matematiranje sa sadrzajem

Table of ContentsO SKUPOVIMA..................................................................................................................... 1

OPERACIJE SA SKUPOVIMA............................................................................................. 2

UNIJA.................................................................................................................................... 3

PRESEK............................................................................................................................... 4

RAZLIKA............................................................................................................................... 4

SIMETRICNA RAZLIKA........................................................................................................ 5

PARTITIVNI SKUP............................................................................................................... 6

KOMPLEMENT SKUPA........................................................................................................ 6

DEKARTOV PROIZVOD...................................................................................................... 7

ALGEBARSKE STRUKTURE............................................................................................... 12

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima.................................................................... 14NZD....................................................................................................................................... 14

NZS....................................................................................................................................... 14

Transformacije algebarskih izraza........................................................................................ 25BINOMNA FORMULA........................................................................................................... 33

ISKAZI................................................................................................................................... 42

LOGICKE OPERACIJE......................................................................................................... 43

NEKA PRAVILA LOGICKOG ZAKLJUCIVANJA.................................................................. 46

KVANTORI............................................................................................................................ 49

NEKE VANE NEJEDNAKOSTI............................................................................................ 53

MATEMATICKA INDUKCIJA................................................................................................ 56

STEPENOVANJE................................................................................................................. 65

KORENOVANJE................................................................................................................... 72

ELEMENTARNE FUNKCIJE GRAFICI............................................................................... 83

INVERZNA FUNKCIJA......................................................................................................... 91

FUNKCIONALNE JEDNACINE............................................................................................ 97

FUNKCIONALNE JEDNACINE, INVERZNA FUNKCIJA I KOMPOZICIJA FUNKCIJA........ 103

LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK............................................................................... 117

KVADRATNA FUNKCIJA..................................................................................................... 126

EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNACINE INEJEDNACINE....................................... 145

Eksponencijalne jednacine................................................................................................... 147

Mapsoft TOCBuilder Tryout

Eksponencijalne nejednacine............................................................................................... 160LOGARITMI.......................................................................................................................... 164

LOGARITAMSKA FUNKCIJA............................................................................................... 171

LOGARITAMSKE JEDNACINE I NEJEDNACINE................................................................ 175

Aritmeticki niz:....................................................................................................................... 188

Geometrijski niz.................................................................................................................... 199Beskonacni red..................................................................................................................... 207

EKONOMSKE FUNKCIJE.................................................................................................... 212

Procentni racun..................................................................................................................... 216

........ . ....... ........................................................................................................................... 221

PROST KAMATNI RACUN................................................................................................... 228

Racun Meanja...................................................................................................................... 231Racun podele........................................................................................................................ 235

ZAJMOVI.............................................................................................................................. 238

Kompleksni brojevi................................................................................................................ 242Deljenje kompleksnih brojeva............................................................................................... 245Trigonometrijski oblik kompleksnog broja............................................................................. 252Mnoenje I deljenje kompleksnih brojeva utrigonometrijskom obliku.................................... 257Stepenovanje kompleksnog broja......................................................................................... 258Korenovanje kompleksnih brojeva........................................................................................ 260LINEARNE JEDNACINE....................................................................................................... 264

SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA...................................................................................... 273

SISTEM TRI JEDNACINE SA TRI NEPOZNATE................................................................. 278

GRAFICKO REAVANJE SISTEMA..................................................................................... 284

LINEARNE NEJEDNACINE.................................................................................................. 292

KVADRATNA JEDNACINA................................................................................................... 298

VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOGTRINOMA NA LINEARNE CINIOCE. 307

NEKE JEDNACINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE.................................................... 314

Binomne jednacine............................................................................................................... 318Trinomne jednacine.............................................................................................................. 322Simetricne (reciprocne) jednacine........................................................................................ 324


SISTEMI KVADRATNIH JEDNACINA SA DVENEPOZNATE.............................................. 329

KVADRATNA NEJEDNACINAZNAK KVADRATNOG TRINOMA........................................ 339

IRACIONALNE JEDNACINE................................................................................................ 349

IRACIONALNE NEJEDNACINE........................................................................................... 356

trig......................................................................................................................................... 358

trigonometrijske_funkcije_ostrog_ugla.................................................................................. 358trigonometrijski_krug............................................................................................................. 370svodjenje_na_i_kvadrant...................................................................................................... 384grafici_trigonometrijskih_funkcija_I_deo............................................................................... 390grafici_trigonometrijskih_funkcija_II_deo.............................................................................. 398adicione_formule................................................................................................................... 408

transformacije_zbira_i_razlike.............................................................................................. 415trigonometrijske_funkcije_dvostrukog_ugla.......................................................................... 424trionometrijske_funkcije_poluugla......................................................................................... 430osnovne_trigonometrijske_jednacine.................................................................................... 437trigonometrijske_jednacine................................................................................................... 453Trigonometrijske_nejednacine.............................................................................................. 465sinusna_i_kosinusna_teorema............................................................................................. 478

analiticka............................................................................................................................... 491

planimetrija............................................................................................................................ 491ravan..................................................................................................................................... 498

prava..................................................................................................................................... 507

tacka_i_prava........................................................................................................................ 514

prava_ravan.......................................................................................................................... 525

talesova_teorema................................................................................................................. 531

trougao.................................................................................................................................. 538

slicnost_trouglova................................................................................................................. 552

primene_slicnosti_na_pravougli_trougao............................................................................. 561

konstruktovni_zadaci(trougao).............................................................................................. 572cetvorouglovi......................................................................................................................... 582

konstrukcije_cetvorouglova................................................................................................... 596


translacija.............................................................................................................................. 603rotacija.................................................................................................................................. 610osna_simetrija....................................................................................................................... 616centralna_simetrija................................................................................................................ 622kruznica................................................................................................................................. 627

primena_slicnosti_na_krug_zlatni_presek............................................................................ 635

elipsa..................................................................................................................................... 646

parabola................................................................................................................................ 652

hiperbola............................................................................................................................... 658

neke_povrsi_u_r3................................................................................................................. 664

svodjenje_na_kanonicki_oblik_teorija................................................................................... 672svodjenje_na_kanonicki_oblik_zadaci.................................................................................. 676poliederi................................................................................................................................ 687

piramida_i_zarubljena_piramida........................................................................................... 705kupa_i_zarubljena_kupa....................................................................................................... 724lopta...................................................................................................................................... 732

obrtna_tela............................................................................................................................ 739

polinomi................................................................................................................................. 748

polinom_sa_jednom_promenljivom...................................................................................... 748hornerova_sema................................................................................................................... 757

polinomi_nad_brojem_kompleksnog_broja.......................................................................... 761vektori................................................................................................................................... 767

vektori_u_ravni...................................................................................................................... 767

vektori_u_ravni_i_deo........................................................................................................... 777

vektori_u_ravni_ii_deo.......................................................................................................... 784

vektori_u_prostoru................................................................................................................ 791

vektori_u_prostoru_ii_deo..................................................................................................... 799

matrce................................................................................................................................... 805

matrice.................................................................................................................................. 805

matrice_zadaci_I_deo........................................................................................................... 825

matrice_zadaci_II_deo.......................................................................................................... 841


matrice_zadaci_III_deo......................................................................................................... 856

determinante......................................................................................................................... 870

resavanje_sistema_jednacina _metoda_det......................................................................... 879izvodi..................................................................................................................................... 890

granicne_vrednosti_funkcija_teorija...................................................................................... 890granicne_vrednosti_funkcija_I_deo...................................................................................... 893granicne_vrednosti_funkcija_II_deo..................................................................................... 901izvod_funkcije....................................................................................................................... 910izvodi_zadaci _I deo............................................................................................................. 916

izvodi _zadaci_II deo............................................................................................................ 926

izvodi_zadaci _III deo........................................................................................................... 938

izvodi _zadaci_IV deo........................................................................................................... 947

Izvodi_zadaci_I_................................................................................................................... 956

Izvodi_zadaci_II_deo............................................................................................................ 966

grafici_funkcija_zadaci_I_deo............................................................................................... 978ispitivanje_toka_i_grafik_funkcije.......................................................................................... 991asimptote_funkcija................................................................................................................ 994grafici_funkcija_zadaci_II_deo.............................................................................................. 1005grafici_funkcija_zadaci_III_deo............................................................................................. 1015grafici_funkcija_zadaci_IV_deo............................................................................................ 1029parcijalni_izvodi_i_diferencijali.............................................................................................. 1039ekstremumi_funkcija_vise_promenljivih_ideo....................................................................... 1050ekstremumi_funkcija_vise_promenljivih_iideo...................................................................... 1057integrali................................................................................................................................. 1066

tablica_integrala.................................................................................................................... 1066

integrali_tipa.......................................................................................................................... 1067

integracija_trigonometrijskih_funkcija................................................................................... 1069ojlerove_smene..................................................................................................................... 1071parcijalna_integracija............................................................................................................ 1073integrali_I_deo_zadaci.......................................................................................................... 1074

integrali_II_deo_zadaci......................................................................................................... 1082


integrali_III_deo_zadaci........................................................................................................ 1089

integrali_ IV_deo_zadaci....................................................................................................... 1099

integrali_V_deo_zadaci......................................................................................................... 1109

integrali_VI_deo_zadaci........................................................................................................ 1122

