matematikk11 - ntnu · 2001-06-13 · matematikk11 dette er en forelØbig versjon fra 13. juni...

MATEMATIKK 11

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur ogkommentarer !

Det har tatt adskillig mer tid a skrive dette enn antatt. Noen konsekvenser av dette:

Kapittel 8, lineær algebra, er ikke skrevet enda, og vil ikke bli det til studiestart. Det vil bli deltut til studentene utpa høsten en gang.Fasit og stikkordregister rekker jeg ikke før i neste utgave.

Kvaliteten er et godt stykke unna malet.Jeg har ikke rukket a bruke dere sa mye som jeg burde. Spesielt gjelder dette DMM-lærerne. Blantannet er noen av de datarelaterte eksemplene jeg har skrevet med svak bakgrunnskunnskap, ogburde sikkert forbedres. De inneholder kanskje direkte feil. Og sa burde det vært flere av dem,kanskje jeg rekker a fa med rotasjon av bilder i kapittel 6.

Jeg planlegger en større revisjon før neste ars utgave, og da vil jeg mer aktivt spørre dere om rad,eksempler, valg av emner, innnfallsvinkler til temaer osv. Tilbakemeldinger fra studenter vil daogsa kunne bidra til dette.

Det er ikke sa mye tid igjen, der er jo ferie og en del andre forsømte oppgaver som ogsa skal gjøres.Resten av tiden vil i hovedsak brukes til korrektur av kapittel 6 (trigonometri) og 7 (eksponential-og logaritmefunksjonen), som er skrevet intensivt i det siste, uten at jeg en gang har rukket a leseigjennom dem selv, og ikke fatt luket bort de mest opplagte svakhetene.Forord og forside ma ogsa skrives.

Jeg tar gjerne i mot kommentarer og feilmeldinger til alle deler, og vil selvfølgelig ogsa følge oppdette hvis endringene ikke krever mer tid enn jeg har i denne omgang.

i

Innhold

1 Repetisjon av algebra 3

1.1 Polynomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Potensregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Litt bakgrunn og utdyping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Mengder og funksjoner 29

2.1 Mengder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Mengdeoperasjoner og Venndiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Sammensatte og inverse funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Logikk og tallsystemer 53

3.1 Utsagnslogikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Tallsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Algebraiske funksjoner 67

4.1 Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Rasjonale funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 Rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Derivasjon 89

5.1 Grenser og kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Definisjon av den deriverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Anvendelser av derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4 Andrederiverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5 Flere derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

iii

1

5.6 Integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 Trigonometri 115

6.1 Absolutt vinkelmal (radianer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2 Definisjon av sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.3 Trekantberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4 Trigonometriske omregningsformler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.5 Sinus og cosinus som funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.6 De deriverte av sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.7 Plot av noen funksjoner med sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.8 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7 Eksponential- og logaritmefunksjoner 131

7.1 Eksponentialfunksjonen med vilkarlig grunntall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2 Derivasjon av eksponentialfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.3 Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.4 Logaritmer med vilkarlig grunntall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.5 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8 Lineær algebra 145

8.1 Matriser og vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.2 Matriseoperasjoner og determinanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.3 Affine transformasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Kapittel 1

Repetisjon av algebra

En viktig grunn til at mange studenter sliter med matematikk er problemer med grunnleggenderegneteknikk. Dette er selvsagt et problem i seg selv. Det fører ogsa til at for mye av konsentrasjonenbrukes opp pa a forsta vanlige omforminger, framfor det nye stoffet som er hovedhensikten der ogda.

Dette ”repetisjonskapitlet” er lagt opp med tanke pa repetisjon og trening pa multiplikasjon avpolynomer, brøkregning, potensregning og likninger før oppstart med det egentlige pensum. Dettekan gjøres i form av et repetisjonskurs, for eksempel pa en uke før oppstart. Det er antagelig ikketid til a ta kapitlet sa nøye som ønskelig innenfor den ordinære framdriftsplanen.

Kapitlet er oppgavebasert. Oppgavene som er innbakt i teksten er det man bør bruke mest tidpa. Disse studeres best ved a regne samtidig som kapitlet leses. Du bør likevel prøve a forsta deforholdsvis fa og enkle utledningene som finnes i disse avsnittene. I praktisk matematikk er det badeenklere og sikrere a kunne utlede regler fra et forholdsvis beskjedent antall grunnregler, som du ersikker pa stemmer, enn a prøve a huske alle mulige formler du støter pa.

Hovedavsnitt 1.5 er litt mer teoretisk og gir noe av grunnlaget for og utdyping av regnereglene ioppgaveavsnittene. Strever du med oppgavene er det kanskje riktig a nedprioritere dette, ihvertfalli første omgang.

Kapitlet bruker leilighetsvis begrepene mengde, naturlige tall N, heltall Z, rasjonale tall Q og reelle tall R som

først behandles i kapittel 2.1. Dette avsnittet kan eventuelt leses først, men det byr nok ikke pa store problemer a

utsette det.

1.1 Polynomer

Hensikten med dette avsnittet er a trene i manipulasjon med polynomer. Dette inkluderer regningmed vanlige tall, som er spesialtilfeller av polynomer. Avsnitt 1.5.1 danner bakgrunn for regneregle-ne i 1.1.2 og 1.1.3. Den noe unaturlige rekkefølgen med teorien etter anvendelsene skyldes at fokuser pa regneteknikken i dette kapitlet.

1.1.1 Parentesbruk

Parentesen i regnestykket 10− (5+2) betyr at (5+ 2) skal behandles som et enkelt tall. Det betyrat parentesen skal regnes ut først, slik at 10− (5+2) = 10−7 = 3. En annen parentessetting gir etannet resultat: (10− 5) + 2 = 5 + 2 = 7. Med flere parenteser utenpa hverandre brukes ofte andreparentestyper (f.eks hakeparenteser) for a tydeliggjøre hvilke parentespar som hører sammen, mendet vil i liten grad bli brukt her. Som input i dataprogrammer brukes hakeparenteser nesten aldri

3

4 KAPITTEL 1. REPETISJON AV ALGEBRA

til dette formalet, de far gjerne tildelt andre betydninger. I uttrykk med flere parenteser regner viførst ut de innerste parentesene:

2 · (11− (5 + (4− 1))) = 2 · (11− (5 + 3)) = 2 · (11− 8) = 2 · 3 = 6

Regneoperasjonene i de fire regningsartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er iutgangspunktet definert for to og to tall. Lange uttrykk med slike utregninger skal da i prinsippetha parenteser som gjør at alle utregninger skal gjøres for to og to ledd. For eksempel kan summen1 + 2 + 3 + 4 + 5 skrives (((1 + 2) + 3) + 4) + 5 for a angi rekkefølgen vi regner ut dette:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (((1 + 2) + 3) + 4) + 5 = ((3 + 3) + 4) + 5 = (6 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

Dette er antagelig rekkefølgen du ville regnet ut denne summen pa ved hoderegning (”en plussto er tre pluss tre er seks pluss fire er. . .”). Om parentesene plasseres pa en annen mate i reg-nestykket over, for eksempel 1 + (((2 + 3) + 4) + 5), blir resultatet det samme. Vi sløyfer derforgjerne parentesene i dette tilfellet, og skriver summen uten parentes. Det er imidlertid aldri farliga skrive parentes selv om det ikke er helt nødvendig. Radet er: Vær raus med parentesene,og brukalltid parentes hvis du er i tvil om det er nødvendig. Dette gjelder kanskje i enda sterkere grad iprogrammering enn i matematikk.

I uttrykk uten parentes er det allment akseptert (konvensjonelt) at tolkningen skal være:

I lange uttrykk bygd opp av de fire regningsartene er regelen at vi utfører multiplikasjoner ogdivisjoner før addisjoner og subtraksjoner. Bortsett fra dette regner vi fra venstre.Endringer i denne rekkefølgen kan oppnas ved parentesbruk.

Skal vi regne ut 2 + 5 · 4 − 12/4 + 1 begynner vi med multiplikasjonen og divisjonen og forenklertil 2 + 20− 3+ 1. Deretter regner vi sammmen fra venstre: . . . = 22− 3+ 1 = 19+ 1 = 20. Ønskervi utføre addisjonen først, og divisjonen helt til slutt skriver vi

((2 + 5) · 4− 12)/4 = (7 · 4− 12)/4 = (28− 12)/4 = 16/4 = 4

For bokstavuttrykk (f.eks polynomer eller funksjonsuttrykk) gjelder de samme reglene. Vi kanda tenke oss at parentesen angir rekkefølgen vi skulle regnet ut uttrykket pa om vi satt inn tallfor bokstavene. En litt annen nyans er at om vi i bokstavuttrykk erstatter en bokstav med etsammensatt uttrykk vil vi i første omgang ha en parentes rundt dette. Hovedregelen over gjelderfortsatt, men i fortsettelsen far vi noen flere omformingsregler for parentesuttrykk med bokstaver1.

Oppgave 1.1 Regn ut:

a ) 2− 7 + 4 · 2 + 4 · 9/6 b) 2− (7 + 4 · 2) + 4 · 9/6c ) 2− (7 + 4) · 2 + 4 · 9/6 d) 2− (7 + 4) · (2 + 4) · 9/6

1.1.2 Manipulasjon av polynomer

Polynomer er utrykk som er bygd opp av tall og bokstaver sammen med operasjonene addisjon,subtraksjon og multiplikasjon. Bokstavene som inngar (eller som det er naturlig a tillate) kallerpolynomets variable. For eksempel er x2 − 3x + 1 et polynom i variablen x. Leddet x2 er ogsaframkommet ved multiplikasjon da det er en skrivemate for x · x.Eksempler pa polynomer i variablene a og b er 0, 7ab2 − 0, 1b+ 2, 4 og (a− b)(2a+ 3b).

1Det finnes ogsa andre mater a bruke parentes pa i denne boken. I avsnitt 1.4 skal vi representere ordnede par paformen (x, y), for eksempel (5,−3). Seinere skal vi ogsa se pa funksjonsuttrykk som for eksempel f(x) eller sin(x),der parentesen ogsa har en annen rolle enn her.

1.1. POLYNOMER 5

Tall kan oppfattes som spesialtilfeller av polynomer. Tallet 3 kan for eksempel betraktes som etpolynom i variablen x ved a skrive 3 = 3 + 0 · x.I polynomet 7x2 − 1

3x + 5 kalles addendene 7x2, − 13x og 5 polynomets ledd. Potensen variablen i

et ledd opphøyes i er leddets grad, slik at 7x2 har grad 2, − 13x har grad 1 og 5 har grad 0. Den

høyeste potensen som finnes pa leddene i polynomet kalles polynomets grad2. Polynomet i detteeksemplet er saledes av grad 2, et andregradspolynom.Tallene 7, − 1

2 og 5 som variablene multipliseres med kalles koeffisientene.Koeffisienten i leddet av høyeste grad, her 7, kalles ledekoeffisienten, og tallet 5 er konstantleddet.

Multiplikasjon av polynomer

De viktigste prinsippene for multiplikasjon mellom polynomer (eller parenteser), formuleres herverbalt. I avsnitt 1.5.1 finnes bakgrunnen for disse. Det som alltid er bakgrunnen for at noenomforminger er ”lovlige” er at uansett hvilken verdi vi setter inn for variablene far det opprinneligeog omformede polynomet samme verdi.

Produktet av to polynomer er summen av alle produktene med et ledd (en addend) fra første oget ledd fra andre faktor.

Eksempel

(a+ b)(2a− b+ 3) = a · 2a+ a · (−b) + a · 3 + b · 2a+ b · (−b) + b · 3Parentesen rundt −b presiserer at dette betraktes som et enkelt tall, men hovedgrunnen til a ha den med

er a unnga a forveksle produktet a(−b) med subtraksjonen a− b.

De tre første leddene er kombinasjonene med første ledd a fra første polynom og hvert av de treleddene i andre polynom. De tre siste leddene er andre ledd b multiplisert med hvert av leddene iandre polynom.Dette uttrykket kan sa pyntes videre med andre regler:

Hvis antallet faktorer med minus foran i et produkt er et oddetall kan alle minustegnene erstattesav en felles minus foran produktet.Hvis antallet faktorer med minus foran i et produkt er et partall kan minusene sløyfes.

Dette betyr for eksempel at (−2) · a · (−b) · c · (−d) = −2abcdI hovedeksemplet over kan vi sette minusen foran andre ledd, a · (−b), og nestsiste ledd b · (−b) veddenne regelen, siden de inneholder en (et oddetall) minus:

a · 2a+ a · (−b) + a · 3 + b · 2a+ b · (−b) + b · 3 = a · 2a− a · b+ a · 3 + b · 2a− b · b+ b · 3

Rekkefølgen pa faktorene i et produkt kan omorganiseres som du ønsker.Rekkefølgen pa addendene i en sum kan omorganiseres som du ønsker.

Vi kan ikke bytte om rekkefølgen i en differens, a − b �= b − a. Hvis vi betrakter minustegnetsom en del av leddet −b kan vi omorganisere ved a la minusen følge med som en del av leddet:a− b = a+ (−b) = (−b) + a = −b+ a.

Eksempel (forts.) Vi skriver a ·a kortere som a2 og b ·b som b2. Multiplikasjonstegn i produktersløyfes hvis dette ikke kan føre til misforstaelser. Ledd med samme bokstavkombinasjon samles ien naturlig rekkefølge (gjerne dalende eller økende potens). I eksemplet kan vi da fa omformingen:

a · 2a− a · b+ a · 3 + b · 2a− b · b + b · 3 = 2a2 − ab+ 2ab− b2 + 3a+ 3b2Hvis det er flere variable er summen av eksponentene til variablene i leddet leddets grad, og graden pa det eller

de leddene med høyest grad er polynomets grad. For eksempel er 0.7ab2 −0.1b+2.4 et 3. grads polynom i variablenea og b.


Hvis flere ledd i en addisjon har en faktor felles, kan denne settes utenfor en parentes somomfatter leddene uten denne faktoren.

Eksempel (forts.) I delen −ab + 2ab i eksemplet er ab felles faktor (hvis ab fjernes fra −abstar vi igjen med −1). Dette kan da skrives som ab(−1 + 2) = ab · 1 = ab. Ved a gjøre dennesammenslaingen kan utregningen i eksemplet oppsummeres til

(a+ b)(2a− b + 3) = 2a2 + ab− b2 + 3a+ 3b (1.1)

Omforminga i formel (1.1) skal forstas slik at uansett hvilke tall som settes inn for a og b vil likhetengjelde. Hvis vi for eksempel velger a = 3 og b = 4 blir venstresiden (3+4)(2 ·3−4+3) = 7 ·5 = 35.Høyresiden blir det samme: 2 · 32 + 3 · 4− 52 + 3 · 3 + 3 · 4 = 18 + 12− 16 + 9 + 12 = 35.

I praksis gjøres ofte flere av skrittene i eksemplet over i en og samme operasjon, sa utregningen blir

noe kortere. Det er imidlertid en fare at fristelsen er stor til a ta for mange skritt om gangen og padra

seg slurvefeil. Ikke minst er den neste omformingsregelen en hyppig feilkilde:

Hvis det star en minus foran en parentes kan parentesen fjernes samtidig som alle leddene iparentesen bytter fortegn.

Eksempel: a− (2a− 3b+ 4) = a− 2a+ 3b− 4 = −a+ 3b− 4.

Oppgave 1.2 Regn sammen polynomene :

a ) (x+ 1)(x+ 2) b) (x− 5)(x− 1)

c ) (2y + 1)(3y − 2) d) −(x+ 1)(x+ 2)

e ) (2x− 1)(x2 − x+ 2) f) (5x+ 1)(x2 + 2x− 3)

g ) (a+ b− 3)(a− b+ 2) h) (t− 1)(t− 2)(t− 3)

i ) (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1) j) (x+ 1)(x− 1)− (x+ 1)(x+ 1)

Oppgave 1.3 Sett inn a = 1− x og b = 2x i uttrykkene nedenfor, og regn sammen:

a ) (a+ b)(2a− b+ 3) b) 2a2 + ab− b2 + 3a+ 3b

Hvis du har regnet riktig vil du se at begge svarene i forrige oppgave er like. Uttrykkene er høyreog venstresiden i uttrykket i (1.1), svaret pa eksempelet i starten av dette avsnittet. Dette eret eksempel pa at ikke bare tall kan settes inn for bokstavene i disse utregningene, men ogsapolynomer.

Funksjonsuttrykk, som for eksempel√x eller 1/x, kan ogsa settes inn. A omforme funksjonsuttrykk

vil være en viktig anvendelse av regneteknikken fra dette kapitlet seinere i boken.

1.1.3 Kvadratsetningene

Oppgave 1.4 Begynn dette kapitlet med a regne sammen følgende polynomer (med metodenefra forrige underavsnitt):

1.1. POLYNOMER 7

a ) (a+ b)(a+ b) b) (a− b)(a− b) c) (a+ b)(a− b)

Produktet (a + b)(a + b) skrives vanligvis som (a + b)2, og (a − b)(a − b) som (a − b)2. Hvis duhar regnet oppgaven over riktig vil resultatet kunne oppsummeres i følgende setninger, som kalleskvadratsetningene:

Første kvadratsetning (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Andre kvadratsetning (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

Tredje kvadratsetning (a+ b)(a− b) = a2 − b2(1.2)

Tredje kvadratsetning kalles ogsa konjugatsetningen.

Setningene kan forstaes slik at ved a sette inn vilkarlige tall for a og b vil høyre- og venstresidenav likningene bli det samme tallet. Polynomer (eller funksjonsuttrykk) kan ogsa settes inn for a ogb, og da gir formlene mater a omforme et polynom (eller funksjonsuttrykk) pa.

Oppgave 1.5 Bruk kvadratsetningene til a regne sammen uttrykkene:

a ) (x+ 2)2 b) (t− 2)2 c) (y + 3)(y − 3)

d ) (x+ y)2 − (x− y)2 e) (2s+ 3t)2 f) (√x− 1)(

√x+ 1)

g ) (a+ (−b))2 (bruk første kvadratsetning! )

Kvadratsetningene bør læres. Ikke hovedsaklig fordi det gar litt raskere a sette inn i formelen enna regne det ut etter metoden i oppgaven over, men fordi du ofte trenger a bruke dem baklengs.Det vil si a skrive om polynomer fra utregnet form til produktform.

Faktorisering

Vi ønsker ofte a omforme polynomer den omvendte vegen av det som er gjort tidligere. For eksempelkan vi ønske a skrive x2 + 4x + 4 som (x + 2)2, noe som vi ser ma være riktig fra a–oppgavenover. Dette kalles a faktorisere polynomet. Teknikken er ikke sa automatisk som a regne sammenkvadratet. Først ma du finne et kvadrat som skal erstatte a2, og dermed a, i en av formlene i (1.2)(dette vil ofte være leddet x2, som i dette eksemplet). Deretter finner du ut hva som skal tilsvare2ab (dette vil ofte være leddet som inneholder x i første potens, dvs. 4x i eksemplet). Siden vina har bestemt a kan 2a settes utenfor 2ab–leddet, og b bestemmes (med fortegn). I eksemplet er4x = 2x · 2, sa b = 2 (og det passer ”heldigvis” med at b2 = 4).

Oppgave 1.6 Polynomene nedenfor tilsvarer høyresiden i en av kvadratsetningen ved pas-sende valg av a og b. Faktoriser polynomene.

a ) x2 + 2x+ 1 b) x2 − 4x+ 4 c) x2 − 16

d ) 4t2 + 24t+ 36 e) y2 + 6xy + 9x2 f) 8√x+ x+ 16

I disse oppgaven gikk faktoriseringen greit da uttrykkene passet akkurat inn i mønsteret til kvadrat-

setningene. En metode som kalles utfylling av kvadratet utvider denne framgangsmaten til a kunne

faktorisere generelle andregradspolynomer (komplekse tall ma tillates for at alle andregradspolyno-

mer skal kunne faktoriseres). Utledningen av løsningsformelen for andregradslikningen pa side 27 er

et eksempel pa bruk av denne teknikken.


1.2 Brøkregning

Dette hovedavsnittet handler om brøkregning. Siden det er regneteknikken som skal oppøves skalkalkulator ikke brukes pa oppgavene. Svarene skal normal gies pa brøkform, ikke som desimaltall.Avsnitt 1.5.2 gir noe mer bakgrunn for regnereglene i dette avsnittet.

Med brøk menes et uttrykk pa formen ab (som ogsa kan skrives a/b). Størrelsene a og b kan

være tall, polynomer eller funksjonsuttrykk. a kalles brøkens teller og b kalles brøkens nevner.Nevneren kan ikke være 0.Brøker pa formen a

1 kan settes lik a, og brøken aa = 1 for alle a �= 0.

Hvis a og b er heltall kalles brøken et rasjonalt tall.

1.2.1 Addisjon, multiplikasjon og forkorting av brøker

Regnereglene for brøk bygger pa hovedregelen (1.4) for multiplikasjon og (1.5) for addisjon.

Multiplikasjon av brøker

Et heltall multipliseres med en brøk ved a multiplisere tallet inn i telleren:

Multiplikasjon mellom heltall og brøk :

c · ab=

ac

b(1.3)

To brøker multipliseres ved a multiplisere teller med teller og nevner med nevner:

Multiplikasjon av brøker:a

b· c

d=

ac

bd(1.4)

Ved a skrive heltallet c som c1 er regel (1.3) et spesialtilfelle av regel (1.4)

En konsekvens av denne regelen er forkortningsregelen for brøker. Hvis teller og nevner inneholderen felles faktor, kan denne forkortes bort. Det vil si:

ac

bc=

a

b

Utregningen under følger fra multiplikasjonsregelen, og det at cc = 1.

a

b=

a

b· 1 = a

b· cc=

a c

b c

Siden likhetstegn er symmetrisk (a = b betyr det samme som b = a) er det gyldig a gjøre denneutregningen fra høyre mot venstre, og da har vi forkortningsregelen.

Oppgave 1.7 Skriv brøkene sa enkelt som mulig. Det vil si med (maksimum) en brøkstrek,og uten felles faktor i teller og nevner.

a ) 12· 13

b) 35· 53

c)p

q· qp

d ) 6 · 49

e)3514

f)55x11x

g )15xy10xz

h)(x− 1)2

(x− 1)(x+ 1)i) x2 + 2x+ 1

x2 − 1

1.2. BRøKREGNING 9

Addisjon av brøker

Hvis nevneren er lik i to brøker som skal adderes, adderes tellerne mens fellesnevneren beholdes:

Addisjon av brøker med samme nevner:

a

b+

c

b=

a+ c

b(1.5)

Hvis nevneren er forskjellig kan det ordnes slik at nevnerne blir like før det adderes. Siden dd = b

b = 1kan brøkene multipliseres med disse uten a endres. Derfor gjelder følgende omforming:

a

b+

c

d=

a

b· dd+

c

d· bb=

ad

bd+

cb

db

Na er nevnerene like (siden bd = db), og addisjonsregel (1.5) kan brukes. Resultatet kan oppsum-meres i den generelle addisjonsregelen

a

b+

c

d=

ad+ bc

bd(1.6)

Hvis nevnerne har en felles faktor greier det seg a multiplisere teller og nevner med et mindre tallfor a oppna samme nevner i brøkene (fellesnevner):

710

+815

=7

5 · 2 +8

5 · 3 =7

5 · 2 ·33+

85 · 3 ·

22=

7 · 35 · 2 · 3 +

8 · 25 · 3 · 2 =

2130

+1630

=3730

Det vil ikke bli feil om du ordner fellesnevneren til 10 · 15 = 150, du kan i sa fall forkorte med 5 tilslutt. Det er likevel vanligvis enklere a regne med lavere tall underveis.

Subtraksjon av brøker. Vi har at −ab = −a

b , og subtraksjon kan faes fra addisjonsformelen veda flytte minusen opp i telleren:

35− 5

3=

35+−53

=3 · 3 + 5 · (−5)

5 · 3 = −1615

Oppgave 1.8 Skriv brøkene sa enkelt som mulig. Det vil si med (maksimum) en brøkstrek,og uten felles faktor i teller og nevner.

a ) 79+

29

b) 12+

13

c) 12− 1

3

d )112

+518

+16

e) 2 +38

f)1

9xy− 1

6yz

g ) x+ 13

− x+ 24

h)1

x− 1− x− 1

2i)

p

q

(p

q+

q

p

)

Oppsplitting av brøker

Ofte er vi interessert i a omforme den motsatte vegen av a sette pa felles brøkstrek. Det vil si atvi ønsker a splitte opp en brøk som en sum eller et produkt av to eller flere brøker. Som eksempelvises oppsplitting av brøken

(2x3 − 6x2 + 8x

) /(4x):

2x3 − 6x2 + 8x4x

=2x3

4x+−6x2

4x+

8x4x


Her er summeregelen brukt motsatt, adderes leddene pa høyresiden sammen faes brøken pa venst-residen. Noen forkortinger kan na gjøres i hvert ledd:

2x3

4x+−6x2

4x+

8x4x

=x2

2+−3x2

+21

Dette er et polynom, og en standardmate a skrive polynomer pa er med koeffisientene pa brøkform,med monomene utenfor brøkstreken. I brøker foretrekkes ogsa ofte at bade teller og nevner erpositive, sa minusen settes foran i andre ledd:

2x3 − 6x2 + 8x4x

=x2

2+−3x2

+21=

12x2 − 3

2x+ 2

De siste omformingene er egentlig multiplikasjonsregelen brukt omvendt. For det første leddet kandette presiseres slik:

x2

2=

1 · x2

2 · 1 =12· x

2

1=

12x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Advarsel: Fra reglene over kan du greit omforme x+y

2til x

2+ y

2. Hvis summen derimot finnes i

nevneren, som i 2x+y

finnes ingen omformingsregel. En vanlig og alvorlig feil er a omforme dette til2x

+ 2y

. Du ser at dette er helt feil ved a prøve a sette inn noen tall. Hvis omformingen var riktig ville

svarene da blitt like. Hvis du setter inn x = 1 og y = 1 er første brøk 21+1

= 1, mens andre brøk er21

+ 21

= 4.Denne innsettingsmaten er ofte nyttig for a sjekke om en omforming er gal. Hvis utrykkene blirforskjellige, er den det. Hvis utrykkene blir like kan du likevel ikke være sikker pa om omformingen erriktig. Likhet kan tilfeldigvis gjelde for de tallene du har valgt uten a gjelde generelt.

Studenter som gjør omformingsfeil av denne typen spør av og til: ”Hvorfor har jeg ikke lov til a gjøre

dette?”. A gi et moteksempel som det over er et svar. Generelt bør likevel svaret være: ”Spørsmalet er

galt stilt. I matematikk ma du spørre deg selv om hvorfor du har lov til a gjøre ting”. Dette ma du

besvare ved a tilbakeføre omformingen til regler du vet er riktige (som for eksempel multiplikasjons-

og addisjonsreglene (1.4) og (1.5)). Noen ganger ser du dette lett, andre ganger trengs en utledning.

Klarer du ikke dette kan ”den nye regelen” heller ikke brukes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgave 1.9 Gjør, om mulig, en naturlig oppspalting av følgende brøker som en sum avenklere brøker. Skriv resultatet sa enkelt som mulig.

a ) x+ 1x

b)x

x+ 1

c )3x1 + 5x2 + 2x3 + x4

11d) (a+ b)(a− b)

ab

1.2.2 Brudden brøk

Vi kan ha brøker der teller og nevner selv er brøker. Det er da viktig a holde orden pa hva somer hovedbrøkstreken. Det er ikke likegyldig om 8/4/2 tolkes som 8/4

2 = 22 = 1 (som er riktig, i

følge konvensjonen om a regne fra venstre) eller 84/2 = 8

2 = 4. Uttrykkene over og under hoved-brøkstreken kalles fortsatt brøkens teller og nevner, mens tellerne og nevnerne i brøkene som inngarover og under hovedbrøkstreken kalles smanevnere og smatellere. Brudne brøker kan omformes tilutrykk med bare en (hoved)brøkstrek. Metoden baserer seg pa at teller og nevner multipliseresmed smanevnerne, og dermed kan disse forkortes bort. Dette illustreres i følgende eksempel:

2375

=2375

· 33· 55=

23 · 3 · 575 · 3 · 5

=2 · 57 · 3 =

1021

1.3. POTENSREGNING 11

Metoden oppsummeres gjerne i følgende form:

En brudden brøk forenkles ved a flytte smanevneren i telleren ned i nevneren, og smanevneren inevneren opp i telleren:

a/b

c/d=

a · dc · b (1.7)

Oppgave 1.10 Skriv som ubrudne brøker:

a ) 2/34

b)11/2

c)2/52/5

d )15/425/6

e)1

1/xf)

s/2t/3

g )12 − 1

312 + 1

3

h)12x+ 1x+ 1

2

i)12x

2 − 16x+ 1

3

6

j )1

1x + 1

y

k)1/31/4

16

l)a/2b/5

1/a1/b

1.3 Potensregning

1.3.1 Potenser med fast grunntall

Med heltall mener vi tallene { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }, mens positive heltall er tallene { 1, 2, 3, 4, . . . }. Rasjo-

nale tall er alle tall som kan skrives som brøker m/n mellom heltall. Reelle tall er alle tall som kan skrives

som desimaltall, eventuelt med uendelig mange desimaler. Dette skal presiseres litt mer i neste kapittel,

men denne definisjonen klarer seg foreløbig.

Heltallspotenser

For n > 0, et positivt heltall, og a et reelt tall er an definert som

an def= a · a · · · · · a︸︷︷︸n faktorer

(1.8)

For eksempel er 93 = 9 · 9 · 9 = 729.

Spesialtilfellet a1 = a regnes som en del av denne definisjonen.

I potensen an, kalles a grunntallet, og n kalles eksponenten.

For to positive heltall n og m følger da:

an · am = (a · a · · ·a)︸︷︷︸n faktorer

· (a · a · a · · · a)︸︷︷︸m faktorer

= a · a · · · a · a · a · a · · · a︸︷︷︸n +m faktorer

= an+m

Ved a droppe prikkene · · · faes spesialtilfellet n = 3, m = 4.

Dette gir en hovedregel for potensregning:

am · an = am+n (1.9)


Vi skal na utvide definisjonen av potenser til n = 0 og n negativt heltall. En viktig motivasjonfor maten a gjøre dette pa er at vi ønsker at multiplikasjonsregelen (1.9) fortsatt skal gjelde. Datvinger følgende omforminger fram definisjonene av a0 og a−n:

a1 = a1+0 = a1 · a0 = a · a0. Derfor ma vi sette a0 = 1

1 = a0 = an−n = an+(−n) = an · a−n. Derfor ma vi sette a−n =1an

a) a0 = 1 (a �= 0)

b) a−n =1an

(a �= 0)(1.10)

Det er ikke sa vanskelig a sjekke at regel 1.9 gjelder alle heltall m og n med disse definisjonene. Det

gjennomføres ikke her.

Oppgave 1.11 Fyll ut (uten kalkulator) verdiene av 2n i tabellen nedenfor.

n −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 8 102n

Toerpotensene er ofte viktige i datasammenheng. De er blant annet sentrale i kapittel 3.2.

Ordet kilo betyr egentlig tusen, men i datasammenheng betyr det gjerne 210. En kilobyte er

ikke nøyaktig 1000 bytes, men derimot 1024 bytes. En megabyte betyr en million bytes, men er

egentlig 220 = 1048576 bytes.

Oppgave 1.12 Fyll ut (uten kalkulator) verdiene av 10n i tabellen nedenfor. Bruk desimaltall.

n −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 410n

Oppgave 1.13 Regn ut (−1)0, (−1)1, (−1)2, (−1)3 og (−1)4.Multiplikasjon med (−1)n brukes som et ”triks” for a fa til ledd med alternerende fortegn i

matematiske formler og dataprogrambiter.

Brøkpotenser

For vilkarlige heltall m og positive heltall n kan vi bruke regel (1.9) n ganger og far

(am)n = am · am · · · am︸︷︷︸n faktorer

regel (1.9)= am+m+···+m = am·n

Vi kan pa liknenede mate sjekke at denne regelen ogsa gjelder for n = 0 og n < 0. Dette er ogsaen grunnlegende potensregneregel:

( am )n = am ·n (1.11)

Vi skal na utvide definisjonen av potenser til brøker x = m/n, og denne utvidelsen er motivert avat vi ønsker at regel 1.11 fortsatt skal gjelde. Vi begynner med x = 1/n, som vi setter inn for m idenne regelen. Da tvinger følgende definisjon seg fram:(

a1/n)n

= a1n ·n = a1 = a. Derfor ma vi sette a1/n = n

√a


Vi definerer n√a som det positive tallet som oppfyller ( n

√a)n = a. Vi forutsetter at a er positiv, og

da eksisterer det et entydig positivt reellt tall som oppfyller dette.

Ved isteden a erstatte m med m/n i regel 1.11 far vi følgende definisjon:(am/n

)n

= amn ·n = am Derfor ma vi sette am/n = n

√am

En alternativ mate a bruke regel 1.11, sammne med at vi na har definert a1/n = n√a tvinger fram

et annet uttrykk for am/n:(am/n

)n

= a1n ·m =

(a

1n

)m

Derfor ma vi sette am/n =(

n√a)m

Skal det derfor i det hele tatt være mulig a gjøre denne utvidelsen med disse reglene intakt ma deto uttrykkene for am/n være like, dvs. at n

√am = ( n

√a)m for alle positive tall a, og alle heltall m

og n. Dette er tilfellet, selv om vi ikke viser det her.

Det er ogsa slik at reglene 1.9 og 1.11 fortsatt gjelder om vi erstatter m og n med vilkarlige brøker.Dette trenger en egen sjekk, som ikke taes med her.

Vi oppsummerer til følgende definisjoner:

a) a1/n = n√a

b) am/n = n√am

c) am/n = ( n√a)m

(1.12)

Ved a bruke de to definisjonene for am/n kan for eksempel 272/3 regnes ut regnes ut pa to mater.Enten ved a skrive 272/3 = 3

√729 = 9 (siden 93 = 729), eller (noe enklere hoderegning) ved a skrive

272/3 =(

3√27

)2= 32 = 9. At svarene er like er en konsekvens at det er en gyldig regneregel at de

to definisjonene av am/n er like.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

For at vi skal være sikre pa at alle reglene over gjelder ma vi anta at grunntallet a er positivt, og atax er positiv for alle rasjonale tall x. Vi kan tillate negative verdier av a om eksponenten er et heltall(ogsa negative), men vi kan ikke ha a = 0 for negativ eksponent siden 0−n = 1/0n = 1/0 ikke gar an.00 er er et ubestemt uttrykk: 0n = 0 skulle tilsi at 00 = 0, mens a0 = 1 skulle tilsi at 00 = 1. Det ertryggest a la 00 forbli udefinert.

For brøker i eksponenten kan ikke negative verdier av a tillates. For det første er ikke√−1 noe reelt

tall. Selv om det finnes negative ”tredjerøtter” av negative tall, fører det til selvmotsigelser a brukedisse i potensregningen, som følgende eksempel viser:(−1)1/3 = 3

√−1 = −1 (siden (−1)3 = −1). Samtidig er (−1)1/3 = (−1)2/6 = 6√

(−1)2 = 6√

1 = 1. Det

er selvmotsigende a ha at (−1)1/3 er bade −1 og 1, sa (−1)1/3 bør forbli udefinert.

For positive tall a har vi(√

a)2

=(a1/2

)2= a. Dette gjelder ikke negative tall:

√(−2)2 =

√4 = 2. Det

som alltid gjelder er√x2 = |x|, der |x| er absoluttverdien til x. Absoluttverdien er det ikke–negative

tallet vi far om vi stryker en eventuell minus foran tallet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgave 1.14 Regn ut følgende potenser, uten kalkulator:

a ) 32 b) 33 c) 34

d ) 62 e) 63 f) 64

g ) 161/2 h) 161/4 i) 163/4


j ) 16−1/2 k) 163/2 l) 16−3/2

m) a2 · a4 n) 10r+1 · 101−r o) 7r+3/7r+1

p ) 6√9 3√9 q)

(25

)−1 r)(21/2

)4

s )(√

8)4

t)√84 u)

(5√

2)√

2

v ) 272112−14 w) 3936

312x)

3√1024

6√217

Tierpotensene , som det ble regnet ut noen av i oppgave 1.12, er grunnelementene i desimaltall-systemet. For eksempel kan 235.6 skrives som 2 ·102+3 ·102+5 ·100+5 ·10−1. En bruk av disse er askrive store eller sma tall pa en mer oversiktlig mate: 7000000000000 = 7 ·1000000000000 = 7 ·1012.En alternativ standard for a skrive desimaltalltall er med et siffer �= 0 foran komma, og med entierpotens som sier hvor langt desimalpunkumet3 skal flyttes mot høyre eller venstre: 2.345 · 105 =234500 og 2.345 · 10−3 = 0.002345. Dette skrives ofte med bokstaven E (for eksponent): 234500 =2.345E5, og kalles teknisk notasjon. Representasjonen av desimaltall internt i datamaskiner følgeret liknende prinsipp (bortsett fra at da er grunntallet (en potens av) 2 istedenfor 10).

Oppgave 1.15 Regn sammen tallene under, uten bruk av kalkulator.

a )(2 · 102

) · (5 · 103)

b) 8 · 107 · 5 · 10−6 c)(2 · 102

)3

d )(4.5 · 109

) · (4.0 · 10−6)

e) 25000000 · 0.000004f ) 0.0005 · 0.00002 g) 8.45E12 · 2.00E-9

1.3.2 Potenser med fast eksponent

I reglene over, for eksempel multiplikasjonsregelen (1.9), var grunntallet (a) det samme pa beggesider av likhetstegnet. Vi har ogsa en viktig og grunnleggende multiplikasjonsregel med forskjelligegrunntall, men samme eksponent. Her begrunnes den først for positive heltall, før vi (uten bevis)setter den opp som en generell regel:

(a · b)n = (ab) · (ab) · · · (ab)︸︷︷︸n faktorer

= a · a · · ·a︸︷︷︸n faktorer

· b · b · · · b︸︷︷︸n faktorer

= an · bn

ax · bx = (a · b)x (1.13)

Følgende er et eksempel der eksponenten x = 1/2 ikke er et heltall, men hvor du likevel kan se atresultatet stemmer:

6 =√36 =

√4 · 9 = (4 · 9)1/2 = 41/291/2 =

√4√9 = 2 · 3

Her følger en liste pa noen flere regler du bør kjenne. De er kanskje lettest a huske som spesialtilfellerav reglene tidligere i dette avsnittet:

3Jeg har valgt a bruke amerikansk notasjon med desimalpunktum herfra og i resten av boken, framfor norsknotasjon med desimalkomma. Dette skyldes dels at det er mest vanlig i dataprogrammer, og dels at det er enklerenar vi skal skrive par av desimaltall, som f.eks. (7.3 , 4.9).


a)ax

ay= ax−y

b)ax

bx=

(a

b

)x

c) n√a · n

√b = n

√ab

d)n√a

n√b

= n

√a

b

(1.14)

En bruk av (1.14c) er a skrive√12 pa formen

√12 =

√4 · 3 = √4√3 = 2

√3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Advarsel: Det er ingen enkel omformingsregel om vi bytter ut multiplikasjon med addisjon pa en avsidene i formel (1.13). Spesielt finnes ingen forenkling av uttrykket

√x+ y. Du ma unnga den vanlige

feilen a omforme dette til√x+

√y. Hvis vi setter inn x = 9 og y = 16 er

√x+ y =

√9 + 16 = 5, mens√

x+√y =

√9 +

√16 = 3 + 4 = 7. Dette er sterkt beslektet med tilfellet i kommentaren pa side 10.

Det finnes heller ingen enkel omformingsregel for ax ·by , nar bade grunntall og eksponent er forskjellige.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgave 1.16 Gjør, om mulig, ”naturlige omforminger” av potensuttrykkene (uten kalku-lator):

a ) a3 · b3 b) 2n · 3n c) 263 ·(

113

)3

d ) (2x)3 e)√81 · 16 f)

√9x4

g )√8√2 h)

√x2/25 i) 41/321/3

j ) 3√x8/

3√8x2 k) 4

√x/8 l) 3

√19x+

23

m )√

a2 + 4b2 n)√

x2 + 2x+ 1 o)√

x2 + 9x4

Oppgave 1.17 Regel (1.14c) far vi slik:

n√a · n√b = a1/nb1/n regel (1.13)

= (ab)1/n = n√ab

Utled reglene (1.14a), (1.14b) og (1.14d) pa tilsvarende mate.

I brøker anses det gjerne for ryddigere a unnga rotuttrykk i nevneren. Her er et eksempel pa enomforming for a fa til dette:

1√3=

1√3·√3√3=

√3(√3)2 =

√33

Oppgave 1.18 Omform til brøker uten rottegn i nevner:

a )1√2

b)√x− 1√x+ 1

c)13√2

d )√2− 1√2 + 1

Hint: Multipliser med√

2 − 1 i teller og nevner.


1.4 Likninger

Dette hovedavsnittet tar for seg lineære likninger i en og to variable, og andregradslikninger. Detinneholder ogsa litt om likninger for rette linjer og parabler, og tegning av disse i et kartesiskkoordinatsystem (xy–planet).Noe mer teori om likninger finnes i avsnitt 1.5.3

Samlingen av alle løsninger av en likning4 (eller et likningssystem) skal vi kalle løsningsmengden.To likninger (eller likningssystemer) som har samme løsningsmengde kalles ekvivalente, og kanbindes sammen med tegnet ⇐⇒ .

Nar likninger skal løses er metoden vanligvis a omforme likningene til en form der vi direkte kanse hva løsningsmengden ma være.Et viktig prinsipp for omforming av likninger er at om samme operasjon utføres pa begge sider avlikhetstegnet vil alle løsninger i den opprinnelige likningen ogsa være løsninger i den omformedelikningen. Hvis det ogsa finnes en operasjon som kan utføres pa begge sider i den nye likningen slikat den blir omformet til den opprinnnelige likningen har de samme løsningsmengde.

