matematiksel İktisat ii ders notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/1.jpg)
OPTOPTİİMMİİZASYONZASYON
![Page 2: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/2.jpg)
İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan
seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını
maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir
bireyin toplam faydasını maksimize edecek tüketim
miktarlarının belirlenmesi; belirli üretim kısıtı altında toplam
maliyetin minimize edilmesi gibi çok sayıda minimizasyon ya da
maksimizasyon seçenekleri birer optimal seçimdir.
Maksimizasyon ve minimizasyon durumlarına genel olarak
uçdeğer diyoruz.
22
![Page 3: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/3.jpg)
Biz bu konu başlığı altında yalnızca kısıtsız optimizasyon
durumlarını inceliyoruz.
Bir optimizasyon probleminde yapılacak ilk iş, amaç
fonksiyonunun belirlenmesidir. Bundan sonraki aşamada,
amacımızı (bir maksimizasyon ya da minimizasyon)
gerçekleştirecek olan değerler bulunur.
33
![Page 4: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/4.jpg)
44Örneğin bir firmanın toplam kârını maksimize etmek istediğini
varsayalım. Bu durumda amaç fonksiyonu şöyle oluşacaktır.
( ) ( ) ( )Q TR Q TC Qπ = −
Burada amacımız, kârı (π) maksimize eden üretim miktarının
(Q) belirlenmesidir. İlk olarak optimizasyon konusuna salt
matematiksel açıdan bakalım ve ardından iktisadi uygulamaları
yapalım. y=f(x) fonksiyonuna ilişkin bazı şekiller aşağıda yer
almaktadır.
![Page 5: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/5.jpg)
Şekil 4.1a’da sabit bir fonksiyon vardır. Fonksiyonun üzerinde
farklı x değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı
olduğundan, bu değerleri bir optimal olarak öne süremeyiz.
Şekil 4.1b’de D noktası bir mutlak minimumdur. Fonksiyon
monotonik artan olduğundan, bir maksimuma sahip değildir.
Şekil 4.1c’de ise fonksiyonun bir maksimumu (E noktası) bir de
minimumu (F noktası), yani iki uç değeri vardır.
55
![Page 6: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/6.jpg)
66
ŞŞekil 4.1. Uekil 4.1. Uççdedeğğer Noktalarer Noktalarıınnıın Belirlenmesin Belirlenmesi
y
x0
y
x0
y
x0
•
•
E
F
• • •AB C
•D
( )a ( )b ( )c
![Page 7: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/7.jpg)
77GGööreli Ureli Uççdedeğğer er İİççin Birinci Tin Birinci Tüürev Srev Sıınamasnamasıı
Üzerinde çalışacağımız y=f(x) fonksiyonunun, sürekli ve
türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. Öyle ki, bazı durumlarda
fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada bir
uçdeğer söz konusu olabilir. Örneğin aşağıdaki Şekil 4.2a’da A
ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte, bu noktada
fonksiyonun tanımlı türevi yoktur. Şekil 4.2b’de ise C ve D
noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev
sınamalarıyla anlayabiliriz.
![Page 8: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/8.jpg)
88ŞŞekil 4.2. Gekil 4.2. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesierlerin Belirlenmesi
y
x0
( )a
y
x0
•
•
A
B •
•
C
D
( )b
![Page 9: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/9.jpg)
y=f(x) fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra eşitse
ve;
1. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken pozitiften
negatife doğru işaret değiştiriyorsa göreli maksimum.
2. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken negatiften
pozitife doğru işaret değiştiriyorsa göreli minimum
3. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken değişmiyorsa
ne göreli maksimum ne de göreli minimum vardır.
99
![Page 10: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/10.jpg)
f´(x)=0 eşitliğini sağlayan x0 değerine kritik dekritik değğerer, f(x0) değerine
de durgunluk dedurgunluk değğerieri diyoruz. Bu anlamda, Şekil 4.2b’de yer
alan C ve D noktaları, birer durgunluk değerine sahiptir.
Ancak tüm durgunluk noktaları, bir uç değer anlamına gelmez.
Şekil 4.3a ve b’de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir
göreli uçdeğer yoktur. Buna karşın Şekil 4.3c ve d’deki
durgunluk noktalarında sırasıyla bir minimum ve maksimum
vardır.
