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Matemática Básica Un enfoque desde la Transposición

Didáctica

Esta obra ofrece una forma distinta de explicar algunos conceptos de

la matemática. El enfoque presentado aquí podría ser útil para

estudiantes de ingeniería o educación.

2017

Derwis Rivas Olivo

Departamento de Cálculo. Facultad de Ingeniería. ULA 27/01/2017

Introducción Desde sus inicios, la matemática, se ha mantenido en una constante

evolución. Cada vez son más sus aportes hacia otras ciencias y cada vez

más aumenta su campo de estudio. Resulta una tarea titánica

emprender el camino que concluya en llegar a la cima de éste

conocimiento socialmente construido a lo largo de la historia de la

humanidad. No obstante, contrario a esta tarea, la actividad que

significa conocer la forma como sus objetos más básicos se comportan,

satisfacen propiedades y operan entre ellos, es una tarea que se puede

llevar a cabo sin mayores complicaciones. Darle al lector una

orientación hacia el desarrollo de esta actividad es el objetivo

fundamental de este trabajo.

Por ende, lo que el lector encontrará no trata sobre la construcción

teórica de los objetos que hacen vida en la matemática. En lugar de eso,

encontrará un breve repaso que comprende gran parte de la esencia de

los conceptos de la artimética, el álgebra, la geometría analítica y el

cálculo infinitesimal desde el punto de vista de sus operaciones y

propiedades, que le permitirá hacerse de un conocimiento sobre los

fundamentos prácticos que hacen vida en estos conceptos.

Se trata en lo posible, a lo largo de todas las explicaciones, emplear un

discurso informal, menos técnico, tratando, y repito en lo posible, de

darle al discurso matemático cierto rostro humano que le permita al

lector adueñarse de los objetos matemáticos aquí presentados en su

forma simple y útil en sus operaciones y propiedades. Por esta razón, se

busca de este modo, alejarlo del técnicismo propio de la matemática que

impide, en la mayoría de los casos, a quienes no están formados en

dicha ciencia, adueñarse de la misma para tales propósitos.

Por lo tanto, en este trabajo no se ofrece un contenido matemático para

hacer investigación en ella, sino para conocer los conceptos, propiedaes

y operaciones básicas y la forma de hacer uso de ellas. Se trata

entonces, de emplear un discurso basado en la Transposición Didáctica.

Si bien es cierto que al hacerlo se pierde cierta generalidad en los

conceptos emitidos, también es cierto que se gana cierta comprensión,

aunque local, de tales conceptos. Se espera que el lector, en el

transcurrir del tiempo en contacto con la matemática, logre aprender

aquellas generalidades que en el momento no logró aprender. Tal como

ha ocurrido con la humanidad desde el inicio de la matemática.

Desde sus primeros pasos, la matemática no es ni fue lo que hoy día

conocemos como matemática. Esta ciencia incomprendida por muchos,

nace por la necesidad del hombre de cuantificar casi todas sus

actividades diarias; la agricultura, el comercio, la economía familiar,

etc. Cada civilización (egipcios, chinos, romanos, indúes, griegos) le

impregnó a la matemática cierto valor cultural propio de sus creencias,

de la forma de observar el Mundo y las fuerzas que en él se manifiestan.

Así por ejemplo, para los egipcios la existencia del número negativo o

del cero era practicamente imposible, ya que para ellos el número

estaba intimamente relacionado a la cantidad y la medida. Por otro

lado, para los indúes la existencia de números negativos representaba

un hecho muy normal y aceptados por todos, ya que para ellos el

número positivo representaba el “bien” la “fuerza positiva” y el número

negativo representaba el “mal” la “fuerza negativa opuesta a la positiva”.

Los indúes afirmaban que al encontrarse dos “fuerzas” de igual

magnitud pero opuestas (el “mal” vs el “bien”) se obtenía el “equilibrio”,

se obtenia el número cero.

Se debe a los griegos que la matemática se conozca hoy día como la

conocemos. En su mundo de ideas, y por darle sentido a la vida: dónde

se encuentra el ser, la existencia de lo puro, de lo único, de lo

indivisible, impregnaron a la matemática de Leyes y Propiedades e

hicieron de ella una Ciencia que se contruye a partir de axiomas,

postulados, teoremas, colorarios. Esto, permitió que la matemática

creciera e impregnó al Mundo de ella. El aporte de los griegos fue muy

beneficioso para el crecimiento de la misma, el único error y no lo

cometieron los griegos, fue suponer que para aprender matemáticas se

debe comenzar por aprender todos sus axiomas, postulados, teoremas,

leyes… que explican cómo ella funciona, en lugar de mostrar sus

operaciones desde el punto más básico, para luego, en el tiempo,

desarrollar esas competencias que permite ver en ella la necesidad de

tener que plantear toda esa estructura logica para poder generalizar sus

operaciones, sus propiedades. Dicho esto, no queda otra cosa que

presentar el contenido de este trabajo. Esta obra comprende cinco

capitulos:

Capítulo 1: Números, operaciones y propiedades. Comprende una

breve explicación acerca de la forma como se fue extendiendo el

conjunto de los números, partiendo desde los naturales, hasta llegar a

los números reales. En el paso de cada uno se detallan sus operaciones

y propiedades fundamentales y se muestra la inconveniencia que cada

uno presenta en ciertas operaciones. Este capítulo también contempla

conceptos como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor,

potenciación-propiedades y radicación-propiedades. De modo que este

primer capítulo brinda la base teórica-práctica necesaria para entender,

sin mayores complicaciones, el contenido de los siguientes capítulos.

Capítulo 2: Polinomios, Ecuaciones e Inecuaciones. Inicia con una

breve presentación acerca de los métodos más usuales empleados para

factorizar polinomios en el campo de números reales. También se ofrece

una breve descripción del significado que tienen los polinomios

irreducibles en dicho campo. Con ello, se ofrece al lector un conjunto de

herramientas fundamentales para adentrarse al estudio de las

ecuaciones e inecuaciones. En el caso de las ecuaciones, se estudian

únicamente tres tipos de ecuaciones: lineal, cuadrática y cúbica. En lo

que respecta a las inecuaciones, el estudio se dirige a presentar los

diversos medios que permiten obtener el conjunto solución de una

inecuación.

Capítulo 3: Funciones reales de variable real. En este capítulo se

trata el concepto que abre la puerta al estudio del cálculo diferencial e

integral: las funciones. Su importancia obliga a presentar

detenidamente este concepto, razón que nos impulsa a estudiar

previamente tres conceptos que dan el inicio a la geometría analitica: el

plano cartesiano, las ecuaciones de la recta y las cónicas. En la base de

estos conceptos se muestra el concepto de función y se presenta una

familia de funciones que constituyen las llamadas funciones

elementales. Se estudia el gráfico de una función y el algebra de

funciones. Finaliza con el estudio de la función inversa.

Capítulo 4: Límite y Continuidad. En este capítulo se abre la puerta

al cálculo diferencial. Se estudia el concepto de límite desde dos

enfoques: geométrico y analítico y se aborda el estudio de las

indeterminaciones. En lo que respecta a la continuidad, se estudia la

continuidad en un punto y en un intervalo. Este capítulo finaliza con el

estudio del algebra de las funciones continuas.

Capítulo 5: Derivada y diferencial. Se aborda el estudio de la derivada

en un punto y la función derivada, donde se analiza el modo de obtener

la función derivada como resultado de la implementación de un proceso

algebraico basado en un conjunto de leyes y propiedades. Basados en

este procedimiento se estudia la derivada de una función definida

implícitamente y las derivadas de orden superior hasta llegar a la

formulación de la derivada n-ésima de una familia de funciones. Este

capítulo concluye con el cálculo de diferenciales y valores aproximados.

Indice general

1. Los numeros, operaciones, propiedades 51.1. Los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Los Numeros Enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Los Numeros Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1. Suma o Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Los Numeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1. El numero π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1. Decimales y Fraccion Generatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Potenciacion y Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.2. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Polinomios, productos notables y factorizacion 432.0.3. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.0.4. Factorizacion en el Campo Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.0.5. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1. Ecuaciones Polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.1.1. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.2. Ecuaciones Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.3. Ecuaciones de grado mayor o igual a 3 . . . . . . . . . . . . . . 612.1.4. Teorema de la Factorizacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2. Inecuaciones y Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.1. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.4. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.2.5. Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.2.6. Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3. Funciones Reales de Variable Real 913.1. Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2. Ecuaciones de la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3. Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4. Funciones. Definicion y Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1

2 Prof. Derwis Rivas Olivo INDICE GENERAL

3.5. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.5.1. Funciones a partir de una Conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.5.2. Dominio Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6. Catalogo de Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.1. Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.2. Funciones Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6.3. Funcion Definida por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.7. Grafica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.7.1. Traslaciones Verticales y Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . 1533.7.2. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.7.3. Estiramiento y Compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.8. Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.8.1. Operaciones entre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.8.2. Calculo de forma analıtica del dominio de una funcion . . . . . 1673.8.3. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.9. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.9.1. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.9.2. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.10. Funciones como Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4. Lımite y Continuidad 1914.1. Lımite de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.1.1. Lımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.1.2. Calculo de Lımites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.1.3. Lımite Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.1.4. Lımite al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.1.5. Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.1. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.2. Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.2.3. Algebra de Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5. Derivada y Diferencial 2515.1. Derivada de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.1.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . 2535.1.3. Derivada y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.2. La Funcion Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.2.1. Derivada de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 2635.2.2. Calculo de Derivadas: Diferenciacion. . . . . . . . . . . . . . . . 2665.2.3. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

INDICE GENERAL Prof. Derwis Rivas Olivo 3

5.2.4. Notacion de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845.3. Diferenciacion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5.3.1. Derivacion Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.3.2. Derivada de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955.3.3. Razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.4. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015.4.1. Velocidad y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3025.4.2. Derivada enesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.5. Diferenciales y valores aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.5.1. Aproximacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.5.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125.5.3. Aplicaciones de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Capıtulo 5Derivada y Diferencial

La derivada es una de las herramientas modernas mas poderosas de la matematica ylas ciencias aplicadas. A Isaac Newton y Gottfried Leibinz les debemos este maravillosoconcepto, que tiene innumerables aplicaciones. Iniciamos en este capıtulo el estudio detan interesante herramienta.

5.1. Derivada de una funcion en un punto

5.1.1. Definicion

Definicion 5.1 Se llama derivada de la funcion f en el punto a al siguiente lımite sieste existe y es finito.

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a· (5.1)

En cuyo caso, diremos que la funcion f es derivable en a.

Las siguientes observaciones que se desprenden directamente de la definicion:

a) La notacion f ′ (lease f prima) fue introducida por Louis Lagrange en el ano 1797en su libro Theorie des fonctions analytiques.

b) En la definicion de derivada esta implıcita la necesidad de que la funcion de-be estar definida en a, para poder calcular f ′(a). Mas adelante veremos que lacontinuidad en a es una condicion necesaria para poder definir la derivada en a.

c) La derivada es un lımite indeterminado de la forma 00, por lo tanto; para saber si

existe, o no existe, debemos emplear todas las herramientas que estudiamos enel capıtulo anterior para resolver lımites con tales indeterminaciones.

d) Al igual que la continuidad, la derivada, es un concepto local. Veamos el siguienteejemplo.

Ejemplo 5.2 La funcion f(x) =√x+ 2 no es derivable en x = −2, ya que el lımite

5.1 no existe. En efecto:

f ′(−2) = lımx→−2

f(x)− f(−2)

x− (−2)= lım

x→−2

√x+ 2− 0

x+ 2= lım

x→−2

√x+ 2

(x+ 2)2

= lımx→−2

√1

x+ 2= +∞.

251

Material descargado desde la web del profesor de la Universidad de Los Andes Mérida – Venezuela. Autoría del

Profesor Derwis Rivas Olivo http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/derivas/apuntes.html

252 Prof. Derwis Rivas Olivo Capıtulo 5. Derivada y Diferencial

Sin embargo, en cualquier otro punto perteneciente al intervalo (−2,+∞) la funciones derivable. Veamos, sea a > −2, entonces


f(x)− f(a)

x− a= lım

x→a

√x+ 2−

√a+ 2

x− a= lım

x→a

x+ 2− a− 2

(x− a)(√x+ 2 +

√a + 2)

= lımx→a

x− a

(x− a)(√x+ 2 +

√a+ 2)

= lımx→a

1√x+ 2 +

√a+ 2

=1

2√a+ 2

.

Como a > −2, entonces f ′(a) existe. Lo que significa que la funcion f(x) =√x+ 2 es

derivable en cada punto del intervalo (−2,+∞).

Ejemplo 5.3 Determine el valor de f ′(2) sabiendo que f(x) = x2 + 3x− 4.

Solucion. En este caso a = 2, de modo que f(a) = f(2) = 22 + 3(2)− 4 = 6.

f ′(a) = lımx→2

f(x)− f(2)

x− 2= lım

x→2

x2 + 3x− 4− 6

x− 2= lım

x→2

x2 + 3x− 10

x− 2

= lımx→2

(x− 2)(x+ 5)

x− 2= lım

x→2(x+ 5) = 7.

Por lo tanto, f ′(2) = 7.

Derivadas laterales

Como la derivada se define como un lımite, al calcular los lımites laterales, de estelımite, calculamos las derivadas laterales de la funcion en el punto a.

Definicion 5.4 (Derivadas laterales)Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente, a lossiguientes lımites, si existen y son finitos:

f ′+(a) = lım

x→a+

f(x)− f(a)

x− a

f ′−(a) = lım

x→a−

f(x)− f(a)

x− a

Claramente, f es derivable en a si, y solo si las derivadas laterales en a son iguales.

Ejemplo 5.5 Considera la funcion f(x) = |x − 2|. ¿Sera f derivable en los puntosx = 2, x = 0?.

Solucion. Recordemos que

f(x) = |x− 2| ={

x− 2, si x ≥ 2;−(x− 2), si x < 2.



5.1. Derivada de una funcion en un punto Prof. Derwis Rivas Olivo 253

Derivabilidad en x = 2. Notemos que alrededor de x = 2 la funcion cambia de forma;a la derecha tenemos la funcion f(x) = x − 2, mientras que por la izquierda tenemosla funcion f(x) = −(x − 2). Por esta razon, debemos estudiar la derivabilidad de estafuncion en x = 2 calculando las derivadas laterales en dicho punto. La derivada por laderecha resulta:

f ′+(2) = lım

x→2+

f(x)− f(2)

x− 2= lım

x→2+

x− 2− 0

x− 2= 1.

Mientras que la derivada por la izquierda es:

f ′−(2) = lım

x→2−

f(x)− f(2)

x− 2= lım

x→2−

−(x− 2)− 0

x− 2= −1.

Puesto que f ′+(2) 6= f ′

−(2), la funcion no es derivable en x = 2.

Derivabilidad en x = 0. Estudiamos la derivabilidad de la funcion en x = 0 directa-mente, ya que alrededor de este punto solo esta definida la funcion f(x) = −(x− 2).

f ′(0) = lımx→0

f(x)− f(0)

x− 0=

−(x− 2)− (2)

x= lım

x→0

−x

x= −1.

Por lo tanto f es derivable en = 0.

Hemos visto, en los dos ultimos ejemplos, que la derivabilidad de una funcion dependedel punto y no de la funcion. Nos preguntamos; ¿que sucede en tales puntos?,¿como se comporta la funcion alrededor de tales puntos?. Como bien sabemos,la continuidad o discontinuidad de una funcion en un punto tiene una implicaciondirecta con el comportamiento de la funcion alrededor del punto. En la derivada ocurrealgo similar, la funcion en los puntos donde no es derivable tiene un comportamientomuy especial. Este es precisamente el significado geometrico de la derivada.

5.1.2. Interpretacion geometrica de la derivada

Recta tangente a una curva

Todos sabemos que la recta tangente a una circunferen-cia es una recta que toca la circunferencia en un solopunto. Adoptar esta definicion para la recta tangente auna curva serıa, a la vez, demasiado restrictiva y dema-siado amplia.

Con tal definicion, la recta de la figura A no serıa tangente a la curva, mientras que laparabola tendrıa dos tangentes en cada uno de sus puntos (figura B), y la curva de lafigura C tendrıa muchas tangentes en cada uno de sus picos.




A CB

Encontrar las rectas tangentes a una curva es un problema que se remonta a la GreciaAntigua. Sin embargo, para dar con la solucion debieron pasar muchos siglos. En elano 1629 Pierre Fermat encontro un interesante metodo para construir las tangentes auna parabola. Su idea fue la de considerar a la recta tangente como la posicion lımitede rectas secantes. A partir de aquı, no paso mucho tiempo para que Isaac Newton(1624-1727) iniciara el estudio sistematico de la derivada, originando de este modo elCalculo Diferencial.

Isaac Newton (1642 - 1727)El ano y medio que empezo en enero de 1665 ha sidollamado el periodo mas fructıfero de la historia del pen-samiento cientıfico. En ese corto tiempo, Isaac Newtondescubrio el Teorema General del Binomio, el CalculoDiferencial e Integral, la Teorıa del Color y las Leyes dela Gravitacion.

“No se lo que puedo parecer al mundo; pero para mı mismo, solo he sido como un ninojugando a la orilla del mar, y divirtiendome al hallar de vez en cuando un guijarro massuave o una concha mas hermosa que de costumbre, mientras que el gran oceano de laverdad permanecıa sin descubrir ante mı”.