1.4.1 Førstegradslikninger

En likning (med x som ukjent) som kan ordnes til formen ax+ b = 0 (der a �= 0) kalles en lineær likning

med en ukjent, eller kort bare en førstegradslikning. Et eksempel er 2x − 8 = 0. En løsning er et tall som

nar det settes inn for den ukjente x, gjør at venstresiden (her 2x− 8) og høyresiden (her 0) er samme tall.

I dette tilfellet er dette x = 4 siden 2 · 4 − 8 = 0. Nar dette tallet er funnet sier vi at likningen er løst med

hensyn pa x.

Eksempel Løsning av likningen 2x − 3 = 5 kan starte med a addere tallet 3 til begge sider avlikhetstegnet:

2x− 3 = 5 ⇐⇒ 2x− 3 + 3 = 5 + 3 ⇐⇒ 2x = 8

Denne operasjonen kan reverseres (ved a subtrahere 3 fra begge sider av likningen 2x = 8), sa detomformede likningssystemet har samme løsningsmengde.Denne operasjonen beskrives vanligvis som

Et ledd i en likning kan flyttes over pa motsatt side av likhetstegnet ved a bytte fortegn paleddet. Løsningsmengden endres ikke ved denne operasjonen.

Vi kan fortsette med a dividere begge sider av likhetstegnet med tallet 2 :

2x = 8 ⇐⇒ 2x · 12= 8 · 1

2⇐⇒ x = 4

Siden denne operasjonen kan reverseres (ved a multiplisere begge sider av likningen x = 4 med 2)er likningene ekvivalente. Denne operasjonen kan vi generelt beskrive slik:

Et tall forskjellig fra 0 kan multipliseres eller divideres pa begge sider av likningen.Løsningsmengden endres ikke ved denne operasjonen.

Det har na framkommet en likning der x star alene pa den ene siden av likhetstegnet. I dennelikningen ser vi direkte at det er 4 vi ma sette inn for x for at begge sider av likhetstegnet skal fasamme verdi. Ved innsetting i den opprinnelige likningen er venstresiden 2 · 4− 3 = 5, som er detsamme som tallet pa høyresiden.

4Utgangspunktet her er at leseren vet hva likninger og løsninger er, ihvertfall i tilstrekkelig grad til a følgeframstillingen videre. Jeg tar derfor ikke med noen detaljert og formell forklaring pa dette. Tilsvarende utgangspunkttaes ogsa flere ganger seinere, blant annet i dette hovedavsnittet nar vi tar i bruk kartesisk koordinatsystem (xy-planet)

1.4. LIKNINGER 17

Oppgave 1.19 Løs likningene under med hensyn pa x:

a ) 3x− 2 = 13 b) 6x− 5 = 3

c ) 2x+ 1 = x− 1 d) 4x+ 5 = 3(1− x)

e ) x− 0.5 = 0.7 f) x = 0.75x+ 0.50

g ) 5x− 12=

13

h) 13x+ 4 = 2

i )x

2+ 1 =

x

3− 1 j) x− 1

4=

x+ 36

k )2x=

12

l)2

x+ 3=

3x+ 1

Likninger med parametre

I mange situasjoner kan det være naturlig eller hensiktsmessig a kalle den ukjente noe annet ennx. Hvis likningen i eksemplet over dreide seg om en problemstilling der tiden skulle finnes for eteller annet ville vi kallt den ukjente t, og skrevet likningen 2t− 3 = 5 med løsning t = 4.I mange problemstillinger inngar andre bokstaver enn den ukjente. Disse bokstavene behandlespa samme mate som de kjente tallene, og kalles parametre. Løsningen(e) vil da ogsa (vanligvis)inneholde parametrene. Likningen 2x − 4t = 1 har løsning x = 2t + 1

2 om x er den ukjente ogt en parameter. Dette kan tolkes som at uansett hvilket tall vi setter inn for t i likningen sa farvi løsningen ved a sette dette tallet inn for t i formelen x = 2t + 1

2 . Det er viktig a vite hvilkenbokstav som er den ukjente, t kan ogsa være ukjent i likningen 2x− 4t = 1 . Den kan da løses medhensyn pa t og ha løsningen t = 1

2x− 14 .

Oppgave 1.20 Løs likningene under med hensyn pa variabelen som star til slutt. Angi ogsaeventuelle begrensninger pa hva parameteren kan være for at løsningen skal gjelde.

a ) x− t = 1, x b) x− t = 1, t

c ) µ− σ = 1, σ d) x+ 2y = 8, x

e ) kx+ l = 0, x f) ax+ by = c, y

g ) p(p+ q) = 1, q h) xy = 1, x

1.4.2 Lineære likninger med to ukjente

Likning for en rett linje

En likning pa formen x + 2y = 8, eller mer generelt ax + by = c, kalles en lineær likning medto ukjente (dvs. de ukjente er x og y). Løsninger av denne vil besta av bade en x–verdi og eny–verdi. Vi skriver derfor en løsning som et ordnet tallpar (x, y). Samtlige av slike løsninger kallesløsningsmengden. For eksempel er (2, 3) og (6, 1) begge i løsningsmengden til x + 2y = 8, sideninnsetting av x = 2 og y = 3 gir venstresiden 2 + 2 · 3 = 8, og x = 6, y = 1 gir 6 + 2 · 1 = 8. Detfinnes uendelig mange slike tallpar som oppfyller denne likningen, sa alle kan ikke listes opp. Detsom kan gjøres er a tegne dem inn i et koordinatsystem, og de vil da sammen danne en rett linje.Den er selvfølgelig uendelig lang, og har tykkelse 0, men vi ma nøye oss med a tegne et passendeutsnitt, som i figur 1.1. Løsningene (2, 3) og (1, 6) er markert som store prikker.


✉✉

❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍

✲

✻

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

3

4

5

x

y

Figur 1.1: Løsningsmengden til x+ 2y = 8

Hvis b �= 0 kan likningen ax+ by = c omformes til y = −ab x+ c

b (jfr. oppgave 1.20f). Ved a erstatte−ab med k og c

b med l blir da likningen pa formen

y = kx+ l .

For eksempel kan likningen x+ 2y = 8 omformes til y = −12 x+ 8

2 ⇐⇒ y = − 12 x+ 4.

Velges en verdi for x er det bare ett par (x, y) med denne x–verdien som er løsning. Velges f.eks.x = 4 i eksemplet over ma y være y = 1

2 · 4+ 4 = 6. Ved a se pa figur 1.1 far vi bektreftet at (4, 2)ligger i løsningsmengden.

Om x velges lik 0 faes et punkt pa y–aksen. Generelt har vi da at y = k · 0 + l = l. Dermed kankonstantleddet l tolkes geometrisk som skjæring med y–aksen.

Differensen mellom y–verdien i et punkt med x–koordinat x0 og punktet som har x–koordinatx0 − 1, det vil si punktet 1 til venstre for det første, er

[kx0 + l]− [k(x0 − 1) + l] = kx0 + l − kx0 + k − l = k

Konstanten k kan dermed tolkes som hvor mye y–verdien øker om x økes med 1. Dette betyr at k eret mal for hvor bratt kurven er, og kalles stigningskoeffisienten. Mer generelt har vi at om x verdienendres med et tall ∆x, og den tilsvarende økning i y–verdien kalles ∆y er stigningskoeffisientenk = ∆y

∆x .

Oppgave 1.21 Skisser løsningsmengden, og finn likningene pa formen y = kx+ l for linjenemed følgende egenskaper:

a ) Stigningskoeffisienten er 2, og skjæring med y–aksen er y = −3.b ) Stigningskoeffisenten er 2, og skjæring med x–aksen er x = −3.c ) Stigningskoeffisienten er 2

3 , og linja gar gjennom punktet (4, 2).

d ) Linja skjærer y–aksen i y = 1, og gar dessuten gjennom punktet (3, 7).

e ) Linja er parallell med x–aksen, og skjærer y–aksen i y = 5.

f ) Linja er løsningsmengden av likningen 2x− 3y = 2.

1.4. LIKNINGER 19

2x− 3y = 2

x+ 2y = 8

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑

✑✑✑

✲

✻

x

y

Figur 1.2: Løsningsmengden til likningsystemet x+ 2y = 8, 2x− 3y = 2

Vertikale linjer kan ikke skrives pa formen y = kx + l. De kan derimot skrives som for eksempelx = 3. Dette kan oppfattes som spesialtilfelle av formen ax+ by = c, med a = 1, b = 0 og c = 3.

Et likningssystem av to lineære likninger med to ukjente et for eksempel

x + 2y = 82x − 3y = 2

Det eller de parene (x, y) som tilfredstiller begge likningene kalles likningssystemets løsningsmengde.Det er som oftest bare ett tallpar som oppfyller dette, og i sa fall sier man at likningssystemet harentydig løsning. Ved a tegne begge løsningsmengdene som linjer i et koordinatsystem vil denneløsningen være skjæringspunktet mellom disse linjene. I figur 1.2 er dette gjort for likningene ieksemplet, og det kan leses av firguren at (4, 6) er den entydige løsningen. Dette kalles grafiskløsning av likningssystemet.

En regnemessig (analytisk) mate a løse slike likninger pa er ved innsettingsmetoden, som herillustreres ved eksemplet:Først løser vi den ene likningen med hensyn pa den ene ukjente. Likning og ukjent er fritt valgt,her velges x i den første likningen:

x+ 2y = 8 ⇐⇒ x = −2y + 8

Dette settes sa inn i den andre likningen ved at x erstattes med y–uttrykket for x, slik at detteblir en likning med en ukjent (y)

2 · (−2y + 8)− 3y = 2 ⇐⇒ −4y + 16− 3y = 2 ⇐⇒ −7y = −14 ⇐⇒ y = 2

y–verdien i løsningen er na funet, og denne settes inn i en av likningene for a finne x, for eksempeli den første:

x+ 2 · 2 = 8 ⇐⇒ x = 4

Dermed er løsningen x = 4, y = 2, som ogsa kan skrives (4, 2). Dette er den samme løsningen somble funnet grafisk.

Oppgave 1.22 Løs likningssystemene bade grafisk og ved innsettingsmetoden:


a )x + y = 5x − y = 1 . b)

3x + y = 37x − 3y = 7 .

c )y = 2x− 5y = 3x− 9 . d)

y = 23x− 1

32x = 7 .

e ) x − 2y = 0−2x + 4y = 0 . f) x − 2y = 0

−2x + 4y = 4 .

I de to siste deloppgavene brøt innsettingsmetoden sammen. Grafisk løsning viser hva som skjedde:I det ene likningssystemet falt linjene oppa hverandre. Det vil si at alle de uendelig mange løsningenei den ene likningen ogsa er løsninger i den andre, sa det er uendelig mange løsninger. Egentlig er det”samme likning”, multipliseres x − 2y = 0 med −2 pa begge sider av likhetstegnet blir resultatet−2x+ 4y = 0.I det andre systemet er linjene parallelle, og har ingen skjæring. Likningssystemet har ingenløsninger. Dette kalles ogsa et selvmotsigende likningssystem.

I kapittel 8 skal vi se pa en alternativ løsningsmetode, kallt Gausseliminasjon. Gausseliminasjon er

bedre hvis det er flere ukjente, og til a hanskes med varianter som ingen eller uendelig mange løsninger,

og forskjellig antall ukjente og likninger. Gausseliminasjon er ogsa enklere a programmere i datasprak.

Eksempel De ukjente behøver selvfølgelig ikke kalles x og y. Her er et eksempel der x og yinngar, men de er ikke de ukjente i likningene som skal løses:Koeffisientene k og l i likningen y = k x+ l for linja gjennom punktene (1, 3) og (4, 4) skal bestem-mes.For at punktet (1, 3) skal ligge pa linja ma disse passe inn i y = k x + l: 3 = k · 1 + l. Tilsvarendegir punktet (4, 4) likningen 4 = k · 4 + l. Dermed er det to likninger med k og l som ukjente:

k + l = 34k + l = 4

Første likning gir l = 3 − k, som settes inn i andre likning: 4k + 3 − k = 4 ⇐⇒ k = 13 . Dette

settes sa inn i første likning: 13 + l = 3 ⇐⇒ l = 8

3 .Det vil si at likningen for linja er

y =13x+

83

som ogsa kan skrives 3y − x = 8 .

Oppgave 1.23a ) Finn en likning for linja gjennom punktene (2, 5) og (4, 3).b ) Finn en likning for linja gjennom punktene (0,−4) og (2, 0).c ) Finn en formel for k og l (uttrykt ved hjelp av x0, y0, x1 og y1) for linja gjennom punktene

(x0, y0) og (x1, y1).d ) Vis at likningen for linja gjennom punktene (x0, y0) og (x1, y1) kan skrives

y − y0 =y1 − y0

x1 − x0(x− x0)

Her er x og y kalt de ukjente, siden vi har et ”likningsperpektiv” pa linjene. Seinere vil dette sees fra

et ”funksjonsperspektiv”, og da er det naturlig a kalle x og y variablene.

Her er koordinataksene kalt x–aksen og y–aksen. Vi kan selvfølgelig ha andre navn pa variablene,

og ma skifte navn pa aksene deretter. Et navn pa x–aksen som ikke referer til variabelnavnet er

abscisseaksen, og 1. aksen brukes av noen. Tilsvarende navn pa y–aksen er ordinataksen, eller 2.

aksen.

1.4. LIKNINGER 21

1.4.3 Andregradslikninger

En likning som kan ordnes til formen ax2+bx+c = 0, med x som ukjent, kalles en andregradslikning.

Hvis likningen er pa faktorisert form, for eksempel (x − 2)(x− 3) = 0, kan løsningen sees direkte.Et produkt er 0 nar en av faktorene er 0, ikke ellers.Det vil si (x− 2)(x− 3) = 0 nar x− 2 = 0 eller x− 3 = 0. Løsningen er dermed x = 2 eller x = 3.Dette formuleres ogsa som at løsningsmengden er { 2 , 3 }.Løsningene av andregradslikninger (og generelt likninger pa formen p(x) = 0 der p(x) er et poly-nom) kalles røtter. En annengradslikning kan ha ingen, en eller to røtter blant de reelle tallene.

Oppgave 1.24 Løs andre- og tredjegradslikningene

a ) (x− 1)(x+ 3) = 0 b) (x+ 7)2 = 0

c ) (x− 1)(x− 3)(x− 4) = 0 d) x2 − 52 = 0

e ) x(x2 − 4) = 0 f) x2 + 2x+ 1 = 0

Hvis polynomet ikke er faktorisert er i prinsippet framgangsmaten a begynne med a faktoriseredet. Dette er imidlertid gjort en gang for alle for andregradsfunksjonen. Det er utledet en formelfor røttene (se side 27 i avsnitt 1.5.3):

Andregradslikningen ax2 + bx+ c = 0 har røttene

−b+√b2 − 4ac2a

og−b−√b2 − 4ac

2a(1.15)

Eksempel: I likningen x2 − 5x+ 6 = 0 er a = 1, b = −5 og c = 6, sa den ene roten er

−(−5) + √(−5)2 − 4 · 1 · 62 · 1 =

5 +√25− 242

=5 +

√1

2=

5 + 12

= 3.

Litt mindre omstendelig regnet er den andre roten

−(−5)−√(−5)2 − 4 · 1 · 62 · 1 =

5−√12

= 2.

Løsningsmengden er altsa { 2 , 3 }, den samme som i eksemplet i starten av avsnittet. Dette skyldesat om vi regner sammen har vi (x− 2)(x− 3) = x2 − 5x+ 6.

Siden det bare er et fortegnsskille et sted i formelen for de to røttene skrives dette gjerne pa enmer kompakt form som

−b±√b2 − 4ac2a

der tegnet ± leses ”pluss eller minus”.

Hvis det b2−4ac < 0 er det under rottegnet negativt, og vi har ingen reelle røtter5. Hvis b2−4ac = 0smelter de to røttene sammen til en rot. I mange sammenhenger kalles denne da en dobbel rot, elleren rot av multiplisitet 2.

5Men tillater vi komplekse tall har vi to komplekse røtter. Derfor brukes helst formuleringen ”ingen reelle røtter”,og ikke bare ”ingen røtter”.


✉

✉✉ ✉ ✲

✻

x

y

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

Figur 1.3: Parabelen med likning y = x2 − 5x+ 6

Hvis b2−4ac ikke er et kvadrattall, som i likningen x2−x−1 = 0 med røtter(1±√1 + 4

)/2, kan

røttene ikke skrives som brøker mellom heltall. Vi har da to muligheter: Eksakt form, der rottegnetbevares, eller ved hjelp av kalkulator a regne ut røttene tilnærmet som desimaltall, med sa mangedesimaler som situasjonen krever:

Løsning av x2 − x− 1 = 0 pa eksakt form:{

1+√

52 , 1−√

52

}

Løsning av x2 − x− 1 = 0 pa desimalform: { 1.6180 , −0.6180 }

Behold røttene pa eksakt form hvis det ikke er noen spesiell grunn til a ha dem pa desimalform. Alle

oppgavene i dette avsnittet skal løses uten kalkulator, og da er det nesten nødvendig a bruke eksakt

form.

Oppgave 1.25 Løs likningene med hensyn pa x

a ) x2 − 4x− 5 = 0 b) 2x2 − 3x+ 1 = 0 c) x2 − 2x− 1 = 0

d ) x2 − 9 = 0 e) x2 − 2x = 0 f) x2 − 2x+ 1 = 0

g ) x2 − 2x+ 2 = 0 h) x2 + 2rx+ s = 0 i) x2 = 8x− 15

j ) (x+ 1)(x− 3) = 5 k)1x=

x

1− xl) x2 + 2rx+ s = 0

En likning pa formen y = ax2+bx+c, for eksempel y = x2−5x+6, har en uendelig løsningsmengdeav par (x, y). For eksempel er (0, 6), (1, 2), (2, 0) og (3, 0) alle løsninger i eksemplet. Ved a tegneløsningsmengden inn i xy–planet vil enhver slik likning gi en kurvetype som kalles parabel. I figur 1.3er parabelen for y = x2 − 5x+ 6 tegnet inn.

Parabelens skjæringspunkt med y–aksen har x–koordinat 0. y–koordinaten finnes da ved a setteinn x = 0, og konstantleddet c = 6 blir staende igjen.

1.5. LITT BAKGRUNN OG UTDYPING 23

Skjæringspunktene med x–aksen betyr at y-koordinaten er 0, sa disse finnes ved a løse andregrads-likningen x2 − 5x+ 6 = 0 (som ovenfor ble regnet ut til 3 og 4).At annengradslikningen ikke har noen løsninger svarer til at parabelen i sin helhet ligger over ellerunder x–aksen. En (dobbel) rot tilsvarer at den akkurat tangerer x–aksen.

Alle parabler har samme form, bortsett fra at de kan være forstørret eller forminsket, dreid ellerparallellforskjøvet. Hvis ledekoeffisienten a > 0 apner parabelen seg oppover, hvis a < 0 apner denseg nedover. Med utgangspunkt i dette kan man tegne en brukbar parabel ved bare a kjenne noenfa punkter pa den (3 punkter er i prinsippet nok). Dette er en teknikk man bør lære seg.

Oppgave 1.26 Finn skjæringspunktene med koordinataksene og skisser parablene gitt vedlikningene under. Tegn tre og tre i samme koordinatsystem.

a ) y =12x2 b) y = x2 c) y = 2x2

d ) y = −x2 e) y = 1− x2 f) y = 4− x2

g ) y = (x + 1)2 h) y = (x − 1)2 i) y = x2 − 4x+ 4

j ) y = x2 − 4x− 5 k) y = 2x2 − 5x+ 2 l) y = x2 − 2x+ 2

1.5 Litt bakgrunn og utdyping

I dette hovedavsnittet behandles noe av teorien for de foregaende avsnittene grundigere. Det er ikkestrengt nøødvendig a ga gjennom dette for a lære seg regneteknikken i de avsnittene.

1.5.1 Aksiomer for addisjon, subtraksjon og multiplikasjon

I dette avsnittet behandles noe av teorien som ligger til grunn for de algebraiske omformingene ihovedavsnitt 1.1

De grunnleggende regnereglene for +, − og · kan oppsummeres i følgende liste, som vi tar somutgangspunkt:

Grunnregler for addisjon og multiplikasjon:

a) Kommutativitet a+ b = b+ ab) Kommutativitet a · b = b · ac) Assosiativitet (a+ b) + c = a+ (b+ c)d) Assosiativitet (a · b) · c = a · (b · c)e) Distributivitet a · (b + c) = a · b+ a · cf ) Eksistens av 0 a+ 0 = ag) Eksistens av 1 a · 1 = ah) Eksistens av − For hver a finnes en b slik at a+ b = 0

(1.16)

Andre vanlige regneregler som kun omhandler addisjon, subtraksjon og multiplikasjon (som i av-snittene foran) kan finnes ved gjentatt bruk av disse reglene. For eksempel kan tre gangers brukav distributiviteten (1.16e) lede til følgende omforming:

(a+ b)(c+ d) = (a+ b)c+ (a+ b)d = (ac+ bc) + (ad+ bd) = ac+ ad+ bc+ bd

(Kommutativitet og assosiativitet er ogsa brukt i denne omformingen.)

Reglene kan oppfattes som regler for bruk av +, − og · for tall. De leses slik at uansett hvilke talldu setter inn for a, b og c skal likhetene gjelde. Hvis du for eksempel setter inn a = 5, b = 2 og


c = 7 i distributiviteten (1.16e) vil utregning av venstre side være 5 · (2 + 7) = 5 · 9 = 45, mensutregning av høyre side er 5 · 2 + 5 · 7 = 10 + 35 = 45.

Polynomer i seg selv vil ogsa oppfylle disse grunnreglene. Dermed er det ogsa lov a erstatte bok-stavene a, b og c med polynomer. Bade grunnreglene, og regler utledet fra disse (for eksempelkvadratsetningene) vil dermed gjelde ogsa for polynomer. Det samme gjelder funksjoner.

Reglene (1.16a og b), som kalles kommutativitet sier i praksis at rekkefølgen er likegyldig i addisjonog multiplikasjon. Det er ikke noen komplisert utledning som trengs for a generalisere til lengresummer og produkter (som at 3 · 7 · 2 = 3 · 7 · 3 eller 1 + 2 + 3 + 4 = 3 + 1 + 4 + 2).Subtraksjon og divisjon er derimot ikke kommutative. For eksempel er 7 − 3 �= 3 − 7.

Reglene (1.16c og d) som kalles assosiativitet medfører at parenteser er unødvendige i lange summereller produkt. Det kan entydig skrives 3 + 7 + 2, da resultatet blir det samme om det tolkes som(3+7)+2 (= 10+2 = 12), eller som 3+(7+2) (= 3+9 = 12). Det tilsvarende med multiplikasjon,3 · 7 · 2 = 42 uansett om det tolkes som (3 · 7) · 2 eller 3 · (7 · 2).Subtraksjon og divisjon er ikke assosiative. Du bør for eksempel unnga a skrive 24/12/2. Dette tolkes

vanligvis som (24/12)/2 = 2/2 = 1, men kan lett feiltolkes som 24/(12/2) = 24/6 = 4.

Regelen (1.16e), som kalles distributivitet forteller hvordan et tall eller uttrykk multipliseres inn i enparentes. Dette er dermed den viktigste regelen for a utvikle teknikken for a multiplisere sammenpolynomer.

Reglene (1.16f og g) ”definerer” tallene 0 og 1 som ”enheter” for addisjon og multiplikasjon.

Regelen ( (1.16h) ”definerer” minus. Tallet b som oppfyller a + b = 0, og som denne regelen sierfinnes, er det som vanligvis kalles −a. Subtraksjonen c−a kan da defineres som addisjonen c+(−a).Her listes opp noen flere regneregler som forholdsvis enkelt utledes fra de grunnleggende reglene(1.16):

a) (a+ b)c = ac+ bcb) a (b1 + b2 + · · ·+ bn) = ab1 + ab2 + · · ·abn

c) a(b− c) = ab− acd) a · 0 = 0e) (−a)b = −abf) (−a)(−b) = ab

(1.17)

Til slutt i dette avsnittet kommer noen kommentarer som utdyper temaet ytterligere6:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En fellesbetegnelse pa alle mengder som oppfyller grunnreglene (1.16) er en (kommutativ) ring, og

disse reglene kalles aksiomene for ringer. Alle utregningene i de forrige avsnittene, og reglene i (1.17)

vil dermed være riktig om elementer fra en ring settes inn for bokstavene.

Heltallene Z, de rasjonale tallene Q og de reelle tallene R er eksempler pa ringer. De naturlige tallene

N oppfyller ikke (1.16h), sa regler basert pa minus vil ofte gi resultater der svaret ikke er i N.

Mengden av alle polynomer i x (eller i en annen bestemt mengde variable) er ogsa eksempler pa en

ring.

Funksjoner7 oppfyller ogsa disse reglene. Fuksjonsuttrykk kan dermed settes inn for a, b og c i (1.16),

og i alle omformingene fra de foregaende avsnittene.

I kapitlet om lineær algebra støter du pa (kvadratiske) matriser, der +, − og · er definert, men

kommutativiteten for multiplikasjon (regel 1.16c) gjelder ikke generelt for disse. For matriser kan

6For en fullstendig redegjørelse trenger man selvfølgelig en bok med høyere ambisjonsniva enn denne. Pa biblio-teket kan dere starte med a søke pa algebra, eventuelt med søkeordet ring i tillegg. Aktuelle bøker har ofte tittelsom likner elementary algebra eller algebraic structures

7Mer presist: Mengden av alle funksjoner fra en mengde A inn i en ring R, danner en ring. Addisjon og mul-tiplikasjon mellom to funksjoner f og g er da definert ut fra hva funksjonsverdien blir for en vilkarlig x ∈ A:(f + g)(x) = f(x) + g(x) og (f · g)(x) = f(x)g(x)


du dermed ikke uten videre bruke alle reglene i dette hovedavsnittet. (Kvadratiske matriser danner

derimot noe som kalles en ”ikke–kommutativ ring”.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Grunnreglene pa side 23 danner grunnlaget for manipulasjon med polynomer og oppløsning av paren-teser. Her følger et eksempel der en slik omforming er gjort i detalj. Du velger selv om du ønsker asette seg inn i eksemplet.

Regelen a · 0 = 0 er velkjent, men finnes ikke blant aksiomene. Her skal denne utledes:Fra (1.16f) er 1 + 0 = 1, og dermed 0 + 1 = 1 fra kommutativiteten (1.16a). Fra (1.16g) er a · 1 = 1, savi kan skrive a = a · 1 = a · (0 + 1). Fra distributiviteten (1.16e) er a · (0 + 1) = a · 0 + a · 1 = a · 0 + a.Dermed er a = a · 0 + a. Vi kan sa addere −a (som finnes fra (1.16h)) til begge sider av likhetstegnetog far a+ (−a) = (a · (−0)) + a) + (−a). Venstresiden av uttrykket er 0, fra (1.16h), og parentesene pahøyresiden kan flyttes ved assosiativiteten (1.16c). Dette gir da 0 = a·0+(a+(−a)). Siden a+(−a) = 0fra (1.16h) far vi da 0 = a · 0 + 0, som til slutt, ved hjelp av (1.16f) gir 0 = a · 0, som var det somskulle vises.

Denne typen omstendelige omforminger er selvfølgelig gjort av mange andre tidligere, og den jevne

matematikkbruker nøyer seg vanligvis med a akseptere at dette gar an. Hvis du har tid og lyst kan

du jo selv prøve et par eksempler selv, f.eks a vise at (−1) · a = −a, eller at (−1) · (−1) = 1. Det gar

ogsa an a prøve a multiplisere ut (x+ 1)(x+ 2) bare ved bruk av aksiomene (og det at 2 + 1 = 3, som

nærmest er a regne som en definisjon av tallet 3, etter at 2 er definert som 1 + 1.).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2 Bakgrunn for brøkregningen

I dette avsnittet behandles noe av teorien som ligger til grunn for brøkregning og divisjon i hoved-avsnitt 1.2

I grunnskolen forklares gjerne brøken 1/b som ”antallet” kakestykker hvert barn far om b barndeler en kake likt. Mer matematisk kan vi definere tallet x = 1/b som det tallet8 vi ma multipliseremed b far a fa svaret 1:

b · x = 1 def⇐⇒ x = 1/b (1.18)

Denne definisjonen gjør at x = 1/b ogsa er definert for andre tall enn heltall (x ma nestennødvendigvis bli noe annet enn et heltall).En annen skrivemate for 1/b er b−1.

Definisjonen forklarer ogsa hvorfor nevneren b ikke kan være 0. Hvis x = 1/0 ville vi hatt 0 ·x = 1,men siden 0 · x = 0 er dette umulig.

Hvis det forutsettes at x og b er innenfor et tallsystem som oppfyller regnereglene i forrige hoved-avsnitt om polynomer følger resten av brøkregningsreglene.

For eksempel følger det na fra definisjonen og regneregler for multiplikasjon at

(b · d) ·(1b· 1d

)=

(b · 1

b

)·(d · 1

d

)= 1 · 1 = 1

Siden (bd) · ( 1b · 1

d

)= 1 gir definisjonen (1.18) (der b er erstattet med bd og x med 1

b · 1d ) produkt-

regelen1b· 1d=

1bd

Naiv definisjon av brøken a/b er størrelsen pa all kaken et barn far om det blir tildelt a stykker aven kake som er delt i b like deler.Matematisk kan na brøken a/b defineres som produktet a · 1/b:

8hvis et slikt tall eksisterer, se kommentar pa side 26


a

b

Def= a · b−1 der b−1 er definert som tallet som oppfyller b · b−1 = 1 (1.19)

Multiplikasjonsregelen for brøker kan da utledes slik:

a

b· cd= (a · 1

b) · (c · 1

d) = (ac) ·

(1b· 1d

)= (ac) ·

(1bd

)=

ac

bd

Oppgave 1.27 Bruk definisjonen (1.19) og regneregler for produkt og addisjon til a utledesummeformelen

a

b+

c

b=

a+ c

b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Forutsetningene for at definisjonen (1.18) av b−1 skal virke er at det faktisk finnes et tall x slik atbx = 1. En ring (dvs. et tallsystem som oppfyller regnereglene pa side 23) der dette er oppfyllt for alleb �= 0 kalles en kropp. Det kan da bare finnes et tall som oppfyller dette, fordi

xb = 1 og b−1b = 1 ⇒ x = x · 1 = x · (b−1 · b) = b−1 · (x · b) = b−1 · 1 = b−1 ⇒ x = b−1

De hele tallene er ingen kropp, da f.eks. 2 · x = 1 ikke har noen løsning som er et heltall (1/2 er ikkeet heltall).

Der rasjonale og reelle tallene (Q og R) er kropper. Det er ogsa mengden av alle rasjonale funksjoner,

det vil si alle brøker der teller og nevner er polynomer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.3 Likninger

I dette avsnittet behandles noe av teorien som ligger til grunn for løsning av likninger i hovedav-snitt 1.4

Prinsipper for løsning av likninger

Her brukes notasjonen (skrivematen) VS(x) = HS(x) for a betegne likninger med x som ukjent.VS(x) og HS(x) betyr da uttrykk som inneholder (eller kan inneholde) x. Et tall i løsningsmengdenløsning kalles x0, slik at VS(x0) og HS(x0) er de samme tallene9.

Gjør vi samme operasjon (for eksempel adderer eller multipliserer et tall, eller kvadrerer) beggesidene i en likning VS1(x) = HS1(x) far vi en ny likning VS2(x) = HS2(x). Hvis VS1(x0) = HS1(x0)ma da ogsa VS2(x0) = HS2(x0), siden vi har gjort samme operasjon pa det samme tallet. Dettemedfører at løsninger i VS1(x) = HS1(x) ogsa er løsninger i VS2(x) = HS2(x). Dette forholdetskriver vi VS1(x) = HS1(x)⇒ VS1(x) = HS1(x).

Det kan imidlertid hende at likningen VS2(x) = HS2(x) har løsninger som ikke er løsninger iVS1(x) = HS1(x) (falske løsninger). Dette kommer av at tall som opprinnelig er forskjellige kan blilike etter a ha gjort en opersasjon pa dem. For eksempel er −2 �= 2, men (−2)2 = 22. Et ekstremteksempel pa dette er om vi multipliserer begge sider med 0 blir den nye likningen 0 = 0, som kantolkes som likningen 0x = 0. Her kan alle tall settes inn for x a fa likhet, men alle tall var antageligikke løsning i den opprinnelige likningen.

Hvis det finnes en operasjon vi kan gjøre pa begge sider av VS2(x) = HS2(x) for a komme tilbaketil VS1(x) = HS1(x) vil imidlertid argumentet snues, slik at alle løsninger i VS2(x) = HS2(x) ogsaer løsninger i VS1(x) = HS1(x). Da har vi ikke falske løsninger, den nye likningen har nøyaktig

9Hvis likningen inneholder parametre er de uttrykk i parametrene som er like (eventuelt etter en omforming)


de samme løsningene som den opprinnelige. Da kan vi skrive VS1(x) = HS1(x) ⇐⇒ VS2(x) =HS2(x).

Eksempler pa operasjoner som kan ga fram og tilbake pa denne maten er a addere samme talltil begge sider (ved a subtrahere tallet omformes likningen tilbake) og multiplikasjon med et tallforskjellig fra 0 (ved a dividere med tallet omformes likningen tilbake).

Multiplikasjon med 0 kan ikke reverseres, da vi ikke kan dividere med 0. Kvadrering kan heller ikkereverseres da

√a2 ikke generelt er a,

√a2 = −a hvis a < 0. Kvadrering brukes likevel i en del typer

likninger som inneholder kvadratrøtter. Det vi da ma gjøre er a ga tilbake a sjekke alle løsningeneav den nye likningen ved innsetting i den opprinnelige likningen. Pa den maten kan vi luke vekk defalske løsningen. Et eksempel pa dette er likningen x =

√2− x. Det er naturlig a kvadrere begge

sider og fa x2 = 2− x som har løsningene x = 1 og x = −2. Innsetting i den første likningen viserat bare x = 1 av disse er løsning, x = −2 er en falsk løsning.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Den samme typen resonering kan brukes far a innse at algebraiske omforminger av en av sidene (foreksempel bruk av kvadratsetninger den ene eller andre vegen) ikke endrer løsningsmengden.

Argumentasjonen kan ogsa brukes for likningsystemer med flere ukjente, og for eksempel begrun-ne innsettingsmetoden (man trenger noe omforming for a se at metoden kan reverseres na vi harførstegradslikninger).

Det kan ogsa være aktuelt a addere begge sider av en likning med venstre- og høyresiden av en annen

likning som ogsa har den søkte løsningen som løsning. Dette er problemfritt, og mye brukt nar vi har

likningssystemer (de enkelte likningene i likningssystemet kan adderes for a fa nye, enklere likninger).

Vi ma passe oss litt om vi multipliserer eller dividerer med en likning, for da risiker vi uforvarende

a multiplisere eller dividere med 0. I praksis ser dette ofte ut som a multiplisere begge sider av

likhetstegnet med samme uttrykk (som inneholder x). Denne vil ha alle x, deriblant de ekte løsningene,

som løsning. Faren er at dette kan reduseres til 0 = 0 nar vi setter inn (ekte eller falske) løsninger.

Om vi starter a løse likningen x2 = x med a dividere med x = x far vi x = 1, som er en løsning. Men

vi har mistet den andre løsningen, x = 0. For denne verdien har vi gjort den ulovlige operasjonen a

dividere med 0. Nar vi dividerer med uttrykk i x ma vi ga tilbake a sjekke spesielt i den opprinnelige

likningen de verdiene som gjør dette uttrykket lik 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Utledning av løsningsformel for 2. gradslikning

Vi er ute etter en løsning for ax2 + bx + c = 0, men framstillinga blir litt mer oversiktlig om vistarter med a løse x2 + 2rx+ s = 0. Metoden baserer seg pa a faktorisere dette ved først a addereog subrahere r2. Da vil de to første leddene sammen med r2 danne et fullstendig kvadrat:

x2 + 2rx+ s = x2 + 2rx+ r2 − r2 + s = (x2 + 2rx+ r2)− (r2 − s)

Pa første ledd bruker vi første kvadratsetning baklengs (med a = x og b = r). For a fa reell løsningma r2 − s > 0, og i sa fall er r2 − s =

(√r2 − s

)2:

(x2 + 2rx+ r2)− (r2 − s) = (x+ r)2 −(√

r2 − s)2

Dette kan sa faktoriseres ved a bruke tredje kvadratsetning baklengs (med a = x + r og b =√r2 − s):

(x+ r)2 −(√

r2 − s)2

=((x+ r) +

√r2 − s

)((x+ r) −

√r2 − s

)=

=(x+ (r +

√r2 − s)

)(x+ (r −

√r2 − s)

)


Na er polynomet faktorisert, og x2 + 2rx+ s = 0 nar faktorene er 0:

x+ (r +√

r2 − s) = 0 ⇐⇒ x = −(r +√

r2 − s) eller

x+ (r −√

r2 − s) = 0 ⇐⇒ x = −(r −√

r2 − s)

De to røttene kan da skrives −r −√r2 − s og −r +√r2 − s, som kan samles til

−r ±√

r2 − s

For a løse ax2 + bx+ c = 0, der det forutsettes at a �= 0, starter vi med a dividere med a:

ax2 + bx+ c = 0 ⇐⇒ x2 +b

ax+

c

a= 0

Dette er pa formen x2 + 2rx + s hvis vi setter s = ca og 2r = b

a ⇔ r = b2a . Vi far derfor løsningen

ved a plugge dette inn for r og s i løsningen av x2 + 2rx+ s = 0.

−r ±√

r2 − s = − b

2a±

√(b

2a

)2

− c

a

Dette er en løsningsformel, men vi kan pynte litt pa uttrykket:

. . . = − b

2a±

√b2

4a2− 4ac

4a2= − b

2a±√b2 − 4ac√4a2

=−b±√b2 − 4ac

2a

Det siste er løsningsformelen som skulle finnes.

Kapittel 2

Mengder og funksjoner

2.1 Mengder

Dette hovedavsnittet behandles begrepet mengde, og en del begreper knyttet til dette. TallmengdeneN, Z, Q og R far ogsa en uformell definisjon. Avsnittet er i hovedsak etablering av et ”sprak”,viktige begreper som brukes bade i resten av boken og i matematikk generelt. Siktemalet er a fa entilstrekkelig praktisk forstaelse av disse begrepene til praktisk bruk i denne boken. For en grundigerebehandling av mengdebegrepet, og problemer rundt dette henvises til annen litteratur1.

2.1.1 Mengder

Omtrent alt vi snakker om i matematikken kan plasseres i basen mengder. Vi har for eksempelmengder av tall, mengder av punkter, mengder av geometriske figurer og mengder av funksjoner.En mengde er en samling enkeltobjekter som vi kaller elementer. Vi kan samle nesten hva somhelst til mengder. For a beskrive (angi) en mengde ma vi gjøre det klart hva den bestar av, det vilsi hva dens elementer er.

Listeform.

Et eksempel pa en mengde er ”primtallene mindre enn 20”, som vi kan liste opp slik:

{ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 }Klammeparenteser (mengdeparenteser) angir at det mellom disse er en beskrivelse av hva elemen-tene i mengden er. Hvis mengden bestar av fa elementer kan vi liste opp alle elementene som idette eksemplet. Dette kalles a skrive mengden pa listeform.Mengder behøver ikke ha matematiske objekter som elementer. Vi har for eksempel mengden2 avfarger i ”RGB-systemet”, som brukes mye ved fargerepresentrasjon i datasammenheng:

RGB = { red , green , blue }1Kompendiet ”Emner fra diskret matematikk” av Hans Engenes (HiG 1998) anbefales for en grundigere behand-

ling av mengdelære og logikk. Der finnes ogsa oppgaver til temaene i dette avsnittet.

2Skal dette tilfredstille kravet til a være definert som en mengde ma det presiseres en del. Er for eksempel ombla ∈ RGB? Svaret kan avhenge av om anvendelsen er slik at vi vil tenke pa dette som en mengde av farger, eller enmengde av navn pa farger som et dataprogram kan forsta. Vanligvis er det det siste, i HTML kan vi fa bla bakgrunnved a skrive <BODY BGCOLOR="blue">, mens HTML ikke vil forsta <BODY BGCOLOR="bla">. I denne sammenhengenvil vi kunne presisere elementet blue som alt vi kan sette inn, og fa fargen bla som resultat. Dermed er bla �∈ RGB,mens #0000FF ∈ RGB

29

30 KAPITTEL 2. MENGDER OG FUNKSJONER

Hvis vi har et rimelig greit system (som vi kan forutsette leseren forstar) kan vi angi slike mengdermed mange elementer, ved hjelp av prikkene . . . . Disse kalles ellipser, og angir at det skal sta noeder som ”alle” forstar hva er. For eksempel kan vi angi mengden av bokstaver i det norske alfabetetslik:

{ a , b , c , . . . , æ , ø , a } .

Dette kan ogsa brukes pa mengder med uendelig mange elementer. Vi kan skrive mengden av allede uendelig mange partallene slik:

{ 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . } .

Mengdebeskrivelse.

Istedenfor a liste opp elementene kan vi gi en beskrivelse av mengdene inni mengdeparentesen.Dette kan for eksempel være med ord:

{ ”Grunnfarger i RGB–systemet” . }

Mengden av alle løsningene (røttene) til likningen x2 − 5x+ 6 = 0 skriver vi slik:{x |x2 − 5x+ 6 = 0

}(denne mengden kan ogsa skrives pa listeform som {−2 , 3 }).{x | . . . }, kan vi lese som ”de x som oppfyller betingelsene . . .”.

Hvis mengden, som over, er alle løsningene til en likning kalles den løsningsmengden til likningen.Spesielt for likninger og likningssystemer med flere løsninger er det hensiktsmessig a skrive (ogtenke pa) løsningene som en mengde.

Notasjon for mengder og elementer.

Hvis vi skal angi at noe er et element i en mengde bruker vi tegnet ∈ (som er en slags forkrøplet”e” for ”element”). For eksempel kan vi skrive

3 ∈ { 1, 2, 3, 4, 5 } .

