๐
๐=
๐ ๐
๐
๐
๐ + ๐=
๐
๐ + ๐ร
๐ โ ๐
๐ โ ๐=
๐ ๐ โ ๐
๐2 โ ๐
๐
๐ โ ๐=
๐
๐ โ ๐ร
๐ + ๐
๐ + ๐=
๐ ๐ + ๐
๐ โ ๐
๐ + 2 ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ 3 + 2 2 = 1 + 2
Indikator : menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
Aturan pangkat
1. ๐๐ ร ๐๐ = ๐๐+๐ 3. (๐๐ )๐ = ๐๐ร๐ 5. (๐๐)๐ = ๐๐๐๐
Bentuk akar
Merasionalkan penyebut
dengan ๐ฅ + ๐ฆ = ๐ dan ๐ฅ๐ฆ = ๐ ๐ฅ = 1, ๐ฆ = 2 ๐ฅ + ๐ฆ = 3 ๐ฅ๐ฆ = 2
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
4
Soal 8 :
Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka
nilai dari log 75 adalah
a. 0,7781
b. 0,9209
c. 1,0791
d. 1,2552
e. 1,8751
Soal 9 :
2 log 4 + 2 log 12 โ 2 log 6 = โฏ
a. 8
b. 6
c. 5
d. 4
e. 3
Soal 10 :
Jika 7 log 2 = ๐ dan 2 log 3 = ๐ , maka
6 log 98 = โฏ
a. ๐
๐+๐
b. ๐+1
๐+2
c. ๐+2
๐+1
d. ๐+2
๐(๐+1)
e. ๐+2
๐(๐+1)
Soal 11 :
Nilai ๐ฅ yang memenuhi ๐ฅ log1
16= โ2 adalah ...
a. 0,25
b. 0,5
c. 1
d. 2
e. 4
Solusi 8 :
log 75 = log (3 ร 52)
= log 3 + log 52
= log 3 + 2 โ log 5
Mencari log 5. Dari log10
2= log 10 โ log 2
log 5 = 1 โ 0,3010 = 0,6990
log 75 = log 3 + 2 โ log 5
= 0,4771 + 2 ร 0,6990 = 1,8751 (๐ธ)
Solusi 9 :
2 log 4 + 2 log 12 โ 2 log 6
= 2 log 22 + 2 log (22 ร 3) โ 2 log (2 ร 3)
= 2 2 log 2 + 2 2 log 2 + 2 log 3
โ 2 log 2 โ 2 log 3
= 2 . 1 + 2 . 1+ 2 log 3 โ 1โ 2 log 3
= 3 (๐ธ)
Solusi 10 :
6 log 98 = 2 log 98
2 log 6=
2 log (2.72)
2 log(3.2)
= 2 log 2 + 2 . 2 log 7
2 log 2 + 2 log 3
Karena 7 log 2 = ๐ , maka 2 log 7 =1
๐
6 log 98 = 2 log 2 + 2 . 2 log 7
2 log 2 + 2 log 3
=1 +
2๐
1 + ๐ =
๐ + 2
๐(1 + ๐) (๐ท)
Solusi 11 :
Sesuai definisi,
๐ฅ log1
16= โ2 โ ๐ฅโ2 =
1
16
1
๐ฅ2 =1
16 โ ๐ฅ2 = 16
๐ฅ = ยฑ4
Karena basis yang memenuhi hanya yang
positif, maka ๐ฅ = 4 (E)
๐๐ = ๐ โ ๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ , ๐ > 0, ๐ > 0, ๐ โ 1
log๐
๐= log ๐ โ log ๐ ๐ log 1 = 0
๐ log ๐ =log ๐
log ๐=
1
๐ log ๐ ๐
๐log ๐๐ =
๐
๐โ ๐ log ๐
Logaritma
log ๐๐ = log ๐ + log ๐ ๐ log ๐ โ ๐ log ๐ = ๐ log ๐
log ๐๐ = ๐ . log ๐ ๐ log ๐ = 1
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
5
Soal 12 :
Akar-akar persamaan dari 2๐ฅ2 + 6๐ฅ = 1 adalah
๐ dan ๐. Nilai dari ๐2 + ๐2 adalah โฆ
a. โ2
b. โ8
c. 9
d. 10
e. 12
Soal 13 :
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan
3๐ฅ2 โ 9๐ฅ + 4 = 0 adalah โฆ
a. โ4
9
b. โ3
4
c. 9
4
d. 3
4
e. โ9
4
Soal 14 :
Akar-akar persamaan kuadrat ๐ฅ2 โ 8๐ฅ + ๐ = 0
adalah ๐ฅ1 dan ๐ฅ2. Jika ๐ฅ2 = 3๐ฅ1 , maka nilai c
sama dengan โฆ
a. 10
b. 12
c. 14
d. 16
e. 18
Soal 15 :
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali
dari akar-akar persamaan kuadrat ๐ฅ2 + 3๐ฅ +
4 = 0 adalah ...
a. ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8 = 0
b. ๐ฅ2 + 6๐ฅ + 16 = 0
c. ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โ 8 = 0
d. ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 16 = 0
e. ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 8 = 0
Solusi 12 :
2๐ฅ2 + 6๐ฅ = 1 โ 2๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 1 = 0
๐2 + ๐2 = (๐ + ๐)2 โ 2๐๐
= .โ6
2/
2โ 2 .โ
1
2/
=9
1+ 1
= 10 (D)
Solusi 13 :
Jumlah kebalikan akar-akar, yaitu 1
๐ฅ1+
1
๐ฅ2=
๐ฅ1 + ๐ฅ2
๐ฅ1๐ฅ2
persamaan 3๐ฅ2 โ 9๐ฅ + 4 = 0, maka
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = โ(โ9)
3= 3
๐ฅ1๐ฅ2 =4
3
1
๐ฅ1+
1
๐ฅ2=
๐ฅ1+๐ฅ2
๐ฅ1๐ฅ2=
34
3
=9
4 (C)
Solusi 14 :
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = โ(โ8)
1= 8
Karena ๐ฅ2 = 3๐ฅ1 , maka
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = ๐ฅ1 + 3๐ฅ1 = 4๐ฅ1 = 8
๐ฅ1 = 2
Maka, ๐ฅ2 = 3๐ฅ1 = 3 โ 2 = 6
Sehingga, ๐ฅ1๐ฅ2 = ๐
๐ = 2 โ 6 = 12
Solusi 15 :
Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat
๐ฅ2 + 3๐ฅ + 4 = 0 adalah ๐ฅ1 dan ๐ฅ2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
adalah 2๐ฅ1 dan 2๐ฅ2 adalah
๐ฅ2 โ (2๐ฅ1 + 2๐ฅ2)๐ฅ + 2๐ฅ12๐ฅ2 = 0
๐ฅ2 โ 2(๐ฅ1 + ๐ฅ2)๐ฅ + 4๐ฅ1๐ฅ2 = 0
๐ฅ2 โ 2(โ3)๐ฅ + 4.4 = 0
๐ฅ2 + 6๐ฅ + 16 = 0 (๐ต)
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = โ๐
๐ ๐ฅ1๐ฅ2 =
๐
๐
(๐ + ๐)2 = ๐2 + ๐2 + 2๐๐ โ ๐2 + ๐2 = (๐ + ๐)2 โ 2๐๐
(๐ โ ๐)2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ โ ๐2 + ๐2 = (๐ โ ๐)2 + 2๐๐
Indikator : Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Jika diketahui persamaan kuadrat ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0 mempunyai akar-akar ๐ฅ1 dan ๐ฅ2 , maka
Beberapa hubungan yang perlu diketahui :
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
6
Soal 16 :
Tentukan nilai ๐ sehingga grafik fungsi
๐ฆ = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + ๐ tidak memotong sumbu-๐ฅ di
dua titik ...
a. ๐ < 1
b. ๐ > 1
c. ๐ โฅ 1
d. ๐ โค โ1
e. ๐ โค 1
Soal 17 :
Persamaan kuadrat ๐ฅ2 โ ๐๐ฅ + 4 mempunyai
akar-akar bukan bilangan real. Maka nilai ๐
yang memenuhi jika ๐ adalah bilangan asli
adalah ...
a. {1, 2}
b. *0, 1, 2, 3, 4+
c. {1, 2, 3, 4}
d. *1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8+
e. *1, 2, 3+
Soal 18 :
Manakah pernyataan yang benar untuk fungsi
berikut : ๐(๐ฅ) = โ2๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 4
a. Memotong sumbu ๐ฅ di dua titik
b. Memotong sumbu ๐ฅ di satu titik
c. Selalu bernilai positif
d. Selalu bernilai negatif
e. mempunyai nilai maksimum ketika ๐ฅ = 1
Solusi 16 :
Tidak memotong sumbu-๐ฅ di dua titik, artinya
grafik tersebut,
Memotong sumbu-๐ฅ di satu titik (๐ท = 0) ;
Atau tidak memotong sumbu-๐ฅ (๐ท < 0)
Sehingga ๐ท โค 0, yaitu
๐2 โ 4๐๐ โค 0
4 โ 4๐ โค 0
๐ โฅ 1 (C)
Solusi 17 :
Akar-akar bukan bilangan real, artinya ๐ท < 0
๐2 โ 4๐๐ < 0
๐2 โ 16 < 0
(๐ โ 4)(๐ + 4) < 0
๐ = 4 โจ ๐ = โ4
+ โ +
โ4 4
Bilangan asli yang memenuhi adalah {1, 2, 3} (E)
Solusi 18 :
๐(๐ฅ) = โ2๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 4
๐ท = ๐2 โ 4๐๐
๐ท = 4 โ 4(โ2)(โ4)
= 4 โ 32
= โ28
๐ท < 0
๐ท < 0 menunjukkan bahwa grafik fungsi
tersebut tidak memotong sumbu-๐ฅ
Karena masih belum diperoleh solusi, maka kita
perhatikan nilai ๐,
๐ = โ2
menunjukkan bahwa grafik fungsi menghadap
ke bawah. Karena tidak memotong sumbu-๐ฅ
dan grafik fungsi menghadap ke bawah, maka
fungsi tersebut โselalu bernilai negatifโ (D)
Indikator : menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan
diskriminan
Jika diberikan fungsi kuadrat ๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ , maka
Diskriminan (D), adalah ๐ท = ๐2 โ 4๐๐
Jika,
๐ท < 0, maka dua akar kompleks / tidak ada akar real (grafiknya tidak memotong sumbu-๐ฅ)
๐ท = 0, maka akar kembar (grafiknya memotong sumbu-๐ฅ di satu titik)
๐ท > 0, maka dua akar real berbeda (grafiknya memotong sumbu-๐ฅ di dua titik)
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
7
Soal 19 :
Nilai dari ๐ฅ โ ๐ฆ , dari sistem persamaan
3๐ฅ + 4๐ฆ = 17000
5๐ฅ + 7๐ฆ = 28000
adalah ...
a. 8000
b. 9000
c. 11000
d. 15000
e. 21000
Soal 20 :
Harga 2 buah apel dan 2 buah jeruk adalah
8800. Jika harga sebuah apel adalah 600 lebih
murah dari pada harga sebuah jeruk. Maka,
harga sebuah apel adalah ...
a. 1400
b. 1600
c. 1900
d. 2000
e. 2500
Solusi 19 :
3๐ฅ + 4๐ฆ = 17000
5๐ฅ + 7๐ฆ = 28000
Gabungan antara kaidah Sarrus dengan
Substitusi.
