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MatemáticaSemana 29/06Encuentro 14
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Matemática
Cronograma
29/06 al 2/07 Capítulo 9. Vectores en el espacio.(primera parte)
Seguí las actualizaciones en el
aula virtual¡!
Ejercicios recomendados1,2 6,7,8,9, 11 a) 13, 15,16, 18
Ejercicios de profundización3, 4, 5 10, 11 b) , 11 c) 12, 14, 17,19,
20, 21
En color están los ejercicios para esta parte
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Matemática
• Indicaciones generales.Capítulo 9 .Vectores en el espacio.
Libro Aula virtual
• ActividadesEjemplos
Consultas
Material disponible
en:
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Capítulo 9.Vectores en el espacio.(parte 1)
Libro Material disponible en el Libro
9.1 Definicionespp.115-1179.1.1. Componentes de un vector en el espacio9.1.2. Cosenos directores de vector en el espacio
9.2 Operaciones con vectores pp.117-1199.2.1. Suma9.2.2. Producto de un escalar por un vector9.2.3. Versores Fundamentales
9.3 Producto Escalar pp.119-1239.3.1 Ángulo entre vectores9.3.2 Trabajo efectuado por una Fuerza
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Matemática
Actividades
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Consideraciones prelimenares
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales
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Punto en espacio P(2,3,1) Otras vistas de P
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Vector: un segmento orientado
dirección
Orientación o sentido
Longitud del segmento orientado= módulo
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑣 , 𝐴 , 𝑃𝑄
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Componentes de un vectorSe llaman componentes de un vector 𝐴 respecto de un sistema de coordenadas con origen O y ejes x,y, z a los números
𝐴 = 𝑎!, 𝑎", 𝑎#
𝑃 𝑜$ , 𝑜% , 𝑜& 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
Q 𝑒$ , 𝑒% , 𝑒& 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜
/𝑎!=𝑒$ − 𝑜$𝑎" = 𝑒% − 𝑜%𝑎# = 𝑒& − 𝑜&
𝐴 = 𝑎!" + 𝑎"" + 𝑎#"Módulo de 𝐴 = 𝐴
Componentes de 𝐴
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Versores fundamentales:
𝚤 = 1, 0,0𝐽 = 0, 1,0𝑘 = 0, 0,1
𝐴 = 𝑎) 𝑖 + 𝑎* 𝚥 +𝑎+ 𝑘 = 𝑎), 𝑎*, 𝑎+
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Componentes de 𝐴 = 𝑃𝑄
𝑃 2,3,1 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑄(4,5,5) extremo
𝑎!=4 – 2=2𝑎" = 5 − 3 = 2𝑎# = 5 − 1 = 4
𝐴 = 2,2,4 = 2i+2j+4k
Módulo 𝐴 = 2" + 2" + 4" = 24
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Operaciones con vectores
• Suma• Multiplicación por un escalar• Producto escalar• Producto vectorial (Capítulo 9-parte 2)
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Suma y Multiplicación por un escalar
Ejemplos: Si 𝐴 = 3,−1, 1 𝑦 𝐵 = −2,3, 0calcular:
𝐴 + 𝐵, −𝐵, 𝐴 − 𝐵, 3 . 𝐵
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𝐴 + 𝐵 3 + −2 ,−1 + 3,1 + 0 1, 2,1
−𝐵 − −2 ,−3,−0 2, −3,0
𝐴 − 𝐵 3 − −2 ,−1 − 3,1 − 0 5,−4,1
3 . 𝐵 3. −2 , 3.3, 3.0 −6, 9,0
𝐴 = 3,−1,1 𝑦 𝐵 = −2,3,0
𝐴 + 𝐵𝐴 − 𝐵
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Gráficamente
−𝐵= 2, −3, 0 3 . 𝐵 = −6, 9, 0
𝐵 = −2,3, 0
La dirección de −𝐵 es IGUAL a la dirección de 𝐵La dirección de 3 . 𝐵 es IGUAL a la dirección de 𝐵
Se dicen colinealesSe dicen colineales
El sentido de −𝐵 es opuesto al de 𝐵El sentido de 3 . 𝐵 es igual al de 𝐵
forman un ángulo de 180ºforman un ángulo de 0º
El módulo de −𝐵 es igual al de 𝐵El módulo de 3 . 𝐵 es 3 veces mayor que el 𝐵
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Vector unitario: vector de módulo 1
Si 𝜆 = − !(⃗
entonces el vector 𝜆𝐴 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 1, 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
que 𝐴 pero sentido distinto.
Recordamos lo visto para vectores en el plano:
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Hallar vectores unitarios con 𝐵 = −2,3,0
Primero calculo el módulo de 𝐵𝐵 = (−2)"+3" + 0" = 13
Los vectores unitarios con 𝐵 son
𝑢! =!!#
−2,3,0 = )"!#, #!#, 0 𝑢" = − !
!#−2,3,0 = "
!#, )#!#, 0
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Producto escalar entre vectores
(leer completa la teoría)
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Dados 𝐴 = 3,−1, 1 , 𝐵 = −2 𝑖 + 3 𝑗 y 𝐶 = 2𝑖 + 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜 indicar si el resultado es un escalar o un vector y luego calcular
𝐴. 𝐵 , (𝐴 − 𝐵). 𝐶 , (𝐴 . 𝐵) 𝐶
• 𝐴. 𝐵 el resultado es un escalar 𝐴. 𝐵 = 3. −2 + −1 . 3 + 1.0 = −9
• (𝐴 − 𝐵). 𝐶
el resultado es un escalar, dado que primero debo hallar evector 𝐴 − 𝐵 y luego hacer el producto entre dicho vector y 𝐶
𝐴 − 𝐵 = 5, −4,1 (𝐴 − 𝐵). 𝐶 = 5,−4,1 . 2,0, 1 = =5.2+(-4).0+1.1=11
• (𝐴 . 𝐵) 𝐶
el resultado es un vector, dado que primero debo hallar el escalar 𝐴. 𝐵 y luego hacer el producto entre dicho escalar por 𝐶
𝐴. 𝐵 = −9 (𝐴 . 𝐵) 𝐶 = −9 2,0, 1 = −18,0, 9
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Los vectores 𝐴 𝑦 𝐵 forman un ángulo de *+
sabiendo que son unitarios, hallar 𝐴. 𝐵
𝐴. 𝐵= 𝐴 𝐵 cos 𝜃
𝐴. 𝐵=1 .1 cos *+
𝐴. 𝐵=1.1. ""
𝐴. 𝐵= ""
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Hallar un vector colineal 𝐵 con 𝐴 = 3,−1, 1 que satisfaga que 𝐴 . 𝐵 =4
• 𝐵 vector colineal con 𝐴 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒
Queremos hallar un vector que cumpla que:
• 𝐴 . 𝐵 =4
T 𝐴 . 𝐵 =4𝐵 = 𝜆 𝐴
existe un 𝜆 tal que 𝐵 = 𝜆 𝐴
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• Para la semana que viene:Completar los ejercicios del capítulo 9 primera parte
Mirar el material (libro y ejemplos subidos al aula virtual) .Traer inquietudes del capítulo 9 y de los capítulos anteriores.
• Si tenés alguna pregunta durante la semana hacé tuconsulta en el Foro del Aula Virtual.