matematika1.tex
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
1/13
MATEMATIKA 1 - GRUPA A
1. Kolokvijum 03. decembar 2014.
1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedin
k=1
1
cos kx cos(k+ 1)x =
tan(n + 1)x tan xsin x
.
2. (a) Odrediti kompleksan brojz1 iz uslova
z1 1 z10 1 21 2 + i i
= 2 8i.
(b) Kompleksan broj z1 (odred-en u (a)) napisati u eksponencijalnom itrigonometrijskom obliku, a zatim odrediti 5
z1.
3. (a) Odrediti realne koeficijente a,b, c polinoma
P(x) =x5 + ax4 2x3 6x2 + bx + c
ako je P(2) = 9, proizvod korijena polinoma Pje 3, a zbir 3.(b) Polinom dobijen pod (a) napisati po stepenima x 1.
4. Neka su A, E Mnn(R) i (A+ E)3 = O. Pokazati da je A regularnamatrica i odrediti A
1
.
5. Odrediti
Dn =
x a a . . . a
a x a . . . a
a a x . . . a...
......
. . . ...
a a a . . . x
.
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
2/13
MATEMATIKA 1 - GRUPA B
1. Kolokvijum 03. decembar 2014.
1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedin
k=1
1
2ktan
x
2k =
1
2ncot
x
2n cot x, x=k, k Z.
2. Neka je z1 = 1 tjeme kvadrata. Ako je centar opisane kruznice okokvadrata rjesenje jednacine
z(3 + i) + z(1 + i) + (zi + 1)i= 6 + 6i,
naci ostala tjemena!
3. (a) Odrediti realne koeficijente a,b, c polinoma
P(x) =x5 + ax4 2x3 6x2 + bx + c
ako je P(2) = 9, proizvod korijena polinoma P je -3, a zbir 3.(b) Polinom dobijen pod (a) napisati po stepenima x 2.
4. Koristenjem Kramerovih formula diskutovati sistem
(1 + a)x + y + z = a2 + 3ax + (1 + a)y + z = a3 + 3a2
x + y + (1 + a)z = a4 + 3a3
i naci opste rjesenje u zavisnosti od realnog parametra a.
5. Odrediti
Dn =
1 1 . . . 1 n1 1 . . . n 1...
... . . .
......
1 n . . . 1 1n 1 . . . 1 1
.
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
3/13
MATEMATIKA 1 - GRUPA C
1. Kolokvijum 03. decembar 2014.
1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedin
k=1
sin kx = sin
n+12
x
sin nx2
sin x2
.
2. (a) Odrediti kompleksan brojz ako je
Re
z(2 + i) 5z
1 + i
=11 i Im
z(2 + i) 5z
1 + i
=18.
(b) Odrediti kompleksne brojeve z1 i z2 tako da je z1 pozitivan realanbroj, z2 pripada trecem kvadrantu, a trougao zz1z2 je jednakos-tranicni stranice 5.
3. (a) Odrediti realne koeficijente a,b, c polinoma
P(x) =x5 + ax4 2x3 6x2 + bx + c
ako je P(2) = 9, proizvod korijena polinoma Pje 3, a zbir -3.(b) Polinom dobijen pod (a) napisati po stepenima x + 1.
4. Neka je A regularna matrica tako da je
An + An1 + . . . + A + E= O, n N,
dokazati da je A1 =An.
5. Odrediti
Dn =
cos 1 0 0 . . . 01 2 cos 1 0 . . . 00 1 2 cos 1 . . . 0...
......
... . . .
...0 0 0 0 . . . 2cos
.
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
4/13
MATEMATIKA 1 - GRUPA D
1. Kolokvijum 03. decembar 2014.
1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedi
1
2+
nk=1
cos kx = sin 2n+1
2 x
2sin x2
.
2. (a) Odrediti kompleksan brojz1 iz uslova
z1 1 z10 1 21 2 + i i
= 2 8i.
(b) Ako je z2 rjesenje jednacine
(1 + i)3(3 i) + iIm
z2+ 2i
2
+ z2=2 + 12i,
predstaviti u kompleksnoj ravni skup tacaka z koji zadovoljava ne-jednakost
|z1|
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
5/13
MATEMATIKA 1
2. Kolokvijum 26. januar 2015.
1. Dat je niz x1= 1, x2= 2,
xn = xn1+ xn2 (n >2).
