1

Matematikkunskaperna 2000 hos

nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH

bearbetning av ett förkunskapstest

av

Lars Brandell

Stockholm

November 2000

2

Innehållsförteckning

INNEHÅLLSFÖRTECKNING 2

FÖRETAL 3

SAMMANFATTNING 4

INLEDNING 5

Provet 5

De svarande 5

Grupperingar av testuppgifterna 6

Lösningsfrekvenser 6

PROVRESULTAT FÖR SAMTLIGA 6

Resultat år 2000 6

Jämförelse med tidigare år 7

LÖSNINGSFREKVENSER FÖR DE OLIKA CIVILINGENJÖRSPROGRAMMEN. 9

Stora skill nader mellan resultaten på de oli ka programmen 9

Var iationer av testresultaten inom de oli ka programmen. 13

LÖSNINGSFREKVENSERNA FÖR MÄN OCH KVINNOR 15

GYMNASIEBETYGENS BETYDELSE 18

Sambandet mellan betygen på oli ka kurser i gymnasieskolan 18

Lösningsfrekvenser för teknologer med oli ka betyg 19

BILAGA 1. BESKRIVNING AV UPPGIFTERNA OCH PROVRESULTATEN 1997 - 2000 22

Vad innehåller provet? 22

Lösningsfrekvens 22

Kommentarer till de oli ka uppgifterna 22

3

Företal Denna rapport innehåller en bearbetning och sammanställning av resultaten på förkunskaps-provet år 2000 i matematik för nybörjarna på civili ngenjörslinjerna vid Kungliga Tekniska Högskolan (KTH). Samma prov har tidigare givits år 1997, 1998 och 1999. Analyser liknande denna har gjorts tidigare av proven 1998 och 1999. Provet 1998 blev föremål för en mera in-gående analys i anslutning till Högskoleverkets utredning om förkunskaperna i matematik från gymnasieskolan.1 Provet 1999 har redovisats i en särskild rapport2.

Till denna rapport har i huvudsak framtagits samma tabeller som i de tidigare rapporterna, så att de skall vara lätt att göra jämförelser. Samtliga data har bearbetats av Jonas Öberg som också producerat tabellmaterialet. Bearbetningen har skett med hjälp av SPSS-systemet.

Stockholm i november 2000

Lars Brandell

1 Högskoleverkets utredning är publicerad under rubriken Räcker förkunskaperna i matematik? ( Högskolever-ket 1999). Se också Brandell , L & Mood-Roman, C: Matematikkunskaperna hos nybörjarna på civili ngenjörs-programmen vid KTH (Kungliga Tekniska Högskolan); bearbetning av ett förkunskapstest. Bedömningsgrup-pen för matematikkunskaper (Högskoleverket 1998). 2 Brandell , L: Matematikkunskaperna 1999 hos nybörjarna på civili ngenjörsprogrammen vid KTH, (Stockholm 1999)

4

Sammanfattning • Provet är samma prov som använts för nybörjarna på civili ngenjörslinjerna sedan hösten

1997. Det gjordes av de allra flesta av nybörjarna på civili ngenjörslinjerna hösten år 2000. Bortfallet var cirka 8 procent.

• Totalresultatet år 2000 på provet var sämre än de tre föregående åren.

• Lösningsfrekvenserna ligger på följande nivåer för de olika grupperingarna av uppgifterna: Grundkunskaper: 86%; Deriveringsmetoder: 61 procent; Matematisk allmänbildning: 59 %; Kreativ talkunskap 38 %; Läsförmåga (analys): 16 % och Okonventionella angrepps-sätt: 10 %.

• Jämfört med resultaten år 1998, som är de hittill s bästa, har lösningsfrekvenserna minskat kraftigast inom det som vi kallat Deriveringsmetoder (- 9 procentenheter (pe)), och Läs-förmåga (analys) (-7 pe). Även inom områdena Grundkunskaper och Kreativ talkunskap är minskningen påtaglig (i båda fallen fyra procentenheter).

• Andelen som fått 4 poäng eller mindre av 14 möjli ga har ökat från 7,4 % år 1998 till 11,9 % år 2000.

• Andelen som har 7 poäng eller mer har minskat från 67 procent år 1998 till 57 procent år 2000.

• Totalresultaten på testen varierar kraftigt mellan de olika programmen. Variationen mellan ”bästa” och ”sämsta” program har dock minskat något jämfört med år 1999.

• I förhållande till medelvärdet de tre föregående åren har resultatet på programmen V och B minskat mest (-8 pe resp – 7 pe) Även för F och E har resultatet minskat kraftigt (-6 pe i båda fallen). På övriga program ligger motsvarande minskning på cirka 4 procentenheter. Enda undantaget är D med i stort oförändrat resultat.

• Skill naden mellan män och kvinnor är ganska liten vad avser totalresultaten. De kvinnor som deltog i testet hade något lägre resultat än männen (i genomsnitt). Skill naderna före-kom inom områdena: Matematisk allmänbildning, Deriveringsmetoder, Läsförmåga (ana-lys) och Okonventionella angreppssätt. Inom övriga två områden (Grundkunskaper och Kreativ talkunskap) förekom ingen skill nad mellan kvinnor och män.

• På de flesta program är skill naden mellan kvinnornas och männens resultat små. Undantagen är F och D där männens resultat är högre än kvinnornas ( som grupper betraktade) och B, där kvinnorna hade klart bättre resultat.

• Cirka 75 procent av deltagarna i provet hade betyg på kurserna Matematik D och Matema-tik E från gymnasieskolan ( övriga hade läst dessa kurser på annat håll, Komvux eller bas-året). Av dessa hade 23 procent betyget G på kurs E och 17 procent betyget G på kurs D. Det är en ökning i förhållande till motsvarande siffror från föregående år.

• Det är inom alla områden ett kraftigt samband mellan gymnasiebetygen i matematik (kur-serna D och E) och resultaten på förkunskapstestet.

• Jämfört med år 1998 är lösningsfrekvenserna lägre år 2000 för teknologer med ett visst betyg i matematik. De största minskningarna av resultaten ”vid konstant betygsnivå” har skett inom områdena Deriveringsmetoder och Läsförmåga (analys)

• För teknologer som är 19 år (dvs kommer direkt från gymnasieskolan) med betygen G och VG på kurs E är resultatet år 2000 väsentligt sämre än 1998. För teknologer med betyget MVG har det däremot inte skett någon ändring.

5

Inledning

Provet Provet som är identiskt med det som getts 1997, 1998 och 1999 (se bilaga 1) genomförs under en timme (60 minuter) i anslutning till det första undervisningstill fället på den repetitions och introduktionskurs i matematik som ges under de första två introduktionsveckorna för nybörjar-na på civili ngenjörslinjerna. Inga hjälpmedel (räknedosa, formelsamling) är till åtna vid provet.

I anslutning till provet får de skrivande också fylla i ett missivblad med uppgifter om tidigare matematikstudier, betyg etc.

De svarande

Nära 1500 svar Sammanlagt 1489 prov rättades. (Motsvarande siffra för år 1999 var 1376, för år 1998 1224 och för år 1997 1281). Det totala antalet nybörjare på civili ngenjörslinjerna hösten 2000 upp-går till 1626. ”Bortfallet” i undersökningen uppgår därmed till 8 procent.

Tre fjärdedelar var 21 eller yngre 75 procent av de svarande var 21 år eller yngre, vilket är tre procentenheter mer än föregående år. 13 procent var 25 år eller äldre ( en minskning med en procentenhet).

Något lägre andel kvinnor 71 % av de svarande var män och 29% kvinnor. Jämfört med föregående år (1999) innebär det en snedare fördelning. (År 1999 var proportionerna 69/31. År 1998 å andra sidan var motsva-rande kvot 72/28).

Bara 70 procent hade läst matematik något av de två senaste åren Två av fem (42%) skrivande hade fått sitt senaste betyg i matematik från innevarande år (2000). 30 procent läste senast matematik under förra året (1999). Motsvarande andelar vid 1999 års prov var 48 och 29 procent och vid 1998 års prov 44 resp 32 procent. Man kan kon-statera att andelen av teknologerna som har ” färska” kunskaper i matematik var lägre än tidiga-re år.

Tre av fyra kom senast från gymnasieskolan Varje svarande fick ange vid vilken typ av utbildning de hade fått sitt senaste matematikbetyg. För 73 % av studenterna var detta ett betyg från svensk gymnasieskola. Elva procent angav Komvux och tio procent basåret. Fem procent angav annan utbildningsform. Fördelningen förra året var nästan densamma (70, 12, 13 och 5).