Menggunakan kaidah Sarrus, diperoleh
๐ฅ = 17000 428000 7
3 45 7
=
119000 โ 112000
21 โ 20= 7000
Dengan substitusi ๐ฅ = 7 ke persamaan
3๐ฅ + 4๐ฆ = 17000
Diperoleh,
3(7000) + 4๐ฆ = 17000
๐ฆ = โ1000
Sehingga ๐ฅ โ ๐ฆ = 7000 โ (โ1000) = 8000 (A)
Solusi 20 :
Misalkan, ๐ฅ : harga apel ๐ฆ : harga jeruk
2๐ฅ + 2๐ฆ = 8800
๐ฅ = ๐ฆ โ 600
Sehingga bisa ditulis :
๐ฅ + ๐ฆ = 4400
๐ฅ โ ๐ฆ = โ600 _
2๐ฆ = 5000
๐ฆ = 2500
Sehingga
๐ฅ = ๐ฆ โ 600
= 2500 โ 600 = 1900
๐ท = 1 โ23 4
, ๐ท๐ฅ = 6 โ28 4
, ๐ท๐ฆ = 1 63 8
๐ฅ = 6 โ28 4
1 โ23 4
=
24 + 16
4 + 6=
40
10= 4 ๐ฆ =
1 63 8
1 โ23 4
=
8 โ 18
4 + 6=
โ10
10= โ1
Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
SPL (Sistem Persamaan Linear)
Metode Eliminasi, Substitusi (Gabungan)
Misalkan :
๐ฅ โ 2๐ฆ = 6 ร 3 3๐ฅ โ 6๐ฆ = 18 ๐ฅ โ 2๐ฆ = 6 , karena ๐ฆ = โ1 , maka
3๐ฅ + 4๐ฆ = 8 ร 1 3๐ฅ + 4๐ฆ = 8 _ ๐ฅ โ 2(โ1) = 6
โ10๐ฆ = 10 ๐ฅ + 2 = 6
๐ฆ = โ1 ๐ฅ = 4
Menggunakan Kaidah Sarrus
Pada contoh di atas!
๐ฅ =๐ท๐ฅ
๐ท dan ๐ฆ =
๐ท๐ฆ
๐ท
dengan,
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
8
Soal 21 :
Agar lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 4๐ฅ + 6๐ฆ + ๐ = 0
mempunyai jari-jari 5, maka ๐ = โฏ
a. โ20
b. โ12
c. โ3
d. 12
e. 20
Soal 22 :
Lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2๐ฅ + 4๐ฆ + 1 = 0
menyinggung sumbu ๐ฅ di titik โฆ
a. (1,0)
b. (โ1,0)
c. (0,0)
d. (2,0)
e. (โ2,0)
Soal 23 :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2)
dan menyinggung sumbu-๐ฅ adalah ...
Solusi 21 :
๐ = 1
4๐ด2 +
1
4๐ต2 โ ๐ถ =
1
4(16) +
1
4(36) โ ๐
5 = 4 + 9 โ ๐
25 = 13 โ ๐
๐ = โ12
Solusi 22 :
Menyinggung sumbu-๐ฅ, yaitu ketika ๐ฆ = 0 ,
๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2๐ฅ + 4๐ฆ + 1 = 0
Untuk ๐ฆ = 0, maka
๐ฅ2 + 2๐ฅ + 1 = 0
(๐ฅ + 1 )2 = 0
๐ฅ = โ1
Jadi, lingkaran tersebut menyinggung sumbu-๐ฅ
di titik (โ1, 0)
Solusi 23 :
Mencari jari-jari, yaitu jarak antara pusat
dengan titik singgung. Sumbu-๐ฅ adalah ๐ฆ = 0.
Sehingga ๐ = 2 โ 0 = 2. Persamaannya
(๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ โ 2)2 = 22
(๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 = ๐2
๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ = 0
๐ = 1
4๐ด2 +
1
4๐ต2 โ ๐ถ
(๐ฅ โ ๐)(๐ฅ1 โ ๐) + (๐ฆ โ ๐)(๐ฆ1 โ ๐) = ๐^2
(๐ฆ โ ๐) = ๐(๐ฅ โ ๐) ยฑ ๐ ๐2 + 1
Indikator : menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran
Lingkaran
Persamaan Lingkaran yang berpusat di (๐, ๐) dan berjari-jari ๐
Persamaan Umum Lingkaran
dengan, Pusat Lingkaran di .โ1
2๐ด, โ
1
2๐ต/
dan jari-jari lingkaran
Garis Singgung Lingkaran
Diketahui Titik Singgungnya
Persamaan Garis Singgung melalui titik (๐ฅ1 , ๐ฆ1) pada lingkaran (๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 = ๐2 adalah
Diketahui Gradiennya (Kemiringannya)
Persamaan Garis Singgung dengan kemiringan (gradien) ๐ pada lingkaran (๐ฅ โ ๐)2 +
(๐ฆ โ ๐)2 = ๐2 adalah
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
9
Soal 24 :
Lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 4๐๐ฅ + ๐ = 0 mempunyai
jari-jari 2. Garis ๐ฆ = ๐ฅ menyinggung lingkaran
tersebut. Nilai ๐ positif yang memenuhi adalah
...
a. 2
b. 2 2
c. 4
d. 2
e. 4 2
Soal 25 :
Persamaan garis singgung lingkaran yang
berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5, yang tegak
lurus terhadap garis 2๐ฆ โ ๐ฅ = 1 adalah ...
a. ๐ฆ = โ2๐ฅ ยฑ 5 5
b. ๐ฆ = 3๐ฅ ยฑ 2 5
c. ๐ฆ = โ4๐ฅ ยฑ 5 5
d. ๐ฆ = โ2๐ฅ ยฑ 5 2
e. ๐ฆ = 2๐ฅ ยฑ 5 2
Solusi 24 :
Garis menyinggung lingkaran, yaitu ๐ท = 0
๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 4๐๐ฅ + ๐ = 0
๐ฆ = ๐ฅ
Substitusi, diperoleh
๐ฅ2 + ๐ฅ2 โ 4๐๐ฅ + ๐ = 0
2๐ฅ2 โ 4๐๐ฅ + ๐ = 0
๐ท = (4๐)2 โ 4. ๐. 2 = 16๐2 โ 8๐ = 0
2๐2 = ๐ โฆ 1)
Jari-jari 2, artinya ๐ = 1
4๐ด2 +
1
4๐ต2 โ ๐ถ = 2
2 = 1
416๐2 โ ๐ โ 4 = 4๐2 โ ๐ โฆ 2)
Substitusikan pers. ...1) ke pers. ...2)
4 = 4๐2 โ 2๐2
4 = 2๐2
2 = ๐2
๐ = ยฑ 2
Nilai ๐ yang positif adalah 2
Solusi 25 :
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 25
Garis singgung yang dimaksud tegak lurus
terhadap garis 2๐ฆ โ ๐ฅ = 1
2๐ฆ = ๐ฅ + 1
๐ฆ =1
2๐ฅ +
1
2
๐1 =1
2
Karena tegak lurus, ๐2 yang digunakan adalah
โ1 = ๐1 ร ๐2
โ1 =1
2ร ๐2
๐2 = โ2
p.g.s yang dimaksud adalah
(๐ฆ โ ๐) = ๐(๐ฅ โ ๐) ยฑ ๐ ๐2 + 1
๐ฆ = โ2๐ฅ ยฑ 5 5
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Misalkan lingkaran dengan persamaan ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ = 0
dan garis dengan persamaan ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐
Substitusi nilai ๐ฆ dari persamaan garis ke persamaan lingkaran akan didapatkan suatu
persamaan kuadrat baru.
Jika,
๐ท < 0 , garis tersebut tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran
๐ท = 0 , garis tersebut menyinggung lingkaran (memotong di satu titik)
๐ท > 0 , garis tersebut memotong lingkaran di dua titik berbeda.
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
10
Soal 26 :
Salah satu persamaan garis singgung pada
lingkaran ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 4 yang melalui titik (0, 4)
adalah ...
a. ๐ฆ = โ 6๐ฅ + 4
b. ๐ฆ = 2 3๐ฅ + 2
c. ๐ฆ = 3๐ฅ + 4
d. ๐ฆ = โ 3๐ฅ + 3
e. ๐ฆ = 2 3๐ฅ โ 4
Solusi 26 :
Titik (0,4) berada pada luar lingkaran. Karena
๐ฅ2 + 42 = 16 dan 16 > 4
Misalkan p.g.s. yang terbentuk adalah
๐ฆ โ 4 = ๐(๐ฅ โ 0)
๐ฆ = ๐๐ฅ + 4
Untuk mencari ๐, kita substitusikan p.g.s. di
atas ke pers. lingkaran. Diperoleh,
๐ฅ2 + (๐๐ฅ + 4)2 = 4
๐ฅ2 + ๐2๐ฅ2 + 8๐๐ฅ + 16 = 4
(1 + ๐2)๐ฅ2 + 8๐๐ฅ + 12 = 0
Karena menyinggung, maka ๐ท = 0, yaitu
(8๐)2 โ 4. (1 + ๐2). 12 = 0
64๐2 โ 48 โ 48๐2 = 0
16๐2 โ 48 = 0
๐2 โ 3 = 0
๐2 = 3
๐ = ยฑ 3
Sehingga, p.g.s yang dimaksud adalah
๐ฆ = ยฑ 3๐ฅ + 4
Garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
Lingkaran berpusat di ๐ dan berjari-jari ๐. Kemudian diberikan suatu titik ๐ด(๐ฅ1 , ๐ฆ1) di luar
lingkaran. Menentukan p.g.s yang terbentuk.
Langkah-langakhnya :
Misalkan p.g.s. tsb. mempunyai persamaan ๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1) (karena melalui (๐ฅ1 , ๐ฆ1))
Karena garis tersebut menyinggung lingkaran, maka kita substitusikan p.g.s pada langkah
awal ke persamaan lingkaran, kemudian kita anggap ๐ท = 0
๐ด(๐ฅ1 , ๐ฆ1)
๐
๐
Kedudukan titik terhadap lingkaran
Misalkan titik (๐ฅ1 , ๐ฆ1) dan persamaan lingkaran (๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 = ๐2
Substitusikan titik tersebut ke (๐ฅ โ ๐)2 + (๐ฆ โ ๐)2 , bandingkan nilainya dengan ๐2
Jika kurang dari ๐2, maka letaknya di dalam lingkaran.
Jika sama dengan ๐2, maka letaknya pada lingkaran.
Jika lebih besar dari ๐2, maka letaknya berada di luar lingkaran.
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
11
Soal 27 :
Suku banyak ๐น(๐ฅ) dibagi oleh (๐ฅ โ 2) sisanya 8.
Dan jika dibagi oleh (๐ฅ + 3) sisanya โ7. Sisa
pembagian suku banyak ๐น(๐ฅ) oleh (๐ฅ2 + ๐ฅ โ 6)
adalah ...
a. 3๐ฅ + 2
b. 2๐ฅ + 3
c. 3๐ฅ + 3
d. 2๐ฅ + 2
e. ๐ฅ + 3
Soal 28 :
Sisa pembagian jika suku banyak
๐(๐ฅ) = 2๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 + ๐ฅ + 8
dibagi oleh ๐ฅ โ 1 adalah ...
a. โ3
b. โ1
c. 4
d. 6
e. 7
Soal 29 :
Suku banyak jika dibagi oleh (๐ฅ โ 2) bersisa 11.