At noe ikke er element i en mengde skriver vi slik:

0 �∈ { 1, 2, 3, 4, 5 } .

Vi bruker ofte store bokstaver som navn pa mengder, for eksempel A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Tilsvarendebruker vi sma bokstaver for elementer i mengder, a = 3 og a ∈ A.

I mengdebeskrivelser med { x | . . . } ma vi, hvis det ikke er opplagt fra sammenhengen, presisere engrunnmengde x–ene kan være i. Hvis grunnmengden er heltallene Z = { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, er

A ={x ∈ Z | 2x2 − 3x+ 1 = 0

}= { 2 }

Tallet 1/2 oppfyller ogsa likningen, men er ikke element i A siden dette ikke er med i grunnmengdenZ.

Delmengder

En mengde A kalles en delmengde av B hvis alle elementene i A ogsa er elementer i B, og detteskriver vi A ⊂ B. At noe ikke er delmengde skriver vi A �⊂ B. For eksempel har vi

{ 4 , 6 } ⊂ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } mens { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } �⊂ { 4 , 6 }

2.1. MENGDER 31

At to mengder A og B er like betyr at de inneholder de samme elementene, og dette skriver viselvfølgelig A = B. En annen mate a si dette pa er at vi har bade A ⊂ B og B ⊂ A. Det er altsahvilke elementer som inngar som bestemmer om de er like, ikke hvordan de er bekrevet. Et pareksempler pa dette:

{ 2 , 3 } = {x |x2 − 5x+ 6 = 0

}og { 1 , 2 , 3 } = { 3 , 1 , 3 , 2 } .

Den tomme mengden.

Vi tillater ogsa en mengde som ikke inneholder noen elementer. Denne kaller vi den tomme meng-den, og betegner den med symbolet ∅. For eksempel er

{x |x > 5 og x < 3 } = ∅ .

Denne brukes blant annet til a oppgi løsningsmengden til likninger som ikke har noen løsning. Hvisvi begrenser oss til mulige løsninger blant de reelle tallene R (R forklares nærmere i neste avsnitt)finnes ingen tall slik at x2 + 1 = 0, sa{

x ∈ R |x2 + 1 = 0}= ∅ .

2.1.2 Tall

Forskjellige mengder av tall star sentralt i matematikken. Vi skal her gi navn til de viktigstetallmengdene som brukes i dette heftet (og som sporadisk allerede er brukt tidligere i denne boken):

De naturlige tall er de (uendelig mange) tallene vi har til disposisjon nar vi teller, og betegnesN. Dette er de første tallene vi lærer som barn, og de første tallene menneskeheten kjente til.

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } (2.1)

Det kan diskuteres ”hvor naturlig” det er a ha med tallet 0 i denne mengden. Historisk er tallet 0 en

forholdsvis ny oppfinnelse, og vi begynner vanligvis ikke a telle fra 0. Det varierer fra bok til bok om

0 regnes som et naturlig tall. Her velger vi altsa a ta med tallet 0 blant de naturlige tall.

De hele tall. I første klasse pa barneskolen lærte du kanskje at subtraksjonen 3 − 5 ikke garan. Dette var fordi tall da betydde naturlige tall. Nar du ble litt eldre kunne du plutselig regneut 3 − 5 = −2 likevel, for da ble tallsystemet utvidet med negative tall. Dette tallsystemet kallesheltallene, og betegnes Z:

Z = { . . . , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . } (2.2)

Vi har at N ⊂ Z.

De rasjonale tall. Neste utvidelse av tallsystemet kom i forbindelse med divisjon. Det gar greitmed divisjonen 6 : 2 = 3 innenfor de hele tallene, men for divisjonen 7 : 3 fikk vi svaret 2 med 1som rest. Etterhvert lærte vi oss a oppfatte dette tallet som et vanlig tall. Har man 7 boller (ogen kniv) gar det fint an a dele dette likt pa tre barn. Det antall boller hvert barn da far kaller vi7/3. Noen ganger skrives dette som ”blandet tall” 2 1

3 , men det vil ikke bli brukt her pa grunn avfaren for sammenblanding med produktet 2 · 1

3 = 23 . Mengden av alle brøker mellom heltall kaller

vi de rasjonale tall. Den betegnes med Q :

Q ={ a

b| a ∈ Z og b ∈ Z og b �= 0

}(2.3)

Vi har som kjent en flertydighet i skrivematen, siden for eksempel 4/6 = 6/9. Forkorter vi sa myesom mulig og krever at nevneren skal være positiv blir skrivematen entydig.Ved a skrive heltallet z som brøken z/1 far vi Z ⊂ Q.


De reelle tall. De reelle tallene betegnes R. En presis definisjon av disse er langt utenfor ambi-sjonene i denne boken. Vi nøyer oss med forstaelsen av disse som alle tallene som kan skrives somdesimaltall, eller som alle tallene pa tallinja:

R = { x |x kan skrives som desimaltall } (2.4)

I prinsippet trenger vi i uendelig mange desimaler.

Mange viktige tall (for eksempel√2 og π) kan ikke skrives som brøker av heltall, sa vi har Q �= R.

Ved a utføre divisjonen kan vi derimot skrive alle rasjonale tall som desimaltall. For eksempel er1/8 = 0.1250000 . . . og 145/6 = 24.16666 . . .. Vi kan derfor si at Q ⊂ R.

Tallinjen er en geometrisk illustrasjon (og anvendelse) av tallene. Tallene er markert som antydeti figuren langs en linje. Vi tenker oss at tallinjen er uendelig lang og har tykkelse 0, og at punktenehar bredde 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

π 6.64−5/3 √2

Brøkene kommer helt tett pa tallinjen. For eksempel vil alle tall som kan skrives som a/1000 kommemed mellomrom pa en tusendel. Uansett hvor lite intervall vi velger ut er det mulig a finne uendeligmange rasjonale tall i dette. Det kan derfor se ut som vi kan fylle opp tallinjen med rasjonale tall.Dette er altsa ikke er tilfellet. Tallet

√2, som geometrisk kan oppfattes som lengden av diagonalen

i et kvadrat med sider 1, eller tallet π, som er lengden av en sirkel med diameter 1 kan for eksempelikke skrives som brøker. For at hvert punkt pa tallinjen skal representere et tall trenger vi derfora utvide tallsystemet ytterligere. De reelle tall R fyller opp hele tallinjen.

Som oftest trenger vi uendelig mange desimaler for a angi et reellt tall helt nøyaktig. Dette kanvi ikke gjøre i praksis, sa vi bruker gjerne tall med et begrenset antall desimaler, og som ertilnærmet riktige. For eksempel setter vi ofte π = 3.14, og til mange praktiske formal er dettenøyaktig nok. Tallet kan imidlertid skrives nøyaktigere, for eksempel med 20 desimaler som π =3.14159265358979323846. Heller ikke dette er eksakt riktig, selv om det er mer enn nøyaktig nokfor de fleste anvendelser. I dataverdenen er det en sport a sette verdensrekorder i antall desimalerutregnet for π, i skrivende stund oppgir nettadressen ftp://www.cc.u-tokyo.ac.jp/ at rekordener 6 442 450 000 (6.4 milliarder) desimaler (den har antagelig økt nar dette leses).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nar man programmerer i data er det ofte viktig a skille mellom tallsystemene N, Z, Q og R. Detteskyldes at disse tallsystemene representeres forskjellig i datamaskinens internminne. Forsøker man asette inn et desimaltall for en variabel som er definert som et heltall klarer ikke programmet dette, ogstopper med en feilmelding.

En annen feilkilde i forbindelse med sammenblanding av tallmengder i dataprogram er ved sjekking

av likhet. Et program kan for eksempel være lagd slik at det skal stoppe nar en variabel x (et tall som

endres underveis i programkjøringen) far verdien x = 0. Hvis man da har reelle tall i denne variabelen

vil ikke maskinen skjønne at det reelle tallet 0 er det samme som heltallet 0, og dermed aldri stoppe.

Hvis man sier programmet skal stoppe nar verdien i variabelen blir det reelle tallet 0 blir det ogsa

lett problemer. Dette skyldes sma avrundingsfeil som gjør at tallet vanligvis bare blir omtrent 0 nar

det skulle vært nøyaktig 0. I denne typen programbiter er det derfor best a holde seg til heltall. Hvis

man ma bruke desimaltall settes ikke stoppbetingelsen nar x er nøyaktig lik 0. Isteden bruker man

ulikheter, og ber programmet stoppe nar |x| < ε, der tallet ε velges litt større enn 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andre tallmengder finnes ogsa, men de skal ikke brukes i denne boken. Et slikt er de komplekse tallC som er en utvidelse av R med et tall i som er slik at i2 = −1 (noe som ikke gjelder for noen reelle

2.2. MENGDEOPERASJONER OG VENNDIAGRAM 33

tall, siden x2 ≥ 0 for alle disse). Komplekse tall kan skrives pa formen a+ bi, der a og b er reelle tall.Vi har at R ⊂ C ved a identifisere det reelle tallet a med det komplekse tallet a+ 0i.

I visse grener av matematikken opererer man med tallsystemer som verken er delmengde eller utvidelseav noen av de over. Et slikt bestar bare av tallene 0 og 1, og med den spesielle addisjonsregelen 1+1 = 0.

Alle regneregelene i delkapitlene 1.1 og 1.2 gjelder for begge disse tallsystemene. Det vil si at de er

eksempler pa kropper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Delmengder av N, Z, Q og R

Tallmengdene N, Z, Q eller R er ofte grunnmengder som er ”univers” vi jobber innefor nar vi drivermed matematikk. Ofte er det underforstatt at dette universet er R nar ikke annet er presisert.Mye matematikk blir forskjellig innenfor de forskjellige grunnmengdene. For eksempel har likningenx2 − 2 = 0 to løsninger, x =

√2 og x = −√2, hvis grunnmengden er R , mens den ikke har noen

løsning hvis grunnmengden er Q :{x ∈ R |x2 − 2 = 0

}=

{−√2 ,√2}

, men{x ∈ Q |x2 − 2 = 0

}= ∅

Viktige delmengder av R er intervaller, som er alle (reelle) tall mellom to tall a og b (der viforutsetter a < b). Vi skiller mellom lukkede intervaller [ a , b ], der endepunktene er med, og apneintervaller 〈 a , b 〉 der endepunktene ikke er med:

[ a , b ] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b }〈 a , b 〉 = {x ∈ R | a < x < b }

Vi har varianter som halvapne intervaller, f.eks [2 , 3〉 = {x ∈ R | 2 ≤ x < b }, eller uendelige inter-valler som for eksempel 〈 2 , ∞〉 = {x ∈ R |x > 2 }.Punkterte tallmengder er tallmengder der tallet 0 er fjernet fra mengden. De brukes sapass ofte atvi har en egen notasjon med symbolet ∗ for dette, som i eksemplene:

N∗ = { 1 , 2 , 3 , . . . }R∗ = {x ∈ R |x �= 0 }

De punkterte mengdene brukes blant annet i forbindelse med divisjon (siden divisjon med 0 ikkeer definert).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matematikk innenfor grunnmengden N (eller Z) kalles i mange sammenhenger diskret eller digital

matematikk. Matematikken innenfor R kalles tilsvarende kontinuerlig eller analog matematikk. En

utvikling i nyere tid er mer bruk av digital matematikk. Dette skyldes ikke minst bruken av datama-

skiner. For det første er dataene der digitale. Det er bare et endelig antall lagerplasser i maskinen og

endelig antall bytes pa harddisken eller CD–en. Disse kan da i prinsippet nummereres med naturlige

tall. For det andre gjør datamaskinens regnekapasitet at digitale utregninger blir mer handterbare.

Analog matematikk er ofte enklere, og eneste praktiske mulighet uten datamaskiner.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Mengdeoperasjoner og Venndiagram

2.2.1 Venndiagram

En mate a illustrere mengder pa er ved a tenke pa elementene representert ved punkter i planet.Grunnmengden tegnes da gjerne som en omkringliggende ramme, mens mengdene tegnes som sir-kler eller ovaler. Punktene inni disse er da mengdens elementer. Denne maten a illustrere mengder


12

3

45

6

7

8

9

A

S

Figur 2.1: Venndiagram

A B

S

A B

S

A ∪B A ∩B

Figur 2.2: Venndiagram for A ∪B og A ∩B

pa kalles Venndiagram3. I figur 2.1 er Venndiagram for mengden A = { 1, 2, 3, 4, 5 } i grunnmengdenS = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } skissert til venstre. Bruken av disse er primært for a illustrere opersa-sjoner i mengdelæren generelt, sa vi bruker diagrammer uten elementene tegnet inn, som i figur 2.1til høyre. Vi skraverer eller skyggelegger da gjerne felter som oppmerksomheten skal rettes mot, idette tilfellet selve mengden A. Fortsettelsen av dette avsnittet viser bruken av Venndiagram.

2.2.2 Union

Fra to mengder A og B kan det lages en ny mengde A∪B kallt unionen av A og B som bestar avalle elementer som er i minst en av mengdene:

x ∈ A⋃

B ⇐⇒ x ∈ A eller x ∈ B (2.5)

Med ”eller” forstaes i matematikken ”og/eller”, slik at unionen ogsa har med elementene som er ibegge mengdene A og B.

A∪B kan i Venndiagram illustreres som i figur 2.2, til venstre (unionen er det skraverte omradet).

3Etter John Venn,(1834–1923)


Eksempel

{ 1, 2, 3, 4 }⋃{ 2, 4, 6, 8 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 } .

La L1 ={x ∈ R |x2 − 5x+ 6 = 0

}og L2 =

{x ∈ R |x2 − x− 2 = 0

}.

Da er L1∪L2 ={x ∈ R | (x2 − 5x+ 6)(x2 − x− 2) = 0

}, siden produkter er 0 nar en av faktorene

er 0.

2.2.3 Snitt

En annen viktig mengde som kan dannes av to mengder A og B er snittet A ∩ B. Snittet bestarav alle elementene som er i begge mengdene:

x ∈ A⋂

B ⇐⇒ x ∈ A og x ∈ B (2.6)

A ∩B kan i Venndiagram illustreres som i figur 2.2, tilhøyre.

Eksempel

{ 1, 2, 3, 4 }⋂{ 2, 4, 6, 8 } = { 2, 4 } .

La R2 være mengden av alle ordnede par (x, y) av reelle tall.La L1 =

{(x, y) ∈ R2 |x+ 2y = 8

}og L2 =

{(x, y) ∈ R2 | 2x− 3y = 0

}. Da er L1 ∩ L2 parene

som er løsninger i begge likningene, det vil si løsningsmengden av likningssystemet

x + 2y = 82x − 3y = 2

I avsnitt ?? ble løsningen pa dette systemet funnet, og løsningsmengden har et element: L1 ∩L2 ={ (4, 2) }.

Disjunkte mengder

Hvis to mengder A og B er slik at A∩B = ∅, det vil si at de ikke har noen felles elementer, kallesde disjunkte. For eksempel er mengdene av partallene og oddetallene disjunkte:

{ 1, 3, 5, 7 . . . }⋂{ 2, 4, 6, 8 . . . } = ∅

Hvis vi vet at mengdene er disjunkte tegner vi de i Venndiagram slik at de ikke overlapper hver-andre, som i Figur 2.3 til venstre.

Union og snitt av flere mengder

Vi kan ha union og snitt av flere enn to mengder. For eksempel er A ∪ B ∪ C mengden av alleelementene som er i minst en av mengdene A, B eller C.Har vi n mengder A1 , A2 , . . . , An kan vi danne unionen A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An av alle elementersom er i minst en av disse. En annen skrivemate for dette er ∪n

i=1 Ai. Mer generelt kan vi ha envilkarlig (ogsa uendelig) samling (familie) av mengder, der vi kaller mengdene Ai der i ∈ I, og Ier en vilkarlig mengde (kalt indeksmengden). Da skriver vi

x ∈⋃i∈I

Ai ⇐⇒ x ∈ Ai for minst en i ∈ I.


✫✪✬✩

A ✫✪✬✩

B

✧✦�✥

A1

✧✦�✥

A2

✧✦�✥

A3

✧✦�✥

A4

✧✦�✥

A5

A og B disjunkte Parvis disjunkte mengder

Figur 2.3: Venndiagram for disjunkte mengder

A

S

AB

S

A A \BFigur 2.4: Venndiagram for kompeliment og differens

Et eksempel er at I = N = { 0, 1, 2, . . .}, og Ai = [i , i + 1〉, intervallet av reelle tall x slik ati ≤ x ≤ i + 1. Da er

⋃i∈N Ai lik mengden av alle de ikke negative tallene, da ethvert reelt tall

x ≥ 0 ligger i et slikt intervall.

Pa tilsvarende mate har vi

x ∈⋂i∈I

Ai ⇐⇒ x ∈ Ai for alle i ∈ I.

Hvis vi har en familie av mengder der alle par av mengder er disjunkte, kalles familien parvisdisjunkt. Figur 2.3 til høyre viser Venndiagram for 5 parvis disjunkte mengder.

2.2.4 Kompeliment

Hvis grunnmengden er S, og A ⊂ S kalles mengden av alle elementer som ikke er i A (men som eri S) kompelimentet til A, og dette skrives A:

x ∈ A ⇐⇒ x �∈ A (2.7)

Venndiagram for kompelimentet finnes som det skraverte omradet i figur 2.4.

Eksempler

La A = { 1, 2, 3, 4 } og grunnmengden S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. Da er A = { 5, 6, 7, 8 }.La A = 〈1 , ∞〉 = { x ∈ R |x > 1 }. Da er A = { x ∈ R |x ≤ 1 } = 〈−∞ , 1].


A

S

B

Figur 2.5: Venndiagram for A ∩B (rute–skravert)

Pass pa a fa med alle elementene som ikke er i A. Hvis S = { Darlig , Middels , God } er {God } ={ Darlig , Middels }. Det er fort gjort a tenke at det motsatte av ”god” er ”darlig”, og feilaktig settekompelimentet til { Darlig }.

Noen egenskaper ved kompeliment

A sammen med sitt kompeliment utgjør hele grunnmengden S : A ∪A = SDet er ingen overlapping mellom A og A : A ∩A = ∅Kompelimentet av den tomme mengden er hele grunnmengden S : ∅ = SKompelimentet av grunnmengden S er den tomme mengden : S = ∅Overbevis deg selv om at disse reglene stemmer (og er opplagte).

2.2.5 Differensmengder

Mengden av elementer som er i mengden A, men ikke i mengden B kalles A\B, differensen mellomA og B:

x ∈ A \B ⇐⇒ x ∈ A og x �∈ B (2.8)

A \B er skravert i Venndiagrammet til høyre i figur 2.4. A \B leses ”A minus B”.

Hvis A = { 1, 2, 3, 4 } og B = { 2, 4, 6, 8 }, er A \B = { 1, 3 } og B \A = { 6, 8 }.

2.2.6 Sammensatte mengdeoperasjoner

Eksempel

Hvis vi skal tegne Venndiagram for mengden A ∩ B kan vi starte med a tegne opp et genereltdiagram, og skravere A horisontalt og B vertikalt. Snittet vil da være det som er skravert badehorisontalt og vertikalt, og dermed far et rutemønster (se figur 2.5 (dvs. med rutenett): Hvis visammenlikner med Venndiagrammet for A \B i figur 2.3 ser vi at det skraverte feltet der tilsvarerdet rute–skraverte her. Det betyr at disse mengdene er de samme:

A \B = A ∩B (2.9)

Denne teknikken oppfyller kanskje ikke helt kravene til a være et strengt matematisk bevis, mendet er en nyttig teknikk for a finne ut om to mengdeuttrykk definerer samme mengden generelt.


A B

C

A B

C

Figur 2.6: A ∪ (B ∩ C) (alt skarvert til venstre) og (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (ruteskravert til høyre)

Eksempel

Dette eksempelet involverer tre mengder A, B og C. Vi ma da tegne mengden slik at de overlapperhverandre parvis, og at det finnes et felt for overlapping mellom alle tre, som i figur reffig24c.

Først skal vi til venstre tegne et diagram for

A ∪ (B ∩ C)

Det kan for eksempel gjøres ved a skravere A vertikalt, og B ∩ C horisontalt.A ∪ (B ∩ C) er da alt som er skravert (horisontalt, vertikalt eller begge deler).

Deretter skal vi skravere omradet for

(A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Det kan gjøres ved a skravere A ∪B vertikalt, og A ∪ C horisontalt.(A ∪B) ∩ (A ∪ C) er da det som er skravert begge veger, dvs. feltet med rutemønster. I figur 2.6ser vi at det er de samme feltene som er skravert for A ∪ (B ∩ C) og (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Derfor erdisse mengdene alltid like. Vi har fatt en omformingsregel for mengdeuttrykk, som er det første avde reglene vi oppsummerer nedenfor (den kalles distributivitet, jfr. regelen a(b+ c) = ab+ ac) :

Noen regler for omforming av mengdeuttrykk:

a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C) Distributivitet

b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C) Distributivitet

c) A ∪B = A ∩B de Morgans lovera

d) A ∩B = A ∪B de Morgans lover

(2.10)

aEtter Augustus de Morgan (1806–1871)

Regel (2.10a) er det forrige eksemplet, mens de tre siste overlates til dere i oppgavene bakerst ikapitlet.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reglene over kan utvides til a gjelde flere enn to mengder, slik at f.eks regel (2.10a) kan utvides tilA ∪ (B ∩ C ∩D) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ∩ (A ∪D).

De gjelder ogsa for en tilsvarende utvidelse for uendelige familier av mengder, slik at f.eks. regel (2.10c)

generelt kan uttrykkes(⋃

i∈IAi

)=

⋂i∈I

Ai, for en vilkarlig mengde I .

Det er forholdsvis greit a vise at reglene ma gjelde for endelige indeksmengder I , hvis vi tar somutgangspunkt at reglene i (2.10) gjelder. For vilkarlige (kanskje uendelige) indeksmengder trengs enannen type bevis.

2.3. FUNKSJONER 39

Den vanligste maten a vise at to mengder (eller mengdeuttrykk) M1 og M2 er like pa er ved a vise at

M1 ⊂M2 og M2 ⊂M1 .

M1 ⊂M2 vises ofte ved a anta x ∈M1, og utlede at da ma ogsa x ∈ M2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.7 Produktmengder

Hvis vi har to mengder A og B kan vi danne en ny mengde A×B av alle ordnede par av elementerfra disse. Dette kalles produktmengden eller det Kartesiske produkt4 avA og B.

A × B = { ( a , b ) | a ∈ A og b ∈ B } (2.11)

Med ordnet par menes at rekkefølgen er vesentlig, (3, 1) �= (1, 3).

Ofte erA = B, og da skrivesA×A = A2. Det mest kjente eksemplet pa dette er ordnede par av reelletall, R ×R = R2. Hvis vi tegner inn et Kartesisk koordinatsystem (dvs. vanlig koordinatsystemmed x– og y–akser) kan elementer i R2 identifiseres med punkter i planet. Figurer i planet, som foreksempel kurver, rektangler eller et vilkarlig svart–hvitt bilde, kan da oppfattes som delmengderav R2.

Vi kan ha kartesisk produkt av tre (eller flere) mengder, som A × B × C. Dette er alle ordnedetripler (a, b, c). Hvis A = B = C = R far vi alle ordnede tripler av reelle tall, som kalles R3. Dissekan identifiseres med punkter i rommet (ved a legge inn et xyz–koordinatsystem).

Merk forøvrig at A �⊂ (A ×B). For eksempel er R �⊂ R2, da elementene i R er ”enkelttall”, menselementene i R2 er par av tall. Vi har heller ikke at R2 er en delmengde av R3.

2.3 Funksjoner

2.3.1 Reelle funksjoner

Fra før kjenner dere sikkert til funksjoner gitt ved en formel som for eksempel

f(x) =12x− 1

Hvis vi erstatter x med et tall regnes høyresiden ut til et annet tall. Vi kan for eksempel setteinn x = 4, og regne ut høyresiden til 1

2 · 4 − 1 = 1, og dette skrives f(4) = 1. Det essensielle medfunksjonsbegrepet er ikke at vi har en slik formel, men at vi har en tilordning, slik at til hvert tallx finnes et tilordnet tall f(x). Da kalles x argumentet, mens verdien f(x) kalles funksjonsverdien.Siden x her kan velges som hvilket som helst reelt tall, og f(x) da blir et reelt tall, kalles dennefunksjonen en reell funksjon. Foreløbig skal vi se pa reelle funksjoner, men utvide begrepet i nesteavsnitt.

Mengden av alle par (x, f(x)) kalles funksjonens graf, og for reelle funksjoner er dette en delmengdeav planet R2. Siden vi setter 2. koordinaten, som ofte kalles y–koordinaten, til f(x) erstatter viofte f(x) med y, og skriver funksjonen i eksemplet som

y =12x− 1

Dette kan ogsa sees pa som en likning med x og y som ukjente, og løsningsmengden vil være grafen.Dette er den rette linjen tegnet i figur 2.7.

4Etter Rene Descartes (1596–1650)


✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟

✲

✻

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

0

1

2

3

x

f(x)

Figur 2.7: Grafen til funksjonen gitt ved f(x) = 12 x− 1

Skrivematen f(x) innebærer at vi kan sette inn andre tallutrykk for x, og vi vil da sette inn det sammetallet eller symbolet, eller symbolkombinasjonen, i formelen for funksjonen. Hvis f(x) = 1

2x − 1 er

f(0) = 12

0 − 1 = −1, mens f(a) = 12a − 1. Bokstavbruken indikerer ofte hvordan vi bør oppfatte

formeluttrykket i en funksjon. Hvis vi bruker variabelnavnet x oppfatter vi 12x − 1 som noe som

forandrer seg (x varierer). Vi setter y = 12x− 1, og sier at y er en bundet variabel, siden y varierer pa

en mate som avhenger av hvordan den frie variablen x varierer. Andre bokstaver, som for eksempela oppfatter vi gjerne som konstanter. Det vil si som et fast tall, selv om vi ikke har presisert hvilket,da vi ønsker a snakke om slike tall generelt. Da vil vi ogsa oppfatte f(a) = 1

2a− 1 er en konstant.

En fysisk illustrasjon av dette er hvis x tolkes som tiden, og f(x) som posisjonen til et legeme ved

tidspunktet x. At tiden gar gir seg da utslag i at posisjonen endres, og vi observerer at partiklen

beveger seg. Hvis vi setter inn en konstant istedenfor x far vi posisjonen akkurat ved det tidspunktet,

som et fotografi av legemet tatt akkurat da. For eksempel kan legemet være en stein som slippes fra

et 20 meter høyt tarn, og f(x) er høyden over bakken x sekunder etter at den er sluppet. Høyden er

da (tilnærmet) gitt ved f(x) = 20 − 5x2 (0 ≤ x ≤ 2) i de to sekundene det tar før den treffer bakken.

f(1) = 20 − 5 · 12 = 15 betyr at om vi fotograferer steinen etter 1 sekund far vi et bilde av steinen 15

meter opp i luften.

Hvis variablen tolkes som tiden er det forøvrig vanlig a bruke bokstaven t istedenfor x for den frie

variablen.

Parentesbruken i uttrykket f(x).

I skrivematen f(x) har parentesen en annen rolle enn i algebraiske uttrykk, som i kapittel 1. f(x)betyr ikke at f skal multipliseres med x, men at funksjonen (omformingen) skal anvendes pa x. Foreksempel kan vi i algebraen omforme produktet a · (2x) til 2ax, men for funksjoner er der vanligvisikke slik at f(2x) er det samme som 2f(x).

Vi kan godt ha sammensatte utrykk inn i parentesen for argumentet. For eksempel

Hvis f(x) =12x− 1 sa er f(2a− 4) =

12(2a− 4)− 1 = a− 3

I uttrykket ”f(2a−4)” angir parentesen at funksjonen skal anvendes til a omforme 2a−4 (eller dettallet dette blir om vi setter inn et tall for a). I uttrykket ” 1

2 (2a− 4)− 1” har parentesen derimotden algebraiske rollen a angi at 2a− 4 i første omgang skal oppfattes som et enkelt tall, med denkonsekvensen at 1

2 skal multipliseres med hvert ledd i parentesen.

2.3. FUNKSJONER 41

❅❅

❅❅

❅❅

❅

��

��

��

�

✲

✻

-2 -1 1 2

1

2

3

x

f(x)

Figur 2.8: Grafen til funksjonen f(x) = |x|.

En feil studenter ofte gjør er a sette f(a + b) lik f(a) + f(b), noe som ikke er riktig (generelt). Ieksemplet over, med a = 1 og b = 3 er for eksempel f(1 + 3) = f(4) = 1, mens f(1) + f(3) =(

12 1− 1

)+

(12 3− 1

)= 0, slik at f(1+3) �= f(1)+f(3). Denne feilen kan skyldes en sammenblanding

med produkt, da k · (a + b) = k · a + k · b er en generell regel (distributivitet) for sammenhengmellom addisjon og multiplikasjon.

Det er forstaelig at samme symbolbruk (dvs. parentesbruk) brukt til forskjellige formal kan skapeforvirring. Stort sett forutsetter likevel den som skriver ned matematikk at leseren forstar frasammenhengen om det er en funksjon eller multiplikasjon det er snakk om. Dataprogrammer kanvi derimot ikke vente skal forsta at ting som ser likt ut skal bety forskjellige ting. Noen programmerløser dette ved a bruke forskjellige typer parenteser (gjerne hakeparenteser for funksjoner, f [x]).Andre programmer løser dette ved at alle multiplikasjoner ma skrives med multiplikasjonstegn(som gjerne er ∗).

Pilnotasjonen x → f(x)

En mate a angi en funksjon pa er ved pilnotasjon, x→ f(x). Funksjonsnavnet f skrives ofte somi eksemplet under:

f : x −→ 12x− 1 eller x

f−→ 12x− 1

Denne skrivematen for funksjoner henleder oppmerksomheten mot at funksjonen er en omformingeller overgang. Det er snarere pilen enn formelen 1

2 x− 1 som representerer selve funksjonen.

En liknende skrivemate brukes for a angi hvilke mengder funksjonen har argumenter og funksjons-verdier i. Hittil har dette vært reelle funksjoner, og dette kan skrives

f : R −→ R eller Rf−→ R eller R

x→ 12x−1−→ R

Eksempel, delt funksjonsforskrift

Vi kan godt ha reelle funksjoner som ikke kan settes opp ved en enkel formel som f(x) = 12 x− 1.

En variant er at det trengs flere formler for forskjellige omrader av x–aksen5. De kan da gies veden delt funksjonsforskrift, som for eksempel

f(x) ={ −x for x < 0

x for x ≥ 0

5En annen mulighet er at det ikke eksisterer, eller ikke er kjent, noen direkte formel for f(x), men at den likevelkan behandles matematisk. Det kan være indirekte beskrivelser (implisitt gitte funksjoner, differensiallikninger) elleruendelige beskrivelser (for eksempel rekker, summer av uendelig mange enklere funksjoner).


Denne funksjonen, som altsa skifter fortegn (stryker minusen) pa negative tall og lar positive tallvære uendret, kalles absoluttverdien. Akkurat denne funksjonen er sa vanlig og viktig at den harfatt sin egen skrivemate, f(x) = |x |, og er skissert i figur2.8. Ved delt funksjonsforskrift far kurvenofte et knekkpunkt (som her) eller et sprang der vi gar over til ny formel.

Eksempel, punktvis definert funksjon.

I anvendelser har vi ofte funksjoner uten kjent formel, men der funksjonsverdien f(x) er kjent foren del verdier, som for eksempel:

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0f(x) 12 9 11 16 8 11 14 20 23 21 18

Vi tenker oss ofte denne funksjonen gitt for alle reelle x (ihvertfall for 0 ≤ x ≤ 1), men vet ikkehva funksjonsverdien er mellom de gitte x–verdiene. Det finnes mange metoder til a fylle ut medverdier innimellom, og valget av metode avhenger av situasjonen. Det kan hende vi har en viss ideom funksjonens oppførsel som antyder metode, men kanskje like gjerne hva som er hensiktsmessigi videre anvendelse. Her skal noen viktige slike metoder antydes, men vi vil ikke ga nærmere innpa detaljene i denne boken:

Det er alltid mulig a finne en enkelt formel for en glatt kurve som gar gjennom alle punktene. Detkan for eksempel gjøres ved et polynom av grad en mindre enn antall punkter, i dette tilfellet et10. gradspolynom. Figur 2.9b viser hvordan denne grafen er. Det er imidlertid vanligvis lite hen-siktsmessig med et polynom av sa stor grad. En ulempe er at kurven svinger uforholdsmessig myeutenfor punktene. Pa figuren ser vi at det ser brukbart ut pa midten, men at kurven svinger langtutenfor bildeutsnittet (selv om skalaen er forminsket) mot kantene. Det spørs om det er naturlig atenke seg disse store utslagene som naturlige funksjonsverdier. Vi har her f.eks at f(0.05) = 43.8,langt utenfor y–verdien til de kjente punktene. Derfor er metoden i praksis sjelden brukt for merenn 3–4 punkter.

Da er det mer vanlig a basere seg pa delt funksjonsforskrift. En enkel metode basert pa stykkevisdefinisjon er lineær interpolasjon, der vi forbinder punktene med rette linjestykker. Grafens hakketeutseende er kanskje langt fra kurvens ”sanne natur”, slik at dette ikke alltid er hensiktsmessig. Sefigur 2.9c.

En metode som gir rund og pen kurve kalles splines. Dette er en delt funksjonsforskrift, der manbare tar noen nabopunkter og forbinder med et polynom av lav grad (oftest 3. grad, cubic splines).Polynomene konstrueres slik at kurvebitene henger sammen, og overgangen er glatt. Metoden girikke en spesielt enkel formel for handregning, men er grei a programmere. Figur 2.9d viser hvordandenne kurvetilpasningen blir i dette tilfellet.

I mange situasjoner er det naturlig og hensiktsmessig a ofre presisjon til fordel for enkelhet. Viønsker for eksempel a tilpasse punktene til en rett linje, det vil si et polynom pa formen f(x) =ax + b. Vi kan da ikke fa alle punktene til passe nøyaktig, men det finnes metoder for a finneden funksjonen som passer best. Den vanligste metoden heter lineær regresjon , og i figur 2.9e3 erregresjonslinjen tegnet inn.

I dataens tidsalder kan slike funksjoner være gitt ved millionvis av verdier, og likevel være muliga behandle. Et eksempel pa dette er et musikkstykke pa CD. Funksjonen er en lydbølge, som vikan tenke oss er en kurve som svinger glatt og pent (men fort) etter som tiden gar. CD– opptakethar ikke registrert denne funksjonsverdien for alle de uendelig mange tidspunktene melodien varer,men bare i et (stort) endelig antall tidspunkter. Ved hjelp av datamaskiner kan metoder fra funk-sjonsteorien anvendes pa denne funksjonen. Eksempler pa bruk av dette er a endre klanger ellerrense bort støy.

2.3. FUNKSJONER 43

1 2 3 4 5 6 7 8 92

46

8

10

12

1416

18

20

f(x)

x

a) Funksjon gitt ved enkelte punkter. b) Tilpasning ved polynom av grad 10.

c) Lineær interpolasjon. d) Tilpasning ved splines av grad 3.

e) Tilpasning ved regresjonslinje.

Figur 2.9: Punktvis definert funksjon, og forskjellige tilpasningsmetoder.


2.3.2 Funksjoner mellom vilkarlige mengder

Funksjoner kan defineres6 fra en vilkarlig mengde A til en vilkarlig mengde B. Hvis vi velger akalle funksjonen f kan vi skrive dette

f : A −→ B eller x ∈ A −→ f(x) ∈ B

Dette betyr at for hver x ∈ A er det tilordnet et og bare et element f(x) ∈ B.

Mengden av tillatte x–verdier i A kalles definisjonsmengen (eller argumentmengden) til funksjonenf , og denne betegnes ofte ogsa Df . Mengden av alle elementer f(x) ∈ B kalles verdimengden,og dette skrives ofte Vf . Fra definisjonen av funksjon ma Df være hele A, og til hver x ∈ Afinnes kun en f(x) ∈ Vf . Det er imidlertid mulig at det finnes elementer i B som ikke oppnas somfunksjonsverdier, slik at Vf ikke er hele B.

2.3.3 Eksempler

Formelen kan sette begrensninger pa definisjonsomradet: Vi har ofte reelle funksjonerder bare en del av den reelle aksen tillates som argumentverdier. Et eksempel er om vi ønsker adefinere en funksjon med formelen f(x) = 1/x. f(0) er ikke definert ved denne formelen (1/0 erikke noe reelt tall). En mulighet er det da a fjerne 0 fra definisjonsomradet, og si at dette er enfunksjon f : R∗ −→ R.

Den praktiske situasjonen kan sette begrensninger pa definisjonsomradet:

Den praktiske anvendelsen av funksjonen kan ogsa sette naturlige begrensninger. La for eksempelf(x) være arealet av et rektangel med omkrets av lengde 10, og der x er lengden pa en av sidene.Vanligvis regner vi ikke med negative lengder i geometriske figurer. Dessuten kan en side i etrektangel ikke være lenger enn halve omkretsen. Derfor er Df = [0, 5]. Hvis to av sidene hver harlengde x har de to andre sidene tilsammen lengde 10−2x, og dermed hver lengde (10−2x)/2 = 5−x.Arealet i et rektangel er produktet av lengden av sidene, sa f(x) = x(5− x). Det er den praktiskesituasjonen som setter begrensninger, i formelen kan vi sette inn hvilket som helst reelt tall for x.

Hvis A = N kalles funksjonene følger.

En funksjon f : N→ R kalles en følge. Da kan funksjonsvediene listes opp i en uendelig liste:

f(0) , f(1) , f(2) , f(3) , . . .

Hvis f.eks. f er gitt ved formelen f(n) = 1/2n (n brukes ofte som variabelnavn i følger) har vifølgen

1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , . . .

Funksjoner med to variable.

Hvis A er en delmengde av planet R2 kan et element (punkt) a ∈ A skrives som et par (x, y), ogen funksjonsverdi for et slikt punkt skrives f(x, y). Et eksempel pa en slik funksjon er gitt vedformelen f(x, y) = 2x − 3y + 1. Da er f(3, 4) = 2 · 3 − 3 · 4 + 1 = −5. Grafen til en slik funksjon

6En funksjon f kan formelt defineres innen mengdelæren som en delmengde av A×B. f er slik at hvert elementx ∈ A forekommer i nøyaktig et av parene i f . Hvis (x, y) ∈ f sier vi at y = f(x). Mengden (funksjonen) f bestar

da av parene(x, f(x)

), og dette kaller vi ogsa grafen til f . I denne definisjonen ligger det ikke noe krav om at det

ma finnes noen (enkel) formel for a regne ut f(x) nar x er gitt.

2.3. FUNKSJONER 45

0.50.5

1

-1

0.50.51

-1

0.50.5

1x

y

z

x

y

Figur 2.10: En funksjon f(x, y) med graf i R3, og tolket som bilde.

bestar av tripler(x, y, f(x, y)

). Disse punktene kan tegnes inn i rommet R3, og grafen vil vanligvis

bli en flate i rommet.

Et annet eksempel, som er en funksjon definert ved delt funksjonsforkrift, er

f(x, y) ={

1− x2 − y2 for x2 + y2 ≤ 0.90.5 for x2 + y2 > 0.9

Grafen til denne, for −1 ≤ x ≤ 1 og −1 ≤ y ≤ 1, er tegnet i figur 2.10, til venstre.

En annen bruk av funksjoner av to variable er bilder. Definisjonsmengden er da et utsnitt avplanet som er bildeflaten (med tenkt koordinatsystem, f.eks langs bildekanten). Funksjonsverdieneer farger, som i praksis er kodet som tall. For svart–hvitt–gratt bilder er det vanlig a angi gratonenesom verdier i intervallet [0, 1], med 0 for svart og 1 for hvitt, og verdier i mellom som grafarger. Ifigur 2.10, til høyre, er den samme funksjonen f(x, y) som til venstre tegnet som et bilde (du farbruke fantasien for a bestemme hva det er et bilde av).

Virkelige bilder vil normalt ikke ha en enkel formel som i dette eksemplet. Funksjonen vil vanligvisvære kjent digitalt, det vil si som mange funksjonsverdier (i en bildefil). Dette er en tredimensjonalanalogi til situasjonen i figur 2.9, pa side 43, og tilsvarende metoder for a tilpasse formel tilpunktene finnes ogsa for slike funksjoner. Dette har man bruk for ved elektronisk bildebehandling.For eksempel hvis et digitalt bilde skal forstørres, vil vi trenge funksjonsverdien for andre (x, y)-verdier, og de vil vanligvis ikke samsvare med punkter der det opprinnelige bildet er definert. Datrengs en metode til a regne ut fornuftige funksjonsverdier i disse nye punktene. Det er likevelutenfor rammen av denne boken a ga nærmere inn pa slike metoder.

For elektronisk behandling gjøres bilder ofte om til funksjoner av en variabel ved a lese bildet linje

for linje (omtrent som om vi skulle skrive en side med tekst som en lang linje). Dette tilsvarer ogsa

hvordan et bilde framkommer pa en data- eller TV-skjerm, ved at en katodestrale løper over skjermen

linje for linje (25 ganger per sekund).

Avbildninger, transformasjoner og operasjoner.

Nar vi snakker om funksjoner fra en mengde A som ikke er (en delmengde av) R brukes ofte ordetavbildning istedenfor funksjon.I kapittel 8 skal vi se pa avbildninger fra planet inn i planet, rommet inn i planet o.l. Slike funksjoner


kalles ofte transformasjoner. I en del sammenhenger brukes ordet operasjoner for avbildninger. Deter spesielt nar mengdene A og B selv er en mengder av funksjoner. Derivasjon, som vi skal se littpa i neste kapittel, er en slik operasjon.

2.4 Sammensatte og inverse funksjoner

Begrepene i dette hovedavsnittet gjelder for funksjoner (avbildninger) generelt, selv om alle eksemp-lene dreier seg om reelle funksjoner.