6

Grupp eringar av testuppg ifterna Det aktuella provet innehåller sammanlagt 14 uppgifter. Några av dessa är kopplade till var-andra (som a- och b-uppgifter på samma problem)3.

Liksom i tidigare års rapporter har de olika uppgifterna fördelats på sex olika grupper. Fyra uppgifter(nr 1 och 2 samt 4 a och 4b). är alla enkla uppgifter som finns med i grundskolans kurs (aritmetik, algebra och elementär geometri/trigonometri). Man kan säga att dessa uppgif-ter testar (matematiska) grundkunskaper.

Uppgifterna 3 och 8a är elementära övningar på vad man skulle kunna kalla deriveringsmeto-der. Det är metoder som lärs ut i gymnasieskolan.

Uppgifterna 6 och 9 handlar båda om heltal och deras egenskaper och räkneregler. De bygger i stort på matematikkunskaper som lärs ut i grundskolan, men är av en typ som egentligen inte övas där. De kräver en viss matematisk kreativitet av den skrivande för att lösas. Vi använder här beteckningen kreativ talkunskap.

Uppgifterna 8b och 10 och i viss mån även 4c testar förmågan att läsa, förstå och till ämpa ma-tematisk text i första hand inom analysområdet: läsförmåga (analys).

Uppgifterna 5 och 11 testar vad man skulle kunna kalla matematisk allmänbildning.

Uppgift 7 slutligen förutsätter en förmåga att lösa uppgifter med vad som för dessa studenter skulle kunna kallas okonventionella angreppssätt .

Lösningsfrekvenser Varje uppgift eller deluppgift bedömdes med 1, 0,5 eller 0 poäng. Sammanlagt kan man få 14 poäng på provet.

Vid analysen i det följande av resultaten för de olika uppgifterna i provet används här begrep-pet lösningsfrekvens. För en grupp teknologer definieras för var och en av de olika uppgifterna i testet lösningsfrekvensen som andelen (i procent) utdelade poäng av antalet möjli ga.

Provresultat för samtliga

Resultat år 2000 Lösningsfrekvenserna år 2000 för hela teknologgruppen på de olika uppgifterna redovisas i tabell 1. Vi har samma mönster som tidigare år: De standardiserade räkneuppgifterna klarar man bäst - allra bäst sådant som finns med redan i grundskolans kurs. På uppgifter som kräver vad man skulle vilj a kalla självständigt matematiskt tänkande och matematisk förståelse är lösningsfrekvenserna lägre.

3 I bilaga 1 finns en genomgång av samtliga uppgifter och en analys av hur de kan lösas och en diskussion av vil ka kunskaper och färdigheter som de mäter.

7

Tabell 1. Nybörjartest i matematik vid KTH 2000, 1999, 1998 och 1997. Lösningsfrekvenser för testuppgifter inom olika områden.

UppgifterLösningsfrekvens

(%) 2000Lösningsfrekvens

(%) 1999Lösningsfrekvens

(%) 1998Lösningsfrekvens

(%) 1997

Grund kunskaper 1 84,2 87,6 90 89

2 87,1 88,0 91 89

4a 85,0 88,0 89 88

4b 89,1 90,6 91 90

medelvärde 86,3 88,5 90,3 89,0

Deriveringsmetoder 3 67,8 71,1 74 72

8a 54,1 59,4 65 54

medelvärde 61,0 65,2 69,5 63,0

Matematisk allmänbil dning 5 73,2 78,1 76 76

11 45,2 46,9 46 42

medelvärde 59,2 62,5 61,0 59,0

Kreativ talkunskap 6 42,2 45,6 49 459 33,4 37,9 35 36

medelvärde 37,8 41,7 42,0 40,5

Läsförmåga (analys) 4c 10,4 13,4 19 15

8b 20,8 22,7 27 25

10 16,2 19,8 23 18

medelvärde 15,8 18,6 23,0 19,3

Okonventionell a angreppssätt 7 9,1 10,0 11 10

medelvärde 9,1 10,0 11,0 10,0

Genomsnitt li g lösningsfrekvens 51,3 54,1 56,3 53,5

Jämförelse med tidigare år

Sämre resultat än tidigare För en jämförelse finns i tabell 1 också resultaten från de tre tidigare till fällen som testet har använts. Man kan konstatera att resultaten år 2000 är de lägsta under de fyra år som provet har givits. Sedan år 1998, som är den årgång som hittill s haft det bästa resultatet har den samman-tagna lösningsfrekvensen minskat med 5 procentenheter. ( se tabell 2).

Inom det som vi kallat grundkunskaper, d v s enkla till ämpningar på grundskolan matematik-kurs har lösningsfrekvensen sedan 1998 minskat med fyra procentenheter. Den största minsk-ningen (6 procentenheter) har inträffat på uppgiften 1, som är en mycket enkel övning i reduk-tion av dubbelbråk. (se också bilaga 1)

Sedan år 1998 har lösningsfrekvensen för det som här kallas Deriveringsmetodik och som hör till gymnasieskolans kurser minskat kraftigt ( 8,5 procentenheter).

Inom det område som vi kallat matematisk allmänbildning är minskningen relativt kraftig på uppgiften 5. Här bör man rekommendera en viss försiktighet i tolkningen, eftersom uppgiften går ut på att motivera ett visst standardförfarande vid ekvationslösning, en typ av uppgifter där vi av erfarenhet vet att det är svårt att få oförändrad bedömningsnivå mellan olika rättare. På uppgift 11 däremot (som handlar om ett bevis av Pythagoras sats) har lösningsfrekvensen varit i stort sett oförändrad sedan 1998.

8

På de två uppgifter som handlar om kreativ talkunskap testas kunskaper på områden som inte direkt tas upp i gymnasieskolans kursplaner. Här har lösningsfrekvensen sedan 1998 minskat kraftigt (nära 7 procentenheter) på uppgift 6, där man förväntas använda enkla potensregler för att avgöra storleksordningen mellan tre tal. På uppgiften 9 som löses genom ett man generali-serar en given figur, och översätter den i siffror, har minskningen inte varit så stor. Variatio-nerna genom åren kan kanske skyllas på slumpmässiga faktorer.

Lösningsfrekvensen för de tre analysuppgifter som är kopplade till det som vi kallat läsförmå-ga (analys) har minskat kraftigt, från 23 procent år 1998 till 16 procent år 2000. Det är tre uppgifter som testar kunskaper om och förmågan att till ämpa resultat kopplade till teorien för gymnasiets kurs i matematisk analys.

I den sista gruppen okonventionella angreppssätt, som bara utgörs av en uppgift är läsnings-frekvensen i stort sett oförändrad över åren (men låg - cirka 10 procent).

Tabell 2: Nybörjartest i matematik vid KTH 2000, 1999, 1998 och 1997. Den årliga genomsnittli ga förändringen av lösningsfrekvensen inom olika områden.

Största minskningarna sedan 1998 på problem från skolan En sammanfattning av förändringarna i lösningsfrekvenserna på de sex grupperna ges i tabell 2. Resultatet av provet var något bättre år 1998 än år 1997. Men sedan 1998 har resultaten för-sämrats, först till år 1999, då man i stort sett var till baka på 1997 års nivå, och sedan till år 2000 då resultatet som sagt är det ”sämsta” för de fyra år som testet har givits.

Minskningarna sedan år 1998 har framförallt skett på uppgifter som är kopplade till det som behandlas i skolan (grundskola och gymnasieskola). På uppgifter som mera testar matematisk allmänbildning är förändringarna mindre.

En möjli g slutsats är att teknologerna årgång 2000 som grupp inte är ”sämre” än tidigare år-gångarna när det gäller matematisk ” talang” eller ” fallenhet” men att de (fortfarande som grupp) fått med sig mindre matematikkunnande från grundskolan och gymnasieskolan än tidi-gare årskullar.

Genomsnittlig förändring (procentenheter)

2000 - 1999 1999 - 1998 1998 - 1997

Grund kunskaper -2,2 -1,7 1,3

Deriveringsmetoder -4,2 -4,3 6,5

Matematisk allmänbi ldn ing -3,3 1,5 2,5

Kreativ talkunskap -3,9 -0,3 1,5

Läsförmåga (analys) -2,9 -4,4 3,7

Okonventionella angreppssätt -0,9 -1,0 1,0

Genomsnittlig lösningsfrekvens -2,8 -2,2 2,8

9

Lösningsfrekvenser för de olika c ivili ngenjörsprogrammen.

