matematines_analizes_pagrindai

16
© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 62 V. MATEMATINĖS ANALIZĖS PAGRINDAI 1. SKAIČIŲ AIBĖS Mokyklos matematikos kurse iš dalies nagrinėjama tikrųjų skaičių teorija, minimi racionalūs ir iracionalus skaičiai, o taip pat ir menamieji skaičiai. Suklasifikuokime skaičių aibę. Skaičiai, su kuriais susiduriame dar pradinėse klasėse, yra sveikieji teigiami skaičiai, vadinami natūraliaisiais. Tai 1, 2, 15 ir pan. Šių skaičių sudėtis ir daugyba, t.y. tiesioginiai veiksmai su natūraliaisiais skaičiais, duoda taip pat natūraliuosius skaičius. Minėtų veiksmų rezultatas yra išsiplėtusi natūraliųjų skaičių aibė, bet su kitokios rūšies skaičiais dar netenka susidurti. Tuo tarpu atvirkštiniai veiksmai – atimtis ir dalyba jau duoda neigiamuosius ir trupmeninius skaičius. Į neigiamuosius skaičius tenka žiūrėti, kaip į priešingus teigiamiems (nuostolis ir pelnas, judėjimas į vieną ar į kitą pusę, šaltis ir šiluma). Trupmeninius skaičius galime apibūdinti, kaip sveikųjų skaičių atitinkamą dalį. Sveikųjų (teigiamų ir neigiamų), bei trupmeninių skaičių visuma vadinama racionaliųjų skaičių aibe. Racionalieji skaičiai pasižymi šiomis savybėmis: a) bet kokiems racionaliesiems skaičiams a ir b gali būti apskaičiuota jų suma a + b. Sudėtis yra komutatyvi ir asociatyvi, t.y. a b b a + = + , (1) ( ) ( ) c b a c b a + + = + + . (2) Racionaliųjų skaičių aibėje yra ir skaičius 0, toks, kad a a = + 0 . Racionaliems skaičiams a ir b yra tik vienas skaičius, tenkinantis lygtį a x b = + , ir šis skaičius vadinamas skaičių a ir b skirtumu. Šis skirtumas žymimas b a x = , (3) kuris taip pat yra racionalusis skaičius. b) racionaliųjų skaičių aibėje yra visi natūralieji skaičiai. Racionalieji skaičiai, gauti atimant du natūraliuosius skaičius, yra sveikieji skaičiai. Taigi, 0, ±1, ±2, ±3,... yra sveikieji skaičiai. c) bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių sandauga yra racionalusis skaičius. Sandauga yra komutatyvi a b b a = , asociatyvi ( ) ( ) c b a c b a = ir distributyvi sudėties atžvilgiu ac ab c b a + = + ) ( . Bet kuriems racionaliesiems skaičiams a ir b, iš kurių 0 b yra vienas, ir tik vienas, racionalusis skaičius, tenkinantis lygtį a bx = . Šis skaičius b a x = yra dalmuo, o pati matematinė operacija vadinama dalyba. d) bet kurį racionalųjį skaičių gausime, kai dalinsime du sveikuosius skaičius a ir b, čia 0 b . Šių keturių savybių pakanka, kad visiškai apibrėžtume racionaliųjų skaičių aibę. Tačiau racionalieji skaičiai neužpildo visos tikrųjų skaičių aibės, nežiūrint to, kad tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių a ir b būtinai yra ir trečiasis 2 b a c + = . Tenka įsivesti naujus skaičius, kurie nėra racionalūs ir vadinami iracionaliais. Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės sudaro tikrųjų skaičių aibę. Iracionalieji skaičiai atsiranda, sprendžiant net tokius 2 1 1 64 p av.

Upload: laura-laukyte

Post on 30-Aug-2014

96 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 62

V. MATEMATINĖS ANALIZĖS PAGRINDAI

1. SKAIČIŲ AIBĖS Mokyklos matematikos kurse iš dalies nagrinėjama tikrųjų skaičių teorija, minimi racionalūs ir

iracionalus skaičiai, o taip pat ir menamieji skaičiai. Suklasifikuokime skaičių aibę. Skaičiai, su kuriais susiduriame dar pradinėse klasėse, yra sveikieji teigiami skaičiai, vadinami

natūraliaisiais. Tai 1, 2, 15 ir pan. Šių skaičių sudėtis ir daugyba, t.y. tiesioginiai veiksmai su natūraliaisiais skaičiais, duoda taip pat natūraliuosius skaičius. Minėtų veiksmų rezultatas yra išsiplėtusi natūraliųjų skaičių aibė, bet su kitokios rūšies skaičiais dar netenka susidurti. Tuo tarpu atvirkštiniai veiksmai – atimtis ir dalyba jau duoda neigiamuosius ir trupmeninius skaičius. Į neigiamuosius skaičius tenka žiūrėti, kaip į priešingus teigiamiems (nuostolis ir pelnas, judėjimas į vieną ar į kitą pusę, šaltis ir šiluma). Trupmeninius skaičius galime apibūdinti, kaip sveikųjų skaičių atitinkamą dalį.