2.4.1 Funksjonsfunksjoner

Hvis vi har en funksjon f : A −→ B og en funksjon f : B −→ C kan vi danne en ny, sammensattfunksjon, kalt g ◦ f : A −→ C slik: En vilkarlig x ∈ A avbildes pa f(x) ∈ B. Dette elementet kanvi sa bruke funksjonen g pa, og fa elementet g(f(x)) ∈ C. Dette defineres da som funksjonsverdientil g ◦ f , g ◦ f(x) = g(f(x)). Her vil vi ofte referere direkte til den sammensatte funksjonen somf(g(x)).

Eksempel Lar A = R, mens B = C = R+, de ikke–negative reelle tallene. Da kan vi defineref : R −→ R+ ved formelen f(x) = x2 + 9. Videre kan vi definere g : R+ −→ R+ ved formeleng(x) =

√x. Hvis vi lar x = 4 er f(4) = 42 + 9 = 25. Vi kan sa la g virke pa f(4) = 25, og far

g(25) =√25 = 5. Den sammensatte overgangen er da gitt ved g ◦ f(4) = 5. Generelt far vi en

formel for denne sammensetningen ved g ◦ f(x) = √x2 + 9.

2.4.2 Inverse funksjoner

Injektive funksjoner

En funksjon kan godt være slik at forskjellige argumenter gir samme funksjonsverdi. Et eksempeler funksjonen gitt ved f(x) = x2. Her er f(−2) = (−2)2 = 4, det samme som f(2) = 22 = 4.

For den voksende funksjonen g(x) = x + 1 er ikke dette mulig, hvis a1 < a2 er f(a1) < f(a2), saforskjellige argumentverdier avbildes pa forskjellige funksjonsverdier.

En funksjon f : A −→ B kalles injektiv (eller en til en) hvis a1 �= a2 medfører at f(a1) �= f(a2).

g(x) = x+ 1 er injektiv, mens f(x) = x2 ikke er injektiv.

Surjektive funksjoner

En funksjon f : A −→ B kalles surjektiv (eller pa) hvis det for alle b ∈ B finnes en a ∈ A slikat f(a) = b.

Hvis B = R, alle de reelle tall, er ikke f(x) = x2 surjektiv. Hvis vi velger et negativt tall, foreksempel y0 = −1, finnes ikke noe reelt tall slik at f(x0) = −1, da alle reelle kvadrater er positive.g(x) = x + 1 er derimot surjektiv (siden g(b − 1) = (b − 1) + 1 = b, uansett hvilket tall b ∈ B vivelger).

Bijeksjoner og inverse funksjoner

En funksjon kalles bijektiv hvis den er bade injektiv og surjektiv.

2.4. SAMMENSATTE OG INVERSE FUNKSJONER 47

Hvis vi har en funksjon f : A −→ B ønsker vi ofte a definere en invers funksjon g : B −→ A,slik at hvis f(a) = b er g(b) = a.

Anta det er gitt en funksjon f : A −→ B, og at det finnes en funksjong : B −→ A slik at

g(f(x)) = x og f(g(y)) = y (2.12)

Da kalles g en omvendt eller invers funksjon til f , og vi skriver g = f−1

En mate a tenke pa sammenhengene f−1 (f(a)) = a for alle a ∈ A og f(f−1(b)

)= b for alle b ∈ B

er at f og f−1 opphever virkningen av hverandre.

En fare med skrivematen f−1 er forveksling med brøken 1/f . f−1(x) er IKKE det samme som1/f(x) !

Eksempel Hvis f(x) = 12x− 1 er f−1(x) = 2x+ 2.

For eksempel er f(4) = 12 · 4− 1 = 1, mens f−1(1) = 2 · 1 + 2 = 4.

Generelt har vi at

f(f−1(x)

)= f(2x+ 2) =

12(2x+ 2)− 1 = x+ 1− 1 = x og

f−1(f(x)) = f−1(12x− 1) = 2(

12x− 1) + 2 = x− 2 + 2 = x .

Eksistens av invers funksjon

For at den inverse funksjonen f−1(x) skal eksistere ma f(x) oppfylle to krav:

Siden f−1(b) skal være entydig definert, betyr det at det ikke kan være flere x–verdier slik atf(x) = b. At dette er oppfyllt for alle b ∈ B er det samme som at f er injektiv.

Siden f−1(b) faktisk skal være definert, betyr det at det ma finnes x–verdi a slik at f(a) = b. Atdette er oppfyllt for alle b ∈ B er det samme som at f er surjektiv.

En funksjon f : A −→ B har en invers funksjon f−1 : B −→ A hvis og bare hvis f er bijektiv.

Siden f(x) = 12x− 1 har en omvendt funksjon (g(x) = 2x+ 2) er f bijektiv.

Et vilkarlig punkt pa grafen til f(x) har koordinater (x, f(x)). Sett y = f(x), slik at koordinatene ipunktet er (x, y). Vi har f−1(f(x)) = x, som kan skrives f−1(y) = x. Dermed er (x, y) et punkt pagrafen til f−1(x). Geometrisk ligger punkter med omvendte koordinater (x, y) og (y, x) symmetriskom linja (diagonalen) y = x. Derfor blir grafene til f(x) og f−1(x) symmetriske om linja y = x.Dette er ofte god hjelp til a skissere f−1(x) nar grafen til f(x) er kjent.

2.4.3 Eksempler

Eksempel: Invers funksjon til f(x) = x + 1

Hvis f(x) = x+ 1 er den inverse funksjonen gitt ved f−1(x) = x− 1.For eksempel er f(2) = 2 + 1 = 3, mens f−1(3) = 3− 1 = 2.For vilkarlig x ∈ A = R har vi at f−1 (f(x)) = f−1(x+ 1) = (x+ 1)− 1 = x.For vilkarlig x ∈ B = R har vi at f

(f−1(x)

)= f(x− 1) = (x− 1) + 1 = x, sa f og f−1 opphever

virkningen av hverandre.

Eksempel: Utregning av f−1(x) hvis f(x) = 12

x − 1

Hvis f(x) = 12 x− 1 klarer vi kanskje ikke direkte a se hva den inverse funksjonen er, men vi kan

da regne den ut slik:


Vi betrakter likningsformen y = 12 x− 1 for y = f(x). Nar vi skal finne den omvendte funskjonen

skal x og y bytte rolle. Vi setter derfor opp likningen x = 12 y − 1. Ved a løse denne med hensyn

pa y far vi en formel for f−1(x):

x =12y − 1 ⇐⇒ 1

2y = x+ 1 ⇐⇒ y = 2x+ 2 ⇐⇒ f−1(x) = 2x+ 2

Eksempel: Invers funksjon til f(x) = x2

Hvis f(x) = x2 er formelen for en funksjon f : R −→ R er den verken injektiv eller surjektiv, og hardermed ingen omvendt funksjon. Hvis vi isteden begrenser oss til A = B = R+, de ikke–negativereelle tallene, er f bijektiv: Det finnes et entydig positivt tall a slik at a2 = 4 (a = 2 er enestemulighet, siden −2 ikke er i A), sa f er injektiv. Alle positive tall er et reelt tall kvadrert, sa f ersurjektiv. Dermed har f en omvendt funksjon. Dette er funksjonen vi vanligvis kaller kvadratroten,og som vi skriver g(x) =

√x. Det er riktig at f(g(x)) = (

√x)2 = x og g(f(x)) =

√x2 = x nar vi

begrenser oss til ikke-negative tall x.Hvis x < 0 stemmer dette ikke lenger,

√(−2)2 =

√4 = 2 �= −2.

√−2 er ikke definert, sa vi kan heller ikke

si at(√−2

)2= −2

Eksempel: Invers funksjon til f(x) = x2 − 4x + 3

Grafen til denne funksjonen er en parabel, som i likhet med funksjonen f(x) = x2 verken er injektiveller surjektiv. Det er ogsa her mulig a snevre inn definisjonsomradet slik at funksjonen blir injektiv,og snevre inn B slik at funksjonen blir surjektiv. Grafen er tegnet inn til venstre i figur 2.11, ogfra denne kan vi se at den skifter fra avtagende til voksende for x = 2. Holder vi oss pa den enesiden av dette, for eksempel pa A = Df = [2,∞〉, gir formelen en injektiv funksjon. Bare verdiery ≥ −1 oppnas, og ved a velge B = Vf = [−1,∞〉 blir denne funksjonen surjektiv.

Vi skal na prøve a finne en formel for den omvendte funksjonen (og i prosessen finne avgrensningenepa Df og Vf pa en annen mate). Vi bytter da om pa x og y i likningen y = x2 − 4x + 3, ogfar da x = y2 − 4y + 3. Denne løses med hensyn pa y som andregradslikning, med x som enparameter. Det vil si at x behandles som en konstant, og 3− x settes inn for c i løsningsformelenfor andregradslikninger (formel (1.15) pa side 21):

x = y2 − 4y + 3 ⇐⇒ y2 − 4y + (3 − x) = 0 ⇐⇒ y =4±√

16− 4(3− x)2

⇐⇒ y =4±√

4(1 + x)2

⇐⇒ y = 2±√1 + x

Vi observerer at leddet√1 + x bare er definert for x ≥ −1. Denne begrensningen svarer til at

f(x) ≥ −1, som vi ser pa figur 2.11. Vi ma innsnevre B til dette omradet for at funksjonen skalbli surjektiv, og da blir dette Dg.

Dessuten inneholder formelen for y et ±–tegn. Det vil si at det er to mulige y–verdier til hverx > −1. Dette svarer til at den opprinnelige funksjonen ikke er injektiv. Minus–leddet tilsvarer denvenstre delen av grafen, der den er avtagende (gar nedover mot høyre), mens pluss-delen tilsvarerhøyre del, der grafen er voksende. Skillet mellom disse delene gar ved x = 2 (som tilsvarer y = 2,leddet uten ±, i den omvendte funksjonen). For at f(x) skal bli injektiv, slik at g(x) er entydigdefinert, ma en av disse omradene velges. Her skal (noe tilfeldig) den voksende delen velges, noesom tilsvarer g(x) ≥ 2, og konklusjone er:Funksjonen f : [2,∞〉 −→ [−1,∞〉 gitt ved formelen

f(x) = x2 − 4x+ 3

har en omvendt funksjon g : [−1,∞〉 −→ [2,∞〉 gitt vedg(x) = 2 +

√x+ 1

2.4. SAMMENSATTE OG INVERSE FUNKSJONER 49

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

5

6

7

8

1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x

y y

y = x2 − 4x+ 3

y = 2 +√x+ 1

Figur 2.11: f(x) = x2 − 4x+ 3 og den omvendte funksjonen g(x) = 2 +√x+ 1

I figur 2.11, til høyre, er utsnittet av f(x) for x ≥ 2 tegnet inn sammen med grafen til den omvendtefunksjonen. Symmetrilinja y = x er ogsa prikket inn, med utgangspunkt i grafen til f(x) kan dennebrukes til a skissere f−1(x).

2.4.4 En kommentar om bruka av =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likhetstegnet har mange funksjoner i matematikk- En matematiker skal ha listet opp 7 betydningerav =. Ofte lar vi det være underforstatt fra sammenhengen hva = skal bety. Det hender imidlertid atdette kan skape litt problemer, spesielt for ferske studenter som ikke har lang erfaring i a gjette hvamatematikkforfatteren mener. Her skal vi se pa tre varianter i sammenheng med reelle funksjoner, somalle tre kan skrives pa den generelle formen f(x) = g(x):

Likhetstegn som tilordning.

Hvis det i en oppgavetekst star: ”Gitt funksjonen f(x) = x2 − 1 . . .” betyr likhetstegnet at f(x) skaldefineres som eller tilordnes formeluttrykket x2 − 1. Fra na av skal (i denne oppgaven) f(x) og x2 − 1bety det samme.

I dataprogrammer har vi det tilsvarende nar en datavariabel (en plass i datalageret) settes til enverdi. Her ma man skille mellom forskjellige betydninger av likhet, og mange programmer brukerkombinasjonen := for dette. For eksempel a:= 3

I matematikkprogrammet Maple defineres funksjonen over ved:> f := x -> x^2-1;

Likhetstegn i likning.

Hvis vi skriver 2x− 3 = 4x− 7 oppfattes dette vanligvis som en likning, og oppgaven er gjerne a finneut hvilke(n) verdi vi kan sette inn for x og fa samme tall (i dette tilfellet x = 2).

Likheten kan i denne sammenheng sees pa som et logisk symbol, 2x − 3 = 4x − 7 er enten sann ellerusann, avhengig av hvilket tall vi setter inn for x (og vi skal finne de(n) x som gjør utrykket sant).


I en del dataprogrammer angis logisk likhet med dobbelt likhetstegn. I matematikkprogrammet Mat-hematica (som bruker = til tilordning) vil følgende kommando løse likningen over:

Solve[ 2x-3 == 4x-7, x ]

Likhet mellom funksjoner.

I mange sammenhenger betyr ikke f(x) = g(x) at vi skal finne tallet x som gjør at dette er sant, menat det er funksjonene f og g som er de samme. Hvis vi plotter y = f(x) og y = g(x) i samme diagramvil de to grafene ligge oppa hverandre.

Noen ganger vil da denne likheten gi uttrykk for at vi egentlig snakker om en omforming av funk-sjonsuttrykket, hvis f(x) = (x + 1)2 og g(x) = x2 + 2x + 1 er disse funksjonsformlene like (førstekvadratsetning). Dette skrives av og til med likhetstegn med en ekstra strek:

(x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 eller (x+ 1)2 ≡ x2 + 2x+ 1 .

Vi kan ha likninger med funksjoner som de ukjente, og da er det denne typen likhet som gjelder. Detteer da egentlig den logiske bruken av likhetstegn som i vanlige likninger. Forskjellen er at mengdenvi jobber med er mengder av funksjoner, ikke mengder av tall. Den vanligste varianten av dette erdifferensiallikninger, men de er utenfor rammen av denne boken.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Oppgaver

Oppgave 2.1 Skriv opp følgende mengder pa listeform:

a ) {x ∈ N | 2 < x < 8 }b ) {x ∈ N | 5− x > 0 }c )

{x ∈ Z |x2 < 10

}d )

{x ∈ R | 3x2 + 5x− 2 = 0

}e )

{x ∈ Z | 3x2 + 5x− 2 = 0

}f )

{x ∈ N | 3x2 + 5x− 2 = 0

}

Oppgave 2.2 La A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 2, 4, 6 }a ) Skriv pa listeform mengdene A ∪B, A ∩B og A \B .

b ) Hvordan kan generelt A ∪B forenkles hvis B ⊂ A ?

c ) Hvordan kan generelt A ∩B forenkles hvis B ⊂ A ?

d ) Tegn Venndiagram som illustrere situasjonen at B ⊂ A .

e ) Skraver omradet A \B i dette Venndiagrammet.

Oppgave 2.3

a ) Tegn et Venndiagram for to vilkarlige mengder A og B, og skraver omradet for de ele-mentene som er med i en av mengdene A og B, men ikke i begge.

b ) Hvordan kan denne mengden skives ved hjelp av mengdeoperasjonene snitt, union ogdifferens?

c ) Hvordan kan denne mengden skives ved hjelp av mengdeoperasjonen snitt, union og kom-peliment?

2.5. OPPGAVER 51

Oppgave 2.4 Utledning av den andre distributivitetsloven ved Venndiagram

La A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 2, 4, 6, 8, 10 } og C = { 1, 3, 5, 10 }.a ) Finn pa listeform mengden A ∩ (B ∪ C)

b ) Finn pa listeform mengden (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

c ) Tegn Venndiagram for A ∩ (B ∪ C)

d ) Tegn Venndiagram for A ∩ (B ∪ C)

Hvis dere har tegnet riktig vil dere se at de skraverte omradene i begge Venndiagrammene er like, slik

at disse mengdene generelt er like. Dette er en utledning av regel (2.10b).

Oppgave 2.5 Utledning av de Morgans første lov ved Venndiagram.

La A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6, 8, 10 } oggrunnmengden S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.a ) Finn pa listeform mengden A ∪B

b ) Finn pa listeform mengden A ∩B

c ) Tegn Venndiagram for A ∪B

d ) Tegn Venndiagram for A ∩B

Hvis dere har tegnet riktig vil dere se at de skraverte omradene i begge Venndiagrammene er like.

Dermed er en av de Morgans lover, regel (2.10c), utledet.

Oppgave 2.6 Utledning av de Morgans andre lov ved Venndiagram.

La A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6, 8, 10 } oggrunnmengden S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.a ) Finn pa listeform mengden A ∩B

b ) Finn pa listeform mengden A ∪B

c ) Tegn Venndiagram for A ∩B

d ) Tegn Venndiagram for A ∪B

Hvis du har tegnet riktig vil du se at de skraverte omradene i begge Venndiagrammene er like. Dermed

er den andre av de Morgans lover, regel (2.10d), utledet.

Oppgave 2.7 Følgende mengder er delmengder av R2, og kan derfor oppfattes som delmeng-der av planet (nar koordinatakser er lagt inn). Tegn dem inn som figurer i et passende utsnittav planet:

a ) A ={(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 2

}b ) B =

{(x, y) ∈ R2 | − 0.5 ≤ y ≤ 0.5

}c ) A ∩B

d ) {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 } × { y ∈ R | 0 ≤ y ≤ 1 }e ) C =

{(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 = 1

}f ) D =

{(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ 1

}g ) B ∩C

h ) B ∩D


Oppgave 2.8 Skisser grafen til de reelle funksjonene gitt ved formlene

a ) f(x) = x− 1 b) g(x) = 3− x

c ) h(x) ={

3− x for x < 2x− 1 for x ≥ 2

d ) i(x) = x2 e) j(x) = (x − 2)2

f ) k(x) =

1 for x < −1x2 for −1 ≤ x < 1

(2− x)2 for x ≥ 1

Oppgave 2.9 I hver av deloppgavene under er funksjonen gitt ved formelen f(x) injektiv(voksende eller avtagenede) for den angitte definisjonsmengden. Finn en formel for den inversefunksjonen g(x), og angi definisjonsomrade og verdimengde for g. Skisser ogsa f(x) og g(x) isamme diagram.

a ) f(x) = 4x− 12, Df = R

b ) f(x) = x− 4, Df = [ 0 , ∞〉c ) f(x) = x2 + 6x+ 9, Df = [−3 , ∞〉d ) f(x) = 3 + 2x− x2, Df = [ 1 , ∞〉e ) f(x) = 3 + 2x− x2, Df = [ 0 , 1 ]

f ) f(x) = 1/x, Df = R∗

g ) f(x) = 5−√2x− 6, Df = [ 3 , ∞〉

Kapittel 3

Logikk og tallsystemer

3.1 Utsagnslogikk

Med utsagn skal vi mene setninger som enten er sanne eller usanne1. ”Matematikeren Nils HenrikAbel ble født i 1802” er et sant utsagn, som vi kan sjekke i et passende oppslagsverk. ”Manen er engul ost” er forhapentligvis alle inneforstatt med er et usant utsagn. ”Lutefisk er godt” kvalifiserernok ikke til et utsagn i denne betydningen, det vil være delte meninger om det er sant eller ikke.Utsagnene er ofte av matematisk natur, for eksempel ”−3 > −4”, som er sant, eller ”det finnes etreelt tall x slik at x2 = −1”, som er usant.

Verdien ”sann” eller ”usann” kalles utsagnets sannhetsverdi. De forkortes her S og U . Pa engelsk,og i mange programmeringsprak, kalles de ”true” og ”false”. I datasammenheng er de ofte kodetsom 1 for ”sann” og 0 for ”usann”.

Utsagnslogikk handler om hvordan sannhetsverdien er for forskjellige kombinasjoner av utsagn. Imatematikken har dette en sentralel betydning i forbindelse med hva som er matematisk korrekteslutninger2.

I programmering finnes logiske variable, som inngar i programbiter der programmet velger hvasom skal gjøres pa basis av sannhetsverdiene (if-setninger og while–løkker). I databaser er logiskevariable og kombinasjoner grunnlaget for søkekriterier.

Ogsa andre typer slutninger enn matematiske bør være logisk korrekte. I forskning er kravet tildette stort, men det burde kanskje vært sterkere ogsa innen andre omrader, for eksempel po-litikk og journalistikk. Utsagnslogikken har ogsa anvendelser innenfor vanlig sprak, spesielt derpresisjonskravet er stort, for eksempel innenfor jus (”Hva betyr egentlig teksten i kontrakten?”).

3.1.1 Definisjon av logiske operasjoner

I logikken defineres en del ord for a kombinere utsagn (for eksempel ”og” og ”eller”). Dette kalleslogiske operasjoner. De defineres presist ut fra hvordan de overfører sannhetsvediene til enkeltut-sagnene. Dette kan settes opp i sannhetsverditabeller. I disse settes alle mulige kombinasjoner avsannhetsverdier til enkeltutsagnene opp, og hva sannhetsverdien av det sammensatte utsagnet sa

1Formelt kan vi si at en mengde utsagn er en mengde der det er definert en funksjon inn i en mengde av toelementer. Disse elementene kan kalles ”Sant” og ”Usant” (uavhengig av om de passer med var vanlige oppfatningav disse ordene).

2Matematikk er et strengt logisk oppbygd system, men det finnes grener av logikken som ikke faller inn underutsagnslogikken som trengs i tillegg. Blant annet første ordens ”predikatlogikk”, som inkluderer setningstyper som”for alle x gjelder. . .” og ”det finnes en x slik at. . .”.

53

54 KAPITTEL 3. LOGIKK OG TALLSYSTEMER

blir i hvert enkelt tilfelle.

Nar vi snakker om utsagn generelt gir vi dem ofte navn som p,q og r (p for ”proposition”, ”utsagn”pa engelsk, og en fortsettelse i alfabetet derfra). De grunnleggende utsagnene (før vi har bruktnoen logiske operasjoner) kaller vi atomære utsagn.

Definisjon av negasjon, ¬

Det vi i vanlig sprakbruk kaller ”ikke” gir motsatt sannhetsverdi. Det skrives med tegnet ¬, somi ¬p. For eksempel kan utsagnet ”Manen er ikke en gul ost” omformes til ”(det er) ikke (slik at)manen er en gul ost”, eller ¬(”manen er en gul ost”). Dette er et sant utsagn, siden ”manen er engul ost” er usant.At negasjon bytter sannhetsverdi kan settes opp i følgende sannhetsverditabell, som tjener somdefinisjon av operasjonen ¬:

p S U

¬p U S(3.1)

Definisjon av logisk og, ∧

Opersasjonen ”og” i logikken brukes omtrent som i dagligspraket, den er sann hvis begge utsagne-nene den binder sammen er sann, men ikke ellers. Det logiske tegnet for ”og” er ∧, og operasjonener definert ut fra sin sannhetsverditabell. Legg merke til hvordan oppsettet for S og U er for deatomære utsagnene p og q, og overbevis deg om at dette oppsettet far med alle kombinasjoner.

p S S U U

q S U S U

p ∧ q S U U U

(3.2)

Definisjon av logisk eller, ∨

I logikken bruker vi tegnet ∨ for eller. I dagligspraket brukes eller pa to forskjellige mater. Det ervel enighet om at p eller q er sant hvis nøyaktig en av dem er sanne, men hvordan er det hvis beggeer sanne? Her varierer bruken, men ofte tillates ikke begge deler? Hvis jeg spør et barn om detvil ga pa kino eller ha pizza, mener jeg nok at barent ma velge, og ikke si ”ja takk, begge deler”.Denne bruken av ”eller” kalles eksklusivt eller. I logikken (og dermed i matematikken, og andresteder der presis og korrekt tolkningen er viktig) brukes derimot inklusiv eller! Barnet kan fa badekinobeseøk og pizza!

p S S U U

q S U S U

p ∨ q S S S U

(3.3)

Definisjon av implikasjon, →

Setningen p → q leses ”p medfører q” eller ”p impliserer q”. Denne er definert ved sannhetsverdi-tabellen:

p S S U U

q S U S U

p→ q S U S S

(3.4)

3.1. UTSAGNSLOGIKK 55

Mange stusser pa nestsiste kolonne, at ”U → S er S”. Et eksempel fra matematikken antyder vitsenmed a definere dette som det er: (x = 2) → (x2 = 4). Her kan p : x = 2 og q : x2 = 4 oppfattes somvariable utsagn, sannhetsverdien avhenger av hvilket tall vi setter inn for x. Imidlertid er implikasjonensann uansett x. Det eneste som kunne ødelagt dette var om vi hadde et tall slik at x = 2 var sann, ogx2 = 4 var usann. Siden 2 er eneste x som gjør x = 2 sann, og 22 = 4 slik at da er ogsa x2 = 4 sann,finnes ikke noe slikt tall. Hvis vi setter inn x = −2 er x = 2 usann, mens x2 = 4 er sann. Derfor erikke x2 = 4 → x = 2 alltid sann.

Hvis vi vet at p → q gjelder, og vi vet at p er sann,kan vi konkludere med at q er sann. I alle

kombinasjoner i sannhetsverditabellen der bade p og p → q er sann (dvs. i første kolonnene) erogsa

q sann. Dette gir en logisk slutningsregel som kalles modus ponens, og som har vært kjent siden

antikken3.

Definisjon av ekvivalens, ↔

Setningen p↔ q leses ”p er ekvivalent med q” eller ”p hvis og bare hvis q”. En ekvivalens er sannnar p og q har samme sannhetsverdier:

p S S U U

q S U S U

p↔ q S U U S

(3.5)

3.1.2 Sammensatte utsagn

Vi kan ha utsagn med flere logiske operasjoner. Parenteser brukes som i algebraen: Sannhetsverdieninni parenteser skal avgjøres først,og deretter behandles dette som et atomært utsagn. Ellers utføresnegasjon først, slik at ¬p ∨ q betyr (¬p) ∨ q, og ikke ¬(p ∨ q). Implikasjoner og ekvivalenser gjørestil slutt, slik at p ∨ q ↔ q ∨ p betyr (p ∨ q)↔ (q ∨ p).

Vi kan da bruke sannhetsverditabeller til a finne sannhetsverdiene til det sammensatte utsagnet.

Eksempel Nedenfor vises hvordan vi kan finne sannhetsverditabell for

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

p S S U U

q S U S U

p ∧ q S U U U

¬(p ∧ q) U S S S

p ∨ q S S S U

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) U S S U

Forklaring: I tredje linje har vi satt opp sannhetsverdiene for p∧ q ut fra definisjonen i tabell (3.2).I linja under finner vi sa sannhetsverdiene til ¬(p ∧ q), ved a bruke negasjon (som gir motsattsannhetsverdi) pa sannhetsverdiene til p ∧ q. I neste linje setter vi opp sannhetsverdiene til p ∨ q,fra definisjonen i tabell (3.3). Til slutt kombineres sannhetsverdiene for linjene fra ¬(p∧ q) og p∨ qtil (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) ved hjelp av definisjonen av ∧ i tabell (3.2). Det er kombibnasjonen av S–erog U–er som er avgjørende, slik at første kolonne (med sannhetsverdier) gir U da det er en U (for¬(p ∧ q) og en S (for p ∨ q) i denne kolonnen. U over S tilsvarer tredje kolonne i tabell (3.2), ogder finnes en U i nederste rekke.

3Formulert av den greske filosofen Aristoteles (384–322 f.kr). Han er ogsa opphavsmannen til ordet logikk, fradet greske ordet logos som betyr fornuft.


I ”utregningen” over gir de to første kolonnene en systematisk oppsetting av alle kombinasjonerav sannhetsverdier for de atomære utsagnene, mens siste kolonne gir sannhetsverdien for det sam-mensatte utsagnet (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). Det i mellom kan betraktes som en ”mellomregning”. Ved aoppsummere dette uten mellomregning far vi

p S S U U

q S U S U

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) U S S U

Denne er sant hvis nøyaktig en av p eller q er sanne. Det vil si at utsagnet er det samme someksklusiv eller. Hvis du leser det litt nøye ser du kanskje dette pa selve utsagnet: Første ledd, p∨ q,sier at minst en av dem skal være sanne, mens siste ledd, ¬(p∧ q), sier at ikke skal begge skal væresanne.

En annen ting som kan noteres i forbifarten er at dette har motsatte verdier av definisjonen for p↔ q.

Hvis vi snur sannhetsverdiene med negasjon, ¬((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)) far vi et utsagn som logisk er det

samme som ekvivalens. Vi kan derfor utrykke ↔ ved hjelp av ¬, ∧ og ∨, sa vi kunne streng tatt klart

oss uten ↔. Den er likevel grei a ha, da den gjør uttrykkene kortere og lettere a lese.

Eksempel Vi kan ha mer enn to atomære utsagn. I neste eksempel har vi tre: p, q og r. Herlages sannhetsverditabell for utsagnet (p ∧ q) ∧ r. Legg merke til oppsettet for kombinasjonene avsannhetsverdiene i de atomære utsagnene i de tre første linjene:

p S S S S U U U U

q S S U U S S U U

r S U S U S U S U

(p ∧ q) S S U U U U U U

(p ∧ q) ∧ r S U U U U U U U

(3.6)

Utsagnet p∧ (q ∧ r) far samme sannhetsverditabell (samme liste av sannhetsverdier pa nederste rad),

og har demed samme logiske betydning. Derfor kan vi droppe parentesene, og entydig skrive p∧ q∧ r.Det samme gjelder p ∨ q ∨ r, som vil fa rekka S S S S S S S U nederst.

3.1.3 Tautologier og selvmotsigelser

Et utsagn som er sant uansett sannhetsverdi pa de atomære utsagnene kalles en tautologi.Et utsagn som er usant uansett sannhetsverdi pa de atomære utsagnene kalles en selvmotsigelseeller en kontradiksjon.

Eksempel pa tautologi Utsagnet p ∨ ¬p er et eksempel:

p S U

¬p U S

p ∨ ¬p S S

Eksempel pa selvmotsigelse: Utsagnet p ∧ ¬p er et eksempel:

p S U

¬p U S

p ∧ ¬p U U

3.1. UTSAGNSLOGIKK 57

En tautologi er sant i kraft av sin logiske struktur, og ikke hva utsagnene tilfeldigvis betyr. A si at”Nils Henrik Abel ble født i 1802 eller manen er en gul ost” er sant fordi Abel ”tilfeldigvis” ble fødtdet aret. Dette kan kalles en empirisk sannhet. Tautologien ”manen er en gul ost eller manen er ikkeen gul ost” er logisk sann, men den sier ikke noe om verden omkring oss, ikke engang om manen.

Pa mange mater tilsvarer dette forholdet mellom empiriske vitenskaper (for eksempel fysikk) og

matematikk. Det er ikke ulogisk at vann er is ved 10 Celciusgrader og vanlig lufttrykk, vi vet bare fra

erfaring at sann er det ikke. Det er derimot noe fundamentalt fornuftstridig a hevde at 2 + 2 = 5.

Ofte opptrer ekvivalens i tautologier, og har en litt spesiell rolle der. Vi begynner med et eksempel:

Eksempel pa tautologi med ekvivalens Vi skal sette opp sannhetsverditabell for ¬(p∨ q)↔¬p∧¬q. De horisontale linjene er hjelpelinjer, og den ekstra horisontale linja skiller mellom det pavenstre og det pa høyre side av ↔.

p S S U U

q S U S U

p ∨ q S S S U

¬(p ∨ q) U U U S

¬p U U S S

¬g U S U S

¬p ∧ ¬q U U U S

¬(p ∨ q)↔ ¬p ∧ ¬q S S S S

En ekvivalens er sann betyr at det pa begge sider av↔ har samme sannhetsverdi. Derfor er en muligtolkning eller anvendelse av denne tautologien at ¬(p∨q) og ¬p∧¬q har samme sannhetsverditabell.De betyr derfor logisk sett det samme, og↔ har en rolle som tilsvarer et likhetstegn. Hvis vi ønskera tydeliggjøre eller presisere at ekvivalensen er en tautologi, og at hovedsaken er at vi dermed harto logisk sett like uttrykk, erstattes gjerne ↔ med ⇔, og vi skriver

¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Vi har brukt tegnet ⇔ tidligere, i forbindelse med likninger. For eksempel kan vi skrive 4x− 3 = 0 ⇔4x = 3. Dette betyr da omtrent det samme, selv om det trengs litt utvidelse av logikken i forhold til

utsagnslogikk. Vi kan betrakte 4x − 3 = 0 og 4x = 3 som variable utsagn, som er sant for noen og

usant for andre verdier av x. 4x−3 = 0 ⇐⇒ 4x = 3 sier da at de er sanne eller usanne for de samme

verdiene, det vil si likningene har samme løsningsmengde. Og grunnen til dette er logisk, det ligger

et logisk (matematisk) argument til grunn for omformingen.

Vi har ogsa brukt notasjonendef⇔. Dette betyr at det pa begge sider av tegnet har samme sannhetsverdi

fordi venstresiden defineres til a bety det samme som høyresiden.

3.1.4 Sammenheng mellom logiske operasjoner og mengdeoperasjoner.

Det er en nær sammenheng mellom de logiske operasjonene i dette avsnittet, og mengdeoperasjo-ene i avsnitt 2.2. Blant annet kan mengdeoperasjonene defineres direkte ved hjelp av tilsvarendelogiske operasjoner. ∨ tilsvarer ∪ og ∧ tilsvarer ∩ (merk en viss likhet mellom tegn for tilsvarendeoperasjoner)

x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

Kompliment tilsvarer ¬, ihvertfall om vi har som utgangspunkt at x er i grunnmengden:

x ∈ A ⇐⇒ ¬ (x ∈ A)


Delmengde ⊂ tilsvarer →, og likhet = tilsvarer ↔:

A ⊂ B ⇐⇒ x ∈ A→ x ∈ B

A = B ⇐⇒ x ∈ A↔ x ∈ B

I eksemplet pa side 57 sa vi at utsagnet

¬(p ∨ q)↔ ¬p ∧ ¬q

er en tautologi. Ved a erstatte med de tilsvarende mengdeuttrykkene tilsvarer dette

A ∪B = A ∩B

som vi i setning (2.10b) pa side 38 tidligere har sett som en av deMorgans lover. Alle reglene i(2.10b) har tilsvarende regler for utsanglogikken:

a) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) tilsvarer A ∪ (B ∩ C)= (A ∪B) ∩ (A ∪ C)b) p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) tilsvarer A ∩ (B ∪ C)= (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

c) ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q tilsvarer A ∪B = A ∩B

d) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q tilsvarer A ∩B = A ∪B

(3.7)

De to første reglene kalles distributivitet, de to siste deMorgans lover.

De logiske reglene over kan vises ved sannhetsverditabeller. Disse kan sa brukes til a vise detilsvarende mengdereglene (som en mer matematisk stringent utledning enn bruk av Venndiagram.)

3.1.5 Eksempler pa bruk i programmering.

I programmering brukes ofte logiske variable, navn pa størrelser som er tilordnet en logisk verdi(som kan endres under programmets gang). Det kan for eksempel være deklarert en variabel mednavn feilflagg, som normalt har verdien ”usann” (eller 0), men som blir endret til sann hvis noemed inngangsdataene ikke er slik programmet forutsetter det skal være. Dette kan for eksempelvære at man prøver a taste inn en bokstav et sted programmet krever et tall. Da kan det liggeinne en programlinje som ser omtrent slik ut (litt avhengig av programmeringssprak):

....if feilflagg then <gi feilmelding> end if....

Kommandoer med if <logisk uttrykk> then utføres hvis det logiske uttrykket er sant, ellersdroppes det.

Det er kanskje mer hensiktsmessig a bruke en løkke:

....while feilflagg do

<gi feilmelding, krev ny input,gi feilflagg verdien usann hvis det na er riktig>

end while....

Hvis det ikke har vært noen feil er feilflagg usann, og while–kommandoen hoppes over. Hvisfeilflagg er sann gar programmet inn i løkka, og krever korrigering , om og om igjen til feilflaggforhapentligvis blir usann etterhvert.

3.2. TALLSYSTEMER 59

I slike progambiter kan logiske kombinasjoner brukes, og programmene forstar gjerne de engelskeordene for de logiske operasjonene (i det minste and, or og not). Hvis en kommando bare skalutføres om feilfalagg er usann, og dessuten en variabel svar har verdien ’J’ eller ’Y’ (for ”ja”,pa norsk eller engelsk), kan dette programmeres:

......if not feilflagg and (svar=’J’ or svar=’Y’) then

....end if.....

Det logiske utsagnet her har strukturen ¬p ∧ (q ∨ r). Blir det infløkte kombinasjoner er sannhets-verditabeller nyttige hjelpemidler til a fa det riktig. Uansett vil det regne noen oppgaver medsannhetsverditabeller være nyttig for a øve seg opp til a forsta og a utføre slike viktige program-meringsrutiner.

3.2 Tallsystemer

Nar vi med vart vanlige tallsystem skriver 247 kan dette tolkes som 2 · 100 + 4 · 10 + 7 · 1. Dettekan ogsa skrives

247 = 2 · 102 + 4 · 101 + 7 · 100

Desimaltallet 37.25 er det samme som 3 · 101 + 7 · 100 + 2 · 10−1 + 5 · 10−2, og dette kan skrives

37.25 = 3 · 101 + 7 · 100 + 2 · 10−1 + 5 · 10−2

For det første er det posisjonen sifferet star i som bestemmer hva det egentlig representerer. Stardet 2 i en posisjon med to siffer til høyre for seg (før eventuelt desimaltegn) representerer det200 = 2·102. Denne maten a representere tall pa kalles posisjonstall. Eksempel pa et tallsystem somikke er posisjonstall er romertall, der for eksempel 14 skrives som XIV . Posisjonstall er selvfølgeligmye mer hensiktsmessig a regne med, og gir ogsa et lettfattelig system for a angi hvilket som helstheltall.

En annen egenskap med vare vanlige siffer er den framtredende betydningen tallet 10 har. Hverposisjon representerer multiplikasjon med en potens av 10, i henhold til sin posisjon. Tallet 10er noksa tilfeldig valgt her. Historisk har det antakelig sammenheng med telling ved hjelp avfingre, ”digit” som betyr siffer pa engelsk kommer av det latinske ordet for ”finger”. Vi kallerdette tallsystemet titallsystemet, og tallet 10 for basisen for titallsystemet. Vi skal ogsa kalle dettedesimaltallsystemet. Det byr ikke pa prinsipielle problemer a velge et annen basis enn 10 . Velgervi et mindre basistall blir for eksempel addisjon og multiplikasjonstabellen kortere og lettere alære, mens tallene krever flere sifre og blir tyngre a lese. Omvendt om vi velger et større basistall,kanskje er 10 et passende kompromiss?

I datasammenheng er det ofte hensiktsmessig a bruke 2, eller en potens av 2, som basistall i etposisjonstallsystem. Her skal vi se litt pa posisjonstall med basis 2, som kalles binære tall, og medbasis 24 = 16 som kalles hexadesimale tall.

3.2.1 Binære tall

Bakgrunnen for ønske om bruk av 2 som basis i posisjonstall i datasammenheng er at siffer internt imaskinen representeres av lagerceller som bare ha to posisjoner. Det er ”spenning pa” og ”spenningav” (egentlig to forskjellige spenninger, høy og lav). Dette kan tolkes som sifrene 0 og 1, de binæresifrene. Flere slike lagerplasser kan sa brukes til a representere sammensatte tall. Størrelsen pa en


lagerplass som kan inneholde et binært siffer kalles en bit. De er gjerne organisert i i lagercellermed plass til 8 slike siffer, og størrelsen pa denne kalles en byte.

Et binært tall bestar derfor bare av 0–er og 1–ere. For eksempel kan vi ha det 8-sifrede binæretallet

(10011101)2

der vi her bruker notasjonen (. . .)2 for a presisere at dette skal forstas som et binært tall (og ikkeet tall i titallsysytemet pa noe over ti millioner).

Siden posisjonen angir hvilken tperpotens vi skal multiplisere med far vi direkte en omregnings-metode fra binære til desimaltall, som i eksemplet under:

(10011101)2 = 1 ·27+0 ·26+0 ·25+1 ·24+1 ·23+1 ·22+0 ·21+1 ·20 = 128+16+8+4+1 = 157

Har vi et punktum i tallet vil vi, pa tilsvarende mate som for desimaltall, regne negative potensertil høyre for dette:

(1010.10101)2 = 1 · 23 + 1 · 21 + 1 · 2−1 + 1 · 2−3 + 1 · 2−5 = 8 + 2 +12+

18+

132

= 10.65625

Nedenfor følger en liste av binære tall :

0 (0)2 8 (1000)2 16 (10000)2 24 (11000)21 (1)2 9 (1001)2 17 (10001)2 25 (11001)22 (10)2 10 (1010)2 16 (10010)2 26 (11010)23 (11)2 11 (1011)2 19 (10011)2 27 (11011)24 (100)2 12 (1100)2 20 (10100)2 28 (11100)25 (101)2 13 (1101)2 21 (10101)2 29 (11101)26 (110)2 14 (1110)2 22 (10110)2 30 (11110)27 (111)2 15 (1111)2 23 (10111)2 31 (11111)2

Tallet (10)2 bør leses ”en–null binært” eller ”en–null med base 2” (og ikke som ”ti binært”).

Eksempel Hvis vi tar med 0–er i starten, og skriver de binære tallene vertikalt, vil tallen fra 0til 7 skrives:

0 0 0 0 1 1 1 10 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1 0 1

Sammenlikn med kombinasjone av S–er og U–er i de atomære utsagn (med S erstattet med 0 og U

med 1) i sannhetsverditabellen (3.6) pa side 56.

Mønstre av denne typen kan kalles binære mønstre, og dukker opp i mange sammenhenger. I denne

konteksten gir det prinsippet for a sette opp alle kombinasjonene av sannhetsverdier for et vilkarlig

antall atomære utsagn.