1010
![Page 11: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/11.jpg)
1111ŞŞekil 4.3. Gekil 4.3. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesierlerin Belirlenmesi
y
x0
y
x0
y
x0
•A( )a
•D
y
x0
•B
•C
•D
0x 0x
0x 0x
( )b
( )c ( )d
![Page 12: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/12.jpg)
ÖÖrnek 1:rnek 1:
fonksiyonunun göreli uçdeğer-
lerini bulalım.
3 2( ) 12 36 8y f x x x x= = − + +
1212
}
( ) ( )
( ) ( )
2
*2 1
*2
*1
*2
( ) 3 24 36 0
28 12 0
6
2 2 40 , 2 0
6 6 8 , 6 0
dy f x x xdx
xx x
x
x f f
x f f
′= = − + =
=− + =
=
′= → = =
′= → = =
![Page 13: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/13.jpg)
1313
( ) ( )
( ) ( )
2 0 2 0
6 0 6 0
x f x ve x f x
x f x ve x f x
′ ′< → > > → <
′ ′< → < > → >
![Page 14: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/14.jpg)
1414ŞŞekil 4.4. Gekil 4.4. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 1)rnek 1)
-2 2 4 6 8 10
-40
-20
20
40
60
80 3 2( ) 12 36 8y f x x x x= = − + +
y
x
•
•
![Page 15: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/15.jpg)
1515ÖÖrnek 2:rnek 2:
ortalama maliyet fonksiyonunun
göreli uçdeğerlerini bulalım.
2( ) 5 8AC AC Q Q Q= = − +
( )
2
* *
( ) 5 8
( ) 2 5 0 2.5 , 1.75
2.5 ( ) 0 2.5 ( ) 0
AC AC Q Q Q
dAC AC Q Q Q AC QdQ
Q AC Q ve Q AC Q
= = − +
′= = − = → = =
′ ′< → < > → >
![Page 16: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/16.jpg)
1616ŞŞekil 4.5. Gekil 4.5. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 2)rnek 2)
2 4 6 8 10
10
20
30
40
50
2( ) 5 8AC AC Q Q Q= = − +AC
Q•* 2.5Q =
![Page 17: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/17.jpg)
1717ÖÖrnek 3:rnek 3:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 *1,2
* *1 2
3 5
3 3 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1'de maksimum , 1'de minimum
y f x x x
f x x x
x f x ve x f x
x f x ve x f x
x x
= = − +
′ = − = → =
′ ′< − → > > > − → <
′ ′− < < → < > → >
= − =
∓
![Page 18: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/18.jpg)
1818ŞŞekil 4.6. Gekil 4.6. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 3)rnek 3)
-4 -2 2 4
-2.5
2.5
5
7.5
10
12.5 ( ) 3 3 5y f x x x= = − +y
x
•
•
![Page 19: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/19.jpg)
1919ÖÖrnek 4:rnek 4:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
*1,22
* *1 2
1 , 0
11 0 1
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1'de maksimum , 1'de minimum
y f x x xx
f x xx
x f x ve x f x
x f x ve x f x
x x
= = + ≠
′ = − = → =
′ ′< − → > > > − → <
′ ′− < < → < > → >
= − =
∓
![Page 20: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/20.jpg)
2020
( ) 1 , 0y f x x xx
= = + ≠
y
x•
•
ŞŞekil 4.7. Gekil 4.7. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 4)rnek 4)
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
![Page 21: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/21.jpg)
2121İİkinci ve Daha Ykinci ve Daha Yüüksek Tksek Tüürevlerrevler
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
2
2
12
12 3
3 , ..........,
n
n nn
n
y f x
dy f xdx
dydd ydx f x
dx dx
d yd y dddx dxd y d yf x f xdx dxdx dx
−
−
=
′=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ′′= =
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠′′′= = = =
![Page 22: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/22.jpg)
2222ÖÖrnek 5:rnek 5:
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
3
4
54
, 11
1 1 11 1
2 1
6 1
24 1
xy f x xx
x xf x x
x x
f x x
f x x
f x x
−
−
−
−
= = ≠ −+
+ −′ = = = +
+ +
′′ = − +
′′′ = +
= − +
![Page 23: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/23.jpg)
2323