Integrali_VII_deo_zadaci...................................................................................................... 1132

integrali_VIII_deo_zadaci...................................................................................................... 1140

odredjeni_integral................................................................................................................. 1146odredjeni_integrali_teorija..................................................................................................... 1150nesvojstveni_integrali............................................................................................................ 1154pocetni_integral..................................................................................................................... 1157

primena_integrala................................................................................................................. 1158

primena_integrala_zadaci..................................................................................................... 1172

primena_odredjenog_integrala_u_geometriji........................................................................ 1187krivolinijski_integrali.............................................................................................................. 1189povrsinski_integral................................................................................................................ 1193

dvostruki_integral.................................................................................................................. 1197

trostruki_integral................................................................................................................... 1200

visestruki_integral_zadaci_I_deo.......................................................................................... 1203

visestruki_integral_zadaci_II_deo......................................................................................... 1217

visestruki_integral_zadaci_III_deo........................................................................................ 1232

visestruki_integral_zadaci_IV_deo....................................................................................... 1243

visestruki_integral_zadaci_V_deo........................................................................................ 1255

visestruki_integral_zadaci_VI_deo....................................................................................... 1265

difer....................................................................................................................................... 1277

diferencijalne_jednacine_prvog_reda_teorija....................................................................... 1277diferencijalne_jednacine_prvog_reda_zadaci....................................................................... 1281diferencijalne_jednacine_drugog_reda_teorija..................................................................... 1298diferencijalne_jednacine_drugog_reda_zadaci..................................................................... 1301parcijalne_difrencijalne_jednacine........................................................................................ 1314parcijalne_diferencijalne_jednacine_zadaci.......................................................................... 1316sistemi_difrencijalnih_jednacina........................................................................................... 1325


sistemi_diferencijalnih_jednacina_zadaci............................................................................. 1326redovi.................................................................................................................................... 1338

brojni_redovi_zadaci_I_deo_................................................................................................ 1338brojni_redovi_zadaci_II_deo_............................................................................................... 1348brojni_redovi_zadaci_III_deo_.............................................................................................. 1358redovi_sa_pozitivnim_clanovima.......................................................................................... 1365

stepeni_redovi_zadaci_I_deo............................................................................................... 1367

stepeni_redovi_zadaci_II_deo.............................................................................................. 1373

furije...................................................................................................................................... 1381furijeovi_redovi_teorija.......................................................................................................... 1381furijeovi_redovi_zadaci_I_deo_............................................................................................ 1384furijeovi_redovi_zadaci_II_deo_........................................................................................... 1390verov..................................................................................................................................... 1399

kombinatorika........................................................................................................................ 1399

slucajna_promenljiva_i_njena_raspodela............................................................................. 1404verovatnoca.......................................................................................................................... 1408

verovatnoca_zadaci_I_deo................................................................................................... 1410

verovatnoca_zadaci_II_deo.................................................................................................. 1418

verovatnoca_zadaci_III_deo................................................................................................. 1427

verovatnoca_zadaci_IV_deo................................................................................................. 1436

verovatnoca_zadaci_V_deo.................................................................................................. 1445


www.matematiranje.com

1

O SKUPOVIMA Do pojma skupa moe se vrlo lako doi empirijskim putem , posmatrajui razne grupe, skupine, mnotva neke vrste objekata , stvari, ivih bia i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup knjiga u biblioteci, skup klupa u uionici itd. Tvorac teorije skupova je Georg Kantor , nemaki matematiar, koji je prvi dao opisnu definiciju skupa. Mnogi drugi matematiari su takoe pokuavali da definiu skup. Danas, po savremenom shvatanju, pojam skupa se ne definie, ve se usvaja intuitivno kao celina nekih raziitih objekata. Predmeti iz kojih je skup sastavljen zovu se elementi skupa. Postoje skupovi sa konano mnogo elemenata, koje nazivamo konanim skupovima, i skupovi sa beskonano mnogo elemenata, odnosno beskonani skupovi. Tako, na primer , skup stanovnika na zemlji predstavlja jedan konaan skup, dok skup svih celih brojeva sadri beskonano mnogo elemenata. Skupove najee obeleavamo velikim slovima A,B ,.....X, Y,... , a elemente skupa malim slovima a,b,...,x,y,... Ako je x element skupa X , tu injenicu emo oznaavati sa xX, a ako ne pripada skupu X, oznaiemo sa xX. Oznake emo itati: x pripada skupu X ili x je element skupa X. Oznaku xX emo itati x ne pripada skupu X ili x nije element skupa X Postavimo sada pitanje: Koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva veih od jedan a manjih od dva ? Jasno je da takav skup nema ni jednog elementa. Za takav skup kaemo da je prazan i obeleava se sa .

1


2

Meutim, desie nam se nekad da nije zgodno, a ni mogue, da neposredno navedemo sve elemente nekog skupa. Stoga se koristi i ovakvo zapisivanje skupova: {x S(x)} ili, isto{x x ima svojstvo S}, to bi znailoskup svih x koji imaju svojstvo S. Na primer skup X={7,8,9,10,11,12} moemo zapisati i na sledei nain: X={x x N 6< x


3

- UNIJA - PRESEK - RAZLIKA - SIMETRICNA RAZLIKA - PARTITIVNI SKUP - DEKARTOV PROIZVOD

- KOMPLEMENT SKUPA UNIJA Skup svih elemenata koji su elementi bar jednog od skupova A ili B , zove se unija skupova A i B i oznaava se sa A B.

}{ BxAxxBA = Na dijagramu bi to izgledalo ovako:

A B

Primer: Ako je A={1,2,3} i B={2,3,4} A B={1,2,3,4}

3


4

PRESEK Skup svih elemenata koji su elementi skupa A i skupa B zove se presek skupova A i B i obeleava se sa A B.

}{ BxAxxBA = Graficki prikaz bi bio:

A B

Primer: Ako je A={1,2,3} i B={2,3,4} AB={2,3} RAZLIKA Skup svih elemenata koji su elementi skupa A ali nisu elementi skupa B zove se razlika redom skupova A i B u oznaci A\B. A\B={ x xA xB } Naravno mozemo posmatrati i skup B\A, to bi bili svi elementi skupa B koji nisu u A. Na dijagramima to bi izgledalo ovako:

4


5

A B

Za nas primer je A\B={1} A\B

A B

Za nas primer je B\A={4} B\A SIMETRINA RAZLIKA Skup (A\B) (B\A) naziva se simetrina razlika i najee se obeleava sa . A B= (A\B) (B\A). Na dijagramu je:

A B

Za na primer je A B={1,4}

5


6

PARTITIVNI SKUP Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup skupa A i obeleava se sa P(A). Primer: Ako je A={1,2,3) , onda je P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}} KOMPLEMENT SKUPA Unija , presek i razlika su binarne skupovne operacije, dok je komplement skupa unarna operacija. To je skup svih elemenata koji nisu sadrani u posmatranom skupu. Komplement najee obeleavamo sa A Na slici bi bilo:

B

A

A={x x A} Primer: Ako je A={1,3,7} i B={1,2,3,4,5,6,7} onda je :

}6,5,4,2{=A DEKARTOV PROIZVOD

6


7

uveni francuski filozof i matematiar Dekart je u matematiku uveo pojam pravouglog koordinatnog sistema, koji se i danas, u njegovu ast, naziva Dekartovim koordinatnim sistemom. U tom sistemu svakoj taki ravni odgovara jedan ureeni par realnih brojeva (x,y) i, obrnuto, svakom paru brojeva (x,y) odgovara tano jedna taka u koordinatnoj ravni. Prvi broj x u tom paru nazivamo prvom koordinatom (apscisom) , a drugi y , drugom koordinatom (ordinatom). Za ureene parove je karakteristina osobina: (x,y)=(a,b) ako i samo ako x=a y=b Dekartov proizvod skupova je skup:

Treba voditi rauna da A BB A Primer: Ako je M={1,2,3} i N={A,B} onda je: MN={(1,A),(1,B),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B)}. Na slici:

1 2 3

B

A

7


8

ZADACI

1. Dokazati da je prazan skup podskup svakog skupa. Dokaz:

Mi ustvari trebamo dokazati da vazi: ))(( AxxxA Kako prazan skup nema elemenata, to je istinitosna vrednost x sigurno netacna. Dakle , podsetimo se tablice za implikaciju: Ax

p q pq Implikacija je netana jedino u sluaju kada je iskaz p taan i iskaz q netaan. T T T T T T Iz lai sledi sve, odnosno iz netanog sledi sve(uvek tano) T Dakle, prazan skup je podskup svakog skupa. 2. Dati su skupovi: A={x x se sadrzi u 12, x pripada N}, B={x x se sadrzi u 20, x pripada N} i skup C={x x se sadrzi u 32, x pripada N}. Odrediti : A\(BC), A (B ), i A\(B\C) C Resenje: Najpre moramo odrediti skupove A,B, i C. Kada se x sadrzi u nekom broju to drugim recima znaci da se taj broj moze podeliti sa x. Kako se broj 12 moze podeliti sa 1,2,3,4,6,12 to je : A={1,2,3,4,6,12}, slicno je B={1,2,4,5,10,20} i C={1,2,4,8,16,32} Odredimo A\(BC). Najpre je B C={1,2,4,5,8,10,16,20,32}. Sada trazimo one koji su elementi skupa A a ne pripadaju BC. To su 3,6,12, pa je A\(B C)={3,6,12}

Odredimo A (B ). Najpre naravno BC C , to su elementi koji su zajednicki za ova dva skupa, dakle: B ={1,2,4}. Dalje trazimo uniju skupa A i ovog skupa, to jest sve elemente iz oba skupa: A (B )={1,2,3,4,6,12}.

CC

A\(B\C)= {1,2,3,4,6,12}\({1,2,4,5,10,20}\{1,2,4,8,16,32}) = {1,2,3,4,6,12}\{{5,10,20} = {1,2,3,4,6,12}=A

8


9

3. Dati su skupovi A={1,2,3,4,5} i B={4,5,6,7}. Odrediti skup X tako da bude: X\B= i A\X ={1,2,3} Resenje: Izgleda da cemo ovde imati vise mogucnosti za trazeni skup X. Kako je X\B= , to nam govori da su svi elementi skupa B potencijalni elementi skupa X jer nema takvih elemenata da su u X a nisu u skupu B. A\X ={1,2,3} nam govori da u skupu X sigurno nisu elementi {1,2,3}.Dakle: X={4,5} ili X={4,5,6}ili X={4,5,7}ili X={4,5,6,7} 4. Na jednom kursu stranih jezika svaki slualac ui bar jedan od tri strana jezika(engleski, francuski i nemaki) i to : 18 slualaca ui francuski, 22 ui engleski, 15 slualaca ui nemaki, 6 slualaca ui engleski i francuski, 11 slualaca engleski i nemaki, 1 slualac ui sva tri jezika.Koliko ima slualaca na tom kursu i koliko od njih ui samo dva jezika? Resenje: Najpre zapisimo pregledno podatke:

- 18 slualaca ui francuski - 22 ui engleski - 15 slualaca ui nemaki - 6 slualaca ui engleski i francuski - 11 slualaca engleski i nemaki - 1 slualac ui sva tri jezika

Najbolje je upotrebiti Venov dijagram sa tri skupa(njega popunjavamo tako to popunimo presek sva tri skupa, pa preseke po dva skupa, i na kraju, elemente koji pripadaju samo po jednom skupu) ENGLEZI FRANCUZI

9


10

NEMCI Prvo upisemo 1 u preseku sva tri skupa.Zatim presek Francuzi i Englezi, ali tu ne pisemo 6, vec 6-1=5, onda presek Englezi i Nemci 11-1=10. Dalje je ostalo 18-5-1=12 koji uce samo francuski, 22-10-5-1=6 koji uce engleski i na kraju 15-10-1=4 koji uce nemacki. Broj slusaoca je 12+5+6+1+10+4=38, a broj onih koji uce samo dva jezika je 10+5=15 5. Dokazati skupovnu jednakost: =CBA )( )( CA )( CB Ovde uvek krecemo isto ( x ) x pripada levoj strani, = zamenimo sa , pa x pripada desnoj strani. Koristimo definicije skupovnih operacija dok potpuno ne rastavimo obe strane. Dalje preko logickih operacija dokazemo da je nastala formula tautologija.

Pazi: = menjamo sa , menjamo sa , menjamo sa , itd. Dokaz: ( x) ( x CBA )( ) (x )( CA )( CB ) ( x )( BA xC) (x )( CA x )( CB ) ((xA xB) xC) ((x A xC) (x B xC)) neka je: p= xA q= xB r = xC Dobili smo formulu: F: ((p q) r) ((p r) (q r)) Nju sad moramo dokazati preko tablice i upotrebom logickih operacija: p q r p q (p q) r p r q r (p r)

(q r)

F

T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Formula JESTE TAUTOLOGIJA, pa je time dokaz zavrsen. 6. Dokazati skupovnu jednakost: C\(AB)=(C\A) (C\B) Dokaz: ( x)(x C\(A B)) (x (C\A) (C\B))

10


11

(x C x(A B)) ( x(C\A) x (C\B)) (x C ( xA xB)) (xC (xA)) ( xC ( xB)) neka je: p= xA q= xB r = xC F: (r (p q)) ((r p) (r q)) Ovo dokazujemo tablicno: p q r p q p q

(p q)r (p q) r p r q (r p)

(r q)

F

T T T T TT T T TT T T T T T T TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Dakle ova formula jeste TAUTOLOGIJA, pa je pocetna skupovna jednakost tana.

11


ALGEBARSKE STRUKTURE UVOD: Def 1. Operacija duine n u skupu X je svako jednoznano preslikavanje skupa Xn u skup X Za n=1 je UNARNA operacija, za n=2 je BINARNA operacija, tj, jednoznano preslikavanje skupa X2 u skup X. Najee oznake binarne operacije su: *, + ,, itd Def 2. Za binarnu operaciju * u skupu X vai ASOCIJATIVNI zakon ako je ( Xzyx ,, ) x*(y*z)=(x*y)*z Def 3. Za binarnu operaciju * x u skupu X vai KOMUTATIVNI zakon ako je ( ), Xyx x*y=y*x Def 4. Neka su u skupu X date dve binarne operacije * i # Levi i desni DISTRIBUTIVNI zakon glasi: ( ),, Xzyx x#(y*z)=(x#y)*(x#z) (x*y)#z=(x#y)*(x#z) Def 5. Ako postoji element e X takav da je ( )xeX e*x=x*e=x onda se takav element naziva NEUTRAL ( jedinini element) Stav : Ako postoji neutralni element onda je on jedinstven. Def 6. Neka u odnosu na operaciju * u skupu X postoji neutral e. Tada se element x` naziva SUPROTAN element elementu x ako vai: x*x`=x`*x=e DEF1. Skup X zajedno sa binarnom operacijom * zove se GRUPOID. Oznaka je (X,*) DEF2. neka su (X,*) i (Y,#) grupoidi. Preslikavanje h: X Y je HOMOMORFIZAM ako je ( ), Xyx h(x*y)=h(x)#h(y) Ako je X=Y onda je to AUTOMORFIZAM Ako je ovo preslikavanje jo i bijekcija ( 1-1, i na), onda je to IZOMORFIZAM

12


DEF 3. Grupoid (X, *) za iju operaciju * vai asocijativnost zove se POLUGRUPA DEF 4. Polugrupa (X,*) u kojoj postoji neutralni element i u kojoj svaki element ima inverzni element zove se GRUPA. Kad ispitujemo da li je zadata struktura grupa radimo sledee:

1. Ispitujemo zatvorenost zadane operacije 2. Ispitujemo asocijativnost 3. Traimo neutralni element 4. Traimo inverzni element

DEF 5. Ako za grupu (X,*) vai i komutativni zakon onda se ta grupa zove ABELOVA GRUPA DEF 6. Neka je (X,+, ) skup sa dve operacije.( + je aditivna a je multiplikativna ) Ako je: 1. (X,+) Abelova grupa 2. za operaciju vai distributivni zakon u odnosu na operaciju + onda je (X,+, ) PRSTEN DEF 7. Prsten (X,+, ) je TELO ako je ( X\{0}, ) grupa, gde je 0 neutralni element za operaciju +. DEF 8. Komutativno telo je POLJE.

13

1

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Najvei zajedniki delilac i najmanji zajedniki sadralac polinoma NZD polinoma P i Q je polinom D koji ima najvei stepen medju polinomima koji su delioci i polinoma P i polinoma Q. NZS polinoma P i Q je polinom S koji ima najmanji stepen medju polinomima koji su deljivi i polinomom P i polinomom Q. Primer 1: Nadji NZS i NZD za polinome:

23)(

2)(4)(

2

2

2

+==

=

xxxRxxxQ

xxP

Prvo moramo svaki od njih rastaviti na inioce (naravno , upotrebom postupka navedenog u poglavlju : Transformacije algebarskih izraza).