Sveikųjų (teigiamų ir neigiamų), bei trupmeninių skaičių visuma vadinama racionaliųjų skaičių aibe. Racionalieji skaičiai pasižymi šiomis savybėmis:

a) bet kokiems racionaliesiems skaičiams a ir b gali būti apskaičiuota jų suma a + b. Sudėtis yra komutatyvi ir asociatyvi, t.y.

abba +=+ , (1) ( ) ( )cbacba ++=++ . (2)

Racionaliųjų skaičių aibėje yra ir skaičius 0, toks, kad

aa =+ 0 . Racionaliems skaičiams a ir b yra tik vienas skaičius, tenkinantis lygtį

axb =+ ,

ir šis skaičius vadinamas skaičių a ir b skirtumu. Šis skirtumas žymimas

bax −= , (3) kuris taip pat yra racionalusis skaičius.

b) racionaliųjų skaičių aibėje yra visi natūralieji skaičiai. Racionalieji skaičiai, gauti atimant du natūraliuosius skaičius, yra sveikieji skaičiai. Taigi, 0, ±1, ±2, ±3,... yra sveikieji skaičiai.

c) bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių sandauga yra racionalusis skaičius. Sandauga yra komutatyvi abba ⋅=⋅ , asociatyvi ( ) ( )cbacba ⋅=⋅ ir distributyvi sudėties atžvilgiu

acabcba +=+ )( . Bet kuriems racionaliesiems skaičiams a ir b, iš kurių 0≠b yra vienas, ir tik vienas, racionalusis

skaičius, tenkinantis lygtį abx = . Šis skaičius bax = yra dalmuo, o pati matematinė operacija

vadinama dalyba. d) bet kurį racionalųjį skaičių gausime, kai dalinsime du

sveikuosius skaičius a ir b, čia 0≠b . Šių keturių savybių pakanka, kad visiškai apibrėžtume

racionaliųjų skaičių aibę. Tačiau racionalieji skaičiai neužpildo visos tikrųjų skaičių aibės, nežiūrint to, kad tarp bet kurių dviejų racionaliųjų

skaičių a ir b būtinai yra ir trečiasis 2

bac += .

Tenka įsivesti naujus skaičius, kurie nėra racionalūs ir vadinami iracionaliais. Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės sudaro tikrųjų skaičių aibę. Iracionalieji skaičiai atsiranda, sprendžiant net tokius

2

1

1

64 pav.

Page 2: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 63

paprastą uždavinį, kaip ax =2 , ax =3 ir pan., čia a yra teigiamas racionalusis skaičius. Šiuos iracionaliuosius skaičius apibūdinant pakanka pasakyti, kad jų negalima gauti dviejų racionaliųjų skaičių santykiu. Pastebėkime tokią geometrinę iracionaliųjų skaičių būtinybę. Matuojant atkarpas, reikia iracionaliųjų skaičių (64 pav.).

Aptarėme tikrųjų skaičių aibę, tikriausiai turi būti ir netikrieji skaičiai. Kad juos aptiktume,

išspręskime lygtį.

.9

,9,09

2,1

2

2

−±=

−=

=+

x

xx

Matome, kad šios šaknų reikšmės nėra realios, nes nėra tokio tikrojo skaičiaus, kurio kvadratas

yra –9. Taigi, skaičių aibė dar turi būti praplečiama netikraisiais – menamaisiais skaičiais. Jie yra

22 i=− , čia 1−=i yra vadinamas menamuoju vienetu. Sujunkime sumos ženklu tikrąjį ir menamąjį skaičius ir gausime kompleksinį skaičių. Tokių

skaičių pavyzdžiais gali būti ii 23 ,74 +− . Šiuolaikinėje matematikoje kompleksiniai skaičiai užima vyraujančią vietą.

2. INTERVALAS Matematinės analizės kurse dažnai tenka susidurti su aibėmis, sudarytomis iš skaičių (skaičių

aibėmis), pvz.: sveikų skaičių aibę, racionaliųjų skaičių aibė, aibė visų konkrečios lygties sprendinių, tuščia aibė ir pan.

Kai norime pasakyti, kad x priklauso aibei M , rašome Mx∈ , tuo tarpu žymėjimas My∉

reiškia, kad y nepriklauso aibei M . Jei R – racionaliųjų skaičių aibė, tai R∈2 , R∈−27 , R∉2 ,

R∉π . Jeigu tikrųjų skaičių aibę geometriškai vaizduosime tiese, vadinama tikrųjų skaičių tiese, tai

konkretų šios tiesės tašką atitiks konkretus tikrasis skaičius. Jei norėsime pavaizduoti, kad koks dydis tolygiai kinta, užimdamas paeiliui visus skaičių tiesės taškus, tai šių taškų visuma sudarys šio dydžio kitimo aibę.

Pavyzdys: Aibė tikrųjų skaičių x , tenkinančių nelygybę bxa ≤≤ , čia ba ir – tikrieji skaičiai ir a<b, (65 pav.) yra vadinama skaičių atkarpa(uždaru intervalu) ir žymima [ ]ba, . Taškai, esantys tarp skaičių a ir b, vadinami vidiniais šios atkarpos taškais, o patys taškai a ir b – atkarpos galais.

