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Matemática Aplicada
Sistemas Lineares (Teoria) – Rev0
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SISTEMAS LINEARES
1. Sistemas Lineares 2 x 2.
Os sistemas lineares 2 x 2 são estudados desde os anos finais do Ensino
Fundamental, provenientes de situações-problema, sejam matemáticas ou não. Neste
módulo avançaremos na teoria dos sistemas lineares e aprenderemos a resolver
sistemas 3 x 3 ou maiores.
2. Equações lineares
Cada linha dos sistemas que resolvemos abaixo é uma equação linear. Veja outros
exemplos:
a) x + y = 10 é uma equação linear nas incógnitas x e y;
b) 2x + 3y - 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;
c) x - 5y + z - 4t = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t;
d) 4x - 3y = x + y + 1 é uma equação linear nas incógnitas x e y.
Observação: As incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ... geralmente aparecem como 𝑥, 𝑦, 𝑧, ...
Pela definição, não são equações lineares:
• 𝑥𝑦 = 10
• 𝑥2 + 𝑦 = 6
• 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 + 𝑦2 = 1
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Observe, agora, as seguintes equações lineares:
a) 3x + 2y = 18
Dizemos que:
• o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3.4 + 2.3 = 18;
• o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3.6 + 2.0 = 18;
• o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3.5 + 2.1 ≠ 18.
b) 3x + y - 2z = 8
Dizemos que:
• o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3.2 + 4 + 2.1 = 8;
• o terno ordenado (0, 6, -1) é uma solução da equação, pois 3.0 + 6 - 2.(-1) = 8;
• o terno ordenado (5, -2, 3) não é solução da equação, pois 3.5 + (-2) – 2.3 ≠ 8.
Observação:
Geometricamente:
a) cada par ordenado (x, y) de números reais representa um ponto no plano;
b) cada terno ordenado (x, y, z) de números reais representa um ponto no espaço.
Exercício 2.1:
Resolva cada sistema linear abaixo pelo método que preferir:
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Exercício 2.2:
Identifique com a letra A as equações lineares e com a letra B as equações que não são lineares:
Exercício 2.3:
Verifique se o par ordenado:
a) (6, 2) é uma solução da equação linear 4x - 3y =18.
b) (3, -5) é uma solução da equação linear 2x + 3y = 21.
Exercício 2.4:
Verifique se o terno ordenado:
a) (1, 3, 2) é uma solução da equação linear 2x + y + 5z = 15.
b) (0, 0, 0) é uma solução da equação linear 2x + 7y - 3z = 0.
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Exercício 2.5:
Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k) seja uma solução da equação
linear 3x - 2y = 5.
Exercício 2.6:
O terno ordenado (k, 2, k +1) é uma das soluções da equação linear 4x + 5y - 3z = 10.
Determine k.
3. Sistemas de equações lineares
Exemplos:
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Solução de um sistema linear
Geometricamente:
• cada equação do sistema (a) e (b) representa os pontos de uma reta no plano;
• cada equação do terceiro (c) sistema representa os pontos de um plano no
espaço.
Exercício 3.1:
Verifique se:
Solução: ???
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Classificação dos sistemas lineares.
Observe, com bastante atenção, os três exemplos abaixo (A, B e C), todos eles
sistemas 2 x 2 resolvidos pelo método da adição.
Exercício A:
Então, (3, -1) é o único par ordenado de ℝ 𝑥 ℝ que é solução do sistema.
Dizemos então que o sistema tem como solução 𝑆 = {(3, −1)} e que ele é um sistema
possível e determinado (tem uma única solução).
Interpretação geométrica: Para fazer a representação gráfica desse sistema,
devemos perceber que cada equação linear dele pode ser reescrita como uma função
afim, cujo gráfico é uma reta.
Traçando o gráfico dessas duas retas no mesmo plano cartesiano, temos:
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As retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado que é solução do
sistema (sistema possível e determinado).
Exercício B:
Se em 0y = -8 não existe valor real para y, então não existe par ordenado de números
reais que seja solução do sistema.
Dizemos que o sistema tem como solução 𝑆 =⊘ e que ele é um sistema impossível
(não tem nenhuma solução).
Interpretação geométrica: Veja a representação gráfica desse sistema:
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As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução
do sistema (sistema impossível).
Exercício C:
Se 0y = 0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y = 𝛼, com 𝛼 ∈ ℝ,
e substituindo em uma das equações do sistema, temos:
O par ordenado (4 + 3𝛼, 𝛼), com 𝛼 ∈ ℝ, é a solução geral do sistema. Para cada valor
de 𝛼, temos uma solução para o sistema, por exemplo: (7, 1), (4, 0), (1,-1), conforme
𝛼 seja respectivamente 1, 0 ou -1.