Bir Fonksiyonda Birinci ve Bir Fonksiyonda Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürevlerin revlerin
TanTanıımlanmasmlanmasıı
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
A f x f x
B f x f x
C f x f x
′ ′′> <
′ ′′= <
′ ′′< <
![Page 24: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/24.jpg)
2424
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
noktasında : 0 , 0
D f x f x
E f x f x
F f x f x
′ ′′< >
′ ′′= >
′ ′′> >
![Page 25: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/25.jpg)
2525ŞŞekil 4.8. Gekil 4.8. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesine erlerin Belirlenmesine Birinci ve Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürev Yaklarev Yaklaşışımlarmlarıı
y
x0
A
y
x0
•
••
•
• •
B
C D
E
F( )( )
0
0
f x
f x
′ >
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ >
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ >
( )( )
0
0
f x
f x
′ >
′′ >
( )a ( )b
![Page 26: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/26.jpg)
2626ŞŞekil 4.9. Gekil 4.9. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesine erlerin Belirlenmesine Birinci ve Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürev Yaklarev Yaklaşışımlarmlarıı
y
x0
y
x0
•K
•L
•M
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ >
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ =
( )( )
0
0
f x
f x
′ <
′′ <
•R
•P•N ( )
( )0
0
f x
f x
′ >
′′ <
( )( )
0
0
f x
f x
′ =
′′ =
( )( )
0
0
f x
f x
′ >
′′ >
( )a ( )b
![Page 27: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/27.jpg)
GGööreli Ureli Uççdedeğğer er İİççin in İİkinci Tkinci Tüürev Srev Sıınamasnamasıı
Bir fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra
eşitse ve;
( )y f x=
2727
( )
( )
0
0
maksimum
mini
0 göreli
mu0 görel mi
f x
f x
′′ < ⇒
′′ > ⇒
![Page 28: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/28.jpg)
2828ÖÖrnek 6:rnek 6:
( )
( )
( ) ( )
( )
2
0
0
0 0
4
18 1 08
8 0
1 1, 'da minimum var.8 16
1.
2.
y f x x x
f x x x
f x f x
x f x
= = −
′ = − = → =
′′ ′′= = >
= =
![Page 29: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/29.jpg)
2929ŞŞekil 4.10. Gekil 4.10. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 6)rnek 6)
-3 -2 -1 1 2 3
10
20
30 ( ) 24y f x x x= = −
y
x
![Page 30: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/30.jpg)
3030ÖÖrnek 7:rnek 7:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
2 * *1 2
* *1 2
* *1 1
* *2 2
3 2
3 6 0 0 , 2
6 6
0 6 0 , 2 6 0
0 , 0 2 'de maksimum var.
2 , 2 2 'de minimum var.
1.
2.
y f x x x
f x x x x x
f x x
f x f x
x f x
x f x
= = − +
′ = − = → = =
′′ = −
′′ ′′= = − < = = >
= = =
= = = −
![Page 31: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/31.jpg)
3131ŞŞekil 4.11. Gekil 4.11. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 7)rnek 7)
-4 -2 2 4
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
( ) 3 23 2y f x x x= = − +
y
x
•
•
![Page 32: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/32.jpg)
3232ÖÖrnek 8:rnek 8:
( )
( ) ( )
( )
3 2
2
5 20 10
3 10 20 0 reel kök yok
Ne maksimum nede minimum vard
1.
2.
ır.
106 10 0 1.676
y f x x x x
f x x x
f x x x
= = − + +
′ = − + =
′′ = − = → = =
x=1.67’de bir dönüm noktası vardır.
![Page 33: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/33.jpg)
3333ŞŞekil 4.12. Gekil 4.12. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 8)rnek 8)
y
x
• Dönüm Noktası
-2 2 4 6
-50
50
100
150
![Page 34: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/34.jpg)
3434İİktisadi ktisadi ÖÖrneklerrnekler
KKââr Maksimizasyonu Kor Maksimizasyonu Koşşullarullarıı
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1.