Con el objeto de establecer una definicion satisfactoriapara una recta tangente a una curva, consideremos unafuncion continua y = f(x) cuya representacion grafica sedesarrolla suavemente (sin picos). Consideremos la rectasecante (azul) que une los puntos A(a, f(a)) y P (x, f(x))tal como se muestra en la figura adjunta. La pendientede esta recta se define como

mPA =f(x)− f(a)

x− a.

A

P

xa

f( )a

f(x)




A

P

xa

f( )a

f(x)Si movemos a P sobre el grafico de tal forma que Pse aproxime a A, la recta secante se aproximara a larecta tangente (rojo). En el lımite la recta secante coin-cidira exactamente con la recta tangente. Es decir, larecta tangente es la posicion lımite de la rectasecante cuando P tiende a A.

Decir que P (x, f(x)) se aproxima a A(a, f(a)) es equivalente a decir que x se aproximaa a. Resulta razonable establecer que la pendiente m de la recta tangente al grafico dela funcion y = f(x) en el punto (a, f(a)) es

m = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a·

Si comparamos este lımite con 5.1 notaremos que son identicos, lo que significa que lapendiente de la recta tangente a la grafica de y = f(x) en el punto (a, f(a)) coincideexactamente con la derivada de la funcion f en el punto a. Es decir, la derivada de lafuncion f en el punto a es la pendiente de la recta tangente a la grafica de y = f(x)en el punto (a, f(a)). Ahora si estamos en condiciones de dar una definicion formal derecta tangente a una curva.

Definicion 5.6 (Recta Tangente)La recta tangente a una curva y = f(x) en el punto P (a, f(a)) es aquella recta quepasa por P con pendiente

m = f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

siempre que este lımite exista y sea finito.

Es necesario hacer los siguientes comentarios a nuestra definicion:

a) La recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)) esta definida si f esderivable en a. En otras palabras, si la funcion f es derivable en a la derivada ena se interpreta como la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)).

Ejemplo 5.7 En el ejemplo 5.5 vimos que f(x) = |x− 2| noes derivable en x = 2 ya que f ′

+(2) 6= f ′−(2) y en la grafica de

la funcion podemos notar que en x = 2 la funcion tiene unpico.

y=|x-2|

2

En general, en los puntos donde la grafica tiene un pico la funcion no es derivabley por ende, en estos puntos, no es posible definir la recta tangente. En estos casosse dice que la curva no es suave en tales puntos.




b) Como la pendiente de la recta recta tangente en el punto (a, f(a)) es un lımite,este lımite pudiera ser infinito; en cuyo caso sabemos que la funcion no es derivableen a, sin embargo, geometricamente significa que la tangente en ese punto esvertical.

Ejemplo 5.8 En el ejemplo 5.2 vimos que f(x) =√x+ 2 no

es derivable en x = −2 ya que

f ′(−2) = lımx→−2

f(x)− f(−2)

x+ 2= +∞.

Sin embargo, podemos decir que en x = −2 la curva y =√x+ 2 tiene una tangente vertical.

y= x+2

-2

Ejemplo 5.9 ¿Sera f derivable en los puntos x = −1, x = 1?

f(x) =

−x, si x < −1;x2

2, si −1 ≤ x ≤ 1;

1/4(x+ 1), si x > 1.

½

-1 1

Solucion. En la figura adjunta podemos observar elgrafico de la funcion. Al parecer, en los puntos x = −1y x = 1, la funcion tiene picos lo que significa que enambos puntos f no puede ser derivable. Esta deducciongeometrica-intuitiva se puede comprobar por medio deun sencillo calculo.

Derivabilidad en x = −1.

f ′+(−1) = lım

x→−1+

f(x)− f(−1)

x− (−1)= lım

→−1+

−x/2 − 1/2

x+ 1= lım

x→−1+

−1/2(x+ 1)

(x+ 1)= −1/2.

f ′−(−1) = lım

x→−1−

f(x)− f(−1)

x− (−1)= lım

x→−1−

x2/2− 1/2

x+ 1= lım

x→−1−

1/2(x2 − 1)

(x+ 1)

= lımx→−1−

1/2(x− 1)(x+ 1)

(x+ 1)= lım

x→−1−1/2(x− 1) = −1

Como f ′+(−1) 6= f ′

−(−1), entonces en x = −1 la funcion no es derivable.

Derivabilidad en x = 1.

f ′−(1) = lım

x→1−

f(x)− f(1)

x− 1= lım

x→1−

x2/2− 1/2

x− 1= lım

x→1−

1/2(x2 − 1)

(x− 1)

= lımx→1−

1/2(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)= lım

x→1−1/2(x+ 1) = 1




f ′+(1) = lım

x→1+

f(x)− f(1)

x− 1= lım

x→1+

1/4(x+ 1)− 1/2

x− 1= lım

x→1+

1/4(x+ 1− 2)

(x− 1)

= lımx→1+

1/4(x− 1)

(x− 1)= 1/4.

Como f ′+(1) 6= f ′

−(1), entonces en x = 1 la funcion no es derivable.

Ecuacion de la Recta Tangente y Recta Normal

La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)) se definecomo la derivada de f en el punto x = a, esto es f ′(a). Si la funcion es derivable en a,entonces el valor de f ′(a) esta garantizado y por lo tanto podemos definir una formulaque nos ayude a determinar la ecuacion de la recta tangente.

Si f es derivable en a la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto(a, f(a)) viene dada por:

y − f(a) = f ′(a)(x− a) (5.2)

Definicion 5.10 (Recta Normal a la curva)Llamaremos recta normal a la grafica de la curva y = f(x) enel punto (a, f(a)) a la recta perpendicular a la recta tangenteen dicho punto. De modo que su ecuacion viene dada por:

y − f(a) = − 1

f ′(a)(x− a) (5.3) Recta Normal

Recta Tangente

Observacion 5.11

1. Si f ′(a) = 0, entonces en el punto (a, f(a)) la curva y = f(x) tiene: una tangentehorizontal cuya ecuacion es y = f(a), y una recta normal vertical cuya ecuaciones x = a.

2. Si f ′(a) es un lımite infinito, entonces en el punto (a, f(a)) la curva y = f(x)tiene: una recta tangente vertical cuya ecuacion es x = a, y una recta normalvertical cuya ecuacion es y = f(a).

3. En la figura se advierte que la recta tangente, alrededor del punto de tangencia, seencuentra muy proxima a la curva. Este hecho nos permitira definir en la Seccion5.5 la aproximacion lineal, usando como base la ecuacion 5.2.

Ejemplo 5.12 Determine las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva de

Agnesi y =4

x2 + 2en el punto x = 0.




Solucion. En este caso a = 0, de modo que (a, f(a)) = (0, f(0)) = (0, 2).

f ′(0) = lımx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0

4x2+2

− 2

x= lım

x→0

−2x2

x2+2

x= lım

x→0

−2x

x2 + 2= 0.

Entonces, en el punto (0, 2) la curva de Ag-nesi tiene una tangente horizontal de ecua-cion y = 2 y una normal vertical de ecuacionx = 0.

2

0

Ejemplo 5.13 Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curvay = senx en el punto x = 0.

Solucion. En este caso a = 0, de modo que (a, f(a)) = (0, f(0)) = (0, 0)

f ′(0) = lımx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0

senx

x= 1.

La recta tangente es:

y − 0 = 1(x− 0) ⇒ y = x.

La recta normal es:

y − 0 = −1

1(x− 0) ⇒ y = −x.

-p/2 p/2

Ejemplo 5.14 Determine la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva y =3√x− 1 en el punto x = 1

Solucion. En este caso a = 1, de modo que (a, f(a)) = (1, f(1)) = (1, 0).

f ′(1) = lımx→1

f(x)− f(1)

x− 1= lım

x→1

3√x− 1− 0

x− 1= lım

x→1

3

√x− 1

(x− 1)3= lım

x→1

3

√1

(x− 1)2= +∞.

Entonces, en el punto (1, 0) la curva y = 3√x− 1 tiene

una tangente vertical de ecuacion x = 1 y una normalhorizontal de ecuacion y = 0.

1




5.1.3. Derivada y Continuidad

El Ejemplo 5.9 nos presenta una funcion continua en todos los puntos del dominio yque no es derivable en algunos de sus puntos. Es decir, tenemos en el Ejemplo 5.9 unafuncion continua que no es derivable. Este tipo de funciones son muy comunesy faciles de construir, el valor absoluto nos provee una excelente herramienta paraconstruir este tipo de funciones. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.15 Compruebe que la funcion f(x) = |x| es continua en x = 0 y no esderivable en dicho punto.

Solucion. Lo podemos comprobar geometricamente y analıticamente.

y=-x

0

y=x

Geometricamente. En la grafica puede notarse quela funcion es continua en x = 0 (la curva pasa sobrex = 0). No es derivable en x = 0 porque en dicho puntola curva tiene un pico (la curva no pasa sobre el puntocon suavidad).

Analıticamente.

a) f es continua en x = 0. En efecto, lımx→0

|x| = |0| = 0 = f(0).

b) f no es derivable en x = 0. En efecto, las derivadas laterales no son iguales.

f ′+(0) = lım

x→0+

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0+

x

x= 1 ⇒ f ′

+(0) = 1

f ′−(0) = lım

x→0−

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0−

−x

x= −1 ⇒ f ′

−(0) = −1

Ejemplo 5.16 Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion f(x) = |x2 − 4|.

-2 2

Solucion. En la figura adjunta puede observarse lagrafica de la funcion. La continuidad puede garantizarseen todos los reales. La derivabilidad en los puntos x = 2y x = −2 no puede asegurarse.

Para estudiar la derivabilidad debemos reescribir la funcion

f(x) = |x2 − 4| ={

x2 − 4, si x2 − 4 ≥ 0;−(x2 − 4), si x2 − 4 < 0.

=

{x2 − 4, si x ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞);−(x2 − 4), si x ∈ (−2, 2).





f ′+(2) = lım

x→2+

f(x)− f(2)

x− 2= lım

x→2+

x2 − 4− 0

x− 2= lım

x→2+

(x− 2)(x+ 2)

x− 2= lım

x→2+x+ 2 = 4 ⇒ f ′

+(2) = 4.

f ′−(2) = lım

x→2−

f(x)− f(2)

x− 2= lım

x→2−

−(x2 − 4)− 0

x− 2= lım

x→2−

−(x− 2)(x+ 2)

x− 2= lım

x→2−−(x+ 2) = −4 ⇒ f ′

−(2) = −4.

Como f ′+(2) 6= f ′

−(2) se sigue que f no es derivable en x = 2.

Derivabilidad en x = −2. Se deja como ejercicio al lector.

A pesar de que no toda funcion continua es derivable, existe una interesante cone-xion entre la continuidad y la derivabilidad, esta conexion se muestra acontinuacion.

Teorema 5.17 Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

El contrarecıproco de este teorema tambien es valido y esta enunciado en el siguientecorolario.

Corolario 5.18 Si f no es continua en a, entonces f no es derivable en a.

A modo de resumen tenemos las siguientes afirmaciones:

Una funcion derivable es tambien una funcion continua (gracias al teorema ante-rior).

Una funcion discontinua no es derivable (gracias al corolario anterior).

Una funcion continua no necesariamente es derivable (recuerde la funcion f(x) =|x|).

A la hora de estudiar la continuidad y derivabilidad de una funcion es recomendabletener bien claro estas tres afirmaciones.

Ejemplo 5.19 Estudia la derivabilidad de la funcion

f(x) =

−x− 1, si x ≤ −1;(x+ 1)2, si −1 < x < 0;√1− x2, si 0 ≤ x < 1

x2 − 2x, si x ≥ 1.



5.2. La Funcion Derivada Prof. Derwis Rivas Olivo 261

Solucion. En la figura adjunta podemos observar larepresentacion grafica de la funcion. En el punto x = 1la funcion es discontinua, por lo tanto, en ese punto lafuncion no es derivable. En los puntos x = −1 y x = 0la grafica de la funcion pareciera tener picos, de ser ası,la funcion en tales puntos no es derivable.

0-1 1

1

Derivabilidad en x = −1.

f ′+(−1) = lım

x→−1+

f(x)− f(−1)

x− (−1)= lım

x→−1+

(x+ 1)2 − 0

x+ 1= lım

x→−1+(x+ 1) = 0.

f ′−(−1) = lım

x→−1−

f(x)− f(−1)

x− (−1)= lım

x→−1−

−x− 1− 0

x+ 1= lım

x→−1−

−(x+ 1)

x+ 1= −1.

Como f ′+(−1) 6= f ′

−(−1) se sigue que f no es derivable en x = −1.


f ′+(0) = lım

x→0+

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0+

√1− x2 − 1

x= lım

x→0+

1− x2 − 1

x(√1− x2 + 1)

= lımx→0+

−x2

x(√1− x2 + 1)

= lımx→0+

−x√1− x2 + 1

= 0.

f ′−(0) = lım

x→0−

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0−

(x+ 1)2 − 1

x= lım

x→0−

x2 + 2x+ 1− 1

x= lım

x→0−

x2 + 2x

x

= lımx→0−

x(x+ 2)

x= lım

x→0−x+ 2 = 2.

Como f ′+(0) 6= f ′

−(0) se sigue que f no es derivable en x = 0.Tal como sospechabamos la funcion en los puntos x = −1 y x = 0 no es derivable,entonces la grafica de la funcion en esos puntos tiene picos, o lo que es igual, la graficaatraviesa ambos puntos sin suavidad.

5.2. La Funcion Derivada

Definicion 5.20 (La Derivada de f)Para cualquier funcion f designamos por f ′ a la funcion cuyo dominio es el conjuntode todos los numeros a, en el dominio de f , tales que f es derivable en a. Esto es,

Dom(f ′) =

{a ∈ Dom(f) : f ′(a) = lım

x→a

f(x)− f(a)

x− aexiste

}.

La funcion f ′ recibe el nombre de derivada de f .




Esta definicion merece los siguientes comentarios:

a) El dominio de la derivada siempre sera un subconjunto del dominio de la funcion.Es decir, Dom(f ′) ⊆Dom(f).

b) Nuestro segundo comentario tiene que ver con el calculo de la funcion derivada. Sia representa cualquier numero en el dominio de la funcion, entonces la derivadaen a define como


f(x)− f(a)

x− a·

Si hacemos el siguiente cambio de variable

c.v.

{h = x− a ⇒ x = a + hcomo x → a, entonces h → 0,

la derivada en a se expresa de la siguiente manera:

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h·

Como a representa cualquier numero en el dominio de f , designemos por x a estenumero, de manera la derivada de f se expresa como

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h· (5.4)

En adelante emplearemos la formula 5.4 para calcular la derivada de una funcion.

Ejemplo 5.21 Determina la derivada de la funcion f(x) =√x+ 2 y encuentra el

conjunto de puntos donde f es derivable.

Solucion.


f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

√x+ h+ 2−

√x+ 2

h

= lımh→0

x+ h+ 2− x− 2

h(√x+ h + 2 +

√x+ 2)

= lımh→0

h

h(√x+ h+ 2 +

√x+ 2)

= lımh→0

1√x+ h + 2 +

√x+ 2

=1

2√x+ 2

·

Por lo tanto la derivada de f es la funcion f ′(x) =1

2√x+ 2

· Esta funcion tiene sentido

siempre que x + 2 > 0, lo que implica, x > 2. De modo que Dom(f ′) = (2,+∞), esdecir f es derivable para todo x > 2.




Ejemplo 5.22 Determina la derivada de la funcion f(x) = x2 +3x− 4. Luego evaluaf ′(2) y compara con el Ejemplo 5.3.

Solucion.


f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

(x+ h)2 + 3(x+ h)− 4− (x2 + 3x− 4)

h

= lımh→0

x2 + 2xh + h2 + 3x+ 3h− 4− x2 − 3x+ 4

h= lım

h→0

2xh+ h2 + 3h

h

= lımh→0

h(2x+ h+ 3)

h= lım

h→0(2x+ h+ 3) = 2x+ 3.

Por lo tanto, la derivada de f es la funcion f ′(x) = 2x+3. Luego, f ′(2) = 2(2)+3 = 7.Al comparar con el Ejemplo 5.3 notamos que el Ejemplo 5.3 es un caso particular de lasituacion presentada en este ejemplo. En este ejemplo encontramos una formula parala derivada, una vez obtenida, podemos evaluar la derivada en cualquier punto deldominio de la funcion donde la derivada tenga sentido.

5.2.1. Derivada de las funciones elementales

Con la formula 5.4 es posible determinar las derivadas de cada una de las funcioneselementales. Con ellas construiremos una tabla (Tabla de Derivadas) que nos sera muyutil en el calculo de derivadas.

Constante:

Identidad:

Potencia:

?

?

?

Si f(x)=k entonces f’(x)=0.

Si f(x)=x entonces f’(x)=1.

Si f(x)= entonces f’(x)=n .

Si f(x)=

Si f(x)=

Si f(x)=a a

Si f(x)=e

Logaritmo:

Exponencial:

?

?

?

?

xn xn-1

log x entonces f’(x)=

lnx entonces f’(x)=

entonces f’(x)= lna

entonces f’(x)=e

a

x x

x x

1

xlna

1

x

TABLA DE DERIVADAS

Trigonométricas:?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Si f(x)=sen(x) entonces f’(x)=cos(x).Si f(x)=cos(x) entonces f’(x)=-sen(x).Si f(x)=tan(x) entonces f’(x)=sec (x) .Si f(x)=sec(x) entonces f’(x)=sec(x)tan(x).Si f(x)=csc(x) entonces f’(x)=-csc(x)cot(x).Si f(x)=cot(x) entonces f’(x)=-csc (x).