)2)(1()1(2)1(2223)()1)(2()2(1)2(222)(

)2)(2(24)(

22

22

222

==+=+=+=+=+==

+===

xxxxxxxxxxxRxxxxxxxxxxxQ

xxxxxP

NZD je ustvari PRESEK, odnosno onaj koji ga ima u svakom od polinoma. Ovde je to oigledno x-2. Dakle: NZD = x-2 NZS je unija. On mora biti deljiv sa sva tri polinoma. Dakle: NZS = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) Primer 2: Nadji NZS I NZD za polinome :

22

22

2

2 babaRbaQabaP

+===

222

22

2

)(2))((

)(

bababaRbababaQ

baaabaP

=+=+==

==

NZD = )( ba jer ga ima u sva tri NZS = + )()( 2 babaa deljiv sa sva tri

14

2

________________________________________________________________

22333

22

222

)24)(2()2(8)2)(2(4

)2(44

babababababababa

bababa

++=+=++=

+=++

Primer 3: Nadji NZS I NZD za polinome:

2

2

yxyBxyxA

+==

__________

)()(yxyByxxA

+==

NZS = ))(( yxyxxy + ta emo sa NZD? Nema inioca koji se sadri u A i B. U takvoj situaciji NZD = 1 , a za polinome kaemo da su uzajamno prosti. Primer 4: Nadji NZS I NZD za polinome:

________________________

2

2

2530910036

159

=+=

=+

aaaa

____________________________________________________________________

222

22

)53()25309(25309)53)(53(4)259(410036

)53(3159

=+=++==

+=+

aaaaaaaaa

aa

NZS 2)53)(53(12 += aa Primer 5: Nadji NZS I NZD za polinome: NZS )24)(2()2( 222 babababa ++= Primer 6: Nadji NZS I NZD za polinome:

__________________________________

22

234

23

)4(31232020512123

===++

=+

xnnnxxxxxxx

15

3

__________________________________________________________

22

2222234

2223

)2)(2(3)4(3123)2(5)44(520205

)2(3)44(312123

+==+=++=++

=+=+

xxnxnnnxxxxxxxxx

xxxxxxxx

NZS 222 )2()2(15 += xxnx Primer 7: Nadji NZS I NZD za polinome:

______________________________________________________________________

2223

2223

22244

)1)(1()1(1)1(1)1)(1()1(1)1(1

)1)(1)(1(2)1)(1(2)1(222

+=+=++++=+++=+++

++=+==

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaa

NZS )1)(1)(1(2 2 ++= aaa Kako upotrebiti NZS? 1) Uprosti izraz:

=++ abba

abab

baba

22 najpre treba svaki imenilac rastaviti na inioce=

=++ abba

baab

baba

)()( zatim nadjemo NZS za imenioce ,to je )( baab i izvrimo

proirenje razlomka. Kako da znamo koji sa kojim da proirimo? Gledamo imenilac i NZS, ta je viak,sa tim proirimo. Tako prvi sabirak irimo sa a , jer je viak kad gledamo )( baab i )( bab drugi sa b a trei sa )( ba . Dakle:

)(2

)(2

)()()(

)())((

222222222

baab

baabb

baabbaba

baabbababaab

bababbaa

==++=

+=

=++=

Pre poetka (ili po zavretku) rada treba postaviti uslove zadataka. Poto deljenje nulom nije dozvoljeno to nijedan u imeniocu ne sme biti nula, tj.

;0a ;0b baba 0

2) Uprosti izraz: xxxxx +++ 222

11

21

=++++=+++ )1(1

)1)(1(2

)1(11

121

222 xxxxxxxxxxxta je problem?

Izrazi )1( x+ i )1( +x nisu, jer vani komutativni zakon )( ABBA +=+ , ali izrazi

)1( x i(1-x) jesu. Taj problem emo reiti tako to jedan od ta dva izraza okrenemo i izvuemo minus ispred, jer vai da je )( ABBA =

16

4

0)1)(1(

0)1)(1(121

)1)(1()1(12)1(1

)1(1

)1)(1(2

)1(1

=+=+++=+

++=

=+++=

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

Naravno, uslovi zadatka su:

;0x ;101 xx 101 + xx 3) Uprosti izraz:

212

46

21

2 ++

+aa

aa

aa

=++

+212

46

21

2 aa

aa

aa

=+++

+212

)2)(2(6

21

aa

aaa

aa

=+++++

)2)(2()2)(12(6)2)(1(

aaaaaaa Pazi na znak ispred zagrade!!!

Uvek pokuaj da na kraju rastavi i brojilac, jer moda ima neto da se skrati!!! Uslovi zadatka su:

202202

+

aaaa

=++

)2)(2(22

aaaa

2+aa

=+++++

)2)(2(242622 22

aaaaaaaaa

=++++

)2)(2()242(6)22( 22

aaaaaaaaa

=+

)2)(2()2(

aaaa

17

5

4) 23

12213

1 2 +++

xxx

xx

xx =?

=+++

2312

213

1 2 xxx

xx

xx

Izdvojiemo i rastaviti na stranu

)1)(2()2(1)2(2223 22 ==+=+ xxxxxxxxxx =

++ )1)(2(

12213

1 xxx

xx

xx

=++

)2)(1()12(1)1)(13()2(

xxxxxxx Pazi na minus!!!

=+++

)2)(1(12)133(2 22

xxxxxxxx

=++++

)2)(1(121332 22

xxxxxxxx

=+

)2)(1(42 2

xxxx

12

)2)(1()2(2

=

x

xxxxx

Uslovi zadatka:

202101xxxx

5) 25

22510

12510

1222 +++++ xxxxx =?

=+++++ 252

25101

25101

222 xxxxx

22

2

22

2

22

22

22

222

22

222

22

)25(4

)5()5(4

)5()5(502502

)5()5()25(225102510

)5()5()25(2)5(1)5(1

)5)(5(2

)5(1

)5(1

=+=

=++

=++++++=+

+++=++++

xx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxx

18

6

Uslovi zadatka: 505

505+

xxxx

Mnoenje i deljenje racionalnih algebarskih izraza se radi kao i kod obinih razlomaka, s tim da prvo moramo svaki rastaviti na inioce. Dakle:

DBCA

DC

BA

= i

CD

BA

DC

BA =:

1) =+++

aaaa

aaa

2

2

2

2 121

? prvo svaki rastavimo na inioce !!!

=+++

)1(

)1()1)(1(

)1( 2

aaa

aaaa Skratimo

DC

BA

111

11 ==

Uslov zadatka: 012 a i 02 + aa

1a , 1a 0, a

2) =+

ababba

abaaba 22

2

2

babaab

baabbaabaa ==++

1

)()()(

Uslov zadatka: 0,0,0 + baba

3) =+

95:

325

2

2

2

2

xxx

xxx ?

=++

+

)3)(3()5(:

)3()5)(5(

xxxx

xxxx

2

)3()5()5(

)3)(3()3(

)5)(5(xxx

xxxx

xxxx +=+

++

Uslovi: 03,03,0 + xxx

3,3 xx

4) 4244

2

22

21:

21 mmba

mmba

+

+++ =?

=+

+++

42

44

2

22

21:

21 mmba

mmba

19

7

))(()1(

))()(()1()1(

)1(

)1())((:

)1(2

22

22

2

22

22

2222

2

22

babam

bababamm

mba

mbaba

mba

+=++

+++

=+

++

Uslov zadatka: ,1,, mbxbx ,1x

5) acbcaabcba

22

222

222

++++ =?

=++++

acbcaabcba

22

222

222

pretumbajmo ih prvo

=++++

222

222

22

bcacacbaba prva tri ine pun kvadrat

=++

22

222

)()(bcacba upotrebimo sad razliku kvadrata

bcacba

bcabcacbacba

++=+++

+++))(())((

Uslov: 0+ bca i 0++ bca

6) Skrati razlomak: 2365

2

2

++

xxxx

=++

2365

2

2

xxxx =+

+22623

2

2

xxxxxx

13

)1)(2()2)(3(

)2(1)2()3(2)3(

=

==

xx

xxxx

xxxxxx

Uslov: 02 x 01x

7) =

+

++++ xy

yx

xyxy

yxxyyx 2:2 22 ?

yxyxxy

yxxyyx

xyyxyx

yxxyyxyx

xyyxyx

yxxy

yxxyyx

+=+

=+++

=

+

++++

1)()(

)(

2:)(

2

2:)(

2)(

2

2

2222

22

Uslovi: ,0x ,0y ,0+ yx 0 yx

20

8

8) =

+++ 24:

44

236 2 aa

aa

aa

aa

=

++++ 24:

)2)(2(4

2)2(3 aa

aaa

aa

aa

PAZI: Moramo a2 da okrenemo: )2(2 = aa , pa (-) izlazi ispred!!!

