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Professor Domingos Cereja
Série de Pagamentos
MATEMÁTICAFINANCEIRA
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Série de Pagamentos
São pagamentos efetuados em n períodos ao longo de um
determinado tempo.
Esses pagamento não necessariamente são de mesmos valores.
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Série de Pagamentos
Renda Certa ou Anuidade
São sequências de pagamentos que ocorrem em datas
previamente estabelecidas.
As Rendas podem ser classificadas:
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Série de Pagamentos
Quanto ao prazo de duração
1. Renda temporária: Quando o número de termos é definido.
2. Renda perpétua: Quando o número de termos é indefinido.
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Série de Pagamentos
Quanto ao vencimento dos termos
1. Renda postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no
final do primeiro período, ou seja, quando o pagamento ocorre
no final dos sucessivos períodos.
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Série de Pagamentos
Quanto ao vencimento dos termos
2. Renda antecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no
momento da realização do negócio, ou seja, quando o
pagamento ocorre no início dos sucessivos períodos.
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Série de Pagamentos
Quanto a carência
1. Renda imediata: Quando os pagamentos forem exigidos logo
no primeiro período.
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Série de Pagamentos
Quanto a carência
2. Renda diferida: Quando existir um período para se efetuar o
primeiro pagamento.
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Série de Pagamentos
Quanto ao valor
1. Renda constante: Quando os valores dos termos forem os
mesmos.
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Série de Pagamentos
Quanto ao valor
2. Renda variável: Quando os valores dos termos forem
diferentes.
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Professor Domingos Cereja
Série de Pagamentos – Parte 2
MATEMÁTICAFINANCEIRA
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Série de Pagamentos
(FISCAL SEFAZ PI) José tem uma dívida a ser paga em três
prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao
final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao
término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao
final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5%
ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única
prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa
de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José
pagará nesta única prestação o valor de:
(A) R$ 1.214,91 (B) R$ 2.114,05 (C) R$ 2.252,05
(D) R$ 2.352,25 (E) R$ 2.414,91
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Série de Pagamentos
P1 = 980; n = 3
(A) R$ 1.214,91 (B) R$ 2.114,05 (C) R$ 2.252,05 (D) R$ 2.352,25 (E) R$ 2.414,91
P2 = 320; n = 7
P3 = 420; n = 9
i = 5%
P = ? ; n = 12
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Série de Pagamentos
(SEFAZ PI - ANALISTA DO TESOURO) Para quitar uma dívida
que apresenta na data de hoje o valor de R$ 77.000,00, um
empresário deverá efetuar um pagamento de P reais daqui a um
ano e outro de 2P reais daqui a 2 anos. Considerando o critério
do desconto racional composto a uma taxa de 8% ao ano, obtém-
se que P é igual a
(A) R$ 27.000,00
(B) R$ 29.160,00
(C) R$ 30.326,40
(D) R$ 31.492,80
(E) R$ 32.659,20
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Série de Pagamentos
A = 77000
(A) 27.000,00 (B) 29.160,00 (C) 30.326,40 (D) 31.492,80 (E) 32.659,20
P1 = P; n = 1
P2 = 2P; n = 2
i = 8% aa
P = ?
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Série de Pagamentos
(SEFAZ RJ - AUDITOR FISCAL) Uma dívida deverá ser quitada
por meio de 3 prestações anuais e consecutivas. O valor da
primeira prestação, que vence daqui a 1 ano, é igual a R$
9.240,00, o da segunda é R$ 12.705,00 e o da terceira é R$
16.770,60. Utilizando o critério do desconto racional composto, a
uma taxa de 10% ao ano, esta dívida poderá ser quitada por meio
de duas prestações de valores iguais, vencíveis a primeira daqui
a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. O valor de cada prestação,
nesta segunda opção, é
(A) R$ 15.750,00 (B) R$ 18.150,00 (C) R$ 17.325,00
(D) R$ 16.500,00 (E) R$ 16.125,00
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Série de Pagamentos
P1 = 9240; n = 1
(A) 15.750,00 (B) 18.150,00 (C) 17.325,00 (D) 16.500,00 (E) 16.125,00
P2 = 12705; n = 2
P3 = 16770,60; n = 3
i = 10% aa
P = ?; n = 1 e 2
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Professor Domingos Cereja
Parte I
Renda Certa
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Renda Certa
1. Renda Postecipada
2. Renda Antecipada
3. Renda Diferida
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Renda Certa
1. Renda Postecipada: É a série de pagamentos uniformes em
que o primeiro pagamento é efetuado no final do primeiro
período.
O valor atual de uma renda certa é definido como a soma dos
valores atuais de seus respectivos termos.