Algoritme for omregning fra desimaltall til binære tall

Omregning til binære tall baserer seg pa divisjon med to, med rest. Betrakt for eksempel tallet(110x)2, der x = 0 eller x = 1. (110x)2 = 23 + 22 + x. Hvis x = 0 inneholder alle leddene 2 somfaktor, og tallet er et partall (divisjon med 2 gar opp). Hvis x = 1 er det et pattall pluss 1, altsaet oddetall. Dette et-tallet blir rest ved divisjon med 2, mens kvotienten blir (1100)2/2. Dennedivisjonen er (1 · 23 +1 · 22 +0 · 21)/2 = 1 · 22 +1 · 21 +0 · 20, som gir det binære tallet (110)2. Detvil si at kvotienten blir det binære tallet der siste siffer er strøket. Derfor kan prosedyren gjentaspa kvotienten for a finne nestsiste binære siffer, osv.


Eksempel Metoden illustreres best med et eksempel, der 43 skal gjøres om til binært tall:

Kvotient rest43 : 2 = 21 121 : 2 = 10 110 : 2 = 5 05 : 2 = 2 12 : 2 = 1 01 : 2 = 0 1

Restene i høyre kolonne gir de binære sifrene, med sifferet lengst til venstre i nederste rekke, sa43 = (101011)2.Kontroll: (101011)2 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43.

Oppskrifter pa hvordan ting regnes ut i matematikken kalles algoritmer, og prosedyren over er eteksempel pa en algoritme.

3.2.2 Aritmetikk med binære tall

Her skal det kort vises hvordan binære heltall adderes og multipliseres. Dypt inne i datamaskinenforegar addisjon og multiplikasjon pa denne maten. Dere far kanskje ikke bruk for a programmeredette selv, men det er greit a vite at det er forholdsvis greit a oversette disse algoritmene tilmaskinkode. Dessuten utfører datamaskinen dette svært raskt. Hurtigheten har betydning siden detofte inngar tusenvis eller millionvis av enkeltaddisjoner, multiplikasjoner eller subtraksjoner i endataprogrambit.

Addisjon

Dere kjenner addisjonsalgoritmen for desimaltall fra grunnskolen. Tallene skrives under hverandre,og de adderes siffer for siffer fra høyre. Hvis summen av to sifre overstiger 10, vil 10-erdelen overførestil neste siffer mot venstre. Denne tieroverføringen skrives gjerne over tallet, og heter mente:

Mente 1 1 0 1

Addend 1 4 7 2 3Addend 2 5 8 3 8Sum 1 0 5 6 1

Tilsvarende algoritme virker for binære tall. Vi ma da bare kjenne addisjonsregelen for inntil 3binære siffer (en for hver addend og en for menten), og dere overbevisere dere lett om at denne er:

Mente ((overført fra forrige kolonne fra høyre) 1 1 1 1

Addend 1 0 0 1 1 0 0 1 1Addend 2 0 1 0 1 0 1 0 1Sum 0 1 1 10 1 10 10 11Siffer i sum 0 1 1 0 1 0 0 1Mente (overføres til neste kolonne mot venstre): 0 0 0 1 0 1 1 1

Her illustreres addisjon av to tall som hver kan lagres i et 8–bits register, og der summen hellerikke overstiger dette. I tillegg til et register for hver av addendene og til summen trengs et registerfor menten:

Mente (register 4) 1 1 0 0 1 1 1

Addend 1 (register 1) 0 1 1 0 0 1 0 1Addend 2 (register 2) 0 0 1 0 0 1 1 1Sum(register 3) 1 0 0 0 1 1 0 0


Resultatet kan oppsummeres, og kontrolleres ved a addere høyre kolonne:

Binært Omregning Desimalt

(01100101)2 = 26 + 25 + 22 + 20 = 101+ (00100111)2 = 25 + 22 + 21 + 20 = 39= (10001100)2 = 27 + 23 + 22 = 140

Addisjon med flere enn to tall kan gjøres skrittvis ved a addere to og to tall. Det er ogsa mulig a lage en

algoritme som tar sum av flere enn to tall direkte. Da kan kolonnesummen bli større enn (11)2. Da vil at

menten forskyves over flere plasser, og vi kan trenge flere etasjer med menter. I denne boken stopper vi

her, for bredere dekning henvises til annen litteratur4.

Multiplikasjon

Først et eksempel for a minne om hvordan multiplikasjon mellom tall i desimalsystemet foregar:

Multiplikasjon : 2 1 3 · 204213 · 4 : 8 5 2213 · 00 : 0 0 0213 · 200 : 4 2 6Produkt : 4 3 4 5 2

For hvert nye siffer fra venstre i andre faktor forskyves resultatet en mot venstre. Dette skyldesat det egentlig star et passende antall 0–er til høyre. Disse skrives vanligvis ikke opp. Bidraget frasifferet 0 i multiplikasjonen er bare at neste ledd forskyves et ekstra ledd til venstre. Det er ikkenødvendig a skrive opp dette leddet.

Metoden virker, og blir enda enklere, med binære tall. Da er jo alle enkeltmultiplikasjoner multi-plikasjonen med 1 eller 0. Her vises dette ved et eksempel:

Multiplikasjon : 1 1 0 1 · 101Mente : 1 1 1 1

1101 · 1 : 1 1 0 11101 · 00 : 0 0 0 01101 · 100 : 1 1 0 1Produkt : 1 0 0 0 0 0 1

Multiplikasjonen (1101)2 · (101)2 = (1000001)2 er med desimaltall 13 · 5 = 65.

3.2.3 Hexadesimale tall

En ulempe med binære tall er at tallene blir svært lange, og tunge a lese manuelt. Selv med godtrening er det ikke lett a ha en god ide om hvor stort (110 0101 0111 0101)2 er, det er lettere aforholde seg til det tilsvarende desimaltallet 25 973. Siden registrene i datamaskinen er 8 bits, erdet mulig a representere 28 = 256 forskjellige tall i en byte. En ulempe med a velge dette som basiser at da ville det vært behov for hele 256 forskjellige sifre, og dette er ikke praktisk. En mellomtinger a la en byte representere to siffer, og for hver er det da 24 = 16 mulige kombinasjoner. Dette ermye brukt i datasammenheng, og tallsystem med bese 16 kalles hexadesimale tall.

For a representere hexadesimael tall trenger vi 16 forskjellige siffer (for tallene fra 0 til 15). Forde 10 første kan vi bruke de samme sifrene som i desimalsystemet, 0 , 1 , . . . , 9, men vi trenger

4For eksempel kapittel 2 i Stephen Barnett: Discrete mathematics, numbers and beyond (Addison Wesley Long-man 1998)


ytterligere 6 sifre. Det er vanlig a bruke de store bokstavene A , B , . . . , F til dette, sa vi harfølgende hexadesimale siffer:

Hexadesimalt siffer: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E FDesimaltall: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Omregning fra hexadesimale tall til desimaltall

Omregning fra heksadesimale tall til desimaltall blir da som i følgende eksempler:

( 25 )16 = 2 · 161 + 3 · 160 = 35( 1A )16 = 1 · 161 + 10 · 160 = 26(FF )16 = 15 · 161 + 15 · 160 = 255( 2C5 )16 = 2 · 162 + 12 · 161 + 5 · 160 = 784

Eksempel Hexadesimale tall brukes ofte i fargeangivelser i dataprogrammer, for eksempel i HT-ML kode, der en linje kan se slik ut:

<body text="#000000" bgcolor="#DCF9B0" link="#0000EE">Tegnet # brukes her til a signalisere at det etterfølgende er et hexadesimalt tall. Tallene er seks-sifrede, men skal leses som tre tosifrede tall: Et for andelen rødt, et for andelen grønt og et forandelen blattt (RGB-systemet). Andelen er som deler av (FF )16 = 255, slik at sifrene FF betyrfor ”full styrke” av denne fargen. text="#000000" betyr at vanlig tekst har 0 deler av hver, og dablir teksten svart.link="#0000EE" betyr at teksten for hyperlenker har styrke (EE)16 = 238, eller 238/255, av fullstryke, pa blatt. Det har ingen andel rød eller grønn, sa teksten er den vanlige lysebla fargen for aangi hyperlenker.bgcolor="#DCF9B0" angir at bakgrunnen har en andel pa (DC)16 = 220 av rødt, (F9)16 = 249 avgrønt og (B0)16 = 198. Det er nok ikke sa lett a se hvordan denne fargen ser ut (det er en slagslysegrønn).Med like andeler av alle fargene far vi gratoner: Svart er kodet som (000000)16, mens hvitt er(FFFFFF )16.

Omregning fra desimaltall til hexadesimale tall

En algoritme som tilsvarer omregning til binære tall virker fortsatt: Vi dividerer gjentatte gangermed basen 16. Resten i divisjonen blir de heksadesimale sifrene (regnet fra venstre), mens kvotientengar til videre divisjon med 16 helt til den blir 0. Dette illustreres med et eksempel:

Kvotient rest15706 : 16 = 981 10981 : 16 = 61 561 : 16 = 3 133 : 16 = 0 3

Sifrene er i høyre kolonne, regnet nedenfra. Vi ma erstatte 10 med A og 13 med D, og far:

15706 = (3D5A)16

Vi kan kontrollregne ved a regne tilbake:(3D5A)16 = 3 · 163 + 13 · 162 + 5 · 16 + 10 = 15706.

Divisjon med rest lærte du i grunnskolen. Her er et triks til a gjøre dette ved hjelp av en kalkulator sombare regner med desimaltall (for første divisjon i forrige eksempel): Start med divisjonen 15706/16, og


kalkulatoren gir svaret 981.625. Da er heltalsdelen 981 kvotienten, mens desimaldelen 0.625 er restendividert med 16. Ved a multiplisere 0.625 med 16 faes da resten (etter avrunding til nærmeste heltall):16 · 0.625 = 10.0000.

Mange av dagens kalkulatorer har imidlertid regning med binære og hexadesimale tall innebygd. Da

er det ogsa mulig med omregninger mellom tallsystemene. Du utfordres til a finne ut om og hvordan

din kalkulator gjør dette.

Omforminger mellom binære og hexadesimale tall

A gjøre om mellom binære og hexadesimale tall, og omvendt er forholdsvis enkelt. Dette kommerav at 24 = 16, slik at de hexadesimale sifrene er de som kan representeres med 4 binære sifre(medregnet 0–er i starten). Fire og fire binære sifre gar derfor sammen til hexadesimale sifre.Omvendt vil hexadesimale sifre gi fire binære sifre. Metoden vises med eksempler.

Eksempel: Omforming fra binært til hexadesimalt:

(101 1101 0010 1010)2 = (0101︸︷︷︸5

1101︸︷︷︸D

0010︸︷︷︸2

1010︸︷︷︸A

)2 = (5D2A)16

Eksempel: Omforming fra hexadesimalt til binært :

(F6B)16 = ( F︸︷︷︸(1111)2

6︸︷︷︸(0110)2

B︸︷︷︸(1011)2

)16 = (1111 0110 1011)2

Det er et alternativ a først omforme til binære tall, og videre til hexadesimale tall hvis du skalgjøre om fra desimalt til hexadesimalt (og ikke liker a dividere med 16, med rest).

3.3 Oppgaver

Oppgave 3.1 Sett opp sannhetsverditabell for utsagnene under. I hvert enkelt tilfelle skaldet angies om utsagnet er en tautologi eller selvmotsigelse. (Flere av oppgavene viser generelle

omformingsregler for logiske uttrykk. Førsøk gjerne a identifisere dette.)

a ) ¬p ∨ q b) (p→ q)↔ (q → p)

c ) (p ∧ q)→ (p ∨ q) d) (p→ q)↔ (¬q → ¬p)e ) p→ ¬p f) p↔ ¬p

g ) p ∧ q ↔ ¬p ∨ ¬q h) ¬(p ∧ q)↔ ¬p ∨ ¬q

Oppgave 3.2 Sett opp sannhetsverditabell for utsagnene under. I hvert enkelt tilfelle skaldet angies om utsagnet er en tautologi eller selvmotsigelse:

a ) p ∨ (q ∧ r) b) (p ∨ q) ∧ r ↔ p ∨ (q ∧ r)

c ) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) d) p ∧ (q ∨ r)↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

e ) (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r)

f ) (p1 ∧ ¬p2 ∧ p3 ∧ p4) ∨ (p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 ∧ ¬p4)

3.3. OPPGAVER 65

Oppgave 3.3 I denne oppgaven skal vi definere en ny logisk operasjon ∧− ved

p ∧− qdef⇔ ¬(p ∧ q)

a ) Sett opp sannhetsverditabell for p ∧− q.

b ) Sett opp sannhetsverditabell for p ∧− p.Hvilken anne kjent operasjon har samme sannhetsverditabell?

c ) Sett opp sannhetsverditabell for (p ∧− q) ∧− (p ∧− q).Hvilken annen kjent operasjon har samme sannhetsverditabell?

d ) Sett opp sannhetsverditabell for (p ∧− p) ∧− (q ∧− q).Hvilken annen kjent operasjon har samme sannhetsverditabell?

I prinsippet kan vi fa til hvilken som helst sannhetsverditabell bare ved bruk av den ene operasjonen

∧− . Den kalles nand (eller nog pa norsk). I datamaskiner og elektroniske styringssystemer brukes logis-

ke operasjoner (der S tilsvarer ”høy spenning” og U tilsvarer ”lav spenning”). Det finnes komponenter

som utfører denne operasjonen, og de kalles nandporter.

Oppgave 3.4 I denne oppgaven skal vi definere en logisk operator som her skal kalles ∨− ,fra følgende sannhetsverditabell:

p S S U U

q S U S U

p ∨− q U U U S

a ) Finn en kombinasjon av standardoperasjonene (∨, ∧ og ¬) som utrykker det samme somp ∨− q

b ) Finn en kombinasjon som bare inneholder operasjonen ∨− , og som har samme sannhets-verditabell som ¬p.

c ) Finn en kombinasjon som bare inneholder operasjonen ∨− , og som har samme sannhets-verditabell som p ∧ q.

d ) Finn en kombinasjon som bare inneholder operasjonen ∨− , og som har samme sannhets-verditabell som p ∨ q.

e ) Finn en kombinasjon som bare inneholder operasjonen ∨− , og som har samme sannhets-verditabell som p→ q.

Denne operasjonen kalles nor (eller neller pa norsk). I datamaskiner og elektroniske styringssystemer

kalles komponenter som utfører dette norporter.

Oppgave 3.5 Gjør om følgende binære tall til desimaltall:

a ) (100)2 b) (111)2 c) (1111)2

d ) (1101)2 e) (1011)2 f) (1010)2

g ) (10110101)2 h) (10.1)2 i) (110.110101)2

Oppgave 3.6 Gjør om følgende desimaltall til binære tall:

a ) 5 b) 13 c) 16


d ) 86 e) 194 f) 476

g ) 1024 h) 1023 i) 8.25

Oppgave 3.7 Utfør følgende addisjoner og multiplikasjoner pa binær form. Kontroller svaretved a gjøre om alt til desimaltall, og regne det ut pa desimalform.

a ) (1)2 + (1)2 b) (101)2 + (1110)2

c ) (11010)2 + (110100)2 d) (1001110)2 + (11010000)2

e ) (11010)2 + (110100)2 + (11010000)2f ) (11010)2 · (110)2 g) (11010)2 · (10110)2

Oppgave 3.8 Gjør om følgende hexadesimale tall til desimaltall:

a ) (C)16 b) (10)16 c) (25)16

d ) (2F )16 e) (DB)16 f) (2AA)16

g ) (10000)16 h) (FFFF )16 i) (2BB5E)16

Oppgave 3.9 Gjør om følgende desimaltall til hexadesimale tall:

a ) 13 b) 15 c) 16

d ) 86 e) 476 f) 1024

g ) 1023 h) 2157 i) 18.25

Oppgave 3.10 En del dataprogrammer bruker 2 bytes (16 bits) til a angi heltall.

a ) Hva er det største tallet som kan representeres pa denne maten, nar tall skal bety naturligetall, N = { 0, 1, 2, 3 · · · } ?

b ) Ofte brukes den første biten til a angi fortegn, med 1 for + og 0 for minus. Hvilket taller da kodet som 0110 0000 1101 0100?

c ) Hva er det største og minste tallet som kan representeres pa denne siste maten?

Kapittel 4

Algebraiske funksjoner

Vi har allerede sett pa definisjonen av funksjon og pa reelle funkskjoner spesielt, i kapittel 2.3. Viskal i dette og de to neste kapitlene fortsette litt mer systematisk med reelle funksjoner. I dettekapitlet skal vi se pa funksjoner der funksjonsverdiene kan regnes ut ved hjelp av de fire regningsar-tene og rotutdragninger: Polynomer, rasjonale funksjoner og rotfunksjoner. I seinere kapittel skalvi ogsa behandle eksponential- og logaritmefunksjoner og trigonometriske funksjoner. Vi skal ogsabehandle en del sentrale begreper og metoder knyttet til funksjoner.

4.1 Polynomfunksjoner

Vi skal først se pa funksjoner der funksjonsformelen er polynomer i den frie variabelen, det vil sifunksjoner som kan skrives pa formen

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 (4.1)

a0, a1, . . . , an er konstanter som kalles polynomets koeffisienter.

Vi forutsetter vanligvis at an �= 0, og da kalles n polynomets grad, mens an er polynomets ledeko-effisient.

Koeffisienten a0 kalles polynomets konstantledd. Vi har alltid at

f(0) = an0n + · · ·+ a10 + a0 ⇐⇒ f(0) = a0.

Geometrisk betyr dette at grafen skjærer y–aksen i y = a0.

4.1.1 Lineære funksjoner

Hvis n = 1 blir polynomet pa formen f(x) = a1x + a0. Disse kalles førstegradsfunksjoner, ellerlineære funksjoner. For eksempel kan vi ha a1 = 1/2 og a0 = −1, og har da funksjonen f(x) =12x− 1.Istedenfor a1 og a0 brukes ofte a og b som symbol for koeffisienten: f(x) = ax+ b.Vi skal ogsa i noen sammenhenger bruke k og l: f(x) = kx+ l.

Grafen til lineære funksjoner er alltid rette linjer. Det er nok a regne ut to punkter pa grafenfor a tegne den i et xy–diagram. For eksempel, om f(x) = 1

2x − 1 er f(0) = 12 · 0 − 1 = −1 og

f(2) = 12 ·2−1 = 0, sa vi vet at punktene (0,−1) og (2, 0) ligger pa grafen, som markert i figur 4.1

(i midten). Nar disse punktene er tegnet inn er det bare a tegne den rette linja gjennom dem.

67

68 KAPITTEL 4. ALGEBRAISKE FUNKSJONER

✲ ✲ ✲

✻ ✻ ✻

✟✟✟✟✟✟✟✟✟

��

�

�

f(x) = 2 f(x) = 12x− 1 f(x) = − 1

3x+ 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

0

1

2

y y y

x x x

Figur 4.1: Polynomer av grad 0 og 1

✲

✻

x

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟

∆x

∆y

f(x) = 12x − 1

f(x + ∆x) = f(4 + 8) = 5

f(x) = f(4) = 1

x = 4 x + ∆x = 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1

0

1

2

3

4

5

6

Figur 4.2: Geometrisk illustrasjon av ∆x og ∆y

Hvis ogsa a1 = 0, slik at vi bare star igjen med funksjonen f(x) = a0 har vi en konstantfunk-sjon, eller et nulltegradspolynom. Grafen til konstantfunksjonene er ogsa rette linjer, men disse erparallelle med x–aksen. I figur 4.1 er grafen til konstantfunksjonen f(x) = 2 tegnet inn.

Geometrisk tolkning av parametrene i f(x) = ax + b

Med parametre menes her de bokstavene som ikke er variabelnavn, det vil si a og b i f(x) = ax+ b.”Geometrisk tolkning” er betydningen for utseendet av grafen.

Konstantleddet b gir skjæring med y–aksen. Hvis y–aksen er innenfor det utsnittet av grafen somer tegnet inn kan vi derfor lese verdien av b direkte fra figuren.

Ledekoeffisienten a kalles stigningskoeffisienten. Den angir helninga til linja. Hvis a > 0 gar linjaoppover mot høyre, og vi sier at funksjonen er voksende. Hvis a < 0 er funksjonen avtagende,grafen gar nedover mot høyre , som grafen til f(x) = − 1

3x+ 2, som er tegnet i figur 4.1 til høyre.Hvis a = 0 reduseres polynomet til en konstantfunksjon med horisontal graf.

Mer presist angir a hvor mye f(x) endres om x endres med 1. Generelt har vi at om x–verdienendres med et tall ∆x, og dermed f(x) endres med ∆y, er a = ∆y

∆x , uansett hvor stor vi har valgt∆x1. Dette er illustrert i figur 4.2.

1At forholdet ∆y∆x

ikke endres om vi endre størrelsen pa ∆x i den grafiske framstillingen skyldes at forholdetmellom tilsvarende sider i likedannede trekanter er konstant. Dette er en klasssisk geometrisk setning.Hvis vi regner det analytisk, det vil si ved hjelp av formelen, har vi:

∆y = f(x + ∆x)− f(x) = [a(x + ∆x) + b] − [ax + b] = a∆x, sa∆y

∆x=

a∆x

∆x= a.

At den geometriske og analytiske maten a betrakte dette forholdet pa gir samme resultat er grunnen til at lineærefunksjoner har rettlinjede grafer.

4.1. POLYNOMFUNKSJONER 69

✲

✻

x

f(x)

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

b = 3

b = 0

b = −3.5

Figur 4.3: Virkning av a endre parameteren b i f(x) = 12x+ b

✲

✻

x

❅❅

❅❅

❅❅

❅❅

❅❅

❅❅

❅

❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍

��

��

��

��

��

��

✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆✆

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

a = −1

a = −1/2

a = 0

a = 1a = 6

Figur 4.4: Virkning av a endre parameteren a i f(x) = a x+ 1

Skrivematen med ∆ brukes gjerne for a angi at størrelsen naturlig kan tolkes som lengden pa et intervall.

I den figuren er det grafen til f(x) = 12x − 1 som er tegnet. Valget av x og ∆x er tilfeldig, x = 4,

og ∆x = 8, og da følger det at ∆y = f(12)− f(4) = 5− 1 = 4, slik at ∆y∆x = 4

8 = 12 . Overbevis deg

selv om at du far samme svar om du velger et annet utgangspunkt (f.eks x = 0), og en annen ∆x(f.eks ∆x = 2).

Hvis vi dermed holder a konstant, men varierer b far vi linjer med samme stigning, det vil siparallelle linjer, som illustrert i figur 4.3.

Hvis vi holder b konstant, men varierer a far vi grafer med forskjellig stigning, men som alle skjærery–aksen i y = b, som illustret i figur 4.4.

Stigningskoeffisienten a er en viktig størrelse i matematikk og anvendelser. Det er kanskje ikkeførst og fremst den geometriske egenskapen at den angir hvor bratt kurven er, men det at denangir hvor raskt funksjonen endres som er viktig. Den gir et mal for hvordan funksjonen endres.Derivasjon, som vi kommer til senere, utvider dette til funksjoner som ikke har rettlinjet graf.

Eksempel En mann starter pa hjemreisen 120 km hjemmefra, og vi tenker oss at han klarer akjøre med konstant fart 80km/t hele veien. Hvis x er tiden (i timer) fra starttidspunktet, og f(x)er avstanden hjem vil følgende sammenheng gjelde:

f(x) = −80x+ 120


Vi har her a = −80, og stigningskoeffisienten er direkte farten (negativ siden avstanden hjemminker). For funksjoner som angir posisjon som funksjon av tid har vi at endringen er farten. Vikan ogsa lese av den opprinnelige avstanden hjem som b = 120. For a finne ut hvor lang tid hanbruker pa turen finner vi ut hvilket tidspunkt x som gir f(x) = 0, dvs. nar avstanden hjem er0km. Da ma vi løse likningen −80x + 120 = 0 med løsning x = −120/− 80 = 1.5 (1 time og 30minutter).

Vanligvis brukes t istedenfor x som variabelnavn nar variabelen representerer tiden. Dessuten er det

vanlig a bruke s for funksjoner som angir strekning. Funksjonen i dette eksempelet vil da gjerne skrives

s(t) = 120 − 80t.

Ved hjelp av derivasjon kan vi ogsa hanskes med situasjoner der farten ikke er konstant hele veien.

Likning for lineær funksjon gjennom to punkter.

Hvis vi kjenner to punkter pa grafen, og vet at funksjonen er pa formen f(x) = ax + b, kanparametrene a og b bestemmes.

Hvis det ene punktet er skjæring med y–aksen far vi parameteren b direkte:Hvis f(0) = 3 og f(2) = 7 vet vi at b = 3, og dermed f(x) = ax+ 3. For a bestemme a kan vi dasette inn koordinatene i det andre punktet: f(2) = 7 og f(2) = a · 2 + 3. Disse to uttrykkene forf(2) skal være like, og dette gir en likning til a bestemme a:

a · 2 + 3 = 7 ⇐⇒ a = (7− 3)/2 = 2 ⇐⇒ f(x) = 2x+ 3

Hvis ikke det ene punktet er skjæringen med y–aksen kan vi bruke tilsvarende framgangsmate medinnsetting for a fa to likninger til a bestemme a og b.Hvis vi har at f(3) = 7 og f(5) = 1 far vi likningene

a · 3 + b = 7a · 5 + b = 1

Dette kan løses ved innsettingsmetoden. Fra første likning far vi b = 7− 3a, som settes inn i andrelikning til

5a+ (7 − 3a) = 1 ⇐⇒ 2a+ 7 = 1 ⇐⇒ a = −3

Vi kan sa sette a–verdien inn i en av likningene for a bestemme b:

−3 · 3 + b = 7 ⇐⇒ b = 16 ⇐⇒ f(x) = −3x+ 16

Kontroll av svaret: f(3) = −3 · 3 + 16 = 7 og f(5) = −3 · 5 + 16 = 1.

Eksempel- reskalering

Omregning Celciusgrader til Fahrenheitgrader. Vi har ofte bruk for a regne om fra enmaleenhet til en annen, og omregninga er da som oftest en lineær funksjon. Hvis for eksempel xer en temperatur i Celciusgrader, og f(x) er den samme temperaturen malt i Fahrenheitgrader, ersammenhengen f(x) = 1.8x+32. Det vil si at 20 grader Celcius tilsvarer f(20) = 1.8 ·20+32 = 68grader Fahrenheit. 100 grader Fahrenheit i Celciusgrader finner vi ved a løse likningen 100 =1.8x + 32 ⇐⇒ x = 37.8 (Fahrenheit tok utgangspunkt i at normal kroppstemperatur er ca 100grader). Stigningskoeffisienten 1.8 angir hvor mange Fahrenheitgrader en temperaturforskjell pa 1Celciusgrad utgjør.


Figur 4.5: Et bilde i format 640× 480 pixler (.bmp-format), og et forstørret utsnitt.

Bildeposisjoner i centimeter og pixler. Bilder er gjerne representert elektronisk som fargeeller gratone i et visst antall punkter som kalles pixler. Et vanlig format for bilder med moderatoppløsning er 640 × 480 pixler, som betyr at bildet egentlig er et rutenett med 680 kolonner og480 rader. I figur 4.5, til venstre, er et slikt bilde, skalert til 8 × 6 cm. Siden 8/6 = 640/480 erforholdet mellom bredde og høyde bevart. Bildet til høyre er hodet til gutten i masta forstørretkraftig opp, sa dere ser at bildet egentlig bestar av ensfargede kvadrater. Utsnittet er 20 × 20pixler stort. For visse formal kan vi være interessert i hvor mange pixler y fra venstre kant etpunkt i bildet x cm fra venstre kant ligger. Vi kan forenkle litt (ved a si at verdien 0 er rett tilvenstre for første, og 640 rett til høyre for siste pixel). Omregningsfunksjonen vil da være pa formeny = f(x) = ax + b, og siden vi plasserer origo slik at f(0) = 0 er b = 0. For a bestemme a kan vida bruke at f(8) = 640 ⇐⇒ a · 8 = 640 ⇐⇒ a = 640

8 = 80, sa omregningsformelen er y = 80x.Et punkt 5cm fra venstre kant vil demed tilsvare pixlen f(5) = 80 · 5 = 400 fra venstre kant.

4.1.2 Andregradspolynomer

Hvis f(x) = ax2 + bx+ c (med a, b og c som konstanter, og a �= 0) er f(x) en polynomfunksjon avgrad 2, som kort kalles et andregradspolynom.

Grafen til andregradspolynomer kalles parabler. De er alle av samme fasong, men kan ha apningenoppover (for a > 0) eller nedover (for a < 0), være parallellforskjøvet i forhold til hverandre ogforstørret eller forminsket (dvs. med tett eller vid apning).

Figur 4.6 viser en rekke eksempler pa grafer til andregradspolynomer.

Figur 4.6a viser ”standardparabelen” f(x) = x2, sammen med f(x) = 12x

2. Det skal illustrereat endring i ledekoeffisienten a endrer apningen pa parabelen, hvis |a| minkes utvider apningen seg(parabelen blir større).

Figur 4.6b viser f(x) = 2 − x2 og f(x) = 4 − x2. Det illustrerer at om ledekoeffisienten bytterfortegn (her er a = −1) snues parabelen opp ned, slik at apningen kommer nedover. Dessutenillustrerer det at konstantleddene c = 2 og c = 4 er skjæring med y–aksen, og endring av dennemedfører en parallellforskyvning av parabelen opp og ned.


a)

✲

✻

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3x2

12x2

b)

✲

✻

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3

4 − x2

2 − x2

c)

✲

✻

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3

x2 + 2x(x − 2)2 + 2(x − 2)

d)

✲

✻

-3 -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

3

2x2 + 2x − 1

2x2 − x − 1

e)

✲

✻

-2 -1 0 1 2 3

-1

0

1

2

3

2x2 − 2x − 1

x + 1

Figur 4.6: Parabler


Figur 4.6c illustreres en horisontal parallellforskyvning, med to enheter mot høyre. Dette oppnaesved a erstatte x med x − 2. Det gjelder generelt for alle funksjoner at grafen til f(x − k) er densamme som frafen til f(x), forskjøvet k enheter mot høyre. Her er f(x) = x2 + 2x, slik at

f(x− 2) = (x− 2)2 + 2(x− 2) = (x2 − 4x+ 4) + (2x− 4) = x2 − 2x .

Figur 4.6d vises to parabler med samme ledekoeffisient a = 2, og samme konstantledd c = −1,men forskjellige førstegradsledd b = 2 og b = −1. Effekten er en parallellforskyvning (pa skra).Fasongen (størrelse og retning pa apningen) er uendret, da denne er bestemt av a, og skjæringmed y–aksen er den samme da denne er bestemt av c. Figur 4.6e viser ytterligere et eksempel padette. Vi kan ikke direkte lese ut fra b hvordan disse star i forhold til hverandre. En mulighet fora plassere grafen er a finne ut hvor de to bunnpunktene ligger (dette kommer vi tilbake til i nestekapittel).

Det lønner seg a trene litt pa a tegne parabler, slik at man lett kan dra opp en røff skisse basert pade generelle egenskapene til parabler, ikke minst betydningen av ledekoeffisienten a. Ved a regneut noen fa punkter, f.eks. skjæring med y-aksen og et par punkter til, er det da mulig a tegne enbrukbar graf.

Skjæringspunkter mellom grafer

Generelt kan vi finne x–koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene y = f(x) og y = g(x)ved a finne de x–verdiene som gjør y–verdiene like. Dette er a løse likningen f(x) = g(x).

Skjæring med koordinataksene

Vi tar som eksempel utgangspunkt i funksjonen gitt ved

f(x) = 2x2 − 2x− 1

Grafen til denne er skissert i figur 4.6d.

Skjæring med y–aksen er der x = 0, og der er y konstantleddet: y = f(0) = −1, slik atskjæringspunktet er (0,−1).

Skjæring med x–aksen. x–aksen er grafen til funksjonen g(x) = 0 (eller y = 0, om vi vil).x–koordinaten finner vi da ved a løse likningen

f(x) = 0 ⇐⇒ 2x2 − 2x− 1 = 0

Dette er en andregradslikning som løses ved hjelp av formelen

ax2 + bx+ c = 0 for x–verdiene−b±√b2 − 4ac

2a(4.2)

Har har vi a = 2, b = −2 og c = −1, sa røttene er

−(−2)±√(−2)2 − 4 · 2 · (−1)2 · 2 =

2±√124

=2±√4 · 3

4=

2± 2√3

4=

1±√32

Dermed skjærer grafen x–aksen for x = 1−√3

2 ≈ −0.37 og x = 1+√

32 ≈ 1.37.

Sjekk med det figur 4.6d at punktene (0,−1), (−0.37, 0) og (1.37, 0) ser riktige ut som skjærings-punkter med aksene.


x

x

50 − x50 − x

Areal= x(50 − x)

Figur 4.7: Rektangulær innhegning med 100 meter gjerde.

Skjæring mellom to grafer. Som eksempel skal vi se pa skjæringen mellom grafen til f(x) =2x2 − 2x− 1 og g(x) = x+1. Vi finner x–koordinatene ved a sette de to funksjonsuttrykkene like:

2x2 − 2x− 1 = x+ 1 ⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0

Denne løses ved formelen for andregradslikning:

−(−3)±√(−3)2 − 4 · 2 · (−2)2 · 2 =

3±√254

=3± 54

={ − 1

22

De tilhørende y–verdiene finnes ved a sette inn x–verdiene i enten f(x) eller g(x):g(−1/2) = −1/2 + 1 = 1/2, sa det ene skjæringspunktet er (−1/2, 1/2), og g(2) = 2 + 1 = 3, sadet andre skjæringspunktet er (2, 3). Sjekk i i figur 4.6d at dette ser riktig ut.

Geometrisk eksempel

Et eksempel pa matematisk modellering, det vil si a sette opp en praktisk situasjon pa matematiskform:

En bonde har 100 meter gjerde, som han skal bruke til a lage en rektangulær innhegning. Vi skalkalle lengden av den ene sidekanten x, og angi arealet av innhegningen som en funksjon av x. Vikaller denne funksjonen A (for areal), og dermed funksjonsuttrykket for A(x). Siden den andreparallelle kanten ogsa blir av lengde x, brukes 2x av de 100 meterene til disse to sidene. Dermeder det 100 − 2x meter til overs for de to siste sidene, som skal være like lange. De far da hver enlengde pa (100− 2x)/2 = 50− x meter. Se figur 4.7.

Arealet i et rektangel er produktet av lengden av bredde og høyde, dvs.

A(x) = x(50− x) ⇐⇒ A(x) = 50x− x2

Definisjonsomradet er, pa grunn av den praktiske situasjonen, 0 ≤ x ≤ 50, siden x ikke kan værenegativ, og heller ikke bruke opp mer enn halvparten av de 100 meterene med gjerde han har tildisposisjon.

En naturlig problemstilling for denne funksjonen vil være hvordan innhegningen skal lages for atarealet skal bli sa stort som mulig. Pa en skisse av grafen til A(x) = 50x− x2 (oppgave 4.4b) vildet se ut som dette oppnas for x = 25. Dette tilsvarer at innhegningen blir kvadratisk, da de andresidene ogsa er 50− 25 = 25 meter. I neste kapittel skal vi se litt pa hvordan vi kan behandle detteog tilsvarende problemer analytisk (ved utregninger). Denne gruppen problemer kalles maksimum-og minimumsproblemer, eller mer generelt ekstremalverdiproblemer.


4.1.3 Polynomer av høyere grad

Vi skal her nøye oss med noen kommentarer om utseenddet pa grafene til polynomene

f(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0

med utgangspunkt i figur 4.8.

Alle polynomfunksjoner har en graf som er en sammenhengende kurve for alle x. Vi sier at poly-nomene er kontinuerlige funksjoner.

Hvis x vokser mot uendelig (x → ∞) eller avtar mot minus uendelig (x → −∞), vil ogsa f(x)vokse eller avta mot uendelig eller minus unedelig (om n > 0). Om funksjonsverdien forsvinneroppover eller nedov avhenger av fortegnet pa ledekoeffisienten an i , og om graden n pa polynometer et oddetall eller partall. I oppgavene blir dere bedt om a sette opp dette systematisk.

I dette avsnittet nøyer vi oss med a konstantere at i alle figurene ”forsvinner grafene oppovereller nedover”, ut av det utsnittet som er plottet. Alle utsnittene er slik at grafen fortsetter i denretningen de gar ut av bildet, uten noen flere buktninger. Grafene blir brattere og brattere utenforbildet.

Legg merke til skalaene langs aksene, det er ikke samme skala langs x og y–aksen (da ville de flestegrafene blitt veldig høye). Stilen pa figurene er den som direkte faes ved plot–kommandoen i ma-tematikkprogrammet Maple, uten spesielle formatteringskommandoer. For eksempel er figur 4.8alaget i Maple med kommandoen> plot(x^3-3*x^2-x+2, x=-2..3);

Figur 4.8a viser grafen til tredjegradspolynomet f(x) = x3−2x2−x+2. Fra venstre mot høyreveksler grafen fra voksende til avtagende og sa til voksende igjen. Et tredjegradspolynom kan ha(maksimum) to steder der den skifter mellom voksende og avtagende. Da er det mulig at denskjærer x–aksen inntil tre ganger, som den gjør her. Det vil si at likningen x3 − 2x2 − x + 2 hartre løsninger. Disse er x = −1, x = 1 og x = 2, og det skyldes at jeg har ”konstruert” polynometved a regne sammen (x + 1)(x− 1)(x− 2), som er 0 der en av faktorene er 0.

Figur 4.8b viser grafen til f(x) = − 14x

3 + x2 − x. Her er ledekoeffisienten an = a3 = − 14 < 0,

og grafen gar i det store og hele motsatt veg av forrige eksempel. Vi kan si at funksjonsverdiengar fra pluss uendelig til minus uendelig nar x vokser fra minus uendelig til pluss uendelig. Alletredjegrasdsfunksjoner forsvinner til uendelig i motsatt retning, og en konsekvens av dette er atde ma skjære x–aksen minst et sted. Dette eksemplet er slik at den akkurat tangerer x–aksen vedx = 2, slik at − 1

4x3 + x2 − x = 0 har to røtter, x = 0 og x = 22.

Figur 4.8c viser grafen til f(x) = x3. Her har bredden pa omradet der grafen er avtagendeskrumpet inn til 0, slik at mønsteret med voksende-avtagende-voksende degenereres, det er ingenskiftninger. Grafen skjærer x–aksen bare et sted (x = 0 er en trippel rot).

Figur 4.8d Viser samme polynom som i 4.8a, men med et mye større utsnitt (merk skalaenlangs aksene). Omradet der grafen er avtagende blir sa lite at det ikke sees, og grafen ser ut somgrafen til f(x) = x3 (som vi ikke ville klart a skille fra denne grafen om vi ogsa tegnet inn denne).Hvis ”vi ser stort pa det” er det leddet med høyest grad som dominerer og gir det aller meste avfunksjonens oppførsel. I en del anvendelser forenkler man polynomer til leddet av høyeste grad (foreksempel nar man angir hvor mange enkeltoperasjoner en programrutine bestar av, som funksjonav antall elementer i input.)

2Roten x = 2 kalles en dobbel rot (det er pa en mate to røtter som har smeltet sammen til en). Hvis vi tellerdobbeltrøtter som to, trippel røtter som tre osv., og i tillegg tillater komplekse tall vil ethvert polynom av grad nha nøyaktig n røtter.


6

4

2

0

2

4

6

1 2 3 4x

1

2

3

4

5

6

-60

-40

-20

0

20

40

60

4 -2 2 4 6 8 10x

0

2

4

6

8

10

12

14

2 -1 1 2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

2 -1 1 2x

-100000

-50000

0

50000

100000

-40 -20 20 40x

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

2 -1 1 2 3x

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 1 2 3x

g) h)

e) f)

c) d)

a) b)

Figur 4.8: Grafen til noen polynomer med n > 2.

4.2. RASJONALE FUNKSJONER 77

Figur 4.8e Viser fjerdegradspolynomet − 110x

4 + x3 − 5x + 2, som skifter mellom voksende ogavtagende tre ganger, og skjærer x–aksen 4 ganger. Dette er ”generell oppførsel” for fjerdegrads-polynomer, men de kan degenereres slik at noen av skiftingene mellom avtagende og voksendeforsvinner, og antall skjæringspunkter med x–aksen blir færre enn 4.

Figur 4.8f Viser f(x) = x4, der alle nullpunkter og skiftinger mellom voksende og avtagendehar samlet seg i origo.

Figur 4.8g Viser et 5. gradspolynom, f(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = x5 − 10x4 +35x3 − 50x2 + 24x, med alle de fire skiftingene mellom voksende og avtagende intakt, og med 5skjæringspunkter med x–aksen, det maksimale for 5.gradsfunksjoner.

Figur 4.8h viser 6. gradspolynomet f(x) = 1−x/2+x2/4−x3/8+ x4/16−x5/32+ x6/64. Herhar alle buktningene degenerert, og grafen skjærer dessuten ikke x–aksen en eneste gang.

4.2 Rasjonale funksjoner

Funksjoner der funksjonsuttykket er en brøk med polynomer i teller og nevner kalles rasjonalefunksjoner. Siden vi regner konstanter som polynomer kan det være en konstant i teller ellernevner. I det siste tilfellet blir den rasjonale funksjonen et polynom, sa polynomer kan oppfattessom spesialtilfeller av rasjonale funksjoner.

Rasjonale funksjoner er mer kompliserte enn polynomer, men det er nok med gjentatt bruk av de fireregningsartene (addisjon, subrtaksjon, multiplikasjon og divisjon) for a regne ut funksjonsverdier.Derfor kan for eksempel dataprogrammer greit inneholde disse som grunnleggende funksjoner, ogtilnærming til rasjonale funksjoner ligger til grunn for hvordan datamaskiner og kalkulatorer regnerut verdier for mange andre typer funksjoner.

Her vil det bare gies en kort orientering om grafene til rasjonale funksjoner, i hovedsak medutgangspunkt i figur 4.9.