Si f(x)=arcsen(x) entonces f’(x)=

Si f(x)=arccos(x) entonces f’(x)=

Si f(x)=arctan(x) entonces f’(x)=

Si f(x)=senh(x) entonces f’(x)=cosh(x).Si f(x)=cosh(x) entonces f’(x)=senh(x).Si f(x)=tanh(x) entonces f’(x)=sech (x).

Inversas Trigonométricas:

Hiperbólicas:

2

2

2

1

1 - x2

-1

1 - x2

1

1 + x2




A modo de ejemplo demostraremos algunos resultados propuestos en la tabla. Las queno se comprueben quedaran como buenos ejercicios para el lector.

Constante. Si f(x) = k, entonces


f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

k − k

h= 0.

Por lo tanto, si f(x) = k entonces f ′(x) = 0.

Identidad. Si f(x) = x, entonces


f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

x+ h− x

h= lım

h→0

h

h= 1.

Por lo tanto, si f(x) = x entonces f ′(x) = 1.

Potencia. Supongamos f(x) = xn. Si en un entero positivo, entonces del Binomio deNewton sabemos que

(x+ h)n =

(n0

)xn +

(n1

)xn−1h+

(n2

)xn−2h2 + · · ·+

(n

n− 1

)xhn−1

+

(nn

)hn

= xn + nxn−1h+n(n− 1)

2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

Luego la derivada es:


f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

(x+ h)n − xn

h

= lımh→0

xn + nxn−1h+n(n− 1)

2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn

h

= lımh→0

nxn−1h+n(n− 1)

2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

h

= lımh→0

h

(nxn−1 +

n(n− 1)

2xn−2h+ · · ·+ nxhn−2 + hn−1

)

h

= lımh→0

nxn−1 +n(n− 1)

2xn−2h+ · · ·+ nxhn−2 + hn−2 = nxn−1.

Por lo tanto si f(x) = xn, entonces f ′(x) = nxn−1.




A pesar de que hemos demostrado la derivada de la potencia para n entero positivo,vale la pena mencionar que esta formula tambien es valida si n es un numero real(esta afirmacion se verificara mas adelante como aplicacion del Teorema de la FuncionInversa). De modo que esta tabla nos permite obtener la derivada de una funcionpotencial. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.23 Usa la tabla de la potencia para encontrar la derivada de la funcionf(x) =

√x

Solucion. Primero transformamos la raız en una potencia, esto es, f(x) =√x = x

12 .

Luego, aplicamos la tabla, en este caso n = 1/2.

f ′(x) =1

2x1/2−1 =

1

2x−1/2 =

1

2√x.

Por lo tanto, si f(x) =√x entonces f ′(x) =

1

2√x.

De manera analoga se puede probar que si f(x) = 3√x, entonces f ′(x) =

1

33√x2

(com-

pruebelo!).

Ejemplo 5.24 Usa la tabla de la potencia para encontrar la derivada de la funcion

f(x) =x3√x

3√x2

Solucion. Aplicamos las propiedades de la potencia para reescribir la funcion

f(x) =x3√x

3√x2

=x3x

12

x23

=x3+ 1

2

x23

=x

72

x23

= x72− 2

3 = x176 .

Usamos la tabla, en este caso n = 17/6.

f ′(x) =17

6x

176−1 ⇒ f ′(x) =

17

6x

116 .

Logaritmo y Exponencial. Para comprobar las tablas de la exponencial y logaritmoes necesario tener en cuenta la siguiente identidad (la cual se puede comprobar usandouna tabla de valores)

lımx→0

(1 + x)1/x = e .




Comprobemos que si f(x) = ax, entonces f ′(x) = ax ln a. Claramente f(x) = ex es elcaso particular a = e .


f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

ax+h − ax

h= lım

h→0

axah − ax

h

= lımh→0

ax[ah − 1

]

h= ax lım

h→0

ah − 1

h

Aplicamos el siguiente cambio de variable

c.v.

{t = ah − 1 ⇒ t+ 1 = ah ⇒ h ln a = ln(t+ 1)como h → 0 entonces t → 0.

Entonces

f ′(x) = ax lımh→0

ln a(ah − 1

)

h ln a= ax ln a lım

t→0

t

ln(t+ 1)= ax ln a lım

t→0

[ln(t + 1)

t

]−1

= ax ln a

[lımt→0

ln(t+ 1)

t

]−1

= ax ln a

[lımt→0

1

tln(t+ 1)

]−1

= ex[lımt→0

ln(t+ 1)1/t]−1

= ax ln a[ln lım

t→0(t + 1)1/t

]−1

= ax ln a [lne ]−1 = ax ln a.

Por lo tanto, f ′(x) = ax ln a. Comprobar la tabla del logaritmo queda como ejercicio allector.

Trigonometricas Inversas. Las tablas de las inversas trigonometricas se compro-baran mas adelante como una aplicacion del Teorema de la Funcion Inversa.

5.2.2. Calculo de Derivadas: Diferenciacion.

Se llama derivacion o diferenciacion al proceso de hallar la derivada de una funcion.Hasta ahora, este proceso fue llevado a cabo aplicando directamente la definicion, locual dependıa del laborioso y tedioso trabajo de calcular ciertos lımites. En esta seccionpresentaremos algunos teoremas que nos permitiran encontrar la derivada de un grannumero de funciones en forma rapida y mecanica, sin tener que recurrir a los lımites.

Teorema 5.25 (Regla del multiplo constante)Sea f una funcion derivable y k una constante, entonces el producto k · f es tambienuna funcion derivable y ademas:

[k · f(x)]′ = k · f ′(x).

Veamos algunos ejemplos de como se utiliza esta regla:




[3 log2 x]′ = 3 [log2 x]

′ = 31

x ln 2=

3

x ln 2·

[sen x4

]′=

[1

4sen x

]′= 1

4[sen x]′ =

1

4cosx =

cos x

4·

Teorema 5.26 (Regla de la suma o de la diferencia)Sean f , g funciones derivables, entonces la suma o diferencia f ± g es tambien unafuncion derivable y ademas:

[f(x)± g(x)]′ = f ′(x)± g′(x).


[√x+ 3x]

′= [

√x]

′+ [3x]′ =

1

2√x+ 3x ln 3.

[arc cosx− arc sen x]′ = [arc cosx]′−[arc sen x]′ =−1√1− x2

− 1√1− x2

=−2√1− x2

·

Observacion 5.27 Este resultado puede extenderse facilmente para el caso de variossumandos.

[f(x)± g(x)± · · · ± h(x)]′ = [f(x)]′ ± [g(x)]′ ± · · · ± [h(x)]′ .

Por ejemplo,

[ex + ln x− cosx]′ = [ex]′ + [ln x]′ − [cosx]′ = ex +1

x− (− sen x) = ex +

1

x+ cosx.

Teorema 5.28 (Regla para el producto de dos funciones)Sean f , g funciones derivables, entonces el producto f · g es tambien una funcionderivable y ademas:

[f(x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).


[x3 cosx]′= [x3]

′cosx+x3 [cosx]′ = 3x2 cos x+x3(− sen x) = 3x2 cosx−x3 sen x.

[exx5]′= [ex]′ x5 + ex [x5]

′= exx5 + ex5x4 = ex(x5 + 5x4).

Teorema 5.29 (Regla para el cociente de dos funciones)Sean f , g funciones derivables y g(x) 6= 0, entonces el cociente f/g es tambien unafuncion derivable y ademas:

[f(x)

g(x)

]′=

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)(g(x))2

·





[3√x

tanx

]′=

[ 3√x]

′tanx− 3

√x [tanx]′

(tanx)2=

1

33√x2

tanx− 3√x sec2 x

tan2 x=

tan x− 3x sec2 x

3 3√x tan2 x

·

[ln x

x

]′=

[ln x]′ x− ln x [x]′

x2=

1xx− ln x

x2=

1− ln x

x2·

Esta regla tiene un caso particular, que por su utilidad, vale la pena mencionar. Setrata del caso en el que el numerador del cociente es la funcion constante.

Corolario 5.30 Si f es una funcion derivable con f(x) 6= 0 y k es una constante,entonces k/f es una funcion derivable y ademas

[k

f(x)

]′=

−k

(f(x))2· f ′(x).

Veamos algunos ejemplos de como se utiliza este caso particular de la regla del cociente:

[4

sen x+ cosx

]′=

−4

(sen x+ cosx)2· [sen x+ cosx]′ =

−4 (cosx− sen x)

(sen x+ cosx)2

[3√2

ln x

]′=

− 3√2

ln2 x· [ln x]′ = − 3

√2

ln2 x· 1x=

− 3√2

x ln2 x·

En la siguiente tabla, a modo de resumen, se presenta cada una de las reglas antesdescritas. Es muy importante que entienda cada una de estas reglas, y entenderlas,mas que memorizarlas, significa ver en que situaciones se puede aplicar una u otraregla; reconocer sus ventajas y ser capaces de distinguir una de la otra.




Derivada de una contantepor una función

Derivada de una suma odiferencia de funciones

Derivada de un productode funciones

Derivada de un cocientede funciones

Derivada de un cocienteentre una constante y

una función

REGLAS DE DERIVACIÓN

FÓRMULAREGLA SE LEE

[k · f(x)]’ = k · f’(x)

[f(x) g(x)]’ = f’(x)± ± g’(x)

[f(x) · g(x)]’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

f’(x) · g(x) - f(x) · g’(x)f(x) ’=

g(x)g(x) 2

- f(x) · g’(x)k ’=

g(x)g(x) 2

La derivada de una constante por unafunción es la constante por la derivada de

la función.

La derivada de una suma o diferenciaentre dos o más funciones es la suma o

diferencia de la derivada de cada función

La derivada de un producto entre dosfunciones es la derivada de la primera porla segunda sin derivar más la primera sin

derivar por la derivada de la segunda

La derivada de un cociente entre dosfunciones es la derivada del numerador

por el denominador sin derivar, menos elnumerador sin derivar por la derivada del

denominador, entre el cuadrado deldenominador.

La derivada de una constante entre unafunción es menos la constante por la

derivada de la función, entre la función alcuadrado.

1

2

3

4

5

Con el objeto de calcular la derivada de funciones, usando la reglas de derivacion,daremos un tratamiento especial a las funciones polinomicas.

Derivada de las funciones polinomicas

Consideremos el polinomio

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a3x

3 + a2x2 + a1x+ a0

y calculemos su funcion derivada. Lo primero que debemos hacer, para derivar unafuncion, es “poner primas” a ambos lados de la igualdad, esto es:

f ′(x) = [anxn + an−1x

n−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a3x

3 + a2x2 + a1x+ a0]

′.

La “prima” indica que tenemos la derivada de una suma o diferencia de variasfunciones de la forma akx

k. Entonces aplicamos la regla 2.

f ′(x) = [anxn]′ + [an−1x

n−1]′ + [an−2xn−2]′ + · · ·+ [a3x

3]′ + [a2x2]′ + [a1x]

′ + [a0]′.

En cada uno de los terminos tenemos la derivada de una constante por unafuncion. Aplicamos la regla 1.

f ′(x) = an[xn]′ + an−1[x

n−1]′ + an−2[xn−2]′ + · · ·+ a3[x

3]′ + a2[x2]′ + a1[x]

′ + [a0]′.




Por ultimo, en cada termino tenemos la derivada de una potencia, aplicamos la tablade la potencia y en los dos ultimos terminos; la tabla de la identidad [x]′ = 1, y la tablade la constante [a0]

′ = 0. Luego, nos queda el resultado

f ′(x) = annxn−1 + an−1(n− 1)xn−2 + an−2(n− 2)xn−3 + · · ·+ a33x

2 + a22x+ a1.

En conclusion, la derivada f ′ de la funcion polinomica f es otro polinomio de un gradomenor al grado del polinomio f .

Ejemplo 5.31 Determina la derivada de la funcion f(x) = 5x4 − 7x3 + 6x2 − 3x− 1.

Solucion. Lo primero es “poner primas” a ambos lados de la igualdad.

f ′(x) = [5x4 − 7x3 + 6x2 − 3x− 1]′

Luego aplicamos las reglas tal como se hizo en el calculo anterior y obtenemos elresultado.

f ′(x) = [5x4 − 7x3 + 6x2 − 3x− 1]′ = [5x4]′ − [7x3]′ + [6x2]′ − [3x]′ − [1]′

= 5[x4]′ − 7[x3]′ − 3[x]− [1]′ = 5[4x3]− 7[3x2] + 6[2x]− 3(1)− 0

= 20x3 − 21x2 + 12x− 3.

Un lector habilidosos se habra percatado que derivar un polinomio es sumamente sen-cillo y puede hacerse directamente, sin necesidad de aplicar paso a paso las reglas. Porejemplo,

[2x3 − 7x2 + 12x− 8]′ = 6x2 − 14x+ 12

[3x+ 5]′ = 3

[4− 3x2]′ = −6x

En adelante las derivadas de las funciones polinomicas se calcularan directamente.

Derivada de las funciones definidas por partes

Para derivar una funcion definida por partes

h(x) =

{f(x), si x ≤ cg(x), si x > c

seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Se deriva la funcion directamente en cada uno de los intervalos abiertos en dondela funcion esta definida.




2. Se estudia la derivabilidad de la funcion en los puntos de separacion.

Ejemplo 5.32 Encuentre la derivada de la funcion

f(x) =

{2x+ 3, si x ≤ 2;x2 − 2x, si x > 2.

Solucion. Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos

f ′(x) =

{2, si x < 2;2x− 2, si x > 2.

Luego estudiamos la derivabilidad en x = 2. Para ello, veamos primero si f es continuaen x = 2.

lımx→2+

f(x) = lımx→2+

(x2 − 2x) = 0

lımx→2−

f(x) = lımx→2−

(2x+ 3) = 7

}⇒ f no es continua en x = 2

No es derivable en x = 2. Note que si evaluamos x = 2 en f ′ para x > 2 obtenemosf ′(2) = 2 y para x < 2 obtenemos f ′(2) = 2. Esto no significa que f sea derivable enx = 2, porque como hemos visto, en ese punto, f no es continua y por ende no puedeser derivable.

Ejemplo 5.33 Encuentre la derivada de la funcion

f(x) =

{x2 + 1, si x ≤ 1;2x, si x > 1.

Solucion. Primero calculamos la derivada en los intervalos abiertos

f ′(x) =

{2x, si x < 1;2, si x > 1.

Estudiamos la derivabilidad en x = 1. Claramente, f es continua en x = 1, pasemos acalcular las derivadas laterales.

f ′+(1) = lım

x→1+

x2 + 1− 2

x− 1= lım

x→1+(x+ 1) = 2

f ′−(1) = lım

x→1−

2x− 2

x− 1= lım

x→1−

2(x− 1)

x− 1= 2

⇒ f es derivable en x = 1

Por lo tanto la derivada de f es

f ′(x) =

2x, si x < 1;2, si x = 1;2, si x > 1.

Concluiremos esta seccion con un listado de ejercicios resueltos, en donde se ponen demanifiesto cada una de las regla y tablas presentadas hasta el momento.




Ejercicios Resueltos

En cada caso utiliza las reglas de derivacion y las respectivas tablas de derivadas paraencontrar la derivada de la funcion propuesta.

1. f(x) =x2 + 3x− 1

x2 + 5Solucion. Lo primero es “poner primas” a ambos lados de la igualdad, luegoaplicamos la regla 4 y por ultimo derivamos los polinomios que haya que derivar.

f ′(x) =

[x2 + 3x− 1

x2 + 5

]′=

(x2 + 3x− 1)′(x2 + 5)− (x2 + 3x− 1)(x2 + 5)′

(x2 + 5)2

=(2x+ 3)(x2 + 5)− (x2 + 3x− 1)(2x)

(x2 + 5)2

=2x3 + 3x2 + 10x+ 15− 2x3 − 6x2 + 2x

(x2 + 5)2=

−3x2 + 12x+ 15

(x2 + 5)2·

2. f(x) =3x3 − 5√a2 + b2

Solucion. Lo primero es “poner primas” a ambos lados de la igualdad.

f ′(x) =

[3x3 − 5√a2 + b2

]′

La variable es x, lo demas se considera constante. Por lo tanto,

f ′(x) =

[3x3 − 5√a2 + b2

]′=

1√a2 + b2

[3x3 − 5]′ =1√

a2 + b2(9x2) =

9x2

√a2 + b2

3. f(x) =x2√x+ x3 − x 3

√x

33√x2

Solucion. Antes de poner primas es recomendable reescribir esta funcion (ob-serve que el denominador es un monomio).

f(x) =x2√x+ x3 − x 3

√x

33√x2

=1

3

(x2√x

3√x2

+x3

3√x2

− x 3√x

3√x2

)

=1

3

(x2x

12

x23

+x3

x23

− xx13

x23

)=

1

3

(x2+ 1

2− 2

3 + x2− 23 − x1+ 1

3− 2

3

)

=1

3

(x

116 + x

43 − x

23

)




Ahora si ponemos las primas y derivamos directamente usando las reglas 1 y 2.

f ′(x) =

[1

3

(x

116 + x

43 − x

23

)]′=

1

3

[x

116 + x

43 − x

23

]′

=1

3

([x

116

]′+[x

43

]′−[x

23

]′)=

1

3

(11

6x

116−1 +

4

3x

43−1 − 2

3x

23−1

)

=1

3

(11

6x

56 +

4

3x

13 − 2

3x− 1

3

)=

1

18

6√x5 +

4

93√x− 2

3 3√x·

4. f(x) = x2 cosx+√x sen x

Solucion.

f ′(x) =[x2 cosx−

√x sen x

]′=[x2 cosx

]′ −[√

x sen x]′

=[x2]′cos x+ x2 [cosx]′ −

([√x]′sen x+

√x [sen x]′

)

= 2x cosx+ x2(− sen x)−(

1

2√xsen x+

√x cosx

)

= 2x cosx− x2 sen x− 1

2√xsen x−

√x cosx

= cosx(2x−

√x)− sen x

(x2 +

1

2√x

)

5. f(x) =1

x+ 2 lnx− ln x

x

Solucion.

f ′(x) =

[1

x+ 2 lnx− ln x

x

]′=[x−1 + 2 lnx− x−1 ln x

]′

=[x−1]′+ [2 lnx]′ −

[x−1 lnx

]′

= −1x−2 + 2 [ln x]′ −([

x−1]′ln x+ x−1 [ln x]′

)

= − 1

x2+ 2

1

x−(−1x−2 ln x+ x−1 1

x

)

= − 1

x2+

2

x+

1

x2ln x− 1

x2=

−2 + ln x

x2+

2

x

6. f(x) = ln x log x− ln a loga x




Solucion.

f ′(x) = [ln x log x− ln a loga x]′ = [ln x log x]′ − [ln a loga x]

′

= [ln x]′ log x+ ln x [loga x]′ − ln a [loga x]

′ =log x

x+

ln x

x ln a− ln a

x ln a

=1

x

(log x+

ln x

ln a− 1

)=

1

x(log x+ loga x− 1)

7. f(x) =sen x+ 2

tan xSolucion. Podemos reescribir la funcion en una expresion mas simple de derivar

f(x) =sen x+ 2

tan x=

sen x

tan x+

2

tan x=

sen xsenxcos x

+ 2 cotx =cos x sen x

sen x+ 2 cotx

= cos x+ 2 cotx.