,
0
TR TR Q TC TC Q
Q TR Q TC Q
d Q TR Q TC QdQ
TR Q TC Q MR Q MC Q
= =
π = π = −
π ′ ′ ′= π = − =
′ ′= → =
![Page 35: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/35.jpg)
3535
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
22. 0d Q TR Q TC QdQ
TR Q TC Q MR Q MC Q
π ′′ ′′ ′′= π = − <
′′ ′′ ′ ′< → <
![Page 36: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/36.jpg)
3636ŞŞekil 4.13. Tam Rekabette Kekil 4.13. Tam Rekabette Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
•
•TR
TCTRTC
Q1Q 2Q *Q 4Q
TFC
0
A
B
![Page 37: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/37.jpg)
3737ŞŞekil 4.14. Kekil 4.14. Kââr Fonksiyonu ve Maksimizasyonr Fonksiyonu ve Maksimizasyon
•
π
Q1Q 2Q *Q 4Q0 • •
•
•
( )Qπ
![Page 38: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/38.jpg)
3838ŞŞekil 4.15. Kekil 4.15. Kââr Maksimizasyonu: r Maksimizasyonu: MCMC==MRMR
Q1Q *Q0
MC
MR• •
P
P AR MR= = 1E *E
![Page 39: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/39.jpg)
3939KKââr Maksimizasyonuna Sayr Maksimizasyonuna Sayıısal sal ÖÖrnek: Tekelci Piyasarnek: Tekelci Piyasa
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
3 2
2 3 2
3 2
1000 2
59 1315 2000
1000 2 59 1315 2000
57 315 2000
TR TR Q Q Q
TC TC Q Q Q Q
Q TR Q TC Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
= = −
= = − + +
π = π = −
π = − − − + +
π = − + − −
![Page 40: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/40.jpg)
4040
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2
2 * *1 2
* *1 1
* *2 2
* *2 2
57 315 2000
3 114 315 0 3 , 35
6 114
3 6 114 96 0
35 6 114 96 0
35 , 13925 'demaksimizasyon var.
Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
Q Q
Q Q
Q Q
Q Q
π = − + − −
′π = − + − = → = =
′′π = − +
′′π = = − + = >
′′π = = − + = − <
= π =
![Page 41: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/41.jpg)
4141ŞŞekil 4.16a. Tekelde Kekil 4.16a. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
10 20 30 40 50 60
20000
40000
60000
80000
( ) 21000 2TR Q Q Q= −
( ) 3 259 1315 2000TC Q Q Q Q= − + +
•
•
35Q
•
•
,TR TC
A
B
E
E ′
![Page 42: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/42.jpg)
4242ŞŞekil 4.16b. Tekelde Kekil 4.16b. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
10 20 30 40 50 60
-30000
-20000
-10000
10000
( ) 3 257 315 2000Q Q Q Qπ = − + − −
π
Q
•
35
13925E
![Page 43: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/43.jpg)
4343ŞŞekil 4.16c. Tekelde Kekil 4.16c. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu
10 20 30 40 50 60
500
1000
1500
2000
••
353Q
MR
MC
*E
P
1E
![Page 44: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/44.jpg)
SatSatışış Vergisi HasVergisi Hasıılatlatıınnıın Maksimizasyonun Maksimizasyonu
Bir tekelci piyasada devletin t ölçüsünde bir satış vergisi
uyguladığını varsayalım. Verginin ölçüsü ne olmalıdır ki,
devletin bu piyasadan toplayacağı satış hasılatı maksimize
olsun?
4444
( )
( )
2
2
, , 0
, , , 0
TR TR Q Q Q
TC TC Q aQ bQ c a b c
= = β − α α β >
= = + + >
![Page 45: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/45.jpg)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
* * 2
* 2
*
2 2
2
TC TC Q aQ bQ c tQ
TC Q aQ b t Q c
Q TR Q TC Q
Q Q Q aQ b t Q c
Q a Q b t Q c
= = + + +
= + + +
π = π = −
π = −α + β − + + +
π = − α + + β − − −
4545
![Page 46: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/46.jpg)
4646
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
*
2*
*
2
2
2 02
2 0
2
2 02 2
1 0
b tQ a Q b t Qa
Q a
t bt tT tQa
dT b t btdt a
d Tadt
β − −′π = − α + + β − − = → =α +
′′π = − α + <
β − −= =
α +
β − − β −= = → =
α +
= − <α +
![Page 47: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/47.jpg)
4747KKüübik Toplam Maliyet Fonksiyonunun bik Toplam Maliyet Fonksiyonunun İİncelenmesincelenmesi
( )
( ) ( )
3 2
2
Tüm değerleri için:
3
0
0
2 0 U
olmalıdır.
