matemÁtica i - unesp · muitas leis científicas e muitos princípios de engenharia descrevem como...
TRANSCRIPT
![Page 2: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/2.jpg)
Conteúdo
• Função
• Variáveis
• Traçando Gráficos
• Domínio e Imagem
• Família de Funções
• Funções Polinomiais
• Funções Exponenciais e Logarítmicas
• Funções Trigonométricas
![Page 3: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/3.jpg)
Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem
como uma quantidade depende de outra.
• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o
termo função para indicar a dependência de uma quantidade em
relação a uma outra, conforme a definição a seguir.
DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x
de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor
de y, então dizemos que y é uma função de x.
• Três maneiras usuais de representar funções são:
• Numericamente com tabelas
• Geometricamente com gráficos
• Algebricamente com fórmulas
FUNÇÕES
![Page 4: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/4.jpg)
Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a
ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse
modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos
ou tabelas.
• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que
estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com
a matéria seca
Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio no solo)
• Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para a planta que
atua no processo do substrato
DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única
saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é
denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).
FUNÇÕES
![Page 5: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/5.jpg)
• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada
valor de 𝑓 em x, ou imagem de x por 𝑓.
• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,
digamos y, e escrevemos
𝒚 = 𝒇(𝒙)
A variável x é denominada variável independente ou
argumento de 𝑓
A variável y é denominada variável dependente de 𝑓.
o Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre
para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o
valor correspondente de y está determinado.
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
![Page 6: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/6.jpg)
Se 𝑓 for uma função de uma variável real a valores reais, então o
gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o gráfico da
equação y = ƒ(x).
• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da
equação y = x
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
![Page 7: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/7.jpg)
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
![Page 8: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/8.jpg)
Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre
uma função.
• Por exemplo, como o gráfico de uma função 𝑓 no plano 𝑥𝑦 é
o gráfico da equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), os pontos do gráfico são da
forma 𝑥, 𝑓 𝑥
• ou seja, a coordenada 𝑦 de um ponto do gráfico de 𝑓 é o
valor de 𝑓 na coordenada 𝑥 correspondente
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
![Page 9: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/9.jpg)
Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as coordenadas
𝑥 dos pontos nos quais o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝒙.
• Esses valores são denominados
• zeros de 𝑓
• raízes de 𝑓(𝑥) = 0
• pontos de corte de 𝑦 = 𝑓(𝑥) com o eixo 𝒙.
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
![Page 10: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/10.jpg)
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
![Page 11: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/11.jpg)
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
![Page 12: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/12.jpg)
O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo,
assim como na Álgebra e na Trigonometria.
• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são
definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo
𝑥 e o eixo 𝑦.
𝒙
𝒚
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
![Page 13: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/13.jpg)
A um par (𝑎, 𝑏) de números associamos o ponto 𝑃 localizado na
interseção da reta perpendicular ao eixo 𝑥 em 𝑎 e a reta
perpendicular ao eixo 𝑦 em 𝑏.
• Os números 𝑎 e 𝑏 são as coordenadas 𝑥 e 𝑦 de 𝑃.
• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
![Page 14: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/14.jpg)
Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados
de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas.
• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (𝑥, 𝑦) tais
que 𝑥 < 0 e 𝑦 < 0.
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
![Page 15: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/15.jpg)
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
![Page 16: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/16.jpg)
Se 𝑥 e 𝑦 estão relacionados pela equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), então:
• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de 𝑥)
é denominado domínio de 𝑓.
• o conjunto de todas as saídas (os valores de 𝑦) que
resultam quando 𝑥 varia sobre o domínio é denominado
imagem de 𝑓.
Exemplo 1. Se 𝑓 é a função definida pela tabela ao abaixo,
então:
• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}
• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
![Page 17: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/17.jpg)
Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições
sobre as entradas permissíveis de uma função.
Exemplo 2. Se 𝑦 denota a área de um quadrado de lado 𝑥, então
essas variáveis estão relacionadas pela equação 𝑦 = 𝑥2.