Aibė tikrųjų skaičių, tenkinančių nelygybę bxa << , (čia a<b) taip pat gali būti pavaizduota

skaičių tiesėje (66 pav.): Ši aibė vadinama atviru intervalu ir žymima ( )ba, . Ženklu [ ), ba yra žymima aibė tikrųjų skaičių x ,

tenkinančių nelygybę bxa <≤ , o ]ba,( – skaičių aibė, tenkinančių nelygybę bxa ≤< .

Visa tikrųjų skaičių aibė žymima ( )∞∞− , ir reiškia, kad x tenkina nelygybę ∞<<∞− x .

O b a

65 pav.

x

O b a x

66 pav.

Page 3: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 64

Būtina nusakyti aibių sąjungos ir sankirtos sąvokas. Tegul M ir N dvi skaičių aibės. Šių aibių

sąjunga yra visuma taškų, priklausančių bent vienai iš aibių M ir N . Aibių M ir N sąjunga žymima simboliu U .

Pavyzdys: ( )4 ,2 U ( )5 ,3 = ( )5 ,2 . Aibių M ir N sankirta yra aibė taškų, kurie priklauso abiem aibėm M ir N . Sankirta žymima NM I . Pavyzdžiai: ( ) [ ) ( )( ) [ ) ( ).3 ,03 ,1 ,0

,3 ,15 ,13 ,1=−∞=−

I

I

3. SKAIČIAUS ABSOLIUTINIS DYDIS Apibrėžimas. Tikrojo skaičiaus a absoliutiniu dydžiu (moduliu) yra vadinamas skaičius, lygus

pačiam skaičiui a , kai a yra teigiamas skaičius arba 0, ir jis yra lygus a− , kai a yra neigiamas

skaičius, t.y.

>−≥

=.0 kai ,

,0 kai ,aa

aaa

Pavyzdžiai:

( ) .222

,77

=−−=−

=+

Absoliutinio dydžio savybės: 1. Nelygybė ax < yra ekvivalenti nelygybei axa <<− . 2. Keleto skaičių sumos absoliutinis dydis yra ne didesnis už šių skaičių absoliutinių dydžių

sumą mcbamcba ++++≤++++ KK . (1)

> Šią savybę įrodykime dviem tikriesiems skaičiams a ir b atvejais, kai 0≥+ ba ir 0<+ ba .

Pirmuoju atveju 0≥+ ba , todėl baba +=+ ,

Kaip žinome, aa ≤ , bb ≤ , todėl ir baba +≤+ . Antruoju atveju, kai 0≤+ ba , turime ( ) ( ) ( )bababa −+−=+−=+ , tačiau aa ≤− , bb ≤− ,

todėl ( ) ( ) bababa +≤−+−=+ ir baba +≤+ .< (2)

3. Dviejų skaičių skirtumo absoliutinis dydis yra ne mažesnis už šių skaičių absoliutinių dydžių

skirtumą. > ( ) babbaba −+≤−+= . Iš čia randame baba −≤− ir

baba −≥− .< (3) 4. Kelių skaičių sandaugos absoliutinis dydis yra lygus šių skaičių absoliutinių dydžių sandaugai

mcbamcba ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ KK . (4)

Page 4: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 65

5. Skaičių santykio absoliutinis dydis yra lygus šių skaičių absoliutinių dydžių santykiui:

ba

ba= , (5)

jei, žinoma, kad 0≠b .

4. FUNKCIJOS SĄVOKA IR JOS REIŠKIMO BŪDAI Dažnai tenka nagrinėti ne vieno kurio nors dydžio kitimą, o keleto, kurie tarpusavyje vienaip ar

kitaip surišti, o vieno kitimas verčia keistis ir kitus dydžius. Tada sakoma, kad tarp šių dydžių egzistuoja funkcinis ryšys. Šiame funkciniame ryšyje yra

surišami nepriklausomi kintamieji, kurie gali keistis laisvai ir priklausomi kintamieji, kurių kitimą sąlygoja nepriklausomų kintamųjų kitimas .

Ryšys, kuriuo nepriklausomi ir priklausomi kintamieji yra surišti, vadinamas funkcija. Tai viena iš svarbiausių matematinių sąvokų. Žodis „funkcija” dažnai vartojamas dar viena prasme: nepriklausomi kintamieji vadinami argumentu, tada priklausomas kintamasis yra šių argumentų funkcija.

Funkcinis ryšys žymimas 2xy = , ( )xfy = ir t.t. Šiuo atveju pavartota raidė f priklauso lotyniškam žodžiui „function” ir vartojama bendrojo funkcinio ryšio apibūdinimui arba kai jis yra sudėtingas (lengviau parašyti ( )xfy = ).