Naci limn
xn+1xn
! (8)
2. Ispitati neprekidnost funkcije (5)
f(x) =
3
x + e 1x1 , x 1.
3. Koristenjem Maklorenove formule naci
limx0
1 cos(1 cos x)x4
. (6)
4. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = (x 1)ln
1 1x
. (10)
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
6/13
MATEMATIKA 1
29. januar 2015.
1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedi
(a + b)n =
nk=0
n
k
ankbk, a, bR.
2. Odrediti kompleksan broj z1 koji ispunjava uslove
Re
z1+ 3i 1
2 + 2i
=
5
4, Im
(1 + i)z1 5
1 i
=12
.
Za tako nad-enoz1 odrediti preostala tjemena kvadrata z1z2z3z4 u prvom
kvadrantu kompleksne ravni ako se zna da je Re(z2) = 6 i Re(z4) = 1.
3. Neka su a, b i c tri razlicita cijela broja i P polinom sa cjelobrojnimkoecijentima. Dokazati da je nemoguce da je
P(a) =b, P(b) =c, P(c) =a.
4. Odrediti
Dn =
1 1 0 . . . 0 0 01 1 1 . . . 0 0 00 1 1 . . . 0 0 0...
......
. . . ...
......
0 0 0 . . . 1 1 10 0 0 . . . 0 1 1
.
5. Naci
limn
nk=1
k
3k.
6. Naci limx
( 3
x3 + 3x2 x2 2x).
7. Odrediti realne parametreA i B tako da funkcija
f(x) =
(sin x)tan2 x, x <
2
A, x= 2
Ae + Bx , x > 2
bude neprekidna na svom domenu.
8. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = 3
x 3x + 1.
PRVI KOLOKVIJUM: 1,2,3,4DRUGI KOLOKVIJUM: 5,6,7,8INTEGRALNI ISPIT: 1,2,4,5,7,8
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
7/13
MATEMATIKA 1
12. februar 2015.
1. Ispitati da li je relacija definisana sa
xy (x2 y2)(x2y2 1) = 1
relacija ekvivalencije na skupu R. Ako jeste, odrediti C0, C1, C2. (8)
2. Neka je g : Q Q bijekcija. Ako su operacijex y = g1 (g(y) + g(x))i xy = g1 (g(y) g(x)) definisane zax, y Q, ispitati algebarskustrukturu (Q, , ). (12)
3. Odrediti m tako da korijeni jednacine z2 2mz + m = 0 zadovoljavajuuslov z31+ z
32 =z
21+ z
22, a zatim za takvo m odrediti korijene jednacine i
racunski pokazati da vrijedi dati uslov. (10)
4. Odreditilimx0
(cos(xex) ln(1 x) x)1/x3 . (10)
5. Odrediti intervale konveksnosti za funkciju f(x) =x sin(ln x), x >0. (8)
6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = arctan x2
x2 4 . (12)
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
8/13
MATEMATIKA 1
24. april 2015.
1. Koristeci matematicku indukciju dokazati da za svakon Nvrijedin
k=1
(1)k+1
n
k
1
k = 1 +
1
2+
1
3+ . . . +
1
n.
2. Koristeci rjesenja jednacine z5 1 = 0 odrediti cos25
i sin2
5 .
3. Naci
Dn =
a + b ab 0 0 . . . 0 0 01 a + b ab 0 . . . 0 0 00 1 a + b ab . . . 0 0 0...
......
... . . .
......
...0 0 0 0 . . . 1 a + b ab0 0 0 0 . . . 0 1 a + b
,
n N, a , bR, a=b.4. Ispitati konvergenciju niza (an)nN zadatog sa
an+1= 6(an+ 1)
7 + an, 0< a1
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
9/13
MATEMATIKA 1
18. jun 2015.
1. Dokazati da jen
k=m
n
k
k
m
=
n
m
2nm.
2. Naci kompleksne brojeve z za koje vazi
Im
z+ 2
2 i
= 1 Re(z2 + 1) = 1,
a zatim za rjesenje koje se nalazi u prvom kvadrantu naci
z.
3. Funkcijaf : R2
R2
je definisana sa
f(x, y) = (2x y, x 4y).
Ispitati da li je fbijekcija. Ukoliko jeste, naci f1!
4. Odrediti skup A R takav da za svako a A i za svako x R vrijediax2 + x + 30. Za takve aA izracunati
limx
(x + 1
ax2 + x + 3).