Ahora derivamos la funcion

f ′(x) = [cos x+ 2 cotx]′ = [cos x]′ + [2 cotx]′ = − sen x− 2 csc x cot x.

8. f(x) = ex arc sen x−√2

x2 + 3Solucion.

f ′(x) =

[ex arc sen x−

√2

x2 + 3

]′= [ex arc sen x]′ −

[ √2

x2 + 3

]′

= [ex]′ arc sen x+ ex [arc sen x]′ − −√2

(x2 + 3)2[x2 + 3

]′

= ex arc sen x+ex

√1− x2

+2√2x

(x2 + 3)2

5.2.3. Regla de la Cadena

Un vistazo a las Tablas de Derivadas y a las Regla de Derivacion nos advierte losiguiente: las Tablas de Derivadas; contiene las derivadas de las funciones elementa-les, en ella, podemos apreciar la derivada de cada funcion elemental y diferenciar unade la otra. Mientras que, las Reglas de Derivacion; se refiere a las derivadas de lasoperaciones suma, resta, multiplicacion y division entre funciones. Son dos aspectostotalmente distintos que combinados constituyen una excelente herramienta que nospermite calcular la derivada de un gran numero de funciones.

A pesar de que hemos avanzado en el calculo de derivadas, aun tenemos deficiencias.Suponga que deseamos calcular la derivada de las siguientes funciones




f(x) = (2x+ 1)3.

g(x) = (2x− 3)100.

h(x) =√x2 + 3x− 1.

Solucion. Para calcular la derivada de f desarrollamos la potencia y luego derivamos.En efecto,

f(x) = 8x3 + 6x2 + 6x+ 1 ⇒ f ′(x) = [8x3 + 6x2 + 6x+ 1]′ = 24x2 + 12x+ 6.

Desarrollar la potencia (2x − 3)100 y luego derivar es un procedimiento que se puedeaplicar para encontrar la derivada de g, pero resulta muy largo y tedioso. Nos pregunta-mos; ¿existe otro metodo para derivar a g?. Por otro lado, ¿que procedimiento se puedeaplicar para encontrar la derivada de h?. Responder estas preguntas es el objetivo deesta seccion.

Muchas de las funciones que encontramos con frecuencia en el Calculo se expresancomo una composicion de funciones y = f(g(x)). A f la llamaremos funcion externa ya g, funcion interna. El siguiente teorema nos dice como se calcula la derivada de unacomposicion de funciones.

Teorema 5.34 (Regla de la Cadena)Sean f , g funciones derivables, entonces la composicion f ◦ g es tambien una funcionderivable y ademas

(f ◦ g)′(x) = [f(g(x))]′ = f ′(g(x)) · g′(x). (5.5)

En palabras, la derivada de una composicion de funciones es igual producto de la de-rivada de la funcion externa (derivada externa) por la derivada de la funcion interna(derivada interna).

Observacion 5.35 La formula 5.5 se puede expresar de un modo mas pedagogico. Sidenotamos por g(x) = �, entonces 5.5 se expresa

[f (�)]′ = f ′ (�) ·�′ (5.6)

donde f ′ indica la derivada de la funcion externa y �′ indica la derivada de la funcion

interna (la derivada interna). En particular,

Si f es la funcion potencia, entonces la formula 5.6 se expresa

[�n]′ = n�n−1 ·�′




Si f es la funcion raız cuadrada, entonces 5.6 se escribe

[√�

]′=

1

2√�

·�′

Si f es la funcion logaritmo, entonces 5.6 se escribe

[loga(�)]′ =1

� ln a·�′ o bien [ln(�)]′ =

1

�·�′

Ejemplo 5.36 Calcula la derivada de la funcion f(x) = (2x− 3)100.

Solucion. En este caso � = 2x− 3 y la funcion externa es la potencia. Ası,

f ′(x) =[(2x− 3)100

]′= 100(2x− 3)100−1[2x− 3]′ = 100(2x− 3)99(2) = 200(2x− 3)99.

Ejemplo 5.37 Calcula la derivada de la funcion f(x) =√x2 + 3x− 1.

Solucion. En este caso � = x2+3x−1 y la funcion externa es la raız cuadrada. Ası,

f ′(x) =[√

x2 + 3x− 1]′=

1

2√x2 + 3x− 1

[x2 + 3x− 1]′ =1

2√x2 + 3x− 1

(2x+ 3)

=2x+ 3

2√x2 + 3x− 1

·

Ejemplo 5.38 Calcula la derivada de la funcion f(x) = ln

(x2 + 1

x2 + 4

)·

Solucion. En este caso � =x2 + 1

x2 + 4y la funcion externa es el logaritmo neperiano.

f ′(x) =

[ln

(x2 + 1

x2 + 4

)]′=

1x2+1x2+4

[x2 + 1

x2 + 4

]′

=x2 + 4

x2 + 1

([x2 + 1]′(x2 + 4)− (x2 + 1)[x2 + 4]′

(x2 + 4)2

)

=x2 + 4

x2 + 1

(2x(x2 + 4)− (x2 + 1)2x

(x2 + 4)2

)=

−10x

(x2 + 4)(x2 + 1)·

La Regla de la Cadena expresada en la forma 5.6 junto con las derivadas de las funcioneselementales nos da una lista de derivadas mas generales.




1.- [ ]* * *n '

= n · ’n-1

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

TABLA DE DERIVADAS MAS GENERAL

[ ]*'= ·*’1

2*

[ ]sen = cos*

'*’*·

[ ]ln =*'

*’1*

1*lna

[ ]log = ·*'

*’a

[e ]'= e · ’*

* *

[a ]'= a lna· ’*

* *

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

[ ]cos = -sen*

'* *· ’

[ ]tan =*

'* *· ’sec

2

[ ]sec = sec*

'* *tan · ’*

[ ]csc = -csc*

'* * *cot · ’

[ ]tan = -csc*

'2* *· ’

[ ]arcsen ='

* *· ’1

1-*2

[ ]arccos ='

* *· ’-1

1-*2

[ ]arctan ='

* *· ’-1

1+*2

[ ]senh = cosh*

'* *· ’

[ ]cosh = senh*

'* *· ’

[ ]tanh = sech*

'* *· ’

2

Terminaremos esta seccion con una lista de ejercicios en donde se muestra el uso delas tablas de derivadas presentadas previamente para determinar la derivada de unafuncion compuesta.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1.En cada caso, determina la derivada de la funcion y simplifica el resultado.

1. f(x) =3

56(2x− 1)7− 1

24(2x− 1)6− 1

40(2x− 1)5·

Solucion. Antes de derivar podemos reescribir esta funcion de la siguiente ma-nera:

f(x) =3

56(2x− 1)−7 − 1

24(2x− 1)−6 − 1

40(2x− 1)−5.

Ahora para derivar, lo primero que vamos a hacer es “poner primas” a amboslados de la igualdad

f ′(x) =

[3

56(2x− 1)−7 − 1

24(2x− 1)−6 − 1

40(2x− 1)−5

]′.




La prima nos indica que tenemos la derivada de una suma o diferencia de variasfunciones, aplicamos la regla 2.

f ′(x) =

[3

56(2x− 1)−7 − 1

24(2x− 1)−6 − 1

40(2x− 1)−5

]′

=

[3

56(2x− 1)−7

]′−[1

24(2x− 1)−6

]′−[1

40(2x− 1)−5

]′.

En cada uno de los terminos tenemos el producto de una constante por unafuncion. Aplicamos la regla 1,

f ′(x) =3

56

[(2x− 1)−7

]′ − 1

24

[(2x− 1)−6

]′ − 1

40

[(2x− 1)−5

]′.

Ahora derivamos usando la tabla [�n]′ = n�n−1 ·�′ y simplificamos para hallarel resultado

f ′(x) =3

56(−7)(2x− 1)−7−1 [2x− 1]′ − 1

24(−6)(2x− 1)−6−1 [2x− 1]′

− 1

40(−5)(2x− 1)−5−1 [2x− 1]′

= −3

8(2x− 1)−8(2) +

1

4(2x− 1)−7(2) +

1

8(2x− 1)−6(2)

= − 3

4(2x− 1)8+

1

2(2x− 1)7+

1

4(2x− 1)6

2. f(x) = (x− 1/2) arc sen√x+ 1

2

√x− x2.

Solucion. Lo primero es “poner primas” a ambos lados de la igualdad

f ′(x) =

[(x− 1/2) arc sen

√x+

1

2

√x− x2

]′.

La “prima” indica que tenemos la derivada de una suma de dos funciones, por lotanto, aplicamos la regla 2.

f ′(x) =[(x− 1/2) arc sen

√x]′

︸︷︷︸I

+

[1

2

√x− x2

]′

︸︷︷︸II

. (5.7)

Ahora calculamos cada derivada por separado:

Calculo de I: Como tenemos la derivada de un producto de funciones aplicamosla regla 3. Luego para encontrar [arc sen

√x]

′usamos la tabla

[arc sen�]′ =1√

1−�2·�′.




Entonces,

[(x− 1/2) arc sen

√x]′

= [x− 1/2]′ arc sen√x+ (x− 1/2)

[arc sen

√x]′

= arc sen√x+ (x− 1/2)

1√1− (

√x)2

[√x]′

= arc sen√x+

(2x− 1

2

)1√1− x

(1

2√x

)

= arc sen√x+

2x− 1

4√x− x2

Calculo de II: Como tenemos la derivada de un producto de una constante poruna funcion aplicamos la regla 1. Luego para encontrar

[√x− x2

]′usamos la

tabla [√�

]′=

1

2√�

·�′.

Entonces,

[1

2

√x− x2

]′=

1

2

[√x− x2

]′=

1

2

(1

2√x− x2

[x− x2

]′)

=1

4

(1− 2x√x− x2

)= − 2x− 1

4√x− x2

.

Para terminar sustituimos en la ecuacion (5.7) y obtenemos el resultado:

f ′(x) = arc sen√x+

2x− 1

4√x− x2

− 2x− 1

4√x− x2

= arc sen√x.

3. f(x) = ln

( √x+ 1

6√x2 − x+ 1

)+ 1√

3arctan

(2x− 1√

3

)

Solucion. Antes de iniciar el calculo de la derivada es conveniente utilizar laspropiedades de los logaritmos (ver seccion —-) para transformar la funcionen una expresion mas facil de derivar.

f(x) = ln

( √x+ 1

6√x2 − x+ 1

)+

1√3arctan

(2x− 1√

3

)

= ln(√

x+ 1)− ln

(6√x2 − x+ 1

)+

1√3arctan

(2x− 1√

3

)

=1

2ln (x+ 1)− 1

6ln(x2 − x+ 1

)+

1√3arctan

(2x− 1√

3

).




Ahora en el momento de derivar.

f ′(x) =

[1

2ln (x+ 1)− 1

6ln(x2 − x+ 1

)+

1√3arctan

(2x− 1√

3

)]′

=

[1

2ln (x+ 1)

]′

︸︷︷︸I

−[1

6ln(x2 − x+ 1

)]′

︸︷︷︸II

+

[1√3arctan

(2x− 1√

3

)]′

︸︷︷︸III

.

Calculamos, por separado, cada una de las derivadas.

Calculo de I: Se trata de la derivada de un producto entre una constante y unafuncion, por lo tanto, aplicaremos la regla 1. Para calcular [ln(x+ 1)]′ usaremosla tabla

[ln�]′ =1

�·�′.

Entonces,

[1

2ln(x+ 1)

]′=

1

2[ln(x+ 1)]′ =

1

2· 1

x+ 1[x+ 1]′ =

1

2(x+ 1)·

Calculo de II: Seguiremos un procedimiento analogo al anterior.

[1

6ln(x2 − x+ 1)

]′=

1

6

[ln(x2 − x+ 1)

]′=

1

6· 1

x2 − x+ 1

[x2 − x+ 1

]′

=2x− 1

6(x2 − x+ 1)·

Calculo de III: Analogo al anterior, solo que esta vez, usaremos la tabla

[arctan�]′ =1

1 +�2·�′

[1√3arctan

(2x− 1√

3

)]′=

1√3

[arctan

(2x− 1√

3

)]′

=1√3· 1

1 +(

2x−1√3

)2[2x− 1√

3

]′

=1√3· 1

1 + (2x−1)2

3

· 1√3· [2x− 1]′

=1

3· 1

3+(2x−1)2

3

· 2 =2

3 + (2x− 1)2




Por lo tanto la derivada de f es:

f ′(x) =1

2(x+ 1)− 2x− 1

6(x2 − x+ 1)+

2

3 + (2x− 1)2

=1

2(x+ 1)− 2x− 1

6(x2 − x+ 1)+

2

4(x2 − x+ 1)

=x2 − x+ 7

6(x+ 1)(x2 − x+ 1)·

Ejercicio 2.Demuestra que la derivada de la funcion f(x) = x

2

√x2 − a2 − a2

2ln(x +

√x2 − a2) es

f ′(x) =√x2 − a2, donde a es un numero real.

Solucion. Lo que haremos es derivar la funcion y simplificar el resultado hasta llegara la expresion dada.

f ′(x) =

[x

2

√x2 − a2 − a2

2ln(x+

√x2 − a2)

]′

=[x2

√x2 − a2

]′−[a2

2ln(x+

√x2 − a2)

]′

=[x2

]′ √x2 − a2 +

x

2

[√x2 − a2

]′− a2

2

[ln(x+

√x2 − a2)

]′

=1

2

√x2 − a2 +

x

2· 1

2√x2 − a2

[x2 − a2

]′ − a2

2· 1

x+√x2 − a2

[x+

√x2 − a2

]′

=

√x2 − a2

2+

x2

2√x2 − a2

− a2

2(x+√x2 − a2)

(1 +

1

2√x2 − a2

[x2 − a2

]′)

=x2 − a2 + x2

2√x2 − a2

− a2

2(x+√x2 − a2)

(1 +

x√x2 − a2

)

=2x2 − a2

2√x2 − a2

− a2

2(x+√x2 − a2)

(√x2 − a2 + x√x2 − a2

)=

2x2 − a2

2√x2 − a2

− a2

2√x2 − a2

.

Por lo tanto, la derivada es

f ′(x) =2x2 − 2a2

2√x2 − a2

=(x2 − a2)

√x2 − a2

x2 − a2=

√x2 − a2.

Tal como se querıa demostrar.

Ejercicio 3.Encuentra los puntos sobre la grafica de la funcion f(x) =

√cosxe

√cos x en los que la

recta tangente es horizontal.




Solucion. La recta tangente es horizontal en los puntos donde la derivada f ′(x) escero. Por lo tanto, lo que haremos para encontrar tales puntos es; primero, derivamosla funcion y segundo, resolvemos la ecuacion f ′(x) = 0.

f ′(x) =[√

cosxe√cos x]′=[√

cosx]′ e

√cos x +

√cosx

[e

√cos x]′

=1

2√cos x

[cosx]′ e√cos x +

√cosxe

√cos x

[√cosx

]′

=− sen x

2√cos x

e√cos x +

√cos xe

√cos x − sen x

2√cosx

= −sen xe√cos x

2√cosx

(1 +

√cos x

).

Ahora nos planteamos la ecuacion f ′(x) = 0.

−sen xe√cos x

2√cos x

(1 +

√cosx

)= 0 ⇒ sen x = 0.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuacion son: 0, ±π, ±2π, ±3π, . . ., ±nπ con n ∈ Z.Lo que significa que los puntos donde la tangente es horizontal a la grafica de la funcionf(x) =

√cos xe

√cos x son x = 0,±π,±2π, . . . ,±nπ.