TC TC Q aQ bQ cQ d
Q
MC Q aQ bQ c biçimli eğri
d TFC
a
= = + + +
= +
>
+ >
= >
![Page 48: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/48.jpg)
4848
( ) ( )
2
2
*
22* *
min
2
min
MC'nin minimum değeri:
6 2 0 03
3 2 3 23
0
3 0 0
,
3
3 03
, 0 , 0 , 3 0
dMC baQ b QdQ a
b bMC a Q b Q c a b c
b
ac
a a
ac bM b c
a c d
C
b ac
a
b
<
−
= + = → = − > →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−= > →
>
→> >
< − >
![Page 49: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/49.jpg)
4949ŞŞekil 4.17. Toplam Maliyet Fonksiyonuekil 4.17. Toplam Maliyet Fonksiyonu
TC
Q
TFC
0
( ) 3 2
2, , 0 , 0 , 3 0a
TC TC Q a
c d b a
Q
b
Q c
c
b Q d
> <
= +
−
= +
>
+
![Page 50: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/50.jpg)
5050ÇÇeeşşitli Fonksiyonlaritli Fonksiyonlarıın n İİncelenmesincelenmesi
ÖÖrnek 9:rnek 9:
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
2
3
3 3
2 1,1 2 2
2 01 2
8 01 2
1 11 2 0 1 2 02 2
xy f x xx
f xx
f xx
x x ve x x
= = ≠−
′ = >−
′′ = >−
− > → < − < → >
![Page 51: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/51.jpg)
5151
( )
1 12 2
2 2lim , lim1 2 1 2
12
2 2lim 1 , lim 11 2 1 2
1
x x
x x
x xx x
x düşey asimptot
x xx x
f x yatay asimptot
− +→ →
→−∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +∞ = −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
![Page 52: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/52.jpg)
5252ŞŞekil 4.18. Fonksiyon Analizi (ekil 4.18. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 9)rnek 9)
-4 -2 2 4
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5( ) 2
1 2
12
xy f xx
x
= =−
≠
![Page 53: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/53.jpg)
5353ÖÖrnek 10:rnek 10:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2
3 3
3 0 , 3 0 0, 0
6
0 0 ; 0 0
lim , limx x
y f x x
f x x f x x x y
f x x
x f x x f x
x x→−∞ →∞
= =
′ ′= > = = → = =
′′ =
′′ ′′> → > < → <
= −∞ = ∞
![Page 54: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/54.jpg)
5454ŞŞekil 4.19. Fonksiyon Analizi (ekil 4.19. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 10)rnek 10)
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3y x=
![Page 55: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/55.jpg)
5555ÖÖrnek 11:rnek 11:
( )
( )
( ) } ( )( )
3
4
5
3 3
3 30 0
1 , 0
3 0 , durgunluk değeri yok.
0 012
0 0
1 1lim 0 , lim 0
1 1lim , lim
x x
x x
y f x xx
f x x
x f xf x x
x f x
x x
x x− +
−
−
→−∞ →∞
→ →
= = ≠
′ = − <
′′> → >′′ =
′′< → <
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∞ = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
![Page 56: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/56.jpg)
5656ŞŞekil 4.20. Fonksiyon Analizi (ekil 4.20. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 11)rnek 11)
-4 -2 2 4
-150
-100
-50
50
100
150
( ) 3
1 , 0y f x xx
= = ≠
![Page 57: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/57.jpg)
5757Kuvvet Serileri ve UKuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin Belirlenmesierin Belirlenmesi
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 30 1 2 3
2 3 11 2 3 4
2 22 3 4
2 33 4 5
.....
2 3 4 .....
2 6 12 ..... 1
6 24 60 ..... 2 1
......................................................
nn
nn
nn
nn
f x a a x a x a x a x
f x a a x a x a x n a x
f x a a x a x n n a x
f x a a x a x n n n a x
−
−
−
= + + + + +
′ = + + + + +
′′ = + + + + −
′′′ = + + + + − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
...................
1.2.3.4..... 3 2 1nnf x n n n n a= − − −
![Page 58: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/58.jpg)
Yukarıdaki çokterimliyi ve türevlerini, x=0 için değerlendirelim:
5858
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 1
2 2
3 3
4 44 4
0 0 0!
0 0 1!
0 2 0 2!
0 6 0 3!
0 24 0 4!
.............................
0 1.2.3..... 3 2 1 0 !n nn n
f x a f a
f x a f a
f x a f a
f x a f a
f x a f a
f x n n n n a f n a
= = → =
′ ′= = → =
′′ ′′= = → =
′′′ ′′′= = → =
= = → =
= = − − − → =
![Page 59: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/59.jpg)
5959
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 0
1 1
2 2
3 3
00 0!
0!
00 1!
1!
00 2!
2!
00 3!
3!
.......................................................
00 !
!
nn
n n
ff a a
ff a a
ff a a
ff a a
ff n a a
n
= → =
′′ = → =
′′′′ = → =
′′′′′′ = → =
= → =
![Page 60: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/60.jpg)
6060
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 30 1 2 3
2
3
.....