)4(32

)4)(2(3)2(2

)4)(2(342

)4)(2(312632

42

)2)(2(312)2(3)2(

42

)2)(2(4

2)2(3

2

22

=++=+

+=+

++=

++++

=

++++

aa

aaaa

aaaa

aaaaaaa

aa

aaaaaaa

aa

aaa

aa

aa

Uslovi: ,2a ,2a 4a

9) Uprosti izraz: =++++++++++ 16842 116

18

14

12

11

11

xxxxxx

Ovaj zadatak ne moemo reiti klasino, probajmo da saberemo prva dva:

212

)1)(1(11

11

11

xxxxx

xx =+++=++

Dodajemo mu trei sabirak:

44

22

22

22

22 14

12222

)1)(1()1(2)1(2

12

12

xxxx

xxxx

xx =++=+

++=++ Ovo radi!!!

824

22

44 18

)1)(1(4444

14

14

xxxxx

xx =+++=++

Idemo dalje:

1688

88

88 116

)1)(1(8888

18

18

xxxxx

xx =+++=++

Konano:

321616

1616

1616 132

)1)(1(16161616

116

116

xxxxx

xx =+++=++

21

9

Uslovi: 01 x i 01 + x 10) Pokazati da vrednost izraza ne zavisi od a,b,c i d

)(4

11:

11

4caabcb

ba

cb

a ++

++

+

=++++

+ )(4

11:

11

4caabcb

ba

cb

a

=+++++

)(4

11:

11

4caabcb

bab

cbca

Pazi: BCAD

DCBA

=

=+++++

)(4

1:

1

4caabcbab

b

bcca

=+++

+++ )(

41

1

4caabcbb

ab

bccaabc

=+++++

+)(

41)1(4caabcbb

abcaabc

bc

=++++++

)(4

)()1)(1(4

caabcbcaabcbabbc Izvuemo gore 4 kao zajedniki

[ ] =++++

)(1)1)(1(4

caabcbabbc

[ ] 4)()(4

)(114 2 =++

++=+++++

acabcbacabcb

caabcbabbccab

22

10

11) Ako je 0=++ cba dokazati da je abccba 3333 =++ Dokaz: Podjimo od 0=++ cba cba =+ kubirajmo ovo 33 )()( cba =+ 33223 33 cbabbaa =+++

cbacbaabba =+=+++ 333 )(3 ovo iz a+b+c=0, zamenimo

abccbacabcba

33

333

333

=++=+

12) Ako je 0111 =++cba

Dokazati da je:

3=+++++cba

bac

acb

Dokaz: Podjimo od:

cabab

cba1

111

=+=+

cabba =+ / Podelimo sa C da bi napravili izraz iz zadatka

Slino e biti:

2

2

bca

bac

abc

acb

=+=+

=+++++cba

bac

acb

= 222 cab

bac

abc Priirimo ih redom sa ,a b i c

= 333 cabc

babc

aabc izvuemo abc

++= 333 111 cbaabc Ajde ovo da nadjemo!!! 3/()111

cba=+

33223

111131131cbbabaa

=+++

2cab

cba =+

23

11

333

111311cbaabba

=

+++

333

11311ccabba

=

++

333

1311cabcba

=+

abccba3111

333 +=++ Vratimo se u zadatak:

33

111333

==

++=

abcabc

cbaabc

Malo je zeznuto, pa prouavajte paljivo!

24

1

)(555 baba )2(242 baba

)1(2 aaaa)2(7714 223 ababbaab

Transformacije algebarskih izraza

Kako dati izraz rastaviti na inioce? Prati sledei postupak: 1) Izvui zajedniki iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni

zakon ) 2) Gledamo da li je neka formula:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

( )( ) RAZLIKA KVADRATA2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lake 2 ( )2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lake 2 ( )

A B A B A BI I II II I II A AB B A BI I II II I II A AB B A BA B

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( )( ) RAZLIKA KUBOVA( )( ) ZBIR KUBOVA

( ) 3 3 KUB ZBIRA( ) 3 3 KUB RAZLIKE

A B A AB BA B A B A AB BA B A A B AB BA B A A B AB B

3) Ako nee nita od ove dve stavke, sklapamo 2 po 2, 3 po 3. itd.

PRIMERI

Izvlaenje zajednikog ispred zagrade: 1) 2) PAZI: Kad vidimo da nita ne ostaje piemo 1. 3) 4)

bbba 27 baa 7 Ako nije jasno ta treba izvui ispred zagrade, moemo svaki lan rastaviti:

bbbaab

2714 3 i

baaba 77 2

Zaokruimo (podvuemo) iste i izvuemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5)

)12(33233363 22

yxxyyxyyxyxx

xyxyyx

WWW.MATEMATIRANJE.COM

25

2

6) 333223 91518 bababa

bbbaaabbbaabbaaa 333536

)356(3 22 abbaba Naravno, moemo razmiljati i ovako: Za 18, 15 i 9 zajedniki je 3 Za 3a , 2a i 3a zajedniki je 2a i Za 2b , 3b i 3b zajedniki je 2b Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7) )1(11 aaaaaaa xxxxx 8) )1(11 mmm aaaaaaa 9) aaaa xxxxx 124124 22 )3(4 2 xxa 10) 132132 16121612 xxxxxx nnnn )43(4 2 xxxx nn )43(4 21 nn xx U zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!!

UPOTREBA FORMULA:

2 2 ( ) ( )A B A B A B 1) )2)(2(24 222 xxxx 2) )3)(3(39 222 aaaa 3) )1)(1(11 222 xxxx 4) )12)(12(12144 222 yyyy 5) )32)(32(3)2(3294 22222 xxxxx Pazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata SVAKI lan mora da je na kvadrat. 6) )45)(45()4()5(451625 22222222 yxyxyxyxyx 7)

2 22 2 2 2

2 2

1 9 1 3 1 3 1 316 25 4 5 4 5 4 5

x y x y x y x y 8) ))(()()( 2222222244 yxyxyxyx ))()(( 22 yxyxyx www.matematiranje.com

26

3

xxABBB

xAxA

84224162

22

22 )4(168 xxx

xxABBB

xAxA

105225252

22

Dakle: 4 4 2 2( )( )( )x y x y x y x y ZAPAMTI!!! 9) 4444 12116 aa 44 1)2( a , ako iskoristimo prethodni rezultat: xa 2 i y1

)14)(12)(12()1)2)((12)(12(

2

22

aaaaaa

2 2 22 ( )A AB B A B i 2 2 22 ( )A AB B A B

1) 1682 xx Gledamo prvi i trei lan jer nam oni daju 2A i 2B , a onaj u sredini proveravamo da li je BA 2 Kako je Pa je 2) 22 )5(2510 xxx jer je 2A 2B Proveri da li je 2AB 3) 22 )8(1664 yyy 4) 222 )2(44 bababa 5) 222 )3(96 bababa 6) 2 2 24 20 25 (2 5 )x xy y x y 7) 2 20, 25 0,1 0,01 (0,5 0,1 )a a a jer je

aBaBAA

1,001,05,025,0

22

2

8) 222 )22,0(48,004,0 bababa

3 3 2 2( ) ( )A B A B A AB B Najpre se podsetimo da je: 311 , 328 , 3327 , 3464 , 35125 , 36216 , 37343 1) 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba lana moraja biti na trei

333 28 xx Znai x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: )42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx www.matematiranje.com

27

4

)198)(1(

)46296)(1(22)3()3()23(

2

2

22

aaaaaaaaaa

2) )366)(6()66)(6(6216 222333 xxxxxxxx 3) )416)(4()44)(4(464 222333 yyyyyyyy 4) 333333 1)5(151125 xxx Pazi ovde se najee napravi greska: xA 5 ,

1B 22 115)5()15( xxx )1525)(15( 2 xxx 5) 333 2)3(8)3( aa pazi: 3a A , 2 B

3 3 2 2( )( )A B A B A AB B 1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49)x x x x x x x x 2) 3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1)a a a a a a a a 3) 3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 )x y x y x y x x y y x y x xy y 4) 2233 )2()2)(1()1()21()2()1( yyxxyxyx

BA

754)1( 442212)1(44)22(12)1(

22

22

22

xyyyxxyxyyyxxyxxyx

yyyxxyxxyx

5) ))(()()()()()( 42242222222222323266 yyxxyxyyxxyxyxyx Redje se koristi da je:

3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B 1)

33

3

Pr

2

Pr

23 6128

BoverioveriA

yxyyxx ako je 33 8xA onda xA 2 i 33 yB pa je yB

3)2( yx 2) 3223 )4(64412 yxyxyyxx jer je

yBByxAxA

464 3333

3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 )a a b ab b a b


28

5

SKLAPANJE 2 po 2

U situaciji kad ne moemo izvui zajedniki, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje 2 po 2.