Stora sk ill nader mellan resultaten på de olika programmen

Teknisk fysik redovisar det bästa resultatet Sammanlagt finns det 13 olika program vid KTH som leder fram till civili ngenjörs-examen. Sedan föregående år har till kommit ett nytt program Informationsteknik. I Tabell 3 ges lös-ningsfrekvenserna för de olika uppgifterna fördelade på de olika programmen. I tabellen är programmen ordnade efter fallande genomsnittlig lösningsfrekvens. På årets test har program-met Teknisk fysik (F), liksom tidigare, det högsta genomsnittliga resultatet med en lösningsfre-kvens på 65 procent (även om resultatet är väsentligt sämre än föregående år, se nedan). Som klar tvåa kommer Datateknikprogrammet (D) (61 procent). Fyra program ligger mellan 55 och 58 procent (Bioteknik, Informationsteknik, Mediateknik och Industriell ekonomi). Samtliga tre program som introducerats under de två senaste åren ligger alltså bland de främsta avseende förkunskapsprovet i matematik.

På tre program (Elektroteknik (E), Farkostteknik (T) och Kemiteknik (K)) ligger lösningsfre-kvensen mellan 51 och 53 procent. I Maskinteknik (M) är den 45 procent, på Lantmäteri (L) är den 42 procent och slutligen på Väg och vatten (V) och Materialteknik (B) 37 - 38 procent.

Sämre resultat än förra året på de flesta programmen Tabellerna 4 och 5 innehåller samma uppgifter som tabell 3 för 1999 års och 1998 års nybörjar-teknologer.

Jämfört med förra året är resultatet sämre framförallt för F- (- 8,2 procentenheter)och E-programmen (-7,0). Det kan kanske bero på att man introducerat det nya Informationsteknik-programmet med 158 nybörjare. På det programmet är resultatet på testet relativt bra (en lös-ningsfrekvens på 56 procent). Sannolikt har det skett en omfördelning så att vissa teknologer med goda kunskaper i matematik i år har valt Informationsteknik istället för de gamla närbe-släktade F och E.

Till skill nad från F och E har D lyckats ”hålla ställningarna”. Datateknik är till sammans med Mediateknik det enda programmet som redovisar bättre testresultat än förra året.

Jämfört med föregående år är också minskningen av lösningsfrekvensen stor för V och B (en minskning med mer är fem procentenheter för båda). Bioteknik, Industriell ekonomi och Lant-mäteri har minskat med cirka fyra procentenheter, Maskinteknik med tre, Farkostteknik med två och Kemiteknik med en procentenhet.

.

10

Tab

ell 3

:Nyb

örja

rtes

t i m

atem

atik

vid

KT

H å

r 2

00

0. L

ösni

ngs

frekv

ense

n p

å d

e o

lika

up

pgif

tern

a fö

rdel

ad

på

de o

lika

civ

ilin

genj

örs-

pro

gram

men

U

tbild

ning

spro

gram

Upp

gift

Teknisk fysik

Datateknik

Bioteknik

Informationsteknik

Mediateknik

Industriell ekonomi

Elektroteknik

Farkostteknik

Kemiteknik

Maskinteknik

Lantmäteri

Väg- och vattenbyggnadsteknik

Materialteknik

Samtliga civilingengörsprogram

Gru

ndku

nsk

ape

r1

92,7

95,6

88,6

81,1

92,1

84,4

89,9

83,5

82,3

80,3

75,5

76,1

72,8

84,2

290

,294

,496

,292

,590

,487

,790

,392

,088

,481

,777

,376

,578

,187

,1

4a91

,589

,789

,490

,283

,386

,386

,085

,390

,581

,779

,176

,968

,485

,0

4b96

,395

,287

,994

,589

,589

,694

,291

,189

,788

,371

,485

,971

,989

,1

Med

elvä

rde

92,7

93,7

90,5

89,6

88,8

87,0

90,1

88,0

87,7

83,0

75,8

78,9

72,8

86,3

Der

ive

ring

sme

tode

r3

82,1

76,6

70,5

75,6

73,7

72,2

72,4

69,6

63,4

62,8

55,5

55,1

44,7

67,8

8a74

,867

,552

,358

,350

,057

,557

,152

,754

,349

,343

,240

,233

,354

,1

Med

elvä

rde

78,5

72,1

61,4

67,0

61,9

64,9

64,8

61,2

58,9

56,1

49,4

47,7

39,0

61,0

Mat

em

atis

k 5

87,8

80,6

83,3

81,5

71,1

83,0

79,2

71,0

76,3

66,7

63,6

49,6

51,8

73,2

allm

än

bild

nin

g11

67,5

62,3

63,6

52,4

61,4

48,6

47,4

50,0

41,8

29,1

30,0

25,6

21,9

45,2

Med

elvä

rde

77,7

71,5

73,5

67,0

66,3

65,8

63,3

60,5

59,1

47,9

46,8

37,6

36,9

59,2

Kre

ati

v ta

lkun

ska

p6

57,7

58,3

45,5

50,0

51,8

40,1

44,8

39,7

37,9

31,7

39,5

26,1

31,6

42,2

942

,338

,149

,241

,344

,750

,023

,129

,934

,530

,025

,015

,822

,833

,4

Med

elvä

rde

50,0

48,2

47,4

45,7

48,3

45,1

34,0

34,8

36,2

30,9

32,3

21,0

27,2

37,8

Läs

förm

åg

a (a

na

lys)

4c24

,015

,118

,214

,612

,310

,810

,410

,36,

04,

110

,01,

70,

910

,4

8b43

,534

,931

,124

,419

,327

,822

,720

,116

,411

,28,

64,

37,

020

,8

1037

,828

,223

,521

,736

,823

,610

,413

,414

,75,

53,

62,

64,

416

,2

Med

elvä

rde

35,1

26,1

24,3

20,2

22,8

20,7

14,5

14,6

12,4

6,9

7,4

2,8

4,1

15,8

Oko

nve

nti

one

lla

ang

rep

pssä

tt7

24,0

16,7

14,4

11,8

8,8

7,6

8,8

7,1

10,8

3,2

4,6

0,9

1,8

9,1

Med

elvä

rde

24,0

16,7

14,4

11,8

8,8

7,6

8,8

7,1

10,8

3,2

4,6

0,9

1,8

9,1

Gen

om

snitt

lig

lösn

ing

sfre

kve

ns

65,2

60,9

58,2

56,4

56,1

55,0

52,6

51,1

50,5

44,7

41,9

38,4

36,5

51,3

Tid

iga

re g

eno

msn

ittli

g

lösn

ing

sfre

kve

ns

1999

73,4

58,0

62,2

51,8

58,9

59,6

53,0

51,8

48,1

45,5

43,7

41,9

54,1

1998

70,1

65,4

65,5

59,1

57,1

56,9

51,0

45,5

46,0

46,9

56,3

1997

69,3

60,7

54,3

57,1

55,7

54,3

46,4

46,4

50,0

42,1

53,5

11

Tab

ell 4

:Nyb

örja

rtes

t i m

atem

atik

vid

KT

H 1

99

9. L

ösni

ngs

frekv

ense

n p

å d

e o

lika

up

pgif

tern

a fö

rdel

ad

på

de o

lika

civ

ilin

genj

örs-

pro

gram

men

.

Utb

ildni

ngsp

rogr

am

Upp

gift

Teknisk fysik

Bioteknik

Elektroteknik

Industriell ekonomi

Datateknik

Farkostteknik

Kemiteknik

Mediateknik

Maskinteknik

Lantmäteri

Väg och vattenbyggnadsteknik

Materialteknik

Samtliga civilingengörsprogram

Gru

ndku

nsk

ap

er

1.96

,794

,690

,897

,793

,080

,487

,678

,686

,374

,778

,282

,787

,62.

96,3

92,9

93,2

92,1

91,5

89,7

88,5

85,7

81,7

79,1

79,7

82,2

88,0

4a.

99,1

96,4

92,4

96,3

91,1

83,9

90,3

75,0

82,4

85,4

77,2

80,8

88,0

4b.