Ejercicio 4.Encuentre los puntos sobre la grafica de f(x) = x3 + 3x2 − 3x + 1 en los que la rectatangente es paralela a la recta y − 6x+ 8 = 0.Solucion. Si m denota la pendiente de la recta y−6x+8 = 0, entonces los puntos x,en los que la recta tangente a f es paralela a la recta, verifican la siguiente identidad

f ′(x) = m.

Por lo tanto, lo que haremos es: primero, encontramos la pendiente (m) de la recta.Segundo, derivamos la funcion y tercero, resolvemos la ecuacion f ′(x) = m.

y − 6x+ 8 = 0 ⇒ y = 6x− 8 ⇒ m = 6.

La derivada de f es,

f ′(x) =[x3 + 3x2 − 3x+ 1

]′= 3x2 + 6x− 3 = 3(x2 + 2x− 1).

Resolvemos la ecuacion f ′(x) = m, esto es,

3(x2+2x−1) = 6 ⇒ x2+2x−3 = 0 ⇒ (x+3)(x−1) = 0 ⇒ x = −3 y x = 1.

Por lo tanto, los puntos sobre la grafica de f en los que la recta tangente es paralela ala recta y − 6x+ 8 = 0 son x = −3 y x = 1.




Ejercicio 5.Encuentre la derivada de la funcion f(x) = x|x2 + 2x|.Solucion. Como sabemos, del Capitulo 2, la funcion valor absoluto es una funciondefinida por partes.

f(x) = x|x2 + 2x| ={

x(x2 + 2x), si x2 + 2x ≥ 0;−x(x2 + 2x), si x2 + 2 < 0.

La inecuacion x2 +2x ≥ 0 tiene como solucion el intervalo (−∞,−2]∪ [0,+∞). Por lotanto, la funcion f es la funcion por partes

f(x) = x|x2 + 2x| =

x3 + 2x2, si x ≤ −2;−x3 − 2x2, si −2 < x < 0;x3 + 2x2, si x ≥ 0.

Aplicaremos el procedimiento explicado en la Seccion 5.2.2 para derivar funciones de-finidas por partes.

Primero obtenemos f ′ en los intervalos abiertos

f ′(x) =

3x2 + 4x, si x < −2;−3x2 − 4x, si −2 < x < 0;3x2 + 4x, si x > 0.

Ahora estudiamos la derivabilidad de f en los puntos x = −2 y x = 0.Derivabilidad en x = −2. Claramente, f es continua en x = −2, pasemos a calcular lasderivadas laterales.

f ′+(−2) = lım

x→−2+

−x3 − 2x2

x+ 2= lım

x→−2+

−x2(x+ 2)

x+ 2= −4

f ′−(−2) = lım

x→−2−

x3 + 2x2

x+ 2= lım

x→−2−

x2(x+ 2)

x+ 2= 4

f no es derivable en x = −2

Derivabilidad en x = 0. Claramente, f es continua en x = 0, pasemos a calcular lasderivadas laterales.

f ′+(0) = lım

x→0+

x3 + 2x2

x= lım

x→0+

x2(x+ 2)

x= lım

x→0+x(x+ 2) = 0

f ′−(0) = lım

x→0−

−x3 − 2x2

x= lım

x→0−

−x2(x+ 2)

x= lım

x→0−−x(x+ 2) = 0

Entonces f es derivable x = 0, en consecuencia la derivada de f es

f ′(x) =

3x2 + 4x, si x < −2;−3x2 − 4x, si −2 < x < 0;0, si x = 0;3x2 + 4x, si x > 0.




Ejercicio 6.Encuentre los valores de a y b para que la funcion

f(x) =

{ax+ b, si x < 1.x3 + 1, si x ≥ 1.

sea derivable en x = 1.Solucion. Para que la funcion sea derivable en x = 1 debe ser continua en dichopunto, lo que significa, que en x = 1 se debe verificar la siguiente cadena de igualdades.

f(1) = lımx→1+

(x3 + 1) = lımx→1−

(ax+ b)

de donde se obtiene la ecuacion

a+ b = 2 ⇒ b = 2− a. (5.8)

Por otro lado, calculemos las derivadas laterales.

f ′+(1) = lım

x→1+

x3 + 1− 2

x− 1= lım

x→1+

x3 − 1

x− 1= lım

x→1+

(x+ 1)(x2 + x+ 1)

x− 1= 3

usaremos 5.8 para calcular f ′−(1),

f ′−(1) = lım

x→1−

ax+ b− 2

x− 1= lım

x→1−

ax+ 2− a− 2

x− 1= lım

x→1−

a(x− 1)

x− 1= a

Para que f sea derivable en x = 1 las derivadas laterales deben ser iguales, por lo tanto,a = 3. Sustituimos este valor en 5.8 y obtenemos el valor de b = −1. En consecuencia,los valores de a y b para que f sea derivable en x = 1 son, respectivamente, 3 y −1.

5.2.4. Notacion de Leibniz

Gottfried Leibniz (1646 - 1716)

Gottfried Leibniz fue uno de los principales fundado-res del Calculo Infinitesimal, el otro fue Isaac Newton.Leibniz llamo a su descubrimiento Calcul de l’infinementpetit, mientras que Newton lo llamo Metodo de las Flu-xiones. Ha habido una disputa sobre la prioridad deldescubrimiento, parece que no hubo prioridad por partede ninguno: fue un descubrimiento simultaneo en formasdistintas, hasta con notaciones distintas, la de Leibniz,es la que ha prevalecido a lo largo de la historia en elCalculo Infinitesimal.




Incrementos

Si el valor de una variable x cambia de x1 a x2, entonces x2 − x1 el cambio de x, sedenomina incremento de x y por lo regular se denota por ∆x (se lee “delta de x”).Observe que ∆x no significa ∆ por x. Por ejemplo, si x1 = 3,9 y x2 = 4,5, entonces

∆x = x2 − x1 = 4,5− 3,9 = 0,6.

Supongamos que y = f(x) define una funcion. Si x cam-bia de x1 a x2, entonces y cambia de y1 = f(x1) ay2 = f(x2). Ası, para el incremento ∆x = x2 − x1 enx, existe un correspondiente incremento en y dado por

∆y = y2 − y1 = f(x2)− f(x1).x1 x2

y =f( )1 1x

y =f( )2 2x

Dx

Dy

y=f(x)

Ejemplo 5.39 Determina el incremento de la funcion y = f(x) = x2 + 1 cuando xcambia de 1 a 1,5.

Solucion. En este caso x1 = 1, x2 = 1,5 y el incremento de la funcion se define como

∆y = f(x2)− f(x1) = f(1,5)− f(1) = (1,5)2 + 1− (12 + 1) = 3,25− 2 = 1,25.

El sımbolo dy/dx para la derivada

Supongamos que la variable independiente cambia dex a x + ∆x. El cambio correspondiente en la variabledependiente sera

∆y = f(x+∆x)− f(x)x

f( )x+Dx

f( )x

Dx

Dy

x+Dx

y la razon

∆y

∆x=

f(x+∆x)− f(x)

∆x(5.9)

define la pendiente de una recta secante que pasa por el punto (x, f(x)) (observe lafigura adjunta). Cuando ∆x → 0, la pendiente de la recta secante tiende a la pendientede la recta tangente y para este ultimo valor Leibniz utilizo el sımbolo dy/dx. Por lotanto,

dy

dx= lım

∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x= f ′(x). (5.10)

Leibniz llamo a dy/dx un cociente de dos infinitesimales. Hoy dıa dy/dx es un sımboloestandar para la derivada y lo utilizaremos con frecuencia de ahora en adelante. Es




importante tener en cuenta que, por ahora, dy/dx no debe interpretarse como unafraccion, sino simplemente como otra notacion para la derivada. En la Seccion 5.5 ledaremos a dx y dy significados propios de tal forma que dy/dx pueda ser vista comoun cociente de dy sobre dx.

Si y = f(x), con la notacion de Leibniz, la derivada f ′(a) se escribe

dy

dx(a) o

dy

dx

∣∣∣∣x=a

En la notacion de Leibniz, las derivadas de las funciones elementales se escriben:

1)d

dx(k) = 0 2)

d

dx(x) = 1 3)

d

dx(xn) = nxx−1

4)d

dx(ln x) =

1

x5)

d

dx(ex) = ex 6)

d

dx(ax) = ax ln a

7)d

dx(sen x) = cosx 8)

d

dx(cosx) = − sen x 9)

d

dx(tanx) = sec2 x

Estas son solo algunas de las derivadas de las funciones elementales, pero queda clarocomo se expresa la derivada de las restantes funciones elementales.

En la notacion de Leibniz, las reglas de la derivada se expresan:

1. Multiplo constante:d

dx(k · f(x)) = k · d

dx(f(x))

2. Suma o diferencia:d

dx(f(x)± g(x)) =

d

dx(f(x)) +

d

dx(g(x))

3. Producto:d

dx(f(x) · g(x)) = d

dx(f(x)) · g(x) + f(x) · d

dx(g(x))

4. Cociente:d

dx(f(x)/g(x)) =

d

dx(f(x)) · g(x)− f(x) · d

dx(g(x))

[g(x)]2

La regla de la cadena en la notacion de leibniz se expresa:

d

dx(f ◦ g) = d

dx(f(g(x)))

d

dx(g(x)).

Veamos algunos ejemplos de como se calculan derivadas empleando la notacion deLeibniz.

Ejemplo 5.40 Encuentre la derivada de la funcion y = 4x5 + 6x3 − 7x2 − 9.




Solucion. Lo primero es aplicard

dxa ambos lados de la igualdad y luego aplicamos

la regla de la suma o diferencia.

d

dx(y) =

d

dx(4x5 + 6x3 − 7x2 − 9) =

d

dx(4x5) +

d

dx(6x3)− d

dx(7x2)− d

dx(9)

Por lo tantody

dx= 20x4 + 18x2 − 14x.

Ejemplo 5.41 Encuentre la derivada de la funcion y =3x2 − 1

x+ 8



la regla del cociente.

d

dx(y) =

d

dx

(3x2 − 1

x+ 8

)=

d

dx(3x2 − 1)(x+ 8)− (3x2 − 1)

d

dx(x+ 8)

(x+ 8)2

=6x(x+ 8)− (3x2 − 1)(1)

(x+ 8)2=

3x2 + 48x+ 1

(x+ 8)2

Por lo tantody

dx=

3x2 + 48x+ 1

(x+ 8)2.

Ejemplo 5.42 Encuentra dy/dx de la funcion y = ln√x2 + 4 sen

(3x

3−1).



la regla del producto.

d

dx(y) =

d

dx

(ln√x2 + 4 sen

(3x

3−1))

=d

dx

(ln√x2 + 4

)

︸︷︷︸I

sen(3x

3−1)+ ln

√x2 + 4

d

dx

(sen(3x

3−1))

︸︷︷︸II

Calculo de I: Se trata de la derivada de una composicion de funciones. Aplicamos laregla de la cadena.

d

dx

(ln√x2 + 4

)=

1√x2 + 4

d

dx

(√x2 + 4

)=

1√x2 + 4

(1

2√x2 + 4

d

dx(x2 + 4)

)

=1√

x2 + 4

(1

2√x2 + 4

(2x)

)=

x

x2 + 4·




Calculo de II: Nuevamente se trata de la derivada de una composicion de funciones.Aplicamos la regla de la cadena.

d

dx

(sen(3x

3−1))

= cos(3x

3−1) d

dx

(3x

3−1)= cos

(2x

3−1)(

3x3−1 ln 3

d

dx(x3 − 1)

)

= cos(3x

3−1)(

3x3−1 ln 3 · 3x2

)= cos

(3x

3−1)(

3x3

x2 ln 3).

Por lo tantody

dx=

x

x2 + 4sen(3x

3−1)+ ln

√x2 + 4 cos

(3x

3−1)(

3x3x2 ln 3

).

Habra notado que el sımbolod

dxse comporta muy parecido a la “prima”. Esa es la

idea, y aunque parezca muy complicado derivar usando la notacion de Leibniz, esrecomendable acostumbrarse a esa notacion y derivar de esta forma, ya que nos vaayudar a entender el calculo de derivadas de funciones definidas de forma implıcita ola diferenciacion implıcita.

5.3. Diferenciacion Implıcita

En el Capıtulo 2 establecimos que una funcion es una relacion entre dos magnitudes xe y. Cuando en la formula que las relaciona, una de las magnitudes viene despejada enfuncion de la otra, se dice que la funcion viene definida de manera explıcita

y = f(x).

Cuando ninguna de las dos magnitudes esta despejada en funcion de la otra, sino quelas magnitudes estan relacionadas mediante una ecuacion

f(x, y) = 0,

se dice que la funcion esta definida de manera implıcita.

Hasta sabemos como encontrar la derivada de una funcion definida de forma explıcita.Para derivar funciones definidas de forma implıcita podemos despejar la variable de-pendiente en funcion de la variable dependiente (transformamos la ecuacion f(x, y) = 0en una funcion explıcita y = f(x)) y luego derivamos como sabemos.

Ejemplo 5.43 Encuentra dy/dx de la funcion x3y + 4yx− 3y = x2 + 1.

Solucion. Se trata de una funcion definida de forma implıcita. Sin embargo podemosdespejar y de la ecuacion.

x3y + 4yx− 3y = x2 + 1 ⇒ y(x3 + 4x− 3) = x2 + 1 ⇒ y =x2 + 1

x3 + 4x− 3.

5.3. Diferenciacion Implıcita Prof. Derwis Rivas Olivo 289

Luego derivamos directamente

dy

dx=

d

dx

(x2 + 1

x3 + 4x− 3

)

=

d

dx(x2 + 1) (x3 + 4x− 3)− (x2 + 1)

d

dx(x3 + 4x− 3)

(x3 + 4x− 3)2

=2x(x3 + 4x− 3)− (x2 + 1)(3x2 + 4)

(x3 + 4x− 3)2=

−x4 + x2 − 6x− 4

(x3 + 4x− 3)2

Esta manera de encontrar la derivada de una funcion definida implıcitamente tiene dosdetalles que debemos tener en consideracion: Uno de ellos tiene que ver con el hechode que una misma ecuacion f(x, y) = 0 puede dar lugar a mas de una funcion explıcitay = f(x). Por ejemplo, la circunferencia x2 + y2 = 1 determina dos funciones

f1(x) =√1− x2 y f2(x) = −

√1− x2

Por otro lado, sucede con frecuencia que en funciones definidas de forma implıcita esdifıcil despejar la variable dependiente. Por ejemplo, despejar y de la ecuacion

xy3 +√

xy + 1− ln(x2 + y2) = 0

no es nada facil.

Por estas razones serıa conveniente contar con una tecnica que nos permita encontrarla derivada de una funcion definida de forma implıcita, sin necesidad de contar conla forma explıcita de la funcion. Esta tecnica se llama diferenciacion implıcita y sedefine en los siguientes pasos:

1. Aplicamosd

dxa ambos lados de la igualdad en la ecuacion.

2. Derivamos aplicando las reglas y tablas tal como se vienen utilizando. Se debetener sumo cuidado con la derivada de y, ya que hay que recordar que la variabley define una funcion de x, por lo tanto, para derivar y debemos aplicar la reglade la cadena como si se tratara de una composicion de funciones. Por otro lado,cada expresion de la forma xy debe entenderse como un producto de funciones.Por ejemplo,

d

dx(y3) = 3y2

d

dx(y) = 3y2

dy

dx.

d

dx(xy) =

d

dx(x)y + x

d

dx(y) = y + x

dy

dx.


3. Despejamos dy/dx de la ecuacion, para ello es recomendable que la ecuacion esteexpresada en terminos (sumas y restas).

En el siguiente ejemplo aplicamos este procedimiento y al comparar con el ejemploanterior notamos que el procedimiento es legıtimo.

Ejemplo 5.44 Encuentra dy/dx de la funcion x3y + 4yx− 3y = x2 + 1.

Solucion. Iniciamos colocandod

dxa ambos lados de la igualdad y luego derivamos

con sumo cuidado recordando las sugerencias del item 2, antes descrito.

d

dx

(x3y + 4yx− 3y

)=

d

dx(x2 + 1)

d

dx

(x3y)+

d

dx(4xy)− d

dx(3y) =

d

dx(x2) +

d

dx(1)

d

dx

(x3)y + x3 d

dx(y) +

d

dx(4x)y + 4x

d

dx(y)− 3

d

dx(y) = 2x

3x2y + x3 dy

dx+ 4y + 4x

dy

dx− 3

dy

dx= 2x

Una vez concluida la derivada y la ecuacion dada en terminos, procedemos a despejardy/dx de la ecuacion.

3x2y + x3 dy

dx+ 4y + 4x

dy

dx− 3

dy

dx= 2x

x3 dy

dx+ 4x

dy

dx− 3

dy

dx= 2x− 3x2y − 4y

dy

dx(x3 + 4x− 3) = 2x− 3x2y − 4y

dy

dx=

2x− 3x2y − 4y

x3 + 4x− 3

Hemos llegado al resultado. Sin embargo, si comparamos la respuesta dada en el ejemplo5.43 se ve que son diferentes. Por algo, la respuesta dada en el ejemplo 5.43 solo incluyea x, mientras que la respuesta dada en este ejemplo incluye a x y a y. Sin embargo,recordemos que

y =x2 + 1

x3 + 4x− 3ver ejemplo 5.43

de modo que al sustituir en la solucion obtenemos:

dy

dx=

2x− 3x2(

x2+1x3+4x−3

)− 4

(x2+1

x3+4x−3

)

x3 + 4x− 3=

2x4+8x2−6x−3x4−3x2−4x2−4x3+4x−3

x3 + 4x− 3

=−x4 + x2 − 6x− 4

(x3 + 4x− 3)2


Ejemplo 5.45 Suponga que la ecuacion√5xy + 2y = y2 + xy3 define a y como una

funcion de x. Encuentra dy/dx.