Primeri:

1) ayaxyx 22 izvlaimo ispred zagrade zajedniki za prva dva, pa druga dva. )2)(()()(2 ayxyxayx 2) byaybxax 12896 3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 )x a b y a b a b x y 3) babaa 44 2 PAZI NA ZNAK!!! )4)(1()1()1(4 baaabaa 4) 532012 baab PAZI NA ZNAK!!! )14)(53()53(1)53(4 abbba 5) yaybxbxa

)()( abybax Ovde moramo okrenuti izraz ab da postane ba , ili pazi, kako je )( baab , moramo promeniti znak ispred y ))(()()( yxbabaybax 6) abxbax 22 = ne '' juri '' da sklopi ''prva dva'' i ''druga dva'' moda je bolja neka druga kombinacija!!

)21()12( xbxa Slino kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta,

))(12()12()12( baxxbxa 7) 22 8228 xybxbyyx )28)(()(2)(8 bxyyxyxbyxxy www.matematiranje.com

29

6

22

2

2

4)3(16)3(

7996

xx

xx

8) 762 xx Ovo lii na kvadrat binoma ali oigledno nije. Ne moemo izvui zajedniki iz svih, niti sklopiti 2 po 2 ta raditi? Naravno, uinici II godina srednje kole i stariji znaju da treba iskoristiti da je

))(( 212 xxxxacbxax , ali u I godini srednje kole moramo raditi ovako:

1. nain: 762 xx ideja je da se srednji lan napie kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to moemo uiniti na veliki broj naina. Onaj prvi je kad posmatramo lan bez x-sa i kako njega moemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je 177 to emo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x , svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' )1)(7()7(1)7(71776 22 xxxxxxxxxx 2. nain: 762 xx izvrimo dopunu do punog kvadrata, to znai da moramo dodati (i oduzeti) drugi lan na kvadrat.

7336 222 xx

zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata.

)1)(7(

)43)(43(

xx

xx

Ti naravno izabere ta ti je lake, odnosno ta vie voli tvoj profesor. Evo jo par primera: 9) ?652 xx 1.nain: Kako je 236 to emo umesto 5x pisati 3x+2x )2)(3()3(2)3(6232 xxxxxxxx 2.nain: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.

Znai 22

25

25

, pa je:


30

7

)3)(2(21

25

21

25

21

25

41

25

424

425

25

22

2

2

xx

xx

x

x

x

)5)(2(23

27

23

27

23

27

49

27

440

449

27

22

2

2

xx

xx

x

x

x

625

25565

2222

xxxx

10) ?1072 xx 1.nain: )2)(5()5(2)5(10252 xxxxxxxx

2.nain: 1027

277107

2222

xxxx

31

1

BINOMNA FORMULA Upoznajmo se najpre sa nekim oznakama: n ! - ita se en faktorijel a oznaava sledei proizvod: n!=n (n-1) (n-2) 3 2 1 Primer: 5!=543 2 1= 120 ili 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 Po definiciji je 0!=1 U zadacima esto koristimo trik da faktorijel rastavimo kao proizvod nekoliko lanova i novog faktorijela. Tako je recimo: (n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1) 2 1 (n+2)! = (n+2)(n+1)n ! ili (n+2)! = (n+2)(n+1)n (n-1)! Itd. Primer 1.:

Skrati razlomak: )!3()!1(

nn

Reenje: )!3()!1(

nn =

)!3()!3)(2)(1(

nnnn =(n-1)(n-2)

Primer 2.

Rei jednainu : )!2(

!20)!32(

)!2(= xx

xx

Reenje: )!2(

!20)!32(

)!2(= xx

xx

)!2(

)!2)(1(20)!32(

)!32)(22)(12)(2(

=

xxxx

xxxxx

33

2

(2x)(2x-1)(2x-2)= 20x(x-1) 2x (2x-1)2(x-1)= 20 x(x-1) [skratimo sa 4x(x-1)] 2x-1 = 5 a odavde je x=3

Ako su n i k prirodni brojevi, onda moemo definisati simbol: (kn

)

On se ita en nad ka, a izraunava se :

(kn

) = !

)1)...(2)(1(k

knnnn + Primeri:

(2

10) =

12910

= 45 ili (

315

) = 123131415

= 455

Da bi imali brzinu u radu moramo zapamtiti da je :

1)0

( =n na primer: 1)05

( = 1)0

12( = itd.

1)( =nn

na primer: 1)77

( = 1)100100( = itd.

nnnn == )1()1( na primer: 4)3

4()

14

( == 50)4950

()150

( ==

I najvanije : )()(kn

nkn

=

Na primer dobijemo da reimo )1820

( . Koristei ovo pravilo mi reavamo :

)1820

( = )220

( = 121920 = 190. Mnogo je lake ovako!

Sada moemo videti kako izgleda binomni obrazac:

(a+b)n = )0

(n

anb0 + )1

(n

an-1b1 + )2

(n

an-2b2+ + )1

( nn

a1bn-1 + )(nn

a0bn

Ova formula se lako dokazuje primenom matematike indukcije.

34

3

ta je vano uoiti? - U razvoju uvek ima n+1 lanova

- a poinje sa n-tim stepenom, pa u svakom sledeem lanu opada dok ne doe do

nule, dok b poinje sa nulom pa u svakom sledeem lanu raste dok ne doe do n-tog stepena

- Izrazi )0

(n

, )1

(n

, )2

(n

,, )1

( nn

i )(nn

su binomni koeficijenti , i za njih vai

jedna zanimljiva stvar: Ako poemo od nekoliko prvih razvoja dobiemo takozvani Paskalov trougao. (a+b)0 = 1 koeficijent je 1 1 (a+b)1 = a+b koeficijenti su 1 i 1 1 1 (a+b)2 = a2+2ab+b2 koeficijenti su 1, 2, 1 1 2 1 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 koeficijenti su 1, 3, 3, 1 1 3 3 1 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 4 1 koeficijenti su 1, 4, 6, 4, 1 itd. I tako dalje.... Vidimo da su simetrini koeficijenti u razvijenom obliku binoma jednaki. Oni prave Paskalov trougao, gde su na kracima sve jedinice , a unutranji lan se dobija sabiranjem gornja dva!

1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

3

6

10

1

3

4 4

1 15 510

Opti (bilo koji) lan u razvijenom obliku binoma se trai po formuli:

35

4

Tk+1 = )(kn

an-k bk

1) 5)23( x+ =? =+ 5)23( x [Ovde je 3=a , xb 2= i 5=n ] 5413223145 )2(3

55

)2(345

)2(335

)2(325

)2(315

)2(305

xxxxxx oo

+

+

+

+

+

Ako vam je lake izdvojite binomne koeficijente ''na stranu'', pa ih reite:

==

=

=

=

=

=

35

101245

25

545

15

155

05

5432

554433222342

32240720108081024321123523102310235131

xxxxxxxxxx

+++++==+++++=

2) 6)1( i+ =?

=+ 6)1( i [Ovde je 1=a , ib = i 6=n ]

20123456

36

46

151256

26

656

16

166

06

166

156

146

136

126

116

106 651423324156

==

==

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

+

= iiiiiii oo

36

5

Da vas podsetimo:

===

=

1

1

4

3

2

1

iii

iii

pa je 1246

45

====

iiiiiii

Vratimo se u zadatak:

i

iiiiii

81615201561

)1(1161115)(120)1(11516111

=+++=

++++++=

3) Odrediti peti lan u razvijenom obliku binoma 12

32

21

+ xx

Odavde je 21

xa = , 32

xb = , 12=n Iskoristiemo formulu:

KKnK bakn

T +

=1

Poto trae peti lan, to je 4(145 == + kpaziTT )

320

38

4

38

4

4

32412

21

495

12349101112

412

412

x

x

xx

xx

==

=

=

+

4) Odrediti lan koji ne sadri x u razvijenom obliku binoma ( )122+ xx Odavde je ,xa = ,2= xb 12=n

37

6

Upotrebiemo formulu 1+KT i nai k

( )

k

kk

kk

KKnK

xk

xxk

xxk

bakn

T

312

212

212

1

12

12

12

+

=

=

=

=

Poto nam treba lan koji ne sadri x, izvriemo uporedjivanje:

4123

0312

312

==

==

kk

kxx ok

Znai, u pitanju je ( )514 TT =+ peti lan.

5) Zbir koeficijenta prvog, drugog i treeg lana u razvoju binoma n

xx

+ 12 jednak

je 46. Nai koji lan ne sadri x . Zbir koeficijenta prva tri lana je:

9

10;92

191090

9222

462

)1(1

46210

212,1

2

2

====

=+=++=++

=

+

+

n

nnn

nnnnn

nnn

nnn

Kako je 2xa = i ,1x

b = 9=n

38

7

k

kk

kk

KKnK

xk

xxk

xx

k

bakn

T

318

218

92

1

9

9

1)(9

+

=

=

=

=

Sada mora biti: Znai da je u pitanju sedmi lan.