Konkrečios funkcijos reikšmės gaunamos, suteikiant argumentui konkrečias reikšmes

ay x ==2 , 36,06,0 =−=xy . Skirtingų funkcijų žymėjimui vartojami indeksai 1f , 2f arba skirtingos raidės ϕ ,Φ ,γ ,φ . Kartais tenka susidurti su sudėtine funkcija, kai

( )ufy = , o ( )xu ϕ= . (1) Keičiantis nepriklausomam kintamajam x , keičiasi tarpinis kintamasis u , o dėl jo kitimo ir

funkcija y . Sudėtingas reiškinys ( )( )xfy ϕ= dažnai yra perrašomas į pavidalą (1), vadinamą sudėtine funkcija, čia ( )xϕ yra tarpinis kintamasis – nepriklausomo kintamojo x funkcija.

Naudojami keli funkcijų vaizdavimo būdai. 1. Analitinis funkcijos vaizdavimo būdas (tam tikra formule).

Privalumai: a) aiškūs veiksmai, kuriuos reikia atlikti su kintamuoju x , kad apskaičiuotume y , b) kompaktiškas, c) galimi matematiniai pertvarkymai.

Trūkumas: neakivaizdus.

2. Lentelės pavidalo funkcinis ryšys.

Privalumai: a) informatyvus, nes jame sukaupta daug funkcijos reikšmių įvairioms argumento reikšmėms

Page 5: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 66

)( xfy =

O x

y

2x 1x

( )2xf

( )1xf

67 pav.

b) patogios, ypač kai argumento žingsnis nixxx iii ,1 ,1 =−= −∆ yra pastovus. Kai reikalingos funkcijos reikšmės argumentams, esantiems tarp nixx ii ,1 , ir 1 =− , naudojama interpoliacija. Ekstrapoliacija naudojama, kai reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmes tiems argumentams, kurie yra už lentelės ribų. Trūkumas – užima labai daug vietos.

3. Grafinis funkcijos pateikimo būdas yra labai akivaizdus, tačiau turi mažą tikslumą. 4. Pastaruoju metu išsivystė ketvirtas funkcinio ryšio pateikimo būdas – tai programa

kompiuteriui, kuri norimoms argumento reikšmėms apskaičiuoja funkcijos reikšmę, gali pateikti jos grafiką.

5. FUNKCIJOS KITIMO POBŪDIS Prieš pradedant nagrinėti funkcijos kitimo pobūdį, apibūdinkime funkcijos egzistavimo sritį. I apibrėžimas. Funkcijos egzistavimo sritimi vadinama nepriklausomojo kintamojo reikšmių

aibė, kuriai ši funkcija turi baigtinę reikšmę (yra apibrėžto didumo). Kartais egzistavimo sritis nusakoma fizikine arba geometrine prasme, pavyzdžiui, skritulio plotas

2RS π= , čia ∞<< R0 arba elektrinės grandinės varža I

UR = , čia ∞<< R0 (nors ne visada).

Dažniausiai egzistavimo sritį apibūdina pati funkcinio ryšio formulė. Jei apsiribosime realiųjų skaičių aibe, prasmingomis laikysime tik tas argumento reikšmes, kurioms funkcijos reikšmė yra baigtinio dydžio ir priklauso realiųjų skaičių aibei.

Pavyzdys: Rasti funkcijos 22 −= xy apibrėžimo sritį. > Funkcija egzistuoja, jei 22 ≥x , 2≥x , todėl ( )∞<≤−≤<−∞∈ xxx 2)2( U .< Pačios funkcijos reikšmių aibę vadinsime

funkcijos kitimo sritimi. Nagrinėdami funkcijas, turime taip pat lengvai

charakterizuoti jų kitimo pobūdį, kaip mes mokame nusakyti žmogaus kokybines ir kiekybines charakteristikas: doras, lieknas, aukštas ir t.t. (Taip kiekvienas sako apie save).

Apibūdinkime keletą sąvokų, nusakančių funkcijos

kitimą pobūdį: II apibrėžimas. Funkciją ( )xfy = vadinsime didėjančia intervale ( )ba, , jei bet kurioms

reikšmėms 1x ir 2x , paimtoms iš šio intervalo, didesnę argumento reikšmę atitinks didesnė funkcijos reikšmė, t.y. iš nelygybės 21 xx < seka ir nelygybė ( ) ( )21 xfxf < .

Pastebėkime, kad didėjančios f-jos grafikas yra kylanti kreivė (67 pav.). Pavyzdys: 2xy = , ( )∞<≤ x0 yra didėjanti funkcija.

Page 6: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 67

Iš tiesų, .4)2( ,1)1( 21 ==== == xx yyyy III apibrėžimas. Funkciją ( )xfy = vadinsime mažėjančia intervale ( )ba, , jei bet kurioms

reikšmėms 1x ir 2x , paimtoms iš šio intervalo, didesnę argumento reikšmę atitiks mažesnė funkcijos reikšmė, t.y. iš nelygybės 21 xx < seka ir nelygybė ( ) ( )21 xfxf > .

Mažėjančios funkcijos grafikas yra krintanti kreivė.