97,2

91,1

92,6

91,6

92,6

92,9

87,6

92,9

89,8

83,5

85,1

88,0

90,6

Med

elvä

rde

97,3

93,8

92,3

94,4

92,0

86,7

88,5

83,0

85,1

80,7

80,1

83,4

88,5

De

rive

ring

sme

tod

er

3.87

,485

,780

,774

,378

,561

,282

,366

,167

,149

,460

,949

,071

,18a

.88

,357

,165

,271

,560

,455

,457

,153

,650

,748

,151

,045

,259

,4

Me

de

lvä

rde

87,9

71,4

73,0

72,9

69,4

58,3

69,7

59,8

58,9

48,7

55,9

47,1

65,2

Ma

tem

ati

sk a

llm

änb

ildn

ing

5.90

,287

,585

,278

,080

,485

,770

,876

,874

,681

,064

,461

,178

,111

.76

,667

,955

,953

,358

,146

,440

,751

,835

,426

,635

,123

,646

,9

Med

elvä

rde

83,4

77,7

70,6

65,7

69,3

66,1

55,8

64,3

55,0

53,8

49,8

42,3

62,5

Kre

ati

v ta

lkun

ska

p6.

74,3

57,1

52,7

43,0

53,7

41,1

40,7

53,6

39,8

32,9

36,6

26,0

45,6

9.60

,733

,942

,445

,329

,542

,035

,428

,637

,844

,921

,819

,737

,9

Med

elvä

rde

67,5

45,5

47,5

44,2

41,4

41,5

38,1

41,1

38,8

38,9

29,2

22,8

41,7

Lä

sfö

rmå

ga

(a

na

lys)

4c.

35,5

37,5

18,9

11,2

15,2

11,6

9,3

7,1

5,4

12,0

4,5

4,8

13,4

8b.

51,4

32,1

29,7

32,2

25,6

20,5

16,8

17,9

12,4

13,9

6,9

13,5

22,7

10.

50,9

25,0

20,3

27,6

27,0

21,9

10,6

37,5

10,2

8,9

6,9

10,1

19,8

Med

elvä

rde

46,0

31,5

23,0

23,7

22,6

18,0

12,2

20,8

9,3

11,6

6,1

9,5

18,6

Oko

nve

nti

one

lla

a

ngre

ppss

ätt

7.32

,212

,513

,710

,316

,79,

47,

10,

02,

93,

83,

50,

510

,0M

edel

värd

e32

,212

,513

,710

,316

,79,

47,

10,

02,

93,

83,

50,

510

,0G

eno

msn

ittli

g lö

snin

gsf

rekv

en

s73

,462

,259

,658

,958

,053

,051

,851

,848

,145

,443

,741

,954

,1T

idig

are

ge

nom

snitt

lig

lösn

ing

sfre

kve

ns

1998

70,1

59,1

65,5

65,4

57,1

56,9

51,0

45,5

46,0

46,9

56,3

1997

69,3

57,1

54,3

60,7

55,7

54,3

46,4

46,4

50,0

42,1

53,5

12

Tab

ell 5

: :N

ybör

jart

est

i mat

emat

ik v

id K

TH

19

98.

Lös

nin

gsfr

ekv

ense

n p

å d

e o

lika

up

pgif

tern

a fö

rdel

ad

på

de o

lika

civ

ilin

genj

örs-

pro

gram

men

.

Upp

gift

Teknisk fysik

Industriell ekonomi

Datateknik

Elektroteknik

Farkostteknik

Kemiteknik

Maskinteknik

Materialteknik

Väg och vattenbygg-nadsteknik

Lantmäteri

Samtliga civilingenjörs-program

Gru

nd

kun

skap

er1.

9798

9293

9193

8785

8280

902.

9896

9590

9296

8990

7989

914a

9894

9592

9090

8785

7982

894b

9794

9390

9294

9089

8287

91M

edel

värd

e97

,595

,593

,891

,391

,393

,388

,387

,380

,584

,590

,3

Der

ive

ring

smet

oder

3.91

8285

7275

7768

6863

6074

8a81

8074

7063

7463

4549

4865

Med

elvä

rde

86,0

81,0

79,5

71,0

69,0

75,5

65,5

56,5

56,0

54,0

69,5

Mat

emat

isk

allm

änb

ildn

ing

578

8486

7984

7572

7364

6476

1174

6060

5650

4535

2927

2846

Med

elvä

rde

76,0

72,0

73,0

67,5

67,0

60,0

53,5

51,0

45,5

46,0

61,2

Kre

ativ

tal

kun

ska

p6

6768

6554

4349

4327

3833

499

5841

3933

4421

3226

3428

35M

edel

värd

e62

,554

,552

,043

,543

,535

,037

,526

,536

,030

,542

,1

Läs

förm

åga

(an

alys

)4c

3429

3126

1916

119

1112

198b

5638

4331

2631

1612

1116

2710

3036

4030

2024

1415

204

23M

edel

värd

e40

,034

,338

,029

,021

,723

,713

,712

,014

,010

,723

,2

Oko

nve

nti

onel

la a

ngre

ppss

ätt

722

1718

1210

117

45

611

Med

elvä

rde

2217

1812

1011

74

56

10,8

Gen

om

snitt

lig

lösn

ing

sfre

kven

s 19

98

70,1

65,5

65,4

59,1

57,1

56,9

51,0

46,9

46,0

45,5

56,3

Gen

om

snitt

lig

lösn

ing

sfre

kven

s 19

97

69,3

54,3

60,7

57,1

55,7

54,3

46,4

42,1

50,0

46,4

53,5

13

I ett längre perspektiv har resultaten på B och V minskat mest Det kan alltid finnas mer eller mindre ”slumpmässiga” skill nader mellan åren (variationer i provsituationen, skill nader i rättningsprinciper mellan de olika rättarna etc). Därför kan det vara motiverat att studera utvecklingen över en längre tid.

I detta fall har vi valt att för varje program jämföra den genomsnittliga lösningsfrekvensen in-nevarande år med medelvärdet av de tre föregående årens resultat. Det visar sig att resultatet har blivit sämre för praktiskt taget alla program. Den största minskningen i förhållande till me-delvärdet för de tre åren 1997, 1998, 1999 har inträffat på V (-8,2 procentenheter) och B (-7,1): Därnäst kommer E (-6,0 och F (-5,8). På övriga program ligger resultatet år 2000 kring 4 procentenheter lägre än medelvärdet för de föregående tre åren. Det enda undantaget är D-programmet som bara redovisar en marginell minskning. Av de två program som startade förra året redovisas för Bioteknik en minskning med 4 procentenheter i förhållande till förra året medan Mediateknik har en lika stor ökning

Skillnaden mellan ”bästa” och sämsta program har minskat något sedan förra året Det finns alltså stora variationer i de genomsnittliga resultaten på de olika programmen. Ett sätt att studera dessa skill nader och deras utveckling ges i tabell 6, som för var och en av de sex problemgrupperna ger högsta och lägsta värdet för de olika programmen. Mätt på detta sätt ökade skill naden mellan ”bästa” och ”sämsta” program mellan 1998 och 1999. Mellan 1999 och 2000 däremot är utvecklingen delvis den motsatta. För ingen problemgrupp har dif-ferenserna ökat mer påtagligt, medan för vissa grupper har differenserna åter minskat. En för-klaring är beräkningsmetoden, som är mycket beroende av det ”bästa” programmets värden. I de flesta fallen är det F. För just detta program är resultatet för väsentligt sämre i år än tidiga-re.

Tabell 6: Differensen mellan de olika programmen åren 2000, 1999 och 1998. 2000 1999 1998

högsta värde (%)

lägsta värde (%)

differens (procentenheter )

högsta värde (%)

lägsta värde (%)

differens (procentenheter )

högsta värde (%)

lägsta värde (%)

differens (procentenheter )

Grundkunskaper 93,7 72,8 20,9 97,3 80,1 17,2 97,5 80,5 17,0

Deriveringsmetoder 78,5 39,0 39,5 87,9 47,1 40,8 86,0 54,0 32,0Matematisk allmänbildning 77,7 36,9 40,8 83,4 42,3 41,1 76,0 45,5 30,5

Kreativ talkunskap 50,0 21,0 29,0 67,5 22,8 44,7 62,5 26,5 36,0

Läsförmåga (analys) 35,1 4,1 31,0 46,0 6,1 39,9 40,0 10,7 29,3

Okonventionella angreppssätt 24,0 0,9 23,1 32,2 0,0 32,2 22,0 4,0 18,0Genomsnitt lig lösningsfrekvens 65,2 36,4 28,8 73,4 41,9 31,5 70,1 45,5 24,6

Variationer av testresultaten inom de olika programmen.

Poängfördelningen varierar mellan de olika programmen Det är alltså stora variationer mellan genomsnittsresultaten i de olika programmen. Men det finns också stora variationer i resultat för teknologerna inom ett och samma program. I tabell 7 redovisas fördelningen i fyra olika grupper efter testresultatet för de olika programmen.