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Renda Certa
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Renda Certa
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Renda Certa
fator de valor atual
O fator de valor atual é representado por an┐i
an┐i =
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Renda Certa
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Renda Certa
Outra forma de se representar o fator de valor atual
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Parte II
Renda Certa
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Renda Certa
Uma pessoa comprou uma mercadoria e financiou em quatro
prestações mensais e consecutivas de R$ 2.000,00, sendo a
primeira paga trinta dias após a compra, considerando a taxa de
juros de 4% a.m., qual o valor da mercadoria à vista?
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Renda Certa
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Renda Certa
OBS: em algumas questões poderá ser empregado o termo fator
de recuperação de capital (FRC), que obtido através do inverso
do fator de valor atual.
FRC = 1/ an┐i
P = A. FRC
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Renda Certa
Caso queiramos calcular o total pago, imediatamente após o
último pagamente, teremos que encontrar o chamado valor futuro,
F, que será o montante.
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Renda Certa
F = A.(1 + i)n
F = P. x
F = P.
Para se chegar ao valor futuro, basta capitalizar o valor atual por
n períodosF = A.(1 + i)n
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Renda Certa
Na matemática financeira,o fator é representado por Sn┐i,
e é chamado de fator de valor futuro ou fator de acumulação de
capital.
Sn┐i =
logo, F = P. Sn┐i
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Professor Domingos Cereja
Parte III
Renda Certa
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Renda Certa
F = P. Sn┐i
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Renda Certa
Com referência ao exercício, do exemplo anterior, calculemos o
montante pago imediatamente após o último pagamento.
P = 2000n = 4i = 4%am
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Renda Certa
2. Renda Antecipada: É a série de pagamentos uniformes em
que o primeiro pagamento é efetuado no momento da
realização do negócio.
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Renda Certa
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Renda Certa
Calculemos o valor atual, no mesmo exemplo, sendo agora com
renda antecipada.
R = 2000 n = 4 i = 4%
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Renda Certa
3. Renda Diferida: É a série de pagamentos uniformes em que o
primeiro pagamento é efetuado após um determinado período.
Esse período sem pagamento é chamado de carência.
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Renda Certa
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Renda Certa
Uma empresa receberá cinco prestações mensais de R$
10.000,00, sendo a primeira após quatro meses. considerando a
taxa de juros compostos de 2%a.m., qual o valor atual?
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Renda Certa
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Renda Certa
(CEF – TEC. BANCÁRIO) Na negociação de uma dívida no valor
de R$ 10.000,00, o credor ofereceu as seguintes opções para o
devedor.
I Pagar toda a dívida, no ato da negociação, com desconto de
1,8% sobre o valor da dívida.
II Pagar em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem
desconto, com a primeira prestação vencendo depois de 2 meses
da negociação.
III Pagar em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem
desconto, com a primeira prestação vencendo um mês após a
negociação.
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Renda Certa
IV Pagar em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem
desconto, com a primeira prestação vencendo no ato da
negociação.
Considerando 0,99, 0,98 e 0,97 como valores aproximados para
1,01-1, 1,01-2 e 1,01-3, respectivamente, e supondo que o devedor
poderá aplicar, no ato da negociação e a juros compostos de 1%
ao mês, quantias necessárias ao pagamento da dívida, assinale a
opção correta.
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Renda Certa
(A) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa
que a II.
(B) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao
escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da
negociação, R$ 9.750,00.
(C) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00
no ato da negociação.
(D) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.
(E) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a
IV.
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Renda Certa
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Renda Certa
(A) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa
que a II.
(B) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao
escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da
negociação, R$ 9.750,00.
(C) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00
no ato da negociação.
(D) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.
(E) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a
IV.
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Renda Certa
(PETROBRAS - TÉCNICO DE SUPRIMENTO) Um bem, cujo
preço à vista é R$ 10.100,00, é vendido em doze prestações
consecutivas, mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga
no ato da compra. Se são cobrados juros compostos de 1% ao
mês, o valor das prestações, em reais, é aproximadamente
Dado: (1,01)−12 = 0,8874
(A) 842
(B) 888
(C) 897
(D) 914
(E) 948
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Renda Certa
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Renda Certa
(TCE PB – AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) O valor presente
de um fluxo de 25 pagamentos iguais, mensais e postecipados,
rendendo 5% ao mês, é igual a R$ 10.000. Nessa situação, se,
em vez de postecipados, os pagamentos forem antecipados, o
valor presente do fluxo de pagamentos, em reais, será igual a
(A) 12.500.
(B) 9.523.
(C) 10.000.
(D) 10.020.
(E) 10.500.