6) Odrediti koeficijente uz 3x u razvoju binoma 12

2241

x

x

12

2241

x

x odavde je 12,2,

41 2 === nxbx

a

( )( )

( ) 3213

12312

21212

212

1

24112

24112

24112

xjeOvo

kkk

kkkk

kk

KKnK

xk

xxk

xxk

bakn

T

+

=

=

=

=

Dakle:

6183

0318

318

==

==

kk

kxx ok

5153

3123

3123

==

==

kkk

xx k

39

8

Pa e koeficijent uz 3x biti

( )( ) )32(

41

12345891011122

41

512

24112

75

7

12

=

=

kkk

7) Koeficijenat drugog lana u razvoju binoma n

xyx

+

4 odnosi se prema

koeficijentu treeg lana kao 2:11. Odrediti peti lan.

01211

)1(11

11:22

)1(:

11:22

:1

2

2

====

=

nnnnn

nnn

nnn

nn

00)12( == nnn 12=n , pazi: n=0 nije reenje!

Poto je 12,,4

=== nxy

bxa a trai se peti lan, to je:

KKnK bakn

T

= +1

24

2

4

4

2

4

8

48

145

1

4951234

9101112

412

412

+

+

=

=

=

==

=

yxyx

xy

yx

xy

yxTT

bakn

T KKnK

546875,16499 ==

40

9

8) Na elezniku stanicu treba da stigne iz istog pravca n ljudi. Na koliko moguih naina, s obzirom na vreme dolaska, mogu da stignu na stanicu? Razmiljamo:

- mogu da stignu svi u razliiti vreme - mogu da stignu dva zajedno, ostali u razliito vreme - mogu da stignu tri zajedno, ostali u razliito vreme - itd - mogu da stignu u grupama po 2 - mogu da stignu u grupama po 3 - itd

Broj svih mogunosti je:

=

++

+

+

=++++

nnnnn

CCCC nnnnn

...321

...321

Da bi smo ovo izraunali podjimo od binomne formule:

nononn bann

ban

baon

ba

++

+

=+ ...

1)( 11

Ako umesto a i b stavimo jedinice, dobiemo:

11...111

11)11(

++

+

=+

nnn

onn

12...21

2...21

...21

2

=

++

+

=

++

+

++

+

+

=

n

n

n

nnnn

on

nnnn

nnnn

on

Dakle broj svih mogunosti je: 12 n

41

ISKAZI

U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obino se sreu reenice koje su ili tane

ili netane, tj reenice koje imaju logikog smisla.Ovakve reenice se u matematici

nazivaju iskazi.Dakle , pod iskazom podrazumevamo bilo koju reenicu za koju se zna da moe biti samo tana ili samo netana.Drugim reima, iskaz moe da ima samo

jednu od istinitosnih vrednosti: istinit (taan), neistinit (netaan).

Primer:

Nije teko videti koja je od sledeih reenica iskaz:

- Broj 6 je vei od broja 2

- Broj 3 je deljiv brojem 2

- Zemlja se okree oko Sunca

- Broj 2 je vei od Natae

- Godina ima 365 dana

Prve tri reenice jesu iskazi, jer su redom tana, netana i tana, dok za zadnje dve

reenice ne moemo to tvrditi, dakle , nisu iskazi.

Iskaze emo, po dogovoru, obeleavati malim slovima latinice: p,q,r,s,t....a

ta slova emo zvati iskazna slova.Polazei od takvih elementarnih iskaza,dakle, iskaznih

slova, slino kao to u srpskom jeziku od prostih reenica pravimo sloene, moemo

napraviti i sloene iskaze.Tu e za nas biti znaajno da znamo kada e ti novi iskazi biti

tani ili netani.

U tom cilju uvodimo oznake :

T za tano (ita se te) i - za netano ( ita se ne-te)

Istinitosna vrednost nekog iskaza p, koji emo oznaavati sa (p) (ita se tau od te), bie:

42

(t)=T, ako je iskaz p taan (t)= , ako je iskaz p netaan

LOGIKE OPERACIJE

Neka su dati iskazi p i q.

Konjukcija iskaza p i q je iskaz p q kojem odgovara sledea istinitosna tablica:

p q p q Konjukcija je tana samo ako su p i q tani iskazi.

T T T

T

T

Disjunkcija iskaza p i q je iskaz p q kojem odgovara sledea tablica:

p q p q Disjunkcija je netana samo ako su oba iskaza , i p i q, netani. T T T

T T

T T

Ovde treba obratiti panju na razliku izmeu upravo definisanog veznika disjunkcije i

veznika takozvane iskljune disjunkcije kojem odgovara jezika forma ili..,ili.

Razlika je u tome to iskaz ili p ili q nije taan ni u sluaju kada su oba iskaza , i p i q,

tani, dok je iskaz p ili q taan.

43

Implikacija iskaza p i q je iskaz pq kojem odgovara sledea tablica:

p q pq Implikacija je netana jedino u sluaju kada je iskaz p taan i iskaz q netaan. T T T

T

T T

T

Jedan od najznaajnijih veznika za nas je upravo veznik implikacije. Reenica

p implicira q se sa nepromenjenim znaenjem moe zapisati i na jedan od sledeih

naina:

ako p, onda q

iz p sledi q

q, ako p

p je dovoljan uslov za q

q je potreban uslov za p

Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz p q ije se istinitosne vrednosti zadaju tablicom:

p q p q Ekvivalencija je tana samo ako oba iskaza, i p i q, imaju istu istinitostnu vradnost. T T T

T

T

T

44

Reenicu p je ekvivalentno sa q moemo iskazati i na jedan od sledeih naina:

ako p , onda q, i ako q, onda p

p je potreban i dovoljan uslov za q

p ako i samo ako q

To su bili osnovni binarni logiki veznici (operacije). Binarni , zato to dva iskaza prave

jedan novi iskaz. Uveemo sada jedan unarni veznik (operaciju), koji od jednog iskaza

p pravi jedan novi iskaz , sloeniji.To je p , koji se ita ne-p.

Negacija iskaza p je iskaz p kojem odgovara tablica:

Oigledno je iskaz p taan samo u sluaju kada je iskaz p P p netaan.

T

T

Zajedno, iskazne konstante (T i ), sva iskazna slova i sve sloene iskaze nazivamo

iskaznim formulama.Da bi jedna iskazna formula bila nedvosmisleno zapisana,

prilikom zapisivanja koristimo i zagrade.Polazimo od toga da je negacija operacija najvieg prioriteta,za njom su konjukcija i disjunkcija, koje su meusobno ravnopravne,

na kraju su implikacila i ekvivalencija, takoe meusobno ravnopravne.

Primer:

Niz simbola p rq ne moemo prihvatiti kao formulu, jer se ne zna redosled

operacija, poto su konjukcija i disjunkcija iste snage. Trebalo bi biti zapisano na

sledeci nain: (p q) r ili p (q r ) .

45

Dakle, iskazne formule su iskazi formirani od iskaznih slova p,q,r,, znakova

,,,, i zagrada, primenom konanog broja puta ovih simbola.

Iskazne formule koje su uvek, za sve mogue vrednosti iskaznih slova koja ine te formule tane, nazivamo tautologijama.

Da li je neka formula tautologija moemo proveriti na vie naina: diskusijom po slovu,

svoenjem na protivrenost, preko istinitosnih tablica, itd.

Evo jednog primera ispitivanja preko istinitosne tablice:

)()( qppq

Pazi: Uvek prvo napisi negacije,jer su najstarija operacija

p q q p q p p q )()( qppq

T T T T T

T T T

T T T T T

T T T T T

NEKA PRAVILA LOGIKOG ZAKLJUIVANJA Tautologije, kao uvek tani iskazi, u sebi kriju zakonitosti po kojima se vladaju logiki

veznici, pa, prema tome, i zakonitosti pravilnog logikog zakljuivanja.neka od

nezaobilaznih i najee primenjivanih, a ujedno i najjednostavnijih logikih zakona su:

qqpp )( modus ponens

)()( qppq pravilo kontrapozicije ( ispitano u tablici)

pqqp ))(( svoenje na protivrenost

46

pp zakon iskljuenja treeg

qpqp )( De Morganovi zakoni

qpqp )(

p p zakon dvojne negacije itd.

Ispitajmo modus ponens upotrebom svoenja na protivrenost:

qqpp )(

Pretpostavimo da je formula netana.Budui da je implikacija netana samo u jednom sluaju, onda mora biti:

))(( qpp = T i )(q =

Dalje, kako je konjukcija tana samo ako su oba izraza tana , mora biti:

=)(p T i )( qp =T

Pogledajmo tablicu za implikaciju: Poto smo zakljuili da je =)(p T i )(q =

mora biti )( qp = to je u kontradikciji sa

p q pq )( qp =T.