Jika dibagi oleh (๐ฅ + 1) sisanya adalah โ4. Sisa
pembagian suku banyak tersebut jika dibagi
dengan (๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2) adalah ...
Solusi 27 :
๐น(๐ฅ) = (๐ฅ โ 2) . ๐ป(๐ฅ) + 8 โ ๐น(2) = 8
๐น(๐ฅ) = (๐ฅ + 3) . ๐ผ(๐ฅ) โ 7 โ ๐น(โ3) = โ7
Misalkan
๐น(๐ฅ) = (๐ฅ2 + ๐ฅ โ 6) . ๐ฝ(๐ฅ) + (๐๐ฅ + ๐)
Untuk ๐ฅ = 2, ๐น(2) = 2๐ + ๐
8 = 2๐ + ๐ ... 1)
Untuk ๐ฅ = โ3, ๐น(โ3) = โ3๐ + ๐
โ7 = โ3๐ + ๐ ... 2)
Substitusi kedua pers. diperoleh :
๐ = 3 dan ๐ = 2
Sehingga, sisa yang dimaksud adalah 3๐ฅ + 2
Solusi 28 :
Mencari sisa pembagian tersebut, sama dengan
mencari nilai ๐(1).
๐(1) = 2(1)3 โ 4(1)2 + 1 + 8
= 2 โ 4 + 1 + 8
= 7
Solusi 29 :
Misalkan suku banyak tersebut adalah ๐บ(๐ฅ)
๐บ(๐ฅ) = (๐ฅ โ 2) . ๐ป(๐ฅ) + 11 โ ๐บ(2) = 11
๐บ(๐ฅ) = (๐ฅ + 1) . ๐ผ(๐ฅ) โ 4 โ ๐บ(โ1) = โ4
Misalkan
๐บ(๐ฅ) = (๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2) . ๐ฝ(๐ฅ) + (๐๐ฅ + ๐)
๐บ(๐ฅ) = (๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 1) . ๐ฝ(๐ฅ) + (๐๐ฅ + ๐)
Untuk ๐ฅ = 2, ๐บ(2) = 2๐ + ๐
11 = 2๐ + ๐ ... 1)
Untuk ๐ฅ = โ1, ๐บ(โ1) = โ๐ + ๐
โ4 = โ๐ + ๐ ... 2)
Substitusi 1) dan 2) diperoleh
๐ = 5 dan ๐ = 1
Sehingga sisa yang dimaksud adalah 5๐ฅ + 1
๐(๐ฅ) = (๐ฅ โ ๐) . ๐ป(๐ฅ) + ๐
๐(๐) = (๐ โ ๐) . ๐ป(๐ฅ) + ๐
๐(๐) = ๐
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor
Teorema Sisa
Suku banyak ๐(๐ฅ) dibagi oleh (๐ฅ โ ๐), maka akan diperoleh hasil bagi ๐ป(๐ฅ) dan sisa pembagian
๐ , yang mempunyai hubungan
Untuk menentukan sisa (๐), maka kita bisa mencari nilai ๐(๐) , karena
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
12
Soal 30 :
Suku banyak ๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 โ ๐ฅ2 โ 9๐ฅ + 9 jika
dituliskan dalam bentuk perkalian faktor linear-
linearnya menjadi ...
a. ๐(๐ฅ) = (๐ฅ โ 1)(๐ฅ + 3)(๐ฅ โ 3)
b. ๐(๐ฅ) = (๐ฅ + 1)(๐ฅ + 3)(๐ฅ โ 3)
c. ๐(๐ฅ) = (๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 3)(๐ฅ โ 2)
d. ๐(๐ฅ) = (๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2)(๐ฅ โ 3)
e. ๐(๐ฅ) = (๐ฅ โ 1)(๐ฅ + 3)(๐ฅ โ 2)
Soal 31 :
Salah satu faktor dari
๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 + ๐๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2
adalah ๐ฅ + 2. Salah satu faktor yang lain dari
๐(๐ฅ) adalah ...
a. (๐ฅ โ 2)
b. (๐ฅ + 1)
c. (๐ฅ + 4)
d. (๐ฅ โ 3)
e. (๐ฅ + 3)
Solusi 30 :
Faktor-faktor dari 9 yang berupa bilangan bulat
adalah : ยฑ1, ยฑ3, ยฑ9
Oleh karena itu kita coba dari yang terkecil.
+1
Kita gunakan
1 1 โ1 โ9 9
1 0 โ9
1 0 โ9 0
Sisanya 0.
Maka ๐ฅ = 1 atau (๐ฅ โ 1) adalah salah satu
faktor dari ๐(๐ฅ).
Hasil pembagian ๐(๐ฅ) dengan (๐ฅ โ 1) bisa
dilihat di atas yaitu ๐ฅ2 + 0๐ฅ โ 9
Atau sama dengan ๐ฅ2 โ 9
Dengan pemfaktoran kuadrat, kita peroleh
๐ฅ2 โ 9 = (๐ฅ โ 3)(๐ฅ + 3)
Jadi,
๐(๐ฅ) = (๐ฅ โ 1)(๐ฅ + 3)(๐ฅ โ 3)
Solusi 31 :
๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 + ๐๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2
Karena ๐ฅ + 2 adalah salah satu faktornya, maka
๐(โ2) = 0
๐(โ2) = (โ2)3 + ๐(โ2)2 โ (โ2) โ 2
0 = โ8 + 4๐
๐ = 2
Jadi,
๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 + 2๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 2
Hasil bagi ๐(๐ฅ) oleh ๐ฅ + 2 adalah
โ2 1 2 โ1 โ 2
โ2 0 2
1 0 โ1 0
yaitu
๐(๐ฅ) = (๐ฅ + 2)(๐ฅ2 โ 1)
Dengan pemfaktoran
๐(๐ฅ) = (๐ฅ + 2)(๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 1)
Teorema Faktor
Jika ๐(๐ฅ) adalah suatu suku banyak, maka (๐ฅ โ ๐) merupakan faktor dari ๐(๐ฅ) jika dan hanya
jika ๐(๐) = 0
Misalkan bentuk ๐(๐ฅ) = ๐๐๐ฅ๐ + โฏ + ๐2๐ฅ2 + ๐1๐ฅ + ๐0
Kita bisa mencoba mencari faktor dari ๐(๐ฅ) yaitu (๐ฅ โ ๐)
dengan ๐ adalah faktor-faktor bilangan bulat dari ๐0
Jika ๐(๐) = 0 , maka (๐ฅ โ ๐) adalah faktor dari ๐(๐ฅ).
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
13
Soal 32 :
Diketahui ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 6 dan
๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1. Jika nilai (๐ โ ๐)(๐ฅ) = 101
maka, nilai ๐ฅ yang memenuhi adalah ...
a. 2 dan โ2
b. โ11
3 dan 2
c. 11
3 dan โ2
d. 2 dan 7
3
e. 11
3 dan
7
3
Soal 33 :
Jika diketahui ๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 1 dan diketahui
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 1 ,
maka , ๐(๐ฅ) = โฏ
a. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + ๐ฅ โ 1
b. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 1
c. ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 3
d. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 5
e. ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 1
Soal 34 :
Diketahui (๐ โ ๐)(๐ฅ) = 12๐ฅ โ 2 dan diketahui
๐(๐ฅ) = 4๐ฅ + 2. Maka ๐(๐ฅ) = โฏ
a. 2๐ฅ + 1
b. 3๐ฅ + 1
c. 3๐ฅ โ 1
d. 3๐ฅ + 2
e. 2๐ฅ + 3
Solusi 32 :
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐ ๐(๐ฅ)
๐ ๐(๐ฅ) = ๐(2๐ฅ โ 1)
= 3(2๐ฅ โ 1)2 โ 4(2๐ฅ โ 1) + 6
= 3(4๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 1) โ 8๐ฅ + 4 + 6
= 12๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 3 โ 8๐ฅ + 10
= 12๐ฅ2 โ 20๐ฅ + 13
101 = 12๐ฅ2 โ 20๐ฅ + 13
12๐ฅ2 โ 20๐ฅ โ 88 = 0
3๐ฅ2 โ 5๐ฅ โ 22 = 0
(3๐ฅ โ 11)(๐ฅ + 2) = 0
๐ฅ =11
3 atau ๐ฅ = โ2
Solusi 33 :
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 1
๐ ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 1
๐(๐ฅ + 1) = ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 1
Misalkan
๐ฅ + 1 = ๐
maka,
๐ฅ = ๐ โ 1
Sehingga,
๐(๐) = (๐ โ 1)2 + 3(๐ โ 1) + 1
= ๐2 โ 2๐ + 1 + 3๐ โ 3 + 1
= ๐2 + ๐ โ 1
Jadi,
๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + ๐ฅ โ 1
Solusi 34 :
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = 12๐ฅ โ 2
๐ ๐(๐ฅ) = 12๐ฅ โ 2
4 ๐(๐ฅ) + 2 = 12๐ฅ โ 2
4 ๐(๐ฅ) = 12๐ฅ โ 4
๐(๐ฅ) = 3๐ฅ โ 1
Jadi,
๐(๐ฅ) = 3๐ฅ โ 1
๐(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐ ๐(๐ฅ)
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = (๐ โ ๐)(๐ฅ)
(๐ โ ๐) โ ๐ (๐ฅ) = ๐ โ (๐ โ ๐) (๐ฅ)
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers
Fungsi Komposisi
Sifat-sifat penting
Umumnya tidak komutatif
Bersifat asosiatif
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
14
Soal 35 :
Diketahui ๐(๐ฅ) =1
2๐ฅ+1 . Jika ๐โ1(๐ฅ) adalah suatu
fungsi invers dari ๐, dan ๐โ1(๐) = โ1, maka
nilai ๐ adalah ...
a. โ1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 3
Soal 36 :
Misalkan diketahui ๐(๐ฅ) =3๐ฅ+5
2๐ฅโ3 , maka
๐โ1(๐ฅ) = ...
a. 3๐ฅ+5
2๐ฅโ3
b. 3๐ฅ+5
2๐ฅ+3
c. 3๐ฅ+3
2๐ฅโ5
d. 3๐ฅ+2
5๐ฅโ3
e. 5๐ฅ+3
3๐ฅโ2
Soal 37 :
Nilai ๐โ1(2) dari ๐(๐ฅ) =3๐ฅ+4
2๐ฅโ1 adalah ...