0 0 00! 1! 2!
0 0.....
3! !
nn
nn
n
f x a a x a x a x a x
f f ff x x x
f fx x R
n
= + + + + +
′ ′′= + +
′′′+ + + +
Maclaurin Serisi (ya da x=0 etrafında Taylor
kuvvet serisi açılımı)
![Page 61: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/61.jpg)
6161Bir Bir ÇÇokterimlinin Taylor Serisiokterimlinin Taylor Serisi
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 30 1 2 3
20 0 00 0
30 00 0
.....
0! 1! 2!
.....3! !
nn
nn
n
f x a a x a x a x a x
f x f x f xf x x x x x
f x f xx x x x R
n
= + + + + +
′ ′′= + − + − +
′′′− + + − +
![Page 62: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/62.jpg)
6262ÖÖrnek 12:rnek 12:
Aşağıdaki fonksiyonun x0=1 noktasında n=4 açılımını yapalım.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
20
30
40
54 40
1 111 2
11 14
12 1 14
36 1 18
324 1 14
f x f xx
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
−
−
−
−
= → = =+
′ ′= − + → = = −
′′ ′′= + → = =
′′′ ′′′= − + → = = −
= + → = =
![Page 63: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/63.jpg)
6363
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
20 0
3 40 0 4
2 3 44
1 11 4 42 1! 2!
3 38 43! 4!
31 13 1 3 132 16 2 16 32
f x x x x x
x x x x R
f x x x x x R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − + − +
= − + − + +
![Page 64: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/64.jpg)
6464ŞŞekil 4.21. Kuvvet Serisi Aekil 4.21. Kuvvet Serisi Aççııllıımlarmlarıı ((ÖÖrnek 12)rnek 12)
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
( ) 2 3 431 13 1 3 132 16 2 16 32
f x x x x x= − + − +
( ) 11
f xx
=+
x0=1 ’de açılım
![Page 65: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/65.jpg)
ÖÖrnek 13:rnek 13:
Aşağıdaki fonksiyonun x0=−2 noktasında n=4 açılımını yapalım.
6565
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
20
30
40
54 40
1 2 11
1 2 1
2 1 2 2
6 1 2 6
24 1 2 24
f x f xx
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
−
−
−
−
= → = − = −+
′ ′= − + → = − = −
′′ ′′= + → = − = −
′′′ ′′′= − + → = − = −
= + → = − = −
![Page 66: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/66.jpg)
6666
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3 44
2 3 44
1 2 2 2 2
31 49 31 9
f x x x x x R
f x x x x x R
= − − + − + − + − + +
= − − − − − +
![Page 67: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/67.jpg)
6767ŞŞekil 4.21. Kuvvet Serisi Aekil 4.21. Kuvvet Serisi Aççııllıımlarmlarıı ((ÖÖrnek 13)rnek 13)
-4 -2 2 4
-40
-30
-20
-10
10
20
( ) 11
f xx
=+
( ) 2 3 431 49 31 9f x x x x x= − − − − −
x0=−2 ’de açılım
![Page 68: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/68.jpg)
6868Taylor Serisi ve GTaylor Serisi ve Gööreli Ureli Uççdedeğğerin Belirlenmesierin Belirlenmesi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
200 0 0 0
30 00 0
200 0 0 0
30 00 0
2!
.....3! !
2!
.....3! !