Solucion. Aplicamosd

dxa ambos lados de la ecuacion y derivamos (recuerde que

debemos expresar el resultado en terminos)

d

dx

(√5xy + 2y

)=

d

dx

(y2 + xy3

)

d

dx

(√5xy)+

d

dx(2y) =

d

dx

(y2)+

d

dx

(xy3)

1

2√5xy

d

dx(5xy) + 2

d

dx(y) = 2y

d

dx(y) +

d

dx(x)y3 + x

d

dx(y3)

1

2√5xy

(d

dx(5x)y + 5x

d

dx(y)

)+ 2

dy

dx= 2y

dy

dx+ y3 + x3y2

d

dx(y)

1

2√5xy

(5y + 5x

dy

dx

)+ 2

dy

dx= 2y

dy

dx+ y3 + 3xy2

dy

dx

5y

2√5xy

+5x

2√5xy

dy

dx+ 2

dy

dx= 2y

dy

dx+ y3 + 3xy2

dy

dx

Una vez concluida la derivada procedemos a despejar dy/dx.

5y

2√5xy

+5x

2√5xy

dy

dx+ 2

dy

dx= 2y

dy

dx+ y3 + 3xy2

dy

dx

5x

2√5xy

dy

dx+ 2

dy

dx− 2y

dy

dx− 3xy2

dy

dx= y3 − 5y

2√5xy

dy

dx

(5x

2√5xy

+ 2− 2y − 3xy2)

= y3 − 5y

2√5xy

dy

dx=

y3 − 5y2√5xy

5x2√5xy

+ 2− 2y − 3xy2

dy

dx=

2y3√5xy − 5y

5x+ 2√5xy − 2y

√5xy − 3xy2

√5xy

Con el objeto de simplificar la notacion al derivar implıcitamente usaremos la notaciony′ = dy/dx. Con esta notacion retomamos la idea de derivar colocando “primas” aambos lados de la igualdad.

Ejemplo 5.46 Suponga que la ecuacion y + cos(xy2) + 3xy3 = 0 define a y como unafuncion de x. Encuentra dy/dx.


Solucion. Iniciamos colocando “primas” a ambos lados de la igualdad y derivamos

(y + cos(xy2) + 3xy3

)′= (0)′

(y)′ +(cos(xy2)

)′+(3xy3

)′= 0

y′ + (− sen(xy2))(xy2)′ + (3x)′y3 + 3x(y3)′ = 0

y′ − sen(xy2)((x)′y2 + x(y2)′

)+ 3y3 + 3x3y2y′ = 0

y′ − sen(xy2)(y2 + x2yy′

)+ 3y3 + 9xy2y′ = 0

y′ − y2 sen(xy2)− 2xyy′ sen(xy2) + 3y3 + 9xy2y′ = 0

Ahora procedemos a despejar y′.

y′ − y2 sen(xy2)− 2xyy′ sen(xy2) + 3y3 + 9xy2y′ = 0

y′ − 2xyy′ sen(xy2) + 9xy2y′ = y2 sen(xy2)− 3y3

y′(1− 2xy sen(xy2) + 9xy2

)= y2 sen(xy2)− 3y3

dy

dx=

y2 sen(xy2)− 3y3

1− 2xy sen(xy2) + 9xy2

Ejemplo 5.47 Encuentra las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 = 16 en elpunto x = 2. Representa ambas rectas en el plano.

Solucion. Recordemos que la recta tangente se define como

y − f(a) = m(x− a) donde m =dy

dx

∣∣∣∣x=a

.

En este caso a = 2 y al sustituir en la ecuacion obtenemos:

22 + y2 = 16 ⇒ y2 = 12 ⇒ y = ±2√3.

Este resultado nos indica que tenemos dos puntos P1(2, 2√3) y P2(2,−2

√3) y por ende

dos rectas tangentes.

(x2 + y2

)′= 0′

2x+ 2yy′ = 0dy

dx= −x

y

Para el punto P1(2, 2√3), tenemos la pendiente

m1 =dy

dx

∣∣∣∣(2,2

√3)

= − 2

2√3= −

√3

3


y la recta tangente,

y − 2√3 = −

√3

3(x− 2) ⇒ 3y +

√3x− 8

√3 = 0

Para el punto P2(2,−2√3), tenemos la pendiente

m1 =dy

dx

∣∣∣∣(2,−2

√3)

= − 2

−2√3=

√3

3

y la recta tangente,

y + 2√3 =

√3

3(x− 2) ⇒ 3y −

√3x+ 8

√3 = 0

2 4 8

P1

P2

5.3.1. Derivacion Logarıtmica

Dada una funcion y = f(x), la derivacion logarıtmica consiste en tomar logaritmosnaturales en ambos lados de la igualdad y luego derivar implıcitamente, una vez quese han aplicado las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresion.

La derivacion logarıtmica es recomendable para:

1. Derivar funciones de la forma y = f(x)g(x) (funciones expo-exponenciales).

2. Simplificar la derivacion de productos y cocientes.

La derivacion logarıtmica se puede aplicar incluso si la funcion toma valores negativos.

Ejemplo 5.48 Encuentre la derivada de la funcion y =(2x+ 1)3

√x2 + 1

3√x2 + 4

.


Solucion. Como la funcion esta definida como el producto y cociente de varias fun-ciones usaremos la derivacion logarıtmica para encontrar su derivada.Lo primero es aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad y desarrollar,hasta donde sea posible, sus propiedades.

ln y = ln

((2x+ 1)3

√x2 + 1

3√x2 + 4

)= ln

((2x+ 1)3

√x2 + 1

)− ln

(3√x2 + 4

)

= ln((2x+ 1)3

)+ ln

(√x2 + 1

)− ln

(3√x2 + 4

)

= 3 ln(2x+ 1) +1

2ln(x2 + 1)− 1

3ln(x2 + 4)

Ahora derivamos implıcitamente,

[ln y]′ =

[3 ln(2x+ 1) +

1

2ln(x2 + 1)− 1

3ln(x2 + 4)

]′

1

yy′ = [3 ln(2x+ 1)]′ +

[1

2ln(x2 + 1)

]′−[1

3ln(x2 + 4)

]′

y′ = y

(3

2x+ 1[2x+ 1]′ +

1

2(x2 + 1)[x2 + 1]′ − 1

3(x2 + 4)[x2 + 4]′

)

y′ =(2x+ 1)3

√x2 + 1

3√x2 + 4

(6

2x+ 1+

x

x2+)− 2x

3(x2 + 4)

)

Ejemplo 5.49 Encuentre la derivada de la funcion y = (1 + cos3(x3 − 9))tanx2.

Solucion. Como se trata de una funcion expo-exponencial aplicaremos la derivacionlogarıtmica.

ln y = ln((1 + cos3(x3 − 9))tanx2

)= tan x2 ln

(1 + cos3(x3 − 9)

)

Ahora derivamos implıcitamente,

[ln y]′ =[tan x2 ln

(1 + cos3(x3 − 9)

)]′

1

yy′ =

[tan x2

]′ln(1 + cos3(x3 − 9)

)+ tanx2

[ln(1 + cos3(x3 − 9)

)]′

y′ = y

(sec2(x2)[x2]′ ln

(1 + cos3(x3 − 9)

)+

tanx2

1 + cos3(x3 − 9)

[1 + cos3(x3 − 9)

]′)

y′ = y

(2x sec2(x2) ln

(1 + cos3(x3 − 9)

)− 9x2 tanx2 cos2(x3 − 9) sen(x3 − 9)

1 + cos3(x3 − 9)

)

Ejemplo 5.50 Encuentre la derivada de la funcion y = (x2 + 1)ln(x2+1) + ln(x2 + 1).


Solucion. Si pensamos en aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad,tendrıamos del lado derecho de la igualdad el logaritmo natural de una suma, no existeuna propiedad que me permita separar este logaritmo lo que hace imposible resolvereste problema por esta vıa.

Sin embargo, si derivamos directamente obtendrıamos

y′ =[(x2 + 1)ln(x

2+1)]′

︸︷︷︸I

+[ln(x2 + 1)

]′︸︷︷︸

II

.

Podemos derivar por separado cada termino.Para derivar I, le asignamos a la funcion la letra t

t = (x2 + 1)ln(x2+1)

luego aplicamos logaritmo natural a ambos lados de la igualdad y obtenemos

ln t = ln((x2 + 1)ln(x

2+1))= ln(x2 + 1) ln(x2 + 1) = ln2(x2 + 1).

Ahora derivamos implıcitamente

[ln t]′ =[ln2(x2 + 1)

]′= 2 ln(x2 + 1)

[ln(x2 + 1)

]′= 2 ln(x2 + 1)

2x

x2 + 11

tt′ =

4x ln(x2 + 1)

x2 + 1

t′ = (x2 + 1)ln(x2+1)4x ln(x

2 + 1)

x2 + 1= 4x ln(x2 + 1)(x2 + 1)ln(x

2+1)−1.

La derivada de II es directa

[ln(x2 + 1)

]′=

2x

x2 + 1·

Por lo tanto la derivada de la funcion es

dy

dx= 4x ln(x2 + 1)(x2 + 1)ln(x

2+1)−1 +2x

x2 + 1·

5.3.2. Derivada de la Funcion Inversa

Ha llegado el momento de saldar algunas deudas que hemos adquirido en el desarrollode secciones anteriores.

Dada una funcion derivable f , que tenga inversa f−1 tambien derivable y que no seanula. Si conocemos la derivada de f podemos calcular la derivada de f−1. En efecto,si f y f−1 son funciones inversas una de la otra, entonces

y = f−1(x) ⇔ f(y) = x


Derivando respecto a x la segunda igualdad obtenemos

f ′(y)y′ = 1 ⇒ f ′(y) =1

y′.

Como y = f−1(x), entonces

(f−1)′(x) =1

f ′(f−1(x))(5.11)

Esta identidad nos permitira calcular la derivada de las funciones inversas.

Ejemplo 5.51 Demuestra que [arc sen x]′ =1√

1− x2.

Solucion. Consideremos la funcion f(x) = sen x, entonces

f ′(x) = cosx y f−1(x) = arc sen x ⇒ f ′(f−1(x)) = cos(arc sen x).

Sustituyendo en la ecuacion 5.11 y utilizando la identidad cosα =√1− α2 obtenemos

el resultado

[arc sen x]′ =1

cos(arc sen x)=

1√1− (sen(arc sen x))2

=1√

1− x2·

Ejemplo 5.52 Demuestra que si n es un entero, entonces [ n√x]

′=

1

nn√xn−1

o lo que

es igual[x

1n

]′=

1

nx

1n−1

Solucion. Sea n un entero y consideremos la funcion f(x) = xn, entonces

f ′(x) = nxn−1 y f−1(x) = x1n ⇒ f ′(f−1(x)) = n

(x

1n

)n−1

= nx1− 1n .

Al sustituir en la ecuacion 5.11 obtenemos el resultado[x

1n

]′=

1

nx1− 1n

=1

nx

1n−1

Observacion 5.53 En general, para α un numero real se verifica

[xα]′ = αxα−1.

En efecto, f(x) = xα = (elnx)α = eα lnx al derivar obtenemos

f ′(x) =[eα lnx

]′= eα lnx [α ln x]′ = eα lnx · α · 1

x=

αxα

x= αxα−1.


Ejemplo 5.54 En la Seccion 5.2.1 demostramos, por medio de la definicion, la deri-vada de la funcion exponencial y quedo como ejercicio demostrar la tabla del logaritmo.Usemos el Teorema de la Funcion Inversa para demostrar esta tabla. Para ello consi-deremos la funcion f(x) = ax, entonces

f ′(x) = ax ln a y f−1(x) = loga x ⇒ f ′(f−1(x)) = aloga x ln a = x ln a.

Luego, al sustituir en la identidad 5.11 obtenemos el resultado

[loga x]′ =

1

x ln a·

5.3.3. Razon de cambio

Daremos en esta seccion otra interpretacion de la derivada, muy distinta a la inter-pretacion que ya tenemos; pendiente de la recta tangente. La ventaja de esta nuevainterpretacion de la derivada consiste en las multiples aplicaciones que tiene en situa-ciones de la vida real.

Suponga que y = f(x) es una funcion, de la Seccion 5.2.4 sabemos que si x cambia dex1 a x2, entonces el cambio en x o el incremento en x es

∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 +∆x

y el cambio correspondiente en y es

∆y = f(x2)− f(x1) = f(x1 +∆x)− f(x1).

El cociente de diferencias o el cociente incremental

∆y

∆x=

f(x2)− f(x1)

x2 − x1=

f(x1 +∆x)− f(x1)

∆x

se llama razon de cambio promedio de y con respecto a x, cuando x cambiade x1 a x1 +∆x. Segun la ecuacion (5.9) de la Seccion 5.2.4 este cociente incrementaltambien es la pendiente de la recta secante que une los puntos P (x1, f(x1)) y Q(x1 +∆x, f(x1 + ∆x)). El lımite de este cambio promedio cuando ∆x → 0 es la razon decambio instantanea (o razon de cambio) de y respecto a x en x1. Pero esto,segun la ecuacion (5.10), no es otra cosa que la derivada de la funcion f en el puntox1. Esto es,

razon de cambio = lım∆x→0

f(x1 +∆x)− f(x1)

∆x= f ′(x1).

Por lo tanto, razon de cambio es otro nombre que se le da a la derivada cuando esta esvista como el lımite de un cociente incremental. Esta nueva interpretacion de la derivada


amplia el concepto de sus aplicaciones. La potencia, en fısica, se define como la razonde cambio del trabajo respecto al tiempo. Los quımicos, que estudian una reaccionquımica, se interesan en la razon de cambio en la concentracion de un reactivo conrespecto al tiempo (llamada velocidad de reaccion). Un biologo se interesa en larazon de cambio de la poblacion de una colonia de bacterias con respecto al tiempo.Un fabricante se interesa en la razon de cambio del costo al producir x cantidad deprodutos al dıa (lo que se conoce como costo marginal). En fin, el calculo de razonesde cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingenierıa, e incluso enlas ciencias sociales.

Ejemplo 5.55 (Costo marginal)El costo (en dolares) de producir x unidades de cierto artıculo es

C(x) = 5000 + 10x+ 0,05x2.

a) Encuentre la razon de cambio promedio de C con a x cuando se cambia de 100a 105 unidades producidas.

b) Halle la razon de cambio de C con respecto a x (costo marginal), cuando x = 100.

Solucion. a) En este caso x1 = 100 y x2 = 105. Luego

∆C

∆x=

C(x2)− C(x1)

x2 − x1

=C(105)− C(100)

5=

6601, 25− 6500

5= 20, 25.

b)dC

dx= 10 + 0,1x ⇒ dC

dx

∣∣∣∣x=100

= 20.

Ejemplo 5.56 Sea V el volumen de un globo de radio r cm.

a) Encuentre la razon de cambio promedio de V con respecto a r, cuando r cambiade 2cm a 1,98cm.

b) Encuentre la razon de cambio de V con respecto a r, cuando r = 2cm.

Solucion. El volumen de un globo de radio r viene dado por V = 43πr3.

a)∆V

∆r=

V (x2)− V (x1)

x2 − x1=

V (1,98)− V (2)

−0,02≈ 32, 5150− 33, 5103

−0,02≈ 49,765.

b)dV

dr= 4πr2 ⇒ dV

dr

∣∣∣∣x=2

= 4π(2)2 ≈ 50, 265.


Razones de Cambio relacionadas

Hasta ahora hemos tratado el problema de determinar la razon de cambio de unavariable y con respecto a una variable x, relacionadas explicıtamente por medio dela ecuacion y = f(x). En este caso, el problema es sencillo; solo derivamos y luegoevaluamos la derivada en el instante requerido.

Consideremos la siguiente situacion: Suponga que las variables x e y no estan rela-cionadas explıcitamente, sino por el contrario, estan relacionadas por medio de unaecuacion

F (x, y) = 0. (5.12)

Si a su vez, ambas variables x e y, son funciones del tiempo: x = x(t), y = y(t),entonces al derivar implıcitamente con respecto al tiempo la ecuacion 5.12 obtenemosotra ecuacion que relaciona las razones de cambio dx/dt y dy/dt. Por este motivodiremos que dx/dt y dy/dt son razones de cambio relacionadas. En esta situacion,si conocemos el valor de una de ellas, entonces es posible conocer el valor de la otra.

Al momento de resolver un problema de razones de cambio relacionadas es recomen-dable seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Usa la letra t para denotar el tiempo transcurrido y realiza un dibujo acordea la situacion, en el que puedas representar los datos conocidos (constantes) y losdatos desconocidos (variables).

Paso 2: Lee detenidamente el problema para identificar la razon de cambio que tepiden y la que debes calcular.

Paso 3: Relaciona las variables por medio de una ecuacion. En este paso, se pideencontrar la ecuacion F (x, y) = 0.

Paso 4: Derive implıcitamente la ecuacion F (x, y) = 0, obtenida en el paso anterior.