I en rasjonal funksjon kan polynomet i nevneren ha nullpunkter. Siden divisjon med 0 ikke ertilatt er funksjonen ikke definert for disse x–verdiene. Vanligvis vil funksjonsverdiene forsvinneopp til uendelig eller ned til minus uendelig ved disse punktene. Grafen vil da ikke henge sammenover disse punktene, vi har diskontinuiteter. Noen ganger markerer vi dette med en vertikal linjei diagrammet. Denne kalles en vertikal assymptote (eller vertikal styrelinje). Der nevneren ikke ernull er funksjonen kontinuerlig, det vil si at der er grafen sammenhengende.

Vi kan ogsa ha horisontale assymptoter, som er horisontale linjer grafen nærmer seg nar x voksermot uendelig eller avtar mot minus uendelig. Dette vil kommenteres litt i eksemplene.

Figur 4.9a viser grafen tilf(x) = 1/x .

Nevneren er 0 for x = 0, sa der er funksjonen ikke definert. Ellers er grafen sammenhengende(kontinuerlig). Nar x velges veldig nær 0 blir |f(x)| veldig stor. For eksempel er f(1/1000) =

11/1000 = 1000. Ved a velge enda nærmere 0 kan vi oppna sa store verdier av f(x) vi matte ønske.Vi har at f(x) → ∞ nar x > 0 og x → 0. For negative x nær 0 far vi negative tall med storabsoluttverdi, f(−1/1000) = −1000. Vi har at f(x)→ −∞ nar x < 0 og x→ 0. Grafen kliner seginntil y–aksen, som er vertikal assymptote.

Tilsvarende far vi for store x at f(x) kan bli et vilkarlig lite positivt tall. Vi har for eksempelf(x) < 1/1000 for alle x > 1000. Likevel vil alltid f(x) > 0 for x > 0. Grafen kliner seg inntil


x–aksen, men vil aldri skjære denne. Vi sier at x–aksen er horisontal assymptote. Det samme skjernar x→ −∞, bare at da nærmer grafen seg x–aksen nedenfra.

Figur 4.9b viser grafen til

f(x) =x

x2 − 1

Nevneren x2 − 1 = 0 for x = ±1, sa her har vi to vertikale assymptoter (markert med prikketelinjer).

Ogsa denne funksjonen har x–aksen som horisontal assymptote. Det gjelder alle rasjonale funksjo-ner der graden til nevneren er større enn graden til telleren.

Skjæring med x–aksen for rasjonale funksjoner har vi for de x (i definisjonsomradet) der tellerener 0, og her ser vi direkte at dette er x = 0. Skjæring med y–aksen er f(0) = 0

02−1 = 0.

Figur 4.9c viser grafen til

f(x) =2x2 − 9x− 2

x2 + 1.

Siden nevneren x2 +1 > 0 uansett hvilket reelt tall vi setter inn for x far vi ingen vertikale assym-ptoter. Skjæring med x–aksen kan vi finne ved a sette telleren lik 0, dvs. a løse andregradslikningen2x2 − 9x− 2 = 0.

I figuren har vi tegnet inn y = 2, som er en horisontal assymptote. Her vises teknikken til a finnedenne:

Teller og nevner divideres med x2, slik at hvert ledd divideres med x2. Dette endrer ikke verdienav funksjonen (unntatt for x = 0, men vi er her interessert i hva som skjer for store x). x2 er valgtsiden det er den høyeste potensen av x som finnes i funksjonsuttrykket.

2x2 − 9x− 2x2 + 1

=(2x2 − 9x− 2) 1

x2

(x2 + 1) 1x2

=2− 9

x − 2x2

1 + 1x2

Hvis na x → ∞ (eller x → −∞) vil na alle leddene som (etter forkorting) inneholder x eller x2 inevner ga mot 0 (ved et argument tilsvarende det til figur 4.9a). Dermed star vi igjen med

f(x)→ 2− 0− 01 + 0

= 2 nar x→ ±∞

Det vil si at funksjonsvedien gar mot y = 2 for store eller sma x, og geometrisk tilsvarer det atgrafen kliner seg inntil den horisontale linja y = 2.

Alle rasjonale funksjoner der teller og nevner har samme grad far en horisontal assymptote somkan finnes pa denne maten.

Figur 4.9d viser grafen til funksjonen

f(x) =x2 − 2x+ 38x+ 16

.

Dette er et eksempel pa en rasjonal funksjon der telleren har grad en høyere enn nevneren. Da vilgrafen nærme seg en skra linje nar x→ ±∞, en skra assymptote. Her skal det ikke gaes nærmereinn pa hvordan denne kan finnes. I tillegg er det en vertikal assymptote for x = −2, siden nevneren8x+ 16 = 0 for denne verdien.

4.2. RASJONALE FUNKSJONER 79

-4

-2

0

2

4

8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-10

-5

0

5

10

0 -5 5 10

-4

-20

2

4y

20 -10 10 20x

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4

d) e)

c)

a) b)

Figur 4.9: Grafen til noen rasjonale funksjoner.


Figur 4.9e viser grafen til funksjonen

f(x) =18x

4 − 4x2 + 10x2 − 6x+ 9

.

Her er graden til telleren 2 høyere enn graden til nevneren, og vi far ingen assymptote nar x→ ±∞.Grafen vil nærme seg en parabel. Nevneren x2− 6x+9 = (x− 3)2 = 0 for x = 3, som er en dobbelrot. I dette tilfellet nærmer grafen seg den vertikale assymptoten i samme retning (nedover) frabegge sider.

4.3 Rotfunksjoner

I tillegg til funksjoner som er bygd opp ved de fire regningsartene addisjon, subtraksjon, multipli-kasjon og divisjon regnes oftest funksjoner som inneholder n–te røtter som algebraiske. Det vil sifunksjoner som inneholder ledd av formen

f(x) = xm/n = n√xm

Det viktigste tilfellet er nar m/n = 1/2, slik at f(x) = x1/2 =√x.

4.3.1 Kvadratrotfunksjonen

Kvadratrotfunksjonen skrives

f(x) =√x med definisjonsomrade x ≥ 0 (4.3)

Vi kan definere kvadratfunksjone som den y = f(x) som oppfyller y2 = x (det vil si den omvendtefunksjonen av g(x) = x2 for x ≥ 0). Siden y2 ≥ 0 (bade positive og negative tall kvadrert erpositive, mens 02 = 0) kan vi bare ha y2 = x ≥ 0. Det eksisterer nøyaktifg et tall y slik at y2 = xnar x ≥ 0, slik at med denne begrensningen pa definisjonsomradet er funksjonen entydig definert.

Grafen til y =√x har samme formen som parabelen y = x2, med begrensningen x > 0, men er

speilvendt om diagonalen y = x. Dette er en konsekvens at f(x) =√x og g(x) = x2 er omvendte

funksjoner, for x ≥ 0. I figur 4.10 er grafen til f(x) =√x tegnet inn sammen med grafen til

g(x) = x2 og symmetridiagonalen gitt ved y = x.

Hvis vi skal regne ut noen punkter pa grafen til f(x) =√x er det lettest a først sette inn y–verdier.

Vi har for eksempel y = 2 hvis x = 22 = 4. Tabellen med funksjonsverdier nedenfor kan regnes utslik, ved først a fylle inn passende verdier for

√x:

x 0 14 1 9

4 4 9 16 25√x 0 1

2 1 32 2 3 4 5

For a regne ut desimaltall for√x for x–verdier som ikke er kvadrattall bruker vi i praksis kalkulator

eller datamaskin. Det er arbeidskrevende og utenfor rammen av denne boken a handregne dette.

Kvadratrotfunksjonen f(x) =√x opptres oftest i sammensetning med andre funksjoner g(x). Hvis

vi har en sammensetning f(g(x)) =√

g(x) ma vi begrense definisjonsomradet slik at g(x) ≥ 0.Med sammensetningen g(f(x)) = g (

√x) har vi begrensningen x ≥ 0.

Det kan eventuelt være videre begrensninger, som en konsekvens av begrensninger pa definisjons-omradet til g(x), eller fra den praktiske situasjonen vi behandler.

Eksempel La funksjonene f og g være gitt ved funksjonsuttrykkene

f(x) =√x (x ≥ 0) og g(x) = 4x+ 9 (x ∈ R)

4.3. ROTFUNKSJONER 81

✲ x

✻

y

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

y = x2

y = x

y =√x

Figur 4.10: Grafen til f(x) =√x.

For sammensetningen

h(x) = f(g(x)) =√

g(x) =√4x+ 9

ma vi ha 4x + 9 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −9/4. Funksjonsverdier regner vi ut innenfra, slik at g(x) regnesut først:

h(0) =√4 · 0 + 9 =

√9 = 3 og h(4) =

√4 · 4 + 9 =

√25 = 5

Vi kan ogsa sette sammen i omvendt rekkefølge, og far da en annen funksjon

i(x) = g(h(x)) = g(√x) = 4

√x+ 9

Begrensningen pa definisjonsomradet er da x ≥ 0 (siden vi skal ta kvadratrot av x). Et parfunksjonsverdier utregnet viser klart at h(x) �= i(x):

i(0) = 4√0 + 9 = 4 · 0 + 9 = 9 og i(4) = 4

√4 + 9 = 4 · 2 + 9 = 17

4.3.2 Sirkellikningen

Den pytagoreiske læresetning

Den pytogoreiske læresetning, som vi ofte kort bare kaller Pytagoras3, er en likning for sammen-hengen mellom lengdene av sidene i en rettviknlet trekant. Hvis de to katetene (sidene som møtes iden rette vinkelen) har lengde a og b, og hypotenusen (den motstaende siden til den rette vinkelen)har lengde c gjelder alltid

a2 + b2 = c2 (4.4)

Se figur 4.11.

Hvis katetene har lengde a = 4 og b = 3 (centimeter), er c2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25. Dermed harhypotenusen lengde c =

√25 = 5 (centimeter). Du kan ved a male med linjal sjekke at dette er

lengen pa sidene i trekanten i figur 4.11.

3Etter den greske matematikeren Pytagoras, 569—469 f.kr.


✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

a

bc

a2 + b2 = c2

Figur 4.11: Den pytagoreiske læresetning.

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

✲ x

✻y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

(x, y)

x

yR

Figur 4.12: Figur til utledning av sirkellikningen.

Sirkellikningen

Vi skal her se pa en likning mellom x og y som er oppfyllt for alle punkter (x, y) pa en sirkellinjemed gitt radius R, og sentrum i Origo, og som ikke gjelder for noen punkter utenfor eller innenfordenne. Denne likningen er nært knyttet til Pytagoras. I figur 4.12 har vi tegnet en sirkel medsentrum i origo, inn i et koordinatsystem. Radien R er tilfeldig valgt (R = 5 i figuren). Vi har ogsavalgt et tilfeldig punkt pa denne (punktet er tegnet som (4, 3) i figuren), og kaller koordinatene der(x, y). Vi har sa tegnet inn en trekant med et hjørne i punktet (x, y) og et i origo. Den ene sidenlegges langs x–aksen, og den andre parallell med y–aksen. Dette blir da en rettvinklet trekant, oglengden av katetene i denne er det samme som koordinatene i det valgte punktet, a = x og b = y.Hypotenusen her lengde R, da dette er en radius i sirkelen.

Ved a bruke Pytagoras pa denne trekanten far vi da sammenhengen

x2 + y2 = R2 (4.5)

Dette kalles sirkellikningen. Sammenhengen er oppfyllt for alle (x, y) pa sirkellinja. Ressonementetgjelder ogsa for negative x eller y, lengden av katetene i den tilsvarende trekanten blir da |x| og |y|,sa vi har egentlig |x|2 + |y|2 = R2. Siden eventuelle minuser i x eller y forsvinner ved kvadrering

4.3. ROTFUNKSJONER 83

har vi |x|2 = x2 og |y|2 = y2, slik at sirkellikningen ogsa gjelder her.Vi har for eksempel at punktet (−3,−4) er et punkt pa sirkelen med likning x2 + y2 = 25, altsasirkelen med sentrum i origo og radius R = 5, siden (−3)2 + (−4)2 = 9 + 16 = 25.

For ethvert punkt innenfor sirkelen vil en tilsvarende trekant fa hypotenus kortere enn R, slik atx2 + y2 < R2.For ethvert punkt utenfor sirkelen vil en tilsvarende trekant fa hypotenus lengre enn R, slik atx2 + y2 > R2.

Den fylte sirkelskiva kan pa mengdeform skrives{(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ R2

}En sirkel med radius R = 1 kalles en enhetssirkel. Enhetssirkelen med sentrum i origo er et viktigspesialtilfelle som dukker opp i mange sammenhenger. Denne har likningen

x2 + y2 = 1

Halvsirkler som graf til funksjoner

En sirkel er ikke graf til noen funksjon pa formen y = f(x), siden hver x–verdi for −R < x < Rtilsvarer to punkter pa sirkelen, en pa øvre og en pa nedre halvsirkel. Siden definisjonen av funksjonkrever at hver x–verdi bare skal tilordnes en y–verdi er ikke dette noen funksjon. Vi kan imidlertidbetrakte sirkelen som to grafer, en funksjon for øvre og en for nedre halvsirkel. Dette oppnar vived a løse likningen med hensyn pa y:

x2 + y2 = R2 ⇐⇒ y2 = 1− x2

Ved a ta kvadratroten, som er et positivt tall, far vi positive y–verdier. Denne har øvre halvsirkelsom graf:

y = f(x) =√

R2 − x2 −R ≤ x ≤ R

Definisjonsomradet far vi ved a kreve at det under rottegnet, R2 − x2, ikke skal være negativt.Alternativt kan vi se pa det geometriske bildet, det finnes ikke noen x–verdier for grafen som iabsoluttverdi er større enn radien.

Den nedre halvsirkelen far vi pa tilsvarende mate ved a ta den negative kvadratroten:

y = g(x) = −√

R2 − x2 −R ≤ x ≤ R

4.3.3 Potensfunksjoner

Funksjoner pa forme f(x) = xr, der r er en konstant, kalles potensfunksjoner. Vi begrenser ossinntil videre til tilfellene der r = m/n, det vil si r er et rasjonalt tall.

For alle r er xr defienrt for x > 0. Hvis r > 0 er de ogsa definert for r = 0, 0r = 0 hvis r > 0.Hvis eksponenten er et nagativt tall, som vi kan skrive −r, er f(x) = x−r = 1/xr. Da kan vi ikkehar x = 0, sa dette ville gitt 0 i nevneren. I disse tilfellene vil funksjonsverdien vokse mot uendelignar x–verdien avtar mot 0. Det vil si at y–aksen er vertikal assymptote.

Hvis r = 1/n der n er et oddetall, for eksempel n = 3 ⇔ r = 1/3, er det mulig a definere xr

ogsa for negative tall. For eksempel er (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8, sa det er meningsfyllt a siat (−8)1/3 = −2. Man bør likevel være litt forsiktig med dette, da denne utvidelsen vil føre til atnoen av regnereglene for potensregning ikke lenger er gyldige. Her skal vi derfor normalt si at

f(x) = xr har definisjonsomrade{

x ≥ 0 nar r > 0x > 0 nar r < 0


0

1

2

3

4

5

6

y

1 2 3 4 5 6

y = x−1/2

y = x3/2

Figur 4.13: Grafer til potensfunksjoner f(x) = xr.

f(x) = xr har verdimengde{

y ≥ 0 nar r > 0y > 0 nar r < 0

I figur 4.13 er grafen til f(x) = xr tegnet inn for r = −1/2 og r = 3/2.

En av kurvene er grafen til f(x) = x−1/2 , som er et eksempel der r < 0. Hvis r < 0 ery–aksen assymptote, og funksjonene er avtagende for alle x. De avtar fra ∞ ved x = 0 mot 0 narx→ 0.

Ved hjelp av potensregneregler (fra kapittel 1.3) kan vi fa flere alternative mater a skrive funk-sjonsuttrykket pa.

f(x) = x−1/2 =1

x1/2=

1√x

En omforming med a multiplisere med√x i teller og nevner brukes ogsa av og til:

f(x) =1√x

√x√x=

√x

(√x)2

=√x

x

Noen funksjonsverdier kan regnes ut uten kalkulator, for eksempel

f(4) = 1/√4 = 1/2 og f(1/4) =

1√1/4

=1√1/√4=

11/2

= 2

For alle potensfunksjoner f(x) = xr er f(1) = 1r = 1, sa de gar gjennom punktet (1, 1), som ogsaer skjæringspunktet mellom de to grafene tegnet i figur 4.13.

Den andre kurven er grafen til f(x) = x3/2 , som er et eksempel der r > 0. Hvis r > 0 hargrafen venstre endepunkt i origo, siden f(0) = 0, og de er voksende over alt.

Ved hjelp av potensregneregler kan vi fa flere alternative mater a skrive funksjonsuttrykket pa.

f(x) = x3/2 =(√

x)3 =

√x3 =

√x2 · x =

√x2 · √x = x

√x

Ved a bruke formelen f(x) = x√x kan vi for eksempel regne ut f(4) = 4

√4 = 4 · 2 = 8. (Punktet

(4,8) utenfor bildet i figur 4.13.)

4.4. OPPGAVER 85

Velger vi isteden formelen f(x) = (√x)3 far vi samme resultat med følgende utregning: f(4) =(√

4)3

= 23 = 8.Formelen f(x) =

√x3 gir igjen samme resultat, med utregninga f(4) =

√43 =

√64 = 8.

Vi kan ogsa regne ut f(1/9) = (1/9) ·√1/9 = (1/9) · (1/3) = 1/27.

4.4 Oppgaver

Oppgave 4.1 Betrakt de lineære funksjonen gitt ved f(x) = 4x− 12 og g(x) = 8− x.

a ) Hva er koordinatene i skjæringspunktet mellom grafen til f(x) og y–aksen?Samme spørsmal for g(x).

b ) Hva er koordinatene i skjæringspunktet mellom grafen til f(x) og x–aksen?Samme spørsmal for g(x).

c ) Hva er stigningskoeffisienten til f(x), og hvilken betydning har denne for utssendet tilgrafen? Samme spørsmal for g(x).

d ) Skisser grafene til f(x) og g(x), i samme diagram og for 0 ≤ x ≤ 10. Les av pa figurenkoordinatene til skjæringspunktet mellom de to grafene.

e ) Utfør en utregning som bekrefter at skjæringspunktet du fant i forrige deloppgave erriktig.

Oppgave 4.2 Skisser grafen til følgende funksjoner. Der definisjonsomradet (x–omradet) erangitt skal skissen gjelde for dette. I de to siste deloppgavene skal du selv velge definisjons-omrade og skalering pa aksene, slik at grafens generelle utseende og skjæring med x–aksen gartydelig fram.

a ) f(x) =13x− 1, 0 ≤ x ≤ 9

b ) g(t) = −2t+ 1, −2 ≤ t ≤ 2

c ) h(x) = −5, −2 ≤ x ≤ 2

d ) i(x) = 100x+ 3000, 0 ≤ x ≤ 100

e ) j(x) = 20− 0.1x

f ) k(x) = 500x− 10

Oppgave 4.3 En funksjon f har graf som er den rette linjen som inneholder punktene (−1, 4)og (2,−2). Finn en formel for f(x).

Oppgave 4.4 Skisser grafen til følgende andregradsfunksjoner. Der definisjonsomradet (x–omradet) er angitt skal skissen gjelde for dette. I de to siste deloppgavene skal du selv velgedefinisjonsomrade og skalering pa aksene, slik at grafens generelle utseende og skjæringenemed x–aksen gar tydelig fram.

a ) f(x) =14x2 − 1, −2 ≤ x ≤ 2

b ) A(x) = 50x− x2, 0 ≤ x ≤ 50

c ) g(s) = 1 + s− 12s2, −2 ≤ s ≤ 4


d ) h(x) = (x− 100)(x− 102)

e ) i(x) = 0.01x2 − 0.2x+ 0.5

Oppgave 4.5 Nedenfor er grafen til noen polynomfunksjoner (med forholdsvis enkle koeffi-sienter) skissert. Finn en formel for funksjonsuttrykket f(x).

a)

2

1

0

1

2

1 2 3 4 5

b)

2

1

0

1

2

1 2 3 4 5

c)

2

1

0

1

2

1 2 3 4 5

d)

-1

0

1

2

3

-2 -1 1 2

e)

0

1

2

3

4

-1 1 2 3

f)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g)

1

0

1

2

3

1 2 3 4

h)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 -1 1 2

4.4. OPPGAVER 87

Oppgave 4.6 En gutt har et rektangulært ark med sider 8 og 5 centimeter. Han skal klippeut kvadratiske biter med sidelengde x fra dette, som i figuren under. Dette skal sa brettes tilen eske.

x

x

x

x

x x

x x

8 cm

5 cm

a ) Uttrykk arealet av grunnflaten i denne esken som en funksjon A(x).Hva blir definisjonsomradet?

b ) Uttrykk volumet av denne esken som en funksjon V (x).Hva blir definisjonsomradet?

c ) Skisser grafen til y = V (x), og les av pa grafen hva det største volumet han kan fa til er(tilnærmet). Omtrent hvor stor ma han velge x for a oppna dette maksimale volumet?

Oppgave 4.7 Finn eventuelle skjæringspunkter mellom grafene til

f(x) = 1 + 4x− x2 og g(x) = 3x2 − 8x+ 10

Kan du fra resultatet angi med noen ord hvordan de skjærer hverandre?

Oppgave 4.8 Skisser grafene til

f(x) = 1/x, g(x) = 1/(x− 1) og h(x) = 1/x− 1

i samme diagram. Velg utsnittet −2 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2.

Oppgave 4.9 Skisser grafen til den rasjonale funksjonen

f(x) =x

x2 − 1

Avmerk horisontale og vertikale assymptoter i diagrammet.

Oppgave 4.10

a ) Skriv opp en likning for en sirkel med sentrum i origo og radius R = 2.

b ) Avgjør hvilke av følgende punkter som ligger henholdsvis inni, pa og utenfor denne sir-kelen:(1, 1), (0,−2), (−2, 2), (√2,√2), (√3,−1), (−1.2,−1.6), (1.1, 1.7).

c ) Skriv opp en formel for et fuksjonsuttrykk y = f(x) som har den øvre halvparten avsirkelen i denne oppgaven som graf.


Oppgave 4.11

a ) Finn en likning for en sirkel med sentrum i punktet (4, 3), og med radius R = 5.Hint: Ta utgangspunkt i en figur tilsvarende figur 4.12, bortsett fra at den parallellforskyves slik

at hjørnet i origo er flyttes til (4, 3). Hva blir lengden pa sidene i trekanten, uttrykt ved bl.a. x

og y?

b ) Skriv opp en formel for et fuksjonsuttrykk y = f(x) som har den øvre halvparten avsirkelen i denne oppgaven som graf.

c ) Regn sammen likningen for denne sirkelen, med alle ledden samlet pa venstre side avlikhetstegnet. Hvis du har regnet riktig vil uttrykket ikke inneholde noe konstantledd.Hvilken geometrisk konklusjon kan du umiddelbart trekke av dette?

Oppgave 4.12 Regn ut funksjonsverdien for f(x) = 3√x, som du velger slik at du klarer det

uten kalkulator. Skisser grafen for 0 ≤ x ≤ 30.

Oppgave 4.13 Angi (størst mulig) definisjonsomrade og skisser grafene til

f(x) =√−x og g(x) =

√1− x .

Kapittel 5

Derivasjon

Hittil har vi stort sett betraktet funksjoner i punkter enkeltvis. Hvis vi har funksjonen f(x) = 2x−4kan vi regne ut f(3) = 2 ·4−4 = 2 uten a ta hensyn til hvordan funksjonen ser ut for andre verdierenn x = 3, og vi kan finne ut at den f(x) = 0 for x = 2 uten a bry oss sa mye om hva f(x) erandre steder. I dette kapitlet skal vi se pa begreper der vi ikke kan klare oss med enkeltpunkter, mense pa oppførselen til funksjonen over større omrader under ett. At en funksjon er kontinuerlig forx = a kan ikke avgjøres bare med a se pa f(a), vi ma ogsa se pa hvordan funksjonen er i nærhetenav x = a. Derivasjon dreier seg om hvordan funksjonen endres, og endring dreier seg om hvordanfunksjonsverdien er i et punkt i forhold til nærliggende punkter.

Hovedvekten legges pa regneteknikken (fra avsnitt 5.2.5 og utover), men vi ma starte med litt teori,sa vi vet hva den deriverte er. Det er ikke sa mye vits i a kunne regne ut den deriverte til enfunksjon hvis man ikke vet hva man har regnet ut.

5.1 Grenser og kontinuitet

Begrepene grense og kontinuitet er fundamentale i videregaende funksjonsteori. Langt pa veg erdet riktig a si at grensebegrepet er det som skiller fagomradet matematisk analyse fra algebra. Viskal her forsøke a klare oss med en forholdsvis overfadisk og intuitiv forstaelse av disse begrepene.Presise matematiske definisjoner og videre utdyping av teori og metoder basert pa disse kan manfinne i de fleste lærebøker i grunnleggende matematisk analyse, eller kalkulus som det ogsa kalles1.

5.1.1 Grenser

Vi skal som eksempel se pa oppførselen til den rasjonale funksjonen

f(x) =x3 − 1x− 1

med definisjonsomrade x ∈ R \ { 1 }

Funksjonen er ikke definert for x = 1, siden nevneren da er 0. I kapittel 4.2 sa vi at rasjonale funk-sjoner ofte far en vertikal assymptote der nevneren er 0, men det gjelder ikke for denne funksjonen.Vi kan sette inn noen x–verdier i nærheten av x = 1,og regne ut f(x):

x 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.5f(x) 1.7500 2.7100 2.9701 2.9970 Udefinert 3.0030 3.0301 3.3100 4.7500

1For eksempel Edwards & Penney: Calculus with Analytic Geometry, kapittel 2, eller Tom Lindstrøm: Kalkulus,kapittel 5

89

90 KAPITTEL 5. DERIVASJON

0

1

2

3

4

x

y

f(x) = x3−1x−1

Figur 5.1: En funksjon med en grense.

Funksjonsverdiene synes ikke a forsvinne mot uendelig nar x nærmer seg 1, men snarere bli talllike i nærheten av y = 3. De er litt mindre enn 3 nar x er litt mindre enn 1, og litt større enn 3nar x er litt større enn 1. Du kan selv prøve a sette inn noen verdi enda nærmere x = 1, og se aty blir enda nærmere 3, men forsøker du a sette inn x = 1 pa kalkulatoren far du en feilmelding.

Dette er et eksempel pa en grense, y = f(x) har y = 3 som grense nar x gar mot 1. Vi brukerfølgende notasjon for a skrive dette:

limx→1

x3 − 1x− 1

= 3

Mer generelt skriver vi at om f(x) gar mot et tall A nar x gar mot et tall a:

limx→a

f(x) = A (5.1)

Merk at det er uvesentlig for grensen om funksjonen er definert i x = a, og selv om den er definerter det ikke hva funksjonsverdien er i selve punktet, men like i nærheten som er avgjørende for hvagrensen er. Vi ma forutsette at funksjonen er definert pa et intervall som inneholder x = a, bortsettfra i selve punktet x = a.

Hvis vi tegner grafen til en funksjonen i et punkt der grensen eksisterer, vil det ikke være synligpa grafen at den ikke er definert i akkurat det punktet (hvis vi ikke markerer dette spesielt pa eneller annen mate). Grensen vil da være den funksjonsverdien det ser ut som f(a) burde vært, fora fa en sammenhengende graf. Et utsnitt av grafen til f(x) = (x3 − 1)/(x− 1) er vist i figur 5.1.

I dette tilfellet kan vi forenkle brøken. Vi har at (x− 1)(x2 + x+ 1) = x3 − 1 (sjekk selv), og dermeder

f(x) =x3 − 1

x− 1=

(x− 1)(x2 + x+ 1)

x− 1= x2 + x+ 1

slik at f(x) = x2 + x+ 1 i hele definisjonsomradet x �= 1. Hvis vi utvider definisjonsomradet sa ogsa

x = 1 er med, og med den naturlige funksjonsverdien 12 + 1 + 1 = 3, har vi en forklaring pa hvorfor

grensen er 3. Denne teknikken kan ikke brukes pa alle grenser vi er interessert i. Det finnes mange

metoder til a finne grenser, men disse vil ikke bli behandlet her.

Grenser med uendelig

Vi sa i kapittel 4.2 at funksjonen f(x) = 1/x nærmet seg 0 nar x vokste over alle grenser. Et anneteksempel var funksjonen f(x) = 2x2−9x−2

x2+1 , som nærmet seg y = 2 for store x. Vi kan bruke ennotasjon med lim for a uttrykke dette:

limx→∞

1x= 0 og lim

x→∞2x2 − 9x− 2

x2 + 1= 2

5.1. GRENSER OG KONTINUITET 91

0

5

1

5

2

0.5 1 1.5 2 0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

Diskontinuerlige funksjoner.

3

2

1

0

1

2

0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Kontinuerlige funksjoner.

c) d)

a) b)

Figur 5.2: En funksjon med en grense.

Hvis selve funksjonsverdien vokser over alle grenser er det ogsa hensiktsmessig a bruke en tilsva-rende notasjon. Funksjone f(x) = x2 vokser mot uendelig bade nar x vokser mot uendelig, og narx avtar mot minus unedelig. Dette utrykker vi ofte pa følgende kompakte form

limx→±∞ x2 =∞

.

5.1.2 Kontinuitet

Formelt defineres en funksjon som kontinuerlig for x = a hvis limx→a f(x) = f(a). Grensen pavenstre side i denne definisjonen dreier seg om hvordan funksjonen er like i nærheten av, men ikkei, punktet x = a. Høyresiden sier hvordan funsjonsverdien er i selve punktet x = a. Definisjonensier at denne funksjonsverdien i x = a er det den ”naturlig bør være” i forhold til de nærliggendepunktene.

Funksjonen er kontinuerlig pa et omrade (f.eks. hele definisjonsomradet) hvis den er kontinuerlig ihvert punkt i omradet.

Vi greier oss stort sett her med den forstaelsen av kontinuitet at det er funksjoner som har sam-menhengende graf. Se figur 5.2 for noen eksempler.


Figur 5.2a er grafen til polynomet f(x) = 7.5x3−24x2+20x−3. Alle polynomer er kontinuerligefor alle x.

Figur 5.2b er grafen til |x2− 2| (absoluttverdien til x2− 2, dvs. at x2− 2 bytter fortegn der dener negativ). Selv om den har spisser er grafen sammenhengende, og dermed kontinuerlig.

Figur 5.2c er grafen til

f(x) ={

x2 for x < 13− x for x ≥ 1

Denne er ikke kontinuerlig ved x = 1, der gjør grafen et sprang.Den er imidlertifd kontinuerlig for alle andre verdier av x, og slike funksjoner som er kontinuerligebortsett fra i enkelte punkter kalles stykkevis kontinuerlige funksjoner.

Figur 5.2c er grafen til funksjonen som avrunder x til nærmeste heltall. Den er diskontinuerlighver gang x er et heltall pluss en halv. Den er et eksempel pa en trappefunksjon. Trappefunk-sjoner er stykkevis kontinuerlige funksjoner som er konstante, untatt i enkelte punkter der de erdiskontinuerlige.

Funksjonene vi møter i denne boken er stort sett kontinuerlige eller stykkevis kontinuerlige.For eksempel er polynomer kontinuerlige for alle x ∈ R.Rotfunksjonene f(x) = xr er kontinuerlige i hele definisjonsomradet.Absoluttverdifunksjonen f(x) = |x| er kontinuerlig for alle x ∈ R.Hvis en funksjon er bygd opp av kontinuerlige funksjoner ved bruk av addisjon, subtraksjon, mul-tiplikasjon eller funksjonssammensetninger er den kontinuerlig.Hvis en funksjon er bygd opp av kontinuerlige funksjoner ved divisjon er den kontinuerlig i allepunkter der nevneren er forskjellig fra 0. Spesielt gir dette:Rasjonale funksjoner er kontinuerlige i hele definisjonsomradet. De har ofte sprang der nevnerener 0 (men dette er utenfor definisjonsomradet).

Det finnes funksjoner som ikke er kontinuerlige noen steder, for eksempel f(x) = 1 hvis x ∈ Q,

f(x) = 0 hvis x �∈ Q, der Q er de rasjonale tall (brøker mellom heltall). Funksjonene vi møter i denne

boken vil stort sett være kontinuerlige eller stykkevis kontinuerlige.

Noen egenskaper ved kontinuerlige funksjoner

Skjæringssetningen

Skjæringssetningen: Hvis en funksjon er kontinuerlig pa et intervall I, og a ∈ I, b ∈ I er slik atf(a) < 0 og f(b) > 0, sa finnes (minst) et reelt tall c mellom a og b slik at f(c) = 0.

Dette er intuitivt klart, hvis vi har en sammenhengende graf og den ligger under x–aksen for x = aog over x–aksen for x = b, ma den skjære x–aksen et sted mellom disse verdiene.

Eksempel. Betrakt funksjonen f(x) = x2 − 2. Da er f(1) = −1 < 0 og f(2) = 2 > 0, slik at deti følge skjæringssetningen ma finnes et tall 1 < c < 2 silk at f(c) = c2 − 2 = 0. Da er c det talletvi kaller

√2, og skjæringssetningen sier da at

√2 faktisk er et reelt tall.

Skjæringssetningen virker kanskje opplagt, men den sier faktisk noe vesentlig om egenskapene tilde reelle tallene2. Den gjelder ikke hvis vi begrenser oss til rasjonale tall, da det som tidligere nevntikke finnes noe rasjonalt tall r (brøk med heltall i teller og nevner) slik at r2 = 2.

2Skjæringssetningen følger av en grunnleggende egenskap ved de reelle tallene som kalles prinsippet for minsteøvre grense:

5.1. GRENSER OG KONTINUITET 93

y

x

Lokalt minimumspunkt

Lokalt maksimumspunkt

Globalt minimumspunkt

Figur 5.3: Ekstremalverdier.

Maksimum og minimumsverdier

Et tall M kalles maksimumsverdi for en funksjon f i en mengde A ⊂ R hvis det finnes et tall a ∈ Aslik at f(a) = M , og dessuten for alle x ∈ A gjelder at f(x) ≤ M . M er altsa den største verdienfunksjonen f far pa omradet A (som ofte er et intervall), hvis det finnes noe slikt.Punktet (a,M) kalles et maksimumspunkt. Det kan være flere maksimumspunkter, for eksempelom f er en konstantfunksjon er alle punkter maksimumspunkter.

Vi kan tilsvarende definere minimumsverdi som den minste verdien m (om den finnes) funksjonenfar pa omradet A, og om f(b) = m kalles (b,m) et minimumspunkt.

Fellesnavn for maksimums- og minimumsverdier er ekstremalverdier, og fellesnavn for maksiomumog minimumspunkter er ekstremalpunkter.

Hvis A er hele definisjonsomradet kalles ekstremalverdiene globale ekstremalverdier. Da er dette destørste eller minste verdiene funksjonene far noe sted. Hvis A er et intervall, og ekstremalverdieneoppnas i det indre av A (det vil si ikke bare i endepunktene) kalles ekstremalverdiene lokaleekstremalverdier. Det er minste/største verdi i nærheten av punktet, men funksjonen kan bli størreeller mindre lenger unna. Se figur 5.3, der lokale og globale ekstremalverdier pa en 4. gradskurveer angitt.

Ekstremalverdisetningen sikrer at ekstremalpunkter finnes i en viktig situasjon:

Ekstremalverdisetningen: Hvis f(x) er definert og kontinuerlig pa et intervall I, oppnar f(x)maksimum og minimumsverdier pa I

Det er viktig at I er et lukket intervall, det vil si at endepunktene er med. Hvis for eksempelf(x) = 2x + 1, mens I = [0, 1] er minimumsverdien 1 for x = 0, og maksimumsverdien er 3 forx = 1. Hvis endepunktene ikke er med, slik at I = 〈0, 1〉 oppnas ikke verdiene maksimumsverdien 3

En delmengde A ⊂ R kalles oppad begrenset hvis det finnes et tall M slik at x < M for alle x ∈ A. For en oppadbegrenset mengde finnes det et entydig minste reelle tall c slik at x < c for alle x ∈ A.

For eksempel kan vi ha A ={

x ∈ R |x2 − 2 < 0}. Da er A oppad begrenset, vi har for eksempel at for alle x ∈ A

gjelder x < 2. Da finnes en minste øvre grense c, og ved a studere dette litt nærmere innser vi at c2 − 2 = 0.Skjæringssetningen generelt kan vises pa liknende mate.Ogsa maksimumsprinsippet i neste underavsnitt og mange andre egenskaper for reelle tall og kontinuerlige funksjonerkan vises fra prinsippet for minste øvre grense.


pa I, men ingen tall y < 3 kan være maksimum, da vi vil oppna større verdier ved a ga tilstrekkelignærme det høyre endepunktet x = 1.

Hvis vi har apent intervall kan dessuten funksjonsverdien vokse mot uendelig, for eksempel erf(x) = 1/x ubegrenset, og har dermed ingen maksiomum pa det apne intervallet I = 〈0, 1〉. Deter ikke mulig a finne en verdi for f(0) slik at f(x) = 1/x for x > 0, f(0) for x = 0, og slik at f(x)er kontinuerlig. En konsekvens av skjæringssetningen er nemlig:

Hvis f(x) er kontinuerlig pa et lukket intervall I, er f(x) begrenset pa I. Det vil si at det finnestall M slik at f(x) < M og f(x) > −M for alle x ∈ I.

5.2 Definisjon av den deriverte

Den deriverte er et mal for hvordan en funksjon y = f(x) endres nar x enrdes. Vi bruker notasjoneny′ (leses ”y-derivert”) eller f ′(x) (leses ”f–derivert av x”) for a angi den deriverte. For de flestefunksjoner varierer y′ med valget av x, slik at den deriverte er en funksjon av x. Vi skal imidlertidstarte med de funksjonene som har konstant endring.

5.2.1 Den deriverte av lineære funksjoner

La f(x) = kx+l, en lineær funksjon. Koeffisientene k og l er konstanter, bokstavene a og b reserverestil andre formal i dette kapitlet. Grafen til f(x) er en rett linje, slik at den er like bratt over alt.En geometrisk tolkning av hvordan funksjonen endres er hvor bratt grafen er. Et hensiktsmessigmal for brattheten til f(x) = kx+ l er k, stigningskoeffisienten3 (jfr. kapittel 4.1.1):

Hvis f(x) = kx+ l (k og l konstanter) er f ′(x) = k (5.2)

Setningen gjelder ogsa spesialtillfellet k = 0, og da star vi igjen med konstantfunksjonen f(x) = l:

Hvis f(x) = l (en konstantfunksjon) er f ′(x) = 0 (5.3)

Her gjentas tolkningen av stigningskoeffisienten:Hvis vi velger en vilkarlig verdi x = a, og et tall ∆x �= 0 skal vi kalle endringen av f(x) nar xendres fra a til a+∆x for ∆y. Vi kan regne ut

∆y = f(a+∆x)− f(a) = [k(a+∆x) + l]− [ka+ l] = k∆x

Forholdet ∆y/∆x er gjennomsnittlig endring i y–verdi per enhet langs x–aksen. Dette kan regnesut til

∆y

∆x=

k∆x

∆x= k

At a ikke finnes i uttrykket ∆y∆x = k betyr at dette ikke avhenger av valget av a. Dessuten finnes

ikke ∆x eller ∆y i k, slik at dette heller ikke avhenger av hvor stor vi tilfeldigvis valgte ∆x.

Figur 4.2 pa side 68 illustrerer denne situasjonen. Bruk litt tid pa a tenke gjennom hvorfor dermedk er et naturlig mal pa hvordan funksjonen endres, og a forsta bruken av symboelen ∆x og ∆y,da forstaelsen av derivasjon generelt bygger pa dette.

5.2.2 Definisjon av den deriverte

Hvis f(x) ikke er en lineær funksjon endres den ikke like mye over alt. Grafen er (gjerne) en krumkurve som ikke er like bratt over alt. Hvis vi velger ut en verdi x = a, er det naturlig a si at grafen

3Andre mal kunne tenkes, for eksempel hvilken vinkel θ linjen danner med x–aksen. Vi skal i et senere kapittelse at vi kan regne fram og tilbake mellom k og θ, sa det er for sa vidt likegyldig hvilken av dem vi bruker. Det erimidlertid valgt som standard a bruke k som dette malet i forbindelse med derivasjon.

5.2. DEFINISJON AV DEN DERIVERTE 95

✲

✻

-2 -1 0 1 2

1

2

3

4

5

0.5

0.25

x2

x − 14

x

y

�

Figur 5.4: Graf med tangent: f(x) = x2 med tangenten y = x− 14 i punktet (0.5, 0.25)

er like bratt som tangenten i dette punktet. Den deriverte skal da være stigningskoeffisienten tiltangenten. Se figur 5.4, der et utsnitt av grafen til f(x) = x2 er tegnet inn, sammen med tangentender x = 0.5, og f(0.5) = 0.52 = 0.25. Man kan kanskje se pa figuren at denne har stigningskoeffisientk=1, slik at f ′(x) = 1 nar x = 1. Dette skrives f ′(0.5) = 1.

Vi trenger imidlertid en mer presis definisjon av den deriverte. Dette vil blant annet kunne brukestil a utvikle teknikker for a finne funksjonsuttrykk for f ′(x) mer allment.

Vi begynner med a velge en x–verdi, x = a, og et tall ∆x �= 0. Vi lar sa ∆y være endringen ifunksjonsverdien, nar x endres fra a til a+∆x:

∆y = f(a+∆x)− f(a)

Vi kan ogsa danne brøeken∆y

∆x=

f(a+∆x)− f(a)∆x

Brøken ∆y∆x uttrykker gjennomsnittlig endring i y–verdi per enhet langs x–aksen pa [a, a+∆x]. En

viktig forskjell fra det lineære tilfellet er imidlertid at na avhenger denne størrelsen av hvor stor vitilfeldigvis har valgt ∆x (i tillegg til at det avhenger av valgt verdi x = a).