T T T Znai da polazna pretpostavka nije dobra, odnosno

da je formula tautologija(tana).

T

T T

T

47

PRIMERI:

1. Dati su iskazi : p: (-2)(-3)=-(-6); q:5

1=0,2 ; r: -3

2=(-3)

2

Ispitati istinitostnu vrednost izraza: )( rqp

Resenje: Kod ovog tipa zadatka najpre odredimo vrednosti iskaza p,q,r , pa te vrednosti zamenimo u datu formulu.(ovde nije potrebno praviti celu tablicu, vec samo jednu vrstu ,

za dobijene vrednosti za p,q,r)

Dakle:

(-2)(-3)=6 i -(-6)=6, pa je iskaz p- tacan , to jest =)(p T

0,2=5

1

10

2= , pa je i iskaz q tacan, to jest )(q =T

-32= -9 a (-3)

2=(-3)(-3)=9 pa je iskaz r netacan, to jest =)(r

Zamenimo sada ove vrednosti u datoj formuli:

)( rqp = )( TT = T = T. Dakle , dati izraz je tacan.

2. Ispitati da li je sledeca formula tautologija(tablicno): F: ))(()( qprqp

Kad imamo tri iskazna slova, potrebno nam je 8 vrsta:

p q r p p q r p (r p) q F

T T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T T

T T T T T T T

T T T

T T T T

T T

Dakle ova formula nije tautologija, jer ima na kraju na tri mesta netano(dovoljno je i samo na jedno)

ZAPAMTI: kod p idemo 4 tana, 4 netana; kod q 2 tana ,2 netana; kod r jedno tano ,1 netano

48

KVANTORI Posmatrajmo recenicu: x2 = 25 . Oigledno ona nije iskaz, jer moe biti tana ako je x= 5 ili x=-5, a moe biti i netana ako je x neki drugi broj.

Ako,meutim reenicu kaemo:

Za svaki x, x2 = 25 ili Postoji x tako da je x2 = 25, onda za njih moemo rei da je prva netana a druga tana, pa one predstavljaju iskaze.

Upotrebom matematike terminologije moemo zapisati:

Za svaki x, x2 = 25 je ( )x (x2 = 25) Postoji x tako da je x2 = 25 je ( )x (x2 = 25) Ove rei , za svaki (bilo koji, za proizvoljan), i postoji (ili za neki) zovemo kvantori ili kvantifikatori.

Dakle:

- se ita za svaki i zove se univerzalni kvantor, - se ita postoji i zove se egzistencijalni kvantor

Zanimljivo je kako se kvantori ponaaju u prisustvu negacije:

AxAx )()( i

AxAx )()(

Reima objanjeno to bi znailo da nije svaki i neki nije imaju isto znaenje, odnosno

da izrazi nije neki i svaki nije imaju isto znaenje.

Na primer, reenice: Nije svaki profesor dobar i Postoji profesor koji nije dobar

imaju isto znacenje.

49


NEKE VANE NEJEDNAKOSTI:

1) za sve 02 x Rx Kvadrat nekog izraza je uvek pozitivan ili jednak nuli (za x=0) Primeri: za 0)2(44 22 +=++ xxx Rx za 0)1(12 22 =+ aaa Ra jer 022 + yxyx

43

24222

222

222

222 y

Izvrili smo dopunu od ''punog kvadrata'' pa je 02

2

yx i 04

3 2 y , a onda je i njihov zbir >0

2) zyxzyx +++++2

3222

Dokaz:

yyxyyyxyyxy +

=+

=+

+

0)1)1

0)1

2

2

2

zyx

x

(

zyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxx

zyx

+++++++++++++++

+++++++

23

)(232223

01212120)1()1()1(

222

222

222

222

222

0( (

3) Dokazati da za 0>a 221 +a

Dokaz:

0120)1(

2

2

+

aaa

aaa :/212 + (podelimo sa a ) 21 +

aa

153


4) Dokazati da za i 0x 0y

2yxxy +

(geometrijska sredina < aritmetika sredina)

Dokaz: Podjimo od ( )

xyyxxyyx

yxyx

yyxx

yx

+=+

++

+

2

2:/2

02

02

022

2

Naravno jednakost vai ako je yx = 5) Dokazati da je: koji su nenegativni: zyx ,,

3

3333 cbaxyz ++

Dokaz: Uvodimo najpre smene:

3

3

3

czbyax

===

Treba onda dokazati:

3

3333 cbaxyz ++

033

333

333

++++abccbacbaabc

Kako je (proveri mnoenjem)

))((3 222333 acbcabcbacbaabccba ++++=++odavde je sigurno 0++ cba

[ ] 0)()( ++ acb

)(21 222222 =++ cbaacbcabcba

254


Dakle proizvod dva takva izraza je >0 pa je zaista: 3

333 cbaabc ++ Odnosno

33 zyxxyz ++

Pazi: Znak = je ako je zy == x

355

1

MATEMATIKA INDUKCIJA Princip matematike indukcije glasi: Ako za neko tvrdjenje )(nT , Nn vai: 1) )1(T je tano 2) )1()( + nTnT je tano za ,...2,1=n tada je tvrdjenje )(nT tano za Nn Moe se desiti da tvrdjenje Tn nije tano za svako Nn ve poev od nekog prirodnog broja 10 >n pa , tj. da je Tn tano za ,...2,1, 000 ++= nnnn Tada se dokazivanje metodom matematike indukcije radi na sledei nain:

1) Proverimo tanost tvrdjenja 0Tn 2) Dokazujemo da za bilo koje 0nn > iz tanosti tvrdjenja Tn sledi tanost

tvrdjenja 1+Tn

Postupak Praktino, mi emo indukciju sprovoditi:

i) Proverimo da li je tvrdjenje tano za n=1 ii) Predpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k iii) Dokazujemo da je tvrdjenje tano za n=k+1

Zadaci:

1) Dokazati da je : 2

)1(...321 +=++++ nnn i) Najpre proverimo dali je tvrdjenje tano za n=1.(to jest gde vidimo n stavimo 1)

112

)11(11 =+= tano ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za n=k (to nam je indukcijska hipoteza) Gde vidimo n stavimo k

2

)1(...321 +=++++ kkk www.matematiranje.com

56

2

iii) Da dokaemo da je tvrdjenje tano za n=k+1 Najpre vidimo ta treba da dokaemo, u poetnoj formuli n zamenimo sa k+1 ali uvek na levoj strani napiemo i predposlednji lan.

2

)11)(1()1(...21 +++=+++++

kkkk

Pretposlednji lan

odnosno: 2

)2)(1()1(...21 ++=+++++ kkkk Znai , ovo treba da dokaemo!!! Uvek krenemo od indukcijske hipoteze za koju smo pretpostavili da je uvek tana

2

)1(...321 +=+++ kkk Zastanemo malo i uporedimo leve strane hipoteze i onoga ta treba da dokaemo. Vidimo da u hipotezi fali (k+1). To je TRIK, da na obe strane hipoteze dodamo izraz (k+1).

)1(2

)1()1(...321 +++=+++++ kkkkk

Sad nam preostaje da sredimo desnu stranu i iz nje dobijemo 2

)2)(1( ++ kk Dakle:

2

)1(2)1(1

12

)1( +++=+++ kkkkkk = Izvuemo zajedniki )1( +k =

2)2)(1( ++ kk

Ovim je dokaz zavren.

2) Dokazati da je: 6

)12)(1(...321 2222 ++=++++ nnnn

i) Proverimo da li je tvrdjenje tano za 1=n 11

6)112)(11(112 =++= tano

ii) Pretpostavimo da je tvrdjenje tano za kn =

57

3

6)12)(1(...21 222 ++=+++ kkkk

iii) Da dokaemo tvrdjenje za 1+= kn Uvek prvo vidimo ta treba dokazati!!!

6)1)1(2)(11)(1()1(...21 2222 +++++=+++++ kkkkk

tj. 6

)32)(2)(1()1(...21 2222 +++=+++++ kkkkk Krenimo od indukcijske hipoteze i na obe strane dodamo 2)1( +k 22222 )1(

6)2)(1()1(...21 ++++=+++++ kkkkkk

Leva strana onog to Ovo kad sredimo treba da

treba da dokaemo. nam da 6

)32)(2)(1( +++ kkk Dakle:

6

)1(6)12)(1(1

)1(6

)12)(1( 22 ++++=++++ kkkkkkkk

[Izvuemo zajedniki )1( +k ] Izraz 672 2 ++ kk emo rastaviti na inioce upotrebom znanja iz kvadratne jednaine:

))((.............................0 212 kkkkacbkak =++

223

417

matematiranje sa sadrzajem

Documents