14

Tabell 7. Matematiktest KTH hösten 2000. Procentuell fördelning av provresultaten för de olika programmen.

4 och 10 ochunder 4,5 - 6,5 7 - 9,5 över Summa

Teknisk fysik 1,6 14,6 46,3 37,4 100,0Datateknik 4,0 16,7 49,2 30,2 100,0Bioteknik 7,6 21,2 42,4 28,8 100,0Mediateknik 14,0 17,5 40,4 28,1 100,0Industriell ekonomi 10,4 23,6 42,5 23,6 100,0Informationsteknik 4,7 26,8 48,0 20,5 100,0Elektroteknik 8,4 28,6 46,8 16,2 100,0Kemiteknik 9,5 31,0 45,7 13,8 100,0Farkostteknik 7,1 33,0 47,3 12,5 100,0Maskinteknik 14,7 46,3 33,9 5,0 100,0Lantmäteri 23,6 38,2 34,5 3,6 100,0Materialteknik 33,3 45,6 17,5 3,5 100,0Väg- och vatten 26,5 49,6 23,1 0,9 100,0Samtliga teknologer 2000 11,9 31,3 40,5 16,3 100,0

Samtliga teknologer 1999 10,4 25,4 43,5 20,7 100,0Samtliga teknologer 1998 7,4 25,3 43,7 23,6 100,0

Andelar (procent) med resultat i intervallet:

Som synes har andelen teknologer som klarat högst fyra av de fjorton uppgifterna, ökat mellan 1988 och 1999 från sju till tio procent, och nu ökat ytterligare till cirka tolv procent. Även om provet görs under något pressade förhållanden och direkt efter sommaren är det inte bra att nära en av åtta nya teknologer har 4 poäng eller därunder. För att få fyra poäng räcker det t ex att klara de fyra uppgifter som här redovisas under rubriken Grundkunskaper.

Även om testet inte med säkerhet kan säga något om den enskilde teknologen (alla kan ha en dålig dag), kan man nog konstatera att prognosen (som grupp) för dem som fått högst fyra poäng inte är speciellt god inför de kommande matematikstudierna. I detta perspektiv är det också anmärkningsvärt att på tre av programmen (L, B och V) är det en fjärdedel eller mer av de skrivande som har max fyra poäng på provet.

De teknologer som klarat minst 7 rätt på provet ha löst åtminstone en uppgift utöver det som kan ses som standarduppgifter från grundskola och gymnasium. Andelen som har minst sju poäng på provet har minskat från 67 procent år 1998 till 57 procent innevarande år.

Andelen som har sju poäng eller mer varierar också kraftigt mellan de olika programmen. Nio program ligger här på 60 procent eller mer (med F i topp på 83 procent). Två program (M och L) ligger något under 40 procent och för två av programmen (B och V) är det mindre än en fjärdedel som har sju rätt eller mer.

Stora förändringar i poängfördelningen sedan förra året Förändringarna av fördelningarna mellan 1999 och innevarande år är också relativt stora ( se tabell 8)

15

Tabell 8. Matematiktest KTH: Ändringar i poängfördelningen mellan 1999 och 2000

4 och 10 ochProgram under 4,5 - 6,5 7 - 9,5 över Summa

Teknisk fysik -0,3 13,7 10,2 -23,7 0,0Datateknik -2,6 -2,3 2,5 2,5 0,0Bioteknik 7,6 6,9 -14,7 0,2 0,0Mediateknik -0,3 -7,5 -6,0 13,8 0,0Industriell ekonomi 7,6 2,1 -9,8 0,2 0,0InformationsteknikElektroteknik 5,9 8,1 -2,8 -11,3 0,0Kemiteknik -0,2 0,9 2,3 -3,0 0,0Farkostteknik -5,4 8,8 4,0 -7,5 0,0Maskinteknik 3,0 9,9 -9,8 -3,3 0,0Lantmäteri 2,4 -0,5 5,8 -7,7 0,0Materialteknik 7,3 9,1 -16,2 -0,3 0,0Väg- och vatten 3,7 15,9 -16,5 -3,1 0,0Samtliga program 1,5 5,9 -3,0 -4,4 0,0

Förändring mellan 1999 och 2000 (procentandelar) av andelen resultat i

intervallet:

Andelen teknologer med resultat på 4 poäng eller mindre har ökat framförallt på programmen Bioteknik (+7,6 procentenheter), I (+ 7,6), E (+5,9)och B (+7,3).

Andelen som har sju poäng eller mer har minskat mest på F(- 13,5 procentenheter), Bioteknik (-14,5), E (-14,0), M (-13,0), B (-16,5) och V (-19,6). Mediateknik däremot redovisar en ök-ning på 7,8 procentenheter.

Anmärkningsvärt är också att andelen på F-programmet med 10 poäng eller mer har minskat från 61 procent 1999 till 37 procent år 2000. År 1999 var F.s andel här mer än dubbelt så hög som något av de övriga programmen. ”Näst bäst” var Bioteknik, D och E, alla med 28 procent av de skrivande med detta resultat. I år är skill naden mycket mindre. F med 37 procent i den bästa gruppen kan sättas motDatateknik, Bioteknik och Mediateknik med 30, 29 och 28 pro-cent i samma grupp.

Lösningsfrekvenserna för män och kvinno r I tabell 8 redovisas fördelningen av lösningsfrekvenserna för män resp kvinnor. Här är det vik-tigt att framhålla att resultaten inte kan användas för att dra slutsatser om matematikkunska-perna hos kvinnor resp män mera generellt. De uppgifter som redovisas gäller de män och de kvinnor som sökt och kommit in på de olika civili ngenjörsprogrammen vid KTH.

16

Tabell 9. Nybörjartest KTH 2000. Lösningsfrekvensen (procent) för de i olika uppgifterna fördelade på män och kvinnor.

Män Kvinnor Samtligan=1022 n=423 n=1445

Grundkunskaper 1 83,1 87,9 84,52 87,9 86,8 87,5

4a 84,2 87,1 85,14b 90,8 86,1 89,4

Medelvärde 86,5 87,0 86,6Deriveringsmetoder 3 68,9 66,0 68,0

8a 56,8 47,4 54,1Medelvärde 62,8 56,7 61,0

Matematisk 5 74,3 70,9 73,3allmänbildning 11 47,1 40,5 45,2

Medelvärde 60,7 55,7 59,2Kreativ talkunskap 6 42,4 41,1 42,0

9 33,5 34,0 33,6Medelvärde 37,9 37,6 37,8

Läsförmåga (analys) 4c 10,7 9,7 10,48b 22,1 17,4 20,710 17,8 12,1 16,1

Medelvärde 16,9 13,0 15,7Okonventionellaangreppssätt 7 10,8 4,6 9,0

Medelvärde 10,8 4,6 9,0Genomsnitt liglösningsfrekvens 52,2 49,4 51,4

Anm: 44 svarande har ej uppgivit kön.

Man kan konstatera att skill naderna i resultat är mycket små mellan kvinnor och män när det gäller det som vi kallat grundkunskaper och kreativ talkunskap. Däremot är männens resultat (som grupp) högre inom de områden som kallats deriveringsmetoder, matematisk allmänbild-ning och okonventionella angreppsätt.

Små förändringar i relationerna i lösningsfrekvens mellan män och kvinnor över åren I tabell 10 sammanfattas lösningsfrekvenserna för män och kvinnor för åren 1998, 1999 och 2000.

Tabell 10: Lösningsfrekvensen för män och kvinnor för de olika problemgrupperna åren 1998, 1999 och 2000

2000 1999 1998Män Kvinnor Män Kvinnor Män KvinnorN=1022 N=423 N=927 N=415 N=869 N=332

Grundkunskaper 86,5 87,0 88,9 88,2 90,1 91,2

Deriveringsmetoder 62,8 56,7 65,2 65,6 69,9 68,8

Matematisk allmänbildning 60,7 55,7 65,2 56,0 62,9 56,7

Kreativ talkunskap 37,9 37,6 42,2 41,0 42,7 41,6

Läsförmåga (analys) 16,9 13,0 20,1 15,6 24,9 19,7

Okonventionella angreppssätt 10,8 4,6 12,6 4,7 13,5 4,5Genomsnittlig lösningsfrekvens 52,2 49,4 55,1 52,1 57,1 54,5

17

Sett över de tre åren kan man konstatera att även om lösningsfrekvenserna har blivit lägre för vissa problemtyper så har relationen mellan lösningsfrekvensen för män respektive kvinnor varit överraskande oförändrade. Ett undantag är gruppen Deriveringsmetoder där kvinnornas resultat år 2000 är lägre än männens, medan resultaten 1998 och 1999 var desamma för kvin-nor och män. Omvänt gäller i gruppen Okonventionella angreppssätt, att männens lösningsfre-kvens har minskat, medan den varit oförändrad för kvinnorna. Men i övrigt har relationen mel-lan lösningsfrekvenserna för män respektive kvinnor varit förvånansvärt konstanta. Detta för-stärker intrycket att den varierande strukturen i lösningsfrekvenser för män respektive kvinnor (som grupper) inte beror på slumpen utan att det kan finnas underliggande mer fundamentala förklaringar.