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Solusi 35 :
๐(๐ฅ) =1
2๐ฅ+1 โ ๐ฆ =
1
2๐ฅ+1
2๐ฅ + 1 =1
๐ฆ
2๐ฅ =1
๐ฆโ 1
๐ฅ =1
2๐ฆโ
1
2 , maka ๐โ1(๐ฅ) =
1
2๐ฅโ
1
2
๐โ1(๐) =1
2๐โ
1
2 โ โ1 =
1
2๐โ
1
2
โ1 +1
2=
1
2๐ โ โ
1
2=
1
2๐
โ2๐ = 2 โ ๐ = โ1
Jadi, nilai ๐ = โ1
Solusi 36 :
Dengan rumus di atas, maka
๐โ1(๐ฅ) =3๐ฅ + 5
2๐ฅ โ 3
Solusi 37 :
๐(๐ฅ) =3๐ฅ+4
2๐ฅโ1 , dengan menggunakan rumus di
atas, maka diperoleh ๐โ1(๐ฅ) =๐ฅ+4
2๐ฅโ3
๐โ1(2) =2+4
2(2)โ3
=6
4โ3
= 6
Jadi, nilai ๐โ1(2) = 6
Fungsi Invers
Syarat memiliki fungsi invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi berkorespondensi satu-satu
Langkah-langkah menentukan fungsi invers
Ubah ๐ฆ = ๐(๐ฅ) dalam bentuk ๐ฅ sebagai fungsi ๐ฆ
Bentuk tersebut dinamakan ๐โ1(๐ฆ)
Mengganti ๐ฆ pada ๐โ1(๐ฆ) dengan ๐ฅ, sehingga diperoleh ๐โ1(๐ฅ)
๐(๐) =๐๐ + ๐
๐๐ + ๐
๐โ๐ =โ๐ ๐ + ๐
๐๐ โ ๐
Misalkan diberikan
Maka,
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
15
Soal 38 :
Diketahui ๐(๐ฅ) =๐ฅ+4
๐ฅโ6 dan ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 1
maka, (๐ โ ๐)โ1(๐ฅ) adalah ...
a. ๐ฅ+3
๐ฅโ2
b. 7๐ฅ+3
2๐ฅโ2
c. ๐ฅ+3
2๐ฅโ2
d. 2๐ฅ+7
2๐ฅโ2
e. 3๐ฅ+3
๐ฅโ2
Soal 39 :
Nilai maksimum 4๐ฅ + 5๐ฆ dengan
๐ฅ โฅ 0, ๐ฆ โฅ 0, ๐ฅ + 2๐ฆ โค 10 dan ๐ฅ + ๐ฆ โค 7
adalah ...
a. 28
b. 30
c. 31
d. 35
e. 40
Solusi 38 :
Ada 2 cara yang bisa dilakukan. Bisa mencari
๐ โ ๐ terlebih dahulu kemudian diinverskan.
Bisa juga menggunakan rumus di atas.
Kita akan menggunakan rumus di atas!
๐โ1(๐ฅ) =6๐ฅ+4
๐ฅโ1 dan ๐โ1(๐ฅ) =
๐ฅ+1
2=
1
2๐ฅ +
1
2
๐โ1(๐ฅ) โ ๐โ1(๐ฅ) = ๐โ1 ๐โ1(๐ฅ)
= ๐โ1 .6๐ฅ+4
๐ฅโ1/
=1
2.
6๐ฅ+4
๐ฅโ1/ +
1
2
=3๐ฅ+2
๐ฅโ1+
1
2
=6๐ฅ+4+(๐ฅโ1)
2(๐ฅโ1)
=7๐ฅ+3
2๐ฅโ2
Jadi, (๐ โ ๐)โ1(๐ฅ) =7๐ฅ+3
2๐ฅโ2
Solusi 39 :
(๐ โ ๐)โ1(๐ฅ) = ๐โ1(๐ฅ) โ ๐โ1(๐ฅ)
Invers dari Fungsi Komposisi
Indikator : menyelesaikan masalah program linear
Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear
Menggambar semua daerah yang diketahui (Jika soal cerita, ubah terlebih dahulu
permasalahannya ke dalam bentuk matematika / persamaan/pertidaksamaan linear)
Menentukan titik ekstrim
Melakukan unji titik ekstrim
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
16
Soal 40 :
Jika diketahui ๐ด = 2 ๐ฅ +
1
๐ฆ
8 + ๐ฅ 2๐ฆ + 5๐ง dan
๐ต = 02 39 11
1, dan ๐ด = ๐ต . maka nilai ๐ง adalah ...
a. 1
2
b. 1
c. 3
2
d. 2
e. 3
Solusi 40 :
2 ๐ฅ +
1
๐ฆ
8 + ๐ฅ 2๐ฆ + 5๐ง = 0
2 39 11
1
Kesamaan matriks, syaratnya adalah elemen-
elemen yang seletak bernilai sama.
8 + ๐ฅ = 9 , maka ๐ฅ = 1
๐ฅ +1
๐ฆ= 3 , maka 1 +
1
๐ฆ= 3 โ
1
๐ฆ= 2 โ ๐ฆ =
1
2
2๐ฆ + 5๐ง = 11 , maka
2 .1
2/ + 5๐ง = 11 โ 1 + 5๐ง = 11
5๐ง = 10 โ ๐ง = 2
Jadi, nilai ๐ง = 2
๐ด2ร3 = .1 2 32 0 0
/
.1 2 32 0 0
/ + .2 1 01 2 โ3
/ = 1 + 2 2 + 1 3 + 02 + 1 0 + 2 0 + (โ3)
= .3 3 33 2 โ3
/
๐๐ด = 2 .1 23 4
/ = .2 ร 1 2 ร 22 ร 3 2 ร 4
/ = .2 46 8
/
๐ด ร ๐ต = .๐ ๐๐ ๐
/ .๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
/ = ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐
Indikator : menyelesaikan operasi matriks
Ordo/Ukuran Matriks
Matriks ๐ด berukuran ๐ ร ๐ ditulis ๐ด๐ร๐ (dengan ๐ banyak baris dan ๐ banyak kolom)
Matriks Persegi : matriks dengan ukuran baris = kolom
Transpose Matriks
Misal ๐ด = .1 2 32 0 0
/, maka ๐ด๐ = 1 22 03 0
... Baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris
Penjumlahan / Pengurangan
Syarat : ordo harus sama
Perkalian Skalar
Bilangan real ๐, dikalikan dengan matriks ๐ด
Misalkan ๐ = 2 , dan ๐ด = .1 23 4
/
maka
Perkalian Matriks ๐ด๐ต harus memenuhi syarat:
Jumlah kolom matriks ๐ด sama dengan jumlah kolom matriks ๐ต
(๐ด๐ร๐ ร ๐ต๐ร๐) hasilnya nanti adalah matriks berukuran ๐ ร ๐
Sifat-sifat Matriks
(๐ด๐)๐ = ๐ด
(๐ด + ๐ต)๐ = ๐ด๐ + ๐ต๐
(๐ด๐ต)๐ = ๐ต๐๐ด๐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
17
det(๐ด) = ๐1๐๐ถ1๐ + ๐2๐๐ถ2๐ + โฏ + ๐๐๐ ๐ถ๐๐
det(๐ด) = ๐๐1๐ถ๐1 + ๐๐2๐ถ๐2 + โฏ + ๐๐๐๐ถ๐๐
Determinan dan Invers Matriks
Syarat suatu Matriks mempunyai invers adalah determinan dari matriks tidak sama dengan 0.
Minor
Misal ๐ด adalah matriks persegi
Minor anggota ๐๐๐ adalah determinan suatu matriks yang masih tersisa setelah baris ke-๐ dan
kolom ke-๐ dihilangkan dari ๐ด
Contoh : ๐ด = .2 34 5
/ = .๐11 ๐12
๐21 ๐22/
๐11 = 5 , ๐12 = 4 , ๐21 = 3 , ๐22 = 2
Kofaktor
Kofaktor anggota ๐ถ๐๐ sama dengan (โ1)๐+๐ ๐๐๐
๐ถ11 = (โ1)1+1 ร 5 = 5 , ๐ถ12 = โ4 , ๐ถ21 = โ3 , ๐ถ22 = 2
Determinan
Misal ๐ด adalah matriks persegi. Dengan perluasan kofaktor
Perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke-๐
Perluasan kofaktor di sepanjang baris ke-๐
det(๐ด) = ๐11๐ถ11 + ๐12๐ถ12 = 2(5) + 3(โ4) = 10 โ 12 = โ2
Matriks Kofaktor
Matriks kofaktor dari ๐ด. Misal ๐ด adalah matriks ๐ ร ๐ dan ๐ถ๐๐ adalah kofaktor dari ๐๐๐ , maka
matriks
๐ถ11 ๐ถ12
๐ถ21 ๐ถ22
โฆ ๐ถ1๐
โฆ ๐ถ2๐
โฎ โฎ๐ถ๐1 ๐ถ๐2
โฑ โฎโฆ ๐ถ๐๐
, pada contoh di atas, .5 โ3
โ4 2/
Adjoin
Misal ๐ด adalah matriks persegi. Adjoin ๐ด ditulis ๐๐๐(๐ด) adalah transpose dari matriks kofaktor
dari ๐ด. Pada contoh di atas, ๐ด๐๐(๐ด) = .5 โ4
โ3 2/
Invers Matriks
๐ดโ1 =1
det (๐ด) ๐๐๐(๐ด) , pada contoh di atas, ๐ดโ1 =
1
โ2.
5 โ4โ3 2
/ = โ
5
22
3
2โ1
Sifat-sifat Determinan dan Invers Matriks
๐ด ยฑ ๐ต = ๐ด ยฑ ๐ต
๐ด๐ต = ๐ถ โ ๐ด ๐ต = ๐ถ
๐ด๐ = ๐ด
๐ดโ1 =1
๐ด
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
18
Soal 41 :
Diketahui vektor ๐ = 132 , ๐ =
5โ14
, dan
๐ = 41
โ1 . maka vektor ๐ โ 3๐ + 2๐ adalah ...
a. 1
โ27
d. โ12
โ3
b. โ113โ2
e. โ1โ213
c. โ12
13
Soal 42 :
Diketahui ๐ = 3 , ๐ = 1 dan ๐ โ ๐ = 1 ,
panjang vektor ๐ + ๐ adalah ...
a. 3
b. 5
c. 7
d. 2 2
e. 3
๐ โ ๐ = ๐ + โ๐
๐ + ๐ = ๐ + ๐
๐ + ๐ + ๐ = ๐ + ๐ + ๐
๐ ๐ + ๐ = ๐๐ + ๐๐
๐(๐๐ ) = (๐๐)๐
(๐ + ๐)๐ = ๐๐ + ๐๐
Indikator : menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu
Panjang Vektor
Misalkan ๐ = (๐1 , ๐2) maka panjang ๐ yaitu ๐ = ๐12 + ๐2
2
Misalkan ๐ = (๐1 , ๐2) maka panjang ๐ yaitu ๐ = ๐12 + ๐2
2
Sifat Operasi Vektor
Perkalian Skalar
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
19
Soal 43 :
Jika vektor ๐ dan vektor ๐ membentuk sudut
60ยฐ . ๐ = 2 dan ๐ = 5. Maka ๐ โ ๐ + ๐ = โฏ
a. 5
b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
Soal 44 :
Jika sudut antara vektor ๐ = ๐ + 2๐ + ๐๐ dan
๐ = ๐ โ 2๐ + ๐๐ adalah 60ยฐ , maka nilai ๐
adalah ...