Pavyzdys: Funkcija x

y 1= intervale ( )∞,0 yra

mažėjanti, nes ,1)1( 1== =xyy .21)2( 2== =xyy

Jeigu funkcija kuriame nors intervale vien tik didėja, arba vien tik mažėja, tada sakome, kad šitame intervale ji kinta monotoniškai (monotoniškai didėja arba monotoniškai mažėja).

III apibrėžimas. Funkcija ( )xfy = intervale ( )ba, vadinama aprėžta iš viršaus, jeigu funkcijos reikšmės, įgyjamos šiame intervale, yra ne didesnės už kokį nors skaičių M , t.y. ( ) Mxf ≤ , kai

bxa << . Funkcija ( )xfy = intervale ( )ba, vadinama aprėžta iš apačios, jei funkcijos reikšmės, įgyjamos šiame intervale yra ne mažesnės už kokį nors skaičių m, t.y. ( ) mxf ≥ .

Pavyzdžiai: 1. Funkcija 22 xy −= (65 pav.) yra aprėžta iš

viršaus, nes 2≤y , kai ∞<<∞− x , o 2=y , kai 0=x . 2. Funkcija 21 xy += (66 pav.) intervale ∞<<∞− x yra

apibrėžta iš apačios, nes 1≥y , kai ( )∞∞−∈ ,x

IV apibrėžimas. Funkcija f(x)y = kuriame nors intervale bxa << yra vadinama aprėžta, jei ji

tame intervale yra aprėžta ir iš viršaus, ir iš apačios, t.y. tenkina sąlygą ( ) Mxfm ≤≤ .

64 pav.

y

x1x

2y

1y

2x O

)( xfy =

y

x

O

2

65 pav.

22 xy −=

21 xy += y

x O

1

66 pav.

Page 7: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 68

Pavyzdys:

Funkcija 211

xy

+= (67 pav.) intervale ( )∞∞− , yra

aprėžta, nes 11

10 2 ≤+

<x

.

V apibrėžimas. Funkcija f(x)y = , kuriai galioja lygybė ( ) ( )xfkaxf =+ visoms x reikšmėms ir bet kuriam sveikam skaičiui k, yra vadinama periodine ir jos periodas yra a.

Pavyzdys: Funkcijos xy sin= ir xy cos= yra π2 periodo, o tgxy = ir ctgxy = yra π periodo

periodinės funkcijos. VI apibrėžimas. Funkcija, kuri savo egzistavimo srityje tenkina sąlygą ( ) ( )xfxf −= , yra

vadinama lygine. Jei funkcija tenkina sąlygą ( ) ( )xfxf −−= , tai ji yra nelyginė. Pavyzdys: Funkcijos xy cos= ir 2xy = yra lyginės funkcijos (68 pav.), šių funkcijų grafikas

yra simetriškas y ašies atžvilgiu, tuo tarpu 3xy = ir xy sin= (69 pav.) yra nelyginės funkcijos. Nelyginių funkcijų grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

6. IŠREIKŠTINĖS IR NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS I apibrėžimas. Išreikštine vadiname tokią funkciją, kurios kintamasis y yra išspręstas

nepriklausomo kintamojo x atžvilgiu ir tuo parodyta, kokius veiksmus reikia atlikti su argumentu ir pastoviais dydžiais, kad apskaičiuotume funkcijos reikšmes.

21

1x

y+

= y

xO

1

67 pav.

2xy =

xy cos=

y

x

O

68 pav.

y

xO

3xy =

xy sin=

69 pav.

Page 8: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 69

Pavyzdys: 353 2 +−= xxy . II apibrėžimas. Neišreikšine funkcija vadiname tokią funkciją, kurioje kintamieji x ir y yra

surišti lygtimi, neišspręsta kintamojo y atžvilgiu. Pavyzdys: 012 22 =−− xyx Neišreikštinę funkciją bendruoju atveju žymėsime ( ) 0, =yxF . Kai kurias neišreikštines funkcijas galima perrašyti išreikštiniu pavidalu, tačiau dažnai šis

pavidalas yra gana sudėtingas. Dažniausiai neišreikštinio pavidalo funkcijų iš viso neįmanoma parašyti išreikštiniu pavidalu.

Pavyzdys: 05lg4sin 2 =−− yxyx . Tai ir nėra būtina, nes matematinės analizės metodai leidžia nagrinėti bet kokį išreikštinį ar

neišreikštinį funkcinio ryšio pavidalą.

7. ATVIRKŠTINĖS FUNKCIJOS Funkcinis ryšys tarp argumento x ir

jo funkcijos y bendruoju atveju yra nusakomas pavidalu ( )xfy = . Kartais pasitaiko, kad y tenka laikyti nepriklausomu kintamuoju, tuomet jo funkcija bus x . Kai norime šią funkciją rasti, turime x atžvilgiu išspręsti lygtį

( )xfy = , t.y. apskaičiuoti ( )yx ϕ= . Tarkime, kad ( )xfy = apibrėžta

intervale ( )ba, , tada funkcijos y kitimo intervalas (70 pav.) bus nuo c iki d. Bet kurią kintamojo y reikšmę 0y , paimtą iš

kitimo intervalo ( )dc, , atitinka bent viena 0x reikšmė, paimta iš intervalo ( )ba, ir tenkinanti funkcinį ryšį ( )xfy = . Tokių reikšmių gali būti ir keletas (70pav. 030201 , , xxx ).