Skillnaden mellan resultaten för män och kvinnor är liten i de flesta programmen Lösningsfrekvenserna för kvinnor och män i de olika programmen ges i tabell 11.

Sammantaget uppvisar alltså kvinnorna en något lägre sammantagen lösningsfrekvens än män-nen. I de flesta programmen är skill naden liten. Det gäller på Bioteknik, Mediateknik, I, E, T, M, L och V. På D och F har männen (som grupp) bättre resultat än kvinnorna. Även på Infor-mationsteknik och K ligger männens lösningsfrekvens några procentenheter högre än kvinnor-nas. På B däremot har kvinnorna klart högre testresultat än männen.

Tabell 11 : Nybörjartest KTH 2000. Olika program. Genomsnittli ga lösningsfrekvenser för män respektive kvinnor. (Programmen ordnade efter fallande lösningsfrekvenser).

Utbildningsprogram Män N Kvinnor N Samtliga N

Teknisk fysik 66,5 87 60,8 35 65,2 123

Datateknik 62,0 107 54,8 15 60,9 126

Bioteknik 57,8 26 57,9 36 58,2 66

Informationsteknik 57,7 105 53,2 18 56,4 127

Mediateknik 56,8 33 54,7 23 56,1 57

Industriell ekonomi 54,3 73 55,2 30 55,0 106

Elektroteknik 52,6 135 52,8 19 52,6 154

Farkostteknik 50,9 96 51,3 14 51,1 112

Kemiteknik 52,8 45 49,6 65 50,5 116

Maskinteknik 44,8 151 44,5 57 44,7 218

Lantmäteri 41,3 51 42,9 57 41,9 110

Väg- och vattenbyggnadsteknik 38,9 80 37,4 31 38,4 117

Materialteknik 34,7 33 39,8 23 36,5 57

Total 52,2 1022 49,4 423 51,3 1489

Anm: 44 svarande har ej uppgivit kön.

18

Gymnasiebetygens betydelse

Sambandet mellan betygen på olika kurser i gymnasieskolan Det är naturligt att jämföra resultaten på KTH-testet med betygen från gymnasieskolan. Idag får man betyg i matematik på fem olika kurser om man går i NV-programmet. De kurser som är bara förekommer på NV-programmet är Matematik D och Matematik E. ( De kan också läsas valfritt på andra program). Det visar sig att överensstämmelsen mellan betygen på dessa två kurser är stor. Tre fjärdedelar (74 %) av alla som skrev förkunskapsprovet hade betyg från gymnasieskolan både på kurs D och på kurs E. Av dessa var det i sin tur knappt tre fjärdedelar som hade samma betyg på de två kurserna (tabell 12).

Tabell 12: Nybörjartest i matematik vid KTH 2000. Studenter som gått nya gymnasieskolan. Samband mellan betygen på kurserna D och E.

Betyg från nya gymnasiet, kurs E

Betyg från nya gymnasiet, kurs D G VG MVG totalt

G 146 41 1 188VG 102 258 74 434MVG 3 102 370 475totalt 251 401 445 1097

Procentuell fördelning

Betyg från nya gymnasiet, kurs EBetyg från nya

gymnasiet, kurs D G VG MVG totaltG 13,3 3,7 0,1 17,1VG 9,3 23,5 6,7 39,6MVG 0,3 9,3 33,7 43,3totalt 22,9 36,6 40,6 100,0

År 1999 hade drygt 60 procent av alla deltagare i förkunskapsprovet ( eller 848 av 1376) betyg från den nya gymnasieskolan. (se tabell 13). Mellan år 1999 och år 2000 har andelen med bety-get G på kurs D ökat från 15 till 17 procent och andelen som har betyget G på kurs E ökat från 18 procent till 23 procent.

Andelen som har MVG har inte förändrats mellan de två åren.

19

Tabell 13: Nybörjartest i matematik vid KTH 1999. Studenter som gått nya gymnasieskolan. Samband mellan betygen på kurserna D och E.

Kurs E, betyg

Kurs D, betyg G VG MVG Totalt

G 80 43 1 124

VG 67 221 61 349

MVG 7 75 293 375

Totalt 154 339 355 848

procentuell fördelningKurs E, betyg

Kurs D, betyg G VG MVG Totalt

G 9,4 5,1 0,1 14,6

VG 7,9 26,1 7,2 41,2

MVG 0,8 8,8 34,6 44,2

18,2 40,0 41,9 100,0

Lösningsfrekvenser för tekno loger med o lika betyg

Starkt samband mellan gymnasiebetygen och provresultaten Tabell 14 ger sambandet mellan gymnasiebetygen på kurserna D resp E och resultaten på för-kunskapstestet. Som synes är resultaten kraftigt kopplade till betygen. Det gäller både betygen på kurs E och på kurs D. Siffrorna är ungefär desamma för båda betygsslagen.

Tabell 14. Nybörjartest i matematik vid KTH 1999. Lösningsfrekvensen (procent) för studen-ter från nya gymnasieskolan i relation till betygen på kurserna E och D.

G VG MVG Samtliga G VG MVG SamtligaUppgift n=251 n=402 445 n=1098 n=200 n=441 n=483 n=1124

Grundkunskaper 1 71,3 81,3 92,7 83,7 72,3 78,8 92,4 83,52 76,3 86,3 94,7 87,4 75,0 85,5 94,4 87,54a 75,9 83,5 92,5 85,4 75,0 83,1 91,9 85,54b 81,3 88,8 95,6 89,9 81,0 86,5 96,3 89,7

Medelvärde 76,2 85,0 93,9 86,6 75,8 83,5 93,8 86,5Deriveringsmetoder 3 48,6 64,8 81,8 68,0 45,8 65,9 79,2 68,0

8a 31,9 47,5 71,7 53,7 31,0 46,3 69,9 53,7Medelvärde 40,2 56,2 76,8 60,9 38,4 56,1 74,5 60,9

Matematisk 5 59,6 70,4 83,5 73,2 64,8 68,8 80,9 73,3allmänbildning 11 24,7 39,4 69,6 48,3 22,5 38,1 67,6 48,0

Medelvärde 42,1 54,9 76,5 60,8 43,6 53,5 74,2 60,6Kreativ talkunskap 6 25,5 38,9 60,7 44,7 25,8 38,6 58,0 44,6

9 27,5 28,6 46,1 35,4 26,3 28,2 45,6 35,3Medelvärde 26,5 33,8 53,4 40,1 26,0 33,4 51,8 40,0

Läsförmåga 4c 2,2 5,2 19,2 10,2 2,5 4,2 18,9 10,28b 8,6 13,1 39,7 22,8 7,0 12,5 38,1 22,510 6,8 9,2 32,0 17,9 5,0 8,2 31,9 17,8

Medelvärde 5,8 9,2 30,3 17,0 4,8 8,3 29,6 16,8Okonventionella 7 4,8 5,2 19,4 10,9 6,3 5,1 17,9 10,8angreppssätt Medelvärde 4,8 5,2 19,4 10,9 6,3 5,1 17,9 10,8Genomsnittlig lösningsfrekvens 38,9 47,3 64,2 52,2 38,6 46,4 63,1 52,2

Betyg på kurs D 2000Betyg på Kurs E 2000Från gymnasieskolan Från gymnasieskolan

20

Sämre resultat i år än tidigare vid fixt betyg För varje betygsnivå är resultaten år 2000 sämre än de var två år tidigare, år 1998. I vissa fall är skill naden stor. Den kraftigaste minskningen mellan de två åren gäller området Deriverings-metoder, som innehåller två uppgifter som har direkt anknytning till gymnasieskolans kurs (ta-bell 15). Även inom det andra området som har direkt koppling till gymnasiekursen (Läsför-måga, (analys)) är minskningen mellan de två åren kraftig och gäller för alla tre betygsnivåer-na.