a. โ1
2 atau
1
2
b. โ1 atau 1
c. โ 2 atau 2
d. โ 5 atau 5
e. โ1
2 5 atau
1
2 5
๐ โ ๐ = ๐ ๐ cos ๐
๐ โ ๐ = ๐ โ ๐
๐ โ ๐ + ๐ = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐
๐ โ ๐ = ๐ 2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan
trigonometri sudut antara dua vektor
Perkalian Skalar Dua Vektor
Dengan, ๐ =sudut terkecil antara dua vektor
Misalkan
๐ =
๐1
๐2
๐3
๐๐๐ ๐ =
๐1
๐2
๐3
maka ๐ โ ๐ = ๐1๐1 + ๐2๐2 + ๐3๐3
Sifat-sifat
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
20
Soal 45 :
Diketahui vektor ๐ง adalah vektor hasil proyeksi
dari vektor ๐ฅ = โ 3, 3, 1 pada vektor
๐ฆ = 3, 2, 3 . Maka panjang vektor ๐ง adalah ...
a. 3
2
b. 2
c. 2
3
d. 3
e. 4
3
Soal 46 :
Panjang proyeksi ortogonal vektor ๐ = โ๐ 3 +
๐๐ + ๐ pada vektor ๐ = โ๐ 3 + 2๐ + ๐๐ adalah 3
2. Nilai ๐ = โฏ
a. 3
b. 2
c. 1
3
d. โ2
e. โ3
Soal 47 :
Diketahui : ๐ = (1, 2, 2), ๐ = (0, 1, 0) dan
๐ = (2, โ1, โ1) maka panjang proyeksi ๐๐ pada
๐๐ adalah ...
a. 1
4 6
b. 6
c. 8 6
d. 3
2 3
e. 4
3 3
Solusi 45 :
๐ง =๐ฅ โ ๐ฆ
๐ฆ
๐ฅ โ ๐ฆ = โ 3 (3) + 3.2 + 1.3 = โ3 + 6 + 3 = 6
๐ฆ = 3 2
+ (2)2 + (3)2 = 3 + 4 + 9
= 16 = 4
Sehingga,
๐ง =๐ฅ โ ๐ฆ
๐ฆ =
6
4=
3
2
Solusi 46 :
๐ =๐ โ ๐
๐
๐ = ๐ โ ๐ ๐
๐ 2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi
Misalkan vektor ๐ diproyeksikan terhadap vektor ๐ . Dan misalkan hasilnya adalah vektor ๐ .
Tentu saja vektor ๐ adalah vektor yang searah dengan vektor ๐ .
Panjang vektor ๐
Vektor ๐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
21
Soal 48 :
Garis ๐ฅ + ๐ฆ = 3 dicerminkan terhadap sumbu-๐ฆ
kemudian dicerminkan terhadap sumbu-๐ฅ.
Maka persamaan bayangannya adalah ...
a. ๐ฆ = ๐ฅ + 3
b. ๐ฆ = โ๐ฅ โ 3
c. ๐ฆ = 3 โ ๐ฅ
d. ๐ฆ = ๐ฅ โ 3
e. ๐ฆ = 3๐ฅ + 3
๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= ๐ .๐ฅ๐ฆ/
๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .๐ ๐๐ ๐
/ .๐ฅ๐ฆ/
(๐2 โ ๐1)(๐ด) = ๐2 ๐1(๐ด)
Indikator : menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih
Transformasi Oleh Matriks
Dengan ๐ adalah matriks transformasi yang digunakan.
Pergeseran Matriks translasi ๐ = .๐๐/
๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .๐๐/ + .
๐ฅ๐ฆ/
Pencerminan Terhadap sumbu-๐ฅ
๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .1 00 โ1
/ .๐ฅ๐ฆ/
Terhadap sumbu-๐ฆ ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .โ1 00 1
/ .๐ฅ๐ฆ/
Terhadap titik asal ๐(0,0) ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .โ1 00 โ1
/ .๐ฅ๐ฆ/
Terhadap garis ๐ฆ = ๐ฅ ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .0 11 0
/ .๐ฅ๐ฆ/
Terhadap garis ๐ฆ = โ๐ฅ ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .0 โ1
โ1 0/ .
๐ฅ๐ฆ/
Perputaan
(Rotasi)
Dengan pusat (0,0) dan
Sudut ๐ yang ditentukan ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
/ .๐ฅ๐ฆ/
Dengan pusat (๐, ๐) dan
sudut ๐ yang ditentukan ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
/.๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐/ + .
๐๐/
(Dilatasi)
Perkalian
Titik pusat (0,0) dan
Faktor skala ๐ ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .๐ 00 ๐
/ .๐ฅ๐ฆ/
Titik pusat (๐, ๐) dan
Faktor skala ๐ ๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= .๐ 00 ๐
/ .๐ฅ โ ๐๐ฆ โ ๐/ + .
๐๐/
Komposisi Dua Transformasi
Transformasi ๐1 dilanjutkan Transformasi ๐2 terhadap suatu titik ๐ด ditulis
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
22
Soal 49 :
12 log (๐ฅ2 โ 3) < 0
Nilai ๐ฅ yang memenuhi adalah ...
a. โ2 < ๐ฅ < 2
b. โ2 < ๐ฅ < 3
c. โ2 < ๐ฅ < โ 3
d. โ 3 < ๐ฅ < 3
e. โ2 < ๐ฅ < 2
Soal 50 :
Nilai ๐ฅ yang memenuhi pertidaksamaan
32๐ฅ+2 โฅ 1
9
๐ฅ+1
adalah ...
a. ๐ฅ โฅ โ3
2
b. ๐ฅ โฅ โ1
c. ๐ฅ โฅ 0
d. ๐ฅ โฅ1
2
e. ๐ฅ โฅ 1
Solusi 49 :
12 log (๐ฅ2 โ 3) < 0
12 log (๐ฅ2 โ 3) <
12 log 1
Perhatikan Syaratnya, yaitu :
(๐ฅ2 โ 3) > 0
๐ฅ2 > 3
Diperoleh โ 3 < ๐ฅ < 3
Perhatikan aturan di atas. Karena 0 < ๐ < 1
Maka
1 < ๐ฅ2 โ 3
๐ฅ2 > 4
Diperoleh โ2 < ๐ฅ < 2
Iriskan kedua hasil!
Jadi, HP : โ 3 < ๐ฅ < 3
Indikator : menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma
Pertidaksamaan Eksponen
Jika ๐๐(๐ฅ) > ๐๐(๐ฅ) , maka :
๐(๐ฅ) > ๐(๐ฅ) , untuk ๐ > 1
๐(๐ฅ) < ๐(๐ฅ), untuk 0 < ๐ < 1
Pertidaksamaan Logaritma
Jika ๐ log ๐(๐ฅ) > ๐ log ๐(๐ฅ) , maka :
๐(๐ฅ) > ๐(๐ฅ) , untuk ๐ > 1
๐(๐ฅ) < ๐(๐ฅ), untuk 0 < ๐ < 1
Langkah-langkah penyelesaiannya :
Perhatikan syarat-syaratnya. Misalkan pada pertidaksamaan logaritma, ๐(๐ฅ) > 0 dan ๐(๐ฅ) > 0
Kemudian iriskan dengan aturan di atas!
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
23
Soal 51 :
Nilai ๐ฅ yang memenuhi persamaan
๐ฅ log (6๐ฅ โ 8) โ 2 = 0
adalah ...
a. 4 atau 2
b. 4 atau โ4
c. 3 atau 4
d. 4 atau 8
e. 6 atau 7
Solusi 51 :
๐ฅ log (6๐ฅ โ 8) โ 2 = 0
๐ฅ log (6๐ฅ โ 8) = 2
๐ฅ log (6๐ฅ โ 8) = ๐ฅ log ๐ฅ2
Syarat-syarat
6๐ฅ โ 8 > 0 โ ๐ฅ >8
6 dan ๐ฅ2 > 0 โ ๐ฅ > 0
Dan ๐ฅ โ 1
Maka, 6๐ฅ โ 8 = ๐ฅ2 โ ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8 = 0
(๐ฅ โ 4)(๐ฅ โ 2) = 0
๐ฅ = 4 atau ๐ฅ = 2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma
Fungsi Eksponen
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ , dengan ๐ > 0, ๐ โ โ1 dan ๐ฅ โ โ
Jika ๐ > 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi naik
Jika 0 < ๐ < 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi turun
Fungsi Logaritma
๐(๐ฅ) = ๐ log ๐ฅ , dengan ๐ฅ > 0, ๐ > 0 dan ๐ โ 1
Jika ๐ > 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi naik
Jika 0 < ๐ < 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi turun
Persamaan Eksponen
Jika ๐๐(๐ฅ) = ๐๐ (๐ > 0 dan ๐ โ 1) maka ๐(๐ฅ) = ๐
Jika ๐๐(๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ) (๐ > 0 dan ๐ โ 1) maka ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ)
Jika ๐๐(๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ) (๐, ๐ > 0 ; ๐, ๐ โ 1 dan ๐ โ ๐) maka ๐(๐ฅ) = 0
Jika ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ)
= ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ)
, maka kemungkinannya adalah :
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ) = 1
๐(๐ฅ) = 0. Asalkan ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ) positif
๐(๐ฅ) = โ1. Asalkan ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ) keduanya ganjil / keduanya genap
Jika ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ)
= ๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ)
, maka kemungkinannya adalah :
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ) = 0 . Asalkan ๐(๐ฅ) โ 0 dan ๐(๐ฅ) โ 0
Persamaan Logaritma
Jika ๐ log ๐(๐ฅ) = ๐ log ๐ , maka ๐(๐ฅ) = ๐ (asalkan ๐(๐ฅ) > 0)
Jika ๐ log ๐(๐ฅ) = ๐ log ๐(๐ฅ) , maka ๐(๐ฅ) = 1 (asalkan ๐ โ ๐)
Jika ๐ log ๐(๐ฅ) = ๐ log ๐(๐ฅ) , maka ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) (asalkan ๐(๐ฅ) > 0 dan ๐(๐ฅ) > 0)
Jika ๐(๐ฅ) log ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) log ๐(๐ฅ) , maka ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) (asalkan ๐(๐ฅ) > 0, ๐(๐ฅ) > 0,
๐(๐ฅ) > 0 dan ๐(๐ฅ) โ 1)
Jika ๐(๐ฅ) log ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) log ๐(๐ฅ) , maka
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) asalkan ๐(๐ฅ) โ 1, ๐(๐ฅ) > 0
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) asalkan ๐(๐ฅ) = 1, ๐(๐ฅ) > 0, ๐(๐ฅ) > 0, ๐(๐ฅ) โ 1, ๐(๐ฅ) โ 1
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
24
Soal 52 :
Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4
adalah 21 dan suku ke-10 adalah 57. Suku ke-19
adalah ...
a. 123
b. 99
c. 111
d. 88
e. 100
Soal 53 :
Barisan (2๐ + 25), (โ๐ + 9), (3๐ + 7), โฆ
adalah barisan aritmatika untuk nilai ๐ ...
a. โ2
b. โ1
c. 0
d. 1
e. 2
Soal 54 :
Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku
membentuk barisan aritmatika. Jika kelilingnya
adalah 84, maka luasnya sama dengan ...
a. 216
b. 294
c. 363
d. 382
e. 390
Solusi 52 :
๐4 = ๐1 + 3๐ = 21
๐10 = ๐1 + 9๐ = 57
Eliminasi ๐1 dari kedua persamaan, diperoleh
6๐ = 36
๐ = 6
Sehingga, ๐1 + 3(6) = 21 โ ๐1 = 3
Maka,
๐19 = ๐1 + 18๐ = 3 + 18(6) = 111
Solusi 53 :
๐ = (โ๐ + 9) โ (2๐ + 25) = โ3๐ โ 16
๐ = (3๐ + 7) โ (โ๐ + 9) = 4๐ โ 2
Substitusi kedua persamaan,
โ3๐ โ 16 = 4๐ โ 2
โ14 = 7๐
๐ = โ2
Solusi 54 :
Tripel Pythagoras yang membentuk barisan
aritmetika adalah (3๐, 4๐, 5๐) dengan ๐
bilangan asli.