Nagrinėkime monotoniškai kintančią intervale

( )ba, funkciją ( )xfy = . Šiuo atveju, kiekvieną 1x reikšmę atitiks viena 1y reikšmė, ir atvirkščiai, o kiekvieną 2y reikšmę atitiks 2x reikšmė. Egzistuoja abipusė vienareikšmė priklausomybė. Galime tvirtinti, kad kiekvieną y reikšmę, paimtą iš intervalo ( )dc, atitinka tik viena intervalo ( )ba, kintamojo x reikšmė, todėl galime sakyti, kad

x

y

d

c

a b

0y

01x 02x 03x

70 pav. y

x

1x

2y

1y

2x

d

c

ba

71 pav.

( ) ( ) ir yxxfy ϕ==

Page 9: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 70

kintamasis x yra nepriklausomojo kintamojo y funkcija. Šį funkcinį ryšį žymėsime ( )yx ϕ= . Esame įpratę nepriklausomą kintamąjį vadinti x , o jo

funkciją y , tada naujoji funkcija ( )xy ϕ= reikš funkciją , atvirkštinę duotajai ( )xfy = .

Pavyzdys: Nagrinėkime funkciją 2xy = intervale )[ +∞∈ ,0x , kuriai )[ +∞∈ ,0y . Galime išspręsti yx = ,

po to sukeisti kintamuosiuos y x ir vietomis ir gauti xy = . Ši funkcija yra atvirkštinė duotajai. Nubrėžkime šių funkcijų grafikus. Matome, kad 2xy = ir yx = grafikai sutampa, tačiau, jei sukeisime

vietomis kintamuosius y x ir , gausime funkciją xy = (72 pav.) , kurios grafikas yra simetriškas funkcijos

2xy = grafikui tiesės xy = atžvilgiu. Bendruoju atveju, dviejų tarpusavyje atvirkštinių

funkcijų ( )xfy = ir ( )xy ϕ= grafikai yra simetriški tiesės xy = atžvilgiu.

8. SUDĖTINĖS FUNKCIJOS Apibrėžimas. Sudėtine funkcija vadinsime tokią funkciją ( )ufy = , kurioje kintamasis u yra kito

nepriklausomo kintamojo x funkcija ( )xu ϕ= . Sudėtinę funkciją žymėsime ( )( )xfy ϕ= , čia suprantame, kad ( )ufy = , o ( )xu ϕ= . Kintamąjį ( )xu ϕ= vadinsime tarpiniu kintamuoju. Pavyzdžiai:

1) 2

tg xey = , čia uy tg= , o 2xeu = .

2) xy lnsin= , čia uy sin= , o xu ln= . Gali atsitikti, kad kintamųjų y x ir funkcinį ryšį tenka nustatyti su didesniu tarpinių kintamųjų

skaičiumi:

( )ufy = , čia ( )vu ϕ= ir ( )xv ψ= , tada ( )( )( )xfy ψϕ= . Pavyzdys:

( )32sin1lg xy += . Pažymime uy lg= , čia vu 2sin1 += ir 3 xv = .

9. PAGRINDINĖS ELEMENTARIOSIOS FUNKCIJOS IR JŲ GRAFIKAI 1) Rodikline funkcija vadinama funkcija xay = , čia 0>a , 1≠a (reikalavimas 0>a yra

būtinas , nes tik tada y yra apibrėžtas visoms tikrųjų skaičių aibės x reikšmėmis; be to, 1≠a , nes tada consty == 1 ).

yx −= yx =

y

x

O

2xy =

xy =

xy =

72 pav.

Page 10: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 71

Taigi, xay = yra apibrėžta, kai ( )∞∞−∈ ,x . Funkcijos kitimo sritis yra ( )∞∈ ,0y , t.y. funkcija y yra visada tik teigiama.

Iš 73 pav.

matome, kai 1>a , funkcija xay = yra monotoniškai didėjanti, nepriklausomai nuo pagrindo a reikšmės. Pastebėkime, kai 0>x , didesnio pagrindo skaičiaus funkcijos reikšmė yra didesnė. Tuo tarpu, kai 0<x , didesnio pagrindo skaičius funkcijos reikšmė yra mažesnė. Tik taške 0=x funkcijos xay = reikšmė visada yra ta pati 10

0 === ay x .

Iš 74 pav. matome, kai 10 << a , funkcija xay = yra monotoniškai mažėjanti, nepriklausomai nuo pagrindo a reikšmės. Ir dabar, kai 0>x , didesnio pagrindo skaičiaus funkcijos reikšmė yra didesnė, o kai 0<x , didesnio pagrindo skaičius funkcijos reikšmė yra mažesnė.