nn
nn
f xf x f x f x x x x x
f x f xx x x x
n
f xf x f x f x x x x x
f x f xx x x x
n
′′′= + − + − +
′′′− + + −
′′′− = − + − +
′′′− + + −
![Page 69: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/69.jpg)
6969ŞŞekil 4.22. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.22. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin
BelirlenmesiBelirlenmesi
y
x0
y
x0
•••
••
•( )1f x
( )0f x
( )2f x
( )1f x ( )0f x
( )2f x
0x1x 2x 0x1x 2x
( )y f x=
( )y f x=
( )a ( )b
![Page 70: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/70.jpg)
7070
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 11 0 2
0 2
0 11 0 2
0 2
0 11 0 2
0 2
0 11 0 2
0 2
0, Maksimum
0
0, Minimum
0
0, Dönüm Noktası
0
0, Dönüm Noktası
0
f x f xx x x
f x f x
f x f xx x x
f x f x
f x f xx x x
f x f x
f x f xx x x
f x f x
− >< < ⇒
− >
− << < ⇒
− <
− >< < ⇒
− <
− << < ⇒
− >
![Page 71: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/71.jpg)
7171
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
f x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
+ +
+ −
− +
− −
′ ≠
′− = − >
′− = − <
′− = − <
′− = − >
1. Durum:1. Durum:
![Page 72: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/72.jpg)
72722. Durum:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
210 0 02
210 0 02
210 0 02
210 0 02
0 , 0
0
0
0
0
f x f x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
f x f x f x x x
+ +
+ +
− +
− +
′ ′′= ≠
′′− = − >
′′− = − >
′′− = − <
′′− = − <
2. Durum:
MinimumMinimum
MaksimumMaksimum
![Page 73: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/73.jpg)
73734. Durum:4. Durum:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 0 0 0
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
..... 0 , 0
0
0
0
0
n n
nnn
nnn
nnn
nnn
f x f x f x f x
f x f x f x x xn tek
sayı ise f x f x f x x x
f x f x f x x xn tek
sayı ise f x f x f x x x
−
+ +
+ −
− +
− −
′ ′′= = = = ≠
− = − >⎫⎪⎬⎪⎭ − = − <
− = − <⎫⎪⎬⎪⎭ − = − >
DDöönnüüm m NoktasNoktasıı
DDöönnüüm m NoktasNoktasıı
![Page 74: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/74.jpg)
74744. Durum (Devam4. Durum (Devamıı):):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
10 0 0!
0çift
sayı ise 0
0çift
sayı ise 0
nnn
nnn
nnn
nnn
f x f x f x x xn
f x f x f x x x
f x f x f x x xn
f x f x f x x x
+ +
+ +
− +
− +
− = − >⎫⎪⎬⎪⎭ − = − >
− = − <⎫⎪⎬⎪⎭ − = − <
MinimumMinimum
MaksimumMaksimum
![Page 75: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/75.jpg)
7575ÖÖrnek 14:rnek 14:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
30
3
2
4 4
0
7
4 7 0 7
4 7 7 0
12 7 7 0
24 7 7 0
24 24 0
7 , 0 noktasında minimum var.
y f x x
f x x x
f x x f
f x x f
f x x f
f x f x
x y
= = −
′ = − − = → =
′ ′= − − → =
′′ ′′= − → =
′′′ ′′′= − − → =
= → = >
= =
![Page 76: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/76.jpg)
7676ŞŞekil 4.23. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.23. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin
Belirlenmesi (Belirlenmesi (ÖÖrnek 14)rnek 14)
( ) ( )47y f x x= = −
•2 4 6 8 10 12 14
100
200
300
400
![Page 77: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/77.jpg)
7777ÖÖrnek 15:rnek 15:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
6 50
5
4
3
4 42
5 5
6 6
0
5 6 0 0
6 0 0
30 0 0
120 0 0
360 0 0
720 0 0
720 0 720 0
0 , 5 noktasında minimum var.
y f x x f x x x
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x f
x y
′= = + → = = → =
′ ′= → =
′′ ′′= → =
′′′ ′′′= → =
= → =
= → =
= → = >
= =
![Page 78: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/78.jpg)
7878ŞŞekil 4.24. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.24. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin
Belirlenmesi (Belirlenmesi (ÖÖrnek 15)rnek 15)
-3 -2 -1 1 2 3
10
20
30
40
50
60
•
( ) 6 5y f x x= = +
![Page 79: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/79.jpg)
7979İİki Seki Seççim Deim Değğiişşkenli Durumda Taylor Serisikenli Durumda Taylor Serisi
( ) ( ) ( )
( )
2 200 10 01 20 11 02
10 ( 1),1 0
, .....
..... ..... .....n n nn n n
z f x y a a x a y a x a xy a y
a x a x y a y−−
= = + + + + + +
+ + + + +
İlk olarak bu iki seçim değişkenli n. dereceden polinomun (0,0)
noktası için Taylor açılımını yapalım. Tüm türevlerin (0,0)
noktasında değerlendirileceğine dikkat edelim.
![Page 80: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/80.jpg)
8080
( ) 00
10 20 11 100
01 11 02 010
0,0
2 .....
2 .....
f a
f fa a x a y ax x
f fa a x a y ay y
=
∂ ∂⎛ ⎞= + + + → =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂= + + + → =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Benzer biçimde diğer türevleri de bulup sıfır noktasında
değerlendirirsek, aşağıdaki terimleri yazabiliriz.