Mencari nilai ๐ ,
3๐ + 4๐ + 5๐ = 84
12๐ = 84
๐ = 7
Ukuran segitiga tersebut adalah (21, 28, 35)
Sisi miring adalah sisi terpanjang, sehingga
luasnya adalah =1
2ร 21 ร 28 = 21 ร 14 = 294
๐๐ = ๐1 + (๐ โ 1)๐
๐๐ =๐
2(2๐1 + (๐ โ 1)๐) ๐๐ =
๐
2(๐1 + ๐๐)
๐๐ = ๐๐ โฒ โ
1
2๐๐
โฒโฒ
Indikator : menyelesaikan masalah deret aritmetika
Barisan dan Deret Aritmetika
Jika ๐๐ adalah suku ke-๐ dan ๐ adalah beda, yaitu ๐ = ๐๐ โ ๐๐โ1, maka nilai suku ke-๐
dirumuskan
Jumlah suku pertama sampai suku ke-๐, disimbolkan ๐๐ , yaitu
๐๐ = ๐๐ โ ๐๐โ1 Suku tengah , ๐๐ก =1
2(๐1 + ๐๐) , untuk banyak ๐ ganjil.
Jika diketahui rumus ๐๐ , dan ditanya rumus ๐๐ , maka
dengan, ๐๐ โฒ adalah turunan pertama dari ๐๐ , dan ๐๐
โฒโฒ adalah turunan keduanya.
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
25
Soal 55 :
Diketahui jumlah ๐ suku pertama dari barisan
aritmatika dirumuskan oleh ๐๐ = 2๐2 โ 6๐.
Maka beda deret dari barisan aritmetika
tersebut adalah ...
a. โ4
b. โ2
c. 0
d. 2
e. 4
Soal 56 :
Suku ke-3 dan suku ke-10 dari barisan geometri
berturut-turut adalah 24 dan 3072. Suku ke-7
barisan tersebut adalah ...
a. 384
b. 428
c. 626
d. 680
e. 880
Solusi 55 :
Dengan rumus di atas, kita peroleh bahwa beda
dari barisan aritmatika yang dimaksud adalah
๐ = 2 ร 2 = 4
Dengan penjabaran rumus ๐๐
๐๐ = 2๐2 โ 6๐ = ๐(2๐ โ 6) =๐
2(4๐ โ 12)
=๐
2(โ8 + (๐ โ 1)4)
Bandingkan dengan rumus
๐๐ =๐
2(2๐1 + (๐ โ 1)๐)
Maka, ๐ = 4
Solusi 56 :
๐3 = ๐1 ร ๐2 = 24
maka, ๐1 =24
๐2 ... 1)
๐10 = ๐1 ร ๐9 = 3072 โฆ 2)
Substitusi ... 1) ke ... 2) 24
๐2 ร ๐9 = 3072
24๐7 = 3072
๐ = 2
Maka, ๐1 =24
22 =24
4= 6
Sehingga,
๐7 = 6 ร 26 = 384
Beda barisan aritmetika jika diketahui ๐๐
Misalkan ๐๐ = ๐๐2 + ๐๐ , maka beda = ๐ = 2๐
๐๐ = ๐1 ร ๐๐โ1
๐๐ =๐(๐๐ โ 1)
๐ โ 1 ; ๐ > 1
=๐(1 โ ๐๐)
1 โ ๐ ; ๐ < 1
๐ =๐
1 โ ๐
Indikator : menyelesaikan masalah deret geometri
Deret Geometri
๐ adalah rasio, yaitu ๐ =๐2
๐1=
๐3
๐2= โฏ =
๐๐
๐๐โ1= โฏ
Suku ke-๐ dirumuskan dengan
Jumlah ๐ suku pertama dirumuskan dengan
Suku tengah, ๐๐ก = ๐1 ร ๐๐
Deret Geometri Tak Hingga
Banyak sukunya sebanyak tak hingga
Jumlahnya yaitu
Deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika โ1 < ๐ < 1
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
26
Soal 57 :
Kubus ๐ด๐ต๐ถ๐ท. ๐ธ๐น๐บ๐ป. Jika ๐ adalah sudut antara
diagonal ๐ด๐บ dan rusuk ๐ด๐ท. Maka cos ๐ = โฏ
a. 2 d. 1
3 3
b. 1
2 2 e. 3
c. 1
2
Soal 58 :
Diketahui bidang empat ๐. ๐ด๐ต๐ถ๐ท dengan
๐๐ด = ๐๐ต = 5, ๐๐ถ = 2, ๐ถ๐ด = ๐ถ๐ต = 4 , ๐ด๐ต = 6.
Jika ๐ผ adalah sudut antara ๐๐ถ dan bidang ๐๐ด๐ต.
Maka cos ๐ผ = โฏ
a. 15
16 d.
9
16
b. 13
16 e.
7
16
c. 11
16
Soal 59 :
Kubus ๐ด๐ต๐ถ๐ท. ๐ธ๐น๐บ๐ป dengan panjang rusuk ๐
cm. Jika ๐ merupakan proyeksi titik ๐ถ pada
bidang ๐ด๐น๐ป, maka jarak titik ๐ด ke titik ๐ adalah
...
a. ๐
3 3 d.
๐
2 3
b. ๐
3 6 e.
๐
2 6
c. 2๐
3 6
Soal 60 :
Kubus ๐ด๐ต๐ถ๐ท. ๐ธ๐น๐บ๐ป dengan panjang rusuk 12
cm. ๐พ adalah titik tengah rusuk ๐ด๐ต. Jarak titik ๐พ
ke garis ๐ป๐ถ adalah ...
a. 4 6 cm
b. 6 3 cm
c. 6 5 cm
d. 9 2 cm
e. 5 6 cm
Indikator : menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang dimensi
3
Kubus dengan panjang rusuk ๐
Panjang Diagonal Bidang = ๐ 2
Panjang Diagonal Ruang = ๐ 3
Rumus Pythagoras
Segitiga siku-siku ๐ด๐ต๐ถ siku-siku di ๐ต, maka ๐ด๐ถ2 = ๐ด๐ต2 + ๐ถ๐ต2
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
27
Soal 61 :
Jika panjang sisi segitiga ๐ด๐ต๐ถ berturut-turut
adalah ๐ด๐ต = 4 cm , ๐ต๐ถ = 6 cm dan ๐ด๐ถ = 6 cm.
Dan ๐ผ = โ ๐ต๐ด๐ถ, ๐ฝ = โ ๐ด๐ต๐ถ, ๐พ = โ ๐ต๐ถ๐ด. Maka
sin ๐ผ โถ sin ๐ฝ โถ sin ๐พ adalah ...
a. 4 : 5 : 6
b. 5 : 6 : 4
c. 6 : 5 : 4
d. 4 : 6 : 5
e. 6 : 4 : 5
Soal 62 :
Diketahui segitiga ๐ด๐ต๐ถ dengan ๐ด๐ถ = 5 cm,
๐ด๐ต = 7 cm dan โ ๐ต๐ถ๐ด = 120ยฐ. Keliling segitiga
๐ด๐ต๐ถ adalah ...
a. 14 cm
b. 15 cm
c. 16 cm
d. 17 cm
e. 18 cm
Soal 63 :
Diketahui segitiga ๐ด๐ต๐ถ dengan panjang sisi
๐ = 7 cm, ๐ = 5 cm, ๐ = 3 cm. Nilai dari
sin ๐ด = โฏ
a. 1
2 3 d.
1
3 3
b. โ1
2 e.
2
3 3
c. 1
2
๐
sin ๐ด=
๐
sin ๐ต=
๐
sin ๐ถ
๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ด
๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ต
๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ถ
Indikator : menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus dan kosinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
Aturan Sinus
Aturan Kosinus
๐ ๐
๐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
28
Soal 64 :
Himpunan penyelesaian dari persamaan
cos 2๐ฅ โ sin ๐ฅ = 0
untuk 0ยฐ โค ๐ฅ โค 360ยฐ adalah ...
a. *30ยฐ, 150ยฐ, 270ยฐ+
b. *60ยฐ, 120ยฐ, 270ยฐ+
c. *90ยฐ, 180ยฐ, 300ยฐ+
d. *30ยฐ, 120ยฐ, 270ยฐ+
e. *30ยฐ, 180ยฐ, 300ยฐ+
Soal 65 :
Diketahui sin ๐ผ cos ๐ผ =8
25 . Maka, nilai dari
1
sin ๐ผโ
1
cos ๐ผ= โฏ
a. 3
5 d.
9
25
b. 15
8 e.
3
25
c. 5
8
Soal 66 :
Diketahui ๐ฅ + ๐ฆ = 270ยฐ
Maka
a. cos ๐ฅ + sin ๐ฆ = 0
b. cos ๐ฅ โ sin ๐ฆ = 0
c. cos ๐ฅ + cos ๐ฆ = 0
d. sin ๐ฅ โ sin ๐ฆ = 0
e. sin ๐ฅ + sin ๐ฆ = โ1
Solusi 64 :
Gunakan cos 2๐ฅ = 1 โ 2 sin2 ๐ฅ
Sehingga
cos 2๐ฅ โ sin ๐ฅ = 1 โ 2 sin2 ๐ฅ โ sin ๐ฅ = 0
Misalkan sin ๐ฅ = ๐ , maka
1 โ 2๐2 โ ๐ = 0
โ(๐ + 1)(2๐ โ 1) = 0
๐ = โ1 atau ๐ =1
2
sin ๐ฅ = โ 1 , maka ๐ฅ = 270ยฐ
sin ๐ฅ =1
2 , maka ๐ฅ = 30ยฐ atau ๐ฅ = 150ยฐ
Jadi, HP = *30ยฐ, 150ยฐ, 270ยฐ+
๐ cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ = ๐ โ ๐ cos (๐ฅ โ ๐ผ) = ๐
Indikator : menyelesaikan persamaan trigonometri
Persamaan Trigonometri
1. sin ๐ฅ = sin ๐
๐ฅ1 = ๐ + ๐ โ 360ยฐ atau ๐ฅ2 = (180ยฐ โ ๐) + ๐ โ 360ยฐ
2. cos ๐ฅ = cos ๐
๐ฅ = ยฑ๐ + ๐ โ 360ยฐ
3. tan ๐ฅ = tan ๐
๐ฅ = ๐ + ๐ โ 180ยฐ
dengan,
๐ = ๐2 + ๐2 dan tan ๐ผ =๐
๐
Dengan syarat : ๐2 โค ๐2 + ๐2
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
29
Soal 67 :
Nilai dari cos 75ยฐ + cos 15ยฐ = โฏ
a. 0
b. 1
4 2
c. 1
2 2
d. 1
2 6
e. 1
4 6
Soal 68 :
Nilai dari sin 75ยฐ + sin 15ยฐ = โฏ
a. 0
b. 1
4 2
c. 1
d. 1
2 6
e. โ1
sin (๐ + ๐) = sin ๐ cos ๐ + cos ๐ sin ๐
sin (๐ โ ๐) = sin ๐ cos ๐ โ cos ๐ sin ๐
cos (๐ + ๐) = cos ๐ cos ๐ โ sin ๐ sin ๐
cos (๐ โ ๐) = cos ๐ cos ๐ + sin ๐ sin ๐
sin ๐ + sin ๐ = 2 sin ๐ + ๐
2 cos
๐ โ ๐
2
sin ๐ โ sin ๐ = 2 cos ๐ + ๐
2 sin
๐ โ ๐
2
cos ๐ + cos ๐ = 2 cos ๐ + ๐
2 cos
๐ โ ๐
2
cos ๐ โ cos ๐ = โ2 sin ๐ + ๐
2 sin
๐ โ ๐
2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang
menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen serta jumlah dan
selisih dua sudut
Nilai perbandingan trigonometri
Untuk segitiga siku-siku ABC seperti berikut,
Rumus Jumlah dan Selisih
๐ผ
sin ๐ผยฐ =depan
miring
cos ๐ผยฐ =samping
miring
tan ๐ผยฐ =depan
samping
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
30
Soal 69 :
limxโ2
3๐ฅ2 โ 6๐ฅ
๐ฅ โ 2= โฏ
a. 0 d. 6
b. 2 e. 8
c. 4
Soal 70 :
limxโ0
1 โ cos ๐ฅ
5๐ฅ2= โฏ
a. โ1
5 d.