Tabell 15: Lösningsfrekvenser för olika betygsnivåer. Jämförelse mellan teknologerna år 1998 och år 2000.

betyg på kurs E i gymnasieskolan2000 1998 Differens 2000 - 1998G VG MVG G VG MVG G VG MVG

N=251 N=401 N=445 N=92 N=262 N=300Grundkunskaper 76,2 85,0 93,9 82,0 90,3 95,8 -5,8 -5,3 -1,9Deriveringsmetoder 40,2 56,2 76,7 52,0 69,5 85,0 -11,8 -13,3 -8,3Matematisk allmänbildning 42,1 54,9 76,5 41,5 62,5 76,0 0,6 -7,6 0,5Kreativ talkunskap 26,5 33,8 53,4 35,0 39,5 57,5 -8,5 -5,7 -4,1Läsförmåga (analys) 5,8 9,2 30,3 12,0 18,0 39,7 -6,2 -8,8 -9,4Okonventionella angreppssätt 4,8 5,2 19,4 8,0 7,0 21,0 -3,2 -1,8 -1,6Genomsnittlig lösningsfrekvens 38,9 47,3 64,2 44,9 54,6 68,6 -6,0 -7,3 -4,4

Man kan finna fler förklaringar till att resultaten för de olika betygsgrupperna har försämrats. En kan var att vi haft en betygsinflation. Kraven för de olika betygen har minskats mella år 2000 och år 1998. Men förklaringen kan också sökas i att populationerna har varit olika. Alla vet att man glömmer kunskaper som inte övas. Det gäller också kunskaper i matematik. Det skulle kunna vara så att vi år 2000 har en större andel bland de skrivande från nya gymnasie-skolan som läste sina matematikkurser för länge sedan. För att kontrollera om detta kan vara fallet görs i tabell 16 en jämförelse mellan resultaten för studenterna som kom direkt från gym-nasieskolan år 1998 och år 2000.

För studenter som kommer direkt från gymnasieskolan är försämringen större, om de har G eller VG på kurs E. Ingen förändring för dem som har MVG Tabell 16: Nybörjare 19 år, KTH år 1998 och år 2000. Lösningsfrekvensen i relation till gymnasiebetyget på kurs E i matematik.

Betyg på kurs E

år G VG MVG

n=35 n=116 n=149

1998 48,1 56,8 67,0

n=77 n=118 n=1962000 39,1 47,8 66,6

Som synes är minskningarna i resultaten för dem som har betygen G och VG ännu större när vi jämför dessa delgrupper än när man jämför de totala populationerna. För dem som har fått

21

betyget MVG finns det däremot ingen skill nad mellan de två årgångarna. (För samtliga med MVG är däremot minskningen omkring fyra procentenheter).

Även om materialet i vissa fall är något tunt (små studentgrupper) talar mycket för att studen-ter som har G och VG från gymnasiet i år hade sämre förmåga att klara förkunskapstestet när de slutade skolan än motsvarande elever hade två år tidigare.

En förklaring, som redan nämnts kan vara att det har blivit lättare att få betygen VG och G. En annan skulle kunna vara att gymnasisterna har lärt sig att bättre optimera sina kunskaper. Allt fler lär sig precis så mycket matematik som behövs för ett visst betyg. Överinlärning blir mer sällsynt. Detta är ett för den enskilde rationellt handlande, eftersom det är viktigast för att komma in är att medelvärdet på samtliga kurser i slutbetyget är så högt som möjli gt. Då skall man inte ägna mer tid åt en kurs än som är nödvändigt för få det betyg man siktar mot.

22

Bilaga 1. Beskrivning av uppg ifterna och provresultaten 1997 - 2000 I det följande redovisas lydelsen på de olika uppgifter som ingår i testet och resultatet för de fyra år som testet hittill s har använts. Härigenom kan man göra jämförelser mellan olika år-gångarna teknologer. Syftet är att även i framtiden använda samma test för att kunna följa ut-vecklingen av nybörjarnas matematikkunskaper.

Mot denna bakgrund är det viktigt att information om uppgifterna i provet bevaras inom den grupp som tar del av denna rapport och att den inte sprids till elever i gymnasiesko-lan. För att inte förstöra möj ligheten att göra jämförelser mellan olika årgångar KTH-teknologer är det också viktigt att t est-uppgifterna inte används i prov eller övningar för elever i gymnasieskolan eller andra skolor (motsv) som utbildar studerande som skall läsa vid universitet eller högskola.

Vad innehåller provet? Det bör framhållas att det givna provet inte svarar mot de förkunskaper som ”behövs” för att kunna följa studierna i civili ngenjörsprogrammen. Inte heller gör provet något anspråk att täcka det matematikstoff som de nyblivna teknologerna har träffat på under sina tidigare studi-er i grundskola och gymnasieskola. Istället kan man se provet mera som ett test inför studierna i matematik, som på något sätt visar i vilken riktning man kommer att gå i den kommande undervisningen.

Klart är i alla fall att provet testar kunskaper och färdigheter som man på KTH anser vara vik-tiga för de fortsatta studierna.

Lösningsfrekvens Det aktuella provet innehåller sammanlagt 14 uppgifter. Några av dessa är kopplade till var-andra (som a och b uppgifter på samma problem). Varje uppgift eller deluppgift bedömdes med 1, 0,5 eller 0 poäng. Sammanlagt kunde man få 14 poäng på provet. Vid analysen i det följande av resultaten för de olika uppgifterna i provet används här begreppet lösningsfrekvens. d v s andelen utdelade poäng av antalet möjli ga.

Kommentarer till de olika uppg ifterna

Uppg ift nr 1.

Förenkla ( )( )ac

bc

a

till högst ett bråkstreck i svaret.

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 84,2 87,6 90 89

Kommentar : Dubbelbråk är en klassiker som ofta skapar problem även för studenter på hög-skolenivå. Denna uppgift är dock av den allra enklaste typen. Den löses lämpligen genom att man multiplicerar täljare och nämnare i det ”stora” bråket med ab. Därefter ” förkortas” de små bråken var för sig. Slutligen förkortas (divideras täljare och nämnare) med c :

23

( )( )ac

bc

a

abac

b

abc

a

a bc

babc

a

a c

bc

a

b=

= = =

2

2 2

Ett annat sätt att lösa uppgiften är att man erinrar sig att division med ett bråk är det samma som multiplikation med bråkets invers:

( )( )ac

bc

a

ac

b

a

c

a c

bc

a

b= = =

2 2

Uppg ift nr 2. Bestäm x ur ekvationen

132

=+ xx

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 87,1 88,0 91 89

Kommentar: Uppgiften är av grundskolekaraktär. Den kan lösas genom att båda leden i ekva-tionen multipliceras med 6:

x x x xx x x x

2 31

6

2

6

36 3 2 6 5 6

6

5+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Man kan också bryta ut x vilket leder till uppgiften att addera 1

2och

1

3:

x xx x x

2 31

1

2

1

31

5

61

6

5+ = ⇔

+

= ⇔

= ⇔ =

Uppg ift nr 3.

Derivera ( )( )x x+ +1 299

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 67,8 71,1 74 72

Kommentar: Uppgiften förutsätter att den svarande kan derivera ett polynom (vilket vanligen hör till kurs C i gymnasieskolan). Innan man kan derivera måste man multiplicera ihop de två binomen:

( )( ) ( )D x x D x x x x x+ + = + + + = + +1 2 2 2 100 99 299 100 99 99 98

Man kan också derivera de två faktorerna som de står med hjälp av deriveringsregeln för en produkt (kurs D från gymnasieskolan). Detta upplevs nog av de skrivande som mer ”avance-rat” :

24

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )D x x D x x x D x x x x

x x x x x

+ + = + + + + + = + + +

= + + + = + +

1 2 1 2 1 2 2 1 99

2 99 99 100 99 2

99 99 99 99 98

99 99 98 99 98

För att kunna lösa uppgiften på det enklaste sättet måste man dels identifiera och kunna skriva uttrycket som ett polynom dels kunna derivera ett sådant. Sannolikt är det den första delen som man har missat på. Det kräver en förtrogenhet med (och kanske också förståelse för) ma-tematiska uttryck, medan den andra delen av uppgiften (att derivera ett polynom) är en mer mekanisk kunskap.

Uppg ift 4. I figuren ser du en rätvinklig triangel med sidolängderna a b, och coch vinkeln x .

c a

b

x

a. Uttryck sinx och cosx i a b, och c .

b. Uttryck c i a och b .

4c. Uttryck sin2x i enbart a och b .