![Page 81: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/81.jpg)
8181
2 2 2
20 11 022 20 0 0
1 1, ,2! 2!
f f fa a ax yx y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Diğer tüm terimleri de (a katsayılarını) aynı yöntemle
belirledikten sonra, bu katsayıları polinomdaki yerlerine yazıp
düzenlersek, (0,0) noktasındaki Taylor açılımını elde etmiş
oluruz.
![Page 82: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/82.jpg)
8282
( ) ( )0 0
2 2 22 2
2 20 0 0
3 3 3 33 2 2 3
3 2 2 30 0 0 0
, 0,0
1 22!
1 3 33!
.....
f ff x y f x yx y
f f fx xy yx yx y
f f f fx x y xy yx x y x y y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
+
![Page 83: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/83.jpg)
8383
Bu açılımı (0,0) noktası dışındaki herhangi bir noktada da
yapabiliriz. Şimdi açılımı (x0 , y0) gibi rasgele bir nokta için de
yazalım. Tüm türevlerin (x0 , y0) noktasında değerlendirildiğine
dikkat edelim.
![Page 84: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/84.jpg)
8484
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
2 2 22 2
0 0 0 02 2
3 33 2
0 0 03 2
3 32 3
0 0 02 3
, ,
1 22!
313!
3
f ff x y f x y x x y yx y
f f fx x x x y y y yx yx y
f fx x x x y yx x y
f fx x y y y yx y y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
.....
⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
+
![Page 85: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/85.jpg)
8585ÖÖrnek 16:rnek 16:
fonksiyonunun (1,1) noktasındaki Taylor açılımını
yapalım.
yz x=
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2
, ln , 1
ln , ln
1 1 1 1 .....
y y yx y xx
y y yxy yy
y
z yx z x x z y y x
z x yx x z x x
x x x y
− −
− −
′ ′ ′= = = −
′′ ′′= + =
= + − + − − +
Örneğin,
( ) ( ) ( )1.031.04 1 0.04 0.04 0.03 1.0412yz x= = ≈ + + =
![Page 86: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/86.jpg)
8686
CES CES ÜÜretim Fonksiyonunun Doretim Fonksiyonunun Doğğrusallarusallaşşttıırrıılmaslmasıı ya da ya da
Birinci SBirinci Sııra Taylor Ara Taylor Aççııllıımmıı
( )
( )
( )
1
ln ln ln 1
f
Q A K L
Q A K L
µρ−−ρ −ρ
−ρ −ρ
ρ
⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦
µ ⎡ ⎤− = − δ + − δ⎣ ⎦ρ
teriminin etrafındaki birinci sıra Taylor açılımını
yapalım.
( )f ρ 0ρ =
![Page 87: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/87.jpg)
8787
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
0
2
0 0
00 ( ' )0
lim ln 1 ln 1 ln
ln 1 ln 1 ln 1
1
f f f
f L Hopital Kuralını Kullanalım
K L K L
L K K L K L K Lf
K L
−ρ −ρ
ρ→
ρ ρ ρ ρ −ρ −ρ
ρ ρ
′ρ = + ρ
= →
⎛ ⎞µ ⎡ ⎤− δ + − δ = −µ δ + − δ⎜ ⎟⎣ ⎦ρ⎝ ⎠
⎡ ⎤µ δρ − δ − ρ − δ − − δ δ + − δ⎣ ⎦′ ρ =δ − − δ ρ
![Page 88: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/88.jpg)
8888
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
0
1 ln ln 1 ln 1
1
00 ( ' )0
1lim 1 ln ln2
K L L K K L K Lf
K L
f L Hopital Kuralını Kullanalım
f K L
ρ ρ ρ ρ −ρ −ρ
ρ ρ
ρ→
⎡ ⎤µ δ − ρ − δρ + δ − − δ δ + − δ⎣ ⎦′ ρ =δ − − δ ρ
′ = →
′ ρ = − − δ δµ −
![Page 89: Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040222/5e3ebc3f3f44c759a24d0eb3/html5/thumbnails/89.jpg)
8989
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
0 0
1ln 1 ln 1 ln ln2
1ln ln ln 1 ln 1 ln ln2
1ln ln ln 1 ln 1 ln ln2
f f f
f K L K L
Q A f K L K L
Q A K L K L
′ρ = + ρ
⎡ ⎤⎡ ⎤ρ = µ δ + − δ + − − δ δµ − ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− = ρ = −µ δ + − δ + − − δ δµ − ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + µδ + µ − δ − − δ δµρ −