1
10
b. 1
5 e. โ
1
10
c. 1
Soal 71 :
limxโ0
sin 2๐ฅ
3 โ 2๐ฅ + 9= โฏ
a. 0 d. โ3
b. 1 e. โ6
c. 3
limxโa
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)= lim
xโa ๐ โฒ(๐ฅ)
๐โฒ(๐ฅ)
limxโa
๐โฒ(๐ฅ)
๐โฒ(๐ฅ)= lim
xโa ๐ โฒโฒ (๐ฅ)
๐โฒโฒ (๐ฅ)
limxโโ
๐๐ฅ + ๐ โ ๐๐ฅ + ๐ = โ , untuk ๐ > ๐0 , untuk ๐ = ๐
โโ , untuk ๐ < ๐
limxโโ
๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ โ ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ =
โ , untuk ๐ > ๐๐ โ ๐
2 ๐ , untuk ๐ = ๐
โโ , untuk ๐ < ๐
Indikator : menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Teorema Lโhospital
Misalkan limxโaf(x)
๐(๐ฅ) menghasilkan bentuk tak tentu .
0
0/, maka bisa menggunakan rumus
Jika limxโa ๐ โฒ (๐ฅ)
๐โฒ (๐ฅ) masih menghasilkan bentuk tak tentu .
0
0/, maka
Aturan Pencarian Limit :
1. Substitusi
2. Jika menggunakan langkah substitusi (langkah 1) menghasilkan bentuk tak tentu, maka
faktorkan! / jika bertemu bentuk akar, kalikan dengan sekawan.
Untuk ๐ bilangan asli dan ๐ bilangan real, maka : limxโโ ๐
๐ฅ๐ = 0
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
31
Soal 72 :
Nilai maksimum dari 4๐ฅ3 โ 18๐ฅ2 + 15๐ฅ โ 5
adalah ketika ๐ฅ = ...
a. 1
2
b. 2
c. 5
2
d. 4
e. 5
Soal 73 :
Titik belok dari fungsi ๐ฆ = ๐ฅ3 + 6๐ฅ2 + 9๐ฅ + 7
adalah ...
a. (โ2, 3)
b. (โ2, 7)
c. (โ2, 5)
d. (2, 5)
e. (2, 10)
Soal 74 :
Persegi oanjang dengan keliling (2๐ฅ + 24) cm
dan lebarnya (8 โ ๐ฅ) cm. Agar luasnya
maksimum, maka panjangnya = ...
a. 4 cm
b. 8 cm
c. 10 cm
d. 12 cm
e. 13 cm
Solusi 72 :
๐ = 4๐ฅ3 โ 18๐ฅ2 + 15๐ฅ โ 5
๐ โฒ(๐ฅ) = 12๐ฅ2 โ 36๐ฅ + 15
Stasioner untuk ๐ โฒ(๐ฅ) = 0
Maka, 12๐ฅ2 โ 36๐ฅ + 15 = 0
3(2๐ฅ โ 5)(2๐ฅ โ 1) = 0
๐ฅ1 =1
2 ๐ฅ2 =
5
2
๐ โฒโฒ (๐ฅ) = 24๐ฅ โ 36
๐ โฒโฒ (๐ฅ1) = ๐ โฒโฒ .1
2/ = 12 โ 36 = โ24
๐ โฒโฒ (๐ฅ2) = ๐ โฒโฒ .5
2/ = 60 โ 36 = 24
Jadi, maksimum ketika ๐ฅ = ๐ฅ2 =5
2
๐ฆ โ ๐ฆ1 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ1)
Indikator : menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi
Persamaan Garis Singgung Kurva
Misalkan titik (๐ฅ1 , ๐ฆ1) pada kurva, maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah
dengan ๐ = ๐ โฒ(๐ฅ1)
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
๐ โฒ(๐ฅ) > 0 untuk ๐ฅ โ ๐ผ , maka fungsi ๐(๐ฅ) naik pada ๐ผ
๐ โฒ(๐ฅ) < 0 untuk ๐ฅ โ ๐ผ , maka fungsi ๐(๐ฅ) turun pada ๐ผ
๐ โฒ(๐ฅ) = 0 untuk ๐ฅ โ ๐ผ , maka fungsi ๐(๐ฅ) stasioner pada ๐ผ
Maksimum, Minimum dan Belok
Maksimum di ๐ , jika ๐ โฒ(๐) = 0 dan ๐ โฒโฒ (๐) < 0
Minimum di ๐ , jika ๐ โฒ(๐) = 0 dan ๐ โฒโฒ (๐) > 0
Titik Belok di ๐ , jika ๐ โฒ(๐) = 0 dan ๐ โฒโฒ (๐) = 0
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
32
Soal 75 :
(๐ฅ + 1)(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)7 ๐๐ฅ = โฏ
a. (๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)8 + ๐ถ
b. 1
8(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)8 + ๐ถ
c. 1
4(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)8 + ๐ถ
d. 2(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)8 + ๐ถ
e. 3(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)8 + ๐ถ
Solusi 75 :
(๐ฅ + 1)(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)7 ๐(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)
2๐ฅ + 2
= (๐ฅ + 1)(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)7 ๐ ๐ฅ2+2๐ฅ+10
2(๐ฅ+1)
= (๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)7 ๐(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10) = ๐ข7 ๐๐ข
=1
8๐ข8 + ๐ถ
=1
8(๐ฅ2 + 2๐ฅ + 10)8 + ๐ถ
๐(๐ฅ)๐
๐
๐๐ฅ = ,๐น(๐ฅ)-๐๐ = ๐น(๐) โ ๐น(๐) = โ ๐น(๐) โ ๐น(๐) = โ ๐(๐ฅ)
๐
๐
๐ ๐(๐) ๐โฒ(๐) ๐ ๐ = ๐(๐) ๐ ๐ = ๐ญ(๐) + ๐ช = ๐ญ ๐(๐) + ๐ช
๐ฅ (๐ฅ2 + 1)5 ๐๐ฅ = ๐ฅ (๐ฅ2 + 1)5 ๐(๐ฅ2 + 1)
2๐ฅ=
1
2(๐ฅ2 + 1)5 ๐(๐ฅ2 + 1)5 =
1
2๐ข5 ๐๐ข
๐ ๐ ๐ = ๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐ข = ๐ฅ โ ๐๐ข = ๐๐ฅ , ๐๐ฃ = (๐ฅ + 1)5 ๐๐ฅ โ ๐ฃ =1
6(๐ฅ + 1)6
๐ฅ(๐ฅ + 1)5 ๐๐ฅ = ๐ฅ 1
6(๐ฅ + 1)6 โ
1
6(๐ฅ + 1)6 ๐๐ฅ
=๐ฅ
6(๐ฅ + 1)6 โ
1
42(๐ฅ + 1)7 + ๐ถ
Indikator : menentukan integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Integral
๐ฅ๐ ๐๐ฅ =1
๐+1๐ฅ๐+1 + ๐ถ |
1
๐ฅ ๐๐ฅ = ln ๐ฅ + ๐ถ | ๐๐ฅ ๐๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐ถ | ๐๐ฅ ๐๐ฅ =
๐๐ฅ
ln ๐ + ๐ถ
Integral Tentu
Misalkan ๐(๐ฅ) = ๐นโฒ(๐ฅ), maka
Integral Substitusi
Contoh : ๐ฅ (๐ฅ2 + 1)5 ๐๐ฅ
Jawab :
Tips Integral substitusi
Umumnya kita menggunakan substitusi ketika bertemu bentuk perkalian ๐(๐ฅ) โ ,๐(๐ฅ)-๐
Kalau turunan dari ๐(๐ฅ) bisa menghilangkan variabel ๐ฅ pada ๐(๐ฅ), kita bisa gunakan substitusi
Seperti pada contoh di atas.. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ dan ๐(๐ฅ) = (๐ฅ2 + 1)
Karena turunan dari ๐ฅ2 + 1 adalah 2๐ฅ . dan kita bisa menghilangkan ๐ฅ pada ๐(๐ฅ), maka kita bisa
gunakan substitusi
Kalau turunan ๐(๐ฅ) tidak bisa menghilangkan ๐ฅ pada ๐(๐ฅ), gunakan parsial, seperti di bawah ini
Integral Parsial
Contoh : ๐ฅ (๐ฅ + 1)5 ๐๐ฅ
bentuk perkalian ๐(๐ฅ) โ ,๐(๐ฅ)-๐
tetapi turunan dari ๐(๐ฅ) tidak bisa menghilangkan variabel ๐ฅ pada ๐(๐ฅ)
turunan dari ๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 1 adalah 1 , tidak bisa menghilangkan ๐ฅ pada ๐(๐ฅ). Jadi, gunakan parsial
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
33
Soal 76 :
cos 2๐ฅ sin 5๐ฅ ๐๐ฅ = โฏ
a. โ1
14cos 7๐ฅ +
1
6cos 3๐ฅ + ๐
b. โ1
14cos 7๐ฅ โ
1
6cos 3๐ฅ + ๐
c. 1
14cos 7๐ฅ +
1
6cos 3๐ฅ + ๐
d. 1
14cos 7๐ฅ โ
1
6cos 3๐ฅ + ๐
e. โ1
14cos 7๐ฅ +
1
3cos 3๐ฅ + ๐
Contoh โถ sin5 ๐ฅ ๐๐ฅ = sin4 ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = (1 โ cos2 ๐ฅ)2 sin ๐ฅ ๐๐ฅ
= โ(1 โ 2 cos2 ๐ฅ + cos4 ๐ฅ) ๐(cos ๐ฅ)
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ =๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ , ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ =
๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐
Contoh โถ sin2 ๐ฅ ๐๐ฅ = 1 โ cos 2๐ฅ
2 ๐๐ฅ =
1
2โ
1
2cos 2๐ฅ ๐๐ฅ
Contoh โถ sin3 ๐ฅ cos2 ๐ฅ ๐๐ฅ = sin2 ๐ฅ cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฅ
= (1 โ cos2 ๐ฅ) cos2 ๐ฅ sin ๐ฅ ๐(cos ๐ฅ)
โ sin ๐ฅ= (1 โ cos2 ๐ฅ) cos2 ๐ฅ ๐(cos ๐ฅ)
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ =๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ , ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ =
๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐
sin ๐๐ฅ cos ๐๐ฅ =1
2,sin(๐ + ๐)๐ฅ + sin(๐ โ ๐)๐ฅ-
sin ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ = โ1
2,cos(๐ + ๐)๐ฅ โ cos(๐ โ ๐)๐ฅ-
cos ๐๐ฅ cos ๐๐ฅ =1
2,cos(๐ + ๐)๐ฅ + cos(๐ โ ๐)๐ฅ-
Integral trigonometri
cos ๐ฅ ๐๐ฅ = sin ๐ฅ + ๐ถ sin ๐ฅ ๐๐ฅ = โ cos ๐ฅ + ๐ถ
sec2 ๐ฅ ๐๐ฅ = tan ๐ฅ + ๐ถ csc2 ๐ฅ ๐๐ฅ = โ cot ๐ฅ + ๐ถ
tan ๐ฅ sec ๐ฅ ๐๐ฅ = sec ๐ฅ + ๐ถ cos ๐ฅ csc ๐ฅ ๐๐ฅ = โ csc ๐ฅ + ๐ถ
Bentuk ๐ฌ๐ข๐ง๐ง ๐ atau ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
Kalau ๐ ganjil, ubah dulu menjadi sin๐โ1 ๐ฅ โ sin ๐ฅ . Kemudian manfaatkan identitas trigonometri,
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ = ๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ . Gunakan Aturan Substitusi :
Kalau ๐ genap, manfaatkan kesamaan setengah sudut
Bentuk ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
Kalau ๐ atau ๐ ganjil : pisah bagian ganjil menjadi perkalian yang salah satunya pangkat satu.