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Dizemos que o sistema tem solução 𝑆 = {4 + 3𝛼, 𝛼 | 𝛼 ∈ ℝ} e que ele é um sistema
possível e indeterminado (tem infinitas soluções).
Interpretação geométrica: Observe a representação gráfica desse sistema:
As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções
do sistema (sistema possível e indeterminado).
O esquema abaixo resume as três possibilidades de classificação:
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4. Matrizes, sistemas lineares e determinantes
Qualquer sistema linear n x n pode ser escrito como um produto de matrizes.
Exemplos:
No conteúdo anterior, ao justificarmos o cálculo do determinante das matrizes 2
x 2 e 3 x 3, mostramos que um determinante não nulo indica um sistema determinado.
Agora, sabemos com mais precisão o que é um sistema possível e determinado e o
que são sistemas não determinados. Assim, se D for o determinante da matriz dos
coeficientes de um sistema, então o sistema será determinado se D ≠ 0. E se D = 0
o sistema será indeterminado ou impossível. Isso significa que usar o determinante
para classificar o sistema não é um modo eficaz.
Entretanto, conhecendo-se o tipo de sistema, é plenamente possível prever o
resultado do determinante D da matriz dos coeficientes do sistema:
• sistemas possíveis e determinados sempre têm determinante não nulo (D
≠ 0);
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• sistemas possíveis e indeterminados ou impossíveis sempre têm
determinante nulo (D = 0).
Exercício 4.1:
Determine o valor de k para que o sistema seja possível.
{𝑘𝑥 − 𝑦 = 2𝑥 + 5𝑦 = 3
Solução:
Se o sistema é impossível, então D = 0. Assim:
|𝑘 −11 5
| = 0 ⟹ 5𝑘 + 1 = 0 ⟹ 𝑘 = −1
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Exercício 4.2:
Resolvam cada sistema abaixo pelo método que preferirem e depois classifiquem-
nos:
Exercício 4.3:
Façam a representação gráfica de cada sistema do exercício anterior e verifiquem se
estão de acordo com a classificação feita.
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Exercício 4.4:
Escreva os sistemas abaixo na forma de um produto matricial e verifique se eles são
determinados ou não.
Exercício 4.5:
Determinem m para que o sistema linear.
5. Escalonamento de sistemas lineares
Acompanhe um método para classificar, resolver e discutir sistemas lineares de
quaisquer ordens, chamado método de escalonamento.
Esse sistema está escalonado, e, por isso, é simples resolvê-lo. Vamos, então,
estudar o método de escalonamento.
Inicialmente é necessário saber o que é um sistema linear escalonado.
Considerando um sistema genérico m x n, dizemos que ele está escalonado
quando a matriz dos coeficientes tiver, em cada uma de suas linhas, o primeiro
elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha
seguinte. Além disso, linhas com todos os elementos nulos devem estar abaixo de
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todas as outras. Observando as equações do sistema escalonado, percebe-se que,
em cada linha considerada, a primeira incógnita com coeficiente não nulo está sempre
à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da linha seguinte.
São exemplos de sistemas escalonados:
5.1. Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso
estar atento, pois a última linha em um sistema de n incógnitas é a enésima linha, que,
se não existir, deve ser considerada totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0, que
equivale a 0 = 0), como mostram os exemplos b e c acima.
Se o sistema é possível, basta resolvê-lo de baixo para cima, como veremos nos
exemplos a seguir.
Exemplo A:
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Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas).
Da 3° equação tiramos z = 2.
Da 2° equação, fazendo z = 2, temos 4y - 2.2 = 0 e daí y = 1.
Fazendo y = 1 e z = 2 na 1° equação, temos 3x - 2(1) + 2 = - 6 e daí x = - 2.
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S = {(- 2, 1, 2)}.
Exemplo B:
Sistema 4 x 4 já escalonado.
A 4a equação permite dizer que o sistema é impossível, logo 𝑆 = ⊘.
Exemplo C:
Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de incógnitas).
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos
um coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as
equações que faltam podem ser consideradas 0 = 0.
A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada incógnita livre.
Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Fazendo z = k, com k ∈ 𝑅, para descobrir a
solução geral do sistema.
Da 2° equação, temos:
3y - 6k = 0 ⇒ y = 2k
Usando z = k e y = 2k, temos:
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x + 2k + k = 0 ⇒ x = - 3k
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (- 3k, 2k, k).
Exemplo D:
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e
quatro incógnitas) e são duas as incógnitas livres (y e t).
Fazemos y = 𝛼 e t = 𝛽, com 𝛼 ∈ R e 𝛽 ∈ R.
Substituindo nas equações:
5.2. Sistemas lineares equivalentes