matematyka...

...na co to komu?

Kongruencja

czyli

przystawanie liczb "modulo n".

Liczby całkowite a i b przystają modulo n

(pozostają w kongruencji modulo n), co zapisuje się:

a ≡b ( mod n) , jeżeli ich różnica a − b dzieli się bez reszty przez n. Równoważnie: jeśli liczby a i b dają

w dzieleniu przez n tę samą resztę.  

a ≡b ( mod n) n│(a-b)

 Kongruencje o tym samym module można dodawać

stronami, odejmować stronami i mnożyć stronami.

Przykład

Liczby 5 i 11 przystają modulo 3:11 ≡ 5 (mod 3)

ponieważ ich różnica, czyli 6, dzieli się bez reszty przez 3. Równoważnie, w dzieleniu z

resztą obu liczb przez 3 otrzymujemy tę samą resztę 2:

11 : 3 = 3 reszta 25 : 3 = 1 reszta 2

Zadanie

Wykaż, że liczba 5353 – 3333 jest podzielna przez 10.

10 │ 5353 – 3333 ?

 

53 ≡ 3 (mod 10) 33 ≡ 3 (mod 10)

532 ≡ 9 ≡ -1 (mod 10) 332 ≡ 9 ≡ -1 (mod 10)

(532)26 ≡ 926 ≡ (-1)26 ≡ 1 (mod 10) (332)16 ≡ 916 ≡ (-1)16 ≡ 1 (mod 10)

5352 ≡ 1 (mod 10) 3332 ≡ 1 (mod 10)

5353 ≡ 3 (mod 10) 3333 ≡ 3 (mod 10)

5353 ≡ 3333 (mod 10), co świadczy o tym, że liczba 5353 – 3333 jest podzielna przez 10.

Dni tygodniaZajmiemy się odpowiedzią na pytanie, w jakim

dniu tygodnia miało miejsce pewne wydarzenie.

Ponumerujmy dni tygodnia:1 – poniedziałek2 – wtorek3 – środa4 – czwartek5 – piątek6 – sobota0 ≡ 7 – niedziela

Po upływie n dni od danej daty wypada dzień tygodnia, którego numer przystaje do d + n modulo 7.

O tym, co powiedzieć w tym wystąpieniu, zaczęłam myśleć w czwartek 17 września roku

ubiegłego. Tego dnia przypadała 70-ta rocznica

wkroczenia wojsk sowieckich do Polski.

W jakim dniu tygodnia miało miejsce to

wydarzenie ?

Rok zwykły ma 365 dni, przy czym 365 = 350 + 14 + 1, więc

365 ≡ 1 (mod 7). Wynika stąd, że po upływie roku zwykłego wypada dzień tygodnia o 1 (modulo 7) dalszy, niż przed

rokiem. Rok przestępny ma o jeden dzień więcej, niż rok zwykły, wiec

po upływie roku przestępnego numer dnia tygodnia wzrasta o 2

(modulo 7).

Od tragicznej daty 17 września 1939 do czwartku 17 września 2009 r. minęło 70 lat,

w tym 18 lat przestępnych (przed 10 laty była 60 - ta rocznica,

60 : 4 = 15, wiec do 1999 minęło 15 lat przestępnych, a potem jeszcze były lata

przestępne 2000, 2004, 2008). Zatem numer n interesującego nas dnia spełnia

kongruencje: n ≡ 4 − 70 − 18(mod 7).

Stąd n ≡ −14 (mod 7). Ta tragiczna data wypadała w niedzielę.

Reszty kwadratowe

Reszty kwadratowe, to reszty, które występują przy dzieleniu kwadratów liczb.Np. reszty przy dzieleniu przez liczbę 9 to liczby ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Natomiast reszty kwadratowe przy dzieleniu liczby przez 9 to liczby ze zbioru {0,1,4,7}. Nie występują tu reszty takie jak 2,3,5,6,8.

Reszty kwadratowe można wykorzystać do rozwiązania zadania z tegorocznej matury na poziomie rozszerzonym.

Oto treść:Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry sumakwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Wykorzystujemy tutaj podzielność przez 3. W dzieleniu przez 3 występują liczby {0,1,2}.W tym zadaniu autorzy pytają jednak o kwadraty tych liczb. Reszty kwadratowe przy dzieleniu przez 3 to tylko {0,1}

Przyjmijmy, więc że reszta z dzielenia kwadratu sumy oczek pierwszego rzutu to a, drugiego to b, trzeciego to c.Aby suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek była podzielna przez 3 toa=1 a=0b=1 lub b=0c=1 c=0

Teoria grafów

Grafy

• Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja poniżej). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów.

Grafy są bardzo pomocne w wielu zadaniach, a także

w codziennym życiu. Rysując graf

możemy bardzo ułatwić sobie pracę

nad problemem.

Zadanie 1.

W jednym przedziale pociągu jechało czterech pasażerów. Wśród nich nie było trzech pasażerów, którzy znaliby się wcześniej, ale jeden znał się z trzema pozostałymi. Udowodnić, że trzej pozostali pasażerowie nie znali się wcześniej

Z pozoru trudne zadanie. Spróbujmy jednak rozrysować je w postaci grafu.

