matematikai paradoxonok
DESCRIPTION
MATEMATIKAI PARADOXONOK. KPSZTI 2011. NOV. 11. A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE. Önellentmondás: hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) halmazelméleti: katona borbély Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.” - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MATEMATIKAI PARADOXONOK
KPSZTI2011. NOV. 11.
A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE
• Önellentmondás:– hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte
voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen)– halmazelméleti: katona borbély– Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.”
• Meghökkentő eredmény– Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai.– Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla– Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó
10 paradoxon1. Születésnap2. Simpson3. Szerencsejátékok4. Monty Hall5. Választási6. Jákob és Lábán7. Bertrand8. Titkárnő-házasodási9. Kockázási
9 paradoxon – 9 matekóra
• Egyszerűek: alap matek• Meglepőek• Célközönség: mérnökpalánták
TITKÁRNŐ-PARADOXON
(1966)
A feladat
titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni
Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?
Konkrét feladat
10 jelentkező5 jelöltet már elutasítottunkmegállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál
Mekkora a valószínűsége, hogy lesz ilyen?
DOLLY
Ő a legjobbBaj lehet: korán döntünk (ál Dolly)
pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz
A korai döntést ki kell zárni
Hányadik Dolly?
Dollyt ál kizárni kezdjük itt 101
657 )(p
101
758 )(p
101
859 )(p
101
9510 )(p
1016 )(p
összesen
37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az összes közül a legjobbra találunk.
373091
81
71
61
51
105
109876
,)(
)()()()()(
pppppp
A feladat módosítása és általánosítása
Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk:
%,)()( 63691
81
71
61
51
41
31
21
1022 p
Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:
)......(),(1
12
11
11
nnkkn
knkp
Hány jelöltet utasítsunk el?
n k p10 1 28,3 %10 2 36,6 %10 3 39,9 %10 4 39,8 %10 5 37,3 %10 7 26,5 %10 9 10 %
A p(k,10) grafikon
Van-e maximuma a p(k,n) függvénynek?
Van (emelt szintű matek):
371 %e
p
esetén.
371éspedig
%en
k
A megoldás
100 jelentkező közül az első 37-et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37-nél
VAGY ha nincs ilyen, akkor
a 100.-at
Gyakorlati alkalmazhatóság
• Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb.)
• Matterhorn esete
Házasodási probléma (1984)
A feladat átfogalmazása:az első valahány kérő után igent mondunk
(magyar szakirodalom: Szindbád-probléma)
Baj: nem tudjuk előre a kérők számát
Udvarló-idő függvény
Feltételezett görbe esetén:görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni
SIMPSON-PARADOXON
(1951)
1. Diszkriminációs probléma
Egy nagyvállalatot diszkriminációvalvádolnak feminista szervezetek, miszerintkisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit.
Védekezésképpen a cég nyilvánosságrahozza két áruházuk kimutatását, melyben azáll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.
Győr-soproni nők és férfiak
férfiak nők
jelentkezők felvettek % jelentkezők felvettek %
Győr 500 200 40% 100 50 50%
Sopron 120 10 8% 100 10 10%
Összes 620 210 34% 200 60 30%
Mitől paradoxon?Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”)Együtt: férfiak > nők (feminista érv)
Mikor léphet föl?Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre
Leírás: Simpson (1951)Valóság: Berkeley-egyetem (70-es évek)
női egyenjogúsági kérdés
Mi az oka?Most: egyenetlen volt a jelentkezés
Győr:250 hely, 600 jelentkező2,4-szeres túljelentkezésA jelentkezők 17%-a nő
Sopron:20 hely, 220 jelentkező11-szeres túljelentkezésA jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak asoproni nők
2. H1N1-probléma
Nem oltatta be magát Beoltatta magát
összesen nem fertőződött % összesen nem fertőződött %
férfiak 500 200 40% 100 50 50%
nők 120 10 8% 100 10 10%
Összes 620 210 34% 200 60 30%
Mitől paradoxon?
Nyilván nem reprezentatív a minta:férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magátbeoltott (620) > nem beoltott (200)
Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de„embernek” nem! (Orosz Gyula)
Példagyár
A nem A
összes rész % összes rész %
X n 200 * 100 50 50%
Y 120 10 8% 100 10 10%
Összes n+120 210 * * 200 60 30%
Mekkora lehet n?
n
n
12021030
50200
,
,
Ahonnan 400 < n < 580 adódik.
Koordináta-rendszer
Meredekség: felvételi arány
SZÜLETÉSNAP-PARADOXON
Alapfeladat:
Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja?
Tippelj!
1. segédfeladat:
Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)
Skatulyaelv alapján nyilván: 366 fő esetén
2. segédfeladat:
Egyszerűsítsük le a feladatot egy hétre:Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb.) esik két ember születésnapja?
Hasonlóan, nyilván: 8 fő esetén
3. segédfeladat
Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2-nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja?
Értelmezés: legalább 2-nek
77777777
Megoldás
kedvező eset: összes – rossz születhet) nap bármelyik (bárki 7 :összes 6
születik) napon más (mindenki 1234567 :rossz
%)( 96117649
50401176497
123456776 6
6
p
Táblázat a p(n) függvényhez
n
8 17 0,996 0,965 0,854 0,653 0,392 0,14
nnnp
77
7
1 )!(!
)(
A p(n) grafikon
4. segédfeladat
Vissza az eredeti éves feladathoz:Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)
Összes – rossz
születik) napon más (mindenki 1365364365 :rossz )(... n
%)!(!