5. Ispitati neprekidnost funkcije
f(x) = limn
x + x2enx
1 + enx .
6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = x + ex
x ex .
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
10/13
MATEMATIKA 1
2. jul 2015.
1. Ispitati da li je skup 4n + 1
4m + 1:m, n Z
u odnosu na operaciju(a) sabiranja (b) mnozenjagrupa.
2. Korijeni polinomaf(x) =x2+Ax+Bsu kubovi korijena polinoma g(x) =x2 + Cx + D, gdje su A, B,C,D realni brojevi, a zbir i proizvod korijenapolinoma g(x) med-usobno su jednaki. Odrediti polinomef(x) ig (x) takoda f(x) ima dvostruki korijen, a g(x) nema dvostruki korijen.
3. Naci
Dn =
a b 0 0 . . . 0 0 0c a b 0 . . . 0 0 00 c a b . . . 0 0 0...
......
... . . .
......
...0 0 0 0 . . . c a b0 0 0 0 . . . 0 c a
,
n N, a,b,cR.4. Pokazati da je niz definisan sa
an+1= 2(2an+ 1)an+ 3
, (n= 1, 2, . . .), a1= 1,
konvergentan i odrediti mu granicnu vrijednost.
5. Odrediti konstanteA,B, Ctako da je
limx+
(
x4 + 2x3 Ax2 Bx C) = 0.
6. Funkcijaf je data sa
f(x) = (1 x)1/2 (1 + x)1/2
1 x21/2
1 + x
21/2
, (x= 0).
Odrediti uslov da bi funkcija bila neprekidna u tacki x = 0. Ako je trazeniuslov ispunjen, da li je funkcija diferencijabilna u tacki x = 0?
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
11/13
MATEMATIKA 1
27. avgust 2015.
1. Koristeci matematicku indukciju dokazati da za svako n N, n 3,vrijedi
120|n5 5n3 + 4n.
2. Ispitati da li je (R2, +, ) polje, gdje su operacije + i date sa
(x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v)
(x, y) (u, v) = (xu 2yv,xv+ yu).
3. Poznato je da su nule kompleksnog polinoma
Pn(z) =zn + an1zn1
+ . . . + a1z+ a0
(kompleksni) brojevi 1, 2, . . . , n. Izracunati proizvod
= (1+ 1)(2+ 1) (n+ 1).
4. Odrediti granicnu vrijednost
x1= a >0, xn+1= x1+ 2x2+ 3x3+ . . . + nxn
n , nN.
5. Dokazati nejednakost
arctan(x + y)< y+ arctan x, xR, y >0.6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =x arccos 2x
1 + x2.
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
12/13
MATEMATIKA 1
10. septembar 2015.
1. Neka je (H, ) podgrupa grupe (G, ) i neka je u skupu G definisana relacija na sljedeci nacin:
(x, yG)(xyx y1 H).
Dokazati da je relacija ekvivalencije.
2. Ako je 2n = 1 (C) i z= 1 + + . . . + n1, nN, odrediti z.3. Ako je
A=
1 0 0 01 1 0 0
0 1 1 01 1 0 1
,
naci An.
4. Ako je{an}, n = 0, 1, 2, . . . niz ciji je opsti clan an = 2015n, naci
limn
a1
a0 S1 + a2
S1 S2 + . . . + an
Sn1 Sn
,
gdje je Sn =n
k=0
ak.
5. Data je krivay = xe
1
x . Naci jednacinu tangente krive u tacki x = i njengranicni polozaj kad +.6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = x
2+ arcsin
2x
1 + x2.
-
7/23/2019 Matematika1.Tex
13/13
MATEMATIKA 1
24. septembar 2015.
1. Niz realnih brojeva{an} definisan je rekurentnom formulom
an = ( + )an1 an2, n >2
i pocetnim uslovima a1 = +, a2 = 3 3
, = . Dokazati da jeopsti clan niza izrazen formulom
an = n+1 n+1
.
2. Odrediti skup kompleksnih brojeva za koje je z = (16)34
.
3. Ako su rai rbostaci pri djeljenju realnog polinomaP(x) sax a, odnosnosa x b, a=b, koliko je ostatak pri djeljenju P(x) sa (x a)(x b)?
4. Naci limn
n
n!
n .
5. Ispitati neprekidnost funkcije
y= limn
(x arctan(n cot x)) .
6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =xe11/x22 .