Embora essa equação produza um único valor de 𝑦 para
cada número real 𝑥, o fato de que os comprimentos devem
ser números não-negativos impõe a exigência que 𝑥 ≥ 0.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
![Page 18: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/18.jpg)
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática,
a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas
permissíveis.
Exemplo 3.
se 𝑦 =1
𝑥, então 𝑥 = 0 não é uma entrada válida, pois
divisão por zero não está definida.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0
se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de 𝑥 não são entradas
válidas, pois produzem valores imaginários de 𝑦.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
![Page 19: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/19.jpg)
O domínio e a imagem de uma função f podem ser
identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os eixos
coordenados
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
![Page 20: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/20.jpg)
FAMÍLIA DE FUNÇÕES
As funções são, frequentemente, agrupadas em
famílias de acordo com a forma das fórmulas que
as definem ou outras características comuns.
![Page 21: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/21.jpg)
O gráfico de uma função constante
𝑓(𝑥) = 𝑐
é o gráfico da equação y = c, que é a
reta horizontal.
Se variarmos c, obteremos um
conjunto ou uma família de retas
horizontais.
FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS
![Page 22: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/22.jpg)
Uma função linear é uma função do tipo
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como
𝑓 0 = 𝑏, o gráfico intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑏).
Usamos os símbolos Δ𝑥 e
Δ𝑦 para denotar a
variação (ou incremento)
em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥 ao longo
do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .
FUNÇÃO LINEAR
![Page 23: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/23.jpg)
FUNÇÃO LINEAR
Uma função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento
constantes. Assim, qualquer mudança na variável independente causa uma mudança
proporcional na variável dependente.
![Page 24: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/24.jpg)
Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,
• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a
direita, ou seja, será uma função crescente;
• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a
esquerda, ou seja, será uma função
decrescente;
• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou
seja, será uma função constante;
𝑓 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
FUNÇÃO LINEAR
![Page 25: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/25.jpg)
Observações
• Se mantivermos 𝑏 fixo e tratarmos 𝑚
como um parâmetro, obteremos uma
família de retas cujos membros têm,
todos, o mesmo corte em 𝑏 com o eixo 𝑦.
• Se mantivermos 𝑚 fixo e tratarmos 𝑏
como um parâmetro, obteremos uma
família de retas paralelas cujos
membros têm, todos, a mesma
declividade 𝑚.
FUNÇÃO LINEAR
![Page 26: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/26.jpg)
OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS
FUNÇÕES LINEARES
Não confunda 𝒎 com 𝜽:
Considere o gráfico abaixo:
𝜃
𝑃
O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑟 e
pelo ponto 𝑃.
• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da
reta tangente e é o valor do seu
coeficiente angular. Assim,
𝑚 = tg 𝜃
• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o
coeficiente angular da reta é:
𝑚 = tg 60° = 3
𝑄
𝑟
𝑥
𝑦
![Page 27: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/27.jpg)
FUNÇÕES QUADRÁTICAS
![Page 28: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/28.jpg)
Uma função quadrática é uma função definida por um
polinômio quadrático
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola
A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante
𝑎 for positivo 𝑎 > 0 .
A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .
O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
FUNÇÃO QUADRÁTICA
![Page 29: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/29.jpg)
Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula
quadrática ou de Bhaskara.
O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais
𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0
−𝑏 ± Δ
2𝑎
FUNÇÃO QUADRÁTICA
![Page 30: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/30.jpg)
Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode
ser fatorado como
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2
Exemplo 4. Escreva a função abaixo na forma fatorada.
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1
Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = tem 𝑎 = 2, 𝑏 = −3 e 𝑐 = 1, seu
discriminante é:
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 32 − 4 ∙ 2 ∙ 1 = 9 − 8 = 1 > 0
pela fórmula quadrática, suas raízes são
raízes de 𝑓 𝑥 =−𝑏 ± Δ
2𝑎=
− −3 ± 1
2 2=
3 ± 1
4
assim, 𝑟1 =3+1
4=
4
4= 1 e 𝒓𝟐 =
3−1
4=
2
4=
𝟏
𝟐
Portanto 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 2 𝑥 − 1 𝑥 −𝟏
𝟐
FUNÇÃO QUADRÁTICA
![Page 31: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/31.jpg)
FUNÇÕES POLINOMIAIS
![Page 32: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/32.jpg)
Para todo número real 𝑛, a função
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
é denominada função potência de expoente 𝑛.
Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de
expoentes naturais.
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥
Gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥
FUNÇÕES POLINOMIAIS
OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio, pois inclui uma
função potência 𝑥−1 de expoente negativo.
![Page 33: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/33.jpg)
O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
e é denominado função polinomial de grau 𝑛.
Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados
coeficientes.
O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).
O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.
O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
![Page 34: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/34.jpg)
Note que:
A função
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
é uma função polinomial de grau 1, sendo:
𝑎1= 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.
A função
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
é uma função polinomial de grau 2, sendo:
𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
![Page 35: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/35.jpg)
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
![Page 36: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/36.jpg)
A função
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.
Alguns exemplos são
A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se
𝑏 < 1.
1 1
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
![Page 37: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/37.jpg)
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
![Page 38: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/39.jpg)
FUNÇÕES LOGARITMICAS
![Page 40: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/40.jpg)
Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base
𝑎 é:
denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥
a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥
Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base
𝑎 > 1 são:
Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de
todas as funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
![Page 41: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/41.jpg)
Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:
Exemplo 5. Calcule log2 80 − log2 5
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
![Page 42: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/42.jpg)
Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os
logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.
O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo
natural e tem uma notação especial:
𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙
Propriedades
1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥
2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ
3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0
4) ln 𝑒 = 1
5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln 𝑥
ln 𝑎
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
![Page 43: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/43.jpg)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 44: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/44.jpg)
Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois
sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.
Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre
ângulos e rotação.
Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar
ângulos e rotação.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 45: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/45.jpg)
• Cada ângulo tem uma medida em
radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
• Com essa escolha, o ângulo
𝜃 subentende um arco de comprimento
𝜃 ∙ 𝑟 num círculo de raio r.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 46: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/46.jpg)
• Para converter:
• Radianos em graus: multiplique por 180
𝜋
• Graus em radianos: multiplique por 𝜋
180
• Exemplo 6. Converta:
(a) 55𝑜 em radianos.
Solução: 55o ×𝜋
180≅ 0,9599 rad
(b) 0,5 rad em graus.
Solução: 0,5 rad ×180
𝜋≅ 28,648o
Radianos Graus
0 0o
𝜋
6 30o
𝜋
4 45o
𝜋
3 60o
𝜋
2 90o
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 47: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/47.jpg)
As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em
termos de triângulos retângulos.
Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e
denotemos os lados
então
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 48: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/48.jpg)
Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao
ângulo 𝜃
então
cos 𝜃 = coordenada x de P
sen 𝜃 = coordenada y de P
Note que:
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 49: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/49.jpg)
Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e
sen 𝜃.
Tabulando esses dados, temos que:
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 50: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/50.jpg)
Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃
O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é gerado quando o ponto percorre o
círculo unitário.
O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é a conhecida “onda senoidal”
ou, simplesmente, “senóide”
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 51: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/51.jpg)
Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃
O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da
seno, mas é transladado 𝜋
2 unidades para a esquerda.
Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto
P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )
do círculo unitário muda de quadrante
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 52: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/52.jpg)
Função Periódica
Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se
𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 (para cada 𝑥)
e 𝑇 é o menor número positivo com essa propriedade.
As funções seno e cosseno são periódicas com período
𝑇 = 2𝜋
Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de
2𝜋𝑘 correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 53: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/53.jpg)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 54: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/54.jpg)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 55: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/55.jpg)
Identidades Trigonométricas
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 56: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/56.jpg)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 57: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/57.jpg)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
![Page 58: MATEMÁTICA I - Unesp · Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. • Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041519/5e2d6a54c54e233b207704a4/html5/thumbnails/58.jpg)
2ª. LISTA DE EXERCÍCIOS