Paso 5: Este es el momemto (no antes) para sustituir los datos que se verifican en elinstante particular para el cual la respuesta al problema se requiere. Despeje laderivada deseada.

Ejemplo 5.57 Se vierte agua en un tanque conico a razon de 8 pies cubicos por mi-nuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies,¿que tan rapido se esta elevando el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidadde 8 pies?.

Solucion.


Paso 1: Sea t el tiempo, h la profundidad del agua y r el radio de la correspondientesuperficie de agua. En la siguiente figura se muestran los datos conocidos y losdatos desconocidos.

r

h

12

6

h

12

6

r

aA

B

C

E

D

Paso 2: Como se vierte agua a razon de 8 pies cubicos por minuto nos esta diciendoque el volumen del cono esta cambiando a esa razon, por lo tanto, dV

dt= 8p3/m.

Por otro, lado necesito saber que tan rapido se esta elevando el nivel del aguacuando el agua tiene una profundidad de 8 pies, es decir, cuanto vale dh

dtcuando

h = 8.

Paso 3: El volumen de un cono circular viene dado por V = 13πr2h. Esta formula tiene

una variable que no podemos considerar; el radio r. El motivo, no conocemos surazon de cambio. Por lo tanto, debemos buscar la forma de escribir el volumen enfuncion solo de la altura. Para ello, notemos que los dos triangulos ABC y DECtienen a α como angulo comun. Entonces

tanα = 612

= 12, en el triangulo ABC;

tanα = rh, en el triangulo DEC.

}⇒ 1

2=

r

h⇒ r =

h

2.

Luego, el volumen del cono en funcion de la altura es

V =1

3π

(h

2

)2

h ⇒ V =π

12h3.

Paso 4: Derivamos el volumen implıcitamente con respecto al tiempo y obtenemos laecuacion

dV

dt=

π

12

d

dt

(h3)=

π

123h2dh

dt⇒ dV

dt=

πh2

4

dh

dt

Paso 5: Ahora sustituimosdV

dt= 8, h = 8 y depejamos

dh

dt.

8 =π82

4

dh

dt⇒ dh

dt=

1

2π≈ 0, 159

Por lo tanto, el nivel del agua esta subiendo a razon de 0, 159p/m.

5.4. Derivadas de Orden Superior Prof. Derwis Rivas Olivo 301

5.4. Derivadas de Orden Superior

El proceso de derivacion toma una funcion f y produce una nueva funcion f ′, cuyodominio esta contenido en el dominio de f . Esto es, Domf ′ ⊆Domf . A la funcion f ′

podemos volver a derivarla obteniendo otra nueva funcion (f ′)′ = f ′′, cuyo dominio esel conjunto de todos los numeros a, en el dominio de f ′, tales que f ′′ es derivable en a.Esto es,

Dom(f ′′) =

{a ∈ Dom(f ′) : f ′′(a) = lım

x→a

f ′(x)− f ′(a)

x− aexiste

}.

La funcion f ′′ recibe el nombre de segunda derivada de f y f ′′(a) es la segundaderivada de f en a. Observe que Domf ′′ ⊆Domf ′ ⊆Domf .

El proceso de derivacion de una funcion f podemos continuarlo mas alla de la segundaderivada. Ası, si derivamos f ′′ obtenemos la tercera derivada de f , que se denotapor f ′′′. Nuevamente, si a f ′′′ la volvemos a derivar, obtenemos la cuarta derivada def , y ası sucesivamente. A las derivadas de una funcion, a partir de la segunda derivada,se les llama derivadas de orden superior.

Cuando el orden de derivacion va mas alla de cuatro, es incomoda. Para mayor facilidad,cuando el orden de la derivada es mayor que cuatro se expresa: f (4), f (5), . . . ,f (n). Lanotacion f (n) corresponde a la derivada de orden n.

Si y = f(x), en la notacion de Leibniz, las derivadas de orden superior se escriben

f ′ =dy

dx, f ′′ =

d2y

dx2, f ′′′ =

d3y

dx3, f (4) =

d4y

dx4, · · · , f (n) =

dny

dxn

Ejemplo 5.58 Encuentra la derivada de tercer orden de la funcion f(x) = cosx2.

Solucion.

f ′(x) = [cos x2]′= − sen x2(2x) = −2x sen x2.

f ′′(x) = [−2x sen x2]′= [−2x]′ sen x2 + (−2x) [sen x2]

′

= −2 sen x2 − 2x cosx2(2x) = −2 sen x2 − 4x2 cosx2.

f ′′′(x) = [−2 sen x2 − 4x2 cosx2]′= [−2 sen x2]

′ − [4x2 cosx2]′

= −2 cosx2(2x)− [4x2]′cosx2 − 4x2 [cos x2]

′

= −4x cosx2 − 8x cosx2 + 4x2 sen x2(2x) = −12x cosx2 + 8x3 sen x2.

Ejemplo 5.59 Encuentra la derivada de cuarto orden de la funcion f(x) = x3ex.


Solucion.f ′(x) = [x3ex]

′= [x3]

′ ex+ x3 [ex]′ = 3x2ex + x3ex = ex (3x2 + x3) .

f ′′(x) = [ex (3x2 + x3)]′= [ex]′ (3x2 + x3) + ex [3x2 + x3]

′

= ex (3x2 + x3) + ex (6x+ 3x2) = ex (x3 + 6x2 + 6x) .

f ′′′(x) = [ex (x3 + 6x2 + 6x)]′= [ex]′ (x3 + 6x2 + 6x) + ex [x3 + 6x2 + 6x]

′

= ex (x3 + 6x2 + 6x) + ex (3x2 + 12x+ 6) = ex (x3 + 9x2 + 18x+ 6) .

f (4)(x) = [ex (x3 + 9x2 + 18x+ 6)]′

= [ex]′ (x3 + 9x2 + 18x+ 6) + ex [x3 + 9x2 + 18x+ 6]′

= ex (x3 + 9x2 + 18x+ 6) + ex (3x2 + 18x+ 18)= ex (x3 + 12x2 + 36x+ 24) .

5.4.1. Velocidad y aceleracion

Ahora nos dedicaremos a estudiar un tipo especial de razon de cambio.

Supongamos que un objeto se mueve a lo lar-go de una linea recta, de acuerdo con unaecuacion del movimiento s = f(t), donde ses el desplazamiento del objeto respecto alorigen, en el instante t. La funcion f quedescribe el movimiento se conoce como fun-cion de posicion del objeto.En base a esta terminologıa el cociente incre-mental ∆s/∆t, definido en la Seccion 5.2.4,adquiere otra interpretacion, aparte de la yaconocida pendiente de la recta secante. Co-mo es bien sabido, en la fısica, la velocidadpromedio se define

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo.

0

a+Dt

f( + t)a D

s

posición en el

tiempo t=aposición en el

tiempo t= ta+D

f( )a

f( )a+Dt

f( ) f( )a+ a-Dt

a

Ds

t

s

f( )aP

Q

mPQ= = velocidad promediof( + t) f( )a aD -

Dt

En este caso, si ∆t representa un ligero cambio en el tiempo, entonces el desplazamientodel objeto desde el tiempo t = a hasta el tiempo t = a + ∆t, por medio de la funcionde posicion f , viene dado por

∆s = f(a+∆t)− f(a).

De modo que la velocidad promedio en ese periodo es

velocidad promedio =∆s

∆t=

f(a+∆t)− f(a)

∆t

que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ.


Suponga que calculamos las velocidades promedio sobre lapsos de tiempo cada vezmas pequenos (estamos haciendo que ∆t → 0). Ası como vemos que la pendiente mPQ

tiende a la pendiente de una recta tangente, el cociente incremental ∆s/∆t (velocidadpromedio) tiende a la velocidad instantanea o velocidad del objeto en el tiempot = a. Es decir, la velocidad en t = a se define como el lımite de la velocidad promediocuando ∆t → 0. Esto es,

v(a) = lım∆t→0

f(a+∆t)− f(a)

∆t.

Lo que significa que la velocidad en t = a es la derivada de la funcion posicion s = f(t)en t = a.

v(a) = f ′(a) =ds

dt

∣∣∣∣t=a

Por lo tanto, la velocidad de un objeto es la razon de cambio del desplazamiento conrespecto al tiempo. Diremos que la velocidad v(t) es positiva si el objeto se desplazaen el sentido positivo de la recta real, es negativa si el objeto se desplaza en el sentidonegativo de la recta real y es cero si el objeto esta en reposo.

0

t0

t1t2

movimiento de la partícula

recta a lo largo de la cual la partícula se mueve

v(t) es positiva si t ∈ (t0, t1).

v(t) es negativa si t ∈ (t1, t2).

v(t) = 0 en t = t1.

Derivando la funcion posicion de un objeto en movimiento rectilıneo obtenemos la velo-cidad de dicho objeto. Asi mismo, si consideramos la funcion velocidad v = f ′(t) pode-mos definir la aceleracion promedio y la aceleracion instantanea (aceleracion)en cualquier tiempo t como:

aprom(t) =f ′(t +∆t)− f ′(t)

∆ty a(t) =

dv

dt=

d2s

dt2= f ′′(t).

Ejemplo 5.60 Un objeto se mueve en linea recta cuya posicion en cada instante detiempo t esta dada por la funcion

s = t3 − 5t2 + 3t− 8,

donde s se mide en metros y t en segundos.


a) Hallar la velocidad y la aceleracion del objeto en t = 2 y t = 5 segundos.

b) Hallar la velocidad y la aceleracion promedio en el intervalo de tiempo [2, 5].

Solucion. a) La velocidad se define como v(t) =ds

dt= 3t2 − 10t+ 3. Luego

v(2) =ds

dt

∣∣∣∣t=2

= 3(2)2 − 10(2) + 3 = −5m/s.

v(5) =ds

dt

∣∣∣∣t=5

= 3(5)2 − 10(5) + 3 = 28m/s.

La aceleracion se define a(t) =d2s

dt2= 6t− 10. Luego

a(2) =d2s

dt2

∣∣∣∣t=2

= 6(2)− 10 = 2m/s2.

a(5) =d2s

dt2

∣∣∣∣t=5

= 6(5)− 10 = 20m/s2.

b) En este caso, ∆t = 5− 2 = 3. Luego

vprom(2) =f(5)− f(2)

3=

7− (−14)

3= 7m/s

aprom(2) =f ′(5)− f ′(2)

3=

28− (−5)

3= 11m/s2

Ejemplo 5.61 Un objeto se mueve sobre una recta segun la funcion de posicion

s = −t2 + 4t+ 5

donde s se mide en cm y t en segundos.

a) ¿En que instante la velocidad en 0?.

b) Hallar la aceleracion en el instante en que la velocidad es 0.

c) ¿Cuando el objeto se mueve hacia adelante (a la derecha)?

d) ¿Cuando el objeto se mueve hacia atras (a la izquierda)?

e) Realiza un dibujo que esquematize el movimiento del objeto a lo largo de la linearecta y la grafica de la posicion del objeto.


Solucion. a) La velocidad es v(t) =ds

dt= −2t+ 4. Al hacer v(t) = 0, obtenemos

−2t+ 4 = 0 ⇒ t = 2.

Lo que significa que la velocidad se hace cero a los 2seg.

b) La aceleracion es a(t) =d2s

dt2= −2 (aceleracion constante). De modo que la acele-

racion en t = 2 es a(2) = −2.c) El objeto se mueve hacia adelante siempre que v(t) > 0.

v(t) > 0 ⇒ −2t + 4 > 0 ⇒ −2t > −4 ⇒ t < 2.

Luego, el objeto se mueve hacia adelante cuando t < 2.d) El objeto se mueve hacia atras siempre que v(t) < 0.

v(t) < 0 ⇒ −2t + 4 < 0 ⇒ −2t < −4 ⇒ t > 2.

Luego, el objeto se mueve hacia atras cuando t > 2.e)

0

t=5

t=0

t=2

5

5

9

movimiento del objeto a lo largo de lalinea recta

gráfica de la posición

t

s

5.4.2. Derivada enesima

Cuando hablamos de la derivada enesima de una funcion f , nos referimos a la derivadade orden n, por lo general, esta derivada corresponde a una formula que permite obtenerla deriva de la funcion en cualquier orden. El objetivo de esta seccion es mostrar elprocedimiento que nos permite definir la derivada enesima de algunas funciones.

Polinomicas

Consideremos la funcion

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0.

Las derivadas sucesivas de f son:


f ′(x) = [anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0]′

= annxn−1 + an−1(n− 1)xn−2 + · · ·+ a3(3)x

2 + a2(2)x+ a1.

f ′′(x) = [annxn−1 + an−1(n− 1)xn−2 + · · ·+ a3(3)x

2 + a2(2)x+ a1]′

= ann(n− 1)xn−2 + an−1(n− 1)(n− 2)xn−3 + · · ·+ a3(3)(2)x+ a2(2).

f ′′′(x) = [ann(n− 1)xn−2 + an−1(n− 1)(n− 2)xn−3 + · · ·+ a3(3)(2)x+ a2(2)]′

= ann(n− 1)(n− 2)xn−3 + an−1(n− 1)(n− 2)(n− 3)xn−4 + · · ·+ a4(4)(3)(2)x+ a3(3)(2).

Esto sugiere que la derivada enesima de un polinomio de grado n viene dada por

f (n)(x) = ann(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4) · · · (4)(3)(2)(1) = ann! , con n ≥ 1.

Claramente, f (n+1)(x) = 0.

Ejemplo 5.62 Determina la derivada de orden 5 de la funcion f(x) = 3x5 − 7x3 − 9.

Solucion. Como el orden de la deriva coincide con el grado del polinomio, la derivadade orden 5 es:

f (5)(x) = 3 · 5! = 3(5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 360.

Ejemplo 5.63 Determina la derivada de orden 4 de la funcion

f(x) = 4x3 + 8x2 + 9x+ 1.

Solucion. Como el orden de la derivada es mayor que el grado del polinomio, se sigueque f (4)(x) = 0.

Exponenciales

Consideremos la funcion f(x) = e ax+b donde a, b son numeros reales. Las derivadassucesivas de f son:

f ′(x) =[eax+b

]′= eax+b [ax+ b]′ = aeax+b.

f ′′(x) =[aeax+b

]′= a

[e ax+b

]′= a

(ae ax+b

)= a2eax+b.

f ′′′(x) =[a2eax+b

]′= a2

[e ax+b

]′= a

(a2eax+b

)= a3e ax+b.

f (4)(x) =[a3e ax+b

]′= a3

[eax+b

]′= a

(a3eax+b

)= a4eax+b.

Esto sugiere que la derivada enesima viene dada por

fn(x) = ane ax+b , con n ≥ 1.

Observacion 5.64 Obviamente,


Si f(x) = ex, entonces f (n)(x) = ex.

Si f(x) = ax, entonces f (n)(x) = ax lnn a.

Ejemplo 5.65 Encuentre la derivada de orden 100 de la funcion f(x) = e3x.

Solucion. De la formula de la derivada enesima tenemos:

f (100)(x) = 3100e3x.

Ejemplo 5.66 Encuentre la derivada enesima de la funcion f(x) = 4e2x−1 + e3x+5 yevalue f (5)(1)

Solucion. claramente la derivada enesima de esta funcion es la suma de las derivadasenesimas de cada funcion. Ası,

f (n)(x) = 4 · 2ne 2x−1 + 3ne3x+5 = 2n+2e2x−1 + 3ne 3x+5.

Luego,f (5)(1) = 25+2e2−1 + 35e3+5 = 27e−1 + 35e 8.

Logaritmos Naturales

Sea la funcion f(x) = ln(ax + b) con a, b numeros reales. Entonces las derivadassucesivas de f son:

f ′(x) = [ln(ax+ b)]′ =1

ax+ b[ax+ b]′ =

a

ax+ b= a(ax+ b)−1.

f ′′(x) = [a(ax+ b)−1]′= a [(ax+ b)−1]

′= a (−a(ax+ b)−2) = −a2(ax+ b)−2.

f ′′′(x) = [−a2(ax+ b)−2]′= −a2 [(ax+ b)−2]

′= −a2 (−2a(ax + b)−3)

= 2a3(ax+ b)−3.

f (4)(x) = [2a3(ax+ b)−3]′= 2a3 [(ax+ b)−3]

′= 2a3 (−3a(ax+ b)−4)

= −(2)(3)a4(ax+ b)−4.

f (5)(x) = [−(2)(3)a4(ax+ b)−4]′= −(2)(3)a4 [(ax+ b)−4]

′

= −(2)(3)a4 (−4a(ax+ b)−5) = (2)(3)(4)a5(ax+ b)−5.


f (n)(x) = (−1)n−1(n− 1)! an(ax+ b)−n , con n ≥ 1.

Ejemplo 5.67 Encuentre la derivada de orden 20 de la funcion f(x) = ln(5x + 1) yevalue f (20)(0).


Solucion. Sustituimos a = 5, b = 1 y n = 20 en la derivada enesima y obtenemos elresultado

f (20)(x) = (−1)20−1(20− 1)!520(5x+ 1)−20 =−19! · 520(5x+ 1)20

·

Luego, f (20)(0) =−19! · 520(5(0) + 1)20

= −19! · 520

Racionales de la formak

(ax+ b)p

Encontrar una expresion para la derivada enesima de este tipo de funciones, se sigueun procedimiento muy similar al aplicado en los logaritmos naturales.

Ejemplo 5.68 Encuentre la derivada enesima de la funcion f(x) =3

(x+ 5)2y use

este resultado para evaluar f (10)(1).