)(...
)(...
96365
365365
1365
13653643651
3651365364365365
nn
n
n
nn
np
születhet) nap bármelyik (bárki 365 :eset összes n
Ábrázolás helyett táblázat
bonyolult 365
365365
1 nnnp )!(!
)(
Próbálgatás
n
100 0,999999765 0,99857 0,9948 0,9640 0,8937 0,8525 0,5723 0,51
nnp
365365
365
1 )!(!
Megoldás
éves feladat:48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek
hetes feladat:6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség
A p(n) grafikon
Mitől paradoxon?
Nagy n-re: p(n) közelítőleg konstans• p = 100%: n = 366 esetén• p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!)
Kis n-re: p(n) függvény nagyon meredek• Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is
meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)
VÁLASZTÁSI PARADOXONOK
1. Családi kirándulás
Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van.
Hogyan döntsenek „demokratikusan”?
Kiértékeléskedv idő kirándulás
anya igen igen igen
apa igen nem nem
gyerek nem igen nem
együtt igen igenigen vagy nem?
Bíró-paradoxon
• kollektív döntések meghozatala esetén
• probléma: mi szerint összegezzünk?– premisszák (kedv, idő)– konklúziók (voks)
2. Elnökválasztás
3 jelölt (A, B, C) közül választunk7 szavazó4 ABC, 3 BCA szavazatKérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál• A nyer,• B nyer,• C nyer,• A és B holtversenyben nyer?
Megoldás
1. hely 2. hely 3. hely A B C
A nyer 10 pont 3 pont 2 pont 46 42 17
B nyer 10 pont 5 pont 2 pont 46 50 23
C nyer nem lehetséges
A és B 10 pont 4 pont 2 pont 46 46 20
Mitől paradoxon?
• majdnem tetszőleges sorrend előállítható• utólag befolyásolhatjuk a választás
eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást
• megnyugtató: C nem nyerhet
3. Osztálytitkár
3 jelölt (A, B, C) közül választanak30 szavazó10 ABC, 10 BCA, 10 CAB szavazatKérdés: hogyan összegezzünk?
Többségi szavazás
A > B B > C C > A
10 ABC igen igen nem
10 BCA nem igen igen
10 CAB igen nem igen
Többségi szavazat igen igen igen
Condorcet-paradoxon
• Körbeverési jelenség: kő-papír-olló• Nem tranzitív: A > B, B > C, de C > A!• Pontrendszer: mindenkinek ugyanannyi
pontja lenne
MONTY HALL-PARADOXON
(1975)
Mit rejt a három ajtó?
A tévés játék megfogalmazása
1. Van három ajtó, kettő mögött kecske van, egy mögött a főnyeremény: egy autó
2. A játékos választ egyet a három ajtó közül3. A műsorvezető még mielőtt azt kinyitná, kinyit
egy másik ajtót, amely mögött kecske van4. Megkérdezi a játékost: akar-e változtatni első
választásán, és egy másik ajtót választani?
Kérdés
Érdemes-e változtatni az eredeti választáson?
Paradoxonnak tűnik:1. Nem befolyásolhatja az eredményt, ha
változtatok (előtte is, utána is 1/3 a valószínűség)
2. Most 1/2, előtte 1/3 volt a valószínűség
Az 1. ajtót választjuk
1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó váltunk nem váltunk
K K A nyerünk vesztünk
K A K nyerünk vesztünk
A K Kvesztünk nyerünk
A K K
nyerési valószínűség 2/3 1/3
Megoldás
• Érdemes tehát változtatni:– 2/3 valószínűséggel nyerünk
• Egyszerűbben: Hogyan nyerhetünk?– Ha nem váltunk: el kell találni az autót (1/3)– Ha váltunk: valamelyik kecskét kell eltalálni (2/3)
A feladat módosítása
…100 ajtó van, Monty kinyit 98-at
Nyilván most is érdemes váltani (99/100)
2 játékos, 3 ajtó
• Mindkettő választ egy-egy (különböző) ajtót (mondjuk egymás után)
• Az, amelyik kecskét választott, kiesik (ha mindkettő kecskét választott, a játékvezető tetszőlegesen dönt, ki esik ki)
• A kecskés ajtót Monty kinyitja• Érdemes-e váltania a bennmaradt
játékosnak?
Az első 2 ajtóra tippelünk
A B Ha a bennmaradó
1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó vált nem vált
K K Anyer veszít
K K A
K A K veszít nyer
A K K veszít nyer
nyerési valószínűség 1/3 2/3
Megoldás
• Nem érdemes váltani– Így nyerünk 2/3 valószínűséggel
• Egyszerűbben:1. Most mindkét játékosnak kecskére kell
tippelnie, hogy a váltás megérje: 1/32. A vegyes tipp esélye 2/3
Forrás• Drösser, Christoph: Csábító számok (Athenaeum, 2009)
• Ferguson, Thomas S.: Who Solved the Secretary Problem? (Statistical Science, 1989. Vol. 4. No. 3.)
• Orosz Gyula: Valószínűség-számítási érdekességek (Fazekas Mihály Gimnázium honlapja, Matematika portál)
• Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Typotex, 2004)
• Wikipedia-szócikkek (Monty Hall, Simpson)
Dolgozat és prezentáció
www.phbences.hu oktatás oldal, matematika
Használják egészséggel, közkincs!
További jó konferenciát és
szép napot!