I figur 5.5 har vi skissert dette for f(x) = x2 og x = 0.5. I figuren til venstre er ∆x = 1/2, og vihar forlenget korden (linja mellom (a, f(a)) og (a+∆x, f(a+∆x))). Tangenten er ogsa tegnet inn,litt tynnere. Vi far da

∆y = (a+∆x)2 − a2 = (0.5 + 0.5)2 − 0.52 = 0.75 sa∆x

∆y=

0.750.5

= 1.5

Korden er en grov tilnærming til tangenten, og ∆x∆y = 1.5 er en grov tilnærming til tangentens

stigningskoeffisient k = 1, som er f ′(a).

Hvis vi velger ∆x mye mindre, for eksempel ∆x = 0.1 far vi en mye bedre tilnærming:

∆y = (0.5 + 0.1)2 − 0.52 = 0.11 sa∆x

∆y=

0.110.1

= 1.1

Dette er illustrert i figur 5.5, til høyre.


✲

✻

x

y

0.25

0.5

1

0.5 1✲

✻

x

y

0.25

0.5

1

0.5 1

∆x

∆y

∆x

∆y

Figur 5.5: ∆y∆x for ∆x = 0.5 og ∆x = 0.1 og x = 0.5

Ved a velge ∆x enda mindre far vi en enda bedre tilnærming. Vi kan tenke oss at om vi velger ∆xuendelig liten, blir ∆y

∆x ikke tilnærmet, men nøyaktig lik f ′(a). Det lar seg ikke gjøre a sette inn∆x = 0 direkte i uttrykket ∆y

∆x , da vi far et udefinert uttrykk (siden nevneren i sa fall er 0). Hvisf(x) er kontinuerlig for x = a blir imidlertid ogsa telleren ∆y = 0, sa det er hap om at brøken garmot en grense nar ∆x→ 0. Det er dette vi skal bruke som definisjonen pa den deriverte:

Definisjon av f ′(a), den deriverte av f(x) for x = a:

f ′(a) def= lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(a+∆x)− f(a)∆x

(5.4)

forutsatt at grensen eksisterer. I sa fall sier vi at f er deriverbar i punktet x = a.

∆x blir borte i uttrykket nar vi tar grensen, mens a gjerne blir staende igjen som en del av uttrykketfor f ′(a). Dette betyr at verdien av f ′ varierer med valget av a, det er en funksjon. Ved a erstattea med x i definisjonen far vi en formel for funksjonsuttrykket der variabelen x inngar:

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+∆x) − f(x)∆x

Eksempel

Som eksempel skal vi se pa hvordan definisjonen virker pa f(x) = x2, først i punktet x = 1,ogderetter for generell x:

Hvis x = 1 har vi

∆y = (1 +∆x)2 − 12 = 12 + 2 · 1 ·∆x+∆x2 − 12 = 2∆x−∆x2

Dermed er∆y

∆x=

2∆x−∆x2

∆x=

∆x (2−∆x)∆x

= 2−∆x

Selv om ∆y∆x = 2 − ∆x ikke er definert for ∆x = 0, er den lik denne for alle andre verdier og vi

finner grensen ved direkte innsetting, slik at

f ′(1) = lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0(2 −∆x) = 2− 0 = 2

Et tilsvarende argument, der 1 erstattet med x, gir

∆y = (x+∆x)2 − x2 = x2 + 2 · x ·∆x+∆x2 − x2 = 2x∆x−∆x2


∆y

∆x=

2x∆x−∆x2

∆x= 2x−∆x

Dermed far vi

f ′(x) = lim∆x→0

∆y)∆x

= lim∆x→0

(2x−∆x) = 2x− 0 = 2x

Vi har dermed utledet derivasjonsregelen for f(x) = x2:

Hvis f(x) = x2 sa er f ′(x) = 2x (5.5)

Fra dette følger at f ′(0.5) = 2 · 0.5 = 1, som ble sagt i forbindelse med figur 5.4 og figur 5.5.

Ved hjelp av definisjonen kan det utledes en rekke derivasjonsregler. I praksis skal vi bruke disse,og ikke definisjonen direkte, til a finne den deriverte av funksjoner. Dette kommer vi til i nesteavsnitt.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.3 Notasjoner for derivert

Den engelske matematikeren og fysikeren Isaac Newton (1642–1727) og den tyske matematikeren ogfilosofen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) utviklet differensialregningen, som inkluderer deriva-sjon, omtrent samtidig og uavhengig av hverandre. Newtons siktemal var primært anvendelser i fysikk,mens Leibniz blant annet brukte dette i geometri (studier av kurver og tangenter). De innførte hversin notasjon for den deriverte, og begge brukes fremdeles (om hverandre).

Newton brukte skrivematen y′ pa den deriverte av funksjonen y = f(x), altsa den notasjonen vialt har møtt. En fordel med denne er at den tar lite plass, og er rask a skrive. Det er ogsa greit asette inn verdier for x i utrykket, som i f ′(1). En ulempe er at det ikke framgar tydelig hva som erden frie variabelen (for eksempel x), og i uttrykk med parametre eller flere variable kan dette væreproblematisk. Selv brukte Newton ofte variabelen t, da mange av hans funksjoner var funksjoner avtiden. For a skille mellom derivasjon med hensyn pa x og med hensyn pa t brukte han notasjonen ynar variabelen het t.

Leibniz brukte en annen notasjon, nemlig

Leibniz’ notasjon for den deriverte av y = f(x) :dy

dx(5.6)

I denne notasjonen er det klart hva den frie variabelen er, er denne t istedenfor x skriver vi dydt

.

Uttrykket dydx

er et symbol for den deriverte, og ikke egentlig noen brøk i vanlig forstand. En avfordelene med skrivematen er likevel at den i mange henseende følger regneregler fra brøkregning. Viskal se eksempel pa dette nar vi kommer til kjerneregelen. Delene dy og dx er ogsa symboler,og ikketalluttrykk i utgangspunktet. De kan imidlertid gies naturlige tolkninger som er hensiktsmessig narman jobbe med uoppstilte problemstillinger der den deriverte inngar. Med denne notasjone har vi foreksempel

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x

Dette gir en intuitiv tolkning av dx og dy som ∆x og ∆y nar ∆x er ”uendelig liten”. De kan ogsa

tolkes som ∆x og ∆y for tangenten.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.4 Deriverbarhet

Hvis grensen lim∆x→0∆y∆x eksisterer for x = a sier vi funksjonen er deriverbar i punktet (a, f(a)).

At grensen eksisterer innebærer et det er et entydig tall brøken nærmer seg nar ∆x→ 0. Vi tillaterogsa ∆x < 0, og vi ma spesielt ha at ∆y

∆x nærmer seg det samme tallet for sma positive og smanegative verdier av ∆x.


For at dette skal være mulig er det en forutsetning at funksjonen er kontinuerlig, ellers vil ∆y∆x →±∞:

Hvis funksjonen f(x) er deriverbar for x = a er f(x) kontinuerlig for x = a (5.7)

Det er imidlertid ikke nok at funksjonen er kontinuerlig for at den skal være deriverbar. Utseendetil grafen av en deriverbar funksjon er ”glatt”, det vil si uten knekkpunkter. I figur 5.2 a pa side 91vises grafen til en deriverbar funksjon, polynomer er deriverbare for alle x. Figur 5.2 b viser enkontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar for x = −√2 og x =

√2. Det er i disse punktene

grafen har en spiss. For eksempel ved x =√2 ≈ 1.4 vil ∆y

∆x være i nærheten av 2√2 ≈ 2.8 hvis

∆x > 0 og liten, mens ∆y∆x er i nærheten av −2√2 hvis ∆x < 0 og liten. Brøken nærmer seg bade

2√2 og −2√2, men vi krever at den skal nærme seg en entydig verdi. Man kan si at grafen har to

tangenter i dette punktet, en med stigningskoeffisient 2√2 og en med stigningskoeffisient −2√2.

5.2.5 Grunnleggende derivasjonsregler

I praksis bruker vi vanligvis en del regneregler for a finne den deriverte av en funksjon. Disse erutledet fra definisjonen, men bortsett fra eksemplet i forrige avsnitt skal ikke dette gjennomføresher.

Derivasjon av ag(x) + bh(x)

Hvis vi har en funksjon som kan skrives som f(x) = ag(x)+ bh(x), der vi vet hvordan g(x) og h(x)skal deriveres, og der a og b er konstanter, kan vi lett finne den deriverte av f(x).

Konstanter kan ”settes utenfor derivasjonen”, og en sum kan deriveres ledd for ledd:

(af(x))′ = af ′(x) (a en konstant)(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

(5.8)

Disse to reglene kan slaes sammen til en regel.

(ah(x) + bg(x))′ = ah′(x) + bg′(x) (nar a og b er konstanter) (5.9)

Regelen lar seg lett utvide til sum av flere ledd:

(a1f1(x) + a2f2(x) + · · ·+ anfn(x))′ = a1f

′1(x) + a2f

′2(x) + · · ·+ anf

′n(x)

(nar a1, a2, . . . , an er konstanter)(5.10)

Eksempel

Vi skal bruke denne regelen til a derivere funksjonen f(x) = 3x2 − 2x + 5. Vi kan da skrivef(x) = 3 · h(x) + 1 · g(x), der g(x) = x2 og h(x) = −2x+5. I setning (5.5) fastslo vi at g′(x) = 2x.I følge setning (5.2) er (kx + l)′ = k, og med k = −2 og l = 5 er h(x) et spesialtillfelle av dette,slik at (−2x+ 5)′ = −2. Vi far da

f ′(x) = 3(x2)′ + (−2x+ 5)′ = 3 · 2x+ (−2) = 6x− 2

5.2.6 Derivasjon av polynomer og rotfunksjoner

For a kunne dra nytte av summeregelen (5.9) trenger vi et arsenal av grunnleggende funksjoner vikan derivere. I denne listen har vi regler vi kan bruke til a derivere de enkelte leddene i et polynom:


a) f(x) = k ⇒ f ′(x) = 0 k en konstant

b) f(x) = x ⇒ f ′(x) = 1c) f(x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2xd) f(x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2

e) f(x) = xr ⇒ f ′(x) = rxr−1 r en konstant

(5.11)

Med litt godvilje kan alle reglene i (5.11) oppfattes som spesialtilfeller av (5.11e). Den sier at viflytter eksponenten ned foran potensen, og reduserer eksponenten med 1. Mer r = 2 eller r = 3far vi regel c) og d) direkte, mens a) og b) ogsa følger hvis vi sier at x0 = 1 (selv om dette strengttatt bare gjelder nar x �= 0).

Det er viktig at r er en konstant, det vil si at den ikke varierer som en funksjon av x. Hvis variabelenx finnes i eksponenten far vi en helt annen type funksjoner, med andre derivasjonsregler. De skalbehandles i neste kapittel.

Eksempel

Vi skal som eksempel finne ut hvordan vi deriverer polynomet

f(x) = 7− 3x+ x2 − 5x3 + x4 − 2x5

Vi skal ogsa se hvordan vi finner liokningen til tangenten til grafen i et punkt.

Vi kan (fra regel (5.9)) derivere polynomet ledd for ledd. Første ledd er 7, som er en konstantsom deriveres til 0. I neste ledd, −3x, kan vi sette konstanten −3 utenfor og derivere x til 1.(x2

)′ = 2x. I tredjegradsleddet setter vi konstanten −5 utenfor, og deriverer x3 til 3x2. x4 deriveresved regel (5.11e), med r = 4:

(x4

)′ = 4x4−1 = 4x3. I femtegradsleddet setter vi −2 utenforderivasjonen, og bruker r = 5 for a derivere x5:

(x5

)′ = 5x5−1 = 5x4. Dette oppsummeres til:

f ′(x) = 0− 3 · 1 + 2x− 5 · (3x2) + 4x3 − 2 · 5x4 = 3 + 3x− 15x2 + 4x3 − 10x4

Likning for tangent: Der x = 1 er y = f(1) = 7 − 3 + 1 − 5 + 1 − 2 = −1, slik at (1,−1) eret punkt pa grafen til f(x), og vi skal finne tangentlikningen i dette punktet. Tangenten er en rettlinje, og følgelig er likningen pa formen y = kx + l. Stigningskoeffisienten k til tangenten er denderiverte av f(x) i dette punktet:

k = f ′(1) = 3 + 3− 15 + 4− 10 = −15

Dermed er y = −15x+l, og l kan bestemmes ut fra at tangenten skal ga gjennom tangeringspunktet(1,−1), slik at

−1 = −15 · 1 + l ⇔ l = 14

Derfor er tangentlikningene y = −15x+ 14.

Det er viktig at vi utfører derivasjonen før vi setter inn verdien x = 1. Hvis vi setter inn x = 1 først

far vi f(1), som er en konstant med derivert 0.

5.2.7 Derivasjon av rotfunksjoner

Det er ingen begrensning pa derivasjonsregelen (xr)′ = rxr−1 at r skal være et heltall. Hvis viskal derivere en rotfunksjon er teknikken a skrive den som en potens med brøkeksponent, og brukedenne derivasjonsregelen.


Eksempel

Vi skal se pa hvordan f(x) =√x deriveres.

Først skriver vi om uttrykket til en brøkeksponent:

f(x) =√x = x

12

Vi setter sa r = 1/2 i regelen (xr)′ = rxr−1:

f ′(x) =12x

12−1 =

12x− 1

2

Siden funksjonen opprinnelig er gitt ved rottegn er det ryddigst a gi svaret ved rottegn:

f ′(x) =12x− 1

2 =12

1x

12=

12

1√x=

12√x

Selv om f(x) er definert for x = 0, er ikke f ′(x) definert for x = 0 i dette tilfellet, siden nevnerener 0. (Vi kan si at i dette punktet er tangenten vertikal, med stigningskoeffisient k =∞).

5.3 Anvendelser av derivasjon

5.3.1 Kurvedrøfting

Den derivete gir informasjon utseende til grafen som er til nytte hvis den skal skisseres. Hvisf ′(x) > 0 har tangentlinjen positiv stigningskoeffisient, og er voksende. Da er ogsa kurven voksende.Dette betyr at grafen gar oppover mot høyre, eller mer presist at a < b⇒ f(a) < f(b). Tilsvarendevil f ′(x) < 0 betyr at kurven er avtagende, dvs. a < b⇒ f(a) > f(b).

Hvis kurven er enten voksende eller konstant (horisontal graf) i et omrade sier vi kurven er ikke–avtagende.

Vi oppsummerer:

Hvis f(x) er deriverbar pa et intervall I, og f ′(x) > 0 for alle x ∈ I, er f(x) voksende pa I.Hvis f(x) er deriverbar pa et intervall I, og f ′(x) < 0 for alle x ∈ I, er f(x) avtagende pa I.

I et punkt der kurven er kontinuerlig og f ′(x) skifter fortegn fra minus til pluss nar x vokser, garkurven over fra avtagende til voksende. Dette er et minimumspunkt, det vil si et bunnpunkt pakurven. Det er mulig kurven gar ned igjen og blir enda mindre i andre omrader, sa minimums-punktet kan være lokalt. Hvis det er den minste verdien funksjonen far i hele definisjonsomradetkales minimumspunktet globalt.

Tilsvarende, om f ′(x) skifter fra positiv til negativ, far vi et maksimumspunkt.

Figur 5.6 illustrere en graf (av et tredjegradspolynom) der kurven er voksende i noen omrader ogavtagende i andre, og med (lokale) maksimum og minimumspunkter.

Vanligvis er der f ′(x) skifter fortegn i de punktene der f ′(x) = 0. Det er ogsa mulig at dette skjeri enkelte punkter der f ′(x) ikke er definert.

Det er mulig at f ′(x) ikke skifter fortegnen selv om f ′(x) = 0. Slike punkter kalles vendepunkter,kurven vender fra a krumme en veg til a krumme den andre vegen. Et eksempel pa dette erfunksjonen f(x) = x3. Da er f ′(x) = 3x2, og f ′(0) = 0, mens f ′(x) > 0 for x �= 0. Grafen flater uti origo, men istedenfor a fortsette nedover for voksende x ”ombestemmer den seg” og begynner aga oppover igjen.

Dette betyr at punkter der f ′(x) = 0 er kandidater til a være maksimum eller minimum, men detma nærmere undersøkelser til for a finne ut om de virkelig er det, og om det i sa fall er maksimum

5.3. ANVENDELSER AV DERIVASJON 101

1 2 3 4

f ′(x) = 0

f ′(x) = 0

f ′(x) > 0 f ′(x) < 0f ′(x) > 0

�

�

Figur 5.6: Betydning av fortegn pa f ′(x) for grafen.

og minimum. I følge ekstremalverdisetningen vil enhver kontinuerlig funksjon definert pa et lukketintervall I ha maksimum og minimumspunkter i I. Neste setning gir alle kandidatene til a væremaksimum og minimum:

Hvis f(x) er definert og kontinuerlig pa et lukket intervall I er kandidatene til maksimum ogminimumspunkter punktene med x verdier som oppfyller en av betingelsene:

f ′(x) = 0f ′(x) er ikke definertEndepunktene pa intervallet I

Grafen i figur 5.2b pa side 91 er et eksempel der det finnes to minimumspunkter der f ′(x) ikke erdefinert.

Eksempel

I eksempelet pa side 74 hadde vi at arealet av et rektangulært gjerde med omkrets 100, og den enesidekanten med lengde x var gitt av

f(x) = 50x− 2x2 0 ≤ x ≤ 50

Vi har da at f ′(x) = 50− 2x. Vi begynner med a finne ut x–koordinaten til punktet der f ′(x) = 0:

f ′(x) = 0 ⇐⇒ 50− 2x = 0 ⇐⇒ 2x = 50 ⇐⇒ x = 25

Siden f ′(x) er en lineær funksjon med stigningskoeffisient −2 < 0 er grafen en rett, avtagende linje.Det vil si at nar x vokser skifter f ′(x) fortegn fra + til − for x = 25. Dermed er dette et (lokalt)maksimumspunkt.

Siden f(x) har definisjonsomrade I = [0, 50], som er et lukket intervall, vet vi at maksimumspunkterog minimumspunkter finnes. Kandidatene er x = 25, der f ′(x) = 0, og endepunktene x = 0 ogx = 50. Andre kandidater finnes ikke, da f ′(x) eksisterer over alt.

Vi kan sammenlikne funksjonsverdien for de tre kandidatene: f(0) = 0, f(25) = 625 og f(50) = 0.Siden f(25) er størst av disse er (25, 625) globalt maksimum, mens f(0) = f(50) = 0 begge erminst, sa de er begge globale minimumspunkter.


Tolkningen av maksimum for den praktiske situasjonen her er at ved a velge x = 25 (som tilsvarerkvadratisk innhegning) oppnas størst mulig areal, nemlig 625.

Skissering av parabler Eksempelt over viser at det er forholdsvis greit a finne maksimum ogminimum av andregradsfunksjoner f(x) = ax2 + bx+ c. Parablene vil alltid ha ekstremalverdi derf ′(x) = 0. Om det er maksimum eller minimum avhenger av fortegnet pa ledekoeffisienten a, slik atdet ikke er nødvendig a gjennomføre den delen som klassifiserer ekstremalpunktet. Ledekoeffisientenbetemmer ogsa hvor mye parabelen apner seg, sa med litt trening er dette nok til a gi en godskisse av parabelen. Det blir litt lettere om man i tillegg regner ut et punkt eller to utenomekstremalpunktet.

Eksempel

Vi skal i dette eksempelet finne maksimum- og minimumspunkter for funksjonen

f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 2 x ∈ R

Derivasjon av polynomet gir f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9, og nullpunktene til denne finnes ved formelenfor løsning av andregradslikninger:

3x2 − 12x+ 9 = 0 ⇐⇒ x =12±√122 − 4 · 3 · 9

2 · 3 =12±√36

6=

{13

Siden f ′(x) er kontinuerlig (pa grunn av at den er et polynom) kan fortegnet bare skifte ved dissepunktene.Ved innsetting av en verdi i 〈−∞, 1〉, for eksempel x = 0, ser vi at her er f ′(0) = 9 > 0, sa f ′(x) > 0og f(x) er voksende pa dette omradet.I intervallet 〈1, 3〉 kan vi sette inn verdien x = 2, og finner f ′(2) = −3, sa f ′(x) < 0, og dermed erf(x) avtagende pa dette intervallet.Ved a sette inn x = 4 far vi at f ′(4) = 9 > 0, sa f ′(x) > 0 og f(x) er voksende for x > 3.

For x = 1 har vi dermed overgang fra voksende til avtagende, sa punktet (1, f(1)) = (1, 2) er etminimumspunkt.For x = 3 har vi dermed overgang fra avtagende til voksende, sa punktet (3, f(3)) = (3,−2) er etminimumspunkt.

Punktene (1, 2) og (3,−2) er lokale ekstremalverdier, siden funksjonen er ubegrenset nedover forsma x, og ubegrenset oppover for store x. Globale ekstremalverdier finnes ikke. Dette er ikke i stridmed ekstremalverdisetningen, siden definisjonsomradet her ikke er et lukket intervall.

Grafen i figur 5.6 er grafen til denne funksjonen.

Eksempel

Vi skal her finne nullpunkter og ekstremalverdier for

f(x) = x− 2√x, x ≥ 0

og lage en skisse av grafen pa bakgrunn av dette.

Definisjonsomradet er x ≥ 0, da denne begrensningen gjelder pa√x. Funksjonen er kontinuerlig

pa hele definisjonsomradet, da den er satt sammen av de kontinuerlige funksjonen g1(x) = x,g2(x) =

√x og g3(x) = 2 ved multiplikasjon og subtraksjon.

Skjæring med y–aksen er origo, siden f(0) = 0− 2√0 = 0.

5.3. ANVENDELSER AV DERIVASJON 103

-1

1

2

2 4 6 8

Figur 5.7: Grafen til f(x) = x− 2√x.

Skjæring med x–asken finner vi ved a sette f(x) = 0. For a løse denne likningen er det hensikts-messig a innføre hjelpevariabelen z =

√x, som gir x = z2:

x− 2√x = 0 ⇐⇒ z2 − 2z = 0 ⇐⇒ z =

{02

Dermed er nullpunktene z =√x = 0⇔ x = 0 (som vi allerede visste) og z =

√x = 2⇔ x = 4.

Den deriverte er f ′(x) = 1 − 2 · 12√

x= 1 − 1√

x, som ogsa er kontinuerlig for x > 0 (for x = 0 er

funksjonen ikke deriverbar, grafen har vertikal tangent i dette punktet).

Vi finner nullpunkt for den deriverte ved a sette pa felles brøkstrek, og finne nar telleren er 0:

1− 1√x= 0 ⇐⇒

√x− 1√x

= 0 ⇐⇒ √x− 1 = 0

Vi ser at x = 1 er nullpunkt for den deriverte. For x < 1 er f ′(x) < 0, som vi kan sjekke ved a setteinn en verdi fra dette omradet, f.eks. x = 1/4: f ′(1/4) = 1 − 1√

1/4= 1 − 1

1/2 = 1 − 2 = −1 < 0.

Dermed er f(x) avtagende for x < 1. For x > 1 er f(x) voksende, siden f ′(x) > 0. Dette kan visjekke ved a sette inn en verdi, f.eks x = 4: f ′(4) = 1− 1

2 = 1/2 > 0.

Derfor er punktet (1, f(1)) = (1,−1) et minimumspunkt.Det er ikke mulig at f(x) er enda mindre noe sted, da grafen til den kontinuerlige funksjonenf(x) i sa fall matte snudd ned igjen et sted. I sa fall matte vi hatt et maksimumspunkt, menbortsett fra endepunktet (0, 0) finnes ingen mulig maksimumspunkter. Derfor er (1,−1) et globaltminimumspunkt.

Vi mangler litt før vi kan tegne grafen. I neste avsnitt skal vi se at den krummer oppover helevegen, og da er grafen noksa entydig gitt. Grafen er tegnet i figur 5.7.

5.3.2 Derivasjon i andre sammenhenger

Deriverte i bilder

Anta funksjonen f(x) representerer et bilde (som en funksjon av en variabel, ved a ”lese bildetlinje for linje”). Da vil den deriverte angi hvor raskt bildet endrer gratione (eller farge). Spesielt vilendringen gjerne være stor (dvs. |f ′(x)| er stor) der et objekt begynner eller slutter. Dette brukestil automatisk a finne ut hvor objekter begynner eller slutter, og dermed som et hjelpemiddel tilautomatisk a plukke ut objekter i et bilde.

En side av dette er at vi vanligvis ikke har noen formel for funksjonene f(x), vi kjenner bareverdien for et (stort) endelig antall x–verdier x1 < x2 < x3 < · · · < xN . Da gir det ikke mening ala ∆x→ 0, siden vi ikke har funsjonsverdier for xn +∆x hvis ∆x er mindre enn spranget fra xn tilxn+1. Det vi da kan gjøre er a finne en tilnærming til grensen ved a velge ∆x sa liten som mulig,


nemlig ∆x = xn+1 − xn. Da har vi

f ′(xn) ≈ f(xn+1)− f(xn)xn+1 − xn

Denne formelen er enkel a programmere, og gjør i praksis nytten som den deriverte.

Ofte velges skalaen slik at x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, . . . xn = n, . . . , xN .Da forenkles formelen til f ′(n) ≈ f(n+ 1)− f(n).

Deriverte som fart

Tolkningen av den deriverte er i dette kapitlet i stor grad knyttet opp mot utseende til grafen.Dette er bare en av mange anvendelser, men den far stor oppmerksomhet da den er pedagogiskhensiktsmessig siden den er grei a beskrive ved hjelp av enkle figurer. Her skal vi se pa en annenvelkjent sammenheng, der det at den deriverte beskriver endring kanskje er enda tydeligere.

Anta vi starter en biltur ved et tidspunkt vi velger a kalle t = 0, og lar s(t) begtegne hvor langt vihar kjørt ved tidspunktet t. Her skal t angis i timer,og s i kilometer, og s er en funksjon av t.

Hvis vi etter t = 0.5 timer har kjørt 30 km, og etter t = 1 time har kjørt 70 km har vi itidsrommet [0.5, 1.0] kjørt 70 − 30 = 40 km. Tilbakelagt vegstrekning dividert med brukt tidkalles gjennomsnittsfarten i dette tidsrommet. Den er da her 40/0.5 = 80, sa gjennomsnittsfar-ten var 80 kilometer per time pa denne strekningen. Vi kan kalle lengden pa dette tidsrommet∆t (dvs ∆t = 1.0 − 0.5 = 0.5 i dette avsnittet), mens tilbakelagt vegstrrekning kalles ∆s (dvs∆s = 70− 30 = 40 i dette avsnittet). Da er gjennomsnittsfarten ∆s/∆t.

Selvom vi i gjennomsnitt kjørte i 80 km/t i den halvtimen, hadde vi neppe konstant fart hele veien.Ved a gjøre det tilsvarende regnestykket for et mye kortere tidsrom (for eksempel ∆t = 1 minutteller ∆t = 1 sekund far vi gjennomsnittsfarten i et kort tidspunkt der vi antagelig ikke har rukketa endre farten særlig. Ved a velge ∆t ”uendelig lite” far vi gjennomsnittsfarten i et ”uendelig litetidsrom”. Da snakker vi ikke om gjennomsnittsfarten, men bare farten v(t) ved dette tidspunktet(f.eks t = 0.5). Matematisk defineres farten som grensen

v(t) Def= lim∆t→0

∆s

∆t

En annen mate a betrakte denne grensen erat dette er definisjonen av den deriverte av funksjonens(t), slik at vi har s′(t) = v(t). Funksjonsverdien v(t) kan vi mens vi kjører hele tiden lese av paspeedometeret, som jo viser farten i øyeblikket. Speedometeret kan vi si er en teknisk innretningsom deriverer.

I praksis har vi sjelden noen formel for s(t) nar vi kjører bil, men i neste avsnitt skal vi se pa eteksempel der vi fra fysikken har en formel for s(t).

5.4 Andrederiverte

Siden f ′(x) er en funksjon av x, vil denne (vanligvis) kunne deriveres. Vi far da den deriverteav den deriverte, som vi kaller den andrederiverte. Skrivematen for den andrederiverte er med toapostroffer:

Hvisf ′(x) = g(x)kalles g′(x) den andrederiverte av f(x), og dette skrives: g′(x) = f ′′(x) (5.12)

Med Leibniz notasjon skrives den andrederiverte y′′ = d2ydx2 .

Eksempel Hvis f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 2 er f ′′(x) = (3x2 − 12x+ 9)′ = 6x− 12

5.4. ANDREDERIVERTE 105

5.4.1 Geometrisk betydning av fortegnet til f !!(x)

Hvis f ′′(x) > 0 er f ′(x) en voksende funksjon. Det betyr at stigningskoeffisienten til tangentenvokser med voksende x. Hvis f(x) er avtagende betyr dette at grafen blir mindre bratt, mens omf(x) er voksende blir den brattere. Dermed vil grafen krumme oppover. En annen mate a si dettepa er at tangenten ligger under grafen til funksjonen.

Tilsvarende vil f ′′(x) < 0 bety at kurven krummer nedover, slik at tangenten ligger over grafen tilfunksjonen.

Der f ′′(x) bytter fortegn vender kurven fra a krumme en veg til a krumme den motsatte vegen.Et slikt punkt kalles et vendepunkt. Mulige vendepunkter er der f ′′(x) = 0 eller der f ′′(x) ikke erdefinert.

Hvis f(x) = x3−6x2+9x−2 er f ′′(x) = 6x−12. Da er f ′′(x) = 0 for x = 2. For x < 2 der f ′′(x) < 0slik at grafen krummer nedover, mens for x > 2 er f ′′(x) > 0, sa grafen krummer oppover. Forx = 2 er det et vendepunkt. Grafen til denne funksjonen er tegnet i figur 5.6 pa side 101. Ta enkikk pa denne og merk hvordan ”krumme oppover”, ”krumme nedover” og ”vendepunkt” ser ut.

Den andrederiverte kan brukes som et alternativ til a avgjøre om et punkt der f ′(x) = 0 er etmaksimum eller minimumspunkt:

Hvis f ′(x) = 0 og f ′′(x) < 0 er tangenten horisontal, og grafen krummer nedover. Da ma punktetvære et maksimumspunkt.For punktet x = 1, som er et punkt der f ′(x) = 0 nar f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 2 har vi f ′′(1) =6 · 1− 12 = −6 < 0, altsa et maksimumspunkt.Hvis f ′(x) = 0 og f ′′(x) > 0 er tangenten horisontal, og grafen krummer oppover. Da ma punktetvære et minimumspunkt.For punktet x = 3, som er et punkt der f ′(x) = 0 nar f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 2 har vi f ′′(3) =6 · 3− 12 = 6 > 0, altsa et minimumspunkt.

Hvis f ′′(x) = 0 virker ikke denne metoden:Hvis f(x) = x3 er f ′(x) = 3x2, og f ′(0) = 0. Da er f ′′(x) = 6x = 0 for x = 0. Siden f ′(x) > 0bade for x > 0 og x < 0 er funksjonen voksende, sa dette er ikke noe ekstremalpunkt. f ′′(x) skifterfortegn, sa det er et vendepunkt.Hvis f(x) = x4 er f ′(x) = 4x3 og f ′′(x) = 12x2, sa f ′(0) = f ′′(0) = 0. Punktet pa grafen derx = 0 er origo, som er et minimumspunkt (men ikke vendepunkt, da f ′′(x) ikke skifter fortegn).For f(x) = −x4 er ogsa f ′(0) = f ′′(0) = 0, men na er origo et maksimumspunkt.

Eksempel

Vi sa tidligere pa funksjonen f(x) = x− 2√x, som hadde f ′(x) = 1− 1√

x, og f ′(1) = 0.

For a finne den andrederiverte skriver vi om brøken med rottegn som en brøkeksponent:

f ′(x) = 1− x−1/2 ⇒ f ′′(x) = 0−(−12

)x−3/2 =

12√x3

Siden√x3 > 0 for x > 0 er f ′′(x) > 0 for alle x. Spesielt ma da nullpunktet for den deriverte være

et minimumspunkt (som vi tidligere konkluderte med via et annet ressonement). Grafen krummerhele vegen oppover, og denne tilleggsopplysningen gjør at vi lettere kan tegne en korrekt graf. Enkonsekvens av dette er at grafen blir brattere og bratter oppover for store x, og dermed ma voksemot ∞ nar x vokser mot ∞. Ta igjen en titt pa grafen i figur 5.7.


5.4.2 Fart og aksellerasjon

Hvis vi kaster en ball opp i luften ved tidspunktet t = 0 er den vertikale avstanden s(t) til bakkengitt ved

s(t) = −12gt2 + v0t+ s0

der g, v0 og s0 er konstanter vi snart skal gi betydningen av. Dette er en setning fra fysikken (sombaserer seg pa noen forenklinger, blant annet at luftmotstanden ignoreres).

Vi har da at s(0) = − 12g0

2 + v00 + s0 = s0, slik at s0 er høyden over bakken i det ballen kastesved tidspunktet t = 0.

Farten v(t) er den deriverte av s(t). Siden g og v0 er konstanter gar de utenfor derivasjonen, menss0 deriveres til 0, og vi har

v(t) = s′(t) = −12g · 2t+ v0 · 1 + 0 = −gt+ v0

Spesielt far vi v(0) = v0, slik at v0 er den vertikale farten ballen kastes opp med.

Pa samme mate som endring i posisjon per tidsenhet er farten, kaller vi endring i farten pertidsenhet aksellerasjonen a(t). Vi har at a(t) = v′(t) = s′′(t). I dette tilfellet far vi da

a(t) = v′(t) = s′′(t) = −gAksellerasjonen er dermed −g, altsa konstant. Størrelsen g er ved jordoverflaten ca. 9.8 meter persekund2.

I fysikken gar resonementet oftest den motsatte vegen, man begynner med aksellerasjonen og finner

hastighet og posisjon. Med konstant aksellerasjon vil formelen for v(t) og s(t) i dette eksemplet

(muligens med andre navn pa konstantene) gjelde. Prosessen a ga motsatt veg av derivasjon kalles

integrasjon. Vi vil si noen fa ord om integrasjon til slutt i dette kapitlet.

5.5 Flere derivasjonsregler

Vi skal i dette avsnittet utvide repertoiret av derivasjonsregler med to nye regler.

5.5.1 Produktregelen

Først skal vi se pa hvordan vi deriverer et produkt av to funksjoner, f(x) = g(x)h(x), nar vi kanfinne de deriverte av h(x) og g(x) hver for seg. Merk spesielt at regelen ikke er sa enkel som amultiplisere de deriverte av de to funksjonene:

Produktregelen for derivasjon:

Hvis f(x) = g(x)h(x) er f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x) (5.13)

Regelen kan formuleres med ord, med en formulering som ogsa gjelder produkt av flere enn to funk-

sjoner:

Den deriverte av produkt av funksjoner er en sum av produkter der hvert ledd inneholder en av

funksjone som derivert, og de andre uderivert.

Eksempel La f(x) = (2x − 1)(3x + 2). Da kan vi bruke produktregelen med g(x) = 2x − 1 ogh(x) = 3x+ 2 for a derfivere f(x):

f ′(x) = 2 · (3x+ 2) + (2x− 1) · 3 = 12x+ 1

5.5. FLERE DERIVASJONSREGLER 107

I dette tilfellet kunne vi som alternativ multiplisert sammen (2x−1)(3x+2) = 6x2 +x−2, og derivert

dette polynomet. I andre situasjoner, spesielt med funksjoner vi kommer til siden, finnes ikke et slikt

alternativ.

Ytterligere eksempler pa denne viktige regelen produserer dere best selv, ved a løse oppgaver.

5.5.2 Kvotientregelen

Derivasjon av en brøk der teller og nevner kan deriveres hver for seg har en enda mer komplisertderivasjonsregel. Telleren likner leddet i produktregelen, men du ma passe pa hvilket ledd som skalha minus foran.

Kvotientregelen for derivasjon:

Hvis f(x) =g(x)h(x)

er f ′(x) =g′(x)h(x) − g(x)h′(x)

h(x)2(5.14)

Eksempel La f(x) = (2x− 1)/(3x+ 2). Da er

f ′(x) =2 · (3x+ 2)− (2x− 1) · 3

(3x+ 2)2=

7(3x+ 2)2

Man kan selvfølgelig multiplisere ut nevneren ved 1. kvadratsetning, men ofte har ikke dette noenhensikt.

Eksempel

I dette eksemplet skal vi drøfte og tegne grafen til funksjonen

f(x) =x

x2 − 4, x ∈ R \ {−2, 2 }

Assymptoter Nevneren er 0 for x = −2 og x = 2. Siden telleren ikke ogsa er 0 for disse verdienehar vi vertikale assymptoter her. Siden graden til nevneren er større enn graden til telleren erx–aksen horisontal assymptote begge veier.

Skjæring med koordinataksene For at en brøk skal være 0 ma telleren være 0. Det vil si at forx = 0 far vi eneste skjæring med x–aksen. Dette er samtidig skjæring med y–aksen, og f(0) = 0,sa dette skjer i origo. Merk at dette ikke bare gir informasjon om hvordan kurven er ved x = 0:Den skjærer ikke x–aksen noen andre steder. Spesielt krysses ikke x–aksen nar kurven nærmer segx–aksen som horisontal assymptote.

Den deriverte Vi deriverer ved kvotientregelen, og far

f ′(x) =1 · (x2 − 4)− x · 2x

(x2 − 4)2=−x2 − 4)− x · 2x

(x2 − 4)2

Telleren i den deriverte er −x2 − 4 = −(x2 + 4), og siden x2 ≥ 0 for alle x er x2 + 4 > 0 og−(x2 + 4) < 0 for alle x. Nevneren er et kvadrat, og er dermed større enn 0 for alle x. Dermed erden deriverte et negativt tall dividert med et positivt tall for alle x, sa f ′(x) < 0 for alle x. Detbetyr at grafen er avtagende over alt, og den har ingen ekstremalpunkter.


-3

-2

-1

0

1

2

3

-6 -4 -2 2 4 6

Figur 5.8: Grafen til f(x) = x/(x2 − 4).

En ytterligere informasjon om grafen kan vi fa ved et symmetriargument. En funksjon har graf sym-

metrisk om y–aksen hvis f(−x) = f(x) for alle x, og symmetrisk om origo om f(−x) = −f(x) for

alle x. I dette tilfellet er f(−x) = −x(−x)2−4

= − xx2−4

= −f(x), sa grafen er symmetrisk om origo.

Skal vi tegne grafen til f(x) slik at alle egenskapene vi har funnet over gjelder, er det bare enmulighet hvis vi ikke krever for stor grad av detaljer hvor den skal ga. Det kan kanskje hjelpe littekstra ved a regne ut et par punkter: f(1) = 1

12−4 = − 13 og f(3) = 1

32−4 = 15 . Grafen er tegnet i

figur 5.8.

5.5.3 Kjerneregelen

Kjerneregelen er en derivasjonsregel for a derivere sammensatte funksjoner f(x) = g(h(x)), der vivet hvordan vi deriverer den ytre funksjonen g(x) og kjernen h(x). I tillegg til a være en viktigregel for a finne den deriverte av mange funksjoner er dette en sentral regel i utledning av mangemetoder knyttet til derivasjon (og integrasjon, og differensiallikninger).

Formelen inneholder et ledd g′(u). Dette betyr at vi bytter navn fra x til u i den ytre funksjoneng(x), men ellers deriverer pa vanlig mate med hensyn pa u. Etter at vi har derivert vil vi imidlertiderstatte u med h(x).

Kjerneregelen:Hvis f(x) = g(h(x)) er f ′(x) = g′(u) · h′(x) (5.15)

Eksempel Hvis vi skal derivere funksjonen (2x− 1)5 lar vi den ytre funksjonen være g(u) = u5

og kjernen være h(x) = 2x− 1. Kjerneregelen gir da

f ′(x) = 5u4 · 2 = 5(2x− 1)4 · 2 = 10(2x− 1)4

Eksempel Hvis vi skal derivere funksjonen√x2 + 1 lar vi den ytre funksjonen være g(u) =

√u

og kjernen være h(x) = x2 + 1. Kjerneregelen gir da

f ′(x) =1

2√u· 2x =

12√x2 + 1

· 2x =x√

x2 + 1

Eksempel Hvis vi skal derivere f(x) = x√x2 + 1 bruker vi bade produktregelen og kjerneregelen.

Først produktregelen, der vi lar rottuttrykket bli staende med derivasjonstegn:

f ′(x) = 1 ·√

x2 + 1 + x ·(√

x2 + 1)′

5.6. INTEGRASJON 109

Rottutrykket er derivert med kjerneregelen i forrige eksempel. Vi setter inn dette. Deretter settervi pa felles brøkstrek, ved a multipliser første ledd med

√x2 + 1 i teller og nevner:

f ′(x) =√

x2 + 1 + x · x√x2 + 1

=√x2 + 1 · √x2 + 1 + x2

√x2 + 1

=2x2 + 1√x2 + 1

Vi kan for eksempel observere at bade teller og nevner er positive for alle x, slik at f ′(x) > 0, ogf(x) er voksende overalt.

Vi kan ogsa bruke Leibniz notasjon for den deriverte. Hvis vi kaller funksjonen y, vil vi med dy/dumene den deriverte av g(u), mens g′(x) kan skrives du/dx. Da ser kjerneregelen slik ut:

dy

dx=dy

du· dudx

Merk at kjerneregelen fra høyre mot venstre ser ut som en brøkforkortning, du er forkortet bort.

Denne elegante formen er en viktig grunn til at ”de formelle brøkene” dy/dx osv. oppfører seg som

vanlig brøk ved mange regneoperasjoner.

Eksempel pa utledning av regneregel ved reglene i dette avsnittet. Anta vi hadde utledetderivasjonsregelen (x)′ = 1, og produkt- og kjerneregelen fra definisjonen av den deriverte, men ikkekjente derivasjonsregelen for f(x) = x2 og g(x) =

√x. Da kunne vi funnet disse slik:

f(x) = x2 = x · x slik at ved produktregelen er f ′(x) = 1 · x+ x · 1 = 2x.