Kemudian manfaatkan identitas trigonometri
Kalau ๐ dan ๐ genap : gunakan kesamaan setengah sudut
Bentuk : ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐๐จ๐ฌ ๐๐ ; ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐๐จ๐ฌ๐๐ ; ๐๐จ๐ฌ๐๐๐๐จ๐ฌ ๐๐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
34
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐
๐
Luas I = ๐ฆ ๐๐ฅ5
4
= 1
2(๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 4)
5
4
๐๐ฅ
โ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐
๐
atau ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐
๐
Luas II = โ ๐ฆ ๐๐ฅ4
2
= โ 1
2(๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 4)
4
2
๐๐ฅ
๐ฆ1 โ ๐ฆ2
4
2
๐๐ฅ
Indikator : menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral
Integral Luas
Luas daerah yang dibatasi oleh ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โฅ 0 (ada di atas sumbu-๐) dan dibatasi oleh garis
๐ฅ = ๐, ๐ฅ = ๐ dan sumbu-๐ฅ adalah
Seperti contoh pada gambar di bawah,
kalau dibatasi oleh ๐ฆ = ๐(๐ฅ) < 0 (ada di bawah sumbu-๐) dan dibatasi oleh garis ๐ฅ = ๐, ๐ฅ = ๐
dan sumbu-๐ฅ adalah
Seperti contoh pada gambar di bawah,
Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva, (seperti contoh di bawah) maka kita bisa
menggunakan :
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
35
Soal 77 :
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
๐ฆ = 9 โ ๐ฅ2 , dan garis ๐ฆ = ๐ฅ + 3 adalah ...
a. 125
6 satuan luas
b. 20 satuan luas
c. 22 satuan luas
d. 62
3 satuan luas
e. 21 satuan luas
Solusi 77 :
Karena dibatasi oleh fungsi kuadrat dan fungsi
linear, maka kita bisa menggunakan rumus
๐ฟ =๐ท ๐ท
6๐2
Substitusi kedua persamaan
9 โ ๐ฅ2 = ๐ฅ + 3
๐ฅ2 + ๐ฅ โ 6 = 0
๐ท = 12 โ 4(โ6) = 25
Sehingga, luas yang dimaksud adalah
๐ฟ =๐ท ๐ท
6๐2=
25 25
6.12=
25 ร 5
6
=125
6
๐ฟ = ๐ท ๐ท
6๐2
Beberapa tips mengerjakan integral luas seperti berikut ini :
Ketika bertemu dengan daerah yang dibatasi :
1. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat
2. Persamaan Kuadrat dan Sumbu-๐ฅ
3. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linear
Substitusikan ๐ฆ pada kedua persamaan, kemudian kita gunakan rumus
dengan, ๐ท = ๐2 โ 4๐๐
Rumus 1/3
Rumus 2/3
๐ฟ =1
3ร ๐๐๐๐ ร ๐ก๐๐๐๐๐
Kalau bertemu dengan daerah seperti gambar di samping, kita
bisa menggunakan rumus
Syarat terpenting adalah daerahnya seperti itu!!!
Fungsi kuadratnya mempunyai minimum yang menempel pada
garis dasar pada daerah yang dimaksud.
Kalau pada gambar tersebut, menempel pada sumbu-๐ฅ
Contoh : ๐ฟ๐ข๐๐ =1
3ร 4 ร 8 =
32
3= 10
2
3
๐ฟ๐ข๐๐ =2
3ร ๐๐๐๐ ร ๐ก๐๐๐๐๐
๐ฟ๐ข๐๐ =2
3ร 4 ร 4 =
16
3= 5
1
3
Kalau daerahnya dibatasi oleh fungsi kuadrat dan sumbu-
๐ฅ seperti gambar di bawah ini, kita bisa gunakan
Contoh :
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
36
๐ฅ =๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 + โฏ + ๐ฅ๐
๐
๐๐ = ๐ก๐ +
๐2 โ ๐น๐
๐ ๐
๐๐ = ๐ก๐ + ๐1
๐1 + ๐2 ๐
๐๐ = ๐ก๐ +
๐4 ๐ โ ๐น๐
๐ ๐
Indikator : menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel,
diagram atau grafik
Ukuran Pemusatan
Mean (Rataan)
Pada data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka ๐ฅ๐ yang digunakan adalah nilai tengah
Median
Jika ๐ ganjil, maka ๐๐ = ๐ฅ๐+1
2
, yaitu data ke-๐+1
2
Jika ๐ genap, maka ๐๐ =1
2 ๐ฅ๐
2+ ๐ฅ๐+1
2
Tentu saja dengan syarat data harus sudah diurutkan.
Untuk data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka
Keterangan :
๐ก๐ : tepi bawah kelas modus
๐ : banyaknya data
๐น๐ : frekuensi kumulatif sebelum kelas median
๐ : frekuensi kelas median
๐ : panjang kelas
Modus
Keterangan :
๐1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
๐2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Ukuran Letak
Kuartil
Kuartil ke-๐ dirumuskan
Ukuran Penyebaran
Jangkauan/Rentang : ๐ฅ๐๐๐ฅ โ ๐ฅ๐๐๐ Jangkauan Antar Kuartil : ๐3 โ ๐1
Simpangan Kuartil : 1
2(๐3 โ ๐1)
Simpangan Rata-rata = ๐ฅ๐โ๐ฅ ๐
๐=1
๐
Ragam = (๐ฅ๐โ๐ฅ )2๐
๐=1
๐
Simpangan Baku = Ragam
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
37
Soal 78 :
Nilai rataan dari data pada tabel berikut
Nilai Frekuensi
150-154 3
155-159 4
160-164 16
165-169 10
170-174 6
175-179 1
adalah ...
a. 145,87
b. 173,84
c. 153,87
d. 183,84
e. 163,88
Solusi 78 :
Nilai Frekuensi ๐ ๐ ร ๐
150-154 3 152 456
155-159 4 157 628
160-164 16 162 2592
165-169 10 167 1670
170-174 6 172 1032
175-179 1 177 177
๐ = 40
๐๐๐๐ = 6555
Jadi, ๐ฅ =6555
40= 163,875 โ 163, 88
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
38
Soal 79 :
Banyaknya bilangan bulat positif yang lebih
kecil dari 300 yang dapat disusun dari angka-
angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah ...
a. 50
b. 60
c. 120
d. 180
e. 210
Solusi 79 :
Ada 3 tempat, mulai dari ratusan, puluhan dan
satuan
2 5 5
Tempat ratusan hanya bisa diisi oleh 1 dan 2
Tempat puluhan bisa diisi oleh 1, 2, 3, 4, 5
Tempat satuan bisa diisi oleh 1, 2, 3, 4, 5
Sehingga, banyaknya bilangan yang dimaksud
adalah 2 ร 5 ร 5 = 50
๐2 ร ๐2 ร โฆ ร ๐๐
๐! = ๐ ร (๐ โ 1) ร (๐ โ 2) ร โฆ ร 2 ร 1
๐(๐, ๐) =๐!
(๐ โ ๐)!
๐(๐, ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐) =๐!
๐1! ๐2! โฆ๐๐ !
๐ถ(๐, ๐) =๐!
๐! (๐ โ ๐)!
Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan,
permutasi atau kombinasi
Kaidah Perkalian
Jika tempat pertama dapat diisi dengan ๐1 cara, tempat kedua dapat diisi dengan ๐2 cara, ... ,
sampai tempat ke-๐ dapat diisi dengan ๐๐ cara. Maka banyaknya cara untuk mengisi ๐ tempat
yang disediakan adalah
Faktorial
dengan ๐ bilangan asli.
dan 0! = 1
Permutasi
Permutasi ๐ unsur dari ๐ unsur
Permutasi Unsur Sama
Permutasi Siklis (permutasi dengan susunan melingkar)
Banyaknya permutasi siklis dari ๐ unsur yaitu (๐ โ 1)!
Kombinasi
Kombinasi ๐ unsur dari ๐ unsur
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
39
Soal 80 :
Sebuah kantong berisi 5 bola merah, 3 bola
putih dan 2 bola hijau. Diambil sebuah bola
secara acak, peluang terambilnya bola merah
atau hijau adalah ...
a. 7
10
b. 1
10
c. 1
5
d. 2
5
e. 4
5
Solusi 80 :
Peluang terambil bola merah adalah 5
10
Peluang terambil bola hijau adalah 2
10
Peluang terambil bola merah atau hijau adalah 5
10+
2
10=
7
10
๐(๐ด) =๐(๐ด)
๐(๐)
๐น(๐ด) = ๐ ร ๐(๐ด)
๐(๐ด) + ๐(๐ดโฒ) = 1
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian
Suatu kejadian ๐ด dapat terjadi sebanyak ๐(๐ด). Sedangkan semua kemungkinan (ruang sampel)
dari hasil percobaan dapat terjadi sebanyak ๐(๐). Maka peluang terjadinya kejadian ๐ด dalam
percobaan tersebut adalah
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan kejadian ๐ด yaitu
dengan,
๐(๐ด) : peluang kejadian ๐ด
๐ : banyaknya percobaan yang dilakukan
Komplemen
dengan,
๐(๐ด) : peluang kejadian ๐ด
๐(๐ดโฒ) : peluang kejadian bukan ๐ด