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) a) 85,0 88,0 89 88 b) 89,1 90,6 91 90 c) 10,4 13,4 19 15

Kommentar: Uppgifterna a och b hör hemma i kurs A i gymnasieskolan (sannolikt krävs det bara grundskolekunskaper för att lösa dem). Lösningsfrekvenserna är också bland de allra högsta på hela materialet.

Uppgift a) frågar efter det samband som är mest fundamentalt om man vill använda sinus och cosinusfunktionerna i geometrin. (Ibland används dessa samband som definitionen av de trigo-nometriska funktionerna):

sin ; cosxa

cx

b

c=

=

Svaret i uppgift b) följer direkt ur Pythagoras sats:

c a b= +2 2

I uppgiften c) krävs dels att man kommer ihåg formeln för sinus för dubbla vinkeln, dels att man använder resultatet i uppgift a) för att ersätta sinx och cosx och resultatet i uppgift b) för att eliminera c :

sin sin cos2 2 22

2 2 2x x xa

c

b

c

ab

c

ab

a b= =

=

=

+

Uppg ift 5. Då man löser ekvationer så säger man ibland att man ” flyttar över och byter tecken”. (Ex x + =4 3 ger x = −3 4). Förklara varför man kan göra så.

25

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 73,2 78,1 76 76

Kommentar : Uppgiften förväntar sig att den svarande känner till (eller ”har förstått” ) att san-ningsvärdet för en likhet (i detta fall en ekvation) inte förändras om man subtraherar (eller ad-derar) båda leden med samma uttryck. ( Eller: ”ett sätt att lösa en ekvation är att minska båda leden med samma uttryck”). Egentligen borde det också krävas att den svarande kan göra ett formellt bevis för ”överflyttningssatsen” för en godtycklig ekvation innehållande x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x f x g x g x h x g x f x h x g x+ = ⇔ + − = − ⇔ = −( )

Sannolikt har det vid rättningen inte krävts en generell behandling enligt ovanstående för att få full poäng på uppgiften.

Uppg ift 6.

Ordna följande tal i växande storleksordning: 10 2 875 200 100, , .

(Ledning: 2 8 2 103 10 3= ≈, . )

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 42,2 45,6 49 45

Kommentar : Uppgiften kräver dels att den svarande i enkla fall kan hantera potensräknere-geln:

( )a ab c bc=

dels att han/hon kan ”organisera” behandlingen av de tre uttrycken och använda ledningarna till att göra om det första och det tredje talet till potenser av 2:

( ) ( ) ( ) ( )10 10 2 2 8 2 275 3 25 10 25 250 100 3 100 300= ≈ = = =;

Detta medför att

2 10 8200 75 100< <

Uppg ift 7. Har ekvationenx x= cos någon lösning? I så fall hur många? Svar och motivering:

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 9,1 10,0 11 10

Kommentar : Detta är den uppgift som hade lägst lösningsfrekvens av samtliga.

Uppgiften är tänkt att lösas grafiskt. Man söker antalet skärningspunkter mellan kurvorna y x= och y x= cos . Det är möjli gt att studenterna i gymnasieskolan någon gång har sett en liknande uppgift, men det vanliga har nog varit att man studerat antalet skärningspunkter mel-lan en kurva och x-axeln. För att lösa uppgiften krävs därför antingen vad man skulle kunna kalla ”matematisk allmänbildning” eller att man kan översätta formler till kurvor och dessutom har ett visst mått av ”kreativt tänkande”.

26

Uppg ift 8.

Kedjeregeln för derivering säger att om ( ) ( )( )h x f g x= så är

( ) ( ) ( )( )′ = ′ ′h x g x f g x .

(Ex: om ( )h x ex=2

kan vi välja ( )f x ex= och ( )g x x= 2 )

8a: Vad är derivatan av ex2

?

8b: Finn funktioner ( )f x och ( )g x så att ( )( )sin2 x f g x= .

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) a) 54,1 59,4 65 54 b) 20,8 22,7 27 25

Kommentar: Kedjeregeln introduceras i kurs D i gymnasieskolan. I formuleringen av uppgif-ten anger man också formeln för kedjeregeln och ger också i ledningen precisa uppgifter om hur man skall välja funktionerna f och g för att formeln skall kunna användas i uppgift 8 a. Det är möjli gt att denna ledning har varit svår att förstå och att många av dem som löst uppgift 8 a snarare gått på tidigare inlärda (”mekaniska”) deriveringsregler (med ” inre derivata” o.s.v.):

De e xx x2 2

2=

Ett argument för en sådan slutsats är att betydligt färre än de som löste uppgift 8a klarade av uppgift 8b, där man skulle visa att man ” förstått” den givna formeln genom att sätta:

( ) ( )f x x g x x= =2 ; sin

En förklaring till att inte så många har klarat uppgiften 8b kan vara att man skriver ( )f x med

x som variabel. Om man istället hade skrivit: ”Finn funktioner ( )f y och ( )g x så att………” är

det möjli gt att flera hade kunnat lösa uppgiften. Erfarenheterna visar att även efter högskole-studier i matematik har många studenter svårigheter att hantera uppgifter av den typ som ges i 8 b.

Uppg ift 9. Summan av de första udda talen beskriver ett enkelt mönter:

1 1 1 3 2 1 3 5 32 2 2= + = + + =, , . .

Visa att mönstret fortsätter att stämma, t ex genom att motivera varför

1 3 5 199 1002+ + + + =........... . .

(Ledning: Titta på prickkvadraterna till höger.)

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 33,4 37,9 35 36

27

Kommentar : Uppgiften löses t ex genom att man, inspirerad av figuren, observerar att

[ ] [ ] [ ] [ ]1 3 5 7 199 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 99 99

100 1 2 1 2 3 99 100 2 991 99

2100 100 99 100 100 1002

+ + + + = + + + + + + + + + + + + +

= + + + + + = ++

= + = =

........... ( ) ( ) ( ) ........ ( )

* ( ...... ) * * * *

Ett annat sätt är att tänka sig figuren utbyggd till 100 vinkelhakeformade lager som innehåller 1,3 5 …. 199 småkvadrater (antalet småkvadrater ökar med 2 för varje steg). Samtidigt är fi-guren en kvadrat bestående av 100*100 småkvadrater. Detta bevisar påståendet. .

Formeln för aritmetisk summa som användes i beviset, förekommer i kurs C i gymnasieskolan. I övrigt är uppgiften snarast ett test på vad man skulle kunna kalla matematisk mognad och matematisk kreativitet. Dessutom krävs noggrannhet och ” försiktighet” för att hålla reda på hur de ”långa” summeringarna slutar o.s.v.

Uppg ift 10. Om x och y är positiva reella tal så gäller som bekant att

( ) ( ) ( )ln ln lnxy x y= +

Din uppgift är att bevisa detta genom att endast utnyttja följande tre regler (som du inte behöver bevisa): (i) e xxln = om x > 0 (ii) e e ex y x y+ = om x y, är reella tal

(iii ) e ex y= om och endast om x y=

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 16,2 19,8 23 18

Kommentar: Den naturligaste lösningen är man konstaterar att de första påståendet (i) ger

e xxln = , e yyln = och e xyxyln =

Av detta följer med hjälp av (ii)

e xyxyln = =e e ex y x yln ln ln ln= +

Från detta följer från (iii ) att

( ) ( ) ( )ln ln lnxy x y= +

Denna typ av uppgifter, där det gäller att läsa och tolka en matematisk text och använda den på ett systematiskt (och kanske också kreativt) sätt är av erfarenhet svåra. Det gäller både på gymnasienivån och på högskolenivån. Å andra sidan är det en typ av kunskaper som är viktiga både för den som fortsätter med studier i matematik och för den som fortsätter i olika ämnen inom teknik, naturvetenskap och samhällsvetenskap.

28

Uppg ift 11. Bevisa Pythagoras sats genom att utnyttja figuren

a

a

a

a

b

b

b

b

c c

c c

2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 45,2 46,9 47 42

Kommentar: Det förväntade beviset är det som man vanligen använder i undervisningen: Den stora kvadratens area kan skrivas på två sätt, vilket ger

( )a b cab

+ = +2 2 42

*

Utveckling av kvadraten i vänstra ledet (med hjälp av första kvadreringsregeln) ger

( )a b cab

a b ab cab

a b c

+ = + ⇔

⇔ + + = + ⇔

⇔ + =

2 2

2 2 2

2 2 2

42

2 42

*

*

Knappt hälften av de skrivande klarade denna uppgift Sannolikt har dock de allra flesta sett beviset någon gång under sin skoltid även om de inte nu kunnat reproducera det.