Siden(√

x)2

= x for alle x ≥ 0, vil høyre og venstresiden i dette utrykket fortsatt være likt etter deri-vasjon. Venstresiden er f(g(x)), som vi deriverer ved kjerneregelen og den na kjente derivasjonsregelenfor f(x) = x2, og dermed f(u) = u2:

f ′(√x) = (x)′ ⇐⇒ 2u

(√x)′

= 1 ⇐⇒(√

x)′

=1

2u=

1

2√x

Ved en utvidelse av dette argumentet kan vi først finne den deriverte av xn, og deretter f1/n for alle

heltall n. Til slutt kunne de kombineres til den generelle regelen (xr)′ = rxr−1 for alle rasjonale tall

r = m/n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 Integrasjon

Integrasjon er et omfattende (og vanskelig) emne, og det vil sprenge alle tidsrammer om vi skulle gasærlig mye inn pa dette. Her tar vi bare med en svært kort innføring (pa kommentarformat), slik atstudentene kan ha en viss peiling pa hva integrasjon er.

5.6.1 Ubestemt integrasjon

Ubestemt integrasjon er det motsatte av derivasjon. For eksempel vet vi at den deriverte av F (x) = x2

er f(x) = 2x. I ubestemt integrasjon er problemet a finne de funksjoner som har en gitt f(x), foreksempel f(x) = 2x som derivert. Siden den deriverte av en konstant C er 0, vil (x2 + C)′ = 2x foralle konstanter C, og generelt om F ′(x) = f(x), vil F (x) +C være et ubestemt integral av f(x). Hvisf(x) er kontinuerlig finnes det imidlertid ingen andre funksjoner som oppfyller dette.

Symbol for ubestemt integrasjon er paret∫. . . dx, der dx i første omgang sier hva vi skal betrakte

som variabelen vi skal integrere med hensyn pa (jfr. Leibniz’ notasjon for den deriverte). Leddet dxspiller dessuten en viktig rolle ved visse regneteknikker med integrasjon, og kan gies konkret meningved modellering av integraler (dvs. a sette opp integraler fra en praktisk situasjon).

Resutlatet over vil vi dermed skrive ∫2x dx = x2 + C


Siden dette ikke er en bestemt funksjon (vi har ikke sagt hvilken konstant vi skal bruke for C), kallesdette ubestemt integrasjon.

Mer generelt har vi at om F (x) er en kontinuerlig funksjon og F ′(x) = f(x), er∫f(x) dx = F (x) +C

Ved a vri pa regnereglene for derivasjon kan vi finne en rekke regler for integrasjon. For eksempel vil vikunne integrere en sum ledd for ledd, og sette konstanter utenfor. Ved a ordne litt pa koeffisientene iderivasjonsregelen for xr kan vi se at den deriverte av 1

r+1xr+1 er xr, slik at vi har integrasjonsregelen∫

xr dx = 1r+1

xr+1 + C. Ved hjelp av dette kan vi integrere polynomer:∫3x2 + 4x+ 3 dx = 3

∫x2 dx+ 4

∫xdx+ 3

∫1 dx = 3

1

3x3 + 4

1

2x2 + 3x+ C = x3 + 2x2 + 3x+ C

Det er imidlertid generelt ikke sa automatisk, og derfor mye vanskeligere, a integrere enn a derivere.Vi gar ikke lenger med det her.

5.6.2 Bestemt integrasjon

Bestemt integrasjon hengfer først og fremst sammen med ubestemt integrasjon gjennom regneteknik-

ken. I bestemt integrasjon har vi grenser, som skrives over og under integrasjonstegnet som∫ b

a. . . dx,og

resultatet er et tall (ikke en funksjon). Følgende resultat gir sammenhengen mellom bestemt og ube-stemt integrasjon:

Hvis

∫f(x) dx = F (x) + C sa er

∫ b

a

f(x) = F (b) − F (a)

For eksempel er ∫ 3

1

2x dx = 32 − 12 = 8

Egentlig er bestemt integrasjon dannet ved grenseoverganger fra en bestemt type summer (Riemann-summer), integrasjonstegnet er en deformert S for ”Sum”. Bestemt integrasjon er eldre enn ubestemt,det var i bruk en stund før man oppdaget sammenhengen mellom disse. Vi skal her bare antyde hvadenne grenseovergangen innebærer i et eksempel:

Bestemt integral som areal

Anta vi skal finne arealet av omradet avgrenset av grafen til f(x) = x2, x–aksen og den vertikale linjax = 2. En mate a grovt tilnærme dette pa er ved a finne arealet av de fire rektanglene i figur 5.9. Dettearealet er summen av de fire enkeltrektanglene med bredde ∆x = 0.5, og høyde funksjonsverdien imidtpunktet i hvert intervall, og dette er en Riemannsum:

0.252 · 0.5 + 0.752 · 0.5 + 1.252 · 0.5 + 1.752 · 0.5 = 2.625

Ved a velge bredden pa intervallene ∆x mindre og mindre far vi en bedre og bedre tilnærming tilarealet, og bestemt integrasjon er den grensen vi far for denne summen nar ∆x → 0. Siden denderiverte av F (x) = 1

3x3 er x2 er den eksakte verdien av arealet∫ 2

0

x2 dx = F (2) − F (0) =1

3· 23 − 1

3· 03 =

8

3≈ 2.667

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7. OPPGAVER 111

1

2

3

4

0.25 0.75 1.25 1.75 2

Figur 5.9: En Riemannsum for areal under grafen til f(x) = x2.

5.7 Oppgaver

Oppgave 5.1 Deriver følgende polynomer:

a ) f(x) = 7x− 4 b) g(t) = t2 − 1

c ) h(x) = π d) i(t) = 2x− 3t

e ) j(x) = x2 − 3x+ 4 f) k(x) = x3 − 4x2 + x+√2

g ) l(x) = x10− x7 h) m(z) = πz5 −√13z3 + z/5 + 3

√5

Oppgave 5.2 Deriver følgende rotfunksjoner ved hjelp av formelen (xr)′ = rxr−1

a ) f(x) = x1/3 b) g(x) = x−1/2

c ) h(x) = x√x d) i(x) =

√x+ 1/

√x

e ) y(x) = 5√x3 f) s(t) = 6/ 3

√t

Oppgave 5.3 Finn likningen for tangenten til grafen til f(x) for den oppgitte x–verdien:

a ) f(x) = x2, x = −1b ) g(x) = 2x2 − 3x+ 1, x = 1

c ) h(x) = x3 − x2 + 2x+ 1, x = 0

d ) i(x) = x− 2√x, x = 4

Oppgave 5.4 Finn ut nar følgende funksjoner er avtagende, og nar de er voksende. Finn ogklassifiser eventuelle ekstremalpunkter. Finn ogsa skjæringer med koordinataksene og skissergrafen.

a ) f(x) = x2 − 4x+ 1


b ) g(t) = 3 + 6t− t2

c ) h(x) = x2 + x+ 1

d ) I(t) = t3 + 6t2 − 15t

e ) j(x) = (x− 1)2(x+ 2) = x3 − 3x+ 24

f ) k(x) = x4 − 8x2

g ) l(r) = 12r√r − r2 (r ≥ 0)

Oppgave 5.5 I oppgave 4.6, pa side 87, skulle dere modellere volumet til en eske lagd av enrektangulær pappbit med sider 5 og 8 centimeter. Hvis dere har løst oppgaven (riktig) fantdere at volumet er

V (x) = x(8− 2x)(5− 2x) = 4x3 − 26x2 + 40x, 0 ≤ x ≤ 5/2

Hva er det største volumet denne esken kan ha?

Oppgave 5.6 En blikkenslager har en 20 centimeter bred aluminiumsplate som han skalforme til en renne med rektangulært tverrsnitt:

Hva er det største tverrsnittarealet han kan oppna?

Oppgave 5.7 Betrakt funksjonen

f(x) = x3 − 6x2 − 36x+ 1

a ) Deriver funksjonen, og avgjør hvor grafen er voksende, og hvor den er avtagende.

b ) Finn den andrederiverte, og avgjør hvor funksjonen krummer oppover, og hvor den krum-mer nedover.

c ) Finn maksimum- og minimumspunktene, samt skjæring med y–aksen.

d ) Skisser grafen (kun) pa bakgrunn av det du har regnet ut over.

e ) Finn omtrentelig røttene i likningen x3 − 6x2 − 36x+ 1 = 0 (med en desimal) ved hjelpav grafen.

Oppgave 5.8 En bilfører starter hjemmenfra ved tidspunktet t = 0, og har etter t minutterkjørt s(t) = t +

√t kilometer. Hva er farten (i kilometer per minutt) og aksellerasjonen ved

tidspunktet t = 36 minutter.

Oppgave 5.9 Deriver følgende funksjoner ved hjelp av produkt- og kvotientregelen:

a ) f(x) = (7x+ 2)(3x− 1) b) g(x) = x2(x− 3)

c ) h(w) = (w2 + 1)(w2 − 1) d) i(x) = x3√x

e ) j(x) =x

x+ 1f) k(t) =

2t+ 31− t

5.7. OPPGAVER 113

g ) L(m) =m2 − 1m2 + 1

h) m(t) =√x

2x− 1

Oppgave 5.10 La den rasjonale funksjonen

f(t) =t+ 3t2 − 4

, t ∈ R \ {−2, 2 }være gitt.

a ) Finn skjæring med koordinataksene og assymptoter.b ) Finn f ′(t), og avgjør for hvilke t (som desimaltall) f ′(t) = 0.c ) Finn f ′′(t), og bruk dette til a avgjøre om punktene der f ′(t) = 0 er lokale maksimum

eller minimum. Avgjør ogsa hvilken veg grafen krummer for t = 0 og t = 3.d ) Regn ut f(3), og skisser grafen (kun) pa bakgrunn av de opplysningene du allerede har

funnet i denne oppgaven.

Oppgave 5.11

a ) Funksjonen f(x) = 1/x kan deriveres pa to mater, ved kvotientregelen og ved potensregelen(med r = −1). Utfør derivasjonen pa begge mater, og sjekk at svarene blir like.

b ) Funksjonen kf(x) (der k er en konstant, og f(x) har kjent derivert) kan deriveres medproduktregelen. Gjennomfør dette.(Dette er en tungvindt mate som bør unngas andre steder enn i denne oppgaven.)

c ) Funksjonen f(x) = x4 kan deriveres med produktregelen og derivasjonsregelen for x2.Gjennomfør dette, og sjekk at svaret blir det samme som vi (enklere) far ved potensregelen.

d ) Et alternativ til kvotientregelen er a bruke en kombinasjon av produktregelen og kjerne-regelen, ved a skrive f(x)/g(x) = f(x)g(x)−1. Gjennomfør dette.

Oppgave 5.12 Bruk (blant annet) kjerneregelen til a derivere følgende funksjoner:

a ) f(x) = (2x+ 4)5 b) g(x) = (1 − x)3

c ) h(x) = (x2 + 2x− 1)3 d) i(x) = (1 − 2x)−2

e ) j(x) =√4x− 1 f) k(x) = x2

√4x− 1

g ) l(x) =

√2x− 12x+ 5

h) m(x) =√x2 + 1x+ 1

Oppgave 5.13 Finn (størst mulig) definisjonsomrade for funksjonene under, og drøft demmed hensyn pa voksende/avtagenede og maksimum/minimum:

a ) f(x) =√

x2 − 4x b) g(x) = x√4− x

c ) h(x) =√

x2 + 2x+ 5 d) i(x) =1√

x2 + 2x+ 5

Oppgave 5.14 Skisser omradet i xy-planet som er avgrenset av grafen til f(x) = 8x3, x–aksen og den vertikale linja x = 1.Regn ut arealet av dette omradet (ved integrasjon).Sjekk at svaret er rimelig ved a tegne og regne ut arealet av en trekant med hjørner i origo,(0, 1) og (1, 8), og gjør en omtrentelig sammenlikning av disse to arealene.

Kapittel 6

Trigonometri

Trigonometri, som betyr trekantmaling, dreier seg i utgangspunktet om regning i forbindelse medsider og vinkler i trekanter. Dette har blant annet anvendelser ved plasseringer (ikke minst rotasjo-ner) av figurer pa en side (trykt, eller pa dataskjerm). Sentralt star tre forhold mellom sider i enrettvinklet trekant med en gitt vinkel : Sinus, cosinus og tangens. Disse størrelsene er funksjoner avden gitte vinkelen, og som funksjoner har de mange viktige anvendelser langt ut over geometrien.

6.1 Absolutt vinkelmal (radianer)

Det mest kjente vinkelmalet er grader, der vi deler sirkelen inn i 360◦. Tallet 360 er noksa tilfeldigvalgt, men en av fordelene er jo at det er delelig pa mange tall (f.eks 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12). Vi skalher se pa et annet ”naturlig” vinkelmal som har matematiske fordeler blant annet i forbindelse medderivasjon. Dette kalles absolutt vinkelmal, og størrelsen (som erstatter grader) kalles radianer.

6.1.1 Definisjon av radianer

Hvis vi har en tegning av en vinkel (som to vinkelbein som møtes) kan vi sla en sirkelbue medvilkarlig radius r som i figur 6.1 til venstre, og fa en sirkelsektor. Hvis vi kaller lengden av sirkelbuenmellom vinkelbena for l kan vi definere vinkelen i radianer som forholdet l/r, forholdet mellomlengden av buestykket og radien i sirkeldelen. Dette fungerer som definisjon siden forholdet herer uavhenging av hvor stor vi tilfeldigvis valgte r. Dette er antydet i figur 6.1 til høyre , derl1/r1 = l2/r2.

v

lr

r2

l2

v

l1r1

Figur 6.1: Definisjonsfigur for vinkel i radianer

115

116 KAPITTEL 6. TRIGONOMETRI

Hvis vi har benevning (f.eks cm) pa lengdene l og r blir denne forkortet bort, slik at vinkelen iradianer er ubenevnt. Av og til ønsker vi a presisere at vinkelen er malt i radianer, og kan da brukebenevningen rad.

Siden omkretsen av en sirkel med radius r er 2πr, vil en hel omdreining være 2πrr = 2π = 6.28 . . .

i radianer.En 90◦-vinkel er en fjerdedels omdreining, sa dette tilsvarer 2π

4 = π2 = 1.57 . . ..

Tallet π kommer naturlig inn i mange vinkelmal i radianer, og det er ofte ikke hensiktsmessiga regne det om til desimaltall. For det første vil dette ofte gjøre uttrykkene og sammenhengeneuoversiktlig, og for det andre kan det lede til avrundingsfeil vi ikke har sa god kontroll over. Gjørdet til en vane a uttrykke radianvinkler pa formen qπ , der q er en brøk eller et symboluttrykk,nar det er mulig (og naturlig). Vi kaller ofte dette eksakt form.

Oppgave 6.1 Gjør om følgende vinkler i radianer til vanlige grader:2π , −π , π/6 , π/3 , π/4 , π/10

Oppgave 6.2 Fyll ut resten av følgende tabell for omregning mellom grader og radianer:

Grad 720◦ 540◦ 360◦ 135◦ 90◦ 60◦

Rad 2π 32π π 1

4π16π 0

Hvis v er en vinkel i radianer, og v◦ er den samme vinkelen uttrykt i grader, er disse proporsjonale,dvs. v = kv◦ for en konstant k. Dette er fordi en vinkel pa 0 radianer tilsvarer en vinkel pa 0grader. Siden 360◦ tilsvarer 2π radianer har vi 2π = k360◦ ⇔ k = 360◦

2π = 180◦π . Derfor har vi

følgende omregningsformler:v =

π

180◦v◦

v◦ =180◦

πv

(6.1)

For eksempel er en vinkel pa 20◦ i radianer π180◦ 20◦ = π

9 ≈ 0.349.En vinkel pa 1 radian er 180◦

π · 1 = 180◦π ≈ 57.3◦.

6.2 Definisjon av sinus, cosinus og tangens

Hovedtemaet i dette notatet er tre størrelser tilordnet en vinkel v, de trigonometriske funksjonenesinus (sin(v), cosinus (cos(v) og tangens (tan(v)).

6.2.1 Geometriske definisjoner for vinkler mellom 0 og π/2

Hvis vi har en rettvinklet trekant som i figur 6.2 , der katetene har lengde a og b, hypotenusen harlengde c, og v er vinkelen mellom kateten med lengde a og hypotenusen, definerer vi

Definisjon av sinus : sin(v) =b

c

Definisjon av cosinus : cos(v) =a

c

Definisjon av tangens : tan(v) =b

a

(6.2)

6.2. DEFINISJON AV SINUS, COSINUS OG TANGENS 117

cb

av

Figur 6.2: Figur til definisjon av trigonometriske funksjoner

Siden b/ca/c = b

a er tan(v) = sin(v)cos(v) , som er en alternativ definisjon av tangens.

Hvis v = 0 kan vi tenke oss trekanten klappet sammen slik at b = 0. Da blir a = c, og vi far:

sin(0) = 0/c = 0, cos(0) = a/c = a/a = 1, tan(0) = 0/a = 0

Hvis v = π/2 = 90◦ kan vi tenke oss trekanten klappet sammen sa a = 0, mens b = c:

sin(π/2) = b/c = b/b = 1, cos(π/2) = a/c = 0/c = 0 mens tan(π/2) = b/0 er udefinert

Det finnes ogsa andre trigonometriske funksjoner: cot(v) = a/b, sec(v) = c/b og csc(v) = c/a, men de

skal vi ikke behandle her.

6.2.2 Noen eksakte verdier av cos, sin og tan

Figur 6.3 til venstre viser en rettvinklet trekant som er et kvadrat delt i to. Der er v = 45◦ = π/4.Hvis katetene har lengde 1 har (ved Pytagoras) hypotenusen lengde

√12 + 12 =

√2. En enkel

skisse av denne kan brukes til a finne eksakt verdi av trigonometriske funksjoner for v = π/4. Foreksempel er

sin(π

4

)=

1√2=

1√2·√2√2=√22

1

1

π/4

2

1

π/6

π/3

Figur 6.3: Figurer til noen eksakte verdier

I figur 6.3 vises til høyre en likesidet trekant delt i to. Hvis vi sier siden i hypotenusen er 2, har denkorteste kateten lengde 1, siden det er en halv side i den opprinelige trekanten. Den andre kateten


finner vi ved Pytagoras:√22 − 12 =

√3. Den største spisse vinkelen er v = 60◦ = π/3, siden det er

en vinkel i den opprinnelige 60◦–60◦–60◦–trekanten, og da blir det igjen 30◦ = π/6 til den minstevinkelen. Dette kan brukes til a finne eksakte verdier for v = π/3 og v = π/6.

For eksempel er

cos(π

3

)=

12

For a finne tan(

π6

)ma vi snu litt pa figuren, den motsaende siden til vinkelen (som vi har kallt b

i definisjonen) er den kateten med lengde 1, og vi har

tan(π

6

)=

1√3=√33

Bruke (blant annet) disse figurene til a finne eksakte verdier av resten av verdiene til sin, cos ogtan i tabellene i de følgende oppgavene, og bruk tabellenei fortsettelsen.

Oppgave 6.3 Finn følgende vinkler som radianer, pa eksakt form.Bruk resonnementer og enkle figurer, ikke kalkulator eller omregningsformler

180◦ , 45◦ , 15◦ , 60◦ , 270◦ , 720◦ , −90◦

Oppgave 6.4 Bruk (blant annet) tegningene i figur 6.3 pa side 117 over til a løse denneoppgaven:

a ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av sin(v):

v 0 π/6 π/4 π/3 π/2sin(v)

b ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av cos(v):

v 0 π/6 π/4 π/3 π/2cos(v)

c ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av tan(v):

v 0 π/6 π/4 π/3 π/2tan(v)

6.2.3 Cosinus, sinus og tangens for generelle vinkler

Vi kan forstørre eller forminske trekanten i figur 6.2 uten at forholdene b/c, a/c eller b/a endres.Vi kan for eksempel gjøre den akkurat sa stor at c = 1, og dessuten kalle a = x og b = y. Daer sin(v) = y/1 = y, cos(v) = x/1 = 1 og tan(v) = y/x. Vi kan legge denne trekanten inn i etvanlig xy–koordinatsystem, med v i origo og katetene parallell med koordinataksene. I den figurenbehøver vi ikke begrense oss til 0 < x < π/2. Ved hjelp av figur 6.4 til venstre kan vi definere detrigonometriske funksjonene for vilkarlige vinkler.

6.3 Trekantberegninger

Et klassisk anvendelsesomrade for trigonometri er a beregne sider, vinkler, arealer osv. i trekanterder noen av disse er kjent. Dette er ogsa bakgrunnen for navnet trigonometri. Skal trigonometrienvære til noen nytte her bør man ha en kalkulator (i gamle dager brukte man tabeller).

6.4. TRIGONOMETRISKE OMREGNINGSFORMLER 119

v

c

b

a

cos(v)

sin(v)

1

v

Figur 6.4: Definisjonsfigur for generelle vinkler

c b

a

C

BA

h

BA a

C

c b

Figur 6.5: Trekanter til eksempler og oppgaver

Eksempel: Finne side i rettvinklet trekant Vi ser først pa en rettvinklet trekant som ifigur 6.5 til venstre, der sidekanter er gitt med sma og vinkler med store bokstaver.Anta først vi har opgitt A = 20◦ og a = 12.0cm, og vi skal finne hypotenusen c. Vi har da ata/c = cos(20◦), sa c = a/ cos(20◦). Vi bruker sa kalkulator. Pass pa at kalkulatoren na skal regnei grader, ikke radianer (som sikkert er feilen hvis dere far svaret 0.408 . . .). Hvis den er satt opp iradianer kan vi skrive cos(20 · π/180)).Vi finner: c = 12.0cm/0.9397 = 12.8cm.

Eksempel: Finne vinkel i rettvinklet trekant Hvis vi na isteden har opgitt to av sidene,f.eks. a = 4 og b = 7cm, og ønsker a finne vinkelen a bruker vi at tan(A) = b/a = 7/4 = 1.75. Vitrenger da a ga den motsatte vegen, a finne en vinkel som har kjent tangens. Vanligvis finnes dettemed kombinasjonen SHIFT og tan-tastene. Funksjonen er gjerne betegnet tan−1, men den er ogsakjent som arcus tangens. Dette vil da gi resultatet A = 60.3◦. Hvis kalkulatoren regner i radianer(sa dere far vinkelen 1.051 . . .) kan den regnes om til grader ved a multiplisere med 180◦/πMerk at tan−1(x) IKKE betyr 1/ tan(x).

6.4 Trigonometriske omregningsformler

6.4.1 Den trigonometriske identiteten

Pa trekanten vi brukte til a definere cos(v) og sin(v) i figur 6.2 gir Pytagoras a2 + b2 = c2. Om vi dividerer

begge sider av likhetstegnet med c2 far vi a2

c2+ b2

c2= c2

c2, som vi omformer til

(ac

)2+

(bc

)2= 1. Brøkene i

parentes er definisjonen av sin(v) og cos(v), sa vi ender opp med sin(v)2 + cos(v)2 = 1.

Det er standard skivemate a skrive sin(v)2 = sin2(v) og cos(v)2 = cos2(v), og da far vi følgende formel

(som gjelder for alle v):


x

x

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6 8x

Figur 6.6: SINUSKURVEN

sin2(v) + cos2(v) = 1 (6.3)

6.4.2 Summeformler for sinus og cosisnus

Vi skriver opp summeformlene for sinus og cosinus, uten a ta med noen utledning. Disse formleneer det lurt a lære seg:

sin(u± v) = sin(u) cos(v)± cos(u) sin(v)cos(u ± v) = cos(u) cos(v)∓ sin(u) sin(x)

(6.4)

Tegnet ± betyr pluss eller minus, mens ∓ er omvendt, dvs. at pluss gar sammen med minus og omvendt i cosinus-

formelen

6.5 Sinus og cosinus som funksjoner

I resten av dette kapttelet tenker vi pa vinkelen v som en variabel, og skal derfor heller brukebokstaven x pa vinkler.

Sinus, cosinus og tangens er funksjoner som ikke kan regnes ut eksakt ved hjelp av et endelig antalladdisjoner, subtraksjoner, multiplikasjoner og rotutdragninger, sa de er ikke algebraiske funksjoner,men kalles transendentale funksjoner. Det samme gjelder eksponential- og logaritmefunksjonene ineste kapittel.

6.5.1 Sinus- og cosinuskurver

Ved a sette vinkelen x (malt i radianer) langs førsteaksen, og avmerke sin(x) fra oppgave 6.6 somy–koordinater, og deretter forbinde disse punktene med en glatt kurve far vi sinuskurven, i figur 6.6:

Hvis vi setter inn andre x–verdier enn de i listen fra oppgave 6.6 vil de ogsa passe inn pa dennekurven. Selv om vi ikke har eksakte verdier for disse x–verdiene lar de seg regne ut med saa mangedesimaler vi matte ønske. I praksis gjør vi dette med kalkulator eller dataprogrammer. Tilordningenx → sin(x) gir et reelt tall y, der −1 ≤ y ≤ 1, sa dette er en funksjon, og sinuskuren er grafen tildenne.

6.5. SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER 121

-6

-4

-2

0

2

4

6

y

-6 -4 -2 2 4 6x

Figur 6.7: Tangenskurven (som vi ikke skal jobbe mer med na)

Sinus endrer ikke verdi om vi adderer 2π til x, siden dette tilsvarer a ”ga en runde ekstra”. Derforfar vi gjentagelse av det mønsteret vi har mellom x = 0 og x = 2π. Vi sier kurven (eller funksjonen)er periodisk med periode 2π.

Sinuskurven har en ”bølgeform”, og mange typer bølger følger faktisk denne formen. Ogsa for abeskrive bølger med andre former er sinus og cosinus svært viktige funksjoner.

6.5.2 Symmetriforhold for sin og cos

Nærmere undersøkelser vil bekrefte de symmetriforholdene skissen av sinuskurven antyder. Spesiellter den symmetrisk om origo. Dette tilsvarer ”analytisk” at sin(−x) = − sin(x), at ”minus garutenfor sinus”.At ”minus gar utenfor” brukes ofte som kriterium pa at en funksjon er symmetrisk om origo, men her

er det antagelig mer nyttig a ”ha sinuskurven i hodet” og bruke det som huskeregel for at ”minus gar

utenfor”.

Ogsa de andre symmetriene som synes a være der stemmer eksakt, for eksempel symmetri om denvertikale linja x = π/2, eller om punktet (π, 0).

Dere ser at sinuskurven er 0 for x = 0 og x = π, og at den har maksimum sin(π/2) = 1 og minimumsin(3π/2) = −1. Sammen med symmetriforholdene og periodisiteten kan dere bruke dette til a raskttegne en ganske god skisse av sinuskurven, uten bruk av kalkulator. Dette er ofte et svært godthjelpemiddel under oppgaveløsning— venn dere til a bruke det!

Se oppgave 6.19 for tegning av cosinuskurven.

6.5.3 Andre perioder og faseforskyvninger

Hvis x er en vinkel gitt i grader er π180x den samme vinkelen i radianer. Siden sinusfunksjonen tar

utgangspunkt i radianer, vil ”sinusfunksjonen i grader” være f(x) = sin(

π180x

). Grafen til denne

funksjonen er en sinuskurve der skalaen pa x–aksen er endret sa en hel svingning (fra skjæring medx–aksen for voksende graf til neste sted dette skjer) er omradet x = 0 til x = 360.

Denne funksjonen bruker et intervall av lengde 360 for a gjennomføre en hel svingning. Dette tallet


✲

✻

✲

✻

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

✚✚

a

b

R

φ

❅❅

❅❅

❅❅

❅❅❅

a = 1

b = −1R =

√2

φ = −π/4

Figur 6.8: Sammenhengen mellom a, b og R, φ

kalles perioden, innenfor enkelte anvendelsesomrader kalles den bølgelengden.Hvis x er en variabel som betegner tiden bruker vi vanligvis bokstaven t istedenfor x. Da kallesperioden svingetiden. Den inverse av dette, 1/360 er da antall hele svingninger pr. tidsenhet. (f.eks.pr. sekund), og kalles frekvensen.Multipliserer vi frekvensen med 2π far vi i dette tilfellet 2π/360 = π/180, det tallet som star foranx (eller t) i sinus (eller cosinus) funksjonen. Dette tallet kalles vinkelfrekvensen, og betegnes oftemed bokstaven ω (omega).

I funksjonen R sin(ωt + φ) der R, ω og φ er konstanter kalles R amplityden. Konstanten ω ervinkelfrekevensen, mens φ kalles faseforskyvningen (eller bare fasen). Bruk av summeformelen gir

R sin(ωt+ φ) = R cos(φ) sin(ωt) +R sin(φ) cos(ωt) = a sin(ωt) + b cos(ωt) (6.5)

ved a sette a = R cos(φ) og b = R sin(φ)

Omvendt kan alle funksjoner pa formen a sin(ωt) + b cos(ωt) skrives om til formen

R sin(ωt+ φ) (6.6)

Sammenhengene a = R cos(φ) og b = R sin(φ) kan illustreres i figur 6.8, som kan innsees ved askrive a/R = cos(φ) og b/R = sin(φ)

Figuren kan utvides til vilkarlig φ etter samme prinsipp som figur 6.4.

Eksempel Vi skal skrive f(x) = cos(x) − sin(x) pa formen R sin(ωt + φ). Vi har da a = 1 ogb = −1, og dermed R =

√12 + (−1)2 =

√2. Ved a tegne inn en trekant med kateter a = 1 langs

x–aksen og b = −1 parallelt med y–aksen, far vi en figur som i figur 6.8 til høyre. Vinkelen φ erda negativ (med utgangspunkt i positiv x–akse), og vi ser at den er pa −45◦ = −π/4. Dermed er

cos(x)− sin(x) =√2 cos(x− π/4)

6.6 De deriverte av sinus og cosinus

Derivasjonsregler for sinus og cosinus:

6.7. PLOT AV NOEN FUNKSJONER MED SINUS OG COSINUS 123

(sin(x))′ = cos(x) (6.7)

(cos(x))′ = − sin(x) (6.8)

Ved hjelp av kvotientregelen for derivasjon kan vi finne den deriverte av tangens:

tan(x) =sin(x)cos(x)

⇒

tan(x)′ =sin(x)′ cos(x) − sin(x) cos(x)′

(cos(x))2=

cos(x) cos(x)− sin(x)(− sin(x))cos2(x)

=cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)

Ved a bruke den trigonometriske identiteten cos2(x) + sin2(x) = 1 forenkles dette til

tan(x)′ =1

cos2(x)

Et annet alternativ er følgende omforming:

tan(x)′ =cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

cos2(x)cos2(x)

+sin2(x)cos2(x)

= 1 +(sin(x)cos(x)

)2

= 1 + tan2(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7 Plot av noen funksjoner med sinus og cosinusHer vises noen eksempler pa grafer til funksjoner som inneholder sinus og cosinus. Plottene er lagetved hjelp av dataprogrammet Maple

Hvis vi adderer en sinus og cosinus med samme frekvens far vi fortsatt en sinuskurve:

f(x) = sin(x) + cos(x), −2π ≤ x ≤ 2π (Jfr oppgave 25a):

-1

1

Hvis vi adderer en sinus og cosinusfunksjone med forskjellig frekvens blir summen ikke lenger ensinuskurve:

f(x) = sin(x) + cos(2x), 0 ≤ x ≤ 2π :

1

1


De to neste grafene er eksempler pa Fourierpolynomer, som brukes i forbindelse med signal- og bil-debehandling. Enhver (stykkevis kontinuerlig og begrenset) periodisk funksjon kan tilnærmes som ensum av sinuskurver, med frekvenser som er et heltall multiplisert med funksjonens periode.Første eksempel er en ”sagtannkurve”, plottet for 0 ≤ x ≤ 6π:

f(x) = sin(x) − sin(3x)/9 + sin(5x)/25 − sin(7x)/49 + sin(9x)/81 :

1

1

Det andre eksemplet er en ”firkantkurve” for 0 ≤ x ≤ 6π (firkantkurven ogsa tegnet inn) :

f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 :

Hvis vi adderer to sinusfunksjoner med bare litt forskjellige frekvenser far vi et fenomen som kalles”svevning”. Noen har kanskje erfart dette ved stemming av musikkinstrumenter, eller i fly med topropeller.Fenomenet utnyttes blant annet i radiosignaler (FM- ”frekvensmodulering”)

f(x) = sin(12x) + sin(13x), 0 ≤ x ≤ 6π :

-1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.8 Oppgaver

Oppgave 6.5 Det finnes ikke noen enkel formel for a regne ut de trigonometriske funksjon-ene for en gitt vinkel. Vanligvis bruker vi en kalkulator, og far verdien ut som et desimaltall.Forsøk dette med din egen kalkulator for verdiene

cos(30◦) sin(30◦) tan(45◦) cos(2◦) sin(3◦)cos(1) tan(0.75) sin(π/3) cos(π/2)

6.8. OPPGAVER 125

Oppgave 6.6 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av sin(v), og desimaltall med todesimaler:

v −2π −3π/2 −π −π/2 −π/4 0 π/6 π/4 π/3sin(v) = 0 1/2

√2/2

√3/2

sin(v) ≈ 0.00 0.50 0.71 0.87

v π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π 9π/4 5π/2sin(v) = 1

√2/2 1

sin(v) ≈ 1.00 0.71 1.00

Oppgave 6.7 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av cos(v), og desimaltall med todesimaler:

v −π −π/2 −π/4 0 π/4 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

cos(v) = 1√2/2 0

cos(v) ≈ 1.00 0.71 0.00

Oppgave 6.8 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av tan(v), og desimaltall med todesimaler :

v −π −π/2 −π/4 0 π/4 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

tan(v) = 0 1 udef.

tan(v) ≈ 0.00 1.00 udef.

Oppgave 6.9 Anta følgende størrelser er gitt, og skal finnes i en rettvinklet trekant med navnpa sider og vinkler som i figur 6.5:a ) c = 8, A = 50◦, b =?

b ) c = 15, b = 11, A =?

Oppgave 6.10 Hvis vi har en trekant som ikke er rettvinklet, hjelper det ofte a dele deni to rettvinklede trekanter som pa figur 6.5 til høyre. Anta vi har en slik trekant med sidera = c = 7 og vinkel A = 25◦, og ønsker a finne siden b:a ) Finn lengden pa hjelpesiden h

b ) Finn pa tilsvarende mate lengden pa linjestykket fra vinkel A til foten av normalen h(langs siden med lengde a).

c ) Ved hjelp av den pytagoreiske læresetning pa den rettvinklede trekanten helt til høyre erdet na mulig a regne ut siden b. Gjør dette.

Oppgave 6.11

a ) Finn alle vinkler og arealet av en trekant med sider av lengde 10, 7 og g

b ) Finn alle sider og vinkler (i grader) i en trekant der vinkel A = 40◦, vinkel B = 1 (radian)og siden a mellom dem har lengde 10

Oppgave 6.12 I likningen y = ax + b for en rett linje er stigningskoeffisienten a tangenstil vinkelen linja danner med x–aksen. For en vilkarlig funksjon y = f(x) er den derivertestigningskoeffisienten til tangenten. Bruk dette og kalkulator til a svare pa denne oppgaven:


a ) Finn vinkelen linja y = 12x− 1

2 danner med x–aksen.

b ) Hva er vinkelen (tangenten til) kurva y = x2 − 3x+ 2 i punktet (0, 2) har i forhold til enhorisontal linje?

c ) Pa et fareskilt for bratt vegstrekning star det oppført at stigningen er 10%. Hvilken vinkeltilsvare dette?

Oppgave 6.13 Sjekk formelen sin2(v)+cos2(v) = 1 ved a sette inn v = π/3 og regne sammenvenstresiden.Gjør det samme med a sette inn v = −π/2

Oppgave 6.14 Forenkl uttrykket sin2(θ) + cos2(θ)− sin2(2θ)− cos2(2θ)

Oppgave 6.15

a ) Sjekk summeformelen for sin(u+v) ved a sette u = π/3 og v = π/6 og kontroller at høyreog venstreside blir like.

b ) Sjekk differensformelen for sin(u − v) ved a sette u = π/3 og v = π/6 og kontroller athøyre og venstreside blir like.

c ) Sjekk summeformelen for cos(u + v) ved a sette u = π/4 og v = π/4 og kontroller athøyre og venstreside blir like.

d ) Sjekk differensformelen for cos(u − v) ved a sette u = π/4 og v = π/4 og kontroller athøyre og venstreside blir like.

Oppgave 6.16

a ) Finn eksakt verdi for sin(5π/12) og cos(5π/12)(Hint: Bruk summeformlene med u = π/4 og v = π/6)

b ) Finn eksakt verdi for sin(π/12) og cos(π/12)(Hint: Bruk differensformlene med u = π/4 og v = π/6)

Oppgave 6.17 Forenkl uttrykkene (ved hjelp av summeformlene)

a ) sin(v + π/2) og cos(v − π/2)

b ) sin(v ± 2π) og cos(v ± 2π)

c ) sin(v ± π) og cos(v ± π)

Oppgave 6.18 I denne oppgaven skal vi utlede formlene for sinus og cosinus av den dobbeltevinkel:

a ) Sett u = v i summeformelen for sinus, og finn en formel for sin(2v)

b ) Sett u = v i summeformelen for cosinus, og finn en formel for cos(2v)

c ) Ved a bruke formelen sin2(v) + cos2(v) er det mulig a omforme formelen for cos(2v) saden ikke inneholder sinus. Gjør detteFinn ogsa en formel for cos(2v) som ikke inneholder cosinus.

d ) Ved hjelp av formlene i forrige deloppgave er det mulig a finne formler for cos2(v) ogsin2(v) som ikke inneholder disse i 2. potens. Finn disse formlene!Denne omskrivningen er hensiktsmessig i en del sammenhenger, f.eks i forbindelse med integrasjon.

6.8. OPPGAVER 127

Oppgave 6.19 Lag et aksekors der punkten x = −2π, x = −3π/2, x = −π, x = −π/2, x = 0,x = π/2, x = π, x = 3π/2, x = 2π og x = 3π er avmerket. Sett ikke pa verdier pa merkeneforeløbig, og tegn y–aksen svakt (med blyant).

a ) Avmerk nullpunktene og maks/minpunktene til sinusfunksjonen i dette omradet, og skis-ser sinuskurven pa basis av dette.

b ) Na skal der sette y-aksen ved x = π/2 !Avmerk verdien pa delepunktene med sine ”nye” x-verdier.Den kurven dere na far er cosinuskurven !

c ) Plott inn punktene for cosinus fra oppgave 6.7, og se at de faller pa kurven (kanskjebortsett fra litt unøyaktighet i skissen).

d ) Hvilken symmetri har vi ved x = 0, og hvilken konsekvens har dette for verdien avcos(−x)?Ser du noen andre symmetrier?

e ) Ser du sammenhengen mellom konstruksjonen i oppgave b og resultatet i oppgave 6.17 a?

Oppgave 6.20 Finn perioden T , frekvens f og vinkelfrekvens ω i følgende funksjoner.Lag deretter en kort skisse av dem:

a ) f(t) = cos(2πt)

b ) g(t) = sin(t)

c ) h(t) = sin(1000t)

Oppgave 6.21 Skisser funksjonene

a ) f(t) = sin(2πt)

b ) g(t) = 4 sin(2πt)

c ) h(t) = sin(2πt+ π/4)

d ) i(t) = 4 sin(2πt+ π/4)

Oppgave 6.22 Skriv pa formen a sin(ωt) + b cos(ωt) :

a ) f(t) = sin(t+ π/4)

b ) f(t) = sin(2t+ π/3)

c ) f(t) = cos(

π2 (t− 3/2)

)

Oppgave 6.23 Finn fra figur 6.8 en formel for R, uttrykt ved a og b.

Oppgave 6.24 Skriv pa formen R sin(ωt+ φ) (bruk figur 6.8) og skisser:

a ) f(t) = sin(t) + cos(t)

b ) f(t) = sin(2πt) +√3 cos(2πt)

c ) f(t) = − sin(t/5)− cos(t/5)

Oppgave 6.25 Deriver følgende funksjoner med hensyn pa x:

6.8. OPPGAVER 129

a ) f(x) = sin(x) + cos(x)

b ) f(x) = 3 sin(x)− 4 cos(x)

c ) Bruk kjerneregelen til a derivere f(x) = cos(ax), der a er en konstant.

d ) f(x) = cos(2x)

e ) Bruk kjerneregelen til a derivere f(x) = sin(ax), der a er en konstant.

f ) f(x) = sin(

π180x

)g ) f(x) = sin2(x) (kjerneregelen ma brukes)

h ) f(x) = sin2(x) + cos2(x) (Forenkl og kommenter resultatet)

i ) f(x) = sin(1/x)

Oppgave 6.26 Siden sin(2t) = 2 sin(t) cos(t), vil de ogsa ha samme derivert:

a ) Deriver sin(2t) ved kjerneregelen.

b ) Deriver 2 sin(t) cos(t) ved produktregelen.

c ) Sjekk at svaret pa de to deloppgavene er like for alle verdier av t.

Kapittel 7

Eksponential- oglogaritmefunksjoner

7.1 Eksponentialfunksjonen med vilkarlig grunntall

131

132 KAPITTEL 7. EKSPONENTIAL- OG LOGARITMEFUNKSJONER

7.2 Derivasjon av eksponentialfunksjonen

7.3. DEN NATURLIGE LOGARITMEN 135

7.3 Den naturlige logaritmen

7.4. LOGARITMER MED VILKARLIG GRUNNTALL 137

7.4 Logaritmer med vilkarlig grunntall

7.5. OPPGAVER 143

7.5 Oppgaver

144 KAPITTEL 7. EKSPONENTIAL- OG LOGARITMEFUNKSJONER

Kapittel 8

Lineær algebra

Dette kapitlet er ikke skrevet enda, og vil bli utdelt senere i høst.

8.1 Matriser og vektorer

8.2 Matriseoperasjoner og determinanter

8.3 Affine transformasjoner

145

matematikk11 - ntnu · 2001-06-13 · matematikk11 dette er en forelØbig versjon fra 13. juni...

Documents