2) Logaritmine funkcija vadinama funkcija xy alog= , čia 1 ,0 ≠> aa , a – logaritmo

pagrindas, x – skaičius, y – jo logaritmas. Kintamųjų y x ir funkcinį ryšį galime užrašyti rodikliniu pavidalu, t.y. yax = . Iš čia matome,

kad logaritminė ir rodiklinė funkcijos yra viena kitai atvirkštinės, todėl skaičiui a yra keliami tie patys reikalavimai ( )1 ,0 ≠> aa . Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis yra ( )∞∈ ,0x , tada funkcijos kitimo sritis – ( )∞∞−∈ ,y .

y

23

=a

1,log

>=

axy a

3=a

O x

1

75 pav.

y

23

=a

1,

>=

aay x

3=a

O x

1

73 pav.

74 pav.

y

32

=a

10,<<

=aay x

31

=a

O x

1

y

31

=a

10,log

<<=

axy a

32

=a

Ox1

76 pav.

Page 11: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 72

Matome (75 pav.), kai 1>a , tai funkcija xy alog= monotoniškai didėja funkcija ir xx 3

23 loglog > , kai 1>x , o xx 3

23 loglog < . kai 10 << x . Tuo tarpu, kai 10 << a (76 pav.), funkcija

xy alog= monotoniškai mažėja ir xx32

31 loglog > , kai 1>x , o xx

32

31 loglog > , kai 10 << x .

Verta prisiminti keletą logaritmo savybių: 1. ba ba =log , 1 ,0 ≠> aa . 2. cbbc aaa logloglog += , čia 0>b , 0>c .

3. cbcb

aaa logloglog −= , čia 0>b , 0>c .

4. bb aa loglog ββ = , čia 0>b , β – bet koks skaičius.

5. bb aa loglogαββ

α = , čia 0>a , 1≠α , 0>b , 0>α , β – bet koks skaičius.

Galime įrodyti šią savybę bb aa loglogαββ

α = .

( ) ( ) <> .logloglog βββαβ

α baaa bbbaaa ===

6. bNN

a

ab log

loglog = , kai 0>a , 1≠α , 0>b , 1≠b , N – bet koks skaičius.

7. a

bb

a log1log = , kai 0>a , 1≠α , 0>b , 1≠b .

3) Tiesioginės trigonometrinės funkcijos yra xxxx ctg ir tg ,cos ,sin . Prisiminkime jas.

Paimkime apskritimą, kurio spindulys

yra lygus vienetui, o centras sutampa su koordinačių sistemos uOv pradžia (77 pav.).

Tegul M yra kintantis vienetinio apskritimo taškas. Išėjęs iš taško A, taškas M brėžia kintantį lanką AM, kurio radianų skaičių žymėsime x. Jei taško M judėjimo kryptis yra priešinga laikrodžio rodyklės judėjimo krypčiai, tai lanką AM vadinsime teigiamu. Priešingu atveju, kai M judėjimo kryptis pagal laikrodžio rodyklę, x – neigiamas. Taigi, kiekviena x reikšmė nustato taško M padėtį vienetiniame apskritime. Taško M ordinatę vadinsime kintamojo x sinusu ir žymėsime xy sin= .

Ši funkcija xy sin= yra apibrėžta, kai ( )∞∞−∈ ,x , be to 1sin1 ≤≤− x arba 1sin ≤x .

1

77 pav.

ctg x

v

M

D

B

O u

v'

u' ( )1,0C

xsin

xcostg x

( )0,1A <x

∪x

Page 12: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 73

Jei imsime du lankus AM, turinčius x ir Zkkx ∈+ ,2π radianų, tai taško M padėtis bus ta pati, todėl

( )kxx π2sinsin += . Tai įrodo, kad funkcija xy sin= yra periodinė su periodu π2 , jos grafikas vadinamas sinusoide (78 pav.). Pastebėkime, kad

intervale 22ππ

≤≤− x funkcija

xy sin= didėja, ir įgyja visas reikšmes nuo –1 iki 1. Šį intervalą vadinsime

funkcijos xy sin= pagrindiniu intervalu. Kintančio taško M abscisę (77 pav.) vadiname kintamojo x kosinusu ir žymime xcos .

Kiekvieną x reikšmę atitinka viena kosinuso reikšmė, todėl turime funkciją:

xy cos= , apibrėžtą kai ( )∞∞−∈ ,x .

Funkcija xy cos= yra apibrėžta visiems x intervale ir kinta

1cos1 ≤≤− x , t.y. 1cos ≤x . Funkcija xy cos= taip pat yra

periodinė, nes

( )kxx π2coscos += Intervale [ ]π;0∈x funkcija

monotoniškai mažėja ir įgyja visas galimas reikšmes iš ykitimo intervalo [ ]1;1 −∈y , todėl intervalas [ ]π;0∈x funkcijai xy cos= yra pagrindinis.

Taško B ordinatę (77 pav.) vadiname kintamojo x tangentu ir žymime x tg . Kiekvieną lanko x reikšmę atitinka tam tikra x tg reikšmė. Visiems x ši reikšmė yra aprėžto didumo, išskyrus

taškus ,2

kx ππ+= .Zk ∈ Ši

funkcija yra taip pat periodinė (80 pav.) su periodu π , nes

( )πkxx += tg tg .