Solucion. Reescribimos la funcion como f(x) = 3(x+5)−2 y calculamos sus derivadassucesivas hasta encontrar un patron que nos ayude a definir una regla general.

f ′(x) = [3(x+ 5)−2]′= 3 [(x+ 5)−2]

′= 3 (−2(x+ 5)−3) = −3(2)(x+ 5)−3.

f ′′(x) = [3(−2)(x+ 5)−3]′= 3(−2) [(x+ 5)−3]

′= 3(−2) (−3(x+ 5)−4)

= 3(2)(3)(x+ 5)−4.

f ′′′(x) = [3(2)(3)(x+ 5)−4]′= 3(2)(3) [(x+ 5)−4]

′= 3(2)(3) (−4(x+ 5)−5)

= −3(2)(3)(4)(x+ 5)−5.

f (4)(x) = [−3(2)(3)(4)(x+ 5)−5]′= −3(2)(3)(4) [(x+ 5)−5]

′

= −3(2)(3)(4) (−5(x+ 5)−6) = 3(2)(3)(4)(5)(x+ 5)−6.


f (n)(x) = (−1)n3(n+ 1)!(x+ 5)−(n+2) , con n ≥ 1.

Luego f (10)(1) = (−1)103(10 + 1)!(1 + 5)−(10+2) = 3 · 11! · 6−12 =3 · 11!612

Ejemplo 5.69 Encuentre la derivada enesima de la funcion

f(x) =2x+ 1

(x+ 2)(x− 1)·

Solucion. Esta funcion se puede expresar en suma de fracciones simples como:

f(x) =2x+ 1

(x+ 2)(x− 1)=

1

x+ 2+

1

x− 1

5.5. Diferenciales y valores aproximados Prof. Derwis Rivas Olivo 309

La derivada enesima de f es, entonces, la derivada enesima de cada una de las fraccionessimples que la conforman. Por lo tanto, lo que haremos, es calcular la derivada enesimade cada fraccion simple, y al final sumamos los resultados.

Un simple calculo verifica que:[1

x+ 2

](n)= (−1)nn!(x+ 2)−(n+1) y

[1

x− 1

](n)= (−1)nn!(x− 1)−(n+1)

Por lo tanto,

f (n)(x) = (−1)nn!(x+ 2)−(n+1) + (−1)nn!(x− 1)−(n+1)

= (−1)nn![(x+ 2)−(n+1) + (x− 1)−(n+1)

].

5.5. Diferenciales y valores aproximados

5.5.1. Aproximacion lineal

En la observacion 5.11 de la Seccion 5.1.2 se pudo apre-ciar que la recta tangente, cerca del punto de tangencia,se encuentra muy proxima a la curva. Esta observacionconstituye la base de un metodo para hallar valores apro-ximados de funciones. a

f( )a

( )

x

f

rect

ata

ngente

Aproximacion lineal: Consiste en aproximar una funcion, en los alrededores de unpunto, mediante la recta tangente a la funcion en ese punto. Es decir, para calcularlos valores de la funcion en los puntos proximos a uno conocido, en vez de sustituir lascoordenadas de dichos puntos en la formula de la funcion las sustituimos en la ecuacionde la recta tangente, y tomamos el valor obtenido como una aproximacion del buscado.Este hecho se puede expresar por medio de una formula. Dada una funcion f derivableen x = a , la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en a se define como

y − f(a) = f ′(a)(x− a) ⇒ y = f(a) + f ′(a)(x− a).

Para valores de x cercanos a se verifica que y ≈ f(x), de modo que, la formula

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) (5.13)

recibe el nombre de aproximacion lineal o aproximacion de la recta tangentede f en a. La formula 5.13 tiene sentido siempre que x este muy cercano a a.

Ejemplo 5.70 Encuentra una aproximacion a los siguientes numeros ln(1, 3), ln(0, 98)y ln(1, 05)


Solucion. Lo que haremos es encontrar la ecuacion de la recta tangente a la curvay = lnx en el punto x = 1 (un punto cercano a 1,3; 0,98 y 1,05 cuyo valor en la funciones conocido).

Como a = 1, entonces (a, f(a)) = (1, f(1)) = (1, 0). Por otro lado, f ′(x) = 1/x lo queimplica m = f ′(1) = 1. Luego la ecuacion de la recta es

y − 0 = 1(x− 1) ⇒ y = x− 1.

Por lo tanto, para valores de x cercanos a 1 tenemos que

ln x ≈ x− 1. (5.14)

Ası,

ln(1, 3) ≈ 1, 3− 1 = 0,3 (el valor real del ln(1,3) es 0,262364264. . .).

ln(0,98) ≈ 0,98− 1 = −0,02 (el valor real del ln(0,98) es -0,020202707. . .).

ln(1, 05) ≈ 1, 05− 1 = 0,05 (el valor real del ln(1,05) es 0,048790164. . .).

Las estimaciones obtenidas a partir de la aproximacion lineal estan muy cercas delvalor real. Sin embargo, la estimacion pierde exactitud cuando x esta muy lejos de 1.Por ejemplo, ln(2) ≈ 2− 1 = 1, mientras que el valor real del ln(2) es 0,6931471805. . ..

Ejemplo 5.71 Encuentre la aproximacion lineal de la funcion f(x) =√x+ 3 en a = 1

y usela para obtener una estimacion de los numeros√3,98 y

√4,05.

Solucion. Para tener la aproximacion lineal de la funcion en a = 1, debemos calcularla ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto a = 1. Como a = 1,entonces (a, f(a)) = (1, f(1)) = (1, 2). Ademas

f ′(x) =1

2√x+ 3

⇒ m = f ′(1) =1

4·

Luego, la ecuacion de la recta tangente es

y − 2 =1

4(x− 1) ⇒ y =

1

4x+

7

4·

Por lo tanto, la aproximacion lineal de f es:

√x+ 3 ≈ 1

4x+

7

4· (5.15)

En particular, tenemos


x+ 3 = 3,98 ⇒ x = 0,98 (un valor cercano a a = 1). Luego

√3,98 ≈ 1

4(0,98) +

7

4= 1,995.

x+ 3 = 4,05 ⇒ x = 1,05 (un valor cercano a a = 1). Luego

√3,98 ≈ 1

4(1,05) +

7

4= 2,0125.

Las aproximaciones lineales se usan con frecuencia como “identidades” que nos per-miten simplificar y resolver situaciones en el campo de la ciencia. Por ejemplo, en elcalculo de lımites, las aproximaciones lineales nos pueden ayudar a calcular lımites quepresenten indeterminaciones de la forma 0

0.

Ejemplo 5.72 Calcula lımx→1

ln x

x− 1·

Solucion. Evidentemente se trata de un lımite indeterminado de la forma 00. Por otro

lado, como x → 1 (x esta muy cercano a 1) se tiene que lnx ≈ x−1 (ver (5.14)). Luego

lımx→1

ln x

x− 1= lım

x→1

x− 1

x− 1= 1.

Ejemplo 5.73 Calcula lımx→1

√x+ 3− 2

x− 1·

Solucion. Se trata de un lımite indeterminado de la forma 00. Como x → 1, entonces

de (5.15) tenemos que√x+ 3 ≈ 1

4x+

7

4·

Luego

lımx→1

√x+ 3− 2

x− 1= lım

x→1

14x+ 7

4− 2

x− 1= lım

x→1

x− 1

4(x− 1)= 1/4.

Comprueba el resultado usando la conjugada.

Ejemplo 5.74 Calcula lım→0

x2 + sen x

x2 + 2x·

Solucion. En el ejemplo 5.13 de la Seccion 5.1.2 obtuvimos que la ecuacion de larecta tangente a la grafica del senx en x = 0 es la recta y = x. Por lo tanto, paravalores de x cercanos a 0 tenemos la aproximacion lineal

senx ≈ x.


Luego,

lım→0

x2 + sen x

x2 + 2x= lım

→0

x2 + x

x2 + 2x= lım

→0

x(x+ 1)

x(x+ 2)= lım

→0

x+ 1

x+ 2= 1/2.

Comprueba el resultado usando la identidad lımx→0

sen x

x= 1.

Otro ejemplo, en donde se puede apreciar las ventajas de las aproximaciones linealeses en la Teorıa de la Optica. Los rayos luminosos que llegan formando angulos muypequenos con relacion al eje optico se llaman rayos paraxiales. En la optica paraxial (ogaussiana), sen θ y cos θ se reemplazan por sus linealizaciones

sen θ = θ y cos θ = 1

porque θ esta cerca de 0. Los resultados de los calculos realizados, con estas aproxima-ciones, se convirtieron en la herramienta teorica basica para disenar las lentes. (VeaseEugene Hecht, Optics, 2a. ed. (Reading, MA: Addison-Wesley, 1987), p. 134.)

5.5.2. Diferenciales

Hasta ahora hemos utilizado el sımbolo dy/dx para denotar la derivada (notacionde Leibniz). En esta seccion, daremos significado a los terminos dx y dy, que nospermitira darle otro significado al sımbolo dy/dx.Para ello, retomemos algunos conceptos estudiados en la Seccion 5.2.4. Sea f unafuncion derivable y recordemos que si ∆x representa un ligero cambio en la variable x,entonces ∆y o ∆f definida por

∆y = f(x+∆x)− f(x) (5.16)

representa el cambio respectivo en la variable y.

Definicion 5.75 (Diferenciales)Sea y = f(x) una funcion derivable. Llamaremos diferencial de la variable inde-

pendiente x, a dx, el cual es igual a ∆x. Llamaremos diferencial de la variable

dependiente y, a dy, la cual se define como

dy = f ′(x)dx. (5.17)

De la definicion de diferenciales se siguen de inmediato las siguientes observaciones:

1. Si dx 6= 0, entonces al dividir por dx ambos lados de la identidad dy = f ′(x)dx,obtenemos f ′(x) = dy

dx. Si lo deseamos, podemos interpretar la deriva de f como

un cociente de dos diferenciales.


2. Se debe tener sumo cuidado en no confundir derivadas con diferenciales. No sonlo mismo. Cuando se dice dy/dx esta utilizando un sımbolo para la derivada,cuando se escribe dy, esta denotando una diferencial.

Ejemplo 5.76 Encuentre dy si f(x) = e3x3+5x−8. Evalua la diferencial dy para x = 1y dx = 0,03

Solucion. Como sabemos como calcular derivadas, sabemos como calcular diferen-ciales. Basta con calcular la derivada y multiplicar por dx.

f ′(x) = e3x3+5x−8[3x3 + 5x− 8

]′= (9x2 + 5)e3x3+5x−8.

Luego, dy = (9x2 + 5)e3x3+5x−8dx. Cuando x = 1 y dx = 0,03 se tiene

dy = (9(1)2 + 5)e3(1)3+5(1)−8(0,03) = 0,42.

Interpretacion geometrica de la diferencial

Sea f una funcion derivable, la derivada de f en terminos de los incrementos de x e y,se expresa como:

lım∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x= lım

∆x→0

∆y

∆x= f ′(x).

Esto significa que el cociente incremental ∆y∆x

se diferencia de la derivada f ′(x) en unvalor muy pequeno. Esto es,

∆y

∆x= f ′(x) + α (5.18)

donde α → 0 cuando ∆x → 0 (α es un numero muy pequeno).

En la grafica M representa un punto arbitrario sobrela grafica de f , sea β el angulo formado por la rec-ta tangente en M a la grafica de f . Si incrementa-mos x en ∆x, obtenemos el punto M1 de coordenadas(x+∆x, f(x+∆x)). En el triangulo MNT de la figura,se tiene que

tanβ =NT

MN⇒ NT = MN tanβ.

M

N

M1

T

Dx

x x+ xD

dyDy

f(x)

f(x+ x)D

f

b

Como tan β = f ′(x) y MN = ∆x, entonces

NT = f ′(x)∆x = f ′(x)dx.


Puesto que dy = f ′(x)dx, se sigue que NT = dy. Por lo tanto, dy representa la can-tidad que se eleva o cae la tangente (el cambio de la linealizacion), mientrasque ∆y representa la cantidad que se eleva o cae la curva y = f(x), cuando xcambia en una cantidad ∆x.

No debemos confundir dy con ∆y. No son iguales. Sin embargo, existe una poderosaconexion entre ellos. Si la funcion y = f(x) es derivable en el punto x y f ′(x) 6= 0,entonces la diferencial dy es una buena aproximacion del incremento ∆y. En efecto,de la relacion 5.18 tenemos

∆y

∆x= f ′(x) + α donde α → 0 cuando ∆x → 0

Como f ′(x) 6= 0 dividimos por la derivada y obtenemos

∆y

f ′(x)∆x=

f ′(x) + α

f ′(x)= 1 +

α

f ′(x)⇒ ∆y

dy= 1 +

α

f ′(x)

Puesto que α → 0, se sigue que el cociente∆y

dytiende a 1, lo que significa que

∆y ≈ dy. (5.19)

5.5.3. Aplicaciones de la diferencial

Aproximacion usando diferenciales

Uno de los principales usos de los diferenciales es proporcionar aproximaciones. Sisustituimos (5.16) y (5.17) en (5.19) obtenemos:

∆y ≈ dy

f(x+∆x)− f(x) ≈ f ′(x)dx

f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)∆x (5.20)

Esta formula nos sera gran utilidad para determinar valores aproximados. Si hacemos∆x = x−a notaremos que el lado derecho de esta formula es muy parecido a la ecuacionde la recta tangente. En realidad, la estimacion dada por una aproximacion lineal yla dada por esta formula son exactamente iguales, es decir, ambos procedimientosconducen al mismo resultado.

Ejemplo 5.77 Encuentre un valor aproximado para√3,98. Compare este resultado

con el obtenido en el ejemplo 5.71.


Solucion. Consideremos la funcion f(x) =√x y sea x un valor cercano a 3,98 cuya

raız sea exacta, obviamente x = 4. Para conocer el valor de ∆x, hacemos

∆x+ x = 3,98 ⇒ ∆x = 3,98− x = 3,98− 4 = −0,02.

Por ultimo f ′(x) =1

2√x, lo que implica f ′(4) =

1

2√4= 1/4.

Luego, al sustituir en (5.20) obtenemos

f(3,98) ≈ f(4) + f ′(4)(−0,02)√3,98 ≈ 2 +

1

4(−0,02)

√3,98 ≈ 1,995.

Al comparar con el resultado obtenido en el ejemplo 5.71 vemos que ambos resultadosson identicos, tal como esperabamos.

Ejemplo 5.78 Utilice diferenciales para aproximar el aumento en el volumen de unaesfera cuando su radio aumenta de 4cm a 4,375cm.

Solucion. El volumen de una esfera viene dado por la ecuacion V = 43πr3. El cam-

bio real en el aumento del volumen viene dado por ∆V , sin embargo, podemos usardiferenciales para aproximar este valor. En este caso, la diferencial del volumen vienedada por

dV =4

3π3r2dr = 4πr2dr

Como r = 4 y dr = ∆r = 4,375− 4 = 0,375, entonces

dV = 4π(42)(0,375) ≈ 75,398cm3

Estimacion de errores

Otra de las aplicaciones de la diferencial consiste en la estimacion de los efectos causadospor los errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Nos enfrentamos a la siguientesituacion: Un investigador obtiene una cierta medida x, con un posible error de tamano±∆x en la medicion. El valor exacto en la medicion es x ±∆x. Luego este valor x esutilizado para calcular un valor y, en una relacion y = f(x). Claramente el valory = f(x), obtenido a partir de x, esta contaminado por el error cometido en x. Esteerror se llama error de propagacion y viene dado por

∆y = f(x±∆x)− f(x).

Si el error ∆x es pequeno, que es lo esperado, el error ∆y puede ser aproximado porla diferencial dy.


Definicion 5.79 Si y = f(x) es una funcion derivable y ±∆x, un numero muy pe-queno, representa el error cometido en la medicion de x, entonces:

|∆y| ≈ |dy| es el error absoluto de y∣∣∣∣∆y

y

∣∣∣∣ ≈∣∣∣∣dy

y

∣∣∣∣ es el error relativo de y.

∣∣∣∣100∆y

y

∣∣∣∣ ≈∣∣∣∣100

dy

y

∣∣∣∣ es el error porcentual de y.

Ejemplo 5.80 Un rodillo cilindrıco tiene exactamente 12cm de largo y su radio es de6cm con un margen de error de ±0,004cm. Calcule su volumen y de una estimacionpara el error absoluto, error relativo y porcentual en el calculo de dicho volumen.

Solucion. El volumnen de un cilindro es V = πr2h. En este caso, h = 12 y r = 6.Entonces el volumen con estas medidas es de:

V = π(6)2(12) ≈ 1357, 16.

Este volumen se obtuvo con un error de ±0,004cm en la medida del radio, esto es,|dr| ≤ 0,004. Por lo tanto,

Una estimacion del margen de error absoluto al calcular el volumen con los datosdados es:

|∆V | ≈ |dV | = |2hπrdr| ≤ 2(12)π(6)(0,004) ≈ 1, 8095

El error relativo∣∣∣∣∆V

V

∣∣∣∣ ≈∣∣∣∣dV

V

∣∣∣∣ =∣∣∣∣2hπrdr

πr2h

∣∣∣∣ =2 |dr|r

≤ 2(0,004)

6≈ 0, 0013

El error porcentual

∣∣∣∣100∆V

V

∣∣∣∣ ≈∣∣∣∣100

dV

V

∣∣∣∣ ≤ 100(0, 0013) = 0,13%.

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