Oznaczmy pasażerów za pomocą punktów: A, B, C i D. Znających się ze sobą połączmy odcinkami. Niech pasażer A zna się ze wszystkimi. Wtedy w grafie na pewno są krawędzie AB, AC, AD. Jeżeli któryś z punktów B, C, D jest połączony odcinkiem, to wtedy mamy trójkąt, a to znaczy, że istnieją trzej pasażerowie, którzy znaliby się wcześniej. Z tego wynika, że pasażerowie B, C, D widzieli się po raz pierwszy.

Grafy unikursalne

Graf jest unikursalny wtedy i tylko wtedy, gdy:•Nie ma w ogóle nieparzystych wierzchołków,•Ma dokładnie 2 nieparzyste wierzchołki.

Znana wszystkim łamigłówka…

Legenda głosi, że prorok Mahomet zamiast podpisu (nie umiał pisać) rysował jednym pociągnięciem znak składający się z dwóch symboli Księżyca.

Dlatego figurę tę nazywamy Symbolem Mahometa.

Spróbujmy za pomocą grafu zrozumieć, jak można narysować Symbol Mahometa jednym ruchem pióra. Ponumerujmy najpierw 8 wierzchołków tego symbolu.

Linie tej figury, łączące odpowiednie wierzchołki, będziemy traktować jako krawędzie grafu.

Łatwo teraz pokazać możliwy sposób narysowania Symbolu Mahometa, np. taki: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 6, 8, 1.

Teoria grafów jest jedną z niewielu dziedzin matematyki, której datę urodzin znamy. W 1736 roku znakomity matematyk szwajcarski Leonard Euler (1707-1783) pracujący wówczas w Królewcu (mieście należącym ówcześnie do Prus, obecnie noszącym nazwę Kaliningrad i należącym do Rosji), opublikował pracę, w której rozważał niżej przedstawiony problem, znany powszechnie pod nazwą „zadanie o królewieckich mostach”.

W Królewcu, na rzece Pregole znajdują się dwie wyspy połączone ze sobą, a także z brzegami za pomocą siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek:

Czy możliwe jest, aby wyruszyć z dowolnej lądowej części miasta przejść przez każdy z mostów dokładnie jeden raz i powrócić do punktu wyjściowego (bez przepływania przez rzekę)?

Sytuacje tę można przedstawić jako graf o wielokrotnych krawędziach:

Euler pokazał, że nie istnieje rozwiązanie tego zadania (jeśli wejdzie się po raz trzeci na wyspę, nie ma jak z niej wyjść). Trzeba w tym grafie znaleźć cykl Eulera, czyli cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie tego grafu, ale przez każdą krawędź tylko raz, co jest możliwe, gdy każdy jego wierzchołek ma parzysty stopień. Graf w postawionym problemie nie spełnia tego warunku.

Problem chińskiego listonosza

Dlaczego listonosza ?W swojej pracy, listonosz wyrusza z poczty, dostarcza przesyłki adresatom, by na końcu powrócić na pocztę. Aby wykonać swoją pracę musi przejść po każdej ulicy w swoim rejonie co najmniej raz. Oczywiście chciałby, aby droga, którą przebędzie, była możliwie najkrótsza. Dlaczego chińskiego ?Problem ten został sformułowany po raz pierwszy w języku teorii grafów przez chińskiego matematyka Mei Ku Kwana w 1962 roku. Sformułowanie problemu.Rozważmy graf, którego krawędzie odpowiadają ulicom w rejonie, obsługiwanym przez listonosza. Wierzchołki to po prostu skrzyżowania ulic. Krawędziom nadajemy wagi, które oznaczają odległości między dwoma skrzyżowaniami. Znalezienie możliwie najkrótszej drogi, którą musi przejść listonosz sprowadza się do znalezienia w tym grafie drogi o minimalnej sumie wag krawędzi, która przechodzi przez każdą krawędź co najmniej raz. 

Jeśli graf posiada cykl Eulera.Jeśli dany graf posiada cykl Eulera, to istnieje taka droga, która zaczyna i kończy się w tym samym punkcie i wymaga przejścia po każdej ulicy dokładnie raz. Zauważmy, że ponieważ każdy cykl Eulera przechodzi raz przez każdą krawędź to suma wag krawędzi (długość drogi, którą musi przejść listonosz) jest zawsze taka sama (nie zależy od wierzchołka, w którym cykl ten zaczyna się i kończy). Rozwiązaniem jest więc dowolny cykl Eulera w tym grafie. Jeśli graf nie posiada cyklu Eulera.W takim przypadku listonosz będzie zmuszony przejść niektórymi ulicami wielokrotnie.

Przybliżenia

Jakie jest pole kwadratowej działki zaznaczonej na mapie obok obok kolorem niebieskim?

Obliczamy pole działki:

Przyjmujemy przybliżenie:

Korzystamy z wzoru:

Test przeprowadzono na 10 000 osób.

Osoby zdrowe: 9800 osóbWynik pozytywny testu u 8%.

Osoby chore: 200 osóbWynik pozytywny testu u 99%.

Osoby zdrowe z testem pozytywnym: 784

Osoby chore z testem pozytywnym: 198

Łącznie osób z testem pozytywnym (stwierdzającym chorobę): 982, w tym chorych: 198, czyli 20,2%