Intervalas

−∈

2,

2ππx

yra vadinamas funkcijos tgxy = pagrindiniu intervalu.

xO

y 1

xy sin=

π− π

1−

78 pav.

23π

y

xO

1

23π

xy cos=

π− π

1−

79 pav.

π

y

x

O

xy tg=

23π

80 pav.

Page 13: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 74

Taško D abscisę (77 pav.) vadiname kintamojo x kotangentu ir žymime x ctg . Kiekvieną x reikšmę, išskyrus Zkk ∈ ,π atitinka konkreti xctg reikšmė, taigi turime funkciją xy ctg= , apibrėžtą kiekviename taške x , išskyrus Zkkx ∈= ,π .

Ši funkcija taip pat yra periodinė su periodu π (81 pav.), nes

( ) xkx ctg2 ctg =+ π . Jos pagrindinis intervalas yra

( )π,0∈x . Ryšį tarp trigonometrinių

funkcijų nusakome iš stačiojo trikampio (82 pav.).

,sin ax = bx =cos . Iš Pitagoro teoremos 1cossin 22 =+ xx Galime apskaičiuoti

bax = tg ,

abx = ctg ,

todėl xx

xx ctg

1cossin tg == ,

xxxx

tg1

sincos ctg == .

4) Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra xy sinArc= , xy cosArc= , xy Arctg= ir

xy Arcctg= . Jos atitinka keturias tiesiogines trigonometrines funkcijas. Išnagrinėkime funkciją xy sinArc= . Jos grafiką nubrėšime pasinaudodami atvirkštinių funkcijų

savybe. Iš 83 pav. matome, kad xy sinArc= yra funkcija, apibrėžta, kai ( )1 ,1−∈x . Be to ji yra

daugiareikšmė funkcija, kiekvieną x , paimtą iš minėto intervalo, atitinka be galo daug y reikšmių. Paprastai nagrinėjama šios daugiareikšmės funkcijos pagrindinė (vienareikšmė) dalis, kuri žymima

xy arcsin= . Ši funkcija monotoniškai didėja, kai ( )1 ,1−∈x nuo minimalios reikšmės

( )2

1arcsin π−=−=y iki maksimalios reikšmės

21arcsin π==y ;

Funkcijos xy cosArc= (84 pav.), xy Arctg= (85 pav.) ir xy Arcctg= (86 pav.) taip pat yra daugiareikšmės. Paprastai jose yra išskiriama dalis, kurioje nagrinėjama funkcija yra vienareikšmė. Taip randame vienareikšmes funkcijas xy arccos= , xy arctg= , xy arcctg= .

π

y

x

O

xy ctg=

81 pav.

π−

o90

a 1

x

b 82 pav.

Page 14: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 75

Kai ( )1 ,1−∈x , ( )π ,0arccos ∈= xy , t.y. funkcija xy arccos= yra teigiama, ir, kaip matome iš

84 pav., monotoniškai mažėja.

Funkcija xy arctg= kinta nuo 2π

− iki 2π , kai ( )∞∞−∈ ,x ir šiame intervale monotoniškai

didėja (85 pav.). Funkcija xy arcctg= (86 pav.) monotoniškai mažėja, kai ( )∞∞−∈ ,x ir yra teigiama ( )π ,0∈y .

π2

π

1 1− 1−

xO

y

1 2π

xy sin=

π− π

83 pav.

xy arcsin=

xy sinArc=

π2

π

11− x

O

y

π− 84 pav.

xy arccos = xy Arccos =

x

O

π

y

xy arctg=

π−85 pav.

xy Arctg=

π− 86 pav.

π

y

x O

xy arcctg=

xy Arcctg=

Page 15: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 76

5) Hiperbolinės funkcijos yra:

2 sh

xx eex−−

= – hiperbolinis sinusas (87 pav.),

2 ch

xx eex−+

= – hiperbolinis kosinusas (88 pav.),

xx

xx

eeeex −

+−

= th – hiperbolinis tangentas (89 pav.),

xx

xx

eeeex −

−+

= cth – hiperbolinis kotangentas (90 pav.).

Šios funkcijos, kaip rodiklinė, logaritminė ir trigonometrinės funkcijos taip pat yra

transcendentinės. Dar žinome algebrines funkcijas – kitokių nėra. Funkcijos turi panašius į trigonometrinių funkcijų pavadinimus dėl joms būdingų savybių,

panašių į pastarųjų savybes: 1. 1shch 22 =− xx , savybė panaši į 1cossin 22 =+ xx ,

2. xxx

ch sh th = ,

3. xxx

sh ch cth = ,

4. 00 sh = , 10 ch = , 5. ( ) ( )xx shsh −=− , ( ) xx chch =− . Šių hiperbolinių funkcijų grafikai yra tokie:

y

xO

xy sh=

87 pav.

y

xO

xy ch=

1 88 pav.

Page 16: Matematines_analizes_pagrindai

© A. Laurutis, D. Šiaučiūnas Matematinės analizės pagrindai 77

1−

y

x

O

xy th=1

89 pav.

1−

y

xO

xy cth= 1

90 pav.